Combinatoria_enumerativa

Combinatoria

enumerativa

Eduardo Piza Volio

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Combinatoria

enumerativa

Eduardo Piza Volio

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Creditos de la EditorialDiagramado:Levantado de texto:Revision:

Ficha catalografica

v

A mis maestros Bernardo Monteroy Francisco Ramırez, quienes con suempeno, mıstica y dedicacion forjaronnuestra actual Escuela de Matematica.

Contenido

Prefacio xi

1 Permutaciones 11.1 Cardinalidad de conjuntos finitos . . . . . . . 11.2 Permutaciones de objetos distintos . . . . . . 21.3 Permutaciones con objetos repetidos . . . . . 31.4 Permutaciones de n objetos, tomados m de

ellos a la vez . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4.1 Seleccion con reemplazo . . . . . . . . 51.4.2 Seleccion sin reemplazo . . . . . . . . 6

1.5 Numeros de Stirling de primera especie . . . . 71.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Arreglos, distribuciones, combinacionesy selecciones 152.1 Arreglos de objetos en cajas ordenadas . . . . 152.2 Palabras en orden creciente . . . . . . . . . . 172.3 Numero de soluciones de una ecuacion . . . . 182.4 Combinaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.5 Combinaciones sin repeticiones . . . . . . . . 212.6 Distribucion de objetos en varios subconjuntos 232.7 Seleccion simultanea de objetos de varias clases 252.8 Combinaciones con repeticiones . . . . . . . . 252.9 Seleccion de objetos no consecutivos . . . . . 262.10 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3 Coeficientes binomiales y multinomiales 353.1 El binomio de Newton . . . . . . . . . . . . . 35

vii

viii Contenido

3.2 El triangulo de Pascal . . . . . . . . . . . . . 373.3 Generalizacion de los coeficientes binomiales . 413.4 El teorema del multinomio . . . . . . . . . . . 413.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4 Particiones de un conjunto 474.1 Numeros de Stirling de segunda especie . . . 474.2 Los numeros de Bell . . . . . . . . . . . . . . 524.3 Formulas de inversion . . . . . . . . . . . . . 574.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5 Principio de inclusion y exclusion 635.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.2 Formula fundamental . . . . . . . . . . . . . 655.3 Algunas aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . 67

5.3.1 Coloreando una casa . . . . . . . . . . 675.3.2 Desarreglos y el problema

de los reencuentros . . . . . . . . . . . 695.3.3 El problema de los matrimonios . . . . 71

5.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6 Funciones generadoras 776.1 Introduccion y definiciones . . . . . . . . . . . 776.2 Algunas funciones generadoras . . . . . . . . 786.3 Funciones generadoras de combinaciones . . . 806.4 Funciones generadoras de permutaciones . . . 836.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

7 Particiones de un entero 897.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897.2 Definiciones y relaciones por recurrencia . . . 907.3 Diagramas de Ferrars . . . . . . . . . . . . . . 947.4 Particiones auto-conjugadas . . . . . . . . . . 957.5 Particiones en partes impares . . . . . . . . . 977.6 Funciones generadoras de particiones . . . . . 987.7 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Contenido ix

8 Otros topicos de la teorıa de combinatoria 1038.1 Denumerantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1038.2 Composiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 1048.3 Teorıa de Grafos . . . . . . . . . . . . . . . . 1068.4 Teorıa de Ramsey . . . . . . . . . . . . . . . . 1068.5 Grupos de permutaciones . . . . . . . . . . . 1118.6 Algunos problemas abiertos en combinatoria . 112

8.6.1 Dos problemas de Paul Erdos . . . . . 1128.6.2 El “Football Pool Problem” . . . . . . 116

8.7 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

9 Las soluciones de los ejercicios impares 1199.1 Ejercicios del capıtulo 1 . . . . . . . . . . . . 1199.2 Ejercicios del capıtulo 2 . . . . . . . . . . . . 1279.3 Ejercicios del capıtulo 3 . . . . . . . . . . . . 1339.4 Ejercicios del capıtulo 4 . . . . . . . . . . . . 1409.5 Ejercicios del capıtulo 5 . . . . . . . . . . . . 1449.6 Ejercicios del capıtulo 6 . . . . . . . . . . . . 1509.7 Ejercicios del capıtulo 7 . . . . . . . . . . . . 1529.8 Ejercicios del capıtulo 8 . . . . . . . . . . . . 156

Bibliografıa 159

Indice 161

Prefacio

¿De cuantas maneras. . . ? La combinatoria enumerativapuede definirse en pocas palabras como el arte de contar con-figuraciones en problemas de naturaleza discreta.

En este trabajo se presenta una introduccion elemental aesta fascinante y difıcil disciplina de la matematica, presen-tando los resultados basicos de combinatoria que en opiniondel autor todo estudiante de matematicas o de ensenanza delas matematicas deberıa conocer y estudiar.

La exposicion de la teorıa se presenta en forma resumiday condensada, poniendose especial atencion en aquellas de-mostraciones de caracter intrınsecamente combinatorio. Enesta obra se tratan de evitar las versiones de las demostra-ciones que empleen argumentos no combinatorios, tales comopor ejemplo el principio de induccion matematica. En vez deello, se prefieren las demostraciones alternativas que empleenargumentaciones tıpicamente combinatorias. De esta manerase ilustra acerca de la riqueza de recursos disponibles en elrazonamiento dentro de este campo de la matematica, enel cual las demostraciones son a veces tan ingeniosas comoinformales. Por ejemplo, resultados tan conocidos como elbinomio y el multinomio de Newton, son demostrados aquıen muy pocas lıneas, utilizando para ello unicamente argu-mentos elementales de tipo combinatorio.

Debe tenerse en consideracion que la teorıa de la combi-natoria enumerativa constituye un campo muy vasto y com-plejo, sobre el cual se han escrito gran cantidad de obrasde gran profundidad y se realiza mucha investigacion en laactualidad. En esta obra tan solo se pretende introducir al

xi

xii Prefacio

estudiante a la teorıa general, presentando los resultados masimportantes e interesantes.

Al lector interesado en profundizar sobre la teorıa de lacombinatoria se le puede recomendar, entre otros libros, lalectura de la bella obra de Claude Berge, Principles of Com-binatorics (Academic Press, New York, 1971), el cual es unafamado clasico sobre el tema y de relativamente facil lectura.

He utilizado algunas versiones preliminares y condensadasde esta obra como material didactico en varios de los cur-sos de las carreras de Matematica Pura y Ensenanza de lasMatematicas en la Universidad de Costa Rica, entre ellos:Teorıa de Probabilidades (siglas MA-0720 y MA-0817); Ma-tematica Finita (sigla MA-0904), Principios de EstadısticaMatematica (sigla MA-0372) y Seminario de Combinatoria(sigla MA-600).

Uno de los objetivos de este trabajo es llenar el vacıo dematerial didactico existente sobre los elementos de la teorıade la combinatoria. A pesar de que en el campo de la com-binatoria existen tratados altamente especializados y de re-conocida calidad, sin embargo estos son claramente inapropi-ados e inaccesibles para los estudiantes de los primeros anosde las carreras de matematicas y de ensenanza de las matematicas.Principalmente hacia estos estudiantes esta dirigido este li-bro.

La obra contiene un capıtulo final con la solucion de losejercicios impares. Ademas contiene una seleccion de bi-ografıas de los matematicos que estan asociados con los prin-cipales resultados y temas aquı tratados.

Deseo manifestar mi agradecimiento a todas aquellas per-sonas que colaboraron de una u otra forma en la elaboraciony correccion de este libro de texto, en especial a Gabriel Sosa,quien leyo el manuscrito original y realizo algunas crıticas queayudaron a mejorarlo.

Eduardo Piza VolioSan Jose, noviembre del 2002

Capıtulo 1

Permutaciones

1.1 Cardinalidad de conjuntos finitos

La cardinalidad de un conjunto finito X es el numero deelementos del conjunto X y se denota como Card(X), o biensimplemente como |X|. Nuestro primer resultado es basico yfundamental.

Proposicion 1 Sea A y B dos conjuntos finitos de cardinal-idades n y m respectivamente. Entonces,

(a) La union de conjuntos, A ∪B, es finita y

|A ∪B| = |A|+ |B| − |A ∩B|.

(b) El producto cartesiano de conjuntos, A×B, es finito y

|A×B| = nm.

(c) El conjunto potencia P(A), formado por todos los sub-conjuntos de A, es finito, y |P(A)| = 2|A| = 2n.

Demostracion: Para demostrar la propiedad (a) vamos autilizar un simple argumento de conteo. El conjunto A ∪ Besta compuesto por los n elementos de Amas losm elementosde B. Sin embargo, algunos de los elementos de B ya fueroncontabilizados en A. Tal es el caso precisamente de los |A∩B|elementos de A ∩ B, razon por la cual debemos restar esa

1

2 Capıtulo 1. Permutaciones

cantidad para obtener finalmente |A∪B| = |A|+|B|−|A∩B|.Una prueba de la propiedad (b) es la siguiente: para cadaelemento a0 ∈ A, el conjunto A×B tiene exactamente |B| =m elementos del tipo (a0, b), con b ∈ B. De allı que en totalA×B tenga

m+m+ · · ·+m︸︷︷︸|A| = n veces

= nm

elementos. Finalmente, la propiedad (c) es una consecuenciadirecta de la formula del Binomio de Newton, estudiada enel capıtulo 3, por lo que aplazaremos su demostracion.

La formula |A ∪B| = |A|+ |B| − |A ∩B| es en esencia elfamoso principio de inclusion-exclusion, el cual estudiaremosen el capıtulo 5.

1.2 Permutaciones de objetos distintos

Supongase que tenemos n objetos diferentes o distinguiblesunos de otros. Podemos “arreglarlos” o “disponerlos” en unrenglon en un orden cualquiera. Cada uno de estos “arreglos”o “disposiciones” es una permutacion de los objetos. En laspermutaciones interesa no solamente los objetos mismos, sinotambien el orden en que se arreglan estos objetos.

Proposicion 2 El numero de permutaciones de n objetosdistinguibles, tomados todos a la vez, es igual a n!.

Demostracion: En efecto, en un arreglo cualquiera, el primerobjeto puede ser seleccionado de n diferentes maneras. Elsegundo objeto puede seleccionarse de n− 1 diferentes man-eras, luego de haberse seleccionado el primero objeto. Eltercer objeto puede seleccionarse de n − 2 formas distintas,luego de haber sido seleccionados el primero y segundo ob-jetos, etc. Luego, el numero total de permutaciones seran · (n− 1) · (n− 2) · · · 2 · 1 = n!.

1.3. Permutaciones con objetos repetidos 3

Por ejemplo, existen 3! = 6 permutaciones de las tresletras a, b, c, las cuales son:

abc bac cabacb bca cba

Si los objetos son vistos como letras, como en el ejemplo,entonces tendremos que n letras distintas al ser permutadasgeneran en total n! “palabras” distintas.

Otra manera de interpretar este resultado: n! es que elnumero de funciones biyectivas que se puede definir entre dosconjuntos X y A de igual cardinalidad (|X| = |A| = n).

En efecto, si X = {1, 2, . . . , n} y A = {a1, a2, . . . , an},entonces una funcion f :X 7→ A puede ser descrita en formacompleta enumerando el rango de ella: f(1) = ai1 , f(2) =ai2 , . . . , f(n) = ain . Lo anterior puede simplificarse aun masescribiendo la “palabra” de n “letras” ai1ai2 · · · ain , dondelas “letras” son los elementos de A. La propiedad de biyec-tividad de la funcion f se interpreta en el sentido que todaslas n “letras” ani son distintas. Como hemos visto, se puedeformar n! diferentes “palabras” al permutar las “letras”, de-mostrandose de esa forma que el numero de funciones biyec-tivas entre X y A coincide con n!.

1.3 Permutaciones con objetos repetidos

Como vimos, las permutaciones de n objetos de tipo distintoson n!. Sin embargo, si varios de los objetos son del mismotipo (esto es, cuando hay repeticiones de objetos) el numerode permutaciones disminuye drasticamente. Este conteo depermutaciones es lo que frecuentemente se denomina “per-mutaciones con repeticiones” o “permutaciones con objetosrepetidos”.

La regla general para contar las permutaciones de objetoscon repeticiones viene descrita en el siguiente resultado.


Proposicion 3 Si tenemos n objetos de r tipos o clases dis-tintas (r ≤ n), entonces el numero de permutaciones de estosobjetos, tomados todos ellos a la vez, es1(

n

n1, n2, . . . , nr−1

):=

n!n1! n2! · · ·nr−1! nr!

,

donde ni es el numero de objetos que hay en la i-esima clase,con n1 + n2 + · · ·+ nr = n.

Demostracion: En efecto, si todos los objetos fuesen distin-tos, el numero total de permutaciones serıa n!. Sin embargoahora hay ni objetos de la clase i-esima, todos estos igualesentre sı. Luego, las posiciones de estos ni objetos puedenpermutarse de ni! formas distintas sin producir ninguna al-teracion, de donde el numero total de permutaciones ahoradebe dividirse por ni!. Esto debe hacerse para cada una delas clases, obteniendose entonces el resultado.

A los numeros ( nn1,n2,...,nk−1

) se les llama coeficientes multi-nomiales, por su relacion con el “multinomio” de Newton,que estudiaremos en el capıtulo 3.

Por ejemplo, el numero de “palabras” distintas (permuta-ciones de letras) que se puede formar con las letras de lapalabra aereo (sin acento), tomando en cuenta todas las le-tras, es 5!

2! = 60, pues la letra e aparece 2 veces en aereo,mientras que el numero de palabras distintas que se puedeformar con las letras de la palabra otorrinolaringologo(sin acento), tomando en cuenta todas las letras, es

19!6! 3! (2!)4

= 1, 759, 911, 753, 600,

1Observese que se emplea la notacion ( nn1,n2,...,nk−1

), en vez de la

notacion ( nn1,n2,...,nk

). El ultimo termino nk se obtiene por diferencia:nk = n − n1 − · · · − nk−1. Esta notacion es una comoda generalizaciona la empleada para los “coeficientes binomiales” (n

k), como se vera mas

adelante.

1.4. Permutaciones de n objetos, tomados m de ellos. . . 5

pues de las 19 letras, la o se repite 6 veces, la r se repite 3veces, mientras que otras 4 letras (l, n, i, g) repiten una vezcada una.

1.4 Permutaciones de n objetos,tomados m de ellos a la vez

En este tipo de permutaciones, disponemos de n objetos dis-tinguibles que actuan como prototipo. Cada permutacionconsiste en seleccionar una muestra ordenada de m de losobjetos. Existen dos esquemas distintos de seleccion: conreemplazo y sin reemplazo.

1.4.1 Seleccion con reemplazo

En este esquema, vamos formando una permutacion al se-leccionar uno a uno los m objetos, permitiendo el reemplazode los mismos, esto es, con posibilidades de repetir los obje-tos. Para contar el numero total de permutaciones de estetipo, observamos que el primer objeto puede seleccionarse den distintas maneras, el segundo objeto tambien puede selec-cionarse de n distintas maneras, y ası sucesivamente hastael ultimo (m-esimo) objeto que constituye la permutacion.Luego, hemos demostrado el siguiente resultado:

Proposicion 4 El numero de permutaciones de n objetosdistinguibles, tomando m de ellos a la vez, permitiendo lasrepeticiones, es nm.

Por ejemplo, existen 32 = 9 permutaciones diferentes delas letras a, b, c, tomando dos letras a la vez, a saber: aa,ab, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc. Observese que debe consider-arse el orden de los objetos, como siempre sucede con laspermutaciones.


• El ejemplo pone en evidencia que tambien nm es elnumero de “palabras” de m “letras” (“palabras” sinrestricciones: pueden repetirse las “letras”) que se ob-tienen a partir de n “letras” distintas.

• El lector puede observar que tambien nm es el numerode funciones diferentes que se puede definir entre unconjunto A = {a1, . . . , am} de m elementos y un con-junto X = {1, . . . , n} de n elementos. La justificacionde esto radica en que la imagen de a1 puede ser selec-cionada de n diferentes maneras, al igual que la imagende a2, de a3, etc.

• Una ultima interpretacion dentro del ambiente de ur-nas y bolas: nm es tambien el numero de maneras deextraer una muestra ordenada de m bolas, con reem-plazo, de una urna que contiene n bolas distinguibles.

1.4.2 Seleccion sin reemplazo

En este esquema, cada una de las permutaciones contieneunicamente m de los n objetos distinguibles originales, sinrepeticiones (seleccion sin reemplazo) de objetos. Cualquierpareja de estas permutaciones que contengan exactamentelos mismos objetos —aunque en un orden diferente— sonpermutaciones diferentes, pues el orden en que aparecen losobjetos es importante y debe tomarse en consideracion eneste tipo de problemas.

Claramente, sim > n no tendremos ninguna permutacionde este tipo. Si m ≤ n, podemos contar el numero depermutaciones como sigue: el primer objeto se puede se-leccionar de n diferentes maneras; para el segundo objetodispondremos de n− 1 diferentes selecciones, pues el primerobjeto ya fue seleccionado; para el tercer objeto tendremosn− 2 posibles selecciones, y ası sucesivamente. Al final, paraseleccionar el objeto m-esimo de la permutacion tendremos

1.5. Numeros de Stirling de primera especie 7

n − m + 1 posibilidades, pues los restantes objetos ya hansido seleccionados. Luego, hemos demostrado el siguienteresultado:

Proposicion 5 Cuando n ≥ m, el numero de permutacionesde n objetos distinguibles, tomando m de ellos a la vez, enun esquema de seleccion sin reemplazo, es igual a

[n]m := n (n− 1) · · · (n−m+ 1) =n!

(n−m)!(1.1)

Por ejemplo, existen [3]2 = 6 permutaciones diferentes delas n = 3 letras a, b, c, tomando m = 2 letras a la vez. Ellasson: ab, ac, ba, bc, ca, cb.

• En terminos de “palabras” y “letras”, [n]m es el numerode “palabras” de m “letras” que se puede formar a par-tir de n “letras” distintas, si ponemos la restriccion queen las palabras no se repitan “letras”.

• Tambien [n]m es el numero de funciones inyectivas quese puede definir del conjunto A = {a1, . . . , am} de m el-ementos en el conjunto X = {1, . . . , n} de n elementos,como el lector puede facilmente justificar.

• En el contexto de urnas y bolas, [n]m es el numero demaneras distintas de extraer una muestra sin reemplazode m bolas, de una urna que contiene originalmente nbolas distinguibles.

1.5 Numeros de Stirlingde primera especie

La definicion de los numeros [n]m dada en (1.1) puede exten-derse de manera natural de la siguiente forma, dando lugar a


los polinomios de Stirling : para x ∈ R definimos el polinomio[x]m, de grado m, mediante la formula

[x]m := x (x− 1) (x− 2) · · · (x−m+ 1).

Los primeros 4 polinomios de Stirling son:

[x]1 = x,

[x]2 = x(x− 1) = x2 − x,[x]3 = x(x− 1)(x− 2) = x3 − 3x2 + 2x,[x]4 = x(x− 1)(x− 2)(x− 3) = x4 − 6x3 + 11x2 − 6x.

Definicion 6 Los numeros de Stirling de primera especie,denotados por s k

m, son los coeficientes de los polinomios deStirling:

[x]m = s 0m + s 1

mx+ s 2mx

2 + · · ·+ s mm xm.

Aunque no existe una formula directa sencilla para elcalculo de los numeros de Stirling de primera especie, sin em-bargo estos pueden calcularse facilmente utilizando la sigu-iente relacion por recurrencia.

Proposicion 7 Los numeros de Stirling de primera especiepueden ser calculados mediante la siguiente relacion por re-currencia:

s km+1 = s k−1

m −ms km,

s 0m = 0,

s mm = 1.

Demostracion: En efecto, de la definicion de [x]m y [x]m+1

obtenemos la relacion

[x]m+1 = [x]m · (x−m)

1.6. Ejercicios 9

y por lo tanto, tambien por definicion,

· · ·+ s km+1x

k + · · · = (· · ·+ s k−1m xk−1 + s k

mxk + · · ·) (x−m).

Al comparar los coeficientes de xk en ambos terminos de laigualdad anterior se obtiene la relacion por recurrencia. Lasdos condiciones iniciales son obvias.

Utilizando la recurrencia anterior podemos construir ra-pidamente una tabla para los primeros numeros de Stirlingde primera especie, como se muestra en la Figura 1.1.

1.6 Ejercicios

1. De la ciudad A hasta la B conducen cinco caminos y de laB a la C, tres. ¿Cuantos caminos que pasan por B conducendesde A hasta C? Generalice el problema para cuando hayn caminos de A hacia B y m caminos de B hacia C.

2. Hay cinco tipos de sobres sin estampillas y cuatro tiposde estampillas de un mismo valor. ¿De cuantas maneras sepuede seleccionar un sobre con estampilla para enviar unacarta? Generalice el problema para cuando hay n tipos desobres y m tipos de estampillas.

s km k = 0 1 2 3 4 5 6 · · ·

m = 1 0 12 0 −1 13 0 2 −3 14 0 −6 11 −6 15 0 24 −50 35 −10 16 0 −120 274 −225 85 −15 1...

......

......

......

.... . .

Figura 1.1: Primeros numeros de Stirling de primera especie.


3. Los ingleses suelen dar varios nombres a sus hijos. ¿Decuantas maneras se puede dar un nombre al nino, si el numerogeneral de nombres disponibles es igual a 300, y no le danmas de tres nombres a cada nino? Generalice el problemapara el caso de un extrano paıs, en el cual el numero generalde nombres disponibles es igual a N y no le dan mas de nnombres a cada nino.

4. Varias personas se sientan alrededor de una mesa redonda.Consideramos que dos formas de sentarse coinciden si cadapersona tiene los mismos vecinos en ambos casos. ¿De cuantosmodos diferentes se puede sentar a la mesa cuatro personas?¿Y siete personas? ¿En cuantos casos una persona dada(de entre siete) tendra dos vecinos especıficos? Generaliceel problema considerando n personas.

5. (a) ¿Cuantos numeros diferentes de cinco dıgitos hay, silos ceros iniciales (como en “00032”) no son permitidos? (b)¿ Cuantos de los anteriores son pares? (c) ¿Cuantos numerosde cinco dıgitos hay (sin ceros iniciales) en los cuales apareceal menos un 3? (d) ¿Cuantos numeros de cinco dıgitos hay(sin ceros iniciales) que formen “palındromos” (el numeroes el mismo leıdo de izquierda a derecha que de derecha aizquierda, por ejemplo, 26862)?

6. En una reunion deben intervenir 5 personas: A, B, C,D y E. ¿De cuantas maneras se puede distribuir la lista deoradores, con la condicion que B no debe intervenir antesque A? ¿De cuantas maneras, si A debe intervenir inmedi-atamente despues de B? Generalice el problema para cuandotenemos n personas, dos de ellas llamadas A y B.

7. ¿De cuantas maneras se puede sentar alrededor de unamesa redonda a 5 hombres y 5 mujeres, de modo que noqueden a la par dos personas de un mismo sexo? Generaliceel problema para cuando tenemos n hombres y n mujeres.

1.6. Ejercicios 11

8. En un cierto paıs no habıa dos personas con la mismaconfiguracion (cantidad y posicion) de dientes. ¿Cual es lapoblacion maxima de ese paıs (el mayor numero de dienteses 32)?

9. Los numeros de automovil estan formados por una, dos otres letras y cuatro cifras. Hallar la cantidad total de estosnumeros, si se utilizan las 26 letras del alfabeto.

10. ¿Cuantas palabras diferentes se puede obtener permu-tando las letras de la palabra “matematica”? ¿Y de la pal-abra “parabola”? ¿Y de la palabra “ingrediente”? ¿Yde la palabra “parangaricutirimicuaro”2?

11. Resolver el problema anterior, pero ahora con la re-striccion que las vocales de las palabras originales deben per-manecer en sus posiciones originales. Mismo asunto, ahoracon la restriccion que las vocales de las palabras originalespueden permutar solamente entre sı y las consonantes puedenpermutar solamente entre sı.

12. En una oficina se correos se venden estampillas de 10tipos distintos. ¿De cuantas formas se puede comprar enella 12 estampillas? ¿Y 8 estampillas? ¿Y 8 estampillasdiferentes?

13. ¿Cuantos numeros distintos de cuatro cifras y divisiblespor 4 pueden formarse a partir de las cifras 1, 2, 3, 4, 5,si cada cifra puede emplearse en la escritura de un numerovarias veces?

14. ¿Cuantas permutaciones distintas pueden efectuarse conn elementos, en las que dos de ellos, a y b, no esten juntos?¿Y en las que no lo esten tres, a, b y c (en cualquier orden)?¿Y en las que ningun par de los elementos a, b y c este junto?

2Pueblo y volcan de Mexico.


15. En un torneo de gimnasia participan 10 personas. Tresjueces deben numerarlos, en forma independiente uno de losotros, en un orden que refleje sus exitos en el torneo, segunla opinion de cada juez. Se considera ganador el que hayasido nombrado primero por lo menos por dos jueces. ¿En queporcentaje de los casos del torneo se habra determinado unganador?

16. ¿Cuantos collares diferentes se puede confeccionar desiete cuentas de distinto tamano (hay que utilizar las 7)?Generalice el problema para cuando tenemos n cuentas dedistinto tamano.

17. ¿Cuantos collares diferentes se puede confeccionar decinco cuentas iguales y dos de mayor dimension? Generaliceel problema para cuando tenemos n cuentas de un tipo y mde otro tipo.

18. Si en una sociedad cada persona es representada porsus tres iniciales (nombre, primer apellido y segundo apel-lido), ¿cuantas personas son necesarias para garantizar queal menos 2 de ellas tienen las mismas iniciales? ¿Y cuantasson necesarias para garantizar que al menos m de ellas tienenlas mismas iniciales?

19. En un estante hay m+ n libros diferentes, de los cualesm estan encuadernados en negro, y n en rojo. ¿Cuantas per-mutaciones existen de estos libros, en las que las encuader-naciones en negro ocupen los primeros m lugares? ¿Cuantasposiciones hay en las que todos los libros encuadernados ennegro se hallen juntos?

20. ¿De cuantos modos se puede poner 5 anillos diferentesen los dedos de una mano, omitiendo el pulgar? Generaliceel problema para cuando tenemos n anillos diferentes.

1.6. Ejercicios 13

21. ¿Cuantos brazaletes distintos se puede confeccionar decinco esmeraldas iguales, seis rubıes iguales y siete zafirosiguales (en el brazalete deben figurar todas las 18 piedras)?

22. ¿De cuantos modos se puede seleccionar, de las mismaspiedras, tres para un anillo?

23. Para los premios de una olimpıada matematica se prepararon3 ejemplares de un libro, 2 de otro y 1 de un tercero. ¿Decuantos modos se puede entregar los premios, si en la olimpıadaparticiparon 20 personas y a nadie se le otorga dos libros degolpe? Resuelva el mismo problema, bajo el supuesto que anadie se le otorgue dos ejemplares de un mismo libro, aunquese le puede entregar dos o tres libros diferentes.

24. ¿Cuantos numeros distintos de cuatro cifras se puedeformar a partir de las cifras 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, si cada una deellas puede repetirse varias veces?

25. Hallar la cantidad de numeros de seis cifras, para loscuales la suma del numero formado por las tres primerascifras —de estas seis— y del formado por las tres ultimascifras, sea menor que 1000.

26. Generalice la propiedad 1 (a): Encuentre una formulapara la cardinalidad de la union de tres conjuntos A ∪ B ∪C, en terminos de las cardinalidades de A, B y C y de lasintersecciones de estos conjuntos.

Capıtulo 2

Arreglos, distribuciones,

combinaciones y selecciones

2.1 Arreglos en cajas ordenadas

¿Cuantas maneras o arreglos distintos hay de distribuir losobjetos a, b, c en las cajas ordenadas 1 y 2? La respuesta es24 arreglos distintos, los cuales se enumeran a continuacion:

abc | ∅ acb | ∅ bac | ∅ bca | ∅ cab | ∅ cba | ∅ab | c ba | c ac | b ca | b bc | a cb | aa | bc a | cb b | ac b | ca c | ab c | ba∅ | abc ∅ | acb ∅ | bac ∅ | bca ∅ | cab ∅ | cba

Como puede observar el lector, interesa aquı no solamenteel hecho que las cajas 1 y 2 son ordenadas (por ejemplo, el ar-reglo “ab | c” es diferente al arreglo “c | ab”), sino que tambieninteresa el orden de los objetos dentro de cada caja (por ejem-plo, el arreglo “ab | c” es diferente al arreglo “ba | c”). Engeneral tendremos . . .

Proposicion 8 El numero [n]m de maneras de distribuir mobjetos distinguibles en n cajas ordenadas es igual a

[n]m := n (n+ 1) · · · (n+m− 1) =(n+m− 1)!

(n− 1)!(2.1)

15

16 Capıtulo 2. Arreglos, distribuciones, combinaciones . . .

Demostracion: En efecto, construyamos primero la tablaTm−1 de todos los arreglos de los objetos 1, 2,. . . , m − 1 enlas n cajas ordenadas. Cada arreglo de la tabla Tm−1 es deforma

i1 i2 · · ·︸︷︷︸caja 1

| ik ik+1 · · ·︸︷︷︸caja 2

| · · · | · · · im−1︸︷︷︸caja n

y puede ser expresado como una secuencia de (m−1)+(n−1)sımbolos (las m − 1 “letras” ik y las n − 1 rayas verticales| ). La “letra” m puede ser agregada a esta secuencia de(m− 1) + (n− 1) + 1 diferentes maneras. Entonces,

|Tm| = (n+m− 1) |Tm−1|= (n+m− 1) (n+m− 2) · · · (n+ 1) |T1|= (n+m− 1) (n+m− 2) · · · (n+ 1)n = [n]m,

pues claramente T1 = n.

En el ejemplo anterior tenemos que m = 3, n = 2, siendoentonces la respuesta igual a [2]3 := 2 · 3 · 4 = 24.

Proposicion 9 El numero de maneras de distribuir m ob-jetos distinguibles en n cajas ordenadas, sin que interese elorden de los objetos dentro de las cajas, es igual a nm.

Demostracion: En efecto, cada objeto tendra n cajas dis-tintas donde podra ser colocado, de donde tendremos un totalde nm arreglos, todos distintos.

En el ejemplo anterior, hay 8 = 23 maneras distintas dedistribuir los tres objetos a, b, c, en las 2 cajas ordenadas, sino interesa el orden de los objetos dentro de las cajas. Estos8 arreglos son:

abc | ∅ ab | c ac | b bc | aa | bc b | ac c | ab ∅ | abc

2.2. Palabras en orden creciente 17

2.2 Palabras en orden creciente

Sea A = {a1, a2, . . . , an} un conjunto de n “letras”, orde-nadas de manera que a1 < a2 < · · · < an. Una “palabra”x1 x2 · · ·xm de m letras tomadas de A se dice que esta enorden creciente si

x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ xm.

Por ejemplo, sea A = {a, b, c, d}, donde las letras tienenel siguiente orden: a < b < c < d. ¿Cuantas “palabras” enorden creciente de 3 letras pueden formarse con las letras deA? La respuesta es 20 en total. Estas 20 “palabras” son:

aaa abb acc add bbb bcc bdd ccc cdd dddaab abc acd bbc bcd ccdaac abd bbdaad

Proposicion 10 El numero de “palabras” en orden crecientede m letras, tomadas de un conjunto de n letras, es igual a

[n]m

m!=

(n+m− 1

m

)=

(n+m− 1n− 1

)Demostracion: En efecto, considere un arreglo de los mobjetos 1, 2, . . . , m en las n cajas ordenadas a1, a2, . . . ,an, como en la seccion anterior. A este arreglo le hacemoscorresponder una “palabra” en orden creciente de la siguienteforma, explicada primero con un ejemplo:

| 3 |︸︷︷︸a1

| 251 |︸︷︷︸a2

| |︸︷︷︸a3

| 647 |︸︷︷︸a4

−→ a1 a2 a2 a2 a4 a4 a4.

La “palabra” en orden creciente se obtiene escribiendo la “le-tra” a1 tantas veces como el numero de objetos dentro de lacaja a1, seguida de la “letra” a2, escrita tantas veces como elnumero de objetos dentro de la caja a2, etc.


Entonces, es claro que para cada arreglo de los m objetosen las n cajas ordenadas corresponde una y solo una “pal-abra” en orden creciente. Por otra parte, para cada “palabra”en orden creciente corresponderan exactamente m! distintaspermutaciones de los m objetos en las n cajas ordenadas.Luego, en virtud de la proposicion 8 del capıtulo anterior,el numero total de “palabras” en orden creciente es igual a[n]m/m!. Por otra parte,

[n]m

m!=

n(n+ 1) · · · (n+m− 1)m!

=(n+m− 1)!(n− 1)!m!

=(n+m− 1

m

)=

(n+m− 1n− 1

).

Este tema de las “palabras” en orden creciente tiene unaestrecha conexion con el tema de las combinaciones con reem-plazo de n objetos, tomando m a la vez, como veremos en laseccion 2.8.

