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VIII CONGRESO IBEROAMERICANO DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA

LIBRO DE ACTAS

Editado por:

Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas C/ H. Carvajal, 5. 23740 Andújar (Jaén) España

www.fespm.es

ISBN: 978-84-945722-3-4

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COMUNICACIONES BREVES 401-500

4 VIII CONGRESO IBEROAMERICANO DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA. LIBRO DE ACTAS. ISBN 978-84-945722-3-4

CB-401 PARABOLOIDE ELÍPTICO: UN ANÁLISIS DESDE LA TEORÍA DE REGISTROS

DE REPRESENTACIÓN SEMIÓTICA

Tito Nelson Peñaloza Vara – Jesús Victoria Flores Salazar – Verónica Neira Fernández [email protected] – [email protected] – [email protected]

Pontificia Universidad Católica del Perú, Perú – Maestría en Enseñanza de las Matemáticas/línea de investigación-TecVEM-MEM– Perú

Núcleo temático: Investigación en educación matemática Modalidad: CB Nivel educativo: Terciario o Bachillerato (16 a 18 años) Palabras clave: Paraboloide elíptico; aprehensiones; registro gráfico. Resumen Presentamos en la comunicación breve, un recorte de la investigación del primer autor que tiene por objetivo analizar el proceso de visualización del paraboloide elíptico en estudiantes de Arquitectura quienes cursan una primera asignatura de matemáticas, por medio de una secuencia de actividades con el uso del Geogebra. Tomamos como marco teórico aspectos de la Teoría de Registros de Representación Semiótica y nos centramos en el registro gráfico del paraboloide elíptico. En cuanto a la metodología nos basamos en aspectos de la Ingeniería Didáctica. Presentamos el desarrollo de una actividad realizada por dos estudiantes y observamos que ambas efectuaron conversiones del registro gráfico al algebraico y tratamientos en el registro gráfico. Además, evidenciamos que desarrollaron aprehensiones en el mismo registro y que la articulación de dichas aprehensiones está en proceso.

Consideraciones iniciales

En nuestra labor docente de un primer curso de matemáticas para estudiantes de arquitectura,

hemos percibido que entre las dificultades presentes en los diversos objetos matemáticos

estudiados, sobresale el tema superficies cuádricas cuyas tareas para nuestros propósitos se

dan en dos grupos:

• Dada la ecuación de la cuádrica, graficar la superficie mediante cortes o secciones.

• Dada la superficie representada gráficamente, obtener su ecuación.

Los estudiantes de cursos más avanzados tal como cálculo multivariable por ejemplo,

conocen las formas canónicas de la ecuación de ciertas superficies cuádricas, y pueden

identificar la ecuación cartesiana de una superficie dada su gráfica y viceversa, así como


reconocer puntos importantes en la gráfica tales como centros, vértices, ejes principales, entre

otros, no presentándose esta particularidad en estudiantes de arquitectura de un primer curso

de matemáticas, ya que ellos la representan con ayuda de las secciones cónicas, es decir,

mediante cortes de la superficie cuádrica con planos paralelos o perpendiculares al eje

principal de la cuádrica.

La dificultad ocurre cuando el estudiante debe obtener la ecuación cartesiana de la superficie

a partir de su representación gráfica, la falla puede darse en la identificación del par de

variables cartesianas que representan algebraicamente una sección cónica. En el plano

cartesiano XY, por ejemplo, si el eje focal de una parábola es paralelo al eje Y, su ecuación

tiene la forma ( ) ( )24 ,x h p y k z w− = − = , pero si una parábola está graficada en un plano

paralelo al plano YZ y su eje focal es paralelo al eje Z, su ecuación tiene la forma

( ) ( )24 ,y k p z w x h− = − = , pudiendo el estudiante erróneamente indicar la forma

( ) ( )24 ,z w p y k x h− = − = , la cual corresponde a la parábola con eje focal paralelo al eje Y,

así como el signo del parámetro p dependiendo de la orientación o sentido de abertura de la

parábola, la cual presenta seis posibilidades en R3.

Investigaciones tales como las de Salazar, Gaita y Saravia (2013), manifiestan que “existen

preocupaciones cognitivas con relación a la matemática o a los significados construidos para

su enseñanza cuando se desarrollan actividades mediadas por ambientes tecnológicos” (p.

7168). Ingar (2014) en su estudio de visualización de los valores máximos y mínimos locales

en funciones de varias variables, establece que “las representaciones gráficas son empleadas

en las definiciones de manera icónica” (p. 19), y por ello el software Mathematica puede

construir significados en los estudiantes mediante una secuencia de actividades. Por ello,

creemos que un software de representación dinámica, tal como el software Geogebra 3D,

puede permitir realizar modificaciones y transformaciones en la representación gráfica de

una superficie cuádrica, con la finalidad de reconocer formas gráficas de puntos y curvas, y

así obtener valores de coordenadas y ecuaciones de dichos elementos que permitan al

estudiante obtener la ecuación de la superficie, en particular el paraboloide.

Según estos criterios y otras consideraciones, Peñaloza (2016) formuló la siguiente pregunta

de investigación: ¿Cómo se realiza el proceso de visualización del paraboloide en estudiantes


de Arquitectura en una secuencia didáctica mediada por el Geogebra? (p. 45). Para ello, el

autor consideró algunos aspectos de visualización tomados de la Teoría de Registros de

Representación Semiótica de Duval (1995), como los más adecuados para establecer el marco

teórico de investigación lo cual, conjuntamente con el software Geogebra 3D como mediador

en la secuencia didáctica, y bajo la metodología de la ingeniería didáctica de Artigue (1995),

poder responder la pregunta de investigación.

Marco teórico

Según Duval (1993) “no es posible estudiar los fenómenos relacionados al conocimiento sin

recurrir a la noción de representación”. En ese contexto semiótico, los objetos matemáticos

son representados mediante símbolos propios del registro al cual pertenecen, los cuales,

según el autor poseen tres actividades cognitivas fundamentales: formación, conversión y

tratamiento. (Duval, 1995, p. 42). El autor, además, clasificó dichos registros en figural,

gráfico, lenguaje natural, algebraico, tabular, entre otros. Peñaloza (2016) consideró para su

estudio tres registros de representación semiótica del paraboloide: lenguaje natural, gráfico

y algebraico.

Duval afirma que para que un conocimiento o un saber matemático pueda ser puesto en

funcionamiento, es necesario que el sujeto coordine por lo menos dos registros de

representación semiótica. Dicha coordinación requiere realizar tratamientos en un mismo

registro, y conversión de un registro a otro distinto. En la figura 1 observamos los registros

de representación semiótica del paraboloide circular, así como los tratamientos en el registro

algebraico y conversiones entre dichos registros.


Figura 1. Transformación de una Representación Semiótica en otra. Fuente: Peñaloza (2016, p.28)

En la figura 1 observamos que la representación gráfica del paraboloide requiere previamente

de su representación algebraica a partir del cual, ya sea por medio del lápiz y papel o por

algún software de representación, puede ser graficado en un medio físico o tecnológico. La

conversión del registro gráfico al registro algebraico, requiere realizar tratamientos en el

registro gráfico, lo cual creemos que no es factible de ser realizado en un medio tradicional

tal como el lápiz y papel, no obstante el software de representación tal como el Geogebra 3D

permite realizar ciertas modificaciones en dicho registro, variando la disposición de la

representación respecto del observador, desarrollándose en él aprehensiones las cuales,

según Duval, permiten comprender al objeto representado, e inferir otras características y

propiedades para resolver un problema determinado.

Peñaloza (2016) identificó las aprehensiones del paraboloide en el registro gráfico:

• Aprehensión perceptiva: Se relaciona directamente con los conocimientos previos

que posee el sujeto, ve la representación gráfica e identifica el objeto representado.


• Aprehensión secuencial: El sujeto comprende que para representar un objeto o un

conjunto de ellos, debe realizar una serie de pasos secuenciales. En el caso de

representar objetos en la Vista Gráfica del software Geogebra, cada paso se realiza

ya sea mediante el ingreso en la Barra de Entrada de la sintaxis de un comando propio

del software, o mediante sus herramientas en combinación conjunta con la Barra de

Entrada y el mouse.

• Aprehensión discursiva: Se da cuando el sujeto infiere otras propiedades de la

representación gráfica del objeto, no indicadas de manera explícita.

• Aprehensión operatoria: Se manifiesta cuando el sujeto realiza modificaciones en la

representación gráfica del objeto, con la finalidad de obtener información que le

permita reconocer elementos propios de dicho objeto, y poder obtener sus

representaciones algebraicas, favoreciendo la conversión entre dichos registros.

Peñaloza (2016), considerando las modificaciones establecidas por Duval en el registro

figural, identificó las modificaciones en el registro gráfico del paraboloide las cuales son:

óptica (acercamiento / alejamiento) y posicional (traslación / rotación), así como la

deconstrucción dimensional la cual permite descomponer la representación gráfica de un

primer paraboloide (primario) en sus elementos constitutivos, los cuales permitirán

representar un segundo paraboloide (secundario) con la misma forma que el primario, pero

en una distinta posición en R3.

Peñaloza (2016) identificó los elementos constitutivos del paraboloide que permiten

representarlo gráficamente, los cuales Duval denomina variables visuales. Las

representaciones algebraicas de las variables visuales Duval las denomina unidades

significantes en el registro algebraico. En la figura 2 observamos las variables visuales del

paraboloide agrupados según la dimensión a la cual pertenecen.


Figura 2. Clasificación de variables visuales del paraboloide. Fuente: Peñaloza (2016, p. 38)

Las unidades significantes de cada variable visual representada en la figura 2, pueden

expresarse algebraicamente mediante sus coordenadas, expresiones simbólicas, ecuaciones,

o un sistema de ecuaciones de 2 x 2.

Creemos que el desarrollo de la aprehensión operatoria en el registro gráfico mediante sus

modificaciones ópticas y posicionales, permiten el reconocimiento de las variables visuales

del paraboloide, así como realizar tratamientos en dicho registro para obtener sus unidades

significantes, y así realizar la conversión del registro gráfico al registro algebraico. La

articulación entre todas las aprehensiones desarrolladas por el sujeto es lo que Duval

denomina visualización, y para evidenciar cómo visualizan dos estudiantes de arquitectura

de un primer curso de matemáticas, presentamos a continuación parte de una de las


actividades de la experimentación en el estudio de visualización del paraboloide de Peñaloza

(2016).

Experimentación

Obtención de la ecuación de un paraboloide dada su representación gráfica.

Figura 3. Clasificación de variables visuales del paraboloide.

Fuente: Peñaloza (2016, pp. 158 – 159)

Las estudiantes Alexandra y Jacinta, mediante la herramienta Rota la Vista Gráfica 3D ,

obtuvieron las coordenadas de los puntos A y B, e identificaron las formas de las curvas

cerradas T1 y T2 las cuales representan circunferencias contenidas en los planos paralelos

1z = , 2z = , tal como observamos en las figuras 3 y 4.


Figura 3. Coordenadas de los puntos A y B obtenidas por Jacinta.

Fuente: Peñaloza (2016, p. 116)

Figura 4. Coordenadas de los puntos A y B obtenidas por Alexandra.

Fuente: Peñaloza (2016, p. 118) Las estudiantes, desarrollaron las aprehensiones perceptiva ya que reconocieron objetos

representados y operatoria al realizar rotaciones en la Vista Gráfica 3D. La obtención del

radio de cada circunferencia T1 y T2 y su ecuación está descrita en las figuras 5 y 6.

Figura 5. Ecuaciones de las curvas T1 y T2 obtenidas por Alexandra.

Fuente: Peñaloza (2016, p. 118) En la figura 5 observamos que Alexandra no obtuvo los valores correctos de cada radio. Los

valores numéricos 3 y 7 no corresponden a los radios de las circunferencias

representadas por T1 ni T2, son las abscisas de las coordenadas de los puntos A y B, siendo

los radios 2 y 2 2 de T1 y T2, respectivamente. Por otro lado, en la figura 6 notamos que

Jacinta pudo obtener el valor del radio de T2 mediante la herramienta Distancia de Geogebra,

ya que midió el radio de dicha circunferencia en un segmento desde el centro a un punto de


la curva según su explicación. No obstante el valor es 2.83 y no 2 2 , ya que se pedía el valor

exacto.

Figura 6. Ecuaciones de las curvas T1 y T2 obtenidas por Jacinta.

Fuente: Peñaloza (2016, p. 117) Conclusiones

En el análisis de la actividad, vemos que las estudiantes desarrollaron sus aprehensiones

perceptiva al reconocer la forma de la variable visual circunferencia, y asociarla con su

correspondiente unidad significante ecuación, operatoria al realizar modificaciones en el

registro gráfico para obtener valores numéricos de los coeficientes y constantes de las

ecuaciones, y discursiva en el caso de Jacinta al justificar la obtención del valor del radio de

T2, por medio de la definición de la circunferencia. Todo ello implica que las estudiantes

articularon sus aprehensiones, y la visualización está en proceso.

Agradecimientos

La presente comunicación breve ha sido posible gracias al apoyo de la Pontificia Universidad

Católica del Perú especialmente de la Maestría en Enseñanza de las Matemáticas, línea de

investigación TecVEM-MEM ya que es producto de la tesis del primer autor.

Referencias bibliográficas

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Ingar, K. (2014). A Visualização na Aprendizagem dos Valores Máximos e Mínimos Locais da Função de Duas Variáveis Reais. (Tesis doctoral). Pontificia Universidad Católica de São Paulo, Brasil.

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Salazar, J.V.F., Gaita, C. & Saravia, N. (2013). Un Estudio de Superficies con Mathematica. Actas del VII Congreso Iberoamericano de Educación Matemática - VII CIBEM. Sociedad de Educación Matemática del Uruguay, 7168 – 7175.


CB-402 ESTUDO DA VIABILIDADE DE USO DO SOFTWARE GEOGEBRA NO ENSINO

DE ESTATÍSTICA

Fernando Gonzales Tavares – Celi Espasandin Lopes [email protected] – [email protected]

Universidade Cruzeiro do Sul – Brasil

Núcleo temático: V. Recursos para o ensino e aprendizagem das matemáticas. Modalidade: Comunicação breve (CB). Nível educativo: 7. Sem especificar. Palavras chave: Educação estatística, GeoGebra, Minitab, Usabilidade. Resumo A Estatística é uma das mais importantes ciências do mundo contemporâneo, em razão da grande quantidade e da complexidade de dados necessários para tomada de decisões nos mais variados setores da atividade humana. Este artigo visa discutir a importância do uso do software GeoGebra no aprendizado da Estatística, como uma ferramenta pedagógica capaz de criar um ambiente amigável e facilitador para o aluno. Por se tratar de um conteúdo digital voltado ao aprendizado, o software estatístico deve atender tanto na qualidade técnica como na pedagógica. Caso isso não aconteça, sua utilização pode gerar a desmotivação do aluno. Considera-se a precisão do conteúdo estatístico de aprendizagem, das medidas e gráficos na análise exploratória de dados gerados pelo software GeoGebra, aferindo seus resultados com os obtidos pelo software Minitab. A metodologia utilizada foi a qualitativa, focada na pesquisa bibliográfica e a quantitativa com experimentação do software GeoGebra, utilizado na análise exploratória de um conjunto de dados. Os principais resultados encontrados no cálculo das medidas estatísticas confirmaram sua precisão. Os valores obtidos no cálculo dos quartis de um conjunto de dados, com poucas repetições, e a construção de seu boxplot apresentaram um nível de precisão bastante satisfatório, apesar de serem muitos os métodos utilizados na obtenção desses resultados.

1. Introdução

São muitas as pesquisas referentes ao ensino e a aprendizagem da Estatística que apontam

para o uso de softwares como um recurso importante para o desenvolvimento dos estudantes.

Segundo Lopes (2010), a Estatística, com seus conceitos e métodos para coletar, organizar e

analisar informações diversas, tem-se revelado um poderoso aliado no desafio de transformar

a informação bruta em dados que permitam ler e compreender uma realidade.

Neste artigo visamos discutir a importância do uso do software GeoGebra no aprendizado da

Estatística. Para isso estabelecemos os seguintes objetivos: avaliar a usabilidade do software


GeoGebra no ensino de Estatística; validar os comandos do GeoGebra para análise descritiva

de dados estatísticos, através da comparação direta com os resultados obtidos utilizando o

software Minitab; determinar a precisão nos cálculos das medidas estatísticas: média; moda;

mediana; variância; desvio padrão e quartis; determinar a precisão na construção dos gráficos

histograma e boxplot.

Tais propósitos dialogam com a perspectiva de que o computador pode e deve ser utilizado

no ensino de Estatística como uma ferramenta de cálculo, de análise e apresentação dos dados

(Batanero, 2011).

Temos observado em nossa prática docente certa defasagem entre a compreensão dos

conceitos e a habilidade de cálculo dos estudantes, quando a solução dos problemas

estatísticos se centra na capacidade de calcular, pois se evidenciam aí certas lacunas

referentes ao conhecimento matemático necessário. Softwares estatísticos auxiliam na

superação de tais dificuldades, executando cálculos complexos em segundos e minimizando

a possibilidade de erro. Além disso, evita-se o desperdício de tempo dos alunos, com a

repetição de cálculos tediosos, permitindo dedicar esse tempo à resolução de problemas e

atividades interpretativas.

Lopes (2013) acentua que, “independentemente das ferramentas utilizadas, um software é

importante para visualizar o uso da tecnologia não apenas como uma maneira para calcular

números, mas como uma forma de explorar ideias conceituais e melhorar a aprendizagem

dos alunos” (p. 908).

Em 2005, a American Statistical Association (ASA) endossou o relatório Guidelines for

Assessment and Instruction in Statistics Education (GAISE), o qual teve um grande impacto

no ensino de Estatística nas instituições de ensino. As seis recomendações apresentadas na

época foram mantidas e atualizadas no último relatório divulgado no ano de 2016 (ASA,

2016). Entre as recomendações destaca-se a introdução de softwares específicos para

explorar conceitos e analisar dados. Uma consideração importante em relação ao uso da

tecnologia na sala de aula é avaliar o objetivo de aprendizagem e, em seguida, ponderar quais

formas de tecnologia melhor atendem a esse objetivo e quais são os conhecimentos prévios

necessários para permitir que os alunos interajam com a tecnologia. O software estatístico

não pode se tornar um fardo adicional para os alunos, de tal forma que os impeça de atingir

metas ou objetivos. Portanto, sua usabilidade deve ser ponderada. (ASA, 2016).


Diante dessas considerações e observando a norma técnica ISO/IEC 25010:2011, da

(Associação Brasileira de Normas Técnicas [ABNT], 2011) que define usabilidade como o

grau no qual um produto ou sistema (hardware, software ou serviço) pode ser usado com

eficácia, eficiência e satisfação por utilizadores especificados para atingir metas

estabelecidas em um determinado contexto de uso, torna-se evidente a importância da

verificação da usabilidade do software estatístico.

Quanto aos softwares educativos, as dificuldades na usabilidade da interface podem

prejudicar o uso do sistema e principalmente a aprendizagem dos conteúdos. Segundo Krug

(2006), a falta de usabilidade pode afetar negativamente a utilização de um produto. A

qualidade de um software num contexto particular de utilização é determinada pelas suas

propriedades inerentes, como, por exemplo, a precisão de um cálculo numérico fornecida

pelo software. É relevante fazer testes exploratórios, testes de avaliação e o teste de validação,

para verificar a usabilidade do serviço e a eficácia dos recursos de aprendizagem (Rubin e

Chisnell, 2008).

O software GeoGebra tem sido utilizado como ferramenta para construção do gráfico

boxplot. No entanto, Abar e Araujo (2012) alertaram para o fato de a construção do gráfico

boxplot no ambiente dinâmico do GeoGebra não apresentar os outliers do conjunto de dados,

o que compromete o uso do GeoGebra na Estatística Descritiva.

Coutinho e Souza (2015) discutiram o uso de ambientes computacionais, objetivando

potencializar a construção dos conceitos da estatística descritiva. Utilizaram os softwares

GeoGebra e R na construção de dois tipos de gráficos: o diagrama de pontos e o diagrama de

caixa (boxplot). Observaram que, na construção do gráfico boxplot, para um determinado

conjunto de dados, ambos os softwares apresentaram resultados diferentes e justificaram tal

divergência pela possibilidade do uso de formas distintas para determinar os quartis,

conforme aponta Langford (2006).

Evidencia-se, de tais pressupostos, a necessidade de uma análise da construção do gráfico

boxplot com o software GeoGebra, buscando assegurar sua certeza nos resultados estatísticos

obtidos. Precisão é um quesito fundamental na análise de usabilidade de uma ferramenta

tecnológica.

2. Materiais e métodos


O teste de verificação na exatidão dos resultados nos cálculos das medidas estatísticas

descritivas foi realizado utilizando o conjunto de dados obtidos em uma oficina, Educação

Estatística na Prática, realizada por Coutinho e Souza (2013) no XI Encontro Nacional de

Educação Matemática (ENEM). As variáveis apresentadas na Tabela 1 estão associadas a um

grupo de respondentes que informaram sua idade (medida em anos), o número de pessoas

residentes na casa onde moram e a massa (expressa em kg).

Tabela 1. Medidas de um grupo de pessoas obtidas no XI ENEM- PR-2013. Idade (anos) 59 32 31 34 27 35 24 31 31

Nº de pessoas res. 3 3 2 4 2 3 2 3 2 Massa (kg) 67 42 60 80 58 75 73 63 55

Fonte: Coutinho e Souza (2013, p.42).

Os softwares: GeoGebra 5.0.313.0-3D e Minitab 17.3.1

O GeoGebra é um software de matemática dinâmica para todos os níveis de ensino que reúne

Geometria, Planilhas de Cálculo, Álgebra, Gráficos, Estatística, Probabilidade e Cálculos em

um único ambiente, com a vantagem didática de apresentar, ao mesmo tempo, representações

diferentes de um mesmo objeto, que interagem entre si (IGSP, 2016). O Grupo GeoGebra é

constituído pela organização sem fins lucrativos International GeoGebra Institute e

GeoGebra GmbH, com sede em Linz, Áustria. Seu software, de código aberto e disponível

gratuitamente para usuários não comerciais, estudantes e professores, em todos os principais

sistemas operacionais. (GeoGebra, 2016), possui uma comunidade de milhões de usuários

em praticamente todos os países e se tornou um líder na área de softwares de matemática

dinâmica, apoiando o ensino e a aprendizagem em Ciências, Tecnologia, Engenharia,

Matemática e Estatística.

O Minitab foi criado por três professores da Universidade Estadual da Pensilvânia em 1972

para desenvolver o ensino de estatística com seus alunos. O aplicativo executa os cálculos e

permite que os alunos se concentrem em aprender os conceitos e o que eles podem revelar

sobre o conjunto de dados. A Minitab Inc. é uma empresa privada, com sede em State College

distrito da Pensilvânia e com subsidiárias no Reino Unido, na França e na Austrália, e sua

rede global de representantes atende a mais de 40 países em todo o mundo (Minitab, 2016).


O software Minitab é utilizado em diversas organizações em todo o mundo, por empresas

como Boeing, Coca-Cola, General Electric, Microsoft, Walt Disney e tantas outras.

3. Discussão e resultados

Foram construídas duas tabelas-resumo, contendo as principais medidas exploratórias dos

dados, o que nos permite comparar os resultados produzidos pelo software GeoGebra, na

Figura 1, com os resultados do Minitab, na Figura 2, e concluir que não existem diferenças.

Figura 1. Tabela-resumo das medidas estatísticas da variável idade, no GeoGebra

Figura 2. Tabela-resumo das medidas estatísticas da variável idade, no Minitab

As diferenças numéricas entre as respostas para determinar os quartis de um conjunto de

dados, em razão dos diferentes métodos de cálculo, não são necessariamente grandes. Porém,

se os quartis são usados para definir critérios para tomada de decisão, o método utilizado em

seu cálculo pode fazer significativa diferença. (Freund e Perles, 1987).


O GeoGebra utiliza, para o cálculo dos quartis, o método de Moore e McCABE (GeoGebra,

2015), a seguir descrito: como primeiro passo arranjar as observações em ordem crescente e

localizar a mediana M na lista ordenada de observações; no segundo passo definir o primeiro

quartil (Q1) como a mediana das observações cuja posição na lista ordenada está à esquerda

da localização da mediana global; e no último passo, determinar o terceiro quartil (Q3) como

a mediana das observações cuja posição na lista ordenada está à direita da localização da

mediana global (Moore e McCABE, 2009). Os

quartis podem ser observados no boxplot da Figura 3, em que fica evidente que o outlier

detectado é coerente com a distribuição dos dados apresentada no histograma.

Figura 3. Boxplot e histograma obtidos no GeoGebra para a variável idade da Tabela 1.

O método utilizado pelo Minitab para o cálculo de quartis é o seguinte: Em um conjunto

ordenado de dados, vinte e cinco por cento das suas observações são inferiores ou iguais ao

valor do primeiro quartil. Setenta e cinco por cento delas são menores ou iguais ao valor do

terceiro quartil, calculados da seguinte forma:

Quartil(k), onde k = 1 ou k = 3 W = k(N + 1) / 4

Y = valor inteiro truncado de w Z = a fração componente de w que foi truncado

Q(k) = x (y) + z (x (y + 1) - x (y))

X(j) = a jª observação na lista de dados da amostra, ordenada de menor para maior.


Observa-se na Figura 4 o gráfico boxplot e o histograma construído com o software Minitab,

onde se evidencia a presença de um outlier nos dois gráficos.

Figura 4. Boxplot e histograma produzidos no Minitab para a variável idade da Tabela 1.

4. Conclusão

Para calcular os quartis, existem vários métodos, que não conduzem necessariamente a um

mesmo resultado, mas seus valores são próximos, desde que a amostra tenha uma quantidade

de dados razoável. No entanto isso não costuma ocorrer quando há uma série de valores de

dados diferentes, com pouca ou nenhuma repetição. Em nosso experimento com o software

GeoGebra foi utilizada uma amostra pequena, com nenhuma repetição dos dados e obtivemos

um bom resultado para o cálculo das medidas de quartis e para a determinação do outlier do

conjunto de dados. Os resultados dos cálculos das medidas de posição e dispersão da tabela-

resumo das medidas estatísticas da variável idade também estão em conformidade com os

obtidos, ao comparar com os valores do software Minitab. Os histogramas construídos com

os dois softwares apresentam a distribuição dos dados de forma semelhante e indicam a

presença de um outlier em sua rama à direita conforme observado no gráfico boxplot. Neste

estudo preliminar ficou evidente que a precisão obtida nos cálculos das medidas estatísticas

descritivas dos dados e a exatidão na construção dos gráficos Histograma e Boxplot estão

presentes no uso do software GeoGebra.

Referências


Abar, C. A. P., & Araujo, P. C. (2012). Sobre o boxplot no GeoGebra. Revista do

Instituto GeoGebra Internacional de São Paulo, 1(1), 13-21. ABNT (2011). Systems and software engineering - Systems and software Quality

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Moore, D. S., & McCabe, G. P., & Craig, B. A. (2009). Introduction to the practice of

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CB-404

EL MUESTREO EN EL CURRÍCULO DE SECUNDARIA: UN ESTUDIO COMPARADO DE LOS CURRÍCULOS EN ESPAÑA Y CHILE

Nuria Begué, Karen Ruiz, María M. Gea y Carmen Batanero

[email protected]– [email protected] – [email protected] – [email protected] Universidad de Granada, España

Núcleo temático: Enseñanza y aprendizaje de la Matemática en las diferentes modalidades y niveles educativos Modalidad: CB Nivel educativo: Educación secundaria y bachillerato Palabras clave: muestreo, currículo, estudio comparado, educación secundaria Resumen En ese trabajo se analizan los contenidos curriculares establecidos para la educación secundaria tanto en España como Chile, comparándolos con algunas recomendaciones internacionales. A pesar de su aparente sencillez, el análisis semiótico de las orientaciones curriculares citadas revela la complejidad del tema, lo que podría explicar las muchas dificultades de comprensión encontradas en la investigación didáctica. En síntesis, este análisis revela la existencia de contenidos dispersos relacionados con el muestreo a lo largo de esta etapa educativa, encontrando diferencias relevantes en el análisis comparativo de los dos currículos considerados. 1. Introducción

El muestreo es una de las diez ideas estocásticas fundamentales (Heitele, 1975), y constituye

un puente que aúna la estadística y la probabilidad. De hecho, su estudio se incluye en

cualquier curso básico de inferencia estadística, pues su conocimiento es necesario para otros

temas, como la teoría de la estimación por intervalos o el contraste de hipótesis. Es

importante, en consecuencia, asegurar una correcta enseñanza del tema.

En ese trabajo se analizan los contenidos curriculares establecidos para la educación

secundaria obligatoria tanto en España como en Chile, comparándolos con algunas

recomendaciones internacionales. Para ello realizamos un análisis semiótico, identificando

los objetos matemáticos presentados en relación a este tema. Concluimos con algunas

sugerencias para mejorar la enseñanza del tema en esta etapa educativa.


2. Elementos teóricos

El marco teórico que utilizamos para abordar el problema es el enfoque ontosemiótico (EOS)

sobre el conocimiento y la instrucción matemáticos (Godino, 2002; Godino y Batanero, 1994;

Godino, Batanero y Font, 2007). Siguiendo a Godino (2002), una entidad matemática se

puede caracterizar desde el punto de vista institucional o personal. En nuestro caso, el análisis

del objeto matemático se lleva a cabo desde la faceta institucional y en particular, su

presentación en los documentos curriculares oficiales. Según estos autores podemos

identificar el significado de un objeto matemático como el conjunto de las prácticas

realizadas al resolver problemas relacionados con el objeto. De estas prácticas emerge el

objeto e intervienen diversas entidades que a su vez son objetos matemáticos y se comportan

como entidades primarias para dicho objeto. Estas entidades primarias se pueden clasificar

según su naturaleza y función desempeñada, en las siguientes categorías (Godino, 2002):

• Situaciones: son los enunciados que constituyen la razón de ser del objeto matemático

emergente del sistema de prácticas asociadas a la resolución de las mismas. Por

ejemplo, en el muestreo un problema típico sería estimar una característica desconocida

en una población.

• Lenguaje: utilizado como recurso de representación y operativo; incluye las

expresiones verbales, notaciones, tablas y gráficos.

• Procedimientos: operaciones, algoritmos, técnicas de cálculo. Un ejemplo sería listar

todas las posibles muestras de tamaño dado de una población.

• Conceptos: se caracterizan por estar presentados en términos de descripciones o

definiciones. En este tema, entre otros tenemos los de población, muestra, estadístico

y parámetro.

• Propiedades: son las características asociadas a los objetos mencionados, las cuales se

formulan en términos de enunciados o proposiciones. Así hablamos de muestra

representativa o de muestreo estratificado.

• Argumentaciones: son aquellos enunciados cuya finalidad es justificar la veracidad de

una proposición.


3. Metodología

Como se ha indicado, el foco de interés o el objetivo que planteamos es identificar,

categorizar, describir y comparar los contenidos matemáticos presentados en los documentos

curriculares. Para lograr este objetivo se ha realizado un análisis exhaustivo de los

documentos curriculares que enmarcan los contenidos asociados al muestreo tanto en Chile

como en España. A partir del mismo se ha llevado a cabo una categorización de los distintos

objetos matemáticos relacionados con el contenido de muestreo, siguiendo las categorías

propuestas en el EOS (Godino, 2002). Este análisis se complementa con la descripción de las

orientaciones metodológicas que se consideran currículo.

En el caso de España, el análisis planteado está enfocado en el Currículo Básico (MECD,

2015) a lo largo de la etapa de secundaria donde se incluye el Bachillerato, el cual se compara

con las orientaciones chilenas (MINEDUC, 2013), así como con las recogidas en CCSSI

(2010) y el proyecto GAISE (Franklin et al., 2007).

4. Resultado del análisis

El resultado de analizar los contenidos relacionados con el muestreo que se recogen en los

documentos oficiales se presenta en las Tablas 1 y 2.

Tabla 1. Situaciones problemas, lenguaje y argumentos del muestreo en diferentes

currículos

Objeto matemático Currículo Chileno

Currículo español

NTCM CCSSI GAISE

Situaciones-problema Estimar algunas características de una población desconocida x x x x

Determinar la composición de una población x x

Determinar el número de muestras de un tamaño dado con y sin reemplazo x x x

Relacionar la media de una población y las medias muestrales x

Relacionar la proporción de una población y la proporción de una muestra x x

Identificar muestras aleatorias y no aleatorias x x x x x Elaboran modelos para el muestreo aleatorio x x x

Valorar la representatividad de una muestra x x x x x

Lenguaje


Términos, expresiones, fórmulas y expresiones algebraicas x x x x x

Gráficos x x x x x Tablas de frecuencia, listados de datos x x x x x

Argumentos Verifican, utilizando herramientas tecnológicas, las conjeturas formuladas x x x x x

Dichas tablas sintetizan el contenido del currículo y muestra su complejidad, debido a la

variedad de objetos considerados, que además se relacionan entre sí. En ambos países se

consideran prácticamente todos los objetos recogidos en el informe GAISE y en CCSSI

(2010), siendo más completos que lo recomendado en las anteriores directrices.

Tabla 2. Conceptos, procedimientos y propiedades del muestreo en diferentes currículos

Objeto matemático Currículo Chileno

Currículo español

NTCM CCSSI GAISE

Conceptos Conceptos combinatorios: variaciones, permutaciones y combinaciones x x x

Experimento aleatorio x x x x x Espacio muestral x x x x x Variable estadística, distribución x x x x x Muestra (Con y sin reemplazamiento, Aleatoria, sistemática, estratificada, no probabilística)

x x x x x

Tamaño de la muestra x x x x x Población (Elemento, Tamaño, finita o no) x x x x x Probabilidad (Clásica, Frecuencial) x x x x x Media Muestral x x x x Sesgo en muestreo x x x Variabilidad x x x x

Procedimiento Realizar encuestas. x x x x x Obtener todas las posibles muestras de una población finita; calcular su número x x x

Estimar una proporción, media o frecuencia esperada en una muestra conocida la población

x x x

Estimar una proporción, media o frecuencia esperada en una población, conocida la muestra

x x x

Comparar datos de una muestra con una población x x x x x

Decidir si un método de muestreo es adecuado o diferenciar tipos de muestreo x x x x x


Dados una muestra y el tamaño de la población decidir la composición más probable de la población

x

Calcular el promedio de todos los promedios de muestras de igual tamaño extraídas desde una población y analizar la relación

x x

Analizar las medias obtenidas de las muestras, cuando tamaño de las muestras aumenta x

Usar la distribución muestral para realizar inferencias informales x x x x

Representar gráficamente datos x x x x x Fases de un estudio estadístico x x x

Propiedades Representatividad de una muestra x x x x x Variabilidad de la muestra en función del tamaño x x x x

En el currículo chileno no se insiste tanto en la idea de la variabilidad, según el tamaño

muestral, en el sesgo en el muestreo. Tampoco se enfatiza en este nivel educativo las

relaciones entre media o proporción de la población y en la muestra. Tanto en el currículo

español como en los estándares americanos (NCTM, 2000) consideran como contenido a

enseñar las fases asociadas a un estudio estadístico que guardan una correspondencia con el

ciclo de investigación definido por Wild y Pfannkuch (1999).

Además, en los dos países en este tema es necesario trabajar con tres tipos de distribuciones

asociadas a la inferencia estadística (Harradine, Batanero y Rossman, 2011), lo que entraña

una gran dificultad pues los alumnos las confunden:

• La distribución teórica de probabilidad que modela los valores de una variable

aleatoria tomada de una población o un proceso. Dicha distribución depende de algún

valor del parámetro que es generalmente desconocido. Con frecuencia se utiliza la

distribución normal, que queda especificada por dos parámetros, su media y desviación

típica, o la distribución binomial, cuyo principal parámetro es la proporción de éxitos

p.

• La distribución del conjunto de datos en una muestra aleatoria simple. Desde esta

muestra, se definen distintos estadísticos tales como la media muestral y la desviación

típica muestral, que pueden aplicarse en el procedimiento para determinar los valores

aproximados que toman los parámetros de la distribución teórica.


• La distribución en el muestreo de un estadístico o distribución de probabilidad de todos

los posibles valores que puede tomar el estadístico muestral en relación con las posibles

muestras.

5. Orientaciones metodológicas

Las Tablas anteriores no reflejan algunos aspectos del currículo que resultan reseñables. Por

un lado, las directrices curriculares abogan por la introducción gradual de los contenidos

asociados a la Estadística. De hecho, la enseñanza se inicia en torno al aspecto más

descriptivo de la misma donde el interés recae en la distribución de un conjunto de datos

dados, a partir de los cuales calcular los parámetros de posición y dispersión. En el currículo

español, a partir de 3º curso de la ESO se incorpora el concepto de muestreo y con ello la

tarea de valorar la representatividad de la muestra. En dicho currículo se identifica una

aproximación informal hacia la inferencia estadística, donde el objetivo es que el alumno sea

capaz de valorar la muestra apoyándose en el cálculo de diversos parámetros. Además, se

incluyen las técnicas de selección de muestras con el objetivo de que el alumno identifique

la condición de aleatoriedad para la formación de las mismas. En definitiva, se pretende que

el alumno se familiarice con el quehacer estadístico a lo largo de la etapa, el cual se vuelve

más formal en la etapa post-obligatoria o Bachillerato.

Por otro lado, el currículo español señala la necesidad de que el alumno no solamente calcule

los diferentes parámetros, sino que sea capaz de relacionar el valor obtenido con los datos

recogidos y a su vez proporcione conclusiones en relación a la característica de la población

objeto de análisis. En este sentido, en el currículo básico (MECD, 2015) se remarca la

necesidad de que el alumno adopte una actitud crítica hacia la información estadística, la cual

está presente de manera frecuente en su vida cotidiana. De modo que el alumno sea capaz de

interpretar y evaluar la información estadística que recibe en distintas situaciones, como son

los medios de comunicación, concediendo también importancia al lenguaje, siendo el alumno

capaz de comunicarse.

La misma tendencia se observa en las Bases Curriculares (MINEDUC, 2013), donde el eje

de Probabilidad y Estadística pretende que los estudiantes realicen análisis, inferencias y

obtengan información a partir de datos estadísticos. Se espera formar alumnos críticos que

puedan utilizar la información para validar sus opiniones y decisiones, determinando por


ejemplo las interpretaciones erróneas de un gráfico y posibles manipulaciones intencionadas

que se pueden hacer con los datos. Estos aspectos guardan similitud con las dos

competencias que, según Gal (2002), caracterizan la cultura estadística.

Por otro lado en MINEDUC (2013) se recomienda que los estudiantes diseñen experimentos

de muestreo aleatorio para inferir sobre características de poblaciones; registren datos

desagregados cada vez que tenga sentido; utilicen medidas de tendencia central, de posición

y de dispersión para resolver problemas. El foco de este eje radica en la interpretación y

visualización de datos estadísticos, en las medidas que permitan comparar características de

poblaciones y en la realización de simulación y el estudio de experimentos aleatorios

sencillos, para construir desde ellos la teoría y modelos probabilísticos.

Uno de los objetivos generales del estándar de análisis de datos y probabilidad del NCTM

(2000), es desarrollar y evaluar inferencias y predicciones basadas en datos, por lo que los

alumnos deberían llegar a comprender los elementos básicos del análisis estadístico:

seleccionar una muestra adecuada, recoger datos de esta muestra, describir la muestra y hacer

inferencias razonables que relacionen la muestra y la población.

Al final de los niveles medios y en la enseñanza secundaria, los alumnos deberían utilizar las

ideas de selección de muestras e inferencia estadística, y empezar a comprender que hay

maneras de cuantificar el grado de certeza de los resultados estadísticos. Además, en la etapa

9-12 los estudiantes deberían usar simulaciones para aprender sobre distribuciones

muestrales y hacer inferencias informales. En particular, deberían saber que las técnicas

estadísticas básicas se utilizan para controlar la calidad en el mundo laboral. Al terminar la

escuela secundaria deberían estar capacitados para juzgar la validez de los argumentos

basados en datos, como los que aparecen en la prensa.

En CCSSI (2010) y en el proyecto GAISE (Franklin et al., 2007) se presenta la Estadística

como una herramienta para describir variabilidad de los datos y para tomar decisiones

informadas. La aleatorización tiene dos usos importantes: a) la recogida de datos a partir de

una muestra aleatoria de una población hace que sea posible sacar conclusiones válidas sobre

toda la población; b) la asignación al azar de diferentes tratamientos a individuos permite

comparar la eficacia de dichos tratamientos. La forma en que se recogen los datos es

importante para extraer conclusiones de los mismos, por lo que hay que tenerla en cuenta en

la revisión crítica de la estadística en los medios de comunicación. Además en todos los


currículos se recomienda el uso de las herramientas tecnológicas para favorecer la

interpretación de los valores obtenidos, en lugar de estar más interesados en realizar los

cálculos algorítmicos.

6. Discusión y conclusiones

El muestreo es la base de la inferencia estadística, por tanto resulta imperante que los alumnos

logren una comprensión adecuada del mismo. Esta compresión es requerida, no solamente

en inferencia, sino en un ámbito diario, debido a que un ciudadano está expuesto a recibir

información basada en estudios estadísticos que le exige adoptar una actitud razonada y

crítica hacia la información que en ellos se presenta. Estas reflexiones justifican la necesidad

de considerar el muestreo como un contenido a enseñar, por lo que no es sorprendente que

los contenidos curriculares analizados contemples dicho contenido matemático.

El análisis comparativo del currículo chileno y español pone en relieve la necesidad de que

el alumno se enfrente a situaciones en los que se requiera dicho concepto. No obstante, el

currículo chileno es más rico en este aspecto, porque considera un número mayor de tareas

que den lugar a la necesidad del mismo. Destacamos por otro lado que el currículo chileno

no contempla conceptos como el sesgo y la variabilidad muestral. En este sentido, Batanero,

Godino, Green, Holmes y Vallecillos (1994) indican que la aprehensión del muestreo implica

el equilibrio adecuado entre dos ideas que aparentemente parecen opuestas: la

representatividad muestral y la variabilidad muestral. Por tanto, su inclusión como contenido

a enseñar sería necesaria para que el alumno tenga una adecuada comprensión del muestreo.

Agradecimientos: Proyecto EDU2016-74848-P (FEDER, AEI), Beca CONICYT PFCHA 72160521 y Grupo FQM126 (Junta de Andalucía). Referencias bibliográficas Batanero, C., Godino, J. D., Green, D. R., Holmes, P. y Vallecillos, A. (1994). Errores y

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www.corestandards.org/assets/CCSSI_Math%20Standards.pdf. Franklin, C., Kader. G., Mewborn, D., Moreno, J., Peck, R., Perry, M. y Scheaffer, R. (2007).

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CB-405

A CORRELAÇÃO E A REGRESSÃO LINEAR EM LIVROS DIDÁTICOS NOS CURSOS DE GRADUAÇÃO NO BRASIL

Ailton Paulo de Oliveira Júnior - Gisele Cristiane Silva Alves

[email protected] - [email protected] Universidade Federal do ABC, Brasil – Universidade Federal do Triângulo Mineiro, Brasil

Núcleo temático: Recursos para la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas Modalidade: Comunicação Breve Nível educativo: Educación de adultos Palavras Chave: Correlação Linear; Regressão Linear; Livros didáticos; Ensino Superior Resumo Existe uma vasta discussão sobre análise de livros didáticos de Matemática, que é reduzida quando se refere ao estudo de livros didáticos de Estatística, e mais ainda, a livros didáticos do Ensino Superior. Nesse sentido, o presente trabalho tem por objetivo analisar como são trabalhados os conteúdos de Correlação Linear e Regressão Linear dentre os dez livros didáticos mais utilizados no Ensino Superior. O estudo foi realizado através de dois aspectos: o primeiro se refere à análise da significância E o segundo aspecto direciona-se para a identificação do tipo de atividades apresentadas nos livros didáticos. Observa-se que grande parte dos livros oculta à distinção entre dependência funcional e estatística, não deixando claro para o aluno do que se trata. A deficiência se estende quanto à discriminação entre correlação e causalidade. O problema da regressão é comumente tratado nos livros a partir de um diagrama de dispersão. E conjectura um modelo de função que melhor aproxima dos dados, sendo que este pode ser linear ou não. Observamos baixa porcentagem de tarefas (exercícios/exemplos) com o uso da calculadora e os livros que se apoiaram nessa ferramenta tecnológica, apresentaram tarefas com o uso da calculadora TI-83/84 Plus. Introdução

De acordo com Gea, Batanero, Cañadas e Arteaga (2013) frequentemente realizamos

associações e relações entre duas ou mais variáveis, que demandam indagar se elas

correlacionam. A correlação e a regressão são conceitos estatísticos fundamentais que

estendem a ideia de dependência funcional, se relacionando com conceitos como a

covariância, a distribuição, a centralização e a dispersão.

Segundo Jales (2014) a análise do coeficiente de correlação fundamenta-se na mensuração

do grau ou da intensidade de associação entre as variáveis. Trata-se de uma medida numérica

que expressa a força da relação entre variáveis que representam dados quantitativos.


A análise da regressão modela a relação entre as variáveis, pois averigua a existência e o grau

de dependência estatística entre as variáveis aleatórias. Em outras palavras, se constata um

modelo (linear ou não) que descreve a relação entre variáveis através do gráfico e da função

que melhor representa a relação.

Para compreensão correta desses conceitos é de vital importância dominar os processos de

interpretação entre as representações (tabelas e diagramas de dispersão), bem como os

resultados estatísticos (por exemplo, o coeficiente de correlação).

Grácio e Garruti (2005) explicam que o conhecimento estatístico pode estar distante dos

demais conteúdos trabalhados em cursos como esses. Para muitos desses alunos, ao se cursar

a disciplina de Estatística será necessário estudar uma série de conceitos sem utilidade

prática. Como consequências apresentam dificuldades no trato com o conteúdo e na

associação do conhecimento estatístico com o seu campo de conhecimento, impossibilitando

visualizar a estatística aplicada na sua futura prática profissional.

Existe uma vasta literatura sobre a compreensão da Correlação e Regressão dentro da

educação matemática. Destacamos Estepa e Batanero (1996) que estudaram a estratégia de

estudantes ao traduzir a correlação através de diagramas de dispersão.

Sanchez Cobo (1999) analisa os erros conceituais e processuais dos alunos ao estimar (e

interpretar) o coeficiente de correlação por meio de diferentes representações e Zieffer (2006)

verifica o desenvolvimento e os fatores explicativos do raciocínio da covariância dos

estudantes em relação aos dados quantitativos bivariados.

Embasado nessa literatura, o presente trabalho tem como objetivo realizar um estudo dos

conceitos de correlação linear e regressão linear dos dez livros estatísticos mais utilizados no

ensino superior (público e privado) do Brasil, identificados por Oliveira Junior (2011).

Procedimentos Metodológicos

Neste estudo, abordaremos a identificação dos problemas nos livros didáticos, classificando,

teoricamente, as principais problemáticas que dão sentido à Correlação e Regressão. Este

estudo será realizado através da análise da significância da Correlação e Regressão,

observando as principais questões elencados por Estepa, Gea, Cañadas e Contreras (2012),

ou seja: (1) Existe alguma relação entre as variáveis?; (2) É grave ou moderada?; (3) Direta

ou inversa?; (4) Posso usar uma variável para prever outra variável?


Assim, foram analisados os livros didáticos de Ensino Superior, identificados em Oliveira

Júnior (2011) como os mais utilizados por 334 professores que ensinam conteúdos

estatísticos nas universidades públicas e privadas no Brasil. Na Tabela 1 citamos os livros-

texto mais utilizados pelos professores de Estatística participantes desta pesquisa para o

ensino da Correlação Linear e da Regressão Linear

Tabela 1 – Frequência da utilização de livros-texto por professores de instituições pública e privadas de

Ensino Superior no Brasil, com conteúdo de Correlação e Regressão Linear.

Autores Livros Texto Pública Privada Ambas

n* % n* % n* % Bussab e Morettin (2002) 14 17,7 16 9,5 3 10,7 Barbetta (1994) 3 3,8 13 7,7 2 7,1 Stevenson (1981) - 0,0 17 10,1 1 3,6 Triola (1999) 5 6,3 12 7,1 1 3,6 Crespo (2009) - 0,0 12 7,1 3 10,7 Vieira (2008) 3 3,8 10 6,0 1 3,6 Anderson, Sweeney e Willians (2007) 1 1,3 8 4,8 1 0,0 Callegari-Jacques (2003) 2 2,5 4 2,4 1 3,6 Larson e Farber (2004) 2 2,5 2 1,2 1 0,0 Toledo e Ovalle (1994) 1 2,5 3 1,2 1 0,0

* Número de ocorrências. Fonte: Oliveira Júnior (2011).

Resultados

Como já apresentado neste trabalho, ao se estudar uma possível relação entre duas variáveis,

consideramos as questões elencadas por Estepa, Gea, Cañadas e Contreras (2012).

Tais perguntas derivam campos de problemas propostos nos livros analisados conforme

destacado por Gea, Batanero, Cañadas e Arteaga (2013). Assim, apresentamos inicialmente

uma análise considerando a organização dos dados.

Organização de dados bidimensionais e representação em registro gráfico e tabular

Neste aspecto é necessário incluir exercícios ou problemas que conduzam os leitores a

representar os dados, bem como a leitura de tais representações.

No ensino e aprendizagem de Estatística, as informações representadas na forma de tabelas

ou gráficos, devem ser exploradas a leitura e a interpretação dos dados ali representados.

Desta forma se exige do aluno um senso crítico dos conhecimentos estatísticos, como salienta

Miranda (2008).


O diagrama de dispersão e a tabela de frequência da distribuição binomial podem mostrar,

de forma subjetiva, se existe ou não uma relação entre as variáveis, e assim introduzir o

conceito de correlação.

Em todos os livros analisados em algum momento se faz uso de tabelas e gráficos, sendo

comum chamar a atenção para a interpretação do diagrama de dispersão, uma vez que essa

forma de representação pode dar indícios do tipo de relação entre as variáveis trabalhadas.

Vale pontuar atividades que sugerem a construção da tabela ou do diagrama de dispersão,

como destacado por Sánchez Cobo (1999). Portanto, destacamos Larson e Farber (2004) que

sugerem exemplos como construir o diagrama de dispersão (Figura 1), através do uso de

tabelas através dos pares ordenados (x, y).

Figura 1 – Exemplo para construção do diagrama de dispersão (Larson e Farber, 2004, p.397).

Somente Bussab e Morettin (2002) e Barbetta (1994) apresentam histogramas como meio de

representação, quando é feita a análise dos resíduos do modelo linear. Em Bussab e Morettin

(2002) é observado que o gráfico foi construído com uma ferramenta tecnológica, o SPlus

(pacote estatístico, comercializado pela empresa TIBCO Software ou versão comercial da

linguagem S), Figura 2.

Figura 2 – Histograma construído no Splus (Bussab e Morettin, 2002, p. 457).

Determinar a intensidade da relação


A partir do momento em que se identifica a relação entre as variáveis é preciso analisar a

intensidade que variará a independência funcional. Assim, através do diagrama de dispersão

podemos perceber esta análise de forma intuitiva, porém é por meio do coeficiente de

correlação que podemos obter informações mais precisas da intensidade das variáveis

relacionadas. Este campo inclui o cálculo do coeficiente de correlação linear e o cálculo do

coeficiente de determinação, como destacado por Gea, Batanero, Cañadas e Arteaga (2013).

Todos os livros apresentam os cálculos de xyr , porém muitos, num primeiro momento

utilizam o diagrama de dispersão a fim de identificar, subjetivamente, se a correlação é forte,

moderada ou fraca. É comum neste momento falar sobre imaginar uma linha imaginária

(ascendente/descendente) sobre os diagramas, de forma que já prepare o aluno para a

introdução do conceito de regressão.

Destacamos que o uso da tabela que orienta os cálculos de r é observado em todos os livros

analisados.

E através do cálculo do coeficiente de correlação Callegari-Jacques (2003) apresenta uma

tabela que orienta quanto à intensidade da relação, uma vez que r varia entre 0 e 1 (Figura

3).

Figura 3 – Avaliação Qualitativa do grau de correlação entre duas variáveis (Callegari-Jacques, 2003, p. 90).

Sánchez Cobo (1999) ressalta que existem alunos que confundem o coeficiente de correlação

com o de determinação. E é comum em alguns livros restringir a definição do coeficiente de

determinação como o quadrado do coeficiente de correlação, interpretado com uma medida

descritiva da proporção da variação de Y que pode ser explicada por X, segundo o modelo

especificado (Gea, Batanero, Cañadas & Arteaga, 2013).

Tal fato foi fortemente notado nos livros: Barbetta (1994), Triola (1999) e Toledo e Ovalle

(1994). Convém ainda mencionar Crespo (2009) que não realiza nenhuma abordagem sobre

2R . Porém entendemos que o uso de exemplos possa tornar a explicação do coeficiente de

determinação mais clara, como notamos em Vieira (2008):


2R mede a contribuição de uma variável na previsão de outra. [...] imagine que você quer comprar uma camiseta para uma criança. Você chega à loja e pede ajuda à vendedora. O que primeiro ela pergunta? A idade da criança, claro. Por quê? Porque o tamanho de uma criança é função da idade. Boa parte da variação do tamanho das crianças é explicada pela variação de suas idades - o que é medido pelo 2R . Portanto, saber a idade da criança ajuda na previsão do tamanho da sua camiseta. (Vieira, 2008, p.144).

Determinar a direção da relação entre variáveis

Neste campo pretende-se verificar se as variáveis estão correlacionadas direta

(quando uma cresce a outra também cresce) ou inversamente (quando uma cresce a outra

decresce ou diminui). Incluiremos também a relação curvilínea.

Usar o diagrama de dispersão para verificar a direção da relação entre as variáveis se torna

muito comum nos livros analisados. Alguns estendem essa representação incluindo um tipo

de relação não linear, como Larson e Farber (2004), Figura 4.

Figura 4 – Diagramas de dispersão das direções da relação entre as variáveis. (Larson e Faber, 2004, p. 395).

Após identificar a existência de relação entre as variáveis e abordar sobre o coeficiente de

correlação os livros analisados procuraram estabelecer os seguintes aspectos: i) existe

correlação entre as variáveis; ii) correlação positiva e negativa; iii) correlação forte e fraca

(Figura 5).

Figura 5 - Sentido e força da correlação em função do valor de r (Barbetta, 1994, p. 258).


Uma vez identificada a existência de uma relação entre as variáveis (X, Y), devemos

encontrar uma função que permite usar uma variável para prever outra variável. Este é o

problema da regressão, que de acordo com Gea, Batanero, Cañadas e Arteaga (2013) pode

ser decomposto de acordo com os aspectos: analisar o ajuste linear entre variáveis e fazer

estimações mediante o ajuste linear entre variáveis

Portanto, é necessário discutir se uma reta seria um bom modelo de ajuste dos dados.

Mencionamos Bussab e Morettin (2002) e Barbetta (1994), Figura 6, que realizam uma

abordagem sobre a transformação logarítmica, seguido de exemplos contextualizados.

Figura 6 – Exemplo indicando uma relação exponencial (Barbetta, 1994, p. 281).

Porém, somente Toledo e Ovalle (1994) trabalham com diversos modelos matemáticos não

lineares, dentre eles: função potência (transformação logarítmica), a função exponencial,

função hipérbole I e II e o ajuste por meio da parábola. Todos são exemplificados em

contextos, representação gráfica e tabular. Porém, não trabalha a comparação dos modelos

de ajuste, bem como questões que solicite ao aluno eleger qual o melhor dentre os modelos

ao resolver um problema por meio de um exemplo ou exercício, uma vez que é dado ao aluno

o modelo a ser utilizado.

E no tópico “Modelagem”, Triola (1999) realiza uma abordagem sobre os modelos

matemáticos para ajustar dados usando a calculadora TI-83/84 Plus (Calculadora gráfica e

científica para cálculos matemáticos e estatísticos) (Figura 7). Em outros exercícios, Triola

(1999) realiza a construção de modelos não lineares por meio do Minitab (software que

fornece um ambiente completo para análise de dados).


Figura 7 – Gráficos de modelos não lineares feitos na calculadora “TI-83/84” (Triola, 1999, p. 459).

Considerações Finais

Após o estudo podemos indagar: “qual o melhor livro a ser utilizado no ensino de Correlação

Linear e Regressao Linear?” Consideramos que o livro – “Estatística Básica” de Tolledo e

Ovalle (1994) indica os elementos teóricos necessários e mais próximos do estudo. Entretanto

é apresentada uma baixa quantidade de exercicios/exemplos, bem como tarefas que sugerem

o uso de tecnologias. Nesse sentido acreditamos que o livro “Estatística Aplicada” de Larson

e Farber (2010) pode complementar a escassez de exercicios e o uso da tecnologia.

Portanto, em nosso entendimento os dois livros se tornam complementares no que se refere

aos aspectos teóricos e pedagógicos do ensino da Correlação e Regressão.

Com base nas considerações de Ortiz (1999), entendemos que os resultados obtidos nesta

pesquisa devam ser interpretados com precaução, uma vez que o impacto do livro depende

não só do próprio livro, mas do leitor e do professor.

Referências

Anderson, D. R., Sweeney, D., & Williams, T. A. (2007). Estatística Aplicada à Administração e Economia. São Paulo: Thomson Learning.

Barbetta, P. A. (1994). Estatística aplicada às ciências sociais. Florianópolis: Ed. UFSC. Bussab, W. O., & Morettin, P. A. (2002). Estatística Básica. São Paulo: Saraiva. Callegari-Jacques, S. M. (2003). Bioestatística: princípios e aplicações. Porto Alegre:

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Didáctica de la Estadística, Probabilidad y Combinatoria - SEIEM, Granada, España, 1, 1-8.

Grácio, M. C. C., & Garrutti, E. A. (2005). Estatística Aplicada à Educação: Uma análise de conteúdos programáticos de planos de ensino e de livros didáticos. Rev. Mat. Estat., 23(3), 107-126.

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CB-406 A TRANSIÇÃO ENSINO MÉDIO À EDUCAÇÃO SUPERIOR E O DESEMPENHO

ACADÊMICO DE UM CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

Ailton Paulo de Oliveira Júnior – Henrique Grabalos Silva [email protected] - [email protected]

Universidade Federal do ABC, Brasil – Universidade Federal do Triângulo Mineiro, Brasil

Núcleo temático: Formación del profesorado en Matemáticas. Modalidade: Comunicação Breve. Nivel educativo: Formación y actualización docente. Palavras Chave: Ensino Médio. Ensino Superior. Modelo de transição. Desempenho acadêmico. Resumo Antes do estudante começar os estudos universitários, passa por períodos de transformações, desde o ensino básico a Educação Superior. Independentemente de sua fragilidade e capacidade, estes momentos são concentrados em angústias até conseguir o esperado acesso ao Ensino Superior. Diante disto, o estudante traz consigo consequências destes processos de transformações que poderão contribuir de forma positiva ou não no processo cognitivo durante os estudos acadêmicos. Portanto, o trabalho teve como objetivo propor um modelo eclético (considerando aspectos psicológicos, socioculturais e psicossociais), de avaliação do desempenho acadêmico de 90 alunos do curso de Licenciatura em Matemática que transitam do Ensino Médio para a Educação Superior a partir da abordagem teórica das transições. Foi efetuada uma regressão múltipla, para determinar o poder explicativo de cada uma destas variáveis consideradas (independentes) e de todas em conjunto sobre a variável dependente (critério). Assim, o estudo indicou que o resultado no Concurso Vestibular do curso de Licenciatura em Matemática nos três primeiros períodos em conjunto ou considerados em separado, apresenta-se como fator positivo, ou seja, determina um melhor desempenho acadêmico, além do sentimento positivo em relação à Matemática. Introdução

A relevância do estudo da transição do Ensino Médio a Educação Superior, contempla o

processo educativo e diversos aspectos que permeiam a qualidade da educação, interessa à

capacitação da ação educativa e à busca da excelência nas instituições de ensino e no sistema

educativo.

Para o Grupo de Pesquisa da Universidade de Barcelona do Departamento de Métodos de

Investigação e Diagnóstico em Educação – TRALS (2002, p. 2), as transições incorporam


três conceitos importantes: o conceito de mudança, considerando que toda a transição implica

sair de um contexto e entrar em outro; o conceito de processo, ou seja, durante a história do

indivíduo, este está em constante transição; e o conceito de trajetória, onde a transição não é

um processo irreversível e sim um processo que permite diferentes saídas ou vias aos que

transitam.

Mas quando analisamos fatores na transição do Ensino Médio para a Educação Superior

consideramos que este é feito através do desempenho acadêmico, que está relacionado ao

rendimento de um indivíduo ou grupo por meio da execução de atividades acadêmicas

avaliadas pela competência e resultado.

E corroboramos nossa decisão, segundo Munhoz (2004, p. 37) ao descrever o termo

desempenho como aquele que envolve a dimensão da ação e o rendimento, sendo o resultado

da sua avaliação, expresso na forma de notas ou conceitos obtidos pelo sujeito em

determinada atividade.

Ainda sobre a transição do Ensino Médio para a Educação Superior, Corominas e Isus (1998)

consideram que o ingresso na universidade é a transição mais relevante da trajetória

acadêmica dos alunos que finalizaram o Ensino Médio.

E estamos de acordo com Fagundes, Luce e Espinar (2014), que trazem questões sobre este

processo de transição, afirmando ter um caráter de transformação multifatorial devido à

intervenção de diferentes fatores sociais, culturais, individuais e acadêmicos.

Além desta discussão, Fagundes, Luce e Espinar (2014), com base em uma análise valorativa

dos modelos para avaliar a transição Ensino Médio para o Ensino Superior e o desempenho

acadêmico, concretiza-se o modelo eclético de interação.

O modelo eclético de interação enfatiza a junção dos modelos psicológicos, socioculturais e

psicossociais. E, segundo Fagundes (2012, p. 10), o modelo reconhece: (1) A influência das

dimensões estáticas e dinâmicas da personalidade (inteligência, caráter, atitudes,

motivações); (2) O valor determinativo de certas variáveis sociais, tanto de estrutura como

de processo; (3) O valor do “eu” como elemento integrador e determinante da conduta.

Portanto, o trabalho teve como objetivo propor um modelo eclético de interação com aspectos

psicológicos, socioculturais e psicossociais de avaliação do desempenho escolar com

indicadores de êxito acadêmico, tendo por base a teoria das transições.


Procedimentos metodológicos

Os participantes da pesquisa são 90 alunos (78,95%) do total de alunos do curso de

Licenciatura em Matemática, dentre os que foram aprovados nos Concursos Vestibular de:

1-2009; 2-2009; 1-2010; 2-2010; 1-2011 e 2-2011, realizado pela Fundação para o Vestibular

da Universidade Estadual Paulista "Júlio de Mesquita Filho" – VUNESP.

As variáveis escolhidas para o modelo foram as que, com base na revisão da literatura,

apareceram em diversos estudos como preditoras do desempenho acadêmico. Sendo assim,

as variáveis incluídas no modelo foram: (1) Variável dependente (ou preditiva ou de critério):

Desempenho acadêmico (notas dos alunos nos três primeiros semestre letivos no curso de

Licenciatura em Matemática da UFTM) (2) Variáveis independentes (ou preditoras): (2.1)

Resultados obtidos no processo seletivo para o Ensino Superior – Vestibular UFTM de 2009

a 2011; (2.2) Variáveis obtidas através da aplicação de questionário sócio-econômico-

cultural-educacional junto aos alunos.

Assim, o instrumento (questionário) foi construído a partir da reflexão das diversas

discussões em pesquisas nacionais e internacionais, onde pretendemos listar variáveis ou

fatores que abordassem aspectos psicológicos, socioculturais e psicossociais que fariam parte

do modelo eclético de transição.

A variável dependente é denominada GPA, ou seja, média ponderada das notas das

disciplinas cursadas durante o cada um dos semestres letivos, no curso de Licenciatura em

Matemática da UFTM, segundo dados obtidos junto ao DRCA – Departamento de Registro

e Controle Acadêmico da UFTM.

Calculou-se o GPA (Fórmula 1) dos alunos a partir do número de créditos de cada disciplina

multiplicado pela nota obtida dividido pelo total de créditos das disciplinas consideradas, de

acordo a Resolução n. 11, de 26 de junho de 2014, do Conselho Universitário (CONSU),

UFTM (2014), em seu art. 14, ou seja,

totalhoráriaac

disciplinaNotadisciplinadahoráriaacGPA

n

iii

arg

)*arg(1∑

== (1)

onde, n é o número de disciplinas cursadas no período analisado (3 primeiros semestres

letivos do curso de Licenciatura em Matemática).


O tratamento estatístico efetuado, com o objetivo de pesquisar o poder explicativo de cada

uma das variáveis consideradas (independentes) e de todas em conjunto sobre a variável

dependente, é a Regressão múltipla. Esta metodologia visa obter elementos que anexadas às

outras já apresentadas, permitir o conhecimento das relações entre a variável dependente

(critério) e um conjunto de variáveis independentes, com o objetivo de aprofundar aspectos

do estudo.

Segundo Louzada et al. (2012), regressão linear múltipla é uma técnica multivariada cuja

finalidade principal é obter uma relação matemática entre uma das variáveis estudadas

(variável dependente ou resposta) e o restante das variáveis que descrevem o sistema

(variáveis independentes ou explicativas), e reduzir um grande número de variáveis para

poucas dimensões com o mínimo de perda de informação, permitindo a detecção dos

principais padrões de similaridade, associação e correlação entre as variáveis.

E para conhecer as variáveis do desempenho acadêmico foi realizada uma análise preditiva

que se classifica, segundo Bartolomé (1978), na associação entre variáveis. O tipo de

regressão utilizado foi a múltipla stepwise. Esta regressão avalia a “força do relacionamento”

das variáveis quantitativas e/ou qualitativas com o desempenho acadêmico dos alunos nos

três primeiros semestres do curso de Licenciatura em Matemática da UFTM ou quais são os

fatores (psicológicos, socioculturais e psicossociais) que determinam o desempenho

acadêmico na transição do Ensino Médio para o Ensino Superior.

Aspectos psicológicos, socioculturais e psicossociais de avaliação do desempenho

acadêmico nos três primeiros períodos do curso de Licenciatura em Matemática

Aqui apresentamos a determinação do modelo eclético (considerando aspectos psicológicos,

socioculturais e psicossociais), de avaliação do desempenho acadêmico de alunos do curso

de Licenciatura em Matemática da UFTM que transitam do Ensino Médio para a Educação

Superior a partir da abordagem teórica das transições.

O objetivo desta etapa foi obter uma equação de predição (análise de regressão) apoiada na

relação entre uma variável dependente e as variáveis preditoras ou independentes.

Sendo assim, o modelo linear hipotetizada a partir das considerações teóricas foi: Y = b0 +

b1X1 + b2X2 + … + bnXn, onde, Y representa a variável dependente; Xi as variáveis


independentes (i = 1, ..., n) de acordo com as variáveis cujo aporte demonstre-se significativo;

e o coeficiente b pondera o aporte de cada uma das variáveis do modelo.

Assim, para o desempenho acadêmico no primeiro período (GPA_1) do curso de Licenciatura

em Matemática, ao introduzir as variáveis propostas pelo método Stepwise, o modelo

confirma somente três variáveis como preditoras do desempenho acadêmico: Pontos obtidos

na prova de Química no Concurso Vestibular; Participante do Programa de Educação

Tutorial - PET Matemática; e Aluno participante da pesquisa é solteiro. O valor da R2

ajustada é (0,202), o que indica que as variáveis preditoras explicam 20,2% da variância da

variável GPA padronizada referente ao primeiro período do curso de Licenciatura em

Matemática.

Temos que R2 é a porcentagem da variação da variável de resposta explicada pela relação

com uma ou mais variáveis preditoras. Normalmente, quanto maior R2, melhor o modelo

ajusta os dados. O valor de R2 está sempre entre 0 e 100%.

Portanto, a equação que permite estimar a pontuação do GPA padronizada referente ao

primeiro período do curso de Licenciatura em Matemática é a seguinte: Desempenho no

Primeiro Período (GPA_1) = 585,667 + 8,054 (Pontos obtidos na prova de Química no Concurso

Vestibular) - 65,592 (Participou do PET Matemática) - 69,767 (Aluno participante da pesquisa é

solteiro).

Interpretamos da seguinte forma a influência das variáveis significativas no modelo: (1) Não

participante do PET tem melhor desempenho acadêmico no primeiro período do curso de

Licenciatura em Matemática do que participante; (2) Aluno não solteiro tem melhor

desempenho acadêmico no primeiro período do curso de Licenciatura em Matemática do que

aluno solteiro; (3) A cada aumento de pontos obtido na prova de Química no Concurso

Vestibular, aumenta-se o valor do GPA padronizado referente ao Primeiro semestre, ou seja,

melhor pontuação em Química no Concurso Vestibular, melhor desempenho acadêmico no

primeiro período de Licenciatura em Matemática.

Cabe destacar o contexto onde os alunos vivenciaram e que influenciaram nestes resultados,

ou seja, nos dois primeiros períodos das matrizes 2009/1 e 2010/2, a proposta pedagógica do

curso de Licenciatura em Matemática, UFTM (2011), atendia a duas perspectivas básicas na

concepção educativa: a necessidade de uma formação generalista e humanística que concorra


para uma relação crítico-reflexiva entre sujeito e mundo social no chamado Ciclo Comum de

Formação (CCF), primeiro ano do curso.

Para o desempenho acadêmico no segundo período (GPA_2) do curso de Licenciatura em

Matemática, ao introduzir as variáveis propostas pelo método Stepwise, o modelo confirma

também somente três variáveis como preditoras do desempenho acadêmico: Participante de

Programa de Extensão; Participante do Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à

Docência - PIBID; Pontos obtidos na prova de Física no Concurso Vestibular; Atitude que

reflete sentimento positivo pela Matemática. O valor da R2 múltiplo ajustado é (0,225), o

que indica que as variáveis preditoras explicam 22,5% da variância da variável GPA

padronizada referente ao segundo período do curso de Licenciatura em Matemática.

A Equação que permite estimar a pontuação do GPA padronizada referente ao segundo

período do curso de Licenciatura em Matemática é a seguinte: Desempenho no Segundo

Período (GPA_2) = 322,892 - 125,910 (Participante de Programa de Extensão) + 28,071 (Pontos dos

fatores das Atitudes que refletem sentimento positivo pela Matemática) - 97,296 (Participante do

PIBID) + 10,486 (Pontos obtidos na prova de Física no Concurso Vestibular).

Interpretamos da seguinte forma a influência das variáveis significativas no modelo: (1) Não

participante de Programa de Extensão tem melhor desempenho acadêmico no segundo

período do curso de Licenciatura em Matemática do que participante em Programa de

Extensão; (2) A cada aumento de pontos obtido pelos fatores das atitudes que refletem

sentimento positivo pela Matemática, aumenta-se o valor do GPA padronizado referente ao

segundo semestre, ou seja, quanto mais positiva o sentimento em relação à Matemática

medida pela escala de atitudes, melhor desempenho acadêmico no primeiro período do curso

de Licenciatura em Matemática; (3) Não participante do PIBID tem melhor desempenho

acadêmico no segundo período do curso de Licenciatura em Matemática do que participante

do PIBID; (4) A cada aumento de pontos obtido na prova de Física no Concurso Vestibular,

aumenta-se o valor do GPA padronizado referente ao segundo período, ou seja, melhor

pontuação em Física no Concurso Vestibular, melhor desempenho acadêmico no segundo

período de Licenciatura em Matemática.

Neste período, os alunos ainda estão sujeitos às matrizes 2009/1 e 2010/2 e à proposta

pedagógica do curso de Licenciatura em Matemática, UFTM (2011), que atende a duas

perspectivas básicas na concepção educativa: a necessidade de uma formação generalista e


humanística que concorra para uma relação crítico-reflexiva entre sujeito e mundo social no

chamado Ciclo Comum de Formação (CCF), primeiro ano do curso.

Há uma maior adaptação ao sistema a que estão inseridos, o que leva à influência de fatores

mais voltados às práticas e projetos desenvolvidos no curso e também o sentimento positivo

pela Matemática influencia o desempenho no curso.

Para o Desempenho Acadêmico no terceiro período (GPA_3) do curso de Licenciatura em

Matemática, ao introduzir as variáveis propostas pelo método Stepwise, o modelo confirma

três variáveis como preditoras do desempenho acadêmico: Participante de Programa de

Extensão; Participante do PIBID; Total de pontos obtidos na Segunda Fase do Concurso

Vestibular. O valor da R2 ajustada é (0,221), o que indica que as variáveis preditoras explicam

22,1% da variância da variável GPA padronizada referente ao terceiro período do curso de

Licenciatura em Matemática.

Portanto, a equação que permite estimar a pontuação do GPA padronizada referente ao

terceiro período do curso de Licenciatura em Matemática é a seguinte: Desempenho no

Terceiro Período (GPA_3) = 511,839 + 3,310 (Total de pontos obtidos na Segunda Fase do Concurso

Vestibular) - 113,362 (Participante de Programa de Extensão) - 98,248 (Participante do PIBID).

Portanto, interpretamos da seguinte forma a influência das variáveis significativas no

modelo: (1) Não participante de Programa de Extensão tem melhor desempenho acadêmico

no terceiro período do curso de Licenciatura em Matemática do que participante em

Programa de Extensão; (2) Não participante do PIBID tem melhor desempenho acadêmico

no terceiro período do curso de Licenciatura em Matemática do que participante do PIBID;

(3) Aumento de pontos obtido no total de pontos da segunda fase do Concurso Vestibular,

aumenta-se o valor do GPA padronizado referente ao terceiro período, ou seja, melhor

pontuação na classificação final no Concurso Vestibular, melhor desempenho acadêmico no

terceiro período de Licenciatura em Matemática.

Importante destacar que no terceiro semestre letivo das matrizes 2009/1 e 2010/2, observa-

se no desenho curricular do curso de Licenciatura em Matemática da Universidade Federal

do Triângulo Mineiro, UFTM (2011) que começam a ser oferecidas disciplinas referentes ao

eixo “Especificidades da Formação na área de Licenciatura em Matemática” - formação de

habilidades e competências relacionadas às especificidades da área do saber matemático.


Considerações finais

Ao ingressar no curso de Licenciatura em Matemática em 2009, a matriz curricular do curso

propunha ao aluno duas perspectivas básicas na concepção educativa: a necessidade de uma

formação generalista e humanística e mundo social no chamado Ciclo Comum de Formação

(CCF). Nesse momento, as turmas eram formadas com a união de várias licenciaturas e o

foco não era disciplinas específicas da formação matemática.

Assim, no primeiro período do curso há uma influência positiva pela melhor pontuação na

prova de Química na segunda fase do Concurso Vestibular. Acreditamos que isso indica que

a prova de Química trazia elementos matemáticos, pondo em questão a base trazida do Ensino

Médio e o processo de transição do sujeito até chegar à Universidade.

Em relação aos resultados constantes no modelo de regressão (eclético), no segundo período

existe aspecto comum ao primeiro período como a indicação de que uma melhor pontuação

na prova de Física na segunda fase do vestibular, indica melhor aproveitamento no curso de

Licenciatura em Matemática, diferente do primeiro período em que a pontuação da prova de

Química é que influenciou positivamente o desempenho. Neste caso há uma influência

positiva de fatores psicossociais no desempenho do curso.

Ainda constatou-se que quanto mais positiva for a relação com a Matemática melhor o

desempenho nas disciplinas cursadas no segundo período do curso de Licenciatura em

Matemática. Assim, consideramos que neste período, fatores psicológicos dos alunos tendem

a influenciar positivamente o desempenho acadêmico, ou seja, atitudes positivas ou

sentimento positivo em relação à Matemática indicam um melhor desempenho.

No terceiro período, os resultados corroboram o apresentado no primeiro e segundo períodos,

quando é dando ênfase que o total de pontos obtidos na segunda fase do Concurso Vestibular

é um fator positivo e prévio ao efetivo estar cursando a Licenciatura em Matemática e que

indica influência no desempenho acadêmico dos estudantes.

Assim, estudos como este contemplam o processo educativo como um todo e a busca por

excelência nas instituições de ensino e no sistema educacional. Faz-se necessário,

principalmente para as instituições de nível superior, a avaliação do desempenho acadêmico

dos estudantes que permeiam este ambiente.

Referências


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Munhoz, A. M. H. (2004). Uma análise multidimensional da relação entre inteligência e desempenho acadêmico em universitários ingressantes. Tese de Doutorado em Educação, Faculdade de Educação, Universidade de Campinas, SP.

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TRALS (Grup de Recerca sobre Transicions Acadèmiques i Laborals). (2002). El rendiment acadèmic i la trajectória acadèmica en els dos primers anys de la universidad. Barcelona: Universitat de Barcelona.

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UFTM. (2014). Resolução n. 11, de 26 de junho de 2014, do Conselho Universitário (CONSU).


CB-408

LAS PRÁCTICAS DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE EN COMUNIDADES DE PRÁCTICA DE FUTUROS PROFESORES DE MATEMÁTICAS.

Jenny Patricia Acevedo Rincón – Dario Fiorentini

[email protected] – [email protected] Fapesp 2015/16227-0/ Universidad Estatal de Campinas, Brasil

Núcleo temático: Investigación en Educación Matemática. Modalidad: CB Nivel educativo: Formación y actualización docente Palabras clave: Formación docente, Práctica docente, Licenciatura, Aprendizaje situada. Resumo La comunicación pretende abordar conceptos básicos de la Teoría Social de aprendizaje, como aprendizaje docente e identidad profesional, usados en las acciones de un grupo de estudiantes de Licenciatura en Matemática al participar de la disciplina Práctica profesional docente en la Facultad de Educación de la Universidad Estatal de Campinas (Brasil). Al participar de comunidades de práctica en los cuatro escenarios de formación de tipo interdisciplinar (Escuela, Curso de práctica docente, Grupo Interdisciplinar de licenciados y Plataforma de Enseñanza), ofrecidos por la disciplina Práctica Docente, los futuros profesores de matemáticas (re) significaron las experiencias de enseñar y aprender la escuela, así como también lograron (re)negociar diferentes significados como escuela, docencia, matemáticas, enseñanza y aprendizaje. Los datos fueron analizados narrativamente, los cuales consideran algunos aprendizajes que valorizan la necesidad de fomentar espacios de equidad entre las diferentes disciplinas científicas de formación en las licenciaturas, a partir de la participación interdisciplinar de los futuros profesores en las prácticas profesionales docentes, así como sus implicaciones con la identidad profesional docente. Por último, algunas serán problematizadas algunas necesidades dentro de la formación docente de los estudiantes de las licenciaturas

Los procesos de actividad humana garantizan siempre la heterogeneidad de las

experiencias porque, pese a que los lugares donde se desarrollan las experiencias sean los

mismos, la negociación de significados son particulares de cada individuo. En este sentido,

la Teoría Social de Aprendizaje (TSA) se refiere al significado, producido por interacción

social, como principal fuente de producción de aprendizajes (WENGER, 2001, p. 21). Sin

embargo, a todo esto, podemos también reconocer que los significados se dan no sólo con

conceptos propios de las matemáticas, por ejemplo, sino también de cuestiones propias de la

escuela, o de lo que significa ser profesor en una realidad enmarcada por el sistema educativo.


Para la TSA, la participación es parte importante en el desarrollo del conocimiento. La

participación es considerada como el “conjunto de relaciones en evolución continuamente

renovado” (LAVE y WENGER, 1991, p. 50). Así el conocimiento envuelve un conjunto de

personas que interactúan dentro de una práctica y que con el tiempo, constituyen aprendizajes

no fijas, pues el conocimiento como práctica social está siempre evolucionando.

La participación está basada en negociaciones y renegociaciones de significados situados en el mundo lo que implica que la comprensión y la experiencia están en constante interacción- de hecho, son mutuamente constitutivas-. Acciones, personas y mundo están implicados en todo pensar, hablar, conocer y aprender (LAVE & WENGER, 1991, p. 52).

La participación es la forma más visible de aprendizaje al constituirse parte del

producto de la práctica. En particular, el grupo de estudiantes que participan de la

investigación, constituyen una Comunidad de Práctica (CdP), pues “hay una participación

social como un proceso de aprender y conocer, la cual ayuda a constituir una identidad de un

aprendizaje no estática”. La participación del futuro profesor, en la escuela campo de

prácticas, como experiencia formativa, constituye una oportunidad para él de confrontar, de

un lado, los saberes privilegiados por el curso de Licenciatura, con los de la práctica de

enseñanza y aprendizaje y, por otro lado, con su ideal de escuela construido desde sus

diferentes trayectorias de participación en las complejas prácticas escolares. Los futuros

profesores, entretanto, no demoran en percibir -lo que las teorías de Lave e Wenger ya

destacaban sobre el aprendizaje no formal- que los profesores “aprenden a enseñar más en la

práctica y con otros profesores, siendo que, a pesar de la rutina, agregan valores, objetivos y

saberes que dan sentido a las prácticas educativas” (FIORENTINI, 2013, p. 158).

Por otra parte, dentro de la misma TSA, se habla de la trayectoria de participación

enmarcada por la participación en las diferentes comunidades de práctica (Comunidad de

Práctica del salón de clases, Comunidad de Práctica del grupo interdisciplinar, Comunidad

de práctica de profesores de la institución educativa, entre otras comunidades), las cuales se

influencian mutuamente y desarrollan características importantes en la formación de los

futuros profesores, así como en su desarrollo profesional su “aprendizaje significa tornarse

una persona que habita el paisaje con una identidad cuya construcción dinámica se refleja en

la trayectoria a través de aquel paisaje” (WENGER-TRAYNER y WENGER TRAYNER,


2015, p. 19).

Podemos entonces identificar que el conocimiento se produce en la medida en que las

personas, como seres sociales (LAVE, 1996), transitan por diferentes experiencias inmersas

en las prácticas que proveen de significado cada situación; siendo que, en consecuencia, el

conocimiento se da por participación sobre las prácticas. Por su parte, la práctica, al

desarrollarse dentro de un sistema de relaciones, refiere que la significación depende de uno

o varios contextos como el caso de las prácticas docentes. Lo anterior implica que la práctica

en el sentido que Wenger (1998, p. 47) expone es comprendida como “hacer algo en un

contexto histórico y social que da una estructura y un significado a lo que hacemos”. Siendo

que, los participantes de una práctica le dan sentido particular en lo referente a la estructura,

y es por medio de este sentido y negociación de los significados que a la experiencia se le da

un significado particular cuando se interactúa con otros participantes. Por lo tanto, las

comprensiones sobre el aprendizaje en cada práctica se manifiestan como (re) significación

de las experiencias de quienes la componen, así como de las trayectorias de participación al

interior de las comunidades de sus integrantes. No obstante, debe estar presente que se puede

estar dentro de una práctica, pero no necesariamente ser parte de ella. Esto es, la dinámica al

interior de las comunidades de práctica, permite que los procesos de participación avancen

frente a la identificación o no identificación de sus participantes en dicha práctica. Ser parte

de una Comunidad de práctica implica comprometerse con la comunidad y alinearse a las

ideas que la práctica le pide o le ofrece.

Los niveles de identificación propuestos por Wenger (1998) y Wenger-Trayner e

Wenger-Trayner (2015), están delimitados por el compromiso, la imaginación y la alineación

los cuales son mutuamente necesarios para garantizar la identificación de los participantes

de una comunidad de práctica. De esta manera, la afiliación con una comunidad implica la

voluntad de participar en un grupo con múltiples experiencias que se han consolidado con el

pasar del tiempo. La afiliación también refiere a la unión de los procesos de aprendizaje dados

por la imaginación, alineamiento y compromiso, constituyendo las competencias negociadas

dentro de una comunidad. Alineamiento es el elemento central en la organización de una

comunidad, pues permite coordinar los participantes a partir de reglas internas que visan por

atender el objetivo común de la comunidad de práctica, así como de proyectar sus prácticas


en el tiempo. Por su parte, la imaginación, comienza desde los intereses individuales, que son

proyectados sobre lo global de la comunidad de práctica. Los participantes por su parte

construyen una imagen sobre la participación que tendrán en la misma, lo que implica

posteriormente su participación activa en la práctica. Por último, el compromiso está definido

dentro de la práctica como la responsabilidad de participación y cumplimiento de sus

responsabilidades dentro de la comunidad de práctica. También, este último está relacionado

con la participación de los integrantes a partir de las experiencias con otras comunidades, en

consecuencia, con las trayectorias trazadas por la participación en otras comunidades. Una

posible interpretación de los procesos de identificación vivenciados al interior de las prácticas

de los futuros profesores que participan del curso Práctica Profesional docente, está planteada

en Acevedo y Fiorentini (2016, p. 10-11), en donde se pueden reconocer algunas formas de

participación de los futuros profesores y sus posibilidades de identificación con las

Comunidades de Práctica constituidas a propósito de la Disciplina práctica profesional

docente, por medio de los tres procesos de identificación. En el siguiente apartado, será

descrito el encuadre metodológico para articular la Teoría Social de Aprendizaje con los

datos producidos durante el desarrollo de la investigación.

Contexto de la investigación

Con el objetivo de comprender las prácticas de aprendizaje docente y de desarrollo profesional de los

estudiantes de Licenciatura en Matemáticas, que participan de experiencias interdisciplinares (HAMEL, 2002,

p. 8), se desarrolló una investigación con un grupo de 18 estudiantes de diferentes Licenciaturas, que

participaron de la disciplina Práctica profesional docente1 en la Facultad de Educación de la Universidad Estatal

de Campinas (Unicamp). En donde los programas de licenciaturas contemplan cuatro prácticas profesionales

docentes, que son distribuidas entre los institutos propios de las licenciaturas, por ejemplo el Instituto de

matemática para el de la Licenciatura en Matemáticas, y las siguientes prácticas son desarrolladas en la Facultad

de educación. De esta manera, los futuros profesores identifican diferentes concepciones de práctica docente.

Por ejemplo, en el instituto de matemática es privilegiada la formación disciplinar en matemáticas, por lo que

las prácticas observadas y desarrolladas en él corresponden a la acción propia do profesor de matemáticas, y las

metodologías usadas para enseñar los contenidos al curso asignado. En consecuencia, la práctica profesional

docente de la Facultad de Educación de la Unicamp, propone un diálogo entre las diferentes licenciaturas, a

través de la interdisciplinariedad, sin dejar de lado la identidad propia de la práctica profesional docente de cada

disciplina. De esto se deriva la tarea de (re)pensar las prácticas profesionales docentes, de manera que se respete

1 En portugués el nombre de la disciplina es Estágio Supervisionado I, que puede ser

traducida por equivalencia a la disciplina Práctica profesional docente en Colombia.


lo particular de las prácticas disciplinares, la cual queda a cargo de los formadores de las disciplinas, pues se

tiene la autonomía para desarrollar el programa del curso semestralmente.

A partir de las observaciones y reflexiones sobre las prácticas de enseñar y aprender en

la escuela campo de prácticas, el formador de la disciplina propuso a los futuros profesores,

proyectar un plano de intervención para la escuela, siendo desarrollado de manera

interdisciplinar, por lo que por medio de esta propuesta, ellos identificaron problemáticas

comunes, ultrapasando la perspectiva disciplinar en la mayoría de los grupos. Lo observado

por los futuros profesores en las escuelas, fue problematizado posteriormente en el salón de

clases de la disciplina de la Unicamp, de manera que pequeños recortes de textos fueron

usados para el desarrollo de la clase para evidenciar que eran situaciones reales las sucedidas

al interior de la práctica docente. La interlocución con las referencias bibliográficas, y la

interpretación de situaciones reales, permitió encontrar sentido a las prácticas en la escuela y

en el salón de clases dentro de la Unicamp. Además de compartir las experiencias vividas en

las escuelas, los estudiantes se fueron identificando con situaciones similares a las expuestas

por los otros estudiantes, por lo que motivó la participación de los otros futuros profesores,

considerándose esta como la oportunidad para que aprendizajes emergieran por medio de

aportes de otros compañeros. Posteriormente los estudiantes fueron invitados a reunirse en

grupos de hasta cuatro estudiantes, siendo que por lo menos estuvieran en el grupo

estudiantes de dos licenciaturas diferentes.

De acuerdo con lo desarrollado, fueron identificados diferentes escenarios de

participación en las prácticas. Inicialmente, un escenario global en el que participaron los 18

estudiantes de licenciatura dentro la Unicamp corresponde al escenario de la Disciplina, que

es llamado de Cdp D. Un segundo escenario de participación es el delimitado por los

subgrupos conformados por estudiantes de diferentes licenciaturas y que tenían por propósito

realizar una intervención interdisciplinar en la escuela de prácticas. Al interior de este

escenario fueron constituidas las Comunidades de práctica Interdisciplinares (CdP I). En

general fueron constituidas seis CdP I, cuyos intereses de estudio eran variados. Un tercer

escenario correspondió a la escuela, donde se constituyó la Comunidad de Práctica de la

Escuela (CdP E). Y, por último, el escenario virtual de la plataforma donde registraban sus

observaciones, este escenario es la plataforma TelEduc, y tiene por objetivo respaldar el

trabajo de los estudiantes, constituyéndose en un soporte para el desarrollo de actividades de


la disciplina, además de compartir experiencias con otros estudiantes dentro de la misma

plataforma. Sin embargo, de este último escenario no se deriva una comunidad de práctica,

pues durante el desarrollo de la disciplina se usó como espacio para registro de observaciones,

o diarios de campo. Teniendo presente que el grupo era heterogéneo en su constitución, y

que atendían a diversos intereses, se propuso investigar sobre un grupo de seis estudiantes de

licenciaturas, privilegiando la mayor cantidad en el área de matemáticas. De esta manera, se

seleccionaron dos comunidades de práctica, en las cuales se encontraban concentradas cuatro

de las seis estudiantes de licenciatura en matemáticas matriculadas en el curso. La

Comunidad de Práctica Interdisciplinar 1 (CdP I1) estaba interesada en conocer las diferentes

representaciones culturales/simbólicas que la Escuela posee en la visión de los alumnos. Esta

comunidad estaba constituido por tres estudiantes de Licenciatura en Matemáticas, y uno de

Licenciatura en Historia. La segunda Comunidad de Práctica interdisciplinar que fue

analizada en la investigación corresponde a la número 4 (CdP I4), cuyo interés central fue el

Proyecto Educativo de Integración Social (PEIS) como ambiente de introducción a la

docencia. Esta Comunidad estaba constituida por una estudiante de Licenciatura en

Matemáticas y una de Biología.

Metodología de la investigación

Los instrumentos de producción de datos usados en esta investigación objetivan

reconocer, de manera transversal dentro de los escenarios, qué experiencias de aprendizaje

tuvieron los futuros profesores de matemáticas al participar de las tres comunidades de

práctica (CdP D, CdP I, CdP E) de las cuales participaron. Posteriormente, y junto con un

análisis longitudinal de tales experiencias, se buscó por comprender cuáles momentos

puntuales fueron los que permitieron identificarse o des-identificarse profesional como

futuros profesores de matemáticas. El análisis de los datos producidos en campo, tienen como

propósito construir comprensiones sobre los aprendizajes docentes y la identidad profesional,

para lo cual, la narrativa representa un modo de organizar, interpretar y comprender la

experiencia, así como de “(re)construir las múltiples identidades como seres humanos”

(COCHRAN-SMITH, 2009, p.113). También, al narrar las historias desarrolladas en las

diferentes experiencias ocurridas en los cuatro escenarios, existe un “proceso reflexivo entre

el vivir, contar, revivir y recontar de una historia” (CLANDININ e CONNELLY, 2013, p.

109).


Resultados

Algunos de los resultados obtenidos, revelan que las voces de los otros aparecieron con destaque en la

reificación de los futuros profesores. Lo cual representa apropiación de discursos ajenos, así como diferentes

posiciones de identificación o desidentificación con la profesión docente. Lo anterior representa grados de

alteridad en el discurso propio de los futuros profesores. Alteridad en discursos y modos de comprender las

experiencias, así como de identificación con la profesión, que a su vez vislumbran mudanzas en los horizontes

de quienes participan en las prácticas pedagógicas. Dos análisis narrativos realizados sobre los aprendizajes

docentes y el desarrollo profesional del futuro profesor de matemáticas, a partir de las experiencias de las

estudiantes de Licenciatura en Matemática Malu y Rinama (nombres ficticios), que participaron de la misma

comunidad de Práctica Interdisciplinar, muestran la problematización y (re)significación de la Escuela, a partir

de lo que piensan los alumnos de enseñanza básica y secundaria2 de la escuela campo de prácticas, sobre la

Escuela.

Conclusiones

La práctica formativa del curso Práctica profesional docente será capaz de romper con

el tradicional aislamiento, o distancia, entre las disciplinas escolares y los curos de

Licenciatura. Una aproximación inicial nos permite reconocer que, a partir de las relaciones

establecidas por la interdisciplinaridad existen acciones, relaciones y significaciones que

movilizan el análisis y la problematización de los aprendizajes que serán producidos al

interior de la práctica, durante las actividades de la práctica profesional docente. En este

contexto, se considera la práctica profesional docente de la Facultad de Educación de la

Unicamp como el lugar donde pueden ocurrir experiencias formativas diferentes de aquellas

que el lugar fronterizo entre las disciplinas de las licenciaturas y, también, entre la

Universidad y las instituciones educativas, en los cuales puede convertirse en un lugar de

encanto o desencanto, y que podrá recaer en la identificación o desidentificación del futuro

profesor de matemáticas como profesional de la educación. Esto porque el futuro profesor se

incorpora en una práctica que fue inicialmente idealizada o teorizada, que puede confirmar o

desistir de su idea inicial de ser profesor, antes de formarse como licenciado, o incluso

después de concluir su licenciatura, como en el caso de Malu. Caso contrario sucedió con

Rinama, quien se sintió identificada desde temprana edad, y quien permanece en la búsqueda

constante de nuevas y mejores prácticas de enseñanza de las matemáticas. Es justamente ese

2 En Brasil, estos dos términos son equivalentes con Ensino Fundamental y Ensino Médio

respectivamente.


momento en la ‘frontera’ que le permite decidir delante los resultados de la práctica, lo que

pretende hacer en su futuro próximo. El curso de práctica profesional docente, moviliza

aprendizajes profesionales que constituyen un futuro profesor de matemáticas dentro de

propuestas de (re)pensar la educación como la respuesta a las necesidades actuales de lo

general del sistema, y de lo particular de quienes lo integran.


Acevedo, J.; Fiorentini, D. (2016). Práticas na formação dos licenciados em Matemáticas:

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CB-410

A CONSTRUÇÃO DO SIGNIFICADO DE NÚMERO NAS ESCOLAS

PAROQUIAIS LUTERANAS DO SÉCULO XX NO RIO GRANDE DO

SUL/BRASIL

Dr. Malcus Cassiano Kuhn – Dr. Arno Bayer

[email protected] – [email protected] IFSul – Câmpus Lajeado/RS/Brasil – ULBRA/Canoas/RS/Brasil

Núcleo temático: História social da educação matemática na América Latina Modalidade: Comunicação Breve – CB Nível educativo: Primário (6 a 11 anos) Palavras chave: História da Educação Matemática. Significado de Número. Método de Ensino Intuitivo. Resumo Em 1900, o Sínodo Evangélico Luterano Alemão de Missouri (Estados Unidos), hoje Igreja Evangélica Luterana do Brasil, iniciou missão nas colônias alemãs do Rio Grande do Sul (Brasil), fundando congregações religiosas e escolas paroquiais. Tais escolas estavam inseridas num projeto missionário e comunitário que buscava ensinar a língua materna, Matemática, valores culturais, sociais e, principalmente, religiosos. Esta comunicação aborda a construção do significado de número nas escolas paroquiais luteranas do século XX no Rio Grande do Sul. Baseando-se no referencial da pesquisa histórica, investigaram-se as orientações para o ensino da Matemática e as edições da Primeira Aritmética da série Ordem e Progresso e da série Concórdia, editadas pela Igreja Evangélica Luterana do Brasil, por meio da Casa Publicadora Concórdia de Porto Alegre, para as escolas paroquiais luteranas gaúchas. Analisando-se as orientações didáticas e as duas edições da Primeira Aritmética, observaram-se propostas de ensino para construção do significado de número pelo método intuitivo, predominando associações com elementos do contexto dos alunos das escolas paroquiais luteranas gaúchas do século passado.

Introdução

O Sínodo Evangélico Luterano Alemão de Missouri3, hoje Igreja Evangélica Luterana do Brasil –

IELB, iniciou missão nas colônias alemãs do Rio Grande do Sul –RS, em 1900, fundando congregações

religiosas e escolas paroquiais. Conforme Kuhn (2015), as escolas paroquiais luteranas gaúchas estavam

inseridas num projeto missionário e comunitário que buscava ensinar a língua materna, Matemática, valores

3 Em 1847, um grupo de imigrantes luteranos alemães da Saxônia fundou no estado de Missouri (Estados Unidos), o Sínodo Evangélico Luterano Alemão de Missouri, Ohio e Outros Estados, atualmente Igreja Luterana - Sínodo de Missouri.


culturais, sociais e, principalmente, religiosos. Tais escolas tinham uma responsabilidade para com a

comunidade no sentido de, junto e com ela, promover o crescimento e o desenvolvimento pessoal de todos que

a compõe, focando a cidadania. “Se a escola formasse o ser humano com postura ética e moral exemplar, este

poderia promover transformações sólidas em seu contexto social e seria um verdadeiro colaborador na seara de

Deus e para o governo do mundo” (Kuhn & Bayer, 2016, p. 6).

O Sínodo de Missouri também tinha uma preocupação acentuada em relação aos recursos didáticos

usados nas escolas paroquiais, pois este material era escasso e a dificuldade era grande em manter um ensino

planificado e organizado. Era necessário organizar o currículo das escolas e produzir material de acordo com a

realidade brasileira. Conforme Weiduschadt (2007, p. 41), “os livros usados nas escolas paroquiais e utilizados

pelos alunos foram produzidos pelas instituições religiosas com objetivo de formar e moldar as condutas e as

práticas ao fazer a escolarização das comunidades”. O Sínodo de Missouri começou a produzir os próprios

livros de aritmética, através da Casa Publicadora Concórdia4 de Porto Alegre/RS. Para as aulas de matemática,

foram publicadas duas séries: a série Ordem e Progresso, lançada na década de 1930, e a série Concórdia,

lançada na década de 1940. As duas séries são compostas por três aritméticas5 voltadas para os primeiros anos

de escolarização.

Esta comunicação aborda a construção do significado de número nas escolas

paroquiais luteranas do século XX no RS/Brasil. Trata-se de um recorte de tese,

complementado por pesquisas realizadas no estágio Pós-doutoral em um Programa de Pós-

Graduação no Brasil. Como a temática investigada se insere na História da Educação

Matemática no RS, busca-se na pesquisa histórica o suporte para discussão.

Conforme Prost (2008), os fatos históricos são constituídos a partir de traços deixados

no presente pelo passado. Assim, a tarefa do historiador consiste em efetuar um trabalho

sobre esses traços para construir os fatos. Certeau (1982) define o fazer história, no sentido

de pensar a história como uma produção. Para o autor, a história, como uma produção escrita,

tem a tripla tarefa de convocar o passado que já não está em um discurso presente, mostrar

as competências do historiador (dono das fontes) e convencer o leitor. O trabalho do

historiador, de acordo com Certeau (1982), é fazer um diálogo constante do presente com o

passado, e o produto desse diálogo consiste na transformação de objetos naturais em cultura.

4 Fundada em 1923, fazia a edição de livros e de periódicos relacionados à literatura religiosa e escolar da IELB. Foi a primeira e a única redatora da IELB, existente até os dias atuais. Antes de sua fundação, os livros e os periódicos eram impressos pela Concordia Publishing House, nos Estados Unidos, e enviados para o Brasil. 5 As aritméticas da série Ordem e Progresso e da série Concórdia foram encontradas no Instituto Histórico da IELB em Porto Alegre/RS/Brasil.


De acordo com Valente (2007), realizar o estudo histórico da matemática escolar

exige que se devam considerar os produtos da cultura escolar no ensino de matemática, que

deixaram traços que permitem o seu estudo, como as aritméticas da série Ordem e Progresso

e da série Concórdia, principais fontes documentais desta investigação.

A construção do significado de número nas escolas paroquiais luteranas gaúchas

De acordo com Kuhn (2015), o processo de alfabetização matemática, no primeiro ano de

escolarização nas escolas paroquiais luteranas gaúchas, evidenciava o estudo dos números naturais até 100.

Havia uma preocupação em construir o significado de número, de forma gradativa e significativa, valendo-se

de elementos pertencentes ao contexto dos alunos. Embora, nas primeiras três décadas de existência dessas

escolas, o material didático empregado nas aulas de matemática tivesse origens diversas, identificam-se

orientações pedagógicas, publicadas pela imprensa missouriana, as quais defendiam a construção do significado

de número pelo método de ensino intuitivo6.

Na obra de Lindemann (1888), Amerikanisch-Lutherische Schul-Praxis (Práticas escolares para os

luteranos americanos), editada pela Editora Concórdia de Sant Louis (Estados Unidos), o autor traz uma série

de orientações para o ensino da matemática nas escolas missourianas. Essas orientações também influenciaram

as escolas paroquiais luteranas gaúchas através dos pastores e professores vindos dos Estados Unidos no início

do século XX e por aqueles formados, posteriormente, no Seminário Concórdia7 de Porto Alegre/RS. Sugeria-

se primeiro trabalhar o significado de número, seguido do exercício (treino) e depois a aplicação prática. Nesse

sentido, o autor defende que:

A concepção ou ideia correta de número só pode ser obtida por meio da intuição. Tendo claro o significado de número, os alunos devem fazer muitos e variados exercícios. Deve-se usar o ábaco e outros materiais concretos, como por exemplo: pedaços de madeira, dados, esferas, botões, grãos de feijão, janelas da sala, as próprias crianças, etc.. A utilização de vários recursos visuais é necessária para que as crianças não construam a ideia de número somente de forma abstrata. Deve-se respeitar o tempo que a criança precisa para entender os números e somente dar sequência ao estudo se a mesma tiver compreendido o significado de número. O ensino deve partir do conhecido, do simples para o complexo, do fácil ao difícil, evitando lacunas que prejudiquem a sequência dos estudos. Por isso, inicia-se com

6 Método de ensino que surgiu na Alemanha no final do século XVIII e divulgado pelos discípulos de Pestalozzi no decorrer do século XIX, na Europa e nos Estados Unidos. No Brasil, fez parte das propostas de reformulação da instrução pública no final do Império, sendo Rui Barbosa responsável por sistematizar os princípios do método intuitivo em seus pareceres e por traduzir o manual, Lições de Coisas, de Calkins. No método intuitivo, a escola deveria ensinar coisas vinculadas à vida, utilizar os objetos como suporte didático e os sentidos para produção de ideias, iniciando do concreto e ascendendo à abstração. 7 Instituto pedagógico-teológico que atuou na formação de pastores e de professores sinodais para a IELB.


os números de 1 a 10, em seguida de 11 a 100, depois de 101 a 1000, e assim, vai se expandindo gradualmente o estudo da numeração. As regras devem ser observadas e reconhecidas pelo desenvolvimento de uma série de exemplos, de modo que o aluno, desde o início, tenha consciência de que a regra é resultado da experiência (Lindemann, 1888, pp. 188-189, tradução nossa).

A construção adequada do significado de número, para posterior estudo das quatro

operações e demais conhecimentos matemáticos, é, ainda, reforçada no periódico pedagógico

Unsere Schule8 (Nossa Escola), ao considerar que os alunos já trazem a experiência de contar

até 10 ou 20, embora, normalmente, só tenham aprendido a recitar os números em sua ordem

natural e os fixado mecanicamente, sem compreender o seu significado.

Ao produzir os próprios livros didáticos, a IELB procurou seguir essas orientações

didáticas na edição das aritméticas da série Ordem e Progresso e da série Concórdia. O foco

desta investigação são as duas edições da Primeira Aritmética, pois elas apresentam a

construção das primeiras relações numéricas.

A construção do significado de número nas edições da Primeira Aritmética

A Primeira Aritmética da série Ordem e Progresso é de autoria do professor Frederico Strelow9. A obra

possui 64 páginas, não tem sumário e prioriza o estudo dos números até 100. Observa-se que a proposta de

estudo da numeração até 10 é feita intuitivamente, por uma sistematização que associa quantidades de animais

ou de objetos à representação simbólica do número, seguida de cálculos que envolvem adições ou subtrações.

A Figura 1 ilustra a proposta de estudo para o número 1:

Figura 1 - O número 1

Fonte: Strelow, [193-], p. 1.

Observa-se a construção do

significado de número de forma intuitiva,

associando o número 1 com a

representação de um animal ou um

objeto, pertencentes ao contexto social

do aluno. Evidencia-se o emprego do

método intuitivo, numa perspectiva de

Pestalozzi, ou seja, a proposta de ensino

do significado de número partia de uma

8 Na década de 1930, a IELB começou a publicar um periódico dirigido às escolas paroquiais, chamado Unsere Schule, predominando informações e artigos pedagógicos escritos em alemão. 9 Frederico Strelow (1888-1946) se formou na primeira turma de professores sinodais do Seminário Concórdia, em abril de 1912. Foi professor paroquial, redator do periódico pedagógico Unsere Schule e autor da Primeira Aritmética da série Ordem e Progresso.


percepção sensível do aluno, com a

imagem de objetos, animais ou pessoas.

Para o estudo dos números até 10, o autor do livro, associa, de forma padronizada, a ideia

do número com a quantidade de cavalos puxando uma carroça numa região colonial,

conforme se observa na Figura 1, acima, e na Figura 2, a seguir:

Figura 2 - O número 2

Fonte: Strelow, [193-], p. 2.

A Figura 2 mostra como o autor

articula a linguagem simbólica e os

desenhos, possibilitando ao aluno

associar a quantidade de dois animais ou

dois objetos ao cardinal 2. Esta proposta

de estudo do número 2 estava de acordo

com as orientações pedagógicas

propostas por Lindemann (1888), para as

escolas paroquiais luteranas do século

passado.

A proposta, do autor, de associar diferentes objetos ou animais ao quantitativo

numérico é realizada no estudo dos números 1, 2, 3 e 4. Para os demais números, de 5 a 10 e

o 0, apenas é feita a associação numérica com o quantitativo de cavalos puxando uma carroça.

A Figura 3 mostra a proposta de estudo para os números 8 e 0:

Figura 3 – Os números 8 e 0

Fonte: Strelow, [193-], pp. 13-20.


Na Figura 3, observa-se a quantidade de oito cavalos e oito baldes associada ao

cardinal 8 e a ausência de elementos (cavalos) para representar o zero. Acredita-se que o

emprego do método de ensino intuitivo, pelo autor, tenha possibilitado ao aluno construir

uma ideia mais significativa dos números até 10.

A Primeira Aritmética da série Concórdia também aborda os números até 100. Foi escrita por Otto A.

Goerl10, possui 68 páginas e não apresenta sumário. O estudo da numeração até 10 é proposto de forma intuitiva,

pelo autor, associando-se quantidades de animais, pessoas ou objetos à representação simbólica do número,

seguida de cálculos que envolvem as operações de adição ou subtração até 10. A Figura 4 ilustra a proposta de

estudo para o número 2:

Figura 4 – O número 2

Fonte: Goerl, [194-], p. 6.

Na Figura 4, o autor incentiva a

visualização de quantidades numéricas e

explora sua leitura, escrita e

representação através de desenhos.

Roteiro semelhante, explorando o método

de ensino intuitivo, é empregado no

estudo dos números de 1 a 5.

A Figura 5 ilustra o estudo dos números 6 e 0, na Primeira Aritmética da série

Concórdia:

Figura 5 – Os números 6 e 0

10 O gaúcho Otto Adolpho Goerl (1905-1998) se formou no Seminário Concórdia, em 1925, e foi ordenado pastor em 1926. Além de pastor, foi professor paroquial e, posteriormente, professor e diretor do Seminário Concórdia. Autor de livros para o ensino de leitura e da aritmética nas escolas paroquiais luteranas. Também foi redator da revista teológica e pedagógica Igreja Luterana.


Fonte: Goerl, [194-], pp. 15-29.

Observa-se que o autor propõe a construção do significado de número de forma

intuitiva, associando o número 6 com a representação de 6 cachorros, propondo a contagem

de 6 dedos, 6 lápis e 6 alunos, além de envolver a unidade de medida dúzia. O estudo do zero

é sistematizado por imagens envolvendo a operação de subtração (Figura 5), diferentemente

da Primeira Aritmética da série Ordem e Progresso, a qual trabalha diretamente com a

ausência de elementos. Goerl emprega situações reais como balões que arrebentam e palitos

de fósforo que estão queimando, associada à ideia de tirar da subtração, para construir o

significado do zero. Empregando o método de ensino intuitivo, o autor esperava que os

alunos das escolas paroquiais luteranas gaúchas se apropriassem do significado de número.


As escolas paroquiais luteranas gaúchas do século XX estavam inseridas num projeto

missionário e comunitário que buscava ensinar a língua materna, a Matemática, os valores

culturais, sociais e, principalmente, os religiosos. Para alcançar estes objetivos, a IELB se

preocupou em produzir materiais pedagógicos para suas escolas. A Casa Publicadora

Concórdia, editora da IELB, publicou livros didáticos e periódicos, editados com base em

princípios morais e educacionais idealizados pela Igreja Luterana, os quais contribuíram para

o processo de ensino e aprendizagem nas diversas áreas do conhecimento.


Para o ensino da Matemática, foram elaboradas e publicadas as aritméticas da série

Ordem e Progresso, na década de 1930, e as aritméticas da série Concórdia, na década de

1940. Nas aulas de matemática, das escolas paroquiais luteranas gaúchas, priorizava-se o

ensino dos números naturais, sistemas de medidas, frações e números decimais,

complementando-se com a matemática comercial e financeira e a geometria. O ensino da

matemática deveria acontecer de forma prática e articulada com as necessidades dos futuros

agricultores, observando-se a doutrina luterana.

As orientações didáticas para o ensino da matemática, nas escolas paroquiais

luteranas, evidenciavam a construção do significado de número de forma intuitiva, com a

utilização de materiais concretos e a visualização de relações matemáticas, através de

elementos pertencentes à realidade dos alunos. Nas edições da Primeira Aritmética,

verificou-se que a construção do significado de número aconteceu de forma intuitiva,

predominando associações com elementos do contexto dos alunos, como, por exemplo, o

número de cavalos puxando uma carroça, no estudo dos números de 0 a 10, na Primeira

Aritmética da série Ordem e Progresso.

Referências bibliográficas

Certeau, M. (1982). A escrita da História (M. L. Menezes, Trad.). Rio de Janeiro: Forense Universitária. Goerl, O. A. [194-]. Série Concórdia: Primeira Aritmética. Porto Alegre: Casa Publicadora Concórdia. Kuhn, M. C. (2015). O ensino da matemática nas escolas evangélicas luteranas do Rio Grande do Sul durante a primeira metade do século XX. Tese de doutorado, Universidade Luterana do Brasil, Canoas, RS, Brasil. Kuhn, M. C., & Bayer, A. (2016). A contextualização do conhecimento matemático nas edições da Terceira Aritmética da Série Ordem e Progresso e da Série Concórdia. Jornal Internacional de Estudos em Educação Matemática/International Journal for Studies in Mathematics Education, 9(2), 1-29. Lindemann, J. C. W. (1888). Amerikanisch-Lutherische Schul-Praxis (2a ed.). Sant Louis: Lutherischer Concordia - Verlag. Prost, A. (2008). Doze lições sobre a História. Belo Horizonte, Autêntica.


Strelow, F. [193-]. Série Ordem e Progresso: Primeira Aritmética. Porto Alegre: Casa Publicadora Concórdia. Unsere Schule. (1933-1935). Porto Alegre: Casa Publicadora Concórdia. Valente, W. R. (2007). História da Educação Matemática: interrogações metodológicas. REVEMAT – Revista Eletrônica de Educação Matemática, 2.2, 28-49. Weiduschadt, P. (2007). O Sínodo de Missouri e a educação pomerana em Pelotas e São Lourenço do Sul nas primeiras décadas do século XX: identidade e cultura escolar. Dissertação de mestrado, Universidade Federal de Pelotas, Pelotas, RS, Brasil.


