Cálculo III. Módulo III: Integrales de funciones de varias ...Módulo III: Integrales de funciones...

Prof. Felvir Rivas. Correo electrónico: [email protected]. Telf. 0424 5237747. Blog: http://terepaima.unellez.edu.ve/blogprof/index.php?accion=inicio&idBlog=13281 Página 1

Cálculo III.

Módulo III: Integrales de funciones de varias variables.

Hasta ahora hemos estudiado las funciones de varias variables, su definición, su

dominio, sus límites y sus derivadas, sin embargo, es lógico preguntar ¿Cuál es la

forma en que estas funciones pueden integrarse y comprender su significado

geométrico? En el cálculo de una variable real la integración se define a partir de

una región plana de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑦, donde la variable independiente está

definida en un intervalo abierto (𝑎, 𝑏). Para funciones de dos variables, como el

gráfico representa una superficie, la integración se define a partir de una región en

el plano 𝑥𝑦. En ambos casos las integrales son el límite de las sumas de

Riemann.

Integrales dobles de funciones reales de dos variables reales.

Las sumas de Riemann para la integral de una función 𝑓(𝑥) de una variable se

obtiene particionando un intervalo finito en pequeños subintervalos, multiplicando

el ancho de cada subintervalo por el valor de 𝑓 en un punto 𝑐𝑘 dentro del

subintervalo, y luego sumando todos estos productos. Un método similar de

particionar, multiplicar y sumar se usa para construir integrales dobles.

Sea una función de dos variables, definida en la región rectangular 𝑅 =

{(𝑥, 𝑦): 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑}. Tomemos una partición 𝑃 de 𝑅 considerando

rectas paralelas a los ejes 𝑥 y 𝑦, esto divide a 𝑅 en subrectángulos, digamos 𝑛,

que denotaremos por 𝑅𝑘. Sean ∆𝑥𝑘 y ∆𝑦𝑘 las longitudes de los lados de 𝑅𝑘 y

sea ∆𝐴 = ∆𝑥𝑘∆𝑦𝑘 su área. Si numeramos las pequeñas partes que dividen a 𝑅

en cierto orden, entonces sus áreas están dadas por ∆𝐴1, ∆𝐴2, ⋯ , ∆𝐴𝑛, donde

∆𝐴𝑘 es el área del 𝑘-ésimo pequeño rectángulo. Sean (𝑥𝑘 , 𝑦𝑘) un punto

arbitrario en la 𝑘-ésima región 𝑅𝑘 y 𝑓(𝑥𝑘 , 𝑦𝑘) el valor de la función en esa

mailto:[email protected]


región. El producto 𝑆𝑛 = ∑ 𝑓(𝑥𝑘 , 𝑦𝑘)∆𝐴𝑘𝑛𝑘=1 representa la suma de Riemann de

la función 𝑓(𝑥, 𝑦) asociada a la partición 𝑃. Dependiendo de la elección de

(𝑥𝑘 , 𝑦𝑘) en el 𝑘-ésimo pequeño rectángulo, obtenemos diferentes valores de 𝑆𝑛.

Definición (Integral doble): Se dice que una función 𝑓 de dos variables es

integrable en una región rectangular 𝑅, si 𝑓 está definida en 𝑅 y existe el siguiente

límite

lim∆𝐴𝑘→0

∑ 𝑓(𝑥𝑘 , 𝑦𝑘)∆𝐴𝑘

𝑛

𝑘=1

= ∬𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴

𝑅

El valor del límite recibe el nombre de integral doble de 𝑓 en 𝑅.

Teorema (Condición suficiente de integrabilidad): Si la función 𝑓 es continua

en la región 𝑅 cerrada y acotada, entonces 𝑓 es integrable sobre 𝑅.

Ahora bien, geométricamente podemos interpretar la integral doble como sigue:

Si 𝑓(𝑥, 𝑦) = 1 en 𝑅, entonces Área(𝑅) = ∬ 𝑑𝐴𝑅

.

Si 𝑓(𝑥, 𝑦) ≥ 0 en 𝑅, entonces ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴𝑅

representa el volumen de la

región sólida tridimensional en el plano 𝑥𝑦 acotada abajo por 𝑅 y arriba por

la superficie 𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦).

Si 𝑓(𝑥, 𝑦) ≥ 𝑔(𝑥, 𝑦) en 𝑅, entonces ∬ [𝑓(𝑥, 𝑦) − 𝑔(𝑥, 𝑦)]𝑑𝐴𝑅

representa el volumen de la región sólida tridimensional acotada entre las

superficies 𝑓(𝑥, 𝑦) y 𝑔(𝑥, 𝑦), siendo 𝑅 la región del plano 𝑧 = 0 cuya

frontera es la proyección de la curva intersección de ambas superficies.



Proposición (Propiedades fundamentales de las integrales dobles): La

integral doble hereda la mayoría de las propiedades de la integral de una variable

real.

1. La integral doble es lineal, es decir,

a. ∬ 𝑘𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴𝑅

= 𝑘 ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴𝑅

b. ∬ [𝑓(𝑥, 𝑦) + 𝑔(𝑥, 𝑦)]𝑑𝐴𝑅

= ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴𝑅

+ ∬ 𝑔(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴𝑅

2. La integral doble es aditiva en rectángulos que se traslapan sólo en un

segmento de recta.

