clave-107-6-v-2-00-2013
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UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
CURSO: Matemática Intermedia 1 JORNADA: Vespertina SEMESTRE: 2do. Semestre AÑO: 2013 TIPO DE EXAMEN: 2da Retrasada NOMBRE DE LA PERSONA QUE RESOLVIÓ EL EXAMEN: Edgar Salguero NOMBRE DE LA PERSONA QUE REVISÓ EL EXAMEN: Ing. Glenda García
TEMARIO
UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS ESCUELA DE CIENCIAS
FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
MATEMATICA INTERMEDIA 1 SEGUNDA RETRASADA
TEMARIO B
TEMA 1 ( 21 PUNTOS)
Encontrar: a) (7 puntos) b) (7 puntos) c) (7 puntos)
3
4xdx
x x
3 1
xdx
x
2
01 cos
senxdx
x
TEMA 2 ( 14 PUNTOS)
Plantear la integral del área de la región dentro de cos1r & fuera de
senr 23 . (trace la gráfica de la región indicando puntos de intersección)
TEMA 3 ( 15 PUNTOS)
Gráfique en R3 e identifique las siguientes superficies: i) 422 yx ( 3 pts.) ii)
04 22 yxz ( 3 pts) iii) 2 (3 pts)
iv) xeyz 222 ( 3 pts.) v) r sen ( 3 pts.)
TEMA 4 ( 25 PUNTOS)
a) Dada la sucesión:
12
432
2
n
nnan i) Encuentre los primeros tres términos. (3 pts.)
ii) Determine si converge. (3 pts.) iii) Encuentre la cota superior e inferior. (4 pts.)
b) Halle el radio y el intervalo de convergencia de la serie:
04
)3(
n
n
nx (5 puntos)
c) Encuentre un valor aproximado para 𝑒𝑥 utilizando un polinomio de Maclaurin de n=3 de la función. (10 puntos.)
TEMA 5 ( 25 PUNTOS)
a) Encuentre la solución de: 44
04
wvzyx
wvzyx (8 pts.)
b) Grafique en R3 y encuentre el área del paralelogramo con vértices en (1,2,4) , (2,3,5) , (2,5,5) & (3,6,6) (7 puntos)
c) Encuentre la ecuación del plano que perpendicular al plano yz y contiene a la recta
tztytx 1;28;4 (10 puntos.)
SOLUCIÓN DEL EXAMEN
TEMA 1
a) 3
4xdx
x x
Factorizando el denominador para poder aplicar fracciones parciales
𝑥 + 4
𝑥(𝑥2 + 1)=
𝐴
𝑥+
𝐵𝑥 + 𝑐
𝑥2 + 1 𝑑𝑥
𝑥 + 4
𝑥(𝑥2 + 1)=
𝐴 𝑥2 + 1 + 𝐵𝑥2 + 𝑐𝑥
𝑥(𝑥2 + 1) 𝑑𝑥
Encontrando las Constantes
𝑥 + 4 = 𝐴𝑥2 + 𝐴 + 𝐵𝑥2 + 𝑐𝑥 Ecuaciones resultantes
0 = 𝐴 + 𝐵 1 = 𝐶 4 = 𝐴
Por lo tanto
𝐴 = 4, 𝐵 = −4, 𝐶 = 1 Sustituyendo
4
𝑥−
4𝑥
𝑥2 + 1+
1
𝑥2 + 1𝑑𝑥
Integrando
4
𝑥−
4𝑥
𝑥2 + 1+
1
𝑥2 + 1𝑑𝑥 = 4 ln 𝑥 − 2 ln 𝑥2 + 1 + tan−1 𝑥 + 𝑐
b) 3 1
xdx
x
Utilizando sustituciones diversas para resolver la integral
𝑥 = 𝑢6 𝑑𝑥 = 6𝑢5𝑑𝑢
Sustituyendo
𝑢3 6𝑢5 𝑑𝑢
𝑢2 − 1=
6𝑢8𝑑𝑢
𝑢2 − 1