2.3 Numero de soluciones de una ecuacion

Sea m un entero positivo. ¿De cuantas maneras puede m es-cribirse como la suma de n sumandos enteros y no-negativos,tomando en consideracion el orden de los factores? Esta-mos preguntando por el numero de soluciones enteras y no-negativas de la ecuacion

x1 + x2 + · · ·+ xn = m, (2.2)

donde xi ∈ N, para cada i ∈ {1, 2, . . . , n}. Otra forma enter-amente equivalente de enfocar este problema es el siguiente:¿De cuantas maneras distintas se puede distribuir m bolasindistinguibles entre n cajas ordenadas?

Asociemos a cada solucion (x1, x2, . . . , xn) de la ecuacion(2.2) con la “palabra” en orden creciente

s1 s2 · · · sn−1, (2.3)

2.3. Numero de soluciones de una ecuacion 19

donde s1 = x1, s2 = x1 +x2, . . . , sn−1 = x1 +x2 + · · ·+xn−1.Claramente esta asociacion es biunıvoca, pues a partir dela “palabra” en orden creciente s1 s2 · · · sn−1 encontramos lasolucion (x1, x2, . . . , xn) de la ecuacion (2.2) sin ambiguedad,tomando xn = m−sn−1. De esta forma, hemos transformadoel problema de contar el numero de soluciones de la ecuacion(2.2), al problema de contar el numero de “palabras” en ordencreciente del tipo (2.3), en las cuales las “palabras” son den−1 “letras”, provenientes de un “alfabeto” dem+1 “letras”:{0, 1, . . . ,m}. Por lo tanto, tendremos el siguiente resultado:

Teorema 11 El numero de soluciones enteras y no-negati-vas de la ecuacion x1 + x2 + · · ·+ xn = m es igual a

[m+ 1]n−1

(n− 1)!=

(n+m− 1

m

)=

(n+m− 1n− 1

).

Este numero coincide con la cantidad de maneras distintasde distribuir m bolas indistinguibles entre n cajas ordenadas.

Una variacion a este problema surge al imponer otrasrestricciones en las soluciones. Por ejemplo, ¿cuantas solu-ciones enteras de la ecuacion

x1 + x2 + x3 = 17

hay, con la condicion que x1 ≥ 1, x2 ≥ 2 y x3 ≥ 3? O enforma equivalente, ¿de cuantas maneras distintas se puededistribuir 17 bolas indistinguibles en 3 cajas ordenadas, deforma tal que al final la primera caja contenga al menos unabola, la segunda caja al menos dos bolas y la tercera caja almenos tres bolas?

Podemos contar el numero de distribuciones de la sigu-iente manera: colocamos al principio una bola en la primeracaja, dos bolas en la segunda caja y tres bolas en la terceracaja. Nos quedan disponibles entonces 11 = 17−6 bolas, quedebemos distribuir sin restricciones entre las tres cajas. Por


lo tanto, la solucion es [11 + 1]3−1/(3− 1)! = (132 ) = 78. En

general, tendremos:

Teorema 12 El numero de soluciones enteras de la ecuacionx1+x2+· · ·+xn = m, con las restricciones x1 ≥ a1, x2 ≥ a2,. . . , xn ≥ an, es igual a(

n+m− a1 − a2 − · · · − an − 1n− 1

).

Este numero coincide con la cantidad de maneras distintasde distribuir m bolas indistinguibles entre n cajas ordenadas,de forma tal que la caja i-esima quede con al menos ai bolas,para cada i ∈ {1, 2, . . . , n}.

2.4 Combinaciones

Una combinacion de una coleccion de objetos dados es cualquierseleccion de uno o mas de ellos sin considerar el orden en quese seleccionen. Ası, por ejemplo, 3 combinaciones diferentesde los objetos a, b, c, d, tomando 2 objetos a la vez son:{a, b}, {b, c}, {a, d} (no son las unicas).

Hemos utilizado en el ejemplo anterior la notacion de con-juntos para enfatizar que el orden de los objetos seleccionadosen cada combinacion no interesa. Sin embargo, otro tipo decombinaciones a considerar es aquel en el cual las repeticionesde objetos son permitidas (combinaciones con repeticiones).En tal caso no emplearemos la notacion de conjunto {· · ·}para describirlas, sino mas bien la notacion de corchetes [· · ·].

Por ejemplo, 3 combinaciones diferentes de los objetos a,b, c, d, permitiendo repeticiones y tomando 2 objetos a lavez, podrıan ser: [a, a], [b, d], [c, c] (desde luego no son lasunicas). En esta notacion de corchetes tampoco interesa elorden de los objetos.

2.5. Combinaciones sin repeticiones 21

2.5 Combinaciones sin repeticiones

Proposicion 13 Cuando m ≤ n, el numero de combina-ciones sin repeticiones de n objetos distinguibles, tomandom de ellos a la vez, es igual a(

n

m

):=

n!m! (n−m)!

=[n]mm!

. (2.4)

Demostracion: En efecto, recordemos que la proposicion 5establece que existen [n]m permutaciones (sin reemplazo) delos n objetos, tomando m de ellos a la vez. Ahora, una per-mutacion especıfica, digamos i1 i2 · · · im, establece una y solouna combinacion de las estudiadas, a saber: {i1, i2, . . . , im}.Por otra parte, una combinacion especıfica sin repeticionesde los n objetos, tomando m de ellos a la vez, digamos{i1, i2, . . . , im}, establece m! diferentes permutaciones, cualesson i1 i2 · · · im y todas las otras permutaciones obtenidas deesta al permutar los m objetos. En consecuencia, el numerode combinaciones buscado sera [n]m/m! = ( n

m).

Los numeros ( nm) son llamados coeficientes binomiales en

virtud de la conocida formula del binomio de Newton1, anal-izada en el capıtulo siguiente. En general el coeficiente bino-mial ( n

m) se define como 0 cuando m > n o cuando m < 0.1Isaac Newton (1643–1727) Fısico, mecanico, astronomo y

matematico ingles, nacido en Bullstorp. Miembro de la Real Sociedad deLondres (1672), presidente de la misma (1703), miembro de la Academiade Ciencias de Parıs (1699). De 1661 hasta 1665 estudia en la Univer-sidad de Cambridge. Reconocido como uno de los grandes genios desu epoca, fue sepultado en la Abadıa de Westminster. Ocupo algunospuestos publicos, entre ellos el de Director de la Casa de la Moneda deLondres.

La obra cientıfica de Newton debe considerarse como uno de los pun-tos de viraje que marcan el paso del Renacimiento a la epoca contem-poranea. En el siglo XVII uno de los problemas centrales de la cienciaconsistıa en hallar las leyes del movimiento, ası como el establecer lasleyes de la mecanica. Para la solucion de este problema, el aparatomatematico de la epoca resultaba claramente insuficiente.


El lector puede observar que los coeficientes multinomiales(estudiados tambien en el capıtulo siguiente) coinciden conlos coeficientes binomiales cuando solamente hay r = 2 clasesdistintas. En efecto, de la definicion de ambos numeros, ten-emos que (

n

m1,m2, . . . ,mr−1

)=

(n

m1

),

cuando r = 2. Estudiaremos algunas propiedades de los coe-ficientes binomiales y multinomiales en el capıtulo siguiente.

Como ejemplos de las combinaciones sin repeticiones, elnumero de diferentes manos de poker (5 cartas cualquiera deun mazo ordinario de 52 cartas) es(

525

)=

52!5! 47!

= 2, 598, 960,

mientras que el numero de diferentes manos de bridge (13cartas cualquiera de un mazo ordinario de 52 cartas) es(

5213

)=

52!13! 39!

= 635, 013, 559, 600.

El merito de Newton consiste en que independientemente de Leibnizconstruye el calculo diferencial e integral, que permite la solucion de losproblemas antes citados. A diferencia de Leibniz, Newton llega a susdescubrimientos partiendo de los problemas concretos de la mecanica yla fısica, en lugar de partir de problemas de ındole abstracto. La es-trecha relacion entre la fısica y la matematica se percibe claramente ensu metodo de “flucciones”. Este metodo, que Newton desarrolla para lasolucion de problemas de mecanica, se basa en los trabajos de Cavalieri,Roberval, Fermat, Wallis, y su maestro y tutor Barrow. Este trabajocoincide en el tiempo con su descubrimiento del caracter recıproco delas operaciones de diferenciacion e integracion, ası como descubrimientosfundamentales de la teorıa de series infinitas, acerca del llamado binomiode Newton para exponentes arbitrarios, sobre la aproximacion de fun-ciones trascendentes por medio de series infinitas, sobre k-inversion deseries, etc.

En los anos 1670–1671 Newton describe sus resultados acerca delcalculo diferencial e integral en su libro “El metodo de las flucciones”(publicado hasta 1736). En esta obra se describen en terminos tanto

2.6. Distribucion de objetos en varios subconjuntos 23

2.6 Distribucion de objetosen varios subconjuntos

Proposicion 14 El numero de maneras de distribuir n ob-jetos distinguibles en r conjuntos, de manera que el con-junto i-esimo contenga ni de los objetos, (1 ≤ i ≤ r), conn1 + n2 + · · ·+ nr = n, es igual al coeficiente multinomial(

n

n1, n2, . . . , nr−1

):=

n!n1!n2! · · · , nr!

.

Demostracion: En efecto, primero distribuyanse los n ob-jetos en dos conjuntos: el primer conjunto conteniendo n1

objetos, mientras que el segundo conteniendo los restantesn − n1 objetos. Esto puede hacerse de ( n

n1) diferentes man-

eras. Luego, para cada una de estas ( nn1

) maneras, podemosdistribuir los restantes n−n1 objetos en otros dos conjuntos:el primero de ellos conteniendo n2 objetos, mientras que elsegundo conteniendo los n− n1 − n2 objetos restantes. Estopuede hacerse de (n−n1

n2) maneras diferentes. Entonces hemos

encontrado que el numero de maneras distintas de distribuir

matematicos como mecanicos los problemas recıprocos del analisis, de-sarrollandose el metodo de flucciones para la solucion de innumerablesproblemas geometricos: el problema de la tangente a una curva; elcalculo de cuadraturas (areas bajo una curva); etc. Ademas en esta obraNewton obtiene representaciones en terminos de funciones elementalesde una serie de integrales de raıces cuadradas de trinomios cuadraticos.Gran importancia se da en el libro antes citado a la integracion de ecua-ciones diferenciales ordinarias, ası como a la solucion de algunos prob-lemas del calculo de variaciones.

Pese a que Leibniz publica sus resultados en 1708, se tiene certezaque Newton conocıa del mismo a fines del siglo XVII, lo cual es evidentede sus otros trabajos cientıficos. El libro “Principios Matematicos de laFilosofıa Natural”, en cuya redaccion tardo 20 anos, y que salio a la luz3 anos despues del de Leibniz, utiliza estos resultados de forma magis-tral, mostrando su poder, y de paso poniendo en evidencia la enormehabilidad de Newton con el calculo infinitesimal.

El aporte de Newton a la matematica no se limita al descubrimientodel calculo diferencial e integral. Su obra incluye importantes aportes


los n objetos en 3 conjuntos, conteniendo respectivamenten1, n2, y n− n1 − n2 objetos cada uno, esta dado por(

n

n1

) (n− n1

n2

)=

n!n1! n2! (n− n1 − n2)!

.

Si continuamos con este razonamiento, obtenemos que paralos r conjuntos, el numero de distribuciones es

n!n1! n2! · · ·nr!

=(

n

n1, n2, . . . , nr−1

),

como se deseaba establecer.

Por ejemplo, una distribucion completa de cartas en eljuego del bridge, consiste en distribuir las 52 cartas en 4conjuntos de 13 cartas cada uno. Por lo tanto, la totalidadde distribuciones completas de cartas en el bridge es de(

5213, 13, 13

)=

52!13! 13! 13! 13!

≈ 5.36× 1028.

en metodos numericos, calculo aproximado de raıces de ecuaciones al-gebraicas (el llamado metodo de Newton), interpolacion de polinomiosde grado arbitrario, geometrıa analıtica (secciones conicas: clasificaciony definicion de curvas de segundo y tercer grados, etc.).

No se puede dejar de mencionar el aporte de Newton a la mecanica.Partiendo de los trabajos pioneros de Galileo y Huygens, Newton no soloresumio todo el conocimiento sobre el movimiento y la fuerza en un sis-tema deductivo, sino que, despues de establecer un reducido numero deleyes de la mecanica (ley de inercia, ley de la accion libre de una fuerza,ley sobre la igualdad de accion y reaccion), logro deducir a partir deestas leyes todos los demas teoremas de la mecanica. La llamada ley dela gravitacion universal esta indivisiblemente ligada al nombre de IsaacNewton. Ademas de ser el primero en enunciarla en su forma mas gen-eral, Newton logro apoyarla con todo el conocimiento astronomico de suepoca. Tambien son conocidos los trabajos de Newton sobre optica, talescomo los estudios acerca de la dispersion de la luz, la descomposicion dela luz blanca, la invencion del primer telescopio con espejos (1668), losestudios sobre la interferencia de la luz, y otros.

2.7. Seleccion simultanea de objetos de varias clases 25

2.7 Seleccion simultaneade objetos de varias clases

Proposicion 15 Supongase que tenemos N objetos parti-cionados en r subcolecciones que contienen N1, N2, . . . , Nr

elementos, respectivamente. Considerese la seleccion de n ≤N objetos, de los cuales n1 ≤ N1 deben ser de la primerasubcoleccion, n2 ≤ N2 de la segunda, y ası sucesivamentehasta seleccionar nr ≤ Nr objetos de la ultima subcoleccion.Entonces, el numero total de diferentes selecciones es(

N1

n1

) (N2

n2

)· · ·

(Nr

nr

).

Demostracion: El lector no encontrara ninguna dificultadpara justificar este resultado.

Por ejemplo, el numero de manos de poker mediante lascuales se obtiene un full house (3 aces y 2 reyes) es igual a(43) (4

2) = 24.Otro ejemplo: el numero de manos de bridge que con-

tienen exactamente 6 corazones es igual a(136

) (397

)= 26, 393, 687, 892.

En este ultimo ejemplo, N = 52, N1 = 13, N2 = 39 (elnumero de cartas que no son corazones), n1 = 6 (los cora-zones), n2 = 7 (el resto de las cartas de la mano).

2.8 Combinaciones con repeticiones

¿Cuantas combinaciones con repeticiones podemos formarcon los objetos a, b, c, tomando 4 de ellos a la vez? En


total 15 combinaciones, las cuales son:

[a, a, a, a] [a, a, a, b] [a, a, a, c] [a, a, b, b] [a, a, b, c][a, a, c, c] [a, b, b, b] [a, b, b, c] [a, b, c, c] [a, c, c, c][b, b, b, b] [b, b, b, c] [b, b, c, c] [b, c, c, c] [c, c, c, c]

Proposicion 16 El numero de combinaciones de n objetosdistinguibles, tomando m de ellos a la vez y permitiendo lasrepeticiones, es igual a

[n]m

m!=

(n+m− 1

m

)=

(n+m− 1n− 1

).

Demostracion: En efecto, como el lector puede observar,cada una de las combinaciones con repeticion,

[ai1 , ai2 , . . . , aim ],

se puede asociar con una y solo una “palabra” en orden cre-ciente ai1 ai2 · · · aim , donde las “letras” son los objetos. El re-sultado es entonces el mismo que el obtenido en la proposicion10, igual a [n]m/m!. La equivalencia de esta cantidad a loscoeficientes binomiales (n+m−1

m ) y (n+m−1n−1 ) es evidente, de la

definicion de estos ultimos.

2.9 Seleccion de objetos no consecutivos

¿Cuantas selecciones distintas de 3 numeros no consecutivospueden hacerse a partir de los 8 dıgitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,dispuestos en ese orden? En total tendremos las siguientes20 selecciones:

1,3,5 1,3,6 1,3,7 1,3,8 1,4,61,4,7 1,4,8 1,5,7 1,5,8 1,6,82,4,6 2,4,7 2,4,8 2,5,7 2,5,82,6,8 3,5,7 3,5,8 3,6,8 4,6,8.

2.9. Seleccion de objetos no consecutivos 27

Generalizando este problema, hallemos la cantidad deselecciones distintas F (m, k) de k objetos no consecutivos,que se puede obtener a partir de m objetos distinguiblesdispuestos en una lınea. Encontraremos la manera de aso-ciar este problema con el conteo de soluciones enteras anal-izado en la seccion 2.3. Consideremos la seleccion especıfica,en la cual p1, p2, . . . , pk son las posiciones de los obje-tos no consecutivos seleccionados. La restriccion de la “no-consecutividad” nos impone las condiciones pi − pi−1 ≥ 2,para todo i ∈ {2, 3, . . . , k}. Ademas tendremos que p1 ≥ 1.

Definimos las k + 1 cantidades x1, x2, . . . , xk, xk+1 me-diante x1 = p1, xi = pi − pi−1, para cada i ∈ {2, . . . , k}, yxk+1 = m− pk. Luego, tendremos que

x1 + x2 + · · ·+ xk + xk+1 = m,

con las restricciones x1 ≥ 1, xi ≥ 2, para cada i ∈ {2, . . . , k}y xk+1 ≥ 0. Aplicando el teorema 12 de la seccion 2.3 y luegode simplificar, obtenemos entonces la formula para F (m, k),como se indica a continuacion.

Teorema 17 El numero F (m, k) de selecciones de k obje-tos no consecutivos, a partir de m objetos dispuestos en unalınea, es igual a

F (m, k) =(m− k + 1

k

).

Otra demostracion completamente diferente de este resul-tado es como sigue. El total F (m, k) de selecciones se puedeseparar en dos grupos:

(a) Aquellas selecciones en las cuales el primer objeto ocupala primera posicion. Los restantes objetos se pueden en-tonces seleccionar en forma no consecutiva de F (m −2, k − 1) formas distintas.


(b) Aquellas selecciones en las cuales el primer objeto noocupa la primera posicion. Habra en total F (m− 1, k)selecciones de este tipo.

Por lo tanto, tendremos la relacion por recurrencia

F (m, k) = F (m− 2, k − 1) + F (m− 1, k),

con las condiciones iniciales F (m, 1) = m y F (k, k) = 0,para k > 1. Utilizamos ahora el principio de induccionmatematica, para concluir que

F (m, k) =(m− 2− (k − 1) + 1

k − 1

)+

(m− 1− k + 1

k

)=

(m− kk − 1

)+

(m− kk

)=

(m− k + 1

k

).

Finalmente, presentamos el siguiente resultado analogo,referente a selecciones de objetos no consecutivos.

Teorema 18 El numero G(m, k) de selecciones de k obje-tos no consecutivos, a partir de m objetos dispuestos en uncırculo, es igual a

G(m, k) =m

m− k

(m− kk

), m ≥ 2k.

Demostracion: Fijamos en el cırculo la primera posiciony empleamos la funcion F del teorema precedente. El totalG(m, k) de selecciones puede separarse en dos grupos:

(a) Aquellas en las cuales el primer objeto ocupa la primeraposicion. Los restantes objetos entonces se pueden se-leccionar de F (m− 3, k − 1) maneras distintas.

(b) Aquellas en las cuales el primer objeto no ocupa laprimera posicion. Habra en total F (m − 1, k) selec-ciones de este tipo.

2.10. Ejercicios 29

Por lo tanto, tendremos la siguiente relacion por recurrencia:

G(m, k) = F (m− 3, k − 1) + F (m− 1, k).

Sustituyendo los valores de F de acuerdo al teorema prece-dente, obtenemos el resultado, luego de realizar las simplifi-caciones del caso.

2.10 Ejercicios

27. ¿De cuantas formas se puede indicar en el tablero deajedrez dos casillas, una blanca y una negra? ¿Y si no haylimitaciones en lo que respecta al color de las casillas selec-cionadas?

28. ¿De cuantas maneras se puede seleccionar en el tablerode ajedrez una casilla blanca y una negra que no esten enuna misma horizontal ni vertical?

29. De 12 palabras de genero masculino, 9 de femenino y10 de neutro, hay que seleccionar una de cada genero. ¿Decuantos modos se puede efectuar esta seleccion? Generaliceel problema para cuando el numero de palabras por generoson, respectivamente, m, f y n.

30. Hay 6 pares de guantes de distintas medidas. ¿De cuan-tas maneras se puede seleccionar entre ellos un guante dela mano izquierda y otro de la derecha, de forma que estosguantes sean de distintas medidas? Generalice el problemapara cuando hay 2n pares de guantes de distintas medidas.

31. ¿De cuantas maneras se puede formar 6 palabras a partirde 26 letras diferentes, si en el conjunto de estas 6 palabrascada letra se utiliza exactamente una vez? Generalice el re-sultado para cuando tenemos n letras diferentes y se requiereformar m palabras, con las mismas condiciones.


32. De entre 3 ejemplares de un texto de algebra, 7 de ge-ometrıa y 7 de trigonometrıa, hay que seleccionar un ejemplarde cada texto. ¿Cuantos modos existen de efectuarlo? Gen-eralice el problema para cuando las cantidades de textos pormateria son n1, n2 y n3.

33. Un encuadernador debe encuadernar 12 libros diferentesen rojo, verde y marron. ¿De cuantos modos puede hacerlo,si por lo menos un libro debe estar encuadernado en cadacolor?

34. En una canasta hay 12 manzanas y 10 naranjas. Juantoma de la canasta una manzana o una naranja, luego de locual Marıa toma una manzana y una naranja. ¿En que casoMarıa tendra mayor libertad de eleccion: cuando Juan tomauna manzana, o cuando elige tomar una naranja?

35. ¿De cuantas maneras se puede seleccionar, de una barajacompleta de naipes, una carta de cada palo? Mismo asunto,pero con la condicion de que entre las cartas seleccionadasno haya ningun par igual, es decir, dos reyes, dos diez, etc.

36. Cinco muchachas y tres muchachos juegan a la pelota.¿De cuantas formas pueden dividirse en dos equipos de 4personas cada uno, si en cada equipo debe haber por lo menosun muchacho? Generalice el resultado, para cuando tenemosn muchachas y m muchachos.

37. De una baraja normal de 52 cartas se han extraıdo 10cartas. ¿En cuantos casos entre ellas habra por lo menosun as? ¿En cuantos casos habra exactamente un as? ¿Encuantos habra no menos de 2 aces? ¿Y exactamente dosaces?

38. Sea m un entero positivo. Calcule el numero de solu-ciones enteras y positivas de la ecuacion

x1 + x2 + · · ·+ xn = m,

2.10. Ejercicios 31

esto es, soluciones para las cuales xi > 0, 1 ≤ i ≤ n.

39. Sea m un entero positivo. Calcule el numero de solu-ciones enteras de la ecuacion

x1 + x2 + · · ·+ xn = m,

para las cuales xi ≥ −3, para cada i ∈ {1, 2, . . . , n}.

40. En el coupe de un vagon del ferrocarril hay dos divanesopuestos, de 5 lugares cada uno. De 10 pasajeros, cuatrodesean sentarse de cara a la locomotora, y tres de espaldas aella; a los tres restantes les es indiferente como sentarse. ¿Decuantos modos se puede efectuar esto?

41. La mama tiene 2 manzanas y 3 peras. Cada dıa, du-rante cinco dıas seguidos, da al hijo una fruta. ¿De cuantasmaneras puede efectuarse esto?

42. La mama tiene n1 objetos tipo I, n2 objetos tipo II yn3 objetos tipo III. Cada dıa, durante n1 + n2 + n3 dıasseguidos, da al hijo un objeto. ¿De cuantas maneras puedeefectuarse esto?

43. En un club deportivo con 30 miembros, hay que formarun equipo de 4 personas para participar en una carrera de1000 m. ¿De cuantas maneras puede hacerse? ¿Y de cuantasmaneras se puede formar un equipo de 4 personas para par-ticipar en la carrera de relevos 100 + 200 + 400 + 800?

44. ¿De cuantas maneras se puede colocar las figuras blancas(2 torres, 2 alfiles, 2 caballos, el rey y la reina) en la primerafila del tablero de ajedrez?

45. De un grupo formado por 7 hombres y 4 mujeres, hayque seleccionar 6 personas de forma tal que entre ellas hayaal menos 2 mujeres. ¿De cuantas maneras puede efectuarse


la eleccion? Generalice el problema para cuando el grupoconsiste en H hombres y M mujeres, y hay que seleccionarp personas (p ≤ H +M), de las cuales al menos h deben serhombres y m deben ser mujeres (h ≤ H, m ≤M , h+m ≤ p).

46. Un tren, en el que se encuentran n pasajeros, debe efec-tuar m paradas. ¿De cuantas maneras pueden distribuirselos pasajeros entre estas paradas? El mismo problema, si setiene en cuenta solo la cantidad de pasajeros que se bajaronen las paradas.

47. Un grupo de 7 mujeres y 10 hombres bailan en una fiesta.Si para algun baile en particular participan todas las mujeres,¿cuantas variantes existiran de la participacion de los hom-bres en este baile? ¿Cuantas variantes habra, si se tiene encuenta solamente cuales hombres quedaron sin bailar? Re-solver las mismas cuestiones si se puede decir con seguridadque dos hombres determinados seran invitados a bailar.

48. Una companıa esta formada por 3 oficiales, 6 sargentosy 60 soldados rasos. ¿De cuantos modos se puede seleccionarentre ellos un destacamento formado por un oficial, dos sar-gentos y 20 soldados rasos? Resolver el mismo problema,pero en el destacamento debe figurar el jefe de la companıay el mayor de los sargentos.

49. En una fiesta escolar hay 12 ninos y 15 ninas. ¿Decuantas maneras se puede seleccionar de entre ellos 4 parejaspara un baile? Generalice el problema, para cuando hay nninos, m ninas y se deben seleccionar de entre ellos k parejaspara el baile, con k ≤ min{n,m}.

50. Hay 3 gallinas, 4 patos y 2 gansos. ¿Cuantas agrupa-ciones existen para la eleccion de varias aves, de forma talque entre las seleccionadas haya tanto gallinas como patos ygansos? Generalice el problema, para cuando hay n1 gallinas,n2 patos y n3 gansos.

2.10. Ejercicios 33

51. ¿De cuantos modos se puede dividir m + n + p objetosdistinguibles en tres grupos, de forma que en un grupo hayam objetos, en otro n, y en el tercero p (el orden de los gruposes indistinguible)?

52. ¿De cuantas formas se puede seleccionar un grupo entre15 personas para trabajar? En el mismo puede haber 1,2, . . . , 15 personas. Generalice el problema, para el caso enque haya que seleccionar entre n personas.

53. Sean p1, . . . , pn numeros primos diferentes. ¿Cuantosdivisores tiene el numero q = pα1

1 · · · pαnn , siendo α1, . . . , αn

numeros naturales? ¿A que es igual la suma de estos divi-sores?

54. 30 personas votan por 5 mociones. ¿De cuantas formasse puede distribuir los votos, si cada una vota por una mociony si se tiene en cuenta solamente el numero de votos queobtuvo cada una?

55. ¿Cuantas formas existen de seleccionar 12 personas deentre 17, si dos personas dadas de estas 17 no pueden serseleccionadas juntas? Generalice el problema para cuandotenemos N personas y debemos seleccionar n < N , con larestriccion de que k personas especıficas no pueden ser selec-cionadas juntas.

56. El marido tiene 12 conocidos, 5 mujeres y 7 hombres, yla esposa 7 mujeres y 5 hombres (diferentes a los del marido).¿De cuantas maneras se puede formar un grupo de 6 hombresy 6 mujeres, de modo que 6 personas sean invitadas por elmarido y 6 por la esposa?

57. A cada costado de un bote hay que sentar 4 personas.¿De cuantas maneras se puede seleccionar las 8 personas asentar en el bote, si hay 31 candidatos y si ademas 10 de


ellos quieren sentarse en el costado izquierdo del bote, 12 enel costado derecho y a los restantes 9 les es indiferente dondesentarse?

58. Una persona tiene 6 amigos y durante cada fin de semanainvita a su casa a 3 de ellos, de modo tal que el grupo no serepita ni una sola vez. ¿De cuantas maneras puede hacerlo?

59. Un coro esta formado por 10 participantes. ¿De cuantasmaneras se puede seleccionar 6 participantes durante tresdıas, de forma que cada dıa el coro tenga distinta composicion?Generalice el problema al caso en que el coro tiene N partic-ipantes y se seleccionan n de ellos durante tres dıas.

60. De cuantas maneras se puede formar palabras a partirde 9 consonantes y 7 vocales, en las que figuren 4 conso-nantes distintas y 3 vocales diferentes? ¿En cuantas de estaspalabras no habra dos consonantes juntas?

61. ¿Cuantas palabras que contengan cinco letras cada unase puede formar con 26 letras distintas, si se admiten repeti-ciones, pero no puede haber en la palabra formada dos le-tras vecinas que coincidan, es decir, si palabras tales como“llama” o “perro” no se admiten? Generalice el problemapara el caso en que tenemos N letras distintas y las palabrasson de largo n, con las mismas condiciones.

62. Un grupo formado por 10 parejas de casados se divide en5 grupos de 4 personas para un paseo en bote. ¿De cuantasformas se las puede dividir, de manera que en cada bote hayados hombres y dos mujeres?

63. En el problema anterior, ¿en cuantos casos un hombredado quedara en el mismo bote que su esposa? ¿En cuantoscasos dos hombres quedaran en un solo bote junto con susesposas?

Capıtulo 3

Coeficientes binomiales

y multinomiales

Hemos visto que la solucion de muchos problemas com-binatorios involucra los coeficientes binomiales y multinomi-ales. Por tal razon, analizaremos en este capıtulo algunasde las propiedades mas significativas que tienen estos coefi-cientes, viendolas desde el punto de vista combinatorio. Al-gunas otras propiedades son planteadas en los ejercicios.

Primeramente demostraremos el bien conocido teoremadel binomio de Newton. Generalmente, en el primer contactoque el estudiante tiene con este teorema, la demostracion delmismo se establece por el metodo de la induccion matematica.Sin embargo, aquı demostraremos este importante resultadoempleando argumentos de tipo combinatorio, poniendo en ev-idencia, de esta forma, algo del poder que tienen las tecnicascombinatorias.

3.1 El binomio de Newton

Proposicion 19 (Binomio de Newton)

(x+ y)n =n∑

k=0

(n

k

)xk yn−k. (3.1)

Demostracion: En efecto, cada termino de la parte derechade la formula (3.1) es claramente obtenido por la seleccion

35

36 Capıtulo 3. Coeficientes binomiales y multinomiales

reiterada de cada uno de los n factores, ya sea la letra x, ola letra y. Si seleccionamos la letra x en k de los factores,tendremos entonces que seleccionar la letra y en los restantesn − k factores. Luego, claramente, el coeficiente de xk esjustamente el numero de maneras en las cuales la letra xpuede ser seleccionada en k de los n factores, que es igual a(n

k ).

Corolario 20 (Subconjuntos del conjunto potencia)

n∑k=0

(n

k

)= 2n.

Demostracion: En efecto, al sustituir x = y = 1 en laformula (3.1), se obtiene este resultado de apariencia in-ocente.

De paso, este corolario puede ser interpretado como unademostracion combinatoria de la proposicion 1(c), en la cualse dice que si A es un conjunto con n elementos, entonces elconjunto potencia, P(A), tiene 2n elementos.

En efecto, P(A) esta compuesto por todos los subconjun-tos de A, cuyo numero total lo podemos contar ası: el numerode los subconjuntos con cero elementos, mas el numero de lossubconjuntos con 1 elemento, mas el numero de los subcon-juntos con 2 elementos, etc., hasta sumar el numero de lossubconjuntos con n elementos. Esta suma es precisamente(

n

0

)+

(n

1

)+ · · ·+

(n

n

)= 2n.

Corolario 21n∑

k=0

(−1)k

(n

k

)= 0.

Demostracion: En efecto, tomese x = −1 y y = 1 en elbinomio de Newton y la conclusion es inmediata.

3.2. El triangulo de Pascal 37

11 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 11 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

Figura 3.1: Triangulo de Pascal.

3.2 El triangulo de Pascal

Otro resultado familiar al estudiante, que derivaremos a con-tinuacion, es la identidad del Triangulo de Pascal1. Esto es,los coeficientes binomiales de ındice superior n+1 pueden serobtenidos de la suma de cada par de coeficientes binomialesadyacentes de ındice superior n. Expresamos este hecho atraves del conocido triangulo de Pascal, como se ilustra en la

1Blaise Pascal (1623–1662) Matematico, fısico e inventor frances,nacido en Clermont, Auvergne. Fue el tercer hijo y unico varon deuna familia cuya madre murio cuando Pascal tenıa solamente tres anosde edad. En 1632 su familia se mudo a Parıs. Su padre tenıa puntosde vista poco ortodoxos con respecto a la educacion de sus hijos y de-cidio ensenarles el mismo. Ademas le prohibio a Pascal que estudiaramatematica antes de cumplir los 15 anos. De esa forma, todos los textosde matematica fueron sacados de la casa. Sin embargo, la curiosidad dePascal pudo mas que la intransigencia de su padre y empezo un trabajode geometrıa a la edad de 12 anos, descubriendo que la suma de losangulos de un triangulo es igual a dos angulos rectos. Cuando su padrese dio cuenta de la habilidad de su hijo, se ablando un poco y le permitioleer una copia de Los Elementos de Euclides.

