Competencias disciplinares básicas - … · x Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y...

Emplea funciones polinomiales.

Competencias disciplinares básicas: x Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos,

algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

x Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. x Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con

modelos establecidos o situaciones reales. x Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o

variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

x Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

x Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

x Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Unidad de competencia: x Construye e interpreta modelos polinomiales aplicando las propiedades de las funciones polinomiales; para

representar situaciones y resolver problemas, teóricos o prácticos, de su vida cotidiana y escolar, que le permiten comprender y transformar su realidad.

x Contrasta los resultados obtenidos mediante la aplicación de modelos polinomiales, en el contexto de las situaciones reales o hipotéticas que describen.

x Interpreta tablas, gráficas, diagramas y textos con información relativa a funciones polinomiales.

Atributos a desarrollar en el bloque: 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. 5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez. 5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información. 6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad. 7.1 Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos. 8.1 Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. 8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 8.3. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

Tiempo asignado: 10 horas

EMPLEA FUNCIONES POLINOMIALES 164

Secuencia didáctica 1. Funciones polinomiales de grados cero, uno y dos.

�Inicio��

Desarrolla lo que se pide. 1. ¿Qué es un polinomio?, proporciona un ejemplo.

2. ¿Cómo se determina el grado de un polinomio?

3. Escribe un ejemplo de la ecuación de una recta en su forma pendiente-ordenada en el origen.

4. ¿Qué significa la pendiente de una recta?

5. ¿Cómo se calcula la pendiente de una recta?

Actividad: 1

BLOQUE 3 165

Evaluación Actividad: 1 Producto: Cuestionario. Puntaje:

Saberes Conceptual Procedimental Actitudinal

Reconoce las características de las funciones de grado cero, uno y dos.

Determina las características principales de las funciones de grado cero, uno y dos.

Muestra interés al realizar la actividad y mostrar sus conocimientos previos.

Autoevaluación C MC NC Calificación otorgada por el

docente

�

6. ¿Qué es la ordenada en el origen?

7. Escribe un ejemplo de una ecuación cuadrática.

8. ¿Cuál es la forma de una ecuación cuadrática?

9. ¿Qué es el vértice en una ecuación cuadrática?

10. ¿Cómo se obtiene el vértice de una ecuación cuadrática a partir de su forma general?

Actividad: 1 (continuación)


�Desarrollo Concepto de función polinomial de una variable. En el bloque 1 se introdujo a las funciones polinomiales, también llamadas funciones polinómicas; la regla de correspondencia que las distingue es: � � 01

22

3n3n

2n2n

1n1n

nn axaxa...xaxaxaxaxf ��

��

��

� , donde an, an-1,…, a1, a0 son constantes, n es un número no negativo y el grado de ella es n. Características de las funciones polinomiales. Es importante recordar que el grado de un polinomio está dado por el mayor exponente de la variable en el polinomio, independientemente del orden en el que estén los términos, como se muestra en las siguientes funciones:

1. � � 7xf es de grado cero, se le conoce como función constante.

2. � � 1x4xf � es de grado uno, también conocida como función lineal.

3. � � 6x5xxf 2 �� es de grado dos, se le conoce como función cuadrática.

4. � � 1x5x4xf 32 �� es de grado tres y se le conoce como función cúbica.

5. � � 1xx4x2xf 324 �� es de grado cuatro y se le conoce como función cuártica. Las gráficas de cada una de ellas son:

� � 7xf � � 1x4xf � � � 6x6xxf 2 ��

��

��

��

�

�

�

�

�

�

�

�

�

x

f (x)

��

��

��

�

�

�

�

�

�

�

�

�

x

f (x)

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

�

�

�

x

f (x)

� � 1x5x4xf 32 �� 1xx4x2xf 324 ��

��

��

��

�

�

�

�

�

�

�

�

�

x

f (x)

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

�

�

�

x

f (x)

BLOQUE 3 167

El dominio de una función polinomial es el conjunto de los números reales, sin embargo, el rango en algunos casos no lo es; para entender esto, se requiere analizar las funciones hasta encontrar la generalidad, por ejemplo: en la función de grado cero (función constante), el rango es el conjunto que tiene como único elemento la misma constante por la cual está definida; la función de grado uno (función lineal) y la función de grado tres (función cúbica) tienen como rango el conjunto de los números reales; la función grado dos (función cuadrática) y la función de grado cuatro (función cuártica) tienen como rangos una parte de los números reales, a esa parte se le conoce como subconjunto. En general, si una función es impar (grado impar) el rango de la función es el conjunto de los números reales; si una función es par (grado par), el rango de la función es un subconjunto de los números reales. En esta secuencia se abordarán funciones polinomiales de grados cero, uno y dos, sus características y la influencia de los parámetros en el trazo de su representación gráfica.

Evaluación

Actividad: 2 Producto: Complementación de la tabla. Puntaje:


Identifica las características de las funciones polinomiales.

Determina las características de las funciones polinomiales.

Muestra interés al realizar la actividad y reconoce la importancia de sus conocimientos previos.


docente

Completa la siguiente tabla reconociendo el grado y el coeficiente principal.

Función Tipo de función Grado Coeficiente principal

� � rxxxf 3 ��

� � xx3x2xf 24 ��

� �x

1x3xf 2 �

� � 5xf �

� � 6x9xf �

� � x4xx4xf 25 ��

� � x3xf

� � 423 x3x5x2xf ��

� �2x

xxf

�

� � 8x8xxf 2 ��

Actividad: 2


Influencia de los parámetros de funciones de grado cero, uno y dos en su representación gráfica. La función constante. La función de grado cero es la que se conoce como función constante, ésta es un caso particular de la función polinomial y se inició con ella en el primer bloque; su forma es:

� � axf , donde “a” es una constante Su gráfica es una recta paralela al eje X y corta al eje Y en el punto (0, a). Ejemplo 1. Graficar la función � � 5xf , determinar su dominio y rango. La función también se puede expresar como 5y , por lo tanto su gráfica es una recta horizontal a la altura de 5, como se muestra a continuación.

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

�

�

�

x

f (x)

Su dominio y rango son:

� �^ `5:Rango

,:Dom ff�

Ejemplo 2.

Graficar la función � �2

7xg � , determinar su dominio y rango.

La función constante puede ser cualquier número real, en este caso es un número racional, el cual equivale a 5.3y � .

��

��

��

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

x

g(x)

Su dominio y rango son:

� �

¿¾½

¯®�

ff�

2

7:Rango

,:Dom

BLOQUE 3 169

Evaluación Actividad: 3 Producto: Gráficas. Puntaje:


Reconoce la función constante, su dominio y rango.

Traza e interpreta la gráfica de la función constante.

Escucha la retroalimentación de la actividad con interés y respeta los comentarios de sus compañeros.


docente

Responde lo que se pide.

1. Grafica las siguientes funciones, determina su dominio y rango.

� � 4xh � � �3

10xL 24y

��

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

�

��

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

�

��

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

�

:Rango

:Dom

:Rango

:Dom

:Rango

:Dom

2. Analiza la gráfica que representa la posición de un automóvil y explica qué ocurre.

��

��

��

��

�

�

�

�

�

�

�

�

�

t iempo (hrs)

d is tancia (km)

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Actividad: 3


La función lineal. Esta función se vio en Matemáticas 1 y se retomó a fondo en Matemáticas 3 como lugar geométrico, con base en estos conocimientos previos, se analizarán sus parámetros para trazar la gráfica. La ecuación lineal en su forma pendiente-ordenada en el origen es:

bmxy � Donde “m” es la pendiente de la recta y “b” es la ordenada en el origen. Vista como función, se expresa de la siguiente forma.

� � bmxxf � Analizando los parámetros, se tiene que: x “b” es la constante que indica el lugar donde la recta cruza el eje Y, además se le denomina término

independiente. x “m” es la pendiente de la recta, la cual está relacionada con su inclinación, ésta es el coeficiente de la variable. x “x” es la variable independiente.

En la siguiente función se visualizan los parámetros antes mencionados.

� � 3x2xf �

2m 3b

Existen varios métodos para graficar funciones lineales, como: x Sustitución de valores (tablas). x Intersección con los ejes coordenados. x Parámetros (m y b).

En este bloque se considerará el comportamiento paramétrico para bosquejar la gráfica de las funciones, el cual se describe a continuación. Cuando se tiene la regla de correspondencia de una función lineal es sencillo trazar la gráfica, ubicando primero el punto que describe la ordenada en el origen y a partir de él, mediante la pendiente, se ubica el segundo punto. Como se muestra a continuación.

Ordenada en el origen (b)

Es la intersección con el eje Y 2m

��

��

��

�

�

�

�

�

x

f (x)

BLOQUE 3 171

Ejemplo 1.

Trazar la gráfica de la función � � 1x3

4xf � .

Observando la función, la pendiente es 3

4m y la ordenada en el origen es 1b � , la cual proporciona la

intersección con el eje Y. Posteriormente se ubica el segundo punto a partir de la pendiente, como se muestra a continuación.

Como la pendiente es 3

4m , a partir del punto se desplaza 3 unidades a la derecha y 4 unidades hacia arriba, ya

que en el cociente de la pendiente, el numerador es el incremento vertical y el denominador es el incremento

horizontal, dado que la fórmula de pendiente es 12

12

xx

yym

�

� .

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

x

f (x)

Los parámetros dicen mucho del comportamiento gráfico de la función, como es el caso de la pendiente, cuando es mayor que cero y menor que uno, su ángulo de inclinación es mayor que 0o y menor que 45º; cuando es mayor que uno su ángulo de inclinación es mayor que 45º y menor que 90º; en el caso de tener pendiente negativa, el ángulo de inclinación es mayor de 90º y menor que 180º. Lo anterior se puede comprobar con los siguientes ejemplos.

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

x

f (x)

1b �


Ejemplo 2. Graficar las siguientes funciones en el mismo plano cartesiano.

a) � � 1xxf �

b) � � 1x4

1xf �

c) � � 1x2

1xf �

d) � � 1x4xf �

e) � � 1x2xf �

Todas las funciones tienen como ordenada en el origen −1.

Como las pendientes son positivas, las gráficas son crecientes; la velocidad de crecimiento está determinada por la pendiente, entre menor sea ésta, el crecimiento será más lento, es decir, la recta estará más cerca del eje X, así mismo, entre más grande sea la pendiente, la velocidad de crecimiento será más rápida, es decir, la recta estará más cerca del eje Y. Ahora se analiza el caso en el que la pendiente es negativa. Ejemplo 3. Graficar las siguientes funciones en el mismo plano cartesiano.

a) � � 5xxf ��

b) � � 5x4

1xf ��

c) � � 5x2

1xf ��

d) � � 5x4xf ��

e) � � 5x2xf ��

Todas las funciones tienen como ordenada en el origen 5, es decir, cortan al eje Y a la altura de 5.

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

x

f (x)

1m

2

1m

4

1m

2m 4m

BLOQUE 3 173

En este caso, las pendientes son negativas y las gráficas son decrecientes; entre más grande sea la pendiente el

crecimiento es menor, como se observa, la pendiente de 4

1m � está más cercana al eje X, sin embargo, la

pendiente 4m � , la cual es menor que la anterior, está más cercana al eje Y. El comportamiento paramétrico que tienen las funciones lineales ayuda a visualizar rápidamente la gráfica, y con ello, dilucidar con anterioridad la solución de problemas que se describen mediante funciones, en este caso, lineales. El uso principal de las funciones lineales es la variación directa, la cual es una relación directa entre dos variables, esto es, al aumentar una, aumenta la otra; la variación que sufre una variable con respecto a la otra se puede observar mejor en una tabla o en la regla de correspondencia. A través de las funciones se pueden modelar fenómenos de la vida cotidiana, con el propósito de poder analizar y describir hechos sin necesidad de realizar cálculos complicados de cada evento del fenómeno por separado. Cuando se usan funciones lineales para describir relaciones del mundo real se llama modelación lineal. A continuación se ejemplificará la aplicación de funciones lineales. Ejemplo 4. Un taxista cobra 30 pesos por salida y cada 5 pesos por kilómetro recorrido. Calcular:

a) El costo de un viaje en x kilómetros. b) El costo del viaje si el destino de una persona es a 12 km. c) Graficar el costo del viaje como una función de la distancia recorrida.

Es claro en el enunciado del problema, que el cobro del viaje depende de la distancia recorrida y se pueden particularizar algunos casos para visualizar la estructura de la función que lo describe. Si el viaje es de 1 Km, su costo es de 30+5(1)=35 pesos. Si el viaje es de 3 Km, su costo es de 30+5(3)=45 pesos. Si el viaje es de 10 Km, su costo es de 30+5(10)=80 pesos. Generalizando: Si el viaje es de x Km, su costo es de 30+5(x) pesos. Por lo tanto, la respuesta al inciso “a”, es:

� � x530xC � Donde C(x) es el costo del viaje en taxi en función de la distancia recorrida “x”.

1m �

2

1m �

4

1m �

2m � 4m �

��

�

�

�

�

�

�

�

�

x

f (x)


En el inciso “b” se solicita un costo en particular que es el de 12 Km, sólo basta sustituir este dato en la función y así encontrar lo que se busca.

� � � � 901253012C � Por lo tanto, el costo del viaje cuando se recorren 12 Km es de 90 pesos. Por último, se traza la gráfica de la función, notando que la ordenada en el origen es 30 y la pendiente es 5, esto se puede deducir mejor si se acomoda la función.

� � 30x5xC �

� � bmxxC �

30b Ordenada en el origen 5m Pendiente

Ubicando primero el punto que intersecta al eje Y (ordenada en el origen) y, posteriormente, el punto que se obtiene a partir de la pendiente. La gráfica queda de la siguiente forma:

Ejemplo 5. La polución del aire se compone de muchos tipos de gases, gotitas y partículas que reducen la calidad el aire. El aire puede estar contaminado, tanto en la ciudad como en el campo. En la ciudad, la polución del aire puede ser causada por automóviles, camiones y aviones, al igual que por la industria y la construcción. La polución del aire en el campo puede ser causada por el polvo de los tractores que están arando los campos, camiones y automóviles que están manejando por carreteras destapadas o con gravilla, por canteras de donde extraen piedras, por humo de fuego de madera y de fuego de cultivos.1

1 http://familydoctor.org/online/famdoces/home/common/asthma/triggers/085.html

��

��

��

x

C(x)

BLOQUE 3 175

Se mide el nivel de polución del aire en una ciudad durante un día, desde las 8 horas hasta las 18 horas. Sea “p” el nivel de polución, medido en partes por millón, y “t” el tiempo en horas, después de 8 horas. Sabiendo que a las 10 horas el nivel de polución era de 50 partes por millón (ppm), y que crece uniformemente a razón de 15 partes por millón por hora.2

a) Identificar la pendiente y un punto de la función. b) Escribir la función que modela la polución en función del tiempo transcurrido. c) Graficar la polución como función del tiempo transcurrido.

En el inciso “a” se solicita la pendiente, la cual corresponde a la razón de cambio que es 15 partes por millón, y el punto que ofrece el problema es de (10, 50), donde la primer coordenada es la hora en la que se mide la polución, la cual corresponde a 50 ppm. En el inciso “b” se requiere encontrar la función que modela la polución, para ello se retomarán conocimientos de Matemáticas 3, en los que aprendiste a obtener la ecuación de una recta, dada la pendiente y un punto por donde pasa. Esto se logra con la siguiente fórmula:

� �11 xxmyy � � Sustituyendo los valores se obtiene:

� �

100x15y

150x1550y

10x1550y

� � ��

La polución expresada como función que depende del tiempo se expresa como:

� � 100t15tp � Al trazar la gráfica de la función, se considera que la intersección con el eje vertical a la altura de −100 y la pendiente 15. Por lo tanto, la gráfica de la función sin restricciones queda:

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

x

y

La gráfica restringida al problema es considerando sólo de 8 a 18 horas, como se muestra a continuación.

2 Problema 2, pag. 56 de Matemáticas IV, Ramírez Margarito.

� � � � ��

��

��

��

��

��

��

��

t

p (t )


Desarrolla lo que se pide. I. Realiza la gráfica de las siguientes funciones, encuentra el dominio y el rango

correspondiente.

1) � � 4x2xg ��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

�

x

g(x)

2) � �2

1xxk �

��

��

��

��

��

��

�

�

�

�

x

k(x)

� � x45

3xL.3 �

��

��

��

��

�

�

�

�

�

�

x

L(x)

Actividad: 4

BLOQUE 3 177

4) � � x3

5xG

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

�

�

x

G(x)

5) � � 5x7

2xR ��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

�

�

�

x

R(x)

6) � �4

3x

2

1xF �

��

��

��

��

�

�

�

�

�

�

�

�

x

F (x)



III. Completa la siguiente tabla ubicando las diferentes representaciones de las funciones lineales.

Representación tabular Representación algebraica Representación gráfica

X 0 1 2 3 4 5 y -2 1 4 7 10 13

f(x)=

��

��

��

�

�

��

�

��

��

��

��

��

x

y

x y

h(x)=−2x+3

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

x

h(x)

x y

h(x)=

��

��

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

x

G(x)


BLOQUE 3 179



Reconoce los parámetros de la función lineal, su dominio y rango.

Traza la gráfica de la función lineal utilizando parámetros.

Expresa sus dudas y corrige sus errores.


docente

Un autobús viaja desde Hermosillo a Obregón a velocidad constante de 90Km/h. Un pasajero se sube en el cerrito de la virgen al Km 18 de los 351 Km que hay de Hermosillo a Obregón. Construye la tabla.

