clase_3a

Desigualdades Matriciales Lineales en Control

Control Avanzado

Maestra en Ingeniera ElectronicaUniversidad Santo Tomas.

28 de Agosto de 2015

Contenido

1 Introduccion

2 Control por real. de estados usando LMIs

3 Control robusto usando LMIs

4 Formulacion de otras restricciones LMI

IntroduccionControl por real. de estados usando LMIs

Control robusto usando LMIsFormulacion de otras restricciones LMI

El control basado en LMIs consiste en la eleccion de variosrequerimientos de diseno expresados como restricciones yuna funcion de optimizacion que asegure un buendesempeno dinamico en una planta.

Esta metodologa permite facilmente la existencia deincertidumbres lo que conlleva a la deduccion de una ley decontrol robusta.

El progreso de potentes herramientas computacionales ytecnicas de optimizacion convexa, muchos problemas decontrol que no tenan solucion analtica, ya se pueden serresueltos numericamente.

El control basado en LMIs es una alternativa atractiva ypotente en muchos campos, ya que permite satisfacerrequerimientos dinamicos, tales como: especificacionestransitorias, nivel de rechazo a perturbaciones y estabilidadrobusta.



La tecnica de realimentacion de estado parte de una representa-cion del sistema en variables de estado,

x(t) = Ax(t) +Bww(t) +Buu(t)z(t) = Czx(t) +Dzww(t) +Dzuu(t)y(t) = Cyx(t) +Dyww(t) +Dyuu(t)

(1)

En el modelo se consideran el vector de perturbaciones w(t), elvector de salidas controladas z(t) y el vector de salidas mediblesy(t).Considerando que todas las variables de estado son medibles yque estan disponibles para realimentacion, la ley de control de laforma

u(t) = Fx(t) (2)

donde F es el vector de ganancias de realimentacion que ponderancada una de las variables de estado, se denomina realimentacionde estado.



Sustituyendo la ley de control (2) en el modelo LTI (1), el com-portamiento dinamico del sistema en lazo cerrado se describe porla ecuacion:

x(t) = (A+BuF)x(t) (3)

siendo los autovalores de la matriz (A+BuF) los polos deseadosen lazo cerrado.Para el caso del sistema realimentado (3), la condicion de es-tabilidad asintotica de Lyapunov, se puede realizar a traves delestudio de la siguiente desigualdad matricial:

(A+BuF)T P+P (A+BuF) < 0 (4)

oATP+PA+ FTBTuP+PBuF < 0 (5)

Puede observarse que esta desigualdad (5) no corresponde a unaLMI, ya que contiene la multiplicacion de las variables P y F, loque produce una desigualdad bilineal.



Por tal motivo, con el fin de reescribir (5) de forma lineal, esnecesario multiplicar ambos lados de la desigualdad por P1, esdecir:

P1[ATP+PA+ FTBTuP+PBuF

]P1 < 0

P1AT +AP1 +P1FTBTu +BuFP1 < 0 (6)

definiendo W=P1 y Y=FP1=FW , la desigualdad (6) puedeser reescrita como

WAT +AW +YTBTu +BuY < 0 (7)

siendo W = WT > 0.De esta manera, puede obtenerse un vector de ganancias F queestabilice el sistema (3), si existe una matriz simetrica definidapositiva W tal que cumpla con la condicion (7).



La teora de control robusto se basa en el analisis de sistemas controladosbajo la presencia de incertidumbres y senales de perturbacion.

Las tecnicas para el diseno de este tipo de controladores depende del tipo deincertidumbre que pueden sufrir los sistemas.

Entre las causas que pueden generar incertidumbres en los sistemas, se

encuentran factores tales como:

Modificaciones en el punto de trabajo de la planta o en el modelonominal del sistema.Dinamica no lineal no considerada.Dinamica de alta frecuencia no modelada.Imprecisiones en los parametros.

De acuerdo a los factores anteriormente mencionados, las incertidumbres sepueden clasificar en estructuradas (parametricas) y no estructuradas.

