Cálculo de diagramas de solicitaciones de estructuras ... del capítulo 3 Los tipos de estructuras...

Indice del capítulo 1

Introducción

Cálculo de diagramas de solicitaciones de estructuras isostáticas

Indice del capítulo


Introducción



Los tipos de estructuras posibles (desde el punto de vista de la estática)

En esta introducción se describirá someramente y de manera esquemática:

Introducción

Los tipos o estados de equilibrio a considerar (externo o interno)

Los tipos de tramos que pueden existir (en función de las solicitaciones que produzcan)

Todo lo expuesto se considerará en el desarrollo de los capítulos restantes



Introducción




Tipos

Introducción




Tipos

Introducción


de estructuras



Tipos

Introducción


de estructuras

Isostáticas



Estructuras isostáticas



Tienen el mínimo número de esfuerzos internos y externos necesarios para garantizar la estabilidad




Los diagramas de esfuerzos y las reacciones exteriores







Se calculan con el sistema definido por las ecuaciones de equilibrio en los nudos





No dependen de posibles asientos en los apoyos, de errores de fabricación de los tramos ni de dilataciones que se produzcan en la estructura

Se calculan con el sistema definido por las ecuaciones de equilibrio en los nudos





Isostáticas

Tipos de estructuras

Introducción




Isostáticas


Introducción


Hiperestá-ticas



Estructuras hiperestáticas




Tienen mas esfuerzos internos y externos que los mínimos necesarios para garantizar la estabilidad




Se calculan con más ecuaciones que las de equilibrio en los nudos






Dependen de posibles asientos en los apoyos, de errores de fabricación de los tramos y de dilataciones



Se calculan con más ecuaciones que las de equilibrio en los nudos



Isostáticas


Hiperestá-ticas

Introducción




Isostáticas


Hiperestá-ticas Diferencias

Introducción




Diferencias



Diferencias

Sean dos estructuras formadas con barras de iguales dimensiones y sometidas a las mismas acciones exteriores. Se diferencian entre sí en el número de enlaces exteriores y/o interiores, dando lugar a una estructura isostática y a otra hiperestática



Diferencias

La estructura hiperestática bajo

acciones exteriores tiene:

menores deformaciones




Diferencias

menores diagramas de solicitaciones







Diferencias




mayor reserva resistente


que la estructura isostática




Diferencias




mayor reserva resistente


Sin embargo, sus deformaciones y esfuerzos estarían condicionados por asientos, errores de fabricación o dilataciones de los tramos, en caso de existir, algo que no sucedería con la estructura isostática, como se muestra en el esquema siguiente:

que la estructura isostática




Estructura hiperestática

Diferencias



Estructura isostáticaEstructura hiperestática

Diferencias




Diferencias




Diferencias

Efecto térmico




Diferencias

Efecto térmico

Mientras las estructuras hiperestáticas sufren alteraciones en la deformada y en los esfuerzos, los tramos de las isostáticas se mueven sin que estos efectos se produzcan




Diferencias

Efecto térmico




Diferencias

Efecto térmico

Asientos inesperados en la cimentación (producidos por la

deformación del muro)




Diferencias

Efecto térmico






Diferencias

Efecto térmico



Mientras las estructuras hiperestáticas sufren alteraciones en la deformada y en sus esfuerzos, los tramos de las isostáticas se mueven sin que estos efectos se produzcan




Diferencias

Efecto térmico



Repetir la secuencia

Mientras las estructuras hiperestáticas sufren alteraciones en la deformada y en sus esfuerzos, los tramos de las isostáticas se mueven sin que estos efectos se produzcan



Isostáticas



Introducción




Isostáticas



Introducción de equilibrio




Isostáticas



Equilibrio externo





Equilibrio externo



Equilibrio externo

Una estructura está equilibrada externamente cuando no es posible la traslación ni el vuelco de dicha estructura en ninguna dirección del espacio



Equilibrio externo

Ejemplo




F

Equilibrio externo


Ejemplo



Equilibrio externo

La estabilidad externa se cumple cuando se producen unas reacciones externas adecuadas en los apoyos de la estructura

F


Ejemplo



Isostáticas



Equilibrio externo





Isostáticas



Equilibrio externo


Reacción externa




Reacción externa



Reacción externa

Cada reacción externa contribuye al equilibrio global de la estructura y aparece en un apoyo exterior siempre que el equilibrio lo necesite

eR

Apoyo



Reacción externa

Apoyo eR

Puede ser una fuerza aplicada o no en el centro geométrico del apoyo, o bien ser un par o momento


eRCada reacción externa contribuye al equilibrio global de la estructura y aparece en un apoyo exterior siempre que el equilibrio lo necesite


Reacción externa

Apoyo eR

Tiene tres componentes referidas a un SR. en el cm. del apoyo. Representan el módulo y la posición de la reacción respecto del apoyo, y tienen el siguiente significado:

Y

X

Z

SR

X, Y: ejes coplanares a la estructura





Reacción externa

Apoyo

La componente horizontal = Representan el módulo, la dirección y el sentido de la reacción total RxR

yRLa componente vertical =

Apoyo

yR

xR

yxe RRR

Y

X

Z

SR







Reacción externa

Apoyo

La componente horizontal = Representan el módulo, la dirección y el sentido de la reacción total RxR

yRLa componente vertical =

Apoyo

yR

xR

yxe RRR

Determina la posición e (excentricidad) de la reacción respecto del centro geométrico del apoyo, de valor:

e

z

RM

e zMMomento de empotramiento en el eje z =

2

y

2

x

z

RR

Me

zM

Y

X

Z

SR







Isostáticas



Equilibrio externo


Reacción externa




Isostáticas



Equilibrio externo Ejemplo


Reacción externa




Ejemplo

Comprobación del equilibrio global de una estructura partiendo de las componentes de las reacciones en sus empotramientos