∬𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴

𝑅


𝑅1


𝑅2

3. Se cumple la propiedad de comparación. Si 𝑓(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑔(𝑥, 𝑦) para todo

(𝑥, 𝑦) en 𝑅, entonces


𝑅

≤ ∬𝑔(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴

𝑅

4. Si la función 𝑓(𝑥, 𝑦) es integrable en la región 𝑅 y 𝑚 y 𝑀, son

respectivamente los valores mínimo y máximo absoluto de 𝑓 en 𝑅, es

decir, 𝑚 ≤ 𝑓(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑀, ∀(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅, entonces

𝑚𝐴(𝑅) ≤ ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴𝑅

≤ 𝑀𝐴(𝑅), donde es el área de la región 𝑅.

5. Si 𝑓(𝑥, 𝑦) ≥ 0, ∀(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷 y 𝐷 ⊆ 𝑅 entonces


𝐷

≤ ∬𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴

𝑅

Todas estas propiedades se cumplen en conjuntos más generales que los

rectángulos.

Ejemplo: Sea 𝑓 la función por partes definida por



𝑓(𝑥, 𝑦) = {1, 0 ≤ 𝑥 ≤ 3, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1 2, 0 ≤ 𝑥 ≤ 3, 1 ≤ 𝑦 ≤ 2 3, 0 ≤ 𝑥 ≤ 3, 2 ≤ 𝑦 ≤ 3

Calcule ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴𝑅

donde 𝑅 = {(𝑥, 𝑦): 0 ≤ 𝑥 ≤ 3, 0 ≤ 𝑦 ≤ 3}

Solución.

Definamos los siguientes rectángulos:

𝑅1 = {(𝑥, 𝑦): 0 ≤ 𝑥 ≤ 3, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1}

𝑅2 = {(𝑥, 𝑦): 0 ≤ 𝑥 ≤ 3, 1 ≤ 𝑦 ≤ 2}

𝑅3 = {(𝑥, 𝑦): 0 ≤ 𝑥 ≤ 3, 2 ≤ 𝑦 ≤ 3}

Utilizando la propiedad aditiva tenemos:


𝑅


𝑅1

+ ∬𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴

𝑅2

+ ∬𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴

𝑅3


𝑅

= 1 ∙ 𝐴(𝑅1) + 2 ∙ 𝐴(𝑅2) + 3 ∙ 𝐴(𝑅3)


𝑅

= 1 ∙ 3 + 2 ∙ 3 + 3 ∙ 3 = 18

Cálculo de integrales dobles por medio de integrales iteradas.

1. Regiones rectangulares.

Teorema (Teorema de Fubini “primera forma”): Supongamos que la función

𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) es integrable en una región rectangular cerrada 𝑅 en el plano 𝑥𝑦,

limitada por las rectas 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑐 y 𝑦 = 𝑏, 𝑦 = 𝑑, es decir, 𝑅 = [𝑎, 𝑏] × [𝑐, 𝑑]

entonces:




𝑅

= ∫ [∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑏

𝑎

] 𝑑𝑦𝑑

𝑐

= ∫ [∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑

𝑐

] 𝑑𝑥𝑏

𝑎

En este caso, las integrales del lado derecho se llaman integrales iteradas. Al

evaluar la integral que se encuentre en los corchetes, se debe considerar la

variable 𝑥 (𝑦) como la variable de integración y se considera 𝑦 (𝑥) constante.

Ejemplo: Evalúe la integral doble de 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦 + 𝑥 − 3𝑥𝑦2 sobre la región

dada por 𝑅 = [0,1] × [1,3].

Solución:

La región rectangular cerrada 𝑅 está limitada por las rectas 𝑥 = 0, 𝑥 = 1 y

𝑦 = 1, 𝑦 = 3. Luego,


𝑅

= ∫ [∫ (𝑦 + 𝑥 − 3𝑥𝑦2)𝑑𝑥1

0

] 𝑑𝑦3

1


𝑅

= ∫ [𝑥𝑦 +𝑥2

2−

3𝑥2𝑦2

2]|

0

1

𝑑𝑦 =3

1

∫ [𝑦 +1

2−

3𝑦2

2] 𝑑𝑦

3

1


𝑅

= [𝑦2

2+

𝑦

2−

3𝑦3

6]|

1

3

= −8

Invirtiendo el orden de integración se obtiene el mismo resultado:


𝑅

= ∫ [∫ (𝑦 + 𝑥 − 3𝑥𝑦2)𝑑𝑦3

1

] 𝑑𝑥1

0


𝑅

= ∫ [𝑦2

2+ 𝑥𝑦 −

3𝑥𝑦3

3]|

1

3

𝑑𝑥1

0

= ∫ [4 − 24𝑥]𝑑𝑥1

0




𝑅

= [4𝑥 − 12𝑥2]|01 = −8

2. Regiones de tipo I y tipo II en el plano.

Definición (Región tipo I): Sea 𝑅 una región en el plano 𝑥𝑦, se dice que 𝑅 es

una región de tipo I si está determinada por funciones de 𝑥 y limitada por las

rectas 𝑥 = 𝑎 y 𝑥 = 𝑏 donde 𝑎 < 𝑏, y por las curvas 𝑔1(𝑥) y 𝑔2(𝑥), donde 𝑔1 y

𝑔2 son funciones continuas en [𝑎, 𝑏] y además 𝑔1(𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝑔2(𝑥) para todo

punto en 𝑅.