A la edad de 14 anos Pascal comenzo a acompanar a su padre alos encuentros con Mersenne, un predicador que pertenecıa a la ordenreligiosa de los Minims, cuya morada era punto de reunion frecuentadopor personalidades tales como Gassendi, Roberval, Carcavi, Auzout,Mydorge, Mylon, Desargues y otros. Pronto, Pascal admiro el trabajode Desargues. A la edad de 16 anos presento un pequeno estudio enuna de las reuniones de Mersenne, con algunos teoremas de geometrıaproyectiva, entre ellos el hexagono mıstico de Pascal .


Figura 3.1.Formalmente, expresamos lo anterior mediante (n+1

k ) =(n

k ) + ( nk−1), resultado que pasaremos a establecer desde el

punto de vista combinatorio (desde luego que esta sencillaformula puede ser facilmente demostrada mediante manipu-laciones algebraicas elementales). Debe recordarse que (n

k ) =0 cuando k > n o cuando k < 0.

Proposicion 22 (Triangulo de Pascal)(n+ 1k

)=

(n

k

)+

(n

k − 1

).

Demostracion: En efecto, la parte izquierda de la formulaanterior es el numero de maneras de seleccionar k objetos deuna coleccion de n + 1 objetos. Distingamos momentanea-mente uno de los n + 1 objetos del resto. Entonces, cadauna de las (n+1

k ) selecciones originales de los k objetos, o

En 1639 la familia Pascal se traslado a Rouen, donde su padre habıaobtenido el puesto de recolector de impuestos para la Alta Normandıa.De esa epoca es el primer trabajo de Pascal, titulado Ensayos sobre lasSecciones Conicas, publicado en 1640.

Pascal invento la primera calculadora digital para ayudar a su padreen su trabajo de recoleccion de impuestos. Trabajo en este invento portres anos, entre 1642 y 1645. El aparato, llamado Pascaline, recuerda alos calculadores mecanicos de los anos de la decada de 1940. Esto hizo dePascal la segunda persona en inventar una calculadora mecanica, puesSchickard ya habıa manufacturado una en 1624.

Debio resolver algunos problemas relacionados con el diseno de sucalculadora, debido a las particularidades de la moneda utilizada enFrancia por aquella epoca. Habıa 20 soles en una libra y 12 deniers en unsol. El sistema se mantuvo en Francia hasta 1799, aunque en Bretana seempleo un sistema similar hasta 1971. Pascal tuvo que resolver muchosproblemas tecnicos para implementar la division de una libra por 240,problemas que pudo haberse evitado si la division hubiese sido por 100.La produccion de la maquina Pascaline comenzo en 1642. Para 1652unos cincuenta prototipos habıan sido producidos, pero pocas maquinashabıan sido vendidas y la manufactura del Pascaline ceso ese ano.

En 1646 Pascal empezo una serie de experimentos sobre la presionatmosferica. En 1647 probo, para su satisfaccion, que el vacıo existe. Al

3.2. El triangulo de Pascal 39

bien contiene a este objeto distinguido o bien no lo contiene.El numero de selecciones que incluyen al objeto distinguidoes entonces ( n

k−1), pues coincide con el numero de manerasde seleccionar los k − 1 restantes objetos de entre los n aundisponibles. Por otra parte, el numero de selecciones que noincluyen al objeto distinguido es (n

k ), ya que esta cantidadcoincide con el numero de maneras de seleccionar k objetosde entre los n aun disponibles.

Otra identidad interesante desde el punto de vista com-binatorio es la siguiente, la cual generaliza al triangulo dePascal:

Proposicion 23 Para N , n ∈ N, M ≥ 1, n ≤ N + M , secumple

n∑k=0

(N

k

)(M

n− k

)=

(N +M

n

).

principio Descartes no creyo en la nocion del vacıo de Pascal. En unacarta dirigida a Huygens, Descartes escribio, injusta y cruelmente, losiguiente: “. . . (Pascal) tiene mucho vacıo en su cabeza”. Pascal escribioel artıculo Nuevos Experimentos Concernientes al Vacıo, que lo lleno decontroversias con un grupo de cientıficos quienes, como Descartes, nocreıan en el vacıo. En 1648 Pascal observo que la presion de la atmosferadecrece con la altura y dedujo que el vacıo existe sobre la atmosfera.

Desde 1653 Pascal trabajo en matematicas y fısica, escribiendo elTratado sobre el Equilibrio de los Lıquidos, obra en la cual explica laahora llamada Ley de la Presion de Pascal . Este tratado es un completoesbozo de un sistema de hidrostatica, el primero en la historia de laciencia, y materializo su contribucion mas importante y distintiva a lafısica teorica.

Trabajo sobre las secciones conicas y produjo importantes teoremasen geometrıa proyectiva. En su trabajo La Generacion de las SeccionesConicas (1654) considera las conicas como generadas por proyeccionescentrales del cırculo. Esta era la primera parte de un tratado sobreconicas que Pascal nunca llego a completar. El trabajo se perdio, perogracias a las notas levantadas posteriormente por Leibniz y Tschirnhaussobre el mismo, ahora podemos tener una idea bastante completa de loque fue.


Demostracion: En efecto, considerese una coleccion deN+M objetos, particionados en dos subcolecciones de N y Mobjetos respectivamente, y considerese el numero total deposibles selecciones de n ≤ N +M objetos, cual es (N+M

n ).Por otra parte, observese que el producto (N

k )( Mn−k ) corres-

ponde al numero de maneras de seleccionar los n objetos delas dos particiones de objetos, seleccionando k de la primeraparticion de N objetos y n− k de la segunda particion de Mobjetos (proposicion 15). Luego, al sumar cada uno de estosproductos (N

k )( Mn−k ) obtenemos al final el numero total de

maneras de seleccionar los n objetos de los N + M objetosoriginales.

El lector podra observar que cuando M = 1 y n ≥ 1obtenemos la formula(

N + 1n

)=

(N

n− 1

)+

(N

n

),

que es precisamente el triangulo de Pascal.

Aunque Pascal no fue el primero en estudiar el triangulo de Pascal , suTratado sobre los Triangulos Aritmeticos fue el mas importante trabajoen este topico. Posteriormente a traves de los trabajos de Wallis y Pascalsobre los coeficientes binomiales, Newton descubrio el teorema generaldel binomio para potencias racionales y negativas.

A traves de su correspondencia con Fermat, dejo abiertos los cimientosde la teorıa de las probabilidades. Esta correspondencia consistio encinco cartas en 1654. Considero el problema de un dado (¿cuantas vecesdeberemos lanzar un par de dados antes de esperar un doble seis?), yaestudiado por Cardan, y el problema de los puntos (¿como dividir lasapuestas si el juego del dado es incompleto?), tambien considerado porCardan, Pacioli y Tartaglia. Pascal resolvio el problema de los puntospara un juego entre dos jugadores.

Su ultimo trabajo fue sobre la cicloide, la curva trazada por un puntode la circunferencia de un disco que rueda. Aplico el principio de Cava-lieri para calcular el area y centro de gravedad de cualquier segmento dela cicloide. Tambien resolvio el problema del calculo del volumen y lasuperficie del solido de revolucion formado al rotar la cicloide alrededorde su eje horizontal.

3.3. Generalizacion de los coeficientes binomiales 41

3.3 Generalizacion de los coeficientesbinomiales

La definicion de coeficientes binomiales puede ser extendidade manera natural, si observamos que ( n

m) = [n]mm! . En efecto,

podemos cambiar n por cualquier numero real x.

Definicion 24 Sea x ∈ R y m ∈ N. Entonces se define elcoeficiente binomial(

x

m

):=

[x]mm!

=x(x− 1) · · · (x−m+ 1)

m!.

En particular, para cualquier entero n positivo, tendremosla identidad(

−nm

)=−n(−n− 1) · · · (−n−m+ 1)

m!

= (−1)m

(n+m− 1

m

).

Una formula interesante que utiliza los coeficientes bi-nomiales generalizados es el desarrollo infinito de (1 + x)β ,donde β ∈ R, el cual es estudiado en los cursos de calculo.Lo presentamos aquı sin demostracion.

Proposicion 25 Sea β ∈ R y sea |x| < 1. Entonces,

(1 + x)β =∞∑

m=0

(β

m

)xm =

∞∑m=0

[β]mm!

xm. (3.2)

3.4 El teorema del multinomio

Concluimos este capıtulo estableciendo el teorema del multi-nomio, utilizando metodos combinatorios.


Proposicion 26 (Multinomio de Newton) Sean x1, x2,. . . , xr ∈ R y n ∈ N. Entonces se cumple la formula

(x1+x2+· · ·+xr)n =∑

k1,k2,...,kr≥0k1+k2+···+kr=n

(n

k1, k2, . . . , kr−1

)xk1

1 xk22 · · ·x

kr

k .

Demostracion: En efecto, para cada uno de los n factoresde la parte izquierda de la formula anterior, seleccionese unade los x’s. Entonces, cada termino tiene la forma

xk11 x

k22 · · ·x

krr ,

donde ki ≥ 0 y∑r

i=1 ki = n. El coeficiente de cada uno deestos terminos es precisamente el numero de maneras en quepodemos dividir los n factores en r grupos, el primer grupoconteniendo k1 elementos, el segundo grupo conteniendo k2

elementos, etc. El i-esimo grupo corresponde a los factoresde los cuales seleccionamos xi.

Corolario 27 ∑k1,k2,...,kr≥0

k1+k2+···+kr=n

(n

k1, k2, . . . , kr−1

)= rn.

Demostracion: En efecto, obtenemos este resultado al tomarxi = 1, i = 1, . . . , r.

3.5 Ejercicios

64. Demuestre que para todos n y m ∈ N se cumple la iden-tidad

m∑k=0

(n+ k

k

)=

(n+m+ 1

m

).

65. Demuestre que el numero de maneras en que m obje-tos indistinguibles pueden ser distribuidos en n urnas dis-tinguibles, quedando todas las urnas ocupadas, es ( m−1

m−n).Sugerencia: emplee la formula del problema 64.

3.5. Ejercicios 43

66. Demuestre las siguientes identidades:

(a)n∑

k=0

k

(n

k

)= n 2n−1; n ∈ N.

(b)n∑

k=0

(−1)kk

(n

k

)= 0; n ∈ N.

(c)n∑

k=0

(n

k

)2

=(

2nn

); n ∈ N.

(d)n∑

k=0

(n

k

)(n− km− k

)= 2m

(n

m

); n,m ∈ N, n ≥ m.

(e)n∑

k=0

(−1)k

(n

k

)(n− km− k

)= 0; n,m ∈ N, n ≥ m.

(f)n−r∑k=0

(r + k

k

)=

(n+ 1r + 1

); r, n ∈ N, r ≤ n.

(g)m∑

k=0

(m

k

) (n

r + k

)=

(m+ n

m+ r

); r, n,m ∈ N, r ≤ n.

(h)m∑

k=0

(m− kr

) (n+ k

s

)=

(m+ n+ 1r + s+ 1

); r, s, n,m ∈

N.

67. Evalue la suma∑n

k=3(k − 2)(k − 1)k.Sugerencia: el termino (k − 2)(k − 1)k es igual a 3!(k

3 ).


k=1 k2.

Sugerencia: k2 = (k − 1)k + k.

69. Utilice la identidad(n

k

)− 1 =

(n− 1k

)+

(n− 2k − 1

)+ · · ·+

(n− k

1

)


para demostrar que, para cualquier k ≥ 1 dado, todo enteropositivo n puede ser representado de manera unica como

n =(m1

1

)+

(m2

2

)+ · · ·+

(mk

k

),

donde 0 ≤ m1 < m2 < · · · < mk.

70. Demuestre, mediante un argumento combinatorio, que

(a)(

2n2

)= 2

(n

2

)+ n2.

(b) (n− r)(n+ r − 1

r

)(n

r

)= n

(n+ r − 1

2r

)(2rr

).

71. Demuestre que(n

1

)+ 6

(n

2

)+ 6

(n

3

)= n3.

72. Evalue las sumas

(a) 13 + 23 + · · ·+ n3 (b)n∑

k=1

12(k + 1)k(k − 1)

(c)n∑

k=0

(2 + 3k)2 (d)n∑

k=0

k(n− k)

73. Evalue la suma

1 + 2(n

1

)+ · · ·+ (k + 1)

(n

k

)+ · · ·+ (n+ 1)

(n

n

)separandola en dos sumandos cuya suma es una identidadconocida.

74. Dandole valores apropiados a x en la expansion binomial

3.5. Ejercicios 45

o en alguna de sus variantes, evalue las siguientes sumas:

(a)n∑

k=1

(−1)k k

(n

k

)(e)

n∑k=1

(−1)k k2

(n

k

)(b)

n∑k=2

k(k − 1)(n

k

)(f)

n∑k=0

1k + 1

(n

k

)(c)

n∑k=0

2k

(n

k

)(g)

n∑k=0

(2k + 1)(n

k

)(d)

n∑k=1

k3k

(n

k

)

75. Muestre quen∑

k=m

(k

r

)=

(n+ 1r + 1

)−

(m

r + 1

).

76. Muestre quem∑

k=1

(m+ k − 1

k

)=

m∑k=1

(n+ k − 1

k

).

77. Muestre quen−1∑k=0

[m+ k]m =[m+ n]m+1

m+ 1.

78. Muestre que{ n∑

k=0

(n

k

)}2

=2n∑

k=0

(2nk

).

79. Encuentre el valor de k que maximiza las cantidadessiguientes:

(a)(n

k

)(b)

(2n+ k

n

)(2n− kn

)

80. Evaluen−1∑k=0

(n

k

)(n

k + 1

).


81. Demuestre que(n

1

)+3

(n

3

)+5

(n

5

)+ · · · = 2

(n

2

)+4

(n

4

)+ · · · = n2n−2.

82. Evalue(n

0

)−2

(n

1

)+3

(n

3

)+ · · ·+(−1)n(n+1)

(n

n

).

83. Muestre quen∑

k=0

(2n)!(k!)2((n− k)!)2

=(

2nn

)2

.

84. Evaluen/2∑k=0

22k2k(n

2k

), para n par.

85. Muestre que

(a) (−1)n

(−nk − 1

)= (−1)k

(−kn− 1

).

(b) (−1)n

(−1

2

n

)22n =

(2nn

).

(c) − 2n

(2n− 2n− 1

)= (−1)n

( 12

n

)22n.

(d)m∑

k=0

[m]k[n]k

=1

( nm)

m∑k=0

(n− kn−m

)=

n+ 1n−m+ 1

, para m ≤

n.

86. Para cada n ∈ N definimos los numeros de Catalan, C2n,mediante C2n = 1

n+1(2nn ). Demuestre la siguiente relacion

por recurrencia:

C2m =m∑

k=1

C2k−2C2m−2k.

Capıtulo 4

Particiones de un conjunto

4.1 Numeros de Stirling de 2da especie

¿Cuantas particiones pueden hacerse del conjunto de 4 ele-mentos {1, 2, 3, 4} en 2 clases? La respuesta es: siete en total.Ellas son:

{1}|{2, 3, 4} {2}|{1, 3, 4} {3}|{1, 2, 4} {4}|{1, 2, 3}{1, 2}|{3, 4} {1, 3}|{2, 4} {1, 4}|{2, 3}

Observese que el orden entre las clases no interesa cuandose habla de particiones. Ası por ejemplo, son iguales las par-ticiones {1, 2}|{3, 4} y {3, 4}|{1, 2}. El numero de particionesde un conjunto es difıcil de calcular. En general, tenemos lasiguiente definicion:

Definicion 28 El numero de particiones de un conjunto den elementos en k clases, con 1 ≤ k ≤ n, se denota por S k

n . Alos numeros S k

n se les llama numeros de Stirling1 de segundaespecie.

1James Stirling (1692–1770) Matematico escoces, nacido en Gar-den (cerca de Stirling). Estudio en la Universidad de Oxford y trabajopor un corto perıodo en las universidades italianas de Venecia (1719) yde Padua (1721), trasladandose en 1722 a Glasgow y posteriormente aLondres en 1725. Fue miembro de la Sociedad Real de Londres (1729).

Su principal obra matematica es “El metodo de diferencias”, publi-cado en 1730. Este libro es un tratado sobre series infinitas, metodos desumacion, interpolacion y cuadratura numerica. En el, Stirling obtiene

47

48 Capıtulo 4. Particiones de un conjunto

Es facil deducir que, si k ≤ n, el numero de Stirling S kn

coincide con el numero de distintas maneras en que puedendisponerse n objetos distinguibles en k cajas identicas, nopermitiendo que ninguna caja quede vacıa (si permitimosque queden cajas vacıas, entonces el numero de maneras seraigual a S 1

n + S 2n + · · ·+ S k

n , como puede el lector observar).Es sencillo establecer relaciones por recurrencia que per-

mitan el rapido calculo de los numeros de Stirling de segundaespecie.

Proposicion 29 Los numeros de Stirling de segunda especieS k

n satisfacen las siguientes relaciones por recurrencia:

S kn+1 = S k−1

n + kS kn , para 1 < k < n,

S 1n = S n

n = 1.

Demostracion: En efecto, considerese la tabla de todas lasparticiones de n+ 1 objetos en k clases. En esta tabla pode-mos distinguir entre dos tipos de particiones:

(i) Para algunas de estas particiones, el objeto numero n+1 conforma una clase unitaria. Claramente el numerode tales particiones es S k−1

n .

(ii) Para el resto de las otras particiones, el objeto numeron + 1 se encuentra ubicado en una clase no unitaria.Claramente el numero de estas otras particiones es kS k

n

(el objeto numero n+1 puede quedar en cualquiera de

por primera vez un desarrollo asintotico para el logaritmo de la funcionGamma (serie de Stirling). Ademas estudia algunos productos infinitos,ası como ciertas propiedades de las funciones hipergeometricas y de lafuncion Beta. Su famosa formula de aproximacion para n! aparece enesta obra.

En 1736 retorno a Escocia donde trabajo como gerente de la CompanıaMinera Escocesa. En 1746 fue electo miembro de la Real Academia deBerlın. En el mismo ano Maclaurin murio y Stirling fue llamado aocupar su plaza en la Universidad de Edimburgo, pero decidio declinarla oferta.

4.1. Numeros de Stirling de segunda especie 49

las k clases en las cuales se particionan los primeros nobjetos).

Esto demuestra la relacion por recurrencia S kn+1 = S k−1

n +kS k

n . Los casos extremos S 1n = S n

n = 1 son evidentes.

A partir de estas recurrencias pueden calcularse facilmen-te los primeros numeros de Stirling de segunda especie, comose exhiben en la Figura 4.1, en la llamada matriz de Stirlingde segunda especie.

S kn k = 1 2 3 4 5 6

n = 1 1 0 0 0 0 02 1 1 0 0 0 03 1 3 1 0 0 04 1 7 6 1 0 05 1 15 25 10 1 06 1 31 90 65 15 1...

......

......

......

Figura 4.1: Primeros numeros de Stirling de segunda especie.

Proposicion 30 El numero de funciones sobreyectivas quepueden construirse entre un conjunto X de n elementos y unconjunto A de k elementos, con n ≥ k, es igual a k!S k

n .

Demostracion: En efecto, cada funcion sobreyectiva f deX = {1, 2, . . . , n} en A = {a1, a2, . . . , ak} induce una unicaparticion de X en k clases diferentes: f−1({a1}), f−1({a2}),. . . , f−1({ak}). Por el contrario, a cada particion de X enk clases estan asociadas k! diferentes funciones sobreyectivasde X en A.

Por ejemplo, el numero de funciones sobreyectivas quepueden definirse del conjunto {1, 2, 3, 4} en el conjunto {a, b}


es igual a 2!S 24 = 14. Para enumerarlas, empleamos por

ejemplo la notacion (a, b, b, a) para referirse a la funcion ftal que

f(1) = a , f(2) = b , f(3) = b , f(4) = a.

Luego, las 14 funciones sobreyectivas son:

(a, a, a, b), (a, a, b, a), (a, b, a, a), (b, a, a, a), (a, a, b, b),(a, b, a, b), (b, a, a, b), (a, b, b, a), (a, b, b, a), (b, b, a, a),(a, b, b, b), (b, a, b, b), (b, b, a, b), (b, b, b, a).

Proposicion 31 Sean n y m enteros positivos. Entonces,

mn =m∑

k=1

(m

k

)(k!S k

n ). (4.1)

Demostracion: En efecto, considerese los conjuntos X y Ade n y m elementos respectivamente. La cantidad mn de laparte izquierda de la formula coincide con el numero totalde funciones que pueden definirse de X en A. Este numerototal de funciones puede desglosarse de la siguiente manera:

(i) Las funciones cuya imagen consiste en exactamente 1elemento de A: hay exactamente m = (m

1 )(1!S 1n ) fun-

ciones con esta caracterıstica.

(ii) Las funciones cuya imagen consiste en exactamente 2elementos de A: hay en total (m

2 ) subconjuntos de Acon 2 elementos y para cada uno de ellos existen 2!S 2

n

distintas funciones (sobreyectivas) de X en tal subcon-junto. Luego, en total habra exactamente (m

2 )(2!S 2n )

funciones con esta caracterıstica.

(iii) En general, las funciones cuya imagen consiste en ex-actamente k elementos de A (con 1 ≤ k ≤ m): hay entotal (m

k ) subconjuntos de A con k elementos y para

4.1. Numeros de Stirling de segunda especie 51

cada uno de ellos existen k!S kn distintas funciones (so-

breyectivas) de X en tal subconjunto. Luego, en totalhabra (m

k )(k!S kn ) funciones con esta caracterıstica.

Sumando las cantidades anteriores, desde k = 1 hasta k = mobtenemos la formula de la proposicion.

Recuerdese que los numeros de Stirling de primera es-pecie, s k

n , se caracterizan precisamente por ser los coeficientesde los polinomios de Stirling de primera especie: [x]n =x(x − 1) · · · (x − n + 1) =

∑nk=1 s

kn x

k. Veamos la relacioninversa, que involucra a los numeros de Stirling de segundaespecie.

Proposicion 32 Sea x un numero real. Entonces,

xn =n∑

k=1

S kn [x]k. (4.2)

Demostracion: En efecto, observese primero que el termi-no k-esimo de la sumatoria de la parte derecha de (4.2),S k

n [x]k, simplifica de la siguiente forma:

S kn [x]k = k!S k

n

[x]kk!

=(x

k

)(k!S k

n ).

La formula (4.2) es una identidad de polinomios de grado nen la variable x. En virtud de la proposicion 31, la formula(4.2) se cumple para los n + 1 distintos valores 0, 1, . . . , nde la variable x. Se concluye que ambos polinomios de laformula (4.2) son iguales, para todo x ∈ R.

A continuacion se estudia otra relacion por recurrenciapara el calculo de los numeros de Stirling de segunda especie.

Proposicion 33 Para m ≥ 1, n ≥ 0, m ≤ n+ 1 se cumple:

S mn+1 =

n∑k=m−1

(n

k

)S m−1

k .


Demostracion: En efecto, considerese la tabla de todas lasparticiones del conjunto X = {1, 2, . . . , n, n + 1} de n + 1objetos en m clases. En cada una de las particiones de estatabla, elimınese la clase que contiene al objeto n + 1. Deesta manera, obtenemos todas las particiones de un conjuntoK ⊆ {1, 2, . . . , n} en m − 1 clases, para cada seleccion deK. Cada uno de estos conjuntos K tendra m− 1 elementoscomo mınimo. Debido a que existen (n

k ) subconjuntos K ⊆{1, 2, . . . , n} con k elementos, y para uno de ellos habra entotal S m−1

k particiones en m−1 clases, se obtiene la formulapropuesta.

4.2 Los numeros de Bell

Los numeros de Stirling de segunda especie, S kn , coinciden

con el numero de particiones de un conjunto X de n ele-mentos en k clases no vacıas. Consideremos ahora el numerototal de particiones de X en cualquier numero de clases novacıas. Denotemos por Bn este numero total de particionesde X de n elementos. Estos numeros tambien son llamadosnumeros exponenciales o numeros de Bell2.

2Eric Temple Bell (1883–1960) Matematico escoces, nacido en Ab-erdeen. Vivio y crecio en Escocia hasta 1903, ano en que se traslado avivir a Estados Unidos. Recibio su doctorado de la Universidad deColumbia en 1912 por la disertacion The Cyclotomic Quinary Quintic,siendo Cole su tutor. Enseno matematicas en la Universidad de Wash-ington desde 1912 hasta 1926, cuando obtuvo una plaza permanente enel Instituto de Tecnologıa de California.

Escribio algunos libros muy populares sobre la historia de lasmatematicas. Tambien hizo contribuciones a la teorıa analıtica de losnumeros, el analisis diofantino y las funciones numericas. La SociedadMatematica Americana le concedio el premio Bocher en 1924 por sumemoria Parafrasis Aritmeticas, que aparecio en la revista Transactionof the American Mathematical Society en 1921. A pesar que escribiocerca de 250 artıculos —incluyendo aquel por el que recibiera el premioBocher— Bell es mejor recordado por sus libros y por consiguiente comoun historiador de las matematicas.

4.2. Los numeros de Bell 53

Por ejemplo, si X = {a, b, c, d}, el numero total de parti-ciones de X es igual a 15 = B4. Estas 15 particiones son:

{a, b, c, d} {a}|{b, c, d} {b}|{a, c, d} {c}|{a, b, d}{d}|{a, b, c} {a, b}|{c, d} {a, c}|{b, d} {a, d}|{b, c}{a}|{b}|{c, d} {a}|{c}|{b, d} {a}|{d}|{b, c} {b}|{c}|{a, d}{b}|{d}|{a, c} {c}|{d}|{a, b} {a}|{b}|{c}|{d}

Del significado de los numeros de Stirling de segundaespecie, claramente obtenemos la siguiente formula para elcalculo de Bn:

Bn = S 1n + S 2

n + · · ·+ S nn . (4.3)

Por otra parte, Bn coincide tambien el numero de rela-ciones de equivalencia que pueden definirse en un conjunto Xde n elementos, en virtud de la asociacion biunıvoca existenteentre una relacion de equivalencia sobre X y una particionde X.

A continuacion se estudia una relacion por recurrenciapara el calculo de los numeros de Bell.

Proposicion 34 Escribiendo B0 = 1 obtenemos, para todon ∈ N,

Bn+1 =n∑

k=0

(n

k

)Bk.

Sus libros Aritmetica Algebraica (1927) y El Desarrollo de lasMatematicas (1940) se convirtieron en clasicos. Otros de sus libros son ElHombre de las Matematicas (1937) y Matematicas, Reinas y Sirvientesde la Ciencias (1951). Su estilo era claro y exuberante y sus opiniones lasexpresaba con vehemencia, acompanadas frecuentemente con algun hu-mor y un poco de suave malicia. De sus obras obtenemos una vision muyinteresante de las matematicas, como sublimes actividades perseguidaspor intelecto humano, a menudo falibles, aunque siempre comprometidasante la busqueda perpetua de la verdad matematica. Cultivo tambienel genero de la ciencia ficcion, escribiendo bajo el seudonimo de JohnTaine.


Demostracion: En efecto, escribiendo Smn = 0 param > n,

la formula 4.3 queda entonces como Bn+1 =∑∞

m=1 Smn+1.

Aplicamos la relacion por recurrencia de la proposicion 33para el calculo de Sm

n+1 y obtenemos el resultado:

Bn+1 =∞∑

m=1

Smn+1 =

∞∑m=1

n∑k=0

(n

k

)Sm−1

k

=n∑

k=0

(n

k

)( ∞∑m=1

Sm−1k

)

=n∑

k=0

(n

k

)Bk.

Dos bellısimos desarrollos asintoticos que involucran a losnumeros de Bell se presentan a continuacion.

Proposicion 35 (Bell) Para todo t ∈ R se cumple la relacion

∞∑n=0

Bn

n!tn = e(e

t−1).

Demostracion: La siguiente prueba, elemental y elegante,es debida a Rota3. Considere el espacio vectorial de las fun-

3Gian-Carlo Rota (1932–1999) Matematico y filosofo italiano,nacido en Vigevano, hijo de una prominente familia antifascista que tuvoque huir precipitadamente de Italia por la persecucion emprendida porMussolini durante la Segunda Guerra Mundial. Fue educado en Italiahasta la edad de trece anos en 1945, terminando sus estudios secundariosen Ecuador. Estudio matematicas en las universidades Princeton y Yaleen Estados Unidos, obteniendo en esta ultima su doctorado en 1956, conla disertacion titulada Teorıa de extension de operadores diferenciales,siendo su tutor J. T. Schwartz. Posteriormente realizo estudios post-doctorales en el Instituto Courant de la Universidad de Nueva York.

Empezo a trabajar en la Universidad de Harvard en 1957. Dos anosmas tarde se traslado al Instituto Tecnologico de Masachusetts (MIT), endonde laboro hasta el resto de su carrera, con excepcion de dos anos entre1965 y 1967, en los cuales fue profesor de la Universidad de Rockefeller.

4.2. Los numeros de Bell 55

ciones de variable real ϕ(x) definidas por

ϕ(x) =∞∑

n=0

αn [x]n, con∞∑

n=0

|αn| < +∞.

La transformacion L(ϕ) =∑∞

n=0 αn es lineal, pues

L(λϕ+ λ′ϕ′) =∞∑

n=0

(λαn + λ′α′n) = λ

∞∑n=0

αn + λ′∞∑

n=0

α′n.

Por otra parte, de la formula 4.2 de la seccion anterior,

L(xn) = L

( n∑k=1

S kn [x]k

)=

n∑k=1

S kn = Bn.

Luego, haciendo uso de la formula elemental ez =∑∞

n=0zn

n! ,obtenemos

∞∑n=0

Bn

n!tn =

∞∑n=0

L(xn)n!

tn = L(etx).

Rota trabajo al principio en los campos del analisis funcional, la teorıade operadores y la teorıa ergodica. A partir de 1960 empieza a publicartrabajos sobre teorıa de combinatoria, el campo donde mas destaco. En1964 publico su trabajo Sobre los Fundamentos de la Teorıa de Combi-natoria, por el cual recibio el premio Steele de la Sociedad MatematicaAmericana en 1988. Este artıculo fue el primero de una serie de diez,todos con el mismo tıtulo, diferenciandose unos con otros por algunsubtıtulo (por ejemplo, el primero tenıa el subtıtulo Teorıa de la Funcionde Mobius). Los restantes nueve artıculos los escribio en colaboracioncon uno a tres coautores y fueron publicados entre 1970 y 1974, a ex-cepcion del ultimo, que fue publicado en 1992.

Rota recibio muchos premios por sus contribuciones destacadas. Adi-cionalmente al premio Steele arriba mencionado, fue premiado con laMedalla de Servicio Distinguido por la Agencia Nacional de Seguridaden 1992. Fue electo miembro de la Academia Nacional de Ciencias en1982. Fue vicepresidente de la Sociedad Matematica Americana en 1995-97. Fue tambien miembro de la Academia Americana de Artes y Cien-cias, de la Academia Argentina de Ciencias, del Instituto de EstadısticaMatematica, del Cırculo Husserl, de la Asociacion Americana para el De-sarrollo de la Ciencia y del Cırculo Heidegger. Recibio el premio Killiandel MIT por su trabajo como “lıder innovador y el principal respons-able en la transformacion de la teorıa de combinatoria, de una coleccion


Escribiendo et = (1 + u), obtenemos

∞∑n=0

Bn

n!tn = L((1 + u)x) = L

( ∞∑n=0

[x]nn!

un

)

=∞∑

n=0

un

n!L([x]n) =

∞∑n=0

un

n!= eu = e(e

t−1).

Proposicion 36 (G. Dobinski)

Bn+1 =1e

(1n +

2n

1!+

3n

2!+

4n

3!+ · · ·

).

Demostracion: En efecto,

e =∞∑

k=0

1k!

=∞∑

k=n

1(k − n)!

=∞∑

k=n

[k]nk!

=∞∑

k=0

[k]nk!

.

La transformacion L definida en la demostracion de la proposicionanterior satisface

L([x]n) = 1 =1e

∞∑k=0

[k]nk!

.

Si ϕ(x) =∑

n αn [x]n, entonces

L(ϕ(x)) =∑

n

αn

∑k

1e

[k]nk!

=1e

∑k

1k!

∑n

αn [k]n =1e

∑k

ϕ(k)k!

.

Escribiendo ϕ(x) = xn+1 obtenemos el resultado.

dispar de hechos y tecnicas desmerecedora de consideracion matematicaseria, a un campo activo, sistematico y profundo, de las matematicasmodernas puras y aplicadas”.

Obtuvo cuatro grados honorıficos: la Universidad de Estrasburgo(1984), la Universidad de L’Aquila (1990), la Universidad de Bologna(1996) y la Universidad Politecnica de Brooklyn (1997).

4.3. Formulas de inversion 57

4.3 Formulas de inversion

De enorme utilidad es el siguiente resultado, cuya demostracionrequiere de conocimientos elementales de algebra lineal.

Proposicion 37 (Primera formula de inversion) Seanϕn(x) y ψn(x) familias de polinomios de grado n y sean α k

n ,β k

n , con 0 ≤ k ≤ n, cualquier coleccion de numeros reales.Suponga que se satisfacen las relaciones

ϕn(x) =n∑

k=0

α kn ψk(x), (n = 0, 1, 2, . . . , n0),

ψn(x) =n∑

k=0

β kn ϕk(x), (n = 0, 1, 2, . . . , n0).