P

Ejemplo




P

Ejemplo


Reacción en el apoyo 1



P

Ejemplo

1M

1R




P

1R

Ejemplo

1e




P

1R

Ejemplo

1e1

11

R

Me




P

1R

Ejemplo

1e1

11

R

Me


Reacción en el apoyo 2



P

1R

Ejemplo

1e1

11

R

Me

2M

2R




P

1R

2R

Ejemplo

1e1

11

R

Me

2e




P

1R

2R

Ejemplo

1e1

11

R

Me

2e

2

22

R

Me




P

1R

2R

Ejemplo

1e1

11

R

Me

2e

2

22

R

Me


Reacción total resultante



P

PRR 21

1R

2R

Ejemplo

1e1

11

R

Me

2e

2

22

R

Me




P

PRR 21

Ejemplo




Isostáticas





Reacción externa




Isostáticas




Introducción

Equilibrio interno

de equilibrio

Reacción externa




Equilibrio interno



Equilibrio interno

Una estructura está equilibrada internamente cuando no es posible la traslación ni el vuelco de ninguna parte de dicha estructura en ninguna dirección



F

Ejemplo

Equilibrio interno




F

Equilibrio interno

La estabilidad interna se cumple cuando se producen unos esfuerzos adecuados en el interior de los tramos de la estructura


Ejemplo



F

Equilibrio interno

La estabilidad interna se cumple cuando se producen unos esfuerzos adecuados en el interior de los tramos de la estructura

Estos esfuerzos, llamados reacciones internas, se asocian a las secciones internas perpendiculares a la directriz del tramo


Ejemplo



Isostáticas




Introducción

Equilibrio interno

de equilibrio

Reacción externa




Isostáticas




Introducción

Equilibrio interno

de equilibrio

Reacción externa

Reacción interna




Reacción interna



Reacción interna

Cada reacción interna contribuye al equilibrio interno del conjunto y está asociada a alguna sección S, produciéndose siempre que el equilibrio lo necesite

iR

S



Reacción interna

iR

S

Puede ser una fuerza aplicada o no en el centro de masas de S, o bien ser un momento



iR


Reacción interna

iR

S


Tiene tres componentes referidas al cm. de S. Representan el módulo y la posición de respecto de S, y tienen el siguiente significado:

Y

XZ

SR


S

iR



iR


Reacción interna

Representan el módulo, la dirección y el sentido de



iR

N

V

La componente en dirección x = esfuerzo axil

La componente en dirección y = esfuerzo cortante

iR

N

V

iR

Y

XZ

SR


S

S



iR


Reacción interna

Representan el módulo, la dirección y el sentido de

Determina la posición e (excentricidad) de la reacción respecto del cm. de S, de valor:

i

z

RM

e



iR

zM

N

V

La componente en dirección x = esfuerzo axil

Un momento flector

La componente en dirección y = esfuerzo cortante

iR

N

V

zMe

iR

22

z

VN

Me

Y

XZ

SR


S

S



iR


Isostáticas




Introducción

Equilibrio interno

de equilibrio

Reacción externa

Reacción interna




Isostáticas




Ejemplo

Introducción

Equilibrio interno

de equilibrio

Reacción externa

Reacción interna




Ejemplo

Comprobación del equilibrio parcial del tramo B-C del voladizo del dibujo partiendo de las solicitaciones en B



Ejemplo

AB

C

2Pq

1P




Ejemplo

AB

C

2Pq

1P

1P2P

q

C




Ejemplo

AB

C

2Pq

1P

1P2P

q

C


Solicitaciones en B:



Ejemplo

AB

C

2Pq

1P

1P2P

q

Bm

C




Ejemplo

1P2P

q

Bm

Bv

C

AB

C

2Pq

1P




Ejemplo

1P2P

q

Bm

Bv

C

AB

C

2Pq

1P


Agrupación de las cargas exteriores:



Ejemplo

1P2P

Bm

Bv

C

AB

C

2Pq

1P

3P




Ejemplo

321 PPP

Bm

Bv

C

AB

C

2Pq

1P




Ejemplo

321 PPP

Bm

Bv

C

AB

C

2Pq

1P


Equilibrio parcial:



Ejemplo

321 PPP

Bv

C

AB

C

2Pq

1P




Ejemplo

321 PPP

Bv

C

AB

C

2Pq

1P

B

B

v

me




Ejemplo

321 PPP

321 PPP

C

AB

C

2Pq

1P

B

B

v

me

Bv




Isostáticas




Ejemplo

Introducción

Equilibrio interno

de tramo

Viga

Barra

Cable

de equilibrio

Reacción externa

Reacción interna




Isostáticas




Ejemplo

Diagrama de solici-taciones

Introducción

Equilibrio interno

de tramo

Viga

Barra

Cable

de equilibrio

Reacción externa

Reacción interna




Isostáticas




Ejemplo


Definición

Introducción

Equilibrio interno

de tramo

Viga

Barra

Cable

de equilibrio

Reacción externa

Reacción interna




Definición



Son un conjunto de gráficas que representan los valores de las solicitaciones existentes en todas las secciones de cada tramo. En las estructuras planas con acciones exteriores coplanares a la estructura, existe un diagrama de axiles, otro de cortantes, y otro de momentos flectores. En estructuras espaciales pueden existir otros tres diagramas: de flectores, de torsores y de cortantes

Definición



Definición

Estos diagramas se representan utilizando un sistema de referencia formado por unos ejes locales (x, y), propios del tramo, que se sitúan en el extremo izquierdo de éste y que se orientan con la directriz, según el dibujo




Definición


Ejes locales de un tramo




Definición


Directriz





Definición


y

S.R.

Directriz

x





Definición


y

S.R.

Directriz

x

y = eje donde se representa el valor de la solicitación





Definición


y

S.R.

Directriz

x

x = posición de la sección asociada respecto del extremo izquierdo






Definición


El criterio de signos que se utiliza varía según el tipo de solicitación. A continuación se muestra esquemáticamente el criterio empleado:

y

S.R.

