1 CONCEPTOS BASICOS DE GEOMETRA ANALTICA 1.SEGMENTO RECTILNEO DIRIGIDO Sellamasegmentorectilneoosimplementesegmentoaunaporcindeunalnearecta comprendida entre dos de sus puntos. Los dos puntos se llaman extremos del segmento. As, si setieneunalarectaL,entonces 1 2PP esunsegmentocuyosextremosson 1P y 2P .La longitud del segmento 1 2PPse representa por 1 2PP . 1P2PL El segmento 1 2PPes generado por un punto que se mueve a lo largo de la recta L de 1Phacia2P .Decimosentoncesqueelsegmento 1 2PP estdirigidode 1P a 2P ,eindicamosestopor medio de una flecha. Elpunto 1P sellamaorigenopuntoinicialyelpunto 2P extremoopuntofinal.Podemos tambin obtener el mismo segmento dirigindolo de 2Pa 1P ; entonces 2Pes el origen y 1Pel extremo,yelsegmentosedesignapor 2 1P P .Elsentidodeunsegmentodirigidoseindica siempre escribiendo primero el origen o punto inicial. Desdeelpuntode vistade laGeometra elemental,laslongitudesdelossegmentosdirigidos 1 2PP y 2 1P P ,sonlasmismas;peroenelcampodelaGeometraAnaltica,sehaceuna distincinentrelossignosdeestaslongitudes.Sepuedeespecificararbitrariamentequeun segmentodirigidoenunsentidoserconsideradodelongitudpositiva,mientrasqueotro, dirigidoensentidoopuesto,serconsideradocomounsegmentodelongitudnegativa.Es decir, si especificamos que el segmento dirigido 1 2PPtiene una longitud positiva, entonces el segmento dirigido 2 1P Ptiene una longitud negativa y escribimos 1 2 2 1PP P P = . 2.SISTEMA COORDENADO LINEAL ConsideremosunarectaX' Xcuyadireccinpositivaesdeizquierdaaderecha,yseaOun punto fijo sobre esta lnea. SeaPes un punto cualquiera deX' X situado a la derecha deO tal que el segmento dirigidoOP tiene longitud positivax , entonces el puntoPcorresponde alnmeropositivox .Anlogamente,siP' esunpuntocualquieradeX' Xsituadoala izquierda deO tal que el segmento dirigidoOP'tenga una longitud negativa dex ' unidades, entonces diremos que el puntoP'corresponde al nmero negativox ' . P' O PX' X ( ) x ' () x ( ) 02 Deestamanera,cualquiernmerorealx puedeserrepresentadoporunpuntoP sobrela rectaX' X. Y recprocamente, cualquier puntoPsituado sobre la rectaX' X representa un nmerorealx ,cuyovalornumricoesigualalalongituddelsegmentoOPycuyosignoes positivo o negativo segn sea quePeste a la derecha o a la izquierda deO. De acuerdo a esto, se establece una correspondencia biunvoca entre puntos de una recta y los nmerosreales.Talesquemasellamasistemacoordenado.Comotodoslospuntosestn sobrelamismarecta,elsistemasellamasistemaunidimensionalosistemacoordenado lineal. LarectaX' XsedenominaejeyelpuntoOeselorigendelsistemacoordenadolineal.El nmero realxcorrespondiente al puntoPse llama coordenada del puntoPy se representa por() x .ElorigenOtieneporcoordenada( ) 0 .ElpuntoP consucoordenada() x esla representacingeomtricaogrficadelnmerorealx ,ylacoordenada() x esla representacinanalticadelpuntoP .OrdinariamenteseescribeelpuntoP juntoasu coordenada es decir() Px . 2.1 Correspondencia entre los puntos de una recta y los nmeros reales Lacorrespondenciaestablecidaporelsistemacoordenadolinealesnica.Esdecir,acada nmerorealx lecorrespondeunoysolamenteunpuntoP sobreeleje,yacadapuntoPdel eje le corresponde uno y solamente un nmero realx . 2.2 Longitud entre dos puntos en el Sistema Coordenado Lineal En un sistema coordenado lineal, la longitud del segmento dirigido que une dos puntos( )1 1P xy( )2 2P x seobtiene,enmagnitudysigno,restandoalacoordenadadelextremola coordenada del origen. 