Se realiza la división de polinomios
6𝑢8
𝑢2 − 1= 6𝑢6 + 6𝑢4 + 6𝑢2 +
6
𝑢2 − 1
6𝑢6 𝑑𝑢 + 6𝑢4𝑑𝑢 + 6𝑢2 𝑑𝑢 + 6
𝑢2 − 1𝑑𝑢
Integrando
6𝑢7
7+
6𝑢5
5+ 2𝑢3 +
6
𝑢2 − 1𝑑𝑢
Resolviendo por fracciones parciales
6
𝑢2 − 1𝑑𝑢 =
𝐴
(𝑢 + 1)+
𝐵
(𝑢 − 1)
6 = 𝐴𝑢 − 𝐴 + 𝐵𝑢 + 𝐵
𝐴 + 𝐵 = 0
−𝐴 + 𝐵 = 6
𝐴 = −3, 𝐵 = 3
6
𝑢2 − 1𝑑𝑢 =
−3
(𝑢 + 1)𝑑𝑢 +
3
(𝑢 − 1)𝑑𝑢
6
𝑢2 − 1𝑑𝑢 = −3 ln 𝑢 + 1 + 3 ln(𝑢 − 1)
Integrando
6𝑢8
𝑢2 − 1𝑑𝑢 =
6𝑢7
7+
6𝑢5
5+ 2𝑢3 − 3 ln 𝑢 + 1 + 3 ln 𝑢 − 1 + 𝑐
Sustituyendo
𝑥 = 𝑢6
𝑢 = 𝑥16
6𝑥76
7+
6𝑥56
5+ 2 𝑥 − 3 ln 𝑥
16 + 1 + 3 ln 𝑥
16 − 1 + 𝑐
c)
2
01 cos
senxdx
x
Integral impropia
Resolviendo por sustitucion
𝑢 = 1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥
lim𝑎→𝜋/2−
−𝑑𝑢
𝑢
𝑎
0
= −2 −𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑎0
= −2 1 − 0 = −2
TEMA 2
Plantear la integral del área de la región dentro de cos1r & fuera de
senr 23 . (trace la gráfica de la región indicando puntos de intersección) Graficando
𝑟 = 1 + cos 𝜃
𝑟 = 3 − 2 sin 𝜃
Encontrando los puntos de intersección
1 + cos 𝜃 = 3 − 2 sin 𝜃
1 − 3 + cos 𝜃 = 2 sin 𝜃
(−2 + cos 𝜃) 2 = (2 sin 𝜃)2
4 − 4 cos 𝜃 + cos2 𝜃 = 4 sin2𝜃
4 − 4 cos 𝜃 + cos2 𝜃 = 4(1 − cos2𝜃)
4 − 4 cos 𝜃 + cos2 𝜃 = 4 −4cos2𝜃
−4 cos 𝜃 − 5 cos2 𝜃 = 0
5 cos 𝜃 = 4
𝜃 = cos−14
5
𝜃1 = 0.6435 𝑟𝑎𝑑
𝜃2 = 1.571 𝑟𝑎𝑑
Área de la región dentro de 𝑟 = 1 + cos 𝜃 fuera de 𝑟 = 3 − 2 sin 𝜃
Área de polares entre curvas
𝐴 =1
2 𝑟2𝑑𝜃
Planteando la integral de la región
𝐴 =1
2 1 + cos 𝜃 2 −
1.57
0.6435
(3 − 2 sin 𝜃)2 𝑑𝜃
TEMA 3
Grafique en R3 e identifique las siguientes superficies:
i) 422 yx
Cilindro de radio 2
ii) 04 22 yxz
Paraboloide elíptico
iii) 2
Plano xy
iv) xeyz 222
Superficie cilíndrica con proyección en el eje x
Las trazas verticales son circunferencias
En el eje x se proyectan las circunferencias sobre la curva 𝑒2𝑥
v) r sen
Cilindro eliptico
TEMA 4
a) Dada la sucesión:
12
432
2
n
nnan
i) Encuentre los primeros tres términos.
𝑎1 = 3 1 2 − 1 + 4
2 1 2 + 1 = 2
𝑎2 = 3 2 2 − 2 + 4
2 2 2 + 1 = 1.55
𝑎3 = 3 3 2 − 3 + 4
2 3 2 + 1 = 1.47
ii) Determine si converge.
lim𝑛→∞
3 𝑛 2 − 𝑛 + 4
2 𝑛 2 + 1=
∞
∞= 𝐹𝑜𝑟𝑚𝑎 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎
Aplicando ley de L´Hopital
lim𝑛→∞
6𝑛 − 1
4𝑛=
∞
∞= 𝐹𝑜𝑟𝑚𝑎 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎
Aplicando ley de L´Hopital
lim𝑛→∞
6
4=
3
2
Converge a 3/2
iii) Encuentre la cota superior e inferior.
