Ecuación general de la elipse con centro en el origen Elipse: Se define como el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias no dirigidas a dos puntos fijo llamado foco es constante.

Partes de la elipse: C(0,0)Eje mayorEje menorLado Recto (LR)F y F´V y V'a, b, cDistancia focal

Para determinar la ecuación de la elipse con centro en el origen se tiene estaformula: x2/a2 + y2/b2  = 1

Para determinar partes de la elipse:Eje mayor = 2aEje menor = 2b

c2 = a2-b2

LR = 2b2/aExcentricidad e = c/a 

Ejemplo de aplicación: Hallar la ecuación ordinaria de la elipse con centro en el origen, eje mayor igual a 10 y el eje menor igual a 6. Hacer la gráfica, considera que el eje focal esta sobre el eje x.

Eje mayor 2a = 10a = 10/2a = 5Eje menor 2b = 6b = 6/2b = 3

Ecuación: X2/25 + y2/9 = 1

c2 = a2-b2

c2 = 25 - 9c2 = 16c = raiz de 16c = 4

LR = 2b2/aLR = 18/5LR = 3.6

e = c/ae = 4/5e = 0.8

Vértices: v(5,0) v'(-5,0)Centro (0,0)Focos: F(4,0) F'(-4,0)Vértices menores: B(0,3) B'(0,-3)

¿Cómo se aplica en la vida cotidiana?La elipse tiene propiedades de reflexión similares a la de la parábola, en este caso cuando colocamos un emisor de ondas en un foco, estas se reflejarán en las paredes de la elipse y convergerán en el otro foco. Con respecto a la elipse la aplicación primera que tenemos que mencionar es que las órbitas de los planetas son elipticas con el Sol en uno de los focos.

En la medicina se usa un aparato llamado litotriptor para desintegrar "cálculos" renales por medio de ondas intra-acuáticas de choque. El funcionamietno de este aparato es de la siguiente forma, se coloca un medio elipsoide lleno de agua pegado al cuerpo del paciente en el foco de esta parte del elipsoide se pone un generador de ondas; el foco de la otra parte del elipsoide se debe localizar en estos "cálculos" y así al reflejarse las ondas en la superficie de la elipsoide de afuera del paciente todas convergeran en el "cálculo" y este se desintegrará. Además existen capillas o galerías de los secretos. Son estructuras con techos elipsoidales aquí se puede oir a una persona que está en un foco desde el otro foco y las personas que están entre las otras dos no oirá nada.   Las órbitas de planetas como la Tierra son elípticas donde un foco corresponde al Sol. También le corresponde esta figura a los cometas y satélites. Además se cree que este razonamiento se aplica también a las órbitas de los átomos. 

Debido a la resistencia del viento, las trayectorias que realizan los aviones cuando hacen viajes circulares se vuelven elípticas. 

La elipse, como curva geométrica, fue estudiada por Menaechmus, investigada por Euclides, y su nombre se atribuye a Apolonio de Perge. El foco y la directriz de la sección cónica de una elipse fueron estudiadas por Pappus. En 1602, Kepler creía que la órbita de Marte era ovalada, aunque más tarde descubrió que se trataba de una elipse con el Sol en un foco. De hecho, Kepler introdujo la palabra «focus» y publicó su descubrimiento en 1609. Halley, en 1705, demostró que el cometa que ahora lleva su nombre trazaba una órbita elíptica alrededor del Sol.Ahora veremos sus elementos, constantes, ecuaciones y la manera en que estas se aplican.[]

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2da sesión:

El alumno caracterizará al dominio y al rango de una función. Ejemplificará matemáticamente el dominio y el rango de una función.

1.- La profesora retomará que las partes más importantes de la función son el dominio y el contradominio para lo cual se darán sus definiciones y se ejemplificará con algunos ejemplos utilizando conjuntos. Para afianzar estos conceptos se desarrollará la siguiente actividad

Actividad.- Se pedirá a los alumnos que formen equipos de 3 personas, y se dividirán en dos unos serán los dominios y otros los contra dominios se les dispersará por el salón mientras se escribe en el pizarrón 4 funciones; dependiendo de lo que les halla tocado ser se les entregará unas fichas con números escritos, deberán de analizarlos y encontrar al equipo que sea su complemento y ordenar sus tarjetas; una vez que se hallan localizado deberán de pegar en el pizarrón sus respuestas; para el desarrollo de la actividad contarán con 10 minutos. Al término de los cuales se pedirá a cada equipo ahora formado de 6 personas que justifiquen sus respuestas ante sus compañeros; deberán de copiar todos los ejercicios en sus libretas

Para finalizar la actividad se reforzarán los conceptos de función, dominio y contradominio.