Directriz

x

x = posición de la sección asociada respecto del extremo izquierdo






Isostáticas




Ejemplo


Definición

Introducción

Equilibrio interno

de tramo

Viga

Barra

Cable

de equilibrio

Reacción externa

Reacción interna




Isostáticas




Ejemplo


Definición

Criterio de signos

Introducción

Equilibrio interno

de tramo

Viga

Barra

Cable

de equilibrio

Reacción externa

Reacción interna




Isostáticas




Ejemplo


Definición

Criterio de signos

Para axiles

Introducción

Equilibrio interno

de tramo

Viga

Barra

Cable

de equilibrio

Reacción externa

Reacción interna




Para axiles



Para axiles

Depende de cómo actúe el axil sobre el elemento diferencial



Para axiles

Acción sobre la rodaja




NN

Para axiles





Para axiles

NN

+





Para axiles

NN

+

Cuando los axiles tienden a “estirar”

el elemento diferencial





+NN

Para axiles

NN







+ -NN

Para axiles

NN







+ -NN



Cuando los axiles tienden a “comprimir”


Para axiles

NN





+ -NN

Para axiles

NN

Representación del diagrama









Directriz

Para axiles

NNNN

+ -










N

S.R.Directriz

Para axiles

NNNN

+ -x










+Directriz

Para axiles

NNNNN

S.R.+ -

x










+

-

Directriz

Para axiles

NNNNN

S.R.+ -

x










Isostáticas




Ejemplo


Definición

Criterio de signos

Para axiles

Introducción

Equilibrio interno

de tramo

Viga

Barra

Cable

de equilibrio

Reacción externa

Reacción interna




Isostáticas




Ejemplo


Definición

Criterio de signos

Para axiles

Para cortantes

Introducción

Equilibrio interno

de tramo

Viga

Barra

Cable

de equilibrio

Reacción externa

Reacción interna




Para cortantes



Para cortantes

Depende de cómo actúe el cortante sobre el elemento diferencial



Para cortantes





VV

Para cortantes





Para cortantes

VV +





+

Para cortantes

VV

Cuando los cortantes tienden a girar el

elemento diferencial a favor de las agujas del reloj





VV+

Para cortantes

VV







VV+ -

Para cortantes

VV







VV+ -

Para cortantes

VV




elemento diferencial en contra de las agujas del reloj





VV+ -

Para cortantes

VV










V

Directriz

Para cortantes

VV -VV

S.R.x





+






+Directriz

Para cortantes

VV -VVV

S.R.x





+






+

-

Directriz

Para cortantes

VV -VVV

S.R.x





+






Isostáticas




Ejemplo


Definición

Criterio de signos

Para axiles

Para cortantes

Introducción

Equilibrio interno

de tramo

Viga

Barra

Cable

de equilibrio

Reacción externa

Reacción interna




Isostáticas




Ejemplo


Definición

Criterio de signos

Para axiles

Para cortantes

Para flectores

Introducción

Equilibrio interno

de tramo

Viga

Barra

Cable

de equilibrio

Reacción externa

Reacción interna




Para flectores



Para flectores

Depende de cómo actúe el flector sobre el elemento diferencial



Para flectores





MM

Para flectores





+

Para flectores

MM





+

Cuando el momento flector tiende a

comprimir las fibras superiores y a traccionar las

inferiores

Para flectores

MM





+



inferiores

Compresiones

Tracciones

Para flectores

MM





MM

Para flectores

MM

+



inferiores

Compresiones

Tracciones





MM

Para flectores

MM

-+



inferiores

Compresiones

Tracciones





MM

Para flectores

MM

-+



inferiores

Compresiones

Tracciones


traccionar las fibras superiores y a comprimir las inferiores





MM

Compresiones

Tracciones

Para flectores

MM

-+



inferiores

Compresiones

Tracciones







Directriz

Para flectores

MMMM

-+

Compresiones

TraccionesCompresiones

Tracciones

M

S.R.x



inferiores








-Directriz

Para flectores

MMMM

-+

Compresiones


Tracciones

M

S.R.x



inferiores








-

+

Directriz-

Para flectores

MMMM

+

Compresiones


Tracciones

M

S.R.x



inferiores








-

+

Directriz-

Para flectores

MMMM

+

Compresiones


Tracciones

M

S.R.x

Nota: si se sitúa un elemento diferencial entre el perímetro de la gráfica y el eje del tramo, las cabezas de los flectores que actúen en dicho elemento deben apuntar siempre a la directriz



inferiores








Isostáticas




Ejemplo


Definición

Criterio de signos

Para axiles

Para cortantes

Para flectores

Introducción

Equilibrio interno

de tramo

Viga

Barra

Cable

de equilibrio

Reacción externa

Reacción interna




Isostáticas




Ejemplo


Definición

Criterio de signos

Para axiles

Para cortantes

Para flectores

Para torsores

Introducción

Equilibrio interno

de tramo

Viga

Barra

Cable

de equilibrio

Reacción externa

Reacción interna




Para torsores



Para torsores

Depende de cómo actúe el torsor sobre el elemento diferencial



Para torsores





Para torsores

TT





Para conocer el signo del momento torsor, se sustituyen los momentos T por unos vectores u que representan el sentido del movimiento de un tornillo a lo largo de su eje cuando gira en el sentido del torsor (Regla del sacacorchos)

Para torsores


TT




Para torsores

u u


TT





El torsor es positivo cuando el sentido de u

coincide con el sentido positivo de los axiles

Para torsores

TT

u u






Para torsores

+

TT

+u u








Directriz

Para torsores

T

S.R.x

+

TT

+u u









Directriz

+

Para torsores

T

S.R.x


+

TT

+u u








Para torsores

Directriz

T

S.R.x







Para torsores

TT

Directriz

T

S.R.x







Para torsores

TT

u u

Directriz

T

S.R.x







Para torsores

El torsor es negativo cuando el sentido de u

coincide con el sentido negativo de los axiles

TT

u u

Directriz

T

S.R.x







Para torsores



-

TT

-u u

Directriz

T

S.R.x







Directriz

Para torsores

T

S.R.x



-

TT

-u u







Isostáticas




Ejemplo


Definición

Criterio de signos

Para axiles

Para cortantes

Para flectores

Para torsores

Introducción

Equilibrio interno

de tramo

Viga

Barra

Cable

de equilibrio

Reacción externa

Reacción interna




Isostáticas




Ejemplo


Definición

Criterio de signos

Para axiles

Para cortantes

Para flectores

Para torsores

Introducción

Equilibrio interno

de tramo

Viga

Barra

Cable

de equilibrio

Reacción externa

Reacción interna

Comprobación de resultados






Para verificar si unos diagramas de solicitaciones dados han sido resueltos correctamente, se pueden realizar dos comprobaciones. Una desde el punto de vista cualitativo y otra desde el cuantitativo





