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COLEGIO FRANCISCANO AGUSTIN GEMELLI

AREA MATEMATICAS

“Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo”.

Galileo Galilei

GEOMETRIA GRADO SEPTIMO

2012

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MATEMATICAS – Geometría 7 2

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INTRODUCCION Cualquier objeto puede describirse mediante sus elementos geométricos más simples: puntos, líneas, superficies, ángulos, …. Por tanto a través del estudio de la Geometría, haremos que el estudiante domine y exprese estos conceptos en forma correcta, razón por la cual se inicia el presente módulo abordando este tema, en el cual se describen en forma simple los conceptos geométricos básicos de mayor uso en el estudio de la Geometría. Para favorecer la ejercitación práctica del estudiante, se incluirán también procedimientos básicos de trazado y manejo de escuadras, transportador y compás, incluyendo una breve descripción del concepto de escala.

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TABLA DE CONTENIDO UNIDAD I .................................................................................................................................. 5

PENSAMIENTO ESPACIAL Y SISTEMAS GEOMETRICOS. .................................................. 5

MOVIMIENTOS EN EL PLANO. ............................................................................................... 5

EL PLANO CARTESIANO .................................................................................................... 9

MOVIMIENTOS EN EL PLANO .......................................................................................... 14

TRASLACIONES EN EL PLANO CARTESIANO ............................................................ 15

TESELACIONES EN EL PLANO ..................................................................................... 18

ROTACIONES O GIROS ................................................................................................. 23

REFLEXIONES EN EL PLANO ....................................................................................... 26

SIMETRÍA CENTRAL EN EL PLANO CARTESIANO............................................................. 27

SIMETRÍA AXIAL EN EL PLANO CARTESIANO ................................................................... 29

HOMOTECIAS................................................................................................................. 32

UNIDAD II ............................................................................................................................... 36

TEOREMA DE PITÁGORAS .................................................................................................. 36

PITÁGORAS ....................................................................................................................... 37

El Teorema de Pitágoras y los triángulos rectángulos. ....................................................... 38

Resolución de problemas de aplicación. ............................................................................. 40

UNIDAD III .............................................................................................................................. 42

POLIGONOS .......................................................................................................................... 42

DESCRIPCION DE LOS POLIGONOS ............................................................................... 43

POLIEDROS REGULARES ................................................................................................ 48

CONSTRUCCIÓN DE POLIEDROS REGULARES......................................................... 49

ÁREAS DE FIGURAS ......................................................................................................... 50

UNIDADES DE SUPERFICIE EN EL SISTEMA DECIMAL. ............................................ 50

EL RECTÁNGULO .............................................................................................................. 52

EL ROMBOIDE ................................................................................................................... 52

EL TRIANGULO .................................................................................................................. 54

EL ROMBO ......................................................................................................................... 56

EL TRAPECIO .................................................................................................................... 57

ÁREA DE POLÍGONOS REGULARES ............................................................................... 58

EL CÍRCULO ....................................................................................................................... 59

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UNIDAD IV .............................................................................................................................. 63

VOLUMEN .............................................................................................................................. 63

VOLUMEN DE CUERPOS SÓLIDOS ................................................................................. 64

EL CUBO ................................................................................................................................ 64

LOS PRISMAS ....................................................................................................................... 65

LAS PIRAMIDES .................................................................................................................... 65

CUERPOS REDONDOS ........................................................................................................ 66

EL CILINDRO ...................................................................................................................... 66

EL CONO ............................................................................................................................ 67

LA ESFERA ........................................................................................................................ 67

BIBLIOGRAFÍA ....................................................................................................................... 77

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UNIDAD I PENSAMIENTO ESPACIAL Y SISTEMAS GEOMETRICOS.

MOVIMIENTOS EN EL PLANO.

PROPÓSITO

Ubicar puntos como parejas ordenadas (x,y) en el sistema de coordenadas cartesianas, denominadas Plano Cartesiano, identificando los cuatro cuadrantes que lo conforman.

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LECTURA AFECTIVA La geometría como palabra tiene dos raíces griegas: Geo = tierra y metrón = medida; o sea, significa "medida de la tierra".

El origen de la Geometría es muy similar a la de la Aritmética, siendo sus conceptos más antiguos consecuencia de las actividades prácticas. Los primeros hombres llegaron a formas geométricas a partir de la observación de la naturaleza.

Su origen, unos tres mil años antes de Cristo, se remonta al Medio Oriente, en particular al Antiguo Egipto, ya que se necesitaba medir predios agrarios, en la construcción de pirámides y monumentos, y ya que según el sabio Eudemo de Rodas, necesitaban medir constantemente sus tierras debido a que las inundaciones del Río Nilo borraban continuamente sus fronteras.. Esta concepción geométrica se aceptada sin demostración, era producto de la práctica.

Los egipcios se centraron principalmente en el cálculo de áreas y volúmenes, también encontramos rudimentos de trigonometría y nociones básicas de semejanza de triángulos.

Estos conocimientos pasaron a los griegos y fue Thales de Mileto quien en el S. VI Antes de

Cristo inició la geometría demostrativa. Las propiedades se demuestran por medio de razonamientos y no porque resulten en la práctica.

En los matemáticos de la cultura helénica (Griega), los problemas prácticos relacionados con las necesidades de cálculos aritméticos, mediciones y construcciones geométricas continuaron jugando un gran papel. Sin embargo, lo novedoso era, que estos problemas poco a poco se desprendieron en una rama independiente de las matemáticas que obtuvo la denominación de “logística”.

Euclides fue otro gran matemático griego, del S. III. Antes de Cristo, quien en su famosa obra titulada "Los Elementos", recopila, ordena y sistematiza todos los conocimientos de geometría hasta su época y, salvo algunas pequeñas variaciones, son los mismos conocimientos que se siguen enseñando en nuestros días, por tal razón se dice que es Euclides es el padre de la geometría. Euclides, usando un razonamiento deductivo parte de conceptos básicos primarios no demostrables tales como punto, recta, plano y espacio, que son el punto de partida de sus definiciones, axiomas y postulados. Demuestra teoremas y a su vez, éstos servirán para demostrar otros teoremas. La geometría euclidiana puede dividirse en geometría plana y en geometría del espacio o estereometría. La plana estudia las figuras contenidas en un plano. La del espacio estudia figuras que no están contenidas en un mismo plano.

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EJERCITACIÓN

De acuerdo con la lectura afectiva, resuelve las siguientes preguntas. 1. ¿A qué cultura se atribuye el primer desarrollo de la geometría? y en ¿qué actividades de la vida diaria aplicaron la geometría? ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 2. ¿Quién fue el primer filósofo y matemático griego en interesare en la geometría? ¿Qué tipo de geometría inició y en que se basaba? 3. Durante la cultura griega, ¿Con qué otro nombre fue conocida la geometría? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 4. ¿Quién es considerado aún como el Padre de la Geometría?, y ¿Cual su obra mas importante?________________________________________________ _____________________________________________________________ 5. ¿En que se basó Euclides para determinar los conceptos más básicos de la geometría?_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 6. Consulta la biografía de Euclides, y extrae las ideas principales de su vida y obra. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

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2. Completa el siguiente mentefacto conceptual

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PLANO CARTESIANO

RENÉ DESCARTES (1596-1650) Considerado el padre de la filosofía moderna, René Descartes fue un pensador completo, que abordó también el estudio de las ciencias. En matemáticas, fue el creador de la geometría analítica, para lo que estableció el sistema de coordenadas ortogonales, conocido en la actualidad como Sistema o Plano Cartesiano. Así mismo, contribuyó a simplificar y normalizar la nomenclatura algebraica. Su obra de mayor impacto, fue el Discurso del método (1637).