CB-411

A REGRA DE TRÊS SIMPLES NAS ARITMÉTICAS EDITADAS PARA AS

ESCOLAS PAROQUIAIS LUTERANAS DO SÉCULO XX NO RIO GRANDE DO

SUL/BRASIL

Dr. Malcus Cassiano Kuhn – Dr. Arno Bayer

[email protected] – [email protected] IFSul – Câmpus Lajeado/RS/Brasil – ULBRA/Canoas/RS/Brasil

Núcleo temático: História social da educação matemática na América Latina Modalidade: Comunicação Breve – CB Nível educativo: Primário (6 a 11 anos) Palavras chave: História da Educação Matemática. Regra de Três Simples. Regra da Dedução. Resumo O Sínodo Evangélico Luterano Alemão de Missouri (Estados Unidos), hoje Igreja Evangélica Luterana do Brasil, iniciou missão nas colônias alemãs do Rio Grande do Sul (Brasil), fundando congregações religiosas e escolas paroquiais, em 1900. Tais escolas estavam inseridas num projeto missionário e comunitário que buscava ensinar a língua materna, Matemática, valores culturais, sociais e, principalmente, religiosos. Esta comunicação aborda a regra de três simples nas aritméticas editadas pela Igreja Evangélica Luterana do Brasil, por meio da Casa Publicadora Concórdia de Porto Alegre, para as escolas paroquiais luteranas do século XX no Rio Grande do Sul. Baseando-se no referencial da pesquisa histórica, investigou-se a abordagem da regra de três simples nas edições da Terceira Aritmética da série Ordem e Progresso e da série Concórdia. Analisando-se as duas edições da Terceira Aritmética, observou-se que sua proposta pedagógica traz o estudo da regra de três simples empregando a regra da dedução. Os problemas que envolvem regra de três simples estão relacionados com diferentes contextos da realidade dos alunos das escolas paroquiais luteranas gaúchas, como os hábitos alimentares e a vida no campo dos imigrantes alemães, e articulam-se, principalmente, com unidades dos sistemas de medidas e operações comerciais.

Introdução

Em 1900, o Sínodo Evangélico Luterano Alemão de Missouri11, hoje Igreja Evangélica Luterana do

Brasil – IELB, iniciou missão nas colônias alemãs do Rio Grande do Sul – RS, fundando congregações

11 Em 1847, um grupo de imigrantes luteranos alemães da Saxônia fundou no estado de Missouri (Estados Unidos), o Sínodo Evangélico Luterano Alemão de Missouri, Ohio e Outros Estados, atualmente Igreja Luterana - Sínodo de Missouri.


religiosas e escolas paroquiais. De acordo com Kuhn (2015), as escolas paroquiais luteranas gaúchas estavam

inseridas num projeto missionário e comunitário que buscava ensinar a língua materna, Matemática, valores

culturais, sociais e, principalmente, religiosos. Tais escolas tinham uma responsabilidade para com a

comunidade no sentido de, junto e com ela, promover o crescimento e o desenvolvimento pessoal de todos que

a compõe, focando a cidadania. “Se a escola formasse o ser humano com postura ética e moral exemplar, este

poderia promover transformações sólidas em seu contexto social e seria um verdadeiro colaborador na seara de

Deus e para o governo do mundo” (Kuhn & Bayer, 2016, p. 6).

O Sínodo de Missouri também tinha uma preocupação acentuada em relação aos recursos didáticos

usados nas escolas paroquiais, pois este material era escasso e a dificuldade era grande em manter um ensino

planificado e organizado. Era necessário organizar o currículo das escolas e produzir material de acordo com a

realidade brasileira. Conforme Weiduschadt (2007, p. 41), “os livros usados nas escolas paroquiais e utilizados

pelos alunos foram produzidos pelas instituições religiosas com objetivo de formar e moldar as condutas e as

práticas ao fazer a escolarização das comunidades”. O Sínodo de Missouri começou a produzir os próprios

livros de aritmética, através da Casa Publicadora Concórdia12 de Porto Alegre/RS. Para as aulas de matemática,

foram publicadas duas séries: a série Ordem e Progresso, lançada na década de 1930, e a série Concórdia,

lançada na década de 1940. As duas séries são compostas por três aritméticas13 voltadas para os primeiros anos

de escolarização.

Esta comunicação aborda a regra de três simples nas aritméticas editadas pela IELB,

por meio da Casa Publicadora Concórdia, para as escolas paroquiais luteranas do século XX

no RS/Brasil. Trata-se de um recorte de tese, complementado por pesquisas realizadas

durante o estágio Pós-doutoral em um Programa de Pós-Graduação no Brasil. Como a

temática investigada se insere na História da Educação Matemática no estado gaúcho, busca-

se na pesquisa histórica o suporte para discussão.

Conforme Prost (2008), os fatos históricos são constituídos a partir de traços deixados

no presente pelo passado. Assim, a tarefa do historiador consiste em efetuar um trabalho

sobre esses traços para construir os fatos. Certeau (1982) define o fazer história, no sentido

de pensar a história como uma produção. Para o autor, a história, como uma produção escrita,

tem a tripla tarefa de convocar o passado que já não está em um discurso presente, mostrar

as competências do historiador (dono das fontes) e convencer o leitor. O trabalho do

12 Fundada em 1923, fazia a edição de livros e de periódicos relacionados à literatura religiosa e escolar da IELB. Foi a primeira e a única redatora da IELB, existente até os dias atuais. Antes de sua fundação, os livros e os periódicos eram impressos pela Concordia Publishing House, nos Estados Unidos, e enviados para o Brasil. 13 As aritméticas da série Ordem e Progresso e da série Concórdia foram encontradas no Instituto Histórico da IELB em Porto Alegre/RS/Brasil.


historiador, de acordo com Certeau (1982), é fazer um diálogo constante do presente com o

passado, e o produto desse diálogo consiste na transformação de objetos naturais em cultura.

De acordo com Valente (2007), pensar os saberes escolares como elementos da

cultura escolar, realizar o estudo histórico da matemática escolar, exige que se devam

considerar os produtos dessa cultura no ensino de matemática, que deixaram traços que

permitem o seu estudo, como as aritméticas da série Ordem e Progresso e da série Concórdia,

principais fontes documentais desta investigação.

É importante destacar que Silva (2015) realizou um estudo sobre os problemas de

regra de três simples em livros de aritmética produzidos para escolas alemã-brasileiras no

período de 1900 a 1935. Analisou três livros didáticos, de autoria de Matthäus Grimm, Otto

Büchler, Wilhelm Nast e Leonhard Tochtrop, os quais foram comparados com os livros de

aritmética de José Theodoro de Souza Lobo. A pesquisadora constatou que os autores

analisados começaram o estudo da regra de três com problemas e a resolução destes foi

utilizada como recurso para apresentar e explicar a teoria. Além disto, a análise das três obras

permitiu observar que os autores germânicos empregavam a regra da dedução, enquanto

Souza Lobo apresentava a regra de três a partir da teoria das proporções. Partindo-se destas

considerações, será que o desenvolvimento da regra de três simples, nas aritméticas editadas

para as escolas paroquiais luteranas gaúchas do século XX, aconteceu pela regra da dedução,

pela teoria das proporções ou por ambas? É o que se discute na sequência.

A regra de três simples nas aritméticas da série Ordem e Progresso e da série Concórdia

A abordagem da regra de três simples acontece a partir da análise da Terceira

Aritmética da série Ordem e Progresso [193-] e da Terceira Aritmética da série Concórdia

(1949), uma vez que as edições da Primeira e da Segunda Aritméticas, das duas séries,

priorizam as quatro operações com números naturais.

Nas duas edições da Terceira Aritmética14, verificou-se que a terceira unidade de estudo traz a regra

de três simples direta, propondo inicialmente, de forma oral, a dedução da unidade para a multiplicidade, a

14 As duas edições da Terceira Aritmética têm o mesmo número de páginas (143). Abordam as mesmas unidades de estudo e exercícios, com a mesma distribuição de páginas para cada conteúdo no livro, havendo apenas variações na ortografia de palavras e na representação de unidades de medida e do sistema monetário. Esta é a principal alteração observada nas


dedução da multiplicidade para a unidade e a dedução da multiplicidade para a multiplicidade. Depois, aborda

a regra de três simples direta, por escrito, com problemas envolvendo números inteiros, frações ordinárias e

decimais. O estudo é concluído com a regra de três simples inversa e a regra de três composta.

No Quadro 1 são apresentados alguns problemas propostos para o estudo da regra de

três simples direta, oralmente:

Quadro 1 – Regra de três simples direta oralmente a) Dedução da unidade para a multiplicidade: 1) 1 par de tamancos custa 2$500. Calcular o preço de 3, 5, 6, 9, 10 pares. 2) 1 kg de batatas custa 40 réis. Calcular o preço de 5, 10, 20 kg, 1 saco. b) Dedução da multiplicidade para a unidade: 1) Um saco de feijão de 60 kg custa 24$000. Quanto custa 1 kg? 2) Um cavalo come em uma semana 17½ kg de milho. Quanto por dia? c) Dedução da multiplicidade para a multiplicidade: 1) 2 m de fazenda custam 5$000. 4 m de fazenda custam..... 8 m de fazenda custam ..... 10 m de fazenda custam ..... 20 m de fazenda custam ...... 6 m de fazenda custam ......

Ex.: 2 m ----- 5$000 1 m ----- 5$ ÷ 2 4 m ----- 5$ ÷ 2 x 4

000$10

2

45 =×

2) Uma arroba de fumo (15 kg) custa 52$500. Quanto custa 30 kg, 60 kg, 90 kg? Fonte: Série Ordem e Progresso, [193-], pp. 69-71.

Verificou-se que o estudo da regra de três simples direta é introduzido por atividades

para serem resolvidas oralmente, sem qualquer sistematização do conteúdo. São exercícios e

problemas associados a práticas socioculturais das comunidades em que as escolas paroquiais

luteranas estavam inseridas e que estão relacionados com operações comerciais e unidades

dos sistemas de medidas. As 29 situações propostas nessas aritméticas envolvem compra e

venda de produtos para alimentação e vestuário, consumo de alimentos, gastos familiares

mensais (aluguel), produções agrícolas, salário de trabalhadores e tempo de trabalho em

obras.

A regra de três simples é desenvolvida através da dedução da unidade para a

multiplicidade com uma multiplicação, da redução da multiplicidade para a unidade através

de uma divisão e da dedução da multiplicidade para a multiplicidade com o emprego das

duas edições, pois até 31/10/1942, a moeda brasileira era denominada réis, e a partir de 01/11/1942 entrou em vigor o cruzeiro (Cr$).


operações de divisão e multiplicação, respectivamente. No último caso, observado no Quadro

1, sugere-se a redução da multiplicidade conhecida para a unidade, utilizando-se a operação

de divisão, e a dedução da unidade para a multiplicidade desconhecida, com a operação de

multiplicação, conforme o exemplo apresentado no exercício 1. Chama atenção que esta

proposta incentiva o desenvolvimento de habilidades para o cálculo mental.

Depois do estudo da regra de três simples direta oralmente, segue-se com a regra de

três simples, por escrito, explorando-se problemas sobre números inteiros, frações ordinárias

e frações decimais, conforme apresentado no Quadro 2:

Quadro 2 – Regra de três simples direta por escrito 1) Problemas sobre números inteiros: Exemplo: O nosso vizinho comprou uma peça de brim de 25 m e pagou Cr$ 60,00.

Meu pai comprou desta peça 15 m. Quanto pagará? a) 25 m ----- Cr$ 60,00 15 m ----- x

b) 25 m ----- 60,00 1 m ----- 60,00 ÷ 25 15 m ----- 60,00 ÷ 25 x 15

c) 3625

1500,60 =×

Resposta: 15 m custam Cr$ 36,00. 2) Problemas sobre frações ordinárias:

Exemplo: 4

32 m de fazenda custam Cr$ 8,80. Quanto custam

2

15 m?

a) 4

32 m ----- Cr$ 8,80

2

15 m ----- x

b) 4

32 m ----- Cr$ 8,80

1 m ----- Cr$ 8,80 ÷ 4

32

2

15 m ----- Cr$ 8,80 ÷

2

15

4

32 × c)

4

11 m ----- 8,80

4

1 m ----- 8,80 ÷ 11

1 m ----- 8,80 ÷ 11 x 4

2

1 m ----- 8,80 ÷ 11 x 4 ÷ 2

2

11 m ----- 8,80 ÷ 11 x 4 ÷ 2 x 11

d) Traço fracional:

60,17211

11480,8

1

2

=×

××

−

−

Resposta: 2

15 m custam Cr$ 17,60.

3) Problemas sobre frações decimais: Exemplo: Uma vara de 3,25 m de altura projeta uma sombra de 4,35 m. Que altura

terá uma árvore, cuja sombra ao mesmo tempo é de 18,65 m?


a) 4,35 m ----- 3,25 m 18,65 m ----- x

b) 4,35 ----- 3,25 1 ----- 3,25 ÷ 4,35 18,65 ----- 3,25 ÷ 4,35 x 18,65

c) Traço fracional:

93,1335,4

65,1825,3 =×

Resposta: A altura da árvore é de 13,93 m. Fonte: Série Concórdia, 1949, pp. 71-74.

A regra de três simples direta, por escrito, é desenvolvida através de problemas com

números inteiros, frações ordinárias e decimais, conforme os exemplos ilustrados no Quadro

2. Inicialmente são estabelecidas as relações entre as duas grandezas envolvidas,

identificando-se por “x” o valor da grandeza a ser determinado. Em seguida, continua-se o

desenvolvimento dos cálculos, fazendo-se a redução da multiplicidade conhecida para a

unidade e a dedução da unidade para a multiplicidade desconhecida, valendo-se da divisão e

multiplicação como operações inversas. Cada resolução é complementada com um algoritmo

de cálculo envolvendo o traço fracional para obtenção do valor desconhecido da grandeza.

Observa-se que o exemplo sobre frações ordinárias envolve um número misto, acontecendo

reduções da multiplicidade conhecida para uma parte da fração e desta para a unidade, e

deduções da unidade para uma parte da fração desconhecida e desta fração para a

multiplicidade desconhecida.

Os 37 problemas propostos, nas edições da Terceira Aritmética, envolvem compra e

venda de produtos para alimentação e vestuário, consumo de alimentos, gastos familiares

mensais (aluguel), produções agrícolas, compra e venda de área de terras, salário de

trabalhadores, tempo gasto e distância percorrida em viagens, vazão de água, altura e sobra,

relação entre peso vivo e produtos derivados do abate de animais (carne, banha, etc.). Estas

associações revelam uma cultura praticada nas comunidades de imigrantes alemães em que

as escolas paroquiais luteranas gaúchas estavam inseridas. Segundo Fausto (2001), a posse

da pequena propriedade para cultivar, permitiu que os imigrantes alemães na região sul, além

de produzirem o próprio alimento, comercializassem o excedente de sua produção. Muitos

imigrantes se dedicaram à criação de animais (porcos, vacas leiteiras, galinhas) e ao cultivo

de batatas, verduras e frutas. Eles tiveram também um papel importante na instalação de

oficinas e estabelecimentos industriais, como a indústria de banha, de conserva de carne, de

sabão, de cerveja e outras bebidas.


Depois de propor o estudo da regra de três simples, oralmente e por escrito, a Terceira

Aritmética desenvolve a regra de três simples inversa, conforme o Quadro 3:

Quadro 3 – Regra de três simples inversa Exemplo: 10 operários terminam uma obra em 45 dias. Em quantos dias terminarão

12 operários a mesma obra? a) 10 operários -- 45 dias

12 operários --- x dias

b) 10 operários --- 45 dias 1 operário --- 45 dias x 10 12 operários -- 45 dias x 10 ÷ 12

c) Traço fracional:

2

137

12

1045 =× dias

Resposta: 12 operários terminam a obra em 2

137 dias.

Problemas envolvendo regra de três simples inversa: 1) Para cobrir um telhado precisam-se de 480 telhas de zinco de 1,70 m de

comprimento. Quantas de 2 m (1,85 m, 1,60 m) serão necessárias? 2) Uma pipa fornece vinho para 12 barris de 40 litros. Existem só barris de 30 litros.

Quantos são necessários? Fonte: Série Concórdia, 1949, pp. 75-76.

A regra de três simples inversa é desenvolvida por meio de um exemplo, conforme

observado no Quadro 3. Inicialmente, são estabelecidas as relações entre as duas grandezas

envolvidas, identificando-se por “x” o valor da grandeza a ser calculado. Continua-se o

desenvolvimento do cálculo, fazendo-se a redução da multiplicidade conhecida para a

unidade e a dedução da unidade para a multiplicidade desconhecida, valendo-se da

multiplicação e divisão como operações inversas. A resolução é complementada com um

algoritmo de cálculo envolvendo o traço fracional para obtenção do valor desconhecido da

grandeza. Como na regra de três simples inversa, as grandezas envolvidas são inversamente

proporcionais, na dedução da multiplicidade para a unidade se envolve a operação de

multiplicação e da unidade para a multiplicidade se envolve a operação de divisão,

procedimento de cálculo inverso ao verificado na regra de três simples direta.

As edições da Terceira Aritmética trazem 10 problemas sobre regra de três simples

inversa, sendo 2 deles apresentados no Quadro 3. Destaca-se o emprego de diferentes

unidades dos sistemas de medidas e que os problemas propostos envolvem tempo de trabalho

em obras, consumo de alimentos, compra e venda de vestuário, capacidade de barris de vinho

e quantidade de material de construção como telhas e mosaicos para piso.



Esta comunicação investigou a abordagem da regra de três simples nas aritméticas

editadas pela IELB, por meio da Casa Publicadora Concórdia, para as escolas paroquiais

luteranas do século XX no RS. Observou-se que as edições da Terceira Aritmética

desenvolvem a regra de três simples empregando a regra da dedução, de forma semelhante

ao identificado por Silva (2015) em seu estudo sobre livros de aritmética produzidos para

escolas alemã-brasileiras no período de 1900 a 1935, e diferentemente das propostas

pedagógicas observadas nos livros didáticos atuais, as quais estão focadas na teoria das

proporções.

Destaca-se que no estudo da regra de três simples direta foi explorada a dedução da

unidade para a multiplicidade, empregando-se a multiplicação; a redução da multiplicidade

para a unidade, com a operação de divisão; e a dedução da multiplicidade para a

multiplicidade, envolvendo as operações de divisão e multiplicação. Estas formas de

desenvolvimento dos cálculos também foram aplicadas no estudo da regra de três simples

inversa.

Ressalta-se que os problemas propostos para o estudo da regra de três simples, nas

aritméticas da série Ordem e Progresso e da série Concórdia, estão relacionados com

diferentes contextos da realidade dos alunos das escolas paroquiais luteranas gaúchas do

século passado, como os hábitos alimentares e a vida no campo dos imigrantes alemães, e

articulam-se, principalmente, com unidades dos sistemas de medidas e operações comerciais.


Certeau, M. (1982). A escrita da História (M. L. Menezes, Trad.). Rio de Janeiro: Forense Universitária. Fausto, B. (2001). História do Brasil. São Paulo: Editora da Universidade de São Paulo, Fundação para o Desenvolvimento da Educação. Kuhn, M. C. (2015). O ensino da matemática nas escolas evangélicas luteranas do Rio Grande do Sul durante a primeira metade do século XX. Tese de doutorado, Universidade Luterana do Brasil, Canoas, RS, Brasil. Kuhn, M. C., & Bayer, A. (2016). A contextualização do conhecimento matemático nas edições da Terceira Aritmética da Série Ordem e Progresso e da Série Concórdia. Jornal Internacional de Estudos em Educação Matemática/International Journal for Studies in Mathematics Education, 9(2), 1-29.


Prost, A. (2008). Doze lições sobre a História. Belo Horizonte: Autêntica. Série Concórdia: Terceira Aritmética. (1949). Porto Alegre: Casa Publicadora Concórdia. Série Ordem e Progresso: Terceira Aritmética. [193-]. Porto Alegre: Casa Publicadora Concórdia. Silva, C. M. S. (2015). A Regra de Ouro nos Livros Didáticos para Escolas Alemãs Brasileiras. Acta Scientiae, 17(Ed. Especial), 41-59. Valente, W. R. (2007). História da Educação Matemática: interrogações metodológicas. REVEMAT – Revista Eletrônica de Educação Matemática, 2.2, 28-49. Weiduschadt, P. (2007). O Sínodo de Missouri e a educação pomerana em Pelotas e São Lourenço do Sul nas primeiras décadas do século XX: identidade e cultura escolar. Dissertação de mestrado, Universidade Federal de Pelotas, Pelotas, RS, Brasil.


CB-413

ESTÁGIO SUPERVISIONADO E SABERES DOCENTES

Vera Cristina de Quadros1 – Maria Elizabete Rambo Kochhann2 [email protected] – [email protected]

IFMT – UNEMAT / BRASIL

Núcleo temático: Formación del profesorado en Matemáticas Modalidad: CB Nivel educativo: Formación y actualización docente Palabras clave: ensino de matemática, saberes docentes, estágio supervisionado Resumo O presente trabalho objetiva socializar parte da pesquisa realizada sobre os saberes docentes mobilizados e desenvolvidos pelos alunos, do Curso de Licenciatura em Matemática do Instituto Federal de Mato Grosso/Brasil, no decorrer dos estágios realizados no ano de 2016. O objetivo desta pesquisa foi analisar a contribuição dos estágios curriculares supervisionados no processo de construção dos saberes docentes, na ótica dos licenciandos de Matemática. A pesquisa teve como principal aporte teórico os autores: Fiorentini (2005, 2008); Nóvoa (1992); Pimenta (2009; 2012); Shulman (1986) e Tardif (2008). Para proceder a análise dos dados advindos das entrevistas com os estagiários, foi adotada a Análise Textual Discursiva. Analisamos que os estágios permitiram-lhes vivenciarem, pela primeira vez, a prática da profissão de professor e, com isto, assumirem um novo lugar e experimentarem um novo olhar, o de ver-se professor. Ainda de forma incipiente, cada futuro professor iniciou seu processo identitário, ou seja, sua construção de maneiras de ser e de estar na profissão. Desta forma, inferimos que os estágios contribuíram na formação desses futuros professores de Matemática, ao propiciar-lhes a experiência da docência e a transição do ver-se e sentir-se aluno para o ver-se e sentir-se professor. Introdução O Curso de Licenciatura em Matemática (CLM) do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Mato Grosso Campus Campo Novo do Parecis (IFMT/CNP), em funcionamento desde 2008, objetiva ofertar sólida formação inicial, possibilitando uma visão ampla do conhecimento matemático e pedagógico, além de desenvolver valores no futuro profissional, como a busca constante pelo saber, o bom relacionamento pessoal e o trabalho em equipe. Neste contexto, há o Estágio Curricular Supervisionado (ECS), que é parte integrante do currículo pleno do curso, caracterizando-se como experiência primeira para o exercício profissional e aplicação das competências, habilidades, atitudes e saberes da sua formação. Ou seja, o ECS representa um dos pilares fundamentais na formação inicial dos futuros professores, constituindo-se espaço relevante na construção dos saberes necessários ao trabalho docente.


A condição de professora no curso de Licenciatura em Matemática do IFMT/CNP, responsável pelas disciplinas de Estágio de Prática Pedagógica 1 e Estágio de Prática Pedagógica 2, suscitou o interesse em investigar quais as contribuições dos estágios ao processo de construção dos saberes docentes dos licenciandos, na perspectiva de contribuir nas discussões sobre a qualidade da formação inicial ofertada e sobre a identidade desta licenciatura dentro do IFMT/CNP. Partiu-se do pressuposto de que os saberes indispensáveis à formação dos professores também são elaborados nas práticas de ECS, pois a inserção na escola e na sala de aula faz do estágio uma oportunidade de reflexão aos licenciandos sobre sua futura profissão e as possibilidades de atuação. Ao conceber o ECS como componente essencial na formação dos futuros professores de Matemática, devido à sua contribuição na formação prática, bem como sua relevância na formação do profissional crítico-reflexivo e na construção de sua identidade docente, emergiu o interesse em investigar a participação deste componente curricular no processo de construção dos saberes docentes dos futuros professores de Matemática. Assim o objetivo geral desta pesquisa foi analisar a contribuição dos estágios curriculares supervisionados no processo de construção dos saberes docentes, na ótica dos licenciandos de Matemática do IFMT/CNP. Desta pesquisa, socializamos aqui nossa análise sobre a mudança de olhar, a transição do ver-se e sentir-se aluno para o ver-se e sentir-se professor, suscitada pela vivência dos estágios de Ensino Fundamental realizados pelos licenciandos do CLM do IFM/CNP no ano de 2016. Fundamentação teórica Na revisão da literatura, buscamos aprofundar e ampliar o referencial teórico sobre formação de professores e saberes docentes e sobre o estágio curricular supervisionado na formação de professores de Matemática. O desenvolvimento cognitivo do professor, segundo Shulman (1986), envolve sete dimensões de conhecimentos, que são: - o conhecimento do conteúdo da matéria: é o domínio dos conhecimentos da disciplina; - o conhecimento curricular: é o domínio específico de programas e matérias; - o conhecimento pedagógico da matéria: implica o conhecimento da matéria para ensinar; - o conhecimento pedagógico geral: refere-se ao domínio dos princípios gerais referentes à organização e gestão da sala de aula; - o conhecimento dos alunos e das suas características: trata da importância de conhecer a individualidade de cada aluno; - o conhecimento dos contextos: conhecer o aluno em situação de vida real e a comunidade; - o conhecimento dos fins, objetivos e valores educacionais: refere-se ao domínio dos fundamentos teóricos que estruturam e legitimam a ação do professor. Para Fiorentini (2005, p. 110), há ainda outras dimensões dos saberes docentes, como a dimensão subjetiva (do saber ser professor-educador) e a dimensão da prática (do saber-fazer). Nesse sentindo, o desafio posto tanto às disciplinas de formação específica quanto às disciplinas de formação didático-pedagógica nos cursos de Licenciatura é que formem professores também nestas dimensões, não ficando restritas à dimensão do saber acadêmico (da formação profissional, disciplinar, curricular e pedagógica).


Já Tardif (2002) apresenta um modelo de análise baseado na origem social. Conceitua o saber docente como “[...] um saber plural, formado pelo amálgama, mais ou menos coerente, de saberes oriundos da formação profissional e de saberes disciplinares, curriculares e experienciais” (Tardif, 2002, p. 36). São saberes produzidos socialmente, de forma heterogênea, temporais, contextualizados e historicizados. Desta forma, os professores utilizam uma mescla de saberes, que constitui o que é necessário saber para ensinar: os seus saberes pessoais, os saberes provenientes da formação escolar anterior, os saberes provenientes da formação profissional para o magistério, os saberes provenientes dos programas e livros didáticos usados no trabalho e os saberes provenientes de sua própria experiência na profissão, na sala de aula e na escola. Nesta ótica, Fiorentini (2008) argumenta que somente uma formação inicial que proporcione uma sólida base teórico-científica relativa ao seu campo de atuação e que seja desenvolvida de forma reflexiva e investigativa sobre a prática possibilitará professores capazes de produzir e avançar os conhecimentos curriculares e de transformar a prática/cultura escolar. Já Pimenta (2009, p. 8) faz a tecitura entre saberes docentes e identidade profissional, afirmando que “[...] a identidade do professor se baseia na tríade de saberes: das áreas específicas, dos saberes pedagógicos e dos saberes da experiência". A autora afirma que quando iniciam a licenciatura, os licenciandos já têm saberes sobre o que é ser professor. Sabem, mas não se identificam como professores. Olham o ser professor e a escola sob o ponto de vista do ser aluno. Para que o processo de construção de identidade profissional ocorra, é necessária esta mudança do “ver-se aluno” para o “ver-se professor”. Os saberes sobre o que é ser professor precisam ser revelados, reconhecidos, analisados, refletidos e ressignificados. O desafio primeiro, pois, é provocar uma nova leitura, sob nova ótica; aprender a ver-se com novas “lentes” a realidade educacional – as lentes da docência. Atualmente, considerando a demanda social e as fragilidades da formação inicial ofertada no Brasil, defende-se que o ECS deve ser o “[...] eixo central nos cursos de formação de professores, ao trazer a possibilidade de se trabalhar aspectos indispensáveis à construção do ser profissional docente no que se refere à construção da identidade, dos saberes e das posturas necessárias” (Pimenta & Lima, 2012, p. 29). Para as autoras, os cursos de licenciatura, como um todo, os estágios, as práticas, tudo ajuda a construir a identidade docente. Mas os estágios, ao abrirem espaço para a realidade e para a vida e trabalho do professor, mediante as reflexões e críticas, ajudam a consolidar as opções e intenções da profissão, contribuindo à construção da identidade do professor. Com relação à prática e estágio, Fiorentini defende que [...] os estágios, quando desenvolvidos sob a mediação da reflexão e da investigação sobre a prática, são fortemente contributivas para o desenvolvimento profissional dos futuros professores, pois desenvolvem uma postura questionadora, problematizadora e investigativa sobre a própria prática, sobre suas ideias e concepções pessoais e sobre a prática educativa em geral. (Fiorentini, 2008, p. 49) Igualmente, ao abrir espaço para a realidade escolar, mediante as reflexões e críticas, conforme Pimenta e Lima (2012), é possível que os estágios ajudem a consolidar as opções e intenções da profissão, contribuindo à construção da identidade do professor. Identidade esta que, para Nóvoa (1992), é um espaço de construção de maneiras de ser e estar na profissão.


Metodologia Com o intuito de alcançar os objetivos, optou-se por realizar uma pesquisa qualitativa de cunho interpretativo. O campo de pesquisa foi o ECS desenvolvido no ano de 2016 no CLM do IFMT/CNP. Das quatro disciplinas que compõem o ECS no curso, investigamos os estágios realizados em turmas de Ensino Fundamental, ou seja, as disciplinas de Estágio de Prática Pedagógica 1 (EPP 1) e Estágio de Prática Pedagógica 2 (EPP 2), realizadas no primeiro e segundo semestres letivos de 2016, respectivamente. A pesquisa de campo foi realizada com sete licenciandos/estagiários que concordaram em participar e os dados foram produzidos em três entrevistas semiestruturadas, realizadas com os participantes no início, meio e término dos estágios. Para proceder a análise dos dados produzidos, foi adotada a Análise Textual Discursiva (Moraes & Galiazzi, 2016), que neste contexto investigativo, configurou-se como um método de pesquisa e de análise qualitativo. Assim, este procedimento analítico permitiu à pesquisadora elaborar sua versão a respeito da contribuição dos ECS no processo de construção dos saberes docentes dos sujeitos da pesquisa – os estagiários. Resultados Buscamos descrever e interpretar o processo de constituição dos discursos vivenciado pelos estagiários, no decorrer dos dois estágios. Embora o advento dos estágios não fosse surpresa para eles, licenciandos, no quinto semestre do curso, a iminência da realização do primeiro estágio gerou sentimentos de medo e de desafio. Este contexto provocou-lhes a introspecção, um olhar para si mesmo, na tentativa de se compreenderem neste contexto. Foi o momento no qual cada um revive seu saber experiencial, na posição de aluno, acerca da profissão de professor, das representações sociais dessa profissão e sua implicação neste processo, pois almejavam o êxito, o sucesso e o reconhecimento dos outros na realização dos estágios. Enfim, iniciam o EPP 1. Mediante as entrevistas, no decorrer do EPP 1, foi possível identificar que a aproximação com a realidade, para estes estagiários, deu-se em duas dimensões: com os sujeitos envolvidos e com as práticas didático-pedagógicas. Dito de outro modo, movimentaram seus olhares, saindo de si mesmos para olharem os outros sujeitos e suas relações, que, no contexto da sala de aula, está representado no outro-professor e aluno e no outro-práticas didático-pedagógicas. O EPP 1 iniciou com a observação. Foi o primeiro contato, a primeira inserção dos estagiários no contexto escolar da sala de aula, em aulas de Matemática. Ocorreu a observação dos outros, induzindo-os a olharem os professores, suas práticas pedagógicas, os alunos e suas interações. Depois, na monitoria, a interação com os alunos direcionou suas impressões e percepções, com expressaram nos seguintes trechos: “essa parte eu gostei bem mais, porque eu pude realmente estar ajudando eles, sanando as dúvidas”, “eu pude estar ajudando os alunos”, “já tive mais contato com os alunos ali pra ajudar”. Suas falas denotam o vínculo emocional estabelecido com os alunos, colocando-se na condição de um aluno mais experiente e com maior domínio do conhecimento matemático, que vem colaborar com a turma.


Concluídos EPP 1 e EPP 2, onde houve a inserção no cotidiano escolar e o exercício in loco dos estagiários, constatamos que os estagiários avançaram em suas reflexões, aprofundando os olhares para o outro e para si mesmos. Assumir a posição de professor é algo novo e a convivência com o professor mais experiente auxilia no processo de aprender a ensinar, ou seja, no processo de “aprender a dominar progressivamente os saberes necessários à realização do trabalho docente” (Tardif, 2002, p. 20). No processo de aprender a ensinar, a relação com o saber inclui um outro, o professor e é da convivência com o outro–professor que surge o sentido da aprendizagem, revelado em seus discursos. Os estagiários passam por uma identificação aos saberes dos professores regentes, reconhecendo-os como aqueles que sabem, sabem-fazer e sabem-ser professores. Identificam-se e começam a definir seu estilo, seu modo de ser e fazer, ao observarem e conversarem, trocarem informações com os professores Outro sentido que aparece no discurso dos estagiários é o da razão pedagógica. Os estagiários começam a compreender que sua ação, enquanto professor, está ligada ao outro-alunos, ou seja, que a razão pedagógica se estabelece em suas interações com os alunos. Assim, sobre os discursos produzidos, no contexto da terceira entrevista, inferimos que os estagiários buscaram conhecer e interpretar o real existente, o lugar da prática educativa - a sala de aula. Destarte, estes estágios parecem propiciar aos estagiários uma formação fundada na epistemologia da prática, tendo em vista a prática profissional realizada constituiu-se em momento de construção de conhecimento, por meio da reflexão e valorização dessa prática. Em síntese, analisamos que os estágios permitiram-lhes vivenciarem, pela primeira vez, a prática da profissão de professor e, com isto, assumirem um novo lugar e experimentarem um novo olhar, o de ver-se professor. Puderam conhecer, sentir e ver-se em um novo lugar social e subjetivo, saindo do lugar de alunos para o lugar de professores. Ainda de forma incipiente, cada futuro professor iniciou seu processo identitário, ou seja, sua construção de maneiras de ser e de estar na profissão. Considerações finais A experiência de ser aluno e também ter que se assumir professor foi um desafio para os estagiários. Iniciaram os estágios com o olhar de aluno e, na relação com o ambiente escolar, com professores, com alunos e com as práticas pedagógicas, começaram a assumir a nova posição social e subjetiva, a posição de professor. Posteriormente, em decorrência do lugar que assumiram nos estágios, na prática do trabalho de professor e pela socialização profissional, no contexto da própria experiência na profissão, na sala de aula e na escola, os estagiários ressignificaram seus saberes, constituindo novos discursos. Todos principiaram o EPP 1 ancorados nos seus saberes experienciais, com os olhares centrados em si mesmos. Das relações que se deram, enxergaram o outro, buscando conhecê-lo e compreendê-lo. E na continuidade destas relações, no decurso do EPP 2, aprofundaram seus olhares para consigo, para com o outro-professor, com o outro-aluno e o com o outro-práticas pedagógicas. Na etapa inicial, quando seus olhares estavam ensimesmados, identificamos o sentido do desafio nos discursos dos estagiários, oscilando ou mesclando os sentimentos de medo e de superação. Durante o EPP 1, ao realizarem as atividades de observação e de monitoria, deslocaram seus olhares, saindo de si mesmos e encontrando o outro, representado pelos professores regentes, pelos alunos e pelas práticas didático-pedagógicas. Concluídos os dois estágios do Ensino Fundamental e vivenciada a experiência primeira da docência, seus


discursos revelaram os sentidos da aprendizagem e da razão pedagógica: sentido da aprendizagem propiciado pelo convívio com os professores regentes e com os alunos; sentido da razão pedagógica pela percepção e compreensão de que sua existência e seu fazer, enquanto professor, estão condicionados à demanda do outro-alunos. Desta forma, consideramos que a vivência dos estágios suscitou mudanças nos discursos dos estagiários, permitindo-nos inferir que os estágios do CLM do IFMT/CNP contribuíram na formação desses futuros professores de Matemática, ao propiciar-lhes a experiência da docência e a transição do ver-se e sentir-se aluno para o ver-se e sentir-se professor. Referências bibliográficas FIORENTINI, D. (Org.). (2005). A formação matemática e didático-pedagógica nas disciplinas da Licenciatura em Matemática. Revista da Educação, PUC – Campinas. Campinas, n.18, p.107-115, 2005. FIORENTINI, D. (2008). A Pesquisa e as Práticas de Formação de Professores de Matemática em face das Políticas Públicas no Brasil. Boletim de Educação Matemática, vol. 21, núm. 29, p. 43-70, 2008. MORAES, R.; GALIAZZI, M. do C. (2016). Análise textual discursiva. 3ª ed. rev. e amp. Ijuí: Ed. Unijuí. PIMENTA, S. G. (Org.). (2009). Saberes pedagógicos e atividade docente. 7ª ed. São Paulo: Cortez. PIMENTA, S. G.; LIMA, M. S. L. (2012). Estágio e docência. 7ª ed. São Paulo: Cortez. SHULMAN, L. S. (1986) Those Who Understand: Knowledge Growth in Teaching, Educational Research. vol. 15 nº 2, 1986. (p. 4-14) Disponível em: < http://www.fisica.uniud.it/URDF/masterDidSciUD/materiali/pdf/Shulman_1986.pdf>. Consultado em 10/05/2015. TARDIF, M. (2002) Saberes docentes e formação profissional. 5ª e. Petrópolis: Vozes.


CB-415

RELACIONES ENTRE LOS DOMINOS Y SUBDOMINIOS DEL CONOCIMIENTO ESPECIALIZADO DEL PROFESOR DE MATEMÁTICAS

Dinazar Escudero-Ávila – Diana Vasco Mora – Álvaro Aguilar-González

[email protected] – [email protected] – [email protected] Benemérita Universidad Autónoma de Puebla, México – Universidad Técnica Estatal de

Quevedo, Ecuador – Universidad de Oviedo

Núcleo temático: Formación del profesorado en Matemáticas Modalidad: CB Nivel educativo: Formación y actualización docente Palabras clave: Conocimiento especializado, relaciones entre subdominios Resumen En la actualidad existe un particular interés por tomar los resultados de la investigación matemática como un material que sirva para la formación de profesores. Con este propósito surgen algunos modelos de qué y cómo debería el profesor conocer la matemática. Así, surge por ejemplo el modelo de Conocimiento Especializado del Profesor de Matemáticas (MTSK por sus siglas en inglés). Una de las principales críticas a este tipo de modelos, es la de que se muestra un conocimiento fragmentado, dando la impresión de que el profesor reconoce aspectos específicos de su labor, de manera segmentada, lo cual es falso. Este trabajo pretende mostrar al lector cómo en el MTSK, se reconoce la naturaleza dinámica, compleja e integral del conocimiento especializado, a través de la explicación de las relaciones entre los dominios y subdominios del modelo. El conocimiento especializado del profesor de matemáticas

En los últimos años el estudio del conocimiento del profesor ha atraído el interés de diversos

grupos de investigación, es así que, en el seno del Grupo de Investigación de la Universidad

de Huelva, España, se desarrolla el modelo: Conocimiento Especializado del Profesor de

Matemáticas (del inglés Mathematics Teacher’s Specialised Knowledge - MTSK) (Carrillo,

Climent, Contreras, & Muñoz-Catalán, 2013), considerado una propuesta teórica y

herramienta metodológica, que nos permite analizar la práctica de un profesor de

matemáticas (Flores-Medrano, Escudero-Ávila, Montes, Aguilar, & Carrillo, 2014). El

MTSK se compone de dos dominios: Conocimiento Matemático y Conocimiento Didáctico

del Contenido los cuales a su vez se dividen en 3 subdominios cada uno (ver Figura 1).

Además, se incluye en el centro del modelo las concepciones del profesor sobre matemáticas,


su enseñanza y aprendizaje, vistas como elementos que permean el conocimiento y que dan

sentido a su práctica.

El dominio matemático abarca el conocimiento de las conexiones entre los conceptos, la

estructuración de las ideas, la razón de los procedimientos, los medios de prueba y cualquier

forma de proceder en matemáticas, considerando además, el conocimiento del lenguaje

matemático y su precisión (Carrillo et al., 2013). El dominio didáctico hace referencia al

conocimiento que tiene el profesor sobre el contenido matemático como objeto de enseñanza

y aprendizaje.

Figura 1. Modelo MTSK con siglas traducidas al inglés.

El Conocimiento de los Temas (KoT) se define como un conocimiento fundamentado y

profundo de los contenidos matemáticos. Está compuesto de las categorías: fenomenología y

aplicaciones, que constituye el conocimiento de modelos atribuibles a un tema, así como, los

usos y aplicaciones de un tema matemático (Escudero-Ávila, Carrillo, Flores-Medrano,

Climent, Contreras, & Montes, 2015; Vasco, 2015); definiciones, propiedades y sus

fundamentos, comprende el conocimiento para describir o caracterizar un concepto, las

propiedades de un objeto matemático, y el conocimiento del profesor sobre las bases,

cimientos o exhaustividad del empleo de una propiedad; registros de representación, se

refiere al conocimiento sobre las distintas formas en que se puede representar un tema,

incluyendo la notación y el lenguaje matemático asociado a dichas representaciones (Vasco,

Climent, Escudero-Ávila, Montes, & Ribeiro, 2016); y procedimientos, donde consideramos

el conocimiento que tiene el profesor sobre algoritmos convencionales y alternativos (¿Cómo

se hace?), las condiciones suficientes y necesarias para proceder (¿Cuándo se puede hacer?),


los fundamentos de los algoritmos (¿Por qué se hace así?), y las características del objeto

matemático resultante asociadas a un tema (características del resultado) (Vasco, 2015).

El Conocimiento de la Estructura de las Matemáticas (KSM) comprende el conocimiento de

conexiones entre contenidos posteriores y anteriores (Carrillo et al., 2013), incluyendo el

cómo se conectan internamente las matemáticas (Montes, Aguilar, Carrillo, & Muñoz-

Catalán, 2013).

El Conocimiento de la Práctica Matemática (KPM) incluye la jerarquización y planificación

como forma de proceder en la resolución de problemas, formas de validación y demostración,

papel de los símbolos y usos del lenguaje formal, procesos asociados a la resolución de

problemas como forma de producir matemáticas, prácticas particulares del quehacer

matemático (como la modelación), y condiciones necesarias y suficientes para generar

definiciones (SIDM, 2016).

El Conocimiento de la Enseñanza de las Matemáticas (KMT) integra el conocimiento de las

matemáticas y su enseñanza. Sin ser conocimiento matemático en sí, el profesor requiere de

este último para poder desarrollarlo.

El Conocimiento de las Características del Aprendizaje de las Matemáticas (KFLM) es el

conocimiento de cómo se aprende un contenido matemático. El foco principal no está en el

estudiante, sino en el conocimiento del profesor sobre el contenido matemático como objeto

de aprendizaje.

El Conocimiento de los Estándares de Aprendizaje de las Matemáticas (KMLS) incluye el

conocimiento de los contenidos propuestos en las normativas curriculares, y contempla

aspectos de conocimiento derivados de revistas científicas, grupos de investigación y

asociaciones profesionales.

Este modelo refiere el conocimiento especializado del profesor de matemáticas en el conjunto

de los subdominios que lo conforman, y en este caso nos planteamos investigar las relaciones

entre los dominios y subdominios de conocimiento especializado del profesor de

matemáticas.

Relaciones entre conocimientos dentro del MTSK

El conocimiento profesional es de naturaleza integrada y la división que se hace en modelos

analíticos es ficticia y realizada con el objetivo de analizar puntualmente el conocimiento

especializado. Presentamos una descripción de algunas de las relaciones entre conocimientos


dentro del MTSK teniendo en cuenta que para que uno, dos o más subdominios de

conocimiento estén relacionados, consideramos que deben existir diferentes indicios o

evidencias (Flores-Medrano, 2015) en un episodio, que nos ayuden a interpretar qué

conocimiento ha manifestado el profesor (Aguilar-González, 2016).

Sobre las relaciones dentro del conocimiento matemático del contenido

Dentro del dominio de conocimiento matemático, el KoT es uno de los subdominios más

explorados como parte de los distintos análisis realizados hasta el momento en las

investigaciones con el MTSK (e. g. Escudero, 2015; Vasco, 2015; Rojas, 2014) , y en

distintas investigaciones se han podido reportar evidencias de relaciones del KoT con todos

los demás subdominios del MTSK (Escudero-Ávila et al., 2015; Vasco et al., 2016), por lo

que podría considerársele como la base sobre la cual se relacionan y organizan los demás

conocimientos del profesor, lo cual resulta lógico si tomamos en consideración que lo

mínimo que requiere conocer un profesor de matemáticas son los contenidos matemáticos.

Las relaciones del KoT con otros subdominios del dominio matemático se dan de forma por

demás evidente lo cual puede tener fundamento en que el investigador, en lo que se refiere

al conocimiento matemático, tiene un referente básico de conocimiento claramente

delimitado, el cual puede contrastar con las evidencias de conocimiento que muestra el

profesor para identificar lo que corresponda a este dominio.

Por otro lado, el KPM se refiere a la sintaxis matemática, es decir, a las formas de proceder

asociadas a las matemáticas en general, lo cual permite al profesor tomar decisiones acerca

de las formas de trabajar los contenidos, así como organizar y validar los procesos de los

estudiantes para realizar trabajo matemático. Estas características proporcionan a este

subdominio una función organizadora de los conocimientos matemáticos y de las formas de

operarlos, impactando directamente en las relaciones del KPM con el KoT y mostrándose en

las evidencias de conocimiento que pueden encontrarse en los análisis con este modelo. Un

ejemplo de esto es la utilización de distintos registros de representación como forma de

validación o demostración de que un resultado es correcto en matemáticas (Figura 2)

(Escudero, 2015).


Figura 2. Relación KPM – KoT.

Aunque se ha explorado poco el KSM (ya que parece requerir de preguntas y objetivos

específicos de investigación), guarda relación con el KoT, puesto que se refiere al tipo de

conexiones que pueden observarse en las relaciones interconceptuales existentes entre

contenidos matemáticos (Escudero, 2015).

Sobre las relaciones dentro del conocimiento didáctico del contenido matemático

Dentro del dominio didáctico, resalta la relación entre el KFLM y el KMT, y los resultados

de investigación nos han permitido valorar la potencialidad que esta tiene, en tanto que nos

permite interpretar y comprender más profundamente la naturaleza del conocimiento del

profesor desde dos perspectivas, como contenido a aprender y como un contenido a enseñar

(Escudero-Ávila et al., 2015; Flores-Medrano, Escudero-Ávila, Montes, & Carrillo, 2015).

Lo que conoce el profesor sobre las formas de interacción con el contenido y los intereses o

expectativas que existen para su aprendizaje, así como lo que sabe sobre teorías de

aprendizaje y posibles dificultades asociadas al aprendizaje de un determinado contenido

tienen una influencia significativa en el diseño de las actividades que realiza el profesor; sin

embargo, es importante distinguir entre la influencia de estos conocimientos en el diseño

didáctico y el conocimiento que tiene el profesor sobre el propio diseño como recurso para

la enseñanza.

La relación del KFLM con el KoT era de esperarse, puesto que es precisamente este tipo de

conocimiento matemático el que subyace en la base del conocimiento especializado del

profesor. Además, la propia definición del KFLM está hecha para reconocer el conocimiento


didáctico inherente a un determinado contenido matemático. Por ejemplo, el conocimiento

que tiene un profesor acerca del impacto que tiene el uso de distintos registros de

representación en el aprendizaje del concepto de función, requiere de tener un conocimiento

subyacente sobre la existencia de estos registros, sus características y las relaciones que

existen entre ellos (Figura 3) (Escudero, 2015).

Figura 3. Relación KFLM – KoT

Se observa una relación de dependencia también del KMT con respecto al KoT que posee el

profesor. Por ejemplo, el conocimiento que tiene el profesor acerca de la necesidad de utilizar

distintos registros de representación para propiciar una construcción integral del concepto de

función está ligado directamente al conocimiento que tiene el profesor de técnicas, estrategias

o tareas específicas para la enseñanza de este contenido, que le permitan evaluar la

potencialidad del recurso y valorar su funcionamiento y pertinencia (Figura 4) (Escudero,

2015).


Figura 4. Relaciones entre KFLM – KoT – KMT

Además, el conocimiento de características matemáticas de herramientas como los softwares

o libros de texto y ciertas estrategias de enseñanza que tiene el profesor, así como el uso que

hace de esos conocimientos puede estar relacionado con lo que sabe acerca de las formas de

proceder en matemáticas (KPM) (Figura 5), posiblemente por el carácter organizador del

trabajo matemático que tiene el KPM y que ya hemos descrito.

Figura 5. Relaciones entre KPM – KMT

Acerca del subdominio de conocimiento de los estándares de aprendizaje también se requiere

realizar más estudios y más específicos que permitan profundizar en este conocimiento, sin

embargo, podemos señalar relaciones con el KoT en cuanto al conocimiento de distintos tipos

de conexiones interconceptuales y la ubicación temporal e institucional que puede hacer el


profesor de estos contenidos. También existen relaciones con el KMT, en tanto que el

conocimiento de los estándares de aprendizaje puede ser una guía para la elaboración e

implementación de recursos didácticos.

Conclusiones

Es importante mantener presente que el conocimiento profesional del profesor está integrado

y que los modelos analíticos buscan hacer separaciones artificiales de éste conocimiento en

aras de realizar un análisis puntual de elementos específicos, los cuales nos permitan

establecer cuáles son los conocimientos que son más evidentes o útiles para el profesor, así

como establecer posibles formas de desarrollar determinados conocimientos. Por otro lado,

el análisis de relaciones específicas entre estos dominios y subdominios de conocimiento nos

permiten refinar la observación de aspectos concretos del conocimiento y generar distintas

perspectivas o formas de conocer un determinado contenido matemático para usarlo como

objeto de enseñanza y aprendizaje, que es precisamente el conocimiento que el profesor debe

tener sobre estos objetos.


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Vasco, D., Climent, N., Escudero-Ávila, D., Montes, M.A., & Ribeiro, M. (2016)

Conocimiento Especializado de un Profesor de Álgebra Lineal y Espacios de Trabajo

Matemático. BOLEMA Journal (Mathematics Education Bulletin). I. M. Gómez-Chacón &

L. Vivier (Eds.), 30(54), pp. 222-239. DOI: http://dx.doi.org/10.1590/1980-4415v30n54a11


CB-416

FORMAÇÃO DE PROFESSORES: LETRAMENTO PARA DOCÊNCIA EM MATEMÁTICA

Vera Cristina de Quadros1 – Edineide Aparecida de Almeida2 – Júlio Cezar Marques Maia3

– Luiza de Souza Oliveira 4 [email protected] – [email protected] – [email protected] –

[email protected] IFMT/CNP - BRASIL

Núcleo temático: Formación del profesorado en Matemáticas Modalidad: CB Nivel educativo: Formación y actualización docente Palabras clave: ensino de matemática, formação docente, letramento matemático Resumo Neste trabalho objetivamos socializar a experiência de formação docente realizada através da articulação entre professores alfabetizadores de uma escola da rede pública estadual de Mato Grosso e acadêmicos da Licenciatura em Matemática do IFMT/Brasil, de julho a dezembro de 2016. Neste projeto de extensão, a temática abordada foi o letramento matemático. A partir de Imbernón (2010), Gonçalves (2010), Kleiman (2008), Nóvoa (1992), e Soares (2006), entendemos que é desafio da formação continuada, através do letramento matemático, garantir condições e conhecimentos para que os docentes possam pensar, propor e construir um currículo matemático significativo aos alunos; assim como é desafio da formação inicial oportunizar aos futuros docentes vivências de situações que possibilitem a experimentação, o estudo e a reflexão sobre inovações metodológicas para o ensino de matemática. Nesta perspectiva, formamos um grupo de estudos, realizando encontros mensais para aprofundamento de elementos teóricos, de experimentação de materiais didático-pedagógicos e de reflexão sobre a prática e os saberes docentes. Foram resultados deste projeto de formação docente: a prática de um trabalho colaborativo; a troca de experiências; a reflexão sobre a prática docente; mudanças nas práticas de algumas professoras da escola, propiciando melhores condições de aprendizagem matemática aos seus alunos. Introdução

O Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Mato Grosso (IFMT) tem em sua

certidão de nascimento o compromisso de intervir na realidade em busca do desenvolvimento

local e regional, num permanente diálogo com a sociedade, visando atender à suas demandas.

E é exatamente para atender a uma demanda da sociedade local que o projeto de extensão

“Letramento para Docência em Matemática” foi concebido.


A tecitura desse projeto decorreu da solicitação formal da equipe gestora da escola pública

situada na zona rural do município de Campo Novo do Parecis, no estado de Mato Grosso, a

Escola Estadual Argeu de Moraes, que explicitou a necessidade de formação continuada aos

professores alfabetizadores, na área do ensino de Matemática.

Então, analisamos a possibilidade de atender a demanda da escola, de forma articulada à

demanda interna do curso de Licenciatura em Matemática. Isto é, atentando para a

importância de criar espaços coletivos de formação, onde os professores de carreira pudessem

ser sujeitos e co-formadores dos futuros professores, atuando de forma colaborativa na

formação inicial destes.

Em decorrência, elaboramos e executamos o projeto de extensão “Letramento para Docência

em Matemática”, de julho a dezembro de 2016, propondo ações de estudo, de

aprofundamento teórico, da experimentação de materiais didático-pedagógicos e da reflexão

sobre a prática acerca do ensino e da aprendizagem no processo de letramento matemático.

E para socializarmos a experiência dessa formação docente é que o redigimos o presente

texto.

Fundamentação teórica

Falar em docência para a matemática no I e II ciclo do Ensino Fundamental (EF) é sem dúvida

um desafio, pois nessa fase os professores, muitas vezes, não gostam de matemática e tendem

a ensiná-la de forma estaque e isolada, às vezes equivocadamente, diante da complexidade

do conhecimento. Isso se deve, em alguns casos, à formação inicial não ter dado conta de

desenvolver nestes professores competências e habilidades para a docência em matemática

voltadas às práticas pedagógicas comprometidas em sala de aula. Em outras palavras, que

não desenvolveu um letramento para a docência em matemática.

O termo letramento foi traduzido da palavra inglesa Literacy definido a partir de sua

etimologia (por seu prefixo e sufixo) como “o estado ou condição que assume aquele que

aprende a ler e escrever.” (Soares, 2006, p.17). A autora esclarece que na língua inglesa

“letrado” remete a ideia de pessoa educada (literate) que faz uso competente das habilidades

de leitura e escrita na vida cotidiana, mas para ela o letramento caracteriza-se como “um

conjunto de práticas sociais associadas com a leitura e a escrita efetivamente exercidas pelas

pessoas em um contexto social específico” (Soares, 2006, p.10).


Para Kleiman (2008, p.18-19) letramento é definido “como um conjunto de práticas sociais

que usam a escrita, como sistema simbólico e como tecnologia, em contextos específicos,

para objetivos específicos”.

As definições apresentadas permitem dizer que o letramento é, em termos gerais, o resultado

de uma aprendizagem e por isso pode ser atribuído a diferentes contextos de acordo com

objetivos específicos. De tal forma que o conceito de letramento vem sendo empregado em

diversos campos, como por exemplo, letramento em língua materna, letramento matemático,

letramento tecnológico, letramento científico, entre outros. Especificamente quanto ao

letramento matemático, Gonçalves (2010) conceitua como

A condição a partir da qual um indivíduo compreende e elabora de forma reflexiva, textos

orais e escritos que contém conceitos matemáticos e, transcende esta compreensão para uma

esfera social e política. Quando mencionamos conceitos matemáticos estamos incluindo a

linguagem matemática que pode ou não estar acompanhando tal conceituação. (Gonçalves,

2010, p. 10)

Nessa ótica, a formação do professor deve se dar na perspectiva do letramento para a

docência. Redimensiona-se o conceito de letramento, direcionando-o para o processo de

ensino e aprendizagem da docência em Matemática, abarcando os saberes, competências e

habilidades adquiridas para a atuação profissional como professor de Matemática na

perspectiva crítica, de inclusão, de garantia da aprendizagem da matemática a todos os

alunos, de democratização do saber, da justiça social e de conscientização.

Assim, entendemos que o letramento para a docência em matemática nos anos iniciais do EF

deve proporcionar aos professores e futuros professores o desenvolvimento de competências

e habilidades, fundamentadas nos saberes docentes, formando uma rede de conhecimentos e

relações que culmina em uma capacidade para o exercício da docência em matemática nesta

fase da escolarização.

Esse letramento deve ser desenvolvido mediante formação inicial e continuada, pois, como

afirma Nóvoa (1992), tornar-se professor é um processo de longa duração, de novas

aprendizagens e sem um fim determinado. Afinal, como afirma Imbernón (2010), a formação

docente, ao trazer novas questões da prática e buscar compreendê-las sob o enfoque da teoria


e na própria prática, possibilita que o professor e o futuro professor articulem novos saberes

na construção da docência.

Destarte, entendemos que é desafio da formação continuada, através do letramento

matemático, garantir condições e conhecimentos para que os docentes possam pensar, propor

e construir um currículo matemático significativo aos alunos, assim como é desafio da

formação inicial oportunizar aos futuros docentes vivências de situações que possibilitem a

experimentação, o estudo e a reflexão sobre inovações metodológicas para o ensino de

matemática.

Metodologia

Formamos um grupo de estudos, realizando encontros mensais para aprofundamento de

elementos teóricos, de experimentação de materiais didático-pedagógicos e de reflexão sobre

a prática e os saberes docentes.

Inicialmente, aplicamos um questionário, para identificarmos quais as principais

necessidades formativas das professoras quanto ao letramento matemático. Das respostas,

identificamos que: a) não havia compreensão sobre os conceitos de alfabetização e

letramento matemáticos; b) realizavam um ensino tecnicista da matemática, com ênfase no

ensino e na aprendizagem dos procedimentos, com muito treinamento; c) era consenso a

concepção de que o uso de material manipulável era para propiciar momentos lúdicos na sala

de aula; d) desconheciam os materiais “blocos lógicos” e “escala Cuisenaire”; e) apenas

cinco professoras já utilizavam o “material dourado” com seus alunos, mas faziam-no restrito

ao ensino do valor posicional do sistema de numeração decimal (para compreensão das

unidades, dezenas e centenas).

Diante dos dados coletados, organizamos os conteúdos que trabalharíamos, estudaríamos no

grupo de estudo. Por isso, nos encontros, realizamos leituras e discussões sobre alfabetização

e letramento matemático bem como estudos sobre os processos de construção dos conceitos

de número, sistema de numeração, sistema de numeração decimal, de notação, de operar o

conjunto dos números naturais (adição, subtração, multiplicação e divisão). Além disso,

experienciamos o uso didático-pedagógico dos seguintes materiais: blocos lógicos, escala

Cuisenaire e material dourado. Escolhemos esses materiais por serem aqueles que os


professores já tinham disponíveis na biblioteca da escola, mas não utilizavam com seus

alunos por não conhecê-los.

No decorrer dos encontros, cada participante foi registrando suas reflexões e aprendizagens

em caderno de campo. Dos relatórios, na perspectiva da pesquisa qualitativa interpretativa,

procedemos a análise interpretativa das reflexões e aprendizagens explicitadas nos textos.

Resultados

Mediante as reflexões das professoras participantes, analisamos que a implementação deste

projeto de extensão propiciou a construção de uma comunidade de aprendizagem, onde as

professoras de carreira e futuros professores aprenderam colaborativamente. Foram

recorrente em seus relatórios as referências à “troca” de saberes, ou seja, o quanto estavam

aprendendo com os futuros professores sobre Matemática e uso dos materiais pedagógicos

ao mesmo tempo em que podiam ensinar-lhes, compartilhando suas experiências de ser e

estar na profissão (como atuar em sala de aula, como interagir com os alunos reais, como

intervir quando tem aluno com dificuldade de aprendizagem, etc.).

As professoras relataram que até realizarem os estudos conosco, compreendiam alfabetização

e letramento restritos à Língua Portuguesa. Ampliaram suas compreensões, percebendo a

responsabilidade de seu trabalho para a alfabetização e o letramento matemático de seus

alunos. Parece-nos que essa percepção é que as motivou à participação no projeto e a querer

letrar-se mais, buscando aprender como propiciar melhores condições de aprendizagem da

Matemática aos seus alunos.

De início, demonstravam um domínio operacional da Matemática, mas sem compreenderem

os conceitos, sua história, a lógica dos procedimentos, o sentido do seu ensino na escola. No

decorrer dos encontros, foram explicitando suas “descobertas” sobre os processos de

construção dos conceitos de número, sistema de numeração, sistema de numeração decimal,

de notação, de operar o conjunto dos números naturais (adição, subtração, multiplicação e

divisão).

No encontro que apresentamos os materiais didático-pedagógicos, algumas professoras

registraram em seus relatórios que não tinham interesse em conhecê-los, pois não auxiliavam

no ensino e na aprendizagem da Matemática. Todavia, nos encontros seguintes, ao

propiciarmos que elas experienciassem situações de aprendizagem através dos materiais


didático-pedagógicos, foram modificando suas concepções. Entendemos que a articulação

entre teoria e prática, mediante a experimentação metodológica com o uso dos materiais

didático-pedagógicos (blocos lógicos, escala Cuisenaire e material dourado) suscitou

reflexões e abriu possibilidades para novas posturas metodológicas nas professoras. Sete

professoras, antes mesmo do fim do projeto, introduziram em suas salas de aula atividades

para a construção do conhecimento matemático, inclusive utilizando a escala Cuisenaire e o

material dourado para o ensino do sistema de numeração decimal e as operações

fundamentais.

Ao findarmos o projeto, analisamos que todas as professoras refletiram sobre sua prática

docente e sobre possíveis redimensionamentos destas práticas, com outras alternativas

metodológicas para o ensino de Matemática. Algumas, num estágio de sensibilização, isto é,

principiando seu processo de autorreflexão. Outras, refletindo sobre o que precisa ser

modificado porque não estão atingindo seu maior objetivo – que os alunos aprendam

Matemática. E outras, já experienciando novas práticas, suscitando reflexões sobre si mesmas

(os sentidos e sentimentos dessa nova prática docente) e sobre seus alunos (participação,

interesse e aprendizagens).

Quanto aos três futuros professores, revelaram em seus relatórios a aprendizagem sobre a

Matemática escolar, sobre a relevância e formas de utilizar os materiais didático-pedagógicos

e sobre a importância de conviver e aprender com as professoras (gestão da sala de aula e

interação com os alunos). Desta forma, inferimos que eles desenvolveram saberes,

proporcionando-lhes a reflexão sobre a prática docente.


Parece-nos que o projeto de extensão “Letramento para Docência em Matemática” atingiu

seus objetivos, pois proporcionou a formação docente, continuada e inicial, na perspectiva

do letramento matemático através do aprofundamento dos elementos teóricos, da

experimentação de materiais didático-pedagógicos e da reflexão sobre a prática e os saberes

docentes.

Conseguimos organizar o grupo de estudo, integrando acadêmicos da Licenciatura em

Matemática do IFMT/CNP e professoras do I e II Ciclos do Ensino Fundamental da Escola

Estadual Argeu Augusto de Moraes.


No grupo de estudos, foi possível articular a formação continuada das docentes da escola

com a formação inicial dos acadêmicos da Licenciatura em Matemática através de estudos

sobre letramento matemático, construção do conhecimento matemático e experimentação de

materiais didático-pedagógicos na busca de alternativas metodológicas para melhorar o

ensino e a aprendizagem matemática nos anos iniciais do Ensino Fundamental.

Consideramos que as professoras compreenderam o processo de letramento matemático do

aluno, na perspectiva teórica interacionista e refletiram acerca do processo de ensino que

pode e/ou deve ser propiciado ao aluno.

Consideramos ainda que professoras e futuros professores efetivaram a prática de um

trabalho colaborativo; a troca de experiências e assumiram uma postura reflexiva sobre suas

práticas docentes.

Destarte, inferimos que o projeto de extensão “Letramento para Docência em Matemática”

possibilitou maior democratização do saber, por meio da inter-relação da visão acadêmica e

a visão dos professores e futuros professores, além de contribuir para a melhoria do ensino e

da aprendizagem da matemática na escola e para a melhoria da qualidade da formação inicial

ofertada no curso de Licenciatura em Matemática através da inserção dos licenciandos no

cotidiano escolar.

O maior desafio, neste momento pós-projeto, é conseguirmos dar continuidade ao grupo de

estudos, em atendimento à solicitação das próprias professoras, ratificada pela equipe gestora

da escola, pois, na ótica da articulação entre formação inicial e continuada, na área da

Matemática, solicitaram que essa parceria torne-se permanente.


GONÇALVES, H. A. (2010). O conceito de letramento matemático: algumas aproximações. 2010. http://www.ufjf.br/virtu/files/2010/04/artigo-2a14.pdf Consultado 10/04/2016. IMBERNÓN, F. (2010). Formação docente e profissional: formar-se para a mudança e a incerteza. 8. ed. São Paulo: Cortez. KLEIMAN, A. B. (org.). (2008). Os significados do letramento: uma nova perspectiva sobre a prática social da escrita. Campinas: SP, Mercado das Letras. NÓVOA, A. (Org.). (1992). Os professores e a sua formação. Portugal: Porto.


PIMENTA, S.G.; GHEDIN, E. (Org.). (2002). Professor Reflexivo no Brasil: gênese e crítica de um conceito. São Paulo: Cortez. SOARES, M. (2006). Letramento: um tema em três gêneros. Belo Horizonte: Autêntica.


CB-418

MATEMÁTICAS PARA EL CONSUMO: UNA ESTRATEGIA PARA POTENCIAR EL PENSAMIENTO REFLEXIVO Y CRÍTICO EN LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS

EN ESTUDIANTES DE SEXTO GRADO DE UNA INSTITUCIÓN PÚBLICA

GLORIA FERREIRA MUÑOZ [email protected]

Colegio Juan Cristóbal Martínez San Juan Girón- Universidad Industrial de Santander UIS Colombia

Núcleo Temático: La Resolución de Problemas en Matemáticas Modalidad: Comunicación Breve Nivel educativo: Medio o Secundario (12 a 15 años) Palabras clave: Pensamiento Crítico, Educación Matemática Crítica, Resolución de Problemas, Matemáticas para el Consumo. Resumen: La propuesta de investigación se planteó a partir de un estudio reflexivo sobre los resultados Nacionales, departamentales y regionales de pruebas estandarizadas tanto externas como internas, (PISA, SABER 3°,5°,9°,11°) en el campo de las Matemáticas y específicamente en el proceso de Resolución de Problemas. Al dar una mirada al interior de una Institución pública, se evidenciaron dificultades asociadas al proceso como: Comprender enunciados, Identificar aspectos importantes, Plantear soluciones y Verificar resultados. Se propuso entonces llevar a cabo una experiencia que potenciara en los estudiantes el pensamiento reflexivo y crítico al resolver problemas matemáticos por medio de la estrategia didáctica “Matemáticas para el consumo” la cual dio énfasis al análisis de situaciones que resultaron de las experiencias que tienen los estudiantes como consumidores, (compradores de un bien o servicio), fortaleciendo en ellos la comprensión y apropiación de conceptos matemáticos y así mismo valores esenciales para la formación de ciudadanos como la reflexión, la autonomía, la responsabilidad y la toma de decisiones inteligentes. Fue el contexto de los estudiantes el generador de situaciones, por tanto se hizo indispensable reconocerlo y propiciar espacios de reflexión en la misma comunidad para contribuir al cuidado y mejoramiento de sus condiciones de vida.

DESARROLLO DEL TRABAJO

Planteamiento del problema. Los resultados en las diferentes evaluaciones estandarizadas

tanto internas como externas muestran un panorama preocupante frente a los procesos de

enseñanza y aprendizaje de la matemática en nuestro país y más preocupante aun, cuando se

evidencia que en muchas instituciones educativas hoy día se privilegia el aprendizaje por

memorización, la ejercitación de procedimientos sin mayor sentido, ni significado y los

problemas propuestos en clase son inapropiados y descontextualizados. Al respecto la

Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico OCDE, reportó el siguiente


informe de las pruebas internacionales PISA de 2013 en Matemáticas, señalando “(…) los

jóvenes latinoamericanos y por supuesto los colombianos, no muestran capacidades para

resolver problemas con algún grado de complejidad y solamente pueden resolver problemas

simples y utilizando muchas veces el ensayo y el error para elegir la respuesta (…)”15. En

estas pruebas se hizo énfasis en educación financiera, donde Colombia ocupó el último lugar

en la tabla de países evaluados. La ministra del momento expresó que los resultados no eran

de extrañar, toda vez que en el país no se ha impartido este tipo de educación y agregó:“El

Gobierno, consciente de esta situación, lanzó el Programa Nacional de Educación

Económica y Financiera, con el que busca formar a los estudiantes colombianos desde el

grado cero al grado once en competencias que, de acuerdo con la Ministra, permitan a los

estudiantes dar lectura del entorno económico y tomar decisiones, inteligentes, autónomas

y responsables"16.

En cuanto a las pruebas nacionales, el ICFES se encarga de aplicar las pruebas SABER, las

cuales evalúan el desarrollo y avance de las competencias de los estudiantes de grados 3°,

5°, 9° y 11° de educación Básica y Media. En los resultados de esta prueba en Matemáticas

del año 201517, el grado 5° obtuvo un promedio nacional de 317 puntos, en una escala de 1 a

500. Las dificultades evidenciadas en esta prueba estuvieron enmarcadas en aspectos

como: organizar y generar conclusiones a partir de una información particular suministrada,

realizar generalizaciones y resolver problemas no rutinarios, que serían los resultados propios

a un nivel de desempeño avanzado18. En Institución donde se realizará la investigación, se

observan resultados similares al promedio nacional, donde se muestra que en 5° grado un

57% de los estudiantes está en los niveles insuficiente y mínimo de competencia en el área,

y un puntaje en el área de 325 puntos. Las dificultades radican en la capacidad para formular

e interpretar las matemáticas en los diferentes contextos, usar el razonamiento y los conceptos

matemáticos, realizar procedimientos con los datos ofrecidos y buscar herramientas para

describir, explicar y predecir fenómenos. Estos aspectos expuestos se evidencian, además, en

15 COLOMBIA. MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL DE COLOMBIA. Foro Educativo Nacional. Documento Orientador. Ciudadanos Matemáticamente Competentes. 2014. 16 EL TIEMPO. Colombia, en el último lugar en nuevos resultados de pruebas Pisa. Julio 9 de 2014. [En línea]. [Citado el 30 de Febrero de 2016]. Disponible en internet: http://m.eltiempo.com/estilo-de-vida/educacion/colombia-en-el-ultimo-lugar-en-nuevos-resultados-de-pruebas-pisa/14224736 17 COLEGIO JUAN CRISTÓBAL MARTÍNEZ SAN JUAN GIRÓN. Reporte de la excelencia 2016 (5° grado). 2015. 18 COLOMBIA. ICFES. Resultados históricos. Información encontrada. [En línea]. [Citado el 30 de Febrero de 2016]. Disponible en internet: en: http://www.icfesinteractivo.gov.co/historicos.


un diagnóstico realizado a una muestra de estudiantes de los grados 3° primaria a 9° de

secundaria de la Institución, donde se observó con preocupación la falta de interconexión

entre la práctica matemática del aula con la práctica matemática en su propia realidad.

Según el panorama anterior, surgen cuestionamientos como: ¿Qué dificultades presentan los

estudiantes que obstaculizan el éxito al resolver problemas matemáticos? ¿Qué importancia

tiene el pensamiento reflexivo y crítico en la solución de problemas matemáticos situados en

el contexto de los estudiantes? ¿Qué características debe tener la estrategia didáctica basada

en “Matemáticas para el consumo” que permita potenciar el pensamiento reflexivo y crítico

en la solución de problemas matemáticos? ¿Qué posibilidades ofrece la estrategia didáctica

“Matemáticas para el Consumo” para potenciar el pensamiento crítico y reflexivo en la

solución de problemas?

Los interrogantes anteriormente mencionados, llevan a la formulación de la siguiente

pregunta de investigación: ¿Qué incidencia tiene la “Matemática para el consumo” como

estrategia didáctica para potenciar el pensamiento crítico y reflexivo en la solución de

problemas matemáticos?

Objetivo General: Evidenciar la incidencia que tiene la “Matemática para el consumo”

como estrategia didáctica para potenciar el pensamiento reflexivo y crítico en la solución de

problemas matemáticos.

Objetivos Específicos: Determinar aciertos y dificultades que presentan los estudiantes en

procesos de pensamiento reflexivo y crítico en la solución de problemas matemáticos

relacionados con la vida diaria o con otras ciencias. Diseñar y aplicar la estrategia

“Matemáticas para el consumo” para potenciar el proceso matemático relacionado con la

solución de problemas. Evaluar las posibilidades que ofrece la estrategia didáctica de la

“Matemática para el consumo” para potenciar el pensamiento reflexivo y crítico en la

solución de problemas tanto matemáticos como de la vida cotidiana.

Justificación. El planteamiento de esta temática se basó en el análisis de resultados de

pruebas estandarizadas tanto nacionales como internacionales, donde se ve con preocupación

que los estudiantes, en su mayoría, no tienen capacidad para resolver problemas matemáticos

en contextos determinados, siendo ésta una falencia que se viene presentando tiempo atrás.

Las razones expuestas impulsan y animan a llevar a cabo el presente trabajo de investigación:

“Matemáticas para el consumo, una estrategia para potenciar el pensamiento crítico y


reflexivo en la solución de problemas” convencida del impacto que podrá causar en los

estudiantes, en la misma Institución y en la comunidad inmersa, proponiendo actividades en

las cuales se vinculen las problemáticas de carácter social, donde los estudiantes se vean

reflejados y procuren sentar sus propias reflexiones, propiciar el espíritu crítico y buscar

soluciones individuales y grupales de manera que beneficie a la comunidad involucrada, así

como elevar la calidad de la educación matemática en la Institución.

Referentes Conceptuales: Teniendo en cuenta la problemática planteada, las temáticas que

soportarán el presente estudio son: Enseñanza de la Matemática. El momento histórico que

vivimos en nuestro país debe proporcionarnos un futuro esperanzador; cambiar nuestras

prácticas pedagógicas no será una simple disposición, sino nuestra mejor opción para lograr

el cambio en los ciudadanos que necesitamos en el mañana; jóvenes y adultos con reales

valores éticos, verdaderos seres humanos aptos para lograr superar las dificultades que

evidenciamos en el mundo hoy. Al respecto, El Ministerio de Educación Nacional de

Colombia, señala: “Una educación de calidad es aquella que forma mejores seres humanos, ciudadanos

con valores éticos, respetuosos de lo público, que ejercen los derechos humanos, cumplen con sus deberes y

conviven en paz. Es una educación que genera oportunidades legítimas de progreso y prosperidad para ellos

y para el país. Una educación competitiva, pertinente, que contribuya a cerrar brechas de inequidad y en la

que participa toda la sociedad”19.

Cambiar la imagen negativa que históricamente se ha creado acerca de las matemáticas y su

aprendizaje, debe ser cuestión de cambiar las prácticas pedagógicas en las aulas de clase,

proporcionando a los niños y jóvenes experiencias ricas en sentido y significado, donde cada

uno viva, sienta y comprenda la importancia que su estudio puede brindarles, para tener una

mejor comprensión del mundo que les rodea y así mismo les provea de herramientas valiosas

para incursionar en las actividades propias de cada ejercicio o profesión.

Educación Matemática Crítica (E.M.C). Consiste en una corriente filosófica dentro de la

investigación en Didáctica de las Matemáticas, que se dedica al estudio de la Matemática y

la Educación Matemática, pero desde una perspectiva en la que se destaca su rol en la

sociedad, así como su relación con la justicia social, la equidad y la democracia. La

Educación Matemática Crítica se define como una perspectiva que privilegia la

19 COLOMBIA. MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL DE COLOMBIA. Foro Educativo Nacional. Documento Orientador. Ciudadanos Matemáticamente Competentes. 2014. p. 4.


conceptualización del aprendizaje y enseñanza de las matemáticas y la investigación misma

sobre estas como prácticas sociopolíticas20. Como filosofía educativa, término utilizado por

Skovsmose21, se define “como una estrategia para abordar el riesgo de una Educación

Matemática que contribuya a la creación de ciudadanos con posturas críticas hacia los

efectos devastadores de las matemáticas en la sociedad”.

Pensamiento crítico, como un elemento fundamental en la formación de nuevos ciudadanos

y de gran importancia dentro de la concepción educativa en Colombia. Así se encuentra

plasmado en uno de sus apartados de los Estándares básicos de Competencia en Matemática,

donde se plantean las razones de los cambios que se debe dar en la enseñanza de las

matemáticas, siendo uno de ellos: “La segunda razón alude al conocimiento matemático

imprescindible y necesario en todo ciudadano para desempeñarse en forma activa y crítica

en su vida social y política así como para interpretar la información necesaria en la toma

de decisiones”22. Entre los teóricos más influyentes que se han propuesto definir el

pensamiento crítico, se encuentran Elder & Paul23, conciben el “pensamiento crítico como el

proceso de analizar y evaluar el pensamiento con el propósito de mejorarlo”. Se tendrá en

cuenta el trabajo de estos autores propuesto en la “Mini Guía hacia el Pensamiento Crítico

para Niños”, donde proponen actividades dirigidas para fomentar el desarrollo mental en los

niños y a su vez, plantean los estándares intelectuales más significativos para el desarrollo

del pensamiento crítico, como son: Claridad, Certeza, Relevancia, Lógica y Justicia. El

pensamiento reflexivo y crítico, como proceso cognitivo, permite la construcción de un nuevo conocimiento y

la utilización estratégica del mismo en la solución de problemas presentes en la vida cotidiana. En la enseñanza

de la matemática, además de favorecer la construcción y comprensión de conceptos, se debe apoyar el desarrollo

de habilidades cognitivas que le permitan al estudiante transformar su contexto en busca de mejorar la calidad

de vida.

Proceso de Resolución de problemas, es un proceso presente a lo largo de todas las

actividades curriculares de matemáticas y no una actividad aislada y esporádica; más aún,

20- VALERO, P. SKOVMOSE; JIMÉNEZ, C. O. Educación matemática crítica. Una visión sociopolítica del aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas. Bogotá: Ediciones Uniandes. 2012. 21 SKOVSMOSE, P. y VALERO, A. Educación matemática crítica, Citado por CÁRDENAS SIERRA, Yuriana Raquel y MUÑOZ RESTREPO, Diego Alejandro. Educación matemática crítica y análisis didáctico: una propuesta de construcción de saberes matemáticos en contextos de conflicto social en la Institución. 2014. p. 21. 22 COLOMBIA, MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL. Estándares básicos de competencias en matemáticas. Potenciar el pensamiento matemático: ¡un reto escolar! P. 47 23 PAUL, Richard y ELDER, Linda. Estándares de competencia para el pensamiento crítico. Estándares, Principios, Desempeño, Indicadores y Resultados. Con una Rúbrica Maestra en el Pensamiento Crítico. 2005, vol. 20, no 3, p. 2015.


podría convertirse en el principal eje organizador del currículo de matemáticas, porque las

situaciones problema proporcionan el contexto inmediato en donde el quehacer matemático

cobra sentido, en la medida en que las situaciones que se aborden estén ligadas a experiencias

cotidianas y, por ende, sean más significativas para los alumnos. Estos problemas pueden

surgir del mundo cotidiano cercano o lejano, pero también de otras ciencias y de las mismas

matemáticas, convirtiéndose en ricas redes de interconexión e interdisciplinariedad. La

formulación, el tratamiento y la resolución de los problemas suscitados por una situación

problema permiten desarrollar una actitud mental perseverante e inquisitiva, desplegar una

serie de estrategias para resolverlos, encontrar resultados, verificar e interpretar lo razonable

de ellos, modificar condiciones y originar otros problemas.

Estrategias didácticas en la enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas. Se considera

como estrategia didáctica, en este caso, la forma de acercar a los niños y jóvenes al

conocimiento matemático, ofreciéndoles experiencias y situaciones ricas en contenido, en

sentido y significado y teniendo en cuenta el contexto como factor fundamental del proceso.

En nuestro tiempo debemos preparar a los niños y jóvenes como ciudadanos del mundo,

donde puedan ser partícipes de diversas comunidades y culturas, desarrollando al interior del

aula espacios que brinden oportunidad para la apropiación de valores y actitudes importantes

para convivir en sociedad. Tal como lo menciona Godino24 “Uno de los fines de la educación

es formar ciudadanos cultos, pero el concepto de cultura es cambiante y se amplía cada vez

más en la sociedad moderna. Cada vez más se reconoce el papel cultural de las matemáticas

y la educación matemática también tiene como fin proporcionar esta cultura. El objetivo

principal no es convertir a los futuros ciudadanos en “matemáticos aficionados”, tampoco se

trata de capacitarlos en cálculos complejos, puesto que los ordenadores hoy día resuelven

este problema. Lo que se pretende es proporcionar una cultura con varios componentes

interrelacionados como: Capacidad para interpretar y evaluar críticamente la información

matemática y los argumentos apoyados en datos que las personas pueden encontrar en

diversos contextos, incluyendo los medios de comunicación, o en su trabajo profesional; la

capacidad para discutir o comunicar información matemática, cuando sea relevante, y la

24 GODINO, Juan D. Matemáticas para maestros. 2004. P. 24.


competencia para resolver los problemas matemáticos que encuentre en la vida diaria o en el

trabajo profesional.

Estructura Metodológica de la Investigación.

Descripción del escenario y los participantes. La investigación se llevó a cabo en la

Institución Educativa Colegio Juan Cristóbal Martínez, de carácter oficial, ubicado en el

municipio de San Juan Girón, Santander. Esta Institución cuenta con una sede principal y

tres sedes complementarias, en la sección de Secundaria tienen cobertura en su sede principal

de 1600 estudiantes en la jornada diurna y 300 estudiantes en la jornada nocturna. La

población del estudio investigativo, está conformada 215 estudiantes del grado sexto, quienes

se encuentran en edades entre los 11 y 14 años. El nivel socioeconómico de los estudiantes y

sus contextos cercanos está entre los niveles 1,2 y 3. Los participantes directos de este estudio

fueron 35 estudiantes del grado sexto, curso 6-4, cuyas edades oscilan entre los 11 y 14 años,

quienes orientados por la docente de matemáticas de planta, quien a su vez actuó como

investigadora y los acompañó durante el proceso de investigación. Las principales

características del grupo son: Niños con buena disposición hacia las nuevas propuestas de

enseñanza y aprendizaje, en su mayoría cumplen las normas establecidas en grupo, con buena

actitud hacia el aprendizaje de la Matemática. Son en su mayoría participativos y expresivos,

como característica especial, un porcentaje cercano al 50% provienen de hogares

disfuncionales.

Bibliografía Carvalho, V. (1999) Educação matemática: matemática & educação para o consumo. Colegio Juan Cristóbal Martínez San Juan Girón. (2015).Reporte de la excelencia 2016 (5° grado). Colombia, Ministerio de Educación Nacional. (2008) Estándares básicos de competencias en matemáticas. Potenciar el pensamiento matemático: ¡un reto escolar!

• Video Sensibilización • Aplicación del cuestionario Inicial

o Diagnóstico

• Identificación de aciertos y dificultades en la solución de

problemas.

• Confrontación con los teóricos.

Diagnóstico

• Diseño de la propuesta• Implementación de la propuesta

• Evaluación sobre el proceso de implementación de la propuesta.

• Aplicación de cuestionario final.

Intervención• Interpretación de los resultados

• Análisis de los resultados

• Validación de los hallazgos por parte de los teóricos

• Concluisones

• Recomendaciones

Reflexión y Análisis de resultados


Colombia, Ministerio de Educación Nacional. (2012) Mi plan, mi vida, mi futuro. Orientaciones Pedagógicas para la educación Económica y financiera. Colombia. ICFES. Resultados históricos. http://www.icfesinteractivo.gov.co/historicos. Consultado 30/02/2016 Colombia, Ministerio de Educación Nacional. (2014). Foro Educativo Nacional. Documento Orientador. Ciudadanos Matemáticamente Competentes. EL TIEMPO. Colombia, en el último lugar en nuevos resultados de pruebas Pisa. (Julio 9 de 2014). http://m.eltiempo.com/estilo-de-vida/educacion/colombia-en-el-ultimo-lugar-en-nuevos-resultados-de-pruebas-pisa/14224736 .Consultado 30/022016. Elder,L (2003) La miniguía hacia el pensamiento Crítico para niños. Manual del Profesor. Fundación para el Pensamiento Crítico. www.criticalthinking.org Elliot, J. (1991). El cambio educativo desde la investigación – acción. Madrid: Morata, 98 Godino, J D. (2004) Matemáticas para maestros. p. 24. López, G. Pensamiento crítico en el aula. Docencia e Investigación: revista de la Escuela Universitaria de Magisterio de Toledo, 2012, vol. 37, no 22, p. 41-60. 2012 Paul, R y Elder, L. (2005) Estándares de competencia para el pensamiento crítico. Estándares, Principios, Desempeño, Indicadores y Resultados. Con una Rúbrica Maestra en el Pensamiento Crítico. Vol. 20, no 3, p. 2015. Skovsmose, O (1999) Hacia una filosofía de la Educación Matemática Crítica. Traducido por Paola Valero. Universidad de los Andes. Bogotá. Colombia Valero, P. Skovsmose, O; Jiménez, C. (2012) Educación matemática crítica. Una visión sociopolítica del aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas. Bogotá: Edi. Uniandes.


CB-420

ANÁLISIS COGNITIVO DEL USO DE DIAGRAMAS DE ÁREAS Y DE ÁRBOL EN LA SOLUCIÓN DE UN PROBLEMA SOBRE FRACCIONES

Belén Giacomone – Juan D. Godino

[email protected] – [email protected] Universidad de Granada, España

Núcleo temático: I. Enseñanza y aprendizaje de la Matemática en las diferentes modalidades y niveles educativos. Modalidad: CB Nivel educativo: 5. Formación y actualización docente Palabras clave: análisis cognitivo, desarrollo profesional, educación matemática, razonamiento diagramático Resumen

Una tarea desafiante cuando se hace investigación en educación matemática es la

descripción comprensible de la actividad matemática llevada a cabo por los estudiantes.

Particularmente, diversos autores argumentan que construir y usar diagramas puede ser

visto como una posible fuente de nuevos conocimientos. En este trabajo se analizan las

respuestas dadas por 30 estudiantes de magisterio a un problema sobre fracciones mediante

el uso de diagramas de áreas y árbol. El análisis cognitivo está apoyado por herramientas

teóricas y metodológicas del enfoque ontosemiótico del conocimiento y la instrucción

matemáticos. Como resultados se destaca la complejidad que implica el uso del diagrama

de áreas para expresar la multiplicación de fracciones; por otro lado, los diagramas de

árbol resultan más eficientes para realizar cálculos. Asimismo, se observa que el uso del

lenguaje secuencial-natural se encuentra presente en todos los casos como una forma

necesaria para comunicar la respuesta. Los resultados permiten comprender el papel que

juegan ambos tipos de diagramas y la potencial utilidad de tener en cuenta la trama de

objetos matemáticos implicados en el uso de tales representaciones. Por último, este análisis

se revela como estratégico para el formador de profesores al permitirle reflexionar sobre

posibles dificultades de aprendizaje.

1. Introducción

Los diagramas son vistos por muchos investigadores y educadores como herramientas

indispensables para el razonamiento matemático (NCTM, 2000; Novick, 2004; Kadunz,


2016). Sin embargo, como señalan Scaife y Rogers (1996, p. 206), “es necesario adoptar una

visión de cómo la gente lee e interactúa con los diagramas”, siendo éste, un problema que

aún reclama atención en la comunidad científica (Hoffman, 2011, p. 197).

Por otro lado, en los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, “no es posible

hablar de signos y representaciones sin tener en cuenta la posibilidad de acceder a los objetos

matemáticos predefinidos, preestablecidos o reconocidos como tales por una institución”

(Iori, 2016, p. 279). Sin duda, esa descripción comprensible de la actividad matemática,

llevada a cabo por los estudiantes, es una tarea desafiante cuando se hace investigación en

educación matemática (Kadunz, 2016, p. 111).

En el contexto de la formación de maestros, utilizar el razonamiento con diagramas de

distintos tipos es una oportunidad para llamar a la reflexión profesional (Cohen, 2004, Rivera,

2011); asimismo, Novick (2004, p. 38) señala que los futuros maestros necesitan desarrollar

conocimientos más explícitos con representaciones diagramáticas.

Relacionando estos aspectos claves, que involucran el uso de diagramas en la formación

docente, el objetivo de esta investigación es estudiar cuáles son los objetos matemáticos que

movilizan futuros profesores de educación primaria cuando resuelven una situación

problemática sobre fracciones, a partir de diagramas de áreas y de árbol.

A continuación, se describe sucintamente el marco teórico, el cual permite interpretar la

naturaleza del problema; en la sección 3 se describe el método de investigación y la tarea

implementada con futuros maestros de educación primaria; en la sección 4 se discute el

análisis cognitivo de las respuestas de los estudiantes. Finalmente, se exponen las

conclusiones con vistas a una mejora en la formación del profesor de matemáticas.

2. Marco teórico

En el marco del enfoque ontosemiótico del conocimiento y la instrucción matemáticos (EOS)

se vienen desarrollando diversas herramientas teóricas y metodológicas las cuales permiten

realizar análisis a nivel macro y micro de la actividad matemática (Godino, Batanero y Font,

2007). La herramienta Configuración ontosemiótica facilita la descripción y análisis

pormenorizado de las prácticas matemáticas involucradas en la solución de un problema. Se

consideran 6 tipos de objetos matemáticos (Godino et al., 2007, p. 130):

• lenguajes (términos, expresiones, notaciones, gráficos) en sus diversos registros (escrito, oral,


gestual, etc.); • situaciones-problemas (aplicaciones intra o extra-matemáticas, ejercicios). • conceptos-definición (introducidos mediante definiciones o descripciones) (recta, punto,

número, media, función); • proposiciones (enunciados sobre conceptos); • procedimientos (algoritmos, operaciones, técnicas de cálculo); • argumentos (enunciados usados para justificar o explicar las proposiciones y procedimientos,

deductivos o de otro tipo).

Todos éstos objetos no están aislados entre sí, sino que se vinculan a través de funciones

semióticas, referenciales y operacionales, construidas entre ellos, estableciendo

configuraciones de prácticas, objetos y procesos matemáticos.

Si el objetivo es analizar una secuencia de prácticas matemáticas esperadas o expertas a

propósito de una tarea, el análisis tendrá un carácter epistémico. En cambio, si se trata del

análisis de una respuesta dada por un estudiante, las correspondientes configuraciones serán

de tipo cognitivo, tal como corresponde en este trabajo.

En la sección 4 se muestra como la aplicación de la herramienta configuración ontosemiótica

puede ayudar a comprender las dificultades de los estudiantes en el aprendizaje matemático,

al revelar la trama de objetos que intervienen en la actividad matemática y las relaciones

sinérgicas entre los mismos.

3. Contexto formativo y método

Como parte de una acción formativa, se llevó a cabo la implementación de un problema con

un grupo de 30 estudiantes, futuros profesores de educación primaria. Si bien el objetivo

educativo/curricular es ‘el estudio de fracciones’, el objetivo como investigadores es poner

en evidencia el desafío que implica el uso de distintas representaciones en la educación

matemática. De manera específica, se les pidió resolver el problema aplicando dos

procedimientos, usando un diagrama de áreas y un diagrama en árbol. Los estudiantes ya

estaban familiarizados con ambos tipos de diagramas, siendo producto del trabajo durante el

curso formativo.

En este contexto, se trata de una investigación cualitativa, de tipo interpretativa dado que se

busca analizar e interpretar las respuestas de un grupo de estudiantes a la situación-problema

mostrada en el Cuadro 1. Los datos se recopilan en una situación real de clase y se analizan

bajo la perspectiva del EOS descrita en el apartado anterior.


Un Martini es un cóctel que se hace con 5 partes de ginebra y 1 parte de vermut. Supongamos que 2/5 de la ginebra es alcohol y que 1/6 del vermut es alcohol. ¿Qué fracción de alcohol lleva un Martini?

A) Resuelve el problema usando un diagrama de áreas.

B) Resuelve el problema usando un diagrama en árbol. Cuadro 1. Enunciado de la tarea del Martini

4. Análisis cognitivo

En la Tabla 1 se destaca la frecuencia de respuestas obtenidas de la muestra de 30 estudiantes,

las cuales no son indicativas del grado de desarrollo cognitivo alcanzado por los mismos. Los

valores reflejados representan el primer paso para pensar por qué el diagrama en árbol resulta

una forma más sencilla de conectar con la solución aritmética y por qué el diagrama de áreas

no se muestra como un recurso de cálculo eficiente.

Tabla 1. Frecuencia de respuestas al problema del Martini Respuestas

Tipo de diagrama Correctas Incorrectas Sin hacer Total Áreas 1 21 8 30

Árbol 24 6 0 30

A continuación, se muestran ejemplos prototípicos de las estrategias utilizadas por los

estudiantes, las cuales permiten interpretar el conocimiento puesto en juego en cada uno de

los diagramas y así, dar una respuesta a dicho interrogante.

4.1. Uso del diagrama de áreas

Ningún estudiante resuelve el problema basando su razonamiento en la construcción de una

secuencia de diagramas de áreas, siendo difícil su uso como recurso para el cálculo

aritmético-fraccionario. Entre las respuestas, se destacan los siguientes casos.

• Caso 1. Aproximación a la solución esperada. Un solo estudiante propone una

secuencia de 4 diagramas (Figura 2). En cada uno de ellos moviliza el concepto de ‘fracción’

como ‘parte de un todo’. Utiliza el lenguaje natural para indicar las partes que componen al

diagrama.


Figura 2. Ejemplo prototípico de respuesta correcta mediante el uso de diagrama de áreas

En primer lugar, se representa el Martini como un ‘todo unitario’, compuesto por 5 partes de

Ginebra y 1 de Vermut. Luego, el estudiante realiza un procedimiento de ‘descomposición

de la unidad de Martini en dos nuevas partes unitarias’: Ginebra por un lado y Vermut por el

otro. Nuevamente se divide una ‘unidad en partes iguales’ y se establecen así dos nuevas

proposiciones: ‘las figuras de la derecha representan las partes de alcohol de la Ginebra y del

Vermut, respectivamente’. En esta acción queda claro cómo, el estudiante en cuestión, no

logra operar con el diagrama inicial (el Martini), esto significa que no es capaz de construir

un diagrama que represente el concepto de ‘fracción de fracción’ dado que recurre a la

construcción de dos nuevos diagramas independientes.

Para la construcción del cuarto diagrama resulta necesario ‘componer los diagramas de la

derecha’; aparece así un nuevo concepto ‘unidad de medida’ para lograr medir un área con

una unidad dada (1/6 alcohol del vermut). El último procedimiento que se realiza es de ‘suma

de cantidades’ dando como resultado la proposición final donde se consigue medir los 13

cuadraditos de 36 cuadraditos de igual área: ‘la parte representada es lo que el Martini lleva

de alcohol’.

El estudiante realiza, por un lado, procesos de materialización de los conceptos y de las

operaciones con fracciones, y por otro lado, procesos de composición de los resultados

parciales que va obteniendo. La solución la encuentra finalmente mediante un procedimiento

aritmético de conteo de las fracciones unitarias que ha representado en el último diagrama

mediante un proceso de idealización (la razón del número de cuadraditos marcados al número

total de cuadraditos es la fracción de alcohol del Martini). Un análisis más detallado de esta

respuesta se puede ver en Giacomone y Godino (2016).

• Caso 2. Dentro de las 21 respuestas incorrectas, es posible observar que, en 12 de

éstas, los estudiantes movilizan el concepto de fracción como ‘parte de un todo que se divide


en partes iguales’ y consiguen representar la parte de ginebra y de vermut. Asimismo, se

moviliza el concepto de fracción como ‘operador’ identificando la fracción de alcohol que

compone cada elemento del Martini (fracción de alcohol en la Ginebra y en el Vermut). Sin

embargo, no logran identificar una unidad de medida común para expresar el alcohol total

(suma de la fracción de alcohol de cada elemento). Un ejemplo prototípico de esta respuesta

es el que se muestra en la Figura 3.

Figura 3. Ejemplo prototípico de respuesta incorrecta mediante el uso de áreas

Se observa que no es posible responder al problema con el diagrama representado, por lo

tanto, el estudiante utiliza un lenguaje aritmético-fraccionario para hallar la solución.

4.2. Uso del diagrama de árbol

Las respuestas dadas por los estudiantes revelan que no existen grandes conflictos en llegar

a la solución. La traducción del diagrama en árbol en un lenguaje aritmético apoya y justifica

la respuesta al problema. De la misma manera observamos que el uso del lenguaje secuencial-

natural, se encuentra presente en todos los casos como una forma necesaria para comunicar

el resultado.

• Caso 1. Un ejemplo de respuesta correcta se muestra en la Figura 4. En primer lugar,

el sujeto realiza una práctica discursiva con el fin de expresar en forma diagramática la

composición del Martini. En segundo lugar, interpreta correctamente las unidades que

constituyen los niveles jerárquicos y procede a una traducción aritmético fraccionaria para

dar respuesta a la pregunta del problema. En dicha traducción se moviliza el concepto

‘fracción de fracción’ y ‘suma de fracciones’ como parte de un todo.


Figura 4. Ejemplo prototípico de respuesta correcta mediante el uso de diagrama

El primer nivel produce una división binaria en dos nuevas unidades: el vermut y la ginebra.

Luego, se opera sobra cada unidad, considerándolas un ‘todo unitario’; se incluye la

información dada en el problema y se obtiene el tercer nivel jerárquico. En este tercer nivel

resulta muy sencillo resolver el problema, dado que las partes se identifican claramente en el

diagrama y se destaca el aspecto secuencial del proceso resolutivo.

• Caso 2. Entre las 5 respuestas incorrectas, se identifican dificultades para representar

el segundo nivel jerárquico. Un tipo de respuesta prototípica está reflejada en la Figura 5 en

la que el sujeto resolutor, no identifica el segundo nivel del diagrama (composición de

elementos de ginebra y vermut), y representa, directamente, los datos del alcohol de cada

elemento. Se concluye que, el estudiante, no moviliza correctamente el concepto de fracción

que se pone en juego con el diagrama de árbol.

Figura 5. Ejemplo prototípico de respuesta incorrecta mediante el uso de diagrama de árbol

4.3. Discusión

Como producto de resultados empíricos, Hoffman (2011, p. 196) señala: “el apoyo cognitivo

que el razonamiento diagramático puede proporcionar depende en gran medida del sistema

de representación elegido”. En nuestro caso, se evidencia claramente que, el problema

resuelto con diagramas en árbol resultó más efectivo dado que muestra, de manera icónica,

la estructura del sistema de operaciones implicadas en la resolución. El concepto de


‘fracción’ se manifiesta como ‘la razón entre las partes de un todo genérico que se divide en

partes iguales, y las partes que se individualizan’. El concepto de ‘fracción de fracción’ se

refleja en la composición de los dos niveles inferiores del diagrama, mientras que la suma de

fracciones resultantes queda reflejada en la disposición lateral de las dos ramas (izquierda,

derecha). Por otro lado, el uso del diagrama de áreas, moviliza otro significado del concepto

de ‘fracción’, revelándose como ‘un operador de una cantidad de áreas’. Éste es un concepto

más difícil de representar diagramáticamente y, que en general, los estudiantes no están

habituados.

Además, se pone en evidencia que acompañando al lenguaje visual-diagramático es necesario

el concurso del lenguaje natural para comunicar la respuesta, y que junto a los objetos

matemáticos materiales, visibles, esta siempre presente una configuración de objetos

abstractos que participan de la actividad matemática (Godino, Cajaraville, Fernández, &

Gonzato 2016).

5. Reflexiones finales

En primer lugar, tal como sugieren Badillo, Font y Edo (2014, p. 68), las categorías teóricas

que propone el EOS han permitido hacer un análisis en profundidad de las producciones de

los alumnos, revelando la complejidad de objetos matemáticos activados en el proceso de

resolución del problema. De esta manera, los resultados permiten comprender el papel que

juegan ambos tipos de diagramas en la construcción del conocimiento matemático y la

potencial utilidad de tener en cuenta la trama de objetos implicados en el uso de tales

representaciones (Font, Godino y Contreras, 2008) para describir e interpretar la actividad de

aprendizaje.

En segundo lugar, “como educadores de maestros debemos ser capaces de orquestar la

aparición de affordances desde dentro de las tareas” (Liljedahl, Chernoff y Zazkis, 2007, p.

241). Así, este tipo de análisis se revela como estratégico para el formador de profesores,

dado que permite reflexionar sobre posibles dificultades de aprendizaje (Cohen, 2004), tanto

en el momento de diseño y selección de tareas como en la implementación efectiva en el aula

(Giacomone y Godino, 2016), y gestionar de manera efectiva la dinámica de dichas

affordances.



Badillo, E., Font, V., & Edo, M. (2014). Representaciones matemáticas usadas en la resolución de un problema aritmético de reparto por niños del primer ciclo de primaria. UNO. Revista de Didáctica de las Matemáticas, 65, 59-69.

Cohen, S. (2004). Teachers' professional development and the elementary mathematics classroom: Bringing understandings to light. Nueva Jersey: Routledge.

Font, V., Godino, J. D., & Contreras, A. (2008). From representation to onto-semiotic configurations in analysing mathematics teaching and learning processes. In L. Radford, G. Schubring, & F. Seeger (Eds.), Semiotics in Mathematics Education: Epistemology, History, Classroom, and Culture (pp. 157-173). Rotterdam: SensePublishers.

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Godino, J. D. Batanero, C., & Font, V. (2007). The onto-semiotic approach to research in mathematics education. ZDM The International Journal on Mathematics Education, 39(1-2), 127-135.

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Scaife, M., & Rogers, Y. (1996). External cognition: how do graphical representations work? International journal of human-computer studies, 45(2), 185-213.


CB-421

APLICACIÓN DE LA METODOLOGÍA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA ATENDIENDO A LA DIVERSIDAD EN ESTUDIANTES PARA MAESTROS EN

EDUCACIÓN PRIMARIA

Matías Arce – Laura Conejo – Mª Asunción García-Olivares – Cristina Pecharromán – Tomás Ortega

[email protected] – [email protected] – [email protected] – [email protected] – [email protected]

Didáctica de la Matemática. Universidad de Valladolid (España)

Núcleo temático: IV. Formación del profesorado en Matemáticas Modalidad: CB (Comunicación Breve) Nivel educativo: Formación y actualización docente Palabras clave: Educación atendiendo a la diversidad, metodología, geometría, formación de maestros. Resumo Se describen aquí algunos resultados derivados de la aplicación de la Metodología de Educación Matemática Atendiendo a la Diversidad (García-Olivares, 2008) a un grupo de alumnos universitarios del Grado de Educación Primaria (maestros en formación inicial). Esta metodología se fundamenta en: la creación de grupos de trabajo colaborativos (de 4 a 5 alumnos), el respeto a los ritmos de aprendizaje de los grupos, la propuesta de actividades en orden creciente de dificultad apropiadas a cada grupo y la existencia de un test de autocontrol tras cada actividad. La metodología se implantó en la docencia sobre el contenido de ángulos. El análisis y contraste de los diferentes datos recogidos (observación de las sesiones, resolución de las actividades, prueba de evaluación, valoración de la metodología por los alumnos) y los resultados obtenidos permiten concluir la existencia de un número muy elevado de interacciones en cada grupo y entre los grupos y el docente, y una alta valoración de la metodología por los alumnos. No obstante, la prueba de evaluación evidencia un aprendizaje poco satisfactorio en un número importante de alumnos, lo que motiva una reflexión sobre algunas posibles limitaciones de la metodología en este contexto de implementación. Introducción

En las últimas leyes orgánicas de educación españolas (LOGSE 1/1990, de 3 de octubre;

LOE 2/2006, de 3 de mayo; LOMCE 8/2013, de 9 de diciembre) se concede una importancia

especial al concepto de educación atendiendo a la diversidad. Desde entonces, se han

producido numerosas publicaciones sobre este concepto (por ejemplo, Aldámiz y otros,

2000; Pérez, 2003), pero es complicado encontrar propuestas específicas para aulas de


matemáticas (un ejemplo: De Prada, 2003). La teoría de inteligencias múltiples de Gardner

(2001) ha sido la base de algunas experiencias y estudios para generar actividades

proyectadas a un alumnado diverso (como los de Maker, Rogers, Nielson, & Bauerle, 1996;

Goodnough, 2001; Wu, 2004), pero sin que se ofrezcan pautas claras sobre cómo llevarlas a

la práctica. Mientras tanto, en García-Olivares (2008) se tienen referencias sobre la

diversidad en las aulas, el poco aprovechamiento del tiempo lectivo en las aulas de

Matemáticas, y las diferencias en el aprendizaje y en el estudio de las matemáticas,

destacando el escaso interés que despierta en muchos alumnos y su escaso trabajo personal,

tanto en el aula como en las tareas propuestas para resolver fuera de ella.

Consideramos que educar en la diversidad es asumir que los alumnos presentan múltiples

características diferentes (niveles, inteligencias, actitudes, creencias, esfuerzo,

motivación,…), pero deben educarse juntos, a la vez. Bajo esa premisa, García-Olivares

(2008) diseña y describe una metodología específica de educación matemática atendiendo a

la diversidad (la MEMAD), y contrasta su éxito al aplicarla con alumnos de Enseñanza

Secundaria Obligatoria. En la presente investigación se describen los resultados obtenidos al

aplicar la MEMAD en un contexto diferente, un grupo de alumnos universitarios de 2º Curso

del Grado de Educación Primaria (futuros maestros), dentro de un Proyecto de Innovación

Docente de la Universidad de Valladolid.

Descripción breve de la metodología: MEMAD

La MEMAD se fundamenta en cuatro principios que se consideran complementarios:

1. Se crearán grupos de trabajo colaborativo atendiendo a diversos factores, como el tipo

de inteligencia, las relaciones sociales y el rendimiento académico.

2. Se respetarán los ritmos de aprendizaje de los grupos, de manera que cada grupo

estará realizando la actividad que sea apropiada para él.

3. Se creará un cuadernillo de trabajo con tareas en orden creciente de dificultad, de

manera que haya actividades apropiadas para todos los grupos.

4. Test de autocontrol: Cada tarea cuenta con escalas de 1 a 5 (de muy poco a

muchísimo), en la que los alumnos reflejarán su participación y su aprendizaje.


Cada grupo trabajará en las actividades apropiadas para él, es decir, los más aventajados no

tienen por qué hacer las primeras, y puede haber grupos que no lleguen a las últimas. Cuando

un grupo haya terminado una tarea pasará a la siguiente, procurándose que las tareas

posteriores no necesiten resultados de las anteriores. Las explicaciones generales del docente

serán muy breves (se limitarán a presentaciones), y actuará como monitor a demanda

orientando a los grupos cuando éstos requieran su ayuda. Teniendo presentes estos principios

y consideraciones, la aplicación de la metodología seguirá las cuatro fases descritas por

Baddeley (2003), que favorecen el desarrollo de la memoria:

Presentación: Será muy breve, unos 5 minutos, y estará impresa en el cuadernillo de trabajo.

Junto con las actividades y estará en poder de los grupos antes de la docencia.

Práctica: Los alumnos realizan las actividades en grupo, consultando al profesor cuando

tienen alguna duda. Éste actúa como mediador, interviniendo únicamente cuando se haya

llegado a una situación de bloqueo.

Adaptación: En las actividades propuestas deben existir relaciones con contenidos ya

trabajados, para desarrollar conexiones entre ellos (aunque en muchos casos se evidencie un

pobre conocimiento de estos contenidos, que entorpece las conexiones).

Consolidación: Fase de revisión global de los contenidos trabajados en las fases anteriores.

En esta fase se recomienda que los alumnos resuelvan un problema redactado en el que se

narre una historia que contenga todos los datos necesarios y una serie de tareas derivadas, de

tal forma que cumpla los requisitos de la MEMAD.

Contexto y desarrollo de la implementación. Datos recogidos.

Se implementó la metodología en un grupo de alumnos del Grado en Educación Primaria

(maestros en formación inicial) de la Universidad de Valladolid. El número de alumnos del

grupo era 86. En total se hicieron 18 grupos de trabajo, catorce con cinco estudiantes y cuatro

con cuatro, que se numeraron como G1 hasta G18. Uno de los grupos, el G18, no realizó

todas las actividades y, por tanto, no se tuvieron en cuenta sus aportaciones en el análisis.

Se diseñó un cuadernillo que respondía a las tres primeras fases antes indicadas, para el tópico

de ángulos en el plano y relaciones angulares, dentro de una asignatura de fundamentos y

didáctica de la geometría. El cuadernillo se componía de 16 actividades: algunas


definiciones, enunciados de teoremas y actividades para el establecimiento guiado de los

mismos, y tareas de aplicación. Todos los grupos intentaron cumplimentar todas las

actividades. En el Anexo I se presentan algunos fragmentos del cuadernillo.

Pasados unos días de la entrega del cuadernillo se realizaron tareas de consolidación y una

prueba de rendimiento sobre los contenidos tratados (Anexos II y III). En ella se añadió una

encuesta para que individualmente autoevaluaran su aprendizaje y su participación tanto en

el desarrollo de esta metodología como en el resto de la docencia, en la que se había

practicado una metodología magistral participativa. Así, contamos con los siguientes datos

para analizar la implementación de la MEMAD: los cuadernillos de tareas completados en

cada grupo (junto con las valoraciones grupales del test de autocontrol), la observación de

las clases, la prueba individual posterior sobre el tópico y la encuesta valorando la

implementación de la MEMAD.

Análisis de resultados

La docencia que se llevó a cabo fue excesivamente lenta, prácticamente se dedicó el doble

de horas lectivas que las dedicadas otros años para estos contenidos. Esta lentitud estuvo

motivada por el número tan elevado de interacciones que se produjeron entre el profesor y

los grupos de trabajo, si bien es cierto que el trabajo entre los miembros del grupo fue

continuo y que interaccionaban continuamente. La impresión derivada de la observación es

que el trabajo fue más activo que con otros tipos de docencia.

Se valoró el desempeño de cada grupo en las tareas del cuadernillo, utilizando una valoración

0-10. Se muestran las medias del desempeño para cada actividad en la Figura 1. En general,

la valoración de algunas tareas fue bastante menor de lo esperado para una metodología como

esta porque podían haber preguntado al profesor.


Figura 1. Puntuaciones obtenidas en cada una de las actividades.

En la Figura 2 se representan las puntuaciones medias alcanzadas por cada grupo de trabajo

en las actividades del cuadernillo. En ella se puede observar que la mitad de las medias son

iguales o superiores a 9 (en la escala 0-10), pero otras tantas están en torno a los ocho puntos,

y una de ellas no llega a los siete puntos, lo que supone una oscilación superior al 22% desde

la superior y al 29% desde la puntuación inferior, lo que significa que entre los grupos

existieron diferencias notables.

Mayores diferencias se observan entre las puntuaciones que han obtenido en el cuadernillo

de trabajo y las que alcanzaron en una prueba individual de rendimiento posterior sobre los

mismos contenidos.

Figura 2. Puntuaciones alcanzadas por los grupos en el cuadernillo.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17


En la Figura 3 se muestran conjuntamente las puntuaciones medias alcanzadas por cada grupo

en el cuadernillo (columnas de la izquierda) y la media de los alumnos de ese grupo en la

prueba de rendimiento (columnas de la derecha). En la Figura se observa que las medias en

la prueba fueron inferiores a las valoraciones grupales del cuadernillo en todos los casos, con

únicamente tres grupos donde la media en la prueba fue superior a 7 (G9, G10 y G13). En

tres grupos, dicha media fue inferior a 4 (G2, G4 y G6).