Desde el punto de vista cualitativo se puede comprobar si la forma del diagrama de cortantes es coherente con la de flectores. También se puede comprobar si las cargas exteriores con coherentes con la forma del diagrama de cortantes. Las relaciones entre estos factores se deducen de equilibrar un elemento diferencial cualquiera sobre el tramo. Estas relaciones también se pueden emplear para dibujar los diagramas de solicitaciones a partir de las cargas exteriores



Desde el punto de vista cuantitativo, se puede calcular la solicitación en alguna sección y comparar este valor con el del diagrama en el mismo lugar


Desde el punto de vista cualitativo se puede comprobar si la forma del diagrama de cortantes es coherente con la de flectores. También se puede comprobar si las cargas exteriores con coherentes con la forma del diagrama de cortantes. Las relaciones entre estos factores se deducen de equilibrar un elemento diferencial cualquiera sobre el tramo. Estas relaciones también se pueden emplear para dibujar los diagramas de solicitaciones a partir de las cargas exteriores



Isostáticas




Ejemplo


Definición

Criterio de signos

Para axiles

Para cortantes

Para flectores

Para torsores

Introducción

Equilibrio interno

de tramo

Viga

Barra

Cable

de equilibrio

Reacción externa

Reacción interna





Isostáticas




Ejemplo


Definición

Criterio de signos

Para axiles

Para cortantes

Para flectores

Para torsores

Introducción

Equilibrio interno

de tramo

Viga

Barra

Cable

de equilibrio

Reacción externa

Reacción interna


Cualitativamente




Cualitativamente



Cualitativamente

Se pretende comprobar si los diagramas de cortantes son coherentes con los de flectores mediante una comparación visual



Cualitativamente


Esta comprobación está basada en las ecuaciones diferenciales de equilibrio que se obtienen estabilizando un elemento diferencial genérico sometido a un estado cualquiera de acciones exteriores



Cualitativamente

La deducción de estas ecuaciones se muestra a continuación


Esta comprobación está basada en las ecuaciones diferenciales de equilibrio que se obtienen estabilizando un elemento diferencial genérico sometido a un estado cualquiera de acciones exteriores



Isostáticas




Ejemplo


Definición

Criterio de signos

Para axiles

Para cortantes

Para flectores

Para torsores

Introducción

Equilibrio interno

de tramo

Viga

Barra

Cable

de equilibrio

Reacción externa

Reacción interna


Cualitativamente




Isostáticas




Ejemplo


Definición

Criterio de signos

Para axiles

Para cortantes

Para flectores

Para torsores

Introducción

Equilibrio interno

de tramo

Viga

Barra

Cable

de equilibrio

Reacción externa

Reacción interna


Cualitativamente

Obtención ecuaciones diferenciales equilibrio




Obtención de las ecuaciones diferenciales de equilibrio



Obtención de las ecuaciones diferenciales de equilibrioEstas ecuaciones se obtienen partiendo de una parte cualquiera de un tramo equilibrado sometido a una carga repartida genérica



V

M


PP

P

MM

VV

x

Estas ecuaciones se obtienen partiendo de una parte cualquiera de un tramo equilibrado sometido a una carga repartida genérica



V

M


PP

P

MM

VV

x


Se realizan las siguientes operaciones:



V

M


1º Simplificar la función P que consiste en:

PP

P

MM

VV

x





V

M


- Uniformizar la función P

PP

P

MM

VV

x






(0<K<1)


V

M


PP

P

MM

VV

x

PKP






(0<K<1)


V

M


P

MM

VV

x

PKP






(0<K<1)


V

M


- Concentrar P en forma de una carga puntual

P

MM

VV

x

PKP






(0<K<1)


V

M



P

MM

VV

x

PKP

x)PKP(







V

M



MM

VV

x

x)PKP(







V

M


- Concentrar P en forma de una carga puntual2º Aproximar la figura a un elemento diferencial

MM

VV

x

x)PKP(






:0xsi


V

M



MM

VV

x

x)PKP(




2º Aproximar la figura a un elemento diferencial




V

M



MM

VV

x

x)PKP( :0xsi

0P








V

M



MM

VV

x

x)PKP( :0xsi

0P

dMM








V

M



MM

VV

x

x)PKP( :0xsi

0P

dMM

dVV








V

M



MM

VV

x

x)PKP( :0xsi

0P

dMM

dVV





Elemento diferencial:



:0xsi

0P

dMM

dVV V

M

V+ dV

P.dx

dx


V

M



MM

VV

x

x)PKP(

M + dM







V

M

V+ dV

P.dx

dx

Esfuerzos de un elemento diferencial


V

M



MM

VV

x

x)PKP(

M + dM

:0xsi

0P

dMM

dVV







V

M

V+ dV

P.dx

dx



V

M



3º Equilibrar el elemento diferencial

MM

VV

x

x)PKP(

M + dM

:0xsi

0P

dMM

dVV







V

M

V+ dV

P.dx

dx


0FV





M + dM







V

M

V+ dV

P.dx

dx


0FVPdx

dV





M + dM







V

M

V+ dV

P.dx

dx


0FVPdx

dV

1ª ec. diferencial





M + dM







V

M

V+ dV

P.dx

dx


0FVPdx

dV

1ª ec. diferencial


A




M + dM







V

M

V+ dV

P.dx

dx


0FV

0MA

Pdx

dV

1ª ec. diferencial


A




M + dM







V

M

V+ dV

P.dx

dx


0FV

0MA

Pdx

dV

1ª ec. diferencial

Vdx

dM


A




M + dM







V

M

V+ dV

P.dx

dx


0FV

0MA

Pdx

dV

1ª ec. diferencial

Vdx

dM

2ª ec. diferencial


A




M + dM







V

M

V+ dV

P.dx

dx


0FV

0MA

Pdx

dV

1ª ec. diferencial

Vdx

dM

2ª ec. diferencial


A




M + dM





Relacionando ambas ecuaciones:



