CAPITULO 8: COLUMNAS CARGADAS AXIALMENTE8.1 INTRODUCCION:

Una columna es un miembro estructural utilizado para transmitir una fuerza de compresión a lo largo de una trayectoria recta en la dirección del eje longitudinal del miembro. En un principio, solo a los miembros en compresión vertical se les denominaba columnas. A veces, a los miembros en compresión se les llama postes. A algunos tipos de miembros en compresión en las armaduras de techos se les llama puntales. En particular, a un miembro que conecta armaduras adyacentes en el alero de un edificio industrial se le llama puntal de alero, mientras que al miembro que conecta armaduras adyacentes en la cumbrera de un edificio industrial se le llama puntal de cumbrera

En este texto, a cualquier miembro en compresión, ya sea horizontal, vertical o inclinado, se le denomina columna, si la fuerza de compresión que transmite es la fuerza fundamental que determina su comportamiento estructural.

Las columnas de acero se pueden clasificar ampliamente como columnas cortas, columnas largas o columnas intermedias. A un miembro en compresión se le puede considerar como una columna corta si su longitud es del mismo orden de magnitud que las dimensiones totales de su sección transversal. Estos miembros generalmente fallan por causa del aplastamiento de su material (figura 8.1.1a).

El esfuerzo de compresión en una columna cargada axialmente está dado por:

En el caso de las columnas cortas, por lo general se considera como la carga limite aquella que produce los esfuerzos de fluencia en el material. Se tiene:

Por lo tanto, la capacidad de carga de una columna corta robusta es independiente a la longitud del miembro

Las columnas largas se pandean elásticamente y el esfuerzo de pandeo se mantiene por debajo del límite de proporcionalidad. Las columnas intermedias también pueden fallar por pandeo, pero durante el pandeo, algunas de sus fibras alcanzan el esfuerzo de fluencia y otras no. Se dice que su comportamiento es inelástico.

8.2 TIPOS DE SECCIONES PARA COLUMNAS:

En la figura 8.2.1 se muestran varios perfiles laminados (rolados) utilizados como columnas. La sección laminada tipo W es el perfil más utilizado para columnas en edificios, sobre todo en los altos. Es fácil conectar los perfiles W a otros miembros, y por lo general, los costos de fabricación son bajos. Las secciones T son adecuadas como miembros de cuerdas en compresión de armaduras de techo soldadas, ya que los miembros del alma se pueden soldar directo al alma de la te. Los ángulos simples y los canales se utilizan como miembros en compresión en torres, así como miembros de contraventeo en armaduras y en estructuras ligeras. Los perfiles HSS, cuadrados y rectangulares, y el tubo circular de acero tienen una distribución de material más favorable en su sección transversal que los perfiles I y con frecuencia resultan ser columnas económicas.

La carga de una columna puede ser tan grande que un simple perfil laminado podría no aportar el área suficiente. De igual forma, la relación de esbeltez de una columna compuesta de un solo perfil puede ser tan grande que reduce el esfuerzo de diseño en compresión a un valor indeseablemente bajo. En ambas situaciones, el problema se puede resolver al utilizar una sección compuesta consistente en varios elementos (perfiles laminados y/o placas) atornillados o soldados entre sí. Los elementos de una sección armada se pueden soldar de manera continua (figura 8.2.2), y mantener unidos e interconectados, de forma muy estrecha, mediante placas de costura a intervalos (figuras 8.2.3a y b), o separadas con amplitud y conectadas mediante un sistema continuo de celosías ( figuras 8.2.3c, d y e). Las placas de costura o celosías (en líneas punteadas en la figura 8.2.3), atornilladas o soldadas, unen los elementos de la sección transversal y los mantienen en posición apropiada para que actúen en conjunto como una sola unidad.

Una sección compuesta que consta de dos ángulos conectados espalda con espalda se utiliza bastante como cuerda o miembro del alma de las armaduras de techo atornilladas y como viguetas de acero de alma abierta (figura 8.2.3a). Las conexiones de extremo se hacen a placas de unión entre los lados verticales. Esta sección también es adecuada como miembros de alma en armaduras soldadas donde se utilizan secciones te como miembros de cuerda. A veces se utilizan un par de canales como miembro de alma en grandes armaduras de techos y de puentes ( figura 8.2.3b). Con frecuencia la sección de cuatro ángulos mostrada en la figura 8.2.3c se encuentra en plumas de grúas o en pequeños mástiles y en grúas torre.

8.3 ESTADOS DE EQUILIBRIO ESTABLE, NEUTRO E INESTABLE

Considere una estructura en equilibrio. Sobre esta estructura se aplica una pequeña fuerza perturbadora y después se retira. Podemos clasificar su equilibrio con base en las tres posibles respuestas de la estructura. Se dice que el equilibrio de la estructura es estable si ésta tiende a regresar a su posición original. Por otro lado, si la estructura continúa alejándose de su posición original, se dice que el equilibrio es inestable. Por último, si la estructura permanece imperturbable en su posición, sin moverse hacia delante y sin apartarse de su posición original, decimos que el equilibrio es neutro. En el primer caso, se requiere de una energía adicional para producir la perturbación; en el segundo caso, se libera energía conforme la perturbación se efectúa; y en el tercer caso, no ocurren cambios en la energía del sistema.

Como primer ejemplo, considere el equilibrio de una bola esférica en tres tipos de superficies rígidas mostradas en las figuras 8.3.1a, b y c. Se puede ver que en la superficie cóncava, la bola (véase figura 8.3.1a) se encuentra en equilibrio estable, mientras que en la superficie convexa (figura 8.3.1c) se encuentra en equilibro inestable. En la superficie horizontal (figura 8.3.1b) se encuentra en equilibrio neutro. En el caso estable, cualquier desplazamiento de la bola desde su posición de equilibrio elevará su centro de gravedad. Se requiere una cierta cantidad de trabajo para producir tal desplazamiento. Por lo tanto la energía potencial de la bola aumenta con cualquier pequeño movimiento desde su posición de equilibrio. En el caso inestable, cualquier desplazamiento desde su posición de equilibrio bajará el centro de gravedad y reducirá su energía potencial. En el caso neutro, no existe cambio de energía durante el movimiento.

Como un segundo ejemplo, considere la columna larga recta articulada sujeta a la carga axial creciente, P, mostrada en las figuras 8.3.2a, b y c. Cuando la carga aplicada es pequeña, el miembro mantiene su perfil lineal y permanece en su posición recta de equilibrio. Si en cualquier momento durante esta etapa se fuerza a una posición flexionada (mostrada con línea punteada en la figura 8.3.2a) y después se retira el agente que la fuerza, la columna regresará a su posición recta.

Entonces la columna se encuentra en un estado de equilibrio estable. Conforme aumenta la carga axial, se alcanzará eventualmente un estado en el cual el miembro, si se fuerza de nuevo a una configuración ligeramente flexionada mantendrá su perfil desplazado al retirar el agente que la fuerza. Bajo esta carga, la columna es capaz de mantener el equilibrio tanto en la configuración recta como en la configuración ligeramente flexionada. Entonces la columna se encuentra en un estado de equilibrio neutro.

Si la carga axial aplicada a la columna recta excede su carga de pandeo, el equilibrio del miembro ya no es estable. Por lo tanto, para determinar la carga crítica de una columna, se debe encontrar la carga bajo la cual el miembro puede estar en equilibrio tanto en la configuración recta como en la ligeramente flexionada

8.3.1 ESTADOS LÍMITE DE PANDEO:

Existen dos modos generales por medio de los cuales pueden fallar las co lumnas de acero cargadas axialmente. Estos son el pandeo del miembro y el pandeo local de la placa. El pandeo del miembro se caracteriza porque no existe distorsión de la sección de la columna. Por otro lado, el pandeo local se caracteriza por distorsión de la sección transversal. El pandeo del miembro puede tomar la forma de pandeo por flexión, pandeo por torsión, o pandeo por flexo-torsión.

En el pandeo por flexión, todas las deformaciones (deflexiones) por pandeo ocurren en uno de los planos principales de la sección transversal de la columna. En el pandeo por flexión no ocurre el torcimiento de la sección transversal. En el pandeo por torsión, las deformaciones por pandeo consisten sólo de rotaciones de las secciones transversales alrededor del eje longi-tudinal del miembro. En el pandeo por nexo-torsión, las deformaciones por pandeo consisten en una combinación de rotación y flexión alrededor de los dos ejes de flexión del miembro. El pandeo de la placa ocurre cuando los elementos de compresión de la sección transversal de un miembro son tan delgados que se pandean localmente antes que' puedan ocurrir otros modos de pandeo del miembro.

