Clasificación de funciones

Sobreyectividad o Suryectividad

• Una función f:A B es suryectiva

Im f = B

Ejemplos:

f:R R es suryectiva g: R R no es suryectiva

Inyectividad• Una función f:A B es inyectiva

x1,x2 A: si x1 x2 f(x1) f(x2)

Ejemplos: Las funciones f y g son inyectivas

Graficamente, notamos que una función es inyectiva cuando al trazar

rectas horizontales éstas cortan al gráfico de f en, a lo sumo, un punto.

Las funciones h(x) y s(x) no son inyectivas

• Sea f:IR IR / f(x) = 2x2-1

f no es inyectiva

f no es

suryectiva

pues Im f IR

¿Cuál es la imagen de f?

• ¿Si redefinimos el codominio de f ?

f:IR [-1,+ ) / f(x) =2 x2-1

f es suryectiva

pues Imf= [-1,+ )

f no es inyectiva

• ¿Si redefinimos dominio de f ?

f: [0,+ ) IR / f(x) = 2x2-1

f es inyectiva

• Si redefinimos dominio y codominio de f

f: [0,+ ) [-1,+ ) / f(x) = 2x2-1

f es inyectiva y suryectiva

Función biyectiva

Definición:

f:A B es biyectiva

f es inyectiva y suryectiva

• Propiedad:

Si f:A B/ y=f(x) es biyectiva, entonces

admite función inversa, que llamaremos f -1

tal que:

f -1:B A / f -1(y)=x

• Ejemplo:

f: [0,+ ) [-1,+ ) / f(x) = 2x2-1 es biyectiva

Entonces tiene inversa

Su inversa es f -1: [-1,+ ) [0,+ )/

f -1(y) =

2

1y

Función exponencial

Son las de la forma

f:IR IR/ f(x) = ax , a>0 y a 1

• Ejemplos

f:IR IR/ f(x) = 2xf(x)=2^x

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

f(x)=2x

x y=2x

0 1

1 2

2 4

-1 ½

-2 1/4

f:IR IR/ f(x) = 2x

g:IR IR/ g(x) = 3x

h:IR IR/ h(x) = ex

x y=(1/2)x

0 1

1 1/2

2 1/4

-1 2

-2 4

f:IR IR/ f(x) = (1/2)x

h:IR IR/ g(x) = (1/e)x=e-x

Observamos que las funciones exponenciales

tienen las siguientes características:

- Son inyectivas - Im f= (0,+ )

x

y

0<a<1 a>1

f(x)=ax

• Si definimos

f: IR (0,+ )/ f(x) = ax

son funciones biyectivas

Su inversa es la función logaritmo en base a

f -1:(0,+ ) IR/ f -1(y)= logay

logay = x ax=y

f(x)=ln(x)

-1 1 2 3 4

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

f(x)= ln x

• Entre las funciones logarítmicas, la que

más nos interesa es

la función logaritmo natural

(base e)

f:(0,+ ) IR/ f(x)=ln x x y=lnx

1 0

2 ln2

e 1

e-1 -1