V

M

V+ dV

P.dx

dx


0FV

0MA

Pdx

dV

1ª ec. diferencial

Vdx

dM

2ª ec. diferencialP

dx

Md2

2


A




M + dM







V

M

V+ dV

P.dx

dx


0FV

0MA

Pdx

dV

1ª ec. diferencial

Vdx

dM


dx

Md2

2

3ª ec. diferencial


A




M + dM







Isostáticas




Ejemplo


Definición

Criterio de signos

Para axiles

Para cortantes

Para flectores

Para torsores

Introducción

Equilibrio interno

de tramo

Viga

Barra

Cable

de equilibrio

Reacción externa

Reacción interna


Cualitativamente





Isostáticas




Ejemplo


Definición

Criterio de signos

Para axiles

Para cortantes

Para flectores

Para torsores

Introducción

Equilibrio interno

de tramo

Viga

Barra

Cable

de equilibrio

Reacción externa

Reacción interna


Cualitativamente


Aplicaciones




Aplicaciones



Aplicaciones

Las ecuaciones diferenciales descritas expresan la relación que existe entre el cortante, el momento flector y la carga exterior para garantizar el equilibrio interno de la estructura. De estas tres ecuaciones, las dos primeras interesan especialmente, cuyas relaciones se muestran a continuación:



Pdx

dV

1º ec. diferencial

Aplicaciones




Pdx

dV

1º ec. diferencial

Aplicaciones

Significa que el valor de la carga repartida en la sección coincide con la pendiente del diagrama de V en el mismo punto con el signo cambiado




Pdx

dV

1º ec. diferencial +

-

Aplicaciones

Diagrama de carga repartida P





Pdx

dV


+

-

-

Aplicaciones


Diagrama de cortantes V





Pdx

dV


+

-

-

Aplicaciones







Pdx

dV


+

-

-

Aplicaciones


0tan Diagrama de cortantes V





Pdx

dV


+

-

-

Aplicaciones


tan

0tan Diagrama de cortantes V





Pdx

dV

1º ec. diferencial

+

-

Aplicaciones






Pdx

dV

1º ec. diferencial

+

-

Aplicaciones

Vdx

dM

2º ec. diferencial






Pdx

dV

1º ec. diferencial

+

-

Aplicaciones

Vdx

dM

2º ec. diferencial

Significa que el valor de V en la sección coincide con la pendiente del diagrama de M en el mismo punto