Figura 3. Puntuaciones alcanzadas en el cuadernillo y en la prueba de rendimiento.

Como resumen, la puntuación media de los grupos en el cuadernillo fue de 8’81 puntos en la

escala 0-10, mientras que en la prueba de rendimiento fue de 5’34. Es decir, hubo una

diferencia del 39% entre las puntuaciones en la fase de práctica y adaptación y las

puntuaciones en la prueba posterior sobre el tópico.

La Figura 4 muestra el resumen de resultados en el test de autocontrol en cada una de las

actividades del cuadernillo, en el que los alumnos declararon su participación (barras de color

azul) y aprendizaje desarrollado (barras de color rojo). Las medias fueron altas en ambos

casos, algo más para destacar su participación (4’17 en la escala 1-5, frente al 4’03 para el

aprendizaje desarrollado). En algunas actividades destacó una de las puntuaciones declaradas

frente a la otra: en las actividades 7, 11, 12 y 13 destacó la participación, y en las actividades

14, 15 y 16 (las de la parte final del cuadernillo) destacó la puntuación sobre el aprendizaje

desarrollado. De estas actividades tres (7, 12 y 14) son de tipo teórico, y muy similares. Otras

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17


dos (11 y 13) son de reconocimiento gráfico (similares entre sí) y las dos restantes son de

cálculo de medidas aplicando teoremas de relaciones angulares.

Figura 4. Valoraciones de los alumnos sobre su participación y aprendizaje.

Estas puntuaciones indican que desde la perspectiva de los alumnos la metodología puesta

en práctica puede ser ventajosa, aunque esto contrasta con el desigual rendimiento en la

prueba individual posterior, como hemos comentado previamente. En las Figuras 5 y 6 se

muestran los resultados al comparar la participación y el aprendizaje declarado para ambas

metodologías (MEMAD, barras azules; y la metodología magistral participativa, barras rojas)

en la encuesta valorativa final. Se muestran las medias de los alumnos de cada grupo. La

media de la participación declarada por los alumnos fue superior para la metodología

MEMAD (4’1 frente a 3’3), lo que supone una diferencia apreciable en favor de esta

metodología. Además, como se observa en la Figura 5, dicha media fue mayor o igual en

todos los grupos (existió igualdad en G8, G15 y G17). Del mismo modo, el aprendizaje

declarado por los alumnos fue superior en el caso de la metodología MEMAD, aunque con

una diferencia menor a la participación (3’9 frente a 3’4). En este caso, y como se observa

en la Figura 6, en muchos de los grupos la media del aprendizaje declarado fue superior para

la MEMAD, aunque hubo cuatro grupos con igualdad en la valoración (G7, G8, G15 y G16)

y uno, G13, donde la metodología magistral participativa fue mejor valorada en términos de

aprendizaje.

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

5,0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17


Figura 5. Participación declarada de los alumnos en ambas metodologías

Figura 6. Aprendizaje declarado por los alumnos para ambas metodologías

Discusión de resultados

Desde la perspectiva de los alumnos se podría asegurar que aprecian esta metodología,

creyendo que su participación en la docencia es mayor que con otras metodologías, también

creen que se producen mayores aprendizajes, creencias que están de acuerdo con los

resultados encontrados por García-Olivares y Ortega (2014). Además, el número de

interacciones entre y con los alumnos fue muy alto durante la implementación de la

MEMAD, casi se puede afirmar que es continuo. Sin embargo, en la experimentación

descrita, el tiempo dedicado a la implementación fue excesivo, en relación a otras

metodologías. Este hecho sólo es achacable al número tan excesivo de alumnos que

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17


componen el grupo. Al tener un grupo aula de 86 alumnos, y un total de 18 grupos de trabajo,

la cantidad de alumnos y grupos provoca una continua demanda de monitorización al

docente, y una espera en algunos grupos hasta esperar su turno, lo que repercute en una

atención precaria, en una enorme ralentización de la docencia y, consecuentemente, un

desequilibrio en el desarrollo curricular. Así, el elevado número de estudiantes supone un

aspecto limitante muy importante para esta metodología, en comparación con su aplicación

en Secundaria (García-Olivares, 2008), lo que también nos hace pensar en la introducción de

otros posibles cauces de monitorización que puedan ayudar a subsanar esta circunstancia.

Agradecimientos

Este trabajo forma parte de un Proyecto de Innovación Docente titulado “Metodología de

Educación Matemática Atendiendo a la Diversidad. Aplicación a la docencia de Ángulos”,

aprobado y apoyado económicamente por la Universidad de Valladolid.


Aldámiz, M. M. y otros (2000). ¿Cómo hacerlo? Propuestas para educar en la diversidad. Barcelona: Graó.

Baddeley, A. (2003). Memoria Humana: Teoría y Práctica. Madrid: McGraw-Hill /Interamericana de España.

De Prada, M. D. (2003). Marco metodológico para la atención a la diversidad: una experiencia en el aula de Matemáticas. Revista de Educación, 330, 419-447.

García-Olivares M. A. (2008). Educación matemática atendiendo a la diversidad. Análisis de una metodología específica. Tesis doctoral no publicada. Universidad de Valladolid.

García-Olivares, M. A. y Ortega, T. (2014). Diversidad en las aulas de ESO: test de autocontrol. En C. Fernández y J. L. González (Eds.), Aprendizaje y razonamiento matemático (pp. 187-213). Málaga, Universidad de Málaga.

Gardner, H. (2001). La inteligencia reformulada: las inteligencias múltiples en el siglo XXI. Barcelona: Paidós.

Goodnough, K. (2001). Enhancing Professional Knowledge: A Case Study of an Elementary Teacher. Canadian Journal of Education, 26(2), 218-236.

Ley Orgánica 1/1990, de 3 de octubre, de Ordenación General del Sistema Educativo. Boletín Oficial del Estado, 4 de octubre de 1990, nº238, pp. 28927-28942.

Ley Orgánica 2/2006, de 3 de mayo, de Educación. Boletín Oficial del Estado, 4 de mayo de 2006, nº106, pp. 17158-17207.

Ley Orgánica 8/2013, de 9 de diciembre, para la mejora de la calidad educativa. Boletín Oficial del Estado, 10 de diciembre de 2013, nº295.


Maker, C. J., Rogers, J. A., Nielson, A. B., & Bauerle, P. R. (1996). Multiple intelligences, problem solving, and diversity in the general classroom. Journal for the Education of the Gifted, 19(4), 437-460.

Pérez, L. F. (2003): El aula inteligente y la atención a la diversidad. En F. Segovia (Ed.), El aula inteligente. Nuevas perspectivas (pp. 75-100). Madrid: Espasa.

Wu, W. (2004). Multiple intelligences, educational reform, and a successful career. Teachers College Record, 106(1), 181-192.

ANEXOS DE LA PROPUESTA: APLICACIÓN DE LA METODOLOGÍA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA ATENDIENDO A LA DIVERSIDAD EN

ESTUDIANTES PARA MAESTROS EN EDUCACIÓN PRIMARIA

Matías Arce – Laura Conejo – Mª Asunción García-Olivares – Cristina Pecharromán – Tomás Ortega

[email protected] – [email protected] – [email protected] – [email protected] – [email protected]

Didáctica de la Matemática. Universidad de Valladolid (España)

Núcleo temático: IV. Formación del profesorado en Matemáticas Modalidad: CB (Comunicación Breve) Nivel educativo: Formación y actualización docente Palabras clave: Educación atendiendo a la diversidad, metodología, geometría, formación de maestros. Anexo I

Se reproducen a continuación algunas actividades del cuadernillo de trabajo (actividades 11

a 16, correspondientes a actividades guiadas sobre el establecimiento de los teoremas del

ángulo interior y exterior), junto con el test de autocontrol.

TEOREMA DEL ÁNGULO INTERIOR

La amplitud del ángulo interior es la semisuma de los dos

centrales correspondiente

Un ángulo interior, α, tiene un ángulo opuesto por el vértice, β,

(α=β) que también es interior. Los lados de estos dos ángulos

determinan dos centrales de arcos, ϕ y θ.

11. Señala en la figura adjunta los dos centrales determinados por los dos ángulos

interiores

He aprendido: 1 2 3 4 5 He colaborado: 1 2 3 4 5


12. ¿Cómo son los ángulos α oβ respecto del triángulo VAB? ¿A qué es igual α?

α=β=


El ángulo α es exterior del triángulo VAB y, por tanto, por el teorema del ángulo exterior

α=δ+ε. Además, por el teorema del ángulo inscrito, δ=ϕ/2 y ε=θ/2. Por tanto,

α=δ+ε=ϕ/2+θ/2=(ϕ+θ)/2.

TEOREMA DEL ÁNGULO EXTERIOR

La amplitud del ángulo exterior es la semidiferencia de

los dos centrales correspondientes.

Los lados del ángulo exterior contienen a cuerdas de la

circunferencia o son tangentes a ella. Por tanto,

determinan dos arcos de circunferencia y, por tanto dos

ángulos centrales.

13. Identifica los ángulos centrales que determina el ángulo exterior α de la figura

adjunta


14. ϕ en un ángulo exterior del triángulo ABC. Por tanto, ϕ=α+θ y, entonces α=ϕ-θ.

Fíjate en los ángulos ϕ y θ y escribe qué tipo de ángulos son respecto de la circunferencia y

cuáles son sus centrales correspondientes:

ϕ es un ángulo . . . . . . . . . . . . . y su central correspondiente es . . . . Por tanto, ϕ=

θ es un ángulo . . . . . . . . . . . . . y su central correspondiente es . . . . Por tanto, θ=

Sustituyendo en α=ϕ-θ, se obtiene α= . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . .


15. Un ángulo de 64º tiene sus lados tangentes a una circunferencia. ¿Cuánto mide el

menor de los arcos en que los puntos de tangencia dividen a la circunferencia?



16. Se divide una circunferencia en 15 partes iguales y se numeran los puntos de división

consecutivamente. Halla el ángulo que forma la recta 1-7 (recta que pasa por los puntos 1 y

7) con la 1-9. Misma pregunta con las rectas 1-4 y 7-9.


Anexo II

En este anexo, y a modo de ejemplo, se reproduce el enunciado de tres actividades de

consolidación de entre las que se propusieron.

Ejemplo 1: En el gráfico de la derecha se

conoce que AC es un diámetro y O su punto

medio, que BDC=20º y que BEC=50º. Halla

razonadamente la medida de los tres ángulos

interiores del triángulo CBA.

Ejemplo 2: Sabiendo que BH es una altura del triángulo ABC, que el centro de la

circunferencia circunscrita está en el lado AC y que el ángulo BAC=72º 46´, calcula la

amplitud de cada uno de los ángulos siguientes: ABH, HBO, BOH, BOC, OCB y OBC.

Ejemplo 3: Arco capaz es el lugar geométrico de los puntos del plano desde los cuales se ve

a un segmento dado, AB, con un mismo ángulo, α. Es el arco formado por el lugar geométrico

de los puntos tales que su ángulo inscrito mide α. Construir el arco capaz formado por los

puntos desde los que se ve un segmento de 3 cm con 30º.

Anexo III

Se reproduce la prueba de rendimiento individual sobre los contenidos tratados (ángulos y

relaciones angulares), junto con la encuesta de autoevaluación de su aprendizaje y

participación con ambas metodologías:

A

B

CO

DE

F


Prueba de rendimiento

1. Haz un dibujo y enuncia el teorema del ángulo semiinscrito.

2. Demuestra el teorema del ángulo interior.

3. Considera la figura adjunta y calcula la amplitud del ángulo α

sabiendo que β=35°43’ y que AC es un diámetro.

Encuesta de autoevaluación

En los siguientes ítems, marca un valor en la escala 1 (muy poco) – 5 (muchísimo) para

valorar tu aprendizaje y participación.

Ítem 1. En las clases del cuadernillo he aprendido: 1 2 3 4 5

Ítem 2. En las clases del cuadernillo he participado: 1 2 3 4 5

Ítem 3. En las clases sin el cuadernillo he aprendido: 1 2 3 4 5

Ítem 4. En las clases sin el cuadernillo he participado: 1 2 3 4 5


CB-423

DEMONSTRAÇÕES EM GEOMETRIA NOS LIVROS DIDÁTICOS DO ENSINO MÉDIO

Lucas Carato Mazzi

[email protected] Universidade Estadual de Campinas – UNICAMP/Brasil

Núcleo temático: Recursos para la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas Modalidad: CB Nivel educativo: Terciario o Bachillerato (16 a 18 años) Palabras clave: livros didáticos; geometria; demonstrações Resumo O Programa Nacional do Livro Didático (PNLD) foi instituído em 1985 pelo Ministério da Cultura. Esse programa tem como objetivo avaliar, comprar e distribuir livros didáticos para todos os alunos das escolas públicas brasileiras. O programa foi se desenvolvendo desde sua criação, conseguindo abranger todos os níveis escolares. Sendo uma medida relativamente nova, é necessário que sejam incentivadas discussões sobre a estrutura do programa, além de investigações sobre os livros aprovados no mesmo, de modo a buscar melhorias em seu funcionamento. Recentemente os livros didáticos começaram a ganhar espaço na comunidade da Educação Matemática, sendo criadas conferências específicas nesta temática. Desse modo, o trabalho aqui apresentado possui como objetivo principal exibir um panorama geral de quatro das seis coleções de livros didáticos de matemática aprovados pelo PNLD – Ensino Médio de 2015, no que diz respeito à presença de demonstrações nos capítulos de geometria. Para tal, apresentarei um breve histórico das políticas públicas brasileira acerca dos livros, seguido de uma rápida discussão metodológica. Os dados informam que em todas as coleções analisadas, as demonstrações estão presentes, no entanto em quantidades e modos distintos – uns autores utilizam mais a abordagem visual, enquanto outros defendem e utilizam com mais frequência o método dedutivo. Introdução

A presença dos livros didáticos em território brasileiro tem uma data quase tão antiga quanto

ao descobrimento do Brasil. Em 1699, para solucionar o problema de possíveis ataques às

terras brasileiras, Portugal decidiu criar as chamadas Aulas de Artilharia de Fortificações,

cujo objetivo era a formação de militares, a construção de fortes e o manuseio de artilharias.

Um dos professores desses cursos foi o Brigadeiro Fernandes Pinto Alpoim (1700-1765), que

segundo Valente (2008, 141), “escreveu dois livros que se tornaram, ao que tudo indica, os


primeiros livros didáticos de matemática escritos no Brasil: Exame de Artilheiros e Exame

de Bombeiros, em 1744 e 1748”.

Percebe-se, então, que a Matemática como disciplina no Brasil está interligada ao uso de

materiais didáticos desde os primórdios. Valente (2008, p.141) afirma que “talvez seja

possível dizer que a Matemática se constitua na disciplina que mais tem sua trajetória atrelada

aos livros didáticos”.

A relevância dos livros no Brasil pode ser percebida novamente na década de 30, com a

instituição da Comissão Nacional do Livro Didático (CNLD), que estabelecia condições para

a produção, importação e utilização do livro didático – Decreto Lei 1006, 30/12/1938 –

(Brasil, 1938). Com o passar dos anos, o governo desenvolveu diversas políticas públicas

acerca do livro didático, até chegar na criação do Programa Nacional do Livro Didático

(PNLD), em 1985 – em vigor até hoje.

O PNLD tem como objetivo principal distribuir às escolas públicas de todos os níveis livros

didáticos, obras literárias e dicionários. Inicialmente se faz uma avaliação de os resultados

da comissão avaliadora, organiza-se a aquisição e a distribuição, universal e gratuita, dos

mesmos para os alunos das escolas públicas brasileiras. Com o aumento das produções dos

livros didáticos, estes se tornaram foco de pesquisas nas mais diversas áreas do

conhecimento, em especial na Educação Matemática.

Em âmbito internacional, o livro de matemática também começou a ganhar destaque como

objeto de investigação. Apesar de crescente o número de pesquisas, o estudo sobre livros

didáticos ainda se encontra em um estágio inicial de desenvolvimento (Fan 2013), tendo

espaço amplo para novas pesquisas e discussões.

Dentro desse leque de possibilidades que o livro didático nos possibilita, optei, então, por

investigar de que modo as demonstrações matemáticas são apresentadas pelos livros

didáticos do Ensino Médio aprovados pelo Plano Nacional do Livro Didático.

Metodologia

A abordagem metodológica utilizada no desenvolvimento dessa pesquisa é a qualitativa,

visto que meu intuito é construir uma interpretação sobre as diferentes demonstrações dos

livros. Mais especificamente, considero que essa seja uma pesquisa do tipo documental, dado

que a fonte de dados é composta por documentos – livros didáticos.


Segundo Godoy (1995), devido ao fato de a pesquisa qualitativa possuir um caráter mais

flexível, faz-se possível utilizar uma abordagem qualitativa na investigação de documentos

técnicos – no caso os livros didáticos – de modo a elaborar uma interpretação sobre os

mesmos. A autora defende que

a pesquisa documental representa uma forma que pode se revestir de um caráter inovador, trazendo contribuições importantes no estudo de alguns temas. Além disso, os documentos normalmente são considerados importantes fontes de dados para outros tipos de estudos qualitativos, merecendo, portanto, atenção especial (GODOY, 1995, p. 21).

Ainda, a autora afirma que um dos pontos positivos de se trabalhar com esse tipo de pesquisa

se dá ao fato da imutabilidade dos dados, ou seja, mesmo após longos períodos, os dados

continuarão do mesmo modo, visto que são “dados estáveis”.

No caso dessa pesquisa, a fonte de dados utilizada é composta por quatro, dentre as seis

coleções aprovadas pelo PNLD no ano de 2015, último edital direcionado ao Ensino Médio,

são elas:

1.

2. Matemática: Contexto & Aplicações

3. Matemática: Ciências e Aplicações

4. Matemática Ensino Médio

5. Novo Olhar Matemática

Cada uma dessas coleções é formada por três livros cada, sendo que cada volume é

direcionado para cada ano do Ensino Médio, ou seja, foram analisados ao todo 12 livros

didáticos.

Discussão dos dados

Analisando os 12 livros aprovados pelo PNDL, primeiramente elaborei uma tabela que

quantificasse as demonstrações em cada uma das coleções, de modo a obter um panorama

geral dos volumes. A tabela abaixo sintetiza as informações encontradas a respeito da

presença da demonstração em capítulos de Geometria.


Tabela 1 - Demonstrações nos livros do Ensino Médio

COLEÇÃO QUANTIDADE DE DEMONSTRAÇÕES

Matemática: Contexto & Aplicações 54

Matemática: Ciências e Aplicações 97

Matemática Ensino Médio 35

Novo Olhar Matemática 32

Fonte: Arquivo Pessoal (2017)

É possível perceber que há uma diferença razoável entre a coleção Matemática: Ciências e

Aplicações e as demais, apresentando uma quantidade maior no número de demonstrações

realizadas. Além desse fator quantitativo, essa é a única coleção que apresenta uma rápida

nota acerca do que se entende por demonstração, como vemos no trecho a seguir.

“Na Matemática nem tudo se manifesta de maneira imediata. Existem situações em que é necessário comprovar a veracidade de alguma proposição, ideia ou teoria. Para que isso seja possível, são considerados alguns princípios chamados axiomas, que são reconhecidos como verdadeiros, ou, então, proposições que já foram comprovadas como verdadeiras. Por meio da dedução e do raciocínio lógico, é elaborado um método que torne visível ou de fácil percepção a veracidade do que se está questionando. Esse processo de dedução e investigação foi introduzido por Aristóteles (384 a.C. – 322 a. C.) e ficou conhecido como demonstração” (Iezzi et al, p. 48).

A partir desse trecho, nota-se que o autor estava preocupado em apresentar, mesmo que de

forma simplista, um possível significado do termo demonstração, fato que não ocorre em

todas as coleções. No entanto, o conceito demonstração vai um pouco além do discutido.

De acordo com Hanna (1983, p. 3), o termo prova rigorosa é entendido como uma

demonstração em lógica ou em matemática que satisfaz duas condições: “primeiramente,

cada definição, suposição e regra de inferência, apontada na prova foi, ou poderia ser

explicitamente afirmada. Em segundo lugar, cada passo na cadeia de deduções que constitui

a prova é explicitado”.


Essa autora ainda afirma que um sistema axiomático compreende um número de axiomas

(sentenças aceitas sem demonstrações), uma ou mais regras de inferências e alguns teoremas.

A demonstração em tal sistema é, então, a derivação de um teorema a partir de axiomas, de

forma direta ou a partir de outros teoremas, usando apenas regras de inferência. A prova cria

uma cadeia linear de resolução, com início nos axiomas e término no teorema. Em outras

palavras,

Uma demonstração em S (um sistema formal, pensado como uma linguagem, um conjunto de sinais e um conjunto de regras para a manipulação de sinais) é uma sequência finita não vazia de sentenças de S tal que cada uma delas é um axioma ou uma consequência imediata, por regras de inferências admitidas em S, de duas sentenças anteriores na sequência. Um teorema de S é uma sentença A de S tal que existe uma demonstração em S onde A é a última sentença da sequência (Garnica, 1995, p.11).

Tendo em vista essas definições de Hanna e Garnica, será que os livros didáticos seguem

exatamente essas premissas ao tratar sobre demonstrações? Será que há diferentes modos de

se demonstrar, além do método dedutivo explicitado acima? Com base nos livros, é possível

perceber que há diferentes tipos de provas em uma mesma coleção.

Na figura 1, pode-se observar uma demonstração que utiliza o método axiomático como fundamentação.

Nela, apresenta-se claramente as premissas do problema, assim como quais postulados 25foram utilizados

para que o resultado fosse alcançado.

25 Na página anterior ao teorema, o autor apresenta alguns postulados. Na resolução dessa prova, ele recorre aos seguintes: Postulado 1: Dados dois pontos distintos do espaço, existe uma, e somente uma, reta que os contém. Postulado 2: Dados três pontos colineares do espaço, existe um, e somente um, plano que os contém. Postulado 3: Se uma reta possui dois de seus pontos em um plano, ela está contida no plano.


Figure 1 - Demonstração em um sistema formal

Fonte: Dante (2013, p. 180).

Já na figura 2, nota-se um caráter mais exploratório e intuitivo. Ao invés de utilizar o método

dedutivo para demonstrar a famosa Relação de Euler, o autor optou por apresentar três

exemplos de poliedros convexos (hexaedro, pentaedro e dodecaedro) e, a partir de

informações dos mesmos (quantidade de vértices, faces e arestas), mostrou que a relação � +� = � + 2 é válida para os três casos. Tendo como base esses exemplos, o autor generalizou

a ideia para qualquer poliedro convexo.


Figure 2 - Relação de Euler

Fonte: Souza (2013, p.73)

Acredito que o caráter exploratório é de grande relevância na Matemática e que, dependendo

do nível escolar, apresentar uma demonstração formal não seria a melhor opção. Só considero

necessário que, ao generalizar uma relação desse modo, seja interessante que o autor tome o

cuidado de apresentar uma discussão de que existe uma prova rigorosa para tal resultado e

que, no entanto, não será apresentada naquele momento. Contribuindo, assim, com a

discussão dos diferentes tipos de raciocínios existentes na Matemática.


Nos livros didáticos investigados, pode-se perceber que os autores optaram por utilizar

diferentes modos para apresentar as provas no decorrer de seus livros. Em uma mesma

coleção é possível encontrar provas rigorosas, de acordo com a definição de Hanna; provas

de caráter exploratório, como apresentado na figura 2, além de provas baseadas em aspectos

visuais.


Todos esses modos de discutir as justificativas da Matemática são válidos e devem ser

utilizados e variados no decorrer dos anos escolares, com o intuito de apresentar ao aluno

que não existe uma única forma de raciocínio dentro dessa disciplina.

Independente da abordagem que se utilize, considero que os livros falham no sentido de

promover uma discussão mais aprofundada do que seria a demonstração. Considero que esse

é um conceito fundamental na Matemática e que, muitas vezes, é um tanto quanto obscuro

para o aluno, não possuindo uma significação. Desse modo, defendo que, mesmo no Ensino

Básico, sejam discutidas as funções que as demonstrações possuem dentro desse campo e

qual a importância em utilizá-las.

Referencias

BRASIL. (1938). Decreto que estabelece as condições de produção, importação e utilização do Livro Didático. http://www2.camara.leg.br/legin/fed/declei/1930-1939/decreto-lei-1006-30-dezembro-1938-350741-publicacaooriginal-1-pe.html. Consultado 23/04/2017.

Dante, L. R. (2013). Contextos & Aplicações. São Paulo: Ática.

Fan, L. (2013). Textbook Research as Scientific Research: Towards a Common Ground on Issues and Methods of Research on Mathematics Textbooks. ZDM Mathematics Education 45, 765–77.

Garnica, A. V. M (1995). Fascínio da técnica declínio da crítica: um estudo sobre a prova rigorosa na formação do professor de Matemática. 1995. 258 f. Tese (Doutorado em Educação Matemática) – Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Rio Claro.

Godoy, A. S. (1995). Pesquisa Qualitativa: Tipos Fundamentais. Revista de Administração

de Empresas 35 (3), 20–29.

HANNA, G. Rigorous proof in mathematics education. Toronto: Oise Press, 1983.

Souza, J. R. (2013). Novo Olhar Matemática. São Paulo: FTD.

Valente, W. R. 2008. “Livro Didático e Educação Matemática: Uma História Inseparável. ” Zetetiké 16 (30), 139–162.


CB-424 O INÍCIO DAS AVALIAÇÕES OFICIAIS DE LIVROS DIDÁTICOS NO BRASIL:

O CASO DAS OPERAÇÕES DE ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO

Danielly Kaspary – Marilena Bittar [email protected] – [email protected]

Universidade Federal do Mato Grosso do Sul - Brasil Núcleo temático: Enseñanza y aprendizaje de la Matemática en las diferentes modalidades y niveles educativos. Modalidad: CB Nivel educativo: Primário Palabras clave: Campo Aditivo; Teoria Antropológica do Didático; Programa Nacional do Livro Didático – PNLD. Resumo Políticas públicas voltadas aos livros didáticos têm feito história na educação brasileira. São mais de 80 anos de ações específicas do Estado para a compra, o uso e a distribuição desses materiais para as escolas públicas do país. E, em 1994, tem-se a apresentação do documento oficial Definição de Critérios para Avaliação dos Livros Didáticos, que marca o início das avaliações de livros didáticos pelo governo brasileiro, que acontecem ainda nos dias de hoje pelo Programa Nacional do Livro Didático. Quis-se, naquele momento, detectar as falhas mais graves dos textos de Matemática destinados aos anos iniciais e construir parâmetros que definiriam um bom livro didático em vistas de pesquisas em Educação Matemática. Esse artigo resulta do estudo desse documento, com foco nas propostas para o ensino das operações de adição e subtração. A intenção é de imaginar como eram algumas das principais obras antes do então processo avaliativo, o que será feito por meio dos discursos da própria noosfera. A Teoria Antropológica do Didático, por meio das noções de praxeologia, transposição didática, assujeitamento entre instituições e níveis de co-determinação, nos dá a fundamentação teórica para essa discussão.

Apresentação

O estudo de condições e restrições para que um determinado saber viva em uma

instituição está no âmago do interesse da Didática26 (Chevallard, 2011). Em meio aos

interessados, somos aquelas particularmente curiosas sobre os saberes que habitam os livros

didáticos brasileiros.

26 Didática como ciência e campo de pesquisa.


No Brasil, há mais de duas décadas os livros didáticos são submetidos periodicamente

a um processo avaliativo e apenas os aprovados podem ser adquiridos sem restrição pelas

escolas públicas. Nesse texto, decidimos apresentar nossa leitura sobre o documento oficial

‘Definição de Critérios para Avaliação dos Livros Didáticos’, que expõe os resultados da

primeira avaliação realizada pelo Estado brasileiro e que marca o início dos processos

avaliativos no país. Nosso foco será particularmente sobre as operações de adição e

subtração.

Consideramos que o fato de as coleções serem avaliadas e subordinadas a critérios

avaliativos pré-definidos, constrói uma relação de assujeitamento entre instituições,

especialmente entre o Programa oficinal responsável pela avaliação (PNLD – Programa

Nacional do Livro Didática) e os livros didáticos. Sabendo do papel que o livro didático

exerce sobre a realidade brasileira, consideramos ainda que essa avaliação é uma variável a

ser indicada no estudo da transposição de um saber e no estudo dos níveis de co-

determinação27 (Chevallard, 2011)

Assumiremos, nesse texto, uma apresentação descritiva de alguns elementos que

percebemos no estudo do referido documento oficial. Trata-se de um primeiro passo para a

compreensão dessa avaliação sobre os livros didáticos atuais e o amadurecimento de algumas

discussões teóricas. Alguns conceitos teóricos serão explicados em notas de rodapé, se

necessário.

O que um documento oficial tinha a dizer sobre as operações de adição e subtração em

livros didáticos dos anos iniciais em 1994?

Com o estudo do documento oficinal que apresenta a primeira avaliação de livros

didáticos brasileiros em 1994, elencamos cinco aspectos recorrentes nos textos de análise

sobre as operações de adição e de subtração.

Assumimos o risco da possibilidade de construirmos uma versão caricata das

27 Chevallard (2002) teoriza a respeito dos níveis de determinação didática para discutir a transposição do saber entre diferentes níveis, como a sociedade, a escola, a pedagogia... até o sujeito que aprende. Desse modo, diferentes fatores que regulam um certo processo educacional são considerados.


propostas de ensino da época ao buscarmos imaginar como eram esses materiais, mas

consideramos importante essa construção. Caricaturas colocam em evidência os traços mais

intensos de uma face e, no nosso caso, reforçam aquilo que parte da noosfera28 tinha a dizer

sobre as obras analisadas, o que consideramos importante para compreender como os livros

brasileiros se constituem atualmente.

A seguir, apresentamos brevemente esses cincos aspectos.

1) Situações utilizadas para o estudo das operações e o papel do aluno no processo de

resolução de problemas

São poucas as coleções analisadas que não ganharam na redação de sua análise o

atributo de apresentarem as quatro operações rigidamente. O que indica se tratar de uma

abordagem que: compartimenta o estudo de cada uma das quatro operações; valoriza o ensino

de propriedades e de técnicas canônicas de resolução; desconsidera a pluralidade de tipos de

tarefas29 que permitem dar sentido às operações; e atribui um papel passivo ao aluno frente

ao estudo. Falaremos com mais detalhes sobre esses aspectos a seguir.

É nesse cenário que listas de exercício que colocam em prática uma mesma operação

estão presentes na maior parte das obras. Algumas dessas listas recebem títulos ou estão em

capítulos nomeados com a operação que as resolvem. Além disso, o vocabulário pouco

criativo e a ordem das palavras na apresentação das situações são características também

destacadas pela avaliação. Observa-se, nesse contexto, incentivo para seguir instruções e

mecanizar procedimentos. O que é evidenciado também pelo desprezo a estratégias

espontâneas, pessoais e usuais dos alunos em virtude da apresentação de técnicas operatórias

sistematizadas por meio de passos, com excesso de particularidades, que dificultam a

elaboração de regras. As propostas são, salvo algumas tentativas de contextualização,

28 Noosfera é um conceito discutido no âmbito da Teoria Antropológica do Didático (Chevallard, 2002) e em estudos sobre Transposição didática, que consiste, em síntese, na parte da sociedade que têm certo poder de legitimar escolhas voltadas ao sistema de ensino. 29 Na Teoria Antropológica do Didático, uma atividade matemática nasce de uma situação a ser resolvida, chamada tarefa (t). Um tipo de tarefa é um conjunto de tarefas sensivelmente próximas. Para essa tarefa, maneiras diferentes de resolução podem ser empregadas; tais estratégias recebem o nome de técnica (�). (Chevallard, 1998)


distantes das experiências do aluno. Sobre a variedade de situações, observa-se em algumas

coleções uma supervalorização da ideia de juntar e da ideia de retirar.

As ilustrações, utilizadas para representar as situações, também foram alvo de análise.

Tais ostensivos30 e o modo como são dispostos refletem a operação a ser realizada e por isso

tornam-se uma variável representativa para o estudo das operações. Essa característica traz

ainda mais prejuízo quando se observa casos em que as figuras utilizadas não colaboram com

a compreensão do processo operatório. A exemplo:

Ainda no livro da 1ª série. p. 83, atividade 4, encontramos um dado mostrando cinco, outro mostrando dois e mais um mostrando três, e as autoras pedem para que se escreva a "(...) sentença matemática que os dados indicam". Aparentemente, as autoras desejam que o aluno escreva 2 + 3 = 5. mas a situação, como apresentada, com dados, não conduz a esta interpretação. (BRASIL, 1994, p. 158)

No entanto, positivamente é destacado em algumas poucas obras o uso de atividades

que permitem mais de uma resposta, como a questão “Como você trocaria 100 cruzeiros?”

(BRASIL, 1994, p. 172). Representações diferentes de um mesmo número, por meio de

várias composições, também aparecem em alguns momentos.

2) A avaliação de 1994 tenta enterrar de vez o Movimento Matemática Moderna

Observou-se que as obras ainda carregavam vários legados provenientes do

Movimento Matemática Moderna. O empenho em fazer uso de ideias e ostensivos próprios

da Teoria dos Conjuntos é recorrente nesses materiais. Essa forte herança recebeu críticas

duras ao longo de todo o documento. Ilustraremos essa característica explicitando

brevemente alguns exemplos a seguir.

Tarefas de contagem habitualmente estão presentes entre os primeiros contatos

formais e informais do princípio aditivo de somar de um em um. A essas tarefas, nas obras,

é incorporada outras noções, como a de conjunto e a de numeral. O uso do ostensivo

diagrama, classicamente usado para representar conjuntos, é marca emblemática também

nessas tarefas.

30 Os ostensivos são os objetos que têm alguma forma física e por isso podem ser manipulados, sentidos e observados. (Chevallard, 1994).


Observa-se ainda a intenção de estabelecer relações entre operações entre conjuntos

e operações entre números, como ao relacionar o conceito de união de conjuntos com a

operação de adição. Nesse caso, equivocadamente, nada é mencionado sobre a necessidade

de que os conjuntos sejam disjuntos para que a relação seja válida. No trecho a seguir, além

de retomar o que já foi aqui mencionado, outras críticas são mencionadas:

Embora os textos já estejam abandonando os exageros sobre a teoria dos conjuntos existentes há alguns anos, muitos deles ainda apresentam uma ênfase inútil sobre este assunto. Em verdade, no primeiro grau, sua linguagem é totalmente dispensável. A abstração de conceitos como o de conjunto vazio não torna esta linguagem apropriada à maturidade dos alunos. Por outro lado, o emprego de conceitos mais simples, como o de união de conjuntos não tem nenhuma utilidade essencial. Somente no fim do século XIX é que o homem estabeleceu explicitamente a conexão entre o processo de contagem e a teoria dos conjuntos. (BRASIL, 1994, p. 58)

O efeito do Movimento Matemática Moderna naquelas obras estão presentes também

em outras situações. Nos textos de análise das 16 obras avaliadas, raríssimos são aqueles que

não indicam explicitamente o uso da distinção feita entre número, numeral e algarismo. Os

constantes equívocos no uso desses conceitos e a inutilidade de se propor o ensino dessas

diferenças são insistentemente postos no documento para indicar a eliminação futura de tal

estudo, que é sugerida mais de uma vez no texto. Observa-se que a diferença entre esses

conceitos é sútil e inatingível aos alunos do primeiro grau. Com a intenção de reforçar o

desejo da equipe para a mudança dessa abordagem, trazemos o seguinte recorte:

Ainda como resquício do movimento da Matemática Moderna, assinalamos a distinção danosa entre número e numeral. Em Matemática não se compara, não se ordena, nem se opera com numerais mas com números. [...] Essa questão bizantina colocada na época da Matemática Moderna deve ser rigorosamente banida dos textos didáticos. É um absurdo que hoje nossas crianças ainda tenham que estudar em livros com este tipo de erro. (BRASIL, p. 1994, p. 174)

3) Algumas técnicas algébricas já viveram nos primeiros anos do ensino fundamental

Embora há quem chame de pré-álgebra ou pensamento algébrico algumas atividades

que motivam elaborações de padrões, nos parece ser consenso que a álgebra propriamente

dita não deve viver nos anos iniciais. Certas disso fomos surpreendidas diante de algumas

atividades presentes em livros didáticos avaliados em 1994. Trazemos aqui somente os

exemplos mais emblemáticos onde há, de maneira evidente, o uso de linguagem e recurso


algébrico para resolver sentenças matemáticas, chamadas também hoje no 7º ano do ensino

fundamental brasileiro de equações algébricas.

Tomando a ideia de operação inversa, observam-se intenções de elaborar técnicas

algébricas para se descobrir um determinado valor desconhecido de uma igualdade. Em

alguns casos, um desenho que lembra um quadrado representa a incógnita a ser encontrada.

Ostensivamente ou por meio de discursos como “+ fica –“ e “ – fica +”, observa-se a

operacionalização clássica de “passar o desenho do quadrado para o outro lado da

igualdade com o sinal trocado”.

Já em uma determinada coleção o x, tradicionalmente usado como incógnita, é

explicitamente mobilizado no lugar do desenho do quadrado. Nessa mesma obra, letras

também são usadas para evocar propriedades e para descrever técnicas operatórias. Vale

comentar que esse tipo de tratamento algébrico para o estudo proposto não é exclusividade

de uma única coleção. Essa escolha matemática e didática recebe duras críticas pela

avaliação.

Se folhearmos alguns livros didáticos dos anos iniciais mais recentes, a fim de

realizarmos uma breve comparação, perceberemos que as tarefas mobilizadas nesse estudo

estão igualmente presentes em propostas atuais. São as técnicas mobilizadas que tornam o

estudo diferente. O que hoje se propõe aritmeticamente, antes era feito por técnicas

rebuscadas de artimanhas algébricas. Essas últimas, mais sofisticadas, mobilizam ostensivos

que permitem por em prática técnicas mais generosas31. São elas que ganham campanha

negativa nesse primeiro documento avaliativo. Hoje, elas não vivem mais nos anos iniciais e

se fazem presentes de maneira muito naturalizadas em outros níveis de ensino.

4) Propriedades da operação de adição

Nesse momento do texto, já deve ser fácil prever o tratamento dado às propriedades

da operação de adição. A valorização pelo formalismo coloca em ênfase as propriedades de

comutatividade, elemento neutro, fechamento e associatividade da adição. Em muitos casos

elas são precocemente institucionalizadas, por meio de apenas um exemplo para,

31 São aplicáveis a um universo bastante amplo de tarefas.


posteriormente, serem mobilizadas em atividades de fixação. A tentativa de aceitação com

que o aluno é colocado frente às propriedades é insistentemente questionada no documento.

O tratamento algébrico também está presente no estudo dessas propriedades.

Essas críticas lançadas pela equipe de avaliação revela o desejo de mudança da ênfase

desnecessária32 dada às propriedades de adição.

5) Algumas outras considerações sobre linguagem

Abrimos mais esse espaço para apresentar outros aspectos que não foram possíveis

de serem abordados nos tópicos anteriores.

Questões ligadas à linguagem aparecem em critérios avaliativos utilizados nessa

avaliação. Por meio deles analisa-se a utilização de diferentes formas de representação, o

respeito às normas linguísticas, a progressão da complexidade e a acessibilidade do aluno aos

diferentes registros. Com a avaliação, vários problemas foram observados:

Causou também preocupação a forma na qual os textos são apresentados: há imprecisão de linguagem, falta de clareza, dificultando a interpretação, pelo aluno, das instruções escritas e dos textos explicativos, desenvolvendo assim uma atitude de passividade frente à informação escrita. Há falta de graduação quanto à complexidade das estruturas linguísticas ao longo das 4 séries. Nota-se também a insistência em estruturas padronizadas. Tudo isso prejudica a preparação do aluno para ler, posteriormente, textos mais complexos e sofisticados. (BRASIL, 1994, p. 61)

Essas críticas são recorrentes em várias coleções. A seguir, para finalizar,

apresentamos brevemente dois exemplos que ilustram com mais detalhes esses aspectos.

1) O recorte a seguir evidencia o uso de uma linguagem matemática sofisticada para

as crianças que estão no início de sua alfabetização matemática.

Adição: 5 + 2 = 7 <=> 7 - 2 = 5 Subtração: 8 - 3 = 5 <=> 5 + 3 = 8. Observe-se que a utilização do sinal " <=> " (sinal de equivalência lógica) é absolutamente inadequada nesta fase. (BRASIL, 1994, p. 182)

2) A naturalização do uso de certos ostensivos pode ser notada também no uso do

sinal de igual ao se comparar igualdades. Vejamos:

O autor propõe desde a 1ª série, formas complexas de linguagem matemática: nestas, o sinal de igual estabelece relações entre formas simbólicas de representar

32 Expressão frequentemente utilizada no documento avaliativo.


um número (forma aditiva, forma multiplicativa). Assim sendo, ignora-se o fato de que inicialmente a criança tem uma concepção dinâmica de operação matemática, onde o sinal de igual anuncia sempre um resultado. (BRASIL, 1994, p. 195)

Considerações

Esse texto consistiu em um primeiro exercício de investigação de documentos oficiais

para a compreensão da relação entre propostas de estudos presentes em livros didáticos e o

Programa de avaliação nacional (PNLD). Esse estudo faz parte da pesquisa de doutorado, em

desenvolvimento, da primeira autora desse artigo.

Os dados aqui apresentados nos permitem construir hipóteses sobre a constituição do

estudo das operações de adição e subtração ao longo dos anos de avaliação dos livros

didáticos brasileiros. Esses dados nos permitem também evidenciar a necessidade de alguns

aprofundamentos teóricos importantes que nos permitem melhor compreender o

assujeitamento entre instituições, o que poderá ser encontrado em textos futuros de nossos

trabalhos.

Referências Bibliográficas

Brasil. Definição de critérios para avaliação dos livros didáticos: português, matemática, estudos sociais e ciência - 1ª a 4ª series. (1994) Ministério da Educação e do Desporto/ Fundação da Assistência ao Estudante/ Programa Nacional do Livro Didático Brasília: MEC/FAE.

Chevallard, Yves. (1994) Ostensifs et non-ostensifs dans l’activité mathématique. Actes du Séminaire Intervention au Séminaire de l’Associazione Mathesis, pp. 190-200.

Chevallard, Yves. (1998) Analyse des pratiques enseignantes et didactique des mathématiques: L’approche anthropologique. Recherches en Didactique des Mathématiques, v 19, n 2, pp. 221-266. Chevallard, Yves. (2002) Organiser l’étude : 3. Ecologie & regulation. Cours donné à la XIe école d’été de didactique des mathématiques, La Pensée Sauvage, Grenoble, p. 41-56.

Chevallard, Yves. (2011) Les problématiques de la recherche en didactique à la lumière de la TAD. Texte d’un exposé réalisé le 28 janvier 2011 dans le cadre du Séminaire de l’ACADIS.


CB-425 INTERVENCIÓN DIDÁCTICA PARA LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA EN

LA VIDA COTIDIANA

Lucía López Cuenca – Cristina Almansa Arenas [email protected] – [email protected]

Facultad de Educación de Albacete (UCLM) – España Núcleo temático: V. Recursos para la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas Modalidad: CB Nivel educativo: Primario (6 a 11 años) Palabras clave: Geometría, Vida Cotidiana, Educación Primaria. Resumen Con el fin de acercar los conocimientos matemáticos al entorno del niño, el presente trabajo realiza una exposición de diversos recursos didácticos relacionados con la enseñanza de la geometría en la Educación Primaria. El currículo oficial de Educación Primaria incluye la geometría en su cuarto bloque de contenidos debido a que ésta resulta imprescindible para que un individuo se forme integralmente, ya que sus temas de estudio, y en especial las figuras geométricas planas y espaciales, están presentes en su vida cotidiana. La geometría no sólo se emplea en las matemáticas; no es un concepto estático, aislado ni desvinculado de la realidad del alumno, sino que, por el contrario, forma parte de la construcción de nuestro mundo. Estas evidencias nos conducen a la necesidad de utilizar la geometría para conocer y entender el espacio que nos rodea, repleto de figuras geométricas. Este proyecto es una muestra de cómo trabajar en la escuela las figuras geométricas relacionándolas con elementos de la vida cotidiana y cómo despertar la curiosidad y el interés por este tema en el alumnado de educación primaria.

Fundamentación teórica

Son diversas las fuentes que abalan el requerimiento de lo cercano, lo concreto y lo cotidiano

para la enseñanza y la divulgación de las matemáticas de manera significativa en el contexto

educativo. Tanto los documentos legislativos que rigen la educación en España (Real Decreto

126/2014) como diversas investigaciones científico-matemáticas (National Council of

Teachers of Mathematics, 2000) confluyen en la idea de que la cotidianeidad sea el punto de

partida de todo proceso de enseñanza-aprendizaje.

En primera instancia, recientes estudios realizados en neuroeducación sostienen que el

aprendizaje del niño, desde edades tempranas, debe realizarse en contacto directo con su


realidad. Tal y como afirma Mora (2013, p. 60), “un niño no comienza a aprender con ideas

y con abstractos, sino con percepciones, emociones, sensaciones y movimiento, obtenidos

del mundo sensorial y como reacción al mundo real, fuente primigenia de los estímulos y

primer maestro del niño”. Por ello, el niño debe aprender de todo lo que está a su alrededor

ya que estas vivencias y sensaciones configurarán su aprendizaje abstracto en el futuro, es

decir, el contacto directo con el mundo es una necesidad inherente al proceso de enseñanza-

aprendizaje.

Por otro lado, debido a que la geometría constituye un pilar fundamental en el área de

matemáticas de Educación Primaria, el Real Decreto 126/2014, de 28 de febrero, por el que

se establece el currículo básico de la Educación Primaria sitúa el ámbito de la geometría

como uno de los cinco grandes bloques de contenidos en los que se estructuran los

conocimientos matemáticos. Además, según este Real Decreto, los contenidos geométricos

deben abordarse desde el entorno próximo del alumno y sustentarse en sus experiencias

previas. Es por ello por lo que una intervención didáctica que parte del contexto próximo al

alumno y de las situaciones de su vida diaria adquiere importancia en la enseñanza de la

geometría.

La relevancia del tratamiento de la geometría en el entorno cercano al niño, en la etapa de 6

a 11 años, también queda justificada por la publicación realizada por el National Council of

Teachers of Mathematics:

Los estudiantes deberían acceder al estudio de la Geometría de los niveles medios con un conocimiento informal sobre puntos, líneas, planos y una variedad de figuras bidimensionales y tridimensionales, con experiencia en el dibujo y la visualización de líneas, ángulos, triángulos y otros polígonos; y con nociones intuitivas sobre las figuras, adquiridas a través de los años de interacción con objetos de su vida diaria (2000, p. 237).

En este mismo estudio se hace evidente la necesidad de trabajar con objetos, construcciones

y otros materiales que posibiliten al alumnado experimentar las relaciones de las figuras

geométricas a través de la observación, la manipulación, la comparación, el dibujo, la medida

y la clasificación de una gran diversidad de elementos geométricos.

Con el objetivo de conocer y examinar en profundidad estos elementos geométricos, los

alumnos de Educación Primaria, según el NCTM “tienen que examinar cuidadosamente las

características de las figuras para poder definir con precisión y describir las figuras

fundamentales” (2000, p. 237). Por tanto, para que los alumnos puedan llevar a cabo este

estudio acerca de los rasgos más característicos de las figuras, deben tener a su alcance dicha


figura. Esto reafirma, una vez más, el hecho de la utilización del entorno cercano como una

herramienta primordial del proceso de enseñanza-aprendizaje.

Por último, la importancia de llevar a cabo la enseñanza de la geometría desde esta

perspectiva reside en que esta no solo se utiliza en el ámbito matemático, sino que se

encuentra totalmente vinculada a la realidad del niño. El NCTM (2000, p. 313) dispone que

“la geometría ofrece medios para describir, analizar y comprender el mundo y ver la belleza

en sus estructuras. Las ideas geométricas pueden ser útiles, tanto en otras áreas de las

matemáticas como en contextos de aplicación”. Por todo ello, necesitamos de la geometría

para conocer y entender el mundo y apreciar la belleza que existe en nuestro entorno más

cercano, el cual está repleto de figuras geométricas.

Intervención didáctica

Esta intervención didáctica nace con la finalidad de presentar la geometría como parte

fundamental de la construcción de nuestro mundo, debido a que se encuentra en todo lo que

nos rodea. No obstante, a pesar de su justificada importancia, todavía no se le presta la

atención y dedicación suficiente en las aulas de Educación Primaria. De esta manera, se

pretende mostrar, a través de una serie de actividades, que aprender geometría es significativo

y útil para los alumnos ya que les ayuda a conocer y comprender mejor el mundo en el que

viven.

Los contenidos en los que se basa esta intervención didáctica son: la situación en el plano y

en el espacio; las formas planas y espaciales: clasificación de polígonos según el número de

lados y vértices, la circunferencia y el círculo, y también los poliedros, prismas y pirámides.

A continuación, se muestran una serie de actividades y situaciones didácticas que pretenden

llevar a cabo el objetivo anteriormente mencionado:

− Actividad 1. El itinerario matemático.

Los objetivos que persigue esta actividad son: reconocer las figuras geométricas en la vida

cotidiana, asociar los objetos de la vida cotidiana con figuras geométricas y orientarse en el

plano y en el espacio según distintas distancias.

Esta consiste en programar una salida fuera del aula, es decir, realizar un trayecto por las

inmediaciones del colegio, las calles del barrio, el parque más cercano, etc. Durante todo el

recorrido, se plantean diversas preguntas a los alumnos relacionadas con las formas


geométricas que puedan observar en el entorno. Por ejemplo, algunas de estas preguntas

serían: a la salida, tenemos que pasar una puerta: ¿qué forma tiene? ¿Se corresponde con

alguna figura geométrica?; al llegar a la esquina, nos encontramos con un paso de peatones

¿cuántas figuras lo forman?; si giramos a la derecha llegamos a un parque; ¿con qué figura

geométrica relacionarías el columpio?

La metodología de esta actividad es activa ya que el niño construye su propio aprendizaje, a

través de la utilización de una guía en la que deben ir anotando las respuestas a las preguntas

formuladas. Además, se considera un método lúdico y motivador que utiliza el juego como

la herramienta fundamental del proceso de enseñanza-aprendizaje.

− Actividad 2. El diseñador geométrico.

Con esta tarea, se pretende que el alumnado alcance los siguientes objetivos: manejar figuras

planas cuadriláteras, triangulares y el círculo, asociar las figuras planas a objetos de la vida

cotidiana, favorecer el desarrollo de habilidades motrices finas y fomentar la creatividad.

El planteamiento de esta actividad se basa en la creación por parte de los alumnos de una

composición artística a través de figuras geométricas planas que, previamente, han diseñado

con cartulinas.

Esta actividad se sirve de una metodología manipulativa y constructivista ya que cada alumno

trabaja las diferentes figuras geométricas de forma manual, dibujando y recortándolas.

Durante su desarrollo, el profesor planteará diversas cuestiones en relación a las

características fundamentales de las figuras o polígonos construidos, con el fin de hacer

reflexionar al alumno sobre su aprendizaje. Algunas de estas cuestiones serían: ¿qué figura

es?, ¿cuáles son sus características?, ¿estás seguro que cumple todas ellas?, etc.

− Actividad 3. El cuento geométrico.

El desarrollo de esta actividad se centra en la adquisición de los objetivos que se presentan a

continuación: identificar la relación entre figuras planas y elementos de la vida cotidiana,

clasificar las figuras según su forma y, por último, potenciar la interacción entre los alumnos

y la búsqueda de soluciones de una forma conjunta.

En este cuento geométrico se encuentran remarcados diferentes elementos cotidianos del

alumno que, según la forma que presentan en la realidad, se corresponden con unas figuras

planas u otras. De esta manera, los alumnos disponen de una serie de figuras geométricas

planas de cartulina las cuales deben relacionar con el contenido del cuento. Por ejemplo:


“Martina es una niña muy sonriente que jugaba a las cartas con su madre. Después de la

partida se comió unas galletas y medio sándwich…”. Los alumnos relacionarían estas

palabras subrayadas con las figuras geométricas correspondientes.

La metodología de esta actividad contribuye a la formación de conceptos geométricos a

través de la asociación de una representación mental y su correspondiente figura geométrica,

facilitando así la adquisición de contenidos de manera autónoma.

− Actividad 4. Viviendo con la geometría.

La cuarta tarea de esta propuesta didáctica tiene como objetivos: tomar consciencia de la

presencia de las figuras geométricas en la vida cotidiana, diferenciar entre figuras planas y

espaciales e identificar el tipo de figuras geométricas correspondiente cada objeto.

Esta actividad consiste en dibujar su propia habitación de la forma más detallada posible, es

decir, incluyendo todos aquellos objetos que tengan relación con alguna forma geométrica,

tanto plana como espacial. Una vez realizado el diseño del dibujo, el docente proporciona a

los alumnos una tabla en la que tengan que clasificar todos los objetos de su habitación

indicando si son figuras planas o espaciales y especificando qué tipo de figura geométrica

representan.

− Actividad 5. Adivina la forma geométrica.

Los objetivos que se desean conseguir a través de la realización de esta actividad son: conocer

las figuras planas: cuadrado, triángulo, rectángulo, círculo, circunferencia, rombo, sus

elementos y propiedades; saber diferenciar los tipos de figuras geométricas; y favorecer la

participación activa de los alumnos.

El fundamento de esta actividad reside en el conocimiento y asimilación de las características

fundamentales de las figuras geométricas. Para ello, cada alumno imagina una forma

geométrica, espacial o plana, de su entorno próximo la cual debe describir haciendo

referencia a sus rasgos característicos (forma, lados, vértices, …) para que el resto de alumnos

trate de adivinarla.

Esta actividad emplea una metodología lúdica ya que, a través del juego, el alumnado

interioriza los contenidos básicos de la geometría, participando activamente en el desarrollo

de la misma. Se asegura, así, un aprendizaje por descubrimiento en el que el docente es un

mero facilitador en el proceso de enseñanza-aprendizaje.


− Actividad 6. La bolsa sorpresa.

Con esta tarea, se persiguen los siguientes objetivos: asociar figuras planas y espaciales con

objetos de la vida cotidiana, conocer las características de las figuras planas y espaciales y,

finalmente, experimentar con las figuras geométricas a través de la manipulación.

El desarrollo de esta actividad requiere la disposición de una bolsa que contenga una gran

variedad de figuras geométricas planas y espaciales. Uno de los alumnos, con los ojos

previamente tapados, elige uno de los objetos del interior de la bolsa y lo muestra al resto de

la clase. Estos deben describir las características del mismo hasta que su compañero descubra

de qué forma geométrica se trata.

Se lleva a cabo una metodología que se apoya en el constructivismo en la que el alumno, por

descubrimiento, forma su propio aprendizaje. El docente simplemente se encarga de guiarlo

a través de una serie de cuestiones e indicaciones; por ejemplo: ¿qué forma posee? ¿tiene

base? ¿cuántas?

− Actividad 7. La ruleta.

Los objetivos didácticos propuestos para esta actividad son: tomar consciencia de la

presencia de la geometría en la vida cotidiana y construir correctamente las figuras

geométricas planas y espaciales teniendo en cuenta sus características.

En esta se hace girar una ruleta que contiene ilustraciones de objetos de la vida cotidiana. De

esta manera, cada alumno debe observar e interpretar qué figura geométrica espacial

representa el objeto en el cual se ha detenido la flecha de la ruleta. Los alumnos, siendo

conscientes de los rasgos definitorios de cada figura, la construyen manualmente utilizando

como material la plastilina. Posteriormente, registran toda la información atribuida a dicha

figura (nombre, lados, caras, aristas…) en una tabla diseñada para tal fin.

Esta actividad sigue la línea metodológica de la totalidad de la intervención didáctica,

partiendo de lo cercano para llegar a lo abstracto.

− Actividad 8. El camino de la geometría.

Los objetivos que persigue esta actividad son: identificar las figuras geométricas en

elementos de la vida cotidiana y reconocer los rasgos característicos de las figuras planas y

espaciales.

Esta se basa en la utilización de un tablero de juego en el que aparecen representados

elementos próximos al contexto del alumno. El alumnado participa en la actividad como si


de un juego de mesa se tratase, avanzando por las diferentes casillas hasta llegar al final. Para

conseguir pasar a la siguiente casilla, se debe identificar la figura geométrica asociada al

elemento cotidiano y completar una tabla con sus características principales.

− Actividad 9. El puzle geométrico.

Esta tarea pretende alcanzar los siguientes objetivos: trabajar de manera lúdica las figuras

geométricas, conocer las propiedades de las figuras planas y espaciales, diferenciar los tipos

de figuras geométricas y, por último, favorecer la participación de los alumnos.

La última actividad de esta intervención didáctica se basa en la realización de un puzle

geométrico. Para ello, los alumnos deben conseguir todas las piezas que lo conforman a

través de una gymkhana. Esta se compone de una serie de pruebas en las que cada grupo

recibe una tarjeta con una composición de figuras geométricas, la cual hace referencia a un

elemento del entorno del centro educativo. Los alumnos deben reconocer este elemento y

dirigirse hacia él para conseguir la siguiente ilustración y, así, sucesivamente. Por ejemplo:

la primera tarjeta presenta un cilindro y una esfera sobre el mismo, por lo que el alumnado

debe identificar que es una farola, encontrarla y recibir allí la siguiente pista con otra

composición geométrica.

Conclusiones

El planteamiento didáctico propuesto tiene como finalidad evidenciar que es posible trabajar

la geometría desde un punto de vista cercano al niño. La utilización de estos recursos favorece

el acercamiento del alumno a las figuras geométricas bidimensionales y tridimensionales que

se localizan en su entorno, vinculando el estudio de las matemáticas con su aplicación directa

en la vida real. De tal forma, estas actividades tienen su fundamento en diversos estudios

pedagógicos, matemáticos y neurocientíficos, que inciden en la importancia de enseñar desde

lo cercano y lo tangible para llegar a lo abstracto.

En conclusión, esta intervención didáctica basada en el descubrimiento, la pedagogía

constructivista, el aprendizaje significativo y la motivación del niño constituye un ejemplo

de buenas prácticas que debería ser tenido en consideración en las aulas de Educación

Primaria. Por último, partiendo de la cotidianeidad del niño es posible captar su atención y

mantener su motivación durante todo el proceso de enseñanza-aprendizaje, haciendo de la

geometría una fuente de disfrute.



Mora, F. (2013). Neuroeducación: sólo se puede aprender aquello que se ama. Madrid: Ed. Alianza. National Council of Teachers of Mathematics (2000). Principios y estándares para la educación matemática. Granada: Ed. Thales. Real Decreto 126/2014, de 28 de febrero, por el que se establece el currículo básico de la Educación Primaria. (BOE núm. 52, 1 de marzo de 2014).


CB-427

RECONFIGURACIÓN DE TRIÁNGULOS Y TRAPECIOS RECTÁNGULOS EN UNA MALLA CUADRICULADA EN ESTUDIANTES PERUANOS DE SEGUNDO

GRADO DE EDUCACIÓN SECUNDARIA

Verónica Neira Fernández– Isela Patricia Borja Rueda [email protected] - [email protected]

Pontificia Universidad Católica del Perú – Instituto de Investigación sobre Enseñanza de las Matemáticas TecVEM – IREM, Perú.

Núcleo temático: Investigación en Educación Matemática Modalidad: CB Nivel educativo: Medio o secundario (12 a 15 años). Palabras clave: Reconfiguración; trapecio rectángulo; medida de área. Resumen

La comunicación breve tiene como objetivo analizar la reconfiguración de un triángulo y un trapecio rectángulo, que está en una malla cuadriculada, para hallar su medida de área. Los sujetos participantes son estudiantes peruanos del nivel secundario (12 a 15 años) de una institución educativa pública del departamento de Lima. La investigación se realiza en base a aspectos de la Teoría de Registros de Representación Semiótica como marco teórico y de aspectos de la Ingeniería Didáctica como marco metodológico. Evidenciamos que los estudiantes realizan la operación de reconfiguración al reagrupar varias sub-figuras que se obtienen por descomposiciones de tipo heterogénea en el trapecio rectángulo, es decir, lo descomponen en sub-figuras diferentes entre ellas para formar figuras geométricas de contornos globales diferentes a la figura geométrica inicial. Los estudiantes consiguieron reconfigurar el trapecio rectángulo, realizar el conteo de los cuadrados completados en la malla cuadriculada y hallar la medida de área del trapecio rectángulo.

Introducción

Según la investigación de Borja (2015) los estudiantes peruanos del segundo grado de Educación

Secundaria de una institución educativa pública, con edades comprendidas entre los 12 y 15 años

de edad, para hallar la medida del área del triángulo y del trapecio rectángulo utilizan su

respectiva fórmula. La cual es muchas veces memorizada y utilizada de manera mecánica por los

estudiantes. Por ello, se realizó una investigación cualitativa con dichos estudiantes para

determinar la medida del área del triángulo como del trapecio rectángulo a través de la operación

de reconfiguración. En base a aspectos de la Teoría de Registros de Representación Semiótica de

Duval (2004) y de la Ingeniería Didáctica de Artigue (1995) como metodología de la


investigación cualitativa. Sin embargo, para el artículo consideraremos el análisis a priori y a

posteriori tanto de un triángulo como de un trapecio rectángulo de la actividad 1: Trabajemos con

la malla cuadriculada de la investigación de Borja (2015). Definido el trapecio rectángulo como

un cuadrilátero en el que uno de sus lados es perpendicular a las bases (Alva, 2015). Asimismo,

Douady y Perrín-Glorian (1987), mencionan que el uso prematuro de fórmulas para determinar

la medida del área ha propiciado en los estudiantes que presenten inconvenientes al respecto. Por

ello, la importancia del presente artículo que nos muestra una manera diferente de determinar la

medida del área como es a través del uso de la operación de reconfiguración sin recurrir a las

fórmulas del área del triángulo como del trapecio.

1. Aspectos de la Teoría de Registros de Representación Semiótica

La Teoría de Registros de Representación Semiótica es propuesta en el año 1995. Duval

(2004) la presenta de la siguiente manera, se debe requerir para aprender matemáticas de las

representaciones porque los objetos matemáticos no son reales a diferencia de otras ciencias

en que los objetos de estudio son reales como en el caso de la Biología. Estas son producidas

por el sujeto y son expresadas, es decir, las representaciones son semióticas. Asimismo, el

investigador señala que cuando estas representaciones semióticas cuentan con tres

actividades cognitivas a saber: la formación, el tratamiento y la conversión, estas

representaciones son considerados registros.

En tanto, Duval (2001), expresa que existen dos grandes tipos de transformaciones en los

registros de representación semiótica que son: el tratamiento y la conversión. El primero es

una transformación que se da dentro de un mismo registro, por ejemplo, la reconfiguración

en el registro figural, al cual nos referiremos en el presente artículo.

También indica que son cuatro los registros de representación semiótica que movilizan las

matemáticas: el registro de lengua natural, el registro algebraico, el registro figural y el

registro gráfico. Pero, en este artículo nos referiremos al registro figural, que según Duval

(1994) hay cuatro maneras de aprehender este registro en geometría por el estudiante: la

aprehensión perceptiva, la aprehensión discursiva, la aprehensión secuencial y la aprehensión

operatoria que es cuando el estudiante realiza modificaciones en la figura como la


mereológica, que consiste en dividir o fraccionar en varias sub-figuras a la figura inicial para

reagruparlas a través de la operación de reconfiguración.

Cabe señalar que la reconfiguración “es una operación que consiste en reorganizar una o

varias sub-figuras diferentes de una figura dada en otra figura” (Duval, 2004, p. 165).

Además, según el investigador esta operación no se presenta de manera espontánea y

evidente, ya que pueden existir factores de soporte como la cuadrícula de fondo en la malla

cuadriculada que permitirá a los estudiantes tener un soporte perceptivo, para realizar la

operación de reconfiguración. De tal manera que, “permite iniciar, de inmediato, tratamientos

como, la medida de área” (Duval, 1988, p. 64, traducción nuestra) pues se obtiene una nueva

figura de contorno diferente a la figura inicial, pero que mantienen la misma medida de área.

Asimismo, para obtener estas sub-figuras se tiene que descomponer la figura inicial, cuyos

tipos de descomposición de acuerdo a Duval (2005), son los siguientes: la descomposición

estrictamente homogénea, descomposición homogénea y la descomposición heterogénea. En

este trabajo nos referiremos a la descomposición heterogénea que se da en la figura cuando

obtenemos unidades figurales de formas diferentes entre ellas (ver Figura 1).

Figura 1. Descomposición heterogénea Fuente: Duval (2005, p. 22)

Según Duval (2004), las unidades figurales vienen a ser el cruce de los valores de la variable

visual cualitativa con la variable de dimensión, que para el caso de las figuras geométricas el

contorno cerrado de su superficie es una variable cualitativa y el área es una variable de

dimensión dos.

2. Metodología empleada en la investigación

Borja (2015), utiliza aspectos de la metodología de la Ingeniería Didáctica para realizar una

secuencia de tres actividades que son: Trabajemos con la malla cuadriculada, Trabajemos

con el Geogebra y Hallemos la medida del área, esta última como actividad de cierre. Las

actividades son desarrolladas de manera individual por diez estudiantes del segundo grado


de Educación Secundaria de la Institución Educativa Básica Regular “Andahuasi”

acompañados por la investigadora. En el análisis a priori se menciona lo que se esperaba en

el desarrollo de las actividades por parte de los estudiantes y en el análisis a posteriori, lo que

realmente realizaron los estudiantes en dichas actividades. En tanto, el contraste del análisis

a priori con el análisis a posteriori brinda la validación interna de la investigación. En este

artículo, se presenta el análisis a posteriori de la estudiante Viviana en relación a la medida

del área del triángulo y del trapecio rectángulo que son figuras geométricas de la actividad

1: Trabajemos con la malla cuadriculada. También, las dos primeras respuestas de dicha

actividad (Figura 2) porque responden al objetivo de este artículo. Para lo cual, los

estudiantes emplean los siguientes recursos: Ficha de la actividad 1, lápiz 2B y borrador.

Figura 2. Actividad 1: Trabajemos con la malla cuadriculada Fuente: Borja (2015, p. 49)


3. Desarrollo de la investigación

Para este artículo, de la investigación de Borja (2015) consideramos los análisis del triángulo

y del trapecio rectángulo identificados con Fig. 3 y Fig. 6 respectivamente como los ítems a)

y b) de la Actividad 1: Trabajemos con la malla cuadriculada. Luego, con respecto al análisis

a priori del triángulo rectángulo Borja (2015), indica que esperamos que los estudiantes

realicen trazos en el interior del triángulo rectángulo Fig. 3, para descomponerlo en dos sub-

figuras heterogéneas: un triángulo y un trapecio ambos rectángulos. Para trasladar el

triángulo rectángulo, como indica la flecha, hacia el lado que no es paralelo ni perpendicular

del trapecio rectángulo donde los cuadrados de la malla cuadriculada, considerados como

unidad de área, serán completados y formarán un rectángulo de diez cuadrados de unidad de

área, es decir, lograrán reconfigurar la configuración inicial en un rectángulo, según se

observa en la reconfiguración final (ver figura 3).

Reconfiguración Inicial Reconfiguración Final

Figura 3. Posible reconfiguración del triángulo rectángulo Fuente: Borja (2015, p. 51)

En tanto, en el análisis a priori para el trapecio rectángulo esperamos que los estudiantes

realicen dos trazos en dicha figura geométrica para obtener un triángulo pequeño, luego lo

trasladen según indica la flecha pequeña anaranjada y formen un rectángulo pequeño.

Después, por aprehensión perceptiva identifiquen que en la parte superior del rectángulo

pequeño hay un triángulo rectángulo que se puede trasladar para formar un rectángulo con

ocho cuadrados de unidad de área, según indica la flecha verde. Por último, trasladarán el

rectángulo pequeño hacia el lado derecho del rectángulo de ocho cuadrados de unidad de

área, para tener un solo rectángulo de diez cuadrados de unidad de área, según indica la flecha

roja que se observa en la reconfiguración inicial (ver figura 4).


Reconfiguración Inicial Reconfiguración Final

Figura 4. Posible reconfiguración del trapecio isósceles Fuente: Borja (2015, p. 52)

De esta manera, esperamos que los estudiantes realicen la modificación mereológica en cada

una de las figuras geométricas Fig. 3 y Fig 6, para reagrupar las sub-figuras, obtenidas, es

decir, realicen la operación de reconfiguración y obtengan un rectángulo que permita a través

de la estrategia del conteo determinar la medida de área de las figuras geométricas. También,

que contesten en la ficha de la actividad 1 el ítem a) ¿Cuántos cuadrados caben en cada figura

de la cuadrícula? como el ítem b) Entonces ¿cuántas unidades de área (u.a.) tiene cada figura?

y en relación a las dos figuras geométricas las respuestas esperadas es 10 cuadrados y 10 u.a.,

respectivamente.

Es así que, en el análisis a posteriori la estudiante Viviana a diferencia de lo previsto en el a

priori, en la modificación mereológica del triángulo rectángulo obtiene tres sub-figuras que

son las siguientes: un triángulo, un trapecio rectángulo y un hexágono cóncavo. Pensamos,

que ella realizó estas descomposiciones porque su aprehensión perceptiva se apoyó en la

cuadrícula de la malla cuadriculada a diferencia de lo previsto en el a priori y lo transformó

en un rectángulo que le permitió completar los cuadrados que faltaban en el triángulo

rectángulo y así hallar la medida del área de dicha figura. (Ver figura 5)

Figura 5. Descomposición heterogénea del triángulo rectángulo Fuente: Adaptado de Borja (2015, p. 57)


Luego, en el análisis a posteriori con respecto al trapecio rectángulo Fig. 6 la estudiante

Viviana a diferencia de lo previsto en el a priori, en la modificación mereológica obtiene las

siguientes sub-figuras: un triángulo, un pentágono y un hexágono según los trazos hechos a

lápiz por la estudiante en dicha figura geométrica. Para realizar la modificación posicional al

trasladar dos de estas sub-figuras que son el triángulo y el pentágono hacia el exterior de la

figura inicial, según indica las flechas que trazó. Y formar un hexágono cóncavo, al reagrupar

estas sub-figuras, es decir, realiza la operación de reconfiguración según se aprecia con los

trazos hechos a lápiz por la estudiante, obteniéndose una figura geométrica que no se

esperaba. Pensamos que, ella obtuvo esta figura al tener como prioridad completar los

cuadrados que faltaban en el trapecio rectángulo para obtener la medida del área y además

su aprehensión perceptiva de ver las sub-figuras al trasladarse encajen al completar los

cuadrados (ver Figura 6).

Figura 6. Descomposición heterogénea del trapecio rectángulo Fuente: Adaptado de Borja (2015, p. 57)

Borja (2015), indica que la estudiante Viviana responde a los

ítems a) y b) de la actividad 1: Trabajemos con la malla cuadriculada, al realizar la estrategia

del conteo, según lo previsto en el a priori (ver Tabla 1).

Tabla 1. Respuestas de Viviana con respecto a las figuras Fig. 3 y Fig. 6 de la actividad 1 a) ¿Cuántos cuadrados caben en cada figura de la cuadrícula?

Fig. 3 Fig. 6 b) Entonces ¿cuántas unidades de área (u.a.) tiene cada figura?

Fig. 3 Fig. 6 Fuente: Adaptado de Borja (2015, p. 58)

De esta manera, la estudiante Viviana contesta en la ficha de la actividad 1: Trabajemos con

la malla cuadriculada con respecto al triángulo y al trapecio rectángulo, identificado con Fig.

3 y Fig. 6, respectivamente.

Conclusiones

Podemos mencionar que los estudiantes, del segundo grado de Educación Secundaria de la

Institución Educativa “Andahuasi” de gestión pública, al realizar la modificación


mereológica en el triángulo y el trapecio rectángulo identificados como Fig. 3 y Fig. 6

obtuvieron cantidades de sub-figuras diferentes a lo previsto en el análisis a priori. Es así

que, Viviana obtuvo más sub-figuras, para el triángulo rectángulo (tres), mientras que para

el trapecio rectángulo menos sub-figuras (tres). Pensamos que para la estudiante no fue tan

determinante la cuadrícula de la malla para obtener las sub-figuras ya que su aprehensión

perceptiva les permitió ver figuras geométricas que al ser trasladadas completan los

cuadrados de las figuras geométricas que están incompletas y transforman la figura inicial en

un rectángulo, es decir, realizan la operación de reconfiguración al reagrupar estas sub-

figuras y obtiene la medida de área de las figuras iniciales a través del conteo de los cuadrados

de las nuevas figuras obtenidas. Además, estas sub-figuras son obtenidas por descomposición

heterogénea porque son de forma diferentes entre sí. Por otro lado, al contestar la estudiante

a la pregunta a) ¿Cuántos cuadrados caben en cada figura de la cuadrícula? menciona que es

10, de acuerdo a como se esperaba. De la misma manera para la pregunta b) Entonces,

¿cuántas unidades de área (u.a.) tiene cada figura?, la estudiante responde también como se

esperaba 10 u.a. Por ello, podemos expresar que reconoce que cada cuadrado de la malla

cuadriculada es una unidad de área.

Borja (2015) menciona que no solo se puede hallar la medida del área del triángulo como del trapecio isósceles en este caso con uso de fórmulas, “sino también con realizar tratamientos en la figura como la operación de reconfiguración” (p. 76).

Agradecimientos

Debemos manifestar nuestro agradecimiento en el desarrollo de esta investigación a las

siguientes instituciones: Ministerio de Educación del Perú, quien por medio del Programa

Nacional de Becas y Crédito Educativo (PRONABEC), brindó la Beca Presidente de la

República denominada “Beca Docente de Posgrado para estudios de Maestría en Ciencias de

la Educación en el Perú 2014” previo concurso, a la Maestría en Enseñanza de las

Matemáticas de la PUCP por brindar los conocimientos necesarios para realización de esta

investigación cualitativa y la Institución Educativa Básica Regular “Andahuasi” que permitió

la aplicación de las actividades con los estudiantes del segundo grado de Educación

Secundaria y al proyecto internacional desarrollado entre la Pontificia Universidad Católica

del Perú y la Pontificia Universidad Católica de São Paulo de Brasil, denominado:“Processos


de Ensino e Aprendizagem de Matemática em Ambientes Tecnológicos PEA-MAT/DIMAT”

proceso 2013/23228-7 y PI0272 (PUCP) por sus valiosos aportes.


Alva, F. (2015). Geometría. Teoría y práctica. Lima: Editorial San Marcos. Artigue, M. (1995). Ingeniería didáctica en educación Matemática. Un esquema para la

investigación y la innovación en la enseñanza y aprendizaje del cálculo. Bogotá, Colombia. Editorial Iberoamérica

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Douady, R. & Perrin-Glorian, M. (1987). Um processus d’apprentissage du concept d’aire de surface plane. Cahier de didactique des mathématiques-IREM, (37). Université Paris VII.

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Duval, R. (1994). Les différents fonctionnements d’une figure dans une démarche géométrique. Repères-IREM (17), 121-138. Duval, R. (2001). Los problemas fundamentales en el aprendizaje de las matemáticas y las formas superiores del desarrollo cognitivo. (M. Vega, Trans). Santiago de Cali, Colombia: Universidad del Valle, Instituto de Educación y Pedagogía, Grupo de Educación Matemática. (Trabajo original publicado en 1999).

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CB-428

ACOMPAÑAR PARA TRANSFORMAR LAS MATEMÁTICAS EN PRIMARIA Rafael Escudero Trujillo(1) [email protected], Guillermo Cervantes Campo(2)

[email protected], Judith Arteta Vargas (3) [email protected], Anuar Pacheco Padilla(4) [email protected], Carlos Rojas Álvarez(5), [email protected], Rafael Martínez Solano(6) [email protected], Myrna Jiménez Niebles(7) [email protected], Disneyla Navarro(8) [email protected] y Arlet Orozco Marbello(9) [email protected].

(1) (2) (3) (5) (6) (7) (8) (9) Universidad del Norte, Colombia (4) Fundación Promigas, Colombia

Núcleo temático: IV. Formación del profesorado en Matemáticas. Modalidad: CB Nivel educativo: Primario Palabras clave: Acompañamiento, Aprendizaje, Competencia, Desempeño Resumen En la presente propuesta se describe el impacto en el mejoramiento del aprendizaje y competencias matemáticas de los estudiantes en primaria, mediante un proceso de formación y acompañamiento en el desarrollo del pensamiento y competencias del profesor que enseña matemática. Se aplicaron pruebas pretests y postests a los estudiantes con el objeto de establecer el estado inicial y grado de avance respecto al nivel de desarrollo en los pensamientos numérico variacional, geométrico-métrico y aleatorio. Se desarrollaron visitas a las escuelas, videos de clases, talleres de actualización y generación de propuestas innovativas para transformar las clases y su impacto en el aprendizaje de las matemáticas. Se aplicaron encuestas a los profesores para determinar su percepción sobre el programa de formación. Las entrevistas arrojaron una percepción favorable sobre los procesos de formación desarrollados. Los resultados del postest con respecto al pretest aplicado en el lapso de (2013-2014) y 2015, mostraron mejoras en el desempeño de los estudiantes. El enfoque seguido en este estudio fue investigación acción. Marco teórico

La preocupación fundamental de la investigación acerca del pensamiento del profesor ha sido

establecer cuáles son los procesos de pensamiento que ocurren en su mente durante su

actividad profesional, que según reconoce Marcelo (1992), el profesor es un sujeto reflexivo

y racional que toma decisiones, emite juicios, tiene creencias y genera rutinas propias de su

desarrollo profesional.


Según Da Ponte (2008), para ser profesor no basta estar en posesión de un conjunto de

conocimientos que permitan ejercer la actividad profesional. Es necesario asumir un punto

de vista de profesor, interiorizar el correspondiente papel y sentirse bien en él. Es preciso

sentirse como un miembro de la clase docente y ser capaz de usar los recursos propios de la

profesión.

El Conocimiento Profesional del Profesor (CPP) está constituido por lo que los maestros

conocen, lo que hacen y las razones de su actuación.

El (88%) de las investigaciones sobre el CPP y su efecto en el aprendizaje de estudiantes,

son en su mayoría sobre el contenido por enseñar. Menos del (50%) se han hecho sobre la

didáctica específica del contenido y del proceso de aprendizaje del estudiante; las fracciones

y las funciones son los temas más estudiados según (Pinto - González, 2008). Estos estudios

sobre el conocimiento profesional del profesor de matemáticas, muestran que prevalecen

serios problemas en la adquisición, dominio y uso del conocimiento matemático en

profesores, con dificultades para relacionarlo con la didáctica y con el proceso de

aprendizaje; se evidencia un pobre conocimiento matemático, un limitado conocimiento de

didáctica específica y del conocimiento del estudiante.

En Chile según León (2008), la relación entre la calidad de la docencia matemática y el

rendimiento académico de los estudiantes es un aspecto que se ha debatido ampliamente pero

ha sido difícil de estudiar, principalmente debido a la oposición que muestran las

agremiaciones de maestros a ser evaluados. Sin embargo, en aquellas regiones donde se ha

logrado implementar un sistema de evaluación docente se reporta que efectivamente la

métrica del sistema de evaluación docente se puede asociar positivamente con el rendimiento

académico y en particular que el impacto en la varianza de rendimiento es tan alto como el

impacto que tiene variables sociodemográficas claves como ingreso familiar y educación de

los padres.

Gálvez- Sobral y Moreno (2009) en Guatemala, describen hallazgos en una investigación

basada en los resultados de la evaluación primaria. En esos hallazgos, se relaciona cada grupo

de alumnos con el docente que lo forma y se describen las características docentes que tienen

una influencia sobre el rendimiento académico de sus estudiantes. En lo que respecta a


matemáticas, se reporta que dos características influyen positivamente: la preparación

académica del profesor y la planificación diaria de la calase.

De acuerdo con Loaiza (2014), las investigaciones más centradas en la institución educativa:

escuela, colegio, universidad reportan que la incidencia de nuevas didácticas orientadas a la

enseñanza por competencias en estudiantes preuniversitarios, si bien no muestran resultados

de nivel alto en el rendimiento académico, los estudiantes apenas alcanzaron un nivel de

rendimiento medio, los estudiantes y profesores consideran a éstas nuevas didácticas como

pertinentes y muestran una actitud positiva hacia ellas. Más aún, los estudiantes son

conscientes del gran beneficio que se obtiene para adquirir aprendizajes.

Metodología

Se utilizó la Investigación-acción, con un diagnóstico situado para cada institución educativa

participante. A través de visitas y talleres, los docentes reflexionaron mediante la acción

dialogal para mejorar sus prácticas y guiar a sus estudiantes a potenciar sus desempeños en

los procesos de pensamiento matemático (Andrade et al.1995). El proceso no fue lineal de

tal manera, que se abordó a través de múltiples espacios de reflexión y planeación para ir

nuevamente a la práctica de aula enriquecido mediante reflexiones permanentes para llegar

a transformaciones paulatinas. De acuerdo con Godino (2016) la investigación acción es

entendida en su aplicación al ámbito escolar, como el estudio de una situación social en la

que participan maestros y estudiantes con objeto de mejorar la calidad de la acción, a través

de un proceso cíclico en espiral de diagnóstico del problema, planificación, acción, reflexión

y evaluación del resultado de la acción.

La investigación se desarrolló mediante una alianza estratégica entre la Fundación Promigas

y la Universidad del Norte, con el apoyo de la Secretaría de Educación Distrital de la ciudad

de Barranquilla entre los años 2013 y 2015 en los grados tercero, cuarto y quinto. Con 12

escuelas en el periodo (2013-2014) y 9 en 2015. La población de maestros durante el proceso

fue de 16 y participaron 428 estudiantes. Los grupos de estudiantes en ambos períodos no

fueron exactamente iguales. Se aplicaron pre test y pos test a los estudiantes con el objeto de

establecer el estado inicial y grado de avance respecto al nivel de desarrollo en los

pensamientos numérico-variacional, geométrico-métrico y aleatorio y sistema de datos

Ministerio de Educación nacional, (MEN, 2012). A los profesores se les aplicaron encuestas


para determinar su percepción sobre el programa de formación, el cual consistió en talleres

y conferencias de actualización didáctica en temas relacionados con lo geométrico, lo

numérico, el análisis de datos y lo variacional. El proyecto se desarrolló en las siguientes

fases: Establecimiento y actualización de la línea de base de cada institución. Proceso de

formación y actualización. Innovación, acompañamiento y evaluación del proceso

desarrollado.

Los procesos de innovación desarrollados por los docentes en sus clases se fundamentaron

en las fases pre-activa, inter-activa y pos-activa, propuestas por Jackson (1968). El

acompañamiento fue importante para articular el saber disciplinar del docente con su saber

didáctico. Este fue un referente reflexionado en una comunidad de práctica organizada por la

Fundación Promigas y expuesta en su texto Acompañamiento y Cambio en el Aula.

Aprendizaje-Enseñanza de las Matemáticas Escolares. (2014, pág. 87).

Análisis y resultados

Análisis y resultados cuantitativos

En el aspecto cuantitativo los estudiantes, presentaron mejoras sustanciales en los resultdaos

comparativos de los Pretest-Postest en los períodos (2013 – 2014) y 2015. Al principio, los

resultados reflejaron falencias en la comprensión de lectura, rendimiento más bajo en el

desarrollo del pensamiento geométrico-métrico y aumento en los desempeños de

insuficiencia. Estos aspectos fueron mejorados por los alumnos en las mayorías de las

escuelas participantes. Los cambios obedecieron a nuestro juicio, a la realización de los

talleres con los docentes con el propósito de puntualizar en el mejoramiento del pensamiento

geométrico de los alumnos, análisis de ejercicios de pruebas saber, la comprensión lectora

del lenguaje matemático, el acompañamiento a cada una de las escuelas participantes y el

compromiso de los maestros involucrados en el proyecto.

Resultados y análisis global Pretest-Postest (2013-2014) vs Prestest-Postest 2015

Figura 1 Resultados Comparativos Pre-test Post-test (2013-2014) vs 2015


La figura 1 muestra mejoras sustanciales en el desempeño global de los estudiantes que

participaron en el programa a lo largo de estos tres años. Aunque en el gráfico se muestra

una mejoría en los resultados globales en 2013-2014, cabe señalar que algunos estudiantes

de manera general muestran debilidades: en el pensamiento geométrico métrico y en la

comprensión lectora de textos matemáticos. Esta segunda debilidad es bastante preocupante

debido a la transversalidad que la caracteriza y a la complejidad para su desarrollo, ya que

no solo requiere de la conceptualización matemática sino del desarrollo lingüístico. En los

resultados correspondiente al año 2015, cuando los niños cursaban 5° los resultados indicaron

también mejoría, pero las dificultades señaladas anteriormente subsistieron.

En la figura 2, se muestran los resultados promedio obtenidos por cada una de las escuelas

en el periodo 2013-2014. En él, es evidente la mejoría en cada una de ellas. Es de notar que

en algunas el avance es más significativo que en otras, debido a factores como la continuidad

de los estudiantes en el proceso, la organización institucional de la escuela, y al compromiso

del docente con el proceso de formación desarrollado en el programa

Figura 2 Resultados Pre-test Post-test 2013-2014

47,9 44,2

58,9 56,3

0

20

40

60

80

2013-2014 2015

Pu

nta

jes

Periodo

Pre-Test

Post-Test

0

20

40

60

80

E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 E9 E10 E11 E12

Pu

nta

jes

Escuelas

PRE TEST

POSTEST


En la figura 2, se observa que las escuelas E4, E10 y E12 mostraron resultados significativos

del postest con relación al pretest, pero también es de anotar el mejoramiento notable de la

escuela E5.

Resultados y análisis 2015

Resultados por niveles de desempeño

Con respecto al período 2015, los resultados mostraron avances similares al período anterior.

Cabe resaltar aquí, que los niños cursaban 5° y que el nivel de complejidad de los conceptos

y procedimientos matemáticos aumenta. Además, en este período el número de escuelas

participantes disminuyó y por tanto el número de estudiantes.

Puntaje por escuelas (2015)

Como se muestra en la figura 3 al concluir el programa, la mayoría de las escuelas

evidenciaron mejoras en el desempeño del Post-test. Puede notarse que en algunas escuelas

como E4, E2, E1, E3, E5 y E7 el resultado del Pos-test fue notablemente mejor que en el Pre-

test.

Figura 3 Resultados por escuela Pretest-Postest 2015

Como se nota, el número de escuelas en 2015 disminuyó con relación al periodo 2013-2014

por razones tales como cambio de curso de las maestras, traslados a otros colegios o por

razones de salud del maestro. Las escuelas E8 y E10 que participaron en el periodo 2013 –

201) no participaron en el periodo 2015.

Análisis y resultados cualitativos

0

20

40

60

80

E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E9 E11

Pu

nta

je

Escuelas

PRE TEST

POST TEST


En el aspecto cualitativo podemos decir que las profesoras y profesores participantes tuvieron

una percepción favorable hacia el proceso de formación. Resultados similares mostró la

investigación realizada por Loaiza (2014). Las percepciones de los docentes se sintetizan así:

Profesor: Cada vez que vengo a las capacitaciones salgo con un aprendizaje nuevo

Profesor: Ya no hago la clase de la misma manera, uso más materiales para que se le facilite el aprendizaje a los estudiantes”

Profesor: Sé que tengo dificultades en el pensamiento geométrico métrico y los talleres me han ayudado mucho para mejorar mis conceptos y mi práctica”

Profesor: Ha sido muy interesante, porque nosotros tenemos una responsabilidad muy grande los niños creen lo que les dice el profesor y por tanto debemos estar bien preparados.

Conclusiones

Resultados cuantitativos

Hubo mejoras en el desempeño global Pretest-Postest 2013-201) vs Pretest-Postest (2015)

aplicados en los grados 3° y 4°con promedios de (47.9 – 58.9) respectivamente versus un

promedio de (44.2 – 56.3) aplicado en 5°. La disminución en el puntaje se atribuye al mayor

grado de dificultad del Pretest – Postest aplicado en 5°.

En la aplicación del Pretest-Postest en el período 2013-2014, 3 de 15 escuelas que

participaron mostraron diferencias significativas y 7 de las 15 escuelas sobrepasaron un

promedio de 60 puntos sobre 100 puntos que tenía la prueba. Mientras que en la aplicación

del Pretet-Postest (2015) participaron 9 escuelas de las 15 que iniciaron. Hubo también un

mejor desempeño de las escuelas del Pos test con respecto al Pre test. Sin embargo, solamente

2 de ellas alcanzaron más de 60 puntos. Las razones de la disminución del número de escuelas

se debieron: al cambio de curso de las profesoras que venían participando y al traslado de

otras profesoras a otras escuelas no participantes en el proyecto.

Resultados cualitativos

Hubo una percepción favorable de parte de las maestras participantes sobre el proceso de

formación, que fue explícito ante una encuesta sobre los aspectos positivos a considerar en

el proyecto. Los maestros participantes reconocieron sus aprendizaje cada vez que asistían

a los talleres, sus logros innovativos al hacer una clase diferente producto de la aplicación de

lo aprendido en los talleres y una autorreflexión de su práctica docente como objeto de


estudio e innovación, lo que derivó en el diseño, desarrollo y socialización de cinco proyectos

de innovación en los colegios.

También es positivo resaltar el acompañamiento situado que se hizo en cada escuela con los

profesores lo que incrementó su capacidad de análisis y reflexión sobre su práctica docente

y que también ha motivado a algunos profesores de estas escuelas a seguir procesos de

formación más avanzados como estudios de maestrías.


Andrade, A. Donado, M. Escudero, R. Nieto, R. Ortega, R. & De la Hoz, L. (1995). La práctica de las maestras de la escuela oficial N°20 “Elizabeth de Meisel” como objeto de estudio e investigación mediante un proceso de autogestión. (Tesis de maestría). Universidad del Norte, Barranquilla, Colombia. Arteta, J. Beleño, C. Casasbuenas, C. Escudero, R. García, B. Hernández, H.Martín, J. Orozco, Y. Pacheco, A. Polo, I. Rodriguez A. Rosales, B. (2014). Acompañamiento y cambio en el aula. Aprendizaje-Enseñanza de las matemáticas escolares. Barranquilla, Colombia: Editorial Fundación Promigas Da Ponte J. P. (2008). Investigar a Nossa Própria Prática: Uma Estratégia de Formação e de Construção do Conhecimento Profissional. Revista PNA - Revista de Investigación en Didáctica de la Matemática. Nº 4. Gálvez-Sobral, A. y Moreno, M. (2009). Impacto de las características docentes sobre el rendimiento académico en la evaluación nacional de la primaria guatemalteca. Recuperado de https://www.researchgate.net/publication/251231483 Godino, J. (2016). Perspectiva de la didáctica de las matemáticas como disciplina tecno científica.http://www.ugr.es/~jgodino/fundamentos_teoricos/perspectiva_ddm.pdf. Consultado 30/07/2016 Jackson, P. (1968). La vida en las aulas. La Coruña, España: Fundación Paideia León, M. (2008). Calidad docente y rendimiento escolar en Chile. (Tesis de maestría). Pontificia Universidad Católica de Chile, Santiago, Chile. Loaiza, A. (2014) Sentidos didácticos en el ejercicio docente: incidencia e impacto en el rendimiento académico de estudiantes pre-universitarios. Revista Sophia Vol 10 (1) 107-122. p.p. Marcelo, C. (1992). Cómo conocen los profesores la materia que enseñan. Algunas contribuciones de la investigación sobre conocimiento didáctico del contenido. En: Montero, L. y Vez, J .(Ed.), Las Didácticas específicas en la formación del profesorado (pp.151-186). Santiago, Chile: Tórculo. Ministerio de Educación Nacional de Educación Nacional MEN. (2012). Estándares Básicos de Competencias en Lenguaje, matemáticas, Ciencias y Ciudadanas. Bogotá. Colombia: MEN. Pinto, J., y T. González, T. (7 a 9 de Septiembre 2008). Sobre la naturaleza conceptual y metodológica del conocimiento del contenido pedagógico en matemáticas. Una aproximación para su estudio". En, Actas del X Simposio de la Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática. Universidad de Huesca, España, pp. 237-255.


CB-429

ÁLGEBRA LINEAR, DO CONCRETO PARA O ABSTRATO

Tatiane da Silva Evangelista [email protected]

Universidade de Brasília - Faculdade do Gama, Brasil

Núcleo temático: As matemáticas e sua integração com outras áreas. Modalidade: CB. Nível educativo: superior universitário. Palavras chaves: álgebra linear, resolução de problemas, abstrato e concreto. Resumo O ensino da Álgebra Linear passou por importantes mudanças ao longo dos anos. Todavia, essas modificações não foram suficientes para suprir as dificuldades enfrentadas pelos alunos dessa disciplina. Vários são os fatores que dificultam a aprendizagem. Dentre eles, podemos destacar o elevado nível de abstração de como os assuntos são abordados, o que acaba por impedir, em boa parte dos estudantes, o entendimento de conceitos fundamentais para futura utilização em outras disciplinas. Dessa forma, o objetivo desse trabalho foi relatar a experiência de um projeto desenvolvido em sala de aula que abordou a metodologia de resolução de problemas aplicado, partindo do concreto para o abstrato, de alguns tópicos de Álgebra Linear Introdução

O ensino da Álgebra Linear passou por transformações ao longo dos anos, principalmente

na década de 90 (Celestino, 2000) e é um ramo da Matemática muito importante e de grande

aplicabilidade. Os seus conteúdos relacionam problemas de diversas áreas de conhecimento.

Porém, o ensino e a aprendizagem dessa disciplina são considerados, por docentes e

discentes, como sendo uma experiência difícil devido às dificuldades manifestadas pelos

estudantes (Dorier, 1998; Hillel, 2000). Em geral, é a primeira disciplina que os alunos têm

contato com uma maior estrutura axiomática no ínicio do curso universitário, exigindo deles

elevados níveis de abstração e rigor matemático. Assim, o grau de formalismo não permite

aos universitários estabelecerem conexões com o que já sabem de matemática; e a abordagem

intuitiva acaba provocando nos alunos o sentimento de estarem aprendendo um tema que não

lhes parecem ter significado e sem ligação com situações cotidianas. Cabe ressaltar que a

disciplina de Álgebra Linear está presente na maior parte dos cursos universitários da área


de exatas, sobretudo nos cursos de engenharia, matemática, física, estatística, computação,

etc.

Segundo pensamento deweyano (Dewey, 1959), o aprendizado só ocorre quando há uma

situação de problema real para se resolver. Com base nos conhecimentos teóricos e na

experiência prática, é possível solucionar o problema passando por cinco fases:

caracterização da situação problemática, desenvolvimento da sugestão, observação e

experiência, reelaboração intelectual e verificação dos resultados. Assim, a partir de seus

conhecimentos e experiências o professor auxilia os alunos a “aprender a pensar”

relacionando a prática com a teoria, ou seja, do concreto para o abstrato.

Por conta disso, Uhlig (2002) analisou a exploração intuitiva e geométrica de alguns tópicos

da álgebra linear antes da teoria formal ser introduzida, utilizando diário de bordo, blogs,

como meio de envolver os alunos com os conceitos dessa disciplina.

E para responder a pergunta de praxe: Para que serve o contéudo que estou estudando? Motta

(2003) replicou essa indagação levando os alunos para a cozinha, por exemplo, quando se

frita um alimento, executam-se rotações para que todos os lados fiquem igualmente fritos.

Mesmo que haja rotações sobre os mesmos eixos, o corpo será rotacionado de forma diferente

se a ordem dos eixos for alterada. Observe que ao fritar um objeto com três dimensões,

abordaram-se temas como: transformações lineares no espaço, rotações e comutatividade de

matrizes. Nessa aplicação, as rotações de eixo não são comutáveis. Malajovich (2010)

defendeu que ninguém é capaz de aprender alguma coisa sem experiência e informação sobre

ela. Dessa forma, abordou em seu livro diversas práticas cotidianas da álgebra linear, tais

como: desempenho do algoritmo de busca do Google, funcionamento dos video games

tridimensionais, performance da televisão digital, entre outros.

A fim de trazer algumas contribuições para esse tema, neste artigo, apresentamos um relato

de uma experiência em sala de aula que utilizou resolução de problemas como ferramenta de

aplicação para abordar o concreto para o abstrato no ensino de alguns tópicos de álgebra

linear.

Metodologia da pesquisa: resolução de problemas


O ensino da matemática por meio da resolução de problemas vem ao encontro das

necessidades de tornar a matemática aplicada e significativa ao contexto do ensino e

aprendizagem. De acordo com Polya (1994), o problema desafia a curiosidade e

contextualiza uma situação-problema no desenvolvimento de uma atividade didática.

No final da década de 1940, surgiram os primeiros trabalhos significativos em resolução de

problemas. Segundo Onuchic (1999):

Em 1948, o trabalho desenvolvido por Herbert F. Spitzer, em aritmética básica, nos Estados Unidos, se apoiava numa aprendizagem com compreensão, sempre a partir de situações-problemas e, em 1964, no Brasil, o professor Luis Alberto S. Brasil defendia um ensino de matemática a partir de um problema gerador de novos conceitos e novos conteúdos (1999, p.202).

No período de 1960 e 1970, o ensino da matemática era abordado de maneira abstrata e

precisa. Nessa época, houve uma preocupação com a didática em sala de aula e não eran

enfatizadas no processo ensino-aprendizagem aplicações da matemática ou resoluções de

problema, bem como o conceito de interdisciplinidade. Finalmente, no final da década de

1970, inicio o ensino da matemática usando ese método que ganhou visibilidade entre os

educadores. Observou-se, claramente, uma nova abordagem da matemática por intermédio

dessa metodologia, promovendo a criatividade e a espontaneidade. De acordo com

Schroeder e Lester (1989), a resolução de problemas coloca o foco da atenção dos estudantes

sobre as ideias e sobre o “dar sentido as coisas”.

Nesse trabalho, procurou-se abordar problemas de aplicação, os quais retratam situações

concretas, possibilitando o discente fazer a conexão e a compreensão de conceitos abstratos

da matemática envolvida. Dessa forma, notamos que o concreto e o abstrato, são, portanto,

elementos indissociáveis para o conhecimento humano.

A seguir, apresentaremos alguns dos problemas desenvolvidos em sala da aula.

A prática e os relatos dos resultados

Os tópicos concretos voltadas para alguns temas de álgebra linear fazem parte de um projeto

de tutoria executado no 1ª/2016 para os cursos de Engenharia da UnB campus Gama, que

durante o período de execução desse projeto, oferecia duas turmas de Introdução à Algebra


Linear (IAL) com 120 alunos cada. Somente uma turma participou desse trabalho, essa opção

nos proporcionou fazer uma uma análise estatística do desempenho acadêmico dessas turmas.

Enfatiza-se que o objetivo essencial deste trabalho é a apresentação dos relatos das

experiências didáticas utilizadas no processo ensino-aprendizagem de Álgebra Linear. Sendo

assim, outro estudo sobre uma análise estatística, tanto descritiva como inferencial, ficará

como perspectiva.

Todas as aulas foram planejadas com a intenção de valorizar a participação dos alunos,

buscando torná-los agentes da construção dos seus próprios conhecimentos e sendo capaz de

fazer a conectivade da aplicabilidade real com a teoria abstrata estudada. Assim,

apresentaremos o desenvolvimento de quatro aulas desenvolvidas nesse projeto com seus

objetivos, atividades e comentários.

Aula 1: Criptografia - um olhar matricial

Objetivo: Incentivar os alunos a importância da inversão matricial.

Atividade: Iniciamos a aula com a exposição de algumas sinopses de filmes que

envolviam tentativas de desvendar códigos secretos, tais como o livro O Código da Vinci de

Dan Drown publicado em 2005 e o filme O jogo da imitação lançado em 2014. Após a leitura

dessas resenhas, foram feitos questionamentos de quais ferramentas matemáticas seriam

precisos para codificar e decodificar uma mensagem. Em seguida, os alunos foram

organizados em grupos de quatro pessoas e propomos o seguinte problema: João passou a

seguinte mensagem a Maria:

33,83,145,59,27,87,115,75,95,145,47,17,94,50,63,82,25,93,83,93,83,215,377,157,68,225,302,195,247,377,124,45,241,129,165,214,65,242,221,247.

Sabe-se que a matriz utilizada para criptografar a mensagem foi � = �� . Qual foi

a mensagem?

Depois, os alunos foram orientados a seguir a proposta de resolução de problema sugerida

por Polya (1994): compreensão do problema, construção de uma estratégia de resolução,

execução da estratégia e revisão da solução.

Comentários: A introdução da aula, através das sinopses despertou o interesse dos discentes

pela atividade. E a grande maioria entendeu que a primeira estratégia de resolução do

problema era de combinar o código secreto entre o remetente e destinatário. Assim, que cada


grupo de alunos criou a tabela de código alfanumérico. Em seguida, os alunos foram

questionados sobre a importância de criar na tabela um representante para o espaço entre as

palavras. Então, os alunos discutiram acerca do problema de como representar a mensagem

fornecida na forma matricial e as várias formas de calcular a inversa da matriz A. Nesse

ponto, a maioria dos alunos não tiveram problema na inversão por ser uma matriz de ordem

2, alguns sugeriram usar a relação de matriz adjunta com o seu determinante outros

preferiram trabalhar com a definição �. �!" = #. Por fim, nenhum estudante apresentou

dificuldades de efetuar uma multiplicação matricial. No final, todos estavam muito

empolgados em descobrir a mensagem de cada grupo, uma vez que todos adotaram códigos

diferentes. A atividade foi muito produtiva, pois os alunos perceberam que a matriz

codificadora A tem que ter um determinante não nulo (condição de inversabilidade).

Aula 2: Balanceamento químico

Objetivo: Resolução de um sistema linear indeterminado.

Atividade: A aula iniciou-se com um debate do processo de fotossíntese. O professor indagou

os alunos como era esse método. Todos os alunos destacaram a grande importância do Sol

como fator essencial para a produção de oxigênio pelas plantas. Novamente, os alunos foram

organizados em grupos e apresentado o seguinte problema:

A fotossíntese é o processo através do qual as plantas e alguns outros organismos

transformam energia luminosa em energia química processando o dióxido de carbono

(CO2), água (H2O) e minerais em compostos orgânicos e produzindo oxigênio gasoso

(O2). Determine equação geral desse balanceamento químico.

Comentários: Os alunos mostraram conhecimento que numa reação química a soma das

massas das substâncias reagentes é igual à soma das massas dos produtos da reação. Eles

tiveram em dificuldade em montar a fórmula química do composto orgânico (C6H12O6).

Começaram a resolver o problema pelo método da tentativa e erro, mas não foi muito eficaz

na resolução. Assim, começaram a discussão do problema e observaram que a melhor

maneira era montar um sistema linear de acordo com cada componente orgânico da equação

química (carbônio, oxigênio e hidrogênio). Resultando num sistema de três variáveis e quatro

equações. Nessa etapa, a maioria teve problemas em resolver um sistema linear

indeterminado usando escalonamento. O professor interveio fazendo a explicação da solução.


Essa atividade foi muito eficaz pois os alunos perceberam a importância da resolução de um

sistema linear nesse processo.

Aula 3: Conjunto das cores primárias

Objetivo: Verificar alguns axiomas de espaço vetorial.

Atividade: Introduziu-se a aula recordando as cores primárias, secundárias e terciárias e, suas

posições no círculo cromático, usando como material de apoio tintas guaches. Em seguida,

foi introduzido o seguinte problema: É possível criar um conjunto de cores primárias em

que se mantêm a comutatividade, a associatividade e a existência do complementar

entre as cores?

Comentários: Os estudantes ficaram muito animados em tornar a aula de matemática em

educação artística. Eles captaram que a ideia da resolução do problema era entender os

termos: comutatividade, associatividade e complementar. Nenhum aluno teve dificuldade

nesses conceitos e manipularam as cores corretamente e verificaram as propriedades com

sucesso. Essa aplicação proporcionou um maneira muito clara e fácil de entender os axiomas

de espaço vetorial, cujo tema a maioria dos alunos achavam muito difícil devido às definições

abstratas.

Aula 4: Rotações de imagens

Objetivo: Estudar transformações lineares.

Atividade: A aula começou mostrando aos alunos a seguinte imagem:


Figura 1: Careca ou cabeludo?

Fonte: http://www.oqueeoquee.com/imagens-ambiguas/

E fez a seguinte pergunta: O que acontecesse quando você rotaciona a figura 180 graus?

Como fazer essa rotação?

Comentários: Os discentes se divertiram em virar a figura de cabeça para baixo. E a grande

parte, deduziram que a solução do problema era aplicar uma função com uma característica

“especial”, mas não conseguiram deduzir essa propriedade. O docente interveio nessa

aplicação explicando a teoria. Foi uma atividade relevante pois os alunos notaram a

importância do conceito de transformação linear.


Com os resultados obtidos nesse trabalho, foi possível observar que, tanto por parte dos alunos,

quanto pelos docentes, o uso de aplicações concretas no processo ensino e aprendizagem da

disciplina da Álgebra Linear aperfeiçoou o melhor aprendizado dessa matéria, pois tornou mais

fácil ao estudante criar associações e generalizações dessas atividades com os conteúdos

algébricos relacionados. A observação do comportamento dos alunos frente aos problemas

propostos, e também do comprometimento por eles demonstrado na procura por solução,

corrobora os dizeres de Dewey (1959) em relação ao fato de a aprendizagem ocorrer efetivamente

somente nos casos em que há um problema real para se resolver. No ensino de matemática, as

práticas reais propiciam um ambiente no qual essa deixa de possuir um caráter estritamente


abstrato e passa a ser vista como algo rotineiro, aplicável no dia a dia e de fácil acesso. Neste

trabalho, mediante a utilização das atividades concretas, constatamos que os discentes

demonstraram mais interesse e motivação no estudo de conteúdos da álgebra linear. A opinião

geral dos alunos enfatizou que essas atividades permitiram um aprendizado mais fácil, dinâmico

e prazeroso. A estatística comparativa do índice de aprovação das turmas de IAL que

participaram e não participaram do projeto foram 67% e 37%, respectivamente. Como

perspectiva, almejamos ampliar o alcance deste trabalho, desenvolvendo mais atividades

concretas para estudar outras teorias abstratas da matemática; bem como replicá-lo em mais

turmas a fim de aglutinar dados estatísticos para a realização de uma análise descritiva e

inferencial aprofundada.


Celestino, M. R. (2000). Ensino-aprendizagem da álgebra linear: as pesquisas brasileiras na década de 90. Brasil: PUC-São Paulo. Dewey, J. (1959). Democracia e educação: introdução à filosofia da educação. 3a. ed. São Paulo: Nacional. Tradução de Godofredo Rangel e Anísio Teixeira. Dorier, J. L. (1998). État de l’art de la recherche en didactique – À propos de l’enseignement de l’algèbre linéaire. França: Recherches en Didactique des Mathématiques, vol. 18, n 2, p. 191-230. Hillel, J. (2000) Modes of description and the problem of representation in linear algebra. In: J. L. Dorier (d,), On the teachig of liner algebra (p. 191-207). Kluwer Academic Publishers. Malajovich, G. (2010) Álgebra linear, 3a. ed, Brasil: UFRJ. Motta, V. S. (2003), Álgebra linear na cozinha, Congresso Brasileiro de Educação em Engenharia - Cobenge. Onuchic, L.R. (1999). Ensino-aprendizagem de matemática através da resolução de problemas. In: Bicudo, M.A.R. (org): Pesquisa em educação matemática: Concepções e perspectivas. São Paulo: Edunesp, p. 199-218. Polya, G. (1994) A arte de resolver problemas: um enfoque do método matemático. Tradução e adaptação: Heitor Lisboa de Araújo. Rio de Janeiro. Schroeder, T.L; Lester Jr, F.K. (1989). Developing understanding in mathematics via problema solving. In: Trafton, P. R.; Shulte, A. P. (ed). New directions for elementary school mathematics. Reston: NCTM, p. 31-42.


Uhlig, F. (2002). The Role of Proof in Comprehending and Teaching Elementary Linear Algebra. Educational Studies in Mathematics, 50, p. 335–346.


CB-430

ATIVIDADE DE ENSINO NA FORMAÇÃO DE PROFESSORES: UNIDADE DIALÉTICA ENTRE TEORIA E PRÁTICA

Maria do Carmo de Sousa – Manoel Oriosvaldo de Moura

[email protected] – [email protected] Universidade Federal de São Carlos/Brasil – Universidade de São Paulo/Brasil

Núcleo temático: Formação de professores de Matemáticas Modalidad: CB Nivel educativo: 05 Palavras chave: Teoria histórico cultural. Historiografia da Matemática. Movimento lógico-histórico. Nexos conceituais. Resumo Este artigo tem como objetivo apresentar os resultados de uma investigação qualitativa, cujos pressupostos teóricos e metodológicos se fundamentam na teoria histórico-cultural. Foi conduzida pela questão: como os professores elaboram situações desencadeadoras de aprendizagem em Atividades de Ensino que considerem a unidade dialética lógico-histórica, de forma que possam orientar o ensino de Matemática na Educação Básica? Pressupôs-se que, ao analisar, estudar e desenvolver situações desencadeadoras de aprendizagem em Atividades de Ensino, os professores, têm a oportunidade de, coletivamente, compreender a unidade dialética estabelecida entre teoria e prática. Os dados foram construídos com os seguintes instrumentos: 1) fontes primárias e secundárias: situações desencadeadoras de aprendizagem em Atividades de Ensino, Dissertações, Teses e manuscritos elaborados por professores; 2) levantamentos bibliográficos sobre as temáticas: Historiografia, Historiografias de Matemática, História da Matemática, Atividade de Ensino, Atividade Orientadora de Ensino e Didática. A análise dos dados seguiu uma linha interpretativa. Construíram-se eixos temáticos que indicam o papel que os nexos conceituais (internos e externos) presentes nas situações desencadeadoras de aprendizagem podem cumprir no ensino de Matemática, de forma que os professores, enquanto desenvolvem-se profissionalmente, tenham coragem de romper com um ensino que prioriza a memorização e o pensamento empírico dos conceitos matemáticos.

1. Introdução

Este texto apresenta dados de uma investigação de cunho qualitativo, que contou com

financiamento do CNPq, foi desenvolvida no período de março de 2015 a dezembro de 2016,

têm como pressupostos teóricos e metodológicos, a teoria histórico-cultural e por objetivos:

1) estudar, teoricamente, historiografias da Matemática e suas relações com a perspectiva

lógico-histórica, uma vez que, defendemos que, o lógico-histórico pode se configurar

enquanto perspectiva didática para o ensino de Matemática, a partir do desenvolvimento de


situações desencadeadoras de aprendizagem (SDA) em atividades de ensino (AE) e 2)

ampliar os estudos teóricos que temos feito sobre os conceitos de atividade de ensino (AE) e

de atividade orientadora de ensino (AOE). Foi conduzida pela seguinte questão: como os

professores elaboram situações desencadeadoras de aprendizagem em Atividades de Ensino

que considerem a unidade dialética lógico-histórica, de forma que possam orientar o ensino

de Matemática na Educação Básica?

Compusemos o texto, a partir de três itens. Inicialmente, apresentaremos os pressupostos

teóricos que fundamentaram a investigação. Em seguida, a metodologia e por último,

indicaremos algumas SDA que se fundamentam na perspectiva lógico-histórica e foram

elaboradas por futuros professores que ensinarão Matemática na Educação Básica. Tais SDA

explicitam como os futuros professores estão tentando romper com um ensino de matemática

que prioriza a memorização de regras e algoritmos.

2. Pressupostos teóricos

A escola durante muito tempo seguiu o modelo da industrialização. Assim, até o final do

século XX pudemos constatar o enfoque de certa Pedagogia do Treinamento (Lima, 1998)

em todas as áreas do conhecimento.

Pedagogia do Treinamento é a Pedagogia que privilegia as repetições de informações sobre

o conceito. Aqui, tanto aqueles que aprendem, quanto aqueles que ensinam são apenas

usuários do conceito. O uso do conceito não significa necessariamente o entendimento deste

como criação humana lógico-histórica.