La necesidad de orientarse condujo a los seres humanos, desde la antigüedad más lejana, a confeccionar mapas o cartas geográficas y a relacionar los puntos de una superficie mediante números. Para fijar una figura en el espacio o en un plano hace falta relacionarla con un sistema de referencia. El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical que

se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el

nombre de origen. El plano cartesiano consta de cuatro regiones que han sido llamadas cuadrantes. El cuadrante I es la región a la derecha del eje de las ordenadas y arriba del eje de las abscisas. Este cuadrante se conoce como el Cuadrante I, aquí se ubicarán las coordenadas (+,+).

El Cuadrante II se encuentra en la región a la izquierda del eje de la ordenada y arriba del

eje de las abscisas, en ese lugar se hallan las coordenadas (-, +).

El Cuadrante III se encuentra debajo de la abscisa, a la izquierda de la ordenada y sus coordenadas son (-, -). El Cuadrante IV se encuentra debajo de la abscisa, a la derecha de la ordenada y sus

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coordenadas son (+,-).

El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados.

Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las „X‟ y uno de las „Y‟, respectivamente, esto indica que un punto se puede ubicar en el plano cartesiano con base en sus coordenadas, lo cual se representa como:

P (x, y)

Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente procedimiento:

1. Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia la derecha si son positivas o hacia a izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero.

2. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas y de esta forma se localiza cualquier punto dadas sus coordenadas.

Ejemplos: a) Localizar el punto A (- 4, 5) en el plano cartesiano.

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Este procedimiento también se emplea cuando se requiere determinar las coordenadas de cualquier punto que esté en el plano cartesiano.

b) Determinar las coordenadas del punto M. Las coordenadas del punto M son (3,-5).

De lo anterior se concluye que para determinar las coordenadas de un punto o localizarlo en el plano cartesiano, se encuentran unidades correspondientes en el eje de las x hacia la derecha o hacia la izquierda y luego las unidades del eje de las y hacia arriba o hacia abajo, según sean positivas o negativas, respectivamente.

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SIMULACION

1. Representa en un plano cartesiano los siguientes puntos: a. A = (2,4) b. B = (-1,9) c. C = (-4,9) d. D = (-2,2) e. E = (0,5) f. F = (5,-2) g. G = (7,0) h. H = (8,3) i. I = ( 0,-9) j. J = (-3,0) k. K = (2,-2) l. L = (4,6) m. M = (8,3) n. N = (0,0) o. O = (-5,-2) p. P = (-3,-7) 2. Indica las coordenadas de los puntos ubicados en los siguientes planos cartesianos, e indica el cuadrante al que pertenecen: a. b.

c. d.

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JUEGO BATALLA NAVAL

La batalla naval es un juego de estrategia en el que participan dos jugadores. Se juega con lápiz y papel, y no interviene el azar. Preparación: Antes de comenzar el juego, cada participante dibuja en un papel cuadriculado

dos tableros cuadrados de 10 × 10 casillas. Las filas horizontales se numeran de la A hasta la J, y las columnas verticales del 1 al 10. Basta con indicar las coordenadas de un disparo con un par letra/número (por ejemplo, A6).

En el cuadrado de la izquierda se coloca la flota propia (se muestra un ejemplo). En el cuadrado de la derecha se irán marcando los disparos que el jugador efectúa en el mar del contrincante: barcos tocados, hundidos y disparos al agua. La flota: Cada jugador dispone en su tablero izquierdo una flota completa, sin que el

contrincante vea su posición.

Los barcos no pueden tocarse entre sí, es decir, que todo barco debe estar rodeado de agua o tocar un borde del tablero. La flota está formada por: 1 portaaviones (de cuatro cuadraditos); 2 acorazados (de tres cuadraditos); 3 buques (de dos cuadraditos); 4 submarinos (de un cuadradito). Mecánica del juego:

• El turno pasa alternativamente de un jugador a otro. • En su turno, el jugador hace un disparo a una posición del mar enemigo, indicando la coordenada correspondiente (letra y cifra). Si no hay barcos en ese cuadradito, el otro jugador dice: «¡agua!»; si el disparo ha dado en algún barco dice: «¡tocado!»; si con dicho disparo el rival logra completar todas las posiciones del barco, debe decir «¡hundido!» En el

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ejemplo, un primer disparo sobre H9 sería «agua»; sobre G5, «tocado», y sobre D7, «hundido».

• Gana el jugador que consigue hundir todos los barcos del rival.

MOVIMIENTOS EN EL PLANO

TRASLACIONES: Una figura geométrica se traslada en el plano cuando cambia de posición sin que gire el mismo tiempo, es decir Una TRASLACIÓN es un movimiento en el plano en el cual todos los puntos de una figura se mueven en la misma dirección y la trayectoria de cada punto es una línea recta.

Para dar la dirección y el número de unidades que se va a trasladar una figura, se toma como base un vector. Ejemplo: El cuadrilátero ABCD que se muestra en la figura, se ha trasladado en el sentido que indica la punta de la flecha del vector u, con la dirección dada por su inclinación y una magnitud igual a su longitud. Para trasladar una figura, se trazan rectas paralelas al vector u ( líneas punteadas: AA‟ BB‟ CC‟ DD‟) luego con compás se traslada la magnitud o tamaño del vector u a cada una de las líneas punteadas originado el cuadrilátero A’B’C’D’

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TRASLACIONES EN EL PLANO CARTESIANO Hasta ahora hemos trasladado una figura geométrica en un plano cualquiera utilizando escuadras, regla y compás, seguidamente nos situaremos en el Plano Cartesiano y

realizaremos el mismo proceso, trasladando punto por punto. Para ello seguimos los siguientes pasos:

1. Dibujamos el vector “guía” en este caso u 2. Nombramos las coordenadas de los vértices de la figura a trasladar 3. Sumamos a las coordenadas de cada vértice de la figura y las del vector “guía” y estas

serán las coordenadas de los vértices de la imagen resultante.

TRASLACIÓN

Movimiento realizado por una figura al

desplazarse en el plano

Magnitud

Correspondiente a la cantidad de unidades de desplazamiento

Dirección

Determinada por el vector asociado al desplazamiento

Sentido

Indicado por la punta del vector asociado al

Desplazamiento

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SIMULACION.

1.

2.