Definición (Región tipo II): Sea 𝑅 una región en el plano 𝑥𝑦, se dice que 𝑅 es

una región de tipo II si está determinada por funciones de 𝑦 y limitada por las

rectas 𝑥 = 𝑐 y 𝑥 = 𝑑 donde 𝑐 < 𝑑, y por las curvas ℎ1(𝑦) y ℎ2(𝑦), donde ℎ1 y

ℎ2 son funciones continuas en [𝑐, 𝑑] y además ℎ1(𝑦) ≤ 𝑥 ≤ ℎ(𝑦) para todo

punto en 𝑅.

Para la evaluación de las integrales dobles en regiones tipo I y tipo II tenemos el

siguiente teorema:

Teorema (Teorema de Fubini “forma más fuerte”): Sea 𝑓(𝑥, 𝑦) continua en

una región 𝑅.

Si 𝑅 es una región de tipo I, entonces




𝑅

= ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑔2(𝑥)

𝑔1(𝑥)

𝑑𝑥𝑏

𝑎

Si 𝑅 es una región de tipo II, entonces


𝑅

= ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥ℎ2(𝑥)

ℎ1(𝑥)

𝑑𝑦𝑑

𝑐

Ejemplo: Evalúe la integral doble de 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2 donde la región 𝑅 está

limitada por la recta 𝑦 = 𝑥 y por la parábola 𝑦 = 𝑥2.

Solución:

Graficamos la región dada y encontramos el punto de intersección entre la recta y

la parábola, luego:

De donde, se tiene que la región está limitada por 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 𝑥2 ≤ 𝑦 ≤ 𝑥, por

lo tanto 𝑅 es una región de tipo I, así:


𝑅

= ∫ ∫ (𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑦𝑥

𝑥2𝑑𝑥

1

0

= ∫ [𝑥2𝑦 +𝑦3

3]𝑥2

𝑥

𝑑𝑥1

0


𝑅

= ∫ [4𝑥3

3− 𝑥4 −

𝑥6

3] 𝑑𝑥

1

0

= [𝑥4

3−

𝑥5

5−

𝑥7

21]0

1

=3

35



En el ejemplo anterior para encontrar el tipo de región (tipo I o tipo II) el

procedimiento que se aplicó fue el siguiente:

Uso de secciones transversales verticales: Cuando tenga que evaluar

∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴𝑅

integre primero con respecto a 𝑦 y luego con respecto a 𝑥; realice

los siguientes pasos:

1. Elabore un bosquejo: Trace la región de integración y marque cada curva

que determina la frontera.

2. Determine los límites de integración en 𝑦: Imagine una recta vertical 𝐿 que

atraviese a 𝑅 en la dirección creciente de 𝑦. Marque los valores de 𝑦 donde

𝐿 entra y sale. Éstos son los límites de integración en 𝑦 y, por lo general,

son funciones de 𝑥 (en vez de constantes).

3. Determine los límites de integración en 𝑥: Elija los límites de 𝑥 que incluyan

todas las rectas verticales que atraviesen 𝑅.

Uso de secciones transversales horizontales: Para evaluar la misma integral

doble como una integral iterada con el orden de integración inverso, usamos

rectas horizontales en vez de verticales en los pasos 2 y 3.

Cambio de variable en integrales dobles.

Algunas veces, las integrales son más fáciles de evaluar si realizamos un cambio

de variable, entre los cambios de variables más usuales se tienen:

1. Coordenadas polares.



Para cambiar una integral cartesiana ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴𝑅

a una integral polar hacemos

el cambio 𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 , 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃, y remplazamos 𝑑𝑥𝑑𝑦 por 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃. Luego,

obtenemos los límites de integración de ambas coordenadas polares para la

frontera de 𝑅. La integral cartesiana se convierte entonces en


𝑅

= ∬𝑓(𝑟 cos 𝜃 , 𝑟 sin 𝜃)𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃

𝐺

,

donde 𝐺 representa la misma región de integración descrita ahora en

coordenadas polares.

Ejemplo: Evalúe la integral doble de ∬ 𝑥2𝑑𝑥𝑑𝑦𝑅

donde 𝑅 es la región del plano

𝑥𝑦 interior a la cardioide 𝑟 = 1 − cos 𝜃.

