Universidad Viña del Mar Departamento de Ciencias Básicas

Matemática I Semestre Otoño2011

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LOGARITMOS Logaritmo de un número

A partir de la expresión xb y= , podemos plantear distintas ecuaciones dependiendo de

cuál de sus tres elementos es el desconocido. 1) Si desconocemos el valor de la potencia (y)

Ejemplo: 32 8y y= ⇔ =

2) Si desconocemos la base de la potencia (b)

Ejemplo: 3 327 27 3b b= ⇔ = =

3) Si desconocemos el valor del exponente (x)

Ejemplo: 32 8 2 2

3

x x

x

= ⇔ =⇒ =

Para este caso definiremos un elemento llamado logaritmo.

Definición: Decimos que y es el logaritmo en base b si y sólo si xb y= , lo escribimos

logb y x= ,

es decir, calcular el logaritmo es encontrar el valor del exponente de una potencia.

Ejemplo: en el ejemplo anterior tenemos: ;82 =x para poder calcular el valor de x nos

queda:

38log2 =

Observaciones:

1. Solamente se puede calcular logaritmo de números reales positivos, es decir 0y >

2. La base (b) solamente puede tomar valores mayores que cero y distintos de 1, es decir 0 1b b> ∧ ≠

3. Si la base es 10 se escribe. 10log logy x y x= ⇔ =

4. Si la base es 2,7128........e = , entonces el sistema se denomina de logaritmos

naturales y se acostumbra a denotar log lney x y x= ⇔ =

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Propiedades de Logaritmos:

1. MbzM zb =⇔=)(log

2. )(log)(log)(log NMNM bbb +=⋅

3. )(log)(loglog NMN

Mbbb −=

4. )(log)(log MpM bp

b ⋅=

5. 1)(log =bb

6. 0)1(log =b

7. b

xx

a

ab log

loglog = (Cambio de base)

Ejemplos:

1. Expresar los siguientes logaritmos en notación exponencial. 3

4

3

1

8

) log 64 3 4 64

1) log 512 3 512

8

a

b−

= ⇔ =

= − ⇔ =

2. Encontrar el valor de los siguientes logaritmos

7

32

2 34

) log 49 : 2

9) log : 2

4

3) log 8 : 4 8 2 2 2 3

2x x

a x R x

b x R x

c x R x x

= =

= = −

= = ⇔ = ⇒ = ⇒ =

3. Encuentre el valor c en cada uno de los siguientes problemas:

a) 38log =c b) 2

1log4

−=C c) c=7log2 55

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4. Escriba cada uno de los siguientes como único logaritmo:

a) 7log25log3 22 − b) )3(log2log4)5(log3

2101010 −−++ xxx

5. Suponga que hay 20 gramos de radio disponible inicialmente. Después de t años la

cantidad restante es dada por : 0,00041820 tr e− ⋅=

a) Encuentre la cantidad de radio que queda después de 100 años. b) ¿Cuántos años deben haber transcurrido para que la cantidad de radio sea de

18,23 g?

Graficas de Exponenciales y Logaritmos

A partir de ahora llamaremos Exponenciales a expresiones de la forma xay = ,

con .10 ≠> aya :

Grafica de Exponenciales:

10; <<= asiay x 1; >= asiay x

1. Trace las siguientes gráficas:

42 3

2 4 −− =

== xx

x yyy

2. Supóngase que la población de cierta ciudad cumple la fórmula

ttp )1016(4600)( = , donde p(t) es la población t años después de 1980. ¿Cuál

será la población en 2020?, ¿cuál en el 2080?.

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Grafica de Logaritmos:

NaxN xa =⇔=log , a > 1; N > 0

3. Grafique las siguientes funciones logarítmicas:

a) ( ) )log(xxf = b) ( ) )ln(xxf = c) ( ) )(log2

1 xxf =

4. Resuelva las siguientes ecuaciones:

a) 2 13 4x x+= b) 3 3log (7 ) log (1 ) 1x x− − − =

c) 2)3(log)13(log 1010 =−−− xx d) (2 1)27 3x+ =

e) 3)2(loglog 22 =++ xx ; f) 032

2log4 =

+−

x

x