Expresa la función que modela la distancia recorrida por el pasajero con respecto al tiempo. D(t)=

� � � � � � � ��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

x

D(x)



La función cuadrática. Como ya se había visto en el bloque 1, las funciones cuadráticas se caracterizan por su grado 2, éstas se expresan en

su forma general como: � � cbxaxxf 2 �� , con la condición de que su coeficiente principal es diferente de cero ( 0a z ). Sus componentes son:

Al igual que la ecuación cuadrática, la función cuadrática tiene la misma clasificación. La clasificación de las ecuaciones cuadráticas depende de los términos que aparezcan en ellas. Se les llama completas cuando poseen todos los términos, e incompletas cuando carecen de alguno. Si no tiene el término lineal se denominan puras, y si no aparece el término independiente se conocen como mixtas. En el siguiente cuadro sinóptico visualizarás su estructura.

Las gráficas de las funciones cuadráticas describen parábolas. En Matemáticas 3 se abordó la parábola como lugar geométrico, conociendo sus elementos. A continuación se visualizarán los elementos principales de la función cuadrática.

Cuando la función se iguala a cero, se produce una ecuación y los valores que la satisfacen se llaman raíces de la función.

x

f (x)

Vértice V(h,k)

Eje de simetría

Raíces o ceros de la función

Funciones Completas: � � cbxaxxf 2 ��

Funciones Incompletas

Clasificación de las funciones cuadráticas

Funciones Puras: � � caxxf 2 �

Funciones Mixtas: � � bxaxxf 2 �

Término independiente

Término lineal

Término cuadrático 2ax

bx

c

BLOQUE 3 181

Dependiendo del tipo de parábola (con ramas hacia abajo o ramas hacia arriba), el vértice es el punto mínimo o punto máximo, como se muestra a continuación.

Para observar cómo intervienen los parámetros en los cambios que sufre la gráfica, se tiene que reescribir la forma general de la función cuadrática a la forma estándar, la cual explicita el vértice y la abertura que tiene la parábola que describe. Forma general de la función cuadrática.

� � cbxaxxf 2 �� Forma estándar de la función cuadrática.

� � � � khxaxf 2 �� Donde h y k son las coordenadas del vértice. En los siguientes ejemplos se mostrará los cambios que sufre la gráfica de la función cuadrática. Ejemplo 1.

Comparar las gráficas de las funciones � � 2xxf y � � � � 42x3xg 2 �� , para determinar la transformación que sufre g(x) con respecto a f(x). Al tomar valores y evaluarlos en las funciones, las gráficas quedan de la siguiente forma:

� � 2xxf � � � � 42x3xg 2 ��

x f(x) −2 4 −1 1 0 0 1 1 2 4

x g(x) 0 8 1 −1 2 −4 3 −1 4 8

x

f (x)

x

f (x)

Vértice V(h,k) Punto Mínimo

Vértice V(h,k) Punto Máximo

��

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

�

�

x

f (x)

��

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

�

�

x

g(x)


Si la función f(x) se escribe en forma estándar, se tiene:

� � � � 00x1xf 2 ��

Al compararse con la forma � � � � khxaxf 2 �� , se puede deducir que:

0k

0h

1a

Estos parámetros en la gráfica se pueden visualizar así: El coeficiente principal que es “a”, es el que determina la abertura de la parábola si se considera una unidad a la derecha y una a la izquierda, los puntos correspondientes están una unidad hacia arriba. Si se realiza el mismo análisis para la función g(x), los parámetros se visualizan así:

� � � � 42x3xg 2 ��

Al compararse con la forma � � � � khxaxf 2 �� , se puede deducir que:

4k

2h

3a

�

Estos parámetros en la gráfica se pueden visualizar así: Como consecuencia de que el coeficiente principal “a” es positivo, la parábola se abre hacia arriba y se contrae, debido a que si considera una unidad a la derecha y una a la izquierda, los puntos correspondientes están a tres unidades hacia arriba.

��

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

�

�

x

f (x)

Vértice V(h,k)=(0,0)

a=1

��

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

�

�

x

g(x)

Vértice V(h,k)=(2,−4)

a=3

BLOQUE 3 183

��

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

�

�

x

y

Ejemplo 2.

Graficar la función � � � � 54x2

1xh 2 �� mediante los parámetros.

Analizando los parámetros, se deduce que:

5k

4h2

1a

�

�

El vértice tiene como coordenadas � �5,4V � , y a partir de él, recorriendo una unidad a la derecha y a la izquierda, se ubican los puntos de la parábola, media unidad hacia abajo, de este modo se traza la gráfica utilizando parámetros.

� � � � 42x3xg 2 ��

Mueve la parábola 2 unidades a la derecha

Mueve la parábola 4 unidades hacia abajo

Se contrae y se abre hacia arriba

��

��

��

��

�

�

�

�

�

�

x

h(x)

Mueve la parábola 4 unidades a la izquierda

Mueve la parábola 5 unidades hacia arriba Se expande y se

abre hacia abajo

� � � � 54x21

xh 2 ��


Ejemplo 3.

Graficar la función � � 5x6xxp 2 �� utilizando parámetros. La función es completa y para utilizar los parámetros “a”, “h” y “k”, se debe factorizar el polinomio que la compone, esto se hace mediante el método de completar trinomio cuadrado perfecto, éste se vio en Matemáticas 3. Los pasos para completar el trinomio cuadrado perfecto son los siguientes.

1. Se asegura que el coeficiente principal sea 1, de no ser así, primero se tendría que extraer. En este caso no es necesario, porque el coeficiente principal es 1.

� � 5x6xxp 2 ��

2. Se suma y resta el cuadrado de la mitad del término lineal.

� �

� �� 49x6xxp

599x6xxp

52

6

2

6x6xxp

2

2

222

��

��

�¸¹

·¨©

§��¸

¹

·¨©

§��

3. Se expresa el binomio al cuadrado.

� � � � 43xxp 2 ��

��

��

��

��

��

��

�

�

�

�

x

p(x)

Ejemplo 4.

Determinar si la función � � x4x2xt 2 �� tiene un máximo o mínimo, encontrar el punto en cuestión y graficar la función. Es una función mixta y se requiere expresar la forma estándar para poder determinar el vértice y hacia dónde se abre la parábola, aunque se puede adelantar que se abre hacia abajo, debido a que el coeficiente principal es negativo.

� � � � 43xxp 2 ��

Mueve la parábola 3 unidades a la izquierda

Mueve la parábola 4 unidades hacia abajo

Tiene la abertura normal y se abre hacia arriba

BLOQUE 3 185

Para convertirla a la forma estándar se seguirán los siguientes pasos para completar el trinomio cuadrado perfecto.

1. Se extrae el coeficiente principal. � �� x2x2xt

x4x2xt2

2

��

��

2. Se suma y resta el cuadrado de la mitad del término lineal dentro del paréntesis.

� � � � � �� 21x2x2xt

121x2x2xt

11x2x2xt

2

2

222

��

��

��

3. Se expresa el binomio al cuadrado.

� � � � 21x2xt 2 ��

El vértice es el punto � �2,1V � y al ser el coeficiente principal −2, se abre hacia abajo, por lo tanto el vértice es el punto máximo de la función.

La intersección con el eje horizontal es otra información importante en las funciones, éstas se denominas raíces o ceros de la función, para encontrarlas la función debe valer cero, como se muestra a continuación.

� �x4x20

x4x2xt2

2

��

��

La ecuación se puede resolver mediante factorización o por la fórmula general (ver anexo B), para este caso se utilizará factorización, debido a que es más sencilla.

� � 02xx2

0x4x2 2

��

� �

2x0x

2x2

0x

02x0x2

�

�

��

En la gráfica puedes ubicar estos dos resultados.

Mueve la parábola una unidad a la izquierda.

Mueve la parábola 2 unidades hacia arriba.

Contrae a la parábola y se abre hacia abajo.

� � � � 21x2xt 2 ��

��

��

��

��

�

�

�

x

t (x)


Las opciones que tienen las raíces de una función cuadráticas son tres: 1. Dos raíces reales, como en el ejemplo anterior, que es cuando la parábola corta al eje X en dos puntos.

x

f (x)

2. Una raíz real, esto sucede en el caso que el vértice esté sobre el eje X.

x

f (x)

3. Dos raíces imaginarias, sucede cuando la función no corta al eje X.

x

f (x)

Sitios Web recomendados: Este sitio te mostrará el comportamiento de la gráfica de una función cuadrática de acuerdo a sus parámetros. http://intercentres.cult.gva.es/intercentres/03000679/paginas/departamentos/matematicas/transformacion_de_funciones.htm

http://intercentres.cult.gva.es/intercentres/03000679/paginas/departamentos/matematicas/transformacion_de_funciones.htm

http://intercentres.cult.gva.es/intercentres/03000679/paginas/departamentos/matematicas/transformacion_de_funciones.htm

BLOQUE 3 187

Desarrolla lo que se pide. I. Expresa la función que describe cada una de las siguientes gráficas.

1)

��

��

��

�

�

�

�

�

�

x

h(x)

2)

��

��

��

��

��

��

��

�

�

�

�

x

Q (x)

3)

��

��

��

�

�

�

�

�

�

�

x

L(x)

Actividad: 5


II. Determina el punto máximo o mínimo de cada una de las siguientes funciones, además,

encuentra las raíces y dibuja la gráfica correspondiente.

1) � � � �21x2xg �

��

��

��

�

�

�

�

�

�

x

g(x)

2) � � � �24x3

2xW ��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

�

�

�

�

x

W (x)

3) � � � � 15x4

1xJ 2 ��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

�

�

�

�

��

x

J (x)


BLOQUE 3 189

4) � � x9x3xF 2 �

��

��

��

��

��

��

��

��

��

�

�

x

F (x)

5) � � 6x6xxH 2 ��

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

�

�

�

x

H(x)





Reconoce los parámetros de las funciones cuadráticas para realizar su gráfica.

Grafica funciones cuadráticas utilizando parámetros.

Aprecia la facilidad de utilizar parámetros para trazar la gráfica de una función cuadrática.


docente

6) � � 23x20x5xL 2 ��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

�

�

x

L(x)


BLOQUE 3 191

�Cierre�

Resuelve los siguientes problemas. 1. El costo variable de fabricar juntas para machimbre es de $ 2 por unidad y los costos fijos

por día son de $30. Escriba la fórmula de costo total y construya su gráfica.

¿Cuánto cuesta fabricar 25 juntas de machimbre por día?

2. El costo de fabricar 10 bolsas de cartón al día es de $2.20, mientras que fabricar 20 bolsas del mismo tipo cuesta $ 3,80. Suponiendo que se trate de un modelo de costo lineal, determine la fórmula correspondiente a producir “x” bolsitas de papel en el día y construya su gráfica.

3. La dosis en mg de antibiótico que se suministra a niños menores de 10 años, depende en forma lineal del

peso del niño. Para un niño de 3 kg se suministra 40 mg y para un niño de 4 kg se suministra 65 kg. Calcular la función que da la dosis del medicamento dependiendo del peso. ¿Cuánto debe recetarse a un niño que pesa 7.5 kg?

Actividad: 6

http://www.construmatica.com/construpedia/Archivo:Machimbre.JPG

http://www.construmatica.com/construpedia/Archivo:Machimbre.JPG

http://www.construmatica.com/construpedia/Archivo:Machimbre2.jpg


4. Un hortelano posee 50 m de varilla para cercar una parcela rectangular de terreno contigua

a un muro. ¿Qué área máxima puede cercar de esta manera?

5. Un delfín toma impulso para saltar encima de la superficie del mar siguiendo la función y=–x2+6x+12 donde “y” es la distancia al fondo del mar en metros y “x” el tiempo empleado en segundos.

a) Calcula cuándo sale de la superficie y cuándo vuelve a sumergirse sabiendo que la profundidad del

lugar es de 20 metros.

b) ¿A qué profundidad inicia el ascenso? 6. Antonio encuentra que si su compañía produce “x” artículos diarios, el costo está dado por la función

� � 2x002.0x8.0420xC �� , ¿Cuántos artículos se deben producir diariamente para que el costo sea mínimo?, ¿cuál sería ese costo mínimo?

7. Una persona lanza verticalmente hacia arriba una pelota desde lo alto de un edificio, y la altura en cada

instante de tiempo la describe la función � � 45t80t16th 2 �� . a) ¿Cuál es el tiempo en que la pelota tarda en alcanzar la altura máxima?


BLOQUE 3 193

Evaluación Actividad: 6 Producto: Problemas de aplicación. Puntaje:


Reconoce la aplicación de las funciones lineales y cuadráticas.

Aplica las funciones lineales y cuadráticas en situaciones reales.

Aprecia la aplicabilidad de las funciones lineales y cudráticas.


docente

b) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por la pelota?

c) ¿Cuál es la altura del edificio? c) ¿Cuánto tiempo tarda la pelota en tocar el suelo?

d) Traza la gráfica de la altura de la pelota al transcurrir el tiempo.

4. En una compañía, la utilidad mensual en miles de dólares, se expresa mediante la función

� � 37x24x2xU 2 �� , donde “x” representa el número de artículos, en cientos, que se producen y venden en un mes. a) ¿Cuál es la cantidad de artículos que la compañía debe producir y vender por mes para que la utilidad

sea máxima?

b) ¿Cuál es el monto de la utilidad máxima?

c) ¿Con cuántos artículos producidos y vendidos no se tiene utilidad alguna?



Secuencia didáctica 2. Funciones polinomiales de grado tres y cuatro.

�Inicio�



Identifica las funciones de grado tres y cuatro.

Determina las características de las funciones de grado tres y cuatro.

Muestra interés al realizar la actividad.


docente

Responde las siguientes preguntas.

1. ¿Qué características tienen las funciones polinomiales de tercer grado?

2. ¿Cuál es su nombre común? 3. ¿Cómo reconoces a una función polinomial de grado cuatro?

4. ¿Cuál es su nombre común?

5. ¿Qué característica tiene el dominio y el rango en cada una de ellas?

6. Bosqueja la gráfica de una función polinomial de grado tres y otra de grado cuatro, en planos cartesianos por separado.

Actividad: 1

BLOQUE 3 195

�Desarrollo Comportamiento y bosquejo de gráficas de funciones polinomiales de grado tres y cuatro. Graficación mediante parámetros. Funciones de grado tres.

La forma general de las funciones de grado tres (cúbicas) es � � dcxbxaxxf 23 �� , con 0a z ; en su forma

estándar se presenta como � � � � khxaxf 3 �� Primero se trabajará con la forma estándar, para observar el comportamiento de la gráfica con respecto a los cambios que sufren los parámetros. En el primer bloque se graficó la función cúbica básica, la cual es:

� � 3xxf

Al punto donde la función cambia de concavidad, se le llama punto de inflexión (P.I.), que en el caso de la función cúbica base, es el origen. Para graficar una función cúbica utilizando los parámetros de forma estándar, se siguen los siguientes pasos:

1. Encontrar y graficar el punto de inflexión: P.I.(h,k). 2. A partir del punto de inflexión se recorre una unidad a la derecha y si el parámetro “a” es positivo, se ubica el

punto hacia arriba “a”, de no ser así, se ubica hacia abajo. 3. Ahora, a partir del punto de inflexión, se recorre una unidad hacia la izquierda y se coloca el punto en sentido

contrario del punto que se colocó en el paso 2, es decir, si el punto que está a la derecha del punto de inflexión quedó hacia arriba, éste quedará hacia abajo “a” unidades y viceversa.

4. Se traza la gráfica de forma suave. A continuación se ejemplificará el procedimiento anterior. Ejemplo 1.

Trazar la gráfica de la función � � � � 31x2xf 3 �� , utilizando parámetros. El punto de inflexión se extrae de la función cúbica, de la misma forma que se extrae el vértice de la función cuadrática.

� � � � 31x2xf 3 ��

� � � � khxaxf 3 ��

x f(x) −2 −8 −1 −1 0 0 1 1 2 8

��

��

��

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

��

�

x

f (x)


Por lo tanto, el punto de inflexión es P.I.(1, 3). Además, como el parámetro a=2, cuando se recorra una unidad a la derecha del punto de inflexión, el segundo punto se ubicará dos unidades hacia arriba, como se muestra en la siguiente gráfica.

Posteriormente, se situará el tercer punto, recorriendo una unidad hacia la izquierda y dos unidades hacia abajo, debido a que es en sentido contrario del segundo punto.

Para trazar la gráfica se parte del punto de inflexión, considerando que a la derecha de éste es cóncava hacia arriba y a su izquierda es cóncava hacia abajo, quedando la gráfica de la siguiente forma.

��

��

��

��

��

��

��

�

�

�

��

�

�

�

�

��

x

f (x)

��

��

��

��

��

��

��

�

�

�

��

�

�

�

�

��

x

f (x)

��

��

��

��

��

��

��

�

�

�

��

�

�

�

�

��

x

f (x)

BLOQUE 3 197

Ejemplo 2.

Bosqueja la gráfica de la función � � � � 54x2

1xT 3 ��

El punto de inflexión es: P.I.(−4, −5). En este caso, a partir del punto de inflexión, el segundo punto se situará una unidad a la derecha y media unidad

hacia abajo, debido a que el parámetro 2

1a � ; el tercer punto se situará una unidad a la izquierda y media unidad

hacia arriba.

Ahora se traza la gráfica considerando que a la derecha del punto de inflexión la función es cóncava hacia abajo y que a la izquierda de éste, es cóncava hacia arriba.

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

�

�

x

f (x)

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

�

�

x

f (x)

Sitios Web recomendados: Este sitio contiene un graficador en línea, el cual te ayudará a comprobar las gráficas de las funciones. http://fooplot.com/

http://fooplot.com/


Funciones de grado cuatro.