Pdx

dV

1º ec. diferencial

+

-

Aplicaciones

Vdx

dM

2º ec. diferencial

+

-Diagrama de flectores M







Pdx

dV

Vdx

dM

1º ec. diferencial

2º ec. diferencial

+

+

-

-

Aplicaciones

Diagrama de flectores M







Pdx

dV

Vdx

dM

1º ec. diferencial

2º ec. diferencial

+

+

-

-

Aplicaciones








Pdx

dV

Vdx

dM

1º ec. diferencial

2º ec. diferencial

+

-

Aplicaciones

+

-


0tan







Pdx

dV

Vdx

dM

1º ec. diferencial

2º ec. diferencial

+

-

Aplicaciones

tan

+

-


0tan







Pdx

dV

Vdx

dM

1º ec. diferencial

2º ec. diferencial

+

+

-

-

Aplicaciones








Pdx

dV

Vdx

dM

1º ec. diferencial

2º ec. diferencial

+

+

-

-

Aplicaciones


Donde V=0, M es máximo o mínimo







Pdx

dV

Vdx

dM

1º ec. diferencial

2º ec. diferencial

+

+

-

-

Aplicaciones










Isostáticas




Ejemplo


Definición

Criterio de signos

Para axiles

Para cortantes

Para flectores

Para torsores

Introducción

Equilibrio interno

de tramo

Viga

Barra

Cable

de equilibrio

Reacción externa

Reacción interna


Cualitativamente


Aplicaciones




Isostáticas




Ejemplo


Definición

Criterio de signos

Para axiles

Para cortantes

Para flectores

Para torsores

Introducción

Equilibrio interno

de tramo

Viga

Barra

Cable

de equilibrio

Reacción externa

Reacción interna


Cualitativamente


Aplicaciones

Casos particula-res




Isostáticas




Ejemplo


Definición

Criterio de signos

Para axiles

Para cortantes

Para flectores

Para torsores

Introducción

Equilibrio interno

de tramo

Viga

Barra

Cable

de equilibrio

Reacción externa

Reacción interna


Cualitativamente


Aplicaciones

Casos particula-res


Caso 1



Caso 1



Caso 1

Cuando no existe carga repartida en el tramo y el cortante es positivo



Pdx

dV

Vdx

dM

1º ec. diferencial

2º ec. diferencial

P

V

M

+

+

+

-

-

-

Caso 1






Pdx

dV

Vdx

dM

1º ec. diferencial

2º ec. diferencial

+

+

+

-

-

-

P = 0

Caso 1


P

V

M





Pdx

dV

Vdx

dM

1º ec. diferencial

2º ec. diferencial

+

+

+

-

-

-

P = 0

Pendiente cte=0

Caso 1


P

V

M





Pdx

dV

Vdx

dM

1º ec. diferencial

2º ec. diferencial

+

+

+

-

-

-

P = 0

Pendiente cte=0

Pendiente cte Función 1er. grado

Caso 1


P

V

M





Isostáticas




Ejemplo


Definición

Criterio de signos

Para axiles

Para cortantes

Para flectores

Para torsores

Introducción

Equilibrio interno

de tramo

Viga

Barra

Cable

de equilibrio

Reacción externa

Reacción interna


Cualitativamente


Aplicaciones

Casos particula-res


Caso 1



Isostáticas




Ejemplo


Definición

Criterio de signos

Para axiles

Para cortantes

Para flectores

Para torsores

Introducción

Equilibrio interno

de tramo

Viga

Barra

Cable

de equilibrio

Reacción externa

Reacción interna


Cualitativamente


Aplicaciones

Casos particula-res


Caso 1

Caso 2



Caso 2



Caso 2

Cuando no existe carga repartida en el tramo y el cortante es negativo



Pdx

dV

Vdx

dM

1º ec. diferencial

2º ec. diferencial

+

+

+

-

-

-

Caso 2


P

V

M





Pdx

dV

Vdx

dM

1º ec. diferencial

2º ec. diferencial

+

+

+

-

-

-

P = 0

Caso 2


P

V

M





Pdx

dV

Vdx

dM

1º ec. diferencial

2º ec. diferencial

+

+

+

-

-

-

P = 0

Pendiente cte=0

Caso 2


P

V

M





Pdx

dV

Vdx

dM

1º ec. diferencial

2º ec. diferencial

+

+

+

-

-

-

P = 0

Pendiente cte=0

Pendiente cte Función 1er. grado

Caso 2


P

V

M





Isostáticas




Ejemplo


Definición

Criterio de signos

Para axiles

Para cortantes

Para flectores

Para torsores

Introducción

Equilibrio interno

de tramo

Viga

Barra

Cable

de equilibrio

Reacción externa

Reacción interna


Cualitativamente


Aplicaciones

Casos particula-res


Caso 1

Caso 2



Isostáticas




Ejemplo


Definición

Criterio de signos

Para axiles

Para cortantes

Para flectores

Para torsores

Introducción

Equilibrio interno

de tramo

Viga

Barra

Cable

de equilibrio

Reacción externa

Reacción interna


Cualitativamente


Aplicaciones

Casos particula-res


Caso 1

Caso 2

Caso 3



Caso 3



Caso 3

Cuando existe una carga repartida uniformemente en el tramo en sentido descendente



Pdx

dV

Vdx

dM

1º ec. diferencial

2º ec. diferencial

+

+

+

-

-

-

Caso 3

P

V

M






Pdx

dV

Vdx

dM

1º ec. diferencial

2º ec. diferencial

+

+

+

-

-

-

P= cte

Caso 3

P

V

M






Pdx

dV

Vdx

dM

1º ec. diferencial

2º ec. diferencial

+

+

+

-

-

-

P= cte

Caso 3

P

V

M

Función de 1er grado






Pdx

dV

Vdx

dM

1º ec. diferencial

2º ec. diferencial

+

+

+

-

-

-

P= cte

Función de 2º grado

Caso 3

P

V

M







Pdx

dV

Vdx

dM

1º ec. diferencial

2º ec. diferencial

+

+

+

-

-

-

P= cte


Caso 3

P

V

M








Pdx

dV

Vdx

dM

1º ec. diferencial

2º ec. diferencial

+

+

+

-

-

-

P= cte

Pendiente >0


Caso 3

P

V

M








Pdx

dV

Vdx

dM

1º ec. diferencial

2º ec. diferencial

+

+

+

-

-

-

P= cte

Pendiente >0 Pendiente <0


Caso 3

P

V

M








Isostáticas




Ejemplo


Definición

Criterio de signos

Para axiles

Para cortantes

Para flectores

Para torsores

Introducción

Equilibrio interno

de tramo

Viga

Barra

Cable

de equilibrio

Reacción externa

Reacción interna


Cualitativamente


Aplicaciones

Casos particula-res


Caso 1

Caso 2

Caso 3



Isostáticas




Ejemplo


Definición

Criterio de signos

Para axiles

Para cortantes

Para flectores

Para torsores

Introducción

Equilibrio interno

de tramo

Viga

Barra

Cable

de equilibrio

Reacción externa

Reacción interna


Cualitativamente

Cuantitavamente


Aplicaciones

Casos particula-res


Caso 1

Caso 2

Caso 3



Cuantitativamente



Cuantitativamente


Se trata de comprobar que los valores de las solicitaciones de unos diagramas dados están correctamente calculados. Para ello, se puede cortar la estructura por una sección S cualquiera y, mediante las ecuaciones de equilibrio, comprobar que las partes están equilibradas


Cuantitativamente

Ejemplo: verificación de las solicitaciones en una sección S




M P

Cuantitativamente





M P

Diagrama de momentos

Cuantitativamente





M P


Cuantitativamente

Diagrama de cortantes





M P


Cuantitativamente



Diagrama de axiles




M P

Sección S


Cuantitativamente



Diagrama de axiles




M P

Sección S


Cuantitativamente


Sm

SV

SN


Diagrama de axiles




M P

Comprobación de los valores de las solicitaciones:

verificación del equilibrio de una parte de la estructura

Sección S


Cuantitativamente


Sm

SV

SN


Diagrama de axiles




M P M



Sección S

P


Cuantitativamente


Sm

SV

SN

Sm

SN


Diagrama de axiles




M P M



Sección S

P


Cuantitativamente


Sm

SV

SN

Sm

SN


0MSDiagrama

de axiles




M P M



Sección S

P


Cuantitativamente


Sm

SV

SN

Sm

SN


0MS

0Fy

Diagrama de axiles




Isostáticas




Ejemplo


Definición

Criterio de signos

Para axiles

Para cortantes

Para flectores

Para torsores

Introducción

Equilibrio interno

de equilibrio

Reacción externa

Reacción interna


Cualitativamente

Cuantitavamente


Aplicaciones

Casos particula-res


Caso 1

Caso 2

Caso 3



Isostáticas




Ejemplo


Definición

Criterio de signos

Para axiles

Para cortantes

Para flectores

Para torsores

Introducción

Equilibrio interno

de tramo

de equilibrio

Reacción externa

Reacción interna


Cualitativamente

Cuantitavamente


Aplicaciones

Casos particula-res


Caso 1

Caso 2

Caso 3



Isostáticas




Ejemplo


Definición

Criterio de signos

Para axiles

Para cortantes

Para flectores

Para torsores

Introducción

Equilibrio interno

de tramo Cable

de equilibrio

Reacción externa

Reacción interna


Cualitativamente

Cuantitavamente


Aplicaciones

Casos particula-res


Caso 1

Caso 2

Caso 3



Cable



Cable

A B



Cable

Acciones sobre el tramo

A B



Cable


En el vano

A B



Cable


En el vanoqCargas uniformemente repartidas

A B



Cable



q

A B



Cable



A B



Cable



PCargas puntuales

A B



Cable



PCargas puntuales

P

A B



Cable



PCargas puntuales

A B



Cable



PCargas puntuales

En los extremos del tramo

A B



Cable



PCargas puntuales

En los extremos del tramo Esfuerzos axiles

A B

BAN



Cable



PCargas puntuales

En los extremos del tramo Esfuerzos axiles

A B

BAN

BAN



Cable


En el vano


qCargas uniformemente repartidas

PCargas puntuales

q P

Esfuerzos axiles

A B

BAN

BAN



Cable


En el vano



PCargas puntuales

El cable sólo puede trabajar a tracción. Aquel con zonas comprimidas por la acción conjunta de todas las cargas, estará desequilibrado

q P

Esfuerzos axiles

A B

BAN

BAN



Cable


En el vano



PCargas puntuales

En caso de utilizar el principio de superposición para calcular los esfuerzos internos, no importará que existan regiones comprimidas en el cable por acción de algún estado de cargas