El tipo más simple de pandeo es el pandeo por flexión. El estado límite de pandeo por flexión es aplicable para columnas cargadas axialmente con secciones doblemente simétricas, como barras, HSS, HSS redondos y perfiles I, así como secciones de una sola simetría„ como los perfiles T y C. El estado límite de pandeo por torsión es aplicable a columnas cargadas axial-mente con secciones abiertas con doble simetría con elementos de sección transversal muy esbelta. Los ejemplos de estas secciones incluyen perfiles I, secciones cruciformes y secciones que constan de cuatro ángulos colocados espalda con espalda. El estado límite de pandeo por flexo-torsión es aplicable a columnas con perfiles de una sola simetría, como ángulos dobles, perfiles T y C y secciones transversales asimétricas.

8.4 PANDEO ELÁSTICO POR FLEXION DE UNA COLUMNA ARTICULADA EN SUS EXTREMOS:

Para derivar la ecuación diferencial de pandeo por flexión de una columna articulada en sus extremos Se hacen las siguientes suposiciones:

1. La columna es prismática y tiene una sección transversal con doble simetría.2. La columna es perfectamente recta.3. La fuerza de compresión se aplica a lo largo del eje centroidal de la columna.4. No existen cargas transversales.5. Los extremos del miembro están idealmente articulados. Esto es, el extremo inferior

de la columna cuenta con una articulación inmóvil, en tanto que el extremo superior está soportado de tal manera que puede rotar con libertad y moverse de manera vertical, pero no horizontalmente.

6. El material es homogéneo y obedece la Ley de Hooke.7. Las secciones planas antes de la deformación permanecen planas después de la

deformación.8. Las deformaciones del miembro son pequeñas. Esto es, la curvatura se puede

aproximar mediante la segunda derivada del desplazamiento lateral.9. Se desprecia la influencia de las deformaciones por cortante. -10. No ocurre giro o distorsión de la sección.

La columna articulada ACB de longitud L, inicialmente recta, que se muestra en la figura 8.4.1a, se sujeta a una compresión axial P aplicada a través del centroide de la sección del extremo. El miembro se orienta con su eje longitudinal a lo largo del eje z del sistema de coordenadas. De acuerdo con el criterio de equilibrio neutro presentado con anterioridad, la carga crítica es aquella para la cual la columna es indiferente a si se mantiene recta o flexionada. Es decir, es posible mantener el equilibrio en la configuración ligeramente flexionada mostrado como AC'B en la figura 8.4.1b. Supondremos que el pandeo por flexión ocurre alrededor del eje y del miembro (es decir, las deformaciones por pandeo se encuentran en el plano xx).

La deflexión en D, a una distancia z de A, se denota por la u relativa a la línea recta AB a lo largo del eje z. La figura 8.4.1e muestra el diagrama de cuerpo libre del segmento AD' de la columna. El equilibrio de momentos con respecto a D' del cuerpo libre en el estado de pandeo da:

Al suponer que la columna tiene una rigidez uniforme a la flexión, El, con relación al eje y, y lile

las deflexiones son lo suficientemente pequeñas para que se desprecie ( dudz

)2

el momento

resistente está dado por:

Donde, E es el módulo de elasticidad, I es el momento de inercia con respecto al eje de pandeo, y φ es el radio de curvatura en la sección z. Al sustituir los resultados de la ecuación 8.4.2 en la expresión de equilibrio de la ecuación 8.4.1 y al arreglar de nuevo, se obtiene la ecuación diferencial que controla la forma flexionada de la columna, como sigue:

La ecuación 8.4.4 es una ecuación diferencial homogénea, lineal, de segundo orden, con coeficientes constantes. La solución general de esta ecuación es su solución homogénea, esto es,

Donde A y B son constantes de integración. Esto puede verificarse con facilidad de cualquier d2udz2

de la ecuación 8.4.6 y al sustituir para u y d2udz2

en la ecuación 8.4.4. La ecuación 8.4.6

tiene tres incógnitas. A ,B y α . Para determinarlas, se emplean dos condiciones de frontera (o condiciones de extremo). Las condiciones de extremo de la columna establecen que las deflexiones de la columna son cero en ambos extremos A y B.

u=0en z=0 ;u=0en z=L (8.4.7)

Al sustituir la condición de extremo u=0en z=0 en la ecuación 8.4.6 se obtiene que B=0, y la curva flexionada se convierte en:

u=A senαz (8.4.8)

Después, al aplicar la condición de extremo u=0en z=L, se tiene

A sen αL=0 (8.4.9)

Si A=0 , α (y como consecuencia P) puede tener cualquier valor, y de la ecuación 8.4.8, u=0 para todo z. A esta solución se le conoce como solución virtual, ya que en forma simple establece que una columna está en equilibrio bajo cualquier carga axial P mientras que el miembro permanezca perfectamente recto. Las soluciones no triviales que describen la posición de equilibrio de la columna en una configuración ligeramente flexionada son posibles para valores, particulares o característicos de α, y en consecuencia, de P. Estas se obtienen al resolver la ecuación 9.4.10b, de donde resulta:

αL=nπ →α=nπL

Donde n=0 ,1,2 ,3 ,… el valor n=0 no es importante, porque para ese valor de carga P también es cero, lo que significa que la columna no tiene carga. Para valores de n diferentes a cero, la sustitución de esta expresión en la ecuación 8.4.5 da las cargas para las cuales se pueden obtener soluciones no triviales de la ecuación 8.4.9:

P=P crn=n2π2 EI

L2

Al sustituir el valor de α de la ecuación 8.4.11 en la ecuación 8.4.8, los desplazamientos correspondientes están dados por:

u=un=An sen n zL

Para cargas axiales dadas por la ecuación 8.4.12, denominadas cargas críticas o cargas de pandeo, la columna puede estar en equilibrio en un perfil ligeramente flexionado como el definido por la ecuación 8.4.13.

De las cargas críticas dadas por la ecuación 8.4.12, la más importante es la más pequeña y corresponde a n = 1. A ésta se le conoce como la carga de Euler de una columna articulada en sus extremos, llamada así en nombre del matemático suizo Leonhard Euler. Entonces, la carga de Euler de una columna articulada en extremos es

PE=Pcr 1=π 2EI

L2

Con la ayuda de las ecuaciones 8.4.5 y 8.4.14, se observa que para O < P < PE no se puede satisfacer la condición sen αL = O (ecuación 8.4.10b) y la solución dada por la ecuación 8.4.13 no existe. Para esta condición A = O y la única configuración posible para la columna es la recta (figura 8.4.2). Entonces, para P < PE la configuración recta es estable. Si P = PE , el perfil deformado de la columna pandeada dado por la ecuación 8.4.13 es válido, pero su amplitud es indeterminada. De la ecuación 8.4.9, A puede tener cualquier valor cuando sen aL = O, esto es, a la carga de pandeo, PE (figura 8.4.2).

Las cargas críticas correspondientes a n >1 ocurren a cargas mayores y sólo son posibles si la columna está soportada en puntos intermedios entre sus extremos. El coeficiente n indica el número de semi-ondas senoidales que torna la configuración flexionada de la columna. Las configuraciones de la columna para las tres primeras cargas críticas (n = 1, 2, 3) se grafican en la figura 8.4.3. Ya que se suponen pequeñas deflexiones, se puede representar: la curvatura de la columna por la segunda derivada del desplazamiento.

Fig. 8.4.3 Los primeros tres modos de pandeo de una columna articulada

De esta ecuación y de la ecuación 8.4.13, se puede ver que la curvatura es cero cuando z es igual a cualquier múltiplo de L/n. Por tanto, se puede concluir que los puntos marcados con "X" en las figuras 8.4.3a, b y c, son lugares de curvatura cero y por lo tanto son puntos de inflexión de la configuración pandeada. Si se recuerda que la curvatura también es una función del momento interno de flexión, se puede concluir que el momento interno en la columna pandeada es cero en estos puntos.

Valores de n mayores a 1 no son posibles, a menos que se restrinja en forma física a la columna articulada y se evite que se flexione en los puntos en los que pudiera ocurrir la inversión de la curvatura. Así, si se provee soporte a la mitad de la altura (figura 8.4.3b) se fuerza a la configuración pandeada a un segundo modo y resulta una carga crítica multiplicada por un factor de cuatro. Si se provee soporte en los puntos en los tercios, se fuerza a la configuración pandeada al tercer modo, que provoca una carga de pandeo que es nueve veces la del primer modo (figura 8.4.3c). A la distancia entre dos puntos sucesivos de inflexión de la configuración pandeada de una columna se le conoce como longitud efectiva de la columna. Si indicamos esta longitud mediante Le, se pueden rescribir las ecuaciones 8, 4,12 y 13.

Pcrn=π 2EI( L/n)2

=π 2EILe2

Fig. 8.4.2 Equilibrio estable, neutro e inestable de una columna larga ideal

un=An sen( πzL/n )=δ n sen ( πz

Le )

Donde δ n es la amplitud de la curva senoidal del enésimo modo crítico.