La forma general de las funciones de grado cuatro (cuárticas) es � � edxcxbxaxxf 234 �� , con 0a z ; en su

forma estándar se presenta como � � � � khxaxf 4 �� La función cuártica tiene un comportamiento parecido a la parábola, sólo que el crecimiento es más rápido. La función cuártica base es:

� � 4xxf

��

��

��

�

�

�

�

�

�

�

�

�

��

��

��

��

��

��

��

x

f (x)

En la función cuártica el dominio es el conjunto de números reales, pero el rango sólo es una parte de ellos, a diferencia de la función cúbica la cual cruza desde �f hasta f . Los parámetros tienen el mismo efecto que en la función de grado dos (cuadrática); en el caso que el parámetro “a” sea positivo la función tiende infinitamente hacia arriba, si el parámetro “a” es negativo, la función tiende infinitamente hacia abajo. Cuando se conoce la función estándar de una función cuártica, se puede conocer el punto máximo o mínimo, esto dependerá del signo del parámetro “a”. Ejemplo 1.

Trazar la gráfica de la función � � � � 42x3xf 4 �� utilizando los parámetros. Como a=−3, la función tiende infinitamente hacia abajo y su punto máximo es � �k,hP y para obtenerlo se realiza la siguiente comparación.

� � � � 42x3xf 4 ��

� � � � khxaxf 4 �� Por lo tanto, el punto máximo es P(−2, 4). El segundo punto se ubica una unidad a la derecha del máximo y tres unidades hacia abajo; el tercer punto se encuentra una unidad a la izquierda y de igual forma, tres unidades hacia abajo, como se muestra en la gráfica.

x f(x) −2 16 −1 1 0 0 1 1 2 16

��

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

�

x

f (x)

BLOQUE 3 199

Bosqueja la gráfica de cada una de las siguientes funciones, utilizando los parámetros.

1) 1 + x= H(x) 3

��

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

�

x

H(x)

2) � � � � 26x2

1xR 3 ��

��

��

��

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

�

x

R(x)

3) � � 3x2xL �

��

��

��

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

�

x

L(x)

Actividad: 2




Identifica los parámetros de las funciones de grado tres y cuatro, para trazar la gráfica.

Grafica funciones de grado tres y cuatro, mediante parámetros.

Aprecia la facilidad del trazo de gráficas utilizando parámetros.


docente

4) � � � � 35x4

1xK 4 ��

��

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

�

�

�

x

K(x)

5) � � � �44xxL ��

��

��

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

�

x

L(x)


BLOQUE 3 201

Graficación de funciones utilizando las raíces o ceros de la función. Trazar gráficas de funciones cúbicas y cuárticas en su forma estándar es sencillo, el problema se presenta cuando están en su forma general, entonces se podría graficar utilizando tablas de valores como se mostró en el primer bloque, aunque es más tardado y posiblemente no daría un panorama completo del comportamiento de la gráfica; para ello, en esta ocasión se abordará otra forma de bosquejar la gráfica de una función, utilizado las raíces de la función y analizando algunas características básicas de las funciones polinomiales de grado tres y cuatro. En el siguiente ejemplo se visualizará la intención de este tema. Ejemplo 1.

Bosquejar la gráfica de la función � � x3x2xxf 23 �� , mediante las raíces de la función. Como se vio anteriormente, las raíces de la función son precisamente cuando � � 0xf , es decir, cuando

0x3x2x 23 �� . Para encontrar la solución a la ecuación cúbica anterior, se requiere de factorizar el polinomio, en este caso, mediante factor común.

� �03x2xó0x

03x2xx

0x3x2x

21

2

23

��

��

��

Al separar los factores, se obtiene el primer resultado que se busca x1=0, pero también, se obtiene una ecuación cuadrática, la cual se requiere resolver utilizando la fórmula general o factorización, debido a su sencillez, se factorizará la ecuación.

� ��

1x3x

01xó03x

01x3x

03x2x

32

2

� � �

��

Ahora, se requiere analizar algunas características de las funciones cúbicas para poder bosquejar su gráfica. 1. El coeficiente principal es a=1, por lo tanto, la mayor parte de su trayectoria es creciente, parte de �f a f . 2. Es una función suave, sin ángulos en su trazo. 3. La función pasa por las raíces encontradas.

Por lo tanto, el trazo quedaría más o menos de la siguiente forma.

Si se requiere mayor precisión en el trazo, se tiene que expresar una tabla de valores y la gráfica exacta, como se muestra a continuación:

��

��

��

��

��

��

��

��

��

�

�

�

�

x

f (x)


Ejemplo 2. Bosquejar la gráfica de una función de grado cuatro, cuyas raíces son 1x1 � , 1x2 , 2x3 � y 3x4 , además, su coeficiente principal es negativo. Primero se colocan los puntos en el plano cartesiano, posteriormente se analiza las características de la función cuártica.

1. La función cuártica es suave. 2. Su rango es un subconjunto de los números reales, es decir, no los abarca a todos. 3. El coeficiente principal es negativo, por lo tanto, la función se extiende hacia �f por ambos extremos. 4. Debido al número de raíces y a las tres características anteriores, la función puede tener uno o dos puntos

máximos. A continuación se bosqueja la gráfica.

Sustituyendo puntos se tiene la gráfica con más detalle, como se muestra a continuación.

En el ejemplo anterior se puede obtener las raíces a partir de la función, su proceso sería diferente al que hasta ahora has utilizado, debido a que de un inicio no se puede factorizar por factor común para simplificar su solución. Como antes se ha mencionado, el cero o raíz de una función es un valor “x” para el cual f(x)=0. Por ejemplo, el cero de la función � � 4xxf � es x=4, porque si se sustituye este valor en la función, ésta será igual a cero.

��

��

��

��

��

��

�

�

�

��

�

�

��

��

��

��

x

f (x)

BLOQUE 3 203

A continuación se estudiarán algunos teoremas que ayudarán a conocer los ceros de una función de forma más práctica. Teorema del residuo y del factor. Se requiere conocer la división entre polinomios como:

8x2x2 �� entre 1x � 2x3x5x 23 �� entre 2x � 27x8 3 � entre 3x2 �

Si se toma 8x2x2 �� entre 1x � y se realiza el algoritmo de la división, ésta resultaría de la siguiente manera:

El resultado se puede escribir como:

1x

53x

1x

8x2x2

��

��

��

El Teorema del Residuo se enuncia de la siguiente forma:

Si un polinomio f(x) se divide entre el binomio x−r, donde “r” es cualquier número real o complejo, entonces el residuo es f(r).

Esto significa que el residuo viene a ser el valor que se obtiene al sustituir “a” en el polinomio. Este teorema proporciona una herramienta de comprobación del algoritmo de la división, como se muestra a continuación.

Si se considera � � 8x2xxf 2 �� y se evalúa en x=1, se obtiene:

� �� 51f

8211f

81211f

8x2xxf2

2

� ��

��

��

Esto significa que el algoritmo de la división que se realizó es correcto, porque el polinomio evaluado en x=1 resulta −5, como el residuo en la división. ¿Por qué es tan importante este teorema para encontrar las raíces o ceros de una función?, porque si el residuo es cero, significa que el binomio por el cual se dividió es un factor, esto es, se ha encontrado otra forma de factorizar un polinomio. Lo anterior da origen al Teorema del Factor, el cual se enuncia a continuación.

Si “r” es una raíz de f(x) =0, es decir f(r)=0, entonces x−r es un factor de f(x).

Recordando la división anterior, x−1 no es un factor de 8x2x2 �� , porque su residuo fue −5.

3x

5

3x3

8x3

xx

8x2x1x2

2

�

�

��

��

��

Cociente

Divisor Dividendo

Residuo


Ahora se retomará el polinomio anterior, pero en esta ocasión se dividirá entre x−2, para comprobar si es factor del

polinomio 8x2x2 �� . 4x

0

8x4

8x4

x2x

8x2x2x2

2

�

��

��

��

Como el resultado del residuo fue cero, entonces, x−2 es factor del polinomio 8x2x2 �� , por lo tanto, éste se puede expresar como:

� �� 4x2x8x2x2 ��

En el caso de que el polinomio representara a la función � � 8x2xxf 2 �� , x=2 y x=−4 representarían las raíces de la función. Para comprobar se puede evaluar � �2f y � �4f � .

� �� 02f

8442f

82222f

8x2xxf2

2

��

��

��

� �� 04f

88164f

84244f

8x2xxf2

2

��

��

��

Ejemplo 1. Si las raíces de la función polinomial son −1, 1, −2, 3, determinar dicha función. Basándose en el teorema del factor, con cada una de las raíces se forma el factor correspondiente, quedando de la siguiente manera:

1x1 � , 1x2 , 2x3 � y 3x4 Por lo tanto, la ecuación que satisfacen es:

� �� 03x2x1x1x �� Multiplicando los factores queda:

� �� 06xx7xx

06xx1x234

22

��

��

La función se expresa:

� � 6xx7xxxf 234 �� Aunque éste no es el único resultado, porque la función obtenida se extiende infinitamente hacia arriba, otra forma de función que cumple con las raíces anteriores es:

� � 6xx7xxxf 234 �� Ésta se pasa por las mismas raíces pero se extiende infinitamente hacia abajo. Para simplificar un poco el procedimiento de la división de polinomios, se puede utilizar otro método menos complicado, el cual es la división sintética, la cual es un proceso abreviado del algoritmo de división que se conoce hasta ahora.

BLOQUE 3 205

División sintética. Para ilustrar el procedimiento de la división sintética, se utilizará un ejemplo haciendo hincapié en que esta división sólo se aplica a divisiones con polinomios de una sola variable donde el divisor es de la forma x−r. Procedimiento de la división sintética (Regla de Ruffini).

Dividir 2x3x5x 23 �� entre 2x �

Procedimiento Ejemplo

El dividendo debe estar ordenado de forma decreciente. 2x3x5x 23 �� En el primer renglón se ponen sólo los coeficientes del dividendo, sustituyendo por cero las potencias faltantes entre un término y otro del polinomio.

2351 ��

A la derecha del último elemento del dividendo se escribe “r” con signo contrario separado, por una línea vertical.

22351 ��

Se traza una línea horizontal que separa al segundo y tercer renglón.

22351 ��

El primer término del dividendo se escribe como el primer término del tercer renglón

1

22351 ��

Después se multiplica el primer término del tercer renglón por el divisor y el producto resultante se escribe en el segundo renglón y en la columna dos.

1

2

22351

�

��

Se suman los términos de la segunda columna y el valor resultante se multiplica por el divisor, poniéndose dicho resultado en la tercera columna. 71

142

22351

�

�

��

Este proceso se sigue hasta sumar los elementos de la última columna del divisor.

301771

28142

22351

��

��

��

Los coeficientes que quedan en el tercer renglón, son los coeficientes del cociente, y el último elemento del tercer renglón es el residuo.

residuo.ctexx

301771

28142

22351

2

��

��

��

La división se puede escribir como se muestra. � �� 3017x7x2x2x

2x3x5x 223

��

��

Ejemplo 1.

Dividir la función � � 27x8xf 3 � entre 3x2 � , utilizando la división sintética.

018128

271812

2

327008 �


El cociente de esta división es 18x12x8 2 �� , entonces la función dada se puede expresar en términos de sus

factores como � � � �18x12x82

3xxf 2 ��¸̧

¹

·¨̈©

§� o bien � � � �� 18x12x83x2xf 2 �� .

Ejemplo 2.

Demostrar que � �1x � y � �3x � son factores de � � 6x5x14xx2xf 234 �� , además, escribir la factorización completa.

Si 1x � es factor, entonces la raíz es 1 y el residuo de la división de f(x) entre 1x � es cero.

061132

61132

1651412

��

��

�

Con ello se ha comprobado que 1x � es factor.

Ahora, si 3x � es factor, la división entre el polinomio resultante 6x11x3x2 23 �� y 3x � debe tener residuo cero, para ello el divisor es −3.

0232

696

361132

��

�

��

El polinomio resultante es 2x3x2 2 �� y se puede factorizar, quedando:

� �� 2x1x22x3x2 2 ��

Por lo tanto, f(x) se puede expresar como la multiplicación de sus factores.

� �� 2x1x23x1xxf

6x5x14xx2xf 234

��

A partir de cada factor se obtienen las raíces.

1x

01x

�

3x

03x

� �

2

1x

01x2

�

�

2x

02x

�

Realiza lo que se indica. I. Determina el cociente y el residuo de las divisiones, utilizando división sintética.

1) � � 7x5x3x2xf 23 �� entre 2x �

Actividad: 3

BLOQUE 3 207

Evaluación



Identifica las funciones especiales e inversas de una función.

Ejemplifica funciones y sus inversas.

Aporta puntos de vista personales con apertura y considera los de otras personas.


docente

2) � � 1xxf 4 � entre 1x �

3) � � 10x11x10x2x2xf 234 �� entre 3x �

4) � � 8xxf 3 � entre 2x � II. Comprueba los resultados anteriores, evaluando la función.



Cuando se tiene información previa de las raíces de una función es sencillo comprobar si lo son o extraer las faltantes, pero cuando se desconocen, se debe recurrir a otros teoremas que ayudarán a calcularlas. Teoremas sobre las raíces de una ecuación. Teorema fundamental del Álgebra. Toda ecuación polinomial de grado 1n t tiene al menos una raíz, real o compleja. Teorema. Todo polinomio de grado 1n t puede ser expresado como producto de n factores lineales. Por ejemplo:

� � 6x5x2xxf 23 �� se puede factorizar y expresarse como � � � �� 2x1x3xxf �� .

� � x8x4x2xxg 234 �� puede expresarse como � � � �� i2xi2x2xxxg �� . Teorema de las n raíces. Toda función polinomial f(x)=0 de grado n tiene exactamente n raíces, siempre y cuando considere la multiplicidad de las raíces. Por ejemplo:

� � 4x4xxf 2 �� tiene dos raíces iguales: 2, 2.

� � 6x5x2xxh 23 �� tiene tres raíces: −2, 1, 3.

� � x8x4x2xxg 234 �� tiene cuatro raíces: 0, 2, 2i, −2i, las dos primeras son reales y las otras dos son complejas. Teorema de las raíces racionales.

Si el racional irreducible v

u es una raíz de una función polinomial de coeficientes enteros, entonces “u” es un factor

del término independiente y v es un factor del coeficiente principal. En la siguiente tabla se visualizará el teorema anterior, utilizando las raíces de las funciones de los ejemplos anteriores.

Función Coeficiente

principal

Factores del

coeficiente principal

Coeficiente del término

independiente

Factores del término

independiente

Probables raíces Raíces

� � 4x4xxf 2 �� 1 r 1 4 r 1, r 2, r 4

11

1r r

21

2r r

41

4r r

2 2

� � 6x5x2xxh 23 �� 1 r 1 6 r 1, r 2, r 3, r 6

11

1r r

21

2r r

31

3r r

61

6r r

−2 1 3

BLOQUE 3 209

� � 6x5x14xx2xf 234 �� 2 r 1, r 2 6 r 1, r 2, r 3, r 6

11

1r r

21

2r r

31

3r r

61

6r r

2

1r

12

2r r

2

3r

32

6r r

1 −3

2

1�

2

Ejemplo 1.

Encontrar las raíces de la función polinomial � � 36x9x16x4xf 23 �� . Basándose en el teorema anterior, las posibles raíces son los cocientes formados por los factores del término independiente entre los factores del coeficiente principal. Esto es: Los factores del término independiente 36, son: r 1, r 2, r 3, r 4, r 9, r 12, r 18, r 36. Los factores del coeficiente principal 4, son: r 1, r 2, r 4

Las posibles raíces son: 1r , 2

1r ,

4

1r , 2r , 3r ,

2

3r ,

4

3r , 4r , 9r ,

2

9r ,

4

9r , 12r , 6r , 18r , 36r .

Si se prueban las posibilidades con división sintética, se obtiene: Para x=1.

2511204

11204

1369164

�

��

Como el residuo es diferente a cero, x=1 no es raíz de la función. Haciendo el mismo procedimiento, pero con x=−1, encontrarás que tampoco es raíz, se requiere ir sustituyendo una a una las posibles raíces.

Ahora se sustituirá 2

3.

024224

36336

2

3369164 ��

Como el residuo es cero, 2

3x es raíz de la función.


El polinomio que resulta es 024x22x4 2 �� , ahora se procede a factorizar el polinomio de segundo grado.

� �� 04x6x424x22x4 2 �� Por lo tanto, las raíces son:

2

3

4

6x

6x4

06x4

� �

� �

4x

04x

� �

Por lo tanto, las raíces de � � 36x9x16x4xf 23 �� son: 2

3,

2

3� , 4� .

