Concreto Armado Semana 15 (22!06!15) Revnasa

Mag. Natividad Sánchez A ().

CONCRETO ARMADO Semana 15(24-11-14)

Semana 15 – Recomendaciones para el armado de columnas y Diseño de columnas L y T para

flexocompresión

CONTENIDO

• Recomendaciones para el armado de columnas• Diseño de Columnas T, L• Diseño para fuerza cortante

Recomendaciones para el armado de columnas

1. Las columnas mas económicas limitan sus cuantías entre 1% a 3%2. Se deben respetar los recubrimientos mínimos especificados por la

NTE-060 y el espaciamiento mínimo entre barras, así como la distribución de estribos, para no dejar mas de una barra longitudinal suelta.

3. En algunos casos será conveniente armar las barras en paquete. Trate de limitar a dos barras como máximo, para evitar pandeo. Todos los paquetes deberán ubicarse en las esquinas de un estribo cerrado.

4. Si existe limitaciones en el tamaño de la sección transversal, utilice concretos de mayor resistencia, en los primeros pisos de los edificios altos.

5. En edificios altos pueden realizarse cambios de sección cada tres ó cuatro pisos.

6. No es muy conveniente, usar dentro de una misma columna, barras de diámetros muy diferentes.

7. Las armaduras de los extremos de vigas debe anclar dentro de las columnas

4) Modulo de elasticidadEl modulo de elasticidad tiene valores relativamente grandes para materiales muy rígidos. Ejemplo:

En la curva esfuerzos-deformación, mostrada, se observaEn la fase elástica para aceros de diversos grados, tienen un comportamiento similar y las curvas se confunden. Es así Como se define el módulo de elasticidad del acero independiente de su grado ó calidad.

DISEÑO DE COLUMNAS T o L

22/04/2023 8MSc. Ing. Civil Natividad Sánchez A.

¿Cómo se diseñan las columnas en L, T?

1º Se determina el centro plástico de la sección, cuando se tienen secciones asimétricas como en el presente caso.

“El centro plástico se define como el punto donde aplicada la carga axial (sin momento flector), la sección baja paralelamente sin rotaciones. Se calcula como el centroide del concreto de toda la sección trabajando a 0.85 f´c y de todo el acero trabajando a fy”

2ºEn los diagramas de interacción se usa este punto para encontrar los momentos nominales.

22/04/2023MSc. Ing. Civil Natividad Sánchez A. 10

EJEMPLO PARA CALCULAR EL CENTRO PLÁSTICOVer en la pizarra el proceso

1. El ejemplo se trabaja en forma exacta, considerando secciones de concreto y acero con sus verdaderas ubicaciones con respecto a la cara izquierda de la sección.

∑Fuerzas = 543.38 ton∑(Fuerzas x distancias) = 119.63 ton-m

C.G = 0.22


EJEMPLO PARA CALCULAR EL CENTRO PLÁSTICOVer en la pizarra el proceso

1. El ejemplo se trabaja en forma exacta, considerando secciones de concreto y acero con sus verdaderas ubicaciones con respecto a la cara izquierda de la sección.

∑Fuerzas = 543.38 ton∑(Fuerzas x distancias) = 119.63 ton-m

C.G = 0.22

2. También se trabaja considerando solo secciones de concreto ∑Fuerzas = 379.3.38 ton; ∑(Fuerzas x distancias) = 84.24 ton-m

C.G 0 0.22, en este caso no hay diferencia; pero también existen casos de asimetría

CL2-1º Resolver el ejemplo 16-9. Otazzi (2011); previo debe ilustrar el momento, según sea positivo ó negativo

Y = (452.95/939.75) = 0.482, desde el borde inferior

Consideraciones que se deben tener en cuenta

• La flexión positiva corresponde a compresiones en la fibra superior y la flexión negativa a compresiones en la fibra inferior.

• Los momentos nominales se encuentran con respecto al centroide plástico

• En las secciones T ó L se debe tener en cuenta las formas que toman las zonas de compresión.

• El diagrama de interacción obtenido para la columna T, es el que se muestra a continuación.