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EJERCITACIÓN

1. Esta actividad consiste en encontrar la posición que ocupa un objeto después de desplazarse a derecha o izquierda, arriba o abajo tantas unidades como se indique.

a. Inicialmente se encuentra en el punto A = (8,-2), se desplaza 2 unidades a la izquierda, 5

hacia arriba, 2 a la derecha, 4 hacia abajo y 3 a la derecha. ¿Qué posición ocupa ahora?

b. Comienza su recorrido en el punto P = (0,0), se mueve 4 a la izquierda, 3 hacia arriba, 2 a la izquierda,8 a la derecha, 6 hacia abajo, 5 hacia arriba, 3 hacia abajo. ¿Dónde se ubica ahora el objeto?

2. Traza en un octavo de cartulina un plano cartesiano.

a. Dibuja en cartulina un triangulo rectángulo cuyos lados midan 3cm, 4cm y 5cm; y un cuadrado de 2cm de lado. Coloréalos y recórtalos.

b. Coloca el triangulo en el plano de tal forma que sus vértices sean los puntos A = (-2,-2), B = (2,-2) y C = (2,1).

c. Traslada el triangulo 3 unidades verticalmente hacia arriba. ¿Cuáles son las nuevas coordenadas de los vértices?

d. Coloca el cuadrado en el plano de tal forma que sus vértices sean los puntos M = (-1,2), N = (-3,2), O = (-3,0) y P = (-1,0)

e. Traslada el cuadrado 4 unidades horizontales hacia la derecha. ¿Cuáles son las nuevas coordenadas de los vértices?

3. Simboliza en un plano cartesiano las siguientes traslaciones:

a. t: magnitud 7 unidades; dirección 60º

b. v: magnitud 3 unidades; dirección 120º

c. u: magnitud 2 unidades; dirección 90º

d. r: magnitud 5 unidades; dirección -60º

e. s: magnitud 4 unidades; dirección -150º

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TESELACIONES EN EL PLANO

Por medio de la realización de traslaciones sobre ciertas figuras es posible teselar el plano. Una figura tesela el plano cuando es posible acoplarla entre si sin huecos ni fisuras hasta recubrir por completo el plano. La configuración que se obtiene recibe el nombre de teselación o mosaico. Las teselaciones han sido utilizadas en todo el mundo desde tiempos remotos para recubrir pisos y paredes, igualmente como elementos decorativos en muebles y alfombras.

El artista gráfico holandés Maurits Cornelius Escher (1898-1972) utilizó en sus obras simetrías, traslaciones y giros. Son muy conocidas sus obras en las que aplicando estas transformaciones a determinadas figuras conseguía llenar el plano. Por ejemplo, las siguientes:

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MOSAICOS

Veamos primero la medida de los ángulos interiores de un polígono regular:

n° Ángulo central Ángulo interior 3 120 60 4 90 90 5 72 108 6 60 120 8 45 135 9 40 140

10 36 144 12 30 150

Las teselaciones pueden considerarse como un caso límite de poliedros convexos (en los

cuales profundizaremos en la Unidad III) donde la redondez en todos los vértices es de 360º

(la redondez de 360º en un vértice no garantiza que sea plano, sin embargo si es convexo

si).

Tres polígonos en un vértice:

Las tres iguales 666

Dos iguales y una distinta (la igual debe ser par) 884 y 12 12 3

Las tres distintas 4 6 12

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Cuatro polígonos en un vértice:

Las cuatro iguales 4444

Tres iguales y una distinta: No hay, ya que con tres triángulos y otro polígono

regular no se llega a 360. Con tres cuadrados y un triángulo no se llega y con

tres cuadrados y un n mayor que 4 nos pasamos.

Doble pareja 3636

Dos iguales y dos distintas 4346

Cuatro distintas: imposible

Cinco polígonos en un vértice:

Cuatro iguales y una distinta 33336

Tres iguales y dos distintas 33344 y 33434

Con seis caras en un vértice 333333

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Por lo tanto tenemos 3 teselaciones regulares y 8 semirregulares. Observamos que ha

desaparecido el 5 de las teselaciones.

Teselaciones duales de las regulares

La 666 se dualiza convirtiéndose en la 333333.

La 4444 es autodual.

La 333333 se convierte en la 666.

Truncamientos de las teselaciones regulares

Truncamiento de tipo I (sin llegar al punto medio del lado):

666 se convierte en 12 12 3

4444 se convierte en 884


Truncamiento tipo II (hasta media arista)




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Duales de los semirregulares

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ROTACIONES O GIROS Una ROTACIÓN es un movimiento mediante el cual una figura gira alrededor de un punto fijo llamado centro de rotación.

En este tipo de movimiento, cada punto de la figura describe un arco de circunferencia. Para rotar una figura en el plano es necesario conocer, además del centro de rotación, el sentido y la amplitud del giro La siguiente gráfica nos muestra un punto que gira 90º en sentido positivo (o antihorario)

En la gráfica siguiente el triángulo BCD rotó 120º en sentido negativo en torno al centro de rotación O.

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EJERCITACION 1.

2.

3.

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4.

DEMOSTRACIÓN

1) ¿Cuál de las siguientes alternativas no corresponde a un movimiento en el plano? a) Traslación b) Simetría c) Rotación d) Reflexión e) Permutación 2. El movimiento de un ascensor panorámico es un ejemplo de: a) Traslación b) Simetría c) Rotación d) Isometría e) Teselación 3. ¿Cuántos ejes de simetría tiene la figura siguiente? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 4. ¿Cuál de las siguientes figuras tiene más ejes de simetría?

5. ¿Cuál de las siguientes alternativas representa una rotación de la figura en 45° con centro p?

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6. ¿Cuál de las siguientes opciones representa una rotación positiva (En contra de las manecillas del reloj) de la figura en 270º con centro en F?

REFLEXIONES EN EL PLANO Otra transformación que mantiene la forma y el tamaño de una figura es la reflexión respecto a una recta dada. Al reflejar una figura geométrica respecto a un eje de reflexión se observa que la distancia de cada uno de los vértices al eje de reflexión es igual a la distancia de los puntos reflejados al mismo eje. Existen dos tipos de REFLEXIÓN de figuras en el plano:

1. REFLEXIÓN respecto a un punto o SIMETRÍA CENTRAL 2. REFLEXIÓN respecto a un eje (recta ) o SIMETRÍA AXIAL

1. REFLEXIÓN respecto a un punto o SIMETRÍA CENTRAL

Para hallar la imagen simétrica respecto a un punto de una figura cualquiera se siguen los siguientes pasos:

1. Se trazan semirrectas desde cada vértice de la figura dada que pasen por el CENTRO de simetría (O )

2. Con el compás (centro en 0), se trasladan las distancias AO BO CO DO sobre las

semirrectas e f g h respectivamente y se señalan los puntos A´ B´ C´D´

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3. Se unen los puntos A´B´C´D´

SIMETRÍA CENTRAL EN EL PLANO CARTESIANO

Si trabajamos sobre el Plano Cartesiano y tomamos como CENTRO DE SIMETRÍA el ORIGEN O(0,0) debemos tener en cuenta que el SIMÉTRICO de un punto cualquiera P (a,b) es el punto P´(-a,-b), así por ejemplo: el simétrico del punto R (-5,6) con respecto al origen es el punto R´ (5,-6) Para hallar la Imagen Simétrica de la figura ABC con respecto al Origen se trazan los puntos simétricos de cada vértice de la figura dada, luego se unen dichos puntos. Observe la siguiente figura…