Exemplo dessa Pedagogia, ainda hoje pode ser constatado todos os dias na maioria das

escolas brasileiras, uma vez que boa parte dos professores, incentiva os estudantes a

decorarem longas listas de perguntas e respostas, bem como inúmeras fórmulas matemáticas.

Há na sala de aula a fragmentação dos conteúdos, ao mesmo tempo em que se tenta adaptar

o currículo às novas exigências sociais. Há aqui, o uso de uma didática puramente

instrumental onde teoria e prática estão completamente dissociadas.

Nesse sentido, faz-se necessário chamar atenção para o fato de que, a didática tradicional,

conforme denomina Davydov (1982) não considera a totalidade presente nos conceitos que

são ensinados nas escolas, uma vez que prioriza o estudo dos elementos perceptíveis dos

conceitos: os nexos externos do conceito, os quais estão relacionados à linguagem formal do

conceito porque estão limpos, despidos de contradições, ao contrário dos nexos internos que


estão impregnados de história, por isso, são históricos. Assim, os nexos externos são

explicitados na sala de aula completamente desconectados das diversas áreas do

conhecimento a partir do aspecto simbólico contido nos conceitos. É como se o aspecto

simbólico dos conceitos tivesse vida própria; falasse por si só.

Este fato ocorre porque na didática tradicional não se considera, por exemplo, que os

conceitos estudados nas escolas são gerados, em sua maioria na praxis humana. Esquece-se

que a atividade humana está contextualizada em “um particular contexto histórico, cultural e

institucional” (RENSHAW, 1999, p. 10). Nesse sentido, os conteúdos contêm nexos internos

e externos. Concordamos com autores como Renshaw (1999) que defendem que, a

implantação de um currículo deveria considerar as análises: lógica, psicológica e didática

presentes nos conteúdos. Não se constrói processo pedagógico sem a construção dessas

conexões. Não há como ocorrer apropriação de conceitos científicos de forma automática. A

“análise didática é necessária para criar procedimentos de ensino, poderosos o bastante para

construir conexões entre os conceitos científicos e os conceitos cotidianos do estudante”

(RENSHAW, 1999, p. 03).

O tipo de pensamento que se projeta no sistema de ensino baseado na Psicologia pedagógica

e na didática, tradicionais, se fundamenta tão somente no pensamento empírico e no

pensamento teórico. Nesse tipo de ensino, sugere-se que, a partir das sensações, as crianças

elaborem pensamento teórico.

A principal característica do pensamento empírico, afirma Davydov (1982), fundamentado

em Kopnin (1978), está no fato de que este consiste no reflexo dos objetos, desde a ótica de

suas manifestações e vínculos externos, exequíveis e acessíveis à percepção, contrapondo-se

ao pensamento teórico que reflete os nexos internos dos objetos e as leis de seu movimento.

Os nexos internos dos objetos só se realizam em movimento. Os nexos internos dos objetos

representam o processo.

Dessa forma ignora-se nas escolas tudo o que permite conhecer a gênese e a natureza dos

conceitos por não estar em consonância com as suas possibilidades. As escolas se limitam a

descrever o pensamento empírico-discursivo onde a racionalidade é o elemento inevitável

presente nas formas mais desenvolvidas do pensamento, dotando de consistência e certeza

os conceitos.


Essa tendência presente nas práticas escolares leva a várias consequências negativas e a

principal delas está no fato de que já na idade escolar cristalizam-se nos alunos os

componentes “do pensamento racional”, a partir do pensamento empírico.

3. Metodologia

A investigação foi caracterizada como documental, com inspiração em estudos históricos,

conforme apontam Fiorentini e Lorenzato (2007, p. 103), considerando-se que, para levantar

as informações necessárias fizemos uso de fontes primárias, tais como: SDA em AE, textos

impressos e manuscritos, bem como, de fichamentos de livros e textos teóricos que tratam

das seguintes temáticas: Historiografia, Historiografia da Matemática, História da

Matemática, SDA, AE, AOE e Didática.

Ao desenvolvê-la elegemos uma metodologia que foi composta dos seguintes momentos e

estratégias:

1º.) A realização da análise lógica do conteúdo. Essa consistiu de um estudo teórico sobre a

história de conceitos tratados na Educação Básica, com especial atenção para o conceito de

função. O estudo remeteu, necessariamente, a uma pesquisa bibliográfica que envolveu tanto

historiografias da Matemática, quanto as relações que envolvem historiografias da

Matemática e o movimento lógico-histórico.

2) A proposição de AE. Essa consistiu de: 2.1) um estudo teórico sobre o movimento lógico-

histórico e da elaboração de SDA em AE, as quais tratam dos conteúdos de Matemática, da

Educação Básica. Demos especial atenção àquelas relacionadas aos conceitos de função. As

proposições das SDA tiveram como público alvo: licenciandos, professores da Educação

Básica e pós-graduandos. 2.2) da leitura e análise dos fascículos, configurados como AE,

para a Educação Básica, sobre as temáticas: Álgebra, Geometria, Medidas, e, Estatística e

Tratamento da informação, elaborados por licenciandos, professores da Educação Básica e

pesquisadores, integrantes dos quatro núcleos do Grupo de Estudos e Pesquisa sobre a

Atividade Pedagógica (GEPAPe): FE/USP1, FFCLRP/USP2, PPGR/CE/UFSM3 e

MECM/UFG4, enquanto desenvolviam a pesquisa intitulada: “Educação Matemática nos

anos iniciais do Ensino Fundamental: princípios e práticas da organização do ensino”, no

âmbito do Programa Observatório da Educação (OBEDUC/Capes), sob a coordenação geral

do Prof. Dr. Manoel Oriosvaldo de Moura.


3º.) Aprofundamento teórico sobre os conceitos de AE e AOE. Essa consistiu em um estudo

sobre a Teoria da Atividade preconizada por Leontiev, considerando-se que, participamos do

GEPAPe e nos tornamos membro do Gepape, núcleo de Bauru, o qual está sob a coordenação

da Profa. Dra. Flávia da Silva Ferreira Asbahr, da UNESP.

Todos os momentos do processo acima fizeram parte do nosso diário de campo para a

configuração dos dados da investigação.

Destacamos dois tipos de instrumentos que foram usados: 1) aqueles que contribuíram para

a construção dos fatos: os textos teóricos que foram produzidos por diversos autores e 2) as

SDA em AE produzidas por licenciandos e professores da Educação Básica. Esses

instrumentos possibilitaram considerar o movimento mais geral da pesquisa.

Nesse contexto, a AE abrange duas características essenciais para cumprir os objetivos da

investigação:

1) Constituir-se num instrumento de ensino e de pesquisa, tendo por meta a obtenção de

dados reveladores da relação que podem envolver a organização do ensino na sala de aula.

2) Ser instrumento de formação dos professores ao proporcionar-lhes a aprendizagem de

como se elabora SDA em AE, a partir do movimento lógico-histórico.

A análise dos dados seguiu uma linha interpretativa cuja característica é a particularização,

ao invés da generalização de resultados. Permitiu-nos organizar dois eixos temáticos que têm

como principal objetivo mostrar o papel que os nexos conceituais (internos e externos)

desempenham tanto no ensino de Matemática, quanto na formação dos professores: 1)

Historiografia, História da Matemática e movimento lógico-histórico de conceitos

matemáticos e 2) Atividade de Ensino (AE) e Atividade Orientadora de Ensino (AOE). Tais

eixos representam categorias analíticas que indicam o papel que os nexos conceituais

(internos e externos), através das linguagens aritmética, algébrica e geométrica, podem

desempenhar, tanto no ensino de Matemática, quanto na formação dos professores.

4. Situações desencadeadoras de aprendizagem elaboradas por futuros professores

que ensinarão Matemática

A partir do exposto, em parágrafos anteriores e:

Com o intuito de tornar nossa prática docente uma vivência do movimento recíproco entre

teoria e prática, resolvemos oferecer, no primeiro semestre de 2007, a Atividade Curricular

de Integração Ensino, Pesquisa e Extensa, Aciepe, intitulada “Quando a História da


Matemática passa a ser Metodologia de Ensino”, na Universidade Federal de São Carlos,

UFSCar. Nossa intenção era investigar, ao longo dos encontros, as elaborações que

professores da Educação Básica, inscritos na Aciepe, fariam ao serem convidados a

pesquisar, analisar, elaborar e vivenciar atividades de ensino na perspectiva lógico-histórica

(Sousa, 2009, p. 89-90).

Assim, durante a Aciepe, elaboramos uma SDA intitulada: “O que é função”, a qual enfatiza

os nexos conceituais: movimento (fluência), interdependência, campo de variação e

representação. Para elaborá-la, consideramos a historiografia de Karlson (1961).

Quadro 01: Situação desencadeadora de aprendizagem: O que é função?

Essa SDA foi publicada em 2009, no Boletim de Educação Matemática (Bolema) e, desde

então tem frequentado, as salas de aula, da universidade quando ministramos as disciplinas:

Metodologia de Ensino I e II e Estágio I, II, III e IV, nos cursos de licenciatura de Matemática

e, consequentemente, as salas de aula da Educação Básica.

Objetivo: Desenvolver o conceito de função Desenvolvimento: Dinâmica relacional indivíduo-grupo-classe I- Imagine a seguinte situação: O viajante na floresta põe um pé diante do outro – e a cada passada o caminho por ele vencido se acresce de uma nova porção. O trajeto guarda com o número de passos uma relação fixa e determinada. Responda: - Quais são as grandezas que envolvem a interdependência desse movimento? - Qual a lei obedecida por esta interdependência? Expresse-a: a) partir de uma frase; b) a partir da matemática simbólica; c) Localize a variável dependente e a variável independente desse movimento. II- Suponhamos que o viajante distraído que caminha pela floresta seja um soldado em férias, que tem no sangue a cadência constante das marchas. - Se o comprimento do passo desse soldado vale 0,75m, como poderíamos expressar a lei que rege o seu trajeto? Por quê? - Nesta situação, qual será o campo de variação dessa lei? Por quê? - Construa uma tabela com o trajeto possível do soldado. - Se não quisermos medir o trajeto pelo número de passos e sim pela relação tempo e caminho percorrido, haverá mudanças na lei que estabelecemos anteriormente? Por quê? - E quanto ao campo de variação? Explique. III- O caminhante prossegue em sua marcha com velocidade constante, sem orientar o modo de andar pelo seu estado de ânimo. Suponhamos que em um segundo o homem percorre 1,5 metros, em dois, 2 . 1,5 metros e, assim por diante: - Como expressar a lei desse movimento? - Qual será o campo de variação? - Como representar esse movimento a partir de uma tabela? - Como dispor esses dados em um gráfico?


A análise desta SDA fez parte da pesquisa de mestrado desenvolvida por Rezende (2015),

cujo contexto foi a mesma Aciepe: “Quando a história da Matemática passa a ser

Metodologia de Ensino”, ministrada no 2º. semestre de 2013.

Centramos nossa atenção, portanto, às formas como os participantes se apropriaram dos

sentidos e significados que atribuíram à organização do ensino de matemática fundamentado

na perspectiva lógico-histórica, mais especificamente, aos principais elementos que foram

destacados como características dessa perspectiva teórica, isto é: a ideia de fluência; a história

como recurso didático; os nexos internos e externos dos conceitos; os contextos de elaboração

dos conceitos; e o movimento do pensamento na elaboração conceitual (Rezende, 2015, p.

188). Orientamos para que os participantes tentassem fundamentar suas propostas de

atividades na perspectiva lógico-histórica e também que as propostas tivessem no mínimo

três itens: 1) tema e objetivo; 2) roteiro de desenvolvimento; e 3) elementos da história do

conceito selecionados. Quanto à forma como iriam organizar e articular esses itens e

apresentar suas propostas de atividades, não fizemos indicação alguma. Assim,

estabelecemos como hipótese que os estudantes poderiam reproduzir modelos parecidos com

o que vivenciaram na ACIEPE ou elaborarem novas formas. Julgamos que o segundo item,

além de manifestar maior autonomia, pois os estudantes não estão simplesmente

reproduzindo modelos, tem maior potencial para evidenciar os sentidos e significados

produzidos acerca da organização de propostas de atividades de ensino fundamentadas na

perspectiva lógico-histórica. Isso se justifica pelo fato de que a forma como os participantes

entendem a organização do ensino é que fundamenta suas escolhas na elaboração das

propostas de atividade (Rezende, 2015, p. 113-114).

Segue abaixo o quadro 02 que sintetiza as características das SDA elaboradas pelos futuros

professores que ensinarão matemática e participaram da pesquisa (Rezende, 2015):

Quadro 02: SDA elaboradas por licenciandos e pós-graduandos – UFSCar. SDA Temática/Autores Conteúdos Recurso

metodológico Nexos conceituais

1. Geometria (Camila, Alice e Clara, 2013)

Ângulos Retas perpendiculares Retas paralelas

Situação emergente do cotidiano

Movimento Ângulo urbano

2. Números Lia (2013)

Número negativo Jogo Ideia dos contrários Contagem

3. Geometria Paulinha (2013)

Medida Situação emergente do cotidiano

Senso de grandeza Grandeza Interdependência Comparação


4. Números (Will, 2013)

Logaritmo Jogo Operações aritméticas Interdependência

5. Números (Bia, 2013)

Divisão Situações emergentes do cotidiano

Grandeza

6. Números (Júlia, 2013)

Números fracionários e decimais

Sequência didática Grandezas Medida

7. Números e operações (Joana, 2013)

Adição e subtração Situação emergente do cotidiano

Senso numérico Contagem Correspondência um a um

Elaborado pela pesquisadora.

5. Considerações finais

As SDA que foram desenvolvidas pelos futuros professores foram:

(...) materializadas por meio de diferentes recursos metodológicos. Dentre esses recursos,

Moura e Lanner de Moura (1998) destacaram em seus estudos o jogo, as situações

emergentes do cotidiano [...]. Os autores defendem que tal organização do ensino cria

condições para que os estudantes entrem em atividade. Segundo eles, o jogo com propósito

pedagógico pode ser um importante aliado no ensino, já que preserva o caráter de problema.

[...] O que devemos considerar é a possibilidade do jogo colocar a criança diante de uma

situação-problema semelhante à vivenciada pelo homem ao lidar com conceitos

matemáticos. [...] A problematização de situações emergentes do cotidiano possibilita à

prática educativa oportunidade de colocar a criança diante da necessidade de vivenciar

solução de problemas significativos para ela. [...] (Moura e Lanner de Moura, 1998, p. 12-

14).

Nesse contexto, as SDA vivenciadas e elaboradas pelos licenciandos e pós-graduandos,

apontam que, o principal papel que as AE parecem estar desempenhando em suas formações

está relacionado, inicialmente, à autonomia que vêm conquistando para organizar o ensino

que ministrarão, na medida em que rompem com exercícios que estão prontos e acabados.

Tais SDA são elaboradas na medida em que começam a prestar atenção nas dificuldades dos

alunos. Indica-nos que têm conhecimento tanto dos conteúdos matemáticos, quanto didáticos

para planejar e organizar suas aulas.

6. Referências bibliográficas

Davydov, VV. (1982). Tipos de generalización en la enseñanza. Ciudad de La Havana: Editorial Pueblo y Educación.


Fiorentini, D. e Lorenzato S. (2007). Investigação em Educação Matemática. Campinas: Autores Associados.

Karlson, P. (1961). A magia dos números. Rio de Janeiro, Brasil: Editora Globo.

Kopnin, P. V. (1978). A dialética como lógica e teoria do conhecimento. Rio de Janeiro: Civilização Brasileira, Coleção Perspectivas do homem.

Lanner de Moura, A. R., Moura, M. O. (1998). Matemática para educação infantil: conhecer (re) criar – um modo de lidar com as dimensões do mundo. Escola: Um Espaço Cultural, 1(1).

Lima, L. C. (1998). Da mecânica do pensamento ao pensamento emancipado da mecânica. In: Programa Integrar. Caderno do Professor: trabalho e tecnologia, Capítulo 8, pp. 95-103. São Paulo: CUT

Renshaw, P. D. (1999). A teoria sociocultural de ensino-aprendizagem: implicações para o currículo no contexto australiano. In Cadernos pedagógicos, no. 18, Porto Alegre: Secretaria Municipal de Educação.

Sousa, M.C. (2009). Quando professores têm a oportunidade de elaborar atividades de ensino de Matemática na perspectiva lógico-histórica. Bolema, Rio Claro (SP), Ano 22, nº 32, 83- 99.


CB-431

DE LOS REALES A LOS COMPLEJOS, SOLO HAY UN PEQUEÑO PASO

Marisol Radillo Enríquez – Vladimir Efremov – Juan Martín Casillas González [email protected] – [email protected] –

[email protected] Universidad de Guadalajara, México

Modalidad: CB Nivel educativo: Universitario Núcleo temático: Enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas Palabras clave: plano complejo, proyección estereográfica Resumen En nuestra experiencia, los estudiantes universitarios que comienzan el estudio de Análisis Complejo se enfrentan a algunas dificultades relacionadas con el concepto del infinito, mismas que pueden evitarse si se añaden unos cuantos conceptos a los cursos básicos que incluyen números reales y complejos. En este trabajo se presenta a los profesores de nivel medio y del primer año universitario, analizar las sutiles diferencias con las que el infinito es abordado tanto en el campo de los números reales como en los números complejos. Nuestra propuesta consiste en desarrollar el concepto del punto al infinito para el plano complejo en términos de la proyección estereográfica y compararlo con el concepto de puntos al infinito en la recta real, con apoyo de la computadora. Las demostraciones formales se dejan para cursos avanzados, en su lugar proponemos actividades de visualización que permitan a los estudiantes entender estos conceptos básicos. Se espera que con estas actividades, los estudiantes de cursos matemáticos elementales tengan un panorama más amplio de las matemáticas avanzadas.

Introducción

Los números complejos se abordan brevemente en los primeros cursos universitarios, como

preámbulo a los cursos de Precálculo o Álgebra, para continuar con materias tales como

Cálculo Diferencial e Integral. Aunque estos cursos son obligatorios en las todas carreras

universitarias del área de Ciencias Exactas e Ingenierías, son menos frecuentes los cursos de

Análisis Real y Análisis Complejo, que se restringen a las carreras de Física, Matemáticas y

algunas Ingenierías. No obstante, es interesante analizar las sutiles diferencias con las que el

infinito es abordado en los cursos mencionados, con la intención de ampliar el conocimiento

matemático de los alumnos, y que ellos desarrollen el pensamiento matemático que se


requiere en las diversas carreras del Centro Universitario de Ciencias Exactas e Ingenierías

(CUCEI) de la Universidad de Guadalajara, México.

Los primeros cursos de matemáticas en el CUCEI se enfocan en el campo de los números

reales, pero incluyen una rápida “ojeada” a los números complejos. Se comienza con la

necesidad de ampliar los números reales, se abordan sus formas de representación (binomial,

trigonométrica y exponencial) y las operaciones básicas entre los números complejos

(adición, sustracción, multiplicación, potencias, raíces). Después de esto, se abordan ramas

de las matemáticas en las que solamente se manejan números reales, tales como Cálculo

Diferencial e Integral, Cálculo Vectorial, Álgebra Lineal, Análisis Numérico, Análisis Real,

etc. Una vez concluidos estos cursos, en algunas carreras se ha incluido el estudio de la

variable compleja. A su vez, el curso de Análisis Complejo, comienza desde los mismos

temas con que se concluyó, un año antes, el estudio de los números complejos; en este nivel,

los estudiantes son capaces de demostrar teoremas y propiedades de los números complejos.

Por otra parte, la proyección estereográfica, entendida como la transferencia de un elemento

(punto) desde una esfera a un plano, o viceversa, es un ejemplo clásico de transformaciones,

cuyas aplicaciones más comunes se encuentran en la topografía, la cartografía y la geología.

En el ámbito matemático este procedimiento se discute en los cursos de geometría diferencial

y representa un área de oportunidad valiosa, ya que atiende:

• la transformación entre espacios,

• la diferenciabilidad de estas transformaciones

• los límites de estas transformaciones

• los elementos geométricos y analíticos que se involucran.

Estas características no solo atienden a funciones de variable real, sino que aparecen en otros

cursos, tales como el de variable compleja, donde pueden discutirse temas como el límite de

una función compleja cuando su argumento tiende al infinito, y el límite al infinito de una

función compleja.

Nuestra propuesta consiste en añadir al primer curso en el que se abordan los números

complejos (Precálculo o Álgebra, según la carrera de que se trate), los conceptos de “punto

al infinito”, “recta real extendida”, “plano complejo extendido”, “recta real proyectivamente

extendida” y homemomorfismo, para lo cual es necesaria la proyección estereográfica. Para


facilitar el aprendizaje, dado que está dirigido a estudiantes de primer ingreso, hemos

diseñado unas sencillas actividades mediadas por computadora, con el fin de que los

estudiantes visualicen las relaciones entre conceptos.

En este trabajo no se pretende profundizar en el concepto del infinito, sino proponer una

reflexión sobre posibles detalles que generan confusión en los estudiantes que transitan del

Análisis Real al Análisis Complejo.

En la primera parte de este documento, dirigido a profesores de enseñanza media o de los

primeros cursos del nivel superior, abordaremos los conceptos básicos involucrados en este

trabajo, tales como el límite al infinito de una sucesión en el plano complejo, las igualdades

básicas que involucran al infinito y las expresiones que carecen de sentido por llevar a

incertidumbres.

En la segunda parte se abordan la proyección estereográfica y su visión geométrica, la cual

involucra la noción de homeomorfismo. Aquí se incluyen algunos temas vinculados con el

infinito y la proyección estereográfica, que se abordan en los cursos de Análisis Real. Aunque

estos temas requieren diversas demostraciones en los cursos de Análisis Complejo, nuestra

propuesta es abordarlos a un nivel acorde al programa de estudios del primer año

universitario.

Finalmente, describimos unas actividades mediadas por computadora, para que el estudiante

tenga la oportunidad de manipular los objetos matemáticos involucrados y así, construya

activamente el significado del punto infinito y la proyección estereográfica.

Conceptos básicos

La propiedad de orden de los números reales establece que, si $ y % son números reales

diferentes, entonces a < b ó b < a. Los números complejos carecen de esta propiedad de

orden, ya que no es posible determinar, por ejemplo, si 3 + '5 es mayor o menor que 5 + '3, aunque sí existe una propiedad de orden parcial, si nos referimos al módulo de dichos

números complejos.

Al comenzar el estudio del Análisis Complejo, se dice que la recta real extendida ℝ* debe

contener dos puntos al infinito ℝ* = ℝ ∪ ,−∞, +∞0, para conservar dicha propiedad de

orden. También se dice que el plano complejo extendido (ℂ2) naturalmente contiene solo un


punto infinito ℂ2 = ℂ ∪ ,∞0, que aparece como el “polo norte” en la esfera de Riemann 34,

como resultado de la proyección estereográfica.

Sin embargo, si estamos dispuestos a sacrificar el orden completo del eje real, podemos

aplicar el análogo uno-dimensional de la proyección estereográfica y obtener la recta real

proyectivamente extendida ℝ5 = ℝ ∪ ,∞0 que es topológicamente equivalente, es decir

homeomorfa, a una circunferencia unitaria 3". A continuación, explicaremos la relación

entre todas estas nociones.

El punto al infinito

El concepto del punto al infinito se utiliza para hablar inteligiblemente sobre límites

infinitos (Marsden y Hoffman, 1999). Desde los primeros cursos universitarios, los

estudiantes conocen el conjunto de los números complejos (finitos) ℂ, y que cualquier

elemento de ese conjunto (6 7 ℂ) puede representarse en coordenadas cartesianas como 6 =8 + '9 (forma binomial o cartesiana), donde x es la parte real de z (8 = ;< 6) e y es la parte

imaginaria de z (9 = #> 6). El número i se llama unidad imaginaria y tiene la propiedad

determinante '4 = −1.

Se define el punto impropio ∞, que no pertenece al conjunto de los números complejos

finitos mediante una sucesión que tiene límite al infinito. Por definición, una sucesión ,6@0

de números complejos finitos, tiene límite al infinito ( lim@→B 6@ = ∞), si para cualquier C > 0

se encuentra un número natural F(C) tal que el módulo de 6@, es mayor que "G, siempre que

H > F(C). Este límite es lo que denominamos punto al infinito (∞).

Nótese que para el punto al infinito no están definidas ni la parte real, ni la parte imaginaria.

Para el módulo del infinito ∞ se usa el símbolo +∞, esto es |∞| = +∞, el cual pertenece a

la recta real extendida ℝ* .

Para ciertos propósitos, es posible definir algunas operaciones entre ∞ y cualquier número

complejo, mediante algunas “reglas” que tienen sentido en el contexto de límites (Zill y

Shanahan, 2011; Markushevich, 1987):

1) ∞ ± 6 = 6 ± ∞ = ∞;

2) 6 ∙ ∞ = ∞ ∙ 6 = ∞, L' 6 ≠ 0;

3) 6/∞ = 0; ∞/6 = ∞;

4) 6/0 = ∞, L' 6 ≠ 0;


5) ∞ ∙ ∞ = ∞

Algunas operaciones carecen de sentido, tal es el caso de: ∞ ± ∞, 0 ∙ ∞, PP , BB, pues en estos

casos, la aplicación de los límites nos lleva a incertidumbres.

En consecuencia, se puede definir el plano complejo extendido ℂ2 como la unión formal del

plano complejo ℂ y el punto al infinito.

Proyección estereográfica

La representación geométrica del plano extendido en el espacio (tridimensional), se obtiene

por medio del procedimiento denominado proyección estereográfica. En dicha

representación es posible demostrar (en cursos avanzados) que el plano complejo extendido

es equivalente a una esfera unitaria bidimensional 34, conocida como esfera de Riemann

(figura 1).

Figura 1. Esfera de Riemann y el plano complejo extendido

Para realizar la proyección estereográfica introducimos en un espacio euclidiano de tres

dimensiones las coordenadas Q, R, S, tales que los ejes Q y η coinciden con el eje real (Re)

y el eje imaginario (Im) en el plano complejo, respectivamente; el eje S es perpendicular al

plano complejo y completa el espacio 3-dimensional. El plano complejo extendido se define

por medio de la ecuación S = 0. Luego se construye una esfera S2, con radio 1 y centro en

el inicio de coordenadas (figura 1), cuya ecuación es ξ4 + η4 + ζ4 = 1.


Figura 2. Proyección estereográfica entre la esfera 34 y ℂ2.

Se construye una recta r que une al punto z del plano complejo con el punto F(0, 0, 1),

llamado polo norte de la esfera. A cada punto z, le corresponde un punto W(Q, R, S) de

intersección de la esfera 34 con la recta r. Tal correspondencia 6 → W se llama proyección

estereográfica.

Bajo la proyección estereográfica, tanto los círculos en ℂ y las rectas en ℂ2, se transforman

en círculos en 34, y viceversa. De esta manera, es fácil identificar el significado geométrico

del límite al infinito lim@→B 6@ = ∞, si se define una C-vecindad del punto al infinito como el

conjunto de puntos que están al exterior del círculo de radio "G (Figura 2).

Comparación del concepto de puntos al infinito para el plano complejo y la recta real

Existe una fuerte diferencia entre la recta real ℝ y el plano complejo ℂ. El conjunto de los

números reales es completamente ordenado respecto a una relación “menor que”, es decir

para cualquier par de números reales diferentes, 8" y 84, siempre se cumple o 8" X 84 ó 84 X 8".

Para los números complejos existen solo órdenes parciales. El más natural de estos órdenes

está conectado con las comparaciones de los módulos correspondientes, decimos que 6" ≺64 si |6"| X |64|. Este orden es compatible con la existencia del único punto infinito, que

hemos definido por medio de la proyección estereográfica.

Para la recta real ℝ, existe un análogo de la proyección estereográfica: por el mismo

procedimiento que en el caso ℂ, se obtiene la recta real proyectivamente extendida ℝ5 = ℝ ∪


,∞0, la cual es homeomorfa a una circunferencia 3"(figura 3). El polo norte F corresponde

al único punto al infinito. La recta real proyectivamente extendida ℝ5 pierde el orden

completo que se tenía en la recta real ordinaria ℝ, ya que para cualquier par de números

reales 8"y 84 tales que 8" X 84, ahora debemos escribir ∞ X 8" X 84 X ∞, que es una

contradicción.

No obstante, existe la recta real extendida ℝ* = ℝ ∪ ,−∞, +∞0 que conserva el orden natural

de la recta real ℝ. En este caso, la sucesión −∞ X 8" X 84 X +∞ no es contradictoria. La

recta ℝ* es homeomorfa a un segmento cerrado Z−1, +1[. Aquí +1 corresponde a +∞, −1

corresponde a −∞.

Figura 3. Análogo de la proyección estereográfica para el eje real.

Actividades mediadas por computadora

Nuestra propuesta incluye actividades de visualización, con apoyo del programa GeoGebra.

Se guía al estudiante en la construcción de la representación geométrica de la proyección

estereográfica de ℝ en 34, para que él mismo compruebe que −∞ y +∞ convergen en F.

Instrucciones.

1. Abrir GeoGebra con: vista algebraica, vista gráfica y vista gráfica 3D.

2. En la gráfica 3D, renombrar los ejes X como Re e Y como Im, para asociar el plano

complejo con la gráfica 2D.

3. En vista gráfica 3D, crear una esfera con centro en el punto (0,0,0) y radio 1. Enseguida,

quitar graduaciones y números de los tres ejes y mostrar la cuadrícula en el plano complejo.


4. Renombrar el punto �(0,0,0), centro de la esfera, como O y añadir el polo norte F(0,0,1) . 5. En Vista gráfica 2D, colocar un punto Z sobre el eje X. En vista gráfica 3D, también

aparece el punto Z; trazar el segmento \F2222 y solicitar sus intersecciones con la esfera. De

manera automática, se asignan los nombres B y C. Ocultar el punto que coincide con N y

renombrar el otro como P (ver figura 4).

6. En vista gráfica 2D, pedir animación del Z, y observar el desplazamiento de P en vista

gráfica 3D. También es posible pedir la rotación de la gráfica 3D mientras se observa la

animación de Z en el eje real.

Figura 4. Proyección estereográfica de ℝ en 34, −∞ y ∞ convergen en F

Se observa que al desplazarse el punto Z hacia −∞ o +∞ en el eje real (Vista gráfica 2D), la

proyección de Z en la esfera, es decir, el punto P, se aproxima al polo norte (Vista gráfica

3D). Esto significa que en el complejo extendido existe un solo punto infinito.

Consideraciones finales. En nuestro trabajo hemos abordado los conceptos básicos de la proyección estereográfica,

con la finalidad de mostrar a profesores y estudiantes del nivel medio superior (o secundario)

la relación entre los contenidos de cursos básicos de matemáticas, con el inicio del Análisis

Complejo. Nuestra intención es que los estudiantes de bachillerato o ESO, vislumbren el

enorme y fascinante campo de los números complejos, al mismo tiempo que se enriquece su

proceso de aprendizaje.

Si bien solo describimos aquí solo una actividad mediada por la computadora, por razones

de espacio, esperamos que al lector le sea posible construir todas las figuras incluidas en este


documento, para implementar más actividades de aprendizaje relacionadas con el campo de

los números complejos y la proyección estereográfica.


Marsden, J. E., Hoffman, M. J. (1999). Análisis básico de variable compleja. México:

Editorial Trillas.

Markushevich, A. (1987). Teoría de las funciones analíticas. Vol 1. Moscú: Editorial Mir.

Zill, D., G., Shanahan, P. D. (2011). Introducción al análisis complejo con aplicaciones.

México: Cengage Learning.


CB-432

EVOLUCIÓN EN LAS FORMAS DE VALIDACIÓN PROPORCIONADAS POR ESTUDIANTES AL DESARROLLAR ACTIVIDADES ENMARCADAS EN LA

METODOLOGÍA ACODESA

Álvaro Sebastián Bustos Rubilar – Gonzalo Zubieta Badillo [email protected] – [email protected]

Cinvestav, México

Núcleo temático: Enseñanza y aprendizaje de la Matemática en las diferentes modalidades y niveles educativos Modalidad: CB Nivel educativo: Formación y actualización docente Palabras clave: Validación matemática, metodología ACODESA Resumo En este escrito exponemos parte de los resultados obtenidos en una exploración llevada a cabo con estudiantes de una Maestría en Educación Matemática, a quienes se les propuso una actividad de contenido geométrico diseñada bajo los principios de la metodología de trabajo individual, debate científico y autorreflexión (ACODESA) propuesta por Hitt (2007), la cual consta de cinco etapas: trabajo individual, trabajo en equipo, debate científico, autorreflexión e institucionalización. Mostramos el caso de un estudiante, quien después de conjeturar y validar de manera individual, reformuló sus validaciones durante el desarrollo de la actividad, observándose una notoria evolución en la forma de validar entre la primera y cuarta etapa de la metodología ACODESA.

Introducción

En esta investigación ocupamos el término validación para referirnos a los procedimientos

proporcionados por un estudiante para justificar un enunciado matemático. Además, la

validación la entendemos como un proceso dinámico, el cual esperamos evolucione en

dirección hacia una demostración matemática. Lo anterior, con la finalidad de aprovechar las

justificaciones confeccionadas por los estudiantes y tomarlas como punto de partida para que

sean ellos mismos, junto a sus pares, quienes las reformulen luego someterlas al juicio de sus

compañeros, a fin de mejorarlas y aproximarlas hacia una demostración.

Para generar un ambiente de interacción social en el cual se produzcan instancias donde los

estudiantes formulen validaciones individualmente, las analicen junto a sus pares en un

trabajo en equipo y luego las debatan en plenario (toda la clase) utilizamos la metodología

ACODESA, la cual nos permitió observar las formas de validación elaboradas por los


estudiantes en distintas modalidades: individual, en equipo y con toda la clase. En este trabajo

se persiguió como objetivo estudiar la evolución en la forma de validar de los estudiantes al

desarrollar actividades geométricas enmarcadas en la metodología ACODESA.

Referentes teóricos

El principal referente teórico utilizado para sustentar la investigación, es la tipología de

niveles y tipos de pruebas propuesta por Balacheff (1987), la cual nos fue útil para identificar

y clasificar las validaciones proporcionadas por los estudiantes en cada una de las etapas de

la actividad. Balacheff diferencia entre los términos demostración, argumentación, prueba y

explicación:

Explicación. Discurso con el cual se pretende aclarar la verdad de una posición o resultado

adquirido previamente por el locutor.

Argumentación. Discurso destinado a obtener el consentimiento del interlocutor.

Prueba. Explicación aceptada por una comunidad, la cual puede ser rechazada por otra.

La prueba puede evolucionar simultáneamente con el avance de los saberes en los cuales

se apoya.

Demostración. Consiste en una serie de enunciados organizados según un conjunto de

reglas bien definidas.

A partir del análisis de los procedimientos elaborados por los estudiantes para validar

conjeturas, Balacheff (1987) propone cinco tipos de prueba:

Empirismo ingenuo. El estudiante afirma la validez de un enunciado después de

verificarlo en casos particulares. En este tipo de prueba se evidencia una resistencia del

estudiante a la generalización.

Experiencia crucial. El estudiante verifica con un ejemplo lo menos particular posible.

En este tipo de prueba el alumno generaliza explícitamente a partir del ejemplo con el cual

verifica el enunciado.

Ejemplo genérico. El estudiante da un ejemplo que representa la generalidad, es decir, un

ejemplo que no es considerado un caso particular, sino un representante de una clase de

casos para los cuales sí es verdadero el enunciado. En este tipo de prueba el enunciado es

justificado por medio de operaciones y transformaciones del objeto matemático.


Experiencia mental. El estudiante explica las razones mediante el análisis de las

propiedades implicadas en el enunciado, descontextualizándolo y sacándolo de una

representación particular.

Calculo sobre los enunciados. Construcciones intelectuales basadas en teorías más o

menos formalizadas o explícitas, originadas en una definición o propiedad y se basan en

la transformación de expresiones simbólicas. Este tipo de prueba oscila entre la

experiencia mental y la demostración.

Los tipos de prueba descritos, Balacheff (1987) los categoriza en dos niveles; pragmáticas e

intelectuales. En el primero encontramos las pruebas que recurren a la acción y a ejemplos

concretos: el empirismo ingenuo, la experiencia crucial y el ejemplo genérico. En el segundo

nivel se encuentran las pruebas apoyadas en la formulación de propiedades matemáticas

puestas en juego y en la relación que existe entre ellas: la experiencia mental.

Otro referente teórico utilizado en la investigación, son los lineamientos del debate científico

en la clase de matemática (Alibert & Thomas, 1991; Legrand, 1993, 2001). En el debate

científico en matemáticas deben prevalecer los argumentos racionales –justificaciones

sustentadas en el corpus teórico de la matemática–, más que en evidencia empírica o

declaraciones carentes de una validación propia de la disciplina. Durante el desarrollo del

debate, el rol del profesor consiste en facilitar la manifestación de ideas y permitir esclarecer

los diferentes puntos de vistas para que los estudiantes sean quienes defiendan sus aserciones,

siempre y cuando sientan que son más razonables que las expresadas y justificadas por sus

pares. Los estudiantes mismos deben ser quienes lideren el consenso de lo debatido.

Metodología

En la implementación de la actividad reportada en este escrito participaron doce estudiantes

de un programa de Maestría en Educación Matemática en México. La aplicación de la

actividad se llevó a cabo en dos sesiones de dos horas cada una. La actividad fue diseñada

bajo los principios de la metodología ACODESA, la cual promueve el aprendizaje

colaborativo mediante la interacción social y el uso de tecnología. Con la metodología

ACODESA se logran generar en el aula procesos de conjetura, argumentación y validación

(Hitt, 2011; Hitt et al., 2016). La metodología ACODESA consta de cinco etapas, detalladas

a continuación.


1. Trabajo individual. El estudiante desarrolla la actividad en forma individual con papel

y lápiz.

2. Trabajo en equipo. Los estudiantes trabajan en equipos (tres o cuatro integrantes).

3. Debate científico. Se debate en un plenario cada propuesta proporcionada por los

equipos. Los lineamientos del debate científico deben ir en el sentido de Legrand (2001).

4. Autorreflexión. Cada estudiante lleva a cabo un proceso de reconstrucción de la

actividad en lápiz y papel.

5. Institucionalización. El docente muestra a los estudiantes la solución institucional de

la actividad e incorpora los aportes de los estudiantes que ayudaron en la construcción de

la solución.

La actividad reportada en este escrito tiene relación con el contenido de áreas en triángulos

y paralelogramos, y su enunciado es el siguiente:

Se sabe que un paralelogramo es un cuadrilátero en el cual sus lados opuestos son paralelos. Si escoges un paralelogramo cualquiera y trazas las diagonales respectivas se formarán cuatro triángulos, entonces, (a) ¿Qué puedes decir respecto a las áreas de los cuatro triángulos? Justifica en forma detallada tu respuesta sin olvidar mencionar el paralelogramo que escogiste. (b) Tus respuestas anteriores, ¿son independientes del tipo de paralelogramo que escojas? ¿Por qué? Justifica en forma detallada tu respuesta.

La información analizada se obtuvo a partir de las producciones en las hojas de trabajo de

los estudiantes, videograbaciones y grabaciones de audio de los diálogos producidos durante

las sesiones en las cuales se implementó la actividad.

Análisis y discusión de resultados

Por razones de espacio en este escrito presentamos el caso de uno de los estudiantes, Arturo,

quién evidenció cambios durante el desarrollo de la actividad en los argumentos utilizados

para validar su conjetura. En la etapa de trabajo individual Arturo proporcionó la siguiente

respuesta al primer inciso de la actividad (Figura 1).


Figura 1. Respuesta confeccionada por Arturo en la etapa de trabajo individual.

Arturo conjeturó (Figura 1) que los cuatro triángulos tienen la misma área. En el cuerpo de

la validación proporcionada por el estudiante para justificar dicha conjetura encontramos dos

afirmaciones: (i) �], ]^, ^_ y _� son iguales y, (ii) los triángulos �`_ y `_^ tienen igual

base e igual altura. Por la primera afirmación y la inclinación del paralelogramo trazado por

el estudiante inferimos que su respuesta es apoyada en un rombo. Arturo no menciona las

propiedades que le permiten justificar la igualdad de base y altura de los triángulos �`_ y `_^, ya que utiliza un rombo como un representante de una clase de casos para los cuales sí

es verdadero el enunciado, pero no explica las razones de sus afirmaciones. Entonces, la

validación corresponde a una prueba pragmática de tipo ejemplo genérico.

En el siguiente inciso de la actividad, donde se incentiva al estudiante a generalizar su

respuesta, Arturo sostiene que su conjetura es válida para todos los paralelogramos de lados

iguales (Figura 2).

Figura 2. Generalización proporcionada por Arturo en la etapa de trabajo individual.

Lo expresado por Arturo (Figura 2) es correcto [válido para el cuadrado y rombo solamente],

pero no confecciona una nueva validación. El estudiante apoya su generalización en la

validación proporcionada en la Figura 1, la cual corresponde al caso particular del rombo.

Entonces, generaliza a partir de un ejemplo representativo de una clase de paralelogramos –

el rombo representa a los paralelogramos de lados congruentes–. Por lo anterior, seguimos

considerando la validación elaborada por el estudiante en la etapa de trabajo individual una

prueba pragmática de tipo ejemplo genérico.

En la etapa de trabajo en equipo Arturo trabajó con otras dos compañeras, Daniela y Paulina.

La primera, en la etapa de trabajo individual conjeturó que las áreas de los triángulos opuestos

serían siempre iguales, independientemente del tipo de paralelogramo, y elaboró una prueba

intelectual de tipo cálculo sobre los enunciados para validar su conjetura (Figura 4).


Figura 3. Respuesta elaborada por Daniela en la etapa de trabajo individual.

Durante el trabajo en equipo cada integrante expuso su conjetura y respectiva validación, a

fin de lograr un consenso para generar una nueva respuesta a la actividad. Al analizar las

hojas de trabajo de los estudiantes y diálogos producidos en esta etapa observamos la

influencia ejercida por Daniela en sus compañeros de equipo. Lo anterior queda en evidencia

al revisar lo escrito por Arturo al finalizar dicha etapa (Figura 4).

Figura 4. Comentario escrito por Arturo en la etapa de trabajo en equipo.

Aunque es notoria la influencia de Daniela en la respuesta de Arturo, no se observa una

validación como la proporcionada por su compañera. Inferimos que Arturo intentó

confeccionar una justificación similar a la de Daniela, pero en su intento le falto explicitar en

la figura que acompaña su discurso (paralelogramo de la Figura 4) la congruencia de los lados

correspondientes en los triángulos opuestos. Lo anterior, porque en la figura solo está

representada la correspondencia de ángulos entre los triángulos opuestos. No obstante,

consideramos el intento de validación elaborado por Arturo (Figura 4) como una

aproximación incompleta a una prueba intelectual de tipo experiencia mental.

Durante la etapa de debate, la discusión primero estuvo centrada en determinar si los cuatro

triángulos tenían igual área o solo los opuestos. Luego de la presentación de las respuestas

elaboradas por cada equipo, los estudiantes consensuaron que en cualquier paralelogramo los


cuatro triángulos formados al trazar las diagonales tendrán la misma área. Para elaborar la

validación de la conjetura consensuada en esta etapa se utilizó como principal argumento la

congruencia de triángulos para justificar la igualdad de las áreas de los triángulos opuestos.

Arturo no elaboró una nueva respuesta en esta etapa, ni escribió algo para complementar o

corregir sus respuestas. Sin embargo, en la etapa de autorreflexión Arturo elaboró una nueva

validación para la conjetura consensuada en el debate (Figura 5).

Figura 5. Respuesta confeccionada por Arturo en la etapa de autorreflexión.

En el cuerpo de la validación confeccionada por Arturo en la etapa de autorreflexión se

distinguen tres partes. En la primera el estudiante define y traza un paralelogramo �]^_

cualquiera. En la segunda parte justifica la igualdad de área de los triángulos adyacentes �`]

y ^`], y luego justifica la igualdad entre los triángulos �`] y ^`]. Al validar la igualdad

de los triángulos adyacentes, Arturo validó correctamente la conjetura. Notamos en esta

validación que, a diferencia de sus respuestas anteriores, el estudiante explicita los

argumentos que le permitieron afirmar las declaraciones escritas en el cuerpo de la validación

(Figura 5). Esta validación la consideramos una prueba de tipo cálculo sobre los enunciados,

ya que, al utilizar un representante general de los paralelogramos, notamos la aplicación

(implícita y explícitamente) de definiciones y propiedades en forma más simbólica.

Conclusiones y reflexiones finales

Observamos evolución en la manera de validar del estudiante, ya que en la etapa de trabajo

individual elaboró una prueba pragmática de tipo ejemplo genérico para justificar la igualdad

de áreas de los triángulos opuestos formados al trazar las diagonales del paralelogramo.

Posteriormente, en la etapa de trabajo en equipo, se observó una marcada influencia por una


de sus compañeras de equipo, lo cual probablemente ayudó al estudiante para intentar

construir una prueba intelectual de tipo experiencia mental. En la etapa de autorreflexión,

cuarta fase en la cual el estudiante vuelve a desarrollar la misma actividad individualmente

y en lápiz y papel, observamos una prueba de tipo cálculo sobre los enunciados para justificar

la conjetura consensuada en la fase de debate. Esto último es importante, ya que las pruebas

de cálculo sobre los enunciados son la transición entre una prueba intelectual y una

demostración matemática (Balacheff, 1987). Luego de pasar por las etapas de trabajo en

equipo y debate, el estudiante tuvo a su disposición más argumentos y otros puntos de vista

para el mismo problema, hecho que le ayudó tanto en la reformulación de su conjetura como

en la elaboración de su validación en las distintas etapas de la metodología ACODESA. Tal

como señalan Hitt et al. (2016) con la metodología ACODESA se propiciaron instancias de

interacción social en las cuales los estudiantes contrastaron sus conjeturas y validaciones.

Por último, mencionamos que la evolución en la forma de validar de Arturo fue también

observada en la mayoría de los estudiantes participes.


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CB-433

ETNOMATEMÁTICA, PRÁTICAS PEDAGÓGICAS E ESCOLA BÁSICA: PRODUZINDO DESLOCAMENTOS NOS PROCESSOS DE ENSINO E DE

APRENDIZAGEM DAS MATEMÁTICAS Ieda Maria Giongo – Marli teresinha Quiartieri – Márcia Jussara Hepp Rehfeldt

[email protected] – [email protected] – [email protected] Centro Universitário Univates – Lajeado – RS- Brasil

Núcleo temático: Aspectos socioculturales de la Educación Matemática. Modalidad: CB (Comunicación Breve) Nivel educativo: Primario (6 a 11 años) Palabras clave: Escola Básica, Etnomatemática, Ensino Fundamental, Cálculo Oral. Resumo O presente trabalho apresenta resultados provenientes de práticas pedagógicas investigativas efetivadas em distintas turmas de estudantes de 4º e 5º anos do ensino fundamental de duas escolas de educação básica do Vale do Taquari, RS, Brasil. Tendo como referencial teórico o campo da etnomatemática conforme descrito por Gelsa Knijnik alicerçadas nas ideias da maturidade de Ludwig Wittgenstein, as atividades envolveram conteúdos relativos às quatro operações básicas. Os materiais de pesquisa se constituíram de filmagens das aulas e materiais escritos e produzidos pelos estudantes bem como conversas informais gestadas nas práticas. A análise desses materiais – apoiada em referenciais da obra de Michel Foucault - apontou que: a) os estudantes resolveram cálculos com o auxílio dos dedos das mãos e com regras que aludem à decomposição e arredondamentos e b) os jogos de linguagem matemáticos expressos pelos estudantes apresentam, em maior ou menor grau, semelhanças com aqueles usualmente presentes nas aulas de Matemática. Tais resultados podem ser produtivos para que se gestem, com maior frequência, movimentos de ampliar o escopo dos jogos de linguagem matemáticos ensinados nas escolas possibilitando, assim, que nossos alunos expressem outros modos de pensar matematicamente. Introdução

Desenvolve-se, no Centro Universitário Univates de Lajeado, RS, Brasil, uma

investigação/intervenção que tem como objetivo central promover movimentos e rupturas

nos processos de ensino e de aprendizagem da Matemática na Escola Básica. Contando com

apoio do órgão governamental CAPES (Edital 049/2012) Participam pesquisadores, alunos

da graduação e mestrandos da Universidade, bem como professores de seis escolas de

educação básica da região e voluntários que, ao longo do desenvolvimento das atividades,

foram se agregando ao grupo. Os referenciais teóricos que sustentam as investigações


gestadas no grupo estão em consonância com três tendências do ensino de Matemática:

etnomatemática, modelagem matemática e investigação matemática. Em particular, neste

trabalho, serão analisados os resultados obtidos em duas investigações – uma realizada com

uma turma de alunos do quinto ano e outra com estudantes de dois quartos anos – tendo como

sustentação ideias do campo da etnomatemática, conforme descrita por Knijnik (2012)

apontando como, a partir deles, é necessário ampliar o escopo dos jogos de linguagem

matemáticos ensinados nas escolas primárias.

Görgen e Peransoni (2015) efetivaram uma prática pedagógica com uma turma de alunos do

5º ano do Ensino Fundamental de uma das escolas parceiras, com o intuito de examinar os

modos como estes operavam com cálculos orais envolvendo as quatro operações básicas. A

pesquisa/intervenção de Berstein (2017) teve como objetivo central investigar os jogos de

linguagem matemáticos expressos na forma de vida digital de alunos de quarto ano de duas

escolas de Educação Básica, sendo uma delas a de Görgen e Peransoni.

Aqui cabe uma ressalva. A premissa adotada pelo grupo de pesquisa consiste pesquisar com

a escola em detrimento de na escola e sobre a escola, razão pela qual os educandários e os

professores são denominados parceiros. Por conta disso, as investigações/intervenções são

desenvolvidas após discussões efetivadas nos encontros semanais do grupo, nas

dependências da Universidade e atendem as demandas dessas. Em efeito, uma das demandas

consistia, precisamente, em problematizar questões vinculadas ao desenvolvimento das

quatro operações básicas – adição, multiplicação, subtração e divisão – por parte de

estudantes do Ensino Fundamental.

O campo da etnomatemática e a metodologia de análise dos materiais de pesquisa

Os estudos relativos à etnomatemática remontam há década de 1970 com os estudos de

Ubiratan D’Ambrósio, considerado o “pai da etnomatemática”. Para ele, a motivação deste

programa de pesquisa

é procurar entender o saber/fazer matemática ao longo da história da humanidade, contextualizado em diferentes grupos de interesse, comunidades, povos e nações […] Todo indivíduo vivo desenvolve conhecimento e tem um comportamento que reflete esse conhecimento, que por sua vez vai-se modificando em função dos resultados do comportamento. Para cada indivíduo, seu comportamento e seu conhecimento estão em permanente transformação, e


se relacionam numa relação que podemos dizer de verdadeira simbiose, em total interdependência (D’Ambrósio, 2002, p. 17-18). Em efeito, estudos que têm como referencial teórico ideias etnomatemáticas expandiram-se

consideravelmente nas últimas décadas. Tal expansão ocasionou a emergência de muitas

perspectivas para os estudos etnomatemáticos. Como bem apontam Knijnik et al (2013, p.

23) a etnomatemática “vem se constituindo como um campo vasto e heterogêneo,

impossibilitando a enunciação de generalizações no que diz respeito a seus propósitos

investigativos ou a seus aportes teórico-metodológicos”. Nesse sentido, optou-se por

convergir com as ideias gestadas no Grupo GIPEMS – Unisinos que se orienta em uma

direção filosófica, tendo como aportes os estudos da maturidade de Ludwig Wittgenstein em

seus entrecruzamentos com algumas noções de Michel Foucault. Nessa ótica, o campo da

etnomatemática pode ser concebido como

[…] uma “caixa de ferramentas” que possibilita analisar os discursos que instituem as Matemáticas Acadêmica e Escolar e seus efeitos de verdade e examinar os jogos de linguagem que constituem cada uma das diferentes Matemáticas, analisando suas semelhanças de família (Knijnik et al, 2013, p.28). Imediatamente, é possível verificar a estreita relação desta definição com as ideias da

maturidade de Ludwig Wittgenstein. De fato, o filósofo, em sua obra Investigações

Filosóficas (1991) nega a existência de uma linguagem universal e possibilita-nos,

questionar a existência de uma única linguagem matemática, universal, que pudesse ser

desdobrada nas mais variadas situações. Nesse sentido, tais ideias permitem pensar a

existência de diferentes matemáticas, engendrando distintos jogos de linguagem pois nesse

novo modo de pensar a linguagem, não devemos perguntar “o que é a linguagem, mas de que

modo ela funciona” (CONDÉ, 1998, p.86) [grifos do autor]. Ao operar esse deslocamento de

análise, não é mais possível falarmos simplesmente em linguagem, mas sim em linguagens,

isto é, “uma variedade imensa de usos, uma pluralidade de funções ou papéis que poderíamos

compreender como jogos de linguagem” (IBIDEM, p. 86). [grifos do autor] Assim, nesse

referencial téorico, a significação de uma palabra depende do uso que dela fazemos, nos mais

variados contextos. A esse respeito, Wittgenstein alude que “pode-se, para uma grande classe

de casos de utilização da palavra “significação” – se não para todos os casos de sua utilização

– explicá-la assim: a significação de uma palavra é seu uso na linguagem” (Wittgenstein,


1991, p. 28). [grifos do autor]. Nessa ótica, não mais fala-se em linguagem, mas sim em

linguagens, ou seja, “uma variedade imensa de usos, uma pluralidade de funções ou papéis

que poderíamos compreender como jogos de linguagem” (Condé, 1998, p. 86). [grifos do

autor]

Condé também afirma que Wittgenstein significa “a gramática e os jogos de linguagem como

uma racionalidade que se forja a partir das práticas sociais em uma forma de vida que não

mais se assenta em fundamentos últimos” (Condé, 2004, p.29). Ainda para ele, tais jogos

podem apresentar semelhanças entre si, assim como os membros de uma mesma família.

Ademais, (...) a idéia de racionalidade em Wittgenstein se estabelece a partir da constatação

de que, em uma forma de vida, a linguagem (gramática, pragmática, etc.) configura-se como

uma “teia” (Condé, 2004, p.28) se estendendo “através de “semelhanças de família”

(Ibidem,, p.28). [grifos do autor]

Ao expressar que o campo da etnomatemática, nesta ótica, está interessado em “analisar os

discursos que instituem as Matemáticas Acadêmica e Escolar e seus efeitos de verdade”

(Knijnik et al, 2013, p.28), as autoras apontam para a produtividade das ideias de Michel

Foucault. Em efeito, para ele, “a verdade não existe fora do poder ou sem poder” (Foucault,

1979, p.12) nem seria “a recompensa dos espíritos livres (...) o privilégio daqueles que

souberam se libertar” (Ibidem, p.12). Nessa perspectiva, “devemos investigar como tais

verdades foram criadas, quais os efeitos que produzem e, se for preciso, como poderemos

alterá-las para que se alterem seus efeitos” (Veiga Neto, 2006, p.88).

Nesse sentido, ao analisar o material de pesquisa com ferramentas teóricas advindas

do campo da , a noção de discurso do filósofo torna-se central. Para ele, os discursos são

constituídos por

(...) práticas que formam sistematicamente os objetos de que falam (...) são feitos de signos; mas o que fazem é mais que utilizar esses signos para designar coisas. É esse mais que os torna irredutíveis à língua e ao ato da fala. É esse “mais” que é preciso fazer aparecer e que é preciso descrever (FOUCAULT, 1995, p.56). [grifo do autor]

Ademais, o filósofo expressa que se o “caráter lingüístico dos fatos de linguagem

foi uma descoberta que teve importância em determinada época” (FOUCAULT, 2005, p.9),

é chegado o momento de considerar tais discursos não mais sob aspectos essencialmente


lingüísticos, mas “como jogos (games), jogos estratégicos, de ação e de reação, de pergunta

e de resposta, de dominação e de esquiva, como também de luta” (Ibidem, p.9).

Por conta de tais teorizações, a análise dos materiais de pesquisa – as enunciações

do estudantes, via filmagens, acerca de seus modos de operar com cálculos e materiais por

eles escritos e produzidos - teve como propósito mostrar o caráter contingente dos específicos

modos de calcular aqui expressos.

Os resultados

A análise dos materiais de pesquisa foi central para a emergência de dois resultados, a saber:

a) os estudantes resolveram cálculos com o auxílio dos dedos das mãos e com regras que

aludem à decomposição, estimativas e arredondamentos e b) os jogos de linguagem

matemáticos expressos pelos estudantes apresentam, em maior ou menor grau, semelhanças

com aqueles usualmente presentes nas aulas de Matemática. Os excertos a seguir explicitam

tais ideias.

Calcular 62 + 25

Aluno: Oitenta e sete. Professora: Explique como resolveu. Aluno: Eu só fiz na cabeça. Professora: Então como você fez na cabeça? Aluno: Eu botei cinco na cabeça, depois botei mais dois. Deu sete! Professora: E depois? Aluno: A mesma coisa. Professora: Como você pensou? Aluno: Coloquei o seis mais dois. Deu oito. Oitenta e sete. (Görgen e Peransoni, 2015, p. 189). Calcular 250:5 Aluno: Deixa eu fazer agora “sora”! Aluno: Eu pensei, uma vezes cinco, cinco; duas vezes cinco, dez; três vezes cinco, quinze; quatro vezes cinco, vinte e cinco vezes cinco, vinte e cinco. Daí só abaixo o zero que dá zero. Cinquenta [referindo-se à resposta final do cálculo]. (Görgen e Peransoni, 2015, p. 190). Calcular 126:3 Professora: Dessa vez não fez na mão? [conversando com um aluno que se dispôs a ir para o quadro]. Aluno: Não, dessa vez não! Eu fiz três mais três que deu seis. Aí eu coloquei mais seis, que deu doze. Resposta, quarenta e dois [depois de efetuar o cálculo seis dividido por três]. (Görgen e Peransoni, 2015, p. 190).


Resolver 4x10 A6 - É só tu contar quatro vezes dez. Pesquisadora: Tá, e como você conta? Deixa-me ver. A6- Eu conto assim oh [abre suas mãos e sucessivamente aponta para seus dedos] um, dois, três; quatro; cinco; seis, sete; oito, nove; dez; onze; doze, treze; quatorze; quinze; dezesseis; dezessete, dezoito, dezenove, vinte; vinte um, vinte e dois, vinte e três, vinte e quatro; vinte e cinco, vinte e seis, vinte e sete, vinte e oito; vinte e nove, trinta, trinta e dois; trinta e três, trinta e quatro, trinta e cinco, trinta e seis; trinta e sete, trinta e oito, trinta e nove, quarenta.

(Berstein, 2017, p. 68-69) Pesquisadora: Como você pensou para chegar aos quarenta e oito, resposta do cálculo dezesseis vezes três? A7- Eu pensei, eu botei na minha mente dezesseis… Dezesseis em cima, vezes três. Daí eu pensei assim, seis vezes três é dezoito, bota um lá em cima [referindo-se a ordem da dezena]. Daí três vezes um, daí mais um lá em cima, dá quatro. Quarenta e oito. (Berstein, 2017, p.68 )

(Berstein, 2017, p. 79) Os modos de operar dos estudantes apontam, por um lado, para o uso dos dedos das mãos

como, por exemplo, no segundo exemplo apresentado, quando um deles faz uso da mão para

contar de cinco em cinco, sendo que cada dedo conta como cinco unidades e no quarto,

quando a estudante também faz uso das mãos. É interessante aquí destacar que neste caso, a

estudante divide cada dedo em quatro partes que se repetem sucessivamente. Assim, a

contagem de quatro em quatro está se repetindo dez vezes, totalizando quarenta, contados de


unidade em unidade. Já no exemplo do estudo de Görgen e Peransoni (2015), o estudante

utiliza dedos para calcular 250:5, fazendo também uso da operação multiplicação para, de

cinco em cinco, chegar ao vinte e cinco e acrescentar o zero para obter 250.

Por outro lado, cabe aquí destacar que os estudantes também fazem uso de regras usualmente

presentes na matemática escolar quando explicitam, por exemplo, que embora calculem

62+25 de “cabeça”, somam inicialmente as unidades e depois as dezenas. Outro exemplo do

uso das regras da matemática escolar pode ser visualizado quando o estudante afirma que “eu

botei na minha mente dezesseis… Dezesseis em cima, vezes três. Daí eu pensei assim, seis

vezes três é dezoito, bota um lá em cima”. O mesmo modo de operar pode ser visto nos

cálculos efetivados por uma estudante numa folha de papel. Nesse sentido, os jogos de

linguagem matemáticos expressos pelos estudantes apresentam, em maior grau, semelhanças

de família com aqueles gestados na matemática escolar.

Em contrapartida, quando o estudante do estudo de Görgen e Peransoni (2015) calcula 126:3,

opera com uma ideia usualmente não presente nas aulas de Matemática. Somando três mais

três, obteve seis que, somados com seis, resultaram em doze. Nesse sentido, o aluno

compreendeu que doze divididos por três, resultam quatro. Após, dividiu seis por três,

obtendo dois. Juntando os dois resultados, concluiu que a resposta seria quarenta e dois.

Mesmo que operasse com o número doze para facilitar os cálculos, o estudante, ao dizer que

a resposta do primeiro cálculo seria quatro, ao final expressou se tratar quarenta mais duas

unidades ( resultante da divisão de seis por três). Nesse caso, o jogo de linguagem matemático

praticado pelo estudante apresenta menor grau e semelhança de família com os praticados

frequentemente na matemática escolar.

Algumas contribuições para os processos de ensino e de aprendizagem nos Anos Iniciais

do Ensino Fundamental

A partir do que foi apresentado é possível pensar que tais resultados podem ser produtivos

para que se gestem, com maior frequência, movimentos de ampliar o escopo dos jogos de

linguagem matemáticos ensinados nas escolas possibilitando, assim, que nossos alunos

expressem outros modos de pensar matematicamente. Tal ideia está alicerçada no fato de que


A Matemática Acadêmica, a Matemática Escolar, as Matemáticas Camponesas, as Matemáticas Indígenas, em suma, as Matemáticas geradas por grupos culturais específicos podem ser entendidas como conjuntos de jogos de linguagem engendrados em diferentes formas de vida, agregando critérios de racionalidades específicos. Porém, esses diferentes jogos não possuem uma essência invariável que os mantenha completamente incomunicáveis uns dos outros, nem uma propriedade comum a todos eles, mas algumas analogias ou parentescos (Knijnk et al, 2013, p. 31). Em efeito, nessa ótica, não se trata de eliminar, nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental, os

jogos de linguagem matemáticos usualmente presentes na Matemática escolar. Trata-se,

sobretudo, de “ampliar os jogos de linguagem matemáticos ensinados na sala de aula”

(Kinijnik et al, 2013, p. 84) pois, assim, “estamos possibilitando que nossos alunos aprendam

outros modos de pensar matematicamente” (Ibidem, p.84) e assim, que visualizem a

existência de distintas racionalidades.

Ademais, é produtivo fomentar a problematização de distintos modos de operar

matematicamente pois “nós todos também circulamos por tais formas de vida [não escolares]

e, portanto, aprender como ali se pratica os jogos de linguagem matemáticos deve ser,

necessariamente, parte dos processos educativos das novas gerações” (Knijnik et al, 2013, p.

84). Em especial, nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental, ao dar visibilidade a distintos

modos de operar matematicamente, pode-se também “alimentar a possibilidade de trilhar

outros caminhos no âmbito da Educação Matemática” (Ibidem, p.85) neste ciclo de

escolarização cujo tem sido alvo de muitas críticas por não apresentar resultados

considerados satisfatórios no que se refere à aprendizagem dos estudantes.


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CB-434

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS A TRAVÉS DE UN ENTORNO VIRTUAL, UTILIZANDO EL APRENDIZAJE INVERTIDO, EN EL CURSO EIF – 203,

ESTRUCTURAS DISCRETAS PARA INFORMÁTICA.

Eithel Eduardo Trigueros Rodríguez [email protected]

Universidad Nacional, Costa Rica Núcleo temático: La resolución de problemas en Matemática Modalidad: CB Nivel educativo: Educación de adultos Palabras clave: Resolución de problemas, educación matemática, entorno virtual Resumen El presente trabajo corresponde al desarrollo de una propuesta metodológica para el curso Estructuras Discretas para Informática, elaborada en el marco del proyecto final de graduación de la Maestría en Tecnología e Innovación Educativa de la Universidad Nacional de Costa Rica, que utiliza el aprendizaje invertido como método para otorgar más valor a los momentos de aprendizaje que son presenciales, permitiendo que el estudiantado pueda dedicarse a resolver problemas aplicados a la temática que se desarrolla. En el aprendizaje invertido se recurre a un entorno virtual facilitado por la universidad en la plataforma MOODLE y se apoya con una página web creada por el autor. El origen de esta propuesta está en intentar resolver las dificultades de aprendizaje que presentan los estudiantes en algunos temas de este curso, en el que la cantidad de contenidos respecto al tiempo para desarrollarlos es muy corto. Introducción

La propuesta realizada tiene como población meta los estudiantes del curso EIF-203

Estructuras Discretas para informática que forma parte de la carrera Ingeniería en Sistemas

de la información de la Universidad Nacional de Costa Rica. Este curso se debe llevar en el

primer semestre del segundo año de carrera y dentro de la maya curricular, los estudiantes

necesitan tener aprobado el primer curso de programación (fundamentos de programación) y

el primer curso de matemática, denominado matemática para informática (UNA, 2013). El

curso tiene un valor de tres créditos y se imparte en 4 horas semanales que pueden darse en

una sola sesión o en dos sesiones de dos horas.

La experiencia del autor de la propuesta impartiendo el curso, más los datos recolectados por

la cátedra estiman que en total se tiene un 40% de aprobación. En el 60% restante siempre


existe al menos un 20% de deserción, y los estudiantes afirman que el curso es útil, aunque

la cantidad de temas abordados es vasta y de un nivel de abstracción alto además de

considerar el curso como difícil (Vílchez, 2016).

La realidad descrita establece un problema respecto a la cantidad de estudiantes aprobados,

pero más importante, una dificultad para el aprendizaje que se convierte en un tema que

provoca al análisis y la reflexión de las prácticas docentes utilizadas, las bases que presentan

los estudiantes, la cantidad de contenidos e inclusive los objetivos del curso.

Es por esta razón que se plantea, como objetivo de la investigación, desarrollar una estrategia

metodológica que favorezca el aprendizaje de los estudiantes, y a la vez promueva la

aplicación de los contenidos mediante el uso de la resolución de problemas. Además, se

pretende generar espacios que fortalezcan la comprensión de los temas abordados y les

favorezcan a los estudiantes para interiorizar en los contenidos.

Para solventar el problema de la cantidad de contenidos descritos en el programa del curso

versus el tiempo para abordarlos se hace uso del aprendizaje invertido, el cual está muy

relacionado con el uso de las TIC, y por lo tanto se utilizó un entorno virtual para la gestión

de la información y además se aprovechó para realizar grupos de trabajo, regular el avance

del trabajo de los estudiantes y generar los espacios de evaluación. Como un soporte para el

manejo de la información se utilizó una página web, en la que se alojaron todos los recursos

para el aprendizaje invertido, en caso de que el entorno presentara algún inconveniente.

El producto que se desarrolló se denominó Módulos de resolución de problemas con

aprendizaje invertido (Módulos RPI), y la presentación de los mismos es el objetivo principal

de este trabajo. Los módulos se implementaron en las primeras cinco semanas del curso,

mediante un proceso de investigación cualitativo e incluyeron los temas de recursividad,

relaciones de recurrencia y análisis de algoritmos.

Marco de referencia.

Los conceptos de mayor importancia en el desarrollo del trabajo son los referentes a la

resolución de problemas como técnica para potenciar el aprendizaje de los estudiantes, no

centrada en construcción de conocimiento, sino en el fortalecimiento de los contenidos ya

conocidos, el aprendizaje invertido y el uso de un entorno virtual, pero además se consideran


aspectos tales como aprendizaje autónomo, aprendizaje colaborativo, evaluación alternativa

y evaluación auténtica los cuales únicamente se mencionaran en esta ocasión.

Respecto a resolución de problemas, es importante brindar una definición de problema y

establecer a qué se refiriere cuando se habla de esta actividad. Según Schoenfeld (1985) un

problema se define como un trabajo difícil para quién lo intenta resolver, por esta razón se

hace necesario la búsqueda de una estrategia para encontrar su solución. Para Polya (1981)

un problema es aquella situación que requiere la búsqueda consciente de una acción

apropiada para el logro de un objetivo claramente concebido, pero no alcanzable de forma

inmediata. García (2009) haciendo referencia al trabajo de Krulik y Rudnik (1980) esclarece

aún más el concepto de problema al definirlo como “una situación cuantitativa o de otra clase,

a la que se enfrenta un individuo o un grupo, que requiere solución y para la cual no se

vislumbra un medio o camino aparente y obvio que conduzca a la misma” (p.2).

A partir de esta definición, es claro que las situaciones presentadas en los Módulos RPI,

debían suponer un reto para el estudiante, en cuando a que, aunque tuviera alguna o toda la

información necesaria para encontrar la solución, la situación le representaba un reto que no

se podía resolver de manera directa.

Además, se consideraron los aspectos más importantes que impulsa Polya, para la resolución

de un problema, los cuáles son los de dividir el proceso de resolución en cuatro pasos a

destacar (Polya, 1965, p.29-37): comprensión del problema, concepción de un plan,

ejecución del plan y visión retrospectiva.

A partir de los procesos que expone Polya, se proponen una serie de pasos, que tomen en

cuenta las heurísticas que desarrolla el estudiante, que se adaptaron de acuerdo a cada tema.

Para el tema de recurrencia, se ponen de manifiesto los siguientes pasos (elaboración propia):

1. Comprensión del problema: analice y escriba en sus propias palabras qué es lo que se

le está solicitando y además aquellos datos que considere son importantes para responder a

lo que le preguntan. Esta etapa puede ser la más importante, pues de no entender qué es lo

que debe responder no logrará una solución adecuada.

2. Explorar soluciones: realice una búsqueda y escriba las estrategias de resolución que

considere que son adecuadas para el problema.


3. Escoger una solución: de todas las estrategias que encontró, determine e implemente

la que considere es la más adecuada para resolver el problema. Escriba en lenguaje

matemático dicha solución.

4. Verificación de la solución: la etapa final consiste en verificar que la solución sea

adecuada. Hay varias formas para tener certeza de que la solución es correcta, una forma es

implementarla en un lenguaje de programación determinado, (puede construir un

pseudocódigo para guiarse). En caso de que la solución no sea adecuada regrese al paso 3

buscando otra forma de resolver el problema.

Los pasos para la solución de los problemas se ajustaron según cada tema abordado, pero

generalmente tuvieron una estructura similar.

Por otra parte, era necesario abordar cada tema optimizando la cantidad de tiempo invertido.

Por esta razón para obtener provecho de la facilidad que brinda la tecnología para visualizar

los contenidos por diversos medios, así como la inmediata conectividad que se genera a partir

de los dispositivos móviles, se fomentó el aprendizaje invertido. El aprendizaje invertido

es un enfoque pedagógico centrado en el estudiante, que utiliza activamente la tecnología,

modificando los roles habituales de la clase magistral, entregando la responsabilidad al

estudiante de la adquisición de conocimientos y utilizando el salón de clase para el análisis,

discusión, resolución de problemas, etc. Con lo que el profesor ya no es mediador de

conocimiento sino un facilitador y guía en el proceso de aprendizaje, y el estudiante no es un

receptor de contenidos, sino un actor activo.

Los principales pioneros de este enfoque son Jonathan Bergmann y Aaron Sams (Driscoll

III, 2012, p. 2) así como Salman Khan con su charla TED Let’s use video to reinvent

education, en marzo del 2011.

El aprendizaje invertido se puede implementar de formas variadas, pero se considera que

contar con al menos cuatro elementos clave, a saber: ambientes flexibles, cultura de

aprendizaje, contenido intencional y un docente profesional que pueda delegar la

responsabilidad de adquisición de los contenidos (Trends, 2014).

Dos aspectos que se deben aclarar con el aprendizaje invertido son los medios que se utilicen

para la transmisión de los contenidos y la mediación que haga el profesor para poder utilizar

esos contenidos en la resolución de problemas. En ambos casos, se debe tener muy claro que

el objetivo del aprendizaje invertido es cómo mejor el uso del tiempo en el aula (Bergmann


y Sams, 2013). El profesor deberá dedicar su esfuerzo en la planificación y diseño de los

materiales, las actividades y cómo aprovechar adecuadamente los espacios en el aula. Es muy

importante que el docente determine en qué momento del aprendizaje es necesaria la

explicación cara a cara, y que parte de la instrucción se puede impartir con el uso de la

tecnología.

Por otra parte, como se mencionó anteriormente, el aprendizaje invertido se centra en el

estudiante. Bergmann y Sams (2013) afirman, que los estudiantes tienen beneficios como

aprender a aprender, o identificar la manera en la que aprenden mejor, promover la

colaboración, un mayor compromiso con su propio aprendizaje y hasta tener más tiempo para

resolver sus dudas en interacción con el docente. Sin embargo, según Simpson (2014) al

aplicar el modelo algunos estudiantes se sientan incómodos pues, por naturaleza la

modificación de las prácticas, produce cierta molestia. Esto indica que el método debe ser

utilizado previniendo un posible rechazo por parte de los estudiantes, aunque en la mayoría

de ocasiones se garantiza un mejor aprendizaje.

Otro aspecto que es de importancia para la implementación de los Módulos RPI es el del

entorno virtual, pues este fue el medio que se utilizó tanto para facilitar el aprendizaje

invertido como para evidenciar los procesos en la resolución de los problemas, realizados

presencialmente y a distancia. Los entornos virtuales, también llamados entornos virtuales

de aprendizaje (EVA) son los escenarios que propician la construcción del conocimiento en

un espacio alojado en la Web, conformado por un conjunto de herramientas informáticas o

sistema de software y que presenta dos dimensiones, tecnológica y la educativa, las cuales se

interrelacionan y potencian entre sí. Los EVA responden a las siguientes cuestiones: trabajar

en un entorno activo y colaborativo, simulando un campus físico tradicional, pero con todas

las ventajas que ofrecen las TIC.

Salinas (2011) manifiesta que un entorno virtual de aprendizaje posee cuatro características

básicas:

● Es un entorno electrónico, no material en sentido físico, creado y constituido por

tecnologías digitales.

● Está hospedado en la red y se puede tener acceso remoto a sus contenidos a través de

algún tipo de dispositivo con conexión a Internet.


● Las aplicaciones o programas informáticos que lo conforman sirven de soporte para

las actividades formativas de docentes y alumnos.

● La relación didáctica no se produce en ellos “cara a cara” (como en la enseñanza

presencial), sino mediada por tecnologías digitales.

A partir de estas características se puede decir que los EVA permiten el desarrollo de acciones

educativas sin necesidad de que docentes y alumnos coinciden en el espacio o en el tiempo.

Esto se conoce como espacios asincrónicos.

Para el desarrollo de los Módulos RPI es de importancia este detalle, pues se pretendía que

los estudiantes realizaran trabajos de forma independiente, y en algunas ocasiones este debe

desarrollarse fuera del aula.

Descripción de los Módulos RPI.

Es importante destacar que la mayoría de cursos relacionados con la matemática presentan

metodologías de tipo magistral, por lo que se debía ser cuidadoso en la forma de introducir

las modificaciones en la metodología de trabajo, para que el cambio no fuera un elemento

negativo. Por esta razón, y para describir de manera general la estructura y modo de trabajo

de las cinco semanas en que se utilizarían los Módulos RPI, se generó un documento que

contenía los principales lineamientos de la estrategia de aprendizaje que se iba a utilizar (Ver

anexo). Este documento se colocó en el entorno virtual y se discutió en la primera clase junto

con la carta al estudiante. Además, se explicaban los componentes de cada módulo que son

los siguientes:

1. Ruta de aprendizaje: Este documento era el primero con el que se encontraban los

estudiantes en el entorno virtual y era el que guiaba las actividades a realizar en el

tiempo estimado. Cada ruta contenía el objetivo de aprendizaje, los recursos

necesarios, la descripción de las actividades y la evaluación que se iba a aplicar. Es

importante mencionar que la estrategia de evaluación debía ser distinta a la que se

implementa en las clases tradicionales. Por lo tanto, se elaboró una tabla de cotejo

para autoevaluación, una rúbrica para co-evaluación y una escala de calificación para

la evaluación que realizaba en profesor. Los tres instrumentos se incorporaban en la

ruta de aprendizaje.


2. Recursos de cada módulo: Luego de la ruta de aprendizaje, se les facilitaba a los

estudiantes los recursos que estaban descritos en la ruta de aprendizaje, que eran

necesarios para aprovechar el aprendizaje invertido. Entre los recursos más utilizados

estaban los vídeos tutoriales originales que se subieron en YouTube y se embebían

en una página web dentro del entorno virtual. Otros de los recursos presentados

fueron un resumen sobre los contenidos a abordar, también elaborado por el autor de

la propuesta que incluían los contenidos de manera formal, ejemplos resueltos, y los

problemas que debían resolver los estudiantes. Además, según el tema, se les

entregaban a los estudiantes algunos artículos o capítulos de libros que contenían

otros ejemplos resueltos y otros ejercicios para trabajo que se podían consultar en

caso de querer profundizar en los temas.

3. Actividades: Cada actividad era descrita de manera específica en la ruta de

aprendizaje. Se relacionan con trabajos individuales para la revisión de los

contenidos, las indicaciones para resolver los problemas y las estrategias de

evaluación.

Conclusiones.

Los Módulos RPI, constituyen un producto educativo que involucra la tecnología, como

medio para comunicación eficiente de información y como herramienta de apoyo para la

resolución de problemas matemáticos. Pero además, se incorpora en los módulos un

componente didáctico que se espera facilite el aprendizaje de las estructuras discretas.

Con el desarrollo e implementación, de dicho producto se cumplió el objetivo principal de la

investigación que se planteó, pues además de desarrollar recursos tecnológicos y problemas

matemáticos, se cuenta conto un proceso de mediación que guía al estudiante en el proceso

de enseñanza.

El desarrollo de toda metodología permite obtener las siguientes conclusiones:

1. Al desarrollar una metodología con material didáctico tecnológico para espacios

virtuales, el docente debe procurar brindar indicaciones claras y específicas sobre lo

se espera del estudiante.

2. El tiempo requerido para la preparación de clases en las que se utilizaron los Módulos

RPI es considerablemente mayor al que se requiere para una clase con metodología

tradicional.


3. En el proceso de desarrollo de la metodología, el docente debe asumir una posición

distinta en el proceso de enseñanza y aprendizaje, pues todas las actividades

(problemas, actividades de mediación, entorno virtual, recursos tecnológicos y

evaluación) están en función de los estudiantes.


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Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Escuela De Informática

Prof. Eithel Eduardo Trigueros Rodríguez

MÓDULOS DE RESOLUCIÓN COLABORATIVA DE PROBLEMAS

(MÓDULOS RPI) OBJETIVO GENERAL

Conocer y aplicar las teorías básicas de recursividad, relaciones de recurrencia y análisis de algoritmos, en la resolución de problemas que enfrentan situaciones vinculadas con las ciencias de la computación. DESCRIPCION

Este documento explica cómo se trabajará la primera parte del curso EIF-203 antes del primer parcial, utilizando el aprendizaje invertido e incorporando una dinámica participativa que tiene como fin la resolución de problemas apoyado en el recurso digital del aula virtual. Es importante que para esta parte del curso usted no considere al profesor como el dueño del conocimiento, sino como un mediador que aprenderá y llegará con usted al aprendizaje.

Para efectos del trabajo a realizar en el aula virtual, vale la pena resaltar que estará enfocado solamente en la primera parte del curso la cual corresponde a los siguientes contenidos: Recursividad, relaciones de recurrencia y análisis de algoritmos. Esta primera etapa del curso es de naturaleza teórico práctica y tendrá una duración de 5 semanas, en que usted debe dedicar al menos 4 horas por semana.

En todo momento, usted contará con el acompañamiento del profesor, el cual realizará la función de retroalimentar el progreso y el proceso de aprendizaje. En ese sentido, cada uno deberá asumir el reto, el privilegio y el compromiso de evaluar constantemente sus propios conocimientos y habilidades, de tal forma que, con sus construcciones potencien también el aprendizaje de sus compañeros y compañeras. METODOLOGÍA


Se propone una metodología participativa, que permita compartir experiencias, percepciones y propuestas de solución para los problemas planteados en las diferentes estrategias de aprendizaje. Debido a esto usted es corresponsable del aprendizaje y debe comprometerse a:

1. Realizar la lectura completa del programa de curso. 2. Revisar detenidamente las rutas de aprendizaje que guiarán el trabajo durante las

semanas. 3. Revisar las lecturas los videos y demás materiales que se indican en esa ruta de

aprendizaje. 4. Llevar a cabo la resolución de los problemas planteados para cada semana. 5. Realizar los procesos de autoevaluación y coevaluación que se indican en las rutas de

aprendizaje. 6. Realizar o presentar todas las evidencias del proceso de aprendizaje dentro de las

herramientas habilitadas en el aula virtual. 7. Revisar constantemente el aula virtual.

CRONOGRAMA BÁSICO. Unidades Objetivos específicos Contenidos

Módulo 1. Recursividad: Sesión presencial 13 de febrero. 5 pm-9 pm Aula virtual: 13 de febrero desde las 12 pm hasta el 19 de febrero a las 12 am.

Comprender las aplicaciones de la recursividad dentro de la programación.

1. Definiciones recursivas. 2. Principio de demostración por

recursividad. 3. Aplicaciones de la recursividad

a la programación.

Módulo 2. Relaciones de recurrencia: Sesión presencial 20 y 27 de febrero. 5 pm-9 pm Aula virtual: 20 de febrero desde las 12 pm hasta el 05 de marzo a las 12 am.

Conocer distintos métodos de resolución de relaciones de recurrencia.

1. Definiciones básicas de relaciones de recurrencia.

2. Resolución de relaciones lineales homogéneas.

3. Método iterativo.

Módulo 3. Análisis de algoritmos Sesión presencial 6 y 13 de marzo. 5 pm-9 pm Aula virtual: 6 de marzo desde las 12 pm hasta el 19 de marzo a las 12 am.

Utilizar los principios de las notaciones asintóticas para el análisis de la complejidad de un algoritmo Desarrollar capacidades para el diseño de un material digital teórico-práctico que demuestre

1. Definición y ejemplos de algoritmos.

2. Notaciones asintóticas. 3. Análisis de gráfico de las

notaciones asintóticas. 4. Propiedades de las notaciones

asintóticas. 5. Aplicación de las notaciones

asintóticas


el dominio del tema de complejidad de algoritmos

EVALUACIÓN.

La evaluación se llevará a cabo tanto por parte del profesor como los estudiantes. De tal forma que la autoevaluación y la coevaluación serán fundamentales dentro del proceso de aprendizaje individual y colectivo. Esto significa que la evaluación se llevará a cabo cualitativa y cuantitativamente a través de diferentes actividades e instrumentos, estos últimos le permitirán generar un proceso de autorregulación, es decir, el estudiante podrá utilizarlos como una guía de lo que debe realizar en cada unidad y la calidad que se espera del proceso y del producto a presentar en el aula virtual.

La evaluación está organizada de la siguiente manera:

MÓDULOS ACTIVIDADES PORCENTAJE

Módulo 1 1. Lectura de la ruta de aprendizaje 1

2. Revisión de los materiales.

3. Resolución de las situaciones problemática.

4. Elaboración de la autoevaluación.

5. Elaboración de la coevaluación.

Heteroevaluación 2% (Evaluación del profesor, Escala de calificación) 1% (Lista de cotejo) 2% (Rúbrica)

Módulo 2 1. Lectura de la ruta de aprendizaje 2.







Módulo 3 1. Lectura de la ruta de aprendizaje 3.







CB-436

ANÁLISE DE PRÁTICAS DIDÁTICAS E MATEMÁTICAS PROPOSTAS EM LIVROS DIDÁTICOS COMO UM CAMINHO POSSÍVEL PARA A FORMAÇÃO

CONTINUADA DE PROFESSORES Marilena Bittar e Danielly Kaspary

[email protected] e [email protected]

Universidade Federal de Mato Grosso do Sul, Brasil

Núcleo temático: Formação de professores de Matemática Modalidad: CB Nivel educativo: Formação e atualização docente Palabras clave: Livro didático – organização matemática – organização didática – formação de professores Resumo Neste texto trazemos resultados parciais de uma pesquisa desenvolvida com professores brasileiros dos anos iniciais (6-10 anos). O objetivo da pesquisa foi “Investigar práticas didáticas e matemáticas propostas em livros didáticos destinados aos anos iniciais do ensino fundamental e desenvolvidas por professores que ensinam Matemática nesse nível de escolaridade tendo em vista o livro didático adotado”. A potencialidade da análise de livro didático atrelada a noções da Teoria Antropológica do Didático como meio de constituição de um grupo de estudo e formação de professores, foi sentida especialmente na tentativa de identificação de tipos de tarefas e técnicas presentes nos materiais analisados. Nesse texto são apresentados resultados das discussões sobre números pares e ímpares, primeiro tema discutido no grupo.

Contextualizando a pesquisa

Desde a década de 1990 os livros didáticos a serem distribuídos aos alunos da escola pública brasileira passam

por um processo de avaliação bastante complexo, que visa, entre outros, fornecer aos alunos uma obra sem

erros conceituais e livre de preconceitos de qualquer tipo. Esta avaliação faz parte do Programa Nacional do

Livro Didático (PNLD)33, e, para além dos itens já mencionados, tem provocado mudanças nos livros didáticos,

que acompanham discussões do campo da Educação Matemática. Todas essas mudanças têm redundado em um

material que responde a certas exigências que determinam o que vem a ser um livro didático de qualidade, tanto

do ponto de vista dos saberes matemáticos quanto das escolhas didáticas, o que é importante pois esse é, na

maioria das vezes, a única fonte de auxílio ao professor em suas aulas. No caso dos anos iniciais (6-10 anos) a

33 O Programa Nacional do Livro Didático (PNLD) é um Programa do Ministério da Educação que tem como principal objetivo fornecer a alunos e professores da educação básica livros didáticos que passam por um longo processo de avaliação.


situação se agrava, uma vez que na formação inicial (Curso de Pedagogia) pouco se discute a matemática e os

processos de ensino e aprendizagem dessa área do conhecimento. E mais, pesquisas mostram que a maioria dos

acadêmicos de Pedagogia escolhem esse curso por acreditarem que não terão que estudar matemática: muitos

têm aversão por essa área do conhecimento (Farias, 2009). Cria-se, portanto, um paradoxo, pois são esses

professores que apresentarão a matemática às crianças. Assim, levando em consideração a importância do livro

didático (LD) e a necessidade de discutir questões conceituais e metodológicas com professores dos anos

iniciais, propusemos uma formação continuada buscando favorecer a reelaboração de conhecimentos

matemáticos e didáticos de professores dos anos iniciais do ensino fundamental, por meio de um espaço de

discussão e reflexão sobre a própria prática.

A ideia nasceu de pesquisas que temos desenvolvido no Grupo de Estudos em Didática da Matemática

(DDMat)34 sobre análise de livros didáticos na perspectiva da Teoria Antropológica do Didático (TAD)

(Chevallard, 1999). Fomos inspiradas pelo exercício analítico feito pelo pesquisador, que se mostra também

um exercício formativo daquele que se coloca a analisar. No entanto, é importante pontuar que a formação

proposta não se trata de uma tentativa de projeção fiel do que o pesquisador faz, mas sim do emprego teórico

de alguns conceitos que acreditamos potencializar o estudo e reflexão do que ensinamos e como ensinamos

como professores de Matemática. Para isso, as noções de organização matemática e organização didática,

desenvolvidas no âmbito da TAD, fundamentavam nossas discussões35, ainda que por vezes camufladas pela

linguagem informal de uma roda de conversa.

Na TAD, toda atividade humana pode ser desenhada pelo quarteto praxeológico [T, τ, θ, Θ]:

tipo de tarefa, técnica, tecnologia e teoria. Ao buscar modelar o que é proposto pelos livros

didáticos por meio desse modelo, somos naturalmente levados a estudar os conceitos e a

forma como esses são apresentados, o que favorece a ressignificação de conhecimentos

matemáticos e didáticos.

A constituição do Grupo

34 O DDMat, Grupo de Estudos em Didática da Matemática, liderado pela Professora Marilena Bittar, realiza estudos sobre fenómenos didáticos cuja problematização considera como elemento fundamental o saber matemático. São de interesse do grupo as práticas desenvolvidas nas salas de aula, a possibilidade do uso de diferentes recursos para o ensino e a aprendizagem da Matemática, a formação do professor que ensina Matemática e as propostas de estudos presentes em livros didáticos. 35 Decidimos não realizar uma apresentação dos conceitos teóricos da TAD, pois o objetivo desse texto consiste na apresentação da formação realizada. Ao leitor interessado em mais estudos indicamos os textos referenciados nesse artigo, especialmente (Chevallard, 1998) e (Bosch e Chevallard, 1999)


A participação no Grupo, intitulado Grupo de Estudos de Livros Didáticos de Matemática,

deveria ser voluntária, assim, enviamos convite para as secretarias de educação do município

e do estado distribuírem aos professores, com o seguinte texto:

Esse projeto visa analisar livros didáticos de Matemática destinados aos anos iniciais do ensino fundamental, aprovados pelo Programa Nacional do Livro Didático (PNLD). As análises buscarão refletir sobre os conteúdos propostos nos livros e sobre as abordagens propostas nas coleções. A escolha dos conteúdos a serem discutidos será feita pelos participantes do grupo, de acordo com suas necessidades. Pretende-se, também, refletir, com os participantes do grupo, tanto sobre suas práticas pedagógicas relacionadas aos conteúdos investigados pelo Grupo, como sobre possibilidades de trabalho que favoreçam a aprendizagem do ensino fundamental. (Projeto e Extensão, 2015)

Apesar de o convite ter sido direcionado a professores dos anos iniciais, também se

inscreveram professores dos anos finais do ensino fundamental (11-14 anos), o que foi

considerado enriquecedor, por todos, como enriquecedor. O Grupo contou com,

aproximadamente, 15 participantes.

As reuniões

As reuniões ocorriam na Universidade Federal de Mato Grosso do Sul (UFMS), de 18 às 20

horas, quinzenalmente. Convém salientar que, apesar de se tratar de formação continuada, os

professores não tinham autorização para participarem durante seu horário de trabalho na

escola que, em geral, compreende 40 horas semanais.

Nesse texto apresentaremos brevemente dois encontros em torno do estudo dos Números

pares e ímpares, visando trazer a essência desses momentos. Para isso, buscamos conservar

o aspecto caótico com que os diálogos aconteciam e se entrelaçavam em nossas discussões.

Números pares e ímpares

Encontro I

Certa variedade de livros didáticos sempre fazia parte do cenário de nossos encontros, que

eram fornecidos por nós (organizadores), ou eram trazidos pelos próprios professores, sendo

esses geralmente o seu próprio material de trabalho.

Com os livros didáticos em mãos, foi proposto uma primeira olhada um pouco despretensiosa

sobre os números pares e ímpares. Desse primeiro momento, os professores colocaram que,

na maioria das coleções, o estudo de pares inicia com analogias sobre pares de meias e pares


de casais para dançar quadrilha. Esses contextos revelam técnicas particulares, que por sua

vez mobilizam tecnologias não matemáticas. Pares de meias, por exemplo, é entendido

quando duas meias são idênticas e casais essencialmente como a relação menino-menina. Em

geral, para decidir se uma quantidade de meias é uma quantidade par ou ímpar, os alunos são

levados a formarem seus respectivos pares, o que pode gerar confusão conceitual. Dezoito

meias, por exemplo, é uma quantidade par de meias, ainda que todas sejam de modelos e

cores diferentes. Da mesma forma, é possível formar duplas com 20 pessoas, mesmo se não

houver 10 homens e 10 mulheres, contrariamente ao que o LD indica. Assim, a técnica que

o LD parece propor para decidir a paridade de um número é “agrupar de dois em dois; se

sobrar um, a quantidade é ímpar, caso contrário, é par”. Entretanto, os exemplos

apresentados, associados à essa técnica indicam casos particulares dessa técnica (formar

pares de meias e casais heterossexuais) que têm abrangência bastante limitada e podem,

inclusive, gerar erro conceitual e fomentar um discurso heteronormativo.

Ao levantarmos tais questionamentos com o Grupo outras questões surgiram. Renato36 disse que para resolver

tarefas do tipo “Decidir sobre a paridade de uma quantidade” ele pensaria em propor outra técnica diferente das

apresentadas: “com a quantidade total formar dois grupos cada um com a mesma quantidade; se isso for

possível, tem-se que a quantidade é par”. Sofia disse que essa situação daria a ideia de divisão o que envolveria

a discussão de outro conceito. Como a proposta de formação não era apresentar respostas, mas sim fomentar

discussões, nesse momento o debate não se centrou na observação feita pelo professor, que foi retomada

posteriormente.

Continuando o debate Liliane conta que no 3º ano ensina os alunos a olharem as terminações

dos números – terminando em 0, 2, 4, 6, ou 8, o número é par. Completa dizendo que não

sabe como trabalhar esse conteúdo no 1º ano.

A reunião chegou ao final. Cada um ficou com a incumbência de refletir sobre as questões

discutidas e de olhar como o livro didático que usa com seus alunos aborda números pares e

ímpares.

É interessante observar que tentar identificar como os autores dos livros didáticos abordam

a questão da paridade de uma quantidade levou à reflexão sobre o significado do conceito e

sobre as escolhas didáticas. Como exemplo citamos a fala de Rebeca ao final da reunião:

“estou com uma interrogação; preciso aprofundar o tema”.

36 Todos os nomes citados nesse texto são fictícios.


Encontro II

No segundo encontro, relembramos alguns principais tópicos da discussão ocorrida no

encontro anterior. Josias, que trabalha com produção de materiais para alunos do ensino

básico com baixa visão, disse que nesse material a proposta é a mesma dos livros dos anos

iniciais (casais, meias). Ele comentou também sobre o uso dos dedos para identificação de

números pares e ímpares, visando a elaboração de uma técnica que atenda a necessidade de

seus alunos.

Norteadas pela questão “como o aluno poderia identificar os pares? “, Denise e Rebeca

indicam a possibilidade de contar de dois em dois. Ana relembra uma atividade que viu em

alguns livros didáticos, em que é sugerida a distribuição de peças do material dourado em

dois grupos. Denise decide então mostrar ao grupo um livro didático de 1989 que encontrou

em sua casa. O material começa com a ideia de par de chinelos, assim como os livros atuais,

depois finaliza institucionalizando a sequência 0, 2, 4, 6 e 8 como indicadores dos números

pares. Buscando provocar a discussão, questionamos: “mas por que o 4 é par?” A questão

fica pendente e Denise continua sua fala mostrando o que mais encontrou no livro didático

antigo. Rebeca fala sobre o livro que recentemente escolheram na escola. Nesse é apresentada

uma sequência de figuras pintadas e pede-se para que a criança continue, de 2 em 2,

começando com 1 e com 2, ou seja, formando pares e ímpares; em seguida é apresentada a

conclusão sobre quais seriam os pares e os ímpares. Retomamos nossa questão: as crianças

conseguem, de fato, entender o conceito de número par por meio da verificação do último

algarismo, com o uso da sequência 0, 2, 4, 6 e 8? Aproveitamos o momento para pontuar

também que apesar de o livro que Denise apresentou ser antigo, a escolha didática ainda

coincide bastante com as atuais. Ângela afirmou que muitas vezes, na mesma coleção, há

mudança de abordagem muito grande do 1º e 2º ano para o 3º ano. Discussões sobre o ensino

em espiral tomam conta da reunião nesse momento. Sobre esse assunto, Luzia comenta que

não analisou um material em sua casa, mas conversou com uma professora do 4º ano, que

disse que as atividades vão aumentando o grau de dificuldade, mas em determinado momento

ela não consegue explicar a diferença entre primo e ímpar, pois após a apresentação dos pares

e ímpares aparecem os primos e daí as crianças têm muita dificuldade nessa diferenciação.

Retomamos a ideia do primeiro encontro do Renato de dividir por 2, ou de separar em dois


conjuntos, em que a técnica consiste em analisar o resto dessa operação: se não sobrar nada

então o resto é zero e o número é par, se sobrar, o resto é 1, e o número é ímpar. Em meio às

discussões questionamos ainda sobre o interesse (do ponto de vista da aprendizagem

matemática) em aprender os números em pares e ímpares; Luzia comenta que pode ser

interessante para o estudo dos múltiplos e divisores. Questionamos, então: “por que as

crianças precisam saber múltiplos e divisores”? Sem uma resposta que convença todo o

grupo, pouco tempo depois a discussão do encontro anterior é retomada. As

contextualizações sobre par de meia e casal para dançar (par) são relembradas. A ideia de

associar o “par” do senso comum com o número par da matemática é mais uma vez discutida.

Marcio observa que a ideia de par de meias é um pouco diferente da de par de casal, uma vez

que para formar um casal, segundo o material didático, precisa ser um homem e uma mulher,

já as meias precisam ser idênticas.

Denise traz um material do Pacto Nacional pela Alfabetização na Idade Certa (PNAIC)37 com uma discussão

sobre par e ímpar usando uma ideia geométrica. O material é distribuído a todos os participantes para uma

leitura coletiva.

Antes de iniciar a discussão sobre esse material, Claudia relembra uma atividade vivenciada

há anos com o professor Pedro sobre a ideia de primos, usando também um raciocínio

geométrico. Luzia, que participa dos encontros do PNAIC, diz que acredita que atividades

lúdicas podem atingir um maior número de alunos. Claudia confirma e acrescenta que os

alunos participam e compreendem com mais facilidade também por meio de exemplos. Ela

prossegue a discussão observando que o material compartilhado pela Denise não discute

definição e que as atividades são interessantes. Pedro afirma que o material foi muito bem

pensado e Rebeca, que também participa dos encontros do PNAIC, diz que já foi discutido

muitas vezes nesse grupo a necessidade de os professores estarem abertos para diferentes

estratégias; diz que por mais que esteja há anos trabalhando percebe que nunca tinha pensado

nessas possibilidades. Nesse momento foi debatida a importância de refletirmos juntos sobre

essas questões, pois todos aprendem: professores participantes e os organizadores da

37 “O Pacto Nacional pela Alfabetização na Idade Certa é um compromisso formal assumido pelos governos federal, do Distrito Federal, dos estados e municípios de assegurar que todas as crianças estejam alfabetizadas até os oito anos de idade, ao final do 3º ano do ensino fundamental.” (http://pacto.mec.gov.br/o-pacto)


formação. É fundamental discutir diferentes tipos de atividades, pois é por meio dos

diferentes significados e das situações que o aluno constrói os conceitos a serem aprendidos.

Retomando a discussão do texto do PNAIC, refletimos acerca da dificuldade em discutir com

os alunos que a soma de pares resulta em um número par e a soma de ímpares também resulta

em um número par. Elaine discute sobre a importância de haver diferentes apresentações para

os alunos, mas desabafa sobre a dificuldade de aplicar essas atividades com os alunos, pois

elas não rendem como o esperado. Claudia pontua que essas discussões no grupo são muito

ricas, pois por mais que se consiga fazer pouco na escola, ela sente que esse já é um caminho.

Liliane diz que teve dificuldades nos primeiros anos de docência, pois não tem domínio do

conteúdo matemático, tendo que estudar muito e assistir vídeos na internet. Ela ressalta que

não tem muitas dificuldades em relação a pedagogia, mas em relação a matemática é muito

complicado. Infelizmente essas confusões conceituais (dos alunos) são carregadas até o

ensino médio; mesmo alunos da graduação têm dificuldades em relação a matemática básica.

Claudia então comenta que as atividades “concretas” sempre a ajudaram no aprendizado e

isso ocorre até hoje.

Pedro coloca que há muito tempo os PCN propõem a diversidade e articulação de situações.

E que com o tempo os alunos vão se encantando, entretanto é preciso que o professor também

esteja igualmente encantado com a situação. Pedro retoma a discussão de número de par ou

ímpar e diz que o que está por trás é a ideia de regularidade. Ele ressalta que o trabalho com

a regularidade pode e deve ser feito ao longo dos anos, independente da faixa etária. Denise

diz que apresentar a sequência 0, 2, 4, 6 e 8 é um resultado que advém de uma generalização,

mas que é apresentado de forma pronta para as crianças, sem que elas sejam levadas a deduzir

essas regularidades. Rebeca comenta que acredita que depois de trabalhar essa diversidade

de atividades as crianças têm a necessidade de chegar a um resultado; diz ainda que é

importante apresentar situações para as crianças buscarem generalizar, pois isso será

importante para a sistematização dos resultados. A reunião é então concluída com o

sentimento de todos de motivação para ensinar, que visivelmente rege o grupo que

voluntariamente, de noite, após um dia de trabalho, decide se encontrar para discutir.

Conclusão


Nesse texto buscamos tornar público o que acontecia em nossos encontros de formação38. Em um texto futuro

gostaríamos de apresentar, com as ferramentas que a TAD nos proporciona, uma análise das praxeologias que

vivem atualmente para o ensino dos números pares e ímpares, advindas do que aprendemos sobre a prática dos

professores e daquilo que encontramos nos livros didáticos.

Desse artigo, discussões sobre o estudo dos números pares e ímpares, algumas ideias e

reflexões podem ser ousadamente resumidas da seguinte forma:

- a elaboração de discursos tecnológicos não matemáticos para explicar técnicas matemáticas;

- os vazios encontrados no bloco tecnológico-teórico nos anos iniciais do ensino

fundamental;

- a importância na elaboração de técnicas mais puramente manipulativas para a construção

futura de técnicas mais generalistas;

- O não isolamento praxeológico: que outros conceitos perpassam o estudo dos números pares

e ímpares?

- qual a razão de ser de se estudar pares e ímpares?

Para terminar, vale dizer que a TAD não é uma teoria voltada para a formação de professores.

No entanto, ela nos faz refletir sobre as necessidades de estudo de um professor que ensina

matemática, daí a pertinência de seu uso.


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38 Esses encontros constituíram parte de um projeto financiado pelo CNPq - Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico.


CB-437

PESQUISAS SOBRE A FORMAÇÃO INICIAL DO PROFESSOR QUE ENSINA MATEMÁTICA NO PRINCÍPIO DA ESCOLARIZAÇÃO

Ana Maria Carneiro Abrahão – Sandra A. Fraga da Silva [email protected] – [email protected]

Unirio - Universidade Federal do Estado do RJ, Brasil; IFES - Instituto Federal do Espírito Santo, Brasil

Núcleo temático: Formación del profesorado en Matemáticas Modalidad: CB Nivel educativo: Formación y actualización docente Palabras clave: Formação Matemática Docente, Anos iniciais, Educação infantil, Pedagogia Resumen O trabalho traz à reflexão e à problematização a análise de 59 dissertações e teses produzidas em programas de pós-graduação stricto sensu, nas áreas de Ensino e de Educação da CAPES. Tais pesquisas investigam a formação inicial do professor que ensina Matemática na Educação Infantil e nos anos iniciais do Ensino Fundamental e correspondem a menos do que 7% do total de estudos que compõe o corpus do Projeto Universal “Mapeamento e estado da arte da pesquisa brasileira sobre o professor que ensina Matemática: período 2001 a 2012”. Destacamos a distribuição das pesquisas pelas diferentes regiões do Brasil e apresentamos uma sistematização das tendências temáticas e focos de estudos privilegiados, indicando contextos em que ocorreram e resultados apontados. A análise mostra uma concentração de trabalhos sobre o conhecimento do professor em formação, bem como sobre cursos e programas de formação. Apesar da expansão de cursos de Pedagogia e de Normal Superior na última década, constatamos carência de pesquisas sobre o professor que ensina Matemática no início da escolarização, principalmente para a Educação Infantil, para a Educação Matemática Inclusiva e para a ação docente interdisciplinar e polivalente. Introdução

O estudo apresentado é resultado da análise de 59 dissertações e teses brasileiras produzidas

em programas de pós-graduação stricto sensu, nas áreas de Ensino e de Educação da CAPES.

Todas elas investigam a formação inicial do professor que ensina Matemática na Educação

Infantil e nos anos iniciais do Ensino Fundamental. Foram defendidas entre 2001 e 2012 e

correspondem a menos do que 7% dos 858 trabalhos que compõe o corpus do Projeto

Universal “Mapeamento e estado da arte da pesquisa brasileira sobre o professor que ensina

Matemática: período 2001 a 2012”, do qual participamos e que está relatado e organizado


por Fiorentini, Passos & Lima (2016).

Desses 858 trabalhos, encontramos 135 estudos que envolviam a formação de professores

que ensinam Matemática no início da escolarização, e que identificaremos por PEMIE.

Destes, 59 investigaram a formação inicial do professor, seja a nível de ensino médio, Escola

Normal, seja a nível de licenciatura no curso de Pedagogia.

Uma revisão teórica sobre o tema nos remete à década de 90, quando se deflagrou um

movimento de investigação sobre formação e prática pedagógica do professor que ensina

Matemática no início da escolarização. Esse movimento apontou para dois focos principais

de estudo: o foco no conhecimento matemático necessário ao PEMIE e o foco na Matemática

contemplada em programas curriculares dos cursos de Pedagogia.

Para pensarmos no primeiro foco, sobre os saberes do PEMIE, selecionamos Sztajn (2002)

que fez uma revisão da literatura dos anos 90 sobre o tema. Para ela, “o conhecimento que

alguém tem da matemática envolve o que se sabe sobre o assunto e sobre a organização do

campo e suas atitudes perante o assunto” (Sztajn, 2002, p.21). Serrazina (2012) também

estuda o tema e aponta que “não basta ao professor saber a Matemática que ensina, mas tem

também de saber como a ensinar e como avaliar as aprendizagens que daí resultam” (p.266)

e indica a importância do domínio docente sobre o conteúdo básico a ser ensinado nos anos

iniciais. Shulman (1986), referência em vários trabalhos do corpus analisado, defende que o

professor precisa ter um profundo conhecimento do conteúdo conceitual, didático-

metodológico e curricular da disciplina que vai ensinar. Pesquisas de Ball (1991) apontam

que o docente precisaria possuir conhecimento “de e sobre” a Matemática a ser ensinada,

conhecimento que envolve conceitos, proposições e procedimentos matemáticos, os

princípios subjacentes a tais procedimentos e os significados em que os mesmos se baseiam,

relações entre temas matemáticos, o conhecimento da estrutura, da natureza matemática e de

sua organização interna, bem como a compreensão do fazer matemática, incluindo a

resolução de problemas e o discurso matemático.

Para pensarmos no segundo foco, sobre a Matemática que é contemplada em programas

curriculares dos cursos de Pedagogia, novamente tomamos a referência de Serrazina (2012),

que pondera que não basta ao professor em formação pensar no que deve ser ensinado, mas

“é necessário também equacionar o como o ensinar” (p. 268). Assim como Sztajn (2002),

defende que nos cursos de formação seja dada importância ao planejamento da atividade


letiva, onde a prática pedagógica deve ser exercida de forma a iniciar o conhecimento

profissional do futuro professor. Portanto, a reforma ou mudança de currículos e a publicação

de materiais de apoio só fazem sentido se vivenciadas na formação do professor. A

matemática deveria ser estudada no contexto onde acontece, daí a importância do estágio e

da prática, para provocar reflexões sobre metodologias, processos de aprendizagem e,

consequentemente, sobre teorias em estudo, para renovar, inovar e aperfeiçoar esse complexo

que envolve o conhecimento docente. Um contexto que pode incluir a realização de projetos

pluridisciplinares, considerados por Serrazina (2002) como fundamentais para a formação

docente. Um contexto que poderia minimizar dificuldades geradas pela ínfima carga horária

destinada à formação matemática nos cursos de Pedagogia.

Com o objetivo de trazer à reflexão e à problematização os trabalhos analisados é

fundamental destacar que eles foram gerados sob essa problemática de formação para a

docência. Indicamos, primeiramente, a distribuição regional dos trabalhos por área de

Ensino/Educação. Em seguida, esperando colaborar para a reflexão sobre as tendências

temáticas das pesquisas mapeadas, apresentamos uma breve sistematização das temáticas

abordadas, destacando alguns resultados relatados pelos investigadores. Finalizamos com

considerações sobre caminhos para a pesquisa na formação docente do PEMIE.

Distribuição regional dos estudos, tendências e focos de investigação.

A concentração dos focos de estudo sobre a formação inicial do PEMIE pode ser visualizada

na Tabela 1, onde a distribuição de trabalhos está organizada pelas regiões delimitadas pelo

Projeto Universal e por área de Ensino e/ou Educação, como Mestrado Acadêmico – MA,

Mestrado Profissionalizante – MP ou Doutorado – DO.

Tabela 2 - Distribuição das pesquisas do corpus por região e área de Ensino/Educação


Fonte: própria dos autores

A Tabela 1 nos mostra que a região São Paulo teve o maior número de publicações no

período, 25, provavelmente porque em São Paulo se concentra o maior número de

orientadores, 102 (Nacarato et al., 2016). Entretanto, ao observamos que Minas Gerais não

desenvolveu pesquisa alguma sobre a formação inicial do PEMIE nos seus programas de

pós-graduação no mesmo período e que o Rio de Janeiro, o Espírito Santo, mais as regiões

Norte e Centro Oeste totalizaram apenas 11 estudos, constatamos a pouca atenção que tem

sido dedicada à pesquisa sobre a formação matemática inicial dos PEMIE nas diversas

regiões brasileiras. Nota-se ainda que pesquisas a nível de doutorado é pouco expressiva,

assim como de mestrados profissionalizantes. Esses últimos ainda estão sendo

implementados nos programas de pós-graduação, mas os doutorados podem revelar a

carência de profissionais pertencentes aos programas que se sintam com competência ou

tenham interesse em orientar pesquisas nessa área e nesse segmento de ensino.

Ao analisarmos as tendências dos estudos, observamos que Nacarato et al. (2016) apontou

11 temáticas de investigação nas pesquisas mapeadas no Projeto Universal. Com um número

de trabalhos muito menor, identificamos apenas cinco categorias temáticas apresentadas de

acordo com a classificação do Quadro 1. Observamos no quadro uma concentração de

pesquisas na Temática 3 e na Temática 4, totalizando 39 dos 59 trabalhos, aproximadamente

67% dos estudos analisados, confirmando a tendência teórica que predominou na década de

90.

Análise dos resultados das pesquisas por temáticas

Apesar das possibilidades de intersecção entre as temáticas e as dificuldades encontradas

para agrupar e analisar diferentes trabalhos em uma determinada categoria, apresentamos, de

forma sucinta, os focos de estudo privilegiados pelos investigadores. Todos os 59 trabalhos

estão contemplados nesse estudo, como se pode observar na coluna “Trabalhos” do Quadro

1, entretanto, não será possível mencionar todos os autores no corpo do texto, que estão

referenciados em itálico para diferenciar dos nossos referenciais teóricos. Para maiores

detalhes, os leitores poderão encontrar os links de cada obra analisada no Anexo 1 deste

relato.

Quadro 1 - Temáticas a partir de categorias de análise

Temática Parâmetro norteador Trabalhos N


Temática 1:

Matemática e a

profissão

docente: atitudes,

crenças e

concepções.

Quem são as pessoas que escolhem o magistério e a Pedagogia como opção de formação superior.

Trindade, 2004; Paulino Filho, 2008; Calson, 2009; Souza, 2010; Leme, 2012.

5

Temática 2:

História da

formação

matemática do

licenciando

Como o estudante vê a sua formação matemática enquanto partícipe do curso de Pedagogia.

Zimer, 2008; Costa, 2011; Lacerda, 2011; Lima, 2011; Graça, 2011; Pereira, 2012.

6

Temática 3:

Cursos,

licenciaturas,

programas e

projetos de

formação inicial

Como as disciplinas matemáticas e os projetos de formação se desenvolvem em programas curriculares dos cursos de Pedagogia e das Escolas Normais.