b) Halle el radio y el intervalo de convergencia de la serie:
04
)3(
n
n
nx
Una serie converge si
lim𝑛→∞
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛 < 1
lim𝑛→∞
𝑥 − 3 𝑛+1
4𝑛+1
𝑥 − 3 𝑛
4𝑛
< 1
lim𝑛→∞
4𝑛 𝑥 − 3 𝑛+1
4𝑛+1 𝑥 − 3 𝑛 < 1
Simplificando
lim𝑛→∞
(𝑥 − 3)
4 < 1
(𝑥 − 3) lim𝑛→∞
1
4 < 1
𝑥 − 3 < 4
Radio = 4
Intervalo
−1 < 𝑥 < 7
d) Encuentre un valor aproximado para 𝑒𝑥 utilizando un polinomio de Maclaurin de n=3 de la función.
𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 𝑓 0𝑥 = 𝑒0 = 1
𝑓𝐼 𝑥 = 𝑒𝑥 𝑓 0𝑥 = 𝑒0 = 1
𝑓𝐼𝐼 𝑥 = 𝑒𝑥 𝑓 0𝑥 = 𝑒0 = 1
𝑓𝐼𝐼𝐼 𝑥 = 𝑒𝑥 𝑓 0𝑥 = 𝑒0 = 1
𝑃 = 𝑓 𝑎 +𝑓´ 𝑎 𝑥
1!+
𝑓´´ 𝑎 𝑥 2
2!+
𝑓´´´ 𝑎 𝑥 3
3!
Sustituyendo los valores de la función 𝑒𝑥
𝑃 = 1 +𝑥
1!+
𝑥2
2!+
𝑥3
3! =
𝑥𝑛
𝑛!
3
𝑛=0
TEMA 5
a) Encuentre la solución de: 44
04
wvzyx
wvzyx (8 pts.)
Se denota el sistema de la forma matricial A x = b
1 1 −11 −1 1
4 −1 04 1 4
Para convertir en 0 el valor de la fila 2 y columna 1 se resta la f2-f1
1 1 −10 −2 2
4 −1 00 2 4
Luego se multiplica la fila 2 por -1/2 para cambiar a 1 el valor de la fila2 y columna 2
1 1 −10 1 −2
4 −1 00 −1 −2
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + 4𝑣 − 𝑤 = 0
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2 𝑦 − 𝑧 − 𝑤 = −2
Sustituyendo la ecuación 2 en la 1 obtenemos
𝑥 + 4𝑣 − 2 = 0
𝑣 =1
2−
𝑥
4
Se necesitan más ecuaciones para resolver el sistema
b) Grafique en R3 y encuentre el área del paralelogramo con vértices en (1,2,4) , (2,3,5) , (2,5,5) & (3,6,6)
Se definen los puntos
P(1,2,4) Q (2,3,5) R (2,5,5) S (3,6,6)
Se Encuentran los vectores
PQ<1,1,1> RS <1,1,1> PR <1,3,1> QS <1,3,1>
El área del paralelogramo 𝐴 = 𝑉𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝐴 𝑋 𝑉𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝐵 Encontrando el área con los vectores PQ y PR
𝐴 = 𝑖 𝑗 𝑘1 1 11 3 1
= 𝑖 1 − 3 − 𝑗 0 + 𝑘 3 − 1 = −2𝑖, 0𝑗 + 2𝑘
= −2 2 + 0 2 + 2 2 = 8
d) Encuentre la ecuación del plano que perpendicular al plano yz y contiene a la recta
tztytx 1;28;4
Plano YZ vector < 1, 0, 0 > Vector director de la recta < 1, 2, -1 > Encontrando el vector n < a, b, c > del plano
𝑛 = 𝑖 𝑗 𝑘1 0 01 2 −1
= 𝑖 0 − 0 − 𝑗 −1 − 0 + 𝑘 2 − 0 = 0 𝑖, + 1𝑗 + 2𝑘
𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑎 𝑋 − 𝑋𝑜 + 𝑏 𝑌 − 𝑌𝑜 + 𝑐 𝑍 − 𝑍𝑜 = 0
𝑉𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 < 0,1,2 > 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 (4, 8,1)
Sustituyendo los valores en la ecuación del plano
0 𝑥 − 4 + 1 𝑦 − 8 + 2 𝑧 − 1 = 0
𝑦 − 8 + 2𝑧 − 2 = 0 Ecuación del plano
𝑦 + 2𝑧 = 10