1 2 2 1PP x x = . 2.3 Distancia entre dos puntos en el Sistema Coordenado Lineal Enunsistemacoordenadolineal,Ladistanciad entredospuntossedefinecomoelvalor numricoovalorabsolutodelalongituddelsegmentorectilneoqueunelosdospuntos.Es decir 1 2 2 1d PP x x = = . Ejemplo: Calcular lalongitud y la distancia de los puntos( )1P 5y( )2P 3 . Solucin: 1 2PP 3 5 8 = = y 1 2d PP 3 5 8 8 = = = = . 3 3.SISTEMA COORDENADO RECTANGULAR ConstadedosrectasdirigidasX' XyY' Yperpendicularesentresillamadosejesde coordenadas.LarectaX' XsellamaejeX;larectaY' YeselejeY;ysupuntode interseccinO, el origen. Estos ejes coordenados dividen al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes.LadireccinpositivadelejeXeshaciala derechayladireccinpositivadeleje Y, hacia arriba. Todo puntoPdel plano puede localizarse por medio del sistema rectangular. SeaA un punto sobre el eje Xdecoordenadax yBunpuntosobreelejeY decoordenaday .SetrazaPAperpendicularaleje XyPBperpendicularalejeY.Lalongituddel segmento dirigidoOA esxy se llama abscisa deP ; la longitud del segmento dirigidoOB esyy se llama ordenadadeP .Losdosnmerosreales,x yy se llamancoordenadasdeP yserepresentanpor ( ) x, y . Enunsistemacoordenadorectangularlas abscisasmedidassobreelejeXala derechadel origensonpositivasyalaizquierdasonnegativas;lasordenadasmedidassobreYpor encima del origen son positivas y por abajo son negativas. AcadapuntoP delplanocoordenadolecorrespondenunoysolamenteunparde coordenadas( ) x, y . Es importante escribir las coordenadas en su punto en su propio orden, escribiendo la abscisa en el primer lugar y la ordenada en el segundo. Por esta razn un par de coordenadas en el plano se llama un par ordenado de nmeros reales. Elsistemacoordenadorectangularenelplanoestableceunacorrespondenciabiunvoca entre cada punto del plano y un par ordenado de nmeros reales. Ejemplo: Representarlospuntos(-2,1),(-4,-2), (0,-1) y (2,-3) en el plano cartesiano. Solucin: 4 4.DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Para determinar la distanciad entre puntos 1Py 2Pse procede de la siguiente manera. Setrazarectasperpendicularesa los ejescoordenadosdesdelospuntos 1P y 2P ,laperpendiculardelpunto 1Pal ejeY se prolonga hasta que se intercepteconlaperpendiculardel punto 2P alejeX,laintercepcin determinaelpuntoMlospuntos 1P , 2P yM determinan un tringulo rectngulotalcomoseparecaenla figura. Por el Teorema de Pitgoras se tiene: 2 2 21 2 1 2PP PM P M = +Despejando se tiene: ( ) ( )2 21 2 2 1 2 1PP x x y y = + La distanciadentre dos puntos( )1 1 1P x, yy( )2 2 2P x, yest dada por la frmula: ( ) ( ) ( )2 21 2 1 2 1 2dP , P x x y y = + Lacualpermitehallarladistanciaentredospuntoscualquierenelplanocoordenado rectangular. Ejemplo: Calcular la distancia entre estos los puntos( )1P 2,1 y( )2P 3, 4 . Solucin: ( ) ( ) ( ) ( )2 21 2dP , P 3 2 4 1 = + ( ) ( ) ( )2 21 2dP , P 5 5 = + ( )1 2dP , P 25 25 50 = + = ( )1 2dP , P 5 2 = 5 La distancia de 1Pa 2Pes la misma que la distancia de 2Pa 1P . Para el ejemplo anterior: ( ) ( ) ( )2 21 2dP , P 2 3 1 4 = + ( ) ( ) ( )2 21 2dP , P 5 5 = + ( )1 2dP , P 25 25 50 = + = ( )1 2dP , P 5 2 = 5.PUNTO MEDIO Sea el puntoPubicado en el medio del segmento 1 2PP , es decir en medio de los puntos 1Py 2P . Las