Ferreira, 2002; Chiarato, 2005; Bulos, 2008; Mioto, 2008; Baumann, 2009; Cunha, 2010; Palma, 2010; Carneiro, 2012; Silva, 2010; Sousa, 2010; Cordeiro, 2011; Ferreira, 2011; Marquesin, 2012; Souza, 2012; Santos, 2012; Pozzobon, 2012; Oliveira, 2012.

17

Temática 4:

Saberes,

competências,

performance,

desempenho e

conhecimento

para a docência.

Escolhas, recursos e caminhos do professor em formação para conhecer um conteúdo matemático, didático ou pedagógico específico do e no curso de Pedagogia.

Gonçalez, 2002; Bragagnolo, 2003; Guimarães, 2005; Biajone, 2006; Amaral, 2007; Cunha, 2008; Moraes, 2008; Rosa, 2009; Ritzmann, 2009; Trujillo, 2009; Megid, 2009; Santos, 2009; Almeida, 2009; Zambon, 2010; Cavalcante, 2011; Ortega, 2011; Rodrigues, 2011; Dias, 2012; Maia, 2012; Mendes, 2012; Mota, 2012; Taques Filho, 2012.

22

Temática 5:

Avaliação,

planejamento e a

prática

pedagógica.

Proposta de ação formadora: planejamento e avaliação como ações da prática pedagógica em Matemática.

Bukowitz, 2005; Barros, 2007; Valmorbida, 2008; Oliveira, 2009; Araujo, 2009; Toricelli, 2009; Vaccas, 2012; Macedo, 2012.

8

Fonte: Arquivo das pesquisadoras a partir dos trabalhos do Projeto Universal

Na Temática 1 “Matemática e a profissão docente: atitudes, crenças e concepções dos

estudantes de Pedagogia frente à Matemática e à opção pelo curso”, cinco trabalhos

procuraram investigar concepções teóricas, fatores e motivações que fizeram os pedagogos

em formação optar pela docência. Dos entrevistados de Leme (2012), na Pedagogia, 30%

afirmaram não querer ser professor ou ter dúvidas quanto a sê-lo e muitos sujeitos

entrevistados por Trindade (2004) destacaram não querer ensinar Matemática nos anos

iniciais. Os entrevistados de Souza (2010), entretanto, apontaram que queriam ser professores


para tentar melhorar a educação e mudar a realidade de escolas do Brasil, e Gonçales (2002),

agrupado na Temática 4, informou que a maioria dos seus 1096 entrevistados escolheu o

curso de Pedagogia por vocação. Para Gatti e Barreto (2009, p.237), “a representação da

docência como “vocação” e “missão” de certa forma afastou socialmente a categoria dos

professores da ideia de uma categoria profissional de trabalhadores” e identificam que há um

entendimento de que os cursos de Pedagogia não têm disciplinas matemáticas, são “cursos

de fácil acesso e de poucas exigências de natureza acadêmica” (Gatti & Barreto, 2009, p.

155). Essa rejeição é difícil de ser revertida. Estudos como o de Calson (2009) mostraram

que, mesmo após terem vivenciado experiências construtivistas, ativas e contextualizadas na

graduação, a prática de estudantes revelava uma concepção tradicional de ensino, priorizando

as quatro operações e os resultados corretos, reduzindo possibilidades de questionamentos e

dúvidas por parte dos alunos da escola básica. Como possíveis caminhos, revelaram que

mudanças de concepções exigem trabalhos longitudinais e a participação em grupos de

estudos que proporcionem discussão, reflexão crítica, autonomia, sentido de comunidade,

perspectivas, argumentações e metodologias (Paulino Filho, 2008).

Sete trabalhos contemplaram a Temática 2 “A formação matemática do estudante de

Pedagogia: suas histórias de formação inicial e sua relação com a Matemática”. Os estudos

de Costa (2011), Graça (2011) e Pereira (2012) reapresentaram a aversão à Matemática já

apontada na Temática 1 e apontaram como o sistema de crenças sobre o seu ensino,

construído pelo professor ao longo de sua trajetória estudantil, é determinante no exercício

da sua profissão e o faz reproduzir práticas tradicionais escolares e experiências vividas que

lhes serviram como modelo de ensino. Estudos como o de Lima (2011) apontaram que os

estudantes afirmaram que estavam concluindo o curso com lacunas conceituais e que não se

sentiam preparados para ensinar Matemática. Indicaram a falta de conexão entre as

disciplinas específicas e os estágios supervisionados, bem como a necessidade de se

reformular os cursos de Pedagogia.

Foram 17 trabalhos que analisaram a Temática 3 “Cursos, licenciaturas, programas e

projetos de formação inicial: disciplinas matemáticas ou propostas de abordagens de

conteúdos e seus desenvolvimentos em programas curriculares dos cursos de Pedagogia e

Escolas Normais”. Os trabalhos apontaram que a Matemática carrega a influência dos

currículos das Escolas Normais, ou segue a aprendizagem fixada por exercícios e cálculos,


presente até a década de 1950, ou segue a tendência tecnicista pós 1960, voltada aos

procedimentos metodológicos, reforçando a falta de conexão entre as disciplinas

matemáticas do curso de Pedagogia e o estágio supervisionado, bem como o exercício da

prática em detrimento da teoria e vice-versa, já apontado na Temática 2. Os próprios

estudantes afirmam que o curso não atende as necessidades práticas dos conteúdos

matemáticos trabalhados nos anos iniciais. Para cobrir a carência da formação básica

incentivam a participação em grupos colaborativos (Ferreira, 2011; Souza, 2012) para a

aprendizagem e para o início do desenvolvimento profissional docente.

Tivemos 22 trabalhos sobre a Temática 4 “Saberes, competências, performance,

desempenho e conhecimento para a docência: escolhas, recursos e caminhos para se refletir

sobre um conteúdo matemático, didático ou pedagógico específico do e no curso de

Pedagogia”. Tais estudos obedeceram a pelo menos duas tendências básicas: 15 trabalhos

focaram no conhecimento do licenciando sobre conteúdos matemáticos específicos e 7

estudos investigaram o conhecimento didático, utilização de recursos e opções pedagógicas

do futuro professor. A maioria dos trabalhos revelou que a dificuldade com a aprendizagem

dos conteúdos específicos se mostrou agravada pela falta de domínio de conhecimentos

matemáticos básicos, particularmente, no campo Números e Operações. Revelou ainda que

a formação conceitual estatística não estava prevista nos cursos de Pedagogia analisados e

que a maioria dos alunos tinha certeza de que não estudariam Matemática e, tampouco,

Geometria. Novamente a análise mostrou ainda que há cursos que reforçam a dicotomia

teoria-prática.

Enquanto no Projeto Universal (Fiorentini, Passos & Lima, 2016) a Temática 5 “Avaliação,

planejamento e a prática pedagógica: proposta de ação formadora, envolvendo a

importância do planejamento e da avaliação como ações da prática pedagógica em

Matemática” foi a mais presente nas pesquisas sobre a formação inicial, totalizando 90

trabalhos, nos estudos sobre o PEMIE identificamos somente 8 trabalhos, o que indica que

as mesmas se concentram nas licenciaturas em Matemática. Aqui novamente se destacam as

indicações de que estratégias formativas presentes em grupos de estudo, de pesquisa e de

discussão têm se constituído como positivas no processo de formação docente.


Considerações finais sobre a análise dos estudos

A análise das pesquisas sobre a formação inicial do PEMIE indica que apesar dos avanços e

do aumento da produção acadêmica, observou-se a ausência de investigações sobre as

condições de trabalho dos docentes e sobre políticas de formação cujo foco de estudo é o

professor que vai trabalhar com a Educação Infantil. Essa análise confirma a “enorme lacuna

quanto à formação de professores para a educação infantil, uma vez que se trata do nível

inicial da educação básica, que compreende vários anos de atenção à criança pequena, e que

concentra o maior percentual de docentes sem formação adequada” (Gatti & Barreto, 2009,

p.258). Indica ainda a ausência de pesquisas sobre a formação do PEMIE em matemática

inclusiva e lacunas no desenvolvimento de pesquisas de caráter interdisciplinar, determinante

na formação dos professores polivalentes oriundos de cursos de Pedagogia, confirmando com

Gatti e Barreto (2009) a tradição disciplinar que marca a nossa identidade docente.

Pelas conclusões da Temática 1, a maioria dos professores investigados escolhem a

licenciatura por vocação e com a expectativa de tentar melhorar a educação nas escolas do

Brasil. Esperam, assim, uma formação que os habilite e os prepare para tal desafio. Acontece

que a Temática 2 mostrou que os professores formados não se sentem preparados para ensinar

Matemática e essa formação cheia de lacunas é destacada na Temática 3, onde os

pesquisadores apontam inúmeros problemas identificados nos cursos de formação, como

carga horária irrisória para a formação matemática docente e a desarticulação entre teoria e

prática e com o estágio supervisionado. Tanta carência dificulta a constituição dos

conhecimentos matemáticos básicos e a formação para a docência apontadas na Temática 4.

Apesar de grande número de pesquisas trazer referências teóricas em Shulman, observa-se

que os preceitos de Shulman (1986) não são constituídos na prática de formação. As

dificuldades com o conhecimento didático-pedagógico e as crenças negativas relacionadas à

Matemática, mostraram falta de vivência e de articulação entre os três pilares que sustentam

o conhecimento do professor. O pilar sobre o conhecimento do conteúdo em si, o pilar sobre

o conhecimento do currículo e o pilar sobre o conhecimento pedagógico. Tais dificuldades

somadas à falta de literatura sobre formadores responsáveis pela formação matemática de

pedagogos em universidades e em escolas normais (Oliveira, 2012) acabam por gerar práticas

formadoras tradicionais, ausência de pesquisas em educação matemática, dificultando a


inserção da investigação na rotina do professor.

Ao tomar por reflexão a pouca carga horária dos cursos de Pedagogia para a formação

matemática e o grande distanciamento entre a universidade e a escola básica, em destaque

nas Temáticas 2 e 3, as pesquisas apontam, particularmente na Temática 5, as possibilidades

de participação dos graduandos e docentes em grupos de estudos e grupos colaborativos

como oportunidades prazerosas de aprimorar a formação para a docência matemática. Esses

caminhos, entretanto, não eximem os sistemas e as instituições formadoras de cuidar da

elaboração de políticas públicas de formação inicial e de consultar dados das pesquisas

publicadas para identificar problemas e estudar possibilidades de estruturação de seus

programas curriculares.

Referências Bibliográficas:

Ball, D. L., Thames, H.M. & Phelps, G. (2008). Content Knowledge for Teaching: What Makes It Special? Journal of Teacher Education, 59(5), 389-407.

Fiorentini, D.; Passos, C. L. B.; Lima, R. C. R. (org). Mapeamento da pesquisa acadêmica brasileira sobre o professor que ensina matemática: período 2001 - 2012 / Campinas, SP: FE/UNICAMP, 2016. Acesso em fev. 2017: https://www.fe.unicamp.br/pf-fe/pf/subportais/biblioteca/fev-2017/e-book-mapeamento-pesquisa-pem.pdf

Gatti, B. A. & Barreto, E.S.S. (2009). Professores no Brasil: impasses e desafios. Brasília: Unesco.

Nacarato, A. M.; Passos, C. L. B.; Cristovão, E. M.; Megid, M. A. B. A.; Gama, R. P. & Coelho, M.A.V.M.P. (2016). Tendências das pesquisas brasileiras que têm o professor que ensina Matemática como campo de estudo: Uma síntese dos mapeamentos regionais. In D. Fiorentini, C.L.B. Passos & R.C.R. Lima (org.). Mapeamento da pesquisa acadêmica brasileira sobre o professor que ensina Matemática: Período 2001 – 2012. Campinas, SP: Faculdade de Educação Unicamp.

Serrazina, M.L.M. (2012). Conhecimento matemático para ensinar: papel da planificação e da reflexão na formação de professores. Revista Eletrônica de Educação. 6(1), 266-283.

Shulman, L. S. (1986). Those who understand: knowledge growth in teaching. Teaching Educational Researcher, 15(2), 4-14.

ANEXO 1 - Lista dos trabalhos analisados

Almeida, M. B. (2009). A formação inicial de professores no curso de Pedagogia: constatações sobre a formação matemática para a docência nas séries iniciais do Ensino Fundamental. Dissertação de Mestrado em Educação para a Ciências e a Matemática. Maringá: Universidade Estadual de Maringá. Acesso em 03 de julho de 2016. Disponível em: http://cienciaematematica.vivawebinternet.com.br/media/dissertacoes/ed33a21649fb701.pdf


Amaral, M. H. (2007). A estatística e a formação inicial com alunos de um curso de Pedagogia: reflexões sobre uma sequência didática. Dissertação de Mestrado Profissional em Ensino de Matemática. São Paulo: Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. Acesso em 20 de julho de 2016. Disponível em: http://www.sapili.org/livros/pt/cp032739.pdf

Araújo, A. R. (2009). Práticas pedagógicas em transformação: contribuições da interdisciplina Representação do Mundo pela Matemática no curso de Pedagogia a distância da Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Dissertação de Mestrado em Educação. Porto Alegre: Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Acesso em 03 de julho de 2016. Disponível em: http://www.lume.ufrgs.br/handle/10183/25835

Barros, L. A. P. (2007). Desenvolvimento do conceito de avaliação na formação inicial de professores em atividade colaborativa. Dissertação de Mestrado em Educação. São Paulo: Faculdade de Educação. Universidade de São Paulo. Acesso em 03 de julho de 2016. Disponível em: http://www.teses.usp.br/teses/disponiveis/48/48134/tde-09102007-091849/pt-br.php

Baumann, A. P. P. (2009) Características da formação de professores de Matemática dos anos iniciais do Ensino Fundamental com foco nos cursos de Pedagogia e Matemática. Dissertação de Mestrado em Educação Matemática. Rio Claro: Universidade Estadual Paulista. Acesso em 03 de julho de 2016. Disponível em: http://base.repositorio.unesp.br/handle/11449/91072

Biajone, J. (2006). Trabalho de projetos: possibilidades e desafios na formação estatística do pedagogo. Dissertação de Mestrado em Educação. Campinas, SP: Universidade Estadual de Campinas. Acesso em 03 de julho de 2016. Disponível em: http://www.bibliotecadigital.unicamp.br/document/?code=vtls000381751&fd=y

Bragagnolo, I. T. (2003). Formação inicial de professores: uma interlocução entre a Matemática das séries iniciais e as questões da realidade social. Dissertação de Mestrado em Educação. Florianópolis: Universidade Federal de Santa Catarina. 2003. Acesso em 03 de julho de 2016. Disponível em: http://www.tede.ufsc.br/teses/PEED0384.pdf

Bukowitz, N. S. L. (2005). Práticas investigativas em Matemática: uma proposta de trabalho no curso de Pedagogia. Tese de Doutorado em Educação. Rio de Janeiro: Universidade Federal do Rio de Janeiro. Acesso em 23 de julho de 2016. Disponível em: http://www.educacao.ufrj.br/ppge/teses/naterciadesouzalimabukowitz.pdf

Bulos, A. M. M. (2008). A formação em Matemática no curso de Pedagogia: percepções dos alunos-professores sobre as contribuições para a prática em sala de aula. Dissertação de Mestrado em Ensino, Filosofia e História das Ciências. Feira de Santana, BA: Universidade Federal da Bahia e Universidade Estadual de Feira de Santana. Acesso em 03 de julho de 2016. Disponível em: https://twiki.ufba.br/twiki/pub/PPGEFHC/DissertacoesPpgefhc/AdrianaBulos2008.pdf

Calson, M. L. (2009). A formação do professor dos anos iniciais e suas concepções sobre o ensino de Matemática. Dissertação de Mestrado em Educação em Ciências e Matemática. Porto Alegre: Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul. Acesso em 03 de julho de 2016. Disponível em: http://tede.pucrs.br/tde_busca/arquivo.php?codArquivo=2762

Carneiro, R. F. (2012). Processos formativos em Matemática de alunas-professoras dos anos iniciais em um curso a distância de Pedagogia. Tese de Doutorado em Educação. São Carlos, SP: Universidade Federal de São Carlos. Acesso em 23 de julho de 2016. Disponível em: https://repositorio.ufscar.br/bitstream/handle/ufscar/2289/4798.pdf?sequence=1&isAllowed=y

Cavalcante, J. L. (2011). Resolução de problema e formação docente: saberes e vivências no curso de Pedagogia. Dissertação de Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática. Campina Grande, PB: Universidade Estadual da Paraíba. Acesso em 03 de julho de 2016. Disponível em: http://bdtd.uepb.edu.br/tde_arquivos/15/TDE-2012-09-10T153619Z-223/Publico/Jose%20Luiz%20Cavalcante%201.pdf

Chiarato, M. A. L. M. 2005. Aprendendo Matemática a distância: a circulação do conhecimento em um curso de formação de professores para as séries iniciais. Dissertação de Mestrado. Londrina: Universidade Estadual de Londrina. Acesso em 13 de julho de 2016. Disponível em: http://www.bibliotecadigital.uel.br/document/?code=vtls000109510

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Costa, S. C. S. (2011). O professor que ensina Matemática nos anos iniciais do Ensino Fundamental: limites e possibilidades do curso de Licenciatura em Pedagogia. Dissertação de Mestrado. São Paulo: Universidade Cruzeiro do Sul. Acesso em 03 de julho de 2016. Disponível em: http://sites.cruzeirodosulvirtual.com.br/pos_graduacao/trabs_programas_pos/trabalhos/Mestrado_Ensino_de_Ciencias_e_Matematica/MESTRADO_ENSINO_DE_CIENCIAS_E_MATEMATICA-Shirley%20Concei%E7%E3o%20Silva%20da%20Costa_312.PDF


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CB-438

ASTRONOMÍA Y GEOMETRÍA EN LAS ESTRELLAS DE GAUDÍ

María de los Desamparados López de Briñas Ferragut [email protected]

Institut El Til·ler – Corrò d'Avall (Les Franqueses del Vallès) - Barcelona – España Grup Vilatzara ICE-UAB

Núcleo temático: Matemáticas y su integración con otras áreas Modalidad: CB Nivel educativo: Medio o Secundario Palabras clave: Sagrada Familia, poliedros, visualización espacial Resumen Es habitual trabajar los poliedros en el aula desde contextos poco atractivos y destinados principalmente como medio para trabajar el álgebra. Sin embargo, en esta comunicación proponemos un contexto con el que trabajar la visualización espacial a través de la astronomía y los poliedros estrellados de la Sagrada Familia. La comunicación consta de dos partes: una en la que explicaremos brevemente aquellos lugares de la Fachada del Nacimiento donde podemos identificar estrellas modelizables mediante poliedros o sólidos estrellados, así como su geometría y significado. La otra parte se centra en la propuesta didáctica diseñada para trabajar los poliedros en el aula a través de las estrellas, así como los aspectos destacables que surgen cuando se lleva a cabo con el alumnado. Introducción

Los contextos habituales para trabajar los poliedros en el aula suelen ser objetos de la vida

cotidiana (lámparas, adornos de collares,...), del ámbito científico (cubiertas de determinados

virus, estructuras de minerales,..) e incluso en determinadas obras artísticas o arquitectónicas.

En la Sagrada Familia de Barcelona, además de los poliedros conocidos de los pináculos de

las torres y la cripta, hay determinados lugares de la Fachada del Nacimiento en los que

podemos entrever otro tipo de poliedros, estrellados, utilizados para representar las estrellas

con significados diversos. Detallaremos los modelos teóricos propuestos para ellas y la

propuesta didáctica que hemos llevado al aula para trabajar poliedros estrellados.

La Estrella de Belén

Está situada sobre una columna, justo en medio de la Fachada del Nacimiento, encima de la

escena del Nacimiento y bajo la escena de la Anunciación. El modelo teórico propuesto que


explica la mayoría de sus detalles es la composición de dos poliedros estrellados, un

dodecaedro estrellado y un gran dodecaedro estrellado de Kepler.

Los pináculos de los balcones en las torres de la Fachada del Nacimiento

En cada uno de los balcones de las torres de dicha fachada hay un pináculo que decora la

parte superior de la estatua del apóstol al que va dedicada cada torre representando un cielo

estrellado por encima de él. En cada uno podemos encontrar cinco tipos diferentes de estrellas

y es posible hallar un modelo teórico que explique cada tipo. Para dos de ellas los modelos

teóricos son el dodecaedro estrellado y el cubo estrellado (ambos por agregación de

pirámides). Para las otras tres estrellas un modelo que las explica es el basado en

truncamientos de determinados poliedros arquimedianos.

Estos tres últimos tipos de estrellas, junto con el propuesto para la estrella de Belén,

presentan un nivel de complejidad que no recomendamos para Secundaria.

Sin embargo, las estrellas del siguiente lugar, sí pueden ser trabajadas en Secundaria.

Las estrellas de las constelaciones en la escena de la Anunciación

El tercer y último lugar de la Fachada del Nacimiento donde podemos encontrar estrellas es

el Arco de las Constelaciones, que enmarca la escena de la Anunciación, justo encima de la

estrella de Belén. En esta escena el Arcángel Gabriel le anuncia a la Virgen que será la madre

de Jesús y en dicho arco se representan seis de las doce constelaciones zodiacales, las

presentes en el cielo nocturno en el momento del nacimiento de Jesús, y que son: Virgo, Leo,

Cáncer, Géminis, Tauro y Aries.

En cada una de las constelaciones se representan diversos tipos de estrellas y en todo el arco

en concreto podemos distinguir hasta cinco estrellas diferentes. A pesar de su apariencia, con

pocas aristas y caras claramente definidas e identificables, serán el número y la distribución

de las puntas que presentan lo que permite asignarles un modelo teórico concreto. Dichos

modelos teóricos están basados en poliedros estrellados asociados a los cinco poliedros

platónicos.

Relación entre los poliedros y las estrellas

En el caso de las estrellas de las constelaciones, los poliedros no sólo representan estrellas,

sino que cada tipo tiene un significado adicional, en un sentido astronómico.

Si comparamos cada escultura de la constelación de Gaudí con un mapa estelar actual,

podemos observar la gran semejanza entre unas y otras en cuanto a la ubicación de las


estrellas y los poliedros estrellados. De hecho, es posible reproducir la misma representación

de las líneas de los mapas actuales (usadas para identificar la constelación en el cielo) en cada

una de las esculturas de las constelaciones de Gaudí.

Dicha semejanza nos permite establecer una relación entre el brillo de la estrella (o magnitud

aparente) y el tipo de poliedro estrellado que se utiliza para la representación de las mismas

en las constelaciones de la Sagrada Familia.

Si estudiamos los datos de magnitud visual correspondientes a cada estrella identificada en

las constelaciones, podemos establecer una correspondencia directa entre dicha magnitud y

el poliedro usado para representar la estrella con tal valor, lo que nos permite afirmar que

Gaudí utilizó una escala de brillo de estrellas basada en estrellamientos de los cinco poliedros

platónicos, de tal manera que a mayor número de puntas del poliedro estrellado, mayor brillo

tiene la estrella. En este caso, la de mayor brillo sería un icosaedro estrellado y la de menor,

la representada por un tetraedro estrellado.

En los mapas estelares antiguos el procedimiento habitual para representar la diferencia de

brillo de las estrellas consistía en realizar dibujos de estrellas planas distintos. Sin embargo,

en la Sagrada Familia, se utilizan figuras en tres dimensiones como son los poliedros

estrellados con un número creciente de puntas.

Propuesta Didáctica

Las aplicaciones didácticas que ofrecen estos poliedros son variadas e interesantes, pero

consideramos que las estrellas de las constelaciones, con los cinco platónicos estrellados,

presentan unas posibilidades que permiten trabajarlos en un nivel de Secundaria.

De entre las seis constelaciones representadas en el Templo, la actividad propuesta se centra

en la de Géminis, ya que en ella aparecen los cinco poliedros estrellados diferentes y su

representación en los libros actuales de astronomía es muy intuitiva.

La actividad consiste en identificar los cinco tipos de estrellas en la constelación y obtener la

representación gráfica de líneas que se utiliza actualmente.

Para ello se realizan los pasos siguientes:

1.- Les mostramos una imagen de una representación antigua de Géminis y les pedimos que

digan a qué se debe que los dibujos de las estrellas sean diferentes.


2.- Les mostramos una fotografía de la misma constelación en la Sagrada Familia para

identificar lo que son las estrellas y cuantos tipos diferentes encuentran.

3.- Les mostramos cinco poliedros estrellados asociados a los cinco platónicos para que

identifiquen cada estrella con el correspondiente estrellado, argumentando su respuesta.

4.- Finalmente, junto a cada estrella han de escribir la inicial del platónico correspondiente y

unirlas mediante líneas tratando de obtener la misma representación que en el mapa

astronómico actual que se les proporciona.

Como se puede entrever en la breve descripción de los pasos, han reconocer los modelos

teóricos presentados en las estrellas de la escultura, que tienen las aristas y los vértices

desdibujados, que están puestas en muchas posiciones diferentes y que en la mayoría de casos

solo podemos ver un fragmento. Todo ello contribuye a trabajar la visualización espacial

desde un contexto artístico y científico a la vez, con un ejemplo en el que el Arte une la

Geometría con la Astronomía.


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ROM, University of IUAV of Venice, Italy, 2007, Paper ID209 T8, 10 pp

(Abstracts, 343-344).


CB-440

PROGRAMA JOVEM APRENDIZ: UM ESTUDO SOBRE ALUNOS DE INCLUSÃO E CONHECIMENTOS MATEMÁTICOS

Livia Ferreira Paim da Silva – Marlise Geller

[email protected] – [email protected] ULBRA – Universidade Luterana do Brasil

Núcleo temático: III Aspectos socioculturais da educação matemática. Modalidade: Comunicação Breve Nível educativo: Educação para adultos Palavras chave: Educação Profissional. Educação Matemática. Pessoa com Deficiência. Resumo Esta pesquisa foi realizada em uma escola de Educação Profissional de Porto Alegre - RS, com a proposta de investigar como alunos de inclusão inseridos no Programa Jovem Aprendiz (re)articulam conhecimentos matemáticos para o mercado de trabalho, a partir de atividades práticas realizadas em um Laboratório de Aprendizagem a fim de verificar como desenvolvem competências (e habilidades). Como metodología de pesquisa utilizou-se uma abordagem qualitativa, sendo a coleta de dados realizada no módulo III do curso de aprendizagem e dividida em três fases principais: a investigação dos conhecimentos matemáticos dos participantes, a organização do espaço, por meio de atividades de exposição e precificação, por fim, vivenciar as atividades do LA estabelecendo uma rotina de trabalho. Constatou-se que ao aproximar pessoas com deficiência de atividades que simulam a prática, é possível provocar mudanças em suas competências profissionais, pois, no ambiente de aprendizagem existe a interação com os objetos e com os sujeitos envolvidos, ampliando seus saberes para a vida.

Introdução

A Lei de Cotas n. 8213/9139, com o propósito de instruir a contratação de PCD40 -

Pessoas com Deficiência, assume um papel de promotora do processo de inclusão destas

pessoas. Nesta perspectiva faz-se necessário buscar alternativas para tornar acessível o

espaço de trabalho da pessoa com deficiência, tanto para seu aprendizado e construção de

carreira, como para adaptação física do local. Mesmo com os desafios, os PCD demonstram

39 Art. 93 explana que “empresas com 100 (cem) ou mais empregados está obrigada a preencher de 2% (dois por cento) a 5% (cinco por cento) dos seus encargos com beneficiários reabilitados ou pessoas com deficiência, habilitadas na seguinte proporção: até 200 empregados 2%, de 201 a 500 empregados 3%, de 501 a 1000 empregados 4%, acima de 1001 5%” (BRASIL, 1991). 40 Pessoa com Deficiência.


capacidade de aprender e exercer diversificadas funções, superando dificuldades, inferindo

que a deficiência não pode ser vista como um impedimento para aprender.

Sassaki (1997) considera o espaço de trabalho como uma das formas de inserção de

pessoas com deficiência, que podem simplesmente se adaptar ao meio que estão inseridos ou

a empresa pode adequar as ferramentas de trabalho permitindo que desempenhem suas

funções, ou até que construa um setor específico acessível a suas particularidades. Nesse

contexto, Programas como Jovem Aprendiz41 são responsáveis por criar oportunidades de

preparar e incluir jovens com deficiência contribuindo para superar as diferenças entre

sociedade e mercado de trabalho, amparados por estratégias diferenciadas “assumindo o

compromisso de educar para o trabalho e a vida” (SENACRS, 2015, p.13).

Nesse sentido, a presente pesquisa foi realizada sob ótica qualitativa (CRESWELL,

2010), com o intuito de investigar como, alunos com deficiência, inseridos ao Programa

Jovem Aprendiz, (re)articulam conhecimentos que oportunizem na prática o

desenvolvimento de competências e habilidades matemáticas que contribuíssem para sua

inserção no mercado de trabalho.

Conhecimentos matemáticos na educação profissional

O desenvolvimento das competências propõe a conexão dos conhecimentos e

habilidades, não apenas a transmissão de conteúdos e informações, mas a identificação de

sua atuação na vida do indivíduo. Essa interpretação fica clara quando está conectada a

educação profissional, pois é possível identificá-las nas atividades práticas exercidas no local

de trabalho, assim, a vivência permite a compreensão do aprendizado e a implementação da

aprendizagem valorizando as potencialidades de cada um (PERRENOUD, 2013).

Percebe-se que o ambiente de trabalho pode favorecer a inclusão, principalmente por

demonstrar que a aprendizagem “é existencial e experiencial” (JARVIS, 2013, p.36), que

depende da interação, dos desafios oferecidos, para provocar reações nos comportamentos

dos indivíduos, ou seja, cada um se desenvolve em seu próprio ritmo, conforme o contexto

41 O Programa Jovem Aprendiz “prepara o jovem para desempenhar atividades profissionais e ter

capacidade de discernimento para lidar com diferentes situações no mundo do trabalho e, ao

mesmo tempo, permite às empresas formarem mão-de-obra qualificada” (BRASÍLIA, 2009. p.11).


histórico que está inserido, suas relações com o mundo do trabalho e sua atuação na sociedade

(VYGOTSKY, 1984). Desse modo, torna-se pertinente oportunizar a aprendizagem com

atividades práticas, proporcionando a interação dos sujeitos, desenvolvimento de

competências e capacitação para exercer suas funções no mercado de trabalho.

Vygotsky (1984, p.64) ainda considera que, “a transformação de um processo

interpessoal num processo intrapessoal é o resultado de uma longa série de eventos ocorridos

ao longo do desenvolvimento”42, de forma que a internalização dos conhecimentos e

habilidades matemáticas é um processo, construídos gradativamente ao longo da interação

do sujeito com as atividades e as formas de ensino propostas.

Assim, verifica-se que a competência matemática é individual, não permite que seja

mensurável ou medida pelo desempenho de uma ação específica, pois cada sujeito, em seu

tempo, conforme a interação ou as metodologias para a mediação é capaz de aprimorar seus

recursos internos coordenando seus conhecimentos/habilidades e articular aos recursos

externos aplicando o aprendido de forma eficaz (PERRENOUD, 2013).

A matemática pode ser inserida, em situações do cotidiano, proporcionando

aprendizagem conforme a potencialidade de cada um, o LA em sua construção e atividades

práticas é um espaço capaz de colaborar no desenvolvimento de competências para o

mercado de trabalho, ao permitir que cada participante construa significados que com base

em Vygotsky (1996) são construídos em acordo com a vivência das situações.

Metodologia da Pesquisa

Esta pesquisa43 constitui-se em uma abordagem qualitativa (CRESWELL, 2010) da

qual participaram 6 (seis) alunos com deficiência, estudantes de uma Escola de Educação

Profissional da Zona Norte de Porto Alegre inseridos no Programa Jovem Aprendiz44. Os

participantes foram escolhidos de forma aleatória, considerando laudos médicos com códigos

42 Uma operação que inicialmente representa uma atividade externa é reconstruída e começa a ocorrer internamente [...] todas as funções no desenvolvimento da criança aparecem duas vezes, primeiro, no nível social e depois, no nível individual, primeiro, entre as pessoas (interpsicológica), e, depois, no interior da criança (intrapsicológica) (VYGOTSKY, 1984, p.64). 43 Aprovado pelo Comitê de Ética sob protocolo número CAAE: 61307916.8.0000.5349.

44 De acordo com a Lei 10.097/2000 regulamentada pelo Decreto nº 5598 de 1º de dezembro de 2005. (BRASIL, 2013).


CID 1045 na categoria F atribuída a transtornos mentais e comportamentais. Optou-se por

nomear os participantes como NEU, MAR, DAN, JOR, JON e FIL, de modo a garantir o

sigilo de sua identidade. A pesquisa envolveu atividades realizadas no módulo III do curso

de aprendizagem, com duração de 90 horas.

Para investigar os conhecimentos matemáticos utilizou-se o LA para realização das

atividades, objetivando vivenciar situações de aprendizagem que possibilitassem a

construção gradativa das competências/habilidades para o mercado de trabalho. O LA é uma

sala personalizada com layout de uma loja de roupas, com a proposta de vivenciar rotinas de

uma loja, realizar processos reais de compra e venda, permitindo que o aluno utilize e amplie

seus conhecimentos e habilidades. O LA adotou o alimento não perecível como moeda de

troca para pagamento pelas roupas, realizando a doação dos alimentos para empresas

parceiras da escola.

Análise e Discussão dos Resultados

A análise dos resultados da pesquisa se apresenta por meio das atividades que foram

organizadas em três fases:

- Fase 1: utilizou-se o LA para investigar os conhecimentos matemáticos dos participantes.

Entende-se que as políticas públicas no Brasil, como a questão da contratação

obrigatória, pela Lei nº 8.213 de 24 de julho de 1991, contribuem para inserção e integração

de pessoas com deficiência, mas está longe de solucionar o problema. Neste sentido, a

inserção profissional do PCD é “o momento entre o processo de desenvolvimento da

qualificação e da formação profissional e a efetivação da pessoa no sistema produtivo, ou

seja, no emprego no posto de trabalho e na participação efetiva nesse sistema” (DIEKOW,

2012, p. 22).

Uma atividade realizada para identificar a percepção e organização do espaço foi a

contagem do estoque. Os alunos efetivaram a contagem das peças de roupas e acessórios

disponíveis no espaço, JOR identificou os equipamentos como parte importante do estoque,

45 CID 10 – Classificação Internacional de Doenças: propõe a padronização das doenças por meio do fornecimento de códigos que classificam as doenças conforme suas características.


identificando-os como patrimônio, que devem ser conservados para não trazer custo para a

empresa, enquanto JON separou cada equipamento semelhante contando por grupos, como

calças e camisas. NEU e MAR realizaram a atividade em equipe e descreveram em detalhes

os produtos, separando-os em femininos e masculinos identificando que os produtos

masculinos estavam em falta.

Nos relatos dos alunos pode-se perceber que buscavam organizar as tarefas de modo

que representasse algo para eles, apresentando maior facilidade e interesse pelo concreto, da

mesma forma que Vygotsky (1960) define que em todas as culturas são utilizados símbolos

que fazem a mediação na construção de conceitos, porém a internalização é individual e

diferente para cada pessoa, dessa forma, cada um impõe significado ao que está aprendendo

conforme sua interpretação e interesse pelo que é exposto. Na construção da planta baixa, os

alunos observaram o espaço e foram convidados a representá-lo no papel. FIL e DAN não

compreenderam as representações geométricas, perdendo interesse na atividade, enquanto

NEU organizou as figuras com detalhes nos espaçamentos e posição dos equipamentos,

conforme ilustra a figura 1.

Figura 1: Planta baixa

Fonte: A pesquisa

- Fase 2 – Organizar o espaço do LA, por meio de atividades de exposição, definição dos


produtos de venda e precificação.

Cada aluno escolheu o equipamento que gostaria de organizar: NEU e MAR

escolheram os sapatos e definiram a quantidade de pares para expor no equipamento, ao

questionar sobre qual a quantidade mínima e máxima que poderiam ser utilizadas nos

equipamentos NEU argumentou que seriam 2 pares para cada espaço sendo no máximo 12 e

no mínimo 1 por espaço em um total de 6 pares, afirmando que esteticamente seria melhor.

Os alunos FIL e JOR escolheram arrumar os manequins e após a terceira tentativa

identificaram que o manequim usava vestia tamanho 38 passando a utilizar o mesmo critério

nos outros.

Para realizar a precificação das roupas do LA os alunos decidiram subdividi-las em 3

categorias onde as peças mais caras seriam pagas com feijão, as mais baratas arroz e as mais

caras com massa. O participante JON identificou que 1 pacote de massa não era equivalente

ao de arroz, pois sua quantidade era 500g enquanto o pacote de arroz era 1kg, seria necessário

igualar utilizando 2 pacotes de massa que seria mais caro que 1kg de arroz. MAR solicitou

um catálogo para consultar os preços e identificar as figuras.

Por mais que o restante dos participantes, inicialmente não percebesse a reflexão de

JON sobre as quantidades, o grupo interagia para elaboração da tabela de preços e

compreendeu a importância do questionamento, da mesma forma que DAN e JOR se

apropriaram da ideia de MAR em usar o catálogo, assim evidenciando as concepções de

Vygotsky (1984) que por meio da interação e do uso de signos desenvolvem-se as funções

psicológicas superiores, trazendo sentido para a matemática, nas atividades que oportunizam

a vivência do indivíduo, e ainda, formar significados particulares para cada situação.

- Fase 3 – Vivenciar as atividades do LA com a abertura do espaço para os demais alunos da

escola, com o acompanhamento da rotina de trabalho e com o fechamento das atividades.

Os participantes escolheram funções para cada um no LA, entre elas, operador de

caixa, vendedor e estoque. JON e JOR escolheram fazer a recepção das outras turmas e

identificaram que a sala não tinha espaço para muitas pessoas organizando os visitantes em

grupos de 10 pessoas. NEU e MAR receberam uma tabela para controle de vendas e estoque

do setor feminino, além do atendimento fariam a reposição de peças nos equipamentos e nos

manequins. Enquanto DAN e FIL receberam a solicitação para modificar os preços,

anteriormente calculados em alimentos, por litros de leite. DAN diz “os mais caros continuam


sendo mais caros porque vão pagar mais leite” e que a troca por leite também vai ser um bom

pagamento, que pode ser observado na figura 2.

Figura 2: Tabela de Preços

Fonte: A pesquisa

Escouto (2012), sugere a aprendizagem centrada no aluno onde suas habilidades são

o ponto de partida para conexão dos conhecimentos, sendo essencial para a construção de

saberes, que deve ser acompanhado e avaliado individualmente ao longo de todo o curso,

respeitando os limites e diferenças de cada um, ao mesmo tempo que, adapta e (re)organiza

as atividades para que todos possam aprender.

Na última fase, surgiram novas situações para que utilizassem os conhecimentos

matemáticos, ao mesmo tempo em que, as atividades práticas exigiam a tomada de decisão

para a solução de problemas, que por vezes acontecem no dia a dia no ambiente de trabalho.

Nesse sentido que se identificam as competências nas situações que propõe “não apenas a

identificação de problemas, mas também a sua resolução, por meio de uma ação eficaz”

(TARDIF, 1996, apud Perrenoud, 2013, p.31).

Conclusão A presente pesquisa buscou investigar os conhecimentos matemáticos de alunos com

deficiência inseridos ao Programa Jovem Aprendiz. Utilizou-se o LA e suas atividades para


oportunizar o envolvimento com novas situações de aprendizagem, que contribuíssem para

aquisição de conhecimentos e habilidades para o mercado de trabalho.

Ao envolver os participantes com as atividades elaboradas nas três fases evidenciou-

se o que Perrenoud (2013, p.47) define como “ ‘saberes locais’, construídos num contexto

específico, com base na experiência pessoal ou na apropriação da cultura de uma equipe,

principalmente por apresentarem diferentes conhecimentos matemáticos e associações às

relações de trabalho.

Considerando o envolvimento do grupo ao longo das atividades de pesquisa, pode-se

perceber, com a interação dos participantes, a capacidade por buscar adaptações, construir

um novo caminho superando impedimentos na realização das tarefas, assim, identificou-se

uma premissa de Vygotsky na qual o sujeito pode se transformar e que as dificuldades servem

de estímulo para a superação, se forem utilizados os instrumentos certos para incentivá-lo.

Utilizar o LA para envolver os participantes em atividades reais de atendimento,

organização e venda, apresentou por parte do grupo comprometimento com a proposta de

trabalho e envolvimento nas ações realizadas pelo espaço, uma vez que os participantes

foram ativos nas decisões de funcionamento do LA. Foi possível perceber, por meio de

relatos individuais, a relação de trabalho estabelecida de cada um, com a escolha da função

exercida e a entrega do trabalho gerado por ela.

As reflexões realizadas nessa pesquisa identificaram que é possível sugerir diferentes

estratégias para envolver os alunos com deficiência, que pertencem ao Programa Jovem

Aprendiz, com os conhecimentos matemáticos para o mercado de trabalho, uma vez que as

empresas que participam do programa dispõem de vagas para inserção desses alunos.


BRASIL. Lei de cotas nº. 8213, de 24 de Julho de 1991. http://www.planalto.gov.br/ccivil_03/Leis/L8213cons.htm Consultado 17/07/2016. ______ . Ministério do Trabalho e Emprego. Manual da Aprendizagem. Brasília: outubro, 2013. http://www.senac.br/media/6773/manual_de_aprendizagem_do_mte-_edi__o_revisada_e_atualizada_em_2013.pdf Consultado 06/07/2016. CRESWELL, John W (2010). Projeto de Pesquisa: métodos qualitativos, quantitativos e misto. Tradução de Magda Lopes. 3 ed. Porto Alegre: Artmed. DIEKOW, Ingrit Roselaine (2012). A inserção de alunos/adolescentes com necessidades educacionais especiais no mercado de trabalho: desafios do programa trabalho educativo


da secretaria municipal de educação de Porto Alegre. 2012. 51f. Monografia (Pós-graduação em Educação Especial e Processos Inclusivos) – UFRGS, Porto Alegre. ESCOUTO, Ana Lúcia Roman. (2012). Uma análise das práticas pedagógicas do Projeto PESCAR sob a ótica da educação inclusiva: estudo de caso. 2012. 81f. Monografia (Pós-Graduação em Educação Especial e Processos Inclusivos) – UFRGS, Porto Alegre. JARVIS, Peter. (2013). Aprendendo a ser uma pessoa na sociedade:aprendendo a ser eu…In: ILLERIS, Knud (org). Teorias contemporáneas da aprendizagem. Trad Ronaldo Cataldo Costa. Porto Alegre: Penso. PERRENOUD, Philippe (2013). Desenvolver competências ou ensinar saberes? A escola que prepara para a vida. Tradução Laura Solange Pereira. Porto Alegre: Penso. SASSAKI, Romeu Kazumi (1997). Inclusão: construindo uma sociedade para todos. Rio de Janeiro: WVA. SENAC-RS. (2015). Projeto Político Pedagógico: o nosso jeito de aprender e ensinar. VYGOTSKY LS. (1989). Obras completas. Tomo cinco: Fundamentos de Defectologia. Havana: Editorial Pueblo Y Educación. ________. (1996) Pensamento e Linguagem. São Paulo: Martins Fontes. ________. (1984) A formação social da mente: o desenvolvimento dos processos psicológicos superiores. 6 ed. São Paulo: Martins Fontes.


CB-442

USO DE LA TECNOLOGÍA PARA VISUALIZAR EL DESLIZAMIENTO DE UN CUERPO SOBRE UNA CICLOIDE

Isaías Lima Zempoalteca – Antonio Rivera Figueroa [email protected] – [email protected]

Cinvestav-IPN, México

Núcleo temático: Recursos para la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas Modalidad: CB Nivel educativo: Formación y actualización docente Palabras clave: Modelación, Tecnología, Cicloide, Tautócrona Resumen En los libros de texto de ecuaciones diferenciales suele mostrarse que la tautócrona y la braquistócrona es un trozo de la cicloide, de hecho, existen animaciones en la web donde se visualiza que la cicloide es una tautócrona, sin embargo, estos sitios de internet no establecen las ecuaciones que describen este movimiento. En este artículo obtenemos tales ecuaciones en forma paramétrica en términos del tiempo, lo que nos permite verificar analítica y numéricamente que en efecto la cicloide es tautócrona. Usando estas ecuaciones también modelamos mediante el software Mathematica el deslizamiento simultáneo de tres cuerpos partiendo de distintas posiciones iniciales en donde, mediante una animación, se verifica dinámicamente que la curva es una tautócrona. Una observación importante al respecto, tiene que ver con la simplicidad de la ecuación diferencial que se obtiene para esta curva particular, cuando se analiza el movimiento de un cuerpo que se desliza sin fricción a lo largo de una curva arbitraria por efecto de la gravedad. En el caso de la cicloide, la ecuación diferencial que se obtiene es lineal de segundo orden con coeficientes constantes, por lo que resulta un ejemplo apropiado en el proceso de enseñanza y aprendizaje de las ecuaciones diferenciales ordinarias. 1. La Tautócrona

Durante cientos de años el estudio del movimiento de los cuerpos ha generado gran interés

en científicos e investigadores, quienes han realizado una gran variedad de experimentos con

el fin de entender las leyes que rigen su comportamiento. Existe evidencia de que Tolomeo

(200 a.C.) usó varías curvas mecánicas (curvas definidas y dibujadas mediante instrumentos

mecánicos) para describir los movimientos de los planetas del sistema solar (Courant, 1941,

p.164). Pero no fue sino hasta los tiempos de Galileo Galilei y de Isaac Newton cuando el

estudio del movimiento de los cuerpos por acción de la fuerza de gravedad terrestre, cobra

gran relevancia para el desarrollo de la ciencia.


A lo largo de la historia, han sido analizados varios problemas de esta naturaleza que son

considerados clásicos. Por ejemplo en 1638 Galileo Galilei se planteó un problema en el cual,

en un círculo, dibujó una cuerda subtendida por un arco con extremos ^ y _ (no más grande

que un cuadrante), enseguida dibujó dos cuerdas ^] y ]_ considerando un punto cualquiera ] sobre el arco. Galileo mostró que el tiempo de descenso de un cuerpo a lo largo de las dos

cuerdas es menor que a lo largo de la cuerda ^_. Siguiendo las mismas ideas, Galileo probó

que el menor tiempo de descenso será a lo largo de un arco de círculo (aproximado por un

polígono inscrito) que a lo largo de la cuerda que lo subtiende (Galileo, 1638, pp. 237-240).

Años más tarde en 1696, Johann Bernoulli planteó el problema de forma más general; él se

preguntó sobre qué curva con extremos � y ], un cuerpo de masa puntual la recorre en el

menor tiempo posible. Bernoulli también consideró en su planteamiento del problema la

ausencia de fricción en el deslizamiento del cuerpo, de esta manera, el cuerpo se desliza por

la propia acción de la gravedad. En enero de 1697 Johann Bernoulli publicó su solución con

el título Curvatura radii in diaphanis non uniformibus (La curvatura de un rayo en un medio

no uniforme), en la cual demostró que la curva requerida es una cicloide y la llamó

braquistócrona (del griego brachistos: el más corto, y cronos: tiempo). Este problema

también fue resuelto por el hermano Jakob Bernoulli y por los científicos Tschirnhaus,

Newton y Leibniz; sin embargo, es considerada la prueba de Johann Bernoulli como la más

elegante y es la que usualmente se expone en los libros de texto de ecuaciones diferenciales.

Los detalles de las pruebas de los hermanos Bernoulli pueden ser consultadas en Struik

(1986) y Smith (1959).

En la internet pueden encontrarse simulaciones como Britton (2011), Phillips (2014) y NPS

Physics (2015) que exponen el deslizamiento de un cuerpo a lo largo de tres curvas: recta,

arco de circunferencia y arco de cicloide; donde se muestra que el arco de cicloide es la curva

de descenso de menor tiempo. También existen páginas web, por ejemplo Britton (2011) y

Mahieu (2015), donde se muestra que la cicloide es tautócrona (del griego tautos: el mismo,

y cronos: tiempo), es decir, es una curva tal, que dos cuerpos que se deslizan sobre ella y que

inician su recorrido de distintas posiciones llegan en el mismo tiempo al extremo final. La

tautócrona fue descubierta mediante métodos geométricos por Christian Huygens quién

muestra que la braquistócrona de Johann Bernoulli también es tautócrona.


En este trabajo analizamos la cicloide como una curva tautócrona. Para esto, con base en las

ecuaciones paramétricas de la cicloide establecemos las ecuaciones de movimiento y

entonces, con ayuda del software Mathematica, emulamos el movimiento de tres cuerpos de

igual masa que se deslizan a lo largo de un arco de cicloide con lo cual mostramos que

efectivamente la cicloide es una tautócrona.

2. Deslizamiento sin fricción sobre un plano inclinado

Consideremos el movimiento de un cuerpo de masa > que se desliza sin fricción sobre un

plano inclinado. Para nuestro análisis, usamos un sistema de referencia de dos ejes

cartesianos 8 y 9 como se muestra en la figura 1; en donde el plano, tiene una inclinación a

respecto al eje de las abscisas y la ordenada de su punto más alto es 9P. De esta manera, el

cuerpo se libera sobre el plano a partir del reposo desde una altura 9P y concluye su

movimiento, cuando llega al origen.

Figura 7. Deslizamiento sobre un plano inclinado.

Una vez que el cuerpo se libera, inicia su movimiento debido a la fuerza gravitacional. Esta

fuerza denotada por b es igual al producto de la masa del cuerpo por la constante

gravitacional c, esto es, b = −>c. El signo menos se debe a que la fuerza apunta en sentido

contrario al crecimiento de la ordenada. Esta fuerza tiene dos componentes, una

perpendicular y una paralela al plano inclinado que actúa a lo largo del movimiento, la cual

está dada por � = −>c sin a.

Para fines de nuestro trabajo, resulta conveniente estudiar el deslizamiento del cuerpo

respecto al eje 9, por lo que para un instante d, la posición del cuerpo sobre el plano está dada

por la pareja ordenada (8(d), 9(d)), donde 8(d) y 9(d) son las ecuaciones paramétricas que


describen la trayectoria que sigue el cuerpo al deslizarse sobre el plano. Estas ecuaciones

pueden ser obtenidas hallando la solución que satisfaga las condiciones iniciales de

movimiento, de la ecuación diferencial

efegf 9(d) = −c sin4 a , ( 1)

la cual modela el deslizamiento del cuerpo sobre el plano inclinado respecto al eje 9.

3. Deslizamiento sin fricción sobre una curva arbitraria

Ahora consideremos un cuerpo de masa > que se desliza sin fricción sobre una curva

arbitraria por efecto de la gravedad, como se muestra en la figura 2. Eligiendo un sistema de

referencia adecuado, diremos que el cuerpo comienza a deslizarse sobre la curva desde una

altura 9P y termina su movimiento al llegar al origen. Supongamos que la curva está dada

por la función 9 = h(8) o 8 = i(9), donde h y i son mutuamente inversas. En lo que sigue, 8(d) y 9(d) representan la posición del cuerpo en el instante d respecto al sistema de

referencia adoptado.

Figura 8. Deslizamiento sobre una curva arbitraria.

Para obtener 9(d) es importante notar que para cada instante d, el movimiento de

deslizamiento del cuerpo sobre la curva, puede verse como un caso particular del movimiento

sobre un plano inclinado. De esta manera, podemos usar la ecuación (1) para obtener la

ecuación diferencial que modela el movimiento del cuerpo respecto al eje de las ordenadas:

efegf 9(d) = −c sin4 a(d); donde ahora el ángulo beta está en función de d.

Dado que a es el ángulo de inclinación de la recta tangente en el punto (8(d), 9(d)), es

conveniente representar a sin a en términos de tan a, que es la pendiente de la recta tangente.

Se deduce fácilmente de las relaciones trigonométricas que sin4 a = klmf n"oklmf n, y como


tan a = hp(8(d)), entonces la ecuación diferencial anterior puede escribirse como:

efegf 9(d) = −c qrstf(u(g))"o(rs)f(u(g)) . Considerando que la curva puede estar expresada por la función 9 = h(8) o 8 = i(9), de la

segunda relación y de la fórmula para el cálculo de la derivada de funciones inversas, se

obtiene que la ecuación diferencial que modela el deslizamiento de un cuerpo sobre una curva

arbitraria es

efegf 9(d) = − v"o(ws)f(x) . ( 2)

Con la solución 9(d) de la ecuación diferencial anterior y la expresión 8(d) = i(9(d))

obtenemos la ecuación de movimiento, es decir, la ecuación que describe la trayectoria que

sigue un cuerpo al deslizarse sobre la curva dada arbitraria. De esta manera, el par ordenado (8(d), 9(d)), nos indica la posición del cuerpo sobre la curva en el instante d.

4. Deslizamiento sin fricción sobre la cicloide

Consideremos el problema del deslizamiento sin fricción de un cuerpo sobre un semi-bucle

de la cicloide, la cual posicionamos respecto a un sistema de ejes coordenados como se

muestra en la figura 3. Para deducir sus ecuaciones paramétricas, partimos del hecho de que

la curva se genera mediante el movimiento de un punto fijo y sobre un círculo de radio $, el

cual rodamos sin deslizarse hacia la derecha por debajo de un plano horizontal.

Figura 9. Semi-bucle de la cicloide.

Se prueba fácilmente que la distancia recorrida por el círculo del punto z al _ es igual a la

longitud del arco que une los puntos _ y W. De este hecho, se obtienen las ecuaciones

paramétricas que describen el semi-bucle de la cicloide de la figura: 8 = $({ + sin {), y 9 =$(1 − cos {).


Eliminando { de ambas ecuaciones, obtenemos su ecuación cartesiana

8 = i(9) = $ ∙ arccos }1 − x~� + �2$9 − 94. ( 3)

Cuando el cuerpo se desliza sobre esta curva, la posición del cuerpo para un instante d queda

determinada por el par ordenado (8(d), 9(d)), que se obtiene del resultado de la Sección 3

aplicado a la curva particular (cicloide) dada por la ecuación (3). De esta manera, la ecuación

cartesiana del semi-bucle de la cicloide nos permite estudiar el movimiento del cuerpo.

Hallando la derivada i′(9), y sustituyéndola en la ecuación diferencial (2) se obtiene la

ecuación ef

egf 9(d) = − �~ 9, donde por razones de simplicidad para este artículo tomamos c =10 > L4⁄ .

La ecuación diferencial anterior corresponde al comportamiento de un cuerpo al deslizarse

sobre un semi-bucle de la cicloide para todo instante d. Dado que el cuerpo se libera a partir

del reposo desde una altura 9P respecto al plano horizontal, la solución de esta ecuación

diferencial debe satisfacer las condiciones iniciales de movimiento: 9(0) = 9P para 0 X9P X 2$, y 9p(0) = 0. Esta solución junto con la ecuación (3), nos conducen a las ecuaciones

que describen el movimiento:

9(d) = 9P cos ��~ d ,

8(d) = $ ∙ arccos �1 − x� �� g~ � + �2$9P cos ��~ d − �9P cos ��~ d�4

.

Como caso particular, consideremos un semi-bucle de la cicloide generado por un círculo de

radio uno (ver figura 3); cuya ecuación cartesiana obtenida de (3) es: 8 = i(9) =arccos(1 − 9) + �29 − 94.

Para este caso, la ecuación diferencial que modela el deslizamiento es: ef

egf 9(d) = −59(d).

La ordenada de la ecuación que describe el movimiento está dada por 9(d) = 9P cos √5d.

Esta función es una senoide con periodo � = 4�√�. El tiempo que le lleva a un cuerpo en

alcanzar el origen es independiente de la posición inicial y está dado por �� = �4√�. En la figura

4 se muestran las gráficas de y(t) para cuatro movimientos correspondientes a las cuatro


posiciones iniciales: 9(0) = 2, 1.5, 1 y 0.5 unidades. Estas gráficas se obtuvieron con el

software Mathematica.

Figura 4. Análisis del movimiento respecto al eje �.

Las ecuaciones que describen la trayectoria que sigue el cuerpo al deslizarse sobre esta curva

particular están dadas por 9(d) = 9P cos √5d, y

8(d) = arccosq1 − 9P cos √5dt + �29P cos √5d − q9P cos √5dt4 .


Figura 5. Deslizamiento de un cuerpo sobre un semi-bucle de la cicloide.

A partir de estas ecuaciones y con ayuda del Mathematica, se obtuvo la secuencia de

imágenes que se muestra en la figura 5. En la imagen (a) se observa que los tres cuerpos

parten de las posiciones iniciales: 9P = 2, 1 y 0.5 unidades; los cuales, después de haber

transcurrido un determinado tiempo (imagen (b)), los tres han recorrido una distancia distinta

desde su posición inicial. En este caso puede observarse que el cuerpo que inició su

deslizamiento desde una mayor altura, ha recorrido mayor distancia en comparación con los

dos cuerpos restantes. Esto mismo ocurre con la distancia recorrida entre el segundo y tercer

cuerpo. Al incrementarse el tiempo, se observa (imagen (c)) que los tres cuerpos han

recorrido más de la mitad de su trayectoria en donde ahora, la distancia entre ellos es menor;

es decir, comparando las tres imágenes (a, b y c) se observa que conforme transcurre el

tiempo, la distancia entre los tres cuerpos disminuye; y que en aproximadamente, en un

tiempo d = �4√� los tres cuerpos han concluido su movimiento, esto es, los tres llegan al origen

(a) (b)

(d) (c)


en el mismo tiempo. Con esto hemos verificado dinámicamente a partir de las ecuaciones del

movimiento, que la cicloide es una tautócrona.

5. Consideraciones finales

En este trabajo hemos desarrollado el análisis del deslizamiento de un cuerpo sobre una curva

arbitraria, y como caso particular se tomó a un semi-bucle de la cicloide. Una observación

importante al respecto, tiene que ver con la simplicidad de la ecuación diferencial obtenida

cuando se considera esta curva particular. La ecuación diferencial es lineal de segundo orden

con coeficientes constantes; por esta razón el estudio del movimiento de un cuerpo que se

desliza sobre una cicloide es un ejemplo estelar en la aplicación de las ecuaciones

diferenciales ordinarias.

También es importante resaltar que el software Mathematica nos permitió graficar y

visualizar de manera dinámica el movimiento del cuerpo al deslizarse sobre la curva, de

hecho, al emular el movimiento de los tres cuerpos con distintas posiciones iniciales se pudo

corroborar dinámicamente que la cicloide es tautócrona.


Courant, R. & Robbins, H. (1941). What is mathematics?: An elementary approach to ideas and methods. London: Oxford university press. Galileo, G. (1638). Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze attenenti alla mecanica & i movimenti locali. Trad. Henry Crew & Alfonso de Salvio. (1954). Dialogues concerning two new sciences New York, U.S.A.: Dover Publications. Britton, J. (Productor). (2011). The Cycloid [Archivo de video]. De: https://www.youtube.com/watch?v=k6vXtjne5-c&t=5s Smith, D. E. (1959). A source book in mathematics. New York: Dover Publications. Struik, D. J. (1986). A source book in mathematics 1200-1800. Princeton, New Jersey: Princeton University Press. Phillips, L. (Productor). (2014). The Tautochrone Curve [Archivo de video]. De: https://www.youtube.com/watch?v=Q2q7e-ReC0A NPS Physics. (Productor). (2015). Brachistochrone Problem - Think you know which ramp is fastest? [Archivo de video]. De: https://www.youtube.com/watch?v=VRgxJCWBKk0 Mahieu, E. (Autor). Sliding Along a Tautochrone [Wolfram Demonstrations Project Published: November 30, 2011]. De: http://demonstrations.wolfram.com/SlidingAlongATautochronePath/


CB-444 ¿CÓMO IMPACTAR EN LAS CONCEPCIONES QUE SUSTENTAN LOS

FUTUROS PROFESORES SOBRE LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA POR

LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DESDE LA PROPUESTA ÁULICA?

ANDREA FABIANA GRAZIANO

[email protected]

Instituto Superior de Formación Docente “Leopoldo Marechal” N° 42- Argentina

Comunicación Breve (CB)

Formación Docente

Formación del profesorado de Matemática

Estrategias- Neuroeducación- Construcción- Alegría

RESUMEN: La formación de los futuros docentes requiere de propuestas innovadoras donde se realice una síntesis pedagógica que impacte en sus concepciones, modificándolas y enriqueciéndolas, aplicando los aportes que la neurociencia proporciona sobre cómo el cerebro humano representa y almacena información, redefiniendo el concepto de enseñar y aprender, propiciando la construcción de procesos espiralados con variadas estrategias, espacios de reflexión metacognitiva, la activa participación del alumnado en tanto desarrollo de sus capacidades individuales como el aprendizaje del trabajo colaborativo, propiciando el desarrollo de la creatividad y entendiendo que la buena enseñanza implica los sentimientos. Se intentará fundamentar la propuesta educativa que se implementa con alumnos de segundo año del profesorado de Matemática desde la materia Matemática y su Enseñanza considerando la resolución de problemas como estrategia potenciadora del desarrollo de habilidades de pensamiento, favoreciendo un entorno resonante donde se reconozcan y eduquen las emociones, tomando la alegría por lo que se realiza y aprende y pasión por lo que se emprende como eje transversal de toda la tarea del año. Concibiendo a la evaluación como imbricada en el proceso de enseñanza y de aprendizaje, con producciones integradoras y novedosas.

La Ley de Educación (26.206/06) sancionada en nuestro país para la educación nacional,

pone en marcha orientaciones curriculares que proponen una nueva mirada con respecto a

las prácticas docentes frente al proceso de enseñanza y de aprendizaje, colocando a la escuela

en el lugar central del cambio y al docente como responsable de gestionar, entre otras cosas,

dicho proceso. Con la implementación de esta Ley de Educación (26.206/06:8), haciendo

referencia a la Ley de Educación Superior N°24521 establece el Art. 3 que “ La Educación

Superior tiene por finalidad proporcionar formación científica, profesional, humanística y


técnica en el más alto nivel, contribuir a la preservación de la cultura nacional, promover

la generación y desarrollo del conocimiento en todas sus formas, y desarrollar las

actividades y valores que requiere la formación de personas responsables, con conciencia

ética y solidaria, reflexiva, críticas, capaces de mejorar la calidad de vida, consolidar el

respeto al medio ambiente, a las instituciones de la República y a la vigencia del orden

democrático.”

La Ley de Educación (13.688/07:11) de la Provincia de Buenos Aires señala que “Toda

propuesta de enseñanza lleva implícitos o explícitos fundamentos pedagógicos que le

otorgan cohesión, coherencia y pertinencia. Se parte de concebir al Currículum como la

síntesis de elementos culturales (conocimientos, valores, costumbres, creencias, hábitos)

que conforman una propuesta político- educativa. Esta propuesta requiere de cambios en

las prácticas institucionales y por lo tanto constituyen un desafío a futuro, una apuesta a

transformar la enseñanza y mejorar los aprendizajes de los alumnos/as de las escuelas”.

Es por eso que tratándose de la formación de futuros docentes que van a tener la misión de

impactar en el desarrollo de capacidades en los jóvenes, toda transformación debería estar

orientada a generar una mejora, y tratándose de las instituciones educativas, entendemos

que “supone una interpretación del cambio, de la innovación, como un proceso de

aprendizaje organizado, que asume a la escuela como unidad de cambio, respetando las

especificidades de cada una; que asume un enfoque sistémico del cambio; que se preocupa

por las condiciones tanto internas como externas que lo favorecen; que planifica de forma

abierta metas y estrategias de desarrollo para institucionalizar el aprendizaje continuo

como forma de trabajo de los profesores” (Marcelo, 1997:27).

El docente queda como el encargado de “a partir de la comprensión y la apropiación de

las intenciones educativas demandadas por la sociedad, llevar adelante un proceso de

diseño, implementación, evaluación, ajuste, mejora continua del currículum, que constituye

el núcleo de su rol profesional y la máxima fuente de actualización permanente”

(Marabotto, 2000:16). Gimeno Sacristán, en “Profesionalización docente y cambio

educativo”, señala: El docente “posee muchas teorías inconexas, desarticuladas,

compuestas de elementos incoherentes y contradicciones acrisoladas en el curso de su

experiencia como alumno, como aprendiz de profesor y como miembro de una cultura. Ese


bagaje de teorías implícitas o creencias pedagógicas es el componente real de su

racionalidad pedagógica de la que el profesor dispone en su práctica. De parte de esas

creencias es consciente, en otros casos son supuestos que nosotros desde afuera, con

métodos apropiados de indagación, podemos extraer y esquematizar”. (Gimeno, 1998:

117).

Se presenta como importante poder trabajar a partir de las creencias sobre las cuales los

docentes son conscientes y también, poder indagar, sobre las que permanecen ocultas. Se

plantea como un desafío para el docente de nivel superior poder acceder a esas concepciones

de los alumnos del profesorado desde la práctica cotidiana para que, desde la gestión de la

clase, con variadas estrategias de enseñanza y tomando en cuenta lo que la neurociencia

aporta sobre el conocimiento del cerebro y su implicancia en el aprendizaje y modificación

de las redes neurales, puedan enriquecerlas y modificarlas.

La matemática y su enseñanza desde la resolución de situaciones problemáticas, en todos

los niveles contribuye a que el estudiante se desarrolle con una visión del mundo que le

favorece la formación de un pensamiento productivo, creador y científico, dado que, “… la

actividad matemática no sólo contribuye a la formación de los alumnos en el ámbito del

pensamiento lógico- matemático, sino en otros aspectos muy diversos de la actividad

intelectual, como la creatividad, la intuición, la capacidad de análisis y de crítica, etc.”

(Documento Curricular Base de la Educación Secundaria Obligatoria, 1999:55)

Se presenta la relación existente entre las teorías asumidas por los futuros docentes de

matemática y sus modelos de enseñanza en tanto esas relaciones determinan la coherencia

y consistencia entre el discurso y su propia práctica y cómo el abordaje desde una gestión

áulica con estrategias de enseñanza que evidencien el valor que tiene el proceso de

aprendizaje. Dado que nuestro cerebro es eficaz y adaptable, lo que asegura la supervivencia

es adaptar y crear nuevas opciones. Es decir, un aula convencional reduce las estrategias de

pensamiento y las opciones de respuesta. Para desarrollar un cerebro inteligente y

adaptativo es necesario fomentar la exploración del pensamiento alternativo, las respuestas

múltiples y la autoconciencia creativa. Por otro lado, sabemos que la buena enseñanza

implica los sentimientos. Las emociones nos proporcionan un cerebro químicamente

estimulado y más activado, que nos ayuda a recordar mejor las cosas. “Cuánto más intensa

es la activación de la amígdala, más profunda es la huella” ( Weber, 1994).


Cada vez que interpretamos un suceso, predecimos el comportamiento de alguien, tomamos

la decisión de actuar de una manera y no de otra, es señal de que hemos adoptado un cierto

modo de ver la realidad, de allí que interese describir las teorías implícitas como contenido

a tener en cuenta. Desde la Didáctica, las teorías implícitas pueden entenderse como

representaciones mentales que forman parte del sistema de conocimiento de un individuo e

intervienen en sus procesos de comprensión, memoria, razonamiento y planificación de la

acción. La elaboración de teorías tiene como finalidad proporcionar valores de anclaje que

sirven de motivo para la acción. La construcción de representaciones está fuertemente

orientada por las prácticas culturales que el individuo realiza en su grupo y suele tener lugar

en un contexto de relación y de comunicación interpersonal (formatos de interacción) que

trasciende la dinámica interna de la construcción personal. Por tanto, podemos decir que las

teorías implícitas se consideran representaciones individuales basadas en experiencias

sociales y culturales porque tanto la posibilidad de recoger experiencias socioculturales

como el contenido que se puede inducir a través de éstas, es brindado principalmente por la

cultura. Las teorías implícitas no se transmiten, sino que se construyen personalmente en el

seno de grupos. Es síntesis, “postulamos que las personas pueden construir conocimiento

y que esta construcción, aún siendo personal, está directamente relacionada con el contexto

en que se produce” (Marrero, 1992:12). Entendemos en este trabajo a las concepciones

como un marco organizativo de naturaleza metacognitiva, implícito en el pensamiento del

sujeto y difícilmente observables, que inciden sobre sus creencias y determinan su toma de

decisiones. (Ponte, 1994; Porlán et al., 1997). Es así que el pensamiento del profesor (Elbaz,

1991; Peterson y Clark, 1989) tiene impacto en el modo de considerar las prácticas

educativas con directa relación en el modo de pensar el currículum, la formación docente y

la práctica de enseñanza en general. Vázquez refiriéndose a las teorías implícitas del

profesor sobre la enseñanza, afirma que “el adjetivo implícitas indica que en muchos casos

estas creencias no son explícitas, o conscientemente asumidas por el profesor, pero

funcionan en la práctica como verdaderas teorías en acción”. (Vázquez ,1993:447).

Considerar al profesor como un técnico repetidor de recetas se opone a la visión más crítica

que lo considera como un sujeto reflexivo, racional, que toma decisiones, emite juicios,

tiene creencias y genera rutinas propias de su desarrollo profesional, y acepta que los

pensamientos del profesor guían y orientan su conducta. (Marcelo, 1987).


Estas ideas resultan iluminadoras del rumbo que se propone para plantear la gestión de la

clase de Matemática y su enseñanza, teniendo en cuenta la importancia de las estrategias de

enseñanza que implemente el docente formador de los estudiantes del profesorado, para que

realmente éstos puedan asumir como posibilidad real el trabajo por resolución de problemas

para la enseñanza y el aprendizaje de la matemática.

Cuanto más se pueda conocer sobre las concepciones que el docente tiene acerca de la

enseñanza y el aprendizaje de la matemática, el conocimiento curricular, los propósitos que

se fijó en su planificación, su fundamento del conocimiento matemático que asume como

sustrato epistemológico de los contenidos a desarrollar, sus concepciones y creencias acerca

del rol docente y su relación con la toma de dediciones sobre el currículum, (Villella, 2007)

podrá explicar la estructura latente que da sentido a la enseñanza, a la mediación docente

en el currículo sobre el valor de los contenidos y procesos propuestos por él y su concepción

sobre la educación. Esto llevará al docente a interpretar, decidir y actuar en su práctica,

podrá involucrarse con una enseñanza reflexiva, poniendo a revisión esquemas

organizativos rutinarios planificados hasta el momento, favoreciendo un sistema de

aprendizaje que conduzca a la crítica continua y a la reestructuración de los principios y

valores sostenidos, permitiéndole poner en juego un pensamiento estratégico para

seleccionar, organizar y planificar qué va a enseñar y cómo lo realizará para caracterizar su

práctica hacia modelos constructivistas (Gascón, 2001). Por eso se trabaja sobre Porlan

(1989,1992) que reconoce cuatro tendencias didácticas: la tradicional, la tecnológica, la

espontaneísta (descriptas en el Anexo) y la investigativa (la que se asume como compatible

con la propuesta), asociadas a la actuación del docente en el aula, cualquiera sea la

fundamentación epistemológica que le dé a la asignatura que enseña.

Por otro lado, pero siguiendo la misma lógica en la idea, el estudio Pisa 2003 citado por

Rico (2005), conocido como Alfabetización Matemática y también, de modo general, como

Competencia Matemática (OCDE, 2004), hace referencia a las capacidades individuales de

los estudiantes para analizar, razonar y comunicar eficazmente cuando formulan y resuelven

problemas matemáticos en una variedad de dominios y situaciones. Así, un alumno estaría

matemáticamente alfabetizado cuando muestre un buen nivel en el desempeño de estas

capacidades. Entonces, se entiende por alfabetización o competencia matemática como “la

capacidad de un individuo para identificar y entender el papel que las matemáticas tienen


en el mundo, hacer juicios bien fundados y usar e implicarse con las matemáticas en

aquellos en que se presenten necesidades para su vida individual como ciudadano

constructivo, comprometido y reflexivo.” (OCDE, 2003: 11). Por tanto, en las propuestas

áulicas se debería potenciar la necesidad de que los estudiantes desarrollen la capacidad

para analizar, razonar y comunicar eficazmente cuando enuncian, formulan y resuelven

problemas matemáticos en una variedad de dominios y situaciones. Pero para que los

futuros docentes puedan implementarlo en sus prácticas se asume como necesario revisar

las concepciones al mismo tiempo que tengan la oportunidad de vivenciar experiencias

similares para poder contrastar modificar.

Para la gestión de la clase de matemática, la problemática que se presenta es a partir de lo

que cada docente entiende por cómo desarrollar esa competencia en los alumnos, en función

de las propias concepciones. Por lo que adoptaremos la definición de Carrillo (1995:119)

donde expresa que “el concepto de problema debe asociarse a la aplicación significativa

(no mecánica) del conocimiento matemático a situaciones no familiares, la conciencia de

tal situación, la existencia de dificultad a la hora de enfrentarse a ella y la posibilidad de

ser resuelta aplicando dicho conocimiento”.

Esta postura de construir el conocimiento, (Carrillo, 1995), muestra la concepción de

problema dentro de una concepción constructivita del aprendizaje, tomando lo expresado

por Confrey (1991): “La estructura no está en el problema -está en el significado definido

social y contextualmente de las palabras al ser interpretadas por el que las escucha. Para

el constructivista, el problema sólo queda definido respecto al resolutor. Un problema es

sólo un problema en la medida en que es sentido problemático para el resolutor. Definido

de esta forma, como barricada hacia la que un estudiante se dirige, un problema no posee

status independiente. Con el objetivo de diferenciar este enfoque del empleo típico de

problemas en las aulas de matemáticas, he elegido el término problemático, en referencia

a la “barricada” que halla el estudiante.” (p.117). La resolución de problemas se plantea

como imprescindible para que los alumnos “hagan matemática” pero en el marco de las

teorías implícitas se plantea que los diferentes docentes plantean estrategias sobre la base

de lo que creen.

Unir la idea de “barricada” que el alumno debe superar, con la idea de potenciar la

“imaginación” en el proceso de construcción de los aprendizajes mediante la resolución de


problemas, me parece un camino desafiante y estimulante como desafío para que los

docentes gestionen sus clases poniendo al alumno frente al reto de “hacer matemática”. Y

esto asociado a la imagen que nos imprime (House, 1980:168):”En resumen, les

ayudaremos a convertirse en fabricantes y usuarios de las matemáticas, no meramente

observadores. Cuando hacemos esto regularmente, vemos que los riesgos asumidos se

convierten en positivos logros para profesores y alumnos.” Esto plantea que la

transposición didáctica que realice el docente es una de las componentes fundamentales de

la propia actividad matemática, como así también el rol que se le asigne al alumno en la

clase de matemática.

Sustentado en el presente marco teórico se intenta compartir la experiencia con un grupo de

alumnos de segundo año del profesorado con los que se llevaron adelante estrategias de

enseñanza orientadas a la revisión de sus concepciones, al protagonismo de sus procesos de

aprendizaje, al reconocimiento y manejo de sus emociones, a la lectura, exposiciones y

trabajos colaborativos. Como cierre del año, luego de haber integrado la materia desde el

argumento del libro Frankenstein Educador, Philippe Meirieu (2007), los alumnos divididos

por equipos recrearon los contenidos troncales de la materia con diferentes propuestas:

Recrearon con títeres la historia de los Tres Chanchitos donde utilizaron la realización de

las casas para trabajar el concepto de resolución de problemas como estrategia para el

desarrollo de habilidades de pensamiento, otro grupo recreó con una puesta en escena, el

Juicio a la Educación Matemática focalizando en los conceptos de la tendencia investigativa

en relación con la resolución de problemas como vía para el desarrollo de competencias,

atravesado por el rol de docente- coach que acompaña, estimula y motiva, y el otro grupo

simuló un Congreso de Educación donde asumieron la disertación desde un filósofo, un

neurosicoeducador y un profesional de las TICs. Cada grupo acompañó con la presentación

de una revista que tenía como objetivo revisar creativamente los temas construidos en el

año.

De esta manera intenta reflejar que no basta con abandonar la práctica rutinaria de ejercicios

y reemplazarlos por problemas. Hay que tratar a los problemas, no como si se tratara de

ejercicios, sino que hay que dar espacios a los alumnos para que formulen sus propios

abordajes y de tanto en tanto otorgar tiempos para socializar los aprendizajes que se van

produciendo, otorgando a los problemas un carácter de institucionalizadores de los


aprendizajes. Podemos plantear que la resolución de problemas debería servir para

desarrollar la capacidad de explorar, conjeturar y razonar, es decir desarrollar a través de la

actividad de resolución de problemas entre otros, un pensamiento matemático de alto nivel.

Sin embargo para lograrlo, es necesario que en los profesorados los futuros docentes tengan

la posibilidad de vivirlo, comprenderlo y así enriquecer sus estructuras de pensamiento y

concepciones, con un trabajo reflexivo y crítico, donde las emociones no sean dejadas de

lado y pueda sentir que se puede enseñar y aprender en un clima de alegría y felicidad, en

términos de Alsina y apasionados por lo que hacemos.

Bibliografía

Carrillo Yañez, J. (1998). Modos de resolver problemas y concepciones sobre la matemática

y su enseñanza: metodología de la investigación y relaciones. Huelva: Publicaciones de la

Universidad de Huelva.

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Huelva: Servicio de Publicaciones de la Universidad de Huelva.

Gascón, J. (2001). Incidencia del modelo epistemológico de las matemáticas sobre las

prácticas docentes. Distrito Federal: RELIME.

Gimeno Sacristán, J. (1998). Profesionalización docente y cambio educativo. En Maestros:

formación, práctica y transformación escolar. Bs.As.: Miño y Dávila.

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Porlán Ariza, R. (1992). Teoría y práctica del currículum. El currículum en la acción. En

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Rodrigo, M.; Rodríguez, A.; Marrero, J. (1993). Las teorías implícitas. Una aproximación al

conocimiento cotidiano. Madrid: Visor.

Villella, J.(2007). Matemática escolar y libros de texto. Un estudio desde la Didáctica de la

Matemática. Bs.As.: Miño & Dávila.

ANEXO: Tendencias Didácticas (Porlan,1992)

a) Tendencia tradicional: La exposición magistral es la técnica habitual y el libro de

texto es el único material curricular. La programación está prescrita de antemano, externa


al docente y rígida, sin mediar relaciones entre las unidades de la misma. La asignatura

tiene un carácter informativo. Se supone que el aprendizaje se realiza utilizando la

memoria como único recurso frente a los conocimientos que el docente le presente; siendo

el único aprendizaje efectivo y correcto el que proviene de un proceso deductivo. La

actividad del aula se caracteriza por la repetición de ejercicios tipo. Los problemas se

conciben como ejercicios que generalmente son propuestos por el docente al finalizar un

período de instrucción de corte teórico con la intención de que se apliquen los

conocimientos impartidos. Estos problemas suelen pertenecer a listados externos como

libros de textos, extensos y sin mediar una organización propia del docente. Los problemas

están bien definidos los procesos y las soluciones son únicos, además requieren de los

conocimientos que fueron impartidos y se resuelven mediante procesos prioritariamente

deductivos. La capacitación del alumno es inalterable y justifica en gran medida los

resultados del aprendizaje. Dado que existe una sobre valoración de la toma de apuntes

por parte del alumno, éste se esfuerza por obtener la mayor parte de la información que el

docente, especialista en contenidos, transmite verbalmente mediante dictado. La

evaluación consiste en la comprobación final de aprendizajes conceptuales mediante

pruebas escritas. Es concebida como una actividad que se debe realizar a final de cada una

de las partes en que esté dividida la programación, con el objeto de comprobar que los

alumnos se han apropiado de los conceptos explicados. El instrumento apropiado es el

examen, con el que trata de medir la capacidad del alumno de retener información a corto

plazo, valorando la aplicación mecánica de la misma. De los productos del alumno se

valora fundamentalmente el resultado. Para la valoración del progreso de los alumnos, el

docente utiliza los datos obtenidos en las mediciones empleadas para observar la

adecuación de los resultados finales de aprendizaje a lo previsto. No se pueden cometer

errores, si se detecta alguno de debe realizar mayor entrenamiento para el refuerzo.

b) Tendencia tecnológica: El docente sigue una programación cerrada, el contenido del

conocimiento escolar es concebido como una adaptación del conocimiento disciplinar,

interesando tanto los conceptos como los procesos lógicos que los sustentan, otorgándole a

la asignatura, además de su carácter informativo, un carácter práctico aplicando la

reproducción de los mismos en otros ámbitos o disciplinas. La estructura de la propia

asignatura, plasmada en la programación, es el dinamizador ideal del aprendizaje. El


docente es considerado como un técnico del contenido y del diseño didáctico, por lo cual

organiza los contenidos a aprender, transmitiéndolos mediante exposiciones, utilizando

estrategias expositivas y organizativas, con la intención de ser atractivas. El aprendizaje se

concibe como memorístico, comenzando por la observación de un proceso inductivo para

luego apoyarse en un a proceso deductivo. Los objetivos son el hilo conductor de las

actividades. Las actividades pretenden reproducir los procesos lógicos que el docente

simuló construir apoyado en estrategias expositivas. El alumno, mediante los ejercicios que

realiza, reproduce el proceso lógico del docente, imitando el estilo cognitivo del mismo.

Las mismas se realizan de forma individual. Los ejercicios se suelen plantear como

cuestiones teóricas, al final de los temas y como aplicación de la teoría impartida. Si bien

se utilizan para dotar de significado a la teoría, también se los utiliza para introducir un

tema, para sondear conocimientos previos u opiniones. Suelen tener proceso y solución

únicos. La evaluación es concebida como medida del grado de consecución de los objetivos

inicialmente fijados, realizando así la valoración del progreso de los alumnos, en función

de los datos obtenidos. De los productos de los alumnos se consideran el resultado y intentos

dentro de un marco convencional. La misma es instrumentada a través del examen,

aplicándolo al final de cada una de las partes en las que divide el aprendizaje del alumno.

Es importante que el alumno dedique tiempo en la preparación para el examen, con el objeto

de garantizar la fijación de lo impartido en clase. El error se corrige en función de un mejor

producto final.

c) Tendencia espontaneísta: Para el docente, la programación es un documento vivo, el

cual no dispone de organización inicial, ya que se basa en los intereses que manifiestan los

alumnos y en las negociaciones que realiza con ellos. Así, el contenido del conocimiento

escolar es concebido como una adaptación contextual del conocimiento cotidiano;

interesando más los procedimientos y el fomento de actitudes positivas hacia el trabajo

escolar.El carácter formativo de la asignatura pretende servir como instrumento para un

cambio actitudinal en el alumno, así como para la adquisición de valores racionales que le

permitan enfrentar los problemas cotidianos. El aprendizaje se produce, de manera

espontánea, mediante la participación activa del alumno en procesos inductivos, inmerso

en situaciones que propician el descubrimiento, trabajando principalmente de manera

grupal. Los intereses de los alumnos son el hilo conductor de las actividades. Participan en


el diseño didáctico a través de sus reacciones en el quehacer del aula, sin mediar reflexión

en el proceso. El docente, por su fuerte orientación humanista y especialista en dinámica de

grupos, motiva a los alumnos a participar en las actividades que promueve, analizando las

reacciones y respuestas a sus propuestas; con una visión democrática de la dinámica escolar,

pretende que los alumnos sean protagonistas de su aprendizaje, considerando que el alumno

aprende cuando, el objeto de aprendizaje, posee un significado para el mismo. Los

problemas se conciben como actividad potenciadora del descubrimiento, es decir, como

vehículo para potenciar el descubrimiento espontáneo de nociones. Los mismos son

seleccionados de forma aleatoria, identificándose generalmente con problemas cotidianos

que se abordan de forma intuitiva, buscando soluciones desde múltiples caminos y

respondiendo a múltiples soluciones. La evaluación se entiende como la participación en la

dinámica de la clase. Se considera como un sensor permanente del aprendizaje de los

alumnos, permitiendo reconducir el proceso en cada momento. Dado que los criterios

dependen del contexto y del consenso, quedan poco definidos porque varían

constantemente. Ante situaciones erróneas existe una llamada de atención y en caso de

persistir, se procederá a un cambio de actividad. No consideran al examen como un

instrumento adecuado para implementar. El docente dispone de un informe de tipo

cualitativo, donde se ve reflejado tanto el proceso como los resultados de aprendizaje del

alumno, realizado sobre la base de la revisión de las tareas y de la participación en las

mismas.

Tendencia alternativa/investigativa: El docente es quien organiza el proceso que llevará

al alumno a la adquisición de unos determinados conocimientos, a través de su

investigación. El contenido del conocimiento escolar es considerado como reelaboración e

integración de conocimientos que proceden de diversas fuentes. Interesan tanto los

contenidos, como los procedimientos y el fomento de actitudes positivas hacia la propia

asignatura y el trabajo escolar en general. Los objetivos de aprendizaje se movilizan a través

de la programación visualizada como una red conceptual, permitiendo la reformulación,

debidamente fundamentada, de los mismos. El docente considera que el aprendizaje se

produce a través de investigaciones, planificadas por él, manteniendo como dinamizador

ideal del aprendizaje el equilibrio entre los intereses y su estructura mental y los de la

asignatura en cuestión. El aprendizaje comienza, normalmente, por la observación de


regularidades que dan lugar a una conjetura; a la cual le debe seguir una comprobación

razonable y, en la medida de lo posible, una generalización adecuada. La finalidad última

de la asignatura es dotar al alumno de unos instrumentos que le posibiliten el aprendizaje

autónomo. Los alumnos se enfrentan a situaciones nuevas, sin tener soluciones hechas,

participando directa e indirectamente en el diseño didáctico. La investigación de problemas

de interés potencial es lo que da sentido a las actividades, siendo las ideas de los alumnos

un referente continuo del proceso. La actividad del alumno está organizada hacia la

búsqueda de respuestas a cuestiones planteadas, considerando que el aprendizaje tiene lugar

cuando éste le otorgue significado a lo que aprende, siendo consciente de su propio proceso

de aprendizaje, tomando conciencia de qué hace y por qué lo hace. Los problemas tienen

un carácter de instrumento institucionalizador de los aprendizajes en un marco de

socialización. Se organizan según los objetivos planteados y su secuencia se enmarca en un

enfoque procedimental inmerso en una red conceptual organizada y flexible. Los problemas

se resuelven durante todo el proceso de aprendizaje y se utilizan para el aprendizaje de

heurísticos y la toma de conciencia de aquellos procesos que permiten construir y formalizar

conceptos. Los problemas son abordados como una investigación, son polivalentes y

potencian aspectos meta cognitivos que favorecen la construcción autónoma de

conocimiento. Los problemas pueden ser abiertos, las condiciones iniciales pueden ser

modificadas para generar otros problemas y sus múltiples vías de resolución y pueden

conducir a múltiples soluciones. El docente, experimentador interactivo del contenido y de

los métodos, analiza los procesos en el contexto del aula, esforzándose por provocar la

curiosidad del alumno llevando su investigación hacia la consecución de aprendizajes. La

evaluación es concebida como investigación para ajustar la enseñanza y el aprendizaje, es

decir, coordinar el camino desde la hipótesis de conocimiento escolar deseable y la

evolución real de las concepciones de los alumnos. El error se aprovecha con un fin

constructivo y frente a bloqueos persistentes, se realiza la simplificación del problema,

manteniendo intacta la estructura matemática subyacente. Así entendida, como sensor

permanente del aprendizaje, permite al docente reconducir el mismo en cada momento para

elaborar un informe personalizado de los alumnos, de manera organizada, a efectos de

introducir mecanismos de mejora para cada uno.


CB-445

UN LABORATORIO DE MATEMÁTICAS PARA LA EDUCACIÓN BÁSICA Y

MEDIA: SISTEMATIZACIÓN DE UNA EXPERIENCIA.

Wildebrando Miranda Vargas [email protected]

Universidad del Valle- Colombia

Núcleo temático: Enseñanza y aprendizaje de la Matemática en las diferentes modalidades y niveles educativos. Modalidad: Comunicación breve (CB) Nivel educativo: Primaria (6 a 11 años) Palabras clave: laboratorio de matemáticas, comunidades de estudio. Resumo La presente comunicación narra una experiencia del Laboratoprio de matemáticas llevada a cabo en la Universidad del Valle en Cali-Colombia con estudiantes de distintos grados de escolaridad. La sistematización muestra dos grandes momentos a saber: El primero, un marco conceptual general donde se toma la actividad matemática en el aula como eje central de reflexión a través de un enfoque denominado matemáticas experimentales. Se soporta dicho enfoque conceptual mediante algunos presupuestos de la Teoría Antropológico de lo Didáctico (TAD) que plantea la necesidad de disponer de modelos propios de la actividad matemática y de generar dispositivos de ayuda al estudio de las matemáticas. El segundo momento, muestra cómo se puede desarrollar pensamiento matemático en los estudiantes a través de actividades potentes que se desarrollan en el marco de un Laboratorio de Matemáticas y bajo la organización de una comunidad de estudio. En los resultados se ha podido constatar en primer lugar, la importancia de involucrar a los estudiantes en actividades potentes y bien direccionadas para el trabajo en el aula y en segundo lugar, el papel fundamental que puede jugar la TAD en el desarrollo de una propuesta de trabajo como el Laboratorio de Matemáticas.

El Laboratorio de Matemáticas de la Universidad del Valle

El Laboratorio de Matemáticas de la Universidad del Valle –en adelante LMUV- es una

propuesta didáctica de utilización de distintos tipos de materiales que evolucionan hacia la

idea de recurso pedagógico y que permiten potenciar la construcción de pensamiento

matemático. Se ubica en un espacio físico donde asisten estudiantes, profesores y comunidad

educativa en general, para desarrollar diferentes tipos de actividades relacionadas con la idea


de Hacer Matemáticas y que, grosso modo, se entiende desde 3 perspectivas: a) Matemáticas

de investigación. b) Matemáticas realmente existente: se usan en la cotidianidad y c)

Pedagogía de las matemáticas: tienen una orientación hacia la enseñanza-aprendizaje. El

LMUV nació de la iniciativa de un profesor titular –Jorge Arce- del área de educación

matemática del Instituto de Educación y Pedagogía de la Universidad del Valle.

Posteriormente fue abordado durante muchos años por el profesor Octavio Augusto Pabón

(QEPD) donde se amplió la visión inicialmente proyectada y se complementó la

fundamentación del espacio mediante la introducción de la noción de recurso pedagógico. El

LMUV se fundamenta en la idea de recursos pedagógicos y de un enfoque denominado

matemáticas experimentales, donde la actividad matemática se toma como eje de reflexión.

En lo que respecta a los recursos pedagógicos se retoma la conceptualización desarrollada

por Garzón y Vega (2010) quienes manifiestan que se puede entender como recurso

pedagógico “a lo que congrega en una sola unidad de análisis el uso de los materiales,

artefactos educativos o documentos que los maestros traen a clase y los actos discursivos en

los cuales aquellos toman un sentido y significación particulares” (p. 4). Esta forma de

entender la noción de recurso pedagógico presenta dos implicaciones importantes para el

LMUV:

a) Hace énfasis en la construcción de conocimientos por parte de los sujetos pues los

materiales en sí mismos sin ningún tipo de mediación no pueden hacer evolucionar la

actividad matemática en el aula.

b) Hay una visión amplia de los materiales que abarca desde los libros de texto, materiales

manipulativos, hasta software en matemáticas, lo que permite contar con una diversa gama

de propuestas para el trabajo matemático y haciendo énfasis en el uso más que en el material

en sí mismo. Alonso (1987) lo expresa del siguiente modo:

No será la incorporación de tres o cuatro herramientas

espectaculares lo que caracterizará la nueva organización de las

clases, sino el uso habitual, cotidiano, de una amplia variedad de

materiales que hagan del aula de matemáticas, tanto en la escuela


primaria como en la secundaria, un verdadero Laboratorio-taller. (p.

20)

Se recalca entonces la idea de pensarse reflexivamente los materiales que son llevados al aula

como parte del proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Con respecto a las

matemáticas experimentales, se parte de una visión de las matemáticas como construcción

humana, tal como lo propone la TAD, donde una comunidad de estudio está interesada en

resolver alguna cuestión problemática materializada comúnmente a través de preguntas.

Dicha comunidad de estudio tiende a organizarse en grupos con un director o líder que es

parte activa de la resolución de la cuestión.

El Laboratorio de Matemáticas intenta recuperar el carácter comunitario y experimental

de la actividad matemática donde tengan cabida no sólo actividades concernientes a la

enseñanza y aprendizaje en contextos escolares, sino a la noción de estudio que es mucho

más amplia y que conlleva a interpretar las matemáticas como parte del legado cultural

de la humanidad, que lejos de estar culminado, permite que los estudiantes sean actores

y no sólo observadores en dicha construcción. Como lo plantea De Guzmán (1998):

La Matemática, en su quehacer ordinario, se asemeja mucho de lo que en

el pasado se pensó a las otras Ciencias Empíricas. También ella procede

por aproximaciones sucesivas, por experimentos, por tentativas, unas veces

fructuosas, otras estériles, hasta que va alcanzando una forma madura,

aunque siempre perfectible. (p. 20)

Este carácter perfectible de la actividad matemática suele pasar desapercibido en los actuales

sistemas de enseñanza de las matemáticas, donde se estudian tópicos despojados de las

razones de ser que le dan su sentido; prima una visión del conocimiento monumentalista en

donde aparecen primero las respuestas antes que las preguntas, y en muchos casos éstas

últimas tienden a estar ausentes. (Chevallard, 2006). En este sentido, el LMUV ha pensado

en la necesidad de tener un espacio de reflexión alejado de dicha visión monumentalista y


donde los estudiantes son actores de las OM que se construyen y/o reconstruyen en

comunidad. En este sentido, el aprendizaje pasa de ser una actividad meramente individual

a convertirse en una construcción colectiva. En efecto, Chevallard, Bosch y Gascón (1997),

enfatizan en el carácter colectivo del aprendizaje:

…En primer lugar, aunque se pueda considerar el aprendizaje como un logro

individual, se olvida que es el resultado de un proceso colectivo: el proceso de estudio

que se desarrolla en el seno de una comunidad, sea ésta una clase o un grupo de

investigadores. En segundo lugar, el proceso de estudio sólo puede llevarse a cabo si

el aprendizaje es algo bien compartido dentro del grupo: para que el individuo

aprenda, es necesario que el grupo aprenda. Desde este punto de vista, el aprendizaje

es también, necesariamente, un hecho colectivo. (p. 199)

Tenemos entonces que desde el LMUV toda actividad matemática –sea materializada en el

aula o no- supone un trabajo comunitario para poder que los problemas evolucionen hacia

problemáticas cada vez más fructíferas. En algunas ocasiones, una cuestión puede tener una

respuesta provisional mientras la comunidad de estudio incursiona en un proceso

investigativo para aportar soluciones más sólidas que inclusive puedan dar origen a nuevas

cuestiones.

Estructura del LMUV.

El LMUV se estructura mediante un sistema de Mesas y Secciones. Las mesas de trabajo son

consideradas como un espacio fijo o móvil, donde se proponen y desarrollan las

actividades matemáticas del Laboratorio. Comprenden un conjunto de materiales,

como elementos concretos, juegos, acertijos y montajes, que generan desde lo concreto

un desarrollo gradual de la construcción de conceptos y habilidades para el

planteamiento y resolución de problemas, desarrollo de intuiciones matemáticas y

exploración de concepciones creativas frente a problemas. Estas actividades y

materiales constituyen aspectos importantes en la formación de pensamiento matemático.


Una mesa puede integrar varios manuales (documentos de trabajo para los estudiantes y

profesores) y materiales.

Se han diseñado ocho mesas de trabajo. Siete de las mesas de trabajo, se considera,

cubren en su mayor parte los lineamientos y contenidos básicos propuestos para el área

de Matemáticas de la Educación Básica; al tener que ver con procesos específicos que

desarrollan el pensamiento matemático y con sistemas propios de las Matemáticas. Estos

procesos específicos se relacionan con el desarrollo del pensamiento numérico, espacial,

métrico, aleatorio y variacional, entre otros. Las mesas de trabajo en referencia son:

A. Juegos matemáticos, B. Aritmética y álgebra. C. Geometría, D. Estadística y

probabilidades, E. Prensa y matemáticas, F. Nuevas tecnologías, G. Matemáticas del

consumidor, H. Furgón de matemáticas (investigación, innovación, publicaciones, etc.)

De otra parte, para estructurar completamente el Laboratorio se dispone de una Mesa

organizada y equipada, denominada Furgón de Matemáticas, cuya función es coordinar

las mesas restantes para darles soportes investigativos, facilitar la innovación y divulgar

sus logros y desarrollos.

Las secciones son las relaciones entre dos o más mesas de trabajo. Relaciones que

son posibles a través del planteamiento de una o varias actividades matemáticas.

Los materiales con los que cuenta el laboratorio son de diversa índole y se han empleado

distintas clasificaciones para denotarlos. Empleamos aquí la nomenclatura sugerida por

Tortosa y Soria (1991):

Material Didáctico Estructurado. Ábaco, tangrama, geoplano, regletas de Cuisenaire,

mosaicos, bloques multibase, bloques lógicos, balanzas, dominós, cartas de póker,

naipe español, figuras poligonales, rompecabezas, entre otros.

Materiales Didácticos del medio. pinturas, juegos, juguetes, bolas, hojas, cuerdas, cartón,

cartulina, plastilina, alambre, etc.


Recursos Audiovisuales. Prensa, televisión, libros, cámara fotográfica, diapositivas,

video, retroproyector, filme y audio.

Nuevas Tecnologías. Calculadoras, computadores, software educativo, videos e

Internet.

Las estructuraciones de las actividades se hacen mediante un sistema de fichas que

acompañan el material. La ficha de trabajo es la actividad propuesta que la persona debe

resolver y que pertenece a alguna de las mesas o secciones de trabajo. Metodológicamente

lo que se sugiere es que la persona lea la ficha de trabajo e intente resolver la situación.

Posteriormente puede comenzarse un trabajo de discusión en equipo de la situación

analizando las distintas posibilidades de solución. Las fichas tienen un soporte que no se les

entrega a los estudiantes donde aparecen distintas alternativas para la solución de la situación

(Ver en los anexos ejemplos de fichas de trabajo).

Escenarios que aborda el LMUV

En la actualidad el LMUV viene trabajando con múltiples frentes de trabajo que involucran

docencia, extensión e investigación. A continuación, se sintetizan algunos de los escenarios

que aborda el LMUV:

a) Proceso de acompañamiento a las instituciones educativas oficiales de la ciudad: Al

LMUV asisten distintos colegios en visitas programadas donde los participantes –

estudiantes, docentes- trabajan sesiones con los diversos tipos de material y las fichas de

trabajo en las mesas y secciones que existen. Hay visitas que son exploratorias donde los

participantes tienen la oportunidad de conocer las propuestas de trabajo que hay en el

laboratorio. Hay otras visitas que se organizan de manera más precisa sobre algún tópico de

interés para la institución educativa.

b) Vinculación con las Prácticas Profesionales: Los estudiantes de las carreras de licenciatura

en matemáticas que están culminando su ciclo de estudios, deben realizar una práctica

profesional en los dos últimos semestres. El LMUV es una de las líneas de trabajo que los

estudiantes pueden escoger y el trabajo que realizan tiene, grosso modo, dos tipologías: la


primera, relacionada con el estudio, diseño y/o reconstrucción de fichas para las mesas de

trabajo, la segunda, la preparación, desarrollo y evaluación de las sesiones de

acompañamiento a las instituciones que solicitan el espacio. Igualmente, otra de las líneas de

trabajo en las prácticas profesionales también recibe apoyo del LMUV. Esta línea de trabajo,

denominada Monitorias Universitarias, consiste en que los practicantes realizan un

acompañamiento durante todo el semestre a estudiantes de primeros semestres que realizan

los cursos de fundamentación matemática. El acompañamiento se realiza en el LMUV y los

recursos que existen en el espacio pueden ser empleados para acercar a los estudiantes a los

conceptos matemáticos que muchas veces presentan dificultad en su aprendizaje.

c) Apoyo a los cursos universitarios en el área de educación matemática: El LMUV al contar

con una serie de recursos pedagógicos, es un apoyo a distintos cursos universitarios del área,

tanto en el componente matemático como en el componente didáctico. Muchas de las fichas

de trabajo se diseñan teniendo en cuenta los resultados de investigación en educación

matemática y de esta manera, se mantiene una producción constante de nuevos recursos. Los

profesores del área de educación matemática pueden incluir en sus programas de estudio,

distintos tópicos temáticos o realizar visitas programadas al LMUV.

d) Apoyo logístico y de fundamentación a laboratorios de matemáticas para colegios de la

ciudad y sedes de la Universidad del Valle. El LMUV viene realizando desde hace varios

años, un asesoramiento a colegios de la ciudad sobre la pregunta ¿Cómo y para qué hacer un

laboratorio de matemáticas en tu colegio? También se ha realizado un acompañamiento a

una de las sedes de la Universidad del Valle y la idea es poder ir incrementando este apoyo

a las otras sedes.

Dificultades y expectativas de trabajo.

La principal dificultad que afronta el LMUV tiene que ver con los procesos de financiación.

Aunque la Universidad del Valle está implementando una política de laboratorios para todo

el campus universitario donde será posible que giren recursos para el sostenimiento del

espacio, la demanda de trabajo viene en crecimiento y esto dificulta en cierta medida en la


eficiencia de las actividades, por ejemplo, cada semestre hay que limitar el número de

colegios que pueden asistir.

Actualmente debemos financiarnos mediante autogestión con algunas donaciones de

materiales de los mismos estudiantes y profesores. El área de educación matemática no

cuenta con recursos necesarios para sostener el espacio y sólo en una ocasión pudo hacer un

aporte para algunos insumos que se estaban requiriendo con urgencia, aunque cabe anotar

que el LMUV cuenta con un monitor pago por parte del área. Este monitor apoya las

múltiples actividades que se realizan cada semana.

No obstante, el espacio del LMUV, a pesar de las dificultades mencionadas, se está

convirtiendo en un escenario experimental para abordar distintos resultados de investigación

en educación matemática e involucrar a los estudiantes en auténticos procesos de estudio de

las matemáticas.

Conclusión

Se ha visto algunos elementos que configuran el LMUV como una propuesta pedagógica de

uso de material manipulativo que evoluciona hacia la noción de recurso pedagógico y que

tiene como objetivo fundamental la construcción de pensamiento matemático en los

estudiantes, con apoyo de la idea denominada matemáticas experimentales.

Es importante decir que el LMUV rescata la idea de comunidades de estudio, planteada desde

la TAD, y que, dentro de sus presupuestos, intenta involucrar un proceso investigativo con

los estudiantes donde las matemáticas se conciban como una construcción humana que pueda

ir más allá del ámbito escolar. En este sentido, se vislumbra un escenario propicio de trabajo

académico que propenda por encontrar acercamientos cada vez más fructíferos en la

enseñanza y aprendizaje de las matemáticas.



Arce, J (2004). El Laboratorio de Matemáticas en la Escuela Normal Superior

Farallones de Cali. Universidad del Valle, Cali, Colombia.

Alonso et al, (1987). Aportaciones al debate sobre las matemáticas en los noventa. Simposio

de Valencia. En: HERNÁN, F. y CARRILLO, E. (1991). Recursos en el Aula de

Matemáticas. Editorial Síntesis. 2a Edición. Colección Matemáticas: Cultura y Aprendizaje.

Chevallard, Y., Bosch, M. y Gascón, J. (1997). Estudiar matemáticas. El eslabón perdido

entre la enseñanza y el aprendizaje, ICE/Horsori: Barcelona.

Chevallard, Y. (2006). Steps towards a new epistemology in mathematics education. En M.

Bosch (Ed.), Proceedings of the Fourth Congress of the European Society for Research in

Mathematics Education, pp. 21-30. Barcelona: FUNDEMI-IQS

De Guzmán, M. (1989). Tendencias Actuales de la Enseñanza de la Matemática. En: Studia

Paedagogica. Revista de Ciencias de la Educación. N°21. Universidad de Salamanca.

Salamanca.

Hernán, F.; Carrillo, E. (1991). Recursos en el aula de matemáticas. Editorial Síntesis.

Madrid. Colección Matemáticas: Cultura y Aprendizaje. Nº 34.

Tortosa, A. y Soria, P. (1991). Recursos en el aula de primaria. V Jornadas Andaluzas de

Educación Matemática. S.A.E.M. "THALES". Granada. p.132

ANEXOS ANEXO 1: Ejemplo Ficha de trabajo del LMUV


ANEXO 2: Fotos del espacio del LMUV


ANEXO 3: Trabajo con estudiantes y/o profesores en el LMUV


CB-447

Formas de negatividade dos números inteiros nos livros didáticos brasileiros

Esther de A. Prado Rodrigues – Bruna C. Gargarella – Miriam C. Utsumi

[email protected] – [email protected] – [email protected]

ICMC - Universidade de São Paulo Brasil

FE - Universidade Estadual de Campinas Brasil

Núcleo temático: Enseñanza y aprendizaje de la Matemática en las diferentes modalidades y

niveles educativos

Modalidade: CB

Nível educativo: Formación del Profesorado

Palabras chave: Números inteiros; Negatividade, Livros didáticos, Formação de professores.

Resumen

Este texto é parte da pesquisa de iniciação científica, em andamento, sobre as ideias iniciais dos números inteiros na educação básica. Ideias iniciais de um conceito são aquelas que antecedem sua formalização, neste conceito, referem-se às formas de negatividade de Lizcano (2006) e ao modo de pensar, contar e tornar visível por meio de registros concisos/exatos como os dos mercadores europeus que influenciaram o imaginário ocidental (Crosby, 1999). Foram analisados nove livros didáticos do 7º ano/PNLD/2017, e identificados os seguintes aspectos: (1) situações introdutórias ou iniciais; (2) discussões sobre números positivos, negativos, o zero e os sinais (+) e (-); (3) abordagem dos elementos da história da matemática; (4) retomada das situações iniciais em atividades posteriores; (5) relação entre a linguagem das palavras e a linguagem matemática. Identificamos ainda maior utilização de uma das formas de negatividade, por determinação, a ocidental, e não identificamos aproximação significativa com a negatividade por oposição e equivalência, a oriental, e com o modo de pensar, contar e dar visibilidade ao registro dos mercadores europeus. Consideramos que esses aspectos colaboram na formação dos professores no sentido de que influenciam o modo de ensinar e aprender esse conceito, pois o livro didático é um recurso presente e acessível nas escolas brasileiras.

Introdução

O recorte da pesquisa que apresentamos é composto pela análise de nove, dos onze, livros

didáticos de matemática do 7º ano, ensino fundamental, indicados pelo Programa Nacional


do Livro Didático, PNLD2017, do Ministério da Educação/Brasil, onde procuramos

identificar a forma como os autores introduzem as ideias iniciais dos números inteiros e quais

aspectos priorizam na abordagem desse conceito. Entendemos por ideias iniciais o campo de

ideias introdutórias de um determinado conceito, que antecedem a sua formalização. (Prado,

2008).

No Brasil, desde 1996, a configuração das políticas públicas do livro didático tem-se

intensificado, atendendo a três princípios: universalidade, gradualidade e simultaneidade.

Com os investimentos do PNLD até 2017, foi possível a universalização do acesso ao livro

didático a todos os alunos da educação básica, de forma simultânea e gradual, isto é, quando

o aluno termina determinado ano/série, tem acesso aos livros didáticos do ano/série

subsequente. Em 2017, foram adquiridos 79.216.538 exemplares (Brasil, 2016), dos diversos

componentes curriculares, 6º ao 9º ano do ensino fundamental. Tais dados, entre outros, são

um indicativo da necessidade de pesquisar esses textos, disponibilizados para as escolas

públicas brasileiras.

O critério para a escolha dos nove volumes analisados foi participar das indicações do

PNLD/2017 Matemática, foi possível reunir nove volumes do 7º ano, a partir do empréstimo

nas escolas públicas paulistas e do acervo de professores dessa rede.

Este texto está organizado da seguinte maneira (1) discutiremos as formas de negatividade

consideradas por Lizcano (2006 e 2007) para o Oriente/China e para o Ocidente/Grécia, as

considerações de Crosby (1999) sobre como a Europa Medieval criou um novo modo de

pensar, contar e registrar com os comerciantes medievais, que se aproxima da forma de

negatividade do Oriente/China, para controlar a multiplicidade de seus registros contábeis e,

a noção de ideias iniciais dos números inteiros de Prado (2008); (2) apresentaremos a

metodologia desta pesquisa, (3) parte das nossas análises, e, por fim, comentaremos as

conclusões parciais desta pesquisa.

1. Oriente e Ocidente, seus tipos de negatividade e formas de pensar, contar e registrar

Lizcano (2007) analisa o Oriente/China e o Ocidente/Grécia como dois tipos ideais que nos

proporcionam duas perspectivas, “um lugar a partir do qual se olha para algo e aparecem

determinadas luzes, determinadas sombras, se ressaltam determinadas formas e outras ficam

na penumbra” (p. 152). Embora, fundamentalmente opostas, cada perspectiva institui uma


realidade, pois “inventa essa ilusão que – uma vez estabelecida – se torna ‘a realidade’”.

(Lizcano, 2006, p. 141).

O autor considera que, para pensar a matemática no Ocidente, é necessário entender a nossa

estrutura de pensamento, nosso modo de construir categorias, os critérios pelos quais

percebemos identidades ou diferenças, como classificamos essas identidades, as maneiras

como distinguimos o possível do impossível, como entendemos o raciocínio, etc. Ao se

questionar sobre esses aspectos, o autor chegou até o Oriente, entendido como a China, que

se constituiu em uma nova realidade, vista de sua cultura ocidental.

Sobre as diferenças dessas realidades, Lizcano (2007) considera que os mesmos objetos

matemáticos, tendo o mesmo nome, têm entendimentos distintos para cada uma das

realidades, e exemplifica.

Onde Euclides olhou e não viu nada (por exemplo, um segmento de medida nula,

ou seja, um não-segmento), um Liu Hui vê nada, que é ver muito, é ver todo um

combate harmonioso entre oponentes que se destroem entre si até chegar a

aniquilar-se, até ficarem reduzidos ao nada. Este nada e o outro nada são

intraduzíveis entre si, eu mesmo estou traindo seus respectivos sentidos ao

colocá-los sob um mesmo nome. (Lizcano, 2007, p. 153) (tradução nossa)

Considera que não existe uma única matemática e, para compararmos as matemáticas chinesa

e grega, é necessário considerar o lugar de onde se olha determinado aspecto do pensamento.

E que os significados das “realidades” que surgem da razão de cada época e de cada cultura

e das metáforas que cada “realidade” possibilita, são determinantes de formas distintas de

negatividade. (Lizcano, 2007).

Aponta que, para a Grécia clássica, a metáfora da subtração é pensada por abstração e

dedução, partindo de “coisas sensíveis”, configurando um modo de pensar que classifica a

realidade, e os saberes advindos dela, em uma sucessão de gêneros e espécies. Esse modo de

pensar faz com que a indagação ocidental sobre a negatividade se fundamente em termos de

possibilidade e impossibilidade da subtração. A realidade se rompe em ser/não ser, sendo

impossível pensar o “zero” e o “número negativo” e sendo impossível pensar na subtração

4-7, pois não se pode tirar algo do que não se tem. (Lizcano, 2006).

Para a China, Lizcano (2006) entende que a sua realidade proporciona a metáfora que pensa

por oposição ou analogia, sob o complexo simbólico yin/yang/dao que opera em termos de


oposição e equivalência, toda realidade é bipartida e essas duas partes se distinguem e se

articulam nos opostos yin/yang, que convivem harmoniosamente.

Acreditamos que essas duas formas de negatividade não são excludentes, entendemos que,

houve um “lugar”, em “determinada época” e “cultura”, nem sempre em um contexto

estritamente matemático, que possibilitou um “olhar” do ocidente para a existência de uma

nova forma de negatividade.

Prado (2008) considera que Crosby (1999) nos auxilia a entender como o Ocidente aprendeu

a pensar por oposição e equivalência. A mudança de mentalidade que ocorreu na Europa

Medieval em sua transição para o Renascimento, é significativa para percebermos o caminho

dessa compreensão. Sob o ponto de vista de Crosby (1999), as informações necessárias aos

comerciantes medievais, para sua sobrevivência e para a visibilidade dos seus registros

contábeis, originaram a “escrituração por partidas dobradas (...), reconhecendo em seu

fechamento um lucro ou prejuízo final. ” (p. 194).