Solución:

Graficamos la región dada

De donde, se tiene que la región está limitada por 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋, 0 ≤ 𝑟 ≤ 1 −

cos 𝜃, así:


𝑅

= ∫ ∫ 𝑟2 cos2 𝜃 𝑟𝑑𝑟1−cos𝜃

0

𝑑𝜃2𝜋

0


𝑅

=1

4∫ cos2 𝜃 (1 − cos 𝜃)4𝑑𝜃

2𝜋

0




𝑅

=1

4∫ (−4 cos3 𝜃 − 4 cos5 𝜃)𝑑𝜃

2𝜋

0

+1

4∫ (cos2 𝜃 + 6 cos4 𝜃 + cos6 𝜃)𝑑𝜃

2𝜋

0


𝑅

=49

32𝜋

2. Coordenadas elípticas.

Para cambiar una integral cartesiana ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴𝑅

a una integral elíptica

hacemos el cambio 𝑥 = 𝑎𝑟 cos 𝜃 , 𝑦 = 𝑏𝑟 sin 𝜃, y remplazamos 𝑑𝑥𝑑𝑦 por

𝑎𝑏𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃. Luego, obtenemos los límites de integración de ambas coordenadas

elípticas para la frontera de 𝑅. La integral cartesiana se convierte entonces en


𝑅

= ∬𝑓(𝑎𝑟 cos 𝜃 , 𝑏𝑟 sin 𝜃)𝑎𝑏𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃

𝐺

,

donde 𝐺 representa la misma región de integración descrita ahora en

coordenadas elípticas.

Ejemplo: Calcular el volumen del sólido limitado por el paraboloide 𝑦2

4+

𝑧2

9=

2𝑥

𝑎

y el plano 𝑥 = 𝑎.

Solución:

Efectuaremos la integración sobre el plano 𝑦𝑧 considerando las funciones en la

forma 𝑥 = 𝑓(𝑦, 𝑧).



Encontramos la intersección de ambas superficies

{𝑦2

4+

𝑧2

9=

2𝑥

𝑎𝑥 = 𝑎

∴ 𝑦2

4+

𝑧2

9= 2 ∴

𝑦2

(√8)2 +

𝑧2

(√18)2 = 1

Es una elipse de semiejes √8 y √18.

Realicemos el cambio a coordenadas elípticas 𝑦 = 2√2 𝑟 cos 𝜃 y 𝑧 =

3√2 𝑟 sin 𝜃. Luego

𝑉 = ∬𝑎 −𝑎

2(𝑦2

4+

𝑧2

9)𝑑𝑦𝑑𝑥

𝑅

= ∫ ∫ (𝑎 − 𝑎𝑟2)12𝑟𝑑𝑟1

0

𝑑𝜃2𝜋

0

𝑉 = 2𝜋 ∫ 12𝑎(𝑟 − 𝑟3)12𝑟𝑑𝑟1

0

= 24𝑎𝜋 [𝑟2

2−

𝑟4

4]0

1

= 6𝑎𝜋

Aplicaciones de integrales dobles.

Las integrales dobles además de ser útiles para el cálculo de área y volumen son

ventajosas para el cálculo de centro de gravedad de un cuerpo.

Supongamos que tenemos un cuerpo plano acotado, de forma que su masa total

está distribuida en forma conocida siguiendo una función de densidad superficial

𝜇 = 𝜇(𝑥, 𝑦).



Entonces la masa de 𝑅,𝑀(𝑅), viene dada por

𝑀(𝑅) = ∬𝜇(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑅

Por lo tanto, se tiene:

Centro de masas de un cuerpo plano: Si denotamos por (�̅�, �̅�) las

coordenadas del centro de masas son:

�̅� =1

𝑀(𝑅)∬𝑥𝜇(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑅

�̅� =1

𝑀(𝑅)∬𝑦𝜇(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑅

Momento de inercia de un cuerpo plano: Sea 𝑟 una recta y denotemos por

𝑑(𝑥, 𝑦) la distancia de la recta 𝑟 al punto (𝑥, 𝑦) de la región 𝑅. El momento

de inercia del cuerpo plano respecto a la recta 𝑟 resulta ser:

𝐼𝑟 = ∬𝑑2(𝑥, 𝑦)𝜇(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑅

En particular, los momentos de inercia respecto a los ejes coordenados

son:

𝐼𝑥 = ∬𝑦2𝜇(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑅

𝐼𝑦 = ∬𝑥2𝜇(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑅

El momento polar de inercia o momento respecto al origen es:



𝐼𝑂 = ∬(𝑥2 + 𝑦2)𝜇(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑅

= 𝐼𝑦 + 𝐼𝑥

Ejemplo: Encontrar la masa de la superficie plana exterior a la circunferencia

𝑥2 + 𝑦2 = 1 e interior a la cardioide 𝑟 = 1 + cos 𝜃 si su densidad superficial es

proporcional a la distancia al origen.

Solución:

Trabajamos en coordenadas polares:

Como la densidad es proporcional a la distancia al origen se tiene 𝜇(𝑥, 𝑦) =

𝑘√𝑥2 + 𝑦2, 𝑘 ∈ ℝ ∴ 𝜇(𝑥, 𝑦) = 𝑘𝑟, 𝑘 ∈ ℝ. Luego,

𝑀(𝑅) = 2∫ ∫ 𝑘𝑟 𝑟𝑑𝑟1+cos𝜃

1

𝑑𝜃𝜋/2

0

=2𝑘

3∫ [(1 + cos 𝜃)3 − 1]𝑑𝜃

𝜋/2

0

𝑀(𝑅) =2𝑘

3(11

3+

3𝜋

4)



Integrales triples de funciones reales de tres variables reales.

Después de haber definido la integral doble para funciones de dos variables, es de

esperar que para una función de tres variables de la forma 𝑤 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧), la

integral triple pueda definirse en una región de ℝ3.

