1. RESOLVER LOS SIGUIENTES EJERCICIOS

1.1. Graficar Obtener la grafica de las siguientes funciones:a) x=t 2+1; y=t

La ecuación cartesiana es:

y = ±√(x – 1 )

La grafica es una parábola horizontal, que intersecta al eje x en x = 1

b) x=2 sen 3t ; y=2 cos3 t

La ecuación cartesiana es:

x2 + y2 = 4Sen23t + 4Cos23t = 4 (Sen23t + Cos23t) = 4

x2 + y2 = 4

Es una circunferencia con r = 2 y centro en el origen

c) x=t+1; y=4T−3

La ecuación cartesiana es:

Y = 4(x – 1) – 3 = 4x – 4 – 3 = 4x - 7

Y = 4x – 7

Es una recta que intersecta a los ejes en y = -7 y en x = 7/4

1.2. Ecuaciones paramétricas y su relación con rectangulares Obtener una ecuación rectangular para las funciones graficadas anteriormentea) x= y2+1 b) x²+y²=4 c) y=4x-7 1.3. Derivación Derivar cada una de las siguientes funciones

a) x=3 t 3−4 ; y=2 t2+3 t x´ = 9t2

y´ = 4t + 3

b) x=4 sen 2t ; y=3cos2 t

x´ = 4Cos2t (2) = 8Cos2t

y´ = 3(-Sen2t) (2) = -6Sen2t

c) x=3+sen2 4 t ; y=4−cos2 4 t

x´ = 2Sen4t (cos 4t) (4) = 8Sen 4t Cos 4t

y´ = -2 Cos4t (-sen 4t) (4) = 8Sen4t Cos 4t

1.4. Longitud de arcoObtener la longitud de arco de la función en el intervalo indicado:

x=2 t 2; y=43t 3 en0≤t ≤ π

X´= 4t

Y = 4t2

(X´)2= 16t2

(Y´)2 = 16t4

Por lo tanto

L = ∫ √(16t2 + 16t4)dt = ∫ √16t2 (1 + t2)dt = ∫ 4t√(1 + t2)dt = (4/3)[1 + t2]3/2

L = (4/3)[1 + π 2]3/2 - (4/3)[1 + 0 2]3/2 = 47.8 – 1.3 = 46.5

2. RESOLVER LOS SIGUIENTES EJERCICIOS

2.1. Graficar Graficar las ecuaciones dadas en Coordenadas polares.

a) r=3Es una circunferencia de radio igual a 3, con centro en el origen

b) r=3 senθ

También es una circunferencia de radio igual a 1.5, pero con centro en (0,1.5)

c) θ=π3

Es una recta que forma 60º con la horizontal

d) r=2cos θ+1

Es un Caracol de Pascal

2.2. Cambio de coordenadas Cambiar las coordenadas dadas en forma rectangular a la forma polar.

a) (3 ,2 )

r = √13

θ = tan -1 (2/3) = 33.7º

Las coordenadas polares son

(√13, 33.7º)

b) (5 ,2 )

r = √29

θ = tan -1 (2/5) = 21.8º

Las coordenadas polares son

(√29, 21.8º)

c) (-1, 4)

r = √17

θ = tan -1 (4/-1) = 284º

Las coordenadas polares son

(√17, 284º)

Cambiar las coordenadas dadas en forma polar a la forma rectangular.

a) (3 , π3

)

x = 3Cos ( π3

¿ = 1.5

y = 3Sen ( π3

¿ = 2.6

Las coordenadas rectangulares son (1.5, 2.6)

b) (2 , 2 π3

)

x = 2Cos ( 2π3

¿ = -1.0

y = 2Sen ( 2π3

¿ = 1.73

Las coordenadas rectangulares son (-1, 1.73)

c) (−4 , π )

x = - 4Cos ( π ¿ = 4.0

y = - 4Sen ( π ¿ = 0.0

Las coordenadas rectangulares son (4, 0)

d) (−2 ,−π )

x = - 2Cos ( −π ¿ = 2.0

y = - 2Sen ( −π ¿ = 0.0

Las coordenadas rectangulares son (2, 0)

2.3. Relación entre ecuaciones polares y rectangulares A) Encontrar una ecuación polar para:a) x=2 y

rCosθ = 2rSenθ

Cosθ = 2Senθ

(2Senθ) / (Cos θ)= 1

2Tanθ = 1

Tanθ = 1/2

b) x+ y=2

rCosθ + rSenθ = 2

r (Cosθ + Senθ) = 2

B) Determinar una ecuación rectangular para:a) θ=−2

Tan -1 (y / x) = -2b) r cosθ=−2

x = -2

2.4. Longitud de arco Determinar la longitud de arco de la función.

a) r=3−senθ en el intervalo 0≤θ≤2 π

La longitud de arco es:

L = ∫√(r2 + r´2) =

Donde:

r = 3−senθ

r´ = cos θ

r2 = 9 - 6 senθ + sen2 θ

r´2 = cos2 θ

r2 + r´2 = 9 - 6 senθ + sen2 θ + cos2 θ = 10 – 6 senθ

L = ∫√(10 – 6 senθ ¿ dθ =

3. RESOLVER LOS SIGUIENTES EJERCICIOS

UTILIZAR LOS MÉTODOS DE ELIMINACIÓN GAUSSIANA Y DE GAUSS – JORDAN PARA RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y PROBLEMAS DE APLICACIONES DE LOS MISMOS.