No es necesario seguir probando con los demás valores, ya que el teorema de las n raíces dice que si el grado de la función es 3, tiene 3 raíces. La gráfica que describe a la función es:

��

��

��

��

��

��

��

��

��

�

��

��

��

��

��

��

x

f (x)

Sitios Web recomendados: Ingresa a estos sitios para que refuerces tu aprendizaje. http://tycho.escuelaing.edu.co/ecinfo2/asignaturas/mrey/talleres_virtuales/funciones/polinomial/Funcion_Polinomial_5_comparacion.htm http://tycho.escuelaing.edu.co/ecinfo2/asignaturas/mrey/talleres_virtuales/funciones/polinomial/Funcion_Polinomial_6_ecuacion.htm http://tycho.escuelaing.edu.co/ecinfo2/asignaturas/mrey/talleres_virtuales/funciones/polinomial/Funcion_Polinomial_7_ecuacion.htm http://tutormatematicas.com/ALG/Ecuaciones_polinomios_soluciones_ceros_raices.html

http://tycho.escuelaing.edu.co/ecinfo2/asignaturas/mrey/talleres_virtuales/funciones/polinomial/Funcion_Polinomial_5_comparacion.htm

http://tycho.escuelaing.edu.co/ecinfo2/asignaturas/mrey/talleres_virtuales/funciones/polinomial/Funcion_Polinomial_5_comparacion.htm

http://tycho.escuelaing.edu.co/ecinfo2/asignaturas/mrey/talleres_virtuales/funciones/polinomial/Funcion_Polinomial_6_ecuacion.htm




http://tutormatematicas.com/ALG/Ecuaciones_polinomios_soluciones_ceros_raices.html

http://tutormatematicas.com/ALG/Ecuaciones_polinomios_soluciones_ceros_raices.html

BLOQUE 3 211

�Cierre

Realiza lo que se indica. 1. Encuentra todas las raíces reales, para que escribas la forma factorizada de las siguientes

funciones polinomiales.

a) 64x12x)x(f 24 ��

b) 8x10xx)x(T 23 ��

c) 10x2x5x)x(G 23 ��

d) 36x5x)x(P 24 ��

2. Encuentra todos los ceros (reales e imaginarios) de la función 2x6x2x6)x(F 23 �� .

Actividad: 4


3. Factoriza directamente por agrupación de términos, la regla de correspondencia de la

función 10x2x5x)x(f 23 �� .

4. Bosqueja la gráfica de la función x6xx)x(G 23 �� , utilizando sus raíces.

5. Encontrar los ceros racionales e irracionales de la función: � �� x5x3x2)x(L 2 �� .

6. Expresa en factores lineales la función de tercer grado 20x16xx)x(H 23 �� .


BLOQUE 3 213



Reconoce la aplicación de las funciones cúbicas y cuárticas.

Aplica las funciones cúbicas y cuárticas en situaciones reales.

Aprecia la aplicabilidad de las funciones cúbicas y cuárticas .


docente

7. f(x) es una función de tercer grado cuya gráfica corta al eje X en −4, 0 y 2

3, encuentra su

regla de correspondencia y bosqueja la gráfica.

8. Se desea hacer una caja de cartón corrugado, la cual tenga forma rectangular de 20 cm por 10 cm, cortando cuadros iguales en cada esquina y doblando hacia arriba los lados. Encontrar las dimensiones de la caja sabiendo que el volumen es de 156 cm3.

9. La caja de un trailer que transporta mercancías para una cadena de supermercados, tiene una capacidad de 120 m3, si el ancho es x, el largo 3x+1 y la altura x+1 metros, ¿cuáles son sus dimensiones?


Emplea funciones racionales.









Unidad de competencia: x Construye e interpreta modelos con funciones racionales, aplicando razones entre funciones racionales

para representar situaciones y resolver problemas teóricos o prácticos de su vida cotidiana y escolar, que le permiten comprender y transformar su realidad.

x Contrasta los resultados obtenidos mediante la aplicación de modelos racionales, en el contexto de las situaciones reales o hipotéticas que describen.

x Interpreta tablas, gráficas, diagramas y textos con información relativa a funciones racionales.



EMPLEA FUNCIONES RACIONALES 216

Secuencia didáctica 1. Funciones racionales.

�Inicio��

Evaluación



Reconoce el dominio de la función racional.

Distingue el dominio de la función racional.

Muestra interés al realizar la actividad y demostrar sus conocimientos previos.


docente

Después de analizar el ejemplo, en equipo, determina el dominio de las siguientes funciones.

Función Ceros del denominador Dominio

� �3x

x2xf

�

� �1x

9x2xf

2 �

�

� �9x

3xxf

2 �

�

� �x3x4

x5xf

2 � � � 03x4x

0x3x4 2

� �

4

3x

03x40x

�

�

¿¾½

¯®

��4

3,0:Dom

� �15x8x

2xxf

2 ��

�

� �x

2xf

� �1x3x3x

x4xxf

23

2

��

�

64x12x

6x3)x(f

24

2

��

�

Actividad: 1

BLOQUE 4 217

�Desarrollo Concepto de función racional. Son las funciones que están formadas por el cociente de dos funciones polinomiales, son de la forma:

� � � �� xQ

xPxf donde � �xP y � �xQ son funciones polinomiales sólo que � � 0xQ z .

A continuación se muestran algunos ejemplos de cómo se encuentra el dominio de algunas funciones racionales, además, se muestra la gráfica de cada una de ellas. Ejemplo 1.

� �1xx

1xxxf

2

2

��

��

El dominio de la función es el conjunto de los números reales, menos aquellos valores que indefinan la función, esto

es, cuando 01xx2 �� . Para encontrar la solución de la ecuación, se puede utilizar la fórmula general.

1c

1b

1a

�

Con el resultado anterior, se concluye que no existen números reales que sean solución de la ecuación, por lo tanto, el dominio de la función son todos los números reales. Su gráfica se presenta a continuación.

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

x

f (x)

Ejemplo 2.

� �1x

1xxf

��

Ahora, el dominio de la función depende de la solución a la ecuación 01x � , y al despejarla se obtiene 1x � . El dominio de la función es:

^ 1̀:Dom ��

� � � � � ��

231

x

2411

x

12

11411x

a2ac4bb

x

2

2

�r

�r

��r��

�r�


La gráfica es:

��

��

��

x

f (x)

Ejemplo 3.

� �75x62x8

6x24xf

2 ��

�

Se requiere resolver la ecuación 075x62x8 2 �� , lo cual se realiza mediante la fórmula general.

75c

62b

8a

El dominio de la función es:

¿¾½

¯®

��4

25,

2

3:Dom

La gráfica es:

� � � � � ��

25.6425

163862

x

5.123

163862

x

163862

x

16144462

x

162400384462

x

82

75846262x

a2ac4bb

x

2

1

2

2

� � ��

� � ��

r�

r�

�r�

�r�

�r�

��

��

��

x

f (x)

BLOQUE 4 219

Ejemplo 4.

� �x

4xf

En este caso el único valor en el cual se indefine la función es 0x , por lo que el dominio es:

^ `0:Dom �� La gráfica es:

��

��

��

x

f (x)

Ejemplo 5.

� ��

14x

3xf

2�

��

Ahora se tiene que resolver la ecuación � �24x � , para ello sólo se requiere despejar.

� �

4x

04x

04x

04x 2

� �

�

Por lo tanto, el dominio son todos los números reales menos el cuatro.

^ `4:Dom ��

La gráfica es:

��

��

��

��

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

�

x

f (x)




Identifica el dominio de la función racional.

Selecciona la gráfica de funciones racionales de acuerdo a su dominio.

Aprecia la utilidad del dominio en la identificación de gráficas.


docente

Anota en las líneas el dominio de cada una de las gráficas y selecciona la función correspondiente, de la que se ofrece al final.

��

��

��

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

�

x

y

��

��

��

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

�

x

y

��

��

��

��

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

�

x

y

_________________________ __________________________ __________________________

Dom:____________________ Dom:_____________________ Dom:_____________________

��

��

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

�

�

x

y

��

��

��

x

y

��

��

��

��

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

�

x

y

_________________________ __________________________ __________________________

Dom:____________________ Dom:_____________________ Dom:_____________________

� �1x

1xh

� � �

1x

4xg

2 � � �

1x

1xV

�

� �1x

4xk

2 � � �

3x2x

xxQ

2 �� 5

x

1xf

2�

Actividad: 2

BLOQUE 4 221

Función racional reducible. Dentro de las funciones racionales se encuentran las que son reducibles, es decir, aquellas que tienen factores iguales en el numerador y denominador, de tal manera que se pueden eliminar y mostrar la función simplificada. Para reducir las funciones racionales, se recurre a la factorización, como se muestra en los siguientes ejemplos. Ejemplo 1.

� �2x

4xxf

2

��

Es esencial determinar primero el dominio de la función, la cual parte de encontrar los ceros del denominador, el cual, en este caso se convierte en cero cuando x=−2, por lo tanto, el dominio es:

^ `2:Dom �� Observando la función, se deduce que el denominador es una diferencia de cuadrados, y se factoriza mediante binomios conjugados. A continuación se muestra la forma en que se reduce la función.

Por lo tanto, la función queda:

� � 2xcon2xxf z� La función reducida es una recta con pendiente uno y ordenada en el origen −2, su gráfica se muestra a continuación. Se debe dibujar un “punto hueco” en las coordenadas (2, −4), ya que en ese punto se indefine la función racional.

��

��

��

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

x

f (x)

� � � �� 2x

2x2x2x

2x4x

xf2

� �

��

��


Ejemplo 2.

� �x

x4xxg

3 �

El dominio de la función es: ^ `0:Dom ��

El denominador se puede factorizar por factor común, de la siguiente manera:


� � 0xcon4xxg 2 z� La función reducida es una parábola con vértice en (0, 4), sólo que al dibujar el punto correspondiente a éste, debe ser un “punto hueco”, porque es donde la función se indefine.

��

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

�

�

x

g(x)

Ejemplo 3.

� �2x

8xxh

3

��

El dominio de la función es: ^ `2:Dom ��

El denominador se puede factorizar por diferencia de cubos como se muestra a continuación:


� � 2xcon4x2xxh 2 z�� Completando el trinomio cuadrado perfecto en la función cuadrática anterior, se obtiene el vértice.

� � � �4x

x4xx

xx4x

xg 223

� �

�

� � � �� 4x2x

2x4x2x2x

2x8x

xh 223

��

��

��

BLOQUE 4 223

� �� 31xxh

411x2xxh

4x2xxh

2

222

2

��

��

��

La parábola que describe tiene su vértice en el punto (−1, 3 ) y se abre hacia arriba, también tiene un “punto hueco” en x=2; para encontrar la altura, el valor donde se indefine se sustituye en la función reducida.

� � � � � � 1242222h 2 ��

Por lo tanto, el “punto hueco” tiene coordenadas (2, 12) y su gráfica queda:

��

�

�

�

�

�

�

�

�

�

��

��

��

��

x

h(x)

Sitios Web recomendados: En este sitio encontrarás ejercicios concernientes a la función racional. http://www.educar.org/enlared/planes/paginas/funcionesracionales.htm http://www.x.edu.uy/racional.htm

En equipo, reduce las siguientes funciones racionales.

1) � �4x

4x4xxxf

2

23

�

��

Actividad: 3

http://www.educar.org/enlared/planes/paginas/funcionesracionales.htm

http://www.x.edu.uy/racional.htm


Evaluación Actividad: 3 Producto: Ejercicios. Puntaje:


Identifica el método de factorización para reducir una función racional.

Establece la función reducida de una función racional.

Respeta la opinión de sus compañeros y colabora de forma activa en el equipo.

Coevaluación C MC NC Calificación otorgada por el

docente

2) � �8x4

x8x2xT

24

��

3) � �x4

x4x2xg

4 �

4) � �2x

4x2xp

��

5) � �4x

8x6xxm

2

2

�

��

6) � �2x3x2

x4x4x7x2xk

2

234

��

��


BLOQUE 4 225

�Cierre�



Identifica la gráfica de una función racional, su dominio y rango.

Distingue la gráfica de la función racional, su dominio y rango.

Realiza la actividad con entusiasmo.


docente

Las gráficas corresponden a las funciones descritas en la actividad anterior. Escribe debajo de cada una de ellas la función racional, la función reducida, el dominio y rango.

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

�

�

x

y

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

�

�

x

y

��

��

��

��

��

��

��

�

�

�

�

��

��

��

x

y

________________________ ________________________ ________________________

________________________ ________________________ ________________________

Dom: Dom: Dom: Rango: Rango: Rango:

��

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

x

y

��

��

��

�

�

�

�

�

�

�

�

x

y

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

�

�

x

y

________________________ ________________________ ________________________

________________________ ________________________ ________________________

Dom: Dom: Dom: Rango: Rango: Rango:

Actividad: 4


Secuencia didáctica 2. Gráficas de funciones racionales.

�Inicio��



Identifica el método para resolver ecuaciones polinomiales.

Aplica diferentes métodos de solución de ecuaciones polinomiales.



docente

Resuelve las siguientes ecuaciones.

1) 0xx2x 234 ��

2) 015xx2 2 ��

3) 06x13x2x7x2 234 ��

4) 09xx4 2 ��

Actividad: 1

BLOQUE 4 227

�Desarrollo Para graficar una función racional, se requiere sustituir valores alrededor de las indefiniciones (valores de “x” donde el denominador es cero) y valores extremos (muy grandes y muy pequeños).

Por ejemplo, en la función � �3x

1xxf

��

, tiene su indefinición en x=3, por lo que se requiere sustituir valores muy

cercanos a 3, también es necesario sustituir valores muy grandes y pequeños, como se muestra en las siguientes tablas. Con las tablas se puede concluir que: 1. En la primera se observa que para valores muy cercanos a x=3 por la izquierda, la función tiende a �f ; y

cuando se sustituyen valores muy cercanos a x=3 por la derecha, la función tiende a �f . 2. En la segunda tabla se observa que para valores muy pequeños la función se acerca a 1. 3. En la tercera tabla se observa que para valores muy grandes, la función se acerca a 1.

Analizando la función se pueden obtener otros datos que ayudan a visualizar la gráfica, por ejemplo: 1. Si se sustituye la función en x=3, no se obtiene valor alguno en la función.

� � definidoestáno0

2

33

133f

��

2. Si se realiza el cociente de la función, se tiene: 1

2

3x

1x3x

��

Se puede expresar como:

� �3x

1xxf

��

� �3x

21xf

��

Al sustituirse valores muy grandes o muy pequeños 3x

2

� se aproxima a cero y la función se acerca a 1.

x � �3x

1xxf

��

x � �3x

1xxf

��

x � �3x

1xxf

��

2 -1 -30 0.94 14 1.18

2.5 -3 -28 0.94 16 1.15

2.9 -19 -26 0.93 18 1.13

2.99 -199 -24 0.93 20 1.12

3 indefinición -22 0.92 22 1.11

3.01 201 -20 0.91 24 1.10

3.1 21 -18 0.90 26 1.09

3.5 5 -16 0.89 28 1.08

4 3 -14 0.88 30 1.07


Estos dos análisis coinciden, por lo tanto, se puede trazar dos rectas auxiliares que acoten estos comportamientos, a estas rectas se les conoce como asíntotas.

��

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

�

�

�

x

f (x)

Graficando algunos de los puntos se puede orientar la forma de la función.

Su gráfica queda de la siguiente manera.

��

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

�

�

�

x

f (x)

Para bosquejar la gráfica de una función racional, se requiere conocer dónde están situadas las rectas asíntotas, es por ello que se debe diferenciar los tipos de asíntotas.

��

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

�

�

�

x

f (x)

BLOQUE 4 229

Asíntotas de funciones racionales. Una recta es asíntota de una curva (la función racional) si la distancia entre un punto sobre la curva y la recta se aproxima a cero a medida que el punto se aleja del origen de coordenadas. En otras palabras, las asíntotas son líneas que nunca tocan a la función pero se encuentran muy cercanas a ella. Asíntotas verticales. Son las rectas auxiliares que son paralelas al eje Y, como se muestra en la siguiente gráfica.

La función que describe la gráfica anterior es � ��

43x

1xf

2�

� y su indefinición es cuando x=3, la cual la

representa precisamente la asíntota vertical, por lo tanto, las asíntotas verticales son las indefiniciones que puede tener una función. La ecuación de la recta es x−3=0. Asíntotas horizontales. Éstas son las rectas auxiliares paralelas al eje X. Utilizando la función anterior para determinar las asíntotas horizontales se observa la posición de la misma.

Asíntota vertical

��

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

�

�

�

x

f (x)

Asíntota horizontal

��

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

�

�

�

x

f (x)


Para conocer la posición de la asíntota horizontal, es necesario sustituir valores extremos, es decir, muy grandes o pequeños. Analizando la función, para valores que se acercan a infinito, se deduce lo siguiente:

� ��

43x

1xf

2�

�

El término � �23x

1

� cuando “x” se acerca o tiende a f , se aproxima a cero, dado que el numerador es 1 y el

denominador cada vez es más grande, por lo tanto, el valor de la función cuando fox (“x” tiende a f ) es −4, por lo que la ecuación de la asíntota horizontal es:

� �

04y

4y

ó

4xf

��

�

Ahora, si se quiere conocer las asíntotas horizontales de una función de la cual no es tan sencillo visualizar su comportamiento en valores extremos, se tendrá que aplicar el algoritmo de la división y expresar en forma de factores y residuo, como se muestra a continuación. Ejemplo1.

Expresar la ecuación de la asíntota horizontal de la función � �x

3xxf

� .

1

30

x

3xx

�

��

Por lo tanto, la función se puede expresar como:

� �

� �x

31xf

x

3xxf

�

�

Así que cuando fox , la función se acerca a 1, por lo tanto, la ecuación de la asíntota horizontal es:

� �

01y

1y

ó

1xf

�

Si se desea visualizar la gráfica, también se considerará la asíntota vertical, la cual es cuando se indefine la función, y esto es, cuando x=0.

��

��

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

�

�

�

x

f (x)

BLOQUE 4 231

Asíntotas oblicuas. Son rectas auxiliares inclinadas y éstas se generan en funciones racionales donde el grado del numerador es una unidad mayor que el del denominador. En este caso, al realizar el algoritmo de la división, se obtiene como cociente una recta, esto se verificará con el siguiente ejemplo. Ejemplo 1.

Determinar la ecuación de la asíntota de la función � �2

3

x

4xxf

� .

