clave-114-5-V-2-00-2013
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UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA
FACULTAD DE INGENIERA
DEPARTAMENTO DE MATEMTICA
CLAVE-114-5-V-2-00-2013
CURSO: Matemtica Intermedia III
SEMESTRE: Segundo
CDIGO DEL CURSO: 114
TIPO DE EXAMEN: Primera Retrasada
FECHA DE EXAMEN: 20 de noviembre de 2013
NOMBRE DE LA PERSONA QUE
RESOLVI EL EXAMEN: Elda Magally Caldern Motta
NOMBRE DE LA PERSONA QUE
REVIS EL EXAMEN: Inga. Helen Roco Ramrez Lucas
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UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA PRIMERA RETRASADA FACULTAD DE INGENIERA 20 DE NOVIEMBRE DE 2013 MATEMTICA INTERMEDIA 3 JORNADA VESPERTINA
TEMA No. 1 (20 puntos)
Un termmetro se lleva del interior de una habitacin, al exterior donde la
temperatura del aire es de 5F. Despus de un minuto, el termmetro indica 55F,
5 minutos despus marca 30F. Cul era la temperatura del interior?
TEMA No. 2 (20 puntos)
Un tanque que tiene 500 galones de agua pura le entra salmuera con 2 libras de sal
por galn a razn de 5 gal / min. El tanque est bien mezclado y de l sale la solucin
con la misma rapidez. Determine la cantidad A(t) de libras de sal que hay en el
tanque en cualquier instante t. Cul es la concentracin de la solucin en el
tanque a los 5 minutos?
TEMA No.3 (20 puntos)
Se fija un contrapeso de 24 lb al extremo de un resorte. Si la frecuencia del
movimiento armnico simple es 2/ oscilaciones por segundo. Cul es la
constante k del resorte? Cul es la frecuencia del movimiento armnico simple si
la masa original se reemplaza con una de 80 kg?
TEMA No. 4 (40 puntos)
Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales:
a. ( + ) =
b. /
+ / =
c.
+ =
d.
= ( + )
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SOLUCIN DEL EXAMEN
TEMA 1
Un termmetro se lleva del interior de una habitacin, al exterior donde la
temperatura del aire es de 5F. Despus de un minuto, el termmetro indica 55F,
5 minutos despus marca 30F. Cul era la temperatura del interior?
Solucin: Datos:
T (F) ? 55 30
t (min) 0 1 5
Temperatura ambiente = Ta = 5F Ecuacin diferencial que modela problema de temperaturas:
= ( )
= ( 5)
Resolviendo por variables separables:
( 5)=
ln| 5| = +
5 = +
() = +
-
Sustituyendo condiciones del problema:
t = 1 min T = 55F
55 = + 5
t = 5 min T = 30F
30 = 5 + 5
Igualando (1) y (2) para encontrar el valor de r:
50
=
25
5
4 =1
2
= (
)
= .
Sustituyendo r en (1):
=50
0.173287
= .
Ecuacin que modela la temperatura del termmetro en cualquier instante t:
() = . . + Encontrando temperatura del interior (instante t = 0):
(0) = 59.460.173287(0) + 5
(1) =50
(2) =
25
5
() = .
(2)
-
TEMA 2
Un tanque que tiene 500 galones de agua pura le entra salmuera con 2 libras de sal
por galn a razn de 5 gal / min. El tanque est bien mezclado y de l sale la solucin
con la misma rapidez. Determine la cantidad A(t) de libras de sal que hay en el
tanque en cualquier instante t. Cul es la concentracin de la solucin en el
tanque a los 5 minutos?
Solucin: Datos: Vo = 500 gal b = 2 lb / gal e = f = 5 gal / min A (0) = 0 El tanque inicialmente contiene agua pura Ecuacin diferencial para el modelado de mezclas:
=
0 + ( )
Sustituyendo datos:
= (2)(5)
5
500 + (5 5)
= 10
100
+
100= 10
Resolviendo como ecuacin diferencial lineal:
() =
=
=
100 = 10
100
-
100 = 1000/100 +
() = 1000 + /100 Sustituyendo condicin inicial del problema:
t = 0 min A = 0 lb de sal
0 = 1000 + 0/100
= Ecuacin que modela la cantidad de sal en el tanque en cualquier instante t:
Ecuacin que modela la concentracin de la solucin en el tanque:
() =()
=
1000 1000/100
500
() = 2 2/100
Concentracin de la solucin a los 5 minutos:
(5) = 2 25/100
() = /
() = . /
-
TEMA 3
Se fija un contrapeso de 24 lb al extremo de un resorte. Si la frecuencia del
movimiento armnico simple es 2/ oscilaciones por segundo. Cul es la
constante k del resorte? Cul es la frecuencia del movimiento armnico simple si
la masa original se reemplaza con una de 80 kg?