Las incertidumbres estructuradas modelan las variaciones de los parametrosdurante el funcionamiento del sistema.

Mientras que las incertidumbres no estructuradas consisten en componentesdinamicos omitidos en el modelo lineal o en variaciones del comportamientodinamico durante el funcionamiento del sistema.

En este curso solo se tratara con incertidumbres estructuradas formuladasmediante la representacion de modelos politopicos.



La representacion de estos sistemas puede ser vista como la extension de sistemasLTIs (1) con matrices dependientes linealmente de parametros inciertos, es decir x(t) = A()x(t) +Bw()w(t) +Bu()u(t)z(t) = Cz()x(t) +Dzw()w(t) +Dzu()u(t)

y(t) = Cy()x(t) +Dyw()w(t) +Dyu()u(t)(8)

donde =(1, . . . , n

)es el vector de agrupacion de n parametros inciertos del

sistema. Cada parametro incierto i se encuentra limitado entre un valor mnimo yun valor maximo

[imin , imax

]. Las posibles combinaciones de los valores mnimos

y maximos del vector define un poltopo convexo con 2n vertices {v1, . . . , vL},que puede ser representado mediante la siguiente combinacion convexa

C0 {v1, . . . , vL} ={

Li=1

ivi, i > 0,Li=1

i = 1

}(9)

donde C0 es la envolvente convexa del conjunto de vertices Rn .Cuando la dependencia es lineal sobre , el sistema de matrices S() se puederepresentar mediante el siguiente poltopo convexo.

S() C0 {1, . . . , L} ={

Li=1

ii, i > 0,Li=1

i = 1

}(10)



siendo

S() =

A() Bw() Bu()Cz() Dzw() Dzu()Cy() Dyw() Dyu()

(11)donde los vertices i corresponden a la imagenes vi, es decir i = S(vi). La Figuramuestra una representacion grafica del sistema politopico.

Al igual que para el caso de un sistema LTI, las funciones de Lyapunov pueden ser

utilizadas en el analisis de estabilidad y en el diseno de controladores de sistemas

con parametros inciertos.



El siguiente Teorema presenta una condicion suficiente LMI, basada sobre el resul-tado (8), para la estabilidad robusta de controladores de sistemas con parametrosvariantes en el tiempo descritos mediante la representacion politopica (10).

Teorema

Una condicion suficiente para que el sistema definido por (8) sea asintoticamenteestable para algunas ganancias de realimentacion F, es que exista una matrizsimetrica definida positiva W, es decir, W = WT > 0, tal que

WATi +AiW +YTBTui +BuiY i = 1, . . . , L (12)

siendo F = YW1.

En adicion a la estabilidad, restricciones tales como: rechazo a perturbaciones, ubi-

cacion de polos en lazo cerrado y limitacion en el esfuerzo de control, pueden ser

tenidas en cuenta en el diseno de las ganancias de realimentacion F, para asegurar

un apropiado comportamiento dinamico del sistema.



Durante las dos ultimas decadas, multiples condicionesLMIs han sido desarrolladas para el analisis y diseno desistemas de control, con el proposito de mejorar lasprestaciones dinamicas de los sistemas controlados.

La sntesis de control H, es uno de los primeros enfoquestratados como un problema de optimizacion convexaformulado mediante LMIs.

Este enfoque de control, el cual se basa en la norma H,garantiza un mnimo nivel de atenuacion entre unaperturbacion de entrada y la salida regulada de un sistema.

Sin embargo, la sntesis H no asegura un comportamientotransitorio adecuado del sistema en lazo cerrado.

Es deseable tener en cuenta otras limitaciones adicionales:por ejemplo, la ubicacion de los polos para lograr unarespuesta transitoria satisfactoria.