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EJERCITACIÓN

1. Ubica en el plano Cartesiano las siguientes figuras y halla la imagen simétrica respecto al Origen (0,0): a. A (0,5) B (-1,3) C (1,2) b. A (-5,0) B (-4,1) C (-2,-1) D (-5,-2) c. A (1,1 ) B (2,3) C (7,2) d. A (6,-1) B (6,-3) C (5,-4) D (3,-3) e. A (-5,1 ) B (-2,2) C (-1,5) f. A (-1,-3) B (-3,-4) C (-3,-7) D (-5,-7)

REFLEXIÓN respecto a un eje (recta) o SIMETRÍA AXIAL Para hallar la imagen simétrica de una figura cualquiera se siguen los siguientes pasos:

1. Se trazan las rectas perpendiculares a la recta o eje de simetría desde cada vértice de la figura dada

2. Con el compás ( centro en los puntos donde se cortan las semirrectas con la recta o eje de simetría: F, G, H, I, ), se trasladan las distancias AF BG CH DI sobre las semirrectas f g h i respectivamente y se señalan los puntos A´ B´ C´D´

3. Se unen los puntos A´B´C´D´

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SIMETRÍA AXIAL EN EL PLANO CARTESIANO Utilizando el Plano Cartesiano, tomaremos como EJES DE SIMETRÍA los ejes X y Y . Para ello debemos tener en cuenta algo muy importante, veamos: El simétrico de un punto cualquiera P (a, b) respecto al eje X es el punto P´(a,-b) así por ejemplo: el simétrico del punto R (-2,3) con respecto al origen es el punto R´ (-2,-3) El simétrico de un punto cualquiera P (a,b) respecto al eje Y es el punto P´ (-a,b) así por ejemplo: el simétrico del punto R (-2,3) con respecto al origen es el punto R” (2,3) Por lo tanto, para hallar la imagen de una figura cualquiera con respecto a uno de los ejes coordenados, basta hallar los simétricos con respecto a dichos ejes de cada uno de los puntos (vértices) de la figura dada y finalmente unirlos Observemos las siguientes figuras donde se muestran los simétricos de un punto y luego la imagen de una figura con respecto al eje X y finalmente respecto al eje Y.

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Obsérvese que las figuras A´B´C´D´ y A´´B´´C´´D´´ son simétricas respecto al ORIGEN (A, B, C, D)

EJERCITACIÓN

Halla la imagen simétrica de la figura dada respecto a los ejes X y Y.

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2. Ubica en el plano Cartesiano las siguientes figuras y halla la imagen simétrica respecto a los ejes X y Y

a. A (0,5) B (-1,3) C (1,2) b. A (-5,0) B (-4,1) C (-2,-1) D (-5,-2) c. A (1,1 ) B (2,3) C (7,2) d. A (6,-1) B (6,-3) C (5,-4) D (3,-3) e. A (-5,1 ) B (-2,2) C (-1,5) f. A (-1,-3) B (-3,-4) C (-3,-7) D (-5,-7)

3. Refleja cada polígono respecto a la recta dada y encuentra los vértices del polígono imagen o reflexión.

a. El triangulo MNS con vértices: M (-2,-5); N (7,-2); S (-3,-4), reflejado al eje Y b. El cuadrado de vértices: A (4,5); B (8,5); C (4,9); D (8,9), reflejado al eje X c. El trapecio de vértices: E (-4,0); F (-2,3); G (3,5); H (5,2), reflejado en la recta que

pasa por los puntos P1 (1,-3) y P2 (1,6)

4. Completa el siguiente mentefacto conceptual y Diagrama de Venn – Euler

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HOMOTECIAS La HOMOTECIA es una transformación que permite ampliar o reducir el tamaño de una figura proyectada desde un punto fijo, de acuerdo a un factor llamado factor de dilatación

Es importante tener en cuenta que la figura original y su imagen o figura transformada por una HOMOTECIA, conserva la forma, la medida de sus ángulos y mantiene constante la razón entre sus lados y solo cambiará su tamaño. En una HOMOTECIA intervienen dos elementos importantes: el centro de la Homotecia y el Factor de dilatación

La siguiente gráfica nos muestra un triángulo que se le aplicará una homotecia con centro en O y un factor de dilatación de 2 (dos) unidades. Observe que la figura quedará duplicada pero no cambia su forma. La siguiente gráfica nos muestra un triángulo que se le aplicará una homotecia con centro en O y un factor de dilatación de 2 (dos) unidades. Observe que la figura quedará duplicada

pero no cambia su forma

Para trazar la Homotecia se unen con semirrectas el centro O con cada uno de los vértices del triángulo ABC; luego con el compás se traslada la medida OA a continuación de A; es decir se marca A’; lo mismo con el punto B y el punto C, marcando B’ y C’; por último se unen los puntos A’B’C’ que será la imagen del triángulo ABC. HOMOTECIAS EN EL PLANO CARTESIANO

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Como hemos hecho en las anteriores transformaciones, tomaremos como centro de la Homotecia, el Origen del Sistema Cartesiano. Además debemos tener en cuenta que para hallar la Homotecia de una figura geométrica, se multiplican las coordenadas del cada punto por el factor de dilatación. Ejemplo: Si uno de los puntos de la figura es P (-3,4) y el factor de dilatación es 3; la imagen de P será el punto P‟ (-9,12) es decir 3* (-3,4) Analicemos la siguiente gráfica. Tenemos un triángulo cuyas coordenadas son: A (2,1) B (3,0) y C (1,-1) y le aplicamos una Homotecia con centro en el origen y factor de dilatación igual a 3. Como se puede observar cada vértice del triángulo imagen tiene por coordenadas el triple de las coordenadas de los vértices del triángulo original.

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SIMULACIÓN

1. Utilizando regla y compás halla la imagen de la figura por medio de la Homotecia con centro en el punto dado y un factor de dilatación igual a 2

2. Halla la Homotecia de la figura indicada con centro en el origen y factor de dilatación 2

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3. Completa el siguiente mentefacto conceptual y Diagrama de Venn - Euler

MENTEFACTO CONCEPTUAL

MOVIMIENTOS EN EL PLANO

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UNIDAD II TEOREMA DE PITÁGORAS

PROPOSITO Manejar con habilidad el teorema de Pitágoras, para la descripción y cálculo de los elementos de los triángulos rectángulos.

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PITÁGORAS (Samos 580- Crotona 480 A.C.)

