clases Nº 01

Matemática III Ingeniería Civil

Mg.Mat. Edinson Idrogo Burga

Agosto – 2015.

Mg. Edinson Idrogo Burga 1

2

Mg. Edinson Idrogo Burga

Definición: Una ecuación diferencial es una ecuación que

relaciona una función f con una o mas de las derivadas de la

función.

Ejemplos:

(Vibraciones mecánicas, circuitos eléctricos, sismología)

(Deflexión de una Viga)

(Ecuación de Laplace, teoría del potencial, electricidad, calor)


txdt

dx

dt

xd3cos2925 )1

2

2

)1(8 )24

4

xxdx

yd

0 )32

2

2

2

y

u

x

u

4Mg. Edinson Idrogo Burga

Ecuación Diferencial Ordinaria (E. D. O)

Es aquella ecuación diferencial, en la cual intervienen una

función de una sola variable independiente, así como las

derivadas ordinarias de dicha función.

Ejemplos:

(Velocidades de las reacciones químicas)

(Aerodinámica, análisis de esfuerzo)

(Movimiento armónico simple)


ctekxxkdt

dx ),1)(4( )1

0 )22

2

xydx

dy

dx

ydx

kxdt

xdm

2

2

)3

Ecuación Diferencial Parcial (E. D. P)

Es aquella ecuación diferencial, en la cual intervienen una

función de dos o mas variables independientes, así como

las derivadas parciales de dicha función.

Ejemplos:

(Vibraciones de una viga)

(Ecuación del calor)


2

22

2

2

)1x

ya

t

y

2

2

)2x

uk

t

u

7 Mg. Edinson Idrogo Burga

Ejemplos: Determina el orden y grado de las siguientes

ecuacion.es diferenciales


0 )12

2

C

Q

dt

dQR

t

Qd

0 )2

5

2

24

3

3

y

dx

yd

dx

yd

xyy cos )3

0)()( )4 43 yyyx

9 Mg. Edinson Idrogo Burga

SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

Cualquier ecuación diferencial ordinaria lineal de enésimo orden se

puede expresar en la forma general

Donde F es una función de la variable independiente “x”, la variable

dependiente “y”, y las derivadas de y hasta de orden n.

SOLUCIÓN EXPLICITA

Se llama solución explicita de la ecuación (1) en un intervalo I a la

función que, al sustituirse por y en la ecuación, la satisface para

todo valor x del intervalo I


)1( 0,,,,

n

n

dx

yd

dx

dyyxF

)(x

Ejemplos:

1) Demuestre que: es una solución explicita de

2) Verificar que la función: es una

solución explicita de la ecuación diferencial:

3) Comprobar que la función:

Satisface a la ecuación diferencial:


12)( xxx

0)(2

)(2

xyx

xy

senxxexx x 2cos221)(

senxdx

yd

dx

yd4

2

2

3

3

x

xtx cedteey0

2

2xxeydx

dy

SOLUCIÓN IMPLÍCITA:

Se dice que una función G(x,y) = 0 es una solución implícita de la

ecuación (1) en el intervalo I, si define una o mas soluciones explicitas

en I.

Ejemplos:

1) Demuestre que es una solución implícita de la

ecuación diferencial no lineal

2) Demuestre que es solución implícita de


yxexyxy )(

022 22 yxyedx

dyxxye yxyx

0 xyeyx

01)1( xyxy yedx

dyxe

Origen de las Ecuaciones Diferenciales

Las ecuaciones diferenciales aparecen no solo a partir delas familias de curvas geométricas, sino también delintento de describir en términos matemáticos problemasfísicos en ciencias e ingeniería.

Ecuación Diferencial de una Familia de Curvas

Se obtiene mediante la eliminación de las constantes (oparámetros) y esto se obtiene aislando la constante enun miembro de la ecuación y derivando.

13Mg. Edinson Idrogo Burga

Ejemplos:

1) Encontrar la ecuación diferencial cuya solución general es:

2) Encontrar la ecuación diferencial cuya solución general es:

3) Determina la ecuación diferencial de la familia de circunferencias que

pasan por el origen y cuyos centros están en el eje x.


xecxcy 21

)cos()(cos xxsenxBxsenxxAy

EXISTENCIA Y UNICIDAD DE UNA SOLUCION

Dado el problema de valor inicial

Supóngase que y son funciones continuas en un rectángulo

Que contienen al punto . Entonces, el problema de valor inicial

tiene una solución única en algún intervalo

Donde h es un numero positivo.


00 )(

),(

yxy

yxfdx

dy

f yf /

} ,:),{( dycbxayxR

),( 00 yx)(x ,00 hxxhx

Ejemplo: Demuestre que:

es una solución del problema de valor inicial


xsenxx cos)(

1)0( ;02

2

yydx

yd

TRABAJO EN EQUIPO (25 MIN)1) Determina el orden y grado de las siguientes ecuaciones diferenciales

2) Verifica que la función

es solución de la ecuación diferencial.

3) Encontrar la ecuación diferencial cuya solución es:

4) Obtenga la ecuación diferencial de la familia de parábolas cuyos vértices

y focos están en el eje x.


1)()(cos ) 42 ysenxyxa 4

2

2

2

)

dx

dyy

dx

ydb

x

xtx edteexy0

222

)(

xx ececxy 2

21

2

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

1) Eduardo Espinoza Ramos. (2010). Ecuaciones Diferenciales y sus

Aplicaciones. Lima – Perú.

2) Dennis Zill. Ecuaciones Diferenciales con modelado. México: Ed.

Grupo editorial Iberoamérica.

3) R. Kent Nagle, Edward B. Salf. Fundamentos de Ecuaciones

Diferenciales. Ed. Addison – Wesley Iberoamericana.


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