La estabilidad de una columna articulada también se podría estudiar al considerar la variación de la rigidez de ese miembro como una función dela carga axial, P. la carga crítica Pcr , corresponde a la carga a la cual la rigidez del miembro se reduce a cero. Como se indicó antes, para una columna articulada, cargada axialmente, la carga critica a la que la columna se pandea está dada por la carga de Euler dada en la ecuación 8.4.14, si se dividen los dos miembros de la ecuación 8.4.14 entre el área de la sección transversal de la columna, se puede determinar el valor del esfuerzo correspondiente a la carga critica. A este esfuerzo se le denomina esfuerzo crítico y se denota mediante f cr.

f cr=Pcr

A=

PE

A= π2EI

AL2

Si se observa que I=Ar2, donde r es el radio giro de la sección de la columna con respecto al eje de pandeo, se obtiene:

f cr=FE=π2E (Ar2)

AL2= π2 E

(L/r )2

Donde, FE es el esfuerzo de pandeo elástico de una columna articulada (esfuerzo de Euler), y a (L/r ) se le conoce como la relación de esbeltez de la columna articulada. En la figura 8.4.4, se muestra una interpretación gráfica de la de cuación 8.4.4, donde el esfuerzo crítico de la columna articulada se grafica como una función de la relación de esbeltez. La curva resultante es una hipérbola, conocida como la hipérbola de Euler. Sin embargo, ya que la ecuación 8.4.18 se deriva con base en un comportamiento elástico, el f cr determinado por esta ecuación no puede exceder el esfuerzo de fluencia del material, F y. Entonces, la hipérbola mostrara en la figura 8.4.4 se indica punteada más allá del esfuerzo de fluencia del material, y esta porción de la curva no se puede utilizar.

Fig. 8.4.4 variación del esfuerzo critico para una columna articulada

La resistencia nominal de un miembro en tensión está dada como T=AF y, mientras que la resistencia de una columna larga, articulada, cargada axialmente, se muestra que está dada por PE=π2EI /L2. La capacidad de carga de una columna larga no solo depende entonces de la cantidad de material presente en la sección transversal, como es el caso de los miembros en tensión, sino también de su distribución, como lo hace evidente la presencia del momento de inercia,I . Una sección dada de una columna tiene dos momentos de inercia principales, I x e I y. Asociados a cada uno de ellos existe una carga que hace que el miembro se pandee alrededor del eje correspondiente, indicada por PEx y PEy. La carga que hace que la columna articulada se pandee es el menor de los valores. Entonces, para una columna articulada en sus extremos expresar:

FEx=π 2ELx

Lx2 ;=PEy=

π2EI y

L y2

Al suponer que el miembro no cuenta con un soporte intermedio con respecto a ningún eje, tenderá a pandearse con respecto al eje más débil (el que está asociado con el menor momento de inercia). En consecuencia se observa que una sección transversal redonda o cuadrada no tendría una dirección preferente de pandeo.

En la derivación de la carga critica para la columna articulada, suponemos que la columna es perfectamente recta. Sin embargo, en la práctica, los miembros de acero casi siempre contienen pequeñas imperfecciones geométricas iniciales e inevitables, como resultado de los procesos de laminado, fabricación y montaje

EJEMPLO 8.4.1

Influencia de la geometría de la sección transversal

Determine el esfuerzo y la carga de Euler para las cuatro columnas articuladas que tienen una longitud L de 30 pies y un módulo de elasticidad E de 29 000 ksi mostradas en la figura X8.4.1. Las secciones transversales son a) una barra cuadrada de 4.36 pulg, b) cuatro ángulos 6 x 4 x 1/2 atornillados espalda con espalda con un espaciamiento de ¾ pulg para placas de costura, c) los mismos cuatro ángulos soldados entre sí para formar un perfil de cajón y d) los mismos cuatro ángulos conectados con celosías para formar una caja abierta de 12 por 16 pulg. Los datos para un L6 x 4 x 1/2 simple se muestran en la figura X8.4.1e.

SOLUCION:

Todas las secciones consideradas son de doble simetría. Por tanto, los ejes principales son los planos de simetría, y el centro de gravedad, G, está localizado en la intersección de los dos planos de simetría, como se muestra.

a) Barra cuadrada

Tamaño 4.36 por pulg

A=bd=4.36 (4.36 )=19.0 pulg2

I= 112

bd3= 112

(4.36 ) (4.36 )3=30.1 pulg4

r=√ IA

=√ 30.119.0=1.26 pulg

e)

Relación de esbeltez

Lr=30 (12 )1.26

=286

Esfuerzo de Euler,

FE=π2 E¿¿

Carga de Euler

PE=FE A=3.50 (19.0 )=66.5 kips

b) Sección cruciforme

Para un ángulo de 6 x 4 x 1/2 simple, se tiene de la tabla 1-7 del LRFDM:

AL=4.72 pulg2 , I xL=17.3 pulg4 , yL=1.99 pulg

I vL=6.21 pulg4 , xL=0.986 pulg

Para la sección compuesta mostrada en la figura X8.4.1b:

A=4 (4.72 )=18.9 pulg2

I x=4 [ I 0+Ad2 ] x=4 [17.3+4.72( 38 +1.99)2]=175 pulg4

I y=4 [ I 0+ Ad2 ]y=4[6.21+4.72( 38 +0.986)2]=59.8 pulg2

r x=√ 17518.9=3.04 pulg ;r y=√ 59.818.9=1.78 pulg←controla

Relación de esbeltez de la columna

Lr= L

r y=30(12)1.78

=202

Esfuerzo de Euler

FE=π2(29000)2022

=7.01 ksi

Carga de Euler

PE=7.01 (18.9 )=132kips

Perfil de cajón

Para la sección8.4.1c,

A=18.9 pulg2

I x=4 [ I 0+Ad2 ] x=4 [17.3+4.72 (6.00−1.99 )2 ]=373 pulg4

I y=4 [ I 0+ Ad2 ]y=4 [6.21+4.72 (4.00−0.986 )2 ]=196 pulg4

r x=√ 37318.9=4.44 pulg;r y=√ 19618.9=3.22 pulg ←controla

Relación de esbeltez de la columna

Lr= L

r y=30(12)3.22

=112

Esfuerzo de Euler

FE=π2(29000)1122

=22.8 ksi

Carga de Euler

PE=22.8 (18.9 )=431kips

D ) Columna con celosía para la columna enrejada mostrada en la figura X8.4d,

A=18.9 pulg2

I x=4 [17.3+4.72 (8.00−1.99 )2 ]=751 pulg4

I y=4 [6.21+4.72 (6.00−0.986 )2 ]=500 pulg4

r x=√ 75118.9=6.31 pulg;r y=√ 50018.9=5.14 pulg←controla

Relación de esbeltez

Lr= L

r y=30(12)5.14

=70.0

Esfuerzo de Euler

FE=π2(29000)70.02

=58.4 ksi

Carga de Euler, PE

PE=58.4 (18.9 )=11.00kips

Los resultados se resumen en la siguiente tabla:

Observaciones

1. Todas las columnas consideradas son del mismo material y tienen la misma longitud, condiciones de extremo, y área de la sección transversal. Por lo que el incremento en la resistencia crítica elástica de las columnas de la a) a la d) se debe al arreglo mejorado del material en la sección transversal. Ya que la resistencia al pandeo de una columna se debe sobre todo a su resistencia a la flexión, en la práctica las columnas largas se deben diseñar de tal manera que la mayor cantidad posible de material de columna quede alejado del eje de pandeo.

2. Este simple ejemplo muestra que el perfil de cruz, una sección abierta compuesta con cuatro ángulos, es muy ineficiente para transmitir cargas de compresión

Alcanzar la carga de Euler para el cajón con celosías supone que todas las fibras de la columna continúan comportándose, de manera elástica, bajo un esfuerzo uniforme de 58.4 ksi.

8.5 LONGUTUD EFECTIVA DE COLUMNAS EN ESTRUCTURAS

La carga de pandeo elástico de una columna está influida por la restricción del extremo proporcionado a la columna. Por ejemplo, si uno de los extremos de la columna articulada estudiada en la sección 8.4 se empotra, la carga de pandeo elástico aumenta dos veces

Pe=π2EI(KL)2

En este caso

L = longitud de la columna

KL= longitud efectiva de la columna

K= factor de longitud efectiva

Pe = carga de pandeo elástico por flexión de una columna

8.5.1 Introducción

En los marcos de edificios de acero, por lo general, las columnas se fabrican en tramos de dos pisos o más. Estas longitudes se empalman rígidamente una con otra. El extremo inferior de cada columna del primer tramo se atornilla mediante ángulos de conexión o se suelda, en forma directa, a la placa base sobre la que descansa la columna. La longitud sin soporte, L, de cada columna se considera como la distancia entre el eje central de las trabes en pisos sucesivos. Para el piso más bajo, ésta es la distancia desde el extremo infe-rior de esa columna al eje central de la trabe del segundo piso.