• Es notable la asimetría del diagrama producto de la forma de la sección y de la distribución de las armaduras longitudinales

Cuando la columna tiene zona de compresión T

M-

Datos: F’c= 280 kg/cm2.Fy= 4200 kg/cm2Ast= 6 1“ + 4 ¾”

DIAGRAMAS DE INTERACCIÓN

M+

Punto 1: Compresión Pura𝑃𝑜=0.85∗ 𝑓 ´𝑐∗ ( 𝐴𝑔−𝐴𝑠𝑡 )+ 𝐴𝑠𝑡∗ 𝑓𝑦Fórmula a usar:

𝑃𝑜=0.85∗280∗ ( (25∗80+25∗50 )−41.96 )+41.96∗4200=939.75𝑇𝑜𝑛 .

𝑃𝑢𝑚á 𝑥=∅ ∗0.8∗𝑃𝑜Ojo: La carga axial máxima permitida por la norma es: ∅=0.70→𝐶𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠𝑐𝑜𝑛𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 .

𝑃𝑢𝑚á 𝑥=0.70∗0.8∗939.75=526.26 𝑡𝑜𝑛𝑃𝑛𝑚á 𝑥=0.8∗939.75=751.80 𝑡𝑜𝑛 .

∴𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜1(0 𝑡𝑜𝑛 .𝑚 ,939.75 𝑡𝑜𝑛) = 0.70

El momento nominal es : 𝑀𝑛=0𝑡𝑜𝑛 .𝑚

Punto 2: Fisuración Incipiente 69 cmCálculo de “c”:

acmCálculo de “a”:

𝜀𝑠3(69−6)

=0.00369

𝜀𝑠3=0.0027>0.0021

𝐹𝑠3=𝐴𝑠3∗ 𝑓𝑠 3

𝑓𝑠3=𝐸𝑠∗𝜀𝑠 3 𝑓𝑠3=4200𝑘𝑔/𝑐𝑚2𝐹𝑠3=(2∗5.10+2∗2.84)∗4200=66.70 𝑡𝑜𝑛

𝜀𝑠2(69−19)

=0.00369

𝜀𝑠2=0.0022>0.0021

𝐹𝑠2=𝐴𝑠2∗ 𝑓𝑠2

𝑓𝑠2=𝐸𝑠∗𝜀𝑠2 𝑓𝑠2=4200𝑘𝑔/𝑐𝑚2𝐹𝑠2=(2∗5.10+2∗2.84)∗4200=66.70 𝑡𝑜𝑛

𝐶𝑐=0.85∗ 𝑓 ´ 𝑐∗𝑎∗𝑏𝐶𝑐1(𝑎𝑙𝑎𝑠)=0.85∗280∗25∗55=327.25 𝑡𝑜𝑛

𝐶𝑐2 (𝑎𝑙𝑚𝑎 )=0.85∗280∗58.65∗25=348.97 𝑡𝑜𝑛

Punto 2: Fisuración Incipiente

PnCálculo del Pn:

Cálculo del Mn:

Mn

∴𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜2 (47.92 𝑡𝑜𝑛 .𝑚 ,809.62𝑡𝑜𝑛) = 0.70

= (0.1/0.7)*280*(= 130 ton

∴𝑃𝑛>𝑃𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠→∅=0.70

Punto 3: Falla Balanceada


𝜀𝑠 3(40.59−6)

=0.00340.59

𝜀𝑠3=0.0026>0.0021

𝐹𝑠3=𝐴𝑠 3∗ 𝑓𝑠 3

𝑓𝑠3=𝐸𝑠∗𝜀𝑠 3 𝑓𝑠3=4200𝑘𝑔/𝑐𝑚2𝐹𝑠3=(2∗5.10+2∗2.84)∗4200=66.70 𝑡𝑜𝑛

𝜀𝑠2(40.59−19)