Este gran filósofo y matemático griego vivió en el siglo VI A.C. Se cree que nació en el año 580 A.C. en la isla griega de Samos. Pitágoras viajó extensivamente a través del mundo antiguo por más de 20 años, algunos relatos hacen pensar que llegó hasta Inglaterra y la India, pasando por Egipto y Babilonia, fue aquí donde entabló contacto con los matemáticos de ese lugar, de quienes aprendió a realizar cálculos complejos usando técnicas complicadas; y donde conoció las famosas tripletas; que hoy en día, en su honor, son llamadas ternas pitagóricas. Pitágoras regresó a Samos con la idea de fundar una escuela dedicada al estudio de la filosofía y la matemática, pero por razones políticas tuvo que emigrar a la ciudad de Crotona, situada sobre la península itálica, que en

ese entonces pertenecía a Grecia. Fue en Crotona donde Pitágoras fundó la Hermandad Pitagórica". Fue en esta escuela donde Pitágoras enseñaba matemáticas y filosofía a sus discípulos quienes aportaban nuevas ideas y de esta forma incrementaban sus conocimientos; los miembros de la hermandad creían que todas las relaciones podían reducirse a relaciones numéricas, de hecho, encontraron bellas relaciones en música, astronomía y matemáticas, su principio universal era "todas las cosas son números".

Se sabe con certeza que Pitágoras y sus discípulos impulsaron una actitud de llegar al fondo de las cosas, esto y su gran escepticismo los llevaron a cambiar el rumbo de la matemática. Sin embargo, en cuanto a sus descubrimientos, la Hermandad formaba una sociedad exageradamente cerrada. Esta actitud provocó envidias y recelos en la sociedad griega de Crotona, y fue precisamente fruto de un revanchismo político, que en una acción detestable por la humanidad entera, la escuela de Pitágoras o Templo de la Sabiduría (como él la llamaba), fue rodeada, sus puertas atrancadas, y le prendieron fuego. De esta forma murió Pitágoras y la mayoría de sus discípulos.

Para hacer una breve reseña histórica del Teorema de Pitágoras, debemos remitirnos más de mil años antes del nacimiento de este gran matemático, ya que se tienen vestigios de que este Teorema, o mejor dicho, de las ternas pitagóricas que estudiaremos un poco más adelante fueron conocidas por los chinos, egipcios y babilonios.

La era de los babilonios data del año 2000 A.C. hasta el año 600 A.C. Ellos habitaron el valle de La Mesopotamia, una fértil y rica región formada por los ríos Tigris y Eúfrates, en parte

de lo que hoy es Irak. Los babilonios estaban muy interesados en los números cuadrados,

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ellos sabían que el área de un terreno rectangular se calculaba al multiplicar el largo por el ancho del terreno, por tanto, si el largo y el ancho medían lo mismo, digamos a, entonces el terreno tenía área igual a a2 (a cuadrada). Ellos querían saber cuando un número cuadrado podría ser descompuesto como la suma de dos números cuadrados, por ejemplo, un ranchero con un terreno de (5 X 5) u2 lo podía cubrir con dos terrenos uno de (4X 4) u2 y otro de (3X3) u2. Es decir 52 = 32 + 42. Las tripletas de números con esta propiedad son llamadas ternas pitagóricas, en este caso 3, 4 y 5 forman una terna pitagórica. Los babilonios habían desarrollado una primitiva forma de escritura, la cual plasmaban en tablas, muchas de las cuales han sobrevivido hasta nuestros días. Gracias a estas tablas conocemos varios aspectos sobre la vida, la organización social y los conocimientos matemáticos de los babilonios. De entre todas estas tablas una de las más famosas es la llamada Plimpton 322,

en ella se pueden apreciar claramente 15 ternas pitagóricas. No se sabe a ciencia cierta para qué usaban estas tablas, algunos historiadores piensan que era para enseñar matemáticas en las escuelas, esperamos que algún día, en los cientos de tablas que aún no han sido descifradas, podamos obtener más información al respecto.

De todas las relaciones entre números y naturaleza que estudió la Hermandad, sin duda, la más importante es la que establece el Teorema de Pitágoras, el cual proporciona una ecuación verdadera para todos los triángulos rectángulos.

El Teorema de Pitágoras y los triángulos rectángulos.

Establece que el lado mas largo del triangulo se denomina HIPOTENUSA, mientras que los otros dos lados son denominados CATETOS, el cateto que traza la semirrecta horizontal se denomina ADYACENTE, mientras que el cateto que traza la semirrecta vertical se llama OPUESTO.

El Teorema de Pitágoras establece que en todo triangulo rectángulo se cumple que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Es decir: Si ABC es un triangulo rectángulo entonces a2 + b2 = c2

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Ejemplo 1: un poste se mantiene fijo al piso gracias a una

cable con el que forma un triangulo rectángulo. Si el cable mide 5m y que el poste mide 4m ¿Cuál es la longitud de la

base del poste hasta donde se fija el cable? Solución: La grafica nos muestra que es aplicable al Teorema de Pitágoras. Entonces 52 = 42 + X2, donde 52 – 162 = X2

21625 X

mX 392

Ejemplo 2: Cual es la altura de la casa, si se conoce que la distancia desde el suelo hasta la punta del techo es de 15m y el frente de la casa es de 12m. Solución: Lo primero que debemos tener en cuenta es que el cateto adyacente del triangulo mide 6m (la mitad del frente). Entonces:

222 615 X Es decir: 236225 X

1892 X

mX 75,13189

EJERCITACIÓN 1. Consulta que son y cuáles son las ternas pitagóricas. 2. Resuelve los siguientes problemas, y represéntalos gráficamente. a. Un obrero esta sobre una escalera que mide 18m, colocada en una pared que mide 10m. ¿A qué distancia están situadas las bases de la escalera y la pared? b. ¿Cuánto mide la diagonal de un tablero de ajedrez que mide 24cm de lado?

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c. Un automóvil que mide 1.5m de alto se encuentra parqueado a 25m de un edificio de 15 pisos que mide 37.5m. ¿A qué distancia se encuentra el techo del automóvil del último piso del edificio? d. Una cancha de fútbol olímpica es un rectángulo de 100 metros de largo y 70 metros de ancho. ¿Qué longitud tiene la diagonal de la cancha? e. un nadador se encuentra en una piscina que mide 50m de largo y 18 de ancho, pero decide nadar la piscina en diagonal. ¿Qué distancia debe nadar para llegar a la otra esquina? f. Un niño que se llama les quería construir un corral rectangular para su conejillo de Indias. Cuando terminó, midió el fondo del corral. Encontró que un lado tenía 54 pulgadas de largo, el lado adyacente tenía 30 pulgadas de largo y una diagonal medía 63 pulgadas de largo. ¿El corral es realmente rectangular?

Resolución de problemas de aplicación. 2. Resuelve los siguientes problemas:

a. En un triangulo, los catetos miden 4.5m y 6m; en otro triangulo rectángulo, un cateto mide 7.2m y la hipotenusa mide 7.5m. ¿Cuál de los dos tiene mayor perímetro?

b.

c. La diagonal de un rectángulo de lados 5cm y 12cm es igual al lado de un cuadrado.

¿Cuánto mida la diagonal de ese cuadrado?

c.

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Claudia se encuentra a 100m de un rascacielos de 110 pisos, en el que se encuentra su novio Camilo en la terraza. ¿Cuanto mide de alto cada piso del edificio si este mide 275m? ¿Qué distancia hay entre Claudia y su novio Camilo?

d. Ana observa un dirigible desde el techo de su edificio, simultáneamente Alberto también lo ve en su edificio que se encuentra a 5km del edificio de Ana. Si el triangulo formado es isósceles y la altura del mismo es de 4Km. ¿Que distancia hay entre las viviendas de y Alberto y Ana, con respecto al dirigible?. e.