Consideramos que o par lucro/prejuízo são as duas partes que se distinguem e se articulam

como o par de contrários yin/yang da realidade chinesa. Ou seja, pensar o movimento do

comércio significa pensar nos seus dois sentidos contrários e de modo simultâneo, isto é, em

mão dupla, como o lucro/prejuízo, e, principalmente, elaborar registros, “(...) concisos e

exatos” (Crosby, 1999, p. 193).

A relação entre pensar, contar e registrar tem na escrituração por partidas dobradas a

visibilidade para o pensamento ocidental, pois “permitiu aos negociantes europeus, (...),

chegar à compreensão e, através dela, ao controle da multiplicidade de detalhes de sua vida

econômica. ” (Crosby, 1999, p. 195), permitindo-os discernir “num só olhar seus lucros e

perdas”. (Crosby, 1999, p. 202). Entendemos com Prado (2008, p. 113) que é a busca para

verificar as “entradas e saídas”, “débitos e créditos”, “bem ou malsucedido”, “ganhar alguma

coisa em troca de algo a ser fornecido”, isto é, a busca por pensar, contar e registrar as mãos-

duplas das atividades comerciais, de modo simultâneo. Estas são as partes distintas e que se

articulam no movimento do comércio.

Para Crosby (1999) a escrituração por partidas dobradas não mudou o mundo, nem foi

essencial para o capitalismo, pois os comerciantes que não recorreram a ela também

ganharam dinheiro, tampouco foi uma obra prima intelectual como o modelo copernicano de

um universo heliocêntrico ou as contribuições de Galileu. Mas pondera que, essas obras


primas nos afetaram menos do que a contabilidade que “(...) teve influência maciça e

disseminada em nosso modo de pensar. ” (p. 205).

Sendo assim, consideramos nesta pesquisa, que as ideias iniciais dos números inteiros devem

possibilitar uma nova forma de pensar a negatividade, por oposição ou equivalência, que no

Ocidente, teve como “lugar” a Europa da transição entre a Idade Média para o Renascimento,

e quem nos ensinou a pensar, contar e registrar a mão dupla de um movimento, nos seus

sentidos contrários, com os comerciantes medievais. Não basta indicar o comércio para

explicar o surgimento dos números negativos, é necessário criar uma nova “realidade” que

gere novas formas de pensar, por oposição e equivalência, os movimentos com sentidos

contrários e simultâneos. Ao pensar o lucro é necessário pensar o prejuízo, na entrada ou

saída do dinheiro ou mercadoria, pois a “vida econômica” existe com o pensamento e o

controle simultâneo dos dois sentidos dos movimentos comerciais, como, comprar/vender,

ganhar/perder, receber/entregar, lucro/prejuízo, débito/crédito, entrada/saída, etc.

2. Metodologia

Esta pesquisa é documental e qualitativa no sentido postulado por Bogdan e Biklen (1994)

que consideram que a “abordagem da investigação qualitativa exige que o mundo seja

examinado com a ideia de que nada é trivial, que tudo tem potencial para constituir uma pista

que nos permita estabelecer uma compreensão mais esclarecedora do nosso objeto de estudo”

(p. 48). Investigamos o modo como os autores propõem o desenvolvimento das ideias iniciais

do conceito números inteiros, que antecedem sua formalização, com a finalidade de

identificar se há uma perspectiva, ocidental ou oriental (Lizcano, 2006 e 2007)

preponderante, e indícios da contagem simultânea, em mão dupla, dos comerciantes (Crosby,

1999). Analisamos nove livros didáticos de matemática, 7º ano do ensino fundamental, com

edições entre 2010 e 2016, indicados no PNLD/2017. Todos os exemplares são “Livros do

Professor”, isto é, livros que contêm o mesmo que os exemplares dos alunos, mas têm

registradas as respostas, os comentários das atividades ou exercícios e orientações didáticas

para o professor. Os livros analisados são, em ordem alfabética de autores: Andrini, A. e

Vasconcellos, M. J. (2015) Praticando Matemática. SP: Ed. do Brasil. Bianchini, E. (2015)

Matemática Bianchini. SP: Moderna. Centurión, M., Jakubovic, J. (2010) Matemática na

medida certa. SP: Scipione. Dante, L. R. (2016) Projeto Teláris. SP: Ática. Mazzideiro, A.


S., Machado, P. A. F. (2015) Descobrindo e Aplicando a Matemática. Belo Horizonte:

Dimensão. Mori, I. (2015) Matemática: Ideias e Desafios. SP: Saraiva. Projeto Araribá-

Matemática (2014), obra coletiva. SP: Moderna. Silveira, E. (2015) Matemática:

compreensão e prática. SP: Moderna. Souza, J. , Pataro, P. M. (2015) Vontade de Saber. SP:

FTD.

3. Análise parcial dos dados

As análises foram realizadas em cada volume, individualmente, buscando identificar os

aspectos: Aspecto (1): situações introdutórias ou iniciais; Aspecto (2) discussões sobre

números positivo, negativo, o zero e os sinais (+) e (-); Aspecto (3): utilização dos elementos

da história da matemática para o desenvolvimento do conceito. Aspecto (4) retomada das

situações iniciais em atividades posteriores; isto é, se os exercícios propostos retomam as

situações iniciais identificadas na Aspecto (1). Aspecto (5): presença da relação entre a

linguagem das palavras e a linguagem matemática. Os livros analisados estão indicados por

L 1 a L9, por ordem dos empréstimos.

Com relação ao Aspecto 1, sobre a forma como o conteúdo é introduzido, observamos que

os autores introduzem (i) com exemplos de situações do cotidiano, usando o suposto

conhecimento que o aluno já possui, sobre a existência de números negativos e positivos,

mostrando assim que os números positivos não são suficientes para expressar tais situações;

ou (ii) mostrando que os números inteiros são resultados de subtrações impossíveis, como

por exemplo: 3-5. Observamos ainda que todos os autores se apoiam em determinadas

situações ou exemplos para justificar as “utilidades” dos números positivos e negativos e

formalizar essas ideias, como mostrado na Tabela 1

Tabela 1: Situações utilizadas para introduzir números positivos e negativos

Situações Livros Didáticos f

Altitude Todos 9

Temperatura L1, L2, L3, L4, L5, L7, L8, L9 8

Saldos e débitos bancários L1, L2, L3, L4, L6, L7, L8, L9 8

Saldo de gols L3, L5, L6, L9 4

Prejuízos e Lucros L1 1


Datas (a.C/ d.C) L1 1

Elevador L7 1

Fuso horário L5 1

Direção- esquerda e direita L8 1

Nestas situações introdutórias, indicadas na Tabela 1, observamos a ausência da ideia de

opostos ou contrários, não é estabelecida a dualidade dos movimentos, nem se estabelece

quais são os contrários, como em Altitude (alta/baixa), Temperatura (calor/frio ou

quente/frio), Jogo de futebol (ataque/defesa; fazer/tomar gols). Desta forma entendemos que

não é criada uma nova realidade, no sentido proposto por Lizcano (2006; 2007), para pensar

uma nova forma de negatividade e uma nova forma de pensar, contar e registrar,

simultaneamente, os sentidos contrários dos movimentos, como os comerciantes medievais,

indicadas por Crosby (1999).

No Aspecto 2 investigamos como são as discussões sobre números positivo, negativo, o zero

e os sinais (+) e (-). Observamos que o número negativo é definido como uma medida, ou do

termômetro (abaixo de zero) ou da profundidade (abaixo do nível do mar) em quatro livros

(L3, L4, L7, L9) e como o resultado de uma subtração impossível em três livros (L1, L2, L5).

Já a ideia de número positivo não é discutida em seis livros (L1, L2, L3, L5, L8, L9). Dois

livros, L6 e L7, definem os positivos como os números naturais, que podem ou não estar

acompanhados do sinal (+) e apenas um livro, L4, como uma medida do termômetro (acima

de zero), de profundidade (acima do nível do mar), etc. Três livros (L4, L5, L7) não discutem

o que é o zero. Os livros L8 e L9 o definem como sendo o ponto de referência ou origem

para uma medida, por exemplo, do termômetro; e a ideia de que o zero é um número que não

é positivo nem negativo e que, portanto, não possui sinal está presente em quatro livros (L1,

L2, L3, L6). Sobre o significado dos sinais positivo e negativo observamos que o primeiro

não é discutido em nenhum dos livros analisados, enquanto o segundo é definido como o

sinal utilizado para representar os números negativos (L4, L5) ou a medida de débitos, ou de

temperaturas abaixo de zero (L1, L3, L7). Quatro livros também não discutem o significado

do sinal negativo (L2, L6, L8, L9). Concluímos que os sinais (+) e (-) estão relacionados a

uma medida e não aos sentidos contrários de determinado movimentos, como o movimento

da temperatura que pode ocorrer em dois sentidos contrários, quente ou frio, e em

determinada quantidade.


A análise do Aspecto 3, sobre o uso de elementos da história da matemática indicou a

ausência de tais elementos para o desenvolvimento dos números inteiros, sendo que dois

livros apresentam algumas notas históricas sobre a difícil aceitação dos números negativos

(L1 e L9).

Com relação ao Aspecto 4: Observamos que em todos os livros há a retomada das situações

iniciais nas atividades posteriores, ou seja, são propostos exercícios que abordam alguma das

situações ou exemplos semelhantes aos discutidos na introdução.

Finalmente no Aspecto 5 observamos que a relação entre a linguagem das palavras e a

linguagem matemática é incipiente, em quatro livros (L3, L5, L8, L9) ela está presente em

apenas um exercício e em cinco livros (L1, L2, L4, L6, L7), em dois ou três exercícios.


Constatamos que os aspectos priorizados pelos autores dos livros didáticos analisados se

apoiam na forma de negatividade Ocidental, por abstração ou dedução que estabelece a

possibilidade ou impossibilidade e na metáfora da subtração para introduzirem as ideias

iniciais sobre números inteiros. Observamos que há um esforço dos autores para explicar o

número negativo utilizando situações divulgadas nas mídias, consideradas do conhecimento

do aluno, como a medida da temperatura, da altitude ou profundidade em relação ao nível do

mar, saldo de gols, entre outras. Não observamos a preocupação em dar significado ao

pensamento de uma época e uma cultura, para entender as formas de negatividade de

diferentes realidades, não é criada uma realidade na qual seja possível estabelecer uma

determinada lógica para pensar, contar e registrar determinado fenômeno quantitativo, como

postulado por Lizcano (2006), Crosby (1999) e Prado (2008).

Assim, os autores se baseiam na lógica ocidental, acreditando que o fato dos alunos terem

acesso ou receberem várias informações como as medidas de temperaturas das várias regiões

do mundo, visualizarem gráficos e tabelas que mostram determinados movimentos, como o

nível do mar, saldos de gol, sejam suficientes para a compreensão dos números negativos,

positivos e o zero.

Esses aspectos são importantes, mas não suficientes para a compreensão desse campo

numérico. Faz-se necessário pensar também a forma de negatividade chinesa, por oposição


e equivalência, onde é possível articular os dois sentidos de um movimento de modo

simultâneo.

Acreditamos que se os livros didáticos considerarem ambas as perspectivas contribuiriam

para a formação dos professores no sentido de que elas influenciam o modo de ensinar e

aprender esse conceito, e o livro didático é um recurso presente e acessível nas escolas

brasileiras.

Referências

Brasil (pais) (2016). Programa Nacional Livro Didático. Brasília: MEC. Consultado http://portal.mec.gov.br/pnld/apresentacao. Consultado 12/8/2016.

Bogdan, R., Biklen, S. (1994). Investigação Qualitativa em Educação – uma introdução à teoria e aos métodos. Porto: Porto Editora.

Crosby, A. (1999) A mensuração da realidade: a quantificação e a sociedade ocidental - 1250/1600. SP: Ed. UNESP.

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Prado, E. P. A. (2008) Os textos impressos para o ensino dos números inteiros na visão de licenciandos em Matemática. Tese Doutorado. UNICAMP. SP. Consultado http://www.bibliotecadigital.unicamp.br/document/?code=vtls000439869.


CB-450

DATA SCIENTIST: LOS MATEMÁTICOS HÍBRIDOS

Mª Cruz Gaya López [email protected]

Universidad Europea de Madrid. España Núcleo temático: I. Enseñanza y aprendizaje de la Matemática en las diferentes modalidades y niveles educativos. Modalidad: CB, T, MC, P, F, CP, CR Nivel educativo: Unviersitario Palabras clave: "formación universitaria", "profesión matemático", "análisis de datos", "data scientist" Resumen En la última década los matemáticos han visto incrementadas su empleabilidad de forma muy significativa. La aparición de profesiones como los data scientist (analistas de datos) han hecho que las empresas acudan a las universidades para captar talento en las áreas de las matemáticas y la tecnología. ¿Cómo son actualmente los profesionales que cubren estas vacantes? Normalmente son ingenieros informáticos con lagunas importantes en matemáticas, o matemáticos que necesitan actualizarse en tecnología. Se hace necesaria formación específica para estos perfiles profesionales. Como muestra de ello en el “Libro Blanco para la definición de titulaciones universitarias en el ámbito de la Economía Digital” el Ministerio de Industria puso de manifiesto esta necesidad y proporcionaba las guías para el desarrollo de este tipo de titulaciones, tanto a nivel de grado como a nivel de máster. En esta comunicación presentamos un ejemplo, el grado en Ingeniería en Matemática aplicada al Análisis de Datos. Este grado unifica conocimientos de matemáticas, informática y empresa, condimentados con metodologías de aprendizaje basadas en proyectos, con el objetivo de crear los profesionales que demanda el entorno profesional. Introducción

En los últimos años han irrumpido en nuestra sociedad términos como el Internet de las

Cosas, la industria 4.0, las Smart Cities, y el Big Data. Todos estos términos tienen en común

la necesidad del almacenamiento masivo de grandes cantidades de datos en tiempo real y del

análisis automático de los mismos con el objetivo de obtener información útil como base en

la toma de decisiones a niveles estratégicos. Los ámbitos de aplicación son, además, muy

extensos como Salud, Educación, Industria, Energía, y un largo etcétera. Los efectos que está

teniendo en los resultados de las organizaciones son tales que en algunos casos se están


tomando decisiones de gran nivel basándose únicamente en los resultados de estos procesos

automáticos. Un ejemplo de ello son los nuevos seguros de automóviles que están basando

el cálculo de las cuotas en los resultados de analizar los datos de la trazabilidad recopilados

a través de todos los sensores que hoy en día disponen los automóviles. Es tal la influencia

que el análisis de datos está generando en la sociedad y, en particular, en la industria, que ya

se habla de la 3º revolución industrial.

Este reto requiere de profesionales que estén bien formados y perfectamente preparados para

generar valor en torno a esta gran oportunidad.

El Data Scientist

El profesional del análisis de datos, o “data scientist” como se conoce internacionalmente, se

encuadra dentro del ámbito de conocimiento de las ciencias y de las tecnologías de la

información. También, aunque en menor medida, tiene que tener conocimientos de Empresa

para ser capaz de aportar valor dentro de la entidad de la que se desarrolle.

Un analista de datos tiene que ser capaz de abordar funciones de Explotación, Desarrollo,

Diseño y Administración de sistemas de gran volumen de datos, y en un nivel superior, las

funciones de Análisis, Arquitectura y Dirección de los mismos. Para ello tiene que dominar

las técnicas y herramientas de las matemáticas y la estadística, así como, las técnicas y

herramientas software que se utilizan para el almacenamiento de grandes cantidades de datos

en tiempo real, para el análisis y procesamiento de los mismos (utilizando modelos

predictivos e inteligencia de negocio), así como para la visualización de forma adecuada para

mejor entendimiento del encargado de tomar la decisión final.

Actualmente la formación utilizada para este perfil profesional ha estado centrada

principalmente en nivel de postgrado. Existen numerosos másteres tanto nacionales como

internacionales que ofrecen esta formación. Sin embargo, este tipo de enseñanzas, en la

mayoría de los casos de 60 ECTS no son suficientes. Los perfiles de ingreso de estos másteres

son graduados del sector TIC que carecen de formación suficiente en matemáticas y en

empresa o matemáticos que carecen de formación en tecnologías de información. Se hace

necesaria una formación de grado de 240 ECTS que permita formar al estudiante de forma

integral en estas 3 ramas de conocimiento.

Un profesional con mucho presente y más futuro


Se prevé una alta empleabilidad para los egresados de este grado. Para ello se ha tenido en

cuenta varios estudios, entre ellos los realizados por organizaciones como: Adecco, Ametic,

la CODDII (conferencia de directores y decanos de ingeniería informática) y otros.

En cuanto a la situación de empleabilidad actual se puede mencionar:

• Las titulaciones técnicas han aumentado su demanda en el mercado en los últimos

años. Las ingenierías son las mejor posicionadas, de hecho, casi la mitad de las ofertas de

empleo se centran en perfiles cualificados con carreras técnicas. De entre todos ellos los

profesionales de las Tecnologías de la Información y las comunicaciones son los que mayor

tasa de ocupación, el 94%.

• Los datos del informe Carreras (Adecco, 2014) reflejan el ascenso de ofertas de

empleo para titulaciones tecnológicas, encontrándose 14 disciplinas técnicas y de Ciencias

entre las 20 más demandadas.

• Las tasas de Afiliación a la Seguridad Social también son muy altas. A destacar los

ingenieros informáticos, que alcanzan el 78% durante su 4º año.

• Como aspectos negativos se encuentran los salarios (entre los 18000 y los 30000

euros al año para los recién egresados) y el hecho de que es un mundo muy masculinizado.

Además este interés profesional, queda patente en las ofertas de empleo en los grandes

portales dentro de este sector. Ejemplos son 82 puestos en Infojobs (consulta de octubre de

2014), 63 puestos en AT&T. Y en portales más específicos tenemos 300 puestos en Big data

Careers y 226 ofertas en Big data Spain.

Las previsiones de empleo futuras indican que se crearán casi medio millón de puestos de

trabajo en empleos relacionados con la Economía Digital en el conjunto de los países

miembros de la UE para el año 2020. Más en concreto, algunos estudios en Europa prevén

que, solo en el Reino Unido, el número de personal especialista en datos trabajando en grades

empresas se incrementará en más del 240% en los próximos cinco años.

Cabe destacar también el autoempleo como alternativa al empleo por cuenta ajena. Se han

registrado 3550 start-ups en España en el pasado 2014 (estudios de la cámara de comercio

del año 2014), la mayoría de ellas con base tecnológica.

En España no se ha encontrado ningún título específico que plantee formación para este perfil

profesional, el de analista de datos (data scientist). Sin embargo, fuera de España, tanto en

Europa como en Estados Unidos, sí que existen, manteniéndose la denominación de Data


Science como la más común. La traducción de este término al español, “ciencia de los datos”

hemos considerado que no identifica la formación que provee puesto que una parte esencial

del plan de estudios, con un peso del 22,5 % sobre el total, son los conocimientos de

matemáticas. Por ello consideramos que la denominación de Grado en Ingeniería en

Matemática Aplicada al Análisis de Datos se justifica por el contenido de la misma y el perfil

profesional que cubre. El egresado de este grado es un matemático y tecnólogo que va a

aplicar su conocimiento en el análisis de los datos, de ahí su título.

Grado en Ingeniería Matemática aplicada al Análisis de Datos.

Perfil de egreso.

La descripción del estudiante tipo que finaliza sus estudios en el Grado en Ingeniería

Matemática aplicada al Análisis de Datos se define a través de las competencias generales

relacionadas con la profesión que se muestran a continuación:

CG1. Capacidad para recopilar e interpretar datos e informaciones y extraer conclusiones

reflexionando sobre asuntos de índole social, científica o ética en el ámbito del análisis de

datos.

CG2. Conocimiento de las herramientas matemáticas básicas, principalmente de cálculo,

álgebra lineal y probabilidad, para su aplicación rigurosa y fiable que permita modelizar

problemas reales complejos.

CG3. Conocimiento y aplicación de las tecnologías y herramientas informáticas,

principalmente las bases de datos, la programación de algoritmos y la inteligencia artificial,

para construir, analizar e interpretar fuentes de datos incluyendo su obtención, preprocesado,

almacenamiento, análisis y visualización de resultados, que ayuden en la toma de decisiones

en campos diversos.

CG4. Conocimiento de los fundamentos de empresa que permitan entender, interpretar y

mostrar los datos de la forma más adecuada a cada organización.

CG5. Capacidad para colaborar con profesionales de otros campos (financiero, marketing,

sanidad, etc.), trabajando en equipo, participando en la organización y la gestión de

proyectos, atendiendo a las normas de ética profesional y las relativas a la protección y

seguridad de datos..


CG6. Capacidad de aprender de forma autónoma nuevas técnicas y herramientas, así como

defender la necesidad de mantener, a lo largo de su vida profesional, un aprendizaje

continuado y abordar problemas nuevos con nuevas herramientas.

CG7. Capacidad para comunicar a todo tipo de audiencia de manera clara y precisa,

conocimientos, metodologías, ideas, problemas y soluciones en el ámbito del análisis de

datos.

Estas competencias se materializan en la adquisición a lo largo de las distintas materias del

grado en las siguientes competencias específicas:

BÁSICAS.

CE1 Comprensión del concepto de empresa, así como las áreas funcionales de la misma,

incluyendo las relaciones entre ellas, y aplicación de las distintas herramientas disponibles

en cada una de ellas.

CE2 Comprensión de los fundamentos básicos, los principios y las aplicaciones de los

sistemas informáticos, el desarrollo software y las bases de datos.

CE3 Conocimiento y aplicación de forma eficiente los modelos de tipos de datos y los

algoritmos para diseñar soluciones a problemas.

CE4 Comprensión de las técnicas de diseño, implementación, captación, almacenamiento

y explotación de bases de datos y los sistemas de gestión de bases de datos, tanto

estructuradas como no estructuradas, monolíticas y distribuidas

CE5 Comprensión del lenguaje matemático y su aplicación para enunciar proposiciones y

transmitir los conocimientos adquiridos en los distintos campos de las matemáticas

CE6 Aplicación de los conocimientos sobre: álgebra lineal, cálculo diferencial e integral,

métodos numéricos, estadística y optimización para la resolución de problemas.

CE7 Conocimiento y aplicación de las herramientas informáticas de análisis estadístico,

cálculo numérico y simbólico, visualización gráfica, optimización y otras para experimentar

en Matemáticas y resolver problemas.

AVANZADAS

CE8 Capacidad para evaluar las tendencias en el mercado de la Economía digital, así como

su impacto en el desarrollo social, económico y cultural.

CE9 Análisis de las técnicas de marketing digital valorando el impacto de sus decisiones

en los beneficios, el mercado, las personas y la sociedad.


CE10 Análisis de las técnicas de ingeniería de sistemas de información a los procesos de

negocio.

CE11 Conocimiento y aplicación de los principios fundamentales y técnicas básicas de los

sistemas inteligentes y su aplicación prácticas.

CE12 Conocimiento del Ciclo de vida de los datos, desde la operación hasta la

visualización. De los datos al conocimiento y del conocimiento a la estrategia de negocio.

CE13 Análisis de las técnicas de replicación, conservación, restauración y anonimización

de los datos.

CE14 Conocimiento de los modelos y formas de evaluación de servicios en base a criterios

de capacidad de utilización y calidad de servicio.

CE15 Conocimiento de la legislación en materia de datos personales, privacidad y derechos

fundamentales de las personas, así como los criterios y mecanismos de evaluación y

certificación de la seguridad vigentes en la actualidad.

CE16 Aplicación de las metodologías, arquitecturas y técnicas propias de Big Data para el

almacenamiento y la gestión de los datos.

CE17 Aplicación de los modelos y estándares del ámbito de los sistemas de grandes

volúmenes de datos.

CE18 Aplicación de las técnicas de aprendizaje computacional para diseñar e implementar

aplicaciones y sistemas que las utilicen, incluyendo las dedicadas a extracción automática de

información y conocimiento a partir de grandes volúmenes de datos.

CE19 Comprensión de las técnicas de interoperabilidad de sistemas e integración y

agregación de datos.

CE20 Capacidad para diseñar interfaces eficientes en el contexto del Big Data que

garanticen la accesibilidad y usabilidad, utilizando.

CE21 Aplicación del pensamiento estadístico y tener la capacidad de enfrentarse a las

distintas etapas de un estudio estadístico (desde el planteamiento del problema hasta la

exposición de los resultados).

CE22 Conocimiento y aplicación de las técnicas y modelos, matemáticos, estadísticos y de

optimización, aplicados al procesamiento de datos, los sistemas de ayuda a la decisión, la

búsqueda de relaciones entre variables y la realización de predicciones.


CE23 Capacidad para participar de forma activa en proyectos que incluyan el uso de datos

abiertos y herramientas de análisis estadístico en entornos distribuidos.

CE24 Capacidad para participar de forma activa en proyectos en el ámbito de sistemas de

gran volumen de datos que requieran el conocimiento, la evaluación, la selección y la

utilización de herramientas soporte para el desarrollo de proyectos de big data.

CE25 Ejercicio original a realizar individualmente y presentar y defender ante un tribunal

universitario, consistente en un proyecto en el ámbito de la ciencia de los datos de naturaleza

profesional en el que se sinteticen e integren las competencias adquiridas en las enseñanzas.

Plan de estudios.

El plan de estudios del grado en Matemática Aplicada en la Universidad Europea de Madrid,

combina los conocimientos de 3 materias principales, matemáticas, informática y empresa

con el desarrollo de proyectos reales y la formación en competencias transversales.

Figura 10 Plan de estudios del Grado en Ingeniería Matemática aplicada al Análisis de Datos.

El estudiante adquiere conocimientos en matemáticas desde sus bases a través de asignaturas

como Álgebra, Cálculo o Matemática discreta para profundizar en la estadística adquiriendo

competencias en inferencia estadística, estadística computacional o econometría. En

informática estudia desde asignaturas básicas como programación o bases de datos para

especializarse en inteligencia artificial, big data, aprendizaje automático o visualización de

datos. En la materia de empresa el estudiante comienza con una asignatura de fundamentos

que le da una visión genérica de la estructura y organización de una empresa para conocer

los procesos que se desarrollan en cada departamento de la misma haciendo especial hincapié

en la Economía y el Marketing Digital.

PRIMERO

Fundamentos

de empresa

Principios

básicos de la

estadística

Fundamentos

de

programación y

computadores

Eficacia

personal y

profesional

Álgebra

Programación

orientada a

objetos

Marketing y

Ventas

Bases de

datos

Cálculo

numérico

Proyecto de

Sistema de

Información

SEGUNDO

Operaciones

y RRHH

Matemática

discreta

Estucturas de

datos

Impacto e

influencia

relacional

Inferencia

estadística

Inteligencia

Artificial

Proyecto de

Open Data I

Gestión de

proyectos

Estadística

computacional

Proyecto de

Open Data II

TERCERO

Dirección

estratégica y

Análisis

Financiero

Lenguajes de

programación

estadística

Alamcenamient

o masivo de

datos

Proyecto de

Big Data I

Análisis

multivariante

de datos

(Econometría I)

Aprendizaje

Automático

Proyecto de

Big Data II

Visualización

de datos

Liderazgo

emprendedor

Proyecto de

Big Data III

CUARTO

Virtualización

y seguridad

Estudio de datos

de panel

(Econometría II)

Sistemas de

información

empresarial

Aplicaciones

y tendencias

del análisis de

datos

Economía y

marketing

digital

Seguridad y

Legislación

profesional

Trabajo fin de

grado

Prácticas

externas

Ampliación de

prácticas

/actividades

universitarias

Trabajo fin de

grado

Grado en Ingeniería Matemática Aplicada al Análisis de DatosTRIMESTRE 1 TRIMESTRE 2 TRIMESTRE 3


Un grado de Project Based School

Siguiendo la metodología de aprendizaje basado en proyectos (Project Based School) que se

utiliza en la Escuela de Arquitectura, Ingeniería y Diseño de la UEM, el estudiante tendrá la

oportunidad de realizar un proyecto real en cada curso académico propuesto por empresas y

organizaciones externas donde aplicará los conocimientos adquiridos en las asignaturas de

ese año. Así el proyecto de sistema de información, que se realiza en primero, el alumno

tendrá la oportunidad de desarrollar proyectos que incluyan sistemas sencillos para la

adquisición de datos y su almacenamiento, cálculos estadísticos sobre los mismos y el diseño

e implementación de aplicaciones que muestra los resultados. En segundo se realiza el

Proyecto de Open Data donde el alumno implementará un proyecto que incluya el uso de

datos abiertos y herramientas de análisis estadístico en entornos distribuidos. En tercero

realizará la implementación y puesta en marcha de un proyecto en el ámbito de los sistemas

de gran volumen de datos que requieran el conocimiento, la evaluación, la selección y la

utilización de herramientas soporte para el desarrollo de proyectos de big data.

Conclusiones.

• El Data Scientist es un perfil profesional muy necesario ya en el entorno profesional

ya en la actualidad y, de forma más pronunciada en un futuro a corto, medio y largo

plazo.

• La formación actual no cubre las necesidades: formación en 3 áreas principales:

matemáticas (estadística), informática y empresa, esta última en menor medida.

• Es necesario adaptar la formación universitaria a las nuevas profesiones que genera

la Economía Digital, el científico de datos, o data scientist, es el ejemplo más claro

de ello.

• El Grado en Ingeniería Matemáticas aplicadas al Análisis de Datos cubre esta

necesidad.

• Actualmente esta titulación ya tiene los permisos de las agencias de acreditación y

está prevista su puesta en marcha en el curso 2017/2018. Los trabajos futuros

consistirán en realizar una evaluación de la misma realizando un análisis tanto

cuantitativo como cualitativo.



• ACM-AIS. (2010). Information Systems 2010. Curriculum Guidelines for Undergraduate Degree Programs in Information Systems. Association for Computing Machinery (ACM) and Association for Information Systems (AIS).

• Adecco. (2015). Informe Carreras. Obtenido de http://www.adecco.es/_data/NotasPrensa/pdf/639.pdf

• Ametic, R. (2011). Perfiles profesionales más demandados en el ámbito de los contenidos digitales en España 2012-2017.

• Conferencia de Directores y Decanos de Ingeniería Informática (CODDII), C. d. (2013). Informe de Empleabilidad. Obtenido de http://coddii.org/wp-content/uploads/2013/04/coddinforme-empleabilidad-2013.pdf

• Ministerio de Industria, Energía y Turismo. Libro Blanco para el diseño de las titulaciones universitarias en el marco de la economía digital. (2015) Obtenido de http://www.agendadigital.gob.es/planes-actuaciones/Bibliotecacontenidos/Material%20Formaci%C3%B3n%20de%20excelencia/Libro-Blanco.pdf


CB-451

EXPERIENCIA EN LA FORMACIÓN DE PROFESORES CON RECURSOS ESTADÍSTICOS DE CORRELACIÓN Y REGRESIÓN EN INTERNET

María Magdalena Gea1 - Pedro Arteaga1 - María del Mar López-Martín1 - Eleazar Silvestre

Castro2 [email protected] - [email protected] - [email protected] -

[email protected] 1Universidad de Granada, España, 2CINVESTAV-IPN, México.

Núcleo temático: Formación del profesorado en Matemáticas. Modalidad: Comunicación Breve (CB). Nivel educativo: Formación y actualización docente. Palabras clave: Formación de profesores, recursos, correlación y regresión. Resumen En este trabajo analizamos el desempeño de futuros profesores en el uso de recursos estadísticos de correlación y regresión disponibles en Internet, como actividad complementaria a una experiencia de formación más amplia, que contextualiza el tema en el trabajo con datos reales y tecnología, desarrolla estos conceptos y ofrece instrumentos que permiten su evaluación. Se trata de un estudio cualitativo y exploratorio que se lleva a cabo en una asignatura del Máster de Formación de Profesorado de Educación Secundaria y Bachillerato, en la especialidad de matemáticas, donde un número reducido de participantes revelan un adecuado conocimiento didáctico-matemático sobre el tema; mostrando sugerencias para su uso en el aula e incluso manifiestan ciertas limitaciones de dichos recursos para la enseñanza en Bachillerato. 1. Introducción

La correlación y regresión son conceptos estadísticos de gran utilidad en la investigación

pues, conocer la intensidad de la dependencia que pueda existir entre las variables de un

estudio (análisis de correlación) informará de la utilidad de disponer de un modelo que

relacione dichas variables (análisis de regresión) con una finalidad predictiva. Asimismo, su

enseñanza en estadística bidimensional es la base para entender otros conceptos y

procedimientos estadísticos más avanzados.

En España, el tema se inicia en cuarto curso de Educación Secundaria Obligatoria con la

introducción a la correlación. En primer curso de Bachillerato, el contenido está enfocado a

la organización de datos bidimensionales, obtener y analizar su distribución; obtener y

analizar los estadísticos de las distribuciones unidimensionales asociadas a la distribución


bivariada (marginales y condicionadas); analizar la dependencia de dos variables estadísticas;

así como, ajustar un modelo lineal a los datos y utilizarlo para hacer predicciones, valorando,

asimismo, la fiabilidad de dicho modelo (MECD, 2015).

A pesar de su relevancia, la investigación ha descrito dificultades y sesgos en razonamientos

covariacionales, a los que cabe añadir los peligros que podemos encontrar en la enseñanza y

aprendizaje de la estadística, pues los estudiantes suelen aprenderla sin sentido y, con

frecuencia, como un cúmulo de fórmulas y procedimientos que tristemente no se saben

interpretar (Batanero, Díaz, Contreras y Roa, 2013). La tecnología es un recurso muy útil en

este sentido (Pratt, Davies y Connor, 2011), ya que ofrece una amplia tipología de gráficos,

permite trabajar con grandes cantidades de datos y favorece la comprensión de los conceptos

al permitir trabajar mediante proyectos, potenciando la interdisciplinariedad en la enseñanza

de la estadística (Batanero y Díaz, 2011). En este trabajo se trata de analizar las

potencialidades de algunos recursos virtuales disponibles en Internet para la formación de

profesores, en cuanto al desarrollo de su conocimiento matemático y didáctico sobre el tema.

2. Fundamentación teórica

2.1. Antecedentes

Los estudios relacionados con la comprensión de la estadística bidimensional indican que, a

pesar de tratarse de un razonamiento inherente al ser humano (McKenzie y Mikkelsen, 2007;

Moritz, 2004; Zieffler, 2006), presenta sesgos como la correlación ilusoria, donde los sujetos

crean sus propias teorías sin tener en cuenta la correlación real en los datos (Chapman, 1967);

el llamado efecto de la regresión, donde pueden confundirse efectos de un tratamiento con la

tendencia de la variable a acercarse a su media, en dos medidas consecutivas de la misma

magnitud (Engel y Sedlmeier, 2011); así como concepciones incorrectas sobre la correlación

(Estepa, 1994) como la concepción determinista (aceptar sólo la dependencia funcional), la

concepción local (medir la correlación sólo con parte de los datos), la unidireccional (no

aceptar la correlación inversa) o la causal (confundir correlación y causalidad).

Entre otros errores, destacamos la falta de comprensión de la diferencia entre variable

dependiente e independiente (Estepa, 1994), la confusión entre las dos rectas de regresión, la

interpretación incorrecta de los coeficientes de regresión y de su relación con la pendiente de

la recta y el tipo de correlación (Sánchez Cobo, 1999).

2.2. Un modelo de sentido estadístico de la correlación y regresión


Gea, Batanero y Roa (2014) identifican las ideas clave que contribuyen al desarrollo del

sentido estadístico de la correlación y regresión y proponen un modelo que aúna la cultura y

el razonamiento estadístico a unas actitudes y creencias favorables. Estas ideas serán

utilizadas en el análisis de los recursos empleados en la experiencia de formación:

- Datos y distribución bivariada. Los datos bidimensionales se corresponden con los de dos

variables estadísticas, consideradas en un mismo individuo muestral. El estudiante debe

distinguir estos conceptos y considerar que la distribución bivariada se obtiene de las

frecuencias conjuntas correspondientes a los datos bidimensionales, diferenciando los tipos

de frecuencias que podemos encontrar en el estudio bidimensional: conjuntas, marginales

o condicionales.

- Representación tabular y gráfica. La tabla de doble entrada es muy útil pues visualiza las

distribuciones unidimensionales asociadas a la bivariada con sus correspondientes

frecuencias. En cuanto a la representación gráfica de datos bidimensionales, la más

utilizada es el diagrama de dispersión o nube de puntos (Gea, Batanero y Roa, 2014) al

facilitar la interpretación de la intensidad y el sentido de la dependencia, así como el modelo

de ajuste más adecuado según su tendencia. El estudiante deberá resolver tareas donde se

pida la construcción o lectura de distintas representaciones asociadas a los datos

bidimensionales, así como llevar a cabo traducciones entre las mismas (Sánchez Cobo,

Estepa y Batanero, 2000).

- Dependencia funcional, aleatoria e independencia. Estos conceptos son fundamentales en

el tema, principalmente la independencia, pues es base de muchos temas estadísticos

posteriores y además, suele confundirse con correlación nula (variables incorreladas), lo

que da muestra de un limitado razonamiento covariacional.

- Covarianza y correlación. Estos conceptos permiten medir la intensidad y el signo de

relación lineal entre las variables. La covarianza informa del signo de la relación, pero

como su valor no está acotado, es impreciso; por ello, el coeficiente de correlación lineal

de Pearson es de gran utilidad para informar de la intensidad y signo de la relación lineal

entre las variables.

- Regresión. Una vez analizada la relación entre las variables, interesa valorar e interpretar

el ajuste de los datos a un modelo matemático de entre los distintos modelos posibles (línea

o curva).


- Modelos de regresión y sus parámetros. El cálculo de la recta de regresión conlleva

diferenciar la variable dependiente e independiente, ya que no existe una única recta de

regresión, así como los parámetros que la definen. Interesa que el estudiante valore la

sensibilidad del modelo a datos atípicos y calcule/determine distintos modelos.

- Estimación y bondad de ajuste. El modelo de regresión permite predecir la variable

dependiente en función de la independiente y es necesario valorar la fiabilidad de dicho

modelo con el coeficiente de determinación, así como considerar la proximidad entre el

dato utilizado en la estimación y el centro de gravedad de la distribución.

2.3. El conocimiento del profesor

Nuestro análisis se fundamenta en el modelo de conocimiento del profesor propuesto en el

Enfoque ontosemiótico (Godino, 2009) donde se distinguen seis facetas:

- Faceta epistémica, en nuestro caso, esta faceta está asociada a la tipología de lenguaje,

conceptos, propiedades, y procedimientos implicados en los diferentes problemas que dan

significado a los conceptos de correlación y regresión, así como los argumentos utilizados;

por ejemplo, el profesor debe ser capaz de reconocer la representación más adecuada para

justificar una determinada propiedad.

- Faceta cognitiva o conocimiento de la evolución del razonamiento y aprendizaje de los

estudiantes en el desarrollo del tema, así como de las posibles dificultades y sesgos que

advierte la investigación sobre su enseñanza y aprendizaje.

- Faceta afectiva o conocimiento del grado de implicación del estudiante en relación a su

interés y motivación por el tema; así, por ejemplo, el profesor debe adoptar un buen

ambiente de trabajo en el aula, planteando situaciones que motiven al alumnado.

- Faceta mediacional o conocimiento de los recursos (didácticos, tecnológicos,

manipulativos, etc.) útiles en la enseñanza y aprendizaje del tema; por ejemplo, identificar

y planificar tareas de enseñanza en torno a recursos tecnológicos.

- Faceta interaccional o conocimiento de tipos de comunicación que se pueden presentar

entre profesor y alumnos o entre alumnos en el proceso de instrucción.

- Faceta ecológica o conocimiento del ajuste del proceso de enseñanza y aprendizaje

diseñado e implementado con el proyecto educativo (de la institución, el centro y el

departamento) así como al entorno natural, social y cultural en que se desarrolla.

3. Metodología


La tarea que se analiza (Figura 1) forma parte de la primera parte de un taller formativo

realizado en una asignatura de innovación e investigación didáctica en matemáticas del

Máster de Formación del Profesorado de Educación Secundaria y Bachillerato de la

Universidad de Granada. Los futuros profesores realizaron un proyecto, que incluye tareas

con datos reales, materiales, herramientas y medios para secuenciar y apoyar el aprendizaje

del tema. La actividad analizada se planteó como actividad complementaria, de manera

opcional, y proporciona información sobre recursos didácticos utilizables en la enseñanza del

tema y sirve para desarrollar y evaluar el conocimiento didáctico y matemático de los futuros

profesores. En nuestro trabajo, se analizan los informes presentados por doce participantes.

La segunda parte del taller se dedicó al desarrollo y evaluación del conocimiento didáctico

de los participantes según el proyecto realizado.

El análisis es cualitativo y exploratorio y se trata de compensar el tamaño limitado de la

muestra con una mayor profundidad de análisis de los datos, basado en el análisis de

contenido (Weber, 1985). También se incluyen ejemplos comentados que aclararan los

informes entregados según las facetas de conocimiento manifestadas en ellos.

Recursos en Internet. Explora algunos de los applets (estos u otros) que pueden usarse en el estudio de la correlación y regresión y prepara un informe explicando cómo los usarías en clase y qué se puede aprender con ellos. 1. Educación Navarra:

http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/figuras/e3regresion.htm 2. Comparación y predicción del coeficiente de correlación:

http://www.math.usu.edu/~schneit/CTIS/scorrelation/ 3. Trazado de la línea de regresión:

http://bcs.whfreeman.com/ips4e/cat_010/applets/CorrelationRegression.html Figura 1. Tarea propuesta sobre recursos tecnológicos en Internet

3.1. Análisis de la tarea

Los applets empleados en la tarea (Figura 1) ofrecen variedad de situaciones que permiten

validar procedimientos y propiedades y favorecen la adquisición significativa de las ideas

fundamentales del tema, descritas en apartados anteriores. Destacamos que ninguno incluye

el concepto de coeficiente de determinación y sí permiten hacer uso del modelo de regresión

obtenido para realizar predicciones.


En el primer applet se representan gráficamente cuadrados sombreados de las diferencias

entre las ordenadas de la recta de regresión y los puntos observados. Permite ajustar la recta

de regresión “a ojo” o mediante el sistema, representa también el centro de gravedad y el

coeficiente de correlación y es posible trabajar con datos propios o generados por el sistema.

En el segundo applet encontramos distintas opciones como elegir un diagrama de dispersión

entre cuatro posibles para un valor del coeficiente de correlación dado (r). Además, se puede

obtener nubes de puntos con distintos valores de r, bien en forma de animación o a petición

del usuario; así como fijar un valor de r, cambiando la desviación típica de las variables X e

Y, observando cómo afectan éstas a la tendencia de la nube de puntos, para r fijo; se pueden

comparar sobre la misma pantalla hasta cuatro diagramas de dispersión simultáneos; y

también se permiten ordenar nubes de puntos, asignando un coeficiente de correlación de

entre los propuestos para cada gráfico, con tres niveles de dificultad.

En el tercer applet se pueden añadir puntos interactivamente, por lo que es muy útil para

visualizar la influencia de datos atípicos, y para cada punto se visualiza su efecto en el valor

del coeficiente de correlación. Se puede añadir la recta de mínimos cuadrados, y dos rectas

perpendiculares que pasan por el centro de gravedad y se observa también el efecto de estos

cambios sobre estas tres rectas. En este applet se incluye el tratamiento de la regresión no

lineal y los coeficientes del modelo.

4. Resultados y discusión

Fueron doce los participantes que realizaron esta actividad de ampliación (Figura 1)

presentando, en su mayoría, tareas fundamentadas en ellos para llevarlas al aula; aunque sólo

un futuro profesor (IE) plantea una reflexión crítica de su uso para el desarrollo del tema.

Así, por ejemplo, para el análisis del primero de los applets, IE ha elegido las opciones de

representar la recta de regresión y el coeficiente de correlación. Sugiere las siguientes

actividades para el aula, que muestran una adecuada faceta epistémica por la riqueza de ideas

fundamentales que aborda. También muestra adecuado conocimiento de la faceta

mediacional e interaccional en este tema, indicando la importancia de observar y reflexionar

sobre lo representado:

En clase podrían plantearse distintas actividades como: - Introducir los datos de una tabla y observar el coeficiente de correlación que se obtiene. - Modificar los datos de forma que el coeficiente de correlación sea mayor de 0.95. - Introducir una recta de regresión que se ajuste lo máximo posible a la nube de puntos, teniendo en cuenta la suma del área de los cuadrados, y observar posteriormente si es la correcta o no.


- Realizar una previsión para nuevos datos a partir de la recta de regresión.

Respecto al segundo applet, IE completa su informe con varias imágenes de las pantallas

analizadas. Se observa una adecuada faceta epistémica, mediacional e interaccional al sugerir

una amplia variedad de actividades que podrían trabajarse en la clase con ayuda del applet.

A todo ello destacamos su adecuada faceta cognitiva y ecológica, sobre todo, por ser capaz

de percibir sus limitaciones, pues indica que su estudio se reduce a las propiedades del

coeficiente de correlación y no se relaciona con el concepto de regresión, ni potencia la

utilidad de los conceptos en torno al estudio de la dependencia de las variables:

Este Applet ayuda a los alumnos a comprender el significado del coeficiente de correlación y le ayuda en la predicción de dicho coeficiente. En clase podrían plantearse distintas actividades tales como: a) Obtener gráficas con distintos coeficientes de correlación; b) Descubrir el coeficiente de correlación de distintas gráficas, dadas o no distintas opciones de respuesta, c) Descubrir gráficas con el mismo coeficiente de correlación. Este Applet es interesante para que los alumnos comprendan qué significa el coeficiente de correlación. Sin embargo, no lo considero demasiado útil, pues sólo se limita a eso. Es decir, puede inducir al alumnado a descubrir un valor en función de que los puntos estén más juntos o no. Pero no a que tomen conciencia de para qué puede usarse, ni comprender que los puntos son datos estadísticos y que el coeficiente de correlación te ayuda a comprender qué relación hay entre ellos. Considero, que aunque tiene bastante variables y eso me parece positivo, es demasiado abstracto y se reduce sólo al uso de un concepto.

También IE analiza el tercer applet, mostrando varias imágenes de las pantallas analizadas,

donde se presentan diferentes conjuntos de puntos y rectas de ajuste a ellos (de mínimos

cuadrados y una trazada “a ojo”). Su comentario va en la misma línea del anterior, pues

considera que el applet es útil, sobre todo para el estudio formal del tema, pero no para

mostrar a los alumnos la utilidad de la regresión en el trabajo con datos reales en torno a la

predicción.

Este Applet ayuda a los alumnos a comprender el significado de la recta de regresión. En clase podrían plantearse distintas actividades tales como: Realizar una nube de puntos y descubrir la recta de regresión o realizar una recta y situar una nube de puntos cuya recta de regresión sea la recta dibujada. Pero añado lo mismo que en el Applet anterior, y es que es demasiado abstracto. Se pierde el verdadero significado de esto: la lectura de gráficas, la predicción de datos mediante la recta de regresión, etc.

Tabla 1. Análisis de applets analizados por los futuros profesores de la muestra

Applet Describe sus posibilidades Sugiere actividades Critica sus limitaciones

Primero 12 10 1

Segundo 12 10 1

Tercero 11 9 1

5. Conclusiones


El desarrollo de destrezas en el campo de la tecnología de la información y la comunicación

es un objetivo fundamental en la formación de nuestros estudiantes (MECD, 2015). Hoy en

día existe una gran variedad de recursos tecnológicos como la calculadora, hoja de cálculo,

applets y programas de ordenador específicos, que facilitan la realización de cálculos y

gráficos (Pratt, Davies y Connor, 2011) y contribuyen a la adquisición de las ideas

fundamentales que se describen en este trabajo como es la omnipresencia de la variabilidad

de los datos y su cuantificación (a través de la covarianza y correlación) y su explicación

(mediante el coeficiente de determinación); la importancia del diseño y recogida de

información; el control de variables extrañas; el manejo de diferentes representaciones de

datos; o la diferenciación entre correlación y causalidad, entre otros aspectos.

Se espera que el futuro profesor domine estas ideas fundamentales y promueva su

aprendizaje significativo en el aula al integrar la tecnología en su planificación de enseñanza.

En este trabajo se muestra que, experiencias como las llevadas a cabo con futuros profesores,

proporcionan información sobre recursos didácticos utilizables en la enseñanza del tema y, a

su vez, sirven para desarrollar y evaluar su conocimiento matemático y didáctico.

Agradecimientos

Trabajo realizado en el marco del proyecto de investigación EDU2016-74848-P (AEI,

FEDER) y grupo de investigación FQM126 de la Junta de Andalucía.


Batanero, C. y Díaz, C. (2011). Estadística con proyectos. Granada: Departamento de Didáctica de la Matemática.

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reasoning about bivariate data during an introductory statistics course. Tesis doctoral. Universidad de Minnesota.


CB-452

PROFICIÊNCIA EM MATEMÁTICA DOS ALUNOS NO ENSINO PÚBLICO BRASILEIRO: UM ESTUDO DA ÚLTIMA DÉCADA

Rogers Barros de Paula – Patrícia Sandalo Pereira [email protected] – [email protected]

Universidade Federal de Mato Grosso do Sul – UFMS - Brasil Núcleo temático: III - Aspectos socioculturais da Educação Matemática Modalidade: CB Nivel educativo: 7 Palavras-chave: Educação Matemática, Análise multivariada, Contexto sociocultural, Desempenho. Resumo Diante da atual conjuntura das políticas educacionais brasileiras, que põe as avaliações de larga escala no cerne das discussões, o presente estudo tem por objetivo analisar os resultados obtidos em Matemática pelas escolas públicas brasileiras, bem como o desempenho de seus alunos, que integram a rede de ensino público brasileiro. Buscou-se averiguar desdobramentos que a aferição de desempenho em matemática por aluno influencia e é influenciado pelo contexto escolar sociocultural em que este aluno está inserido. Para tanto, em termos metodológicos fundamenta-se na inferência estatística, a partir de uma análise multivariada (LEE, 2008) dos microdados do Censo Escolar e do Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica (SAEB) durante a última década. Chama a atenção o fato de que a proficiência em matemática quase sempre é divulgada a partir dos índices de desempenho, sem realizar estudos que considerem também outras características sociodemográficas dos agentes escolares, que podem dar indícios de correlação entre essas variáveis. Os resultados apontam para diferenciação entre desempenho em matemática em nível de gênero, em nível de gestão escolar, bem como em relação à diversidade regional do Brasil. Tal resultado evidencia uma necessidade de se compreender essa dinâmica sociocultural em que a escola está inserida. Introdução

Ao se refletir sobre a eficácia da atividade docente, usualmente as avaliações em sala de aula

descortinam-se como uma das formas de se aferir tal desempenho. Entretanto, tal técnica fica

restrita ao ambiente da sala de aula, de uma determinada turma, em um determinado contexto

escolar, apresentando pontuais resultados de desempenhos ao longo de toda extensão

territorial e cultural que o Brasil possui.


Dessa forma, o Ministério da Educação (MEC – BRASIL), por meio do Instituto Nacional

de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira (INEP), realiza há mais de duas décadas

a Prova Brasil, que é parte integrante do Sistema de Avaliação da Educação Básica (SAEB),

que visa aferir e divulgar indicadores de proficiência em língua portuguesa e matemática dos

alunos da educação básica, bem como enseja apontar algumas informações acerca dos atores

envolvidos na educação: alunos, professores e diretores. Uma vantagem prática na utilização

do SAEB consiste em aplicar provas padronizadas em todo território nacional, o que permite

medir a proficiência dos alunos da educação básica.

A avaliação teve um destaque considerável no último quartel do século XX, passando a ser matéria do Estado, tal a importância a ela dispensada. Aliás, em alguns países que compõem a Organização de Cooperação e Desenvolvimento Econômico (OCDE), (...) a avaliação relativa aos serviços públicos deve ter um caráter interministerial, visando à eficácia dessas atividades. (Maués, 2008, p. 89)

Pensando-se na eficácia em educação, o SAEB também possibilita projetar gargalos a serem

superados na educação brasileira, entendendo ainda que, acima de tudo, há investimento de

recursos públicos em nossa educação (Franco, 2015). Nesse sentido, o SAEB se insere em

um contexto de avaliação da educação básica, na medida em que possibilita aferição de

desempenho a nível nacional, bem como apontar indícios de desigualdades educacionais em

nosso país, a partir das variáveis apresentadas no próprio SAEB. E esse é um aspecto bastante

peculiar a se inserir na agenda de pesquisa em avaliação educacional, que quando em nível

de sala de aula, não se permite definir com clareza como que diferenças, aparentemente sutis,

podem ser transformar em desigualdades no desempenho escolar. E neste aspecto reside mais

um ponto favorável ao SAEB: a criação de uma base de microdados que podem ser

trabalhados estatisticamente de modo a dar um significado a estes números.

O SAEB e a proficiência em matemática

O SAEB apresenta os níveis de proficiência de alunos e escolas em língua portuguesa e

matemática. Porém, atualmente tem se optado pela utilização apenas da matemática como

aferidor de desempenho, por considerá-la uma disciplina mais escolar do que a língua


portuguesa, justificando que a matemática se aprende mais na escola, enquanto que a língua

portuguesa é o código pelo qual nos comunicamos e utilizamos (aqui, sem julgar o mérito da

utilização correta da língua ou não) com mais frequência que a matemática em nosso

cotidiano. Dessa forma, o efeito escola seria melhor medido pelo desempenho em

matemática, pois esta “sofre mais influência dos fatores escolares, enquanto o estudo da

língua materna é mais sensível às variáveis familiares.” (Andrade e Soares, 2008, p. 395)

Para o presente estudo, consideramos apenas conclusões preliminares, que soam como

indícios a serem aprofundados em pesquisas futuras. Para os resultados aqui apresentados,

buscamos verificar que associações são esperadas entre variáveis qualitativas e quantitativas

presentes nos questionários do SAEB e a proficiência em matemática das escolas e dos

alunos. Para tanto se recorreu aos dados secundários da última década do SAEB, buscando

elencar fatores que dariam indícios de dependência junto à proficiência em matemática.

Foram analisados os microdados SAEB e Censo Escolar na última década, especificamente

os anos de 2011 e 2015, nos questionários e resultados de alunos, escolas e região, aplicando-

se estatísticas de distribuição normal de probabilidade – em razão de que a proficiência SAEB

tem a peculiaridade de seus dados serem normalmente distribuídos – e análise bivariada de

correlação de Pearson (Lee, 2008), apontando para outros estudos multivariados futuros. A

seguir, apresentamos resultados preliminares desse estudo, apontando como que as variáveis

podem explicar (ou não) a proficiência em questão, com estatísticas geradas pelo programa

SPSS a partir dos microdados em questão.

Desigualdades socioespaciais

O gráfico 1 aponta as medidas de dispersão das médias das escolas para os SAEB 2011 e

2015.

Gráfico 1: Média das escolas brasileiras em proficiência em matemática – SAEB/2011 e 2015


Fonte: Autores.

O boxplot acima indica maior dispersão dos dados em 2015, contudo, a média da proficiência

entre as escolas brasileiras subiu de 215,07 para 226,94 neste período, representando um

incremento de 5,52% entre as médias. Tal dado lança uma indagação: se no ano de 2015

tivemos um aumento na média nacional, como explicar essa amplitude entre os dados? Que

habilidades em matemática foi privilegiada nessas edições da prova do SAEB? São questões

que nos levam a refletir melhor esses dados numéricos.

Outra questão que pode ser avaliada é a relação que a variável localização escolar tem com

a proficiência em matemática, conforme Ayed (2012) chama atenção para as diferenças entre

contextos escolares urbanos e rurais. Para os dados analisados nas edições de 2011 e 2015, o

SPSS nos forneceu os dados da tabela 1, apontando que a proficiência em matemática das

escolas em zona urbana é maior que da zona rural. Contudo um dado curioso é que para o 9ª

série do Ensino Fundamental, as médias são maiores que na 5ª série do mesmo ciclo,

conforme já apontado em Santos e Tolentino-Neto (2015), independente da localização da

escola, ou seja, essa variável não impactou na sua proficiência em matemática, contrariando

o senso comum de que a localização da escola explique o desempenho em matemática da

mesma.

Tabela 1: Proficiência em matemática e variável ‘localização’. ID_LOCALIZACAO = URBANA ID_LOCALIZACAO = RURAL

2011

Statisticsa

MEDIA_MT

N Valid 59194

Missing 1057

Statisticsa

MEDIA_MT

N Valid 12060

Missing 497


Mean 223,7538

a. ID_LOCALIZACAO = 1

Mean 202,6144


2015

Statisticsa

‘ MEDIA_5EF_MT MEDIA_9EF_MT

N Valid 324 255

Missing 47893 47962

Mean 221,77 253,88


Statisticsa

MEDIA_5EF_MT MEDIA_9EF_MT

N Valid 58 45

Missing 9469 9482

Mean 204,50 228,38


Fonte: Autores.

Gestão democrática da escola

A literatura em proficiência já aponta a gestão escolar como variável com forte relação de

dependência, o que requer maior estudo por parte do acréscimo de outras variáveis na análise.

Canário (1996) chama atenção para a eficácia, afirmando que ela reflete a identidade dos

estabelecimentos de ensino. Mafra (2003, p. 114) ainda assinala que “o estabelecimento de

ensino desempenha um papel essencial na melhoria da eficácia do sistema educativo.”

A variável provimento do cargo de diretor fornece indícios de relação com a proficiência em

matemática da escola, quando controladas as demais variáveis. Os diretores das escolas de

2011 deram respostas à seguinte pergunta: “Como você assumiu a direção desta escola?”,

enquanto que os diretores das escolas de 2015 deram respostas à seguinte pergunta: “Como

você assumiu a direção desta escola?”. Embora com perguntas parecidas, o efeito que

conferem às categorias das respostas é o mesmo.

A tabela 2 apresenta a média resumida por categorias das respostas dadas às perguntas.

Tabela 2: Proficiência em matemática e provimento do cargo de diretor.

Respostas Média – 2011 Respostas Média – 2015

“seleção”

222,16 “concurso público apenas” 233,50

“seleção e eleição” 223,93 “processo seletivo e

indicação”

233,18

“eleição apenas” 219,47 “eleição apenas” 225,29


“indicação de técnicos” 205,37 “processo seletivo apenas” 222,10

“indicação de

políticos”

201,07 “processo seletivo e eleição” 220,79

“outras indicações” 208,66 “indicação apenas” 212,20

“outra forma” 221,71 “outra forma” 230,38

Fonte: Autores.

Notamos que nas duas edições do SAEB para os anos de 2011 e 2015, as escolas com formas

de provimento do cargo de diretor de maneira seletiva (seleção e concurso público),

obtiveram as maiores médias. Após as escolas que escolhem o diretor por meio de concurso

público e processo seletivo, estão as escolas que tem provimento “mais democrático” para o

cargo de diretor (seleção e eleição, eleição apenas, processo seletivo e eleição).

Nota-se que para as categorias de provimento seletivo e democrático, as médias em

matemática superam a 219 pontos no SAEB. Em contrapartida, as escolas cujas forma de

provimento do cargo de diretor foi uma indicação técnica, política ou de outra forma, as

médias não ultrapassam 213 pontos. Inferimos que há uma relação oculta estabelecida entre

eficácia escolar em matemática e o ato selecionar os candidatos à direção por meio de

concursos públicos ou de forma democrática.

Desempenho em matemática e gênero

A literatura em desigualdade e desempenho (Barbosa, 2011) já aponta que, de um modo

geral, as meninas tem desempenho com alguma superioridade em relação aos meninos.

Entretanto, no quesito desempenho em matemática, são os meninos que se sobressaem com

maior proficiência em matemática, conforme nos indica o SAEB/2011, na Tabela 3 a seguir.

Tabela 3: Proficiência em matemática por sexo – SAEB/2011

Statistics – Feminino

PROFICIENCIA_MT_SAEB

N Valid 2168904

Statistics - Masculino

PROFICIENCIA_MT_SAEB

N Valid 2093629


Missing 392

Mean 226,12926276777242

Median 224,20260100898800

Mode 326,577783407023

Std. Deviation 50,310055703548980

Variance 2531,102

Minimum 90,128755550403

Maximum 438,721267952141

Percentiles

25 188,73256120413900

50 224,20260100898800

75 260,31251015671800

Missing 589

Mean 229,19916956339773

Median 227,93939437539800

Mode 326,577783407023

Std. Deviation 53,788873550412300

Variance 2893,243

Minimum 90,128755550403

Maximum 438,721267952141

Percentiles

25 188,56464667804600

50 227,93939437539800

75 267,13299503802700

Fonte: Autores.

A partir dos dados acima vemos que a média e o intervalo interquartílico dos meninos é maior

que o das meninas, muito embora, quando adicionada a língua portuguesa nesse cenário, elas

se sobressaem. Trata-se de uma questão interessante e desafiante à sociologia da educação e

à educação matemática.

Dever de casa e sua correção por parte do professor

Um último dado interessante foi a correlação de Pearson que mede a relação de proficiência

em matemática e a resposta dos alunos quanto ao hábito deles fazerem “dever de casa de

matemática” e se “o professor responsável por esta disciplina também tem o hábito de

corrigir o dever de casa”. Os alunos responderam se “sim”, “às vezes” ou “nunca” para essas

duas variáveis. A simulação do SPSS para o SAEB 2011 e 2015 apontou que, em média, há

uma correlação de 20% entre essas variáveis e o desempenho em matemática. Pensando na

escala de Pearson, é um fator baixo, porém, reconhecemos que é considerável, visto que 20%

da proficiência em matemática é explicada pelo hábito de fazer dever de casa e a corrigir.


Notamos que existem diversas variáveis que exprimem relação de (in)dependência com a

proficiência em matemática. Contudo notamos também que são necessários mais estudos


quantitativos, isolando determinadas variáveis para poder mensurar tal impacto. A

necessidade de uma pesquisa qualitativa no ambiente escolar soa como alternativa para

melhor investigar casos pontuais de desempenho em matemática, visando dar “voz” a esses

números.

Referências

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Barbosa, M. L. O. (2011) Desigualdade e desempenho. Uma introdução à sociologia da escola brasileira. Belo Horizonte: Fino Traço.

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Franco, C., Ortigão, I., Albernaz, A., Bonamino, A., Aguiar, G., Alves, F., Sátyro, N. (2015) Qualidade e equidade em educação: reconsiderando o significado de “Fatores Intraescolares”. En N. Brooke, M. T. G. Alves y L. K. M. Oliveira (orgs.), A avaliação da educação básica: a experiência brasileira, Capítulo 22, pp. 260-274. Belo Horizonte: Fino Traço.

Lee, V. E. (2008) Utilização e modelos hierárquicos lineares para estudar contextos sociais. O caso dos efeitos da escola. En N. Brooke y J. F. Soares (orgs.), Pesquisa em eficácia escolar. Origens e trajetórias, Capítulo 16, pp. 273-296. Belo Horizonte: Editora UFMG.

Mafra, L. A. (2003) A Sociologia dos Estabelecimentos Escolares. En ZAGO, N. et al. (orgs.) Itinerários de Pesquisa: Perspectivas Qualitativas em Sociologia da Educação. Rio de Janeiro: DP&A, p.109-136. Maués, O. (2008) A avaliação institucional como política pública. Em M. J. A. do Rosário y R. M. de L. Araújo (orgs.), Políticas Públicas Educacionais, Capítulo 5, pp. 89-128. Campinas: Editora Alínea.

Santos, J. B. P. y Tolentino-Neto, L. C. B. (2015). O que os dados do SAEB nos dizem sobre o desempenho dos estudantes em Matemática? Educ. Matem. Pesquisa, 17, 309-333.


CB-460

QUE LOS PROBLEMAS NO SEAN UN PROBLEMA Lucía Santamaría Grua [email protected]

España Núcleo temático: Enseñanza y aprendizaje de la Matemática en las diferentes modalidades y niveles educativos. Modalidad: CB Nivel educativo: primario Palabras clave: contextualización, resolución problemas Resumen Las clases de matemáticas no han de destinarse a resolver algoritmos (en la mayoría de las ocasiones, rígidos, mecanizados e impuestos) durante la mayor parte del tiempo de forma aislada. Las operaciones han de estar contextualizadas, ya que la resolución de problemas ha de ser nuestro eje vertebrador en nuestras aulas. Debemos trabajar todo tipos de problemas. El material manipulativo es fundamental para entenderlos y modelizarlos. Se debe aumentar el trabajo con cantidades (que aportan un elemento cualitativo y significatividad) frente al trabajo de cifras (números) “vacías” que no ofrecen un trabajo competencial y de aplicación a corto plazo. A modo de ejemplo podríamos decir que 19:5 en una calculadora (o en papel del alumno) son 3,80 ( la calculadora es fundamental, pero calcula, no razona). Sin embargo ¿y si son 19 pelotas a dividir en 5 redes? ¿sigue siendo la respuesta 3,80? ¿importa contextualizar la división? ¿cuesta mucho añadir 19 pelotas: 5 redes o 19 € :5 personas? ¿Son conscientes los alumnos que dicha operación tiene 2 soluciones? Mediante la resolución de problemas, los estudiantes recurren a sus conocimientos, aprenden

nociones matemáticas nuevas, adquieren formas de pensar, hábitos de constancia y

curiosidad, y seguridad en situaciones de aprendizaje. Así pues, la resolución de problemas

es una parte integral de todo el aprendizaje matemático y ha de considerarse como el eje en

torno al cual han de girar todos los contenidos curriculares que se trabajen.

La resolución de problemas debe considerarse no sólo como contenido, sino también como

el contexto en el cual los conceptos y las actitudes pueden ser aprendidos. Contribuye al


desarrollo de actitudes como la flexibilidad en la búsqueda de soluciones alternativas, la

exploración de nuevas posibilidades, la valoración de distintos puntos de vista, la confianza

en las propias habilidades y la autoestima; además, ayuda a valorar la utilidad de los

conocimientos matemáticos en la vida cotidiana.

Existen diferentes autores que proponen unas fases para resolver problemas que pueden

resumirse en estas cuatro:

- Comprensión: imaginarse la situación, leer el problema varias veces, utilizar material

manipulativo, utilizar dibujos o esquemas…

- Planificación: buscar regularidades, partir de lo que se sabe, descomponer el

problema…

- Ejecución: actuar con orden, explicar el proceso…

- Verificación: analizar si se puede llegar a la solución de otra manera, si es solución

única, comprobar si es correcto el resultado, uso de la calculadora…

En esta comunicación se mostrarán vídeos de diferentes tipos de resolución de problemas en

los que el alumno debe razonar además de saber plantear unos nuevos.

Es muy importante contextualizar los números y las operaciones para que sea un aprendizaje

competencial. No es lo mismo dividir 31€ entre 2 amigos que 31 camisetas entre dos niños,

ya que no es real que cada niño tenga 15 camisetas y media sino que sobraría una camiseta.

Dada una operación el alumno ha de ser capaz de contextualizarla en la resolución de un

problema tal y como se muestra en el vídeo. Dependiendo de la edad del alumno el problema

será más real y utilizando un vocabulario más rico que cuando están en los cursos iniciales

que aparecen unos problemas a veces poco reales como: tengo me compro 85 caramelos y

me como 53, ¿cuántos me quedan?

Hay que dar diferentes herramientas para la resolución de problemas para que sean capaces

de razonar y resolverlos. Para ello es fundamental material con el que manipular y modelizar

el problema. También es válido el dibujo de la representación del problema. El uso de regletas

es muy útil porque si el alumnado está familiarizado con este material, pueden representar

con ellas cualquier problema aunque no todo el material de clase ha de reducirse al uso de


éstas sino que es conveniente el uso de otros materiales como cintas métricas, sistema

monetario, bloques lógicos entre otros.

Muchas veces, pensamos que esas herramientas de las que hablamos antes (muchas veces

para “ahorrar” tiempo) son pistas como: si viene la palabra poner, entonces tienes que sumar

o si aparece la palabra quitar o perder es restar. En el vídeo aparece un alumno de primero de

Educación Primaria planteando un problema en el que se ve claro que no siempre esas

palabras que parecen ayudar ayudan. Además en el enunciado del problema aparecen

distractores. Para que un alumno sea capaz de plantear un problema, debemos trabajar con

problemas similares anteriormente.

La escuela sigue trabajando, la mayor parte del tiempo, la resolución de problemas

aritméticos dejando apartados problemas de otro tipo como:

- Los problemas geométricos.

- Los problemas de azar y probabilidad.

- Los problemas de razonamiento lógico. Ej.: razonamiento inductivo, como los de

continuar series; análisis de proposiciones, demostraciones y justificaciones.

- Los problemas manipulativos (material didáctico).

- Los problemas ligados a juegos y pasatiempos.

- Los problemas de modelización matemática.

Como ejemplo veremos un vídeo en la resolución de un problema geométrico en el que una

alumna resuelve un problema en el que ha de hallar el perímetro de un rectángulo dadas las

medidas del ancho y del largo. Primero se modeliza, luego se resuelve mediante sumas dobles

(transferencia de aprendizaje) y se llega al resultado.

Como podemos ver, es fundamental contextualizar los números y las operaciones ya que

puede variar la solución de la operación o el problema, así como trabajar diferentes tipos de

problemas a lo largo de la etapa.



Castro, E. (2001). Didáctica de la matemática en al Educación Primaria. Madrid: Síntesis. Fernández Bravo, J.A. (2010). Resolución de problemas matemáticos: creatividad y razonamiento en la mente de los niños. Madrid: Mayeutica. Fernández Bravo, J.A. (2015). Inventar problemas para desarrollar la competencia matemáticas. Madrid: La Muralla. Fernández Bravo, J.A. (2015). Desarrollo y pensamiento lógico matemático. Madrid: Mayeutica. García Solano, R. (1987). Las regletas de colores. Los cuerpos lógicos. Madrid: S.A. Escuela Española.


CB-462

Desarrollo del pensamiento Aleatorio con estudiantes de grado decimo usando Geogebra

Leonel L. Palomá P. – Nestor Duvan Salazar. [email protected] [email protected]

Universidad de Caldas, Universidad Nacional de Colombia Institución Educativa San Pio X, Manizales

Colombia Núcleo temático: Recursos para la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Modalidad: CB. Nivel educativo: Bachillerato. Palabras clave: Aleatorio, Espacio, suceso, probabilidad. Resumen El ministerio de Educación Nacional, Colombia, consiente de la importancia que tiene el desarrollo de pensamiento aleatorio en los diferentes grados de educación Básica primaria, básica secundaria y bachillerato, lo ha incluido en el currículo de Matemáticas de los mencionados niveles, definiendo sus estándares y sus competencias, de tal manera que permitan al profesor desarrollar y afianzar sus acciones pedagógicas relacionadas con el pensamiento aleatorio y su contexto en la vida real. Siguiendo estos lineamientos, hemos construido unidades didácticas en Geogebra, para estudiantes de grado decimo de la Institución Educativa San Pio X, Manizales, Colombia, que facilitan el desarrollo del pensamiento aleatorio en un entorno cotidiano. La metodología está basada en el manejo de vistas de Geogebra con las siguientes características: Vista grafica: Con contenido teórico, texto y formulas dinámicas, casillas de entrada e instrucciones para manipular construcciones dinámicas que permita desarrollar conceptos propios del pensamiento aleatorio con base en la solución de problemas cotidianos. Vista gráfica 2: Simulaciones de fenómenos aleatorios como: Lanzamiento de Monedas, juego de dados, juego de cartas y baloto. La solución guiada del cada uno de los ejercicios es complementada con el uso de las funciones propias de Geogebra. Introducción.

Presentamos a nuestros lectores una forma de activar y fortalecer el pensamiento aleatorio

con estudiantes de grado decimo de la Institución Educativa San Pio X, Manizales,

Colombia.

Nuestro trabajo consiste en enseñar la diferencia entre lo determinístico y lo aleatorio e

introducir el concepto de experimento aleatorio a través de la teoría de juegos.


Iniciamos el estudio con los principios básicos de conteo, el de la suma y el producto y

diagramas de árbol, luego presentamos ejemplos que involucran combinaciones con manejo

de los números combinatorios en la calculadora y algebra de permutaciones.

Seguidamente estudiamos el concepto de espacio muestral, el de suceso y presentamos la

definición de la función de probabilidad con base en la frecuencia con que ocurren eventos

previamente identificados.

Metodología.

Para el desarrollo de cada uno de los temas se han implementado una secuencia de unidades

didácticas interactivas en Geogebra usando las vistas gráficas, donde resaltamos varios

momentos

Momento teórico. Se muestran los conceptos teóricos del tema a desarrollar, los cuales deben

ser leídos por los estudiantes, con cada uno de los ejemplos ilustrativos, presentados en

Geogebra a manera de simulación.

Momento Práctico. Con base en la teoría descrita en el momento anterior, se pide al

estudiante que manipule cada una de las simulaciones y conteste una serie de preguntas

guiadas, con el fin de reforzar los conceptos teóricos vistos.

Momento evaluativo. Muy similar al momento práctico, solo que esta actividad debe ser

desarrollada por el estudiante de forma individual con el objeto de asignar una calificación.

Cada una de las construcciones en Geogebra está acompañada por una hoja de trabajo, que

debe ser diligenciada por el estudiante, donde opina, concluye y contesta sobre las diferentes

inquietudes y preguntas contenidas en cada uno de los módulos dinámico de Geogebra.

Desarrollo

A continuación seleccionamos tres ejemplos que muestran nuestra metodología. Cada

ejemplo lo ilustramos con las imágenes de las construcciones en Geogebra, que en un futuro

estarán en la página de materiales de Geogebra.

En cada uno de los casos los objetivos son: Identificar si es importante el orden, Identificar

el espacio muestral, calcular la probabilidad de algunos eventos específicos.


Las monedas del duende.

Mientras se lanzan dos monedas iguales, debes hacer una pregunta al duende, de acuerdo con

el resultados del lanzamiento sabrás la respuesta. Si salen dos caras la respuesta es incorrecta,

y sale dos cruces la respuesta es correcta y si en una moneda sale cara y en la otra cruz,

vuelves a lanzar. Figura 1.

¿Cuántas veces debes repetir el lanzamiento? ¿Existe espacio muestral? Liste los posibles

resultados del lanzamiento. ¿Cuántas preguntas correctas puedes dar?.

Figura 1.

Juego de baloto.

Se simula el juego del baloto. Preguntas: Cardinalidad del espacio muestral, probabilidad de

los siguientes eventos: Acierta tres números, acierta cuatro números, acierta los seis números.

Figura 2.

Figura 2.

Conteo de placas de

Se simula la generación de placas para automóvil compuestas por tres letras y tres números,

Figura 3, se indaga sobre la importancia del orden de las letras y los números, si se permiten

repeticiones, si no, placas terminadas en número par, número impar.


Figura 3.

Conclusiones.

La metodología se realizó con 30 estudiantes de décimo grado de la institución Institución

Educativa San Pio X, Manizales, con los siguientes resultados.

22 estudiantes lograron identificar cada proceso aleatorio y las relaciones entre combinación

y/o permutación.

De los 30 estudiantes, 13 de ellos mostraron mayor facilidad para entender las características

de un experimento aleatorio, mostraron la curiosidad de abarcar más en la temática.

Dos estudiantes continúan desconociendo el concepto de aleatoriedad, 8 de los 30 estudiantes

siguen con dificultad para el entendimiento del espacio muestral y su relación con

probabilidad.

De los 30 estudiantes, 22 hallaron fácilmente el espacio muestral de un experimento aleatorio.

Mostraron habilidad con el software y desarrollo de las actividades.

9 estudiantes resuelven ejercicios sencillos con cálculos de probabilidades, pero no dan

alternativas ni estrategias diferentes de resolución o de tendencia.

Comparado esto con actividades realizadas anteriormente, con otro grupo de estudiantes sin

implementar la metodología aquí presentada, se detectó un significativo rendimiento

académico y mejor disposición para estudiar la teoría de probabilidades.



Batanero, Carmen.( 2001) Didáctica de la Estadística. Grupo de Investigación en Educación Estadística. Departamento de Didáctica de la Matemática. Universidad de Granada. pp 20-23. Batanero, Carmen.(s.f.) Significados de la probabilidad en secundaria. Investigaciones sobre enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, un reporte iberoamericano. Universidad de granada, España. Hohenwarter, Markus. Documento de Ayuda Geogebra (2009). www.geogebra.org. Ayuda en Geogebra 3.2.. pp 54. Funes. Encuentro Colombiano de Matemática Educativa. (s.f.). El Azar y la Probabilidad desde el Juego.http://funes.uniandes.edu.co/773/1/elazar.pdf Funes. Encuentro Colombinao de Matemática Educativa. (2009). Diseño de una secuencia de actividades para la enseñanza de la probabilidad simple en estudiantes de sexto grado. http://funes.uniandes.edu.co/706/1/diseno.pdf MEN (Ministerio de Educación Nacional).(2003). Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas. Bogotá. MEN (Ministerio de Educación Nacional) (s.f.). Matemática. Estándares para la excelencia en la educación., B. D. Serrano, L., Batanero, C., Ortiz, J. J. y Cañizares, M. J.( 2001). Concepciones de los alumnos de secundaria sobre modelos probabilísticos en las secuencias de resultados aleatorios. Suma, 36, pp. 23-32. Hohenwarter, M. (s.f.). Geogebra. https://es.wikipedia.org/wiki/GeoGebra INEI. (Instituto Nacional de Estadística e Informática). (s.f.). Los Retos de la Cultura Estadística. Resumen. https://www.inei.gob.pe/media/archivos/culturaestadistica1.pdf Luis, B. C. (2007). Unidad Didáctica Combinatoria. Permutaciones con Repetición. http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Combinatoria/permutacionescon.htm Álvarez García, José Luis.(s.f.).Simulaciones y problemas probabilísticos con Geogebra. http://thales.cica.es/sites/thales.cica.es.geogebra/files/II_Jornadas_GeoGebra/material/talleres/probabilidad/taller_probabilidad.pdf.


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CB-464

Solución de problemas de Razones de cambio relacionadas usando Geogebra Leonel P. Palomá Parra, Ángela M. Díaz Patiño.

[email protected], [email protected]. Universidad de Caldas, Universidad Nacional de Colombia.

Universidad Católica de Manizales. Manizales, Colombia

Núcleo temático: Enseñanza y aprendizaje de la Matemática en las diferentes modalidades y niveles educativos. Nivel Educativo: Formación y actualización docente Palabras claves: Derivada, razón de cambio. Resumen. La interpretación de la derivada como razón de cambio instantánea, presenta muchas dificultades en la ejecución del proceso enseñanza-aprendizaje, tanto para profesores como para estudiantes del primer año de Universidad en las diferentes carreras: Ingenierías, Ciencias biológicas y Ciencias exactas, entre otras. Tratando de solucionar parcialmente esta situación, hemos construido unidades didácticas para la enseñanza del concepto de razón de cambio, razones de cambio relacionadas y la aplicación a soluciones de problemas reales usando Geogebra. La metodología de desarrollo está basada en el uso de las diferentes vistas que tiene Geogebra. Vista gráfica 1: Contiene enunciados, formulas dinámicas, casillas de entrada, botones e instrucciones para manipular construcciones dinámicas. Vista grafica 2: Simulación gráfica, construcciones dinámicas de la situación objeto de estudio, que pueden ser manipuladas por el estudiante, de acuerdo a las instrucciones dadas en la vista grafica 1. La solución guiada en cada uno de los ejercicios, áreas, volúmenes, distancias, perímetros y ángulos, es complementada con el uso de las funciones propias de Geogebra y el uso de la vista CAS o cálculo simbólico. Palabras claves Derivada, Razón de cambio, volúmenes. Áreas. Introducción.

En segundo semestre de las carreras de Ingeniería de las distintas Universidades de nuestro

país, y en particular en la Universidad de Caldas, Universidad Nacional de Colombia y

Universidad Católica, todas ubicadas en Manizales, Colombia, se imparte la asignatura

Calculo I, donde se desarrollan los conceptos propios del cálculo diferencial e integral en una

variable y sus aplicaciones.


Los temas del cálculo diferencial los iniciamos con el concepto de límite de funciones reales

y sus propiedades, la definición de recta, su gráfica y su pendiente interpretada como razón

de cambio, todo usando Geogebra.

En el momento de abordar las aplicaciones de la derivada, nuestros estudiantes ya manejan

algebra de derivadas, derivada de una función compuesta, derivada implícita y gráficas de

funciones reales usando derivadas.

Metodología.

Para el desarrollo de cada uno de los problemas, se han implementado una secuencia de

unidades didácticas interactivas en Geogebra, usando las vistas gráficas donde resaltamos

varios momentos

Momento teórico. Se muestran los conceptos teóricos, en Geogebra a manera de simulación,

del problema a desarrollar los cuales deben ser leídos por los estudiantes con cada uno de los

ejemplos ilustrativos.

Momento Práctico. Con base en la teoría descrita en el momento anterior, se pide al

estudiante que manipule cada una de las simulaciones y conteste una serie de preguntas

guiadas, con el fin de reforzar los conceptos teóricos vistos.

Momento evaluativo. Es muy similar al momento práctico, solo que esta actividad debe ser

desarrollada por el estudiante de forma individual con el objeto de asignar una calificación.

Cada una de las construcciones en Geogebra está acompañada por una hoja de trabajo, que

debe ser diligenciada por el estudiante, donde opina, concluye y contesta sobre las diferentes

inquietudes y preguntas contenidas en cada uno de los módulos dinámico de Geogebra.

Ejemplos desarrollados con la metodología propuesta.

Problema 1. Dado un rectángulo con base x metros y altura y metros y perímetro 2P m.

El estudiante debe ingresar varios valores para la base (casillas de entrada) y para el

perímetro, analizar el comportamiento dinámico de la gráfica, grafica 1 y contestar varias

preguntas.

¿Cómo están relacionadas las variables base, altura y perímetro?

Expresar el área en términos de la longitud de la base.

¿Cómo está relacionada la razón de cambio de la base con la razón de cambio del área?,

¿Existe un rectángulo con área mínima?, ¿Existe un rectángulo con área máxima?


El análisis de la simulación dinámica debe ser relacionada con la representación algebraica

(texto dinámico)

Grafica 1.

Problema 2. Un avión vuela de forma horizontal a una altura constante y, sobre un terreno

plano y debe pasar exactamente por encima de un radar en tierra. Grafica 2, cuadro 1. El

estudiante debe volar el avión, simulación en Geogebra, bajo diferentes condiciones y

responder varias preguntas.

Conocida la velocidad del avión, ¿con qué velocidad se acerca al radar?

¿Qué fenómeno ocurre después de pasar sobre el radar?

¿Qué pasa si el vuelo en dirección del radar no es horizontal, descenso, ascenso?

El análisis de la simulación dinámica debe ser relacionada con la representación algebraica

(texto dinámico)

Gráfica 2.

Problema 3.Una escalera recostada sobre una pared se desliza sobre el piso con una razón de

cambio conocida, gráfica 2, cuadro 2.

¿Cómo están relacionadas las razones de cambio de los extremos?

¿Cuál es la razón de cambio del área del triángulo formada por la pared, el piso y la escalera?


¿Cuál es la razón de cambio del ángulo que forma la escalera con la pared?

Problema 4. Un tanque cónico se está llenando con un líquido a una razón de cambio

conocida, figura 2, cuadro 3.

¿Cuál es la razón de cambio de la altura en un instante dado?

¿Cómo está cambiando el área superficial del líquido?

Si se imponen condiciones a la razón de cambio de la altura, ¿Con que velocidad debe

llenarse el tanque?

Conclusión.

Con base en la experiencia en docencia en Matemáticas, en diferentes cursos de cálculo y

con diferentes grupos de estudiantes, cuando usamos Geogebra hemos notado un cambio

significativo en el rendimiento y aprensión de los conceptos de la derivada y sus aplicaciones,

se despierta en ellos más interés en indagar y en el uso del software para realizar actividades

matemáticas distintas a las contextualizadas con la derivada.

Bibliografía.

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CB-466

MATEMÁTICAS VERDES: GEOMETRÍA ANALÍTICA Y SUSTENTABILIDAD

Abigail Sarahi Trujillo Hernández – Jonathan Emmanuel Segura Flores [email protected] – [email protected]

Colegio Americano de Tabasco, México.

Núcleo temático: Matemáticas y su integración con otras áreas. Modalidad: CB Nivel educativo: Tericiario o Bachillerato (16 a 18 años) Palabras clave: ABP, Matemáticas, Medio ambiente Resumo El aprendizaje basado en proyectos (ABP) involucra a los alumnos en problemas reales a los cuales deben de darles una solución, desarrollando, aplicando y fortaleciendo habilidades y conocimientos. El presente trabajo es un ejemplo de aplicación del ABP, el cual tuvo un enfoque social, con el objetivo de fortalecer la conciencia ambiental y aplicando conceptos de geometría analítica. Se le formuló al alumnado las siguientes preguntas ¿Qué relación encuentras entre la crisis alimentaria y el cambio climático? ¿Qué relación encuentras entre la agricultura urbana y las matemáticas? Se realizaron investigaciones y se desarrollaron cultivos hidropónicos que fueron diseñados en el software de GEOGEBRA, tomando como un factor crítico la inclinación con la cuál debían de construirse los cultivos. Se germinaron diversas semillas, se recolectaron y analizaron datos, se ajustaron los cálculos de construcción, y para hacer mayor énfasis en la importancia de las pendientes se realizaron tornillos de Arquímedes para recircular el agua. Los resultados fueron sorprendentes, ya que los alumnos no sólo vivieron las matemáticas y las aplicaron para resolver el problema de cultivos urbanos, si no que se incrementó en un 60% el aprendizaje significativo de los temas abordados en geometría analítica al aplicar el ABP. Introducción: Enseñar, no sólo es llenar libretas y completar libros, enseñar es sembrar en

cada alumno la necesidad de seguir aprendiendo más para poder ir contestando preguntas

que lo ayuden a relacionarse con su entorno. Lamentablemente a las matemáticas se les ha

asignado solamente un carácter memorístico, el cual sirve a los alumnos para aprobar una

clase, sin realmente valorar todo lo que las matemáticas pueden aportar a la vida diaria. Una

pregunta muy común entre mis alumnos al principio de cada ciclo es ¿Y esto para que me va

a servir? Es una pregunta retadora, algunos docentes podrían catalogarla de grosera e

impertinente, pero ha sido esta pregunta la que nos ha impulsado a plantear otros métodos de

trabajo más activos y vinculando a los alumnos temas que a simple vista parecerían alejados

y sin relación.


Marco Teórico.

Aprendizaje basado en proyectos (ABP o BPL)

El Aprendizaje Basado en Proyectos ofrece un ciclo de trabajo que parte de una pregunta,

problema o reto y que conduce a un camino de aprendizaje, búsqueda y procesamiento de la

información, resolución de la pregunta, problema o reto, la elaboración del producto final,

evaluación del proceso y del producto y finalmente la difusión del producto final. El

aprendizaje basado en proyectos (ABP) contempla dos modelos de diseños de trabajo: el

diseño iterativo y el diseño retrospectivo. El primero explora posibilidades para dar respuesta

a una pregunta, problema o reto; el segundo aspira a conseguir un producto final interesante

con el cual afrontar la pregunta, problema o reto que subyace al proyecto.

Se decidió hacer uso de la método ABP, ya que hemos visto que cuando el aprendizaje es

vivenciado es asimilado, ya que los estudiantes no solamente son escuchas y/o repetidores

de la información, si no que participan activamente de ella, formulando hipótesis,

investigando proponiendo soluciones y exponiendo su trabajo final.

El proyecto de aula busca aplicar los conocimientos adquiridos sobre un producto o proceso

específico, donde el alumno tendrá que poner en práctica conceptos teóricos para resolver

problemas reales (Sánchez, 2013).

¿Matemáticas sustentables? Los problemas ambientales generados por acción de la

naturaleza y del hombre están ocasionando muchos desafíos ambientales que, como

sociedad, debemos enfrentar hoy. Para hacer frente al caos ecológico en el que nos

encontramos, es necesario adoptar medidas orientadas a mejorar la relación humana con el

entorno y fomentar un uso más respetuoso, culto y eficiente de los recursos naturales. Es por

eso que decidimos que la clase de matemáticas no solo debía de convertirse en una materia

más, si no en la que ayudara a concientizar a los alumnos el impacto del ser humano en el

entorno y poder fomentar valores, conocimientos, sensibilidades, actitudes y prácticas

cotidianas para vivir de modo sostenible.

Huertos Urbanos. En Francia, Inglaterra y Estados Unidos, por ley ya se permite a cualquier

ciudadano cultivar comida saludable en cualquier espacio público de la ciudad, para proteger

jardines y promover actividades ecológicas. En México no existe una norma similar, pero

eso no ha impedido entrar en contacto con la naturaleza y encontrar formas de cultivar en las

ciudades. Los huertos urbanos tienen su antecedente en la década de los 40 en Estados


Unidos, donde los Victory Gardens o War Gardens producían el 40 % de los alimentos que

se consumían; ante los embates de la guerra había que garantizar el alimento. En el caso de

México, se ha dado un crecimiento exponencial de las prácticas urbanas de agricultura

sostenible y producción de alimentos sobre todo en la Ciudad de México, de acuerdo con un

informe de la Organización para la Agricultura y la Alimentación de Naciones Unidas

(Alturzar, 2015). La crisis alimentaria tiene su origen en diversos factores como el extremo

y errático clima y los altos precios de petróleo. Hoy, los campesinos tienen la capacidad de

alimentar el mundo, pero para quienes controlan, los mercados de exportaciones y las cadenas

de supermercados, es más conveniente forzar la subida de los precios aún más. El aumento

en las ganancias provocado por el cambio climático está resultando demasiado tentador para

las empresas. Grupos comunitarios en incontables ciudades han comenzado huertos urbanos

en los barrios pobres y ofrecen una alternativa nutricional para quienes sobreviven comiendo

postres callejeros y comida chatarra. Además, hacen posible el desarrollo de economías

locales para comercializar sus productos. (Sawers, R. 2011)

Desarrollo

El presente trabajo se realizó con 105 estudiantes de 3er semestre de bachillerato quienes

estudiaban matemáticas con énfasis en geometría analítica, se trabajó con la metodología

ABP en un proyecto con diseño retrospectivo donde el tema principal es:

“La crisis alimentaria, ¿Podrán las matemáticas, proveer una solución?”.

La pregunta detonante fue clave para la realización de este trabajo, implicó no solo la

reflexión de los docentes en torno a la situación local y mundial respecto a los alimentos si

no que se tuvo que plantear, el cómo atraer a los alumnos a un tema tan complejo y además

como podrían ellos dar una solución.

Se organizaron equipos de 5 personas y en clase se socializaron las siguientes preguntas ¿Qué

relación encuentras entre la crisis alimentaria y el cambio climático? ¿Qué relación

encuentras entre la agricultura urbana y las matemáticas?, fueron muchas y variadas las

respuestas así como también las propuestas, desde cómo evitar desperdiciar comida en la

cafetería de la escuela hasta la falta de políticas públicas en el tema. Para ir relacionando la

pregunta con la materia se les mostró a los alumnos fotografías de trabajos de alumnos que

ya habían cursado la materia en el ciclo anterior y donde ellos construyeron un horno solar

(Imagen 1, 2, 3)


f

Al analizar las evidencias gráficas de sus compañeros, empezaron a relacionar los conceptos

aplicados a la construcción del horno solar, parábolas, rectas, circunferencias, etc., y

empezaron a proponer posibles relaciones entre la pregunta detonadora y la geometría

analítica.

A continuación se muestra la organización del proyecto usando el canvas de Ariza, Herreros.

2015. (Imagen 4)

Fuente: Trujillo, A. (2016) Construcción en la escuela. [Fotografías]. Recuperado de: Colección personal.

Fuente: CONECTA13. (2015). Canvas para el diseño de proyectos. Recuperado de: http://conecta13.com/canvas/


Este proyecto no solo aplicó las matemáticas como única materia, ya que se relacionó con

las materias de:

• Biología (crecimiento de un ser vivo, Metabolismo, producción de alimento de una

planta)

• Física (Máquinas simples, peso, gravedad, velocidad)

• Taller de redacción.

• Ecología y medio ambiente (Ecosistemas en México, uso de pesticidas en cultivos,

contaminación)

• Administración (Tipos de mercados, La ley de la oferta y la demanda)

• Mercadotecnia (Comercialización de un producto /servicio)

La lista descrita anteriormente es una muestra de los temas abordados por los estudiantes,

ellos fueron planteando las investigaciones que fueran sustentando su proyecto y

argumentaron la necesidad de los temas de cada materia y su impacto en el producto final.

A continuación se realizará una breve descripción de algunos procesos que ayudaron a

completar el ABP de matemáticas verdes.

Geogebra. Al ser un software de matemáticas dinámicas, reúne geometría, álgebra, hoja de

cálculo, gráficos, estadística y cálculo en un solo programa fácil de usar. (Geogebra. 2016).

En este programa lo que se realizó fue un acercamiento e interpretación de la ecuación de la

recta, así como a la interpretación física de la pendiente de una recta como elemento clave

para la irrigación de agua en el cultivo hidropónico. En esta parte del proyecto los equipos

integraron sus investigaciones respecto a los requisitos para elaborar un cultivo hidropónico

así como las necesidades que cada tipo de cosecha requiere (irrigación continua, tamaño de

las raíces, alturas promedio de las plantas). Con todos estos datos, diseñaron en el software

su prototipo de cultivo hidropónico. En las imagen 5 se muestra algunas imágenes realizadas

por los alumnos y documentadas en su portafolio de evidencias


Fuente: Capturas de pantalla de archivos de trabajo Trujillo, A. (2017) Recuperado de: Colección personal.

La experimentación para hacer circular el agua usando el tornillo de Arquímedes fue un gran

reto y puedo asegurar que fue con este desarrollo donde los alumnos pudieron valorar y

aplicar los conceptos de ángulos, trigonometría, peso, volumen, entre otros. Al finalizar esta

parte del proyecto los alumnos argumentaron el por qué se emplean las bombas de agua.

(Imagen 6)

Fuente: Trujillo, A. (2017) Construcción en la escuela. [Fotografías]. Recuperado de: Colección personal.

Trabajar con seres vivos, no sólo aporta conocimientos a la biología si no que nos deja

relacionar las matemáticas como herramienta para analizar el crecimiento y poder modelar

matemáticamente dicha evolución (Imagen 7). Con la investigación realizada los alumnos

seleccionaron las semillas que pondrían a germinar, tomaron datos diariamente para poder ir

construyendo su modelo y analizando que sucede con las plantas. Los resultados fueron

extraordinarios, ya que como era de esperarse, algunas plantas murieron y otras crecieron de

manera constante, pero más allá de estas evidencias lo mejor fue escuchar a los alumnos

estudiando sus gráficas y pudiendo a relacionar algunos factores que llevaron a un buen o

mal termino de sus plantas. Algunos equipos investigaron como mejorar o acelerar el proceso


de germinación y crecimiento mediante uso de elementos no químicos, mientras que otros

quisieron trabajar con métodos recomendados por sus abuelos.

Fuente: Capturas de pantalla de archivos de trabajo Trujillo, A. (2017) Recuperado de: Colección personal.

Conclusiones. Los alumnos presentaron sus prototipos terminados y sus investigaciones ante las autoridades escolares, padres de familia y otros docentes. Antes de comenzar el proyecto se evalúo de manera escrita los conocimientos respecto a ecuación de la recta, interpretación de la pendiente y el conocimiento previo respecto al cambio climático. Las calificaciones promedio fueron de 55 puntos. Al finalizar el proyecto se aplicó un examen similar obteniendo un promedio de 87 puntos con lo cual se puede observar, que al interactuar y apropiarse del conocimiento los alumnos tienen un gran aprendizaje significativo. Además se fortalecieron las habilidades en el uso de la tecnología (Geogebra, genially, editor de videos, hojas de cálculo) y el manejo de máquinas herramienta (taladro, seguetas, desarmadores etc). El aprendizaje basado en proyecto fomenta el aprendizaje colaborativo y reta a los alumnos a poder proponer soluciones. Cabe resaltar que una vez que se le colocó un tornillo de Arquímedes para bombear el agua, y posterior a su implementación, asociaron al tornillo como un antecesor de una bomba de agua actual, incluso un equipo utilizó un sifón para bombear el agua de manera automática. Respecto a la pregunta de la crisis alimentaria, los alumnos expusieron la utilidad de sus trabajos para beneficiar a la comunidad y poder tener alimentos los cuáles no utilizan químicos para su fumigación y/o crecimiento.

Actualmente se trabaja en la implementación de sensores que ayuden a automatizar el proceso de bombeo de agua, así como tomar la temperatura ambiente, ya que en la región en donde nos encontramos hay días con temperaturas mayores a 38°C y eso influye en la vida de las plantas. Por último en la siguientes imágenes se muestra evidencia de algunos de los trabajos entregados.


Fuente: Trujillo, A. (2017) Presentación en la escuela. [Fotografías]. Recuperado de: Colección personal.



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CB-468

RECURRIENDO A LA TOPOLOGÍA EN LAS CLASES DE MATEMÁTICAS DE

SECUNDARIA Y BACHILLERATO

Silvia González Galindo, Mª Teresa Moyano Dávila, Juan Núñez Valdés

Dpto de Geometría y Topología. Facultad de Matemáticas [email protected], [email protected], [email protected]

Núcleo temático: V: Recursos para la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas Modalidad: CB. Nivel educativo: Secundaria y Bachillerato Palabras clave: Topología en el aula, juegos topológicos, recursos para la enseñanza. Resumen En esta comunicación, los autores muestran un conjunto de juegos topológicos, generalmente desconocidos por los alumnos de Secundaria y Bachillerato, entre los cuales pueden ser citados las anillas, pirámide enjaulada y de bolas, serpiente-cubo, cadenas de canastas, coronas laberínticas y desenrollado de cuerda (niveles bajo, medio y alto), que pueden ser usados por los profesores de Matemáticas de esos alumnos en sus clases para conseguir varios objetivos, entre los que podrían destacar: romper con la “rutina habitual” diaria de las clases, introduciendo en ellas materiales novedosos e impensables por esos alumnos para una clase de Matemáticas, aumentar su interés y motivación por la asignatura, haciéndoles ver cómo las Matemáticas ayudan a resolver problemas diferentes de los que ellos están acostumbrados, y potenciar varias cualidades de los alumnos, como pueden ser la visión espacial, la agudeza visual, la imaginación y sobre todo, la capacidad de razonamiento y de utilización de estrategias para conseguir un determinado fin. La idea es que los autores fuesen a una de las clases de los profesores para mostrarles a ellos y a sus alumnos todo este material y sobre todo las ventajas que se infieren de su utilización y aprovechamiento como recurso útil para las Matemáticas. INTRODUCCIÓN

El principal objetivo de esta comunicación es el de mostrarle a los profesores de Matemáticas

de Secundaria y Bachillerato una serie de juegos topológicos, normalmente no conocidos por

los alumnos de esos niveles, que pueden ser usados por esos profesores en el aula para

conseguir diferentes objetivos, entre los que destacaríamos, aparte el fundamental de

conseguir una mayor motivación e interés de los alumnos por esta disciplina, los de potenciar

varias cualidades y habilidades de los alumnos, como pueden ser la visión espacial, la

agudeza visual, la imaginación y sobre todo, la capacidad de razonamiento y de utilización


de estrategias para conseguir un determinado fin y todo ello con el propósito final de obtener

una mayor autoconfianza y autoestima en los alumnos para el estudio de las Matemáticas.

La siguiente tabla muestra algunas de las características de los juegos que se proponen,

realizándose en las siguientes secciones una descripción detallada de cada uno de ellos.

Nombre del juego Dificultad Curso

educativo Habilidad a desarrollar

Relación con las matemáticas

Pirámide bolas Media 3º ESO Visión espacial Geometría

Pirámide 4 piezas Media 4º ESO Visión espacial Geometría

Serpiente-cubo Alta 4º/Bach. Rotación mental, seguir un proceso

Ángulos, rotaciones

Las anillas Baja 2º ESO Percepción espacial

Ángulos, perpendicularidad

A-nillas Alta Bachillerato Percepción espacial

Topología (“agujeros”)

Pirámide enjaulada Baja 1º ESO Visión espacial Aristas, diagonales

Coronas laberínticas

Media 2º/3º ESO Coordinación, “multitasking”

Funciones de una variable

Cadena de canastas Media 3º/4º ESO

Pensar ordenada- mente, métodos iterativos

Algoritmos

Finalmente, nos gustaría indicar que todas las imágenes que aparecen en esta comunicación

han sido elaboradas y editadas por los autores de la misma.


Pirámide enjaulada

Este juego consiste en sacar el tetraedro (pirámide triangular con sus cuatro caras iguales) de

la “jaula”, teniendo en cuenta que las aristas del tetraedro son mayores que los lados del

cuadrado superior, por donde hay que sacar la pirámide.

Con el mismo se pretende que el alumno desarrolle su visión espacial, ya que tendrá que ir

girando el tetraedro para encontrar la posición en la que es posible sacarlo de la jaula, que es

aquella en la que una de las aristas del tetraedro coincide con la diagonal de la abertura

cuadrada.

En este juego geométrico se puede ver cómo la diagonal de un cuadrado es la mayor de las

longitudes que este contiene, puesto que el tetraedro solo puede salir y entrar a través de la

misma, el resto de longitudes, como la de los lados, por ejemplo, son demasiado pequeñas.


Las anillas

Este juego se compone de dos anillas idénticas, tal y como se muestra en la imagen, que están

entrelazadas entre sí. Se pueden separar si, estando las anillas alineadas de forma que los

trozos rectos formen un ángulo de 90º, se tira de ellas en sentidos opuestos.

Los alumnos deben entonces recurrir al concepto de la perpendicularidad para darse cuenta

de que esa posición es la única en la que hay el suficiente espacio para que las anillas puedan

desenlazarse, desarrollando así una cierta percepción espacial.

Coronas laberínticas

Este juego está provisto de una corona circular que tiene por cada lado un laberinto distinto.

Unido a ella hay otra corona circular con una abertura y dos salientes que son los que tendrán

que salir del laberinto para conseguir separar ambas piezas.


Los alumnos tendrán que desarrollar la capacidad conocida en inglés como “multitasking”,

es decir, realizar más de una tarea a la vez, ya que no pueden avanzar por el laberinto de una

cara sin tener en cuenta el de la cara opuesta, poniendo así a prueba su coordinación y

memoria para recordar los movimientos que pueden hacer y los que no en el otro lado del

laberinto.

Se puede establecer una analogía entre este juego y una función de dos variables, ya que la

solución (separar las coronas) depende de dos laberintos, cada uno con una forma distinta, y

aun así, existe una relación en cómo se ha de mover la herradura para llegar al estado deseado.

Pirámide de bolas

En este juego se han de construir varias figuras, que aparecen en la cartulina de la imagen,

mediante unas piezas hechas de bolas de madera.


Al realizar estas distintas figuras, se desarrolla en gran medida la visión espacial, puesto que

los alumnos han de tener la figura deseada en mente y saber cómo colocar las piezas para

obtener el resultado que quieren.

Además, una propuesta muy curiosa que se les puede hacer es preguntarles si hay distintas

maneras de poder formar una misma figura. Habrá seguramente alumnos que consideren

distinta la misma construcción con una rotación de 60º o 120º, aunque en realidad no lo es.

De la misma forma, sí que se admiten distintas construcciones para algunas de las figuras

propuestas, aunque no para otras, como la pirámide, por ejemplo.

Cadena de Canastas

Este juego está provisto de una serie de palos de madera unidos cada uno a una anilla, con

forma de canastas, entrelazadas entre sí. El objetivo consiste en sacar la cuerda (con la bola

y el aro) de la estructura de madera, tal y como se muestra en la fotografía.

Se trata de un juego cuya resolución es iterativa, es decir, una vez conocido el primer paso,

basta con repetirlo varias veces para resolverlo. El alumno tendrá que pensar razonadamente

cuál será ese método y ser ordenado para que, en cada paso, avance hacia la solución en lugar

de retroceder.


Mediante este juego los alumnos tendrán un ejemplo práctico de lo que es un algoritmo y de

cómo resolver un problema gracias a él.

La ventaja de este juego es que los alumnos pueden construirlo fácilmente con cinco palos

de madera, cinco anillas, una cuerda y una tabla de madera, tal y como se muestra en la figura.

Pirámide de cuatro piezas


Este juego consiste en formar una pirámide triangular (tetraedro) a partir de cuatro piezas

iguales de madera. Para ello, los alumnos tendrán que razonar cómo deben colocar dichas

piezas para obtener el resultado final de la fotografía, teniendo en cuenta que, por ejemplo

las caras más pequeñas con forma de cuadrado deben quedar por dentro de la figura.

De esta forma, los alumnos desarrollarán su visión espacial, ya que para formar la figura

deben tener primero una idea en mente de cómo colocar las piezas, y verán que la geometría

puede parecer, como en este caso, aparentemente imposible, pero que de la forma adecuada,

todas las piezas encajan perfectamente.

Serpiente-cubo

El objetivo de este juego es construir un cubo formado por 27 cubos más pequeños unidos

entre sí de una determinada forma, de manera que el único movimiento que se puede realizar

entre dos cubos unidos entre sí es rotar uno de ellos sobre el otro respecto de la cara por la

que están unidos.

Los alumnos tendrán que seguir un proceso lógico de varios pasos para construir el cubo

final, teniendo en cuenta que nunca puede haber más de tres cubos alineados (puesto que la

figura final tiene tres cubos pequeños de lado), poniendo así en práctica las rotaciones de 90º,

180º y 270º. Esto les permite desarrollar una competencia perteneciente a la inteligencia


espacial conocida como rotación mental, que es esencialmente la visualización de cómo va

a quedar una figura tras rotarla un cierto números de grados en el espacio.

A-nillas

Este juego consiste en dos trozos de alambre que hay que conseguir separar. El primero de

ellos está compuesto por dos anillas unidas a otro alambre con forma de A, mientras que el

segundo corresponde a la pieza alargada. En él se pueden apreciar ciertos conceptos de

topología, ya que el alambre con forma de A tiene un solo “agujero”, lugar por el que debe

salir el segundo alambre. Además, habrá que fijarse en los “agujeros” de las anillas y del

segundo alambre para conseguir resolver el problema.

Este juego puede construirse manualmente si disponemos de alambre, dándole la forma que

aparece en la fotografía.


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CB-469

¿PRISIONERO DEL SOFTWARE? UNA EXPERIENCIA DE ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS Y LA INGENIERÍA CON SOFTWARE LIBRE.

Carlos M. Mozos – Rosa E. Pruneda

[email protected] – [email protected] U. de Castilla-La Mancha (España)

Núcleo temático: V Recursos para la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas Modalidad: CB Nivel educativo: Universidad Palabras clave: Software libre, Matemática Aplicada, Estructuras, Ingeniería. Resumen La enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas y la Ingeniería necesita un software adecuado que permita por un lado comprender mejor los conceptos estudiados y por otro facilitar la resolución de los problemas. Internet juega un papel fundamental en el desarrollo de la sociedad actual fomentando la colaboración y la transmisión de conocimientos entre usuarios. Siguiendo esta filosofía surge el movimiento de Software Libre que proclama, entre otras cosas, que el software debe ser accesible, abierto y modificable para que el conocimiento se transmita sin barreras, que pueda ser adaptado fácilmente a las necesidades de los usuarios y que estos no sean prisioneros de empresas desarrolladoras de software. Además de todo lo anterior existen numerosas aplicaciones que son gratuitas (tanto ellas como sus actualizaciones), multiplataforma y eficientes, lo cual nos lleva a la siguiente pregunta ¿por qué no se utilizan más en educación y en particular en la educación pública? Este trabajo presenta la experiencia de los autores en el uso de Software Libre como apoyo en las clases de Matemáticas y Estructuras para la Ingeniería. Se muestra la metodología seguida para su implantación, la opinión de los alumnos de las herramientas utilizadas y los resultados del aprendizaje.

Introducción

Para seleccionar un software adecuado como apoyo para la enseñanza de las Matemáticas y

la Ingeniería es necesario conocer las opciones existentes y valorar las ventajas e

inconvenientes. El software puede ser privativo o libre. El privativo es aquel cuyo código no

está disponible para el usuario ni se pueden compartir licencias, el software libre (Open

source) es aquel que sigue los principios promulgados por Richard Stalman, ver [Stallman,

R. M. (2002)], para garantizar que cada cual pueda usar, modificar y compartir el software


con libertad. En general, el software privativo es comercial (obtienen un beneficio de su

comercialización) y el libre no.

Más allá de las implicaciones éticas, el software libre gratuito presenta grandes ventajas para

su uso en docencia y especialmente para las entidades públicas ya que supone un gran ahorro

económico. Si nos preguntamos porqué está tan extendido el software comercial en los

centros universitarios españoles y por tanto en el resto de niveles educativos, la respuesta es

que los investigadores comienzan a formarse con software comercial y así se lo van

transmitiendo a sus alumnos. Actualmente, una de las estrategias de las compañías de

software comercial consiste en ofrecer sus programas a las instituciones educativas por un

precio muy razonable o incluso gratis. De esta manera los estudiantes manejan y disponen

del programa durante su periodo de formación, tiempo en el que se produce la fidelización al

mismo.

Existen numerosas experiencias, [Adell, J. (2007)], [Mas, J. (2005)] y [Valverde, J. (2005)],

en las que se demuestra que el uso de software libre en docencia no solo es viable sino

ventajoso. En este trabajo no se pretende establecer una competición sobre tipos de software,

sino poner de relieve la utilidad del software libre y las ventajas para docencia y en particular

para la enseñanza de las Matemáticas y la Ingeniería. Se muestra la experiencia del uso de

los programas Maxima y R en cursos de Ingeniería Civil de forma integrada en el desarrollo

natural de las clases, los resultados obtenidos, una encuesta de satisfacción de los alumnos y

la justificación del uso de este software.

Software Libre para Matemáticas e Ingeniería

Para las asignaturas de Matemáticas aplicadas a Ingeniería se considera conveniente el uso

de programas de los denominados Computer Algebra System (CAS) que permiten realizar

tanto cálculos numéricos como simbólicos [Botana, F. et all. (2014)]. Los alumnos tienen

que entender las matemáticas desde un punto de vista físico e ingenieril, para ello las

funciones, variables y cálculos tienen que ser entendidos desde un punto de vista conceptual

y práctico. Este tipo de programas ayudan a este propósito porque permiten introducir las

órdenes de una forma similar a como se escriben. Existen diversas opciones de programas

CAS de software libre, entre los más utilizados destacan Sage, Yacas y Maxima. Para este

proyecto se eligió Maxima [Maxima, (2017)] por varios motivos. En primer lugar porque los


alumnos continuarían usando en otras asignaturas un programa comercial similar a él, en

segundo lugar por su facilidad de uso. Maxima permite realizar todo tipo de cálculos como

derivación, integración, series, cálculos vectoriales, matriciales, sistemas de ecuaciones, etc.

Para la asignatura de Estadística se ha elegido el programa R [R, (2017)] que es un programa

de cálculo especializado en análisis estadístico y tratamiento de datos. Al ser un lenguaje

específico tiene muchas ventajas para trabajar con variables aleatorias y otras herramientas

Estadísticas. Tanto Maxima como R son también lenguajes de programación y editores

gráficos muy potentes. En particular, R es uno de los lenguajes más extendidos entre la

comunidad investigadora del área de Estadística pero aún lo es más entre los analistas de

datos. Sin embargo, a nivel docente se ha priorizado el uso de interfases que facilitan el uso

del programa y permiten alcanzar de forma sencilla los objetivos del aprendizaje. En el caso

de Maxima se ha selecionado wxMaxima [wxMaxima, (2017)] y para R el paquete

Rcommander [Fox, J. (2005)]. Ambas interfases permiten mediante sencillos menús acceder

a funciones, cálculos y representaciones gráficas básicas.

Experiencia en el aula

La experiencia realizada ha consistido en incorporar el uso del software libre como apoyo y

soporte para el aprendizaje de las Matemáticas y la Ingeniería. Los grupos de alumnos con

los que se ha trabajado han sido alumnos de 1º, 2º y 3º del grado de Ing. Civil de la U. de

Castilla-La Mancha. En el curso 13/14 se introduce Maxima en los cursos 1º y 2º de Grado

en las materias de Algebra Lineal, Estadística y Ecuaciones Diferenciales y R en Estadística,

pero con anterioridad Maxima ya se estaba usando en 3º curso como soporte de la asignatura

de Estructuras.