Al realizar el algoritmo de la división se obtiene:

x

40

x

4xx3

32

�

�

�

La función se expresa así:

� �2x

4xxf �

Cuando fox la parte de la función 2x

4� se aproxima a cero, por lo tanto, la función se convierte en:

� �

xy

ó

xxf

La asíntota oblicua es la función identidad. También tiene una asíntota vertical, cuando x=0, porque es cuando se indefine la función, por lo tanto, su gráfica queda de la siguiente forma:

��

��

��

x

f (x)

Utiliza un graficador para que compruebes todas las funciones racionales que se han graficado en este bloque.


En resumen, si f(x) es una función racional, se puede decir que:

1. La función f(x) tiene asíntotas verticales en los ceros del denominador. 2. La función f(x) tiene asíntotas horizontales cuando el grado del numerador es menor o igual al grado del

denominador. 3. La función f(x) tiene asíntotas oblicuas, si el grado del numerador es un grado mayor que el del denominador.

Resuelve lo que se pide. I. Encuentra las ecuaciones de las asíntotas de cada una de las funciones y bosqueja la

gráfica correspondiente.

1) � �x

x614xf

2�

2) 1x

xx2x)x(g

2

23

�

��

3) � �1x2

x3xk

2

2

�

Actividad: 2

BLOQUE 4 233



Indica las asíntotas de una función racional.

Obtiene las asíntotas para bosquejar la gráfica de una función racional.

Aprecia la utilidad de las asíntotas para bosquejar las gráficas de las funciones racionales.


docente

4) 1x

x)x(p

2

�

5) 1x

1x3x)x(t

2

��

II. Escribe la ecuación de una función racional que tenga como asíntota oblicua a la recta 2xy �� y que además pase por el punto (1,3).



Al igual que todas las funciones que se han abordado en este bloque, la función racional tiene aplicaciones importantes en situaciones reales, como el ejemplo que sigue: Ejemplo 1. Una compañía encontró que la demanda del artículo que vende varía en forma inversamente proporcional al precio del mismo. Cuando el precio del artículo es de $2.25, la demanda es de 300 unidades. Expresa la función que describe la demanda del producto dependiendo del precio del artículo. Si “D” representa la demanda del artículo y “p” se identifica como el precio, entonces, se tiene la siguiente relación.

p

kD

Donde “k” es la constante de proporcionalidad y para encontrar su valor se sustituyen los datos que proporciona el problema, es decir, la demanda y el precio quedando como sigue:

25.2

k300

Despejando “k” se tiene:

� �� 675k

25.2300k

La función una vez sustituida la constante queda:

� �p

675pD

La gráfica que representa la demanda se muestra a continuación.

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

p

D(p)

BLOQUE 4 235

�Cierre

Resuelve lo que se indica. 1. El volumen de una solución varía inversamente con su concentración. Un milímetro de una

solución tiene una concentración de 40 mg por litro de nitrato de plata. a) Encuentra el valor de la constante de proporcionalidad.

b) Expresa el volumen en función de la concentración de nitrato de plata.

c) ¿Cuál es el volumen de la solución cuando la concentración es de 65 mg por litro de nitrato de plata?

2. Las feromonas y dopaminas son sustancias químicas que libera el organismo en los individuos cuando empiezan a enamorarse, produciendo una doble sensación de aletargamiento y de hiperactividad. Si se

supone que la función racional 12 �

x

x)x(f , representa el porcentaje de estas sustancias en una persona,

durante una etapa de su enamoramiento, donde “x” representa el número de meses:

a) Utiliza una tabla de valores para que traces la gráfica.

Actividad: 3


b) ¿Cuál es la cantidad global de estas substancias presentes a los cinco meses?

c) Según este modelo, ¿en cuánto tiempo se alcanza la máxima producción y cuál es ésta?

d) ¿Qué tipo de asíntotas tiene la función?

3. Para realizar una construcción en una fábrica, cinco obreros la terminan en tres días, Si el tiempo en el que realizan la construcción es inversamente proporcional al número de obreros (considerando que todos trabajan al mismo ritmo), determina lo siguiente: a) Encuentra la constante de proporcionalidad.

b) Expresa la función del trabajo realizado, en términos del número de obreros. c) ¿En cuánto tiempo terminarán la misma construcción 7 obreros?


BLOQUE 4 237

4. Una lancha demora 0.5 horas en atravesar un lago con una rapidez promedio de 40 Km/h,

¿qué rapidez promedio necesita la lancha para regresar en 0.2 horas?

5. Para llenar un estanque con una sola llave de agua se requieren 12 horas, ¿Cuántas llaves del mismo tipo

que la primera se requieren para llenar el estanque en 3 horas?

6. El valor de un automóvil se deprecia en proporción inversa a su antigüedad. Si un sedan valía $50,000

cuando tenía 3 años. a) Encuentra la constante de proporcionalidad.



Evaluación

Actividad: 3 Producto: Problemas de aplicación. Puntaje: Saberes

Conceptual Procedimental Actitudinal Reconoce la aplicación de las funciones racionales.

Aplica las funciones racionales en situaciones reales.

Aprecia la aplicabilidad de las funciones racionales.


docente

b) Expresa el valor de un automóvil en función de su antigüedad.

c) ¿Cuánto tenga 10 años, cuál será su valor?

7. Si se mantiene fija el área de un terreno rectangular, el largo es inversamente proporcional a su ancho. Si el

ancho del terreno es de 12 m y su largo es de 20 m. a) Expresa el ancho en función del largo.

b) Si el largo aumenta 16 metros, ¿cuánto mide el ancho?


Utiliza funciones exponenciales y logarítmicas.

Competencias disciplinares básicas: x Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos,

geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. x Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. x Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos

establecidos o situaciones reales. x Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales,

mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. x Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su

comportamiento. x Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades

físicas de los objetos que lo rodean. x Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Unidad de competencia: x Construye e interpreta modelos exponenciales y logarítmicos aplicando las propiedades de crecimiento y

decrecimiento propias de estas funciones, para representar situaciones y resolver problemas teóricos o prácticos, de su vida cotidiana o escolar, que le permiten comprender y transformar su realidad.

x Contrasta los resultados obtenidos mediante la aplicación de modelos racionales, en el contexto de las situaciones reales o hipotéticas que describen.

x Interpreta tablas, gráficas, diagramas y textos con información relativa a funciones exponenciales y logarítmicas.



UTILIZA FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS 240

Secuencia didáctica 1. Funciones exponenciales.

�Inicio��



Reconoce algunas características de las funciones exponenciales.

Deduce algunas características de las funciones exponenciales.



docente

Desarrolla lo que se pide, en relación con la siguiente expresión y=2 x .

1. ¿Cuál es su significado?

2. Calcula los valores correspondientes de “y” para x =2, 3, 4, 20, 0,−1, −2, −3, 1/2, 1/4, 3/4, −1/3.

3. ¿Es posible encontrar algún valor de “x” para el cual x2y resulte negativa? Justifica tu respuesta.

4. ¿Es posible encontrar algún valor de “x” para el cual “y” sea igual a 40? 5. ¿Puede representarse gráficamente la expresión? Justifica tu respuesta.

6. ¿Es posible encontrar valores de x que hagan que “y” resulte mayor que 40, que 400, que 4000? Explica tu

respuesta.

7. ¿Conoces un fenómeno o situación que se pueda representar mediante esta función? Descríbelo.

Actividad: 1

BLOQUE 5 241

�Desarrollo La aparición de las funciones exponenciales surge naturalmente cuando se estudian diversos fenómenos relacionados con el crecimiento y el decrecimiento de poblaciones humanas, con colonias de bacterias, con sustancias radiactivas y con muchos otros procesos vinculados con la economía, la medicina y la química, entre otras disciplinas. Un ejemplo de la aplicación de las funciones exponenciales se presenta en la división celular que tiene lugar en el vientre materno, cuando se gesta un ser humano. El núcleo del espermatozoide de un hombre se fusiona con el óvulo de la mujer dando origen a una célula llamada cigoto, la cual se divide en dos células y luego en cuatro, posteriormente en ocho y así sucesivamente continúa desarrollándose hasta el nacimiento de un nuevo ser humano; por otro lado, también el crecimiento bacteriológico presenta crecimiento exponencial. Otro ejemplo se encuentra en la forma en que se reproduce la marea roja, la cual la forma billones de protozoos que se multiplican a gran velocidad, afectando con ello a muchas especies marinas. Concepto de función exponencial. La función exponencial es una función trascendente cuya forma es:

� � xbxf

donde a “b” se le denomina base y es una constante positiva diferente de 1, y a la variable “x” se le denomina exponente. En la definición anterior, el coeficiente principal es uno, así que generalizando la definición se tiene:

� � xAbxf

donde el coeficiente A representa la condición inicial, esto es porque cuando x=0 se tiene:

� �� A0f

1A0f

Ab0f 0

La definición de la función exponencial exige que la base siempre sea positiva y diferente de uno, porque en el caso contrario, al tener como base 1, se obtendría la función constante igual al coeficiente, como se muestra a continuación.

� �� Axf

1Axf

Abxfx

x

Si la base fuese negativa, se tendrían valores sin sentido en los números reales, como el siguiente.

� � realesnúmeroslosenexisteno99 21

� �

La función exponencial � � xbxf presenta las siguientes características: 1. Su dominio son todos los números reales. 2. En todos los casos la función pasa por el punto (0, 1). 3. Los valores de la función siempre son positivos para cualquier valor de “x”. 4. Siempre es creciente si b>1, y siempre es decreciente si 0<b<1. 5. El eje X se convierte en una asíntota.


Para visualizar todo lo anterior, en el mismo plano cartesiano, se grafica algunas funciones exponenciales.

x � � x2xf � � x3xf � � x4xf � � x4xf � � x6xf

-4 0.0625 0.0123 0.0039 0.0016 0.0008 -3 0.125 0.0370 0.0156 0.008 0.0046 -2 0.25 0.1111 0.0625 0.04 0.0278 -1 0.5 0.3333 0.25 0.2 0.1667 0 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 2 4 9 16 25 36 3 8 27 64 125 216 4 16 81 256 625 1296

x � � � �x21xf � � � �x3

1xf � � � �x41xf � � � �x5

1xf � � � �x61xf

−4 16 81 256 625 1296 −3 8 27 64 125 216 −2 4 9 16 25 36 −1 2 3 4 5 6 0 1 1 1 1 1 1 0.5 0.3333 0.25 0.2 0.1666 2 0.25 0.1111 0.0625 0.04 0.0277 3 0.125 0.0370 0.0156 0.008 0.0046 4 0.0625 0.0123 0.0039 0.0016 0.0007

��

��

�

�

�

�

x

f (x) � � x2xf

� � x3xf � � x4xf

� � x5xf

� � x6xf

BLOQUE 5 243

��

��

�

�

�

�

x

f (x)

� � � �x21xf

� � � �x21xf

� � x2xf

� � � �x31xf

� � � �x41xf

� � � �x51xf

� � � �x61xf

Desarrolla lo que se pide. I. Utiliza la calculadora para completar la tabla; con los valores obtenidos en ella, traza la

gráfica de las funciones, determina su dominio y rango.

x � � x2xf �

��

��

��

��

�

�

�

�

�

�

�

�

�

��

x

f (x)

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4

Actividad: 2


x � � � � x5

2xf �

��

��

��

��

�

�

�

�

�

�

�

�

�

��

x

f (x)

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4

x � � 12xf x �

��

��

��

��

�

�

�

�

�

�

�

�

�

��

x

f (x)

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4

x � � � � 23xf x �

��

��

��

��

�

�

�

�

�

�

�

�

�

��

x

f (x)

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4


BLOQUE 5 245



Escribe los valores que pertenecen a la gráfica de funciones exponenciales.

Dibuja la gráfica de funciones exponenciales.

Aprecia la utilidad de la calculadora para encontrar valores de funciones exponenciales.


docente

Variación exponencial. El siguiente ejemplo se puede modelar a través de una función exponencial. Ejemplo 1. Un medicamento se elimina del cuerpo a través de la orina. La dosis inicial es de 10 mg y la cantidad que queda en el cuerpo se disminuye el 80 % cada hora. Para que el fármaco haga efecto en el cuerpo, debe haber por lo menos 2 mg del mismo. Determinar cuándo quedan sólo 2 mg. Con una tabla se puede visualizar la función, al ir presentando algunos datos que cumplen con el comportamiento del medicamento en el cuerpo.

Tiempo transcurrido

(hrs) 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Cantidad de medicamento

(mg) 10 8 6.4 5.12 4.096 3.2768 2.62144 2.09715 1.67772

II. Resuelve las siguientes ecuaciones (utiliza la calculadora para que verifiques los resultados).

1) 322x

2) 42

1 x

¸¹

·¨©

§

3) 644 x �



Para obtener las cantidades anteriores se realizaron las siguientes operaciones. Por lo tanto, la cantidad de medicamento en el cuerpo al transcurrir el tiempo se puede expresar como:

� � � �t8.010tC Según los datos obtenidos, cuando han transcurrido 7 horas se acerca a la cantidad de 2 mg en el cuerpo, es por ello que la dosis para la administración de este medicamento tiene que ser 10 mg cada 7 horas. Para encontrar el tiempo exacto en el cual el cuerpo se tendrán 2 mg del medicamento en el cuerpo, se requiere conocer la solución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas, la cual se explicará al finalizar de este bloque. Factor y tasa de crecimiento. El factor de crecimiento es el factor constante por el cual se multiplica cada valor en un patrón de crecimiento exponencial, para obtener el siguiente valor. El factor de crecimiento es la base en una ecuación exponencial; por ejemplo, en el problema anterior, el factor de crecimiento es 0.8, debido a que es el valor que se multiplica tantas veces como el tiempo transcurre. Ahora, se presentará el siguiente ejemplo para obtener la tasa de crecimiento. Ejemplo 1. En un salón de clases, un alumno se enferma de gripe y contagia a cuatro de sus compañeros en una semana. A la siguiente semana hay 16 contagiados en cinco salones. A las tres semanas, el virus lo tienen 64 personas de la escuela. En cuatro semanas ¿cuántas personas se habrán contagiado de gripe? Para obtener el modelo del problema se presentan los siguientes valores. Al dividir dos resultados consecutivos, siempre da como resultado 4, es por ello que el factor de crecimiento es 4, por lo tanto, la función que modela esta situación es:

� � t4tN En cuatro semanas se tendrán 256 contagiados.

� � 25644N 4 Una tasa se identifica como un porcentaje de aumento o disminución de un valor inicial y se puede expresar como un porcentaje. El término “tasa” es comúnmente utilizado en matemáticas financieras, en el cálculo del interés compuesto.

Tiempo Cantidad de medicamento 0 10 1 10(0.80)=8 2 10(0.80)(0.80)=6.4 3 10(0.80)(0.80)(0.80)=5.12 4 10(0.80)(0.80)(0.80)(0.80)=4.096 5 10(0.80)(0.80)(0.80)(0.80)(0.80)=3.2768 6 10(0.80)(0.80)(0.80)(0.80)(0.80)(0.80)=2.62144 7 10(0.80)(0.80)(0.80)(0.80)(0.80)(0.80)(0.80)=2.09715 8 10(0.80)(0.80)(0.80)(0.80)(0.80)(0.80)(0.80)(0.80)=1.67772

Tiempo (semana)

0 1 2 3 4

Número de personas contagiados

1 4 16 64 256

BLOQUE 5 247

La tasa de crecimiento se deduce mediante la siguiente fórmula:

periododelinicialValor

periododelinicialValorperiododelfinalValorocrecimientdeTasa

�

La razón de crecimiento =Tasa de crecimiento x 100%. Si se considera el ejemplo anterior para encontrar la tasa de crecimiento, tomando en cuenta los dos primeros valores, se obtiene:

31

14ocrecimientdeTasa

�

Si se desea generalizar, se considera la función � � xAbxf , de la cual, tomando los dos primeros valores, se obtiene:

� �

1bA

1bAA

AAbAb

AbAbocrecimientdeTasa

0

01

�

�

�

�

Por lo tanto, se concluye que si la tasa de crecimiento se denota como r, ésta se puede expresar como:

1br � También se puede visualizar la base como:

r1b � De la misma forma se puede determinar la tasa de decrecimiento, la cual es:

r1b �

En ambos casos el crecimiento se da por periodos de tiempo, como se muestra en el siguiente ejemplo. Ejemplo 2.

Si el valor de un objeto está dado por � � � �t10.1600tV , calcular: a) La tasa de crecimiento. b) El valor del objeto al cabo de un año.

En la función se reconoce la base, la cual es b=1.10, por lo tanto, la tasa de crecimiento es:

10.0r

110.1r

�

La tasa de crecimiento es 0.10, es decir, el valor del objeto crece a razón del 10%. En cuanto al valor al transcurrir un año, éste se obtiene al sustituir t=1 en la función.

� � � �� 6601V

10.16001V 1

El valor del objeto es $660 al transcurrir un año.


Desarrolla lo que se pide. 1. Escribe una función exponencial, cuyo valor inicial es igual a 24 y el factor de crecimiento es

igual a 3.