Las bases de las columnas se pueden diseñar para que sean conexiones articuladas o empotradas (figura 8.5.1). Por lo común, las conexiones de las bases de las columnas articuladas, sujetan la placa base a la cimentación mediante cuatro barras de anclaje, como se muestra en la figura 8.5.1a. Las conexiones de las columnas de base empotrada, a menudo, tienen placas base pesadas con cuatro o más barras de anclaje localizadas fuera de las puntas de los patines, tan alejadas de los ejes de pandeo de la columna como sea práctico (figura 8.5.1b).

Fig. 8.5.1 Conexiones de extremo de columna

Un marco contraventeado es aquel en el cual la resistencia a cargas laterales o a la inestabilidad del marco se proporciona mediante contraventeo diagonal, muros de cortante u otros medios equivalentes. Si una columna forma parte de un marco adecuadamente contraventeado, no ocurre la traslación lateral del extremo superior de la columna con respecto a su extremo inferior, cuando el marco se pandea figura 8.5.2a. Esto es, durante el proceso de pandeo, las uniones de un marco contraventeado permanecen en sus posiciones originales. Tener en cuenta que los valores de K en los marco contraventeados son menores o igual a 1. Cuando ocurre el pandeo de tales marcos el extremo superior de una columna característica se traslada en forma lateral con respecto a su extremo inferior figura 8.5.2b y c

Un marco contraventeado es aquel en el cual la resistencia a cargas laterales y al pandeo lo proporciona, en su totalidad, la resistencia a la deflexión de sus propios miembros (trabes y columnas) y la rigidez de sus conexiones. Cuando ocurre el pandeo de tales marocs el extremo superior de una columna característica se traslada en forma lateral con respecto a su extremo inferior figura 8.5.2b y c. LA LONGITUD EFECTIVA DE UNA COLUMNA EN UN MARCO NO CONTRAVENTEADO SIEMPRE EXCEDE SU LONGITUD REAL L. Entonces el valor de k en marcos no contraventeados es mayores a 1.

A la deflexión lateral del extremo superior de una columna con respecto a su extremo inferior se le conoce como desplazamiento lateral. Por lo tanto, a los marcos contraventeados también se les conoce como marcos restringidos al desplazamiento lateral. En la figura 8.5.3 se muestra el rango de los factores de longitud efectiva para columnas en marcos portal

8.5.2 Influencia de las condiciones en extremos de columnas aisladas

En la figura 8.5.4 se dan los factores de longitud efectiva para ocho columnas aisladas que son idénticas en todos los aspectos, excepto por sus condiciones en los extremos. Se considera condiciones ideales en los extremos, en los que se aplica restricción total a la rotación y a la traslación de los mismos, o no existe restricción. Para todas las columnas, la base se encuentra fija contra la traslación. Las líneas punteadas en la figura 8.5.4 se muestra la posición original para estas columnas, en tanto que las líneas continuas representan la configuración pandeada cuando la carga axial alcanza la carga crítica para cada columna. En la configuración pandeada se muestra con una X la ubicación de los puntos de inflexión, o puntos contra-flexión donde la curvatura cambia de signo y el momento interno es igual a cero. Debido a que no existe traslación de los extremos superiores de las columnas a,b,c y d, estas representan columnas que son parte de marcos contraventeados.

Las columnas e,f,g y h representan columnas que son de marcos no contraventeados ya que el extremos superior de estas columnas tiene libertad para trasladarse con relación al extremo inferior del mismo. La columna d representa una columna articulada estándar. La columna g tiene un extremo empotrado y el otro en total libertad para rotación y traslación. Conocidas como columna en voladizo. Las astas banderas y algunas torres de puentes son estructuras

que se aproximan mucho a este tipo de columna ideal. La condición de empotramiento total en la base de una columna solo se puede aproximar cuando la columna se ancla con seguridad al ahogarse en una zapata de concreto o en la cabeza de un pilote. También se puede aproximar cuando la columna se sujeta mediante una conexión atornillada resistente a momentos a una zapata diseñada para resistir el momento de volteo y para la cual la rotación es depreciable.

Además de los valores teóricos para los factores de longitud efectiva, en la figura 8.5.4. Los valores de diseño para k sugeridos por el Structural Stability Research Council (SSRC). Los valores también se dan en la tabla c-c2.1 del LRFDC. Los valores son modificantes de los valores ideales que toman en cuenta el hecho que, en la práctica, es imposible obtener una restricción total contra la rotación.

TABLA C-C2.1 DEL LRFD

Las columnas con base articulada con conexiones diseñadas solo para cargas verticales figura 8.5.1a proporcionan una restricción sustancial contra la rotación. En consecuencia, la longitud efectiva de la columna d de la figura 8.5.4 puede en realidad ser, de alguna manera, menor que la longitud real. Pero si somos conservadores, en la tabla c-c2.1 del LRFD se recomienda un valor igual a cero.

8.5.3 Influencia del arriostramiento intermedio

Arriostramiento es la acción de rigidizar o estabilizar una estructura mediante el uso de elementos que impidan el desplazamiento o deformación de la misma son estructuras de sujeción y equilibrio en la construcción de edificaciones mediante contrafuertes, arbotantes, tirantes metálicos, de madera,etc.

Para reducir las longitudes efectivas de las columnas y de esta manera incrementar su capacidad de carga, con frecuencia se arriostran las columnas en uno o más puntos a los largo de la longitud. La deflexión de na columna pandeada en el punto de arriostramiento es cero. El

propio arriostramiento o contraventeo, en general forma parte del sistema estructural para el resto del edificio y con frecuencia tiene otras funciones. Por ejemplo, en los edificios industriales los paneles de los muros verticales se sujetan a elementos horizontales llamados trabes, que a su vez se sujetan en las columnas localizadas a los largo del muro figura 3.4.3.

Además de soportar los paneles de los muros, las trabes sirven para contraventear las columnas. En general, las trabes se sujetan al alma de la columna mediante conexiones del tipo de cortante simple que se suponen incapaces de proveer alguna restricción rotacional. Por lo tanto, las trabes evitan que la columna se desplace en forma lateral en los puntos de arriostramiento, pero no evitan que las columnas giren en dichos puntos.

Tipos de trabes en acero.

Por su geometría IR, IPR, W, WF, HF, IS es decir en sección I con algunas variantes. Canal en C, ángulos L, OR tubular cuadrada y rectangular, OC tubular circular, OS redonda solida

En la figura 8.5.6 a se muestra el monograma para determinar el factor k de longitud efectiva en estructuras de pisos múltiples con desplazamiento lateral restringido (columnas en marcos arriostrados). En la figura 8.5.6b se muestra el monograma para columnas en marcos rectangulares con desplazamiento lateral no impedido (columnas con marcos no arriostrados). En el desarrollo de los monogramas se considera un subensamble que consta de la columna en cuestión y de solo las trabes y columnas que conectan, de manera directa, esa columna.

El modelo determinado para la determinación del factor de longitud efectiva para la columna AB del marco contraventeado de la figura 8-5.7 a se muestra en la figura 8.5.7b.

El modelo utilizado para la determinación del factor de longitud efectiva para la misma columna AB, pero dentro del marco no arriostrado de la figura 8.5.8 a , se muestra en la figura 8.5.8b.

Los nomogramas se basan en suposiciones de condiciones ideales que rara vez se satisfacen en su totalidad en estructuras reales. Estas suposiciones son las siguientes:

1. La estructura consta de marcos rectangulares regulares.

2. Todos los miembros tienen sección transversal constante.

3. Todas las conexiones trabe a columna son conexiones rígidas.

4. El parámetro de rigidez es el mismo para todas las columnas.

5. Todas las columnas alcanzan su carga de pandeo de forma simultánea.

6. En una unión, el momento restrictivo provisto por las trabes se distribuye en la columna arriba y debajo de la unión considerada, en proporción a las relaciones I/L de las dos columnas.

7. No existe fuerzas de compresión axial significativa en las trabes.

8. El comportamiento del material es lineal y elástico.

9. Para marcos arriostrados, al inicio del pandeo, la rotación en los extremos opuestos de las trabes es igual en magnitud y en sentido contrario, y se produce curvatura simple simétrica por flexión. Observamos que la rigidez rotacional de dicha trabe es (2EI/L)

Para utilizar monogramas es necesario conocer los tamaños preliminares de las trabes y de las columnas que conectan a la columna en cuestión. Entonces debe hacerse la evaluación de los extremos de la columna en estudio. El factor de rigidez relativa, tambien conocida como factor G, es igual al cociente entre la sumatoria de la rigidez rotacionales de los miembros desestabilizadores de esa misma unión y la sumatoria de las rigideces rotacionales de los miembros estabilizadores en esa misma unión. En términos generales, las columnas son miembros desestabilizadores, en tanto que las trabes son miembros estabilizadores. Entonces:

En este caso EC IC LC representan el modulo de elasticidad, el momento de inercia y la

longitud de una columna Eg I g Lg y representan esas mismas cantidades para el trabe,

∑ c indica toda las sumatoria de todas las columnas y ∑ g la de todas la trabes conectadas rígidamente a la unión considerada y que están en el plano en que ocurre el pandeo de la columna en estudio.