La extensión del concepto de integral doble a integral triple es análoga a la

ampliación de la integral simple a la doble. Es este caso es posible dividir el

dominio de la función de tres variables en pequeños incrementos, el tipo más

simple de región de es un paralelepípedo rectangular acotado por seis planos.

Sea una función de tres variables, definida en la región rectangular 𝐷 =

{(𝑥, 𝑦, 𝑧): 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑, 𝑒 ≤ 𝑧 ≤ 𝑓}. Tomemos una partición 𝑃 de 𝐷

considerando rectas paralelas a los ejes 𝑥, 𝑦 y 𝑧, esto divide a 𝐷 en

subrectángulos, digamos 𝑛, que denotaremos por 𝐷𝑘. Sean ∆𝑥𝑘, ∆𝑦𝑘 y ∆𝑧𝑘 las

dimensiones de los lados de 𝐷𝑘 y sea ∆𝑉 = ∆𝑥𝑘∆𝑦𝑘∆𝑧𝑘 su volumen. Si

numeramos las pequeñas partes que dividen a 𝐷 en cierto orden, entonces sus

volúmenes están dados por ∆𝑉1, ∆𝑉2,⋯ , ∆𝑉𝑛, donde ∆𝑉𝑘 es el volumen del 𝑘-

ésimo pequeño rectángulo. Sean (𝑥𝑘 , 𝑦𝑘 , 𝑧𝑘) un punto arbitrario en la 𝑘-ésima

región 𝐷𝑘 y 𝑓(𝑥𝑘 , 𝑦𝑘, 𝑧𝑘) el valor de la función en esa región. El producto 𝑆𝑛 =

∑ 𝑓(𝑥𝑘 , 𝑦𝑘 , 𝑧𝑘)∆𝑉𝑘𝑛𝑘=1 representa la suma de Riemann de la función 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)

asociada a la partición 𝑃. Dependiendo de la elección de (𝑥𝑘 , 𝑦𝑘, 𝑧𝑘) en el 𝑘-

ésimo pequeño rectángulo, obtenemos diferentes valores de 𝑆𝑛.

Definición (Integral triple): Se dice que una función 𝑓 de tres variables es

integrable en una región rectangular 𝐷, si 𝑓 está definida en 𝐷 y existe el

siguiente límite



lim∆𝑉𝑘→0

∑ 𝑓(𝑥𝑘 , 𝑦𝑘 , 𝑧𝑘)∆𝑉𝑘

𝑛

𝑘=1

= ∭𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉

𝐷

El valor del límite recibe el nombre de integral triple de 𝑓 en 𝐷.

Ahora bien, geométricamente podemos interpretar la integral triple como sigue:

Si 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 1 en 𝐷, entonces Volumen(𝐷) = ∭ 𝑑𝑉𝐷

.

Teorema (Condición suficiente de integrabilidad): Si la función 𝑓 es continua

en la región 𝐷 cerrada y acotada, entonces 𝑓 es integrable sobre 𝐷.

Proposición (Propiedades fundamentales de las integrales triples): La integral

triple hereda la mayoría de las propiedades de la integral de una variable real.

1. La integral triple es lineal, es decir,

a. ∭ 𝑘𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉𝐷

= 𝑘 ∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉𝐷

b. ∭ [𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) + 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧)]𝑑𝑉𝐷

= ∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉𝐷

+∭ 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉𝐷

2. Si 𝐷 = 𝐷1⋃𝐷2 donde 𝐷1⋂𝐷2 es a lo sumo una superficie, se tiene

∭𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉

𝐷

= ∭𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉

𝐷1

+ ∭𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉

𝐷2

3. Se cumple la propiedad de comparación. Si 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) ≤ 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) para

todo (𝑥, 𝑦, 𝑧) en 𝐷, entonces




𝐷

≤ ∭𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉

𝐷

Todas estas propiedades se cumplen en conjuntos más generales.

Cálculo de integrales triples.

Para evaluar una integral triple aplicamos una versión tridimensional del teorema

de Fubini (integrales dobles) para obtenerla por medio de tres iteraciones simples.

Como en las integrales dobles, existe un procedimiento geométrico para calcular

los límites de integración para estas integrales simples.

Supongamos que queremos evaluar


𝐷

sobre una región 𝐷, integramos primero con respecto a 𝑧, luego con respecto a 𝑦,

y al final con respecto a 𝑥. El procedimiento para ello es el siguiente:

1. Elabore un bosquejo: Trace la región 𝐷 junto con su “sombra” 𝑅

(proyección vertical) sobre el plano 𝑥𝑦. Marque las superficies de las

fronteras superior e inferior de la región 𝐷 y las curvas de las fronteras

superior e inferior de 𝑅.



2. Determine los límites de integración en 𝑧: Trace una recta 𝑀, paralela al eje

𝑧, que pase por un punto típico (𝑥, 𝑦) en 𝑅. Cuando z crece, 𝑀 entra a 𝐷

en 𝑧 = 𝑓1(𝑥, 𝑦) y sale en 𝑧 = 𝑓2(𝑥, 𝑦). Éstos son los límites de

integración en 𝑧.