coordenadas( ) x, ydePestn dadas por: 1 2x xx2+= ; 1 2y yy2+= Es decir las coordenadas del punto medio es el promedio de las coordenadas de 1Py 2P . Ejemplo: Calcularelpuntomediodelsegmentoderectaqueunea( )1P 2,1 y( )2P 2, 3 ;comprobar que( )( )1 21dP , PdP , P2= . Solucin: ( )( ) ( ) 2 2 1 3x, y ,2 2+ + | |=|\ . ( ) ( ) x, y 0, 1 = ( ) ( ) ( )2 21 2dP , P 2 2 3 1 4 2 = + = ( ) ( ) ( ) ( )2 21dP , P 2 0 1 1 2 2 = + = Se comprueba que( )( )1 21dP , PdP , P2= 6 6.NGULO DE INCLINACIN Y PENDIENTE DE UNA RECTA ngulo de inclinacin Se llama ngulo de inclinacin de una rectaL, alnguloformadoporlarectaLyelejeX positivoensentidoantihorario.Elngulode inclinacinuvara entre0a 180 , es decir: 0 180 u s s Pendiente de una recta Sellamapendienteocoeficienteangulardeunarectaalatangentedesungulode inclinacin.Lapendientedeunarectasedesignacomnmenteporlaletram.Portanto, podemos m tanu = Si( )1 1 1P x, y y( )2 2 2P x, y sondospuntos diferentescualesquieradeunarectaLno paralela al ejeY, entonces la pendiente de la recta estar dada por: 2 12 1y ymx x= Ejemplo: Hallar la pendiente de la rectaL que pasa por los puntos( )1P 2,1y( )2P 5, 6 . Solucin: 2 12 1y y 6 1 5mx x 5 2 3 = = = 7 Observaciones: -Sim 0 > entonces el ngulo de inclinacin u es agudo90 u -Sim 0 = entonces el ngulo de inclinacin ues0o 180-Sim= entonces el ngulo de inclinacin u es90 7.NGULO ENTRE DOS RECTAS Sean dos rectas que forman un ngulo.La recta a partir de la cual se mide elngulo se llama recta inicial; la recta hacia la cual se dirige el ngulo se llama recta final. Las pendientes de las rectas inicial y final se llaman pendiente inicial y pendiente final, respectivamente. Sean las rectas 1Ly 2Lque forman un ngulou .Larectainicial 1L con pendiente 1m ylarectafinal 2L con pendiente 2m .Latangentedelngulo formado por 1Ly 2Lest dado por: 2 11 2m mtan1 m mu=+1 2m m 1 = Ejemplo: Hallarlatangentedelnguloformadoporlarectaquepasaporlospuntos( ) P1, 5 y ( ) Q10, 7y la recta que pasa por los puntosQ y( ) R7, 3 . Solucin: Calculando las pendientes: 15 7 2m1 10 9= = y 27 3 4m10 7 3= = Calculando la tangente del ngulo: 4 2 1030 63 9 9tan8 2 4 27 8 71 127 9 3u= = = =+ | || |+ + | |\ .\ . 6tan7u = 8 8.RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES Rectas Paralelas Dosrectas 1L y 2L conpendientes 1m y 2m respectivamentesonparalelascuandoysolo cuando tienen la misma pendiente. 1 2m m = Rectas Perpendiculares Dos rectas 1Ly 2Lcon pendientes 1my 2m respectivamente son perpendiculares si y solo si el producto de sus pendientes es igual a1 1 2m m 1 = Delaecuacinanteriorsetieneque: 121mm= y 211mm= ,esdecirconociendouna pendiente se puede conocer la otra. 9 9.LUGAR GEOMTRICO Dadaunaecuacindedosvariablesx yy ,quepuedeserescritaenIaforma( ) f x, y 0 = , existe un nmero infinito de pares de valores realesxyy que satisfacen esta ecuacin. Estos pares de valores se toman como las coordenadas( ) x, yde un punto en el plano. Alconjuntodepuntoscuyascoordenadassatisfacendichaecuacinysolamenteaquellos;se llamagrficadelaecuacinolugargeomtricodelaecuacin.Dichodeotramanera cualquierpuntocuyascoordenadassatisfacenlaecuaci6n( ) f x, y 0 = pertenecealagrfica de dicha ecuacin. Ejemplo: Verificar si el punto( ) 3, 4 , satisface a la ecuacin2 2x y 25 0 + = . Solucin: 2 23 4 25 0 + = 9 16 25 0 + = 25 25 0 = Por tanto el punto( ) 3, 4satisface a la ecuacin.