Considerada y que están en el plano en que ocurre el pandeo de la columna en estudio. Los momentos de inercia se refieren a los ejes de la sección transversal con relación a los cuales se da el pandeo. Entonces, si el pandeo ocurre en el plano del papel, los momentos de inercia se dan alrededor de los ejes perpendiculares al plano del papel. En una estructura de acero, por lo general, las columnas y los trabes tienen el mismo módulo de elasticidad, por lo que los términos y en las ecuaciones 8.5.2 se cancelan. Para el caso específico de la columna AB en las figuras la siguiente manera.

GA=

I c

Lc+

I c1

Lc1

I g 1

Lg 1+

Ig2

Lg2

; GB=

I c

Lc+

I c 2

Lc 2

I g3

Lg3+

Ig4

Lg 4

(8 .5 .3)

En estas expresiones, las cantidades IC y LC representan el momento de inercia y la longitud de la columna AB bajo investigación. Los subíndices c1 y c2 se refieren a las columnas adyacentes y los subíndices g1,g2,g3 y g4 se refieren a las trabes adyacentes. También para los marcos rectangulares considerados aquí.

Lg3=L

g1y L

g4=L

g2

Si se utiliza el método de la pendiente deflexión y las suposiciones mencionadas antes, se puede obtener las siguientes expresiones de pandeo para la columna AB del marco contraventeado de la figura 8.5.7.

)2.5.8(/)2(/)2(

aoarriostradmarcounencolumnaunaparaLIEgLIEc

GGGG

CCC

)2.5.8(/)6(/)6(

boarriostradnomarcounencolumnaunaparaLIEgLIEc

GGGG

CCC

)2.5.8(/)(/)(

cnoooarriostradmarcounencolumnaunaparaLIEgLIEc

GGGG

CCC

)2.5.8(/)2(/)2(

aoarriostradmarcounencolumnaunaparaLIEgLIEc

GGGG

CCC

)2.5.8(/)6(/)6(

boarriostradnomarcounencolumnaunaparaLIEgLIEc

GGGG

CCC

)2.5.8(/)(/)(

cnoooarriostradmarcounencolumnaunaparaLIEgLIEc

GGGG

CCC

GAGB

4 ( πK )

2[1− ( πK )

tan( πK ) ]+ tan ( π

2K )( π2K )

−1=0 (8 .5 .4 )

El monograma de la figura 8.5.6 a es una solución grafica para esta ecuación trascendental. De manera similar, al utilizar el método pendiente-deflexión y las suposiciones relacionadas anteriormente, se puede obtener la siguiente ecuación característica para la columna AB del marco no contraventeado de la figura 8.5.8. El monograma de la figura 8.5.6b es una solución grafica para esta ecuación trascendental.

GAGB( πK )

2

−36

6(GA+GB)−

( πK )

tan( πK )

=0 ( 8. . 5. 5 )

Cuando se han calculado Ga y Gb, se introduce al nomograma apropiado con estos 2 parámetros y se traza una línea recta entre los 2 puntos que representan a Ga y Gb en las escalas exteriores y se lee el valor de K en la escala central en el punto que corta la línea.

Desplazamiento lateral no impedidob)

Desplazamiento lateral impedidoa)

Observe que cuando se conectan de forma rigida miembros muy rigidos, tales como trabes muy peraltadas a columnas flexibles G tiende a 0 y el factor K tiende a ser muy pequeño y por otro lado si se conectan trabes largas y flexibles a columnas cortas G tiende a infinito y K a ser muy grande. (Los valores más comunes de K están entre 2 y 3)

Las ecuaciones 8.5.4 y 8.5.5 y los monogramas de la figura 8.5.6 se desarrollaron bajo condiciones ideales. Cuando las condiciones reales difieren de las supuestas, debe tenerse cuidado para no caer en diseños no realistas.Cuando el extremo inferior de una columna se sujeta a una zapata debe ponerse en práctica algún juicio para seleccionar el valor de G. Para una columna articulada a una zapata o a una losa de cimentación es infinito en teoría. Sin embargo, a menos que se proporcione una articulación libre de friccion el LRFDC recomienda un valor de G de 1 para tener en cuenta la imposibilidad practica de alcanzar un empotramiento completo.

Entonces se utiliza: G=10 paraunabasearticulada(8.5 .6a)G=1.0 paraunabaseempotrada (8.5 .6b)

En la teoría se supone que los extremos de las trabes están rígidamente conectados a las columnas, sin embargo si los extremos de la trabe están articulados o sujetos debe modificarse la rigidez de la trabe. Esto se logra al introducir un modificador de la rigidez.

Para todos los marcos.1. Si ambos extremos de una trabe están rígidamente conectados a columnas, el modificador α g para

tal trabe es 1. 2. Si el extremo cercano de una trabe esta articulado, la trabe no puede proporcionar ninguna

restricción al extremo de la columna en cuestión. Entonces, el modificador α g para esa trabe es igual a 0.

Para marcos arriostrados:1. Si el extremo de una trabe más alejado de la unión considerada esta articulado su rigidez rotacional es 3 EI g/ Lg. En consecuencia, para ajustar los cálculos al tener presente que el extremo más alejado de una trabe esta articulado, la relación correspondiente I g/ Lg de la expresión del factor G se debe multiplicar por 3/2. Entonces, el coeficiente α g para esa trabe es 1.5.2. Si el extremo lejano de una trabe esta articulado, su rigidez rotacional es 4 EI g/Lg . En consecuencia, se debe multiplicar por 4/2 el termino I g/ Lg de esa expresión para considerar que el extremo lejano de la trabe esta empotrado. Por lo tanto, el coeficiente α g para esa trabe 2.0.

Para marcos no arriostrados:1. Si el extremo más lejano de una trabe esta articulado, su rigidez rotacional es 3 EI g/ Lg de ahí que, para ajustar los cálculos para el extremo lejano articulado de una trabe su término I g/ Lg se multiplica por (3/6). Entonces, el coeficiente α g para esa trabe es 0.5.2. Si el extremo de una trabe esta empotrado, su rigidez rotacional es 4 EI g/Lg. De ahí que, para ajustar los cálculos para el extremo lejano empotrado de una trabe su término I g/ Lg en la expresión del factor G se multiplica por (4/6). Así, el coeficiente α g de esa trabe es 0.67.

k=3GA GB+1.4 (GA+GB )+0.643GA GB+2.0 (GA+GB )+1.28

(8.5.8)

Para el caso de una columna articulada en A, esto es, cuando GA es infinitamente grande, la aproximación anterior produce la siguiente expresión:

K=3GB+1.43GB+2.0

(8.5 .9)

O, al utilizar el valor recomendado de 10 para GA para bases articuladas prácticas, se tiene

K=31.4GB+14.632.0GB+21.3

(8.5 .10)

Si la columna esta empotrada en A, GA=0, en teoría y la ecuación 8.5.8 resulta:

K=1.4GB+0.642.0GB+1.28

(8.5 .11)

O, al utilizar el valor recomendado de 1.0 para GA:

K=4.4GB+2.045.0GB+3.28

(8.5.12)

En caso particular donde GA=GB=G, se tiene:

K=G+0.4G+0.8

(8.5.13)

De nuevo, como una alternativa para el uso del nomograma de la figura 8.5.6b, se puede utilizar la siguiente solución aproximada de la ecuación trascendental 8.5.5, para determinar la longitud efectiva de las columnas en marcos no arriostrados :

K=√ GA (1.6GB+4.0 )+(4GB+7.5 )GA +GB+7.5

(8.5.14 )

Por último, cuando GA=GB=G:K=√0.8G+1.0(8.5.19)

La carga axial de compresión en una trabe reduce su rigidez rotacional, la que, a su vez, tiene un efecto adverso en la longitud efectiva de la columna (véase suposición 7). Para contabilizar cualquier carga axial de compresión, el parámetro de rigidez de la trabe (I/L)g en la ecuación

8.5.7 debe multiplicarse por el factor

1−Pug

Pcrg (8.5 .20)

Donde Pug es la fuerza axial de compresión en la trabe bajo cargas factorizadas y Perg es la carga

de pandeo por flexión dentro del plano de la trabe con base en un valor de K = 1.0 . Al determinar G, se puede despreciar la carga de tensión axial en las trabes.

8.5.5 Miembros en compresión en armadurasEn las armaduras trianguladas, por lo general, las cargas sólo se aplican en las uniones, y se

supone que éstas son articuladas. Por lo tanto-, sólo existen cargas axiales en los miembros. La traslación relativa de los extremos de un miembro en compresión de una armadura en la dirección perpendicular a su eje longitudinal es el resultado de las deformaciones axiales acumuladas de todos los demás miembros de la armadura bajo carga y es relativamente pequeña. Si las uniones están rígidamente conectadas, ya sea por soldadura o mediante el uso de placas de unión atornilladas pesadas, se desarrolla alguna flexión secundaria. El efecto de estas distorsiones secundarias sobre el pandeo de las armaduras es por lo común muy pequeño.