Las velas de esta barco forma un triangulo escaleno. Entre B y C hay 45m. Entre C y la línea punteada (Altura), hay la mitad que entre la línea punteada y B. Si la altura del triangulo es de 25m. ¿Qué distancia hay entre A y B? ¿Entre A y C?

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UNIDAD III POLIGONOS

PROPOSITO

Describir los elementos de un polígono, sus clases (regulares e irregulares) y calculara elementos como el número de diagonales mediante el uso dela fórmula de Euler.

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DESCRIPCION DE LOS POLIGONOS

Si te fijas en la cara o superficie que ves de muchos de los objetos que hay a tu alrededor, observarás que sus líneas de contorno son rectas, y que son figuras cerradas. Otros objetos tienen caras con lados circulares o curvos, pero ahora nos vamos a fijar en las caras con lados rectos, llamadas caras poligonales o, sencillamente, polígonos.

Los polígonos son figuras planas cerradas, limitadas por segmentos rectilíneos. Los elementos de un polígono son los lados, los vértices, los ángulos y las diagonales.

Los lados son los segmentos rectilíneos que delimitan al polígono.

Los vértices son los puntos donde se cortan los lados dos a dos.

Los ángulos son las regiones comprendidas entre cada par de lados.

Las diagonales son los segmentos que unen cada pareja de vértices no consecutivos.

CLASIFICACION DE

LOS POLÍGONOS

Según su número de lados, los polígonos se llaman:

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Según la amplitud de sus ángulos, un polígono puede ser:

Convexo, si todos sus ángulos internos son menores que 180°. Cóncavo, si alguno de sus ángulos internos es mayor que 180°.

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Según la longitud de sus lados, los polígonos pueden ser:

Regulares, si tienen todos sus lados y todos sus ángulos iguales. Irregulares, si tienen lados desiguales.

Polígono Polígono Convexo Cóncavo

Polígono Polígono Regular Irregular

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SIMULACIÓN Clasifica los siguientes polígonos según el número de lados, la longitud de sus lados y la amplitud de sus ángulos:

POLIGONO S. Nº De lados S. Long. Lados S. Ángulos

Triangulo

Irregular

Convexo.

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POLIEDROS REGULARES

Decimos que un poliedro es regular si todas sus caras son polígonos regulares iguales.

Solo hay cinco poliedros regulares: 3 de ellos están formados por triángulos, 1 por cuadrados y 1 por pentágonos. No hay ningún poliedro regular formado por hexágonos o polígonos de mas lados. Los poliedros regulares han maravillado a los matemáticos y son llamados “SOLIDOS PLATÓNICOS”

FIGURA

TET RAEDRO HEXAEDRO Ó CUBO

OCTAEDRO DODECAEDRO ICOSAEDRO

Numero de caras

4 6 8 12 20

Numero de vértices

4 8 6 20 12

Numero de aristas

6 12 12 30 30

El tetraedro tiene 4 caras, que son triángulos equiláteros; 4 vértices y 6 aristas.

El hexaedro o cubo tiene 6 caras, que son cuadrados; 8 vértices y 12 aristas.

El octaedro tiene 8 caras, que son triángulos equiláteros; 6 vértices y 12 aristas.

El dodecaedro tiene 12 caras, que son pentágonos regulares; 20 vértices y 30 aristas.

El icosaedro tiene 20 caras, que son triángulos equiláteros; 12 vértices y 30 aristas.

En cualquier poliedro regular se cumple la formula de Euler: C + V - A = 2

Ejemplo: El Cubo, 6 + 8 – 12 = 2

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CONSTRUCCIÓN DE POLIEDROS REGULARES

Si se queremos construir polígonos regulares debemos hacerlo con base en los siguientes planos. Recuerda dejar la pestaña extra para pegar los lados.

TETRAEDRO HEXAEDRO

OCTAEDRO DODECAEDRO

ICOSAEDRO

Recuerda que los poliedros se conforman de polígonos regulares, por lo tanto todos los lados de los polígonos son iguales, de lo contrario no quedará bien la construcción del poliedro.

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ÁREAS DE FIGURAS El área de una figura es el espacio que ocupa dentro de una superficie plana. El método para la medición directa de las superficies, consiste en comparar la superficie que sirve de unidad de patrón con la superficie que se desea medir.

UNIDADES DE SUPERFICIE EN EL SISTEMA DECIMAL. Para medir el área en el sistema métrico decimal, se utiliza un cuadrado que mide un metro en cada lado y se llama “Metro Cuadrado”. Para medir el área de una superficie en forma directa tal como se hace con las longitudes, se deberá superponer tantas veces como sea necesaria la unidad patrón, hasta cubrir completamente la superficie que se desea medir. En algunos casos la unidad patrón no cumple el objetivo, por lo cual se debe utilizar unidades más pequeñas llamadas submúltiplos.

1 m

MULTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS DEL METRO CUADRADO

En las unidades de superficie, esta unidad es 100 veces mayor. Un metro cuadrado equivale a 100 decímetros cuadrados y un decímetro cuadrado equivale a 100 centímetros cuadrados. En la siguiente tabla se encuentran los principales múltiplos y submúltiplos del metro cuadrado, su símbolo y equivalencia en metros cuadrados.

Nombre Símbolo Equivalencia en M2

Kilómetro Cuadrado Km2 1.000.000m2 = 106 m2

Hectómetro Cuadrado Hm2 10.000m2 = 104 m2

Decímetro Cuadrado Dm2 100m2 = 102 m2

Metro Cuadrado M2 1m2 = 101 m2

Decímetro Cuadrado dm2 0,01m2 = 10-2 m2

Centímetro Cuadrado Cm2 0,0001m2 = 10-4 m2

Milímetro Cuadrado mm2 0,000001m2 = 10-6 m2

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CONVERSIÓN DE MEDIDAS EN EL SISTEMA INTERNACIONAL.

La conversión de unidades se hace a partir del principio de considerar la relación de equivalencia entre las unidades directamente proporcional. Ejemplo: Expresar en mm2 la medida de una región de 234,98m2 Solución: De acuerdo a la tabla de equivalencias 1m2 = 1.000.000mm2

Se plantea y se resuelve la proporción: 98,2341000000

1 X

200023498,01000000

98,234mX

EL CUADRADO El cuadrado es un paralelogramo que tiene lados congruentes y los ángulos interiores, rectos. Área del cuadrado: El área del cuadrado es igual al lado elevado al cuadrado:

2lA

Ejemplo: Calcular el área de un cuadrado que mide 32cm de perímetro.

8cm

Solución: Se calcula la medida del lado. P = 4L

cmcmP

L 84

32

4 Ahora se aplica la fórmula para el cálculo del área:

22 64)8( cmcmA

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EL RECTÁNGULO Es un paralelogramo que tiene los ángulos interiores rectos, pero tiene dos lados mas alargados que los otros dos.