3. Determine los límites de integración en 𝑦: Dibuje una recta 𝐿 paralela al eje

𝑦 que pase por (𝑥, 𝑦). Cuando y crece, 𝐿 entra a 𝑅 en 𝑦 = 𝑔1(𝑥) y sale

en 𝑦 = 𝑔2(𝑥). Éstos son los límites de integración en 𝑦.



4. Determine los límites de integración en 𝑥: Seleccione los límites en 𝑥 que

incluyan todas las rectas paralelas al eje 𝑦 que pasen por 𝑅 (𝑥 = 𝑎 y

𝑥 = 𝑏 en la figura anterior). Éstos son los límites de integración en 𝑥. La

integral es

∫ ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥𝑧=𝑓2(𝑥,𝑦)

𝑧=𝑓1(𝑥,𝑦)

𝑦=𝑔2(𝑥)

𝑦=𝑔1(𝑥)

𝑥=𝑏

𝑥=𝑎

Siga procedimientos similares si cambia el orden de integración. La “sombra” de la

región 𝐷 se encuentra en el plano de las dos últimas variables con respecto a las

que se realiza la integración iterada.

El procedimiento anterior se aplica siempre que una región sólida 𝐷 esté acotada

por arriba y por abajo por una superficie, y cuando la “sombra” de la región 𝑅 esté

acotada por una curva superior y una inferior. No se aplica para regiones con

agujeros que las atraviesan, si bien algunas veces estas regiones se subdividen

en regiones más simples para las cuales sí se aplica el procedimiento.



Ejemplo: Calcular ∭ 𝑥 𝑑𝑉𝐷

siendo 𝐷 el sólido en el primer octante limitado por

el cilindro 𝑥2 + 𝑦2 = 4 y el plano 2𝑦 + 𝑧 = 4.

Solución:

La proyección del sólido 𝐷 sobre el plano 𝑋0𝑌 es un cuarto del disco 𝑥2 + 𝑦2 ≤

4 con 𝑥 ≥ 0 e 𝑦 ≥ 0. Por lo tanto, la región de integración es el conjunto de

punto (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 tales que, para cada 𝑥 fijo entre 0 y 2, y varía desde 𝑦 = 0

hasta 𝑦 = √4 − 𝑥2. Por otro lado, de la ecuación del plano, en primer octante, se

tiene que 0 ≤ 𝑧 ≤ 4 − 2𝑦. Luego:

∭𝑥 𝑑𝑉

𝐷

= ∫ ∫ ∫ 𝑥 𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥

4−2𝑦

0

√4−𝑥2

0

2

0

= ∫ ∫ 𝑥𝑧|04−2𝑦

√4−𝑥2

0

2

0

𝑑𝑦𝑑𝑥

= ∫ ∫ 𝑥(4 − 2𝑦)

√4−𝑥2

0

2

0

𝑑𝑦𝑑𝑥 = ∫(4𝑥𝑦 − 𝑥𝑦2)|0√4−𝑥2

2

0

𝑑𝑥

= ∫4𝑥√4 − 𝑥2 − 𝑥 [√4 − 𝑥2]2

2

0

𝑑𝑥 = ∫4𝑥√4 − 𝑥2 − 4𝑥 + 𝑥3

2

0

𝑑𝑥

= ∫ [(4𝑥√4 − 𝑥2) − (4𝑥 − 𝑥3)]

2

0

𝑑𝑥

∫ 4𝑥√4 − 𝑥22

0𝑑𝑥.

Se realiza el cambio de variable siguiente: 𝑢 = 4 − 𝑥2, 𝑑𝑢 = −2𝑥𝑑𝑥 ∴

−2𝑑𝑢 = 4𝑥𝑑𝑥.



∫ 4𝑥√4 − 𝑥2 𝑑𝑥 = −2 ∫ √𝑢 𝑑𝑢 = −2 [2

3(𝑢)

32] + 𝐾

= −2 [2

3(4 − 𝑥2)

32] + 𝐾

∫4𝑥√4 − 𝑥2

2

0

𝑑𝑥 = 0 − (−32

3) =

32

3

∫ (4𝑥 − 𝑥3)2

0𝑑𝑥 = 4

𝑥2

2−

𝑥4

4|0

2

= 4

Así,

∭𝑥 𝑑𝑉

𝐷

=32

3− 4 =

20

3

Cambio de variables en integrales triples.

1. Coordenadas cilíndricas.

Las coordenadas cilíndricas son útiles cuando la región es proyectable sobre

alguno de los planos coordenados y dicha proyección se describe fácilmente en

coordenadas polares.

Para cambiar una integral cartesiana ∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉𝐷

a una integral cilíndrica

hacemos el cambio 𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 , 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃, y 𝑧 = 𝑧 remplazamos 𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥𝑧

por 𝑑𝑧𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃. Luego, obtenemos los límites de integración de ambas

coordenadas cilíndricas para la frontera de 𝑅:



1. Elabore un bosquejo: Trace la región 𝐷 junto con su proyección 𝑅 sobre el

plano 𝑥𝑦. Marque las superficies y curvas que acotan a 𝐷 y a 𝑅.