En una armadura ordinaria, diseñada, de manera óptima, para un sistema de cargas de posición fija, las cargas de pandeo en los miembros en compresión y las cargas de fluencia en los miembros en tensión se alcanzan aproximadamente al mismo nivel de la carga viva aplicada. Por lo que se recomienda que, a menos que se realice un análisis preciso, K debe considerarse como unitario. Esto es, para pandeo en el plano de la armadura, la longitud efectiva de una cuerda en compresión debe considerarse como la distancia completa entre nodos de los tableros. Sin embar-go, en una armadura de techo de peralte casi constante, en la que se utiliza un solo miembro de sección transversal constante a lo largo de toda la longitud de la armadura, puede considerarse a K como 0.9, y a L como la distancia entre los nodos de los tableros. Los miembros del alma en las armaduras que están diseñados para mover sistemas de cargas vivas se pueden diseñar con K = 0.85. En tales diseños, el miembro más cercano a la carga de pandeo se verá restringido por los miembros adyacentes con menos carga. Se pueden aplicar reglas similares para evaluar la longitud efectiva de cuerdas para pandeo en el plano perpendicular a la armadura principal y para los casos cuando la cuerda se convierte en una componente del sistema superior de soporte lateral de armaduras.Si la magnitud de la fuerza de compresión cambia a un nodo inferior de tablero que no está arriostrado de manera perpendicular al plano de la armadura principal (véanse figuras 8.5.9a y b), el factor de longitud efectiva para el pandeo perpendicular al plano de la armadura principal se puede determinar mediante la relación:

K=0.75+0.25P1P2

(8.5.21)

donde :P2 = la mayor de las dos fuerzas de compresión

P1 = la menor de las dos fuerzas de compresión

K = factor de longitud efectiva para pandeo perpendicular al plano de la armadura principal

En el caso de miembros de alma horizontales de armaduras con contraventeo en forma de K (mostrados en la figura 8.5.9c), donde P1 es compresión (con signo positivo) y P2 es tensión (con signo negativo), el

factor de longitud efectiva K para el pandeo fuera del plano de la armadura en forma de K, de nuevo está dado por la ecuación 8.5.21. La longitud efectiva es KL donde L es el peralte total de la armadura. Cuando P1 y P2 son numéricamente iguales pero de signo opuesto, la relación anterior produce un

valor de K = 0.5.

Fig. 8.5.9 Miembros en compresión con carga axial aplicada entre soportes

Arrostramiento lateral de la cuerda superior

Elevación de la armadura principal

8.5.6 Pandeo alrededor del eje x y del eje y de una columnaCon mucha frecuencia, una columna tiene diferentes condiciones de apoyo con respecto a sus dos ejes principales. Por ejemplo, puede estar articulada en el extremo con respecto a un eje y empotrada con respecto al otro. Además en muchas situaciones se provee contraventeo intermedio en un plano (por lo general, el plano de un muro o de unas división permanente), pero no se provee tal soporte en el plano perpendicular por razones funcionales o estáticas.En estas situaciones, lo ideal es que la sección de la columna está orientada de manera que en contraventeado descanse en el plano perpendicular el eje débil. En otros casos, una columna podría ser parte de una estructura contraventeada en una dirección, y al mismo tiempo formar parte de un marco sin contraventeo en la otra dirección (perpendicular). En situaciones de este tipo, se pueden utilizar de manera económica secciones de patines anchos y de cajón rectangular si se orientan de manera que el eje fuerte de la sección de la columna (eje y) en el plano del marco contraventeado. Observe que, para pandeo por flexión alrededor del eje x, las deformaciones por pandeo residen en el plano yy y viceversa. De ahí que, evaluamos dos longitudes efectivas, K x Lx y K y Ly y se llega a dos diferentes cargas de pandeo elástico: una para el pandeo alrededor del eje X y otra para el pandeo alrededor del eje y. la carga de pandeo elástico que controla toda la columna es la menor de las dos. Los resultados se pueden resumir de la siguiente manera:

Pex=π 2EI x

(K x Lx)2;P ey=

π2EI y

(K y Ly )2(8.5.22)

O, en término de esfuerzos:

F ex=π2E

( K x Lx

r x )2 ; Fey=

π2E

( K y Ly

r y )2 (8.5 .24)

F e=mín [Fex , F ey ](8.5 .25)

EJEMPLO 8.5.1Influencia de las Condiciones de ApoyoUna columna W8x31 tiene 16 pies de largo y esta soportada en la parte superior y en la inferior contra el desplazamiento lateral tanto en el planoxx como en el yy de la sección transversal de la columna. Suponga que el material es elástico y tiene un módulo de elasticidad E=29000 ksi. Determine el esfuerzo de pandeo elástico por flexión y la carga de pandeo elástico por flexión para las siguientes condiciones de apoyo:a) Articulada en ambos extremos con relación a sus dos ejes.b) Articulada con relación a ambos ejes en la parte superior; articulada con relación al eje mayor y impetrado con relación al eje menor en la base.c) Articulada en sus extremos con relación a ambos ejes y lateralmente soportada de forma perpendicular al eje débil a media altura.d) Articulada en los extremos con relación a ambos ejes y lateralmente soportada de forma perpendicular al eje débil a una altura de 10 pies de la base.e) Articulada con relación a ambos ejes en la parte superior; articulada con relación al eje mayor y empotrada con relación al eje menor en la base, y lateralmente soporta de forma perpendicular de eje débil a una altura de 10 pies de la base.f) Articulada con relación a ambos ejes extremos y construida de un muro de manera que puede considerarse soportada de manera continua para el pandeo con relación a su eje débil.

SoluciónDatos:

Longitud de la columna, L=16 piesDe la tabla 1-1 del LRFDM, se tiene lo siguiente para una sección:

A=9.12 pulg2

I x=110 pulg4 ;r x=3.47 pulg

I y=37.1 pulg4 ;r y=2.02 pulg

a) Para la columna mostrado en la figura X8.5.1ª, las condiciones en el extremo dadas en la figura 8.5.4d se aplican para el pandeo con alrededor d los ejes x y y. Entonces, K x=K y=1.0 .

Lx=L=16 pies; Ly=L=16 piesK x Lx=1.0 (16 )=16.0 pies; K y Ly=1.0 (16 )=16.0 pies

K x Lx

r x=16.0 (12 )3.47

=55.3 ;K y Ly

r y=16.0 (12 )2.02

=95.0←controla

Esfuerzo de pandeo elástico por flexión,

F e=π2E

( KL /r )2=

π2(29000)95.02

¿31.7ksi(Resp .)

Carga de pandeo elástico por flexión

Pe=Fe A=31.7 (9.12 )¿289 kips(Resp .)

b) Para la columna mostrada en la figura X8.5.1b, las restricciones de los extremos para el pandeo alrededor de su eje x corresponden a la figura 8.5.4d, mientras que las del eje y están representadas por la figura 8.5.4c. Entonces K x=1.0 y K y=0.80 .

Lx=L=16 pies; Ly=L=16 pies

K x Lx=1.0 (16 )=16.0 pies; K y Ly=0.80 (16 )=12.8 pies

K x Lx

r x=16.0 (12 )3.47

=55.3 ;K y Ly

r y=12.8 (12 )2.02

=76.0←controla

Esfuerzo de pandeo elástico por flexión,

F e=π2(29000)76.02

=49.6 ksi (Resp .)

Carga de pandeo elástico por flexión

Pe=49.6 (9.12 )=452kips(Resp .)

Fig. x8.5.1

c) Para la columna mostrada en la figura X8.5.1c,K x=1.0, mientras que la figura 8.5.5a da una longitud efectiva de L/2 para el pandeo con relación a su eje y, K y=0.5 .

Lx=L=16K pies ; Ly 1=Ly 2=8 piesK x Lx=1.0 (16 )=16.0 pies

K y Ly=(K y L y)1=(K y L y)2=8.00 pies

Fig. 8.5.1

Figura x8.5.1

K x Lx

r x=16.0 (12)3.47

=55.3←controla;K y Ly

r y=8.0(12)2.02

=4705

Esfuerzo de pandeo elástico por flexión, F e=π2(29000)55.32

=93.6Ksi

(Resp.)

Carga de pandeo elástico por flexión, Pe=93.6 (9.12 )=854 Kips(Resp.)

d) para la columna mostrada en la figura X8.5.1d, se tiene: LX=L=16 pies; L y1=10 pies ; Ly2=6 pies

K X LX=1.0 (16.0 )=16.0 pies(K ¿¿ y Ly)1=1.0 (10.0 )=10.0 pies ;(K ¿¿ y Ly )2=1.0 (6.00 )=6.00 pies ¿¿

K y Ly=máx [10.0 ,6.00]=10.0 pies

K x Lx

r x=16.0 (12)3.47

=55.3 ;K y Ly

r y=10.0(12)2.02

=59.4←controla

Esfuerzo de pandeo elástico por flexión, Fe=π2(29000)59.42

= 81.1 ksi. (Resp.)