Altura (h)

Base (b) Área del rectángulo: El área del rectángulo es igual al producto de la base por la altura.

bxhA

Ejemplo: El área de un rectángulo es 153m2. Si la base mide 17m, ¿Cuánto mide la altura? Solución: Se aplica la fórmula del área del rectángulo.

bxhA

Se despeja la altura:

mm

m

b

Ah 9

17

153 2

EL ROMBOIDE Es un cuadrilátero que tiene sus lados paralelos e iguales 2 a 2, pero su ángulos internos no miden 90º.

Para calcular el área del romboide, nos fijamos en que si lo cortamos por la línea de puntos y esa parte triangular la unimos al otro lado, la figura que resulta es un rectángulo cuya base y cuya altura miden lo mismo que las del romboide:

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Como las dos figuras ocupan la misma superficie:

Área del romboide = Área del rectángulo

Área del romboide = base × altura

Ejemplo: Queremos cubrir de césped artificial una terraza con forma de romboide, cuyas medidas son las de la figura. ¿Cuántos metros cuadrados de césped necesitamos?

Área romboide = base × altura

Área de la terraza = 4m × 2m = 8 m2

Es decir, necesitamos 8 m2 de césped artificial para cubrir toda la terraza.

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EL TRIANGULO Es una parte o porción del plano limitada por 3 semirrectas que se cotan mutuamente.

ÁREA DE UN TRIÁNGULO

En un triángulo, la base es uno cualquiera de sus lados y la altura es el segmento

perpendicular a la base o a su prolongación, trazado desde el vértice opuesto al lado de la base.

Para calcular la fórmula del área de un triángulo cualquiera, nos fijamos en la siguiente figura:

Vamos a calcular el área del triángulo sombreado. Si trazamos desde el vértice C un segmento paralelo al lado AB, y de su misma longitud, y desde el vértice B otro segmento paralelo al lado AC, y de su misma longitud, obtenemos un romboide, que tiene la misma base y la misma altura que el triángulo.

Como el área del romboide es:

Área del romboide = base × altura

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Y el triángulo ocupa la mitad de la superficie del romboide, entonces:

2

bxhA

Ejemplos: Calcular el área de los siguientes triángulos.

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EL ROMBO Es un cuadrilátero que tiene los cuatro lados iguales, pero sus ángulos interiores no miden 90º.

ÁREA DEL ROMBO

Para obtener el área del rombo, nos fijamos en la figura que resulta si trazamos paralelas a sus diagonales por los cuatro vértices:

Un rectángulo cuya base mide lo mismo que la diagonal mayor, y cuya altura mide igual que la diagonal menor del rombo. Así pues:

Área del rectángulo = diagonal mayor del rombo × diagonal menor del rombo

Como los ocho triángulos rectángulos que se forman dentro del rectángulo son iguales, y dentro del rombo hay cuatro, la mitad de ellos será el área del rombo. Es decir, el área del rombo será la mitad del área del rectángulo.

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Ejemplo: Calcula el área de una cometa con forma de rombo que mide 60cm de diagonal mayor (D) y 40cm de diagonal menor (d).

2

2

12002

2400

2

4060cm

cmcmcmXA

EL TRAPECIO Es un cuadrilátero que tiene 2 lados paralelos llamados bases. El lado paralelo más largo se denomina Base Mayor (B) y el lado paralelo más corto se denomina Base Menor (b). La distancia existente entre las bases se llama altura. (h)

ÁREA DEL TRAPECIO: El área del trapecio está determinada por la siguiente fórmula:

Ejemplo: Calcula el área de un trapecio cuyas bases miden 25cm y 8cm y su altura es 12cm.

cmxcmcm

A 122

825

cmxcm

A 122

33

2198125,16 cmcmcmxA

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ÁREA DE POLÍGONOS REGULARES

En cualquier polígono regular podemos dibujar tantos triángulos en su interior como lados tenga el polígono. Todos los triángulos dibujados tienen un vértice común que es el centro del polígono.

El área de cada uno de esos triángulos será:

Siendo la base el lado (l) y la altura la apotema (a) del polígono:

Así pues:

El área del polígono será la suma de las áreas de los n triángulos, seis en el caso del hexágono anterior:

En general, para un polígono regular de n lados, su área se calcula así:

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EL CÍRCULO

El círculo es la figura que forman una circunferencia y su interior. No debes confundir la

circunferencia, que es una línea curva, con el círculo, que es la superficie que encierra esa línea.

Un sector circular es la parte de círculo comprendida entre dos radios y el arco que

abarcan.

Un semicírculo es la superficie limitada por un diámetro y la semicircunferencia: es la mitad del círculo. Un segmento circular es la parte de círculo comprendida entre una cuerda y su arco.

Sector Circular Semicírculo Segmento Circular

ÁREA DEL CÍRCULO

El área de un círculo de radio r es igual a p por su radio al cuadrado:

Área del círculo = π × r2

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Vamos a calcular el área del círculo en los dos ejemplos siguientes.

1. Halla el área de una pizza que mide 25cm de radio.

La pizza tiene forma circular, así que:

Área de la pizza = π × r2

Como r2 = (25cm)2 = 2500cm2: Área = 3,14 × 625 = 1962.5cm2

2. Un de dardos tiene 40cm de diámetro. Calcula el área que ocupa.

Como el diámetro es el doble del radio:

Radio = d ÷ 2 Radio = 40 ÷ 2 = 20cm Y como r2 = 202 = 400: Área = 3,14 × 400 = 1.256 cm2

EJERCITACIÓN Resuelve los siguientes problemas y represéntalos gráficamente. a. Cuál es el área de una cartulina rectangular que mide 118,34cm de largo y 63.58cm de ancho b. En un rectángulo, el largo mide el doble del ancho. ¿Cuál es el área del rectángulo si el ancho es de 19cm.? c. Se desea pintar una habitación cuyas cuatro paredes tienen las siguientes dimensiones: dos paredes de 5.6m x 2.20m y las otras 3.65m x 2.20.m y las dimensiones de la puerta son 0.8m x 1.85m. Si por cada m2 se gastan 0.45 litros de pintura. ¿Cuál es el área total a pintar, y cuantos litros de pintura se necesitan para pintar la habitación?

40 cms

25 cm

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d. Cual es el área de un romboide que mide 15cm de base y 5cm de alto. e. La altura de un romboide mide 16cm y la base 7cm más que el doble de la altura. ¿Cuál es su área? f. El suelo de una terraza se cubrirá con baldosas de 20cm de lado. Si las dimensiones de la terraza son 6m x 8m, ¿Cuántas baldosas se necesitan? g. Si las bases de un trapecio miden 16cm y 7cm, ¿Cuál es el área del trapecio si la altura mide 10cm? h. La base mayor de un trapecio mide el triple de la base menor y el doble de la altura. Si la base menor mide 53cm, ¿Cuál es su área? i. Las diagonales de un rombo miden 16cm y 12cm, ¿Cuál es su área? j. Halla el área de un rectángulo que mide 25cm de diagonal y 8cm de ancho. k. La diferencia entre las diagonales de un rombo es 9cm. Si la diagonal menor mide 26cm ¿Cuál es el área del rombo? l. Las diagonales de una cometa en forma de rombo miden 64cm y 18cm. ¿Cuánto papel se necesita para cubrir la cometa si se debe disponer de un 10% mas para los dobleces? Si se piensa construir 52 cometas m. Calcula el área de un heptágono regular que mide 18cm de lado y 25.5cm de apotema. n. La apotema de un octágono regular mide 34.9cm. si el lado mide 30cm calcula su área. o. Halla el área de un nonágono regular de 16cm de lado y 21.9cm de apotema. p. Calcula el área de un hexágono regular de 24cm de lado y 20.78cm de apotema. q. Dibuja un pentágono regular de 10cm de lado, mide su apotema y calcula su área. r. Halla el área de un círculo de 2.98m de radio. s. Cuál es el área de un círculo que mide 85cm de diámetro. t. ¿Cuál es el área del círculo central de una cancha de fútbol si mide 15m de diámetro? u. ¿Cuál es el área de un semicírculo que mide 3.5m de radio?