El análisis de esta experiencia en el aula se centra en los alumnos que usan por primera vez

el software en las asignaturas de Estadística y Algebra Lineal (curso 1º) en las que las clases

se imparten en el aula de informática y no hay prácticas específicas sino que el software se

incorpora de manera natural en las explicaciones, comprobaciones y ejercicios que los

alumnos tienen que realizar. La idea es que los alumnos usen el software como los profesores

lo usamos para preparar las asignaturas. Hay que resaltar que desde el curso 14/15 el

programa comercial que se usaba en otras asignaturas del mismo grado que era similar a

Maxima se sustituyó por otro que no lo era tanto y puede suponer una dificultad para el


alumno, de todas formas se les insiste mucho en que el software es lo de menos y que pueden

usar el que ellos prefieran. El objetivo es que los alumnos aprendan y que no encuentren

dificultades en el camino, en estas asignaturas no se les evalúa del manejo del software sino

de los contenidos del programa. Para comprobar que esta transición no ha sido determinante

en los resultados de los alumnos de estas asignaturas, se han analizado las notas de los últimos

años en ambas.

Respecto a las notas de Algebra Lineal representadas en los diagramas de cajas de la

Ilustración 1, se observa que no hay grandes diferencias entre las medias. Esto se ha

corroborado mediante un análisis ANOVA y test de comparación entre medias Bonferroni

que solo detecta diferencias significativas entre los cursos 11/12 y 12/13. Hay que tener en

cuenta que en el curso 11/12 se extingue el plan antiguo de Caminos y pudo tener su efecto.

En la Ilustración 2 se muestran los diagramas de cajas de las notas de la asignatura de

Estadística de los últimos años excepto la del curso 11/12 que no fue impartida por el mismo

profesor y que se ha considerado que al no seguir las mismas pautas había que excluirlo.

Ilustración 1: Notas Algebra Lineal.


El análisis ANOVA detecta diferencias significativas entre las medias pero al realizar el

test de Bonferroni solo detecta la diferencia significativa entre las medias de los cursos

13/14 y 15/16 que posiblemente es un ajuste del cambio de profesor en cursos anteriores.

En ambas

asignaturas existe un curso que se sale de la media pero en ningún caso tiene mayor

importancia ya que el resto no sufre variaciones lo que lleva a pensar que la utilización de

un software u otro no afecta a los resultados.

Por otro lado se realizó entre los alumnos una encuesta de satisfacción de uso de software

tanto para Maxima como para R basada en la escala likert: “Totalmente en desacuerdo”,

“En desacuerdo”, “Algo de acuerdo”, “Ni de acuerdo ni en desacuerdo”, “De acuerdo” y

“Totalmente de acuerdo”. Las cuestiones a las que tuvieron que responder fueron las

siguientes:

C1 Creo que usaré Maxima/R con frecuencia para estudiar esta asignatura.

C2 Creo que Maxima/R es innecesariamente complejo.

Ilustración 2: Notas Estadística.


C3 Creo que Maxima/R es facil de usar .

C4 Creo que necesitare apoyo de un técnico para usarlo.

C5 Encuentro que las diversas funciones del programa están bien integradas y accesibles en el mismo.

C6 Se lo recomendaría a otros estudiantes.

C7 Imagino que la mayoría de la gente lo aprenderá a usar rápidamente.

C8 Encuentro Máxima complejo y engorroso.

C9 Me siento cómodo usándolo.

C10 Tengo que aprender muchas cosas antes de sacar algo de partido al programa.

Los resultados de las encuestas de satisfacción con respecto a Maxima y R se pueden ver en

las Ilustraciones 3 y 4.

En ambas gráficas se observa que las preguntas en positivo del cuestionario como C3, C5,

C6, C7 o C9 tienen porcentajes muy altos de respuestas “De acuerdo” o “Muy de acuerdo”

y que las preguntas cuyo porcentaje más alto es “En desacuerdo” o “Totalmente en

Ilustración 3: Encuesta de satisfacción uso de Maxima


desacuerdo” corresponden a las formuladas en negativo como son las cuestiones C2, C4,

C8 o C10. De estas encuestas se concluye que a los alumnos los programas les resultan

fáciles de usar, que las funciones básicas están accesibles, que no les resulta complicado

aprenderlos y que se los recomendarían a otros estudiantes porque consideran que tampoco

les costaría.

Conclusiones El resultado de la experiencia realizada revela que el uso de un software u otro no es lo que

determina el aprendizaje del alumno siempre que sea un software adecuado. Las encuestas

de satisfacción del software libre propuesto revela que los alumnos consideran que son fáciles

de usar, útiles para el aprendizaje y que se los recomendarían a otros estudiantes porque

estiman que se pueden aprender fácilmente. El software libre gratuito supone un gran ahorro

para las instituciones y un gran beneficio para los alumnos ya que no tienen que pagar

licencias, pueden instalarlo fácilmente en sus ordenadores y disponen siempre de la última

versión, lo que evita problemas de compatibilidad. La calidad e idoneidad del software

Ilustración 4: Encuesta satisfacción de uso de R.


propuesto es muy adecuada como así lo revelan las encuestas realizadas, la experiencia de

los profesores y externamente el uso y difusión de los mismos a todos los niveles, educativo,

profesional e investigador. Esto conduce a la pregunta de ¿por qué no se utiliza más software

libre y gratuito en los centros educativos públicos?. La respuesta parece ser que es, por un

lado, por desconocimiento, y por otro, temor a salirse de lo que habitualmente la gente

mayoritariamente usa y por el esfuerzo que ello supone. Para cambiar esta tendencia se

requiere formación y difusión de los programas disponibles, de las experiencias realizadas y

de los beneficios de las mismas. Desde este punto de vista, quienes más podrían hacer son

las instituciones facilitando al profesorado el aprendizaje, reciclaje y fomentando el uso de

estos programas.


Adell, J. (2007). Software libre en educación infantil y primaria. Introducción temprana a las TIC: estrategias para educar en un uso responsable en educación infantil y primaria. Madrid: Ministerio de Educación y Ciencia, Secretaría General de Educación, 75-96. Botana, F., Abánades, M. A. and Escribano, J. (2014), Using a free open source software to teach mathematics. Comput Appl Eng Educ, 22: 728–735. doi:10.1002/cae.21565- Fox, J. (2005). Getting started with the R commander: a basic-statistics graphical user interface to R. J Stat Softw, 14(9), 1-42. Mas, J. (2005). Software libre: técnicamente viable, económicamente sostenible y socialmente justo. Barcelona: Gestión 2000. Maxima, sistema de algebra computacional (2017). http://maxima.sourceforge.net/es/ Consultado 18/04/2017. R, the R-project for statiscal computing (2017). https://www.r-project.org/ Consultado 18/04/2017. Stallman, R. M. (2002). What is free software. Free Society: Selected Essays of, 23. Valverde, J. (2005). Software libre, alternativa tecnológica para la educación. Revista electrónica publicada por el Instituto de Investigación en Educación, 5 (2), 1-9. wxMaxima (2017), interfase para Maxima. http://andrejv.github.io/wxmaxima/ Consultado 18/04/2017.


CB-470

MODELO DE ENSEÑANZA MODULAR PERSONALIZADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Jesús Vilchez Guizado [email protected]

Universidad Nacional Hermilio Valdizán de Huánuco, Perú Núcleo temático: Pensamiento algebraico. Modalidad: Comunicación breve (CB). Nivel Educativo: Secundaria (16 - 18 años). Palabras clave: Enseñanza personalizada, módulo didáctico, aprendizaje significativo, función trigonométrica. Resumen Esta comunicación trata sobre la implementación de un patrón de enseñanza modular personalizado de las funciones trigonométricas y responde a un intento de innovar el proceso de enseñanza-aprendizaje para el quinto grado de secundaria. Se empieza por identificar las causas del deficiente aprendizaje en los estudiantes, a través de un análisis de los sujetos, procesos y medios que intervienen en el proceso educativo. Además se plantea un modelo de enseñanza modular de las funciones trigonométricas a partir de arcos y puntos sobre la circunferencia unitaria en el plano cartesiano con tratamiento personalizado; formulando, con el fin de dar solución al problema identificado, la hipótesis de que su implementación permite un aprendizaje significativo del tema por los estudiantes. El trabajo de campo se inicia con una prueba de requisitos, seguido de pruebas de proceso y se concluye con una prueba de salida, cuyos resultados empíricos permiten concluir que el modelo didáctico desarrollado repercute en el éxito académico los estudiantes, a la vez que motiva y desarrolla actitudes positivas para el aprendizaje individual y grupal. 1. Introducción

Las matemáticas aparecen en todas las formas de expresión humana, permiten codificar

información y obtener una representación de la realidad suficientemente potente como para

permitir una actuación posterior sobre el mismo. Al describir un fenómeno en términos de

un modelo matemático, se pueden inferir conclusiones lógicas sobre el modelo, que predicen

el comportamiento futuro del fenómeno y, de ahí, conjeturar los cambios que se pueden

producir o las regularidades que se van a mantener (Rico, 1995).

Dada la importancia de las funciones en la comprensión de los fenómenos de la realidad y

dentro del desarrollo de la matemática, como fruto de nuestra experiencia docente en el área

de matemática en la secundaria y los primeros ciclos de la educación superior, planteamos


la estrategia didáctica orientada a la definición formal con argumento intuitivo de las

funciones trigonométricas; teniendo en cuenta de que los estudiantes tienen una inclinación

hacia la representación gráfica de las funciones, interactuando en forma permanente con los

recursos tecnológicos. La intención de este trabajo no fue solo presentar una estrategia de

enseñanza con módulos didácticos, sino también analizar el efecto de la enseñanza

personalizada del tema siguiendo una secuencia diferente a lo habitual que propicie el

autoestudio y el trabajo personalizado en clase a través de actividades diseñados para un

aprendizaje eficiente de las funciones trigonométricas en sus formas de presentación

algebraica, analítica y gráfica.

2. Planteamiento del problema

Según Gómez (1996), el profesor de matemáticas es el diseñador y ejecutor de experiencias

que pone a los estudiantes en interacción consigo mismos, con los otros estudiantes y con el

conocimiento que posee para que puedan construir conocimientos matemáticos que

queremos que todos obtengan; por consiguiente el profesor debe ser un profesional; y para

ser un profesional, tener el conocimiento producto de esa disciplina, de esa profesión y debe

ser capaz de describir y caracterizar el estado de comprensión de los estudiantes.

En la realidad educativa donde se realiza el estudio, existen falencias en los actores del

proceso educativo.

Los estudiantes muestran serias deficiencias en la comprensión de lenguaje simbólico de la

Matemática, para diferenciar una función de una relación, identificar el dominio y rango de

una función, identificar relaciones de simetría entre puntos del plano cartesiano, trazar la

gráfica de una función real, identificar las funciones pares e impares, periódicas y monótonas,

etc.

Por otro lado, la mayoría de los docentes inician el estudio de las funciones trigonométricas,

en forma algorítmica, como razón entre los lados de un triángulo rectángulo, con escaso

análisis de sus propiedades; no hacen uso de conocimientos previos para abordar el tema,

tampoco propician estrategias de aprendizaje activo, ni aprendizajes colaborativos; utilizan

en forma esporádica los recursos de las TIC.

De lo descrito, es imprescindible implementar estrategias metodológicas que dinamicen el

proceso de enseñanza-aprendizaje y mejorar el éxito escolar. Para este propósito, se formula


la pregunta: ¿Qué efectos produce la enseñanza modular personalizada de las funciones

trigonométricas a partir de puntos y arcos orientados sobre la circunferencia unitaria en el

plano cartesiano en los estudiantes de educación secundaria?

3. Objetivos

3.1 Objetivo general

Comprobar que con la implementación del modelo de enseñanza modular personalizada de

las funciones trigonométricas a partir de puntos y arcos orientados sobre la circunferencia

unitaria mejora en forma significativa el aprendizaje de los estudiantes de educación

secundaria.

3.2 Objetivo específicos

• Diseñar y elaborar módulos didácticos para la enseñanza personalizada de las funciones

trigonométricas, adecuados al aprendizaje individual y grupal de los alumnos del quinto

grado de secundaria.

• Realizar la enseñanza modular personalizada de las funciones trigonométricas a partir de

puntos y arcos en una circunferencia unitaria en el plano cartesiano y analizar el

aprendizaje conceptual, procedimental y actitudinal logrado en estudiantes del quinto

grado de secundaria.

4. Marco teórico

La enseñanza personalizada es fundamental en la matemática, por su diversidad de matices

dentro de unas mismas raíces esenciales que permite adaptar la enseñanza a la manera de ser

de cada estudiante para que se sienta más a gusto durante el aprendizaje, así como en sus

futuras ocupaciones laborales (Santaló, 1994, p.42). Bajo esta premisa, la investigación se

sustenta en conceptos referidos al proceso enseñanza de la matemática, enseñanza de las

funciones trigonométricas, tendencias en la enseñanza de la trigonometría, entre otros. Los

cuales se detallan a continuación:

4.1 La enseñanza de la Matemática en la Educación Secundaria

La enseñanza de la Matemática crea los estímulos que activan y aceleran el aprendizaje; el

problema fundamental de la enseñanza es acoplar la mente del alumno a la materia objeto de

aprendizaje. Esto implica una enseñanza personalizada de forma que, dada una materia a


enseñar, lo ideal es encontrar para cada alumno el transformador adecuado al nivel de su

entendimiento y formación, que hiciese el acoplo más adecuado (Santaló, 1994). Para

Deiudonné (1986) la finalidad de la enseñanza de la matemática en las sociedades modernas,

es que los alumnos aprendan a ordenar y encadenar sus pensamientos, aprendiendo la

matemática con claridad y rigurosidad.

Para este propósito es necesario la existencia de una correspondencia horizontal entre el acto

de aprender y el acto de enseñar, pues lo que interesa es la adquisición de conocimiento y

cambio de actitudes, explotando los conocimientos previos del alumno, haciendo que

experimenten por sí mismos para dotarlos de significado y aceptar que el aprendiz vaya

construyendo su propio conocimiento al integrar la nueva información en redes conceptuales

ya existentes.

4.2 Tendencias y aplicaciones de la enseñanza y aprendizaje de la trigonometría en la

educación secundaria

Según la National Council of Teachers of Mathematics (1992), el currículum de matemáticas

básicas debe incluir el estudio de la Trigonometría para que todos los estudiantes sean

capaces de aplicarlo en la resolución de problemas donde aparecen triángulos y explorar los

fenómenos periódicos del mundo real usando las funciones seno y coseno en general; luego

conocer la conexión que existe entre el comportamiento de las funciones trigonométricas y

los fenómenos periódicos compuestos por dos movimientos, el pendular y el rectilíneo, que

permita a los alumnos visualizar un movimiento periódico, aplicar técnicas generales de

representación gráfica de funciones trigonométricas y el uso de sus propiedades en el estudio

de las coordenadas polares, vectores, números complejos y series. Por ello, los estudiantes al

finalizar la educación secundaria, deben estar en condiciones de hacer un estudio analítico

de sus propiedades y gráficas, y estudiar las identidades que impliquen expresiones y

funciones trigonométricas inversas, junto a su aplicación en la resolución de algunas

ecuaciones trigonométricas.

Tanto para el estudio algebraico y analítico, como el análisis gráfico de las funciones

trigonométricas a partir del punto extremo de un arco sobre una circunferencia unitaria. La


función coseno y seno (con dominio en los números reales) es posible de bosquejar a través

de una máquina productora de la función seno y coseno, ver figura.

θ (es número real)

Figura. Máquina productora de las funciones seno y coseno de R en [−1, 1] Formalizando lo ilustrado, en la máquina de la figura, las funciones trigonométricas son

susceptibles de ser definidas a partir de: E(θ) = (x , y) ∈ C1(O), con x2 + y2 = 1.

Las expresiones: x = cos(θ) e y = sen(θ) para E(θ) = (x , y) en C1(O), para cada valor de θ

en R, las coordenadas x e y se obtienen de manera única; es decir, definen las reglas de

correspondencia de dos funciones.

1. Función coseno: Es la función que a cada θ en R, le hace corresponder la abscisa x de

E(θ) = (x , y) y se denota: cos:R →R / θ → cos(θ), donde cos(θ) = x,

2. Función seno: Es la función que a cada θ en R, le hace corresponder la ordenada y de

E(θ) = (x , y) y se denota: sen:R →R / θ → sen(θ), donde sen(θ) = y.

Para el estudio de las funciones trigonométricas basta con definir las funciones coseno y seno,

como abscisa y ordenada del extremo de un arco orientado en la circunferencia unitaria. Las

otras funciones se definen en términos de estas dos, las mismas que potencian los cálculos

algebraicos y representaciones gráficas dinámicas que permiten a los estudiantes percibir

con facilidad sus variaciones como crecimiento, decrecimiento y valores que toman según el

Transformación de los números reales en puntos sobre la circunferencia unitaria y estos en coseno y seno para luego definir la función: tangente, cotangente,


cuadrante en que se ubique el punto extremo del arco. También es una oportunidad para

revaluar sus conocimientos de geometría y álgebra, a través de las representaciones,

simbólica, gráfica y tabular de estas funciones.

5. Descripción de la metodología investigativa

El tipo de investigación realizado se ubica en el enfoque mixto (cualitativa-cuantitativa),

sustentado en la realización de actividades tanto para el profesor como para el alumno, donde

cada uno cumple roles de acuerdo a un plan previamente establecido, con la finalidad de

lograr aprendizajes más eficientes de los estudiantes. El proceso de investigación tuvo tres

etapas bien marcadas y concatenadas: planificación y diseño de contenidos, proceso de

implementación y desarrollo de actividades y, la de fijación y evaluación. El trabajo de

campo de la experiencia se llevó a cabo durante el segundo semestre del año escolar en

concordancia con el currículo escolar y estuvo a cargo del docente investigador. La

aplicación de la propuesta se rige exclusivamente por las sesiones que se formulan a través

de módulos con tratamiento personalizado; y es realizado por el docente a lo largo de todo el

periodo de la intervención, orientando su trabajo diario de clase, la utilización de los recursos

tecnológicos, principalmente para identificar algebraica y gráficamente propiedades de las

funciones trigonométricas. Durante el diseño, recolección de información, análisis de datos,

ejecución, y posterior evaluación de la propuesta.

6. Resultados y análisis

6.1 Valoración de la propuesta desde la perspectiva de la investigación

Entre las bondades de la propuesta didáctica para la enseñanza de las funciones

trigonométricas con los estudiantes del nivel secundario, se pueden mencionar:

Desde el punto de vista técnico-pedagógico, teniendo como modelo nuestra propuesta, el

profesor analiza la problemática de la enseñanza, diseña y elabora con antelación las

estrategias didácticas para desarrollar el estudio del tema, entrega el material antes de abordar

el tema, luego expone en forma breve y resumida el contenido temático; pone en práctica las

etapas de motivación, conceptualización, ejemplificación, evaluación y extensión. En esta

última se propicia el estudio personalizado y cooperativo del módulo didáctico para la

resolución de problemas.


Desde la temática, el estudio de las funciones trigonométricas, permite conjugar los

conocimientos de álgebra y geometría estudiados en grados inferiores, explotando al máximo

el plano cartesiano. Donde, los alumnos hacen un estudio analítico de las funciones

trigonométricas, identificando las diversas propiedades y los signos según los cuadrantes.

Explotan la riqueza de sus propiedades que son necesarias para modelar y simular el

comportamiento de los distintos fenómenos periódicos, que es el detonante actual del

desarrollo de la ciencia y la tecnología.

Desde el punto de vista tecnológico, en el proceso experimental se hace uso pertinente de

recursos, medios y materiales educativos, asimismo, se utilizan software matemáticos como

Derive y Geogebra, para la representación algebraica y la construcción del gráfico de las

funciones trigonométricas, las mismas que facilitan visualizar y asimilar sus diversas

propiedades, motivando el aprendizaje interactivo personalizado.

6.2. Valoración de la estrategia desde la perspectiva del docente

La aplicación de la estrategia didáctica fue satisfactorio para el docente investigador. Dentro

de las valoraciones más importantes por parte del profesor destacan:

• Se percibe en la mayoría de los estudiantes el deseo y el interés de aprender el tema de

funciones trigonométricas.

• Los estudiantes mostraron muy buena actitud para realizar actividades en forma

individual y grupal. Los trabajos desarrollados por los estudiantes, en su mayoría reflejan

buen nivel de aprendizaje del tema.

• La implementación de la propuesta didáctica desarrollada demanda tiempo en la

planificación, diseño, elaboración, implementación y evaluación.

• Las expectativas de aprobación en las evaluaciones administradas por parte de los

estudiantes fueron muy altas, porque la metodología de trabajo personalizado y

colaborativo practicado fue recibida con agrado. Reduciéndose en forma significativa el

número de reprobados en el estudio del tema.

6.3. Valoración de la estrategia desde la perspectiva de los estudiantes

Para la evaluación se utilizaron varios instrumentos, una prueba de naturaleza cognitiva

orientada a medir el nivel de compresión del concepto de función trigonométrica y sus


aplicaciones; otro relacionado a una valoración de la percepción de las actividades en clase

por parte de los estudiantes, también una lista de cotejo para evaluar actitudes. Desde los

instrumentos aplicados y el análisis estadístico los resultados en los tres niveles de

aprendizaje considerados, fue:

En el nivel conceptual; el análisis de los datos recogidos del cuestionario de la prueba de

inicio, de proceso y de salida, indican que los estudiantes han asimilado en forma

significativa los conceptos referidos a las funciones trigonométricas, tienen conocimiento

casi pleno de sus propiedades, identifican la función a partir de su gráfica; haciendo que los

ítems de la prueba correspondiente a este rubro hayan sido respondida de manera correcta en

más del 85%. Los resultados obtenidos indican que se tuvo un aprendizaje significativo en el

estudio teórico, algebraico y gráfico de las funciones trigonométricas.

En el nivel procedimental; los estudiantes consolidan sus destrezas de análisis y síntesis en

el desarrollo de problemas, asimilan las propiedades de las funciones trigonométricas, las

relaciones entre ellas y los representan con solvencia en forma gráfica. En los ítems del

cuestionario aplicado a este rubro, lo desarrollaron con eficiencia en más del 90%, el mismo

que indica que la estrategia didáctica es pertinente para el desarrollo de habilidades

procedimentales en los estudiantes.

A nivel actitudinal; en las clases donde se trabajó con esta propuesta didáctica, los

estudiantes se mostraron motivados y con deseos de aprender. Los hallazgos indican que la

estrategia utilizada ayuda a desarrollar en los estudiantes los hábitos de comunicación y la

realización de actividades colaborativas en el proceso; en la encuesta aplicada, el 90%,

considera estar muy de acuerdo con la estrategia didáctica empleada en el proceso de

enseñanza-aprendizaje de las funciones trigonométricas. También el nivel de satisfacción

individual y grupal es considerable.

7. Conclusiones

Los resultados ofrecidos por la investigación nos indican que la enseñanza modular-

personalizada evidenció una compresión eficiente de los conceptos de trigonometría durante

la intervención, es decir, el estudio de las funciones trigonométricas a partir de puntos en la

circunferencia unitaria del plano cartesiano y considerando conocimientos previos de

geometría y álgebra elementales, es una alternativa a la enseñanza usual de la trigonometría


como razones entre los lados de un triángulo rectángulo, donde algunos conceptos,

propiedades, representaciones gráficas, resultan insuficientes y poco consistentes.

La estrategia didáctica empleada permite la interacción directa profesor y alumno, facilitando

el desarrollo de capacidades de intuición, de abstracción y de razonamiento, relacionando

con situaciones reales y con aplicaciones en la solución de problemas, propiciando el

aprendizaje activo. Además posibilita la traducción del lenguaje literal al algebraico y al

gráfico haciendo uso de software matemático, poniéndose en práctica los procedimientos

viables para el aprendizaje. Los logros obtenidos en el aprendizaje de las funciones

trigonométricas, fueron de satisfactorios para el estudiante y el docente.


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Madrid: Alianza Editorial. Rico, L. (1995). Consideraciones sobre el currículo escolar de matemáticas. Revista EMA

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Santaló, L. & Llinares, S. (1994). La enseñanza de las matemáticas en la educación Intermedia. Tratado de educación personalizada. Madrid: Rialp, S.A.


CB-471

COMPREENSÃO DA MATEMÁTICA EM WITTGENSTEIN

Prof. Me. Valdomiro Pinheiro Teixeira Junior - Profª Drª Marisa Rosâni Abreu Silveira

[email protected] - [email protected] UNIFESSPA (Universidade Federal do Sul e Sudeste do Pará), Brasil - UFPA

(Universidade Federal do Pará), Brasil Modalidade: Comunicação Breve Nível Educativo: Não especificado Tema: Investigación en Educación Matemática. Palavras-chave: Compreensão. Ensino de Matemática. Wittgenstein.

Resumo

Neste texto analisamos a compreensão de significados no ensino da matemática na perspectiva da filosofia da linguagem de Wittgenstein, que defende que a linguagem constitui a produção de significados e onde se dá a compreensão dos mesmos. Nesse sentido, discutimos sobre algumas possibilidades de ensino, como a contextualização, e suas limitações quando não consideram a linguagem como protagonista nesse processo. Mostramos que a percepção de níveis de dificuldades de problemas matemáticos deveria ser relacionada à noção de sistema linguístico, onde a compreensão de um problema por parte de um aluno seria relacionada à sua compreensão de um determinado sistema, e evitaria problemas sobre o que o professor deve esperar do aluno. A partir disto, mostramos que o professor tem um papel preponderante no ensino das regras necessárias para uma compreensão dos significados em matemática. Assim, destacamos que a compreensão na ótica wittgensteiniana é o domínio de uma técnica, ou seja, compreender uma proposição matemática quer dizer de fato saber o que podemos fazer, quais são as regras que foram aplicadas para conduzir a ela e qual gênero de cálculo pode ser conduzido a partir dela.

Como se compreende conteúdos matemáticos? Como compreendemos o significado dos

signos matemáticos ou das formas de resolver questões matemáticas? Poderíamos dizer que

esta é a pergunta basilar da educação matemática, que vem buscando respostas na filosofia,

psicologia, sociologia, neurociência, etc. Trazemos neste texto as contribuições da filosofia

da linguagem de Wittgenstein, que defende que a linguagem constitui a produção de

significados e de que na linguagem está a possibilidade de compreensão dos mesmos.

Um dos motes da educação matemática é a contextualização, e esta é utilizada e defendida

como meio de se possibilitar a compreensão de conteúdos matemáticos. Wittgenstein


distingue as proposições matemáticas das proposições empíricas. Proposição, pelo próprio

sentido da palavra, deve admitir ser verdadeira ou falsa, mas Wittgenstein compreendia que

as proposições matemáticas não podem admitir isto. A proposição matemática não indica um

caminho de verificação, mas apenas de aceitação, pois a verdade de uma proposição

matemática não pode ser estabelecida sem anteriormente ela ter um sentido. Na matemática

não pode haver refutações, seus símbolos, sua linguagem tem um sentido a priori, no

contexto do ensino, é claro. Uma proposição matemática só tem um sentido caso ela seja

verdadeira, nisto a contradição é evidente com a definição que se tem do sentido de uma

proposição em geral. A dificuldade desaparece caso não vejamos as proposições matemáticas

como proposições em geral. Proposições matemáticas são chamadas por Wittgenstein de

proposições necessárias. A dificuldade, de fato, se enraíza quando nós utilizamos na

matemática proposições que formalmente assemelham-se muito às proposições empíricas,

como se faz no caso da contextualização. Na matemática não é necessária verificação, mas

sim descrição. Não há como definir se uma proposição é verdadeira ou falsa, mas apenas

descrever. Porém, deve-se destacar que essa invariabilidade das proposições matemáticas só

ocorre dentro de seus sistemas de uso.

A partir de Wittgenstein não podemos condenar o uso da contextualização, mas deveríamos

compreender que tal está relacionada à linguagem. Para Wittgenstein (IF, §138) o significado

está no uso, para ele o uso de uma palavra se estende no tempo e é este uso que fará com que

a compreensão se torne uma capacidade e permite compreensões futuras dentro de um mesmo

jogo de linguagem ou em aplicações semelhantes.

O uso da contextualização é defendido por muitos educadores por permitir fazer relações

com aquilo que o aluno já sabe, mas para Wittgenstein, o objetivo no aprendizado não é de

juntar informações que já se tem condições de usar, ou seja, não é descobrir por meio de

hipóteses baseadas em algo que já sabemos. É equivocado dizer que um aluno que opera

adições em seu dia e será ensinado em algo que ele já sabe, quando na verdade ele não terá

que resolver apenas problemas costumeiros, mas sim deverá (ou deveria) ser apresentado a

outros tipos de problemas, resolver por meio de algoritmos questões de um tipo diferente

(que poderão ou não se assemelhar às questões cotidianas). Esta é uma outra situação, um

outro sistema, um outro jogo de linguagem, que talvez por causa de sua semelhança com

outras situações pareça ser exatamente a mesma coisa.


Assim, resolver um problema significa que buscamos garantir que a aplicação das regras do

“sistema” ao qual a proposição pertence permite realizar esta “configuração” particular que

é a proposição. Por isso, que defendemos que o grande problema de compreensão não estaria,

por exemplo, na linguagem natural, ou seja, que não seria uma linguagem simples que

resolveria tal problema, mas o problema está na adequação ao próprio sistema que pertence

àquela teoria, proposição ou problema que o aluno busca compreender.

Para Schmitz (1988), a criança wittgensteiniana não compreende que os problemas

matemáticos considerem graus de dificuldade, mas como sendo de natureza diferente,

portanto eles não pertencem ao mesmo sistema, ou seja, não existe em matemática problema

difícil, isto é, um problema para o qual nenhum método para esperar uma solução não está

disponível. O problema difícil seria então aquilo pelo qual não existe sistema escrito. Um

problema para um experiente pesquisador matemático não é simplesmente problema no

mesmo sentido que o problema do estudante.

Wittgenstein distingue em geral entre as questões: “toda equação de grau n tem no máximo

n raízes em G?” das questões do gênero “a X b = (63 X 18 =?)”. As primeiras não estão

apenas esperando por uma resposta, mas que o seu conteúdo será fornecido e apenas indicam

vagamente em qual direção buscar. O outro tipo de questão ao contrário parece ter

imediatamente um sentido e podemos quase o assimilar a uma questão empírica. Os

problemas “difíceis” correspondem ao primeiro tipo de questão. Encontrar uma solução em

um problema difícil quer dizer, geralmente, construir um novo sistema, que não é

evidentemente o caso quando se trata de um problema do estudante.

Contudo, a reconciliação entre estes tipos de problema é esclarecedor: confrontada com um

problema para o qual ele não dispõe ainda de um “sistema”, o estudante espera que lhe

forneçamos um novo sistema, como, confrontado com um problema difícil, o pesquisador-

matemático é levado a abandonar os sistemas que ele já controla e a inventar um novo

sistema. Por isso, que não consideramos limitado também o método de ensino que se utiliza

da comparação entre diferentes sistemas da matemática, pois em alguns casos isto pode

causar confusão.

De fato, podemos, para Wittgenstein, falar em um mesmo sentido de “problema” somente no

interior de um mesmo “sistema”: não somente por que os métodos para encontrar as soluções


e os resultados eventuais serão relativos a qualquer sistema, mas também por que a maneira

de ser problema é definida somente no interior de um sistema.

Em matemática inventamos mais do que descobrimos. Para Wittgenstein, em matemática não

há “ainda não”, nem resultado previsível, etc., conforme o caso de “sistema” determinado

por um conjunto de regras, nada não “existe” que não seja uma estipulação, que não

corresponda a alguma realidade antes de ser solicitada.

Assim o problema do estudante é que não há uma maneira para colocar à prova o controle

que ele já tem do “sistema” correspondente, pois o problema “difícil” - para o qual não se

dispõe imediatamente de um método de resolução, e que não poderia ter tal método

descoberto espontaneamente, sem que tenha sido fornecida uma sintaxe determinada - não

seria verdadeiramente um problema matemático. O uso de um método só pode ser interno a

um “sistema” e não pode, portanto, haver um método para buscar um novo sistema. Ele só

pode ser inventado.

Pensa-se muitas vezes que a deficiência de alguns alunos está em uma possível falta de

competência cognitiva ou um nível baixo de intelectualidade, pois se espera que o aluno

tenha deduções que podem ou não aparecer em uma resolução de um problema ou

aprendizado de um conteúdo mais abstrato, quando na verdade o que aconteceu é que tais

exercícios mais difíceis não lhe foram mostrados, ou seja, ele não foi apresentado a tais

sistemas, por isso é tão necessário a exemplificação. É evidente que há competências, talvez

naturais em determinados aspectos, que levam a uma diferenciação das pessoas em diferentes

atividades, porém isto não pode ser usado toda vez que, nós professores, estivermos diante

de um possível fracasso em nosso ensino.

Para Wittgenstein o processo de aprendizado linguístico é um processo inteiramente social,

não só ocasionado, mas mediado e estruturado pelo meio social. A linguagem não é aprendida

de uma pessoa, mas por intermédio de uma outra pessoa. Este meio social é o contexto

adequado apara efetivação da comunicação, mas para isso é necessário um praticante

competente que delimita, seleciona e retroalimenta o uso das palavras do aprendiz.

O trabalho do professor deve ser sobre a linguagem matemática e sua estrutura própria de um

jogo com regras próprias, que possui sim semelhanças com outras áreas, mas que tem uma

gramática particular. Como afirma Schmitz (1988): um jogo é uma aplicação de um conjunto

de regras.


Para Schmitz (1988), Wittgenstein entende que um jogo não pode ser contraditório e se as

regras de um jogo se contradizerem, algumas regras devem ser modificadas, e/ou outras

regras devem ser adicionadas para o jogo continuar, e nesse caso se trataria de um novo jogo.

Um jogo só pode ser contraditório se uma regra decide assim, mas seria apenas uma

estipulação interna ao jogo que não coloca em perigo. Se um dia aparece uma dificuldade em

tal jogo, não pode afetar retroativamente o valor do jogo que nós jogamos até agora,

simplesmente porque não significa que desde o início a contradição estava "escondida" nas

regras. Essa atitude de Wittgenstein refuta qualquer potencialismo: a regra não contém sua

aplicação, isto não existe antes e, portanto uma contradição não é uma propriedade que

observaríamos um dia, de um conjunto de regras, e que afetaria, retrospectivamente, a

realidade e a regra. A realidade contém unicamente a aplicação que é feita no presente. A

ideia de que se poderia descobrir alguma contradição escondida é mais uma confusão da

matemática com o discurso empírico.

Portanto, Wittgenstein eleva a importância do mestre (professor), pois este desempenha um

papel estruturador indispensável no processo de aprendizagem. O que caracteriza os estágios

iniciais do aprendizado linguístico é a relação de dependência cognitiva do aluno em relação

ao professor, é ele que fornece esse pano de fundo normativo. Tal pano de fundo é colocado

progressivamente a disposição do aluno por meio do treinamento, até o ponto em que o

comportamento do aprendiz torna-se regulado por normas sem necessitar mais da assistência

do professor. Gottschalk (2009, p. 16) colabora neste ponto ao afirmar que o ensino da

matemática:

pressupõe um conjunto de regras a serem apresentadas pelo professor, digamos a parte ante, e em um segundo plano, modos de apresentação destas regras que vão constituir o significado dos objetos matemáticos e que serão apropriados pelos alunos ao longo deste segundo plano, mediante um simbolismo não dado a parte ante, mas, construídos a parte post. Destaca-se, então, que o aluno deve pelo uso da linguagem ser introduzido a novas formas

de se perceber determinados conceitos. Um exemplo disto seriam os números que já fazem

parte da vida do aluno fora da escola, mas que na escola é apresentado a novas formas

conceituais, números fracionários, decimais, irracionais, complexos, etc. O professor

transmitindo outros modos de ver o conceito de número. Estes novos usos de número não

invalidam o uso anterior ou extraescolar, mas é apenas um novo procedimento introduzido


(uma nova técnica), que amplia o significado de número. O que se destaca nesse processo é

o fato de que deve haver confiança do aluno naquele de quem está aprendendo, bem como

nos meios institucionais, como o livro didático. Nossas certezas mais fundamentais não são

extraídas de nossa experiência empírica ou de processos mentais, mas decorrem de um

acordo em nossas formas de vida, parcialmente apresentado pelo professor no contexto

escolar. É neste sentido, que uma criança não pode ser motivada a duvidar do que aprende

inclusive de seu professor, pois assim seria incapaz de aprender qualquer coisa.

Enquanto no construtivismo se entende que o conhecimento matemático provém de

estruturas e que a tarefa principal do professor é dar suporte para que tal desenvolvimento

ocorra da forma mais espontânea possível, nos estudos de linguagem matemática a

construção do conhecimento matemático provém da capacidade de se seguir regras e a tarefa

do professor é ensinar estas regras, “para que o aluno comece a partir de um determinado

momento não previsível a priori, a ‘fazer lances’ no jogo de linguagem no qual está sendo

introduzido, inclusive aplicando-o a situações empíricas” (Gotschalk, 2008, p. 77).

Portanto, um professor é necessário e este deve mostrar ao aluno o que se deve fazer e como

se pode seguir o exemplo. O aluno olha o modo como aprendeu como o único modo de

proceder. A partir daí o aluno seguirá as regras cegamente, ele compreenderá todas as coisas

de acordo com as regras interiorizadas, não podendo mais ver de outra forma. Não devemos

entender isto como uma crítica de Wittgenstein, não é esta sua intenção, mas sim mostrar

como as coisas são, se não seguíssemos cegamente as regras que seguimos seriam outras, o

que reforça é que somos sempre guiados por regras por que sempre seremos colocados em

alguma determinada cultura, que já possui significados determinados em contextos restritos.

Frascolla (2004) diz que a adoção de uma regra parece ser um ato da vontade mais ou menos

arbitrário, que é como um reconhecimento de um teorema. Sentimo-nos constrangidos a

aceitar a prova, para ficar fiéis às leis lógicas universalmente aceitas. Frascolla (2004)

considera que admitimos como aplicação correta da regra dada em um caso particular não

pode ser tirada da regra, sem que se apele a significação dela, tal como ela é formulada.

Mesmo que seja precisa e rigorosa sua formulação, sua significação se dispersa em uma

miríade de interpretações diferentes, todas igualmente corretas. Seguimos regras por que são

socialmente aceitas.


A tese de que haveria um pano de fundo comum (essencialismo) escondido por trás de todos

os conhecimentos cai por terra. De acordo com Frascolla (2004), para Wittgenstein, a tarefa

principal de preencher o buraco deixado pelo fim desta tese é confiado pelo acordo quase

unânime entre os membros da comunidade ligados pelas inclinações partilhadas e um treino

uniforme. Portanto, a partir do acordo de uma sociedade quanto ao que deve ser considerado

com sentido ou não, o treino dará às gerações posteriores a continuidade e desenvolvimento,

a partir da gramática definida, como o que tem sentido ou não.

Schmitz (1988) compreende que um cálculo pode ser apenas um jogo que nada no mundo

pode justificar, que um jogo pode ser apenas inventado, pois não tem nenhuma realidade

antecipadamente dada, ou seja, a justificativa do cálculo seria dada pela sociedade, o que

deixa de ser justificativa, mas sim aplicação. O autor considera que a metáfora do jogo tem

o mérito de destacar que poderíamos talvez compreender o que é do cálculo matemático sem

recurso a metafísicas perigosas e pouco seguras.

Para Schmitz (1988), em se tratando de jogo, admitimos que é possível que as regras, deixem

subsistir ambiguidades ou mesmo que não seja mais, em certas circunstâncias, jogável. Sendo

jogo, entendemos que mal-entendidos podem acontecer, diferente de ser entendido como

algo metafísico. Essas conclusões metafísicas põem um peso sobre quem erra em

matemática, pois resulta em ver a matemática como uma capacidade que provém de

estruturas ideais ou mentais. O problema está que o peso disso recai sobre o aluno e não sobre

o método de ensino do professor, ou quando isto ocorre, recorre-se a teorias cognitivas que

se mantém com o essencialismo e o referencialismo.

De acordo com Medina (2007), para Wittgenstein há certos aspectos do domínio de uma

linguagem que uma abordagem cognitivista (construtivista, comportamentalista, empirista

e/ou psicológica) não pode explicar, pois não há como explicar como o comportamento do

aprendiz se estrutura por meio de normas, pois estas não podem ser reduzidas a

generalizações, sendo que o que se adquire na aprendizagem de uma linguagem é mais do

que um conjunto de disposições verbais e de hipóteses bem confirmadas, trata-se de um

conjunto de normas para a aplicação de palavras, ou seja, envolve um processo de

estruturação normativa de comportamento que vai além do simples condicionamento e tal

estruturação ocorre por meio de uma socialização ou entrada na cultura, isto é, por meio de


um treinamento em práticas de uso de linguagem governadas por regras. Entender o que é

seguir uma regra é entender como a linguagem produz seu significado.

Gebauer () diz que Wittgenstein coloca a “no lugar da apreensão mental de significados uma

compreensão prática. Onde antes e assumiam atos mentais, há em Wittgenstein ações

práticas, que ocorrem no jogo de linguagem formado coletivamente”. O autor se refere à

crítica que se percebe na obra de Wittgenstein à toda a tradição filosófica que consideramos

que influencia os pensamentos em educação. A compreensão é tomada tradicionalmente

relacionada à processos mentais, mas Wittgenstein substitui tal entendimento, colocando em

sua base a prática humana. Portanto, a compreensão na ótica wittgensteiniana passa a ser

visto como dependente da construção social, e assim é tomada como o domínio de uma

técnica, ou seja, compreender uma proposição matemática quer dizer de fato saber o que

podemos fazer, quais são as regras que foram aplicadas para conduzir a ela e qual gênero de

cálculo pode ser conduzido a partir dela.

Referências Bibliográficas

Frascolla, P. (2004). Wittgenstein sur la preuve mathématique. En Floyd, J., Frascolla, P. et Marion, M. Wittgenstein et les mathématiques, Capítulo 4, pp. 43-60. Paris: Éditions Trans-Europ-Repress. Gebauer, G. (2013). O pensamento antropológico de Wittgenstein. São Paulo: Edições Loyola. Gottschalk, C. (2008). A construção e transmissão do conhecimento matemático sob uma perspectiva wittgensteiniana. Cad. Cedes, Campinas, vol. 28, n. 74, p. 75-96, jan./abr. Gottschalk, C. (2009). O sentido formativo da matemática. São Paulo: instituto de estudos avançados da USP. Medina, J. (2007). Linguagem: conceitos-chave em filosofia. Porto Alegre: Artmed. Schmitz, F. (1988). Wittgenstein, la philosophie et les mathématiques. Paris: PUF. Wittgenstein, L. (1999). Investigações filosóficas (IF). Tradução de José Carlos Bruni. São Paulo: nova cultural.


CB-474

INTEGRAÇÃO DE RECURSOS TECNOLÓGICOS NA PRÁTICA PEDAGÓGICA DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA E DE FÍSICA POR MEIO

DE FORMAÇÃO CONTINUADA Marli Teresinha Quartieri, Maria Madalena Dullius, Romildo Pereira da Cruz, Italo Gabriel

Neide, Andréia Spessatto De Maman, Adriana Belmonte Bergmann [email protected], [email protected], [email protected],

[email protected], [email protected], [email protected] Centro Universitário Univates – Brasil

Núcleo temático: IV - Formación del profesorado en Matemáticas Modalidade: CB Nível educativo: Formación y actualización docente Palavras-chave: Formação de Professores. Ensino de Matemática. Ensino de Física. Recursos tecnológicos. Resumo Nesse artigo, apresentam-se algumas reflexões sobre as tendências na formação do professor para o uso das tecnologias na Educação Básica. A abordagem pauta-se nas percepções de um grupo de 20 professores de Matemática e de Física participantes de um curso de formação continuada, o qual foi organizado por um grupo de professores de uma Instituição de Ensino Superior do interior do RS/Brasil. O objetivo é socializar os resultados da análise quanto às práticas associadas à utilização de alguns aplicativos e softwares, pelos professores participantes nas aulas de Matemática e de Física. Dentre os aplicativos e softwares podem ser citados: Modellus, Jogo Estimation, The Scale of the Universe 2, Conversor de Unidades, GeoGebra e Geoplano. A pesquisa de cunho qualitativa foi subsidiada por relatórios, questionários, gravações de áudio e vídeo e socialização de práticas pedagógicas. Os resultados apontam apropriação do uso de tais recursos, mesmo para professores que nunca tinham tido contato com os mesmos; incitam que as potencialidades das ferramentas favorecem os processos de ensino e de aprendizagem, bem como proporcionam maior envolvimento do aluno com os conteúdos. Ademais, são identificados indícios de que a formação influencia as decisões para uso de tecnologias no contexto escolar com contribuições significativas. Introdução Concorda-se entre os pesquisadores que há um longo caminho a percorrer em relação à formação de professores, em particular para o uso de recursos tecnológicos na educação. O governo disponibiliza as tecnologias para as escolas e muitas vezes não disponibiliza formação para a utilização dessas atuais ferramentas. Como se pode perceber na pesquisa feita pela CETIC Educação em 2014, os professores da Educação Básica que contém algum conhecimento sobre tecnologia devem-no a uma ínfima demonstração que tiveram durante a graduação.


Um estudo realizado em 2015, pelo Ibope Inteligência e Fundação Lemann46, ouviu mil professores de Ensino Fundamental da rede pública do Brasil, revelando que a maioria deles acredita que a tecnologia utilizada em sala de aula pode melhorar a Educação. Os participantes apontaram alguns indícios daquilo que gostariam, dentre os quais, pode-se citar: disponibilizar materiais didáticos digitais de qualidade e receber formação para o uso da tecnologia aplicada à aprendizagem são objetivos apoiados por 92% dos professores entrevistados; 81% acreditam na possibilidade de se conseguir aprendizagem personalizada a partir desses recursos. Percentuais tão elevados, provavelmente decorrem da percepção mais nítida dos professores de que os instrumentos digitais, em seus diferentes suportes e formatos, são os preferidos – e certamente os mais utilizados – pelos estudantes da Educação Básica nos dias atuais. Supõe-se que as múltiplas discussões sobre a relação entre educação e uso das tecnologias produzem um efeito positivo para a conquista de uma escola mais dinâmica e atraente para o aluno. Nesse sentido, considerando o contexto geral das transformações sociais, nos últimos 25 anos, aproximadamente, a tecnologia foi fortemente inserida nas nossas vidas, e o impacto maior ocorreu no acesso à informação disponível na internet. Tal mudança, diretamente afetou as maneiras de se “fazer educação”, sendo mais do que comum, hoje, acompanhar na mídia entrevistas, reflexões e depoimentos de educadores a respeito da integração, cada vez mais crescente, de computadores, tablets, smartphones e outros recursos tecnológicos em sala de aula. De acordo com a pesquisa realizada pelo Centro Regional de Estudos para o Desenvolvimento da Sociedade da Informação.

A maior parte dos professores de escolas públicas declara que aprende sozinho a utilizar computador e Internet (67%). A proporção dos que fizeram cursos de formação específicos sobre as TIC é menor (57%). Entre os profissionais que fizeram cursos, a grande maioria (74%) pagou por ele, em comparação às oportunidades de capacitação oferecidas por secretarias de educação ou outros órgãos de governo (29%). O Ensino Superior tem ainda um papel a ser explorado nessa questão: 37% dos docentes de escolas públicas com formação universitária declaram que cursaram uma disciplina específica sobre o uso do computador e da Internet durante a graduação (Cetic, 2014, p. 29).

Em face do exposto, enquanto equipe de investigação, defende-se a necessidade de, durante a formação inicial ou através da formação continuada em serviço, ofertar aos professores programas atualizados relacionados às Tecnologias digitais da informação e comunicação. Com base nesses dados de realidade, ou seja, de que as tecnologias digitais estão presentes no dia-a-dia dos estudantes, o objetivo do curso de formação continuada, ofertado pelo grupo de pesquisadores, teve por objetivo auxiliar os professores da Educação Básica no uso de recursos tecnológicos em seu fazer pedagógico, bem como explorar aplicativos e softwares para o ensino da Matemática e de Física, além de discutir a integração de aplicativos na prática pedagógica. Vinte professores participaram do referido curso, realizado no Centro Universitário Univates, no interior do RS/Brasil. Os encontros ocorreram, uma vez por mês, aos sábados, totalizando dez encontros e quarenta horas de formação, dos quais oito foram presenciais e dois à distância. Nos encontros presenciais os formadores disponibilizaram atividades, utilizando aplicativos disponíveis nos tablets, relacionadas aos conteúdos de Matemática e de Física: notação científica, estimativa, unidades de medidas, cinemática, funções, trigonometria no triângulo retângulo e no círculo, movimento harmônico simples. Em relação aos aplicativos e softwares explorados podem ser citados: Modellus, Jogo Estimation, The Scale of the Universe 2, Conversor de Unidades, GeoGebra e Geoplano.

46 http://www.fundacaolemann.org.br/


As atividades propostas eram exploradas pelos professores e, problematizadas pelos pesquisadores, com o objetivo de incentivar a utilização das mesmas nas suas práticas. Nesta perspectiva, supõe-se que o uso das tecnologias como ferramentas didáticas em sala de aula possibilita ao professor uma nova metodologia de ensino, contribuindo significativamente para o aprendizado dos estudantes. Educação e tecnologias digitais As tecnologias digitais oferecem à escola possibilidades de desenvolver atividades que promovam a interação com a comunidade em torno da construção do conhecimento, exige que o professor crie propostas que permitam transformar os processos de ensino e de aprendizagem em algo dinâmico e desafiador. Tais mudanças estão previstas pelo MEC (Ministério de Educação e Cultura), mas será que os professores realmente estão utilizando a tela e o teclado? Todas as escolas têm computadores funcionando? A formação de professores contempla o uso das tecnologias em práticas pedagógicas? Corroborando com esta ideia, Moran (2011, p. 16) assevera:

O que a tecnologia traz hoje é integração de todos os espaços e tempos. O ensinar e aprender acontece numa interligação simbiótica, profunda, constante entre o que chamamos mundo físico e mundo digital. Não são dois mundos ou espaços, mas um espaço estendido, uma sala de aula ampliada, que se mescla, hibridiza constantemente.

Em confluência com o posicionamento do autor, pode-se inferir ser importante que os professores, durante as suas formações, tenham experiências práticas em atividades que posteriormente poderão ser trabalhadas com seus alunos. Dessa forma, podem perder o medo e tomar consciência das possibilidades de utilização das tecnologias nas suas práticas pedagógicas. De acordo com Moran (2011, p. 18).

Desafios e atividades podem ser dosados, planejados e acompanhados e avaliados com apoio de tecnologias. Os desafios bem planejados contribuem para mobilizar as competências desejadas, intelectuais, emocionais, pessoais e comunicacionais. Exigem pesquisar, avaliar situações, pontos de vista diferentes, fazer escolhas, assumir alguns riscos, aprender pela descoberta, caminhar do simples para o complexo.

Acordando com a ideia de Moran, aponta-se a necessidade de os professores utilizarem teorias de aprendizagem abertas, que envolvam novas formas de ensinar e aprender, aumentando a autonomia e o protagonismo dos alunos. Caminhos metodológicos da pesquisa A coleta dos dados, ocorreu por meio de dois questionário online utilizando o Google.docs com questões subjetivas; relatórios; gravações de áudio e vídeo; e, socialização das práticas. Aqui será apresentado um recorte dos questionários e da socialização. Para manter o anonimato dos professores estes serão denominados por P1, P2,..., P20. O estudo foi desenvolvido dentro de uma perspectiva de análise qualitativa, considerando-se três categorias construídas: i) apropriação dos recursos tecnológicos pelos professores da Educação Básica; ii) a contribuição das tecnologias para os processos de ensino e de aprendizagem e iii) os desafios de utilização dos recursos computacionais pelos professores nas escolas. Análise dos dados


Os dados foram analisados a partir de três categorias, construídas com base nos dados e no referencial teórico, descritas a seguir. Categoria 1: Apropriação dos recursos tecnológicos pelos professores da Educação Básica. Nesta categoria analisou-se a apropriação tecnológica e as possibilidades de uso de tais recursos pelos professores na escola. Seguem depoimentos dos professores:

P2. Sou docente iniciante e o curso veio no momento certo, pois me oportunizou a utilizar os recursos tecnológicos nos processos de ensino e de aprendizagem dos meus alunos. Ainda tenho muitas coisas a aprender sobre tecnologia, porém uso o que eu sei para trabalhar. P4. O curso está atendendo de maneira satisfatória minhas necessidades, o que faz com quê nós, participantes possamos ter melhor visibilidade quanto ao potencial do material disponibilizado e também, dar-nos a oportunidade de manipularmos em loco as possibilidades que essa ferramenta nos proporciona. P12. Minhas expectativas no curso foram superadas. Até o momento vimos softwares e aplicativos que eu ainda não conhecia, além de ter aprofundado e mostrado outras formas de explorar os softwares que já conhecia. P14. Pude ter contato com diversos aplicativos que não conhecia e aprofundar meu conhecimento no Geogebra, no Modellus e em outros aplicativos. Com certeza melhorará o desenvolvimento das atividades em sala de aula. Estou bem satisfeita com o curso. Estou sentindo-me mais tranquila em trabalhar com os recursos tecnológicos em minhas aulas.

Ainda nos dias atuais, muitos professores ministram suas aulas da mesma maneira que aprenderam na escola e, posteriormente, nas licenciaturas, por isso é muito importante que experienciem o uso das tecnologias. Segundo Almeida e Valente (2011), é preciso privilegiar processos de formação que permitam o movimento da teoria à prática e vice-versa, levando o professor a perder o medo e a olhar para suas próprias práticas, desconstruí-las e construí-las a favor dos alunos. Assim, é preciso compreender a necessidade de ir além do currículo do lápis e do papel utilizado para representar e explicitar os conhecimentos dos alunos. Categoria 2: A contribuição das tecnologias para os processos de ensino e aprendizagem. Nesta categoria, analisando as respostas dos questionários, 100% dos participantes disseram que sim, que as tecnologias podem auxiliar e serem grandes aliadas aos processos de ensino e de aprendizagem. Porém, ressaltam que o seu uso deve ser de forma dinâmica e organizada.

P2. Eu acho que eles interagem mais, é mais fácil conduzir os assuntos na sala de aula, agrega. O tablet vira uma ferramenta muito prática para eles, acham dinâmico, mais que o computador, no computador tu tem que deslocar toda a turma para o laboratório de informática, por exemplo. Alguns alunos dizem que aprendem mais rápido e que fazem as atividades com mais prazer. P3. Contribui para pesquisas, leituras, jogos, atividades em geral que vem ao encontro ao que é trabalhado em sala de aula. A admiração deles ao navegar pelo “The Scale of the Universe 2”, identificar as proporções de escala dos objetos, algumas medidas não usuais no dia-a-dia Ex. Espessura do fio cabelo humano em micrômetros de diâmetro. Muitos ficaram Surpresos por ver que algumas coisas são muito mais pequenas do que se imagina e outras maiores ao estimar valores. P9. Sim! A relação estabelecida com a utilização dos softwares Modellus e Geogebra deu-se de forma surpreendente para os alunos no quesito que os mesmos não conheciam o potencial educacional destes. Além do quê, a utilização da mídia oportunizou uma forma de interatividade diferente da habitual. O que culminou com uma maior participação dos mesmos no desenvolvimento da atividade.


Kenski (2014) assevera que o meio digital viabiliza múltiplas formas de acesso ao conhecimento. Quando o professor se apropria pedagogicamente destas formas, ele pode criar disciplinas e cursos que venham ao encontro das necessidades sociais e culturais atuais. “As especificidades dessa nova cultura digital colocam-se como desafios para a formação de professores e para a sua atuação profissional”. (Kensky, 2014, p. 13). As tecnologias acabaram provocando mudanças na forma de compreensão tradicional do conhecimento, pois passaram de sequências lineares e previsíveis para interpretações sem hierarquias, onde o aluno pode ir aprendendo de acordo com o seu ritmo. Categoria 3: Os desafios de utilização dos recursos computacionais pelos professores nas escolas. Nesta categoria, foram analisados os desafios de utilização dos recursos computacionais pelos professores nas escolas. Pelas falas dos professores e pelos estudos dos pesquisadores, percebeu-se que os desafios dos professores são os mesmos, na maioria das escolas.

P4. O primeiro problema é que a escola não tem o número suficiente de computadores. Além disso, é um desafio né, tu tentar arrumar uma estratégia pra chegar num resultado positivo. P6. A gente tem na escola laboratório de informática, mas dai acontece o seguinte, lá é direcionado, tal mês são essas disciplinas, para dar oportunidade de todas as disciplinas trabalharem alguma coisa. Às vezes tu estas em uma atividade que precisaria usar o laboratório e não pode marcar horário. P9. Falta de conhecimento de alguns professores, medo do novo. Me senti um pouco insegura porque foi a primeira vez. Eu não tenho tablet em casa, sou bem leiga nesse assunto, e eu acho que nós que somos profissionais da área, professores, a gente tem que buscar. Por isso que eu estou fazendo o curso para aprender um pouco mais para eu poder me sentir mais segura, para chegar em sala de aula com uma proposta e eu conseguir ensinar, trabalhar, e eles me ensinarem também né.

Há anos existe o mesmo discurso, “máquinas sucateadas e professores sem formação adequada”, enquanto os alunos participam de redes sociais, utilizam os mais variados tipos de aplicativos, têm smartphones com os quais produzem vídeos e fotos, escrevem mensagens, jogam e se comunicam com seus pares, porém, todo esse potencial é pouco utilizado nas escolas. Os desafios precisam ser vencidos e para que isto aconteça, os professores necessitam refletir, agir, criar, inovar e principalmente buscarem formação para sentirem-se seguros ao fazer uso de tais recursos. Discussão dos resultados De acordo com os depoimentos, há uma intenção dos professores em conhecer e se apropriarem das tecnologias, entendendo seus limites e possiblidades. Nem tudo que eles planejam pode ser feito devido às condições dos equipamentos, do conhecimento técnico, ou mesmo pelo acesso aos laboratórios por parte dos alunos, mesmo assim, estão acreditando. Percebe-se também que, mesmo que as tecnologias móveis digitais estejam sendo muito divulgadas no Brasil, muitos professores não as utilizam. Alguns apontam que existem dificuldades de acesso à internet ou problemas técnicos de origem diversos. Os computadores, muitas vezes antigos, não suportam os programas e travam, dificultando o desenvolvimento das atividades. Outra questão que dificulta a utilização das tecnologias é a formação dos professores, que relatam ser o produto de uma escola na qual não existiam muitas tecnologias e, quando


utilizadas, era com o objetivo meramente instrumental e não necessariamente como ferramenta de ensino e de aprendizagem. Alguns salientam que ainda não se sentem 100% seguros para utilizar a tecnologia com seus alunos, alegando que eles são especialistas e apresentam maior fluência tecnológica. Pode-se inferir que sem a devida formação, os professores vivenciam desafios constantes para integrar a tecnologia no currículo com propostas que privilegiem a autoria, a cooperação e o trabalho em grupo. Diante deste contexto, para o grupo de pesquisadores, a formação continuada pode ser um caminho para a integração de recursos tecnológicos nas aulas de Matemática e de Física. O fragmento da pesquisa objetivou refletir sobre como ocorre o uso de tecnologias na disciplina por professores de escolas de Educação Básica no interior do RS/Brasil. Em seus depoimentos ficou identificado que as tecnologias são consideradas importantes para as práticas de ensino e de aprendizagem. Os resultados apontam a apropriação do uso de tais recursos, mesmo para professores que nunca tinham tido contato com os mesmos; incitam que as potencialidades das ferramentas favorecem os processos de ensino e de aprendizagem, bem como proporcionam maior envolvimento do aluno com os conteúdos. Ademais, são identificados indícios de que a formação influencia as decisões para uso de tecnologias no contexto escolar com contribuições significativas. O grau de importância dos recursos tecnológicos, entretanto, não corresponde as condições objetivas para a sua adoção e utilização massiva – isto porque existem deficiências na esfera da formação dos professores e carências na infraestrutura das escolas. Esse binômio “deficiência/carência” ergue barreiras para uma utilização mais efetiva de tais recursos nas salas de aula. Durante os encontros foi visível a motivação dos participantes no momento da exploração das atividades. Salienta-se ainda, o quão produtivas foram às discussões, as quais demonstraram que os professores estão começando a sentir-se mais seguros, bem como estão iniciando o uso de aplicativos em suas aulas. Existe um longo percurso a caminhar e, uma das formas de auxiliar é a formação continuada realizada com exploração e problematização de recursos computacionais de forma que proporcione melhorias na aprendizagem dos alunos. Referências bibliográficas Almeida, M. E. B., & Valente, J. A. (2011). Tecnologias e Currículo: trajetórias convergentes ou divergentes? São Paulo: Paulus. Cetic. br. TIC Educação. (2014). Disponível em: http://cetic.br/noticia/formacaoeinfraestrutura-ainda-sao-barreiras-para-professoresconectados-indica-ticeducacao2014/ . Acesso em: 25. Out. 2016. Kenski, V. M. (2014). Tecnologias e tempo docente. Campinas-SP: Papirus. Lemann, F. (2015). Conselho de Classe. Disponível em: http://www.fundacaolemann.org.br/ conselho-de-classe/. Acesso em: 25 jan. 2017. Moran, J. M. (2011). A educação que desejamos: Novos desafios e como chegar lá. Campinas-SP: Papirus.


CB-475

Formação continuada para professores do Ensino Fundamental: possibilidade de melhorias para o ensino de frações

Marli Teresinha Quartieri, Ieda Maria Giongo, Márcia Jussara Hepp Rehfeldt

[email protected], [email protected], [email protected] Centro Universitário Univates - Brasil

Núcleo temático: Formación del profesorado en Matemáticas. Modalidade: CB Nivel educativo: Formación y actualización docente Palavras chave: Frações, formação continuada, Ensino Fundamental

Resumo:

Neste trabalho pretende-se socializar resultados oriundos de encontros de formação continuada, com professores de seis escolas parceiras do Observatório da Educação, cujo objetivo foi problematizar o ensino de frações no Ensino Fundamental. Para isso, planejaram-se três roteiros, abordando diferentes conceitos de frações, totalizando cinco encontros em cada escola parceira. O primeiro roteiro contemplou conteúdos relacionados à concepção parte/todo, representação de frações e equivalência. O segundo abordou conteúdos de probabilidade, bem como representação do número nas formas fracionária, número decimal e porcentagem. Já o último envolveu as operações fundamentais iniciando com a multiplicação e divisão e, posteriormente, adição e subtração de frações. As atividades dos roteiros foram exploradas durante os encontros e foi problematizada a viabilidade das mesmas na prática pedagógica. A coleta de dados ocorreu por meio de gravações de áudio das discussões durante os encontros e de relatórios das atividades exploradas. Durante os encontros perceberam-se as dificuldades sobre o conteúdo de frações, mas todos se dedicaram e se empenharam durante a realização das atividades propostas, expondo principalmente suas dúvidas. Os participantes ressaltaram que as atividades exploradas são adequadas e podem ser utilizadas durante as aulas de Matemática. Ademais, esses momentos possibilitaram conhecimento em relação ao tema frações.

Palavras chave: Frações, formação continuada, Ensino Fundamental.

Contextualizando

A natureza e o desenvolvimento dos diversos saberes e conhecimentos necessários para o

ensino na escola básica têm sido foco importante da literatura de pesquisa nacional e

internacional. Uma variedade de trabalhos tem procurado diagnosticar o conhecimento de


matemática de professores e, em especial, algumas deficiências desse conhecimento.

Ademais, diversos pesquisadores têm assinalado a necessidade de direcionar o foco das

pesquisas daquilo que os professores “não sabem” para como potencializar as experiências e

os conhecimentos construídos por eles a partir da prática de sala de aula (Ribeiro, 2012). É

nesta perspectiva que este trabalho se insere, tendo como foco os números racionais.

Os conhecimentos acerca dos números, desenvolvidos na base do processo de escolarização,

representam importantes alicerces sobre os quais se desenvolverão, posteriormente, outros

conceitos matemáticos. Valera (2003) expressa que conceitos relacionados aos números

racionais são complexos e que seria interessante iniciar com algumas ideias básicas nos

primeiros anos de escolarização. O autor destaca que os números racionais, considerados

tanto na sua representação fracionária como na representação decimal, constituem conteúdos

que os alunos apresentam dificuldades de aprendizagem. Ademais complementa:

Esse ensino tornou-se objeto de críticas porque sua abordagem tem despertado pouco interesse no aluno, em parte devido ao insuficiente aproveitamento prático dos conteúdos e também pela forma como o programa vem sendo realizado, cuja aplicabilidade do aprendizado não encontra caminho na realidade do aluno. (Valera, 2003, p. 12)

Entretanto, alguns professores possuem limitações conceituais, em relação aos números

racionais, encontrando obstáculos para trabalhar com os diversos registros desse conteúdo,

especialmente com a fração e seus diferentes significados. Diante deste contexto, o grupo de

pesquisadores da investigação intitulada “Estratégias metodológicas visando à inovação e

reorganização curricular no campo da Educação Matemática no Ensino Fundamental” do

Programa Observatório da Educação, desenvolvido no Centro Universitário Univates, em

Lajeado/RS, desde 2013, conta com apoio da CAPES (Coordenação de Aperfeiçoamento de

Pessoal de Nível Superior), realizou oficinas de formação continuada com foco nos números

racionais. Fazem parte do grupo desta pesquisa, quatro professores da Instituição (três

diplomados em Licenciatura em Matemática e um em Pedagogia), três mestrandos do

Mestrado Profissional em Ensino de Ciências Exatas, seis bolsistas de iniciação científica e

seis professoras de Matemática do Ensino Fundamental, representantes de seis escolas

parceiras participantes do referido Observatório, que se reúnem semanalmente para estudos

e reflexões.

Dentre as diversas ações desta pesquisa uma foi a problematização do ensino e da

aprendizagem de números racionais. Assim, o referido grupo proporcionou oficinas sobre


este conteúdo para os professores dos Anos Iniciais do Ensino Fundamental e de Matemática

dos Anos Finais. Salienta-se que o objetivo deste trabalho é socializar os resultados

decorrentes destas oficinas de formação continuada, com foco no ensino de frações, que

foram realizadas nas seis escolas parceiras da pesquisa.

Percurso metodológico

Este trabalho de cunho qualitativo pode ser caracterizado como estudo de caso, uma vez que

foram analisados resultados decorrentes de seis escolas específicas (cinco estaduais e uma

municipal), as quais são parceiras na pesquisa. Para coleta de dados foram utilizadas

gravações em áudio das oficinas ministradas, bem como uma bolsista de Iniciação Científica

anotou percepções em um diário de campo.

Em cada uma das seis escolas, foram realizados cinco momentos de formação, participando,

aproximadamente setenta professores destes encontros. Destaca-se que a direção das Escolas,

assim como os docentes, assinaram um termo de consentimento livre e esclarecido,

possibilitando a divulgação dos resultados de forma anônima.

No primeiro encontro foi realizada uma explosão de ideias sobre três questões referentes ao

conteúdo de frações (O que você entende por frações? Qual a importância das frações no

currículo? Cite situações do cotidiano em que usamos frações). Após esta explosão de ideias,

iniciaram-se as atividades do primeiro roteiro que contemplava conteúdos relacionados à

concepção parte/todo, representação de frações e equivalência. Para tanto, foram utilizadas

atividades envolvendo simetria (por dobraduras) para demonstrar frações como: meios,

quartos e oitavos. Também foram exploradas atividades em que os participantes tiveram que

representar no desenho algumas frações solicitadas, conforme é visualizado no Quadro 147.

Quadro 1: Atividade - pintando as frações indicadas

47 Devido ao espaço limitado deste texto, serão apresentadas apenas duas atividades realizadas.


Pinte em cada figura a fração indicada:

a) �� b) �"� c)

��

d) "�

e) �"�

f) �"� g)

�"�

h) "�

Fonte: das autoras

Neste primeiro roteiro também foi explorado o conceito de frações com quantidades

discretas, por meio do uso de caixas de ovo, conforme apresentado no quadro 2.

Quadro 2: atividade utilizando bandejas de ovos

Aprendendo frações com bandejas de ovos

A) Cada dupla ou trio receberá uma bandeja de dúzia de ovos, material para contagem e barbantes.

B) O professor solicitará que cada bandeja seja completada com a dúzia.

C) Em seguida, o professor realizará vários questionamentos oralmente, e os alunos deverão encontrar a

solução (durante as discussões acerca da resolução das questões, o professor irá estimulando os alunos a

fazerem o registro, que também será feito por ele no quadro):

- Mamãe usou "4 bandeja de ovos para fazer um bolo. Quantos ovos ela utilizou?

Mostre na bandeja, os ovos utilizados pela mamãe.

Em seguida, mamãe utilizou "� da dúzia de ovos para fazer uma cobertura. De quantos ovos ela precisou?

Represente na bandeja.

Quantos ovos sobraram na bandeja? Que fração estes ovos representam do total da bandeja?

- Outro dia, observei que havia "� da dúzia de ovos na bandeja. Quantos ovos havia?

Quantos espaços estavam vazios na bandeja. Que fração da bandeja esse espaço representa?


- Viviane gastou a metade da bandeja dos ovos para fazer um pudim. Do restante que sobrou, Marisa usou "�

para fazer uma omelete. Quantos ovos a Viviane utilizou? Quantos ovos Marisa usou? E que fração

representa os ovos que sobraram na bandeja?

- Elise resolveu fazer um quindim. Para isso ela usou �� de uma dúzia de ovos. Quantos ovos ela utilizou?

D) Após os alunos trabalharão com uma bandeja de 30 ovos. O professor realizará questionamentos aos

alunos que deverão resolver com o auxílio do material:

i) Juliana foi pegar ovos e os colocou na bandeja. Ela encheu �� da bandeja. Quantos ovos têm na bandeja?

- Quantos ovos faltam para encher a bandeja? Que fração da bandeja estes ovos representam?

- Qual fração representa a bandeja quando estiver cheia? Quantos ovos ela terá então?

- Qual fração representa cada ovo na bandeja?

ii) Quantos ovos correspondem a "� da bandeja de ovos? E

4�? E ��?

iii) Que fração da bandeja representa 10 ovos?

Fonte: dos autores.

O segundo roteiro abordou conteúdos de probabilidade, no qual foram realizadas atividades

utilizando cartas e dados. Neste, foi explorada a representação do número racional nas

formas: fracionária, número decimal e porcentagem. A proposta do roteiro é o uso destas

representações concomitantemente. Utilizou-se o papel quadriculado no decorrer das

atividades.

Já o último roteiro envolveu as operações fundamentais iniciando com a multiplicação e

divisão e, posteriormente, adição e subtração de frações. A multiplicação e a divisão foram

exploradas por meio do uso de dobraduras, enquanto que na adição e na subtração foi

utilizado o Tangran, enfatizando-se o uso de frações equivalentes.

Salienta-se que todos os participantes realizaram as atividades propostas dos roteiros durante

os encontros. Ademais, nestes momentos foi problematizada a viabilidade das questões na

prática pedagógica, bem como discutida a importância do ensino deste tema desde os Anos

Iniciais do Ensino Fundamental.

Alguns resultados decorrentes dos encontros de formação

Quanto às questões iniciais sobre o conceito e aplicações de frações, as respostas revelaram

diversas carências no conhecimento matemático relativo, em particular (mas não

exclusivamente) aos significados das frações. Os professores foram enfáticos em comentar

que as frações são muito importantes, mas quando questionados sobre onde aparecem, apenas


citaram receitas, medidas e divisão de alimentos. Entretanto, nestas situações apenas

aparecem frações do tipo: meios, terços, quartos, oitavos.

Foram unânimes em dizer que a forma de número decimal é muito mais utilizado do que a

forma fracionária. Neste contexto, corrobora-se com Bertoni (2009, p. 16), que enfatiza a

necessidade de “encontrar caminhos para levar o aluno a identificar quantidades fracionárias

em seu contexto cotidiano e a apropriar-se da ideia do número fracionário correspondente,

usando-os de modo significativo”. Ademais, ficam os questionamentos: porque se dedica

muito mais tempo para ensinar conteúdos relacionados ao número racional na forma de

representação fracionária do que na representação decimal? Será que não está no momento

de repensar o currículo em relação a estes dois focos? Não se poderia trabalhar com as duas

representações concomitantemente? O que realmente é necessário ensinar sobre os números

racionais?

Concorda-se com Lopes (2008) que não se deve abolir o ensino das frações do currículo, mas

há necessidade de repensar sobre os objetivos e os significados deste tipo de número.

Acredita-se que é preciso repensar em práticas, metodologias e estratégias de ensino ao

abordar este tema na Educação Básica. Assim, foram proporcionados durante os encontros

momentos de reflexão sobre o conteúdo e formas de ensiná-lo.

Em relação à primeira atividade, os professores associaram a simetria com as frações. Ao

questioná-los sobre o que representava uma parte da figura, após realizarem a primeira dobra,

um dos participantes da formação salientou: “como temos duas partes exatamente iguais,

podemos dizer que é fração e esta representa a metade”. Durante estas atividades também foi

enfatizada a importância do estudo de frações equivalentes, sobre as quais houve

dificuldades. Segundo Costa e Prado (2015), as dificuldades no conteúdo de frações são

atribuídas a falta de compreensão tanto por parte dos alunos quanto por parte dos professores.

Estes demonstram não conhecer todos os significados que as frações apresentam nas diversas

situações de aprendizagens.

Os participantes, no final do primeiro roteiro, salientaram a importância da utilização do

material concreto para o ensino das frações. Alguns docentes destacaram que para os alunos

é importante “manipular e visualizar diferentes tipos de materiais, trabalhar com diferentes

situações e problemas que o levem a adquirir abstrações posteriores” (Rosado, 2011, p. 14).


Para a autora, a fase de exploração com materiais concretos é fundamental para os alunos

construírem conceitos sobre os números fracionários.

Quanto ao uso de quantidades discretas, os professores salientaram que pouco é usado este

tipo de quantidade, principalmente nos Anos Iniciais. O foco é dado para frações com

quantidades contínuas, pois costumam usar desenhos de quadrados ou círculos para

representar as frações. Salienta-se a necessidade do uso de figuras diferentes e não somente

retângulos e círculos para representação de frações.

Quanto às atividades que tiveram como foco representações do número racional na forma de

porcentagem, número decimal e fração irredutível, os participantes, em particular, os

professores dos Anos Iniciais, tiveram muitas dificuldades. Como foi usada a ideia do papel

quadriculado (quadrado de 10 quadradinhos de lado por 10 quadradinhos de lado) para

representar algumas porcentagens, aos poucos começaram a entender o que a porcentagem

representa, bem como relacioná-la a uma fração irredutível e assim fazer cálculos mentais

sobre porcentagem de um determinado valor.

Em relação às operações com frações, os participantes também tiveram muitas dificuldades,

pois apenas sabiam o algoritmo (quando lembravam) sem saber como explicar para os alunos

de forma diferente. Por exemplo, os professores dominavam o algoritmo da multiplicação,

em que se multiplica o numerador de uma fração pelo da outra, adotando-se o mesmo

procedimento com relação ao denominador. Isto corrobora com Lopes (2008, p. 20-21) que

expressa:

O ensino de frações tem sido praticado como se nossos alunos vivessem no final do século XIX, um ensino marcado pelo mecanicismo, pelo exagero na prescrição de regras e macetes, aplicações inúteis, conceitos obsoletos, “carroções”, cálculo pelo cálculo. Esta fixação pelo adestramento empobrece as aulas de matemática, toma o lugar de atividades instigantes e com potencial para introduzir e aprofundar ideias fortes da matemática.

Quanto às operações de adição e subtração, a maioria também só utilizava o algoritmo do

qual enfatizaram a importância do mínimo múltiplo comum. Poucos, cerca de vinte por cento,

utilizavam a ideia de frações equivalentes. Verificaram-se dificuldades de os professores

reconhecerem as frações equivalentes no âmbito das figuras geométricas que formam o

Tangram. Damico (2007, p. 90), em estudos efetivados acerca de trabalhos que enfatizam as

operações elementares com os números racionais, relata:

[...] se as crianças entenderem o conceito de equivalência, elas terão condições de construir soluções para situações-problema que envolvem adição e subtração de números


racionais sem nenhuma instrução formal. O fato é que eles reconhecem que as crianças têm que somar ou subtrair com base em uma mesma unidade e as crianças são suficientemente proficientes na obtenção de frações equivalentes, encontradas a partir de frações com denominadores comuns.

Nesse sentido, menciona-se a importância de explorar a adição e a subtração de números

racionais partindo de situações de aprendizagem centradas em frações equivalentes, sem,

necessariamente, operá-las com o uso de regras.

Algumas considerações

Durante os encontros de formação continuada o intuito foi proporcionar aos participantes

momentos de reflexão sobre a própria prática, em particular, sobre o ensino de frações. A

reflexão coletiva levou o grupo a ampliar seus questionamentos de maneira a aprofundar o

conhecimento próprio de números racionais, como no caso das operações de multiplicação e

de divisão envolvendo números racionais, bem como na identificação dos diversos conceitos

de número racional. É importante destacar a importância de problematizar, com os docentes

a utilização direta dos algoritmos o que pode ser um entrave nos processos de ensino e

aprendizagem da Matemática, em especial quando envolvem números racionais. Nesse

sentido, concorda-se com Lopes (2008, p. 4), quando menciona que um dos problemas graves

vinculado ao ensino dos números racionais “é a prescrição de regras e macetes para realizar

operações”.

Aliado a isto, Perlin (2013, p. 14) aponta que as dificuldades relativas ao conhecimento

matemático do professor influenciam na sua prática, também indicam a necessidade de que

haja “um enfoque mais amplo do conceito de números racionais, complementado por uma

análise dos diferentes significados da representação fracionária dos números racionais tanto

no curso de formação inicial quanto no de formação continuada”.

Durante os encontros diversas discussões emergiram sobre como trabalhar em sala de aula o

conteúdo de frações de forma diferenciada. Os participantes ressaltaram que as atividades

realizadas nos encontros eram adequadas e realmente poderiam ser utilizadas durante as aulas

de matemática. Destacaram que o desenvolvimento de atividades com materiais concretos

facilita o aprendizado de conceitos fracionários, muitas vezes ensinados e aprendidos

erroneamente em sala de aula.


Pode-se inferir que várias dúvidas em relação aos conteúdos de frações, problematizadas nos

encontros, foram supridas. Neste sentido ocorreu um avanço no que tange a compreensão do

conceito do conteúdo de frações, em especial pelos professores dos Anos Iniciais do Ensino

Fundamental, que foi proporcionado pelo curso de formação continuada.

Referências bibligráficas

Bertoni, E. N. (2009) Educação e Linguagem Matemática IV: Frações e Números fracionários. Universidade de Brasília. Costa, M. da; Prado, M. E. B. B. (2015). Ensino de Frações nos anos iniciais do ensino fundamental: dificuldades, entraves e possibilidades. Conferência Internacional de Educação Matemática - CIAEM: México, p. 1-9. Disponível em:http://xiv.ciaemiacme.org/index.php/xiv_ciaem/xiv_ciaem/paper/viewFile/1035/708 Damico, A. (2007). Uma investigação sobre a formação inicial de professores de matemática para o ensino de números racionais no Ensino Fundamental. 2007. 316 f. Tese (Doutorado em Educação Matemática) – Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo. Lopes, A. J. (2008). O que Nossos Alunos Podem Estar Deixando de Aprender sobre Frações, quando Tentamos lhes Ensinar Frações. Bolema: Rio Claro (SP), Ano 21, nº 31, p. 1-22. Perlin, P. (2013). A Pesquisa Sobre Formação Do Professor Que Ensina Matemática Nos Anos Iniciais No Contexto Dos Números Racionais: Alguns Apontamentos. Anais do XI Encontro Nacional de Educação Matemática. Paraná. Ribeiro, A. J. (2012). Equação e conhecimento matemático para o ensino: relações e potencialidades para a Educação Matemática. Bolema. Rio Claro (SP), v. 26, pp. 535-558. Rosado, R. K. T. (2011). A importância da utilização de material concreto no estudo de frações. Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em Matemática) – Universidade Estadual da Paraíba, Centro de Ciências e Tecnologias. Valera, A. R. (2003). Uso social e escolar dos números racionais: representação fracionária e decimal. 164p. Dissertação (Mestrado em Educação) – Faculdade de Filosofia e Ciências, Marília.


CB-479

LA CONSTRUCCIÓN DEL MODELO SITUACIONAL DE UN PROBLEMA DE MATEMÁTICAS: UNA EXPERIENCIA DE CLASE EN NIVEL SECUNDARIA

BASADA EN ESTRATEGIAS DE COMPRENSIÓN TEXTUAL

Reynaldo Iglecias Antonio – Lidia Aurora Hernández Rebollar – Josip Slisko Ignjatov [email protected] – [email protected] – [email protected]

Facultad de Ciencias Físico Matemáticas, BUAP. Puebla, México Núcleo temático: Recursos para la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas Modalidad: CB Nivel educativo: Medio o secundario Palabras clave: Modelo situacional, comprensión textual, resolución de problemas. Resumen En esta comunicación breve, presentaremos una experiencia de clase diseñada para ayudar a la comprensión de un problema verbal de trigonometría, a través de la construcción de un modelo situacional congruente. Se reporta la intervención didáctica aplicada a estudiantes de tercer grado de secundaria, de una escuela pública en el estado de Puebla (México), organizada en tres momentos: trabajo individual, en equipo y grupal. Para su diseño se usaron estrategias de Elosúa y García (1993), Polya (1965), van Dijk y Kintsch (1983). Se muestran las dificultades que presentaron los estudiantes y su progreso en la comprensión y resolución del problema seleccionado motivado por la aplicación de las estrategias de comprensión textual. Introducción

En la comprensión de un texto, el lector es quien va construyendo el significado, aportando

sus conocimientos previos y sus capacidades de razonamiento. Además, es quien debe definir

sus objetivos de lectura para así aplicar determinadas estrategias de comprensión y

finalmente elaborar una interpretación coherente del mismo (Echavarría, 2006; Peronard,

1997).

Durante la comprensión textual, el modelo situacional es una construcción mental necesaria

(Kintsch, 1986). En investigaciones previas se ha constatado que, en la resolución de

problemas verbales de matemáticas, la construcción de un modelo situacional, congruente

con la situación planteada, es una tarea necesaria pero compleja para el estudiante (Juárez,

Ignjatov, Hernández & Monroy, 2015). Prediger y Krägeloh (2015) han presentado una

revisión amplia de investigaciones sobre dificultades estudiantiles con problemas


matemáticos y diferentes estrategias didácticas de andamiaje diseñadas para ayudarles a

superarlas. En esta investigación nos centramos en la comprensión del enunciado de un

problema de trigonometría extraído de un libro de texto de secundaria.

Marco conceptual

Kintsch (1986) refiere que el problema de comprensión radica en la situación descrita por el

texto. De hecho, debemos saber distinguir entre dos tipos de representaciones mentales

formadas durante la lectura: el texto base y el modelo de la situación (MS). La primera es

construida por el lector o el oyente en el proceso de comprensión, y sus elementos son

proposiciones que se organizan en una adecuada micro y macro estructura. La segunda es

una imagen mental de la situación descrita en el texto. Este investigador afirma que el texto

base refleja las relaciones de coherencia que existen entre las proposiciones de un texto y su

organización, mientras que el MS puede ser un mapa mental del país descrito, una estructura

aritmética, o simplemente, un procedimiento operativo construido a partir de la información

dada en el texto.

Van Dijk y Kintsch (1983) consideran que los MS son esenciales para la comprensión y

arguyen que son la base para la interpretación textual. Tijero (2009) resume los argumentos

que estos autores ofrecen para asegurar que este constructo contiene todo el conocimiento

que se deja implícito en el texto.

Elosúa y García (1993) afirman que la lectura es una actividad “estratégica”. Un buen lector

pone en juego procedimientos o estrategias para obtener un resultado. Las estrategias

cognitivas mencionadas por estos autores son; de focalización, organización, resolución de

problemas y de elaboración. Éstas deben ayudar al lector a escoger otros caminos cuando se

encuentre con problemas en la lectura. Pero no todas resultan adecuadas en todos los sujetos

ni en todas las circunstancias.

Los problemas verbales de matemáticas presentan una doble dificultad, la comprensión

textual y la modelación. Polya (1965) planteó una estrategia general para la resolución

problemas matemáticos, la cual resume en cuatro pasos: comprender el problema, concebir

un plan, ejecutar el plan y examinar la solución obtenida.

En este trabajo se consideró como prioridad el primer paso, “comprender el problema”, dado

que nos concentramos en los problemas verbales de matemáticas. Polya (1965) menciona

“es tonto el contestar a una pregunta que no se comprende… el enunciado del problema


debe ser comprendido” (p. 28-29). Indica que la forma de verificar si el alumno ha

comprendido el problema es que él repita el enunciado sin titubeos, que separe las principales

partes del problema, como la incógnita, los datos y la condición. En el caso que haya alguna

figura relacionada con el problema, el alumno debe dibujar la figura y destacar en ella la

incógnita y los datos. Luego, es necesario dar nombres a dichos elementos, introducir una

notación adecuada, poniendo cuidado en la elección apropiada de los signos.

Metodología

La intervención constó de tres momentos: trabajo individual, en equipos y grupal. Durante

los tres momentos se estuvo haciendo énfasis en las estrategias de comprensión textual y

resolución de problemas matemáticos, las cuales son las sugeridas por Polya (1965), Elosúa

y García (1993):

• De focalización: Leer el problema; Identificar los datos, la incógnita, palabras

importantes, etc.

• De resolución de problemas: Identificar los conceptos que se presentan, de no conocer

alguno buscar y/o preguntar su definición.

• De organización: Releer el problema, en este caso relacionar los conceptos que no se

tenían claros al momento de la primera lectura; Identificar el objetivo del problema;

Reformular el problema en caso de ser necesario; Identificar los datos y la incógnita

• De elaboración: Realizar una tercera lectura, verificando claramente cuál es el objetivo

del problema; Relacionar el problema con alguno ya visto anteriormente.

Debido a que la comprensión de textos requiere de la construcción de un MS (van Dijk &

Kintsch, 1983), se decidió pedir a los estudiantes que, después de leer el problema verbal de

matemáticas, realizaran un dibujo. Dicho dibujo fue considerado como una representación

del MS del problema. De esa forma, fue posible estudiar el efecto de las estrategias en la

comprensión, a través de los dibujos, o MS. Para esta etapa las orientaciones propuestas por

Polya (1965) resultaron de mucha utilidad. A continuación, se presentan algunas:

• Hacer un dibujo del problema.

• Ubicar los datos y la incógnita en el dibujo.

• Verificar si el dibujo (MS) construido representa fielmente al problema.

• Extraer lo más esencial del problema, representándolo en un dibujo abstracto.


• Resolver el problema usando algún procedimiento matemático.

Participantes

Participaron 22 estudiantes de una escuela secundaria de la ciudad de Puebla (México) que

cursaban el tercer grado en el mes de mayo de 2015. El tema que se trabajó con ellos fue el

de trigonometría, el cual ya habían visto con su profesor 2 semanas antes, por lo que se

esperaba que tuvieran los conocimientos previos necesarios.

Actividad problemática

En esta investigación se planteó el siguiente problema: Debido a un incendio en una fábrica

se tuvo que desalojar a las personas que estaban cerca dentro de un radio de 500 m del

siniestro. Una familia tiene una casa a 400 m al este y a 350 m al sur de la fábrica. Se desea

saber si será desalojada de su vivienda (Valiente. S. & Valiente, S. I, 2009, p. 178)

Trabajo individual

En esta etapa se dieron las primeras orientaciones para que los estudiantes comprendieran el

texto. Se les invitó a leer detenidamente el problema y a que identificaran las palabras o

conceptos que desconocieran, con la intención de que construyeran mentalmente el texto base

y luego pudieran relacionarlas sin ninguna dificultad para construir el MS. Así mismo, se les

pidió que reconocieran todos los datos que se les presentaba en el problema. Después, se les

sugirió que identificaran cuál era la problemática que se les presentaba. Al momento de

preguntarles si ya habían comprendido la situación del problema la mayoría respondió que

sí. Sin embargo, cuando se les solicitó que hicieran una representación de la situación se

observó que ninguno hizo un dibujo congruente con la misma. El hecho de que ningún

estudiante lograra la construcción de un MS congruente con el problema dejó ver que faltó

comprensión. En esta parte de la intervención ninguno de los estudiantes logró la

construcción del MS y, por tanto, tampoco resolvieron el problema. Los dibujos que hicieron

los estudiantes de manera individual se analizaron posteriormente por los autores de esta

investigación, obteniendo las siguientes cuatro categorías:

Los que intercambiaron la ubicación de los puntos cardinales Este y Oeste (ver Figura 1).


Figura 1. MS del Estudiante 4.

No midieron las coordenadas a partir del origen (Figuras 2 y 3).

Figura 2. MS del Estudiante 2. Figura 3. MS del Estudiante 11.

Estudiantes que dieron una ubicación de la casa, pero no se sabe si midieron correctamente

los metros como se indica en el problema (Figura 4).

Figura 4. MS del Estudiante 18.

Los que dibujan algunos de los elementos que se mencionan en el texto (la casa, la fábrica,

la circunferencia, etc.) pero no la relación hay entre ellos como lo indica el problema. Tales

MS reflejan que estos estudiantes construyeron la micro, pero no la macro estructura del texto

base (Figuras 6 y 7).

Figura 6. MS del Estudiante 7. Figura 7. MS del Estudiante 15.

Resolución del problema

Ningún estudiante resolvió correctamente el problema en esta etapa de trabajo individual, sus

respuestas se clasificaron en tres categorías:


• Manipularon los datos con operaciones básicas.

• Argumentaron que la casa tenía que ser desalojada sin ningún procedimiento matemático.

• Escribieron algún dato sin operar o no escribieron nada.

Trabajo en equipo

En el segundo momento de la intervención se pidió a los estudiantes que compartieran sus

reflexiones sobre este problema con sus compañeros, formando 4 equipos de 4 estudiantes y

2 de 3 estudiantes.

En esta actividad se pidió a los equipos que volvieran a leer el texto, pero ahora más

detalladamente. Nuevamente se les solicitó que identificaran todo aquello que no conocieran

o que les causara algún impedimento para comprender el problema. Uno de los equipos

planteó la duda sobre la ubicación correcta de los puntos cardinales, la cual se aclaró. Lo

anterior ayudó a este equipo a tener una estructura más clara del texto. Después de esto, el

equipo pudo hacer una representación adecuada, lo cual indicó que estos estudiantes ya

habían entendido el problema. Estos estudiantes pudieron pasar de la micro, a la macro

estructura del texto, para finalmente lograr un MS adecuado. Otro equipo tuvo el error de

medir los 400 m hacia el oeste, los integrantes aun no tenían clara la ubicación de los puntos

cardinales, por lo que ellos no pudieron hacer una representación correcta. A la mayoría de

los equipos les faltó pasar de la micro a la macro estructura en el texto base, para luego poder

construir un MS adecuado.

Solo 2 de los 6 equipos lograron resolver correctamente el problema aplicando el teorema de

Pitágoras. El resto de los equipos procedió de la siguiente manera: dos equipos sumaron los

datos (400 m y 350 m) y compararon esta suma con el área que cubría el siniestro. Uno

comparó los datos con el radio del siniestro y dijo, “la casa está cerca del incendio porque el

radio mide 500 m y si puede llegar a la casa”. El otro equipo intentó aplicar el teorema de

Pitágoras. A pesar de que ellos escribieron: “no quedó dentro del área de peligro”, es decir,

la casa no tiene que ser desalojada, su procedimiento fue incorrecto debido a un mal despeje.

Trabajo grupal

En el tercer y último momento de la intervención, dos estudiantes decidieron compartir con

todo el grupo el procedimiento acordado con su equipo. El primero procedió a leer el

enunciado del problema, a pesar de que ya todos lo habían leído varias veces, él no omitió

ninguna de las palabras o frases. Se le preguntó una vez más al grupo si tenían dudas respecto


a las palabras o frases del texto. Los integrantes de los equipos que ya habían respondido

correctamente dijeron que no, los demás equipos prefirieron quedarse callados, a pesar de

que se les decía que expresaran todas las dudas que tuvieran. Luego se les preguntó sí habían

logrado comprender la situación, los integrantes de los equipos que pudieron resolverlo

dijeron que si, pero los estudiantes que no habían podido hacer su representación correcta,

decidieron hablar y preguntaron por qué seguían estando mal en su dibujo de la situación y

en su respuesta. Uno de los errores que ellos seguían cometiendo era la ubicación de los

puntos cardinales, habían invertido Este y Oeste, por lo que se les corrigió.

Luego, el segundo estudiante pasó a la pizarra a realizar un dibujo del problema, y, como ya

había entendido la problemática que se presentó, pudo hacer una representación correcta (en

su dibujo supuso que la casa estaba fuera del radio del siniestro). Después, en la resolución

del problema, se les preguntó si ya habían entendido cual era el objetivo. Un estudiante de

otro equipo dijo que si, por lo que compartió su idea con sus compañeros, resolviendo el

problema usando el teorema de Pitágoras. Él argumentó que, con los datos que se daban, se

trazaba un triángulo rectángulo y el lado que se desconocía era la hipotenusa. Aplicó

adecuadamente el Teorema de Pitágoras para encontrar el valor de la hipotenusa. Una vez

que encontró el dato faltante lo comparó con la longitud del radio del siniestro y dijo: la casa

no tiene que ser desalojada.

Conclusiones

En el trabajo individual se observó que todos los estudiantes intentaron resolver el problema

sin comprenderlo. Lo anterior se dedujo porque sus dibujos no eran congruentes con la

situación del problema. Incluso, hubo estudiantes que construyeron la micro, pero no la

macro estructura del texto base, lo cual refleja un nivel muy bajo en el proceso de

comprensión textual. Además, ninguno pudo dar una respuesta correcta. Algunos solo usaron

operaciones básicas (sumas o productos), lo cual es un ejemplo de contrato didáctico, como

lo comenta D´Amore (2014), los estudiantes “con tal de producir cálculos escriben

operaciones sin sentido, desligadas de los requerimientos del problema, pero que tienen

como operadores los datos numéricos presentes en el texto” (p. 116). En esta primera parte

de la intervención observamos que no se tuvo éxito en la comprensión del problema, los

estudiantes tendieron a resolver sin comprender.


En el trabajo por equipos, dos de ellos comprendieron adecuadamente el problema,

construyeron una representación congruente con la situación y obtuvieron el resultado

correcto. Finalmente, cuando se trabajó en forma grupal, dos de los estudiantes compartieron

cómo ellos habían entendido el problema y su resolución.

Esta breve intervención didáctica nos ha permitido observar el proceso de comprensión de

un problema verbal de matemáticas a través de los dibujos de los estudiantes. Desde las

dificultades a las que se enfrentaron de manera individual, hasta el éxito alcanzado en el

trabajo grupal. El trabajo colaborativo y las estrategias implementadas para la comprensión

del problema (de focalización, de resolución de problemas, de organización, etc.) permitieron

que los estudiantes se involucraran y lograran la comprensión y la resolución del problema.

Por todo lo anterior creemos que este tipo de intervenciones, dedicadas a la comprensión

textual son necesarias, ya que de otra forma el estudiante tiende a intentar resolver operando

los datos. Hacer un dibujo no es sólo una estrategia para la resolución de problemas sino

también una estrategia didáctica que permite al profesor analizar las dificultades de los

estudiantes.

Consideramos también que es importante trabajar en el aula los MS y las representaciones

matemáticas, y discutir sus diferencias, pues en muchos libros de texto de matemáticas estos

dos modos de representación del problema aparecen mezclados.


D’Amore, B. (2014). Didáctica de la Matemática. Bogotá, DC. Colombia: Magisterio.

Echevarría, M. Á. (2006). ¿Enseñar a leer en la Universidad? Una intervención para mejorar

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Academic Press.


CB-481 EXPLORANDO A MATEMÁTICA DO BRINCAR POR MEIO DA MODELAGEM

MATEMÁTICA

Marli Teresinha Quartieri– Elise Cândida Dente – Márcia Jussara Hepp Rehfeldt [email protected] – [email protected] – [email protected]

Centro Universitário Univates - Brasil Núcleo temático: La Resolución de Problemas en Matemáticas. Modalidade: CB Nivel educativo: Primario (6 a 11 años) Palavras-chave: Modelagem Matemática, brincar, Anos Iniciais, perímetro. Resumen Este relato tem por objetivo compartilhar uma atividade explorada com uma turma de 5º ano do Ensino fundamental do Vale do Taquari à luz da Modelagem Matemática. Para iniciar a prática pedagógica, como indicam Burak e Aragão (2012), foi escolhido um tema de interesse pela turma. Esta definição ocorreu por meio de um questionário que indagava os discentes acerca de suas preferências em sala de aula, bem como no seu tempo livre. Assim, ficou definido o brincar. Após, a turma escolheu os seguintes subtemas: Vôlei, futebol, pega-pega, jogos coletivos, bicicleta e boneca/escolinha. Diante destes temas foram elencadas diversas curiosidades, das quais se destacam: Quais as dimensões das quadras de vôlei e futebol? As dimensões das quadras da escola correspondem às oficiais?”. Iniciou-se a pesquisa exploratória a fim de saber as dimensões reais e após os alunos foram levados até o ginásio da escola para medir as dimensões reais. Após esta aferição, brincaram de pega-pega sobre as linhas da quadra e observaram quantas vezes passavam sobre cada uma. Na sala de aula foram socializadas as dimensões oficiais e as reais, emergindo a discussão do conteúdo matemático “perímetro”. Cada aluno posteriormente determinou quanto metros correu durante a brincadeira. Introdução Este relato socializa os resultados de uma das atividades exploradas em uma pesquisa de

mestrado, do Programa de Pós-graduação Mestrado Profissional em Ensino de Ciências

Exatas, da Univates (Lajeado, RS, Brasil). A intervenção pedagógica esteve alicerçada na

Modelagem Matemática como uma metodologia de ensino e de aprendizagem da Matemática

e foi norteada pelas ideias de Burak e Aragão (2012).

O estudo também contou com financiamento da Coordenação de Aperfeiçoamento de

Pessoal de Nível Superior (CAPES), por meio do Programa Observatório da Educação sendo

uma das ações da pesquisa intitulada “Estratégias Metodológicas visando à Inovação e


Reorganização Curricular no Campo da Educação Matemática no Ensino Fundamental”.

Essa pesquisa tem por objetivo problematizar e propor estratégias metodológicas com vistas

à inovação e reorganização curricular da Matemática em Escolas de Educação Básica, que

apresentam considerável distância de notas no Índice de Desenvolvimento da Educação

Básica (IDEB)48 relativo à 4ª série/5º ano e 8ª série/9º ano. O grupo de pesquisa é composto

por quatro professores do ensino superior da instituição, três bolsistas mestrandos do

Programa de Pós-graduação Mestrado Profissional em Ensino de Ciências Exatas, seis

bolsistas de graduação e seis professores da Educação Básica advindos de seis escolas

parceiras, localizadas nas proximidades da Instituição. As discussões e intervenções do grupo

ocorrem semanalmente e estão alicerçadas em três tendências no campo da Educação

Matemática, a saber: a Etnomatemática, Modelagem Matemática e a Investigação

Matemática.

A intervenção pedagógica, a ser socializada neste relato, ocorreu com uma turma de 5º ano

do Ensino Fundamental, de uma destas seis escolas parceiras do Observatório da Educação,

com vinte e dois alunos. A prática efetivada, à luz da Modelagem Matemática, iniciou com

a escolha do tema a ser explorado, pelos alunos da referida turma. Foi escolhido o tema

“brincar”. Diante desta temática, que pode ser considerada ampla, foram elencados seis

subtemas: futebol, vôlei, pega-pega, jogos coletivos, jogos de computador e

escolhinha/boneca. Neste texto, devido ao espaço limitado, serão discutidos apenas os

resultados decorrentes dos subtemas vôlei, futebol e pega-pega.

Portanto, na próxima sessão, serão discutidos os pressupostos teóricos que sustentaram o

estudo descrito neste trabalho.

1. Pressupostos teóricos

A Modelagem Matemática vem sendo discutida e definida em diferentes vieses no âmbito da

Educação Matemática. É definida, por um dos primeiros pesquisadores na área, como a “[...]

arte de transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los

interpretando suas soluções na linguagem do mundo real.” (Bassanezi, 2006, p. 16). Este

48 O Índice de Desenvolvimento da Educação Básica (IDEB) foi criado pelo Inep em 2007 e representa a iniciativa pioneira de reunir em um só indicador dois conceitos igualmente importantes para a qualidade da educação: fluxo escolar e médias de desempenho nas avaliações.


autor, por sua vez, defende que ao finalizar a modelagem deve-se encontrar uma equação que

possa ser utilizada em diferentes situações semelhantes à modelada. Em uma perspectiva

semelhante Biembengut (2014, p. 21) comenta que a

Modelagem é o processo envolvido na elaboração de modelo de qualquer área do conhecimento. Trata-se de um processo de pesquisa. A essência deste processo emerge na mente de uma pessoa quando alguma dúvida genuína ou circunstância instigam-na a encontrar uma melhor forma para alcançar uma solução, descobrir um meio para compreender, solucionar, alterar, ou ainda, criar ou aprimorar algo. E em especial, quando a pessoa tem uma percepção que instiga sua inspiração.

Na intenção de demonstrar a organização das atividades de Modelagem, Barbosa (2001)

expõe três possibilidades que são chamados de casos de Modelagem Matemática, conforme

síntese do quadro 1. No caso 1, a atividade é centralizada pelo professor, que organiza tudo,

envolvendo o aluno somente na resolução do problema. No caso 2, a participação dos

discentes já é mais efetiva, mas a situação a ser modelada é proposta pelo professor. Já no

caso 3, o protagonismo do aluno é evidenciado, pois ele participa de todas as etapas e o

professor assume o papel de facilitador da aprendizagem.

Quadro 1: Classificação dos casos de Modelagem Matemática

Caso 1

Caso 2 Caso 3

Elaboração da situação-problema Professor Professor Professor/aluno

Simplificação Professor Professor/aluno Professor/aluno

Dados qualitativos e quantitativos Professor Professor/aluno Professor/aluno

Resolução Professor/aluno Professor/aluno Professor/aluno

Fonte: Barbosa (2001, p. 9).

As intervenções pedagógicas alicerçadas na Modelagem Matemática, quanto aos casos

citados no Quadro 1, pressupõem uma evolução no que tange ao papel do professor e dos

alunos. Inicialmente, a maioria dos professores experimenta o caso 1 e, no decorrer do tempo,

com mais experiência, professor e alunos, mais autônomos e seguros, tendem a progredir,

indo para o caso 3.

Já em uma concepção voltada a Educação Básica, Burak e Aragão (2012, p. 88) entendem

que “A Modelagem Matemática constitui-se em um conjunto de procedimentos cujo objetivo

é construir um paralelo para tentar explicar, matematicamente, os fenômenos presentes no

cotidiano do ser humano, ajudando-o a fazer predições e tomar decisões.” Neste sentido, os


procedimentos propostos pelos autores, para o desenvolvimento de uma prática à luz da

modelagem, e que foram base para esta prática pedagógica, são: a escolha do tema; a pesquisa

exploratória; o levantamento de problemas; a resolução dos problemas e o desenvolvimento

dos conteúdos no contexto do tema; e, por fim, a análise crítica da (s) solução (ões).

Na primeira etapa, os alunos podem citar temas de interesse ou curiosidade, bem como propor

uma situação-problema a ser resolvida. A segunda etapa consiste em conhecer melhor o tema

ou problema escolhido, podendo tornar o discente mais crítico e atento às informações. O

terceiro momento é disponibilizado para a formulação matemática dos problemas, a partir

dos dados coletados anteriormente. Na quarta etapa, os conteúdos matemáticos recebem

importância e significados, principalmente pela ação mediadora do professor. E, por fim, a

quinta etapa, tem por objetivo analisar os resultados encontrados e a discussão sobre eles,

sendo este um importante momento de socialização e interação entre os discentes.

Em todo processo de Modelagem Matemática o professor tem um papel importante de

orientador, pois

a) orientar é indicar caminhos, é fazer perguntas, é não aceitar o que não é bom, é sugerir procedimentos; b) orientar não é dar respostas prontas e acabadas, orientar não é sinalizar que “vale-tudo”; c) orientar não é esperar que o aluno simplesmente siga exemplos; d) orientar não é livrar-se de estudar, de se preparar para o exercício da função; e) orientar não é despir-se da autoridade de professor. (Almeida, Silva e Vertuan, 2013, p. 24)

O docente ao admitir este novo papel, frente a uma metodologia diferenciada, possivelmente

se sentirá inseguro. Assim, para que possa se ambientar com a modelagem Almeida, Silva e

Vertuan (2013) propõem três momentos. No primeiro momento, o docente apresenta uma

situação-problema com as informações necessárias para os discentes e os procedimentos de

resolução são mediados e avalizados pelo professor. No segundo momento, a situação-

problema também é sugerida pelo professor, no entanto, as demais etapas são desenvolvidas

pelos discentes, o que os torna mais independentes. No terceiro momento, os alunos, em

grupos, são responsáveis por todo o trabalho de modelagem. Neste contexto, tanto o docente

quanto os discentes tornam-se cada vez mais seguros e instigados a usar a Modelagem

Matemática nas aulas.

Na próxima seção estão descritas as atividades desenvolvidas, bem como a discussão dos

resultados decorrentes destas atividades.

Desenvolvimento das atividades e discussão


Esta intervenção, realizada com vinte e dois alunos de uma turma de 5º ano do Ensino

Fundamental, iniciou a fim de seguir os passos propostos por Burak e Aragão (2012), sendo

que os discente fizeram a escolha do tema e dos subtemas. No entanto, logo após o início da

prática, esta acabou por se tornar o caso 2 proposto por Barbosa (2001). Para tal a professora

pesquisadora propôs os seguintes questionamentos: “Quais as dimensões das quadras de

vôlei e futebol? As dimensões das quadras da escola correspondem às oficiais?”. Com estas

problemáticas, os alunos foram levados ao laboratório de informática da escola a fim de

verificar quais as dimensões oficiais das quadras de vôlei e futebol. Foram obtidos como

resultados que os campos tem respectivamente 9m por 18m e 20m por 40m. Após, retornou-

se para a sala de aula para discutir sobre as medidas encontradas e fazer uma representação

conjunta no quadro dos dois campos.

No encontro seguinte, munidos de trenas, os alunos, em duplas e trios, aferiram as medidas

das quadras da escola, conforme representado na Figura 1. Novamente em sala de aula, foram

socializados os resultados fazendo representações no quadro dos campos. Os resultados das

medidas encontradas foram 18 por 10m51cm na quadra de vôlei e 14m por 24m na quadra

de futebol. Nesta parte da atividade de socialização algumas medidas aferidas, pelos grupos,

tiveram alguns centímetros de diferença. Frente a este acontecimento, a turma junto com a

professora, optou em utilizar o valor que mais se repetiu, haja vista que “por mais que o

sujeito que faz as medidas em um laboratório seja competente e caprichoso, os dados

experimentais nunca terão precisão e exatidão absoluta [...]” (Lima Junior, 2012, p. 1). Ainda

foi discutido que estas diferenças podem ocorrer, haja vista que somos humanos e podemos

fizer uma leitura não tão precisa dos instrumentos.

Figura 1 – Alunos medindo as quadras da escola.


Fontes: Das autoras, 2015.

A última problemática proposta pela professora pesquisadora foi uma brincadeira de pega

pega, na qual os alunos puderam correr apenas sobre as linhas das quadras de vôlei e futebol

e cuidaram quantas vezes passavam em cima de cada linha. Na sala de aula, cada discente,

deveria determinar quantos metros correu na atividade. No grande grupo foi problematizado

como poderíamos descobrir quantos metros correram, e um dos alunos prontamente inferiu

que deveríamos somar todas as medidas das linhas da quadra. Neste momento, ele mesmo,

sem a intuição, sugeriu a determinação do perímetro de cada quadra o que foi realizado

conforme a síntese visualizada nas Figuras 2 e 3.

Figura 2 – Perímetro da quadra de futebol.

Fonte: Das autoras, 2015.

Figura 3: Perímetro da quadra de vôlei


Fonte: Das autoras, 2015.

Diante dos perímetros um aluno prontamente diz “é só fazer o perímetro da quadra que corri

vezes o número de vezes que passei nela”. E foi isto que os discentes fizeram como pode ser

visto no registro de uma aluna (Figura 4). Acreditamos que esta atividade será lembrada pelos

discentes em outros momentos de sua vida escolar, pois foram eles que construíram o

significado para este termo a partir das atividades efetivadas (Almeid, Silva e Vertuan, 2012).

Figura 4: Registro da atividade de determinação da distância percorrida durante a brincadeira

de pega-pega.


Fonte: Caderno de registro de uma aluna, 2015.

Como modelo encontrado pelos alunos pode se descrever número de voltas corrido na quadra

de vôlei X 57,02m + número de voltas corridas sobre as linhas da quadra de futebol X 76m=

a distância percorrida.

Algumas considerações


Após este breve relato, é possível inferir que a Modelagem Matemática utilizada como

metodologia de ensino e de aprendizagem, faz sucitar conteúdos matemáticos no contexto

escolar que não estão previstos para um determinado nível de ensino, fazendo com que os

alunos construam novos conhecimentos, o que foi o caso do perímetro. Salientamos que os

alunos não tinham visto ainda este conteúdo em aulas anteriores. Ademais, ainda em alguns

momentos, os discentes precisam revisitar conceitos já desenvolvidos durante sua vida

escolar, o que ocorreu com a multiplicação.

Outro tópico, relevante que pode ser destacado é a mudança na perspectiva utilizada para o

trabalho de modelagem sendo que este iniciou na perspectiva de Burak e Aragão (2012) e

passou a ser um caso 2 de Barbosa (2001). Esta mudança no planejamento foi necessária,

haja vista que os discentes necessitavam ser direcionados para que pudessem visualizar a

Matemática presente no tema escolhido por eles. Sendo assim, ressaltamos que a utilização

da modelagem matemática, fez com que os discentes tivessem algumas vivências

diferenciadas das do dia-a-dia escolar.


Almeida, L. W.; Silva, K. P.; Ventuan, R. E. (2013). Modelagem Matemática na educação básica. 1.ed. São Paulo: Contexto. Bassanezi, R. C. (2006). Ensino-aprendizagem com modelagem matemática. 3. ed. São Paulo: Contexto. Barbosa, J. C. (2001). Modelagem na Educação Matemática: contribuições para o debate teórico. In: Anais da Reunião Anual da ANPED. Rio Janeiro. Disponível em: http://www.ufrgs.br/espmat/disciplinas/funcoes_modelagem/modulo_I/modelagem_barbosa.pdf. Acesso em: 27/06/2015. Biembengut, M. S. (2014). Modelagem matemática no ensino fundamental. Blumenau: Edifurd. Burak, D.; Aragão, R. M. R. (2012). A modelagem matemática e relações com a aprendizagem significativa. 1. Ed. Curitiba: Editora CRV. Lima Junior, P. (2012). O laboratório de mecânica. Porto Alegre: IF-UFRGS.


CB-482 DESENVOLVIMENTO DE CONHECIMENTOS NECESSÁRIOS AO PROFESSOR

QUE ENSINA MATEMÁTICA EM UM CURSO DE PEDAGOGIA

Marlene Terezinha Fernandes - Jutta Cornelia Reuwsaat Justo [email protected] - [email protected] Universidade Luterana do Brasil (ULBRA)/Brasil

Núcleo temático: IV Formação de Professores de Matemática Modalidade: CB Nível educativo: 5 Formação e Atualização do Ensino Palavras-chave: formação de professores, anos iniciais, conceitos matemáticos. Resumo O trabalho apresenta parte de uma pesquisa que objetiva investigar a influência das disciplinas específicas de Matemática, constantes no currículo do Curso de Pedagogia de uma instituição de ensino superior no sul do Brasil, para o desenvolvimento dos conhecimentos necessários ao professor que ensina matemática. Apresentam-se resultados parciais da pesquisa que investiga a formação docente dos alunos em relação aos processos de aprender e ensinar matemática a partir das disciplinas específicas da matriz curricular, frente a elaboração de conceitos, compreensão e aplicabilidade no estágio curricular dos anos iniciais do ensino fundamental. A primeira etapa da pesquisa consistiu na coleta de dados junto aos alunos matriculados no segundo semestre de 2016 nas disciplinas de Organização dos Tempos e Espaços na Infância e Fundamentos Teóricos e Metodológicos da Matemática quanto aos conhecimentos prévios relativos aos temas/conteúdos trabalhados nas disciplinas, assim como, as percepções e experiências dos alunos do curso de Pedagogia em relação aos conceitos e conhecimentos necessários ao professor que ensina matemática. Na primeira etapa foram aplicados 57 instrumentos que representam, parcialmente, os questionamentos do instrumento 01 (um) que objetiva mapear o perfil dos participantes e investigar as expectativas dos alunos ingressantes em relação às disciplinas específicas de matemática constantes na matriz curricular do curso de Pedagogia.