=0.00340.59

𝜀𝑠2=0.0016>0.0021


𝑓𝑠2=𝐸𝑠∗𝜀𝑠2 𝑓𝑠2=2∗106∗0.0016=3200𝑘𝑔 /𝑐𝑚2𝐹𝑠2=(2∗5.10+2∗2.84 )∗3200=50.82 𝑡𝑜𝑛

𝐶𝑐=0.85∗ 𝑓 ´ 𝑐∗𝑎∗𝑏𝐶𝑐1(𝑎𝑙𝑎𝑠)=0.85∗280∗25∗55=327.25 𝑡𝑜𝑛

𝐶𝑐2 (𝑎𝑙𝑚𝑎 )=0.85∗280∗34.5∗25=205.28 𝑡𝑜𝑛

𝑐0.003=

690.003+0.0021=40.59𝑐𝑚

Cálculo de “c”:

𝜀𝑠1=0.0021𝐹𝑠1=𝐴𝑠1∗ 𝑓𝑠1

𝑓𝑠1=4200𝑘𝑔 /𝑐𝑚2(negativo)

PnCálculo del Pn:

Cálculo del Mn:Mn

∴𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜3 (102.92 𝑡𝑜𝑛 .𝑚 ,607.21 𝑡𝑜𝑛) = 0.70

= (0.1/0.7)*280*(= 130 ton



Punto 4: Cambio en el valor de


𝜀 𝑠3

(11.61−6)=0.00311.61

𝜀𝑠3=0.0014>0.0021


𝑓𝑠3=𝐸𝑠∗𝜀𝑠 3

𝐹𝑠3=(2∗5.10+2∗2.84 )∗2800=+46.05 𝑡𝑜𝑛

𝜀 𝑠2

(7.39)=0.00311.61

𝜀𝑠2=0.0019>0.0021


𝑓𝑠2=𝐸𝑠∗𝜀𝑠2 𝑓𝑠2=2∗106∗0.0019=3800𝑘𝑔 /𝑐𝑚2𝐹𝑠2=(2∗5.10+2∗2.84 )∗3800=−60.34 𝑡𝑜𝑛

𝐶𝑐=0.85∗ 𝑓 ´ 𝑐∗𝑎∗𝑏𝐶𝑐=0.85∗280∗80∗9.87=187.92 𝑡𝑜𝑛

cPor tanteo “c”:

𝑓𝑠3=2∗106∗0.00145=2900 𝑘𝑔/𝑐𝑚2

𝜀𝑠1(57.39)

= 0.00311.61

𝜀𝑠1=0.015>0.0021


𝑓𝑠1=𝐸𝑠∗𝜀𝑠1 𝑓𝑠1=2∗106∗0.0021=4200𝑘𝑔 /𝑐𝑚2𝐹𝑠1=(2∗5.10 )∗4200=−42.84 𝑡𝑜𝑛

PnCálculo del Pn:

Cálculo del Mn:

Mn

∴𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 4 (64.25 𝑡𝑜𝑛 .𝑚 ,130.79 𝑡𝑜𝑛) = 0.70

= (0.1/0.7)*280*(= 130 ton



C.P

Punto 5: Flexión Pura


𝜀𝑠3(6.40−6)

=0.0036.40

𝜀𝑠3=0.000190.0021


𝑓𝑠3=𝐸𝑠∗𝜀𝑠 3

𝐹𝑠3=(2∗5.10+2∗2.84 )∗375=+5.96 𝑡𝑜𝑛

𝜀𝑠2(12.60)

=0.0036.40

𝜀𝑠2=0.0059>0.0021


𝑓𝑠2=𝐸𝑠∗𝜀𝑠2 𝑓𝑠2=4200𝑘𝑔/𝑐𝑚2𝐹𝑠2=(2∗5.10+2∗2.84 )∗ 4800=−66.70 𝑡𝑜𝑛

𝐶𝑐=0.85∗ 𝑓 ´ 𝑐∗𝑎∗𝑏𝐶𝑐=0.85∗280∗80∗5.44=103.58 𝑡𝑜𝑛

cPor tanteo “c”:

𝑓𝑠3=2∗106∗0.00019=375𝑘𝑔 /𝑐𝑚2

𝜀𝑠1(62.60)

=0.0036.40

𝜀𝑠1=0.029>0.0021


𝑓𝑠1=𝐸𝑠∗𝜀𝑠1 𝑓𝑠1=4200𝑘𝑔 /𝑐𝑚2𝐹𝑠1=(2∗5.10 )∗4200=−42.84 𝑡𝑜𝑛

PnCálculo del Pn:

