UNIVERSIDAD CATOLICA DE SANTA MARIA

FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERIAS FISICAS Y FORMALES

PROGRAMA PROFESIONAL DE INGENIERIA DE SISTEMAS

Estructuras Discretas II

Informe N°1

“Coloración de grafos”

Angulo Osorio, Javier Fernando

SECCION: “A”

DOCENTE: Wilmer Ramos Lovón

(AREQUIPA-PERU)

-2013-

A. Introducción.

B. Definiciones.

En Teoría de grafos, la coloración de grafos es un caso especial de etiquetado de grafos; es una asignación de etiquetas llamadas colores a elementos del grafo. De manera simple, una coloración de los vértices de un grafo tal que ningún vértice adyacente comparta el mismo color es llamado vértice coloración. Similarmente, una arista coloración asigna colores a cada arista talque aristas adyacentes no compartan el mismo color, y una coloración de caras de un grafo plano a la asignación de un color a cada cara o región tal que caras que compartan una frontera común tengan colores diferentes. El vértice coloración es el punto de inicio de la coloración, y los otros problemas de coloreo pueden ser transformados a una versión con vértices. Por ejemplo, una arista coloración de un grafo es justamente una vértice coloración del grafo línea respectivo, y una coloración de caras de un grafo plano es una vértice coloración del grafo dual.

B.1. Vértice coloración

La vértice coloración (o simplemente coloración) es la asignación de los vértices de un grafo con colores tal que dos vértices que compartan la misma arista tengan colores diferentes. Un grafo con loops no puede ser coloreado, y solo se consideran grafos sin loops.

La terminología de usar colores para etiquetar vértices proviene del problema de colorear mapas. Las etiquetas como rojo o azul son solamente utilizadas cuando el número de colores es pequeño, y normalmente los colores están representados por los enteros {1, 2, 3, …}.

Una coloración que usa a lo más k colores se llama k-coloración (propia). El menor número de colores necesarios para colorear un grafo G se denota número cromático . Un grafo que puede ser asignada una k-coloración (propia) es k-coloreable y es k-cromático si su número cromático es exactamente k. Un subconjunto de vértices asignados con el mismo color se llama una clase de color. Cada clase forma un conjunto independiente. Esto es, una k-coloración es lo mismo que una partición del conjunto de vértices en k conjuntos independientes, y los términos k-partito y k-coloreable tienen el mismo significado.

B.2. Polinomio cromático

El polinomio cromático cuenta el número de maneras en las cuales puede ser coloreado un grafo usando

no más que un número de colores dado. Por ejemplo, usando 3 colores, el grafo en la imagen de la

derecha puede ser coloreado de 12 formas distintas. Con solo 2 colores, no puede ser coloreado. Con 4

colores, puede ser coloreado de 24+4*12 maneras distintas: usando los cuatro colores juntos, hay 4!= 24

coloraciones validas (toda asignación de cuatro colores a algún grafo de cuatro vértices es una

coloración propia); y para cada elección de tres de los cuatro colores, hay 12 3-coloraciones validas. Así

que, para el grafo del ejemplo, una tabla de números de coloraciones validas puede comenzar como

esta:

Colores disponibles 1 2 3 4 …

Número de coloraciones 0 0 12 72 …

El polinomio cromático es una función p(G, t) que cuenta el número de t-coloraciones de G. como el

nombre lo indica para un grafo G la función es un polinomio en t. para el grafo del ejemplo,

P(G, t)= t(t-1)2 (t-2) y P(G,4)=72

Polinomios cromáticos de algunos grafos.

Triángulo K3

Grafo

completo Kn

Árbol con n vérti

ces

Ciclo Cn

Grafo de

Petersen

B.3 Arista coloración

Una arista coloración de un grafo, es una coloración de las aristas, denotada como la asignación de colores a aristas tal que aristas incidentes tengan un color distinto. Una arista coloración con k colores es llamada k-arista-coloración y es equivalente al problema de particionar el conjunto de aristas en k emparejamientos. El menor número de colores necesarios para un arista coloración de un grafo G es el índice cromático o número cromático de aristas. Una coloración Tait es una 3-arista-coloración de un grafo cúbico. El teorema de los cuatro colores es equivalente a que cada grafo cúbico sin puentes admite una coloración Tait.