Si a0, a1, a2, . . . , an0, b0, b1, b2, . . . , bn0 son numeros quesatisfacen las relaciones

an =n∑

k=0

α kn bk, (n = 0, 1, 2, . . . , n0),

entonces

bn =n∑

k=0

β kn ak, (n = 0, 1, 2, . . . , n0).

Demostracion: En efecto, claramente

ϕn(x) =n∑

k=0

α kn

n∑m=0

βmk ϕm(x) =

n∑m=0

( n∑k=0

α kn β

mk

)ϕm(x).

Escribiendo αmn = βm

n = 0 cuando m > n, y comparando loscoeficientes de ϕm(x) en la ecuacion anterior, obtenemos

n∑k=0

α kn β

mk = δn,m =

{1, si n = m0, si n 6= m.


En otras palabras, las matrices ((α ij )) y ((β i

j )) son inversasuna de la otra, de donde la ecuacion vectorial a = ((α i

j ))bes equivalente a la ecuacion vectorial b = ((β i

j ))a.

Una aplicacion inmediata de este resultado es la famosaformula de Stirling para el calculo directo de sus numeros desegunda especie Sm

n .

Proposicion 38 (Formula de Stirling)

Smn =

1m!

m∑k=0

(−1)m−k

(m

k

)kn.

Demostracion: En efecto, escribiendo x = y + 1 y uti-lizando la formula del binomio de Newton, tenemos que

xn = (y + 1)n =n∑

k=0

(n

k

)(x− 1)k.

Por otra parte, tambien aplicando la formula del binomio deNewton,

(x− 1)n =n∑

k=0

(−1)n−k

(n

k

)xk.

Vamos a aplicar la primera formula de inversion a estos poli-nomios, ϕ(x) = xn y ψ(x) = (x−1)n. Ese resultado garantizaque si a0, a1, a2, . . . , b0, b1, b2, . . . son numeros que satisfacenla relacion

an =n∑

k=0

(n

k

)bk,

entonces

bn =n∑

k=0

(−1)n−k

(n

k

)ak.

En particular (formula 4.1) tenemos

mn =m∑

k=0

(m

k

)(k!S k

n ), (escribiendo S 0n = 0).

4.3. Formulas de inversion 59

Luego, obtenemos

(m!Smn ) =

m∑k=0

(−1)m−k

(m

k

)kn.

De paso esta ultima expresion para m!Smn es precisa-

mente, como vimos, el numero de funciones sobreyectivasque pueden definirse de un conjunto X de n elementos en unconjunto A de m elementos.

Proposicion 39 Las matrices de los primeros numeros deStirling de primera y segunda especie son inversas una dela otra: la matriz S = (S i

j )n×n es inversa de la matriz s =(s i

j )n×n.

Demostracion: En efecto, de la definicion de los numerosde Stirling de primera especie y de la formula (4.2) obtenemos

[x]n =n∑

k=1

s kn x

k , xn =n∑

k=1

S kn [x]k.

El resultado se obtiene entonces aplicando la idea de la de-mostracion de la proposicion 37, al tomar α k

n = s kn y β k

n =S k

n .

Por ejemplo, a continuacion se presentan las matrices Ay B de los primeros numeros de Stirling de primera y se-gunda especie respectivamente, de orden menor o igual que 6.El lector puede corroborar (usando por ejemplo un paquetecomputacional) que el inverso de cada uno de los menoresprincipales de A es igual al correspondiente menor principalde B.

A =

1 0 0 0 0 0−1 1 0 0 0 0

2 −3 1 0 0 0−6 11 −6 1 0 024 −50 35 −10 1 0

−120 274 −225 85 −15 1

,


B =

1 0 0 0 0 01 1 0 0 0 01 3 1 0 0 01 7 6 1 0 01 15 25 10 1 01 31 90 65 15 1

.

4.4 Ejercicios

87. Encuentre el numero de maneras de distribuir n objetosdistinguibles en m cajas distinguibles, de manera que p cajasqueden ocupadas y m− p queden vacıas.

88. Sea X un conjunto de n objetos. Calcule el numero departiciones de X en k clases, con λ1 clases de cardinalidad 1,λ2 clases de cardinalidad 2, . . . , λk clases de cardinalidad k,donde n =

∑ki=1 i λi.

89. Se definen los numeros de Lah, L kn , mediante la ecuacion

[−x]n = L 1n [x]1 + L 2

n [x]2 + · · ·+ Lnn [x]n.

Observe que al cambiar x por −x en esta ecuacion se obtienela ecuacion equivalente

[x]n = L 1n [−x]1 + L 2

n [−x]2 + · · ·+ Lnn [−x]n.

Entonces, del teorema de inversion, obtenemos que∞∑

k=1

L kn L

mk =

{1, si n = m0, si n 6= m.

Ademas cada una de las ecuaciones

an =n∑

k=1

L kn bk , bn =

n∑k=1

L kn ak

implica a la otra. Note ademas que los numeros (−1)nL kn son

siempre positivos.

4.4. Ejercicios 61

(a) Derive la recurrencia

L kn+1 = −(n+ k)L k

n − L k−1n

y verifique con ayuda de ella la tabla siguiente:

n\k 1 2 3 4 5

1 −12 2 13 −6 −6 −14 24 36 12 15 −120 −240 −120 −20 −1

(b) Escriba Lk(t) =∑∞

n=0 Lkn

tn

n! . De la relacion

∞∑n=0

[−x]ntn

n!=

∞∑k=0

(x

k

)(−t

1 + t

)k

,

muestre que

Lk(t) =1k!

(−t

1 + t

)k

y en consecuencia

L kn = (−1)n n!

k!

(n− 1k − 1

).

Verifique que este resultado satisface la relacion porrecurrencia derivada en (a), con las condiciones inicialesapropiadas.

90. Demuestre la siguiente identidad:

b∑j=a

[j]n =[b+ 1]n+1 − [a]n+1

n+ 1,

valida para todo a ≤ b ∈ Z y n ∈ N.


91. Demuestre la siguiente identidad:

b∑j=a

jn =n∑

m=1

Smn

[b+ 1]m+1 − [a]m+1

m+ 1,

valida para todo a ≤ b ∈ Z y n ∈ N?.

92. Una formula clasica, debida a James Bernoulli es

n∑j=1

jm =1

m+ 1

m∑k=0

(m+ 1k

)Bk n

m+1−k,

en la cual B0 = 1, B1 = 12 , B2 = 1

6 , B4 = − 130 , B6 = 1

42 ,. . . , y B2k+1 = 0 para todo entero k ≥ 1. Los numeros Bk

son conocidos en la literatura como los numeros de Bernoulli.De la formula anterior, escriba los numeros de Bernoulli enterminos de los numeros de Stirling de segunda especie. Util-ice la formula anterior para calcular en forma cerrada la sumade las cuartas potencias de los primeros 10 numeros.

Capıtulo 5

Principio de

inclusion y exclusion

5.1 Introduccion

Supongase que tenemos N objetos, de los cuales N(p) tienenla propiedad p. Luego, si p′ denota la ausencia de la propiedadp, entonces

N(p′) = N −N(p)

es la cantidad de objetos que no poseen la propiedad p. Sidos propiedades p y q son de interes, el numero de objetosque no poseen ninguna de las dos propiedades esta dado por

N(p′, q′) = N −N(p)−N(q) +N(p, q),

—donde N(p, q) denota el numero de objetos que poseenambas propiedades— pues al sustraer N(p) y N(q) del to-tal, N(p, q) ha sido sustraıdo dos veces y debe ser por tantoanadido. Esto justifica la terminologıa empleada de “Princi-pio de Inclusion y Exclusion”, pues se trata de un procesoen el que inicialmente se incluye a todos los objetos, luegose excluyen aquellos que no se requieren, luego se incluyenlos objetos incorrectamente excluidos, etc., incluyendo y ex-cluyendo objetos en forma alternativa.

En general tendremos la formula de Bernoulli1-Sylvester-da Silva, que establece que si de N objetos, N(p) tienen la

63

64 Capıtulo 5. Principio de inclusion y exclusion

propiedad p, N(q) tienen la propiedad q, . . . , N(p, q) tienenambas propiedades p y q simultaneamente, N(p, q, r) tienenlas propiedades p, q y r simultaneamente, etc., entoncesel numero N(p′, q′, r′ . . .) de objetos con ninguna de estaspropiedades esta dado por

N(p′, q′, r′ . . .) = N −N(p)−N(q)−N(r)− · · ·+N(p, q) +N(p, r) + · · ·−N(p, q, r)− · · ·+ · · ·

cuya demostracion veremos en la siguiente seccion.

Por ejemplo, suponga que en una escuela hay 100 estu-diantes, de los cuales 40 cursan frances, 40 cursan latın y40 cursan aleman. Ademas, 20 estudiantes cursan cualquierpareja de los tres idiomas y 10 estudiantes cursan los tres

1Jacob I Bernoulli (1654–1705) Matematico suizo, nacido en Basel.Segun los deseos de su padre estudio teologıa, pero a la vez se dedico alestudio de las matematicas. Durante un viaje por Holanda e Inglaterraconocio a los grandes matematicos de esos paıses. Al regresar a suciudad natal, dicto lecciones de fısica experimental. A partir de 1687 sedesempeno como profesor de matematicas de la universidad.

Sus mayores aportes a la matematica se ubican en el analisis infinites-imal, la teorıa de series, el calculo de variaciones y la teorıa de prob-abilidades. En 1687, despues de leer el libro de Leibniz sobre calculodiferencial (1684), Bernoulli aplica las nuevas ideas al estudio de nu-merosas curvas: la espiral logarıtmica, la lemniscata (descubierta porel mismo Bernoulli), la catenaria y otras. Definio por primera vez elarea del triangulo esferico y otras superficies esferoidales, calculando elvalor de numerosas integrales. Su libro “Aplicaciones aritmeticas de lasseries infinitas y sus sumas infinitas”, publicado entre 1689 y 1704, fueel primer texto sistematico sobre la teorıa de series.

Junto con su hermano Iohann I, Jacob I fue uno de los fundadores delcalculo de variaciones. Propuso y resolvio en forma parcial el problemaisoperimetrico, ası como el problema sobre la curva de descenso masrapido, planteado por su hermano.

En la obra “El arte de las proposiciones” publicado por su sobrinoNicolas I en 1713, Jacob I resolvio algunos problemas de combinatoria,

5.2. Formula fundamental 65

idiomas. ¿Cuantos estudiantes no estan cursando ningun id-ioma?

En la solucion de este problema, la poblacion total con-siste en N = 100, mientras que las propiedades p, q y rrepresentan cursar los idiomas frances, latın y aleman, re-spectivamente. Los datos del problema nos proporcionan di-rectamente la siguiente informacion:

N(p) = 40, N(q) = 40, N(r) = 40,N(p, q) = 20, N(p, r) = 20, N(q, r) = 20,

N(p, q, r) = 10.

Luego, sustituyendo en la formula de inclusion y exclusionobtenemos la respuesta N(p′, q′, r′) = 30.

5.2 Formula fundamental

Sea S = {a1, . . . , aN} un conjunto de N elementos. Sea Pun conjunto de n propiedades,

p1, p2, . . . , pn, (5.1)

relacionadas con los elementos de S. Definimos la cantidad

N(pi1 , pi2 , . . . , pir) (5.2)

como el numero de elementos de S que satisfacen cada unade las r propiedades pi1 , pi2 , . . . , pir . Si ningun elemento

descubrio los numeros que hoy en dıa llevan su nombre, demostro elllamado teorema de Bernoulli —caso particular de la ley de los grandesnumeros—, construyo un modelo matematico para la descripcion de unaserie de experimentos independientes (esquema de Bernoulli). Graciasa los trabajos de Jacob I Bernoulli, la teorıa de probabilidades adquirioimportancia practica, y algunos de los terminos de dicha teorıa llevandesde entonces su nombre. Realizo tambien importantes trabajos enfısica, aritmetica, algebra y geometrıa. De sus discıpulos cabe men-cionar, ademas de su hermano Iohann I, a su sobrino Nicolas I, y aP. Euler, padre del gran matematico L. Euler.


de S satisface cada una de estas propiedades, entonces a laexpresion (5.2) le asignamos el valor 0. Finalmente, definimospor

W (r) =∑

N(pi1 , pi2 , . . . , pir), (5.3)

donde la suma se toma sobre todos los subconjuntos de Pcon r elementos (propiedades). Extendemos la definicion deW (r) para el caso r = 0, estipulando que W (0) = N . Ten-dremos entonces el siguiente resultado fundamental:

Teorema 40 (Formula fundamental) El numero E(m)de elementos de S que satisfacen exactamente m de las propiedades(5.1) es igual a

E(m) =n∑

k=m

(−1)k−m

(k

m

)W (k). (5.4)

Demostracion: La expresion de la derecha en la formula(5.4), en forma extendida, es igual a

W (m) −(m+ 1m

)W (m+ 1) +

(m+ 2m

)W (m+ 2)− · · ·+

+ (−1)n−m

(n

m

)W (n),

donde n es el numero de propiedades de P . Considere-mos un elemento a ∈ S que satisface exactamente t de laspropiedades (5.1). Si t < m, entonces a contribuye en 0 a laparte derecha de (5.4). Por otra parte, si t = m, entonces acontribuye en 1 a la parte derecha de (5.4). Ahora, si t > m,entonces a contribuye en(

t

m

)−

(m+ 1m

) (t

m+ 1

)+− · · ·+ (−1)t−m

(t

m

)(t

t

)a la parte derecha de (5.4). Ahora, en virtud de la identidad(

k

m

)(t

k

)=

(t

m

)(t−mt− k

), (m ≤ k ≤ t),

5.3. Algunas aplicaciones 67

tendremos que la ultima expresion se reduce a(t

m

) [(t−mt−m

)−

(t−m

t− (m+ 1)

)+− · · ·+ (−1)t−m

(t−mt− t

)].

La expresion entre corchetes “[ ]” es igual al desarrollo bino-mial (1−1)t−m = 0, de acuerdo al corolario 21 (ver el capıtulo3). Luego, cuando t > m, la contribucion del elemento a enla parte derecha de la ecuacion (5.4) es igual a 0. Esto im-plica que la parte derecha de la ecuacion (5.4) coincide conel numero de elementos de S que satisfacen exactamente mde las propiedades de P .

Una consecuencia inmediata del teorema anterior es pre-cisamente la formula de inclusion y exclusion de Bernoulli-Sylvester-da Silva, llamada tambien criba de inclusion-exclu-sion, mencionada en la seccion anterior. En efecto:

Teorema 41 (Criba de inclusion-exclusion) El numerode elementos de S que no satisface ninguna de las propiedades(5.1) es igual a

E(0) = W (0)−W (1) +− · · ·+ (−1)nW (n)= N −N(p1)−N(p2)−N(p3)− · · ·

+N(p1, p2) +N(p1, p3) +N(p1, p4) + · · ·−N(p1, p2, p3)−N(p1, p2, p4)− · · ·+ · · ·

Demostracion: Claramente se trata del caso m = 0 delteorema precedente.

5.3 Algunas aplicaciones

5.3.1 Coloreando una casa

En la Figura 5.1 se presenta el plano esquematico de una casacon 4 habitaciones H1, H2, H3 y H4, intercomunicadas por 5


puertas p1, p2, p3, p4 y p5. Supongamos que disponemos demcolores para colorear las habitaciones. ¿De cuantas manerasdistintas podemos colorearlas, si respetamos la restriccionque las habitaciones contiguas (aquellas comunicadas por al-guna puerta) deben tener colores diferentes?

p1

p2

p3

p4

p5

H1

H2

H3

H4 •

•

•

•

p1

p2

p4

p5

p3H1 H4

H2

H3

Figura 5.1: Casa con 4 habitaciones H1, . . . , H4 y y 5 puertasp1, . . . , p5. A la derecha se representa la situacion con un grafo.

Definimos las propiedades q1, q2, q3, q4 y q5, donde qise cumple si las habitaciones a ambos lados de la puertapi tienen el mismo color. Luego, andamos buscando todasaquellas coloraciones de las habitaciones en las cuales no secumplan ninguna de las propiedades q1, . . . , q5, esto es,

N(q′1, q′2, q

′3, q

′4, q

′5) = W (0)−W (1)+W (2)−W (3)+W (4)−W (5).

Analicemos cada uno de los terminos W (i) por aparte:

(a) W (0) = m4, pues en ausencia de restricciones cada unade las 4 habitaciones puede ser pintada de m manerasdiferentes.

(b) W (1) =∑

iN(qi) = 5m3, pues si se cumple la condicionqi entonces las habitaciones contiguas a la puerta pi

tendran el mismo color (m posibilidades), mientras quelas restantes 2 habitaciones tendran m2 posibilidadesde coloracion.

(c) W (2) =∑

i<j N(qi, qj) = (52)m2, pues si se cumplen

las condiciones qi y qj simultaneamente, entonces lastres habitaciones que colindan con las puertas pi y pj


tendran el mismo color (m posibilidades) y la habitacionrestante tendra m posibilidades de coloracion.

(d) W (3) =∑

i<j<k N(qi, qj , qk) = 2m2+[(53)−2)]m, pues

las puertas p1, p2, p3 interconectan tres (y no cua-tro) habitaciones, al igual que las puertas p3, p4, p5.Las otras tripletas de puertas interconectan todas las 4habitaciones.

(e) W (4) =∑

i<j<k<lN(qi, qj , qk, ql) = (54)m, pues siem-

pre cuatro puertas interconectan a las cuatro habita-ciones.

(f) W (5) = N(q1, q2, q3, q4, q5) = m.

Luego, simplificando, obtenemos

N(q′1, q′2, q

′3, q

′4, q

′5) = m4 − 5m3 + 8m2 − 4m.

5.3.2 Desarreglos y problema de los reencuentros

Sea (a1, a2, . . . , an) una permutacion de n elementos numer-ados por 1, 2, . . . , n. Decimos que esta permutacion es undesarreglo si ai 6= i, para todo i ∈ {1, 2, . . . , n}. Luego, undesarreglo es una permutacion en la cual ningun elementoqueda en su posicion original.

El famoso Problema de los Reencuentros (planteado porMontmort) plantea calcular el numero de tales desarreglos.Sea D(n) este numero. Podemos evaluar D(n) empleando lacriba de inclusion-exclusion. Para ello, consideremos S comoel conjunto de las n! permutaciones (a1, a2, . . . , an), y paracada i ∈ {1, 2, . . . , n} sea pi la propiedad “la permutacion(a1, a2, . . . , an) satisface ai = i”. Entonces:

N(pi1 , pi2 , . . . , pir) = (n− r)!,

mientras que

W (r) =(n

r

)(n− r)! =

n!r!.


Luego, obtenemos la siguiente formula para Dn:

Dn = n!(

1− 11!

+12!− · · ·+ (−1)n 1

n!

). (5.5)

Teniendo en cuenta el desarrollo asintotico de e−1,

e−1 = 1− 11!

+12!− 1

3!+− · · · ,

obtenemos entonces que

Dn

n!− e−1 = (−1)n 1

(n+ 1)!± · · · ,

de dondeDn/n! difiere de e−1 en menos que 1/(n+1)!. Luego,n!/e es una buena aproximacion para Dn. Algunas aplica-ciones sencillas del problema de los reencuentros se mencio-nan a continuacion.

1. El problema de las torres en el tablero de ajedrez : elnumero de distintas maneras en que se puede colocar8 torres en un tablero de ajedrez, de manera tal queninguna torre ataque a otra y que la diagonal principalblanca se encuentre libre de torres, es igual a D8 =14, 833 maneras.

2. El problema de los abrigos: n personas que asisten alteatro dejan sus abrigos en el guardarropa. Los abrigosson mezclados y al final de la funcion son devueltos alazar. ¿Cual es la probabilidad de que ninguna personareciba su propio abrigo? La respuesta es, naturalmente,Dn/n!. Sorprende al principio que dicha cantidad seaaproximadamente igual a e−1, tanto para n = 10 comopara n = 10, 000 personas.


5.3.3 El problema de los matrimonios

Otro problema famoso que se resuelve con las formulas deinclusion y exclusion de Bernoulli-Sylvester-da Silva y susgeneralizaciones es el “Problema de los Matrimonios”, queconsiste en calcular el numero Tn de maneras de sentar nesposos y sus respectivas esposas en una mesa circular, deforma tal que los hombres y las mujeres queden alternados yademas ningun hombre quede sentado a la par de su esposa,ya sea a su derecha o a su izquierda.

Empezamos sentando a las esposas, lo cual puede hacersede 2n! maneras distintas, dejando en cada distribucion losasientos pares (o los impares) disponibles para sentar en ellosa los esposos. En cada una de estas distribuciones, pasamosa renumerar las esposas del 1 al n, renumerando tambien losasientos vacıos con los mismos ındices del 1 al n. Luego,procedemos a sentar a los n esposos de Un maneras distintas,de forma tal que el esposo i no ocupe el asiento i ni el asientoi + 1, para i ∈ {1, 2, . . . , n − 1}, y el esposo n no ocupe elasiento n ni el asiento 1. Los numeros Un se llaman “numerosde menage”. La solucion de nuestro problema es, entonces,

Tn = 2n! Un.

Falta calcular los numeros de menage Un. Observamosque Un coincide con la cantidad de permutaciones de n obje-tos numerados 1, 2, . . . , n, en las cuales el objeto i no quedaen las posiciones {i, i+ 1}, para cada i ∈ {1, . . . , n− 1} y elobjeto n no queda en las posiciones {1, n}. Consideremos las2n propiedades

p1, q1, p2, q2, . . . , pn, qn, (5.6)

donde pi se satisface si el objeto i queda en la posicion i,mientras que qi se satisface si el objeto i queda en la posicioni + 1 (posicion 1, cuando i = n). Seleccionamos k de esaspropiedades y preguntamos por el numero de permutaciones


que satisfacen cada una de esas k propiedades. La respuestaes (n − k)! si las k propiedades son compatibles entre ellas,y 0 si no son compatibles entre ellas. Sea vk el numero demaneras de seleccionar k propiedades compatibles de las 2npropiedades (5.6). Entonces, por la formula de inclusion yexclusion de Bernoulli-Sylvester-da Silva, tendremos

Un = v0 n!− v1 (n− 1)! +− · · ·+ (−1)nvn 0!.

Finalmente, para calcular vk observamos que si las 2n propiedades(5.6) son dispuestas en un cırculo, entonces solamente aque-llas no-consecutivas son compatibles. Aplicando el teorema18 del capıtulo 2, obtenemos entonces

vk =2n

2n− k

(2n− kk

).

Luego, concluimos que

Tn = 2n!n∑

k=0

(−1)k 2n2n− k

(2n− kk

)(n− k)!

5.4 Ejercicios

93. ¿Cuantos enteros entre 1 y 6300 inclusive no son divisi-bles por 3, ni por 5, no por 7? Respuesta: 2880.

94. En un instituto de investigacion cientıfica trabajan variaspersonas, y cada una de ellas conoce por lo menos una lenguaextranjera. Seis saben ingles; seis, aleman; siete, frances.Cuatro saben ingles y aleman; tres, aleman y frances; dos,frances e ingles. Una persona sabe los tres idiomas. ¿Cuantaspersonas trabajan en el instituto? ¿Cuantas de ellas sabensolamente ingles? ¿Y solamente frances?

5.4. Ejercicios 73

95. A un paseo a las afueras de la ciudad fueron 92 personas.47 de ellas llevaron sandwich de carne; 38, de queso; 42,de jamon; 28, de queso y carne; 31 de carne y jamon; 26,de queso y jamon. 25 personas llevaron los tres tipos desandwich y varias llevaron empanadas en lugar de sandwich.¿Cuantas personas llevaron empanadas?

96. En una escuela hay 100 estudiantes, de los cuales 40estan cursando frances, 40 latın y 40 aleman. Suponga ade-mas que 20 estudiantes estan cursando solamente frances, 20solamente latın y 15 solamente aleman. Adicionalmente, 10estudiantes estan cursando frances y latın. ¿Cuantos estudi-antes estan cursando los tres idiomas? ¿Cuantos estudiantesno estan cursando ningun idioma? Respuesta: 5 y 15, re-spectivamente.

97. Suponga que al 45% de todos los lectores de periodicosles gusta el vino, al 60% les gusta el jugo de naranja y al55% les gusta el te. Suponga ademas que al 35% les gustacualquier par de las anteriores bebidas y al 25% les gustatodas las tres bebidas.

(a) ¿Que porcentaje les gusta solamente el vino?

(b) ¿Que porcentaje les gusta exactamente dos de las tresbebidas?

98. En la Figura 5.2 se presenta el plano esquematicode una casa con 5 habitaciones H1, . . . , H5, intercomuni-cadas por 6 puertas p1, . . . , p6. Si disponemos de m col-ores para colorear las habitaciones, ¿de cuantas maneras dis-tintas podemos colorearlas, si respetamos la restriccion quelas habitaciones contiguas (aquellas comunicadas por algunapuerta) deben tener colores diferentes?

99. Repita el ejercicio anterior, ahora para las casas rep-resentadas a traves de los grafos de la Figura 5.3. En cada


p1

p2

p3

p4

p5

p6

H1

H2

H3

H4

H5

Figura 5.2: Habitaciones en el problema 98.

caso, numere las habitaciones y las puertas que intercomuni-can estas habitaciones.

•••

•

��H

H

Casa 1• • • •

• • • •@

@@

Casa 2

Figura 5.3: Distribucion de habitaciones en el ejercicio 99.

100. ¿Cuantas secuencias de n dıgitos ternarios (0, 1, 2) haycon al menos un 0, un 1 y un 2? Respuesta: 3n − 3 · 2n + 3.

101. Sea N ≥ 1. Muestre que el numero de enteros positivosmenores e iguales a N que no son divisibles por los primos 2,3, 5 y 7 es igual a

N −∑bN/ic+

∑bN/ijc −

∑bN/ijkc+

∑bN/ijklc,

donde las suma∑bN/ic se toma sobre todos los cuatro pri-

mos dados,∑bN/ijc se toma sobre todos los pares (i, j) dis-

tintos de los cuatro primos dados, etc. Si N = 210n, muestreque este numero es 48n.

102. Sean p1, p2, . . . , pr los primos no mayores que√N .

Muestre que el numero de primos mayores que pr y no may-ores que N es

N − 1− S1 + S2 − · · ·+ (−1)rSr,

5.4. Ejercicios 75

donde Sk =∑bN/pa1

1 pa22 · · · par

r c, sumando sobre todas las( r

k ) maneras de poner k de los exponentes a1, a2, . . . , ar

iguales a 1 y el resto igual a 0.

103. Demuestre que el numero de enteros positivos, φ(n),menores que n y primos relativos con n, es igual a

φ(n) = n

(1− 1

p1

)(1− 1

p2

)· · ·

donde p1, p2, . . . son los diferentes factores primos de n. Ver-ifique la siguiente tabla (φ(1) = 1, por convencion):

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

φ(n) 1 1 2 2 4 2 6 4 6 4

Capıtulo 6

Funciones generadoras

6.1 Introduccion y definiciones

Las funciones generadoras juegan un papel muy importanteen la teorıa de la combinatoria. En este trabajo tan solopresentaremos una breve introduccion a las mismas.

Definicion 42 Sea ϕ: N 7→ R una funcion cualquiera. Aso-ciamos a ϕ las dos funciones reales Fϕ y Eϕ, definidas me-diante

Fϕ(t) :=∞∑

k=0

ϕ(k) tk , Eϕ(t) :=∞∑

k=0

ϕ(k)tk

k!. (6.1)

La funcion Fϕ se llama funcion generadora ordinaria deϕ, mientras que Eϕ se llama funcion generadora expo-nencial de ϕ.

Obviamente las series anteriores Fϕ(t) y Eϕ(t) en (6.1)siempre convergen para t = 0. Por otra parte, bajo ciertashipotesis adicionales concernientes al crecimiento de ϕ(k),k ∈ N, estas series son convergentes en algun vecindario delorigen del tipo V = (−r, r), con r > 0. No obstante, nosinteresa tan solo el desarrollo formal de estas funciones gen-eradoras, sin importarnos los aspectos relativos a la conver-gencia de las series de potencias involucradas.

77

78 Capıtulo 6. Funciones generadoras

El nombre de funcion generadora (ordinaria y exponen-cial) de las funciones Fϕ y Eϕ proviene del siguiente hecho,el cual puede ser establecido facilmente por el lector:

ϕ(k) =1k!

[dk Fϕ

dxk

]t=0

=[dk Eϕ

dxk

]t=0

.

Esta propiedad pone de manifiesto que cualquiera de estasfunciones, Fϕ o Eϕ, efectivamente “genera” o define comple-tamente a la funcion original ϕ, al menos cuando tienen unradio de convergencia positivo.

6.2 Algunas funciones generadoras

En la Figura 6.1 se presentan algunas funciones generado-ras clasicas de funciones simples. Varias de estas funcionesgeneradoras ya fueron establecidas a lo largo de este trabajo.

Tales son los casos f) y g) de las funciones generadoras delos coeficientes binomiales (n

k ) y de las permutaciones [n]k,ası como los casos j) y k), relativos a los numeros de Stirlingde primera especie s k

n y los numeros de Bell, Bk, respectiva-mente. Queda al lector la demostracion, como ejercicio, delos casos a), b), c), d), e) e i), haciendo uso de la definicion delas funciones generadoras ordinarias y exponenciales. Una in-speccion a la tabla anterior justifica los adjetivos “ordinario”y “exponencial” asignado a las funciones generadoras Fϕ yEϕ respectivamente.

De la tabla 6.1 queda aun por demostrar el caso h) cor-respondiente a los coeficientes (n+k−1

k ) de combinaciones den objetos con reemplazo, tomando k de ellos a la vez. Uti-lizamos el desarrollo binomial de (1−t)−n, visto en la formula(3.2): para |t| < 1 tenemos

(1− t)−n =∞∑

k=0

(−nk

)(−1)k tk

6.2. Algunas funciones generadoras 79

=∞∑

k=0

(−n)(−n− 1) · · · (−n− k + 1)k!

(−1)k tk

=∞∑

k=0

(−1)k n(n+ 1) · · · (n+ k − 1)k!

(−1)k tk

=∞∑

k=0

(n+ k − 1

k

)tk

= Fϕ(t).

De los resultados elementales de la extensa teorıa de lasfunciones generadoras mencionamos el siguiente, que establecela relacion exacta entre las funciones generadoras ordinariaFϕ(t) y exponencial Eϕ(t).

ϕ(k) Fϕ(t) Eϕ(t)

a) ak (1− at)−1 eat

b) k t(1− t)−2 tet

c) k(k − 1) 2t2(1− t)−3 t2et

d) k2 t(t+ 1)(1− t)−3 t(t+ 1)et

e) k! no simplifica (1− t)−1

f)(n

k

)(1 + t)n no simplifica

g) [n]k no simplifica (1 + t)n

h)(n+ k − 1

k

)(1− t)−n no simplifica

i) nk (1− nt)−1 ent

j) s kn (Stirling) [t]n no simplifica

k) Bk (Bell) no simplifica e(et−1)

Figura 6.1: Algunas funciones generadoras.


Proposicion 43 Cuando son convergentes en un intervalot ∈ (−r, r) del origen, las funciones generadoras ordinariaFϕ(t) y exponencial Eϕ(t) satisfacen la siguiente relacion:

Fϕ(t) =∫ ∞

0e−sEϕ(ts) ds.

En efecto, haciendo uso de la conocida formula relacionadacon la definicion de la funcion Gamma: k! = Γ(k + 1) =∫∞0 e−s sk ds, obtenemos

Fϕ(t) =∞∑

k=0

ϕ(k) tk

=∞∑

k=0

ϕ(k)tk

k!

∫ ∞

0e−s sk ds

=∫ ∞

0e−s

( ∞∑k=0

ϕ(k)(st)k

k!

)ds

=∫ ∞

0e−sEϕ(ts) ds.

Los detalles de la justificacion de la validez del intercambiode la sumatoria infinita con la integral no los veremos.

6.3 Funciones generadorasde combinaciones

Algunas maniobras combinatorias muy utiles pueden reali-zarse con las funciones generadoras ordinarias, empleandotan solo procesos algebraicos elementales. Ilustremos lo an-terior con un ejemplo: sean x1, x2 y x3 tres objetos distintos.Formemos el producto algebraico

F (t) = (1 + x1 t)(1 + x2 t)(1 + x3 t). (6.2)

6.3. Funciones generadoras de combinaciones 81

Multiplicando todos los terminos y agrupando en potenciasde t, obtenemos el polinomio

F (t) = 1+(x1+x2+x3) t+(x1x2+x1x3+x2x3) t2+x1x2x3 t3.

Los coeficientes de este polinomio coinciden precisamente conlas enumeraciones de las combinaciones sin repeticion de los3 objetos x1, x2, x3, tomando k de ellos a la vez (k = 0, 1, 2 y3, respectivamente). Si deseamos contar estas combinaciones(en vez de enumerarlas), hacemos la sustitucion x1 = x2 =x3 = 1, para obtener entonces

F (t) = 1 + 3t+ 3t2 + t3 = (1 + t)3.

Ahora los coeficientes del polinomio F (t) coinciden precisa-mente con la cantidad de combinaciones sin reemplazo de 3objetos distintos, tomando k de ellos a la vez; esto es, co-incide con los coeficientes combinatorios ( 3

k ), con k = 0, 1,2 y 3, respectivamente. Esto tiene un sentido adicional, envirtud de la entrada f) de tabla anterior.