Introdução

Esta pesquisa aborda o tema formação de professores no curso de Pedagogia,

especificamente nas disciplinas que trabalham os conceitos matemáticos, buscando

responder a inquietação acadêmica: Como as disciplinas específicas de Matemática

constantes do currículo do Curso de Pedagogia influenciam o desenvolvimento dos

conhecimentos necessários ao professor para o ensino e a aprendizagem de conceitos


matemáticos frente às atividades práticas de estágio supervisionado e do exercício

profissional da docência?

O questionamento é representativo de duas inquietações que, a princípio, são

norteadoras desse estudo. A primeira diz respeito a investigação, junto aos alunos

matriculados no curso, em relação aos conhecimentos necessários ao professor que ensina

matemática, principalmente em relação a percepção de aprender e ensinar os conceitos

matemáticos aos alunos dos anos iniciais do ensino fundamental. A segunda inquietação, se

relaciona reciprocamente com a primeira, pois vislumbra-se a possibilidade de adequação e

alteração da matriz curricular do curso com base nos resultados da pesquisa.

A revisão da matriz curricular do curso encontra amparo legal na Resolução n. 02, de

1º de julho de 2015, aprovada pelo Conselho Nacional de Educação (CNE) que Define as

Diretrizes Curriculares Nacionais para a formação inicial em nível superior (cursos de

licenciatura, cursos de formação pedagógica para graduados e cursos de segunda

licenciatura) e para a formação continuada, possibilitando a revisão e ampliação das

matrizes curriculares dos cursos de formação de professores.

Considera-se também a política nacional de formação dos profissionais da educação

de que tratam os incisos I, II e III do caput do art. 61 da Lei nº 9.394, de 20 de dezembro de

1996 - Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional, assegurando que todos os professores

e as professoras da educação básica possuam formação específica de nível superior, obtida

em curso de licenciatura na área de conhecimento em que atuam, são retomados

enfaticamente com a aprovação do Plano Nacional de Educação (PNE) em junho de 2014,

especificamente nas metas 15, 16, 17 e 18.

A partir da aprovação da Resolução n.02/2015, já citada, muitos desafios precisam

ser considerados quanto aos princípios que norteiam a base nacional comum para a formação

inicial e continuada de professores. Há de se considerar também a docência como ação

educativa e como processo pedagógico intencional e metódico, envolvendo conhecimentos

específicos, interdisciplinares e pedagógicos, conceitos, princípios e objetivos da formação

que se desenvolvem entre conhecimentos científicos e culturais [...] (RESOLUÇÃO n.

02/2015).

Desta forma, são de extrema importância e necessárias as pesquisas de

acompanhamento e avaliação dos cursos de formação de professores, neste caso,


especificamente as disciplinas de matemática do curso de Pedagogia, já que, a partir da

promulgação dessas leis, as instituições de ensino superior assumem a responsabilidade de

formar profissionais cada vez mais habilitados e preparados para o exercício da docência.

A formação de professores que ensinam matemática nos anos iniciais

As Diretrizes Curriculares Nacionais do curso de Pedagogia - Resolução CNE/CP n.

01, de 15 de maio de 2006, destaca no Art. 4º - O curso de Licenciatura em Pedagogia

destina-se à formação de professores para exercer funções de magistério na Educação

Infantil e nos anos iniciais do Ensino Fundamental, nos cursos de Ensino Médio, na

modalidade Normal, de Educação Profissional na área de serviços e apoio escolar e em

outras áreas nas quais sejam previstos conhecimentos pedagógicos. Nesse contexto é

importante destacar que grande parte dos professores que atuam nos anos iniciais do ensino

fundamental são formados nos cursos de Pedagogia. No entanto, a formação do pedagogo,

devido ao carater mais abrangente, carece de atenção quanto as especificidades de formação

nos conteúdos de português, matemática, história, geografia, artes e ciências.

O tema formação de professores se constitui como um universo instigante e com

abundante produção de pesquisas e estudos, no entanto, o recorte que se pretende fazer com

esta pesquisa é estudar e pesquisar a formação matemática dos docentes do curso de

Pedagogia.

O aporte teórico preliminar deste estudo encontra referência nos estudos de Schulman

(1986) sobre a complexidade do conhecimento docente: o conhecimento do conteúdo, o

conhecimento pedagógico do conteúdo e o conhecimento curricular; em Tardif (2011) e

Nóvoa (1997) ao tratar sobre a formação e os saberes docentes e Ball e Bass (2000) que

abordam os conhecimentos matemáticos e pedagógicos para ensinar matemátca.

Constituição da matriz curricular do curso de Pedagogia

A matriz curricular do curso de Pedagogia da Universidade Luterana do Brasil

(ULBRA) é composta por 3.296 horas, distribuidas em oito semestres. As disciplinas que

abordam, especificamente, os conceitos matemáticos são: Organização dos Tempos e

Espaços na Infância (OTEI), Fundamentos Teóricos e Metodológicos da Matemática

(FTMM) e Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada à Educação Infantil e Anos

Iniciais (MEMAEIAI), com 68horas cada. A aplicabilidade dos conceitos estudados ao longo

da formação são evidenciados nos estágios curriculares de Educação Infantil (102h) e Anos


Iniciais e/ou Educação de Jovens e Adultos (102h), totalizando 204 horas de formação teórica

e atividades práticas dos conceitos matemáticos.

Este estudo objetiva investigar a influência das disciplinas específicas de

Matemática, constantes do currículo do Curso de Pedagogia da ULBRA, para o

desenvolvimento dos conhecimentos necessários ao professor que ensina matemática nos

anos iniciais do ensino fundamental, frente às atividades práticas dos estágios

supervisionados.

Outro objetivo que norteia esta pesquisa é investigar as expectativas dos alunos

matriculados no curso de Pedagogia em relação as disciplinas específicas de formação dos

conceitos matemáticos, ao considerar o que afirma Curi (2004), em sua tese de doutorado, de

que muitos alunos escolhem o curso de Pedagogia porque não precisam cursar Matemática.

Desta forma, busca-se verificar se a formação recebida nas disciplinas específicas

que tratam sobre os conceitos matemáticos oferecem os conhecimentos necessários quanto a

compreensão, aprendizagem e aplicabilidadedos conteúdos estudados no exercício prático da

docência.

Objetiva-se também colher informações para a constituição da matriz curricular do

curso, ao confrontar e avaliar os resultados da pesquisa com a perspectiva de revisão dos

conteúdos das disciplinas específicas de Matemática do Curso de Pedagogia,visto que existe

a possibilidade legal de adequação e reorganização dos componentes curriculares, se for o

caso.

O caminho metodológico de pesquisa

Para desenvolver essa investigação optou-se pelo enfoque qualitativo e quantitativo

por entender que o estudo requer os dois tipos de abordagens, visto que os dados coletados

são complementares. Minayo (2011) destaca que os dois tipos de abordagens não são

incompatíveis. "Entre eles há uma oposição complementar que, quando bem trabalhada

teórica e praticamente, produz riqueza de informações, aprofundamento e maior

fidedignidade interpretativa" (p.22).

A abordagem qualitativa encontra referência nas pesquisas de caráter descritivo e

interpretativo dos fatos em que os pressupostos teóricos adaptam-se às finalidades da

pesquisa proposta. Para Minayo (2011), a pesquisa qualitativa "responde a questões muito

particulares, [...] ela trabalha com o universo dos significados, dos motivos, das aspirações,


das crenças, dos valores e das atitudes" (p.21). Optou-se pelo estudo de caso como

metodologia de pesquisa por considerar que o "estudo de caso coletivo é aquele cujo

propósito é o de estudar características de uma população. Eles são selecionados porque se

acredita que, por meio deles, torna-se possível aprimorar o conhecimento acerca do universo

a que pertencem" (GIL, 2002, p. 139).

Os instrumentos de pesquisa previstos são questionários com perguntas abertas, que

objetivam mapear o perfil dos participantes e investigar as expectativas dos alunos

ingressantes em relação às disciplinas específicas de matemática constantes na matriz

curricular do curso de Pedagogia (instrumento 01). Já o instrumento 02, está subdividido em

três instrumentos distintos, organizados com exercícios dos conteúdos das disciplinas de

OTEI, FTMM e MEMAEIAI que objetivam testar os conhecimentos dos alunos sobre os

conceitos matemáticos, caracterizando-se como pré-teste e, ao final das disciplinas

específicas, serão aplicados os mesmos exercícios - pós-teste, para analisar

comparativamente a aquisição de conhecimentos matemáticos no decorrer da formação.

Neste aspecto busca-se investigar se a aplicação de exercícios práticos sobre os

conteúdos matemáticos, essenciais para o exercício da docência nos anos iniciais, pode

identificar os saberes e conceitos produzidos pelos alunos em formação. Schulman (1986)

destaca que o simples conhecimento do conteúdo é tão pedagogicamente inútil quanto a

competência sem conteúdo. Para ocorrer o ensino signficativo deve ocorrer a sincronia entre

o conhecimento do conteúdo e os elementos do processo de ensino.

Os alunos em final de curso, após os estágios curriculares responderão os

questionamentos em relação aos conhecimentos adquiridos nas disciplinas de matemática,

analisando a aplicabilidade dos mesmos nas atividades práticas do exercício da docência.

Nesse sentido, Ball e Bass (2000) alertam que mesmo que os professores tenham o

entendimento adequado do conteúdo que irão ministrar, podem não ter o conhecimento

necessário para selecionar os recursos e as tarefas que ajudem todos os seus alunos a

aprenderem. Desta forma é salutar que este aspecto também seja investigado e constatado no

desenvolvimento desse estudo, no sentido de analisar as metodologias mais adequadas.

Esse estudo apresenta também características de levantamento de dados, que consiste

na "solicitação de informações a um grupo significativo de pessoas acerca do problema


estudado para, em seguida, mediante análise quantitativa, obterem-se as conclusões

correspondentes aos dados coletados" (GIL, 2002, p. 50).

A investigação se desenvolve também na perspectiva de pesquisa participante que se

caracteriza pela interação entre pesquisadores e membros das situações investigadas (GIL,

2002). As perguntas fechadas dos questionários objetivam, especificamente, mapear os dados

de identificação dos alunos participantes da pesquisa.

Para a realização da primeira etapa da pesquisa foram consultados os alunos

regularmente matriculados no curso de Pedagogia - campus Canoas, modalidade presencial,

e que cursaram, a partir do segundo semestre de 2016 as disciplinas de Organização dos

Tempos e Espaços na Infância, Fundamentos Teóricos e Metodológicos da Matemática e

Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada à Educação Infantil e Anos Iniciais. Após

iniciar a investigação com os alunos no ano de 2016-2, os mesmos estão sendo acompanhados

no decorrer dos semestres seguintes até a etapa de realização dos Estágios Curriculares,

quando serão acompanhados em relação à aplicabilidade dos conteúdos estudados no

exercício prático da docência.

A coleta de dados é realizada através da aplicação dos instrumentos em sala de aula,

conforme a matrícula dos alunos nas disciplinas específicas de matemática. Foi realizado o

mapeamento dos alunos matriculados a partir de 2016-2, com acompanhamento constante da

matrícula nas disciplinas específicas nos semestres posteriores. Até o momento foram

aplicados 57 instrumentos, dentre os quais 48 correspondem ao instrumento 01, que investiga

o perfil dos participantes e as expectativas dos alunos em relação às disciplinas específicas

de matemática constantes na matriz curricular do curso de Pedagogia. O instrumento 02, que

versa sobre a aplicabilidade de exercícios sobre os conteúdos das disciplinas específicas,

nesta etapa, foram aplicados 09 instrumentos na disciplina de Organização dos Tempos e

Espaços na Infância. Nesse trabalho são analisados os resultados parciais do instrumento 01,

coletados em 2016-2, considerando que em 2017-1 e nos semestres subsequentes o

instrumento será aplicado aos alunos matriculados nas mesmas disciplinas.

Nesse estudo, registramos um recorte nos resultados da pesquisa, selecionando dois

objetivos que consideramos pertinentes e que tratam preliminarmente do objeto de pesquisa.

Não se tem aqui a pretensão de esgotar ou abordar a totalidade dos resultados da pesquisa.

Os resultados que apresentamos cumprem minimamente o papel de exemplificar a riqueza


de informações que poderão advir com a conclusão da coleta de dados. Para este trabalho

optamos em apresentar e analizar os resultados qualitativamente.

Resultados encontrados até o momento

Os resultados parciais do instrumento 01, que investiga as expectativas dos alunos

matriculados no semestre 2016/2 em relação às disciplinas de conteúdo matemático, apontam

que os alunos em formação no curso de Pedagogia possuem diversas expectativas em relação

aos conteúdos de matemática.

As expectativas resultantes, por ora, da investigação são representativas,

principalmente, do desejo de aprender o conteúdo e metodologias diferenciadas, novas

estratégias para ensinar os conceitos matemáticos e aprender a utilizar recursos variados para

tornar o ensino da matemática, nos anos inciais, mais atrativo e estimulante para os alunos.

Constata-se, por meio das respostas dos alunos, que há um certo receio, e até mesmo

preocupação, em desenvolver os conceitos matemáticos de forma plena, para que o aluno

realmente aprenda sem "medo". As expectativas em aprender, dominar os conteúdos e saber

ensinar com eficácia os conceitos matemáticos para os alunos do Ensino Fundamental são,

possivelmente, representações implícitas de traumas e problemas vividos pelos alunos em

formação com a aprendizagem da matemática. Ball e Bass (2000) enfatizam que não basta

ao professor saber o conteúdo, é necessário o conhecimento pedagógico do conteúdo que vai

ensinar para ter condições de antecipar o que os alunos possam apresentar como problema

para aprender e ter modelos alternativos ou explicações para mediar tais dificuldades.

As respostas parciais ao segundo questionamento, que investiga quais os

conhecimentos que os alunos em formação consideram essenciais para o professor que vai

ensinar matemática nos anos iniciais do Ensino Fundamental, podem ser agrupadas em duas

categorias: numa os alunos se preocuparam em listar o domínio dos conteúdos,

principalmente das quatro operações, em outra categoria registraram que cabe ao professor

ter paciência para ensinar, valer-se de metodologias inovadoras e criativas e gostar de

"ensinar matemática".

Ball e Bass (2000) apresentam três proposições para a capacitação de professores para

ensinar matemática quanto ao conhecimento do conteúdo e como podem fazer uso do mesmo

para ajudar todos os alunos a aprender. A primeira proposição seria identificar o

conhecimento de conteúdo que importa para ensinar; uma segunda se refere a formas de


entendimento nas quais tal conhecimento deve ser mantido; e uma terceira proposição

centraliza no que é necessário para aprender a usar tal conhecimento na prática.

A compreensão dos conceitos e proposições de trabalho, descritos por Ball e Bass

(2000), trazem importantes reflexões acerca dos conhecimentos necessários ao professor que

ensina matemática, quer seja, no que precisa saber do conteúdo, na compreensão de como

deve ensinar e, por fim, estar receptivo a aprender a ensinar e usar o conhecimento de forma

prática.

Concluindo

A partir das proposições das autoras e dos resultados encontrados até o momento,

pensamos que os objetivos de investigação apresentados nesse trabalho encontram sintonia

e sinalizam a importância de diagnosticar a percepção dos alunos do curso de Pedagogia a

respeito das disciplinas específicas de Matemática, considerando a sua formação como

futuros professores dos anos iniciais do Ensino Fundamental.


BALL, Deborah L.; BASS, Hyman. (2000) Interweaving content and pedagogy in teaching and learning to teach: Knowing and using mathematics. J. Boaler (Ed.) Multiple perspectives on the teaching and learning of mathematics. p. 83-104, 2000. Disponível em: http://lmt.mspnet.org/index.cfm/9909. Consultado 21/12/2016. BRASIL - (1996) Lei n. 9.394, de 20 de dezembro de 1996. Estabelece as diretrizes e bases da educação nacional. Disponível em: http://www.portal.mec.gov.br/arquivos/pdf/. Consultado 06/01/2017. BRASIL - (2004) Lei n. 13.005, de 25 de junho de 2004. Aprova o Plano Nacional de Educação (PNE) e dá outras providências. Disponível em: http://www.pne.mec.gov.br/. Consultado 06/01/2017. BRASIL - (2006) Resolução CNE/CP n. 01, de 15 de maio de 2006 - Institui Diretrizes Curriculares Nacionais para o Curso de Graduação em Pedagogia, licenciatura. Disponível em: http://www.portal.mec.gov.br/.Consultado 06/01/2017 BRASIL - (2015) Resolução n. 02, de 1º de julho de 2015 - Define as Diretrizes Curriculares Nacionais para a formação inicial em nível superior (cursos de licenciatura, cursos de formação pedagógica para graduados e cursos de segunda licenciatura) e para a formação continuada. Disponível em: http://www.portal.mec.gov.br/. Consultado 06/01/2017 CURI, E. (2004) Formação de professores polivalentes: uma análise dos conhecimentos para ensinar matemática e das crenças e atitudes que interferem na constituição desses conhecimentos. Tese (doutorado em Educação Matemática) Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo. Disponível em:


http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/2010/artigos_teses/MATEMATICA/Tese_curi.pdf. Consultado 06/01/2017 GIL, A.C. (2002) Como elaborar projetos de pesquisa. São Paulo: Atlas. MINAYO, M. C. S. (org.). (2011) Pesquisa Social: teoria, método e criatividade. Petrópolis, RJ: Vozes. NÓVOA, A. (1997) Os Professores e sua Formação. Lisboa: Publicações Dom Quixote. SHULMAN, L. S. (1986) Those who understand: knowledge growth in the teaching. Educational Researcher, Washington, US, v. 15, n. 2, p. 4-14, 1986. Disponível em: http://www.wcu.edu/WebFiles/PDFs/Shulman.pdf. Consultado 21/12/2016. TARDIF, Maurice. (2011) Saberes docentes e formação profissional. Petrópolis, RJ: Vozes.


CB-483 LA CLAVE PARA SUBIR EL NIVEL DE LAS COMPETENCIAS MATEMÁTICAS

DE NUESTRO ALUMNADO: NUESTRA EXIGENCIA Y… E.S.E.M.

Xavier Vilella Miró [email protected]

Grup Vilatzara – ICE Universitat Autònoma de Barcelona Modalidad: CB Nivel educativo: Primario Medio Secundario Núcleo temático: Formación del profesorado en Matemáticas Palabras clave: enriquecimiento, andamiaje, empoderamiento, metareflexión Resumen La reflexión sobre mi práctica docente ya me lo decía. Los estudios de doctorado y mi participación en equipos de investigación me lo demuestra. Mi labor de formación continua del profesorado lo confirma: para que aumente el nivel competencial de nuestro alumnado en matemáticas debemos exigir más de el. Pero esta exigencia en aumento tiene unas características determinadas, y debe ir acompañada de 4 actuaciones por nuestra parte: en sus términos en inglés, Enrichment, Scaffolding, Empowerment y Metareflection (E.S.E.M.). Es decir: enriquecimiento constante de propuestas de aula pobres y de la gestión de la actividad, basado en el reto desde el inicio, manteniendo su motivación durante todo el aprendizaje; andamiaje adecuado para cada aprendiz, que facilita la ayuda necesaria y ajustada, cuando conviene ofrecerla; empoderamiento, que da seguridad y confianza en las propias capacidades; metareflexión, que incluye pensar, analizar, observar, reinterpretar la práctica diaria, y que facilita que el aprendiz sea consciente e interiorice lo aprendido. Presento ejemplos de aula, con algunos trabajos de alumnos y alumnas, que muestran que este planteamiento es posible, no pide un esfuerzo desmesurado y ayuda al éxito escolar de nuestro alumnado. La reflexión sobre mi práctica docente ya me lo decía. Los estudios de doctorado y la

participación en equipos de investigación me lo demuestran. Mi labor de formación continua

del profesorado lo confirma. Para que aumente el nivel competencial de nuestro alumnado

en matemáticas debemos exigir más de el. Pero esta exigencia en aumento tiene unas

características determinadas, y debe ir acompañada de 4 actuaciones por nuestra parte: en sus

términos en inglés, Enrichment, Scaffolding, Empowerment y Metareflection (E.S.E.M.) Es

decir:

- Enriquecimiento constante de propuestas de aula competencialmente pobres y de la

gestión de la actividad, basado en el reto desde el inicio;

- Andamiaje adecuado para cada aprendiz, que facilita la ayuda necesaria y ajustada,

cuando conviene hacerlo;


- Empoderamiento, que da seguridad y confianza en las propias capacidades y permite

seguir aprendiendo;

- Metareflexión, que incluye pensar, analizar, observar, reinterpretar la práctica diaria,

y que facilita que el aprendiz sea consciente e interiorice lo aprendido.

¿Qué quiere decir exigir más?

No nos referimos a avanzar contenidos de cursos posteriores, eso no ayuda a subir el nivel

competencial de nuestro alumnado, sino que produce el nivel más bajo posible: el nivel

reproductivo, en términos de PISA. De lo que se trata es de conseguir el nivel más alto, el

reflexivo. Y para ello no debemos avanzar nada, sino plantear nuestro trabajo en el aula

teniendo como objetivo facilitar la reflexión constante para la construcción del conocimiento

matemático.

El profesor o profesora debe dominar a fondo el contenido que imparte. Por ejemplo, en

Infantil i Primaria debe comprenderse qué quiere decir el sentido numérico. Dar sentido

numérico a nuestros alumnos significa una manera de pensar y resolver problemas, identificar

el papel de los números para interpretar fenómenos, identificar el valor absoluto y relativo,

comprender el significado del sistema de numeración decimal, del valor posicional… y se

desarrolla explorando los números, usándolos en diferentes contextos, relacionándolos, etc.

A partir de esta comprensión el maestro o la maestra tendrán la posibilidad de trasladarlo a

su alumnado.

Otro ejemplo, el pensamiento geométrico. A menudo se piensa que va de poner nombres a

polígonos y clasificarlos, recordar algunas propiedades de figuras planas o cuerpos, usar

fórmulas para calcular áreas o volúmenes… Pero en realidad, siguiendo los Estándares del

NCTM (2000) debería tener relación con la comprensión del espacio, los significados de

nociones geométricas que permiten construir modelos del mundo físico y fenómenos del

mundo real, así como un método para construir representaciones visuales de conceptos y

procesos de otros bloques de matemáticas y otras áreas, una manera de desarrollar el

razonamiento deductivo…

Podríamos hablar de la Proporcionalidad o la Estadística, temas que en muchos casos o no

se dan (recordad la posición de estas lecciones en los libros de texto) o se hace de una manera


superficial… ¿Cómo podemos exigir más al alumnado para aumentar su nivel competencial

si nosotros mismos no tenemos un conocimiento profundo de los contenidos que enseñamos?

Con exigir más no basta

El profesorado ya está enseñando, y lo hace lo mejor que sabe. Si queremos mejorar nuestro

trabajo, lo que debe traducirse en un aumento del nivel competencial de todo nuestro

alumnado, deberemos ir introduciendo modificaciones que persigan este objetivo. Aquí

proponemos 4 actuaciones que facilitan el proceso.

Enriquecimiento competencial de propuestas pobres

Utilizaremos un ciclo reflexivo. Para enriquecer una actividad pobre debemos empezar por

detectarla. Ello implica disponer de un criterio sobre riqueza competencial. Un buen criterio

puede ser el grado de desarrollo de aspectos competenciales que consigue la actividad en

nuestro alumnado. Este criterio presenta un nuevo reto para el profesorado: cómo evaluar el

éxito obtenido en el desarrollo competencial. Podemos basarnos en las observaciones de aula

que muestren dicho avance competencial.

Una vez establecida la pobreza competencial de una actividad, procedemos a enriquecerla.

Hay muchas formas de hacerlo: contextualizarla, cambiar la pregunta, escondiendo datos,

ofreciendo muchos más datos de los necesarios, etc. La actividad enriquecida debe llevarse

al aula para comprobar la mejora conseguida. Observaremos de nuevo las actuaciones

competenciales de nuestro alumnado y decidiremos el grado de éxito obtenido. Ahí empieza

un nuevo ciclo reflexivo.

Para ver ejemplos de enriquecimiento de actividades pobres, puede consultarse, en las actas

de las JAEM de Mallorca 2013, la aportación “Álgebra y dependencia funcional en la ESO.

Una propuesta para subir el nivel competencial de todos los alumnos”.

También pueden consultarse en las actas de las JAEM de Cartagena 2015, las aportaciones

“¿Se puede introducir la idea de infinito, la base del concepto de límite, en 1º de la ESO?”, o

bien “¿Qué ocurrió en ese aciago día? Del contexto a la tarea de estadística, y de nuevo al

contexto”. Los cuadernillos que edita la Federación Española de Sociedades de Profesores

de Matemáticas (FESPM) cada año en el Día Escolar de las Matemáticas son un buen ejemplo

de propuestas de actividades ricas. También ejemplos relacionados con el bloque de Medida

en el número 232 de la Biblioteca de UNO, “La participación en el aula de matemáticas”.


Otros ejemplos que se pueden consultar son los del Grup Vilatzara: “Un viaje matemático”

en el número 298 de Cuadernos de Pedagogía; la propuesta para desarrollar el álgebra en la

ESO, consultable en la web del ICE de la Universidad Autónoma de Barcelona,

blogs.uab.cat/icematematiques; en el número 27 de la revista UNO, “Proyectos en la ESO.

Una actividad rica”; en las actas de las JAEM de Albacete 2005, “Investigaciones

matemáticas en la ESO”; en las actas del CIEAEM 51, de julio de 1999, “A mathematical

travel arround the world”.

Andamiaje adecuado para cada aprendiz

La posibilidad de ofrecer el andamiaje adecuado a cada alumno depende en gran medida de

la gestión de la actividad en el aula. Así, si se utiliza la clase magistral como método de

enseñanza, será muy difícil atender a las necesidades de apoyo individuales. Tampoco

permitirá usar elementos de la construcción social del conocimiento. No facilitará en absoluto

la observación de actuaciones competenciales del alumnado porque, simplemente, no se

podrán mostrar ante nosotros.

Si lo que deseamos es subir el nivel competencial de cada alumno, hemos de empezar por

gestionar el aula de manera que cada cual pueda llegar al nivel máximo de su aprendizaje,

que no será el mismo para todos. Esto quiere decir que al plantear la tarea al alumnado

daremos la mínima pauta posible, permitiendo que cada alumno se plantee lo que se espera

de él, analice el reto que tiene delante, y tome sus primeras decisiones. En el desarrollo de la

actividad es conveniente incluir tres fases de trabajo: la individual, la de pequeño grupo y la

de gran grupo. En cada una de ellas podremos realizar observaciones de diferente índole, que

nos ayudarán a establecer el éxito obtenido en términos de desarrollo competencial.

Hay otras formas de gestionar el aula que facilitan tanto la participación del alumnado como

nuestras observaciones de actuaciones competenciales. Una de ellas, el debate entre iguales.

En él, la clave reside en nuestro silencio, dejando que sean los propios alumnos los que

intenten establecer la verdad de lo que se discute o la correcta solución a una actividad.

Cuando decimos que debemos mantener silencio, esto no quiere decir que no intervengamos

cuando lo consideremos necesario, y siempre al final del debate para estructurar lo aprendido

y facilitar la fase metareflexiva. Para ver un ejemplo de ello, podemos consultar en las actas

de las JAEM de Cartagena 2015 la aportación “Diálogo entre iguales. Una herramienta para


la construcción del conocimiento matemático”, o bien en la Biblioteca de Aula de Editorial

Graó, tomo 257, “El diálogo en el aula de matemáticas como comunidad de prácticas”.

Empoderamiento

Empoderar, en su acepción de diccionario, significa que una persona adquiere o recibe los

medios para reforzar su potencial en términos económicos, políticos o sociales. En nuestro

campo, podemos interpretarlo como reforzar las capacidades, confianza, visión y

protagonismo de las personas con el fin de verse capaces para impulsar cambios positivos de

las situaciones en las que viven. En definitiva, creer en nosotros mismos y disponer de los

recursos para saber qué es lo que se puede hacer. Empoderar involucra la interrelación

personal, la calidad en la comunicación, la coherencia del mensaje, la autonomía emocional.

Si se presentan al alumnado propuestas de trabajo enriquecidas, que representen un verdadero

reto, abiertas a alcanzar diferentes niveles, que faciliten el trabajo cooperativo, y además se

suministra el andamiaje preciso, es posible que podamos conseguir uno de los principales

objetivos de la enseñanza competencial, el empoderamiento de nuestros alumnos y alumnas.

El empoderamiento se relaciona con la toma de decisiones por parte del empoderado, que

requiere que tenga criterios para decidir, así como opiniones propias sobre el tema. Estas

condiciones son muy exigentes si pretendemos que se den en aulas tradicionales, pero se

pueden implantar más fácilmente si en nuestra aula tenemos el objetivo explícito de conseguir

desarrollo competencial y usamos el enriquecimiento y el andamiaje como elementos

metodológicos.

Para que podamos empoderar a nuestro alumnado, el aula debe ser un espacio de indagación,

en el que se puedan (y se deban) formular preguntas interesantes que muevan el pensamiento

reflexivo, el trabajo cooperativo, el debate entre iguales, el establecimiento de consensos y

acuerdos, y la formulación de conclusiones. Puede ser interesante consultar el artículo de

Núria Gorgorió y Núria Planas en Aula de Innovación Educativa, número 132, “Interacción,

diálogo y negociación en el aula de matemáticas”.

Metareflexión

En cada actividad o, en su caso, secuencia de actividades, conviene prever una reflexión final

en base a preguntas como “¿qué he aprendido hoy (en este tema, en este curso…)?” Una

pregunta de este tipo permite al alumno pensar, analizar, observar, reinterpretar la práctica

diaria, y facilita que sea consciente e interiorice lo aprendido. Evidentemente, cada alumno


reacciona a su manera ante la reflexión que se le pide, y debemos esperar grados diferentes

de profundización según el nivel competencial personal. Ahora bien, si se realiza una puesta

en común algunas buenas reflexiones pueden ser modelo para sucesivas ocasiones.

Hay otra reflexión que no espera al final del tema o la secuencia. Por ejemplo, sobre una

metodología, podemos preguntar “¿Cómo ves esta manera de hacerlo?”, “Prefieres trabajar

así o como otros días?”, “Para trabajar este tema, ¿qué crees que es mejor: en pequeños

grupos o individualmente?”. O bien, siguiendo a Skovsmose (1994), sobre un procedimiento:

“¿Podemos elegir entre diferentes algoritmos?”, “Este algoritmo, ¿es utilizable en cualquier

circunstancia?”, “¿Podríamos usar herramientas tecnológicas?”. Incluso podemos preguntar:

“Supongamos que hemos calculado correctamente y utilizado un algoritmo de manera

consistente, ¿podemos entonces encontrar un resultado que podamos utilizar en la realidad?”

Esta pregunta se relaciona con la modelización.

Hay muchas posibles preguntas que facilitan la reflexión del alumnado, de muchos distintos

niveles de dificultad, que llevan a reflexionar sobre diferentes puntos de lo que hemos

trabajado en el aula. El profesor o la profesora puede escoger las que le parezcan más

relevantes para sus alumnos y su situación, pero lo importante es provocar la metareflexión.

Conclusión

Quizás los ejemplos que hemos incorporado sean insuficientes, o no sean los más acertados,

pero lo importante es que se comprenda que conseguir mejorar el nivel de competencia

matemática de nuestro alumnado, sea en el nivel o en la etapa que sea, no es fácil, y requiere

de nuestra atención y nuestro esfuerzo, no solamente del suyo.

El dominio de los contenidos que enseñamos, en relación a la didáctica, a las dificultades que

la investigación nos lleva diciendo desde hace años que se van a encontrar, a la manera como

podemos intentar afrontarlos, a como debemos evaluarlos, es la base para esta mejora.

El profesorado de aula partimos de una situación actual, que debemos ser capaces de analizar

críticamente para contrastarla con lo que nos dice la teoría y la investigación y poder re-

describir nuestra práctica de aula. Este ciclo de reflexión, unido al trabajo en equipo con los

compañeros y compañeras del claustro, puede llevarnos al éxito que esperamos conseguir.

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Vilella, X. (2015): ¿Qué ocurrió en ese aciago día? Del contexto a la tarea de estadística, y

de nuevo al contexto. Actas de XVII JAEM. Cartagena: FESMP.

Vilella, X. (2015): Diálogo entre iguales. Una herramienta para la construcción del

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Barcelona: ICE-Universitat de Barcelona/ HORSORI


CB-487

CÁLCULO MENTAL E O DESENVOLVIMENTO DO SENTIDO NUMÉRICO

Eliane Ribeiro da Silva¹, Ronaldo Barros Ripardo², Claudete Marques de Medeiros³, Josiel De Oliveira Batista²

[email protected], [email protected], [email protected], [email protected]

SEMED Uruará¹, Unifesspa², SEDUC Pará³

Núcleo temático: La Resolución de Problemas en Matemáticas Modalidade: Comunicación Breve Nível educativo: Inicial Palavras chave: Cálculo mental. Cálculo escrito. Sentido numérico. Resumo O estudo teve como objetivo investigar a relação entre desenvolvimento do sentido numérico, que trata-se do estabelecimento de um conjunto complexo de relações, formando uma rede, que permitem resolver problemas de forma criativa (LINS e GIMENEZ, 1997), e as estratégias de resolução de problemas aditivos por cálculo mental (PARRA, 1996). A pesquisa, desenvolvida no estado do Pará, Brasil, envolveu alunos do 3º e 5º ano do ensino fundamental, que resolveram questões de adição divididas em três subgrupos: i) cálculo mental, ii) lápis e papel e iii) cálculo mental e/ou lápis e papel. As análises seguiram os princípios da pesquisa qualitativa. Em situações de sucesso de cálculo mental, uma das principais estratégias utilizadas é decompor as parcelas em tantas ordens quantas tiverem a maior das parcelas. Em seguida, adicionar a ela as que formam uma dezena e, por fim, as unidades restantes. Nas situações de insucesso os sujeitos pesquisados não demonstraram ter essa habilidade. Assim, o estudo aponta que o desenvolvimento de um sentido numérico, em alunos dos primeiros anos, tem relação com a compreensão de funcionamento do sistema de numeração decimal, especificamente com o domínio de agrupamento e reagrupamento em base dez.

Introdução

A modalidade do cálculo mental quase não ocupa espaço nas práticas pedagógicas de

ensino de matemática. Maciçamente são privilegiadas as formas de cálculo escrito. Os

Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática (PCN) (BRASIL, 1998) destacam a

importância de fazer cálculo com lápis e papel, todavia, destacam que esta competência deve

conviver com outras modalidades, como o cálculo mental, as estimativas e o cálculo

produzido pelas calculadoras.


Embora o cálculo mental seja uma modalidade mais presente nas práticas cotidianas

de adultos, com as crianças não deve ser excluída e deve ser objeto de estudo, principalmente

para compreender-se sobre suas contribuições para a aprendizagem de matemática da

criança. Uma dessas, discutida neste trabalho, refere-se as suas contribuições para o

desenvolvimento do sentido numérico.

Referencial teórico

Segundo Lins e Gimenez (1997), o processo de aquisição da aritmética se realizou

em diversas culturas como um processo contínuo e simultâneo em inúmeros campos

numéricos. Dessa forma, o ensino de números e operações deve envolver tanto o trabalho

com números naturais como com outros elementos numéricos, como o proporcional e os

campos operatórios. Além disso, ao priorizar a diversidade de cálculos em processos

aritméticos, como o cálculo mental, tende a deixar de por toda a ênfase na função de contar

e prioriza também as de reconhecer as funções de ordenar e medir dos sistemas numéricos.

Para os autores, o ensino de aritmética deve caminhar rumo ao desenvolvimento do sentido

numérico, quer seria “o conjunto de características e de rede de relações que permitem

relacionar números com operações, com o objetivo de resolver problemas flexivelmente e

mediante formas criativas” (p. 59-60). Por outras palavras, vivenciar a resolução de

problemas a partir de relações que possam ser efetuadas entre números a partir de operações

matemáticas e outras ações.

Ao relacionar os números e operações em situações diversificadas, nas séries iniciais,

vários conhecimentos acerca do sistema de numeração decimal são mobilizados. A exemplo,

composição de um número natural, valor relativo e valor absoluto dos algarismos,

agrupamentos e ações operatórias que podem ser feitas sobre eles, dentre outras.

Para Lins e Gimenez (1997), uma abordagem desse tipo, porém, deve abandonar as

formas protótipas que geralmente circunscrevem o ensino de número e operações. Assim, ao

invés dos velhos conhecidos exercícios de arme e efetue, calcule isso, decomponha aquilo,

situações diversificadas devem ser recorrentes dentre as várias possibilidades, com diferentes

textos numéricos e seus significados.

Quanto ao cálculo mental, a concepção sobre o que possa ser é diversa. Alguns o

entendem como sendo o ato de realizar contas sem a necessidade do lápis e do papel. Para


outros, são os resultados gerados pela memorização. É comum também conceber o cálculo

mental como oposição ao cálculo escrito, que utiliza lápis e papel. Segundo Parra (2001, p.

188), porém, “o cálculo mental não exclui a utilização de papel e lápis, particularmente no

registro de cálculos intermediários em um processo que é, essencialmente, mental”.

Neste trabalho adotaremos como definição para cálculo mental a adotada por Parra

(2001, p. 189), que seria um “conjunto de procedimentos em que, uma vez analisados os

dados a serem tratados, estes se articulam, sem recorrer a um algoritmo pré-estabelecido para

obter resultados exatos ou aproximados”.

O cálculo mental proporciona ao aluno a sua independência para escolher os

procedimentos para calcular que lhe sejam mais úteis. Tal modalidade favorece também a

percepção do aluno quanto à existência de várias maneiras de resolver um mesmo problema.

Gomez (2005, p. 18), defende que calcular mentalmente encontra “fundamentos nas

propriedades das operações e nas propriedades dos números derivados de princípios do

sistema de numeração de base dez”.

Método O presente trabalho49 teve como objetivo investigar a relação entre desenvolvimento do sentido

numérico e as estratégias de resolução de adições por cálculo mental. A pesquisa de campo foi desenvolvida

com 2 alunos do 3º do Ensino Fundamental e 2 do e 5º ano, a partir da resolução de questões que deveriam

ser resolvidas apenas por cálculo mental.

Tais questões foram impressas em papel e entregue aos alunos, individualmente, que,

após certo tempo, em torno de 30 minutos, escreviam a resposta encontrada e explicavam

como tinham chegado ao resultado. Tais explicações, expressas oralmente, foram gravadas,

constituindo a fonte principal dos dados analisados, numa abordagem qualitativa.

49 Recorte de pesquisa desenvolvida para o Trabalho de Conclusão de Curso de Matemática (Licenciatura) do Plano Nacional de Formação de Professores da Educação Básica (PARFOR) na Universidade Federal do Pará (UFPA).


Resultados e discussão

Os resultados apontam que alunos utilizaram seu próprio procedimento de cálculo

sem se limitarem a um único processo, com autonomia e mais liberdade em escolher

caminhos para obter respostas para as questões propostas.

Quadro 1 - Respostas encontradas por cálculo mental em adições com três parcelas

Questões Explicação dos alunos

234+336 “Eu somei duzentos com trezentos que deu quinhentos eu somei trinta mais trinta

sessenta, quinhentos e sessenta, somei seis mais quatro que deu quinhentos e

setenta” (Aluno A).

478+98 “Somei quatrocentos peguei noventa e oito ficou quatrocentos e noventa e oito

pequei setenta e oito diminui tirei dois, coloquei no noventa e oito que ficou cem

então ficou quinhentos e setenta e seis”(Aluno B).

Qual o resultado de 101+110+11?

“De cento e um peguei cem peguei do que deu cento e onze botei o que deu 222” (Aluno D).

Para resolver a questão 234+336, o aluno A fez da seguinte maneira: somou primeiro

as centenas e obteve 500. Após, somou as dezenas e encontrou 60. Por último, as unidades,

encontrando 10. Finalmente, somou 500+60 +10, totalizando em 570. A estratégia

empregada por este aluno é decompor as parcelas em centenas, dezenas e unidades e somar

cada ordem entre si, respectivamente, a partir das parcelas com a maior ordem. Em seguida,

adicionando aos resultados parciais as parcelas restantes em ordem decrescente, até chegar

ao total.

O aluno B resolveu a questão 478+98 decompondo a maior parcela em centena mais

dezena. Provavelmente isto se deu a partir da percepção de que a segunda parcela não

chegava à ordem das centenas. Assim, chegou a uma adição com três parcelas, ou seja,

400+78+98. Operando com a centena como âncora, optou por somar o 400, ou seja, 4

centenas, com o 98 por este aproximar-se mais de uma centena ‘cheia’, ou seja, 100,

chegando a 498. Para ‘arredondar’ o número para a centena mais próxima do resultado parcial

encontrado, subtraiu 2 da terceira parcela, o 78, restando, então, 76. Assim, ficou mais fácil

somar 500 com 76, chegando ao total de 576. A maneira usada por este aluno mostra que

para ele é mais fácil operar com números ‘cheios’ sempre a partir do maior número. Para

isso, identifica a maior parcela, decompõe o número em tantas ordens quantas forem o da

segunda parcela, soma as parcelas de maior valor, retira da menor parcela a quantidade de


unidades suficientes para preencher o resultado parcial encontrado de modo a obter uma

centena ‘cheia’ e, por último, soma esse segundo resultado parcial com o que restou da

terceira parcela após a retirada das unidades.

O aluno D parece ter tomado como âncora as parcelas maiores, decompondo-as em

centenas+dezenas, ou seja, 100+1 e 100+10. Assim, obteve dois subgrupos de parcelas,

100+100 e 10+11+1. Todavia, não fez duas adições somando entre si as parcelas de cada

grupo, ou seja, 200+22. Ao contrário, optou por somar uma parcela de 100 com a maior

dentre as parcelas do segundo grupo, 100+11, obtendo 111. Assim, obteve novas parcelas,

100, 111, 10 e 1, que foram reorganizadas em três novas adições, 100+111=211, 211+10=221

e 221+1=222. É interessante destacar que ao contrário das estratégias vislumbradas nas

resoluções dos outros alunos, o aluno D, após a decomposição inicial das parcelas, não somou

as de maior valor. Ele optou por formar uma nova parcela entre uma das do grupo de maior

ordem com a maior dentre as outras do grupo de menor ordem. Assim, duas novas âncoras

foram formadas, para serem somadas às demais parcelas.

Como se percebe nas respostas dos alunos, as estratégias de cálculo mental apontam

para o desenvolvimento de um sentido número, considerando que para Lins e Gimenez

(1998), trata-se do estabelecimento de um conjunto complexo de relações, formando uma

rede, que permitem resolver problemas de forma criativa. O desenvolvimento do sentido

numérico, no caso das crianças pesquisadas e citadas na discussão dos resultados, parece ter

alcançado a compreensão de funcionamento do sistema de numeração decimal, uma vez que

elas demonstram ter o domínio de agrupamento e reagrupamento em base dez. A principal

evidência vem das estratégias diferentes para efetuar adições com estruturas similares.


Geralmente, os alunos saem da escola com muitas limitações para realizar cálculo

mental. Isto se deve a pouca importância que geralmente é dada pelos educadores, como

consequência do conhecimento restrito sobre os benefícios de estimular-se esta modalidade

de cálculo. Alguns destes benefícios foram apontados nesta pesquisa, que são contribuições

do cálculo mental para o desenvolvimento do sentido numérico.

Estratégias diversificadas de cálculo nas séries iniciais, seja ele mental ou escrito,

requerem conhecimento do sistema de numeração decimal. Esse conhecimento, por sua vez,


pode ser estimulado pelo cálculo mental uma vez que não limita as ações àquelas engessadas

do algoritmo escrito para determinada operação matemática. Estas formas flexíveis permitem

a descoberta de padrões de cálculo que podem passar despercebidas em outras formas de

calcular.

No estudo tratado neste artigo, a decomposição do número e criação de novas parcelas

para efetuar a adição é uma ferramenta evidenciada pelo aluno que evidencia a relação entre

desenvolvimento do sentido numérico e as estratégias de resolução de adições por cálculo

mental.

Referências

BRASIL (1998). Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. (3º e 4º ciclos do ensino fundamental). Brasília: MEC, 1998. GÓMEZ, B. (2005). La enseñanza del cálculo mental. Unión-Revista Ibero-americana de Educacional Matemática, 4, p. 17-29. LINS, R.; GIMENEZ, J. (1997). Perspectivas em aritmética a álgebra para o século XXI. Campinas: Papirus. PARRA, C.; SAIZ, I. (org.) (2001). Didática da matemática: reflexões psicopedagógicos. Porto Alegre: Artmed. SEQUERRA, M. L.; MARINCEK, V. (org.) (2001). Aprendendo matemática resolvendo problemas . Porto Alegre: Artmed.


CB-489

VALIDACIONES PERCEPTIVAS Y DEDUCTIVAS EN GEOMETRÍA: UN ESTUDIO CON DOCENTES EN FORMACIÓN CONTINUA

Jesús Victoria Flores Salazar – Daysi Julissa García Cuéllar – Saddo Ag Almouloud [email protected] – [email protected] – [email protected]

Pontificia Universidad Católica del Perú, Perú – Instituto de Investigación sobre Enseñanza de las Matemáticas – TecVEM-IREM, Perú. Pontificia Universidad Católica

de Sao Paulo, Brasil Formación del profesorado en Matemáticas Comunicación breve (CB) Formación y actualización docente Palabras claves: Tipos de geometría, formación de profesores, Geogebra. Resumen La comunicación breve evidencia resultados parciales del proyecto de investigación Processo de Ensino e Aprendizagem em Matemática em ambientes tecnológicos desarrollado por investigadores del grupo Didáctica de las Matemáticas (DIMAT) de la Pontificia Universidad Católica del Perú y del grupo Processo de Ensino e Aprendizagem em Matemática (PEA-MAT) de la Pontificia Universidad Católica de Sao Paulo/Brasil. Presentamos uno de los cuatro encuentros de la formación en geometría que realizamos con dieciséis docentes peruanos de Educación Básica Regular-nivel secundario. Analizamos una tarea de la secuencia basados en el Enfoque de Parzysz que determina los procesos y mecanismos relacionados con la enseñanza y con el aprendizaje de la geometría y propone una clasificación o tipos de geometría que considera los objetos como físicos o teóricos y los modos de validación perceptiva y deductiva. En la tarea que analizamos, los docentes utilizan diversas estrategias de resolución y realizan un análisis matemático y didáctico la misma. En cuanto a los resultados, observamos que los docentes utilizan estrategias de resolución del tipo G1-geometría concreta y G2-geometría proto-axiomática, en el sentido de Parzysz, sin embargo muestran dificultad en identificar qué tipo de validaciones están utilizando y se les hace difícil elaborar una estrategia en G0. Introducción

El presente artículo forma parte del proyecto internacional Processo de Ensino e

Aprendizagem em Matemática em ambientes tecnológicos desarrollado entre investigadores

de la Pontificia Universidad Católica del Perú (PUCP) y la Pontificia Universidad Católica

de Sao Paulo (PUC-SP). Este proyecto internacional tiene como propósito, entre otros

analizar los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas; proporcionar


herramientas teóricas al trabajo de profesores de matemáticas e investigadores en educación

matemática y producir conocimiento en el área de formación de profesores de geometría.

Formación de profesores y los tipos de validación

Sobre formación continua de profesores nos basamos en André (2000) que explica que este

tipo de formación es considerada indispensable para el profesor tanto para actualizar

conocimientos y técnicas del área en la cual trabaja, como para desarrollar competencias y

actitudes.

Además, presentamos aspectos del enfoque de Parzysz (1989) que sirve de fundamento

teórico para esta investigación y que estudia los procesos y mecanismos relacionados con la

enseñanza y con el aprendizaje de la geometría en la Educación Básica Regular. Para lo

cual plantea una clasificación o tipificación que toma en cuenta los objetos en el juego

como físicos o teóricos y las formas de validación como perceptiva o deductiva. El

investigador, presenta la siguiente clasificación: Geometría Concreta (G0) en el que se

parte de la realidad, de lo concreto y es donde los objetos matemáticos en estudio son

materializados; Geometría Espacio-gráfica (G1) es la geometría de representaciones

figurales y gráficas; en la que los objetos son bidimensionales. La justificación de las

propiedades de los objetos representados es hecha por lo que se ‘ve’; Geometría Proto-

axiomática (G2), en este tipo los objetos son teóricos y las demostraciones son hechas a

partir de propiedades y/o características de los mismos, no habiendo la necesidad de

explicitar un sistema de axiomas. En este tipo, las validaciones son realizadas por medio de

propiedades del objeto matemático representado; Geometría Axiomática (G3) en la que las

demostraciones son puramente axiomáticas.

De acuerdo con el investigador, en G0 y G1 los objetos son concretos y las justificaciones y

validaciones son perceptivas, mientras que en G2 y G3 los objetos son teóricos y las

validaciones son deductivas.

Además, Parzysz (2001;2006) menciona que se debe tomar en cuenta que este enfoque

teórico no describe un desarrollo progresivo de niveles de geometría, sino que permite

identificar los tipos de geometría que se evidencian al resolver un problema que envuelve

dichos contenidos.

Desarrollo de la investigación con profesores en formación


Con base en los aspectos mencionados en el ítem anterior, presentamos el desarrollo de la

investigación. Para ello, explicamos el contexto en el que la misma se realiza.

En el marco del proyecto internacional Processo de Ensino e Aprendizagem em Matemática

em ambientes tecnológicos (PUCP/PUC-SP) que consta de tres grandes áreas: Geometría,

Álgebra y Estadística, la presente investigación forma parte del área de Geometría,

específicamente se basa en el trabajo que se desarrolló en una formación con dieciséis

profesores peruanos de Educación Básica Regular el 2015 y que constó de cuatro

encuentros de 3 horas cada uno a cargo de los investigadores de la PUC-SP con

colaboración de investigadores de la PUCP.

Presentamos concretamente el primer encuentro de esta formación (ver Tabla 1) que consta

de dos tareas.

Tabla 1 Estructura del encuentro 1

Tarea Nombre de la tarea

1 Una introducción al estudio de diferentes geometrías

2 Menor distancia La Tabla 1 muestra las dos tareas que presentaremos en este artículo. En la primera tarea

llamada ‘una introducción al estudio de diferentes geometrías’ los investigadores-

formadores explicitan aspectos del enfoque teórico de Parzysz (1989) que les sirve de base

para la segunda tarea llamada ‘menor distancia’ en la que se solicita a los docentes

participantes realizar un análisis matemático y didáctico de la misma.

En relación a la colecta de datos, estos fueron colectados por medio de fichas de trabajo y

grabación de video.

Desarrollo de la tarea 1

Presentamos la tarea 1 que se les presentó a los docentes en formación y con la que se

realizó la introducción de los tipos de geometría y validaciones.

Tarea 1: Una introducción al estudio de diferentes geometrías

Probar/demostrar que la suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo es

igual a 180º. ¿Cuál sería la estrategia de resolución ubicada en: G0, G1, G2, G3?


Con base en esta tarea los docentes realizan las posibles soluciones de acuerdo a los

diferentes tipos de geometría, así se espera que se pueda confeccionar un triángulo de papel

y luego recortar con una tijera los tres ángulos, formando con ellos un semicírculo. En este

caso, el docente está en G0 que corresponde a la geometría concreta, porque manipula un

pedazo de papel, construye un triangulo lo recorta y con sus colegas, discute, y visualmente

valida que la suma de los ángulos internos de un triangulo cualquiera es 180º.

Por otro lado, si se utiliza un ambiente de representaciones dinámicas (ARD) como es el

Geogebra, que de acuerdo con las de Silva y Salazar (2012) y Salazar y Almouloud (2015)

permite hacer conjeturas e interpretar propiedades que caracterizan a las figuras

geométricas representadas. Para que el docente construya el triangulo ABC puede utilizar

distintas herramientas del Geogebra como por ejemplo, la herramienta ‘ángulo’ para medir

los tres ángulos, la función arrastre para cambiar de posición y las medidas

(proporcionalmente) de la longitud de sus lados y observar que la suma de las medidas de

los ángulos internos es siempre 180º. También puede comparar su resultado con el

resultado de sus colegas, etc. en este caso el docente está en el tipo G1 (geometría espacio-

gráfica), pues conjetura el resultado y lo comprueba empíricamente en la comparación con

los resultados de otros sujetos.

Figura 1.Solución en G1

Si el docente (ver Figura 2, en la que también utiliza Geogebra), traza una recta paralela en

uno de los lados y señala que las retas paralelas determinan ángulos alternos internos

congruentes para probar que la suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo

es igual a 180º, el docente estará en la geometría proto-axiomática (G2), pues traza una

recta paralela usa la congruencia de los ángulos alternos internos y realiza deducciones en

base a estos trazos auxiliares realizados en la misma figura.


Figura 2. Solución en G2 Cuando el docente realiza una demostración basada en un sistema axiomático de referencia

entonces está en G3 (geometría axiomática). Después de presentada esta tarea introductoria,

se realizó una discusión didáctica de cada tipo de geometría, en la que los docentes

expresaron que las validaciones en los tipos G1 y G2 les son mas familiares y son las que

utilizan en su práctica al enseñar este tema de geometría y que resolver esa tarea en G0 les

resulta difícil. Percibieron también, que sus estudiantes de nivel secundario (12 a 15 años)

cuando resuelven este tipo de tareas realizan, por lo general, validaciones perceptivas (G0 y

G1). En armonía con el enfoque teórico de Parzysz (1989) observamos que lo percibido

pauta (conjetura) y controla (verificación) lo sabido, pero no lo comanda.

En seguida, presentamos la tarea ‘menor distancia’ en la que se pide hacer un análisis

matemático didáctico. La reflexión didáctica fue realizada por los docentes e investigadores

que participaron en la formación.

Tarea 2: Menor distancia

Los paralelogramos ABCD y LMNO de la Figura 3 son tales que AB = LM. ¿Los dos

paralelogramos tienen la misma medida de área y de perímetro? Justifique sus respuestas.

Realice un análisis matemático y didáctico de la tarea.

Figura 3. Tarea “menor distancia”


Presentamos a continuación, el desarrollado de la tarea 2. Tomamos como ejemplo lo

trabajado por el docente que llamamos de Jorge.

Jorge basado en la figura dada, realizó la Figura 4 que se muestra a continuación:

Figura 4. Tarea realizada por Jorge

En la Figura 4, en cuanto a que dadas las condiciones de la tarea los paralelogramos ABCD

y LMNO tienen la misma área, el profesor Jorge en la misma figura muestra que utilizando

conocimientos matemáticos de congruencia de triángulos, segmentos, ángulos, etc. Lo que

muestra que utiliza la estrategia que el mismo docente identificó, en Geometría Proto-

axiomática (G2), porque utiliza propiedades y el discurso matemático está en la misma

figura.

En cuanto al área y perímetro, se muestra en la Figura 5, el docente se basa en el enunciado

de la tarea y en el discurso que él elaboró en la figura (ver Figura 4) para explicar que las

aéreas de los paralelogramos ABCD y LMNO tienen la misma medida.


Figura 5. Medida de área realizada por Jorge En relación al perímetro (ver Figura 6) el profesor Jorge con base en el desarrollo anterior y

utilizando representaciones algebraicas y propiedades de ángulos afirma que los perímetros

no son iguales.

Figura 6. Perímetro de los paralelogramos

Notamos que para que este desarrollo esté configurado el G2, las validaciones deben ser

deductivas y no perceptivas y por la afirmación que realiza el docente su validación

correspondería al G2.

Conclusiones

Observamos que los docentes participantes de la formación, como ejemplo que

presentamos del profesor Jorge, consiguen desarrollar una estrategia para el tipo G2 en el

cual la validación es deductiva (utiliza propiedades).

Otro grupo de docentes desarrollan estrategias en G1 pues sus argumentos son puramente

visuales (percepción) por tal razón pensamos que no logran distinguir entre validaciones

perceptivas y validaciones deductivas.

Además, muestran dificultad en identificar qué tipo de validaciones están utilizando y se les

hace difícil elaborar una estrategia de solución de la tarea dada que se encuadre en G0.

Por otro lado, pensamos que para desarrollar tareas en geometría, el Geogebra es un

ambiente de representaciones dinámicas que podría favorecer la creación de conjeturas lo

que permitirá que tanto los docentes como sus estudiantes consigan pasar de validaciones

perceptivas a validaciones deductivas.


Agradecimientos

La presente comunicación breve ha sido posible gracias al apoyo del proyecto Internacional

Processos de Ensino e Aprendizagem de Matemática em Ambientes Tecnológicos PEA-

MAT/DIMAT, aprobado por el Instituto de Investigación sobre Enseñanza de las

Matemáticas, IREM-PUCP con código: PI0272, al grupo Tecnologías y Visualización en

Educación Matemática TecVEM-IREM y por la Fundação de Amparo à Pesquisa do

Estado de São Paulo, FAPESP proceso: 2013/23228-7.

También, la investigación ha sido posible gracias al apoyo de la Maestría en Enseñanza de

las Matemáticas en cuanto a las coordinaciones para el desarrollo de la formación y por la

participación de los estudiantes de la maestría (docentes en formación continua) sin los

cuales no podría haberse llevado a cabo este trabajo.


André, M. E. D. A. (2000). A pesquisa sobre a formação de professores no Brasil – 1990-1998. In: CANDAU, Vera M. (Org.). Ensinar e aprender: sujeitos, saberes e pesquisa. Rio de Janeiro: DP & A, 83-99. Parzysz, B. (1989). Knowing vs. Seeing: Problems of the plane representation of space geometry figures. Educational Studies in Mathematics,19(1), 79-92. Parzysz, B. (1991). Representation of space and students’ conceptions at High school Level. Educational Studies in Mathematics, 22(6), 575-593. Parzysz, B. (2001). Articulatión entre perception et deduction dans une demarche geométrique em PE1. Coloque de la COPIRELEM – Tours. Salazar, J. V. F., & Almouloud, S. A. (2015). Registro figural no ambiente de geometria dinâmica. Educação Matemática e Pesquisa,17(5), 927–932. Silva, Maria José Ferreira da, & Salazar, J.V.F. (2012). Cabri 3D na sala de aula. VI Congreso Iberoamericano de IBEROCABRI. Lima, Peru: Ozlo, 101-107.


CB-490

GÉNESIS INSTRUMENTAL DE LA NOCIÓN DE FRACTAL EN DOCENTES DE MATEMÁTICAS DE NIVEL SECUNDARIO

Daysi Julissa García Cuéllar – Jesús Victoria Flores Salazar – Mihály Martínez Miraval [email protected] – [email protected] – [email protected]

Pontificia Universidad Católica de Sao Paulo, Brasil – Pontificia Universidad Católica del Perú – Instituto de Investigación sobre Enseñanza de las Matemáticas

TecVEM – IREM, Perú.

Formación del profesorado en matemáticas Comunicación Breve (CB) Formación y actualización docente Palabras clave: Fractales; Geogebra; Génesis Instrumental Resumen La presente comunicación breve tiene por objetivo investigar el proceso de génesis instrumental de la noción de fractal en docentes de matemática de nivel secundario de Brasil, México, Cuba, Colombia, entre otros, que participaron de un taller, en el que se movilizó algunas características de la noción de fractal por medio de una secuencia de actividades en la cual los docentes interactuaron con diferentes tecnologías (material concreto y Geogebra) y construyeron por ejemplo, modelos de fractales como el conjunto de Cantor, el triángulo de Sierpinski, el Copo de hielo de Koch, etc. Utilizamos aspectos del Enfoque Instrumental y del estudio de caso como base teórica y metodológica respectivamente. Las evidencias muestran que la génesis instrumental de la noción de fractal se desarrolló en los docentes participantes al interactuar con las diferentes tecnologías utilizadas en la secuencia de actividades del taller. Introducción

Fractales, es un concepto con cierto grado de complejidad. Sin embargo, se puede introducir

esta noción de una manera sencilla en el aula de matemática en el nivel de secundaria. Por

ello, buscamos que los docentes de este nivel se apoderen de algunas características de esta

noción y puedan utilizarlo en sus enseñanzas.

Los investigadores Oviedo, Kanashiro y Colombini (2004) explican que, “El termino Fractal

está relacionado con la palabra Fractus que significa roto o no entero. Este término es

atribuible a Benoit Mandelbrot quien lo empleó para definir ciertos conjuntos de números

que describen objetos con dimensión fraccionaria” (p. 11).


Así mismo, los investigadores mencionan que los fractales son formaciones gráficas que

muestran procesos iterativos que tienen una característica en común: repiten procesos

infinitos. Por tanto, podemos concebir una construcción fractal como una figura auto-

semejante, es decir, todas sus partes tienen repetición a diferentes escalas. Los fractales tienen

propiedades específicas de alto valor matemático:

Los fractales son construcciones que se generan a través de iteraciones sucesivas, la

construcción de un fractal implica la ejecución de un algoritmo que se repite indefinidamente.

Son objetos que se identifican gráficamente y brindan un acercamiento analítico que

posibilita explicar sus comportamientos y tienen dimensión fraccionaria.

Acerca de los Fractales

Consideramos que la noción de fractal, es importante porque tiene diversa y destacable

aplicabilidad, como por ejemplo en la medicina, en la meteorología, la economía e incluso

en la misma naturaleza.

La noción de fractal se ha ido introduciendo en el currículo de matemática de diferentes

países de Latinoamérica y específicamente en el Perú. Tal es así que en el texto del área de

matemática del VII ciclo de Educación Básica Regular del Ministerio de Educación del Perú-

MINEDU, texto para estudiantes de 13 a 14 años de edad, muestra actividades relacionadas

a la noción de Fractal, como se muestra la figura 2.

Figura 1. Actividad extraída del Libro matemática 3 del MINEDU.

Fuente: Perú (2016, p.140)


Como se evidencia, en la figura anterior, se presenta el fractal de Koch donde los estudiantes

deben describir la formación de cada fractal, identificar sus características, así como la

reproducción de un modelo dado. Sin embargo, no se menciona qué es un fractal. Ello se

puede observar también en la siguiente actividad que muestra la figura 2.

Figura 2. Actividad extraída del Libro matemática 3 del MINEDU.

Fuente: Perú (2016, p.140)

Por lo anterior, el taller tuvo los siguientes objetivos: realizar actividades que permitan la

instrumentalización de las características de la noción de fractal en el aula desde una manera

sencilla; reflexionar sobre cómo esta noción compleja se puede trabajar en el aula con

estudiantes de educación secundaria; abordar otros contenidos referentes a las características

de los fractales como es la semejanza de figuras, progresión, área, perímetro, operaciones

con fracciones, etc.

Enfoque Instrumental

Utilizamos el Enfoque Instrumental dado por Rabardel (1995), para la elaboración de las

actividades pues nos brinda las directrices necesarias para el estudio en escenarios de

enseñanza y aprendizaje con tecnologías.

Para Salazar (2009), las nociones claves de este Enfoque son las siguientes:

Esquema: Organización invariante de la conducta del sujeto para una clase determinada de

situaciones.


Artefacto: Es un objeto material o abstracto, destinado a dar sustento a la actividad del sujeto

en la ejecución de un cierto tipo de tarea.

Instrumento: Es lo que un sujeto construye a partir del artefacto (figura 3). Es entonces una

entidad mixta que contiene a la vez un artefacto, material o no, y esquemas de utilización

construidos por el sujeto durante su interacción.

Figura 3. Componentes del instrumento

De acuerdo a Rabardel (1995), el Enfoque Instrumental estudia la diferencia que existe entre

el artefacto, instrumento y los procesos que desenvuelven la transformación progresiva del

artefacto en instrumento, transformación que denominó como proceso Génesis Instrumental.

En cuanto a la génesis instrumental, Rabardel (1995) sostiene que ésta consta de dos

dimensiones: La instrumentalización y la instrumentación.

La instrumentalización: Está dirigida hacia la parte artefactual del instrumento, consta de

enriquecimiento de las propiedades del artefacto por parte del sujeto. Es decir, es el resultado

de la atribución de una función al artefacto por parte del sujeto.

La instrumentación: Está dirigida hacia el sujeto. Se refiere a la construcción de esquemas

de uso por parte del sujeto, relativos a la ejecución de ciertas tareas. En este proceso se lleva

a cabo la asimilación de nuevos artefactos a los esquemas y la acomodación de los esquemas

para dar nuevos significados a los artefactos.

Rabardel (1995) utiliza la noción de esquema redefinida por Vergnaud que menciona que un

esquema es una organización invariante de la conducta del sujeto para una clase determinada

de situación.

Desarrollo del taller de formación


El taller tuvo dos tipos de actividades:

a) Actividades introductorias, en las cuales se presenta actividades dirigidas a la

instrumentalización de las características de los fractales (autosimilares, dependen de

escalas y poden ser generados por un patrón repetido). Estas actividades se realizaron

utilizando lápiz y regla, así como utilizando la técnica del Kirigami (doblado y corte de

papel), en las cuales se construyeron el triángulo de Sierpinski, el conjunto de cantor,

entre otros.

b) Actividades con Geogebra: Se propondrá actividades que permitan inducir la noción

intuitiva de la recursividad y el infinito.

Las actividades se desarrollaron en dos sesiones de 90 minutos cada una. En la primera sesión

se desarrollaron actividades de introducción a la noción de fractales y las primeras

construcciones de fractales con la técnica de Kirigami. En la segunda sesión, continuamos

con la actividad de construcción de fractales con el uso de Geogebra.

Las actividades

A continuación se presentará una actividad por cada tipo, mencionado anteriormente, que se

desarrollaron en el taller.

Actividad introductoria

Figura 4. Actividad introductoria presentada a los participantes.

Tiene como objetivo introducir la noción de fractales. Dado que Fractal está relacionado con

la palabra Fractus que significa roto o no entero.

Se deseaba que los docentes participantes reconocieran cada parte de los segmentos que se

dividió el segmento inicial reconociéndolo como la unidad, como se muestra en la siguiente


figura:

Figura 5. Reconociendo la medida de cada segmento dividido

Los docentes realizaron la división del segmento dado inicialmente, con el uso de compás,

reglas y una docente hizo las divisiones utilizando el teorema de Thales, ya que el segmento

no era de medida exacta para cada partición que se solicitaba del segmento. Esto último se

muestra en la siguiente figura:

Figura 6. Docentes participantes realizando la primera actividad.

Para finalizar esta actividad los docentes participantes, completaron un cuadro en el cual

completaban sus observaciones y deducirán patrones, como se muestra a continuación:


Figura 7. Los docentes participantes buscan progresiones.

Actividad con Kirigami

En este tipo de actividad, se realizaron las construcciones de los fractales conocidos como

escalera de cantor, pirámide se Sierpinski, el libro fractal, entre otros.

Figura 8. Fractales elaborados por los docentes participantes.

Al realizar esta actividad se evidenció que los docentes participantes se sintieron motivados

en la construcción de cada fractal. El libro fractal fue la construcción que era más elaborada

y con mayor número de pasos, pero para ellos fue un reto, que al final lograron realizar.

Actividad con Geogebra

Esta actividad se basado en la presentación del triángulo de Sierpinski elaborado con

Geogebra. Donde los docentes tenían que movilizar un deslizador y según la fase que se


encuentre debían responder a las preguntas mostradas en la figura siguiente.

Figura 9. Actividad de triángulo de Sierpinski con Geogebra.

Al finalizar, el desarrollo de todas las actividades, los docentes participantes mostraron

mayor interés en la construcción de los fractales mediante la técnica del Kirigami.

En un primer momento hicieron las construcciones con una plantilla, después de reconocer

la secuencia de construcción. Pudieron realizar un libro fractal de la pirámide de Sierpinski.

Consideraciones Finales

Consideramos que al concluir el taller los docentes participantes instrumentalizaron las

características de los fractales por medio de tecnologías (lápiz y papel – Geogebra) y

movilizaron esquemas preexistentes como semejanza de figuras, progresiones, segmentos,

área, perímetro, así como la formación de nuevos esquemas que permitieron instrumentar la

noción de fractal. A su vez los docentes reflexionaron sobre cómo esta noción compleja se

puede trabajar en el aula con estudiantes de educación secundaria

Agradecimientos

Agradecemos a la Pontificia Universidad Católica del Perú, por favorecer el desarrollo de

investigación en el área de Educación Matemática en general y, en particular al Instituto de

Investigación sobre Enseñanza de las Matemáticas por el apoyo del grupo de investigación

Tecnologías y Visualización en Educación Matemática TecVEM-IREM.


Estrada, F. (2004). Geometria fractal: conceptos y procedimientos para la construcción de fractales. Bogota: Editorial Magisterio.


Salazar, J.V. F (2009). Gênese instrumental na interação com Cabri 3D: um estudo de transformações geométricas no espaço. (Tesis doctoral) Pontificia Universidade Católica de São Paulo, Brasil.

Ministerio de Educación del Perú (2016). Matemática 3. Lima: Santillana.

Ovideo, L.; Kanashiro, A. & Colombini, M. (2004). Fractales: un universo poco frecuentado. Santa fe: Ediciones UNL.

Rabardel, P. (1995). Les Hommes et les Technologies: une approche cognitive des instruments contemporains. Université Paris. Armand Colin. Recuperado de http://ergoserv.psy.univ-paris8.fr/Site/


CB-493

CURVAS CON RITMO EN LA REALIDAD

Cristina Sánchez González [email protected]

I.ES. Maestro Juan Rubio (La Roda -Albacete-). España. Núcleo temático: I. Enseñanza y aprendizaje de la Matemática en las diferentes modalidades y niveles educativos. Modalidad: CB Nivel educativo: Secundaria. Palabras clave: funciones elementales, gráficas, rapidez de crecimiento, entorno. Resumen En la realidad hay una enorme diversidad de situaciones que pueden modelizarse a través de las funciones elementales, por lo que conocer la forma de esas funciones es uno de los objetivos de la ESO. En este trabajo se propone la construcción de sus gráficas desde una perspectiva global, analizando su “ritmo” -rapidez de crecimiento ó decrecimiento-, y no a partir de la representación punto a punto de una tabla de valores. Estos “ritmos” los encontramos continuamente en las formas de nuestro entorno y su presencia se justifica unas veces por cuestiones puramente estéticas, y otras, por necesidades prácticas. 1.- Enfoque 1: Representación gráfica de funciones elementales a partir de la

representación punto a punto de una tabla de valores. Inconvenientes.

Es habitual encontrar en los libros de texto de niveles avanzados de secundaria actividades

en las que para conocer la gráfica de una función elemental se deben representar punto a

punto los pares de valores de una tabla:

Ejemplo 1: En el libro de 4º eso de la editorial Oxford:


¿Por qué representan estos puntos, cercanos al origen y de

coordenadas enteras, y no otros? ¿No harían falta más puntos para

estar seguros de la forma de la gráfica? ¿Por qué los puntos los

unen de este modo y no con segmentos?

Ejemplo 2: En el solucionario de 4º eso de la editorial Anaya:

Ejemplo 3: En el solucionario de 4º eso de la

editorial Editex:

Proceden de este modo en cada uno de los apartados. Por ejemplo, en el apartado a):


De nuevo, para los dos ejemplos anteriores nos planteamos los mismos interrogantes que en

el ejemplo nº 1, con el agravante de que ahora, además, la variable independiente x no varía

de manera constante (en el nuevo enfoque que a continuación expongo, la variación constante

de x es un aspecto esencial a tener en cuenta). Como señalan Félix Martínez y Juan José

Martínez, de la Universidad de Cádiz:

“Esta manera de hacer va creando en los alumnos un esquema mental muy básico sobre las

representaciones gráficas que a lo largo de la eso se repite, por lo que el esquema se afianza,

se interioriza y se convierte en un hábito difícil de cambiar”.

De ahí que sea necesario plantear otros enfoques:

2.- Enfoque 2: Representación gráfica de funciones elementales a partir del estudio del

“ritmo” de una tabla de valores.

Un aspecto esencial en el trabajo con funciones es estudiar su monotonía y, por tanto, conocer

cuándo una función crece y cuándo decrece y, más todavía, cómo de rápido lo hace, es decir,

su “ritmo”. Porque no es lo mismo, de cara a interpretar un fenómeno, que este evolucione

creciendo de forma constante, o de forma cada vez más rápida o de forma cada vez más lenta.

Por ejemplo, imaginemos un corredor que hace el mismo recorrido en tres días diferentes y

queremos medir qué distancia recorre en función del tiempo cada día:

- Primer día. Ritmo constante: a incrementos constantes del tiempo, se producen

incrementos constantes de la distancia recorrida.

- Segundo día. Ritmo no constante: empieza corriendo despacio pero, se encuentra fuerte

y animado, y cada vez va corriendo más rápido: a incrementos constantes del tiempo, la

distancia recorrida va aumentando.


- Tercer día. Ritmo no constante: empieza corriendo deprisa pero, se va cansando, y cada

vez va corriendo más despacio: a incrementos constantes del tiempo, la distancia

recorrida va disminuyendo.

En los tres casos, las curvas asociadas, son todas crecientes, pero tienen formas de crecer

bien distintas.

Si, dada una tabla de valores de una función elemental asociada a un contexto, somos capaces

de averiguar el ritmo que esconde dicha tabla, podremos esbozar la gráfica de esa función

elemental de una manera global, de un solo trazo. Será un trazo aproximado pero suficiente

para describir adecuadamente la situación real que estamos estudiando. A continuación,

vamos a profundizar en los dos tipos de situaciones que se nos pueden plantear asociadas a

ritmos constantes y a ritmos no constantes:

2.1. Ritmos constantes. Gráficas asociadas.

Ejemplo 1: Corredora.

Supongamos una corredora que se mueve de este modo:

Gráficamente:


¿Qué observamos? Observamos que el ritmo de esta corredora es constante (1km/6 min)

porque, a incrementos constantes del tiempo, se producen incrementos constantes de la

distancia recorrida.

¿Cuál será la gráfica asociada a este movimiento? Evidentemente, una recta, cuya pendiente

es, precisamente, el ritmo de la corredora: +1km/6 min.

Pero, ¿cualquier ritmo constante tiene como gráfica asociada una recta?

Veamos este otro ejemplo:

Ejemplo 2: Cubitos de una torre.

Construyamos una torre como esta con ayuda de los policubos:

El número de cubitos de cada piso se muestra en la siguiente tabla:


Gráficamente:

Nuevamente observamos que el ritmo de crecimiento del número de cubitos es constante (+4

cubitos/piso) porque, a incrementos constantes del nivel, se producen incrementos constantes

del número de cubitos.

¿Cuál será la gráfica asociada a este fenómeno? Como ambas variables son discretas, nos

resultan puntos aislados que se encuentran sobre una recta imaginaria de pendiente +4

cubitos/piso.

En general, los ritmos constantes se caracterizan porque a variaciones constantes

(incrementos o disminuciones) de la variable independiente, se producen variaciones

constantes de la variable dependiente. Las curvas asociadas a estos ritmos son rectas o están

formadas por puntos alineados. Esta es una idea muy interesante porque todas las funciones

lineales esconden estos ritmos constantes y, por tanto, todas ellas se pueden describir a través

de rectas.

El entorno está repleto de estos ritmos. Son los reyes de la calle! Por ejemplo:


- Escaleras. Muy cómodo el ritmo constante en la escalera de la izquierda y no tan cómodo

en la escalera de la derecha:

- Tobogán de cristal “Skyslide” en la torre del Banco de

Estados Unidos en Los Ángeles a unos 300 m de altura. Ritmo de decrecimiento constante.

- En edificios, calles, aulas, …Ritmos de crecimiento constante e igual a 0. Son el “colmo”

de un ritmo constante. A variaciones constantes de la distancia, variaciones nulas de la altura:

2.2.

Ritmos no constantes. Gráficas

asociadas.


Ejemplo 3: Leyenda del ajedrez.

De todos es de sobra conocida la leyenda del nacimiento del juego del ajedrez.

Podemos representar en esta tabla de valores el número de granos de trigo en función del

número de casilla del tablero:

Se trata de una función exponencial cuya fórmula es: t(n) = 2n-1

Gráficamente:

Observamos: a incrementos constantes del número de casilla del tablero, incrementos no

constantes del número de granos de trigo. En este caso, incrementos cada vez mayores. Por

eso, el ritmo de crecimiento del número de granos de trigo es cada vez más rápido. Los puntos

ya no están alineados. En general, los ritmos no constantes se caracterizan porque a

variaciones constantes (incrementos o disminuciones) de la variable independiente, se

producen variaciones no constantes de la variable dependiente. Las curvas asociadas a estos

ritmos ya no son rectas sino que adoptan una de estas 4 formas o combinación de ellas:

CRECIMIENTO CADA

VEZ MÁS RÁPIDO

CRECIMIENTO CADA

VEZ MÁS LENTO

DECRECIMIENTO CADA

VEZ MÁS RÁPIDO

DECRECIMIENTO

CADA VEZ MÁS LENTO


Las gráficas de las funciones elementales que se trabajan en secundaria como funciones

cuadráticas, de proporcionalidad inversa, exponenciales y logarítmicas presentan esos ritmos.

A partir de la fórmula de una función elemental, podemos elaborar la correspondiente tabla

de valores y, a partir de ésta, procediendo como he indicado en los ejemplos 1, 2 y 3, podemos

descubrir uno de los ritmos anteriores (tanto constantes como no constantes) y, por tanto,

podemos esbozar su gráfica de manera global. Este estudio previo da mucha más información

sobre la forma de la gráfica que la de representar las funciones elementales solo a partir de

unos cuantos puntos aislados, sin analizar la relación de dependencia que existe entre ambas

variables.

En el entorno también encontramos estos ritmos, por ejemplo:


En la montaña rusa el ritmo de decrecimiento es cada vez más lento mientras que en el puente,

el ritmo de decrecimiento es cada vez más rápido. En éste, la curva que aparece es la

catenaria, “curva ideal”, una curva ornamental y estructural porque da solidez a puentes y

edificios ya que soporta muy bien las fuerzas de arriba a abajo.

En cambio, el arco de puerta presenta un ritmo de crecimiento cada vez más lento mientras

que en la pista de skate, el ritmo de crecimiento es cada vez más rápido. En ésta, la curva que

aparece es la cicloide, “curva de descenso más rápido”, porque minimiza el tiempo que tarda

un móvil en pasar de un punto A a un punto B al estar sometido a la acción de la gravedad.

Por eso esta curva se utiliza, no solo en pistas de skates, sino en toboganes, en rampas de

descenso para la evacuación de aviones, etc.

Pero lo más habitual es que estos ritmos se

combinen en una misma curva para crear ritmos

cambiantes y emoción a tope. Ejemplo: tobogán

acuático “Verruckt” en Kansas:

Referencias bibliográficas.

- Shell Centre for Mathematical Education (1990). El lenguaje de funciones y gráficas. Servicio editorial Universidad del País Vasco.

- Martínez, F. y Martínez, J.J. (2014). El uso de tablas de valores para la representación gráfica de funciones. Épsilon. Vol. 31(1), nº86, 9-20.


CB-495

ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE LOS EFECTOS EVOLUTIVOS DEL DESARROLLO DEL LENGUAJE EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

MATEMÁTICOS EN EDUCACIÓN PRIMARIA.

M. Mercedes Rodríguez-Hernández*, Rosa E. Pruneda** y Juan M. Rodríguez-Diaz*

[email protected] rosa.pruneda@uclm. es–[email protected] *U. de Salamanca-**U. De Castilla-La Mancha (España)

Núcleo temático: Investigación en Educación Matemática. Modalidad: CB Nivel educativo: Educación primaria. Palabras clave: Resolución de problemas aditivos, comprensión lectora, ANCOVA. Resumen La dificultad que los alumnos de primaria tienen para resolver problemas matemáticos está muy relacionada con las habilidades lingüísticas que poseen. Para llegar a la solución correcta de los problemas es necesario no solo entender, asimilar y procesar una serie de conceptos abstractos sino que también tienen que ser capaces de representarlos simbólicamente relacionándolos con las operaciones matemáticas adecuadas. En este trabajo se presenta un modelo para establecer una relación entre la comprensión lectora y la resolución de problemas teniendo en cuenta además el nivel evolutivo de los alumnos que también influye en la adquisición de las habilidades lingüísticas. El análisis estadístico ANCOVA combina los modelos de regresión lineal con el análisis de la varianza. Se establece una relación entre variables continuas teniendo en cuenta que los datos de los que se dispone provienen de diferentes grupos o categorías. En el estudio realizado se han agrupado los alumnos en función del curso al que pertenecen, de esta manera se puede determinar la influencia del nivel evolutivo en el modelo eliminando sus efectos del mismo. Introducción

Los estudios internacionales de evaluación del rendimiento de estudiantes de primaria se

realizan sobre la base de un marco conceptual y metodológico común. Su objetivo es

proporcionar indicadores que sirven no solo para evaluar a los estudiantes, sino para que los

países diseñen sus modelos educativos. El indicador que recibe más atención por parte de la

opinión pública es el ranking de países en función de los resultados obtenidos. Desde los años

sesenta del siglo pasado, la puntuación de cada país se ha convertido en un factor que afecta

significativamente a las políticas educativas y genera presiones para adoptar las prácticas

educativas de los países con mayor rendimiento (Steiner-Khamsi, 2003). Los resultados de


diversos organismos como NAEP (National Assessment of Educational Progress) o PISA

(Program for International Students Assessment) y el informe TIMSS (Trends in

International Mathematics and Sciences Study) revelan que los resultados del aprendizaje en

general y de las matemáticas en particular son bajos en la mayoría de países.

Respecto a la evaluación de los conocimientos de matemáticas, estos estudios tienen

diferentes enfoques, por ejemplo el informe de TIMSS se centra en asegurarse de que se

cumple el plan de estudios diseñado por cada país. Valoran si los profesores cumplen los

objetivos, cómo imparten los contenidos, etc. y si los alumnos alcanzan los conocimientos

básicos en los diferentes apartados. Sin embargo, el informe PISA no se centra en ningún

aspecto concreto del curriculum sino en valorar si los alumnos son capaces de aplicar los

conocimientos matemáticos aprendidos en problemas y situaciones reales.

En cualquier caso, la resolución de problemas es clave en la buena evaluación de los

estudiantes de Matemáticas. En Estados Unidos, la NCTM (The National Council of

Teachers of Mathematics) establece que la resolución de problemas debe ser el núcleo de las

matemáticas escolares (Reston, 2000). El informe Cockcroft (Cockroft, 1982), una visión del

sistema educativo en Inglaterra y Gales encargado por El Ministerio de Educación británico

y referente de muchos sistemas educativos, ya manifiestaba una creciente preocupación por

la enseñanza de las matemáticas y la reducción del tiempo dedicado a ellas en los programas.

El informe afirma que es una materia que requiere mucho trabajo y práctica,

independientemente del nivel de conocimiento que se tenga. En sus conclusiones y

recomendaciones destaca que la enseñanza de las matemáticas en todos los niveles debe

dedicar un tiempo para la explicación teórica del profesor, la discusión entre el profesor y los

estudiantes, el trabajo práctico, la consolidación y práctica de habilidades y rutinas básicas y

la resolución de problemas, incluyendo la aplicación de las matemáticas a situaciones de la

vida real.

Para realizar la resolución de problemas con éxito es necesario que los estudiantes entiendan

y sean capaces de representar simbólicamente la estructura semántica de los mismos. Es un

hecho que los niños desarrollan el lenguaje académico mucho más tarde del cotidiano

(Cummins, 2000), por lo que un desarrollo pobre del lenguaje afectará al aprendizaje de las

matemáticas. Establecer una relación entre el proceso evolutivo de aprendizaje del lenguaje


y su efecto en el aprendizaje de las Matemáticas será clave para diseñar acciones que mejoren

el resultado del aprendizaje.

En este artículo se estudia la influencia del lenguaje en la resolución de problemas aditivos

redactados en un lenguaje próximo al cotidiano que usan los niños de entre 6 y 12 años. El

objetivo es encontrar el modelo más adecuado que relacione la influencia del lenguaje y el

curso de los estudiantes con la habilidad para resolver problemas de una sola operación, ya

sea suma o resta. A continuación se muestra el análisis de los datos obtenidos y las

conclusiones.

Se evalúa el rendimiento de los alumnos de primaria de entre 6 y 12 años en los problemas

aritméticos que son aquellos en los que las preguntas se refieren a los datos que representan

cantidades y las relaciones que existen entre ellos. Este tipo de problemas son los primeros

que se encuentran los estudiantes de primaria en su curriculum y también los que tienen que

ver con muchas situaciones reales del día a día. La dificultad de estos problemas varía según

su formulación, el vocabulario que se utilice, si se dan datos irrelevantes o no, según sea la

escala de los números involucrados, etc.

Diferentes autores, (Carpenter y Moser, 1983), realizan la siguiente clasificación de los

problemas aditivos:

• Cambio: Operación de transformación sobre una cantidad inicial, que experimenta

un aumento o disminución. Operaciones del tipo a + b = c dan lugar a tres tipos de

problemas según sea la incógnica, a, b o c. Y otros tres para problemas del tipo a-b=c.

• Combinación: Dos cantidades pueden ser consideradas aisladamente o como parte

del conjunto sin que exista interacción. Hay dos tipos de problemas, los que preguntan

por la unión o por el subconjunto.

• Igualdad: Contienen elementos de problemas de cambio y comparación. Hay seis

tipos de problemas diferentes.

• Comparación: Se establece una comparación entre dos conjuntos ya sea para

determinar la diferencia entre ellos o para encontrar una incógnita. De este tipo hay 6

problemas diferentes dependiendo de si se pregunta sobre la diferencia entre ambos

conjuntos, la comparación entre ellos o sobre el de referencia, teniendo en cuenta que


en cada caso se pueden distinguir dos problemas en función de si se utilizan los

términos “mayor” o “menor”.

Siguiendo la clasificación anterior, se creó un cuestionario con 20 preguntas para evaluar a

los alumnos cuyos resultados son recogidos en la variable denominada RP.

La población estudiada consta de 178 estudiantes de primero a sexto grado de entre 6 y 12

años de una escuela pública española de nivel socio-económico medio/bajo. Se consideraron

tres grupos de alumnos, el grupo G1 formado por los alumnos que están aprendiendo a leer

y las operaciones aritméticas, el grupo G2 formado por alumnos que ya saben leer y

comprenden las operaciones aritméticas y el grupo G3 que son los alumnos que deben de

tener una mayor capacidad para transcribir los problemas a lenguaje matemático. En la

siguiente tabla se muestra un resumen de los grupos considerados:

Grupo Curso (años)

G1 1º-2º (6-8)

G2 3º-4º (8-10)

G3 5º-6º (10-12)

Para determinar el modelo que relaciona la comprensión lectora y la resolución de problemas

se realizará un análisis de la covarianza o ANCOVA con las notas sacadas del test propuesto

que evalúan la comprensión lectora de los enunciados de los problemas, “Comprensión

Lectora” (CL), y la correcta resolución de los mismos, “Resolución de Problemas” (RP).

Esta técnica permite establecer modelos de regresión lineal entre dos variables continuas, una

independiente denominada covariable (CL) y otra dependiente (RP) cuyos datos pertenecen

a diferentes categorías. En este caso las categorías son los grupos de alumnos que permiten

incorporar a los modelos el nivel evolutivo de los mismos. Pero para poder usar la técnica

propuesta se tiene que cumplir que las observaciones sean independientes, que no haya

valores atípicos, que los residuos sean normales en cada grupo, que haya homogeneidad de

las varianzas y sobre todo que efectivamente haya una relación lineal entre las variables y

que las pendientes de los modelos de regresión simple en cada grupo sean paralelas, es decir,

que no haya interacciones entre los grupos. Para ello hay que construir los siguientes

modelos:

• Modelo 1: Regresión lineal simple con todos los datos: ;W = $ + % ∗ ^�


• Modelo 2: Modelo de regresión ANCOVA

;W = $ + % ∗ ^� + � �' • Modelo 3: Regresión lineal simple por grupos (uno por grupo) ;W�� = $ + % ∗ ^��

El procedimiento de análisis de datos para encontrar el modelo más adecuado seguirá los

siguientes pasos:

• Paso 1: Contraste para determinar si los grupos son necesarios en el modelo (Modelo

1 frente a 3): Contraste F1-3.

• Paso 2: En caso de que los grupos sean necesarios, contrastar si el Modelo 2 es

suficiente o son necesarios los individuales del Modelo 3: Contraste F2-3.

• Paso 3: Selección e interpretación del modelo seleccionado. Si el contraste del Paso

2 es significativo, elegir el Modelo 3, sino, elegir el Modelo 2.

En ambos casos el estadístico de contraste es:

��→ = q¡¢¢£!¡¢¢¤t v¥£→¤¦¡¢¢¤ v¥¤⁄ ,

donde RSS es la suma de cuadrados del modelo correspondiente y gl los grados de libertad.

El significado del contraste se dará en el análisis de datos.

Análisis de datos

El resumen de la variable RP se puede ver en los diagramas de cajas de la Ilustración 1 y en

la siguiente tabla donde se recoge la media (E[X]), la cuasi-desviación típica (s) y el número

de datos (N) por grupo:

G1 G2 G3

E[RP] 1,165 2,537 3,757

s 1,962 2,865 2,686

N 74 40 64


En la Ilustración 1 se observa que el grupo G1 presenta datos atípicos en la variable RP y

que si no se considera el G1 en la variable CL, el crecimiento lineal de las medias no es tan

marcado, además al representar el Modelo 2 de regresión lineal simple por grupos se

observa en la Ilustración 2 que las pendientes de los modelos de G2 y G3 se pueden

considerar paralelas pero no la de G1. Por estas razones la primera decisión es prescindir

de los datos del grupo G1 para los siguientes análisis ya que no cumplen las hipótesis para

realizar el análisis propuesto.

Ilustración 5: Diagramas de caja de las variables RP y CL.


Considerando como el conjunto de datos total el formado por G2 y G3, se obtiene:

Modelo Ajuste gl R² RSS

1 RP = -0,982+0,798 * CL 102 0,598 326,311

2 RP = -1,545+0,789 * CL+0,995 * G3 102 0,628 302,019

3-G2 RP = -1,811+0,840 * CL 38 0,581 134,282

3-G3 RP = -0,402+0,762 * CL 62 0,633 166,673

Donde gl son los grados de libertad del modelo, R2 es el coeficiente de determinación y RSS

la suma de los errores al cuadrado. En el modelo 2, G3 en una variable binaria que toma valor

1 si el alumno pertenece al grupo 3 y 0 si pertenece al grupo 2. Se considera RSS1=326,311,

RSS2=302,019 y RSS3=RSS3-G2+RSS3-G3=134,282+166,673=300.995.

Paso 1: Contraste realizado:

• H0= Los grupos son iguales, es decir, la variabilidad explicada por la inclusión de los

grupos es despreciable

• H1= Los grupos son diferentes

�"→� = (326,311 − 300,995) 2⁄300,995 100⁄ = 4,212

Comparado con �(4,"PP)(0.95) = 3.08 significa que el contraste es significativo con un p-

valor = 0.0175 rechazar la hipótesis nula. Los grupos aportan variabilidad.

Paso 2: Contraste realizado:

Ilustración 6: Regresión lineal simple por grupos (Modelo 2).


• H0= Las pendientes son iguales para todos los grupos.

• H1= Las pendientes no son iguales.

�4→� = (�P4,P"«!�PP,««�) "⁄�PP,««� "PP⁄ = 0,353.

Comparado con �(","PP)(0.95) = 3.936 significa que el contraste no es significativo con un

p-valor = 0.554 no rechazar H0.

Paso 3: Como en el paso 2 no se rechaza la hipótesis nula se selecciona el Modelo 2

(ANCOVA):

RP = -1,545+0,789*CL+0,995 * G3.

Este modelo permite estimar los valores de la variable RP en función de CL según el

estudiante pertenezca a un grupo u otro. La estimación se puede ver en las rectas de regresión

de la Ilustración 2:

• Para el G2: RP = -1,545+0,789*CL.

• Para el G3: RP = -0.550+0,789*CL.

Se

puede comprobar que al evaluar el modelo obtenido en el valor medio de la variable

comprensión lectora, CL=5,351, se obtiene que el valor medio de RP según el modelo

seleccionado es 2.672 para el G2 y 3.674 para el G3. Estos resultados son una buena

aproximación comparados con los valores medios de estas variables, 2,537 y 3,757 para los

Ilustración 7: Modelo seleccionado, Modelo 2. ANCOVA.


grupos G2 y G3, respectivamente. Además, se observa que los resultados entre el grupo G2

y G3 tienen un desfase de 0,995 puntos.

Conclusiones

El análisis realizado permite encontrar un modelo que relaciona la comprensión lectora de

los alumnos (variable denominada CL) con la habilidad para resolver problemas matemáticos

(variable denominada RP) teniendo en cuenta el efecto del nivel evolutivo de los alumnos.

Para ello se consideran tres tipos de modelos, regresión lineal simple con todos los datos, por

grupos y ANCOVA. Mediante contraste de hipótesis se comparan los tres modelos para ver

si la inclusión de los grupos afecta o no al modelo y se selecciona el modelo más adecuado

de entre ellos. En los datos analizados separados en tres grupos, se descarta el primero por

no verificar las hipótesis del modelo ANCOVA y con los datos de los otros dos grupos se

concluye que la presencia de los grupos es necesaria en el modelo. Que existe una influencia

en el modelo según al grupo que pertenece el alumno y que el resultado de los alumnos del

grupo G3 están 0,995 puntos por encima del G2. Eso permite estimar mejor los resultados

descartando el efecto entre grupos.


Carpenter, T. P., Hiebert, J., & Moser, J. M. (1983). The effect of instruction on children's solutions of addition and subtraction word problems. Educational Studies in Mathematics, 14(1), 55-72.

Cockcroft, W. H. (1982). Report of the Committee of Inquiry into the Teaching of Mathematics in Schools.

Cummins, J. (2000). Language, power, and pedagogy: Bilingual children in the crossfire (Vol. 23). Multilingual Matters.

Reston, V. NCTM (2000). Dorothy Y. White For the Editorial Panel.

Krulik, S. and Rudnick, K. (1980). Problem solving in school mathematics. National council of teachers of mathematics; Year Book. (Reston: Virginia).

Steiner-Khamsi, G. (2003). The politics of league tables. JSSE-Journal of Social Science Education, 2(1).


CB-498

A ASTRONOMIA COMO RECURSO PARA CRIAR TAREFAS DE MATEMÁTICA NO 1.º CICLO DO ENSINO BÁSICO

Maria Cristina Costa1 – Vítor Duarte Teodoro2 – António Domingos3

[email protected] – [email protected] – [email protected] 1Instituto Politécnico de Tomar, UIED4, Portugal;

2,3Faculdade de Ciências e Tecnologia, Universidade Nova de Lisboa, UIED, Portugal.

Núcleo temático: Recursos para o ensino e aprendizagem da Matemática Modalidade: CB Nível educativo: Primário (6 a 11 anos) Palavras chave: Tarefas de matemática, astronomia, interdisciplinaridade, questionamento investigativo Resumo Este estudo pretende abordar a astronomia como um recurso para desenvolver tarefas de matemática, ao nível do 1.º Ciclo do Ensino Básico. Com uma metodologia de design research, os recursos foram desenhados por professores do ensino superior e apresentados a professores do ensino básico, no âmbito de uma oficina de formação. Neste contexto, os professores que participaram na formação, frequentaram workshops onde foram trabalhados conteúdos e recursos de astronomia que envolveram a interdisciplinaridade com a matemática, recorrendo ao questionamento investigativo. As principais fontes de recolha de dados envolveram a realização de focus group, entrevistas semi-estruturadas, observações presenciais e os portefólios apresentados pelos professores. A análise e discussão dos dados, mostra-nos que os professores se sentem motivados pelo tema da astronomia, conseguindo propor tarefas de matemática adequadas aos domínios de Números e Operações e de Geometria e Medida, nomeadamente medições, trabalhar escalas, frações, ângulos e proporções. Conclui-se que é possível trabalhar a matemática, a partir de recursos de astronomia, promovendo assim a interdisciplinaridade de acordo com as recomendações do currículo em vigor. Introdução

Nos princípios orientadores da organização curricular e programas do ensino básico, em

Portugal (http://www.dge.mec.pt), é sugerido que o Estudo do Meio pode ser um motor para

a aprendizagem de outras áreas disciplinares. Por outro lado, no que diz respeito à

matemática, é referido que esta é indispensável para compreender o mundo que nos rodeia,

sendo essencial para estudar fenómenos relacionados com outras disciplinas.


Este artigo pretende mostrar a astronomia como um recurso para desenvolver tarefas de

matemática, ao nível do 1.º Ciclo do Ensino Básico (1.º CEB), integradas nos domínios

curriculares de Números e Operações e de Geometria e Medida.

O estudo aqui apresentado é parte integrante de um projeto de intervenção pedagógica

mais amplo, que teve início no ano letivo 2015/2016 (Costa e Domingos, 2017). No último

focus group, do referido projeto, foi decidido criar uma oficina de formação, onde a

astronomia foi integrada, por ser um dos tópicos mais solicitados pelos professores, para

continuar a desenvolver no ano letivo seguinte (2016/2017). É no contexto desta oficina de

formação, que foi desenvolvida a investigação que aqui apresentamos.

A astronomia para além de oferecer recursos ilimitados para compreender temas que vão

desde o nosso planeta, estrelas e universo, tem uma grande potencialidade para integrar a

Matemática (Fleisch & Kregenow, 2013). Neste artigo, procura-se mostrar como trabalhar a

matemática, a partir de recursos de astronomia, sendo apresentadas tarefas de matemática,

propostas pelos formandos, nomeadamente tarefas que envolvem medições, trabalhar

escalas, frações, ângulos, proporções, entre outras.

Revisão da Literatura

Nos últimos anos tem-se vindo a assistir a um declínio alarmante no interesse dos jovens

pelas ciências e matemática, o que irá comprometer a capacidade de inovação da Europa no

futuro, havendo por isso a necessidade de propor práticas que façam aumentar o interesse da

população mais jovem por estas áreas (Rocard et al, 2007). Em Portugal também se verifica

esta tendência, uma vez que apenas 35% dos alunos inscritos no Ensino Secundário, nos anos

letivos 2011/2012 e 2012/2013, se encontravam matriculados em cursos de Ciências e

Tecnologia, de acordo com os dados da Direção-Geral de Estatísticas da Educação e Ciência

(2014).

A literacia matemática é reconhecida internacionalmente como desempenhando um papel

cada vez mais importante para o crescimento económico e prosperidade de uma nação. Neste

sentido, uma parceria entre investigadores e designers, que promova a integração de tarefas

com abordagens pedagógicas adequadas, é fundamental para melhorar o ensino e

aprendizagem da matemática (Geiger et al., 2014). Além disso, é fundamental aplicar práticas


científicas de qualidade, recorrendo à pedagogia do questionamento investigativo (PRIMAS,

2011 & Rocard et al., 2007).

Treacy e O'Donoghue (2014) referem a existência de pouca investigação relativamente à

integração da matemática e das ciências em aula e defendem que as tarefas hands-on,

centradas nos estudantes, são essenciais em qualquer modelo de integração da matemática e

ciências eficiente. Kim e Bolger (2016) defendem a criação de um currículo que integre

Ciências, Tecnologia, Engenharia e Matemática. Estes autores referem que o estudo do

impacto de várias reformas educacionais, demonstram potencial para envolver os professores

no desenvolvimento de lições interdisciplinares adequadas a esta abordagem.

Kermani e Aldemir (2015) defendem a integração das ciências, matemática e tecnologia

nos primeiros anos de escolaridade, através do desenvolvimento profissional dos professores

e, também, da criação de materiais específicos para a realização de atividades hands-on.

Segundo o projeto internacional PRIMAS (2011), os recursos podem ser tarefas de

matemática e ciências, ou trabalhos desenvolvidos por académicos para serem usados em

aula ou em sessões de desenvolvimento profissional de professores.

O desenho (design) de tarefas matemáticas tanto pode ser visto como distinto do processo

de ensino e aprendizagem como ser considerado fundamental para o mesmo, sendo

maioritariamente feito por especialistas, como é o caso dos autores de livros de texto (Jones

& Pepin, 2016). No entanto, os recursos são cruciais para os professores, e estes moldam-nos

de acordo com as suas (idiossincrasias) preferências e personalidade, sendo este um processo

de interpretação e de design dos recursos (Pepin, Gueudet & Trouche, 2013). Segundo Ball

(2003), “Nenhum currículo ensina por ele próprio e os conteúdos não atuam

independentemente da interpretação dos profissionais que os transmitem” (p. 1). Para

Sacristán (2000), o currículo tem a ver com a cultura à qual os alunos têm acesso e cabe ao

Professor analisar os conteúdos, de forma a estimular os seus alunos. O Professor torna-se

“um agente ativo no desenvolvimento curricular, um modelador dos conteúdos que se

distribuem (…), condicionando, com isso, toda a gama de aprendizagem dos alunos.” (p.

166); tornando-se fundamental pensar em “modelos apropriados de formação de professores,

na seleção de conteúdos para essa formação, na configuração da profissionalização e na

competência técnica dos docentes” (p. 166).


Costa e Domingos (2017) referem a importância de desenvolver o conhecimento de

conteúdo dos professores para estes se sentirem motivados e seguros para inovarem as suas

práticas. Neste sentido, é fundamental promover o ensino de conteúdos de astronomia antes

de lhes pedir para proporem tarefas que integrem a matemática.

Metodologia

Este estudo assenta numa metodologia baseada em Design Research, com o objetivo de

melhorar e adequar recursos, trabalhados no âmbito de um contexto formativo, que incluem

atividades experimentais hands-on de astronomia, implementadas para trabalhar a

matemática, recorrendo ao questionamento investigativo. Em particular, procurou-se

observar como os professores adaptaram e desenvolveram estes recursos para serem usados

com os seus alunos em aula, nomeadamente no ensino da Matemática.

Zawojewski, Chamberlin, Hjalmarson e Lewis (2008) propõem a extensão do design

research ao desenvolvimento profissional dos professores, num contexto que envolve uma

equipa de investigadores em conjunto com os professores, com vista a estudar e compreender

como estes desenvolvem a sua prática. Cobb, Jackson e Dunlap (2014) referem que o objetivo

de um estudo de design é investigar as possibilidades de reforços educacionais, apoiando os

professores no desenvolvimento de práticas inovadoras.

Os recursos de astronomia, desenhados pelo formador (segundo autor deste artigo), foram

apresentados a professores do 1.º CEB, no âmbito de uma oficina de formação que decorreu

no ano letivo 2016/2017. Nos workshops, constantes desta formação, os professores

trabalham os conteúdos e manipulam os materiais, de modo a conseguirem implementar as

tarefas propostas, com os respetivos alunos.

Uma das metodologias de trabalho é o Focus Group (Williams & Katz, 2001), para

promover a reflexão sobre as práticas desenvolvidas e as atividades experimentais realizadas.

Os participantes neste estudo são professores, do 1.º CEB, que frequentaram os workshops

de astronomia, sendo apresentado o impacto deste contexto formativo nos seus

conhecimentos e nas suas propostas de tarefas matemáticas, a partir da astronomia.

Recolha de dados

Antes de iniciar a formação, os professores resolveram um teste diagnóstico para aferir

conhecimentos de conteúdo de astronomia. Após a formação voltou-se a repetir o teste para


aferir as alterações nos conhecimentos de conteúdo dos formandos. Os restantes dados foram

obtidos a partir de observações presenciais, entrevistas semiestruturadas, focus group e os

relatórios apresentados pelos professores no final dos workshops.

Análise e discussão dos dados

Começamos por apresentar alguns resultados do teste diagnóstico aplicado aos

participantes antes e depois de frequentarem os workshops de astronomia, com o objetivo de

compreender o impacto da formação no conhecimento de conteúdo dos mesmos. De seguida,

evidencia-se o questionamento investigativo usado pelo formador nos workshops para

exemplificar esta pedagogia aos formandos. Por fim, procura-se analisar a forma como os

mesmos usaram a astronomia, desenvolvendo tarefas de matemática.

Alguns resultados do teste diagnóstico

A amostra trabalhada corresponde a um total de 31 professores que responderam ao teste

diagnóstico nos dois momentos em que este foi aplicado. A comparação foi realizada com os

dados emparelhados, tendo sido aplicado o teste t de Student. Verificou-se que, após a

frequência dos workshops, os participantes melhoraram significativamente os seus resultados

(50% para 70%), relativamente ao total de respostas corretas (Figura 1). Por exemplo, nos

itens 5 e 8 (Figura 2), relacionados com a órbita da Terra à volta do Sol e com a inclinação

do eixo da Terra, é evidente a melhoria do conhecimento de conteúdo sobre a astronomia (de

0% para 80% e de 28% para 90%, respetivamente, com um grau de confiança superior a

99%). Esta melhoria parece estar relacionada com a pedagogia usada nos workshops, onde

as abordagens hands-on com o questionamento investigativo desempenham um papel

fundamental.


Figura 1. Resultados globais

Figura 2. Resultados dos itens 5 e 8

O modelo do questionamento investigativo usado na condução dos workshops

O método usado pelo formador na condução dos workshops, consiste em colocar questões

que levam o formando a investigar, procurando respostas para as mesmas. Ao mesmo tempo,

procura usar exemplos que ajudem os formandos a estabelecer conexões que lhes permitam

desenvolver os seus conhecimentos, a partir do que lhes é familiar, promovendo assim a

aprendizagem significativa. Podemos tomar como exemplo deste método o seguinte extrato

(workshop de 18/01/2017):

Formador [segurando o globo terrestre]: Do equador ao polo vão 10000 km. E daqui até aqui? [Pergunta sinalizando os dois polos].

Formando: São 20000 km. Formador: E a volta à Terra? Formando: São 40000 km. Formador: Muito bem! Agora já faz sentido. A propósito, km escreve-se com k

minúsculo. É frequente encontrar erros com K maiúsculo [mostra folheto de promoções]. O símbolo k minúsculo significa 1000…

O formador preocupa-se, também, em mostrar as potencialidades da Internet,

nomeadamente o recurso à Wikipedia. Nesta fase, coloca questões e, ao mesmo tempo,

procura as respostas, mostrando esta pesquisa através de um videoprojector.

Formador: Qual é o raio da Terra? Vejamos … 6400km. E o seu diâmetro? Vamos usar 13000 km! E o diâmetro da lua? Qual a distância da Lua à Terra? No Perigeu 360000 km e no Apogeu 400000 km. 400000 km é um número jeitoso. Tomem nota destas medidas.

Com os dados recolhidos, palitos e plasticina, propôs uma atividade: “Representar a Lua

e a Terra respeitando a escala”. Depois de cumprida esta primeira tarefa solicitou: “Coloquem

a Lua à distância correta da Terra, de acordo com a escala”.


A título exemplificativo, fez um modelo em que a Terra tinha 2 cm e mostrou-o aos

formandos, enquanto os mesmos comparavam entre si os respetivos modelos.

Formador: Como descobriu a escala? Formando: Com a regra de 3 simples. Formador: Grande descoberta! O raciocínio proporcional é um dos conceitos

matemáticos mais importantes. Rácio quer dizer dividir….

No segundo workshop, para além dos recursos habituais, usou o software Solar Walk

mantendo o mesmo tipo de abordagem. No final de cada sessão, foi solicitado a cada

formando que elaborasse um relatório crítico com propostas de implementação em aula.

O impacto dos recursos, propostos na formação, nos professores

Apesar de ser solicitado aos professores que apresentassem tarefas que integrassem a

matemática e a astronomia, alguns participantes apenas apresentaram propostas de

astronomia que nalguns casos eram reproduções do que tinha sido trabalhado na formação.

Outros referiram que a matemática poderia e deveria ser integrada, mas não apresentaram

propostas concretas de como isso poderia ser feito. No entanto, face ao ano letivo anterior,

verificou-se um grande aumento de propostas de aplicações à matemática. As práticas

apresentadas pelo formador bem como o método do questionamento investigativo foram

muito valorizados nos relatórios apresentados pelos professores.

Neste estudo, daremos destaque às propostas apresentadas pela professora Manuela,

(nome fictício). No seu relatório, a professora, titular de uma turma do 3.º ano, refere que:

(…) tenho a salientar novos conhecimentos que adquiri em relação a algumas características da Terra, noções matemáticas, acontecimentos históricos e teorias pedagógicas. (…) As práticas que o formador aplicou (exercício do relógio, a modelagem da Terra e da Lua, as medições) foram uma forma de demonstrar que as interações na sala de aula contribuem para um ambiente pedagógico-didático melhorando três estratégias de sala de aula: o questionar, o responder e o utilizar materiais que facilitem a compreensão. (1.º Relatório entregue 25/01/2017)

As propostas da professora para trabalhar o tópico proposto foram divididas em 5 sessões.

Numa 1.ª sessão procurou entender a perceções dos alunos sobre o tema, através de questões

e de desenhos feitos pelas crianças. Na 2.ª sessão ensinou conteúdos de astronomia, a partir

das ideias das crianças, identificadas na 1.ª sessão, recorrendo a recursos digitais, globo e

lanterna, entre outros. Na 3.ª sessão procurou identificar os conhecimentos adquiridos pelos

alunos na sessão anterior e se ainda persistiam as conceções erradas, previamente


identificadas na 1.ª sessão, no sentido de reforçar os conhecimentos sobre astronomia.

Finalmente na 4.ª sessão, aplicou e relacionou conceitos matemáticos com os temas

abordados (2.º Relatório entregue 28/02/2017):

Nesta sessão serão aplicados os domínios matemáticos; Números e Operações, Grandezas e Medidas, Geometria e Organização e Tratamento de Dados na resolução de problemas relacionados com os temas das sessões anteriores:

- Números e Operações- Estimativas, cálculos de distâncias entre os astros (proporcionalidade), numerais ordinais aplicados às posições dos astros

- Grandezas, Medidas e Geometria-- Utilização das medidas de comprimento para apresentação dos dados da distância entre a Terra e a Lua e entre a Terra e o Sol. A medida dos ângulos relacionada com a posição (altura) dos astros, comparação de volumes.

- Organização e Tratamento de Dados- Elaboração de gráficos a partir das estimativas das medidas das distâncias entre astros, do perímetro da Terra e relacioná-los com os valores reais.

A sessão 5 foi reservada para os alunos prepararem um pequeno livro abordando temas de

astronomia: estrelas e planetas, o Sistema Solar e as fases da Lua e registarem as

aprendizagens concretizadas.

Foram estas as atividades experimentais relacionadas com a astronomia e respetivas

aplicações à matemática, propostas pela professora Manuela.


O contexto formativo, nomeadamente o método usado pelo formador, levou a uma

melhoria significativa nos conhecimentos dos professores sobre a astronomia. As práticas

apresentadas pelo formador, bem como o método do questionamento investigativo foram

considerados fundamentais pelos formandos. Observou-se que os professores se sentem

motivados pelo tema da astronomia, conseguindo propor tarefas de matemática a partir do

mesmo. Face ao ano letivo anterior, verificou-se um grande aumento de propostas de

aplicações à matemática. No entanto, não podemos deixar de refletir porque motivo alguns

professores ainda não o fizeram. Esta será uma questão a aprofundar no futuro.

Conclui-se que é possível trabalhar a matemática, a partir de recursos de astronomia,

promovendo assim a interdisciplinaridade de acordo com as recomendações do currículo em

vigor, através do desenvolvimento profissional dos professores.


Referências

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4This work is supported by national funds through FCT - Foundation for Science and Technology in the context of the project UID/CED/02861/2016

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