C. Propiedades

C.1.Cotas del número cromático

Asignando distintos colores a distintos vértices siempre obtendremos una coloración propia, entonces

El único grafo que es 1-coloreable es el grafo sin aristas, y el grafo completo   de n vértices requiere   colores.

Si G contiene un clique de orden k, entonces a lo menos son necesarios k colores para colorear el clique; en otras palabras, el número cromático es a los menos el número de clique:

Los grafos 2-coloreables son exactamente grafos bipartitos, incluidos árboles y bosques. Por el teorema de los cuatro colores, todo grafo plano es 4-coloreable.

C.2. Cotas del índice cromático

La arista coloración es una vértice coloración de su grafo lineal, y viceversa. Esto es,

Existe una fuerte relación entre la arista coloración y el grado máximo del grafo. Como todas las aristas incidentes a algún vértice necesitan colores distintos, tenemos

Más aún,

Teorema de König: Si   es bipartito entonces 

Teorema de Vizing (1964): 

D. Teorema de los cuatro colores

El número cromático de un grafo plano es menor o igual que 4.

Propuesto inicialmente en 1850 y finalmente demostrado por los matemáticos estadounidenses Kenneth Appel y Wolfgang Haken en 1976.

Idea de la Demostración:

Si el teorema era falso, debería existir un contraejemplo, en una lista de aproximadamente 2000 candidatos.

Empleando más de 1000 horas de tiempo de cálculo de un ordenador, no encontraron dicho contraejemplo.

Nota: Los mejores algoritmos conocidos para calcular el número cromático de un grafo, en el peor caso tienen complejidad exponencial (con base en el número de vértices).

E. Aplicaciones

Programación de exámenes finales.- Como programar los exámenes sin que ningún estudiante tenga dos exámenes al mismo tiempo.

Idea: los vértices son las asignaturas y existe una arista entre un par de vértices, si hay un estudiante matriculado en ellas.

Una coloración consiste en una programación y permite determinar el número de jornadas.

Asignación de frecuencias.- Son intervalos de frecuencias del espectro electromagnético asignados a diferentes usos dentro de las radiocomunicaciones. Su uso está regulado por la Unión Internacional de Telecomunicaciones y puede variar según el lugar. El espacio asignado a las diferentes bandas abarca el espectro de radiofrecuencia y parte del de microondas y está dividido en sectores.

Idea: los vértices son los sectores y existe una arista entre un par de vértices, si hay una frecuencia que se cruce con otra.

Almacenamiento en registros.- Los registros deben almacenarse en disco de manera tal que sea posible localizarlos de manera eficiente cuando se les requiera.

Hay varias organizaciones primarias de archivos que determinan la forma en que los registros en disco sin un orden específico, que en tanto que los archivos ordenados (o archivos secuenciales) mantienen los registros ordenados según el valor de un cierto campo. Los archivos dispersos utilizan una función de dispersión para determinar la colocación de los registros en el disco.

F. Ejemplos e imágenes

Grafo que puede ser coloreado de 12 formas diferentes.

G . Bibliografía.

http://teoriadegrafos2010.files.wordpress.com/2011/06/unidad4.pdf

http://eisc.univalle.edu.co/materias/Matematicas_Discretas_2/pdf/colorea_grafos_08.pdf

http://es.wikipedia.org/wiki/Coloraci%C3%B3n_de_grafos#Definiciones_y_terminolog.C3.ADa

http://es.wikipedia.org/wiki/Bandas_de_frecuencia

http://comprendiendolastics.blogspot.com/2012/02/almacenamiento-de-registros-en.html