En la expresion F (t) = (1 + x1 t)(1 + x2 t)(1 + x3 t) cadafactor es “binomial” en el sentido que tiene 2 terminos: eltermino 1 indica que el objeto xi puede no aparecer del todoen la combinacion, mientras que el termino xi t indica que elobjeto xi puede aparecer una sola vez.

Podemos generalizar nuestro experimento, considerandoexpresiones que incluyan los terminos cuadraticos x2

i t2, como

por ejemplo

G(t) = (1+x1 t+x21 t

2)(1+x2 t+x22 t

2)(1+x3 t+x23 t

2). (6.3)

Realizando las multiplicaciones y agrupando en potencias det, obtenemos

G(t) = 1 + (x1 + x2 + x3) t+(x2

1 + x1x2 + x1x3 + x22 + x2x3 + x2

3) t2 +

(x21x2 + x2

1x3 + x1x22 + x1x

23 + x1x2x3 + x2x

23 + x2

2x3) t3 +(x2

1x22 + x2

1x23 + x2

1x2x3 + x1x22x3 + x1x2x

23 + x2

2x23) t

4 +(x2

1x22x3 + x2

1x2x23 + x1x

22x

23) t

5 + (x21x

22x

23) t

6.


Los coeficientes de este polinomio G(t) coinciden ahora pre-cisamente con las enumeraciones de las combinaciones delos tres objetos x1, x2, x3, tomando k de ellos a la vez,permitiendo que cada uno de los objetos repita una solavez. Para contar estas combinaciones hacemos la sustitucionx1 = x2 = x3 = 1, obteniendo entonces

G(t) = 1 + 3t+ 6t2 + 7t3 + 6t4 + 3t5 + t6 = (1 + t+ t2)3,

donde ahora los coeficientes de G(t) son el numero de com-binaciones de 3 objetos distintos, tomando k de ellos a lavez (k = 0, 1, 2 y 3, respectivamente), permitiendo a losumo una repeticion de cada objeto. En la expresion originalG(t) = (1+x1 t+x2

1 t2)(1+x2 t+x2

2 t2)(1+x3 t+x2

3 t2) cada

factor tiene 3 terminos, 1, xi t y x2i t

2, coincidiendo con el he-cho que las combinaciones que se producen pueden contener0, 1 o 2 veces al objeto xi.

Podemos generalizar estas ideas, considerando funcionesgeneradoras ordinarias tales como por ejemplo

F1(t) = (1 + t+ t2 + · · ·+ tm)n, con m ∈ N∗,F2(t) = (1 + t+ t2 + t3 + · · ·)n,

F3(t) = (1 + t2 + t4 + t6 + · · ·)n.

Tendremos que F1(t) es la funcion generadora ordinaria delnumero de combinaciones de n objetos distintos, tomando kde ellos a la vez, con a lo sumo m repeticiones de cada objeto.Por otra parte, siguiendo las ideas anteriores, F2(t) deberaser, al menos formalmente, la funcion generadora ordinariadel numero de combinaciones de n objetos, tomando k deellos a la vez, permitiendo cualquier numero de repeticionesde los objetos. En efecto,

F2(t) := (1 + t+ t2 + t3 + · · ·)n =1

(1− t)n,

coincidiendo con la entrada h) de la tabla de funciones gen-eradoras presentada anteriormente. Finalmente, la funcion

6.4. Funciones generadoras de permutaciones 83

F3(t) sera la funcion generadora ordinaria del numero decombinaciones de n objetos, tomando k de ellos a la vez,para las cuales cada objeto aparece un numero par de veces(o ninguna vez).

Estos razonamientos permiten resolver rapidamente al-gunos problemas. Por ejemplo, ¿cual es el numero de combi-naciones de n objetos distintos, tomando k de ellos a la vezcon reemplazo, con la restriccion de que cada objeto debeaparecer al menos una vez? La funcion generadora ordinariasera entonces Fϕ(t) = (t+ t2 + t3 + · · ·)n, de donde

Fϕ(t) = (t+ t2 + t3 + · · ·)n = tn (1 + t+ t2 + · · ·)n

= tn (1− t)−n = tn∞∑i=0

(n+ i− 1

i

)ti

=∞∑i=0

(n+ i− 1

i

)tn+i =

∞∑k=n

(k − 1k − n

)tk

Luego, el numero de combinaciones buscado sera igual a 0,si k < n, e igual a ( k−1

k−n), si k ≥ n. Por ejemplo, para losn = 3 objetos a, b, c, habra (5−1

5−3) = 6 combinaciones conrepeticion de estos objetos, tomando k = 5 de ellos a la vez,con la restriccion de que cada objeto aparezca al menos unavez. Estas 6 combinaciones son: aaabc, aabbc, aabcc, abbbc,abbcc, abccc.

6.4 Funciones generadorasde permutaciones

Resultados completamente analogos a los de las combina-ciones se obtienen tambien para las permutaciones, pero estavez utilizando funciones generadoras exponenciales, en vezde funciones generadoras ordinarias. Las manipulaciones al-gebraicas que condujeron a estos resultados deben ahora re-alizarse dentro del contexto del algebra no-conmutativa, pues


recordemos que con las permutaciones sı debe tomarse enconsideracion el orden de los objetos.

En general tendremos que funciones generadoras expo-nenciales tales como

E(t) =(

1 + t+t2

2!+t3

3!+ · · · t

m

m!

)n

corresponden al numero de permutaciones de n objetos dis-tintos, tomando k de ellos a la vez, con la restriccion de quecada objeto puede aparecer a lo sumo m veces. Dejaremoslos detalles al lector.

Igualmente puede demostrarse las funciones generadorasexponenciales tales como

E1(t) =(

1 + t+t2

2!+t3

3!+ · · ·

)n

= ent

E2(t) =(t+

t3

3!+t5

5!+ · · ·

)n

,

corresponden a: E1(t) es la funcion generadora exponencialdel numero de permutaciones con reemplazo de n objetos,tomando k de ellos a la vez (esto es, ϕ(k) = nk, para todok ∈ N; E2(t) es la funcion generadora exponencial del numerode permutaciones con reemplazo de n objetos, tomando k deellos a la vez, con la restriccion de que cada objeto apareceun numero impar de veces.

Por ejemplo, ¿cual es el numero de permutaciones conreemplazo de n objetos distintos, tomando k de ellos a lavez, con la restriccion de que cada objeto debe aparecer almenos una vez? La funcion generadora exponencial, en estecaso, es

Eϕ(t) =(t+

t2

2!+t3

3!+ · · ·

)n

= (et − 1)n

=n∑

i=0

(n

i

)(−1)i e(n−i)t

6.5. Ejercicios 85

=n∑

i=0

(n

i

)(−1)i

∞∑k=0

(n− i)k tk

k!

=∞∑

k=0

{ n∑i=0

(n

i

)(−1)i (n− i)k

}tk

k!,

de donde el numero de permutaciones buscado es

ϕ(k) =n∑

i=0

(n

i

)(−1)i (n− i)k =

n∑j=0

(−1)n−j

(n

j

)jk.

En virtud de las proposiciones 30 y 38 se deduce entoncesque el anterior numero de permutaciones coincide con n!S n

k

y es igual al numero de funciones sobreyectivas que puedendefinirse entre un conjunto A de k elementos y un conjuntoX de n elementos.

6.5 Ejercicios

104. Encuentre la funcion generadora ordinaria para Ak, elnumero de distribuciones de k objetos identicos en:

(a) Cinco cajas diferentes, con a lo sumo cuatro objetos encada caja.

(b) Cuatro cajas diferentes, con de tres a seis objetos encada caja.

(c) Siete cajas diferentes, con al menos un objeto en cadacaja.

(d) Tres cajas diferentes, con a lo sumo cinco objetos en laprimera caja.

105. Encuentre la funcion generadora ordinaria para Ak,el numero de maneras de seleccionar k bolas de una urnaque contiene tres bolas verdes, tres bolas blancas, tres bolasazules y tres bolas doradas.


106. Encuentre la funcion generadora ordinaria que permitedeterminar el numero de combinaciones de las letras M , A,T , E, tomando 5 de ellas a la vez, con la condicion de quelas letras M y A pueden aparecer cualquier numero de veces,pero las letras T y E pueden aparecer a lo sumo una vez.¿Cual coeficiente en esta funcion generadora necesitamos?

107. Encuentre el numero total de selecciones de seis ob-jetos, seleccionados a partir de tres tipos de objetos, conrepeticiones de a lo sumo cuatro objetos de un tipo.

108. Considere una clase con 27 estudiantes, que se encuen-tran realizando la eleccion del presidente de la misma. Haycuatro candidatos y cada uno de los 27 estudiantes vota poruno de estos cuatro candidatos.

(a) Encuentre la funcion generadora para el numero dediferentes resultados de la eleccion. ¿Cual coeficienteandamos buscando?

(b) Suponga que cada uno de los candidatos vota por sımismo. ¿Ahora cual es la funcion generadora y el coe-ficiente requerido?

(c) Suponga que ningun candidato recibe mayorıa absolutaen la votacion. Repita la parte (a) con esta informacion.

109. Encuentre la funcion generadora ordinaria del numerode maneras Ak de distribuir k objetos identicos en cinco cajasdistintas, con un numero par de objetos que no excede a 10en las primeras dos cajas y entre tres y cinco en las otrascajas.

110. Encuentre la funcion generadora para Ak, el numerode enteros entre 0 y 999999 cuya suma de sus dıgitos es k.

111. Utilice las funciones generadoras para hallar el numerode distintas maneras de recolectar $15 de 20 personas, si

6.5. Ejercicios 87

suponemos que las primeras 19 personas pueden dar $1 onada, mientras que la persona numero 20 puede dar $5, $1,o nada.

112. Encuentre la funcion generadora para Ak, el numerode soluciones enteras de la ecuacion x1 + x2 + x3 + x4 = k,con −3 ≤ xi ≤ 3.

113. ¿Cuantas diferentes maneras hay de distribuir 25 bolasidenticas en siete cajas distintas, si la primera caja puedecontener a lo sumo 10 bolas y el resto de las cajas tienecapacidad ilimitada para recibir bolas?

114. Encuentre la funcion generadora para el numero demaneras en que n dados distintos pueden mostrar una sumaigual a k.

115. Encuentre la funcion generadora exponencial para elnumero de maneras de situar k personas en tres cuartos difer-entes, con al menos una persona en cada cuarto. Haga lomismo, con la restriccion de que cada cuarto quede con unnumero par de personas.

116. Encuentre la funcion generadora para el numero demaneras de seleccionar cinco enteros no-consecutivos, entrelos enteros 1, 2, . . . , n. ¿Cual coeficiente necesitamos paran = 20? ¿Y en general, cual coeficiente necesitamos para n?

117. Encuentre el numero distinto de secuencias de k dıgitosen base 4 que contengan un numero par de 0’s y un numeroimpar de 1’s.

118. ¿De cuantas maneras puede recolectarse $24 de 4 ninosy k adultos, si cada persona dona al menos $1, pero cadanino puede donar a lo sumo $4 y cada adulto puede donar alo sumo $7?

Capıtulo 7

Particiones de un entero

7.1 Introduccion

¿De cuantas maneras distintas, Pn, se puede particionar unentero positivo n como la suma de sumandos positivos y de-crecientes?

Introducimos en este capıtulo los rudimentos de este in-teresante problema, estudiado intensamente por Hardy1 yRamanujan2 a principios del siglo XX.

Los primeros valores de Pn se muestran en la Tabla 1.1,a modo de ilustracion.

1Godfrey Harold Hardy (1877–1947) Matematico ingles, nacidoen Cranleigh, Surrey, considerado uno de los mas grandes matematicosingleses del siglo XX. Proveniente de una familia pobre, desde ninodestaco su prodigio para las matematicas.

Asistio a la escuela publica de Cranleigh con gran suceso hasta laedad de 12 anos. Obtuvo una beca para estudiar la secundaria en elColegio de Winchester en 1889, entrando al ano siguiente. Winchesterera el mejor colegio de Inglaterra para el entrenamiento matematicoen ese entonces. Mientras estudiaba allı, gano una beca para estudiarmatematica en el Trinity College Cambridge, adonde ingreso en 1896 arealizar sus estudios doctorales. En esta misma universidad empezo atrabajar a partir de 1900. En 1919 se traslado a trabajar a la Universidadde Oxford, en donde estuvo hasta 1931, cuando regreso a Cambridge aocupar la Catedra Sadleirian, cuando Hobson se retiro.

Escribio muchos artıculos sobre el tema de la convergencia de se-ries, integrales y otros topicos conexos. Aunque estos trabajos le es-tablecieron su reputacion como analista, sin embargo posiblemente su

89

90 Capıtulo 7. Particiones de un entero

7.2 Definiciones y relacionespor recurrencia

Definicion 44 Una particion del entero positivo n en k suman-dos positivos y decrecientes (o “partes”) es un k-etuplo deenteros (λ1, λ2, . . . , λk), que satisface

n = λ1 + λ2 + · · ·+ λk,

λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λk ≥ 1.

El numero total de particiones del entero n en sumandos pos-itivos y decrecientes sera denotado por Pn. El numero totalde particiones en exactamente k partes sera denotado porP k

n .

De la Figura 7.1, se tiene que P 36 = 3, pues hay 3 parti-

ciones del entero 6 en exactamente 3 partes (4+1+1, 3+2+1,2+2+2), mientras que P 4

6 = 2, pues hay solamente 2 parti-ciones de 6 en exactamente 4 partes (3+1+1+1, 2+2+1+1).

servicio mas grande a las matematicas en este temprano perıodo fue sulibro Un curso de Matematica Pura (1908). Esta obra fue la primera ex-posicion rigurosa de numeros, funciones, lımites y otros, adaptada parapregrado, que transformo la ensenanza universitaria.

Hardy fue un maestro de la colaboracion matematica. En este aspectodestaca su alianza con J. E. Littlewood, con quien trabajo intensamentepor alrededor de 35 anos, produciendo matematicas del mas alto nivel.Aun mas extraordinaria fue su colaboracion con el mıtico matematicohindu Ramanujan, a quien identifico como genio en 1913 al recibir porcorreo un manuscrito de este. De inmediato invito a Ramanujan a Cam-bridge y trabajo con el hasta la prematura muerte del hindu en 1920,publicando cinco notables artıculos conjuntamente. Destacan tambiensus trabajos en colaboracion con otros grandes matematicos, tales comoTitchmarsh, Ingham, Landau, Polya, E. M. Wright, W. W. Rogosinskiy Riesz.

Los intereses matematicos de Hardy cubrieron muchos topicos de lamatematica pura, tales como el analisis diofantino, la sumacion de se-ries divergentes, las series de Fourier, la funcion zeta de Riemann y ladistribucion de los numeros primos. Era el tipo de matematico que es-peraba que su matematica nunca pudiera ser aplicada. Sin embargo,en 1909, apenas comenzando su carrera, brindo una importante ley que

7.2. Definiciones y relaciones por recurrencia 91

n Particiones de n Pn

1 1 12 2 1+1 23 3 2+1 1+1+1 34 4 3+1 2+2 5

2+1+1 1+1+1+15 4+1 3+2

5 3+1+1 2+2+1 2+1+1+1 71+1+1+1+1

6 5+1 4+26 4+1+1 3+3 3+2+1 11

3+1+1+1 2+2+2 2+2+1+12+1+1+1+1 1+1+1+1+1+1

Figura 7.1: Primeros valores de Pn.

Claramente, de la definicion, Pn = P 1n + P 2

n + · · ·+ P nn .

Veamos a continuacion las relaciones por recurrencia para elcalculo de P k

n .

describıa como las proporciones de los genes dominantes y recesivospodrıan ser propagados en una poblacion grande.

Habıa solamente otra pasion en la vida de Hardy, aparte de lasmatematicas: el cricket. Era ademas famoso por sus excentricidadesde todo tipo y su notorio buen humor. Su libro Apologıa de unmatematico (1940) es una de las mas vıvidas descripciones del pen-samiento matematico y el placer que brindan las matematicas. Otra desus obras principales, su libro Series Divergentes (1949), fue publicadopostumamente.

Obtuvo muchos honores por su trabajo. En 1901 recibio el premioSmith, conjuntamente con J. H. Jeans. Fue electo miembro de la RealSociedad en 1910. Recibio la medalla Royal de la Sociedad en 1920,la medalla De Morgan de la Sociedad en 1929 y la medalla Sylvesterde la Sociedad en 1940, por sus importantes contribuciones en muchasramas de la matematica pura. Tambien recibio la medalla Copley dela Real Sociedad en 1947 por su parte distinguida en el desarrollo delanalisis matematico en Inglaterra durante los pasados treinta anos. Fuepresidente de la Sociedad Matematica de Londres de 1926 a 1928 y otravez de 1939 a 1941.


Proposicion 45 Para n ≥ 1 y 1 ≤ k ≤ n tenemos:

P kn+k = P 1

n + P 2n + · · ·+ P k

n ,

P 1n = P n

n = 1.

Demostracion: En efecto, la segunda de las formulas esevidente de la definicion. Para justificar la primera formula,considere el conjunto A de las particiones de n en k o menospartes. Cada particion de A puede ser considerada como unk-etuplo de la forma (λ1, . . . , λm, 0, . . . , 0). Definimos sobreA la aplicacion

(λ1, . . . , λm, 0, . . . , 0) 7→ (λ1 + 1, · · · , λm + 1, 1, . . . , 1).

2Srinivasa Aiyangar Ramanujan (1887–1920) Matematico hindu,nacido en Erode y considerado uno de los mas grandes geniosmatematicos de todos los tiempos.

Teniendo solamente trece anos empezo a trabajar sus propias ideasen los campos de la geometrıa y las series aritmeticas. A la edad de 15anos demostro como resolver las ecuaciones cubicas y de cuarto grado,sin conocer los trabajos previos de Cardan, Ruffino y Tartaglia.

Estando en el colegio llego a sus manos el libro Synopsis of elemetaryresults in pure mathematics, de G. S. Carr, el cual fue literalmente devo-rado por Ramanujan en forma autodidacta, aprendiendo no solamentelas matematicas allı descritas sino tambien el estilo de la disciplina. Ellibro de Carr tenıa un estilo muy conciso que influencio radicalmente elestilo adoptado por Ramanujan en el futuro para presentar sus resulta-dos. Por otra parte, este libro habıa sido publicado en 1856, estando enla epoca en que lo estudio Ramanujan completamente desactualizado enmuchos aspectos.

En 1904 Ramanujan comenzo a realizar profundas investigaciones so-bre las series infinitas. Calculo ademas la constante de Euler con 15decimales exactos. Empezo a estudiar los numeros de Bernoulli, redes-cubriendolos en forma independiente. Continuo con su trabajo sobre lasseries hipergeometricas y realizo investigaciones sobre integrales, seriesdivergentes, funciones elıpticas y fracciones continuadas.

Planteo y resolvio algunos problemas en el Journal of the Indian Math-ematical Society . Publico una investigacion relacionada sobre las ecua-ciones elıpticas modulares en 1910 y una brillante investigacion sobre losnumeros de Bernoulli en 1911, con lo cual obtuvo algun reconocimiento

7.2. Definiciones y relaciones por recurrencia 93

Claramente el rango de esta aplicacion sera el conjunto A′

de todas las particiones de n + k en exactamente k partes.Ademas la aplicacion es biyectiva, pues:

(a) dos k-etuplos distintos de A son enviados hacia dosdistintos k-etuplos de A′;

(b) cada k-etuplo de A′ es la imagen de un k-etuplo de A.

Luego, obtenemos:

|A| = P 1n + · · ·+ P k

n = |A′| = P kn+k.

De estas relaciones por recurrencia pueden calcularse fa-cilmente los primeros valores de P m

n , como se ilustra en laFigura 7.2.

dentro de la India por su trabajo. A pesar de no contar con educacionuniversitaria, se le empezo a reconocer como un genio de las matematicasen el area de Madras.

En enero de 1913 Ramanujan le escribio a G. H. Hardy, enviandole unacopia de su libro de 1910 Ordenes de infinitud . Hardy, junto con Little-wood, estudio la larga lista de teoremas no demostrados que Ramanujanle adjunto con su carta. En ese entonces Ramanujan era extremada-mente pobre, estaba muriendose de inanicion y contaba tan solo conestudios de secundaria incompletos. Sin embargo, sus investigacioneseran ya absolutamente geniales. Hardy le ayudo de inmediato y al anosiguiente se lo llevo a Inglaterra, iniciando ası una celebre colaboracioncientıfica que durarıa cinco anos.

Descubrio independientemente los resultados de Gauss, Kummer yotros sobre las series hipergeometricas. Quizas el mas famoso de sustrabajos fue sobre el numero Pn de particiones de un entero n en var-ios sumandos. MacMahon habıa producido tablas del valor de Pn paravalores pequenos de n y Ramanujan utilizo estos datos numericos paraconjeturar algunas propiedades notables, algunas de las cuales las de-mostro usando funciones elıpticas. En un artıculo conjunto con Hardy,Ramanujan brindo una formula asintotica para Pn.

En 1916 el Trinity College Cambridge le otorgo a Ramanujan el Doc-torado en Matematica, en reconocimiento por sus investigaciones. Sudisertacion fue titulada Numeros altamente compuestos y consistio ensiete de sus artıculos publicados durante su breve estancia en Inglaterra.

En 1918 Ramanujan fue electo companero de la Sociedad Filosoficade Cambridge y tres dıas despues su nombre aparecio en la lista para


P mn m = 1 2 3 4 5 6 · · ·

n = 1 1 0 0 0 0 0 · · ·2 1 1 0 0 0 0 · · ·3 1 1 1 0 0 0 · · ·4 1 2 1 1 0 0 · · ·5 1 2 2 1 1 0 · · ·6 1 3 3 2 1 1 · · ·

Figura 7.2: Primeros valores de P mn .

7.3 Diagramas de Ferrars

Cuando n = 6, hay P 36 = 3 particiones en tres partes:

4+1+1, 3+2+1, 2+2+2. Tambien hay 3 particiones quetienen al 3 como la parte mas larga: 3+1+1+1, 3+2+1, 3+3.¿Sera esto coincidencia? ¡No, como veremos a continuacion!

Proposicion 46 El numero de particiones P kn de n en k

partes coincide con el numero de particiones de n cuya partemas larga es k.

Demostracion: En efecto, considerese una particion cualquiera,por ejemplo 5+4+1+1 y asociemos con ella el siguiente dia-grama (llamado diagrama de Ferrars), en el cual cada parte

la eleccion como companero de la Real Sociedad de Londres. Habıasido propuesto por una pleyade de matematicos ingleses famosos, entreellos, Hardy, MacMahon, Grace, Larmor, Bromwich, Hobson, Baker,Littlewood, Nicholson, Young, Whittaker, Forsyth y Whitehead. Sueleccion como companero de la Real Sociedad fue confirmada en mayode 1918 y luego en octubre de ese mismo ano fue elegido companero delTrinity College Cambridge. Ramanujan regreso hacia la India a finalesde febrero de 1919. Sin embargo, su salud era muy pobre y murio al anosiguiente.

Ramanujan dejo sin publicar un buen numero de cuadernos llenosde notas, con teoremas que los matematicos continuan estudiando.G. N. Watson, profesor de matematicas en Birmingham de 1918 a 1951,publico 14 artıculos con el tıtulo generico Teoremas enunciados porRamanujan y en total publico cerca de 30 artıculos inspirados en losmanuscritos de Ramanujan.

7.4. Particiones auto-conjugadas 95

es representada por una fila de cuadrados igual en numero ala parte misma, ordenado como sigue:

5+4+1+1 −→

Guiandonos con el diagrama, podemos definir la particionconjugada de 5+4+1+1 como la particion 4+2+2+2+1. Laparticion original se lee por filas: numero de cuadrados enla fila 1 (= 5), numero de cuadrados en la fila 2 (= 4),etc. La particion conjugada se lee por columnas: numerode cuadrados en la columna 1 (= 4), numero de cuadra-dos en la columna 2 (= 2), etc. En general si tenemos queλ = (λ1, λ2, . . . , λk) es una particion de n en k clases, la par-ticion conjugada λ∗ = (λ∗1, λ

∗2, . . .) es aquella en la cual λ∗i es

el numero de partes de λ de cardinalidad mayor o igual a i.La aplicacion que transforma una particion de n en su

conjugada establece una biyeccion entre el conjunto de todaslas particiones de n. Ademas, la conjugada de una particionde n en k partes es una particion de n cuya parte mas largaes precisamente k y viceversa. De esta manera hemos es-tablecido una biyeccion entre el conjunto de particiones de nen k partes y el conjunto de particiones de n cuya parte maslarga es k.

7.4 Particiones auto-conjugadas

Una particion de n en k clases se dice ser auto-conjugada siesta es igual a su particion conjugada. Una caracterizacioninteresante se discute a continuacion.

Proposicion 47 El numero de particiones auto-conjugadasde n coincide con el numero de particiones de n con todaslas partes desiguales e impares.


Demostracion: Veamos como establecer una biyeccion en-tre las particiones de n con todas las partes desiguales e im-pares y las particiones de n auto-conjugadas.

Empecemos con un ejemplo: la particion 9+5+3, de 17en 3 partes desiguales e impares. Con la primera parte (el9) escribimos el diagrama de Ferrars que se indica en el pasoI de la figura, poniendo 5 cuadrados horizontales y luego 4verticales.

Luego, con la segunda parte (el 5) continuamos llenandoel diagrama de Ferrars, agregandole 3 cuadrados horizontalesy 2 verticales, como se indica en el paso II. Finalmente conla ultima parte (el 3) terminamos de llenar el diagrama deFerrars, agregandole 2 cuadrados horizontales y 1 vertical,como se indica en el paso III.

9→

I

9+5→

II

9+5+3→

III

De esta manera obtenemos la particion auto-conjugada5 + 4 + 4 + 3 + 1. En general puede llevarse a cabo este pro-cedimiento. En efecto, si la particion original de n en partesdesiguales e impares la denotamos por λ = (λ1, λ2, . . . , λk),entonces λ1 > λ2 > · · · > λk y cada una de las partes λi

es un impar, digamos λi = 2ni + 1, con i = 1, 2, . . . , k.En la etapa i-esima agregamos al diagrama de Ferrars ni + 1cuadrados horizontales a la derecha y ni cuadrados verticaleshacia abajo.

Como cada una de las cantidades λi es menor que la an-terior, el diagrama resultante correspondera al diagrama deFerrars de una particion. Ademas por construccion la par-

7.5. Particiones en partes impares 97

ticion resultante es auto-conjugada. Claramente con este pro-cedimiento estamos estableciendo la biyeccion buscada.

7.5 Particiones en partes impares

Proposicion 48 El numero de particiones de n en partesdesiguales coincide con el numero de particiones de n enpartes impares.

Demostracion: Veamos como establecer una biyeccion en-tre las particiones con todas las partes impares y las parti-ciones con todas las partes desiguales. Empecemos con unejemplo de una particion con todas las partes impares:

5 + 5 + 5 + 5︸︷︷︸4

+3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3︸︷︷︸7

+1 + 1 + 1 + 1 + 1︸︷︷︸5

.

Cada uno de los exponentes anteriores puede ser expresadode manera unica en base 2:

grupos de 5’s = 4 = 22,

grupos de 3’s = 7 = 20 + 21 + 22,

grupos de 1’s = 5 = 20 + 22.

Luego, agrupamos todas las 2k partes identicas de la par-ticion original en una sola parte: agrupamos 22 × 5, agru-pamos 22 × 3, agrupamos 21 × 3, agrupamos 20 × 3, agru-pamos 22 × 1 y finalmente agrupamos 20 × 1, para obtenerfinalmente la nueva particion con todas sus partes desiguales

20 + 12 + 6 + 4 + 3 + 1.

En general puede aplicarse este procedimiento a cualquierparticion que tenga todas las partes impares. La particionobtenida al aplicar este procedimiento tendra siempre todaslas partes desiguales, pues estas seran todas de la forma 2k×(2m+1) y es bien sabido que todo entero se puede escribir demanera unica como el producto de un impar y una potenciade 2.


7.6 Funciones generadoras de particiones

Proposicion 49 (Funciones generadoras asociadas aparticiones)

(a) La funcion generadora de Pn, el numero de particionesde n, es

F1(t) =1

(1− t)(1− t2)(1− t3) · · ·.

(b) La funcion generadora de P mn , el numero de particiones

de n en m partes, es

F2(t) =tm

(1− t)(1− t2) · · · (1− tm).

(c) La funcion generadora del numero de particiones de ncuyas partes son todas impares es

F3(t) =1

(1− t)(1− t3)(1− t5) · · ·.

(d) La funcion generadora del numero de particiones de ncuyas partes son todas desiguales es

F4(t) = (1 + t)(1 + t2)(1 + t3) · · · .

(e) La funcion generadora del numero de particiones de ncuyas partes son todas impares y desiguales es

F5(t) = (1 + t)(1 + t3)(1 + t5) · · · .

(f) La funcion generadora del numero de particiones de ncuya parte mayor no excede a k es

F6(t) =1

(1− t)(1− t2) · · · (1− tk).

7.6. Funciones generadoras de particiones 99

Demostracion: Tan solo demostraremos el caso a), quedandoel resto como ejercicio para el lector. Debemos probar que

1(1− t)(1− t2)(1− t3) · · ·

=∞∑

n=0

Pn tn.

Para |t| < 1 considere el producto

A =1

(1− a1t)(1− a2t2) · · · (1− aktk) · · ·.

Desarrollando cada factor, realizando los productos y agru-pando en potencias de t, obtenemos

A = (1 + a1t+ a21t

2 + · · ·) · · · (1 + akt+ akt2 + · · ·) · · ·

= 1 + a1t+ · · ·+ (aλ11 aλ2

2 · · · aλkk + · · ·) tn + · · · .

En el coeficiente de tn cada termino aλ11 aλ2

2 · · · aλkk define una

particion de n, a saber:

n = (k + · · ·+ k)︸︷︷︸λk

+ · · ·+ (2 + · · ·+ 2)︸︷︷︸λ2

+(1 + · · ·+ 1)︸︷︷︸λ1

.

De esta manera todas las particiones de n seran enumeradas,sin repeticiones ni omisiones. Finalmente, sustituyendo 1 =a1 = a2 = · · ·, obtenemos la formula para F1(t).

Algunos de los resultados analizados en este capıtulo puedenser obtenidos mediante una simple comparacion de las fun-ciones generadoras asociadas. Por ejemplo, la proposicion 48establece que el numero de particiones de n en partes de-siguales coincide con el numero de particiones de n en partesimpares. Lo anterior es evidente si se demostrara que lasfunciones F3(t) y F4(t) son identicas, en algun vecindario de0. Esto es facil de establecer:


F3(t) =1

(1− t)(1− t3)(1− t5) · · ·

=(1− t2)(1− t4)(1− t6) · · ·(1− t)(1− t2)(1− t3) · · ·

=(1− t)(1 + t)(1− t2)(1 + t2)(1− t3)(1 + t3) · · ·

(1− t)(1− t2)(1− t3) · · ·

= (1 + t)(1 + t2)(1 + t3) · · · = F4(t).

Aunque el procedimiento anterior, debido a Euler, es ab-solutamente elemental, sin embargo no tiene la virtud demostrarnos la biyeccion existente entre ambas clases de par-ticiones.

El tema de las particiones de un entero y sus ramifi-caciones es fuente inagotable de resultados insospechados.Por ejemplo, Hardy y Ramanujan demostraron la siguienteaproximacion, que ayuda a comprender el tipo de crecimientoasintotico de Pn:

Pn ≈ π√

2n/3− ln(4n√

3).

7.7 Ejercicios

119. Muestre que el numero de particiones de n en trespartes es igual al numero de particiones de 2n en tres partesde tamano menor que n.

120. Muestre que el numero de particiones de n es igual alnumero de particiones de 2n en n partes.

121. Muestre que el numero de particiones de 2r+k en r+kpartes es el mismo, para cada k ∈ N.

7.7. Ejercicios 101

122. Demuestre la proposicion 49, de las funciones gener-adoras asociadas con los numeros de particiones.

123. Muestre que el numero de particiones de r + k en kpartes es igual a:

(a) El numero de particiones de r + (k+12 ) en k partes dis-

tintas.

(b) El numero de particiones de r en partes de tamanomenor o igual a k.

Capıtulo 8

Otros topicos de la

teorıa de combinatoria

Presentamos en este capıtulo una breve enumeracion deotros temas de la teorıa de combinatoria no tratados en estetrabajo introductorio, sin pretender ser exhaustivos.

8.1 Denumerantes

El denumerante D(n; a1, . . . , am) es el numero de particionesdel entero n en las partes especıficas a1, . . . , am (terminologıaintroducida por Sylvester), o lo que es lo mismo, el numerode soluciones en enteros positivos de la ecuacion

a1x1 + a2x2 + · · ·+ amxm = n.

No es difıcil demostrar que la funcion generadora ordi-naria de estos numeros es

F (t; a1, . . . , am) =∞∑

n=0

D(n; a1, . . . , am) tn

=1

(1− ta1)(1− ta2) · · · (1− tam).