Carga de pandeo elástico por flexión, P e=81.1(9.12)= 740 kips. (Resp.)

e) Para la columna mostrada se tiene

Lx = L = 16 pies; Ly1 = 10 pies; Ly2= 6pies

KxLx =1.0(16.0)= 16 pies

(KyLy)1=0.8(10)= 8 pies; (KyLy)2 = 1(6) = 6 pies

K x Lx

r x=55.3 controla;

K y L y

r y=8.00(12)2.02

=47.5

Esfuerzo de pandeo elástico por flexión, Fe= 93.6 ksi. (Resp.)

Carga de pandeo elástico por flexión, Pe= 854 kips. (Resp.)

f) Para la columna mostrada, se tiene:

KyLy = 0; KxLx =1(16)=16 controla.

KLr

=K x Lx

r x=16.0 (12)3.47

=55.3

Esfuerzo de pandeo elástico por flexión, Fe= 93.6 ksi. (Resp.)

Carga de pandeo elástico por flexión, Pe= 854 kips. (Resp

Ejemplo 8.5.2

En el marco rectangular de acero mostrado en la figura se utiliza para soportar un puente peatonal en una planta química. Los extremos del puente están apoyados en rodillos, en por lo que al marco se le permite el desplazamiento lateral. Todos los miembros están orientados con sus almas en el plano del marco. Se supone que todas las columnas están contraventadas de igual forma en la dirección débil (es decir no ocurre pandeo o fuera del plano). todas las conexiones trabe acolumna son rígidas, a menos que se indique otra cosa. Todas las trabes son

W16x50. La columna central es una W12x58, mientras que las dos columnas son perfiles W8x48. Suponga un comportamiento elástico y determine los factores de longitud efectiva de las tres columnas, utilice:

1. Los nomogramas

2. Las ecuaciones aproximadas sugeridas por Dumonteil.

Solución

Datos

W8x48: Ix=184 pulg4 ;W12x58: Ix=475 pulg4 ;W16x50 :Ix=659 pulg4

Nota: todavía columnas consideradas son miembros de un marco no contraventado. Por ello los factores de longitud efectiva para el pandeo en el plano del marco son mayores de 1.0.

• Utilice el nomograma para marcos no arriostrados (pandeo no impedido).

a) Columna BF : el extremo inferior F de la columna BF esta articulado, por lo que utilizaremos el valor recomendado 10 para Gf, En el extremo superior de la columna se conectan dos trabes, BA y BC. En el extremo B de la trabe BA esta rigidameente conectado a la columna, mientras que el extremo lejano A esta empotrado, de lo que resulta un valor para α=(4/6). El extremo cercano B de la trabe BC esta articulado a la columna, por lo que resulta un valor de α=0.

GB=

18410

46 ( 65910 )+ 65925 (0)

=0.419;GF=10

Al conectar los puntos GF =10 y GB =0.419 en el nomograma para elementos arriostrados, K= 1.76, entonces, para la columna BF K=1.76

b) Columna CG: El extremo inferior G de la columna CG esta empotrrado. Por tanto utilizaremos el valor recomendado de 1.0 para GG. En el extremo superior de la columna están conectados los trabes CB y CD. El extremo cercano C de la trabe CB esta rígidamente conectado a la columna, mientras que el extremo lejano B esta articulado, por lo que rsulta un valor de a=(3/6). Los dos extremos de la trabe CD están rígidamente conectados a columnas, por lo que a=1 Para la trabe CD.

GC=

47510

36 (65925 )+65930 (1)

=1.35 ;GG=1.0

AL conectar los puntos GC =1.35 y GG=1.0 en el nomograma para elementos no arriostrados tenemo que para la columna CG, Kx=1.38.

c) Columna DH: El extremo inferior H de la columna DH esta articulado. Entonces utilizaremos el valor recomendado 10 para GH. El extremo superior de la columna esta rígidamente conectado a dos trabes DC y DE. El extremo lejano C de la trabe DC esta rígidamente conectado (α=1) mientras que el extremo lejano E de ka trabe DE esta articulado (α=3/6). Entonces.

GD=

18410

36 ( 65910 )+ 65930 (1)

=0.335 ;GH=10

En el nomograma para elementos no arriostrados se lee un valor de K=1.75, el cual será nuestro K para la columna DH:

• Utilice las ecuaciones aproximadas sugeridas por Dumonteil. Los vvalores de los factores G obtenidos en la parte 1 todavía son validos.

a) Para la columna BF, GF=10 y GB=0.419. de la ecuación 8.5.16:

K=√ 20GB+45.7GB+17.5

=√ 20 (0.419)+45.70.419+17.5=1.77

Entonces para la columna BF K=1.77

b) Columna CG; GC=1.35 y GG=1 de la ecuación 8.5.18:

K=√ 5.6GC+11.5GC+8.5

=√ 5.6(1.35)+11.51.35+8.5=1.39

Entonces para la columna CG Kx=1.39

c) Para la columna DH; GD=0.335 y GG=10 Entonces de la ecuación 8.5.16:

K=√ 20GD+45.7GD+17.5

=√ 20(0.335)+45.70.335+17.5=1.74

Entonces para la columna DH Kx=1.74.

8.5.7 Columnas inclinables.

En la figura se muestra el plano de la estructura de un edificio de acero de poca altura. En la dirección este-oeste, las cargas laterales, como viento, son resistidas por los marcos rígidamente unidos a lo largo de las líneas de las columnas A y D de la línea 2 a la línea 4. En la dirección norte-sur las cargas laterales son resistidas por los marcos contraventados a lo largo de las líneas de columnas 1 y 5 entre las líneas B y C. Si se considera despreciable la resistencia

lateral del resto de la estructura entonces cada marco rígido debe diseñarse para resistir la carga de gravedad aplicada a sus columnas, mas la mitad de la carga lateral total. Las columnas que no forman parte de los marcos rígidos solo están diseñadas para soportar su parte de la carga de gravedad, ya que no son parte del sistema a cargas laterales. La aplicación directa del procedimiento desarrollado en la sección 8.5.4 indica que para estas columnas solo por gravedad los coeficientes alfa de la ecuación 8.5.7 son cero, y entonces los factores G son infinitos. Esto produce un factor de longitud efectiva en el nomograma y de ahí una resistencia axial cero. A tales columnas articuladas que son parte de un marco rígidamente unido sin contraventeo y que tiene rigidez cero contra distorsión se le denomina columnas inclinables

Se observa que el interés del mismo momento de segundo orden que resultaría sea la columna individual AB fuera a pandearse bajo una carga hacia el de (P+Q).

Se puede considerar a la columna restrictiva de una de dos maneras: diseñarla para la carga (P+Q) al utilizar el factor de longitud efectiva determinado con el nomograma de pandeo no impedido del LRFD, o diseñarla para una carga P al utilizar un factor de longitud efectiva modificado que se tome en cuenta el efecto desestabilizador de la columna inclinable. Sea K0 el factor de longitud efectiva de la columna AB que seria determinado mediante el nomograma, que no toma en cuenta la columna inclinable (K0=2 en el ejemplo mostrado). Sea Km el factor modificado de longitud efectiva que se toma en cuenta la presencia de la columna inclinable se tiene:

P+Q= π 2EIK0

2 L2(8.5 .26)

Y

P= π2EIKm

2 L2(8.5 .27)

Al dividir la ecuación 8.5.26 entre la ecuación 8.5.27 y al resolver para Km.

Km=K 0√ P+QP

Entonces, si la columna restrictiva AB de la figura se diseño para aportar la carga P y al emplear el factor modificado de longitud efectiva, esta aportara suficiente restricción lateral a la columna inclinable CD para permitir que esta se diseñe para soportar la carga Q al utilizar K=1.0. Para marcos con mas de una columna restrictiva y mas de una columna inclinable P y Q se remplazan por la sumatoria de p y sumatoria de Q entonces:

Km=K 0√∑ Pi+∑Qj

∑ Pi

Debe observarse que en este método se mantiene la suposición que todas las columnas restrictivas de un piso se pandean simultáneamente en el modo de desplazamiento lateral.

El pandeo de desplazamiento lateral es un fenómeno de todo el entrepiso. Una columna individual no puede fallar por desplazamiento lateral sin que todas las demás columnas del mismo piso también se pandeen en forma lateral. Sin embargo, la carga de pandeo sin desplazamiento lateral de cada columna es independiente de la carga de pandeo de las otras columnas.