Formulacion LMI para el diseno de control HConsiderando el sistema LTI (1) en lazo cerrado

{x(t) = (A + BuF) x(t) + Bww(t)z(t) = (Cz +DzuF) x(t) +Dzww(t)

(13)

La manera de asegurar un mnimo nivel de atenuacion de una perturbacion externa w(t) sobrela salida controlada z(t), se logra determinando la maxima ganancia RMS (Root Mean Square)o norma H de la funcion de transferencia del sistema realimentado H(s) de w(t) a z(t); esdecir:

H(s) = supw(t)L2 6=0zL2wL2

< (14)

donde . y .2 representan la norma infinito y la norma euclidiana respectivamente.

Teorema

El sistema definido por (13) es asintoticamente estable para algunas ganancias de realimentacion

F yz2w2 < si existe una matriz simetrica definida positiva W tal que

AW + WAT + BuY + YTBTu Bw WCTz + YTDTzuBTw I 0CzW +DzuY 0 I

< 0 (15)donde W = P1 y F = YW1



Formulacion LMI para ubicacion de polos

La ubicacion de los polos en lazo cerrado es otra importante restriccion aconsiderar para el buen funcionamiento transitorio de los sistemas dinamicos. Estacondicion consiste en forzar la ubicacion de los polos en un region del planocomplejo (x jy), tal y como se observa en la Figura, que asegure una mninatasa de decaimiento , un mnimo factor de amortiguamiento = cos() y unamaxima frecuencia natural o = r sin(). Por lo tanto, esta region S(, , r) limitael sobrepaso maximo, el tiempo de elevacion y el tiempo de establecimiento.

Region de ubicacion de polos S(, , r)



El siguiente Teorema, adaptado de Chilali1996 , corresponde a la restriccion LMI para laubicacion de polos en lazo cerrado en la region S(, , r).

Teorema

Los polos en lazo cerrado del sistema (13) se ubican en la region S(, , r) si existe una matrizsimetrica definida positiva W tal que

Restriccion para la tasa de decaimiento

AW + WAT + BuY + YTBTu + 2W < 0 (16)

Restriccion para la limitacion del factor de amortiguamiento

cos (AW + WAT + BuY + YTBTu ) sin (AWWATi + BuY YTBTu )sin

(AW + WAT BuY + YTBTu

)cos

(AW + WAT + BuY + Y

TBTu

) < 0(17)

Restriccion para la limitacion de la frecuencia natural o

[rW WAT + YTBTu

AW + BuY rW]< 0 (18)

siendo F = YW1.



Formulacion LMI para la restriccion en la entrada de control

En el diseno de sistemas controlados, generalmente no se tiene en cuenta condiciones

que limiten los valores de la senal de entrada. Un valor excesivo de las componentes

de F podra saturar la entrada de control, empeorando las prestaciones de fun-

cionamiento previstas. Por esta razon, se introduce una nueva restriccion LMI que

restringe el esfuerzo de control; es decir, u(t)2 a lo largo de una trayectoria pa-ra alguna condicion desde x(0) que se encuentre dentro de un elipsoide x(0)TPx(0).

Teorema

Asumiendo que la condicion inicial x(0) del sistema (13) es conocida, larestriccion de acotamiento del esfuerzo de control u(t)2 es aplicada en todotiempo t 0 si existe una matriz simetrica definida positiva W tal que satisfagalas siguientes LMIs [

1 x(0)T

x(0) W

] 0,

[W YT

Y 2I

] 0

(19)

donde W = P1 y Y = FW.



Algoritmo Final

Dada las condiciones LMIs descritas anteriormente, el procedimiento de la sntesisde control robusto consiste en encontrar la ganancia de realimentacion F quegarantice un mnimo nivel de atenuacion entre la perturbacion de entrada y lasalida regulada, es decir, minimizando el parametro en la restriccion (15),satisfaciendo las restricciones de ubicacion de polos en la region S(, , r)(16)-(18) y la restriccion sobre el esfuerzo de control (19), para cada vertice i dela representacion politopica del modelo (13). De esta manera, el procedimiento dela sntesis de control se puede expresar por medio del siguiente algoritmo deoptimizacion:

minimizar sujeto aW,Y

(15), (16), (17), (18), y (19) {i} , i = 1, . . . , L

(20)

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