103

104 Capıtulo 8. Otros topicos de la teorıa de combinatoria

Hay mucha teorıa compleja acerca de los denumerantes,analizando algunas propiedades o formulas recursivas para sucalculo. Sin embargo, la funcion generadora ordinaria siguesiendo el mejor metodo para calcular los denumerantes decantidades pequenas. Por ejemplo, ¿de cuantas maneras dis-tintas puede particionarse //C100 colones, en monedas de //C50,//C25, //C20, //C10, //C5, //C2 y //C1? La solucion es el denumerante

D(100; 1, 2, 5, 10, 20, 25, 50) = 6730,

cantidad que se obtuvo directamente desarrollando la funciongeneradora ordinaria F (t)=

∑∞n=0D(n; 1, 2, 5, 10, 20, 25, 50) tn =

1/(1− t)(1− t2)(1− t5)(1− t10)(1− t20)(1− t25)(1− t25)(1− t50),con la ayuda del paquete de matematica simbolica Maple.

8.2 Composiciones

Paralela a la teorıa de particiones de un entero se encuentrala teorıa de las composiciones del mismo. Una composicionde un entero n es una coleccion ordenada de enteros positivoscuya suma es igual a n. A diferencia de las particiones, en lascomposiciones sı interesa el orden de las partes. Por ejemplo,2+1+3 es una composicion de n = 6 diferente de 3+2+1.

Es elemental comprobar que el numero de composicionesde n en exactamente m partes, cn,m es igual a

cn,m =(n− 1m− 1

).

Luego, el numero de composiciones de n, denotado por Cn,es

Cn =n∑

m=1

(n− 1m− 1

)= 2n−1,

con C0 = 0, de donde la funcion generadora ordinaria de las

8.2. Composiciones 105

composiciones Cn es

C(t) =∞∑

n=0

Cn tn =

t

1− 2t.

La enumeracion de las composiciones esta ıntimamenteligada a la de las combinaciones con repeticion. Si Cm(t)denota la funcion generadora de las composiciones con exac-tamente m partes, entonces se puede demostrar que

Cm(t) =∞∑

n=1

cn,m tm

= (t+ t2 + t3 + · · ·)m =tm

(1− t)m.

Las composiciones con exactamente m partes, ninguna delas cuales es mayor que s, tiene funcion generadora

Cm(t; s) = (t+ t2 + · · ·+ ts)m,

mientras que la funcion generadora del numero de composi-ciones en exactamente m partes impares es

Om(t) = (t+ t3 + t5 + · · ·)m,

y la funcion generadora del numero de composiciones en ex-actamentem partes impares, todas menores o iguales a 2s+1,es

Om(t; s) = (t+ t3 + t5 + · · ·+ t2s+1)m.

Finalmente, la funcion generadora del numero de com-posiciones de n en cualquier numero de partes, ninguna delas cuales excede a s, puede probarse que es igual a

C(t; s) =∞∑

m=1

Cm(t; s) =t− ts+1

1− 2t+ ts+1.


Algunas otras funciones generadoras de composicionespueden ser obtenidas, para casos particulares y restriccionesespecıficas.

8.3 Teorıa de Grafos

Un grafo G = (V,U) es un conjunto finito V de vertices y unconjunto U de arcos, o parejas de vertices (x, y). Una aristaes un conjunto {x, y} de dos vertices unidos por un arco. Enlos grafos hay caminos, circuitos, componentes conectadas,cliques, cadenas, ciclos, valencias, numeros cromaticos, ındicescıclicos y otros conceptos involucrados.

La teorıa de grafos es un campo muy vasto de la combi-natoria en el cual se realiza mucha investigacion en la actu-alidad. Existen libros y tratados completos y profundos quese dedican al estudio exclusivo de esta interesante materia.

Los arboles, las redes, las series paralelas y los grafoslineales son casos especiales de grafos. En este trabajo, porsu caracter introductorio, no hemos presentado nada acercade la teorıa de grafos, a excepcion de los grafos mencionadosen el capıtulo 5.

8.4 Teorıa de Ramsey

Una de las ideas mas simples y naturales en el pensamientomatematico es el Principio del Palomar , tambien llamadoPrincipio de los n cajones de Dirichlet , el cual establese losiguiente:

Si hay mas palomas que palomares, entonces al-gunos palomares deberan contener al menos dospalomas. Mas generalmente, si tenemos mas dek veces palomas que palomares, entonces algunpalomar debera contener al menos k+1 palomas.

8.4. Teorıa de Ramsey 107

Por ejemplo, en una ciudad con mas de 1,000,000 de habi-tantes (como San Jose), existiran al menos 11 personas quetienen el mismo numero de cabellos en su cabeza. En efecto,se sabe que una cabellera promedio tiene alrededor de 100,000cabellos. Entonces, tenemos mas de k = 10 veces mas habi-tantes que tipos de cabezas (cada tipo de cabeza correspondeal numero de cabellos en ella), de donde existira un grupo deal menos k + 1 = 11 habitantes con la misma cantidad decabellos en su cabeza.

En 1930 Frank Ramsey1 demostro un notable teoremacomo parte de sus investigaciones en logica formal. Su teo-rema es una profunda generalizacion del Principio del Palo-mar. Como ha sucedido con algunas otras ideas hermosasen las matematicas, el teorema de Ramsey extiende justa-mente los aspectos correctos de una observacion elementaly deriva consecuencias que son extremadamente naturales,aunque lejanas de ser obvias. Recientemente se ha recono-cido que muchos resultados en la teorıa de combinatoria y enotras areas tienen el mismo sabor que el teorema de Ram-sey. El intento por capturar este sabor comun y desarrollarlas ideas generales basadas en el, ha conducido a la prolif-

1Frank Plumpton Ramsey (1903–1930) Matematico ingles,nacido en el condado de Cambridge, hijo de un tutor de matematica.Realizo sus estudios de matematica en la Universidad de Cambridge,obteniendo su doctorado en 1923.

Trabajo brevemente en Viena y luego retorno a Inglaterra, obte-niendo una plaza en el King’s College, donde hizo una corta pero bril-lante carrera universitaria. Sus lecciones sobre los fundamentos de lasmatematicas causaban una fuerte impresion en los jovenes estudiantes,por su notable claridad y entusiasmo.

Realizo interesantes y profundas investigaciones en los campos de losfundamentos de la matematica, la combinatoria y la logica, destacandoseparticularmente por sus resultados que condujeron al desarrollo de laactualmente llamada Teorıa de Ramsey . Sus principales publicacionesfueron “Los fundamentos de las Matematicas”, en la cual realizo algunasmejoras parciales a los trabajos de Russell y Whitehead y “Sobre unProblema en Logica Formal”, publicado en 1930 —el mismo ano de sumuerte— en el cual planteo y resolvio el resultado central que dio origen


eracion de resultados que constituyen lo que se ha convenidoen llamar Teorıa de Ramsey . En muchos casos —incluyendoel propio teorema original de Ramsey— se establece tan solola existencia de ciertos numeros mınimos. Un largo esfuerzoha sido llevado a cabo para encontrar los valores exactos enalgunos pocos casos y cotas superiores en general para estosnumeros de Ramsey .

Consideremos el siguiente problema: Dado un entero pos-itivo k, que tan grande (Rk) debe ser un grupo de personaspara asegurar que, o bien existe un subconjunto de k per-sonas en el grupo que mutuamente se conocen entre sı, obien existe un subconjunto de k personas en el grupo quemutuamente no se conocen entre sı?

Una “simple” enumeracion de casos nos lleva a la soluciondel problema cuando k = 3, la cual es R3 = 6. Ya para k = 4el problema se nos escapa de toda posibilidad practica deenumeracion de casos, aunque se sabe que la solucion es R4 =18, esto es, en un grupo de 18 o mas personas, siempre habra4 personas que se conocen mutuamente o 4 personas que nose conocen mutuamente. Sorprendentemente, los valores deRk para k ≥ 5 se desconocen (problema aun abierto). Tansolo se conocen algunas cotas superiores bastante burdas,como consecuencia del teorema de Ramsey, el cual pasamosa enunciar.

Sea S un conjunto con n elementos y sea Pr(S) el conjuntode todos los subconjuntos de S con r elementos. Supongamosque Pr(S) esta particionado en t componentes o coloracionesA1, A2, . . . , At:

Pr(S) = A1 ∪A2 ∪ · · · ∪At.

a la teorıa de Ramsey. Tambien publico notables artıculos sobre teorıade probabilidades, economıa y filosofıa.

Ramsey era un hombre de gran estatura, modesto, sencillo y desin-hibido, que gozaba de notable buen humor. En 1930, a la edad deveintisiete anos, sufrio un ataque de ictericia y fue llevado al Hospital enLondres para una operacion de emergencia. Murio luego de la operacion.

8.4. Teorıa de Ramsey 109

Ahora, sean q1, . . . , qt enteros tales que qi ≥ r, para cadai ∈ {1, . . . , t}. Si existe algun subconjunto B ⊆ S con qielementos, de forma tal que todos los subconjuntos de B conr elementos pertenecen a Ai (esto es, tiene la misma col-oracion), entonces decimos que B es (qi, Ai)-monocromatico.El teorema de Ramsey establece lo siguiente:

Teorema 50 (Ramsey, 1930) Para cualesquiera q1, . . . ,qt enteros mayores o iguales que r, existe un mınimo en-tero positivo n(q1, . . . , qt; r) con la propiedad que, si n ≥n(q1, . . . , qt; r), entonces S contiene un subconjunto B deqi elementos que es (qi, Ai)-monocromatico, para algun i ∈{1, 2, . . . , t}.

La demostracion no la veremos en esta obra, aunque co-mentamos que en la misma el caso interesante ocurre cuandot = 2 y la prueba utiliza argumentos del Principio del Palo-mar y el Principio de Induccion Matematica. Por otra parte,puede observarse que cuando r = 1 el teorema de Ramsey sereduce al Principio del Palomar.

Una version simplificada del teorema de Ramsey ocurrecuando tomamos q1 = q2 = · · · = qt = q. En este caso, elteorema establece lo siguiente:

Sea S un conjunto con n elementos, con n su-ficientemente grande. Supongamos que los sub-conjuntos de S con r elementos son particionadosen t componentes o coloraciones, de manera arbi-traria. Entonces, existe un subconjunto de S conq elementos tal que todos sus subconjuntos con relementos tienen la misma coloracion.

Como ejemplo de aplicacion, consideremos n puntos en elespacio tridimensional, situados en cualquier posicion. Cadapareja de puntos define un segmento recto entre ellos. Demanera general, procedemos a colorear cada uno de estos


segmentos, usando unicamente los colores rojo y azul. En-tonces, si n es suficientemente grande, digamos n ≥ n(q, q; 2),podemos garantizar la existencia de un subconjunto B conq puntos de los n puntos originales, de forma tal que to-dos los segmentos asociados a los q puntos de B tengan lamisma coloracion. De manera analoga se puede plantear elproblema asociado con los numeros Rk anteriormente men-cionados: Rk = n(k, k; 2).

Los numeros n(q1, . . . , qt; r) del teorema de Ramsey sonlos famosos e inaccesibles numeros de Ramsey , los cualestienen un significado combinatorio profundo. Se conoce ape-nas lo siguiente acerca de tales numeros:

(a) Cuando r = 1, tendremos:

n(q1, . . . , qt; 1) = q1 + · · ·+ qt − t+ 1.

(b) Cuando t = 2, tendremos:

n(q1, r; r) = q1

n(r, q2; r) = q2

n(q1, q2; r) ≤ n(p1, p2; r − 1) + 1,

donde p1 = n(q1 − 1, q2; r) y p2 = n(q1, q2 − 1; r).

Desafortunadamente la desigualdad por recurrencia ante-rior es bastante burda en casi todos los casos. Todo lo que seconoce sobre los valores concretos de los numeros de Ramsey,para r = 2 y t = 2, es lo siguiente:

n(q1, q2; 2) q1 = 3 4 5q2 = 3 6 9 14

4 9 185 14

Finalmente, se menciona que tambien es muy poco loque se conoce acerca de los numeros de Ramsey para r = 2 yt = 3: lo mas profundo que se sabe es que n(3, 3, 3; 2) = 17.

8.5. Grupos de permutaciones 111

8.5 Grupos de permutaciones

Una permutacion de grado n es una biyeccion

ϕ =(

1 2 · · · nk1 k2 · · · kn

)del conjunto X = {1, 2, . . . , n} en sı mismo. Las permuta-ciones de grado n, con la operacion de la composicion deaplicaciones, forman un grupo Sn, llamado grupo simetricode grado n.

El estudio de los subgrupos normales de Sn tiene muchaimportancia dentro de la combinatoria. Se estudian los cic-los de una permutacion, las orbitas de un subgrupo de per-mutacion, la paridad de una permutacion, el grupo alternanteAn de las permutaciones pares y finalmente se arriba a un re-sultado importante de la teorıa de grupos, que establece quesi n > 4, los unicos subgrupos normales del grupo alternanteAn son An y {e}.

Tambien se estudia el famoso teorema de Polya, que per-mite contar el numero de esquemas relativos a grupos depermutaciones de objetos. Este teorema se ubica en el sigu-iente contexto: sea G un grupo de permutaciones (subgrupode An) y sea φ una aplicacion de X en

A = {a1, a2, . . . , am}.

Dentro de este contexto, los elementos de A son llamados col-ores y φ es una coloracion: cada objeto i es “coloreado” conel color φ(i). Dos coloraciones φ1 y φ2 pertenecen al mismoesquema si existe una permutacion g ∈ G tal que φ1 g = φ2.Esto define sobre X una relacion de equivalencia. El prob-lema que se plantea es contar el numero de clases de equiva-lencia —o esquemas— de esta relacion. Polya demostro queel numero de esquemas es P (G;m,m, . . . ,m), donde m es el


numero de colores de A y

P (G;x1, x2, . . . , xn) =1|G|

∑g∈G

xλ1(g)1 x

λ2(g)2 · · ·xλn(g)

n

es el polinomio cıclico de G, concepto que esta fuera del al-cance de este estudio (los exponentes λi(g) denotan el numerode ciclos de g de tamano i).

8.6 Algunos problemas abiertosen combinatoria

Presentamos en esta seccion algunos problemas abiertos de lateorıa de combinatoria, seleccionados de entre una gran can-tidad de problemas abiertos existentes. El objetivo de estaseccion es ilustrar lo difıcil que pueden resultar las demostra-ciones de algunos problemas de aspecto aparentemente in-ocente, en el campo de la teorıa de la combinatoria.

8.6.1 Dos problemas de Paul Erdos

En 1981 Paul Erdos2, uno de los mas importantes matematicosdel siglo XX en el campo de la teorıa de la combinatoria,publico el artıculo “On the Combinatorial Problems which Iwould most like to see solved”, en el cual expone alrededorde 50 problemas abiertos en combinatoria y ofrece, para al-gunos de ellos, recompensas economicas a quien encuentresoluciones a los mismos.

2Paul Erdos (1913–1996) Matematico hungaro nacido en Budapest,considerado uno de los mas prolıficos de la historia de las matematicas,con alrededor de 1.500 artıculos publicados en revistas internacionalesa lo largo de su vida, la mayorıa (casi el 70%) en coautorıa con mas de470 colaboradores diferentes. Su primer artıculo aparecio cuando tenıa19 anos, lo que significa que Erdos publico en promedio dos artıculosmensuales durante sus 64 anos de actividad creadora constante. Esteritmo frenetico no disminuyo con la edad. Murio en Varsovia cuando

8.6. Algunos problemas abiertos en combinatoria 113

La mayorıa de estos problemas son muy difıciles de ex-plicar, pues requieren conocimientos avanzados en el campo.Sin embargo, algunos pocos son de facil enunciado, entre loscuales estan los siguientes dos problemas:

1. Sea |Ak| = n, para 1 ≤ k ≤ n y suponga que |Ai∩Aj | ≤1, para 1 ≤ i < j ≤ n. Demostrar que se puede colorearlos elementos de

⋃nk=1Ak con n colores, de manera que

cada conjunto Ak, 1 ≤ k ≤ n, contenga elementos detodos los colores.

Comenta el propio Erdos: “Faber, Lovasz y yo hicimosesta aparentemente inocente conjetura en una fiesta enBoulder, Colorado, en Setiembre de 1972. Lentamentecomprendimos su gran dificultad. Ofrezco ahora 500dolares por una prueba o un contraejemplo (no hacemucho tiempo ofrecıa tan solo 50 dolares; el incrementoes debido no a la inflacion sino al hecho que ahora

asistıa a un congreso de combinatoria, en la cual ya habıa presentadodos conferencias. En su ultimo ano de vida habıa publicado 25 artıculosy otra docena mas estaban en tramite de publicacion. Escribio tambienvarios libros y fue tambien un prolıfico autor de resenas matematicas:¡solamente el Mathematical Reviews contiene mas de 700 resenas con sufirma!

Proveniente de una familia judıa, Erdos nacio y vivio sus primerosanos rodeado de tragedias familiares, guerras y persecuciones antisemi-tas. No obstante las restricciones imperantes sobre los judıos acercadel ingreso en las universidades en Hungrıa, Erdos fue autorizado a in-gresar en 1930, en virtud de haber ganado los examenes nacionales dematematicas. Estudio su doctorado en la Universidad Pazmany Peter,en Budapest. Habiendose graduado en 1934 (siendo su tutor LeopoldFejer), obtuvo una beca para realizar estudios post-doctorales en Manch-ester, Inglaterra, siendo practicamente forzado a dejar Hungrıa debidoa su condicion de judıo.

En 1938 obtuvo una beca corta para realizar estudios post-doctoralesen Princeton, Estados Unidos, paıs donde se establecio hasta 1954, anoen que le cancelaron su visa de residencia en circunstancias aun pococlaras, relacionadas con sospechas infundadas de que simpatizaba con laideologıa comunista, en aquellas oscuras epocas de la guerra frıa. Nueveanos mas tarde, en 1963, retorno a Estados Unidos luego de la presion


pienso que el problema es muy difıcil; tal vez me equiv-oque)”.

Por ejemplo, para n = 4 nuestros conjuntos podrıanser:

A1 = {a, b, c, d}, A2 = {a, e, f, g},A3 = {b, f, h, i}, A4 = {c, g, h, j}.

En este ejemplo los conjuntos fueron seleccionados detal manera que siempre dos ellos tienen interseccion novacıa aunque unitaria: se trata de un caso extremo.Aquı podemos colorear los elementos de la union

4⋃k=1

Ak = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j}

con los cuatro colores rojo, azul, verde y blanco, de lasiguiente manera: (a=rojo), (b=azul), (c=verde), (d=blan-

que ejercieron varias prestigiosas universidades norteamericanas paraque le restablecieran la visa de residencia.

Las contribuciones que Erdos hizo a las matematicas fueron tan nu-merosas como extensas. Los topicos de su predileccion eran los de com-binatoria, la teorıa de grafos y la teorıa de numeros. No obstante, hizoaportes en practicamente todos los campos de la matematica, siendouno de los matematicos mas versatiles que se recuerde. Le apasionabaresolver problemas matematicos de la manera mas elegante y elemen-tal posible. Para Erdos, una demostracion debıa proporcionar discern-imiento sobre porque el resultado que se estaba probando era verdadero,y no solamente constituir una complicada sucesion de etapas formalesdesprovistas de inteligencia.

Algunos resultados con los cuales Erdos es asociado fueron demostra-dos antes de su nacimiento. Por ejemplo, en 1845 Bertrand conjeturo quehabıa al menos un numero primo entre n y 2n, para cualquier numeronatural n mayor o igual que 2. Chebyshev demostro esta conjetura en1850. Erdos, a los 18 anos, encontro una elegante demostracion elemen-tal de este hecho. Otro resultado asociado con Erdos es el teorema delos numeros primos, que establece que la cantidad de primos menores oiguales a n tiende a infinito asintoticamente con n

ln n. Este resultado fue

conjeturado en el siglo XVIII y demostrado hasta en 1896 por Hadamardy de la Vallee Poussin. En 1949 Erdos y Atle Selberg hallaron una el-


co), (e=azul), (f=verde), (g=blanco), (h=rojo), (i=blanco),(j=azul). De esta forma, todo conjunto Ak tendra el-ementos de los n = 4 diferentes colores. ¡Observeseque el resultado en general parece obvio, aunque desdeluego no lo es!

2. Una vieja conjetura en teorıa de numeros, aun sin re-solver, consiste en probar que para cada entero posi-tivo k existen k numeros primos que siguen una pro-gresion aritmetica. Hasta el momento, la mas larga pro-gresion aritmetica de numeros primos conocida tiene 17terminos y es debida a Weintraub.

En relacion con este problema, Erdos conjeturo lo sigu-iente: si (ak)k≥1 es una sucesion de enteros positivosestrictamente creciente y la serie

∑∞n=1 1/an = ∞, en-

tonces para todo k ≥ 1 existen k terminos consecutivosde los an’s que forman una progresion aritmetica.

egante demostracion elemental. Originalmente Selberg y Erdos habıanconvenido en publicar su trabajo en una serie de varios artıculos, com-partiendo los creditos. Sin embargo, Selberg cambio de parecer y seadelanto, publicandola de primero. ¡Erdos se entero de ello hasta el anosiguiente, cuando Selberg gano la Medalla Fields por este trabajo!

Recibio el premio Cole de la Asociacion Matematica Americana en1951 por sus variados artıculos sobre la teorıa de numeros, y en par-ticular por su trabajo “Sobre un nuevo metodo en teorıa de numeroselemental que lleva a una prueba elemental del teorema de los numerosprimos”, publicado en el Proccedings of the National Academy of Sci-ences en 1949. Tambien gano el premio Wolf (con $50.000) en 1983.

Como matematico trashumante que era, sin par en la historia, Erdosasistıa a decenas de coloquios y congresos al ano, extendiendo y re-forzando continuamente sus contactos y sirviendo de catalizador de ideasmatematicas, formando discıpulos. Tenıa un estilo de vida muy sen-cillo que requerıa de pocos recursos personales. Donaba la mayorıa deldinero que ganaba por concepto de sus conferencias dictadas por todoel mundo para ayudar a los estudiantes, ofreciendo ademas premios enefectivo para la resolucion de algunos problemas matematicos que elmismo planteaba. Trabajo en numerosas universidades, aunque sin es-tablecerse fijamente en ninguna de ellas por perıodos largos. Entre ellas


Como Euler demostro que la suma de los recıprocosde los numeros primos es divergente, entonces la de-mostracion de la conjetura de Erdos demostrarıa tambienla vieja conjetura de las progresiones aritmeticas de losprimos.

Ofrezco 3000 dolares por una prueba o un contraejem-plo de esta conjetura, senala Erdos.

8.6.2 El “Football Pool Problem”

Uno de los problemas abiertos de combinatoria de mas sen-cillo enunciado es el “Football Pool Problem”, cuya versionmas sencilla es la siguiente.

Supongase que se desea vaticinar el resultado de n juegosde futbol, cada uno de ellos con tres posibles resultados: i)victoria del equipo casa (codificado con un 2); ii) empate(codificado con un 1); iii) derrota del equipo casa (codificadocon un 0). Una boleta de apuestas consiste en indicar elresultado de cada uno de los n juegos en disputa. ¿Cual esel mınimo numero σn de boletas que se deben llenar paragarantizar que acertaremos al menos n− 1 de los juegos?

Parece que se trata de un problema sencillo. Por ejemplo:

1. Para n = 1 la solucion es obvia, σ1 = 1 (no importacomo llenemos la boleta, siempre acertaremos al menos0 juegos).

2. Para n = 2 tambien es obvio: σ2 = 3. Por ejemplo,podemos llenar las siguientes 3 boletas: (0, 0), (1, 2),(2, 0) (la boleta “(1, 2)” indica por ejemplo que se pro-dujo empate en el primer juego y victoria del equipocasa en el segundo juego), garantizando de esta manera

destacan la Universidad Purdue (1943), la Universidad de Notre Dame(1952) y la Universidad de Israel (1954).

A Erdos se le considera el fundador de las matematicas discretas, unode los fundamentos teoricos de las ciencias de la computacion.


que siempre obtendremos al menos 1 resultado correcto.Puede demostrarse por enumeracion que 3 boletas sonnecesarias en este caso.

3. Para n = 3 todavıa podemos analizar el problema man-ualmente, enumerando todas las posibilidades, para obtenerσ3 = 5. El lector puede comprobar que las siguientes5 boletas bastan para garantizar que obtendremos almenos 2 resultados correctos: (0,1,2), (0,2,0), (1,1,0),(1,2,2), (2,0,1). La solucion no es unica.

4. Para n = 4 el problema no es tan obvio como pararesolverlo manualmente, pues la cantidad de configu-raciones a analizar es muy elevada. Sin embargo, conpaciencia y ayuda de una computadora obtenemos queσ4 = 9. Por ejemplo, las siguientes 9 boletas garanti-zan al menos 3 resultados correctos: (0,0,0,0), (0,1,1,2),(0,2,2,1), (1,0,1,1), (1,1,2,0), (1,2,0,2), (2,0,2,2), (2,1,0,1),(2,2,2,1). La solucion no es unica.

5. Para n = 5 es problema es muy complicado, aunqueaun nos queda el recurso de utilizar computadoras paraenumerar rapidamente los resultados, obteniendose queσ5 = 27. Por ejemplo, los siguientes 27 numeros, cuandose representan en base 3, corresponden a 27 boletas quegarantizan al menos 4 resultados correctos: 0, 10, 23, 34,41, 51, 59, 69, 73, 89, 93, 106, 111, 124, 128, 136, 146, 156,166, 179, 180, 191, 198, 211, 222, 239, 242.

Sin embargo, para n = 6 el problema aun esta abierto:¡se desconoce el valor exacto de σ6! El problema aquı es elrapido crecimiento “combinatorio” de las configuraciones quedeben analizarse. Para resolver el problema por enumeracionse necesitarıa analizar un gran total de 23n

casos, cantidadque se escapa a toda posibilidad de analisis en el tiempo. Porejemplo, para n = 6 habrıa que analizar 2729 casos: toda laeternidad aun para la computadora mas veloz del mundo.


No se conoce una formula directa, ni por recurrencia, parael calculo de σn. Menos aun se conoce la funcion generadoraFσ. Tan solo se conocen algunas cotas superiores para σn, co-tas que se han ido mejorando con el pasar de los anos. Cadavez que alguien encuentra una cota superior mas pequenapara algun valor de σn, el descubrimiento es objeto de unapublicacion en alguna de las mejores revistas de la teorıa decombinatoria del mundo. Para el caso mas simple aun de-sconocido, σ6, se encontro en 1992 que σ6 ≤ 73 y se conjeturaque σ6 = 72.

8.7 Ejercicios

124. Encuentre la funcion generadora para Ak, el numero demaneras de cambiar k colones en billetes de //C10000, //C5000,//C2000, //C1000, //C500, //C100 y //C50.

125. Dado un grupo de n mujeres y sus respectivos esposos,cuantas personas deben ser seleccionadas de este grupo de 2npersonas para garantizar que en el grupo de las seleccionadashabra un matrinomio?

126. Muestre que cualquier subconjunto de n + 1 enterosdiferentes entre 1 y 2n, con n ≥ 2, siempre contiene un parde enteros que son primos relativos.

127. Muestre que en una fiesta de 20 personas, siempre hay2 que tienen el mismo numero de amigos (amistad dentro delgrupo de las 20 personas).

128. Muestre que en una fiesta con 6 o mas personas, siem-pre habra un grupo de 3 amigos mutuos o un grupo de 3extranos mutuos.

129. Muestre que cualquier secuencia de nm + 1 numerosdistintos siempre contiene una subsecuencia creciente de n+1numeros o una subsecuencia decreciente de m+ 1 numeros.

Capıtulo 9

Las soluciones de losejercicios impares

Presentamos en este capıtulo las soluciones de los ejer-cicios impares planteados a lo largo de toda la obra. Lassoluciones se presentan con gran cantidad de detalles, confines meramente didacticos.

Por lo general dispondremos de varios metodos para re-solver los problemas de combinatoria. Recomendamos al lec-tor que intente resolver cada ejercicio empleando sus propiasideas y metodos y solamente luego de ello consulte las solu-ciones aquı desarrolladas.

9.1 Ejercicios del capıtulo 1

1. a. Hay 5 caminos que conducen de A a B y para cadauno de ellos hay 3 caminos que conducen de B a C. Luego,en total hay 15 = 5× 3 caminos diferentes que conducen deA a C pasando por B.

A B C

1

2

3

4

5

1

2

3

b) Generalizacion: hay n × m caminos diferentes que con-ducen de A a C pasando por B.

119

120 Capıtulo 9. Las soluciones de los ejercicios impares

3. a) Cantidad de nombres que los ingleses suelen dar a unnino:

i) Si no se admiten repeticiones de nombre de ningun tipo:

[300]3 + [300]2 + [300]1 = 300× 299× 298 + 300× 299 + 300= 26.820.600 nombres.

El primer sumando corresponde el numero de maneras deasignar 3 nombres diferentes, el segundo al numero de man-eras de asignar 2 nombres diferentes, etc.

ii) Si se permiten las repeticiones de nombres:

3003 + 3002 + 300 = 27.090.300 nombres.

3b) Generalizacion: i) Sin repeticiones de nombres:

n∑i=1

[N ]i nombres.

ii) Con repeticiones de nombres:

N +N2 +N3 + · · ·+Nn =N(Nn − 1)N − 1

nombres.

5. a) Hay 90.000 numeros diferentes de 5 dıgitos, si los cerosiniciales no son permitidos. Estos se obtienen a partir dela cantidad de numeros totales 100.000 (del 0 al 99.999) re-stando los 10.000 (del 0 al 09999) que comienzan con 0.

5b) Seran pares la mitad de ellos, esto es, 45.000. La paridadsolamente depende del ultimo dıgito.

5c) Aparece un 3 en alguna posicion en 37.512 casos, de los90.000. Estos pueden contarse segun el siguiente esquema,

9.1. Ejercicios del capıtulo 1 121

en donde � indica una casilla a ser llenada por un dıgito:

1ra posicion: 3 � � � �︸︷︷︸10.000

= 10.000 casos

2da posicion: �︸︷︷︸8

3 � � �︸︷︷︸1.000

= 8.000 casos

3ra posicion: �︸︷︷︸8

�︸︷︷︸9

3 � �︸︷︷︸100

= 7.200 casos

4ta posicion: �︸︷︷︸8

� �︸︷︷︸81

3 �︸︷︷︸10

= 6.480 casos

5ta posicion: �︸︷︷︸8

� � �︸︷︷︸729

3 = 5.832 casos

5d) Palındromos: 900 en total. Pueden contarse mediante elsiguiente esquema:

a︸︷︷︸9

b︸︷︷︸10

c︸︷︷︸10

b a = 900 casos.

7. Tendremos que en general m personas se pueden sentara una mesa circular de (m − 1)! formas distintas. Esto seobtiene fijando cualquiera de las personas como “cabecera” ycalculando las permutaciones de las m−1 personas restantes,las cuales son (m− 1)!.7a) De 5! (5 − 1)! = 2.880 formas distintas. Mas sencillo esexplicar el caso general que sigue.7b) Generalizacion al caso de n hombres y n mujeres: primerocolocamos n sillas iniciales en la mesa circular y procedemosa sentar a los n hombres, lo cual puede hacerse de (n − 1)!formas distintas. Luego, agregamos sillas intercaladas entrelos hombres. Fijamos la posicion de un hombre cualquiera enla mesa y procedemos a contar el numero de permutacionessimples de las n mujeres: hay n! en total. Cada una de estaspermutaciones simples de las mujeres se pueden intercalar enla disposicion circular de los hombres previamente estable-cida. Luego, habra en total n! (n − 1)! formas distintas desentar a los hombres y las mujeres en forma intercalada.


9. Numeros de matrıcula de automovil: 182.789.000 difer-entes numeros, los cuales los podemos contar con el siguienteesquema:

�︸︷︷︸26

# # # #︸︷︷︸10.000

= 260.000,

� �︸︷︷︸262

# # # #︸︷︷︸10.000

= 6.760.000,

� � �︸︷︷︸263

# # # #︸︷︷︸10.000

= 175.760.000.

En el diagrama anterior, � denota cualquier letra de las 26posibles, mientras que # denota cualquier dıgito, de los 10posibles.

11. Permutaciones de palabras, dejando las vocales en lasposiciones originales.11a) “matematica”: Prescindiendo de las vocales (las cualestienen posicion fija) tendremos 2“m”, 2“t”, 1“c”. Luego,habra

5!2! 2! 1!

= 30 permutaciones.

11b) “parabola”: Eliminando las vocales, tendremos 1“p”,1“r”, 1“b”, 1“l”. Luego, habra

4!1! 1! 1! 1!

= 24 permutaciones.

11c) “ingrediente”: Esta vez al eliminar las vocales nosqueda 2“n”, 1“g”, 1“r”, 1“d”, 1“t”. Luego, habra

6!2! 1! 1! 1! 1!

= 360 permutaciones.

11d) “parangaricutirimicuaro”: Eliminando las vocales,esta vez tendremos 1“p”, 4“r”, 1“n”, 1“g”, 2“c”, 1“m”.Luego, habra

10!1! 4! 1! 1! 2! 1!

= 75.600 permutaciones.


13. Numeros distintos de 4 cifras divisibles por 4 con losdıgitos 1, 2, 3, 4, 5. Usando solo esas cifras, tendremos que losunicos numeros divisibles por 4 seran aquellos que terminenen 12, 24, 32, 44 y 52. Luego, la cantidad total buscada es:

� �︸︷︷︸5×5

� �︸︷︷︸5

= 125 numeros.