El cable sólo puede trabajar a tracción. Aquel con zonas comprimidas por la acción conjunta de todas las cargas, estará desequilibrado

q P

Esfuerzos axiles

A B

BAN

BAN



Isostáticas




Ejemplo


Definición

Criterio de signos

Para axiles

Para cortantes

Para flectores

Para torsores

Introducción

Equilibrio interno

de tramo Cable

de equilibrio

Reacción externa

Reacción interna


Cualitativamente

Cuantitavamente


Aplicaciones

Casos particula-res


Caso 1

Caso 2

Caso 3



Isostáticas




Ejemplo


Definición

Criterio de signos

Para axiles

Para cortantes

Para flectores

Para torsores

Introducción

Equilibrio interno

de tramo Barra

Cable

de equilibrio

Reacción externa

Reacción interna


Cualitativamente

Cuantitavamente


Aplicaciones

Casos particula-res


Caso 1

Caso 2

Caso 3



Barra



Barra

A B




En el vano

Barra

A B





Barra

A B





q

Barra

A B





Barra

A B





PCargas puntuales

Barra

A B





PCargas puntuales

P

Barra

A B





PCargas puntuales

Barra

A B





PCargas puntuales


Barra

A B





PCargas puntuales


Barra

Esfuerzos axiles

A BA B

BAN





PCargas puntuales


Barra

Esfuerzos axiles

A B

BAN

BAN





PCargas puntuales


Barra

q P

Esfuerzos axiles

A B

BAN

BAN





PCargas puntuales


Barra

Los barras no tienen acciones que les obliguen a trabajar a flexión

q P

Esfuerzos axiles

A B

BAN

BAN



Isostáticas




Ejemplo


Definición

Criterio de signos

Para axiles

Para cortantes

Para flectores

Para torsores

Introducción

Equilibrio interno

de tramo Barra

Cable

de equilibrio

Reacción externa

Reacción interna


Cualitativamente

Cuantitavamente


Aplicaciones

Casos particula-res


Caso 1

Caso 2

Caso 3



Isostáticas




Ejemplo


Definición

Criterio de signos

Para axiles

Para cortantes

Para flectores

Para torsores

Introducción

Equilibrio interno

de tramo

Viga

Barra

Cable

de equilibrio

Reacción externa

Reacción interna


Cualitativamente

Cuantitavamente


Aplicaciones

Casos particula-res


Caso 1

Caso 2

Caso 3



Viga



Viga

A B



Viga


A B



Viga


En el vano

A B



Viga


En el vano

Las específicas de los tramos barra

A B



Viga

q P


En el vano


A B

BAN



Viga


En el vano


A B



Viga



perpendiculares a la directriz


A B



Viga

q





A B



Viga





A B



Viga




PCargas puntuales perpendiculares a la directriz


A B



Viga






P

A B



Viga






A B



Viga




PCargas puntuales perpendiculares a la directrizMomentos puntuales M


A B



Viga






M

A B



Viga






A B



Viga


En el vano


qCargas uniformemente repartidas perpendiculares a la directriz



A B



Viga


En el vano




Momentos flectores BAAB M,M


A B



Viga


En el vano





BAMABM


A B



Viga


En el vano






A B



Viga


En el vano





qM

P

q

P


A B

BAMABM

BAN



qM

P

Viga


En el vano





Todas las acciones descritas actúan en el plano de simetría de la estructura, y pueden producir en la viga tres diagramas (de axiles, cortantes y flectores). Cuando estas acciones no son coplanares, el número de diagramas aumenta hasta tres más (de momentos, cortantes y torsores)

q

P


A

BAMABM

B

BAN



Isostáticas




Ejemplo


Definición

Criterio de signos

Para axiles

Para cortantes

Para flectores

Para torsores

Introducción

Equilibrio interno

de tramo

Viga

Barra

Cable

de equilibrio

Reacción externa

Reacción interna


Cualitativamente

Cuantitavamente


Aplicaciones

Casos particula-res


Caso 1

Caso 2

Caso 3



Isostáticas




Ejemplo


Definición

Criterio de signos

Para axiles

Para cortantes

Para flectores

Para torsores

Introducción

Equilibrio interno

de tramo

Viga

Barra

Cable

de equilibrio

Reacción externa

Reacción interna


Cualitativamente

Cuantitavamente


Aplicaciones

Casos particula-res


Caso 1

Caso 2

Caso 3

Autoevaluación


- Pregunta 1

- Pregunta 2

- Pregunta 3

- Pregunta 4

- Pregunta 5


a) b)

c) d)

Ninguna de las anteriores es correcta

Autoevaluación

- Pregunta 7

- Pregunta 6 Si las solicitaciones en una sección S son un cortante Vy un flector M, entonces la reacción de S es V y es coplanar a S

Señalar la afirmación correcta

Para conocer el signo de un torsor, se sustituye T por unos vectores que representan el sentido del movimiento de un tornillo a lo largo de su eje cuando gira en el sentido del T

El valor de la carga repartida en una sección coincide con la pendiente del diagrama de V en el mismo punto

a) b)

c) d)

- Pregunta 1

- Pregunta 2

- Pregunta 3

- Pregunta 4

- Pregunta 5

- Pregunta 6

- Pregunta 7


Autoevaluación


Donde el momento es cero el cortante es máximo

Si las solicitaciones en una sección S son un cortante Vy un torsor T, entonces la reacción de S es V y no es coplanar a S

Si una estructura isostática asienta, se alteran los diagramas de solicitaciones


- Pregunta 1

- Pregunta 2

- Pregunta 3

- Pregunta 4

- Pregunta 5

- Pregunta 6

- Pregunta 7

a) b)

c) d)



Autoevaluación

P= 1000Kg

L= 5 m

5000Kg.m

Los casos a) y b) son correctos

El momento flector en la base del pilar es:

La forma del diagrama de momentos es:

a) b)

c) d)