2. Si la tasa de crecimiento de una función exponencial es igual a 0.15, entonces el factor de crecimiento es

igual a:____________ 3. Si se invierten $25,000 en una cuenta bancaria, al 20% de interés anual durante tres años, ¿cuál es el monto

que se genera en ese periodo? 4. Un niño deposita $500 en una cuenta de ahorros que paga interés a una tasa de 6% compuesto anual

capitalizado semanalmente. ¿Cuánto tendrá en la cuenta después de un año? 5. El precio de un automóvil nuevo se incrementa cada año en 12.7%. Si actualmente un automóvil cuesta

$135 000: a) Escribe una función mediante la cual obtengas el precio del automóvil como función del número “t” de

años transcurridos.

b) ¿Cuánto costará un auto último modelo dentro de 6 años? 6. Se sabe que el organismo elimina la nicotina a una razón de 40% cada hora. Una persona que fuma un

cigarro, después de 2 horas tiene en su cuerpo 5 mg de nicotina. a) Escribe una función que dé la cantidad de nicotina en función del número t de horas después de haber

fumado un cigarro.

b) ¿Cuánta nicotina tiene en su cuerpo esa persona después de 3 horas?

Actividad: 3

BLOQUE 5 249



Identifica la tasa y factor de crecimiento para dar solución a problemas reales.

Aplica la función exponencial para resolver problemas de la vida real.



docente

El número e. Caracterización e importancia.

Al igual que 3 y S , el número “e” es un número irracional. Su descubrimiento se le atribuye a Leonhard Euler, quien en su artículo “Introductio in Analysin Infinitourm” en 1748, demostró que:

....120

1

24

1

6

1

2

11.....

!3

1

!2

1

!1

11e ��

Dando como resultado aproximado e = 2.718281828…, el cual se puede obtener con una calculadora científica. Observa con cuidado las siguientes figuras para que localices dónde se ubica la función e.

Notarás que se encuentra de color amarillo, lo cual significa que para activarla tienes que oprimir primero la tecla “Shift”. Prueba con e1 para que compruebes el valor del número de Euler.

El número “e” se emplea como base de los logaritmos naturales y es importante, porque participa en muchas situaciones que modelan planteamientos de tipo exponencial. Ejemplos:

1) En ocasiones, los psicólogos utilizan la función � � � �kte1AtL �� , para medir el nivel de aprendizaje en un determinado tiempo “t”, donde L(t) es la cantidad aprendida en el tiempo t; A es la cantidad por aprender; y k es el nivel de aprendizaje.

2) La expresión empleada para calcular el interés compuesto continuamente es � � )e(MtT rto donde M0 es el monto

inicial, T(t) es el monto a pagar transcurrido el tiempo “t”; r es la tasa de interés compuesto y “e” es el rendimiento sobre una inversión durante “t” años, a una tasa de interés de 100% compuesto continuamente.

Función exponencial natural. La función exponencial natural es aquella que tiene como base el número “e” y se representa mediante la función:

� � xkeAxf Si k>0, la función es creciente y si k<0, la función es decreciente. En finanzas, cuando una cierta cantidad de dinero (C0) se capitaliza continuamente, se emplea la función exponencial natural para determinar el monto total (C), al cabo de un cierto tiempo (t) con una tasa de interés (r). La expresión queda como sigue:

� � tr0eCtC


Ejemplo 1 Si son invertidos $1000 a una tasa anual del 7% capitalizado continuamente, ¿cuál será el monto al final de 3 años? Se sustituye la función continua de capitalización continua.

� � tr0eCtC

Donde: C0=1000 r=0.07 t=3 Se tiene como resultado:

� ��

� � 68.12333C

e10003C

eCtC307.0

tr0

Al cabo de tres años, se tiene un capital de $1233.68. En la siguiente tabla se concentran las fórmulas explicadas anteriormente.

Forma general Forma aplicada para comportamiento de decrecimiento

Forma aplicada para comportamiento de crecimiento

Condiciones

Función exponencial � � xAbxf � � � �t0 r1PtP � � � � �t0 r1PtP �

P: Valor final. P0: Valor inicial. r: tasa de crecimiento o decrecimiento por periodos. t: tiempo transcurrido.

Función exponencial natural

� � xkeAxf � � tr0ePtP � � � tr

0ePtP

P: Valor final. P0: Valor inicial. r: tasa de crecimiento o decrecimiento continuo. t: tiempo transcurrido.

Ejemplo 2. Un banco paga 8% anual de interés, si se deposita la cantidad de $25 000, calcular: a) ¿Cuánto dinero habrá después de 10 años si se capitaliza anualmente? b) ¿Cuánto dinero habrá después de 10 años si se capitaliza continuamente? En este caso se presentan los dos tipos de funciones; en el inciso a) se utiliza la función con crecimiento por periodo, y en el inciso b) el crecimiento es continuo. Para dar respuesta al inciso a)

se utiliza la fórmula � � � �t0 r1CtC � , donde: C es el capital final. C0=25,000 r=0.08 t=10

Al final de 10 años, habrá $53,973.12 en el banco.

� � � �� 12.973,5310C

08.01000,2510C

r1CtC10

t0

�

�

BLOQUE 5 251

Para darle respuesta al inciso b)

se utiliza la fórmula � � tr0eCtC , donde:

C es el capital final. C0=25,000 r=0.08 t=10 Al final de 10 años, el monto total será de habrá $55,638.52 en el banco.

�Cierre �

Plantea y resuelve los siguientes problemas, utilizando la función correspondiente. 1. Una población crece a razón de 6% anual; si actualmente hay 3750 habitantes:

a) Escribe la función de la cantidad de habitantes al transcurrir los años. b) ¿Cuántos habitantes habrá después de 5 años?

2. La masa de una sustancia radiactiva se desintegra en 1.17% cada hora; si inicialmente hay 26.57 Kg. de

esta sustancia: a) Escribe la función de la masa de la sustancia al transcurrir las horas. b) ¿Qué cantidad de sustancia habrá después de una semana?

Actividad: 4

� ��

� � 52.638,5510C

e000,2510C

eCtC1008.0

tr0

Sitios Web recomendados: Ingresa a los siguientes sitios, en ellos encontrarás múltiples aplicaciones de la función exponencial y logarítmica. http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/1bach/naturaleza/aplicacionesdelaexponencial/aplicaciones.htm http://www.matebrunca.com/Contenidos/Matematica/Funciones/expo-log-aplicac.pdf http://bc.inter.edu/facultad/NTORO/expow.htm

http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/1bach/naturaleza/aplicacionesdelaexponencial/aplicaciones.htm

http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/1bach/naturaleza/aplicacionesdelaexponencial/aplicaciones.htm

http://www.matebrunca.com/Contenidos/Matematica/Funciones/expo-log-aplicac.pdf

http://www.matebrunca.com/Contenidos/Matematica/Funciones/expo-log-aplicac.pdf

http://bc.inter.edu/facultad/NTORO/expow.htm


3. Una colonia de roedores crece a razón de 7% mensual; si actualmente hay 798 roedores: a) Escribe la función de la cantidad de roedores al transcurrir los meses. b) ¿Cuántos roedores habrá después de 20 meses?

4. Una enfermedad contagiosa se propaga en 2.5% mensual, si inicialmente hay 67 enfermos:

a) Escribe la función de la cantidad de enfermos al transcurrir los meses. b) ¿Cuántos enfermos habrá después de un año?

5. Un banco paga un interés de 11% anual, si se desea tener $250,000 dentro de 3 años:

a) ¿Qué cantidad se debe depositar hoy si la capitalización es continua? b) ¿Qué cantidad se debe depositar hoy si la capitalización es anual?

6. Se sabe que el número de bacterias crece en forma exponencial diariamente de acuerdo con la función

� � � �t0 3.1PtP , si actualmente hay 127,000: a) ¿Cuántas bacterias habrá dentro de 6 días? b) ¿Cuántas bacterias habrás dentro de 9 días?


BLOQUE 5 253



Indica la función exponencial que da solución a problemas de la vida cotidiana.

Aplica la función exponencial para resolver problemas de la vida real.

Se interesa en la aplicabilidad de las funciones exponenciales y comparte los resultados con el grupo, en la retroalimentación.


docente

7. Se sabe que el número de ratones de una colonia crece en forma exponencial anualmente,

de acuerdo con la función � � � �t0 2.1PtP , si actualmente hay 25,700 ratones: a) ¿Cuántos ratones habrá dentro de año y medio? b) ¿Cuántos ratones habrá dentro de 4 años?

8. El uranio se desintegra de acuerdo con la función exponencial � � � �t0 7.0MtM , donde “t” se mide en horas, si inicialmente hay 200 gramos de uranio, ¿qué cantidad de uranio habrá después de 6 horas?

9. Las células cancerosas de un tumor crecen en forma exponencial diariamente de acuerdo con la función

� � � �t0 35.1PtP . Cuando se descubre este tumor se calcula que hay 235,000 células cancerosas. a) ¿Cuántas células cancerosas habrá después de 3 días? b) ¿Cuántas células cancerosas habrá después de 8 días?



Secuencia didáctica 2. Función logarítmica.

�Inicio�



Reconoce las funciones de la calculadora, para obtener valores tanto con exponentes como con logaritmos.

Utiliza la calculadora para obtener valores con exponentes o con logaritmos.



docente

Utiliza la calculadora para encontrar los siguientes valores.

1) 105

2) 5

1

7776

3) �38

4) 4e

5) �5e3

6) 5.4log

7) 002.0log

8) 15ln

9) 13.56ln

10) � � 6000728.0log

Actividad: 1

BLOQUE 5 255

�Desarrollo Durante tu trayecto académico has resuelto ecuaciones lineales, cuadráticas y cúbicas, entre otras, pero no se te habían presentado ecuaciones cuya variable se encontrara en el exponente, es decir, ecuaciones exponenciales, como por ejemplo:

a) 642x

b) 24x

c) 1323 1x2 � Comúnmente en los despejes de ecuaciones se requiere pasar dividiendo, un término que está multiplicando, así como se pasa restando un término que se está sumando, esto es porque se utiliza la operación inversa para llevar a cabo los despejes. En este caso, como la variable está en el exponente, no se puede ni multiplicar, ni dividir o potenciar la ecuación para extraer la variable. Se requiere aplicar la función inversa de la función exponencial y ésta es la función logarítmica. A continuación se te presenta el concepto de logaritmo. Concepto de logaritmo. El logaritmo base “b” es el inverso de la ecuación exponencial de base “b”.

NbNlogx xb �om si N y b son positivos y 1b z .

Lo cual permite ir de la representación exponencial a la logarítmica y viceversa. Ejemplo 1.

Convertir la 168077x a su forma logarítmica. Observando la ecuación exponencial anterior, se tiene: b=7 N=16807 Siguiendo la definición se tiene que:

16807logx168077 7x �o�

Ejemplo 2. Convertir la 6262144log8 a su forma exponencial. b=8 N=262144 x=6

26214486262144log 68 �o�




Reconoce la trasformación de la notación exponencial a la notación logarítmica y viceversa.

Realiza transformaciones de la notación exponencial a la notación algebraica.



docente

Resuelve lo que se solicita. I. Convierte cada una de las expresiones exponenciales a la forma logarítmica.

1) 823

2) 150

3) 64

14 3 �

4) 927 32

5) 0001.010 4 �

6) y2x

II. Escribe las expresiones siguientes en forma exponencial.

1) 01log10

2) 110log10

3) 2

16log36

4) 5

12log32

5) 16

1log6 �

6) 2ylogx

Actividad: 2

BLOQUE 5 257

Notarás que tu calculadora proporciona únicamente los logaritmos base 10 y base “e”, en el caso del logaritmo base 10, la notación que más se utiliza para nombrarlo es únicamente log y para el logaritmo base “e” se utiliza ln, como se muestra a continuación.

loglog10

lnloge

A continuación se proporciona un listado de propiedades que facilitan, en mucho de los casos, la solución de ecuaciones tanto logarítmicas como exponenciales, las cuales se abordarán al finalizar el bloque. También dentro de este listado se encuentra el cambio de base, es decir, la forma de calcular el logaritmo de cualquier base. Propiedades de los logaritmos.

1. blog

MlogMlogb

2. NlogMlogMNlog bbb �

3. NlogMlogN

Mlog bbb �

4. MlognMlog bn

b



Selecciona las teclas adecuadas de la calculadora para obtener el valor del logaritmo.

Escoge las teclas adecuadas de la calculadora para obtener el valor del logaritmo.

Aprecia la tecnología como herramienta de apoyo a su aprendizaje.


docente

Utiliza la calculadora para encontrar el valor de los siguientes logaritmos.

1) 4log

2) 001.0log

3) 58.2log10

4) 1loge

5) 12loge

6) 6ln

7) 3

1ln

8) 81log3

9) 625log5

10) 4log1025

Actividad: 3


Concepto de función logarítmica. La función logarítmica de base b es la inversa de la función Exponencial de base b, esto es:

xbxlogy yb �om

El hecho de que la función logarítmica es inversa de la función exponencial, implica que la acción que una de ellas realiza sobre un número, es eliminada por la otra función, es decir:

� � xblog xb

Gráfica de la función logarítmica. Dentro de las funciones logarítmicas, se tienen dos comportamientos diferentes, de acuerdo al valor de la base “b”. I. Cuando 1b ! las funciones tienen las siguientes propiedades:

1. Su dominio son los números reales positivos. 2. Rango son los números reales. 3. Son funciones continuas y crecientes en todo su dominio. 4. Sus gráficas pasan por los puntos (1, 0) y (b, 1). 5. La recta x=0 es una asíntota vertical. 6. La función es negativa para los valores de “x” menores que 1. 7. La función es positiva para valores de “x” mayores que 1.

Para visualizar todo lo anterior, se grafica en el mismo plano cartesiano algunas funciones logarítmicas base 10, debido a que es la función que proporciona la calculadora, además de la función base “e”. Posteriormente se proporcionarán algunas propiedades de los logaritmos, dentro de las cuales existe una que permite calcular el logaritmo de cualquier base

x � � xlogxf 2 � � xlnxlogxf e � � xlogxlogxf 10

0.2 -2.32192809 -1.60943791 -0.69897 0.5 -1 -0.69314718 -0.30103 0.8 -0.32192809 -0.22314355 -0.09691001 1 0 0 0 2 1 0.693147181 0.30103 3 1.5849625 1.098612289 0.47712125 4 2 1.386294361 0.60205999 5 2.32192809 1.609437912 0.69897 6 2.5849625 1.791759469 0.77815125 7 2.80735492 1.945910149 0.84509804 8 3 2.079441542 0.90308999 9 3.169925 2.197224577 0.95424251 10 3.32192809 2.302585093 1

� � xlogxf 2

� � xlnxf

� � xlogxf ��

��

��

��

��

�

�

�

�

x

f (x)

BLOQUE 5 259

II. Cuando 1b0 �� las funciones tienen las siguientes propiedades: 8. Su dominio son los números reales positivos. 9. Rango son los números reales. 10. Son funciones continuas y decrecientes en todo su dominio. 11. Sus gráficas pasan por los puntos (1, 0) y (b, 1). 12. La recta x=0 es una asíntota vertical. 13. La función es negativa para los valores de “x” mayores que 1. 14. La función es positiva para valores de “x” menores que 1.

A continuación se visualiza tres funciones con 1b0 �� .

Por el hecho de ser la función logarítmica inversa de la función exponencial, se desprenden algunas propiedades.

1. xb xlogb

2. yblog yb

3. 01logb

4. 1blogb

x � � xlogxf10

1 � � xlogxf2

1 � � xlogxf3

2

0.2 0.69897 2.32192809 3.9693623 0.5 0.30103 1 1.70951129 0.8 0.09691001 0.32192809 0.55033971 1 0 0 0 2 -0.30103 -1 -1.70951129 3 -0.47712125 -1.5849625 -2.70951129 4 -0.60205999 -2 -3.41902258 5 -0.69897 -2.32192809 -3.9693623 6 -0.77815125 -2.5849625 -4.41902258 7 -0.84509804 -2.80735492 -4.79920494 8 -0.90308999 -3 -5.12853387 9 -0.95424251 -3.169925 -5.41902258 10 -1 -3.32192809 -5.67887359

� � xlogxf10

1

� � xlogxf2

1

� � xlogxf3

2

��

��

��

��

��

��

�

�

�

�

x

f (x)


Grafica las siguientes funciones, determina su dominio y rango.

x � � � �1xlnxf �

��

��

��

��

��

�

�

�

�

x

f (x)

x � � � � 32xlnxf ��

��

��

��

��

��

��

��

�

�

x

f (x)

x � � 3xlog2xf �

��

��

��

�

�

�

�

�

�

�

�

x

f (x)

Actividad: 4

BLOQUE 5 261



Identifica la gráfica de funciones logarítmicas.

Construye la gráfica de funciones logarítmicas.

Aprecia la utilidad de la calculadora en la gráfica de funciones logarítmicas.


docente

x � � )3x(ln2xf ��

��

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

x

f (x)

x � � xlog2xf 3

��

��

��

��

��

�

�

�

x

f (x)


Sitios Web recomendados: Ingresa a los siguientes sitios, en ellos encontrarás múltiples aplicaciones de la función logarítmica. http://www.educar.org/enlared/planes/paginas/funcioneslogaritmicas.htm http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/T3_Funcion_Logaritmica.htm http://www.hiru.com/matematicas/funcion-logaritmica

http://www.educar.org/enlared/planes/paginas/funcioneslogaritmicas.htm

http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/T3_Funcion_Logaritmica.htm

http://www.hiru.com/matematicas/funcion-logaritmica


Ecuaciones exponenciales y logarítmicas. A continuación se presenta la solución de algunas ecuaciones tanto logarítmicas y exponenciales. Por comodidad se utiliza el logaritmo base 10 ó base “e”, los cuales son los que ofrecen directamente las calculadoras. Ejemplo 1.

Soluciona la ecuación 41024 x . Hay dos formas de resolverlo, una es transformando la ecuación exponencial a su forma logarítmica utilizando la definición, y la otra opción es aplicando logaritmo en ambos lados de la ecuación y se utilizan las propiedades de logaritmos. Las siguientes tablas presentan las dos formas de solucionar la ecuación.