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v. ¿Cuál es el área de un plato decorativo que mide 40cm de diámetro?

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UNIDAD IV VOLUMEN

PROPOSITO

Identificar las unidades de medida de volúmenes, al igual que los modelos matemáticos apropiados para el cálculo de los mismos.

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VOLUMEN DE CUERPOS SÓLIDOS

¿Qué es mayor, un balón de baloncesto o una pelota de golf? Está claro que el balón de baloncesto, porque su volumen es mayor que el de la pelota de golf. El volumen de un cuerpo es la cantidad de espacio que ocupa.

Para medir el volumen de cualquier cuerpo usamos las unidades de volumen. Su unidad principal es el metro cúbico, cuyo símbolo es: m3. Un metro cúbico es el espacio que ocupa un cubo de 1 metro de arista.

LOS MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS DEL METRO CÚBICO

Como el metro cúbico es una unidad muy grande, solemos utilizar otras más pequeñas: El decímetro cúbico, de símbolo dm3, que es el espacio que ocupa un cubo cuya

arista mide 1dm;

El centímetro cúbico, de símbolo cm3, que es el espacio que ocupa un cubo cuya

arista mide 1cm.

Aunque no son muy usuales, el metro cúbico tiene unos múltiplos que son: El Decímetro Cúbico, de símbolo Dm3, que es el espacio que ocupa un cubo cuya

arista mide 1Dm (10m);

El Hectómetro Cúbico, de símbolo Hm3, que es el espacio que ocupa un cubo cuya

arista mide 1Hm (10m);

El Kilómetro Cúbico, de símbolo Km3, que es el espacio que ocupa un cubo cuya

arista mide 1Km (1000m).

EL CUBO

Es uno de los poliedros regulares que vimos anteriormente, tiene como caras 6 cuadrados, 8 vértices y 12 aristas iguales.

La fórmula para el cálculo del volumen del cubo es:

V = l 3

La fórmula para el área total de las caras del cubo es:

A = 6 l 2

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LOS PRISMAS Un prisma es un sólido geométrico que tiene dos bases congruentes que son polígonos y las caras laterales son rectángulos. Los elementos de un prisma son los siguientes:

Los prismas se nombran según sea el polígono de sus bases: prisma triangular, cuadrangular, pentagonal, hexagonal…

El volumen de los prismas se calcula con la siguiente fórmula:

V = A de la Base x h

LAS PIRAMIDES

Las pirámides son poliedros que tienen una sola base, que es un polígono cualquiera, y sus otras caras son triángulos que se unen en un vértice común que se llama cúspide o vértice de la pirámide. Una tienda de campaña o las pirámides de Egipto son ejemplos de este tipo de poliedros.

Los elementos de una pirámide son los siguientes:

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Al igual que los prismas, a las pirámides se les llama según el número de lados que tenga su base:

El volumen de las pirámides esta dado por la siguiente fórmula:

V = A de Base x h ÷ 3

CUERPOS REDONDOS

Una lata de gaseosa, la punta de un lapicero y un balón son cuerpos geométricos que tienen parte de su superficie, o toda ella, curva. La lata es un cilindro, la punta del lápiz es un cono y el balón una esfera. A estos tres cuerpos, cilindro, cono y esfera, se les llama cuerpos redondos.

EL CILINDRO Las columnas de un templo clásico, un rodillo de amasar o el rulo de una apisonadora son también ejemplos de cilindros. El cilindro se forma al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados, que se mantiene fijo, como en una puerta giratoria. Los elementos del cilindro son:

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El volumen del cilindro se calcula multiplicando el área de la base por la altura:

V = π x r2 x h π = 3.14

EL CONO El cucurucho de un helado y el tejado de una choza o kiosco, son ejemplos de conos. El cono se forma al girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. Los elementos del cono son:

El cálculo del volumen del cono esta dado por la siguiente fórmula:

V = π x r2 x h ÷ 3

π = 3.14

LA ESFERA

Una pelota de playa, una naranja o una canica son ejemplos de esferas. La esfera se forma por el giro de un semicírculo alrededor de su diámetro. Los principales elementos de una esfera son su centro y su radio.

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La fórmula para el cálculo del volumen de la esfera es:

V = 4 π x r3 ÷ 3 π = 3.14

SIMULACION El siguiente material, se extractó de Cartillas Escuela Nueva.

1. Busca elementos como los siguientes y realiza su descripción geométrica.

2.

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3.

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Quedará así:

EJERCITACIÓN 1. Resuelve los siguientes problemas y represéntalos gráficamente. a. Un estanque de agua en forma de cubo mide 1.3m de lado. ¿Que volumen puede contener?

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b. Si el volumen de un cubo es 512cm3, encuentra su área total y la dimensión de su arista.

c. Determina el área total y el volumen de un cubo: 1) de arista 2cm. 2) en que el área de una de sus caras es 36cm. 3) en que el perímetro de una cara es 36cm. d. Determina el volumen de un cubo donde la suma de sus aristas es 72cm. e. Calcula el volumen de un prisma cuya base es un rombo de de diagonales 12cm y 18cm. f. Un prisma hexagonal tiene 25cm alto, 12cm de lado y 6cm de apotema, ¿cual es su volumen? g. en una fábrica de conservas los productos se empacan en tarros cilíndricos de 6cm de diámetro y 12cm de alto. ¿Qué volumen puede contener cada tarro? h. Si la longitud del radio de la base de un cilindro es 5 veces menor que la altura del cilindro y si esta altura mide 28.5cm, ¿Cuál es el volumen del cilindro? i. ¿Cuál es el volumen de una torta de 28cm de diámetro y 8cm de profundidad? j. La base de la más grande de las pirámides de Egipto es un cuadrado de aprox. 227m de lado. El vértice o altura es de 144m. ¿Cuál es el volumen de la pirámide? 2. Calcula el volumen de las siguientes figuras:

a. b. c. d.

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e. f. g.

h. i. j.

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BIBLIOGRAFÍA

Guía de docencia. Ingenio Matemático 7. Editorial Voluntad. Matemáticas 7. Aritmética y Geometría. Editorial PIME Procesos Matemáticos 7. Editorial Santillana.

Matemáticas con Tecnología Aplicada 7. Ed. Prentice Hall

Matemática Práctica 7. Ed. Voluntad www.wikipedia.com

http://www.wikipedia.com/

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