15. Es mas facil calcular el porcentaje de los casos del torneoen que NO se habra determinado un ganador absoluto. Estoocurrira cuando cada uno de los jueces nombre de primero aun gimnasta distinto al nombrado por sus otros colegas. Elprimer juez tiene 10 posibilidades de seleccion de su nomi-nado, el segundo juez tendra entonces solo 9 posibilidades deseleccion el tercer juez tendra por tanto solo 8 posibilidadesde seleccion, para un total de 10 × 9 × 8 = 720 formas dis-tintas en las cuales no habra un ganador absoluto. Comoen total hay 10 × 10 × 10 = 1.000 maneras distintas en quelos jueces pueden designar al primer nominado (sin restric-ciones), entonces el numero de casos en los cuales habra unganador absoluto es 1.000− 720 = 280, para una proporcionde 100× 280/1.000 = 28% de los casos del torneo.

17. El conteo de collares y brazaletes pertenece al difıciltema de las permutaciones circulares con repeticiones, temapara el cual no hemos estudiado ninguna formula en la teorıa,pues la misma —como veremos— se escapa a los objetivos dela presente monografıa. Aclaramos que cuando hablamos decollares y brazaletes estamos considerando las permutacionescirculares simples con repeticiones, tomando en consideracionlas simetrıas que se producen al “darle vuelta” al collar obrazalete. Este ejemplo ilustrara las dificultades.

17a) Cuando se trata de 5 cuentas iguales y 2 de mayor di-mension, el problema puede ser resuelto facilmente por enu-meracion de casos: solamente habra tres 3 brazaletes circu-


lares diferentes, los cuales son:

B B a a a a a , B a B a a a a , B a a B a a a.

Aquı “a” representa una de las 5 cuentas pequenas y “B”representa a una de las 2 cuentas grandes. Es inmediatocorroborar que cualquier otro diseno es semejante a alguno delos tres disenos basicos anteriores. Por ejemplo, el brazalete“B a a a B a a” es semejante al ultimo de la lista de arriba,en virtud de la circularidad.17b. Generalizacion: cuando tenemos n cuentas de un tipoy m de otro tipo, el problema se complica enormemente. Enefecto, la solucion viene dada por la formula

1n+m

∑d

φ(d) · ((n+m)/d)!(n/d)! (m/d)!

,

donde d recorre los divisores del maximo comun divisor den y m y φ(d) es la funcion de Euler1: el numero de primosrelativos de d entre la lista 0, 1, 2, . . . , d−1. En el caso en quen y m sean primos relativos (pero solo en ese caso) la formulaanterior simplifica, pues solamente tendra un sumando, yqueda 1

n+m(n+m)!n! m! . Por ejemplo, en el caso n = 3 y m = 3,

obtenemos que el numero de brazaletes diferentes sera

16

[φ(1)

6!3! 3!

+ φ(3)(6/3)!

(3/3)! (3/3)!

]=

16

(1 · 20 + 2 · 2) = 4.

Los 4 brazaletes son, en este caso:

a a a B B B, a a B a B B, a a B B a B, a B a B a B.

1La funcion φ de Euler esta caracterizada por las siguientespropiedades:

• Esta definida para todo entero positivo.

• Si p es primo, entonces φ(p) = p − 1 y φ(pk) = pk − pk−1.

• φ es una funcion multiplicativa: φ(a · b) = φ(a) ·φ(b), si a y b sonprimos relativos.


19. En este problema los m libros encuadernados en ne-gros son indistinguibles entre sı, interesando unicamente suposicion relativa con respecto a los n libros encuadernadosen rojo.19a) Permutaciones en las cuales los primeros m lugares sonlibros encuadernados en negro: n!. Cualquier posicion inicialde los m libros encuadernados en negro es equivalente.19b) Permutaciones en las que los m libros negros quedanjuntos: podemos contarlas mediante el siguiente esquema:

n · · ·n︸︷︷︸negros

� · · ·�︸︷︷︸n rojos

= n! permutaciones

�︸︷︷︸rojo


� · · ·�︸︷︷︸n−1 rojos

= n! permutaciones

......

� · · ·�︸︷︷︸n rojos


= n! permutaciones

para un total de (n+ 1)n! = (n+ 1)! permutaciones.

21. ¡Otro problema de brazaletes! La formula general parala cantidad de brazaletes de n cuentas, donde n1 cuentas sonde tipo 1, n2 cuentas son de tipo 2, . . . , nr cuentas son detipo r, es sumamente compleja de obtener pues involucra ala funcion φ de Euler. Esta formula es:

1n

∑d

φ(d)(n/d)!

(n1/d)! (n2/d)! · · · (nr/d)!,

donde d recorre a los divisores del maximo comun divisor den1, n2, . . . , nr y φ es la funcion de Euler (ver el ejercicio 17).En este caso tendremos n = 18, n1 = 5, n2 = 6, n3 = 7,que son primos relativos entre sı, de manera que la formulaanterior simplifica a un unico sumando: el numero total debrazaletes sera igual a

118· φ(1) · 18!

5! 6! 7!= 816.816.


23. Premios de la Olimpıada: son 20 personas compitiendoy los premios son 3 ejemplares del libro A, 2 ejemplares dellibro B y 1 ejemplar del libro C.

23a) Bajo el supuesto que a nadie le otorguen 2 premios degolpe, tendremos el siguiente esquema de posibilidades deentrega de los premios:

1er libro A: = 20 posibilidades2do libro A: = 19 posibilidades3er libro A: = 18 posibilidades1er libro B: = 17 posibilidades2do libro B: = 16 posibilidades1er libro C: = 15 posibilidades

Total: = [20]6 = 27.907.200 posibilidades.

23b) Bajo el supuesto que a nadie se le otorguen 2 ejem-plares de un mismo libro, tendremos el siguiente esquema deposibilidades de entrega de los premios:

1er libro A: = 20 posibilidades2do libro A: = 19 posibilidades3er libro A: = 18 posibilidades1er libro B: = 20 posibilidades2do libro B: = 19 posibilidades1er libro C: = 20 posibilidades

Total: = [20]3 · [20]2 · [20]1 = 51.984.000

25. Tendremos dos posibilidades de abordar el problema:

25a) Si permitimos ceros iniciales: en este caso el numeroformado por las tres primeras cifras tiene 1.000 posibilidadesdistintas de ser seleccionado (del 000 al 999), y para la se-leccion i-esima el numero formado por las tres ultimas cifrastendra entonces 999− i posibilidades de ser seleccionado (del000 al 999 − i). Luego, tendremos un total de posibilidades


de seleccion igual a

999∑i=0

(999− i) =999× 1.000

2= 499.500.

25b) Si no permitimos los ceros iniciales: en este caso elnumero formado por las tres primeras cifras tiene solamente900 posibilidades distintas de ser seleccionado (del 100 al999), y para la seleccion i-esima el numero formado por lastres ultimas cifras tendra entonces 999 − i posibilidades deseleccion, para un total de posibilidades igual a

999∑i=100

(999− i) = 404.550.


27. Tablero de ajedrez.

27a) Numero de selecciones de dos casillas del tablero, unablanca y una negra: 32 × 32 = 1.024. Lo anterior si nointeresa el orden. Si interesa el orden, la respuesta es 2! ×32× 32 = 2.048.

27b) Numero de selecciones de dos casillas del tablero, sinlimitaciones: (64

2 ) = 2.016. Lo anterior si no interesa el or-den. Si interesa el orden, la respuesta serıa 64× 63 = 4.032.

29. Palabras de genero masculino (12), femenino (9) y neutro(10). No interesa el orden dentro de las selecciones.

29a) Eleccion de una de cada genero: 12 × 9 × 10 = 1.080formas.

29a) Generalizacion: mfn formas.

31. Numero de maneras de formar 6 palabras a partir de 26letras diferentes.


31a) Si en el conjunto de las 6 palabras, cada letra se utilizasolo una vez. Comenzamos eligiendo la primera letra de cadapalabra, lo cual puede hacerse de [26]6 = 26× 25× 24× 23×22× 21 formas diferentes. Nos quedan 20 letras disponibles.Seleccionamos entre ellas las k letras que del todo no se em-plearan, con 0 ≤ k ≤ 20. Para cada valor de k esto puedehacerse de (20

k ) formas distintas. Quedan 20 − k letras dis-tintas, a distribuir en las 6 “cajas ordenadas” (palabras), locual puede hacerse de [6]20−k = (25−k)!/5! formas distintas.Luego, la solucion sera

[26]6 ·20∑

k=0

(20k

)· [6]20−k ≈ 0, 47× 1032.

31b) Generalizacion: cuando tenemos n (en vez de 26) letrasy se requiere formar m palabras (en vez de 6), la solucionsera:

[n]m ·n−m∑k=0

(n−mk

)· [m]n−m−k.

El autor ignora si esta ultima expresion admite una simplifi-cacion.

33. Al principio los 12 libros son indistinguibles entre sı:tan solo nos interesa de que color quedaran encuadernados.Encuadernamos 1 libro en marron, 1 en rojo y 1 en verde(cualesquiera de ellos). Nos quedan 9 libros, que podemosencuadernar en cualquier color. Luego, si denotamos por x1,x2 y x3 la cantidad final de libros encuadernados en marron,rojo y verde, andamos buscando el numero de soluciones en-teras no-negativas de la ecuacion

x1 + x2 + x3 = 9,

que de acuerdo a la teorıa es igual a (3+9−19 ) = (11

9 ) = 55.


35. Una baraja de naipes.

35a) Selecciones de una carta de cada palo: hay 134 = 28.561.

35b) Selecciones de una carta de cada palo, sin que hayaningun par igual: [13]4 = 13× 12× 11× 10 = 17.160.

37. Baraja de naipes.

37a) Extracciones de 10 cartas en las cuales habra al menos1 as: (52

10) − (4810) = 9.279.308.324. Al total le restamos las

extracciones en las cuales no hay ases.

37b) Extracciones de 10 cartas en las cuales habra al exacta-mente 1 as: 4× (48

9 ) = 6.708.426.560.

37c) Extracciones de 10 cartas en las cuales habra al menos2 ases: (4

2) (508 ) = 3.221.271.900. El factor (4

2) cuenta lasselecciones de los 2 ases, mientras que el otro factor cuentalas selecciones de las 8 cartas restantes.

37d) Extracciones de 10 cartas en las cuales habra exacta-mente 2 ases: (4

2) (488 ) = 2.264.093.964.

39. Numero de soluciones enteras de x1 + · · · + xn = m enlas cuales xi ≥ −3, para todo i: de acuerdo a la formula delteorema 10, tendremos un total de

(n+m+

n veces︷︸︸︷3 + 3 + · · ·+ 3−1n− 1

)=

(4n+m− 1n− 1

)soluciones.

41. Manzanas y peras. La respuesta al problema es

5!2! 3!

= 10 formas.

Esta cantidad coincide con el numero de permutaciones de lasletras de la palabra MMPPP , donde “M” indica manzanay “P” indica pera.


43. Club deportivo con 30 miembros.43a) Maneras de seleccionar un equipo de 4 personas: (30

4 ) =164.430. Aquı no interesa el orden entre las personas.43b) Maneras de seleccionar un equipo de 4 personas, paraparticipar en la carrera de relevos 100 + 200 + 400 + 800:ahora interesa cual persona corre cual distancia, de formaque la solucion es [30]4 = 30× 29× 28× 27 = 657.720.

45. Grupo de 7 hombres y 4 mujeres.45a) Selecciones de 6 personas, entre ellas al menos 2 mujeres:(42) (7

4) + (43) (7

3) + (44) (7

2) = 371 selecciones.45b) Generalizacion: en el caso en que hay H hombres, Mmujeres, y hay que seleccionar p personas, de las cuales almenos h de ellas deben ser hombres y m mujeres, con h+m ≤p ≤ H + M . La solucion es (M

m )( Hp−m) + ( M

m+1)( Hp−m−1) +

· · ·+ ( Mp−h)(H

h ) selecciones.

47. Baile entre 7 mujeres y 10 hombres.47a) Variantes en las cuales las 7 mujeres participan, con unacompanante masculino diferente: [10]7 = 604.800.47b) Mismo asunto que en a), pero tomando en cuenta cualeshombres quedaron sin bailar: (10

3 ) = (107 ) = 120.

47c) Mismo asunto que en 47a), pero si se sabe con certezaque 2 hombres determinados siempre seran sacados a bailar:[7]2 × [8]5 = 282.240.47c) Mismo asunto que en 47b), pero si se sabe con certezaque 2 hombres determinados siempre seran sacados a bailar:(83) = (8

5) = 56.

49. Fiesta escolar con 12 ninos y 15 ninas.49a) Selecciones de 4 parejas para un baile: (12

4 ) (154 ) =

675.675.49b) Generalizacion: cuando hay n ninos, m ninas y se debenseleccionar k ≤ min{n,m} para un baile: (n

k ) (mk ).


51. Division de m+ n+ p objetos distinguibles en 3 gruposcon m, n y p objetos en cada grupo, sin distinguir el ordenentre los grupos:(

m+ n+ p

m

) (n+ p

n

)maneras.

53. Tenemos n primos distintos p1, . . . , pn. Sea q = pα11 ·

pα22 · · · pαn

n , con αi ∈ N.

53a) Numero de divisores de q. Primero observamos que lacantidad de divisores de cada primo pi son 2, mientras que lacantidad de divisores de pαi

i son αi +1. Ademas, la cantidadde divisores de pi·pj (i 6= j) son (αi+1)·(αj+1). Por lo tanto,la cantidad de divisores de q es (α1 +1) · (α2 +1) · · · (αn +1).

53b) Suma de los divisores de q. Claramente esta suma esigual a∑

d|q

d =∑

0≤βi≤αi

pβ11 · p

β22 · · · pβn

n

= (1 + p1 + p21 + · · ·+ pα1

1 ) · · · (1 + pn + p2n + · · ·+ pαn

n ).

55. Selecciones de 12 personas de entre 17.

55a) Si dos personas dadas de estas 17 no pueden ser selec-cionadas juntas: (17

12) − (1510) = 3.185 selecciones (al total de

selecciones le restamos aquellas en las cuales los fulanos seencuentran juntos).

55b) Generalizacion: en el caso de seleccionar n personasde entre N , con la restriccion que k personas especıficas nopueden ser seleccionadas juntas, la solucion es (N

n )− (N−kn−k ).

57. El problema del bote: hay 31 candidatos, de los cuales10 se pueden sentar en el costado izquierdo, 12 en el costadoderecho y 9 en cualquiera de los costados. Hay que seleccionar4 de ellos para cada uno de los costados del bote. En total


habra

4∑k=0

4∑i=0

(9k

)(12

4− k

)(9− ki

)(10

4− i

)= 15.638.850

selecciones distintas: primero seleccionamos los k indiferentesque iran en el costado derecho (0 ≤ k ≤ 4). Esto puedehacerse de ( 9

k ) formas distintas. Para cada seleccion anterior,tendremos que completar la tripulacion de la parte derechacon 4−k personas de las 12 disponibles, lo cual puede hacersede ( 12

4−k ) formas. El resto es completamente analogo y norequiere explicacion.

59. El coro con 10 participantes.

59a) Selecciones de 6 participantes durante tres dıas, de man-era que cada dıa el coro tenga distinta composicion: (10

6 ) ×[(10

6 )− 1]× [(106 )− 2] = [(10

6 )]3 = 9.129.120.

59b) Generalizacion: en el caso en que tenemos N partic-ipantes y son seleccionados n de ellos durante tres dıas, lasolucion sera [(N

n )]3.

61. Palabras de 5 letras que se puede formar a partir de 26letras distintas.

61a) Si se admiten repeticiones de letras, pero no las repeti-ciones contiguas: 26 × 25 × 25 × 25 × 25 = 26 × 254 =10.156.250.

61b) Generalizacion: mismo asunto, si ahora tenemos N le-tras distintas y las palabras son de n letras: N(N − 1)n−1.

63. Grupo de 10 parejas de casados, a dividir en 5 gruposde 4 personas para un paseo en botes.

63a) Numero de casos en los cuales un hombre quedara enel mismo bote que su esposa: (9

2)(92)(7

2)(72)(5

2)(52)(3

2)(32) =

514.382.400.


63b) Numero de casos en los cuales dos hombres quedaran enun solo bote junto con sus esposas: (10

2 )(82)(8

2)(62)(6

2)(42)(4

2) =285.768.000. En este caso, el primer factor (10

2 ) es el numerode maneras de seleccionar las 2 parejas que viajaran juntasen un bote. El factor (8

2)(82) es el numero de maneras de

seleccionar la tripulacion del segundo bote: 2 hombres delos 8 restantes y 2 mujeres de las 8 restantes. El resto esanalogo.


65. Distribuimos inicialmente 1 bola en cada urna. Quedaranm − n bolas, a distribuir en las n urnas. Esto es, andamosbuscando el numero de soluciones enteras de la ecuacion

x1 + x2 + · · ·+ xn = m− n,

con xi ≥ 0, ∀i ∈ {1, . . . , n}. De acuerdo a la teorıa, lasolucion es (

n+ (m− n)− 1m− n

)=

(m− 1m− n

).


k=3(k − 2)(k − 1)k. Utilizamos laidentidad (k − 2)(k − 1)k = 3! (k

3 ), y la formula del ejercicio66f, para obtener:

n∑k=3

(k − 2)(k − 1)k = 3!n∑

k=3

(k

3

)

=n−3∑k=0

(3 + k

3

)= 3!

(n+ 1

4

)=

6(n+ 1)(n)(n− 1)(n− 2)4!

=n(n+ 1)(n− 1)(n− 2)

4.


69. Los casos n < k y n = k son triviales y se dejan al lector.Veamos el caso n > k. En virtud de que la sucesion (m

k )m∈Nes estrictamente creciente, entonces existe un unico m ∈ Ntal que (

m

k

)< n ≤

(m+ 1k

)− 1. (9.1)

Luego, al aplicar la identidad indicada, tendremos la sigu-iente desigualdad:

n ≤(m

k

)+

(m− 1k − 1

)+ · · ·+

(m− k + 1

1

).

Si la desigualdad anterior fuese una igualdad, obtendrıamosde inmediato el resultado deseado. En caso contrario, escrib-amos mk = m y consideremos ahora el numero

n2 = n−(m

k

).

Tendremos que, en virtud de (9.1) y de la identidad indicada:

0 < n2 <

(m− 1k − 1

)+ · · ·+

(m− k + 1

1

)=

(m

k − 1

)− 1.

Aplicamos el mismo procedimiento, ahora empleando k − 1en vez de k, hallando el unico valor de m′ ∈ N tal que(

m′

k − 1

)< n2 ≤

(m′ + 1k − 1

)− 1.

Claramente m′ < m. Definimos mk−1 = m′. El lectorno tendra dificultad para continuar con este procedimiento,obteniendo finalmente que

n =(mk

k

)+

(mk−1

k − 1

)+ · · ·+

(m2

2

)+

(m1

1

),

con mk > mk−1 > · · · > m2 > m1 ≥ 0. Para demostrar launicidad de esta representacion, basta darse dos posibles rep-resentaciones de este tipo y demostrar que coinciden terminoa termino, lo cual tambien se deja al lector.


Veamos un ejemplo: k = 4, n = 823.Etapa 1: Hallamos el unico valor de m ∈ N para el cual(m

4 ) < 823 ≤ (m+14 )− 1. La solucion en este caso es m = 13

y la desigualdad es estricta:

715 =(

134

)< 823 <

(144

)− 1 = 1000.

Luego, ponemos m4 = 13.Etapa 2: Restamos: n2 = 823 − (13

4 ) = 108 y repetimosel proceso, esta vez empleando k = 3. Esto es, hallamos elunico valor de m ∈ N para el cual (m

3 ) < 108 ≤ (m+13 ) − 1.

La solucion esta vez es m = 9, pues

84 =(

93

)< 108 <

(103

)− 1 = 119.

Luego, ponemos m3 = 9.Etapa 3: Restamos: n3 = 108 − (9

3) = 24 y repetimos elproceso, esta vez con k = 2. Esto es, hallamos el unico valorde m ∈ N para el cual tenemos que (m

2 ) < 24 ≤ (m+12 ) − 1.

La solucion esta vez es m = 7, pues

21 =(

72

)< 24 <

(82

)− 1 = 27.

Luego, ponemos m2 = 7.Etapa 4 (ultima): Restamos: n4 = 24− (7

2) = 3. Este serael valor de m1: m1 = 3. Luego, hemos obtenido finalmenteque

823 =(

134

)+

(93

)+

(72

)+

(31

)= 715 + 84 + 21 + 3.

71. Demuestre que (n1 ) + 6 (n

2 ) + 6 (n3 ) = n3. Escribimos:(

n

1

)= n,

(n

2

)=n(n− 1)

2,

(n

3

)=n(n− 1)(n− 2)

6.

Se suma y simplifica.


73. Utilizamos la formula del ejercicio 66a y el binomio deNewton, para obtener:

n∑k=0

(k + 1)(n

k

)=

n∑k=0

k

(n

k

)+

n∑k=0

(n

k

)= n 2n−1 + 2n = (n+ 2) 2n−1.

75. La formula del ejercicio 64 establece que(n

n

)+

(n+ 1n

)+ · · ·+

(n+m

n

)=

(n+m+ 1n+ 1

).

Luego, si r + 1 ≤ m, obtenemos:

n∑k=m

(k

r

)=

(m

r

)+

(m+ 1r

)+ · · ·+

(n

r

)=

(r

r

)+

(r + 1r

)+ · · ·+

(m

r

)+ · · ·+

(n

r

)−

(r

r

)− · · · −

(m− 1r

)=

(n+ 1r + 1

)−

(m

r + 1

).

Por otra parte, si r + 1 > m la suma original queda como(r

r

)+ · · ·+

(n

r

)=

(n+ 1r + 1

),

mientras el factor ( mr+1) es nulo.

77. Empleamos induccion sobre n ∈ N∗.

Caso n = 1: Aquı la parte izquierda de la formula nos da[m]m, mientras que la parte derecha nos da [m+1]m+1/(m+1). Claramente ambos factores son iguales.


Hipotesis de induccion: Supongamos que la formula valepara algun valor n = k ∈ N, esto es,

[m]m + · · ·+ [m+ k − 1]m =[m+ k]m+1

m+ 1.

Paso inductivo: Veamos que la formula tambien vale paran = k + 1. En efecto, tendremos

S = [m]m + · · ·+ [m+ k − 1]m + [m+ k]m

=[m+ k]m+1

m+ 1+ [m+ k]m

=k [m+ n]mm+ 1

+ [m+ k]m

= [m+ k]m

(k

m+ 1+ 1

)= [m+ k]m

m+ k + 1m+ 1

=[m+ k + 1]m+1

m+ 1,

que es lo que debıa dar la formula.

79. Hallar el valor de k que maximiza las cantidades.

79a) maxk{(nk )}: Escribamos xk = (n

k ). Calculemos el co-ciente xk+1/xk:

xk+1

xk=

(n

k+1

)(

nk

) =n! k! (n− k)!

(k + 1)! (n− k − 1)!n!=n− kk + 1

.

Luego, vemos que xk+1/xk ≥ 1 sı y solo si n − k ≥ k +1. Resolviendo para k, obtenemos que la sucesion (xk) escreciente sı y solo si k ≤ (n + 1)/2. Por lo tanto, el valormaximo de (n

k ) se obtiene cuando k = n/2, si n es par, ocuando k = (n− 1)/2 y k = (n+ 1)/2, cuando n es impar.


79b) maxk{(2n+kn )(2n−k

n )}. Escribamos yk = (2n+kn )(2n−k

n ).Calculemos el cociente yk/yk+1:

yk

yk+1=

(2n+k

n

)(2n−k

n

)(

2n+k+1n

)(2n−k−1

n

)=

(2n+ k)! (2n− k)!n! (n+ k + 1)!n! (n− k − 1)!n! (n+ k)!n! (n− k)! (2n+ k + 1)! (2n− k − 1)!

=(2n− k)(n+ k + 1)(2n+ k + 1)(n− k)

=2n2 − k2 − k + nk + 2n2n2 − k2 − k − nk + n

> 1,

para todo k ∈ {0, 1, . . . , n}. Luego, la sucesion (yk) es estric-tamente decreciente, alcanzando por lo tanto el valor maximocuando k = 0, esto es, maxk{(2n+k

n )(2n−kn )} = (2n

n )(2nn ).

81. Para n ≥ 2 sean

R = 1(n

1

)+ 3

(n

3

)+ 5

(n

5

)+ · · ·

S = 2(n

2

)+ 4

(n

4

)+ 6

(n

6

)+ · · ·

De las formulas de los ejercicios 66a y 66b, tendremos en-tonces

R+ S = 1(n

1

)+ 2

(n

2

)+ · · ·n

(n

n

)= n 2n−1,

R− S =n∑

k=0

(−1)kk

(n

k

)= 0.

Luego, R = S = 12n 2n−1 = n 2n−2.

83. Tenemos quen∑

k=0

(2n)!{ k! (n− k)! }2

=n∑

k=0

(2n)!(n!)2

(n!)2

{ k! (n− k)! }2


=(2n)!n!n!

n∑k=0

(n

k

)2

=(

2nn

) n∑k=0

(n

k

)2

=(

2nn

)·(

2nn

),

donde la ultima igualdad proviene de la formula del ejercicio66(d).

85. Emplearemos la identidad (−nm ) = (−1)m(n+m−1

m ).

85a) Aquı tendremos:

(−1)n

(−nk − 1

)= (−1)n(−1)k−1

(n+ k − 2k − 1

)= (−1)k(−1)n−1

(n+ k − 2n− 1

)= (−1)k

(−kn− 1

).

85b) Aquı tendremos:

(−1)n

(− 1

2

n

)22n = (−1)n22n (−1

2 )(−32 ) · · · (−(2n−1)

2 )n!

= (−1)n2n(−1)n 1 · 3 · · · (2n− 1)n!

· 2 · · · 2n2 · · · 2n

=2n (2n)!n!n! 2n

=(

2nn

).

85c) Aquı tendremos:

(−1)n

( 12

n

)22n = (−1)n 22n

12 ·

−12 ·

−32 · · ·

−(2n−3)2

n!

=(−1)2n−122n

2n

1 · 3 · · · (2n− 3)n!

2 · · · (2n− 2)2 · · · (2n− 2)


=−2n (2n− 2)!n! 2n−1(n− 1)!

=−2n

(2n− 2)!(n− 1)! (n− 1)!

=−2n

(2n− 2n− 1

).

85d) Tendremos:m∑

k=0

[m]k[n]k

=m∑

k=0

m(m− 1) · · · (m− k + 1)n(n− 1) · · · (n− k + 1)

(m− k)!(n− k)!

(n− k)!(m− k)!

=m∑

k=0

m!n!

(n− k)!(m− k)!

=m!(n−m)!

n!

m∑k=0

(n− k)!(m− k)! (n−m)!

=1

( nm )

m∑k=0

(n− kn−m

).

Ahora, aplicando la formula del ejercicio 66(f) con r = n−m,obtenemos una simplificacion de la ultima suma:

1( n

m)

m∑k=0

(n− kn−m

)=

1( n

m)

m∑k=0

(n− km− k

)

=1

( nm)

n−(n−m)∑i=0

(n−m+ i

i

)=

1( n

m)

(n+ 1

n−m+ 1

)=

(n+ 1)!m! (n−m)!(n−m+ 1)!m!n!

=n+ 1

n−m+ 1.



87. Numero de maneras de distribuir n objetos distinguiblesen m cajas distinguibles, de manera que p cajas queden ocu-padas y m − p queden vacıas. Primeramente seleccionamoslas p cajas que no quedan vacıas. Esto puede hacerse de(m

p ) maneras distintas. Para cada una de estas selecciones,debemos distribuir los n objetos ocupando cada una de las pcajas, lo cual puede hacerse de tantas formas como funcionessobreyectivas hay entre un conjunto de n elementos y otro dep elementos, esto es, de p!S p

n formas. Luego, la solucion denuestro problema es:(

m

p

)p!S p

n =m(m− 1) · · · (m− p+ 1)

p!p!S p

n = [m]p S pn .

88. Solamente brindamos la respuesta:

n!(1!)λ1(2!)λ2 · · · (k!)λk (λ1!)(λ2!) · · · (λk!)

.

89. Sobre los numeros de Lah L kn :

89a) Vamos a probar que∑n+1

k=1{−(n+ k)L kn −L k−1

n } [x]k =∑n+1k=1 L

kn+1 [x]k, de donde al comparar coeficientes se obtiene

la recurrencia buscada:

L kn+1 = (−n+ k)L k

n − L k−1n .

En efecto, sea

A =n+1∑k=1

{−(n+ k)L kn − L k−1

n } [x]k

= −nn+1∑k=1

L kn [x]k −

n+1∑k=1

k L kn [x]k −

n+1∑k=1

L k−1n [x]k

= −nn∑

k=1

L kn [x]k −

n∑k=1

k L kn [x]k −

n∑i=0

L in [x]i+1,


pues Ln+1n = 0. Ahora, en virtud que

∑nk=1 L

kn [x]k = [−x]n,

y dado que L 0n = 0 y que [x]i+1 = [x]i (x− i), obtenemos:

A = −n [−x]n −n∑

k=1

k L kn [x]k −

n∑i=0

L in [x]i (x− i)

= −n [−x]n − xn∑

i=0

L in [x]i

= (−x− n) [−x]n = [−x]n+1

=n+1∑k=1

L kn+1[x]k.

La verificacion de la tabla queda a cargo del lector.

89b) Primeramente vamos a demostrar que la relacion aducidaes valida. Recordemos el desarrollo binomial, valido para|t| < 1:

(1 + t)β =∞∑

n=0

(β

n

)tn.

Aplicandolo, tendremos por una parte:∞∑

n=0

[−x]ntn

n!=

∞∑n=0

(−xn

)tn = (1 + t)−x.

Por otra parte,∞∑

k=0

(x

k

) (−t

1 + t

)k

=(

1− t

1 + t

)x

= (1 + t)−x,

lo que demuestra la relacion. A continuacion vamos a de-mostrar que Lk(t) = 1

k! ( −t1+t)

k. Para ello, por una partetendremos

∞∑k=0

1k!

(−t

1 + t

)k

[x]k =∞∑

k=0

(x

k

)(−t

1 + t

)k

=∞∑

n=0

[−x]ntn

n!= S.


Por otra parte:∞∑

k=0

Lk(t) [x]k =∞∑

k=0

∞∑n=0

L kn

tn

n![x]k

=∞∑

n=0

( ∞∑k=0

L kn [x]k

)tn

n!

=∞∑

n=0

[−x]ntn

n!= S.

Comparando ambas expresiones, obtenemos

Lk(t) =1k!

(−t

1 + t

)k

.

Finalmente, para obtener una formula directa para los nu-meros de Lah, procedemos como sigue. Tenemos que

1k!

(−t

1 + t

)k

= Lk(t) =∞∑

n=0

L kn

tn

n!. (9.2)

Por otra parte, haciendo un desarrollo de (−t/(1+t))k, obten-emos:

1k!

(−t

1 + t

)k

=1k!

(−1)k tk (1 + t)−k

=1k!

(−1)k tk∞∑i=0

(−ki

)ti

=1k!

(−1)k tk∞∑i=0

(−1)i

(k + i− 1

i

)ti

=∞∑i=0

(−1)k+i

(k + i− 1

i

)tk+i 1

k!.

Haciendo el cambio de ındice n = k + i, obtenemos:

1k!

(−t

1 + t

)k

=∞∑

n=k

(−1)n

(n− 1n− k

)1k!tn


=∞∑

n=k

(−1)n

(n− 1k − 1

)n!k!tn

n!.

Comparando con la parte derecha de (9.2), deducimos que

L kn = (−1)n

(n− 1k − 1

)n!k!,

para n ≥ k. Queda al lector la verificacion de la recurrencia,a partir de esta formula directa.

91. Identidad∑b

j=a jn =

∑nm=1 S

mn {[b+1]n+1−[a]n+1}/(m+

1), con a ≤ b ∈ Z y n ∈ N?.

b∑j=a

jn =b∑

j=a

( n∑m=1

Smn [j]m

)

=n∑

m=1

Smn

b∑j=a

[j]m

=n∑

m=1

Smn

[b+ 1]m+1 − [a]m+1

m+ 1.

La ultima igualdad se obtuvo de la identidad del ejercicio 90.


93. Enteros entre 1 y 6300 inclusive que no son divisibles por3, ni por 5 ni por 7. Tendremos que la cantidad de enterosdivisibles por 3 es igual a b6300/3c = 2100, mientras que losdivisibles por 5 son b6300/5c = 1260 y los divisibles por 7son b6300/7c = 900, y los divisibles simultaneamente por 3y 5 son b6300/(3× 5)c = 420 y ası sucesivamente.

Luego, la respuesta buscada es

6300 − b6300/3c − b6300/5c − b6300/7c


+ b6300/(3× 5)c+ b6300/(3× 7)c+ b6300/(5× 7)c− b6300/(3× 5× 7)c= 2880.

Carne

QuesoJamon

Empanadas13

10 9

6 325

1

25

Figura 9.1: Distribucion del tipo de sandwichs que llevaron alpaseo las 92 personas, en el Problema 95.