2.- Se escribirán en el pizarrón diferentes representaciones de conjuntos para explicar el concepto de IMAGEN, y como se pueden representar de diferentes maneras las funciones.

3.- Se desarrollarán diferentes ejercicios, primero algunos en el pizarrón, después se listarán otros y los alumnos deberán de resolverlos y se irán revisando los resultados.

4.- Para cerrar el tema, será necesario verificar los siguientes conceptos: relación, función, dominio, contradominio, imagen.

5.- Se dejarán ejercicios para resolución en casa. Los deberán de entregar a la siguiente clase.

El alumno define las funciones algebraicas y trascendentes. A partir de conocer sus diferentes representaciones. Además de caracterizar cada función; lineal, cuadrática, racional e irracional. Construirá graficas de diferentes funciones.

Mediante la observación de gráficos, clasificará funciones y podrá predecir a partir de la gráfica de que grado es una función.

.- A manera de lista se recogerán los ejercicios. Y se procederá a retomar el concepto de función para despejar las dudas que pudiesen surgir.2.- Se explicará que las funciones se pueden clasificar en: funciones algebraicas y trascendentes, funciones lineales, cuadráticas, racionales e irracionales. Y se listarán las características de cada, además de ejemplificarlas.

3.- Se irá tomando un ejemplo de cada una, y se le asignarán valores con los que deberán de tabular y graficar en las hojas milimétricas.Para esto, una vez asignados los valores (5: -5) se les dará 5 minutos para que sustituyan valores y encuentren los valores del contradominio, al termino del tiempo la profesora pedirá los valores a alumnos al azar y los anotará en la tabla que habrá dibujado previamente. Ya con los valores completos y corregidos (de ser necesario) se procederá a elaborar su gráfica de manera individual, para lo que contarán con 10 minutos, conforme vayan terminando deberán de pasar a que se les selle su actividad, la cual deberán de guardar para su carpeta. Esto se realizará con un ejemplo al menos de cada tipo de función analizada.4.- Para finalizar la sesión la profesora escribirá en el pizarrón ejemplos de diferentes funciones y pedirá que las clasifiquen y justifiquen sus respuestas de manera verbal, lo que les contará como participación. 2da sesión:1.- Esta sesión será la reafirmación de los procesos para graficar funciones. Por lo tanto como apertura se pedirá a los alumnos que elaboren el esquema del proceso que utilizan para graficar, para lo que dispondrán de 5 minutos, al termino de los cuales se pedirá a 4 alumnos que lo escriban en el pizarrón, y se hará retroalimentación con todo el grupo, una vez que ya este completo cada proceso

2.- Esta sesión trabajaran de manera individual y deberán de realizar los ejercicios, operaciones y graficas en hojas sueltas, las que servirán de evidencia de trabajo, la deberán de entregar al termino de la clase, la profesora irá pasando a los lugares para aclarar dudas y supervisar el trabajo de los alumnos.

3.- Para cerrar esta sesión se pedirá a los alumnos que revisen el proceso que escribieron al inicio y si hay alguna observación que agregarle.

Operaciones con funciones; 1.7.1 Suma de funciones; 1.7.2 Resta de funciones

1.- Se dará como introducción un recordatorio de cuales son los pasos a seguir para realizar una suma y una resta algebraica, para lo que se pedirá a 2 alumnos que pasen al pizarrón y resuelvan un ejercicio, una vez que lo hallan resuelto la profesora hará algunas observaciones que le permitan detallar los procedimientos y esclarecer las dudas que pudiesen surgir. Posteriormente les recordará cuales son las características de las funciones, una vez realizado esto, se relacionaran los conceptos de operaciones con funciones y se resolverán ejercicios ilustrativos, se pedirá a los alumnos que vayan siguiendo el procedimiento y que posteriormente copien en sus libretas, haciendo las anotaciones que consideren pertinentes.2.- Para la resolución de ejercicios se procederá de la siguiente manera: por rondas de 10 minutos, cada una de 3 ejercicios, al termino de los 10 minutos los ejercicios se resolverán en el pintarrón y la profesora irá verificando el procedimiento los alumnos irán realizando una autoevaluación, en caso de tener errores los deberán de encerrar en un circulo con color diferente y hacer la anotación de cual fue el error y cual es su corrección.

3.- Al término de la sesión se dejarán 3 ejercicios de tarea los cuales deberá de entregar a la siguiente clase, y los deberán de haber trabajado con la técnica de dos columnas. 4.- Los ejercicios se entregarán a la siguiente sesión2da sesión:1.- Esta sesión será de aclaración de dudas y solución de ejercicios. Por lo tanto se resolverán los ejercicios que se quedaron de tarea, lo que permitirá despejar dudas

2.- Se les entregará una copia con ejercicios a resolver, la cual deberán de trabajar por binas y entregar al término de la sesión, la profesora irá pasando a los lugares para aclarar dudas y supervisar el trabajo de los alumnos. Para cerrar esta sesión se pedirá a los alumnos que escriban el proceso que siguieron para resolver los ejercicios.