2. Determine los límites de integración en 𝑧: Trace una recta 𝑀 paralela al eje

𝑧, que pase por un punto típico (𝑟, 𝜃) de 𝑅. Mientras 𝑧 crece, 𝑀 entra a 𝐷

en 𝑧 = 𝑔1(𝑟, 𝜃) y sale en 𝑧 = 𝑔2(𝑟, 𝜃). Éstos son los límites de

integración en 𝑧.



3. Determine los límites de integración en 𝑟: Trace un rayo 𝐿 desde el origen

que pase por (𝑟, 𝜃). El rayo entra a 𝑅 en 𝑟 = ℎ1(𝜃) y sale en 𝑟 = ℎ2(𝜃).

Éstos son los límites de integración en 𝑟.

4. Determine los límites de integración en 𝜃: Cuando 𝐿 barre 𝑅, el ángulo 𝜃

que forma con el semieje positivo 𝑥 va desde 𝜃 = 𝛼 hasta 𝜃 = 𝛽. Éstos

son los límites de integración en 𝜃. La integral es

∫ ∫ ∫ 𝑓(𝑟 cos 𝜃 , 𝑟 sin 𝜃 , 𝑧)𝑑𝑧𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃𝑧=𝑔2(𝑟,𝜃)

𝑧=𝑔1(𝑟,𝜃))

𝑟=ℎ2(𝜃)

𝑟=ℎ1(𝜃))

𝜃=𝛽

𝜃=𝛼

Ejemplo: Mediante integración múltiple calcular el volumen del sólido comprendido

entre las superficies 𝑥2 + 𝑦2 = 1 y 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2

Solución:

El volumen es el recinto situado fuera de la superficie cónica 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2 y

dentro de la superficie cilíndrica 𝑥2 + 𝑦2 = 1. El sólido viene dado por:



Considerando el cambio a coordenadas cilíndricas, ya que la región de integración

en el primer octante está dada por:

𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2 ∴ 𝑟2 = 𝑧2 ∴ 𝑟 = 𝑧

Se tiene que el volumen viene dado por:

𝑉 = 8∭ 𝑑𝑉

𝐷

= 8∫ ∫∫𝑟 𝑑𝑧𝑑𝑟𝑑𝜃

𝑟

0

1

0

𝜋2

0

= 8∫ ∫𝑧|0𝑟

1

0

𝜋2

0

𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃

𝑉 = 8 ∫ ∫𝑟2𝑑𝑟𝑑𝜃

1

0

𝜋/2

0

= 8 ∫𝑟3

3|0

1

𝑑𝜃

𝜋/2

0

=8

3∫ 𝑑𝜃

𝜋/2

0

=4

3𝜋

2. Coordenadas esféricas.

Definición (Coordenadas esféricas): Las coordenadas esféricas representan un

punto 𝑃 en el espacio mediante la terna ordenada (𝜌, 𝜙, 𝜃) en la que

𝜌 es la distancia de 𝑃 al origen.



𝜙 es el ángulo que 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ forma con el semieje positivo 𝑧 (0 ≤ 𝜙 ≤ 𝜋).

𝜃 es el ángulo de las coordenadas cilíndricas (0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋).

Para cambiar una integral cartesiana ∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉𝐷

a una integral esférica

hacemos el cambio 𝑥 = 𝜌 sin𝜙 cos 𝜃 , 𝑦 = 𝜌 sin𝜙 sin 𝜃, y 𝑧 = 𝜌 cos𝜙

remplazamos 𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥𝑧 por 𝜌2 sin 𝜙 𝑑𝜌𝑑𝜙𝑑𝜃. Luego, obtenemos los límites de

integración para la frontera de 𝑅:

1. Elabore un bosquejo: Trace la región 𝐷 junto con su proyección 𝑅 sobre el

plano 𝑥𝑦. Marque las superficies que acotan a 𝐷.

2. Determine los límites de integración en 𝜌: Trace un rayo 𝑀 desde el origen

hacia 𝐷 formando un ángulo 𝜙 con el semieje positivo 𝑧. Trace además la

proyección de 𝑀 sobre el plano 𝑥𝑦 (llámela proyección 𝐿). El rayo 𝐿 forma

un ángulo 𝜃 con el semieje positivo 𝑥. Al crecer 𝜌, 𝑀 entra a 𝐷 en 𝜌 =

𝑔1(𝜙, 𝜃), y sale en 𝜌 = 𝑔2(𝜙, 𝜃). Éstos son los límites de integración en

𝜌.



3. Determine los límites de integración en 𝜙: Para cualquier u dado, el ángulo

𝜙 que 𝑀 forma con el eje 𝑧 va desde 𝜙 = 𝜙𝑚í𝑛 hasta 𝜙 = 𝜙𝑚á𝑥. Éstos

son los límites de integración en 𝜙.

