7/17/2019 Complemento 3

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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOSFACULTAD DE INGENIERÍA GEOLÓGICA, METALÚRGICA Y GEOGRÁFICA

EAP INGENIERÍA CIVIL

COMPLEMENTO MATEMÁTICO Y TRIGONOMETRIA 

ESFÉRICA 

1. Demueste !ue"

1.1.   ‖a+b‖2=‖a‖2+‖b‖2  s# $ s%&% s# a  es %t%'%()& ) b

1.*. S# a ≠0 , sa+t a   =0  #m+&#) s=t =0

1.-. L) sum) e &%s u))%s e &)s &%('#tues e &)s #)'%()&es eu( +))&e&%')m% es #'u)& ) &) sum) e &%s u))%s e &)s&%('#tues e &%s &)%s e& +))&e&%')m%

*. S# ‖a‖=8 y‖b‖=5 , etem#() t   t)& !ue &%s /et%es a+tb y a−tb  s%(

%t%'%()&es

-. L%s /et%es a y b   0%m)( u( ('u&% e π 3 . S)2#e(% !ue

‖a‖=3 y‖b‖=4 , )&u&) ‖a+b‖

3. 4)&&) e& /et% c  %&#(e)& %( a=(−3,2)  !ue s)t#s0)e &) %(##5(

c .a=3

6. 7ue %(##5( e s)t#s0)e a y b , +)) !ue &%s /et%es a+b y  a−b

se)( %t%'%()&es8. L%s /et%es a y b   0%m)( u( ('u&% 

2 π 

3 . S)2#e(% !ue

‖a‖=3 y‖b‖=4 , )&u&)

8.1.   a . b

8.*.   ‖a+b‖2

8.-.   (3a−2b ) .(a+2b)

8.3.   (3a+b ). (a+b )(a+3b)

8.6.   ‖a−b‖2( a−3b ) .(3a+b)

9. Se)(

−1

2,

a=(2,−3) y  b=¿  2¿ . E:+es) )& /et%  x en función de a y b

9.1.    x=(5,7) 9.*.    x=(1,2)

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EAP INGENIERÍA CIVIL

9.-.2,

 x=¿  7

3 ;

9.3.1,

 x=¿  5

2 ;

9.6.    x=(3,4 )

9.8.    x=(c , d )

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<. D)% &%s /et%es u= (−1,4 ) , v=(3,m) y w=(2,−3)

<.1. C)&u&e m +)) !ue u  $ v se)( +e+e(#u&)es

<.*. 4)&&e e& ('u&% !ue 0%m)( u  $ v

=. C%(s#ee( &%s /et%es  x= (a ,3 ) ,  y= (−1,b ) .  4)&&e &%s /)&%es e a y b

+)) !ue  x e  y se)( +e+e(#u&)es $ ‖ x‖=5

1>. 4)&&e e& ('u&% !ue 0%m)( &%s /et%es

3

5, 4

5¿

;  y (1,1 )

11. D)%s  x=(5,−4 ) ,  y=(3, 2 ) y   z=(1,k )

11.1. 4)&&e e& /)&% e k +)) !ue  x  e  z  0%m)( u( ('u&% e =>?

11.*. 4)&&e e& /et% u(#t)#% %( &) m#sm) #e#5( $ se(t#%

%(t)#% !ue  x

11.-. 4)&&e u( /et% e (%m) - $ +e+e(#u&) )  x

1*. C)&u&e e& s#m@t#% e

1*.1.   a= (1,2 ) respecto deb=(3,−1)

1*.*.   a=(2,5 )respecto de b=(3,3)

1-. C)&u&e m +)) !ue &%s /et%es 1, B-; $ m, B3;1-.1. Se)( %t%'%()&es

1-.*. Te(') B9 %m% +%ut% es)&)1-.-. C)&u&e e& s#m@t#% e& %t%'%()& e 1, B-;13. D)% &%s /et%es B1, 9;, :, *;. C)&u&e : +)) !ue 0%me( u( ('u&%

e 8>?

16. Se)( u y v  t)& !ue ‖u‖=9  $   u+v ;.   u−v ; 19. C)&u&e ‖v‖

18. Se)( u y v  t)& !ue ‖u‖=10 , ‖v‖=10√ 3  $ ‖u+v‖=20 . C)&u&e e&

('u&% 0%m)% +% u y v