Los nomogramas, tanto lara el desplazamiento restringido como para el no restringido, se desarrollaron con base en la suposición de que todas las columnas individuales en un piso se pandean al mismo tiempo bajo su parte proporcional de la carga todal de gravedad (suposición 5 en la sección 8.5.4). Para el caso del marco con desplazamiento lateral no impedido , cuando comienza el pandeo de todo el piso, ninguna columna individual puede ofrecer restricción lateral a otra, ya que la capacidad total de cada una de ellas se ah consumido solo al soportar su propia carga individual de gravedad. Esto es, no existe resistencia de reserva disponible que pudiera proveer una fuerza de soporte (reistencia al cortante) para las otras columnas.

LeMessurier (1977) presento un método mas general para determinar la longitud efectiva de columnas en marcos con desplazamiento lateral, con y sin columnas inclinables. En este método, se contabiliza de manera individual la contribución de cada columna a la resistencia lateral. El factor de longitud efectiva para cada columna que participa en la resistencia contra el pandeo por desplazamiento lateral esta dada por:

Kmi=√ PEi∑i

Pui+∑j

Quj

Pui(∑i

Peoi)

Donde:

Kmi = factor modificado de la longitud efectiva de una columna que provee resistencia al desplazamiento lateral

Pui = Carga axial factorizada sobre la columna restrictiva i

∑i

Pui = Carga axial factorizada sobre todas las columnas restrictivas de un piso

∑j

Quj = Carga axial factorizada sobre todas las columnas inclinables de un piso

PEi = Carga de Euler de la columna restrictiva

L = Longitud de columna (altura de piso)

Ii = Momento de inercia de la columna restrictiva i

Peoi = Carga de pandeo elástico por flexión de la columna restrictiva i con base en el nomograma

K oi = factor de longitud efectiva de la columna restrictiva i obtenida del nomograma

PROBLEMAS PROPUESTOS.

P8.5) Determine las longitudes efectivas de cada una de las columnas de marco mostrado en la figura. Los miembros están orientados para que las almas se encuentren en el plano del marco. La estructura no está arriostradas en el plano del marco. Todas las conexiones rígidas, a menos que se indique otra cosa. El marco esta arriostrado en las uniones en la dirección perpendicular al marco. Las conexiones en estos puntos de soporte son conexiones simples (sin restricción rotacional)

a) Utilice los nomogramas.

b) Utilice las ecuaciones.

44 2484510;2093910: inIWinIWcolumnasdeSecciones xx

444 2913014;6505016;5184016: inIWinIWinIWvigadeSecciones xxx

43403414 inIW x

ftccftcccccolumnadeLongitud 126,5;144,3,2,1:

ftgftggftgvigadeLongitud 323;164,2241:

GB=

I c1

Lc1

α g 1

I g1

Lg 1

=

20914

0 .5 X 51824

=1 .38

Trabajando con el monograma Kx=1 .98

Columna c 4α gl=0.5(extremo fijo )GA=10(valor recomendado para una base con bisagras)

monogramadelusoelCona)

)(10

)(5.01

bisagrasconbaseunaparaorecomendadvalorG

fijoextremocColumna

A

gl

GB=

I c1

Lc1

α g 1

I g1

Lg 1

=

24814

0 .5 X 65032

=1 .72

Trabajando con el monograma Kx=2 .05

Columna c 2α gl=0.0( extremo fijo ) α gl=1 .0( para ambos extremos fijos)GA=1.0( valor recomendado para una base fija )

GB=

I c2

Lc2+

I c 3

Lc3

α g 1I g1

Lg 1+α g 2

Ig2

Lg 2

=

27214 +

27212

0 .051824 +1.034016

=1.98

trabajando con el monograma k=1 .45

Columna c 3α gl=0.0( extremo fijo ) α gl=1 .0( para ambos extremos fijos)GA=1.0( valor recomendado para una base fija )

GB=

I c3

Lc3+

I c6

Lc6

α g 1I c 3

Lg 3+α g2

Ig2

Lg2

=

27214 +

27212

0 .051824 +1.034016

=1 .98

trabajando con el monograma k=1 .45

Columna c 5GA=1.98(es el mismo valor calculado para GB)

GB=

I c5

Lc5

I c4

Lg 4

=

2721229116

=1 .25

trabajando con el monograma k=1 .30

Columna c 6GA=1. 98(es el mismo valor GB calculado para c 3)

GB=

I c6

Lc6

I c4

Lg 4

=

2721229116

=1 .25

trabajando con el monograma k=1 .30

b )Usando la ecuación 8 . 15

k=√GA (1.6GB+4 .0 )+(4GB+7 .5 )GA+GB+7 .5

Columna c 1: GA=10 .0 GB=1 .38 K X=1 .99 RptaColumna c 2: GA=1 .0 GB=1 .98 K X=1. 47 RptaColumna c 3 : G A=1 .0 GB=1 .98 K X=1. 47 RptaColumna c 4 : GA=10 . 0 GB=1 .72 K X=2 .10 RptaColumna c 5 : G A=1 .98 GB=1 .25 K X=1.50 RptaColumna c 6 : GA=1 .98 GB=1.25 K X=1.50 Rpta

P8.7) Determine la resistencia factorizada en compresión axial de una columna W8x48 de 18 pies de largo empotrada alrededor de ambos ejes en sus extremos. Suponga Acero A242 Grado 50. Resuelva al utilizar solamente las ecuaciones de las especificaciones.

Datos:

Perfil W8x 48

A= 14.1 in2

rx= 3.61 in 2

ry= 2.08 in

Material: A242 Grado 50

Fy = 50 Ksi

L= 18 pies

Lx = Ly =18 (por q no hay soportes intermedios)

Kx y Ky Los obtenemos de la figura 8.5.4a

Fig. 8.5.4 Factores de longitud efectiva para columnas aisladas

Ky = Kx = 0.65

K Lr

= Ky Lyry

=0.65 x18 x122.08

=67.5

Donde:

r=Radiode giroL=Longitud de la barra a analizarK=longitud efectiva

Usando la Ecuación E2-4 del Lrfd (Pag 226)

Coeficiente de esbeltez K=factor de longitud efectivaE=módulo de elasticidadr=radio de giro respecto al eje de pandeol=longitud lateralmente no arriostrada

¿67.53.14

=√ 5029000

=0.892

Cuando λc < 1.5 usamos la ecuación E2-2 Lrfd:

F cr=(0.6580.8922 )∗50

Fcr = 35.83 ksi

P= 0.85 x 35.8 x 14.1 = 429 ksi

λc=0.892 Interpolamos y obtenemos 0.609

P= 0.609 x 50 x 14.1 = 429 ksi

Tablas del problema P8.7

Problema 8.9

Un perfil I estándar S10 x 35 se utiliza como columna en un edificio industrial. La columna considerada tiene 21 pies de largo. se puede suponer que esta articulada alrededor de los dos ejes en la parte superior y empotrada alrededor de ambos ejes en la base. Además, se conectan soportes transversales (largueros) al alma de la columna. ¿ Qué carga factorizada axial permite el LRFD si el soporte lateral se proporciona en

a) Puntos separados 7 pies.b) Puntos separados 5 pies y 3 pulgadas.

Solución.

Miembro S10 x 35

A = 10.3 in2

rx = 3.78 in

ry = 0.898 in

L = 21 pies

Lx = 21 pies

Miembro articulado: Kx= 0.80

K x Lx=0.8 x21=16.8 pies

K x Lx

r x=16.8 x 12

3.78=53.3

a) Para intervalos de 7 pies = 3 intervalos

Ly1 = 7 pies Ly2 = 7 piesLy3 = 7 pies

Ky1 = 0.80Ky2 = 1.0Ky3 = 1.0

(K y Ly )1=0.80 x 7=5.6 pies

( K y Ly )2=1.0 x7=7 pies

(K y Ly )3=1.0 x7=7 pies

Escogiendo el mayor valor de 7 pies.

K y L y

r y=7 x 12

0.898=94.3

Este es el valor que controlara el resto de nuestro problema.

De la tabla 3-36 del LRFD

∅ Fcr=19.22kips

Pd=∅ Fcr Ag=19.3 x10.3=199 kips …Respuesta

b) Para intervalos de 5 pies y 3 pulgadas ósea 4 intervalos.

Ly1 = 5.25 pies Ly2 = 5.25 piesLy3 = 5.25 piesLy4 = 5.25 pies

Ky1 = 0.80Ky2 = 1.0Ky3 = 1.0Ky4 = 1.0

( K y Ly )1=0.80 x 5.25=4.20 pies

(K y Ly )2=1.0 x5.25=5.25 pies

(K y Ly )3=1.0 x5.25=5.25 pies

(K y Ly )4=1.0 x8.25=5.25 pies

Escogiendo el mayor valor de 5.25 pies.

K y L y

r y=5.25 x 12

0.898=70.1

Este es el valor que controlara el resto de nuestro problema.

De la tabla 3-36 del LRFD

∅ Fcr=23.6kips

Pd=∅ F cr Ag=23.64 x 10.3=243 kips … Respuesta

Tablas utilizadas problema 8.9