Solucin: Datos: Peso 1 = 24 lb f = 2/ oscilaciones por segundo Peso 2 = 80 kg Encontrando la masa 1 fijada al resorte: Contrapeso: W1 = 24 lb
M1 = W1 / g = 24 / 32 m = 3 / 4 slug Frecuencia movimiento armnico simple:
=
=
2=
2
Sustituyendo datos:
2
=
3/4
2
-
Constante del resorte:
Conversin de la masa de 80 kg a slugs:
m2 = 80 kg * 2.2 / 32 = 5.5 slug
Encontrando frecuencia del movimiento con la masa de 80 kg:
=12
5.52
= /
= . /
-
TEMA 4
Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales:
a. ( + ) =
Solucin:
Sean:
= 10 6 + 3
= 2 Entonces:
= 6
= 0
Resolver como ecuacin diferencial reducible a exacta.
Encontrando el factor integrante:
() =
=
0 (6)
2= 3
= () = 3 = 3
Multiplicando la ecuacin por el factor integrante:
(103 63 + 1) 23 = 0
= 63
= 63
=
-
Integrando parcialmente a M:
(103 63 + 1) =10
33 23 +
Integrando parcialmente a N:
(23) = 23
Solucin de la ecuacin diferencial:
b. /
+ / =
Solucin:
Dividiendo ambos lados de la igualdad entre el trmino 1/2:
+ = 1/2
Resolver como ecuacin lineal de Bernoulli.
Haciendo la sustitucin:
= 1(12) = 3/2
= 2/3
=2
31/3
+ =
-
2
31/3
+ 2/3 = 1/3
Dividiendo ambos lados de la igualdad entre 2
31/3:
+
3
2 =
3
2
Encontrando el Factor Integrante:
() =3
2
= () = 32 = 3/2
Resolviendo la ecuacin diferencial lineal:
3/2 = 3
23/2
3/2 = 3/2 +
= 1 + 3/2
Regresando a la variable y:
3/2 = 1 + 3/2
Solucin de la ecuacin diferencial:
= ( + /)
/
-
c.
+ =
Solucin:
Multiplicando ambos lados de la ecuacin por el diferencial dx:
2 + 2 =
Agrupando trminos semejantes:
+ (2 + 2 ) = 0
Sean:
(, ) =
(, ) = 2 + 2
Entonces:
(, ) = = (, )
(, ) = 22 + 22 = (2 + 2 ) = (, )
Por lo tanto f y g son funciones homogneas de grado uno.
Resolviendo como ecuacin diferencial homognea:
= = +
Sustituyendo:
( + ) + (2 + 22 ) = 0
-
2 + 2 + 22 = 0
2 = 2 + 22
2 = 1 + 2
Resolver con variables separables:
1 + 2=
Sustitucin trigonomtrica para la integral del lado izquierdo:
= tan = sec2
sec = 1 + 2
Resolviendo las integrales:
sec2
sec =
sec = ln|| + ln||
ln|sec + tan | = ln|| + ln||
ln|sec + tan | = ln||
sec + tan =
-
Regresando a la variable v:
1 + 2 + =
Regresando a las variables originales x e y:
1 + (
)
2
+
=
Solucin de la ecuacin diferencial:
d.
= ( + )
Solucin:
Haciendo la sustitucin:
= +
= 1 +
=
1
Sustituyendo:
1 = sin()
+ +
=
-
Resolviendo por variables separables:
sin() + 1=
sin() + 1
sin() 1
sin() 1= +
sin() 1
sin2() 1 = +
sin() 1
cos2 = +
sin()
cos2 + sec2 = +
1
cos + tan = +
Regresando a las variables originales x e y:
1
cos( + )+ tan( + ) = +
Solucin de la ecuacin diferencial:
( + ) ( + ) = +