Utilizando la definición Descripción del proceso

41024 x Ecuación original.

4logx 1024 Se aplica la definición.

1024log

4logx

Se aplica la propiedad del cambio de logaritmo.

blog

MlogMlogb

2.0x Mediante la calculadora se realiza la división.

Utilizando propiedades. Descripción del proceso

41024 x Ecuación original.

4log1024log x Se aplica el logaritmo base 10 a ambos lados.

4log1024logx Se aplica la propiedad:

MlognMlog bn

b

1024log

4logx

Se despeja la variable.

2.0x Mediante la calculadora se realiza la división.

Ejemplo 2.

Resolver la ecuación x1x 34 � . Como notarás, la ecuación tiene en ambos miembros la variable x como exponente, debido a esto, conviene utilizar las propiedades para que sea más sencilla su solución. Primero se aplica logaritmo base 10 a ambos lados de la ecuación.

x1x

x1x

3log4log

34

�

�

BLOQUE 5 263

Posteriormente, se bajan los exponentes como coeficientes en cada uno de los logaritmos.

� � 3logx4log1x �

A continuación se quita el paréntesis del lado izquierdo de la ecuación.

3logx4log4logx � Se pasan las variables de lado derecho y se factoriza por factor común, para poder despejar la variable y encontrar su valor.

� �

� �819.4x

3log4log

4logx

4log3log4logx

4log3logx4logx

�

� �

Ejemplo 3. Resolver la ecuación � � � � 0xlog1x3log �� . Como se observa en la ecuación, hay una diferencia de logaritmos y se puede unificar ya que existe una propiedad para hacerlo, como se muestra a continuación.

� � � �

0x

1x3log

0xlog1x3log

¸¹

·¨©

§ �

��

Ahora se transforma el logaritmo como ecuación exponencial, utilizando la definición (recordando que la base del logaritmo es 10), como se muestra a continuación.

2

1x

1x2

1x3x

1x3xx

1x31

x

1x3100

� ��

�

�

�

Como cualquier ecuación, se puede comprobar el resultado sustituyéndolo en la ecuación original y corroborando que se cumple la igualdad.

� � � ��

� � � �00

0loglog

0log1log

0log13log

0xlog1x3log

21

21

21

23

21

21

�

��

��

��


Ejemplo 4.

La fórmula t/48e7P � representa la producción P de cierta especie de árboles (en millones de pies cúbicos por acre) para un bosque que cuenta con “t” años. Encontrar el tiempo que se necesita para tener una producción de:

a) 1.4 millones cúbicos de árboles. b) 2 millones cúbicos de árboles.

Para dar respuesta a cada uno de estos incisos se sustituye en la función la cantidad de árboles que se espera producir, como se muestra a continuación.

t/48e74.1 � Ahora se despeja la función exponencial.

t/48

t/48

e2.0

e7

3.1

�

�

Ahora se aplica el logaritmo natural como se muestra a continuación.

� � � �t/48eln2.0ln � Como el logaritmo natural es la función inversa de la función exponencial natural, queda:

� � t/482.0ln � Por último se despeja el tiempo.

� �82.29t

2.0ln

48t

�

Tienen que pasar aproximadamente 29.82 años para producir 1.4 millones cúbicos de árboles. Ahora se sigue el mismo procedimiento para dar respuesta al inciso b).

� � � ��

� �32.38t

2857.0ln

48t

t/482857.0ln

eln2857.0ln

e2857.0

e7

2

e72

t/48

t/48

t/48

t/48

�

�

�

�

�

�

Tienen que pasar aproximadamente 38.32 años para producir 2 millones cúbicos de árboles.

BLOQUE 5 265



Selecciona las propiedades adecuadas de los logaritmos para resolver ecuaciones.

Resuelve ecuaciones logarítmicas y exponenciales.

Actúa de manera propositiva al resolver los ejercicios.


docente

Resuelve las siguientes ecuaciones.

1) x

3x

2

14 ¸

¹

·¨©

§ �

2) 32042 1x3x � ��

3) 10

xlog3xlog2 �

4) � �� 2

4x3log

x16log 2

��

5) xlog26logxlog 3 �

6) 21633 1x1x 22

� ��

Actividad: 5


�Cierre

Resuelve los siguientes problemas.

1. A unos estudiantes de física se les aplicó un examen, posteriormente se les aplicó

exámenes mensuales equivalentes al original, para medir el nivel memorístico que poseen. La calificación promedio del grupo se obtiene mediante la función:

� � 12t01tlog1780)t(C dd�� donde C(t) es la calificación promedio que se obtiene a partir del examen aplicado en el tiempo “t”.

a) ¿Cuál fue la calificación promedio en el examen original (t=0)?

b) ¿Cuál fue la calificación promedio después de 6 meses? 2. La relación entre el número de decibeles E y la intensidad del sonido “I” en watts por metro cuadrado está

dado por:

¸̧¹

·¨̈©

§ E

�1610

1log10

a) Simplifica la fórmula mediante las propiedades de los logaritmos.

b) Determina el número de decibeles de un sonido con una intensidad igual a 1010� watts por metro cuadrado.

3. La presión atmosférica “p” disminuye al aumentar la altura. Esta presión medida en milímetros de mercurio

se relaciona con la altura “h” en kilómetros mediante la fórmula h145.0e760p � . ¿A qué altura se tiene una presión de 150 mm de Hg?

Actividad: 6

BLOQUE 5 267

4. Los químicos usan un número denotado PH para describir cuantitativamente la acidez de

ciertas soluciones. Por definición su fórmula es > @�� HlogPH , donde > @�H , es la concentración de iones hidrógeno en moles por litro. Calcula el valor del PH de las siguientes

soluciones dados sus correspondientes > @�H :

a) Vinagre: > @ 310x3.6H ��

b) Zanahoria: > @ 510x1H ��

5. El número de miligramos en el flujo sanguíneo de cierto medicamento suministrado por vía intramuscular se

modela mediante la función t4.0e5N �

Si se considera que al llegar a 2 miligramos se debe administrar nuevamente el medicamento, ¿cuánto tiempo transcurre entre la aplicación de las inyecciones?





Identifica la aplicación de las funciones logarítmicas.

Aplica las funciones logarítmicas en situaciones reales.

Aprecia la aplicabilidad de las funciones logarítmicas.


docente

6. En un cultivo de bacterias, la función que modela su crecimiento es B = 15,000te 4.0, ¿en

cuánto tiempo la población se duplicará?

7. La ecuación � �� x09.14991

12000xf

�� da las ventas totales en x días después del lanzamiento de un nuevo juego

de video. ¿En cuál día se vendieron 6000 juegos?


Emplea funciones periódicas.









Unidad de competencia: x Construye e interpreta modelos periódicos aplicando las propiedades de las funciones senoidales para

representar situaciones y resolver problemas, teóricos o prácticos de su vida cotidiana y escolar, que le permiten comprender y transformar su realidad.

x Contrasta los resultados obtenidos mediante la aplicación de modelos senodidales, en el contexto de las situaciones reales o hipotéticas que describen.

x Interpreta tablas, gráficas, diagramas y textos con información relativa a funciones polinomiales.



EMPLEA FUNCIONES PERIÓDICAS 270

Secuencia didáctica 1. Funciones senoidales.

��Inicio�



Reconoce las definiciones de las funciones seno y coseno.

Calcula el valor de las funciones trigonométricas de ángulos agudos.



docente

Desarrolla lo que se pide.

1. ¿Cómo se define el seno de un ángulo agudo?

2. ¿Cómo se define el coseno de un ángulo agudo?

3. Utiliza la calculadora para obtener las siguientes cantidades:

a) o50sen

b) o45cos

c) o25tan

d) Ssen

e) S2cos

f) S2

sen

g) S

�3

cos

Actividad: 1

BLOQUE 6 271

�Desarrollo En la vida diaria se pueden observar acontecimientos que se repiten siguiendo un patrón predecible, por ejemplo: el hecho de que en regiones de climas templados, el consumo de energía eléctrica se eleva en verano y desciende en invierno; el número de turistas que visitan las playas de México aumentan en periodos vacacionales y disminuyen el resto del año; el precio de venta de las frutas en temporada de verano disminuye y aumenta en invierno. Así como estos ejemplos, hay otros que pueden ser modelados con funciones periódicas, las cuales son aquellas que repiten el mismo valor en intervalos regulares de la variable. Una función f(x) es periódica si existe un número “p”, tal que, pueda hacer f(x+p)=f(x), para todas las “x”; al número “p” se le llama periodo. Debido a que las funciones seno y coseno repiten sus valores con un patrón regular, éstas son consideradas funciones periódicas, las cuales se construyen mediante las razones trigonométricas de seno y coseno, respectivamente. En la asignatura de Matemáticas 2 se abordó la definición geométrica de función seno y coseno, la cual se construye con el círculo unitario, como se muestra en las siguientes figuras. En esta gráfica, se observa cómo los segmentos verticales (cateto opuesto), corresponden al valor del seno del ángulo A, debido a que la hipotenusa en cada triángulo es de longitud 1.

0 S6

1S

3

1S

2

1S

3

2S

6

5S S

6

7S

3

4S

2

3S

3

5S

6

11 S2

Asen

Ax

y

-1

1

En la función coseno, la longitud de los segmentos horizontales (cateto adyacente) corresponde al valor del coseno del ángulo A, por ello, en la figura el círculo unitario se voltea 90º en sentido contrario a las manecillas del reloj, para que el segmento correspondiente al cateto adyacente de los triángulos rectángulos coincida con la altura del valor de la función, como se muestra en la siguiente figura:

0 S6

1S

3

1S

2

1S

3

2S

6

5S S

6

7S

3

4S

2

3S

3

5S

6

11 S2

x

y

Acos

A

-1

1

La razón trigonométrica seno, es la comparación por división entre el cateto opuesto y la hipotenusa de uno de los ángulos agudos del triángulo rectángulo.

La razón trigonométrica coseno, es la comparación por división entre el cateto adyacente y la hipotenusa de uno de los ángulos agudos del triángulo rectángulo.


En esta asignatura se desarrollarán las funciones senoidales, seno y coseno, como relación funcional entre dos conjuntos pertenecientes a los números reales. Concepto de las funciones senoidales. Son las funciones que están formadas por las razones trigonométricas seno o coseno. Las expresadas en su forma estándar son:

� � � � dcxbsenaxf ��

� � � � dcxbcosaxf ��

Los valores que se sustituyen de “x” son los números reales, y para construir la gráfica de las funciones mediante tablas de valores, se sustituirán múltiplos y submúltiplos de S , debido a que son los que determinan los cambios importantes en el comportamiento de las funciones senoidales, como se mostró en la definición geométrica de las mismas. Para la obtención de valores de las funciones senoidales de números reales con una calculadora, se requiere usar el modo radián. En el bloque 1 se graficó la función seno y se visualizó su forma, utilizando tablas de valores, como se presenta a continuación.

��S ��S�� S �S�� S�� S �S�� S �S��

��

��

��

�

�

�

x

f (x)

Su dominio y su rango son:

� �ff� ,:Dom > @1,1:Rango �

Su dominio y su rango son:

� �ff� ,:Dom > @1,1:Rango �

x xsen)x(f

S�2 0

S� 23 1

S� 0

S� 21 –1

0 0

S21 1

S 0

S23 –1

S2 0

x xcos)x(f

S�2 1

S� 23 0

S� −1

S� 21 0

0 1

S21 0

S −1

S23 0

S2 1

BLOQUE 6 273

Características de las funciones seonidales. Amplitud. Es la mitad de la diferencia entre los valores máximo y mínimo de la función. Periodo (P). Es el intervalo en el cual la función no se repite, o bien, el intervalo que hay entre dos máximos o dos mínimos. Frecuencia. Es la medida que se utiliza generalmente para indicar el número de repeticiones de cualquier fenómeno o suceso periódico en la unidad de tiempo. Línea base. Es la línea horizontal que se encuentra en el punto medio de oscilación, es decir, está en la mitad de la diferencia entre los valores máximo y mínimo de la función.

El comportamiento que tienen la función seno y coseno, en un periodo, se describe en la siguiente tabla. Variable x Función seno Función coseno

2<x<0S

Creciente de 0 a 1. Decreciente de 1 a 0.

2x

S Tiene un máximo en 1.

Está en 0, el cual es el punto de equilibrio o punto de inflexión.

SS

<x<2

Decreciente de 1 a 0. Decreciente de 0 a −1.

S x

Está en 0, el cual es el punto de equilibrio, en la línea base, también es un punto de inflexión, es decir, donde cambia de concavidad.

Tiene un mínimo en −1

2

3<x<

SS Decreciente de 0 a −1. Creciente de −1 a 0.

2

3x

S Tiene un mínimo en −1

Está en 0, el cual es el punto de equilibrio o punto de inflexión.

SS

2<x<2

3 Creciente de −1 a 0. Decreciente de 1 a 0.

S 2x Está en 0, el cual es el punto de equilibrio o punto de inflexión.

Creciente de 0 a 1.

Línea base �S�� S�� S �S�� S �S�� S �S�� S

��

��

�

�

x

f (x)=sen(x)

Periodo (P)

Amplitud


Ejemplo 1. Graficar la función � � � �xsen4xf en el intervalo de > @S2,0 . Primero se verifica que la calculadora se encuentre en el modo radian, si no puedes cambiar el modo, pregunta a tu profesor. Posteriormente se completa la tabla utilizando múltiplos y submúltiplos de S dentro del intervalo solicitado, como se muestra a continuación.

x � �xsen4)x(f

0 0

S21 4

S 0

S23 −4

S2 0

Se ubican los puntos en el plano cartesiano y se traza la función, recordando que es una curva suave.

Si se compara � � � � dcxbsenaxf �� con la función � � � �xsen4xf , se tiene:

4a 1b 0c 0d

Con ello, por lo pronto, se puede deducir que “a” proporciona la amplitud de la función, debido a que la separación entre la línea base y el punto máximo o mínimo de la función es cuatro. Otra forma de visualizar la amplitud, es obteniendo la mitad de la separación entre el punto máximo y mínimo, la cual daría 8/2=4. En cuanto a los parámetros “b” “c” y “d”, se visualizarán en los ejemplos posteriores.

BLOQUE 6 275

Ejemplo 2. Graficar la función � � � �x3senxg en el intervalo de > @S2,0 . Se completa la tabla utilizando múltiplos y submúltiplos de S dentro del intervalo solicitado, sólo que en esta ocasión, se deben tomar más valores, debido a que el argumento de la función se multiplicó por 3, así que se tomarán los siguiente valores.

x � �x3sen)x(g

0 0

S61 1

S S 31

62 0

S S 21

63 −1

S S 32

64 0

S65 1

S S66 0

S67 −1

S S 34

68 0

S S 23

69 1

S S 35

610 0

S611 −1

S S 2612 0

Se ubican los puntos en el plano cartesiano y se tiene la siguiente gráfica.

S�� S �S�� S

��

��

�

�

x

g(x)

Se observa en la gráfica que se presentan tres periodos dentro del intervalo de > @S2,0 , el cual es el periodo de la

función seno original, por lo tanto, si se compara � � � � dcxbsenaxf �� con la función � � � �x3senxg , se tiene: 1a 3b 0c 0d


Con lo anterior, se concluye que “b” proporciona la frecuencia de la función la cual es 3, esto es, la función se repite tres veces en el periodo original de longitud S2 . Para obtener el periodo de esta función, se divide el periodo original entre la frecuencia, como sigue:

3

2P

S

En la gráfica se visualiza como sigue:

32

PS

Desarrolla lo que se pide. I. Coloca en el paréntesis la letra de la gráfica que corresponde a cada una de las funciones. ( ) � � � �x2senxf ( ) � � � �x2cosxf ( ) � � � �xsenxf 2

1 ( ) � � � �xsen2xf

( ) � � � �xcos4xf ( ) � � � �x2sen4xf ( ) � � � �x4cosxf ( ) � � � �xcosxf � A.

�S�� S�� S �S�� S

��

��

��

�

�

�

�

x

f (x)

B.

�S�� S�� S �S�� S

��

��

��

��

�

�

�

�

x

f (x)

C.

�S�� S�� S �S�� S

��

��

��

��

�

�

�

�

x

f (x)

D.

S�� S �S�� S

��

��

��

��

�

�

�

�

x

f (x)

Actividad: 2

BLOQUE 6 277

Evaluación Actividad: 2 Producto: Reactivos de relación. Puntaje:


Identifica la amplitud, frecuencia y periodo de funciones senoidales.

Obtiene el periodo y distingue la amplitud y frecuencia de funciones senoidales.



docente

E.

S�� S �S�� S

��

��

��

��

�

�

�

�

x

f (x)

F.

�S�� S�� S �S�� S

��

��

��

��

�

�

�

�

x

f (x)

G.

�S�� S�� S �S�� S

��

��

��

��

�

�

�

�

x

f (x)

H.

�S�� S�� S �S�� S �S�� S �S�� S �S��

��

��

��

��

�

�

�

x

f (x)

II. Encuentra el periodo de cada una de las funciones anteriores. 1) � � � �x2senxf P=________________

2) � � � �x2cosxf P=________________

3) � � � �xsenxf 21 P=________________

4) � � � �xsen2xf P=________________

5) � � � �xcos4xf P=________________

6) � � � �x2sen4xf P=________________

7) � � � �x4cosxf P=________________

8) � � � �xcosxf � P=________________



Evaluación Actividad: 3 Producto: Conclusión grupal Puntaje:


Indaga sobre las repercusiones que tienen la frecuencia de onda en la salud de los individuos.