* La técnica de las dos columnas consiste en: Dividir su hoja en dos columnas, en la de la izquierda resolverán su ejercicio con todas las operaciones que sean necesarias y el la columna de la derecha deberán de escribir el procedimiento de cómo resolvieron cada ejercicio, esto es individual y permite analizar cual es el grado de dificultad que encuentran o donde hay un “bache” y de esta manera reforzar el tema.

Producto de funciones; 1.7.4 División de funciones (exactas e inexactas)

Se dará como introducción un recordatorio de cuales son los pasos a seguir para realizar una multiplicación y una división algebraica, para lo que se pedirá a 2 alumnos que pasen al pizarrón y resuelvan un ejercicio, una vez que lo hallan resuelto la profesora hará algunas observaciones que le permitan detallar los procedimientos y esclarecer las dudas que pudiesen surgir. Posteriormente les recordará cuales son las características de las funciones, una vez realizado esto, se relacionaran los conceptos de operaciones con funciones y se resolverán ejercicios ilustrativos, se pedirá a los alumnos que vayan siguiendo el procedimiento y que posteriormente copien en sus libretas, haciendo las anotaciones que consideren pertinentes.2.- Para la resolución de ejercicios se procederá de la siguiente manera: por rondas de 10 minutos, cada una de 3 ejercicios, al termino de los 10 minutos los ejercicios se resolverán en el pintarrón y la profesora irá verificando el procedimiento los alumnos irán realizando una autoevaluación, en caso de tener errores los deberán de encerrar en un circulo con color diferente y hacer la anotación de cual fue el error y cual es su corrección.3.- Al término de la sesión se dejarán 3 ejercicios de tarea los cuales deberá de entregar a la siguiente clase, y los deberán de haber trabajado con la técnica de dos columnas. 4.- Los ejercicios se entregarán a la siguiente sesión la cual será de solución de aclaración de dudas y solución de ejercicios.2da sesión:1.- Esta sesión será de aclaración de dudas y solución de ejercicios. Por lo tanto como se resolverán los ejercicios que se quedaron de tarea, lo que permitirá despejar dudas

2.- Se les entregará una copia con ejercicios a resolver, la cual deberán de trabajar por binas y entregar al término de la sesión, la profesora irá pasando a los lugares para aclarar dudas y

supervisar el trabajo de los alumnos. Para cerrar esta sesión se pedirá a los alumnos que escriban el proceso que siguieron para resolver los ejercicios.

Funciones complejas; 1.7.6 Composición de funciones1.- Se dará como introducción el concepto de composición de funciones y funciones complejas, se explicará detalladamente y con ejemplos, para lo que se pedirá a los alumnos que vayan siguiendo el procedimiento y que posteriormente copien en sus libretas, haciendo las anotaciones que consideren pertinentes y en caso de tener dudas también que las anoten, para lo que tendrán 3 minutos al termino de los cuales la profesora pedirá que lean lo que escribieron e irá despejando las dudas que surjan y haciendo algunas aclaraciones en caso de ser necesario.2.- Para la resolución de ejercicios se procederá de la siguiente manera: por rondas de 10 minutos, cada una de 3 ejercicios, al termino de los 10 minutos los ejercicios se resolverán en el pintarrón y la profesora irá verificando el procedimiento los alumnos irán realizando una autoevaluación, en caso de tener errores los deberán de encerrar en un circulo con color diferente y hacer la anotación de cual fue el error y cual es su corrección.3.- Al término de la sesión se dejarán 3 ejercicios de tarea los cuales deberá de entregar a la siguiente clase, y los deberán de haber trabajado con la técnica de dos columnas. 4.- Los ejercicios se entregarán a la siguiente sesión la cual será de solución de aclaración de dudas y solución de ejercicios.

2da sesión:1.- Esta sesión será de aclaración de dudas y solución de ejercicios. Por lo tanto como se resolverán los ejercicios que se quedaron de tarea, lo que permitirá despejar dudas

2.- Se les entregará una copia con ejercicios a resolver, la cual deberán de trabajar por binas y entregar al término de la sesión, la profesora irá pasando a los lugares para aclarar dudas y supervisar el trabajo de los alumnos. Para concluir el tema de operación de funciones se aplicará un examen parcial (dependiendo de las fechas) que abarque suma, resta, multiplicación, división y composición de funciones.