4. Determine los límites de integración en 𝜃: El rayo 𝐿 barre 𝑅 cuando 𝜃 va de

𝛼 a 𝛽. Éstos son los límites de integración en 𝜃. La integral es

∫ ∫ ∫ 𝑓(𝜌 sin𝜙 cos 𝜃 , 𝜌 sin 𝜙 sin 𝜃 , 𝜌 cos 𝜃)𝜌2 sin𝜙 𝑑𝜌𝑑𝜙𝑑𝜃𝜌=𝑔2(𝜙,𝜃)

𝜌=𝑔1(𝜙,𝜃)

𝜙=𝜙𝑚á𝑥

𝜙=𝜙𝑚í𝑛

𝜃=𝛽

𝜃=𝛼

Las coordenadas esféricas son especialmente útiles en regiones limitadas por

esferas concéntricas, sectores limitados por ángulos fijos (como “gajos de

pelotas”), conos con vértice en el origen. Por ejemplo,

1. Esferas del tipo 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑎2 (de radio 𝑎) en estas coordenadas

simplemente son 𝜌 = 𝑎



2. Conos de eje 𝑧: 𝑧 = 𝑎√𝑥2 + 𝑦2. Como 𝑥2 + 𝑦2 = 𝜌2 sin2 𝜙 y

𝑧 = 𝜌 cos𝜙 la ecuación queda escrita como tan𝜙 = 1/𝑎

3. Un plano horizontal 𝑧 = 𝑎, en coordenadas esféricas tiene la forma

𝜌 cos𝜙 = 𝑎

Ejemplo: Encontremos el volumen del sólido determinado por el interior del cono

𝑧2 = 3(𝑥2 + 𝑦2) con 𝑧 ≥ 0 limitado por la esfera 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 16.

Solución:

El cono queda descripto como tan𝜙 = 1/√3, es decir 𝜙 = 𝜋/6 y la esfera

como 𝜌 = 4. Entonces la región en coordenadas esféricas es {(𝜌, 𝜃, 𝜙) ∶ 0 ≤

𝜌 ≤ 4; 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋; 0 ≤ 𝜙 ≤ 𝜋/6} y su volumen se calcula como

𝑉 = ∭ 𝑑𝑉

𝐷

= ∫ ∫ ∫𝜌2 sin 𝜙 𝑑𝜌𝑑𝜙𝑑𝜃

4

0

𝜋/6

0

2𝜋

0

𝑉 = ∭ 𝑑𝑉

𝐷

= ∫ ∫𝜌3

3|0

4

sin𝜙 𝑑𝜙𝑑𝜃

𝜋/6

0

2𝜋

0

=64

3∫ ∫ sin𝜙 𝑑𝜙𝑑𝜃

𝜋/6

0

2𝜋

0

𝑉 = ∭ 𝑑𝑉

𝐷

=64

3∫ (− cos𝜙)|0

𝜋/6𝑑𝜃

2𝜋

0

=64

3[−

√3

2+ 1]∫ 𝑑𝜃

2𝜋

0

𝑉 = ∭ 𝑑𝑉

𝐷

= [64

3−

32√3

3] 2𝜋

Aplicaciones de integrales triples.



Como se ha visto las integrales triples son útiles para el cálculo de volumen de un

sólido. Otra de sus ventajas, al igual que las integrales dobles, es para el cálculo

de centro de gravedad de un cuerpo en ℝ3.

Supongamos que tenemos una región 𝐷 en el espacio, de forma que su masa

total está distribuida en forma conocida siguiendo una función de densidad

superficial 𝛿 = 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧).

Entonces la masa de 𝐷,𝑀(𝐷), viene dada por

𝑀(𝐷) = ∭𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉

𝐷

Por lo tanto, se tiene:

Centro de masas: Si denotamos por (�̅�, �̅�, 𝑧̅) las coordenadas del centro de

masas son:

�̅� =1

𝑀(𝐷)∭𝑥𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑉

𝐷

�̅� =1

𝑀(𝐷)∭𝑦𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉

𝐷

𝑧̅ =1

𝑀(𝐷)∭𝑧𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉

𝐷

Primeros momentos de inercia respecto a los ejes coordenados:

𝐼𝑥𝑦 = ∭𝑧𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉

𝐷



𝐼𝑥𝑧 = ∭𝑦𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉

𝐷

𝐼𝑦𝑧 = ∭𝑥𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉

𝐷

Ejemplo: Determine la masa y el centro de masa del sólido 𝐷 acotado por el

cilindro parabólico 𝑧 = 2 −1

2𝑥2 y los planos 𝑧 = 0, 𝑦 = 𝑥 y 𝑦 = 0, suponiendo

que la densidad es proporcional a la distancia a su base en el plano 𝑥𝑦.

Solución:

Por hipótesis 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑘𝑧, donde 𝑘 es una constante. Luego

𝑀(𝐷) = ∭𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉

𝐷

= ∭𝑘𝑧𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥

𝐷

= ∫∫ ∫ 𝑘𝑧𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥

2−12𝑥2

0

𝑥

0

2

0

𝑀(𝐷) = 𝑘 ∫∫1

2(2 −

𝑥2

2)

2

𝑑𝑦𝑑𝑥

𝑥

0

2

0

= 𝑘 ∫∫(2 − 𝑥2 +1

8𝑥4) 𝑑𝑦𝑑𝑥

𝑥

0

2

0

𝑀(𝐷) = 𝑘 ∫2𝑥 − 𝑥3 +1

8𝑥5𝑑𝑥

2

0

= 𝑘 [𝑥2 −𝑥4

4+

𝑥6

48]|

0

2

=4

3𝑘

El centro de masa viene dado por (1,16

35,32

35). Verifique!!!


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