Sintentiza la información recabada sobre las repercusiones que tiene la frecuencia de onda en la salud del individuo.

Escucha con interés a sus compañeros y comparte los resultados de su investigación.

Coevaluación C MC NC Calificación otorgada por el

docente

En equipo, investiga cómo está relacionada la frecuencia de onda de los aparatos, antenas, luz solar, entre otros con la salud del ser humano, escribe tu investigación en una cuartilla, coméntala en el grupo y escribe la conclusión grupal en el siguiente espacio.

Actividad: 3

BLOQUE 6 279

Ejemplo 3.

Graficar la función � � ¸¹

·¨©

§ S�

2xcosxt en el intervalo de > @SS 2

52

1 , .

Al observar la función, se tiene que: 1a 1b

2c

S�

0d Como la frecuencia la determina el parámetro “b” y éste es 1, entonces se puede completar la tabla con los valores usuales en el intervalo de > @SS 2

52

1 ,

x � � ¸¹

·¨©

§ S�

2xcosxh

S21 1

S 0

S23 −1

S2 0

S25 1

Al ubicar los puntos en el plano cartesiano y trazar la curva de forma suave, se obtiene:

S�� S �S�� S �S��

��

��

�

�

x

t (x)

Ahora, comparando esta gráfica con la función coseno original, se observa cómo existe un desplazamiento a la

derecha de 2

S unidades.

� � ¸¹

·¨©

§ S�

2xcosxh� � � �xcosxf


Otro aspecto que se puede concluir de este ejemplo es que al desplazarse la función coseno 2

S unidades a la

derecha, coincide en todos sus puntos con la función seno original, como se muestra en las siguientes gráficas:

S�� S �S�� S �S��

��

��

�

�

x

f (x)

S�� S �S�� S �S��

��

��

�

�

x

t (x)

Así observamos una de las principales razones de por qué a las funciones seno y coseno se les denomina senoidales, porque el coseno puede ser transformada en coseno, aplicándosele el desplazamiento correspondiente.

� � ¸¹

·¨©

§ S�

2xcosxsen

Ejemplo 4. Graficar la función � � � � 2xcosxh � . Como el argumento de la función coseno no ha sido modificado, los valores a sustituir son los mismos que los de la función coseno original, como se muestra a continuación.

x � � � � 2xcosxh �

0 1

S21 −2

S −3

S23 −2

S2 −1

Ubicando los puntos en el plano cartesiano se obtiene la siguiente gráfica:

BLOQUE 6 281

�S�� S�� S �S�� S

��

��

��

�

x

h(x)

Si se grafican la función original � � � �xcosxf y � � � � 2xcosxh � en el mismo plano cartesiano, se observa un desplazamiento de la línea base, dos unidades hacia abajo.

Los parámetros que se tienen en la función � � � � 2xcosxh � , son:

1a 1b 0c

2d � Por lo tanto, el parámetro “d” desplaza a la función hacia arriba o hacia abajo, dependiendo de su signo.

Sitios Web recomendados: Ingresa a los siguientes sitios, para que refuerces tus conocimientos de funciones senoidales. http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Funciones_trigonometricas_vcc/seno_construccion.htm http://www.zweigmedia.com/MundoReal/Calcsumm9.html http://www.dav.sceu.frba.utn.edu.ar/homovidens/Olaondo/pag2.htm

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Funciones_trigonometricas_vcc/seno_construccion.htm

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Funciones_trigonometricas_vcc/seno_construccion.htm

http://www.zweigmedia.com/MundoReal/Calcsumm9.html

http://www.dav.sceu.frba.utn.edu.ar/homovidens/Olaondo/pag2.htm


�Cierre�

Evaluación



Indica los cambios que sufre una función senoidal, de acuerdo a sus parámetros.

Describe cómo influyen los parámetros en las gráficas de las funciones senoidales.

Realiza la actividad con entusiasmo y expresa sus dudas.


docente

Completa la tabla describiendo cómo cambia la gráfica de cada una de las funciones dadas, en comparación con la gráfica de la función f(x)=cos(x) de acuerdo a los parámetros que éstas poseen.

Función a b c d

� � 1x2cos3)x(J �

� � 24xcos)x(G ��

� �3xcos2)x(t ��

� � 5xcos3

1)x(h �S�

1x2

1cos)x(V �¸

¹

·¨©

§

� � 43x2cos)x(U ��

� � 38x2cos5)x(M ��

Actividad: 4

BLOQUE 6 283

Secuencia didáctica 2. Graficación paramétrica de funciones senoidales.

�Inicio�

Evaluación

Actividad: 1 Producto: Reactivos de relacionar y completar. Puntaje:


Reconoce las características de las funciones senoidales.

Escoge la amplitud, periodo y desplazamiento de las funciones senoidales.

Se interesa por recuperar sus conocimientos previos.


docente

Desarrolla lo que se pide. I. Coloca dentro del paréntesis la letra que corresponde a la descripción de cada una de las

funciones dadas.

Función Descripción ( ) � �2x3cos4)x(f � A. La amplitud es 2, su periodo es S2 y se desplaza 3

unidades a la derecha.

( ) � �4x2cos3)x(f � B. La amplitud es 3, su periodo es S y se desplaza 2 unidades a la derecha.

( ) � �3xcos2)x(f � C. La amplitud es 2, su periodo es

3

2S y se desplaza 4

unidades a la derecha.

( ) � �3x4cos2)x(f � D. La amplitud es 4, su periodo es

3

2S y se desplaza

3

2 unidades a la derecha.

( ) � �4x3cos2)x(f � E. La amplitud es 2, su periodo es

2

S y se desplaza

4

3

unidades a la derecha. II. Escribe en la línea la palabra “derecha” o “izquierda”, para que el enunciado resulte válido.

1. Si la gráfica de � �xcosy se traslada 2

S unidades horizontalmente a la _____________________, ésta

coincidirá con la gráfica de la función � �xseny .

2. Si la gráfica de � �xseny se traslada 2

S unidades horizontalmente a la _____________________, ésta

coincidirá con la gráfica de la función � �xcosy .

Actividad: 1


�Desarrollo Graficación mediante parámetros. En esta secuencia aprenderás a bosquejar las gráficas de las funciones senoidales, utilizando únicamente el análisis de sus parámetros, para ello, se utilizarán las funciones � � � �xsenxf y � � � �xcosxf como base. A continuación se mostrará un análisis de las gráficas de las funciones base, para obtener una metodología para el trazado de otras funciones senoidales. La gráfica de la función � � � �xsenxf es:

�S�� S�� S �S�� S �S�� S �S�� S

��

��

��

�

�

�

x

f (x)

El periodo de la función es S2 , por lo tanto, la función corta al eje X en los extremos del intervalo > @S2,0 y en el punto

medio del mismo, como se ve en la gráfica, por lo tanto se ubican los puntos � �0,0 , � �0,S y � �0,2S .

�S�� S�� S �S�� S �S�� S �S�� S

��

��

��

�

�

�

x

f (x)

Posteriormente, se ubican los puntos máximo y mínimo en el primer y tercer cuarto del periodo, a la altura de 1 y −1,

respectivamente, debido a que la amplitud es 1 (a=1), obteniéndose con ello, su máximo en ¸¹

·¨©

§ S1,

2 y su mínimo en

¸¹

·¨©

§�

S1,

2

3.

�S�� S�� S �S�� S �S�� S �S�� S

��

��

��

�

�

�

x

f (x)

Ubicados estos puntos, se puede trazar el primer periodo, de forma suave.

BLOQUE 6 285

�S�� S�� S �S�� S �S�� S �S�� S

��

��

��

�

�

�

x

f (x)

Se sabe que el dominio de la función son todos los números reales, por lo tanto, la curva anterior se repite infinitamente tanto a la derecha como a la izquierda, de la manera siguiente:

�S�� S�� S �S�� S �S�� S �S�� S

��

��

��

�

�

�

x

f (x)

Ahora se analizará la función � � � �xcosxf , la cual tiene la siguiente gráfica:

�S�� S�� S �S�� S �S�� S �S�� S

��

��

��

�

�

�

x

f (x)

El periodo de la función es S2 , pero en esta ocasión, inicia a la altura de 1, es decir que en los extremos del intervalo > @S2,0 la función vale 1, y en el punto medio del intervalo su valor es −1, por lo tanto, los máximos de la función en

este periodo se ubican en los puntos � �1,0 y � �1,2S . Su punto mínimo se encuentra en � �1,�S . En el primer y tercer cuarto del periodo la función corta al eje X, por lo tanto, las intersecciones se ubican en los

puntos ¸¹

·¨©

§ S0,

2 y ¸

¹

·¨©

§ S0,

2

3.

Se ubican los puntos mencionados en el plano cartesiano, como se muestra a continuación.


�S�� S�� S �S�� S �S�� S �S�� S

��

��

��

�

�

�

x

f (x)

Ubicados estos puntos, se puede trazar el primer periodo, de forma suave.

�S�� S�� S �S�� S �S�� S �S�� S

��

��

��

�

�

�

x

f (x)

Cuando se repite el periodo a lo largo de los números reales se obtiene la función.

�S�� S�� S �S�� S �S�� S �S�� S

��

��

��

�

�

�

x

f (x)

Ahora, se mostrarán varios ejemplos en los que se variarán los parámetros y utilizando las funciones bases, se bosquejarán las gráficas correspondientes. Ejemplo 1. Graficar la función � � � � 4xcos2xg �S� . Los parámetros son:

2a , por lo tanto, su amplitud es 2. 1b , esto significa que la frecuencia es 1, por lo tanto, su periodo es:

S S

S

21

2b2

P .

S c , desplaza a la función, S unidades a la derecha. 4d � , desplaza a línea base, 4 unidades hacia abajo.

BLOQUE 6 287

Si se traza la función base � � � �xcosxf y se toman en cuenta los parámetros de la función g(x), se puede bosquejar su gráfica, como se muestra a continuación.

Se repite infinitamente este periodo a lo largo de los números reales, los cuales son su dominio, obteniéndose así la gráfica completa.

�S �S�� S�� S �S�� S �S�� S �S�� S

��

��

��

��

��

��

��

�

�

x

g(x)

Ejemplo 2. Graficar la función � � � � 16x2senxh �S� . Primero se factoriza la función en el argumento, para visualizar sin problemas el parámetro c.

� � � �� 13x2senxh

16x2senxh

�S� �S�

Los parámetros son: 1a , por lo tanto, su amplitud es 1. 2b , esto significa que la frecuencia es 2, por lo tanto, su periodo es:

S S

S

2

2b2

P

S� 3c , desplaza a la función, S3 unidades a la izquierda. 1d , desplaza a línea base, 1 unidad hacia arriba.


Si se traza la función base � � � �xsenxf y se toman en cuenta los parámetros de la función h(x), se puede bosquejar su gráfica, como se muestra a continuación.

��S ��S�� S �S�� S�� S �S�� S �S�� S

��

��

��

�

�

�

x

h(x)

Se repite infinitamente este periodo a lo largo de los números reales, los cuales son su dominio, obteniéndose así la gráfica completa.

��S ��S�� S �S�� S�� S �S�� S �S�� S

��

��

��

�

�

�

x

h(x)

Las aplicaciones más usuales son las utilizadas en Física sobre la velocidad y frecuencia de onda de emisión solar, electromagnéticas y de sonido, entre otras. La siguiente imagen muestra la forma en que se transforma la energía solar en energía eléctrica continua.

BLOQUE 6 289

A continuación se presenta un ejemplo del movimiento ondulatorio, de los más utilizados en Física. Ejemplo 1. Un pescador observa que el corcho de la caña realiza 40 oscilaciones por minuto, debidas a unas olas cuyas crestas están separadas 60 cm. ¿Con qué velocidad se propaga la onda?

La velocidad con la que se propaga una onda está dada mediante la siguiente fórmula:

fv O Donde: O es la longitud de onda, esto es, la separación que hay entre dos máximos o dos mínimos consecutivos. f es la frecuencia de onda. De acuerdo a los datos que proporciona al problema, se obtiene que:

m6.0cm60 O

min

140f

Por lo tanto, la velocidad es de:

� �

s

m4.0

min

m24v

min

140m6.0v

fv

¸¹

·¨©

§

O

Aplicaciones como la anterior se abordan en la asignatura de Física y con mayor profundidad a niveles superiores. Ahora se planteará un problema del análisis de gráficas. Ejemplo 2. Los científicos consideran que la temperatura anual en ciertos lugares es periódica. La temperatura promedio en una región geográfica determinada y en una estación dada, fluctúa con el tiempo: de frío pasa a cálido y, posteriormente, regresa al frío. La gráfica muestra una descripción idealizada de la temperatura en grados Celsius para los últimos miles de años, en un lugar a la misma latitud de Anchorage, Alaska.

a) Determinar las temperaturas más alta y baja. b) Encontrar la amplitud. c) Determinar el periodo de la función.

Temperatura (oC)

Años


Para resolver los incisos es necesario observar la gráfica, por ejemplo, para el inciso a) solicita las temperaturas más alta y más baja, por lo que se requiere conocer el máximo y mínimo de la función. La temperatura más alta es de 27ºC y la más baja es de 9ºC. La amplitud es la distancia de la línea base, que se encuentra a 18ºC, al máximo o mínimo de la función, la cual es de 9ºC. Para determinar el periodo se ubican dos máximos o dos mínimos y se proporciona la distancia entre ellos; en esta ocasión, se aproximará el dato debido a la información que proporciona la gráfica, la cual resulta aproximadamente 40,000 años.



Reconoce los parámetros de las funciones senoidales.

Extrae los parámetros de las funciones senoidales.

Muestra disponibilidad al hacer la actividad.


docente

Encuentra la amplitud, la frecuencia y el periodo de las siguientes funciones.

1) � � � �S� xsen2xk a=_____________ b=_____________ T=_____________

2) � � ¸¹

·¨©

§ S�

2xsen

32

xR a=_____________ b=_____________ T=_____________

3) � � ¸¹

·¨©

§ S�

22x

cos4xL a=_____________ b=_____________ T=_____________

4) � � ¸¹

·¨©

§�S�

2

1xcos3xM a=_____________ b=_____________ T=_____________

5) � � � �S� xsen2xE a=_____________ b=_____________ T=_____________

6) � � ¸¹

·¨©

§ S�

2xcosxS a=_____________ b=_____________ T=_____________

7) � � � �S� x2sen2xC a=_____________ b=_____________ T=_____________

8) � � ¸¹

·¨©

§ S�

4x2cos

23

xP a=_____________ b=_____________ T=_____________

Actividad: 2

BLOQUE 6 291

Grafica las funciones en los periodos indicados. 1) � � � �S� xsen2xk en dos periodos.

�S�� S�� S �S�� S �S�� S �S�� S

��

��

��

�

�

�

x

k(x)

2) � � ¸¹

·¨©

§ S�

2xsen

32

xR en dos periodos.

�S�� S�� S �S�� S �S�� S �S�� S

��

��

�

�

x

R(x)

3) � � ¸¹

·¨©

§ S�

22x

cos4xL en un periodo.

�S �S�� S�� S �S�� S �S�� S �S��

��

��

��

��

�

�

�

�

x

L(x)

Actividad: 3


�



Identifica los parámetros de las funciones senoidales.

Grafica funciones senoidales mediante sus parámetros.

Aprecia la facilidad de utilizar parámetros en la graficaión de funciones senoidales.


docente

4) � � � �S� x4sen2xE en cuatro periodos.

�S�� S�� S �S�� S �S��

��

��

�

�

x

E(x)

5) � � 32

xcosxS �¸¹

·¨©

§ S� en un periodo.

�S�� S�� S �S�� S �S�� S

��

��

��

��

�x

S(x)

6) � � � � 1x2sen2xC �S� en tres periodos.

�S�� S�� S �S�� S �S�� S

��

��

�

�

�

x

C(x)


BLOQUE 6 293

�Cierre

Resuelve los siguientes problemas. 1. La temperatura en grados Fahrenheit en una región determinada, se predice mediante la

función:

� � � � 25101x365

2sen37xT �»

¼

º«¬

ª�

S

Donde T(x) es la temperatura en un día “x” de los 365 del año. Utiliza una calculadora para que calcules la temperatura de las siguientes fechas. a) 1 de marzo. b) 1 de abril. c) 19 de junio. d) 18 de septiembre.

2. La temperatura alta normal en San Luis Missouri, varía desde 37ºC para el 15 de enero hasta 89ºC para el

15 de julio. La temperatura alta normal sigue aproximadamente una curva senoidal. a) Determina los valores de a, b y c, tales que

� � � �ctbsenatT � Donde “t”, expresada en meses desde el 1 de enero, es un modelo razonable para la temperatura alta normal. b) Utiliza este modelo para aproximar la temperatura alta normal para el 15 de mayo.

Actividad: 4




Reconoce las características de las funciones senoidales en problemas aplicados.

Aplica las funciones senoidales para resolver problemas aplicados.

Aprecia la aplicabilidad de las funciones senoidales.


docente

3. Muchas de las actividades de los organismos vivos son periódicas. La gráfica siguiente

ejemplifica la hora en la que cierto animal comienza su actividad nocturna.

Actividad de un animal nocturno

Meses

Hor

as p

.m.

Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic

8:00 7:30 7:00 6:30

6:00 5:30 5:00 4:30 4:00

Hora

s (p

.m.)

a) Determina la amplitud de esta gráfica.

b) Determina su periodo.


Competencias disciplinares básicas - … · x Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y...

Documents

Transcript of Competencias disciplinares básicas - … · x Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y...