3.1. Método de Eliminación GaussianaResolver los sistemas de ecuaciones lineales con el método de eliminación gaussiana.

a.

1 2 -2 5 1 2 -2 5 1 2 -2 52 3 1 13 0 -1 5 3 0 1 -5 -31 -1 1 2 0 -3 3 -3 0 -1 1 -1

1 2 -2 5 1 2 -2 5 1 2 -2 50 1 -5 -3 0 1 -5 -3 0 1 0 20 0 -4 -4 0 0 1 1 0 0 1 1

1 2 0 7 1 0 0 30 1 0 2 0 1 0 20 0 1 1 0 0 1 1

Por lo tanto x = 3, y = 2, z = 1

b.

3.2. Método de Gauss-JordanResolver los sistemas de ecuaciones lineales con el método de Gauss - Jordan

a.

1 3 1 8 1 3 1 8 1 0 4 142 7 1 14 0 1 -1 -2 0 1 -1 -21 -1 2 7 0 -4 1 -1 0 0 -3 -9

1 0 4 14 1 0 0 20 1 -1 -2 0 1 0 10 0 1 3 0 0 1 3

Por lo tanto x = 2, y = 1, z =3.

b.

1 2 -3 4 1 2 -3 4 1 2 -3 42 3 1 13 0 -1 7 5 0 1 -7 -51 -1 1 2 0 -3 4 -2 0 -3 4 -2

1 0 11 14 1 0 11 14 1 0 0 30 1 -7 -5 0 1 -7 -5 0 1 0 20 0 -17 -17 0 0 1 1 0 0 1 1

Por lo tanto x = 3, y = 2, z = 1.

3.3. AplicacionesResolver los siguientes problemas.

a. Un hombre tiene en su bolsillo 39 monedas algunas son de dos pesos otras de 5 pesos. Si en total tiene 126 pesos , ¿cuántas monedas tiene de 2 pesos y cuantas de 5 pesos?

Sean:

x = monedas de 2 pesos.y = monedas de 5 pesos.

x + y =39

2x + 5y = 126

Multiplicando la primera ecuación por -2

-2x – 2y = -78 2x + 5y = 126

Sumando ambas ecuaciones:

3y = 48

De donde:

y = 16 monedas de 5 pesos.

y por lo tanto

x = 23 monedas de 2 pesos.

b. Se tiene un número positivo de tres cifras, la suma de sus tres cifras es 22, el número de centenas menos el número de decenas es uno y el número de decenas menos el número de unidades es menos tres, ¿cuál es el número?

Sea

xyz el numero positivo de tres cifras.

Entonces según las condiciones del problema se tienen 3 ecuaciones:

x + y + z = 22z – y = 1y – x = -3De la segunda ecuación

y = z - 1

x = y + 3 = z-1 + 3 = z + 2

Sustituyendo en la primera ecuación:

z + 2 + z – 1 + z = 22

3z = 21

z = 7

Por lo tanto:

y = 6

x = 9

Y la cifra es:

1 1 14 6 80.5 0.125 0.33333333

101 1 1552 6 835 0.125 0.33333333

1 101 14 552 80.5 35 0.33333333

1 1 1014 6 5520.5 0.125 35

XYZ = 967

c. Un centro de diversión tiene capacidad de 101 mesas, las mesas cuentan con 4, 6 y 8 asientos, la capacidad total de asientos es de 552. En cierto día se ocupo la mitad de las mesas con 4 asientos, un octavo de las mesas con 6 asientos y un tercio de las de 8 asientos para un total de 35 mesas. ¿Cuántas de cada tipo se usaron ese día?

Sean:

x = número de mesas de 4 asientos.y = número de mesas de 6 asientos.z = número de mesas de 8 asientos.

Entonces según las condiciones del problema queda el siguiente sistema de ecuaciones:

x + y + z = 1014x + 6y + 8z = 552(1/2)x + (1/8)y + (1/3)z = 35

Resolviendo por determinantes:

D = = 1.1666

DX = = 56

Dy = = 37.3333

DZ = = 24.5

Por lo tanto

X = DX / D = 56/1.1666 = 48 mesas de 4 asientos

Y = Dy / D = 37.333 / 1.1666 = 32 mesas de 6 asientos

Z = Dz / D = 24.5/1.1666 = 21 mesas de 8 asientos

Entonces ese día se utilizaron:

24 mesas de 6 asientos, 4 mesas de 6 asientos y 7 mesas de 8 asientos.