95. De los datos del problema y empleando la formula deinclusion-exclusion, obtenemos que la cantidad de personasque llevaron empanadas al paseo es igual a

Empanadas = 92 − 47− 38− 42+ 28 + 31 + 26− 25 = 25.

Esto a veces es mas facil visualizarlo mediante un simplediagrama de Venn, como se ilustra en la Figura 9.1.

97. Este tipo de problema es mas facil de analizar medianteun diagrama de Venn, como se ilustra en la Figura 9.2. Larespuesta a las preguntas es: (a) 0%: a ningun lector le gustasolamente el vino; (b) 30%: porcentaje de lectores que lesgusta exactamente dos de las tres bebidas.

99. En la Figura 9.3 se presentan los mapas esquematicos delas casas.


Vino

NaranjaTe

0%

10% 15%

10% 10%25%

10%

Figura 9.2: Bebidas que les gusta a los lectores de periodicos, deacuerdo al Problema 97.

99a) En la Casa 1 tenemos 4 habitaciones h1, h2, h3, h4 y 6puertas p1, p2, p3, p4, p5, p6. Consideremos las 6 propiedadesq1, . . . , q6 dadas por qi ↔ las habitaciones que se comunicanpor medio de la puerta pi son pintadas con el mismo color.Seguimos el mismo enfoque teorico expuesto en la seccionColoreando una casa (pagina 67). Luego, la cantidad de for-mas distintas de colorear la Casa 1 es igual a

N(q′1, q′2, q

′3, q

′4, q

′5, q

′6) = W (0)−W (1) +W (2)−W (3)

+W (4)−W (5) +W (6).

Las cantidades W (0), . . . , W (6) las calculamos como sigue:

1. W (0) = m4, pues en ausencia de restricciones cadahabitacion puede ser coloreada de m formas distintas.

2. W (1) = (61)m3 = 6m3, pues siempre una puerta cualquiera

pone en comunicacion a dos habitaciones.3. W (2) = (6

2)m2 = 15m2, pues siempre dos puertas cua-lesquiera ponen en comunicacion a tres habitaciones.

4. W (3) = 16m + 4m2. En efecto, de las (63) = 20 selec-

ciones de 3 puertas, hay 4 de ellas que ponen en comu-nicacion solamente a 3 habitaciones. Estas combina-ciones especiales son: p1p2p3, p1p5p6, p2p4p5, y p3p4p6.Las restantes 16 selecciones de 3 puertas ponen en co-municacion a las 4 habitaciones.


5. W (4) = (64)m = 15m, pues siempre 4 puertas comuni-

can todas las 4 habitaciones.6. W (5) = (6

5)m = 6m, pues siempre 5 puertas comuni-can todas las 4 habitaciones.

7. W (6) = m.

Luego, en total tendremos

N(q′1, q′2, q

′3, q

′4, q

′5, q

′6) = m4 − 6m3 + 11m2 − 6m

formas de colorear la Casa 1.

•h1

•h4

•h3

•h2

p1 p2

p3

��p6 HH

HH

p4

p5

Casa 1

•h1

•h2

•h3

•h6

•h5

•h4

p1 p2

p6

p5 p4

p3p7

@@

@@

@@

p8

Casa 2

Figura 9.3: Distribucion de habitaciones en el ejercicio 99.

99b) En la Casa 2 tenemos 6 habitaciones h1, . . . , h6 y 8puertas p1, . . . , p8. Consideramos las 8 propiedades q1, . . . ,q8 dadas por qi ↔ las habitaciones que se comunican pormedio de la puerta pi son pintadas con el mismo color. Luego,tendremos que la cantidad de formas distintas de colorear laCasa 2 es igual a

N(q′1, . . . , q′8) = W (0)−W (1) +W (2)−W (3) +W (4)

−W (5) +W (6)−W (7) +W (8).

Las cantidades W (0), . . . , W (8) son este caso:

1. W (0) = m6.2. W (1) = (8

1)m5 = 8m5.

3. W (2) = (82)m4 = 28m4.

4. W (3) = 2m4 + [(83)− 2]m3 = 2m4 + 54m3.


5. W (4) = 12m3 + [(84)− 12]m2 = 6m3 + 58m2.

6. W (5) = m3+49m2+[(85)−49−1]m = m3+49m2+6m.

7. W (6) = 4m2 + [(86)− 4]m = 4m2 + 24m.

8. W (7) = (87)m = 8m.

9. W (8) = m.

Luego,

N(q′1, . . . , q′8) = m6 − 8m5 + 26m4 − 49m3 + 13m2 + 11m.

101. Este problema es una generalizacion trivial al ejercicio93, pues en vez del numero 6300 ahora se escribe simplementeN y se esta tomando en consideracion el primo 2. Aplicandola formula de inclusion-exclusion obtenemos la respuesta: elnumero de enteros positivos menores e iguales a N que noson divisibles por los primos 2, 3, 5 y 7 es igual a

N −W (1) +W (2)−W (3) +W (4),

donde W (1) =∑bN/ic, W (2) =

∑bN/ijc, W (3) =

∑bN/ijkc,

W (4) =∑bN/ijklc. Finalmente, cuando N = 210n, el nume-

ro anterior se calcula facilmente, tomando en consideracionque

W (1) = b210n/2c+ b210n/3c+ b210n/5c+ b210n/7c = 247nW (2) = b210n/(2 · 3)c+ b210n/(2 · 5)c+ b210n/(2 · 7)c

+ b210n/(3 · 5)c+ b210n/(3 · 7)c+ b210n/(5 · 7)c = 101nW (3) = b210n/(2 · 3 · 5)c+ b210n/(2 · 3 · 7)c+ b210n/(2 · 5 · 7)c

+ b210n/(3 · 5 · 7)c = 17nW (4) = b210n/(2 · 3 · 5 · 7)c = n,

de donde la cantidad buscada es igual a

210n− 247n+ 101n− 17n+ n = 48n.


103. Primeramente observamos que si p es un numero primo,entonces φ(p) = p−1. En efecto, de la lista 0, 1, 2, . . . , p−1de p numeros, el unico que no es primo relativo con p es 0,pues es multiplo de p.

Una segunda observacion preliminar es que si p es unnumero primo y α ∈ N?, entonces φ(p) = pα − pα−1. Enefecto, si denotamos por N(p) la cantidad de numeros de lalista

0, 1, 2, . . . , pα − 1

que son multiplos de p, entonces tendremos queN(p) = pα−1.Estos multiplos de p son: 0, p, 2p, . . . , (p − 1)pα−1. Luego,tendremos que φ(pα) = pα − pα−1.

Ahora calculemos φ(pαqβ). Aplicando la formula de in-clusion-exclusion, tendremos que

φ(pαqβ) = N −N(p)−N(q) +N(p, q),

donde de nuevo N(p) denota la cantidad de multiplos de p,N(q) la cantidad de multiplos de q y N(p, q) la cantidad demultiplos de p y q simultaneamente. Aquı tendremos:

1. N es la cantidad de numeros en la lista 0, 1, 2, . . . ,pαqβ − 1. Luego, N = pαqβ.

2. N(p) = qβpα−1 es la cantidad de numeros de la listaanterior que son multiplos de p. Ellos son: 0, p, 2p, 3p,. . . , qβpα−1.

3. N(q) = pαqβ−1, por simetrıa.

4. N(p, q) = pα−1qβ−1 es la cantidad de multiplos de pqen la lista. Ellos son: 0, pq, 2pq, . . . , pα−1qβ−1pq,exceptuando el ultimo numero, el cual es igual a pαqβ.

Luego, se concluye que

φ(pαqβ) = pαqβ − pα−1qβ − pαqβ−1 + pα−1qβ−1

= (pα − pα−1) · (qβ − qβ−1)= φ(pα) · φ(qβ).


La generalizacion a mas de 2 primos es evidente. Escribiendon = pα1

1 · · · pαmm la factorizacion prima de n, tendremos:

φ(pα11 · · · p

αmm ) = N −N(p1)− · · ·N(pm)

+N(p1, p2) +N(p1, p3) + · · ·−N(p1, p2, p3)−N(p1, p2, p4)− · · ·

......

= φ(pα11 ) · · ·φ(pαm

m )= (pα1

1 − pα1−11 ) · · · (pαm

m − pαm−1m )

= (pα11 · · · p

αmm ) ·

(1− 1

p1

)· · ·

(1− 1

pm

),

que es lo que se debıa demostrar. La verificacion de la tablaqueda a cargo del lector.


105. Selecciones de k bolas de una urna con 3 bolas verdes,3 blancas, 3 azules y 3 doradas.La seleccion es sin reemplazo. En la funcion generadora or-dinaria F (t), el factor (1 + t+ t2 + t3) estara asociado con lacantidad de bolas rojas (u otro color especıfico) seleccionadas.Como son 4 colores, entonces la funcion generadora sera

F (t) = (1 + t+ t2 + t3)4,

y Ak sera el coeficiente de tk en esta funcion.

107. La funcion generadora ordinaria F (t) en este problemaes

F (t) = (1 + t+ t2 + t3 + t4)3.

El factor (1 + t + t2 + t3 + t4) se asocia a la cantidad deobjetos seleccionados de un mismo tipo especıfico. Andamosbuscando el coeficiente de t6 en F (t), el cual es igual a 19.


109. La funcion generadora ordinaria F (t) en este problemaes

F (t) = (1 + t2 + t4 + t6 + t8 + t10)2 (t3 + t4 + t5)3.

El primer factor (1+ t2 + t4 + t6 + t8 + t10)2 se asocia con lasdos primeras cajas, cada una de las cuales podra contener unnumero par de objetos que no exceda a 10. El segundo factor(t3 + t4 + t5)3 se asocia con las 3 cajas restantes, cada unade las cuales podra contener entre 3 y 5 objetos. Andamosbuscando el coeficiente Ak de tk en esta funcion. Los primeroscoeficientes Ak son los siguientes:

k 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20Ak 1 3 8 13 21 26 35 39 49 52 63 65

111. Numero de maneras de recolectas $15 de 20 personas.La funcion generadora ordinaria es

F (t) = (1 + t)19(1 + t+ t5)

= (1 + t+ t5)19∑

k=0

(19k

)tk.

El factor (1 + t)19 corresponde a cada una de las primeras19 personas que solo pueden dar $1 o nada, mientras queel factor (1 + t + t5) corresponde a la persona numero 20,que puede dar $5, $1, o nada. Andamos buscando el coefi-ciente de t15 en esta expresion, el cual es (19

15)+(1914)+(19

10) =4.163.488.284.384.

113. Distribuciones de 25 bolas identicas en 7 cajas distintas,si la primera caja puede contener a lo sumo 10 bolas y elresto de las cajas tiene capacidad ilimitada. Aquı la funciongeneradora ordinaria es

F (t) = (1 + t+ t2 + · · ·+ t10) (1 + t+ t2 + t3 · · ·)6


=1− t11

1− t1

(1− t)6= (1− t11) (1− t)−7

= (1− t11)∞∑

k=0

(−7k

)(−1)k tk

= (1− t11)∞∑

k=0

(k + 6k

)tk.

El numero buscado es el coeficiente de t25 en la anterior ex-presion, que por tanto es igual a (31

25)− (2014) = 697.521.

115. Funcion generadora exponencial del numero de man-eras de situar k personas en 3 cuartos diferentes.115 a) Con la restriccion que en cada cuarto quede al menosuna persona. Aquı tendremos que

E1(t) =(t+

t2

2!+t3

3!+ · · ·

)3= (et − 1)3.

115 b) Ahora cada cuarto debe quedar con un numero parde personas. Luego,

E2(t) =(1 +

t2

2!+t4

4!+ · · ·

)3= cosh3(t) =

(et + e−t

2

)3.

117. Cantidad de secuencias distintas de k dıgitos en base4, con un numero par de 0’s y un numero impar de 1’s. Aquıla funcion generadora exponencial (observese que interesa elorden dentro de las secuencias) es

E(t) =(

1 +t2

2!+t4

4!+ · · ·

)(t

1!+t3

3!+ · · ·

)(1 +

t

1!+t2

2!+ · · ·

)2

= cosh(t) senh(t) (et)2 =et + e−t

2et − e−t

2e2t =

e4t − 14

=14

∞∑k=1

4k tk

k!=

∞∑k=1

4k−1 tk

k!.

Para k > 0 el numero buscado es el coeficiente de tk/k! deesta expresion, que es igual a 4k−1.



119. Mostrar que el numero de particiones de n en trespartes es igual al numero de particiones de 2n en tres partesde tamano menor que n.Solucion: Sea A el conjunto de las particiones de n en trespartes y sea B el conjunto de las particiones de 2n en trespartes menores que n. Luego, podemos asociar de maneraunıvoca cada particion de A con otra de B, de la siguienteforma:

(a, b, c) ∈ A −→ (a+ b, a+ c, b+ c) ∈ B.

La particion original (a, b, c) ∈ A es tal que a+b+c = n, cona ≥ b ≥ c > 0; es asociada con la particion (a+b, a+c, b+c) ∈B. Observese que esta ultima particion de 2n tiene cadauna de sus partes menores que n: a + b < n, a + c < n yb+ c < n. Recıprocamente, cualquier particion (x, y, z) ∈ B,con x+y+z = 2n y n > x ≥ y ≥ z > 0 es asociada en formainversa con la siguiente particion de A:

(x, y, z) ∈ B −→(x+ y − z

2,x− y + z

2,−x+ y + z

2

)∈ A.

Lo anterior demuestra que existe una biyeccion entre A y B ypor lo tanto ambos conjuntos tienen la misma cardinalidad.

121. Mostrar que el numero de particiones de 2r+k en r+kpartes es el mismo, para cada k ∈ N.Solucion: Primeramente debe observarse que toda particionde 2r + k en r + k partes es de la forma

(λ1, λ2, . . . , λr, 1, . . . , 1︸︷︷︸k

),

donde λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λr ≥ 1,∑λi = 2r y la cantidad de

1’s finales es al menos k. Lo anterior debido a que la suma


de las partes debe dar 2r + k, cantidad que se sobrepasarıasi alguna de las k partes finales fuera superior a 1.

Luego, considere la asociacion

(λ1, . . . , λr, 1, . . . , 1)←→ (λ1, . . . , λr),

entre el conjunto de particiones de 2r+k en r+k partes y elconjunto de particiones de 2r en r partes. Claramente estaasociacion establece una biyeccion, demostrando que ambosconjuntos tienen la misma cardinalidad, independientementede k ∈ N.

123. Mostrar que el numero de particiones de r + k en kpartes es igual a:

123 a) El numero de particiones de r + (k+12 ) en k partes

desiguales. Solucion: Consideremos primero un ejemplo quearrojara luz sobre la situacion general. Estudiemos el con-junto A3

6+3 de las particiones de 6 + 3 en 3 partes, esto es,r = 6, k = 3. En la tabla siguiente se enumeran todas lasparticiones de este conjunto y en una segunda columna laparticion asociada dentro del conjunto B de las particionesde 6 + (4

2) en 3 partes desiguales, en cada caso.

Particion de A36+3 Particion asociada de B

7 + 1 + 1 −→ 9 + 2 + 16 + 2 + 1 −→ 8 + 3 + 15 + 2 + 2 −→ 7 + 3 + 25 + 3 + 1 −→ 7 + 4 + 14 + 3 + 2 −→ 6 + 4 + 24 + 4 + 1 −→ 6 + 5 + 13 + 3 + 3 −→ 5 + 4 + 3

En el ejemplo es claro que los conjuntos A36+3 y B tienen la

misma cardinalidad. En general, consideremos el conjuntoAk

r+k de las particiones de r + k en k partes, y el conjunto


B de las particiones de r + (k+12 ) en k partes desiguales.

Establecemos la siguiente biyeccion entre ambos conjuntos:

(λ1, . . . , λk−1, λk) −→ (λ1 + k − 1, . . . , λk−1 + 1, λk).

Aquı λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λk ≥ 1, con∑λi = r + k. Luego, la

suma de las partes de la particion de la derecha es

k∑i=1

λi + k − i = (r + k) +(k − 1)k

2= r +

(k + 1

2

),

y todas las partes son desiguales. Es obvio que se trata deun biyeccion entre ambos conjuntos, de forma que Ak

r+k y Btienen la misma cardinalidad.

123 b) El numero de particiones de r en partes de tamanomenor o igual a k. Solucion: Al igual que en (a), veamosprimero un ejemplo, el cual nos guiara hacia el caso general.Consideremos de nuevo el conjunto A3

6+3 de las particionesde 6 + 3 en 3 partes, esto es, r = 6, k = 3. En la primeracolumna de la tabla siguiente se enumeran todas las parti-ciones de este conjunto A3

6+3. En la segunda columna se resta1 a cada una de las partes de las particiones de la primeracolumna, obteniendo de esa forma una particion de 6 en 3o menos partes, ya que al restar 1 a cada una de las partesde la particion original podrıa obtenerse partes vacıas. Enla tercera columna se enumeran las conjugadas de las parti-ciones correspondientes a la segunda columna. Como puedeobservarse, se obtienen precisamente todas las particiones de6 en partes de tamano no mayor que 3.


Particiones Restando 1 Particion conjundade A3

6+3 a cada parte correspondiente

7 + 1 + 1 6 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 16 + 2 + 1 5 + 1 2 + 1 + 1 + 1 + 15 + 2 + 2 4 + 1 + 1 3 + 1 + 1 + 15 + 3 + 1 4 + 2 2 + 2 + 1 + 14 + 3 + 2 3 + 2 + 1 3 + 2 + 14 + 4 + 1 3 + 3 2 + 2 + 23 + 3 + 3 2 + 2 + 2 3 + 3

En general si Akr+k es el conjunto de las particiones de

r + k en k partes y B≤kr es el conjunto de las particiones

de r en k o menos partes, entonces podemos construir unabiyeccion entre ambos conjuntos de la siguiente forma:

(λ1, λ2, . . . , λk) ∈ Akr+k −→ (λ1−1, λ2−1, . . . , λk−1) ∈ B≤k

r ,

de donde ambos conjuntos tienen la misma cardinalidad. Fi-nalmente, las conjugadas de las particiones de B≤k

r son pre-cisamente las particiones de r en partes menores o iguales ak, estableciendose entonces el resultado.



125. Grupo de n mujeres y sus respectivos n esposos. . . ¿mı-nimo numero de personas que deben ser seleccionadas paragarantizar la seleccion de un matrimonio? Solucion: n + 1personas. En efecto, en el peor de los casos (cuando el numerode selecciones es mayor), por ejemplo, se deben seleccionar alas n mujeres y a 1 hombre.

127. Fiesta con 20 personas. Mostrar que siempre hay 2personas que tienen el mismo numero de amigos. Solucion:La solucion depende de la simetrıa de la relacion de amistad,esto es, si A es amigo de B, entonces tambien B es amigo deA. En efecto, para cada i ∈ {1, 2, . . . , 20}, sea ni el numerode amigos de la i-esima persona. Luego, 0 ≤ ni ≤ 19, paracada i ∈ {1, . . . , 20}. La unica forma que todos los ni seandistintos es que recorran los enteros 0, 1, . . . , 19 sin repeti-ciones. Pero esto es imposible, ya que de ser ası entoncesexistirıan dos personas i1 y i2 tales que i1 tiene 0 amigos(esto es, ni1 = 0) y i2 tiene 19 amigos (esto es, ni2 = 19),llegandose a una contradiccion, pues tendrıamos que i2 esamigo de i1 pero i1 no es amigo de i2.

128. Se trata del numero de Ramsey R3 introducido en laseccion 8.4. Vamos a demostrar que R3 = 6, esto es, encualquier fiesta de 6 o mas personas siempre habra un grupode 3 amigos mutuos o un grupo de 3 extranos mutuos.

Llamemos a una de las personas de la fiesta por A. En-tonces, separamos a las restantes personas de la fiesta en dosgrupos:

(a) Aquellos que conocen a A.

(b) Aquellos que no conocen a A.

Alguno de estos dos grupos contendra 3 o mas miembros,pues luego de separar a A quedan en la fiesta 5 o mas per-sonas. Supongamos, primeramente, que es el grupo (a) el que


contiene 3 o mas miembros. Si entre ellos hay dos personasse conocen, digamos B y C, entonces hemos encontrado ungrupo de tres amigos mutuos: A, B, C. Si por el contrario,en el grupo (a) no hay dos personas que se conozcan, entonceseste grupo estara conformado por 3 o mas extranos mutuos.

Finalmente, si es el grupo (b) el que contiene 3 o masmiembros, entonces hay dos posibilidades: si entre ellos haydos personas que no se conocen, digamos B y C, entonceshemos encontrado un grupo de tres personas que son extranosmutuos: A, B, C. Si por el contrario, en el grupo (b) nohay dos personas desconocidas, entonces este grupo estaraconformado por 3 o mas amigos mutuos.

Esto demuestra que R3 ≤ 6. Aun falta demostrar queR3 > 5, esto es, existe al menos una fiesta de 5 personas enla cual no hay 3 amigos mutuos o 3 extranos mutuos. Estolo ilustramos mediante la Figura 9.4.

t tt t

t

CCCCC�

�� Q

QQQ

��

1 2

3

4

5

Figura 9.4: Grafo que ilustra que R3 > 5, esto es, existe una fiestade 5 personas en el cual no hay 3 amigos mutuos ni 3 extranosmutuos. Las aristas representan la relacion de amistad.

129. Cualquier secuencia de nm+1 numeros distintos siem-pre contiene una subsecuencia creciente de n numeros o unasubsecuencia decreciente de m numeros. Solucion: Este esun difıcil problema resuelto por Erdos y Szekeres en 1935,quienes obtuvieron la siguiente demostracion elemental y el-egante.

Sean u1, u2, . . . , unm+1 los numeros distintos. Sea `−i el largo


de la mayor subsecuencia decreciente con primer termino ui ysea `+i el largo de la mayor subsecuencia creciente con primertermino ui. Suponga que la proposicion es falsa. Entonces,

ui −→ (`−i , `+i )

define una aplicacion de {u1, u2, . . . , unm+1} en el productocartesiano {1, 2, . . . ,m} × {1, 2, . . . , n}. Esta aplicacion esinyectiva, pues si i < j,

ui > uj ⇒ `−i > `−j ⇒ (`−i , `+i ) 6= (`−j , `

+j )

ui < uj ⇒ `+i > `+j ⇒ (`−i , `+i ) 6= (`−j , `

+j ).

Luego, Card {u1, . . . , unm+1} ≤ Card ( {1, . . . ,m} × {1, . . . , n}),llegandose a una contradiccion.

Hasta aquı la demostracion de Erdos-Szekeres. Termi-namos esta obra mencionando una especie de problema in-verso al planteado en el ejercicio 129, que pone en evidenciaque la cantidad nm + 1 del teorema de Erdos-Szekeres esmınima.

Problema: Mostrar que existe una secuencia u1, u2, . . . ,unm de numeros distintos tal que no contiene ninguna sub-secuencia creciente de largo n + 1 ni ninguna subsecuenciadecreciente de largo m+ 1.

Una elegante solucion comunicada al autor por Di Priscoy Gomez-Sanchez es la siguiente. Tomamos la secuencia delos primeros nm numeros naturales positivos:

1, 2, 3, 4, . . . , nm.

Separemos la anterior secuencia en n bloques, cada uno con-teniendo m numeros consecutivos:

1, 2, . . . ,m︸︷︷︸Bloque 1

| m+ 1, . . . , 2m︸︷︷︸Bloque 2

| · · · | (n− 1)m+ 1, . . . , nm︸︷︷︸Bloque n


Ahora, dentro de cada bloque invertimos el orden, obteniendoentonces la siguiente secuencia:

m, . . . , 2, 1︸︷︷︸Bloque 1

| 2m, . . . ,m+ 1︸︷︷︸Bloque 2

| · · · | nm, . . . , (n− 1)m+ 1︸︷︷︸Bloque n

Esta ultima secuencia de nm numeros no contiene ningunasubsecuencia decreciente de m + 1 o mas numeros, ni tam-poco contiene ninguna subsecuencia creciente de n+1 o masnumeros. En efecto, por construccion tendremos que cadabloque constituye una subsecuencia decreciente de exacta-mente m terminos, la cual no puede aumentarse con terminosde los proximos bloques. Asımismo, las unicas subsecuen-cias crecientes se obtienen seleccionando un termino de cadabloque, obteniendo un largo maximo para la subsecuencia den.

Por ejemplo, cuando n = 2 y m = 5, empezamos con losnumeros 1, 2, . . . , 10:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Formamos 2 bloques de 5 numeros consecutivos:

1, 2, 3, 4, 5︸︷︷︸Bloque 1

| 6, 7, 8, 9, 10︸︷︷︸Bloque 2

.

Dentro de cada bloque invertimos el orden:

5, 4, 3, 2, 1︸︷︷︸Bloque 1

| 10, 9, 8, 7, 6︸︷︷︸Bloque 2

.

Luego, la respuesta a nuestro problema cuando n = 2 y m =5 es

5, 4, 3, 2, 1, 10, 9, 8, 7, 6.

Una simple inspeccion nos lleva al convencimiento que noexiste una subsecuencia creciente de 3 terminos ni existe unasubsecuencia decreciente de 6 terminos.

Bibliografıa

1 Berge, Claude: Principles of Combinatorics. Edito-rial Academic Press, New York, 1971.

2 Erdos, Paul: On the combinatorial problems which Iwould most like to see solved . Revista Combinatorica,1, 25–42, 1981.

3 Erdos, P. & Szekeres, G.: A combinatorial problemin geometry . Revista Composito Math., 2, 463–470,1935.

4 Otergard, Patric: New Upper Bounds for the Foot-ball Pool Problem for 11 and 12 Matches, Revista Jour-nal of Combinatorial Theory, Series A, 67, 161–168,1994.

5 Petrovsek, M. & Wilf, H. & Zeilberger, D.:A = B, Addison Wesley, Reading, Massachusetts, 1996.

6 Piza, Eduardo: Apuntes de combinatoria. Materialdidactico preliminar para los cursos MA-918 Matematicafinita y MA-720 Probabilidades I, UCR, San Jose, 1992.

7 Riordan, John: An Introduction to CombinatorialAnalysis. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1958.

8 Rota, Gian-Carlo (editor): Studies in Combinatorics.The Mathematical Association of America, Boston, 1978.

9 Tucker, Alan: Applied Combinatorics. John Wiley& Sons, Inc., New York, 1980.

161

Indice analıtico

ajedrez, 29, 31problema de las torres,

70arreglos, 2

con repeticiones, 3de letras, 3de objetos en cajas orde-

nadas, 15, 17Auzout, 37n

Baker, 94nBarrow, 22nBell

E. T.: biografıa, 52numeros de, 52–57, 78recurrencia de, 54

Berge, Claude, xii, 161Bernoulli, 62, 92n

formula de, 64, 67J.: biografıa, 64numeros de, 62

Bertrand, 114nbinomio de Newton, xi, 2, 21,

35, 58Bocher, 53nbridge, 22, 24, 25Bromwich, 94n

cajas ordenadas, 15caminos entre ciudades, 9Carcavi, 37nCardan, 40n, 92ncardinalidad, 1Carr, G. S., 92n

Catalan, numeros de, 46Catedra Sadleirian, 89nCavalieri, 22n, 40nChebyshev, 114nclases de equivalencia, 112coeficientes

binomiales, 4n, 21, 35–46, 78

binomiales generalizados,41

multinomiales, 4, 4n, 22,23, 35, 42

Cole, 52ncoloraciones, 112combinaciones, 20–22, 25–26

con a lo sumo m repeti-ciones, 82

con repeticiones, 25, 78,105

con restricciones, 83, 86sin repeticiones, 21

composiciones, 104–106conjetura sobre los primos, 115conjuntos

finitos, 1potencia, 1, 36

Copley, 91nCourant, 55ncriba de inclusion-exclusion,

67

da Silva, formula de, 64, 67de la Valle Poussin, 114n

163

164 Indice analıtico

De Morgan, 91ndenumerantes, 103–104Desargues, 37ndesarreglos, 69desarrollo binomial, 41, 78Descartes, 39nDi Prisco, 158diagramas de Ferrars, 94–97Dirichlet, principio de los n

cajones de, 106distribuciones, 15–16, 23–24

con cajas vacıas, 48, 60,141

con restricciones, 42, 85–87

sin cajas vacıas, 48Dobinski, G., 56

enumeraciones de objetos, 81equivalencia, relaciones de, 53Erdos, 112–116, 158, 161

P.: biografıa, 112esquemas, 112Euclides, 37nEuler, 65n, 100, 116expansion binomial, 41

formulade Bernoulli, 64, 67de da Silva, 64, 67de inversion, 57–61de Stirling, 58de Sylvester, 64, 67

Faber, 114Fejer, 113nFermat, 22n, 40nFerrars, diagramas de, 94–97Football Pool Problem, 116–

118Forsyth, 94n

funcion Gamma, 80funciones

biyectivas, 3generadoras, 77–87, 98–

100, 103, 105, 106,118

inyectivas, 7numero total de, 6, 50sobreyectivas, 49, 59, 85

Galileo, 24nGassendi, 37nGauss, 93nGomez-Sanchez, 158Grace, 94ngrafos, teorıa de, 106grupos de permutaciones, 111–

112

Hadamard, 114nHardy, 93n, 100

G. H.: biografıa, 89Heidegger, 56nHobson, 89n, 94nHusserl, 56nHuygens, 24n, 39n

inclusion y exclusion, princi-pio de, 63–75

induccion matematica, xi, 35Ingham, 90ningleses, 10inversion, formulas de, 57–61

Jeans, J. H., 91n

Killian, 56Kummer, 93n

Lahnumeros de, 60–61, 141

Indice analıtico 165

recurrencia, 61Landau, 90nLarmor, 94nLeibniz, 22n, 39n, 64nLittlewood, 90n, 93nLovasz, 114

menage, numeros de, 71Mexico, 11Maclaurin, 48nMacMahon, 93nMaple, 104Mersenne, 37nMobius, 55nMontero, Bernardo, vMontmort, 69muestra

ordenada, 6sin remplazo, 7

multinomio de Newton, xi, 42Mussolini, 54nMydorge, 37nMylon, 37n

numerosde Bell, 52–57, 78de Bernoulli, 62de Catalan, 46de Lah, 60–61, 141de menage, 71de Ramsey, 110de soluciones enteras, 18–

20de Stirling

de primera especie, 7–9, 51, 59, 78

de segunda especie, 47–53, 58, 59

exponenciales, 52primos, 33, 74, 75, 115

primos relativos, 75Newton, 40n

binomio de, xi, 2, 21, 35,58

I.: biografıa, 21multinomio de, xi, 4, 42

Nicholson, 94n

Otergard, Patric, 161

poker, 22, 25Polya, teorema de, 111Pacioli, 40npalındromos, 10palabras

con letras distintas, 3, 4,7

con repeticiones, 6con restricciones, 34en orden creciente, 17–

18, 26palomar, principio del, 106Parangaricutirimıcuaro, 11particiones

auto-conjugadas, 95–97conjugadas, 95de un conjunto, 47–53de un entero, 89–101en partes desiguales, 96–

97en partes especıficas, 103en partes impares, 96–97ordenadas, 104

PascalB.: biografıa, 37triangulo de, 37–40

Pascaline, maquina calculadora,38n

permutaciones, 1–13, 78, 83–85

166 Indice analıtico

circulares, 10, 12con repeticiones, 3, 5con restricciones, 84de letras, 3–5, 7grupos de, 111–112sin repeticiones, 6

Petrovsek, M., 161Polya, 90nprincipio

de inclusion y exclusion,63–75

de induccion matematica,xi, 35

de los n cajones de Dirich-let, 106

del palomar, 106problema

de Erdos-Szekeres, 158de las torres, 70de los abrigos, 70de los reencuentros, 69

producto cartesiano, 1

Ramanujan, 90n, 100S. A.: biografıa, 92

Ramırez, Francisco, vRamsey

F. P.: biografıa, 107numeros de, 110, 156teorıa de, 106–109teorema de, 109

recurrencia#’s de Bell, 54#’s de Lah, 61#’s de Stirling

de primera especie, 8de segunda especie, 48,

51particiones de un entero,

92

reencuentros, problema de los,69

relaciones de equivalencia, 53Riesz, 90Riordan, John, 161Roberval, 22n, 37nRogosinski, W. W., 90nRota, 55, 161

G.-C.: biografıa, 54Ruffino, 92nRussell, 107n

Schickard, 38nSchwartz, 55nSelberg, 114nseleccion

con reemplazo, 5de objetos no consecutivos,

26–28sin reemplazo, 6

Steele, 55nStirling

#’s de primera especie,7–9, 51, 59, 78

#’s de segunda especie,47–53, 58, 59

formula de, 58J.: biografıa, 47polinomios de, 8

Sylvester, 91n, 103formula de, 64, 67

Szekeres, G., 158, 161

Taine, John, 53nTartaglia, 40n, 92nteorıa

de grafos, 106de Ramsey, 106–109

Titchmarsh, 90ntriangulo de Pascal, 37–40

Indice analıtico 167

Tschirnhaus, 39nTucker, Alan, 161

Wallis, 22n, 40nWatson, 94nWeintraub, 115Whitehead, 94n, 107nWhittaker, 94nWilf, H., 161Wolf, 115nWright, E. M., 90n

Young, 94n

Zeilberger, D., 161

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