- Pregunta 1

- Pregunta 2

- Pregunta 3

- Pregunta 4

- Pregunta 5

- Pregunta 6

- Pregunta 7





Autoevaluación

Las reacciones exteriores de una estructura isostática dependen de las dilataciones de los tramos

El cortante en una sección coincide con el valor de la pendiente del diagrama de momentos en el mismo lugar

a) b)

c) d)

- Pregunta 1

- Pregunta 2

- Pregunta 3

- Pregunta 4

- Pregunta 5

- Pregunta 6

- Pregunta 7

Observando estos diagramas, se deduce que:



Autoevaluación

son coherentes entre sí

+

+

-

- V

M

no son coherentes entre sí porque la gráfica del

cortante debería ser una parábola de 2º grado


momento debería ser una parábola de 2º grado

a) b)

c) d)

- Pregunta 1

- Pregunta 2

- Pregunta 3

- Pregunta 4

- Pregunta 5

- Pregunta 6

- Pregunta 7


Autoevaluación

+

+

--


q

M

Observando el dibujo se deduce que:

no son coherentes entre sí porque el sentido de q

debería ser hacia arriba


no son coherentes entre sí porque la gráfica del momento

debería ser positiva


a) b)

c) d)

- Pregunta 1

- Pregunta 2

- Pregunta 3

- Pregunta 4

- Pregunta 5

- Pregunta 6

- Pregunta 7


Autoevaluación

Suponiendo que la figura está en equilibrio, se observa que:

el tramo puede ser un cable dependiendo de los

valores de las tres fuerzas

F3F1 F2

el tramo no puede ser una viga

a), b) son correctas Ninguna de las anteriores es correcta


Isostáticas




Ejemplo


Definición

Criterio de signos

Para axiles

Para cortantes

Para flectores

Para torsores

Introducción

Equilibrio interno

de tramo

Viga

Barra

Cable

de equilibrio

Reacción externa

Reacción interna


Cualitativamente

Cuantitavamente


Aplicaciones

Casos particula-res

Autoevaluación


Caso 1

Caso 2

Caso 3

Índice (1/3)


Indice del capítuloIndice del capítulo

Anexos


- Pregunta 1

- Pregunta 2

- Pregunta 3

- Pregunta 4

- Pregunta 5


a) b)

c) d)


Autoevaluación

- Pregunta 7





Respuesta incorrecta

Pulsar para volver


- Pregunta 1

- Pregunta 2

- Pregunta 3

- Pregunta 4

- Pregunta 5


a) b)

c) d)


Autoevaluación

- Pregunta 7





Respuesta correcta

Pulsar para volver


- Pregunta 1

- Pregunta 2

- Pregunta 3

- Pregunta 4

- Pregunta 5


a) b)

c) d)


Autoevaluación

- Pregunta 7






Pulsar para volver

a) b)

c) d)

- Pregunta 1

- Pregunta 2

- Pregunta 3

- Pregunta 4

- Pregunta 5

- Pregunta 6

- Pregunta 7


Autoevaluación







Pulsar para volver

a) b)

c) d)

- Pregunta 1

- Pregunta 2

- Pregunta 3

- Pregunta 4

- Pregunta 5

- Pregunta 6

- Pregunta 7


Autoevaluación






Respuesta correcta

Pulsar para volver

- Pregunta 1

- Pregunta 2

- Pregunta 3

- Pregunta 4

- Pregunta 5

- Pregunta 6

- Pregunta 7

a) b)

c) d)





Autoevaluación

P= 1000Kg

L= 5 m

5000Kg.m



Pulsar para volver

- Pregunta 1

- Pregunta 2

- Pregunta 3

- Pregunta 4

- Pregunta 5

- Pregunta 6

- Pregunta 7

a) b)

c) d)





Autoevaluación

P= 1000Kg

L= 5 m

5000Kg.m


Respuesta correcta

Pulsar para volver

a) b)

c) d)

- Pregunta 1

- Pregunta 2

- Pregunta 3

- Pregunta 4

- Pregunta 5

- Pregunta 6

- Pregunta 7





Autoevaluación



Respuesta correcta

Pulsar para volver

a) b)

c) d)

- Pregunta 1

- Pregunta 2

- Pregunta 3

- Pregunta 4

- Pregunta 5

- Pregunta 6

- Pregunta 7





Autoevaluación




Pulsar para volver

a) b)

c) d)

- Pregunta 1

- Pregunta 2

- Pregunta 3

- Pregunta 4

- Pregunta 5

- Pregunta 6

- Pregunta 7




Autoevaluación


+

+

-

- V

M






Pulsar para volver

a) b)

c) d)

- Pregunta 1

- Pregunta 2

- Pregunta 3

- Pregunta 4

- Pregunta 5

- Pregunta 6

- Pregunta 7




Autoevaluación


+

+

-

- V

M





Respuesta correcta

Pulsar para volver

a) b)

c) d)

- Pregunta 1

- Pregunta 2

- Pregunta 3

- Pregunta 4

- Pregunta 5

- Pregunta 6

- Pregunta 7


Autoevaluación

+

+

--


q

M









Pulsar para volver

a) b)

c) d)

- Pregunta 1

- Pregunta 2

- Pregunta 3

- Pregunta 4

- Pregunta 5

- Pregunta 6

- Pregunta 7


Autoevaluación

+

+

--


q

M








Respuesta correcta

Pulsar para volver

a) b)

c) d)

- Pregunta 1

- Pregunta 2

- Pregunta 3

- Pregunta 4

- Pregunta 5

- Pregunta 6

- Pregunta 7


Autoevaluación

+

+

--


q

M









Pulsar para volver

a) b)

c) d)

- Pregunta 1

- Pregunta 2

- Pregunta 3

- Pregunta 4

- Pregunta 5

- Pregunta 6

- Pregunta 7


Autoevaluación




F3F1 F2



Respuesta correcta

Pulsar para volver

a) b)

c) d)

- Pregunta 1

- Pregunta 2

- Pregunta 3

- Pregunta 4

- Pregunta 5

- Pregunta 6

- Pregunta 7


Autoevaluación




F3F1 F2




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Cálculo de diagramas de solicitaciones de estructuras ... del capítulo 3 Los tipos de estructuras...

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