Cálculo del Mn:

Mn

∴𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 4 (39.33 𝑡𝑜𝑛 .𝑚 ,0 𝑡𝑜𝑛) = 0.90

= (0.1/0.7)*280*(= 130 ton



C.P

Punto 6: Tracción Pura

Fórmula a usar:=176.23 ton

∴𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜6 (0 𝑡𝑜𝑛 .𝑚 ,176.23 𝑡𝑜𝑛) ∅=0.90

M

M-

Datos: F’c= 280 kg/cm2.Fy= 4200 kg/cm2Ast= 6 1“ + 4 ¾”

DIAGRAMAS DE INTERACCIÓN

M-

Punto 1: Compresión Pura𝑃𝑜=0.85∗ 𝑓 ´𝑐∗ ( 𝐴𝑔−𝐴𝑠𝑡 )+ 𝐴𝑠𝑡∗ 𝑓𝑦Fórmula a usar:

𝑃𝑜=0.85∗280∗ ( (25∗80+25∗50 )−41.96 )+41.96∗4200=939.75𝑇𝑜𝑛 .

𝑃𝑢𝑚á 𝑥=∅ ∗0.8∗𝑃𝑜Ojo: La carga axial máxima permitida por la norma es: ∅=0.70→𝐶𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠𝑐𝑜𝑛𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 .

𝑃𝑢𝑚á 𝑥=0.70∗0.8∗939.75=526.26 𝑡𝑜𝑛𝑃𝑛𝑚á 𝑥=0.8∗939.75=751.80 𝑡𝑜𝑛 .

∴𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜1(0 𝑡𝑜𝑛 .𝑚 ,939.75 𝑡𝑜𝑛) = 0.70

El momento nominal es : 𝑀𝑛=0𝑡𝑜𝑛 .𝑚

Punto 2: Fisuración Incipiente 69 cmCálculo de “c”:


𝜀𝑠2(13)

= 0.00369

𝜀𝑠3=0.00057>0.0021

𝐹𝑠2=𝐴𝑠 2∗ 𝑓𝑠2

𝑓𝑠2=𝐸𝑠∗𝜀𝑠2𝐹𝑠3=(2∗5.10+2∗2.84 )∗1130.43=17.95 𝑡𝑜𝑛

𝜀𝑠1(69−6)

=0.00369

𝜀𝑠1=0.0027>0.0021


𝑓𝑠1=𝐸𝑠∗𝜀𝑠1 𝑓𝑠1=4200𝑘𝑔 /𝑐𝑚2𝐹𝑠1=(2∗5.10 )∗4200=42.84 𝑡𝑜𝑛

𝐶𝑐=0.85∗ 𝑓 ´ 𝑐∗𝑎∗𝑏𝐶𝑐1=0.85∗280∗8.65∗80=164.70 𝑡𝑜𝑛

𝐶𝑐2=0.85∗280∗50∗25=297.5 𝑡𝑜𝑛

𝑓𝑠2=2∗106∗0.00057=1130.43𝑘𝑔/𝑐𝑚2

Punto 2: Fisuración Incipiente

PnCálculo del Pn:

Cálculo del Mn:

Mn

∴𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜2 (−74.96 𝑡𝑜𝑛 .𝑚 ,522.99 𝑡𝑜𝑛) = 0.70

= (0.1/0.7)*280*(= 130 ton


C.P



𝜀𝑠 1(40.59−6)

=0.00340.59

𝜀𝑠1=0.0026>0.0021


𝑓𝑠1=𝐸𝑠∗𝜀𝑠1 𝑓𝑠1=4200𝑘𝑔 /𝑐𝑚2𝐹𝑠1=(2∗5.10 )∗4200=42.84 𝑡𝑜𝑛

𝜀𝑠215.41

= 0.00340.59

𝜀𝑠2=0.0011>0.0021


𝑓𝑠2=𝐸𝑠∗𝜀𝑠2 𝑓𝑠2=2∗106∗0.0011=2277.9𝑘𝑔 /𝑐𝑚2𝐹𝑠2=(2∗5.10+2∗2.84 )∗2277.9=36.17 𝑡𝑜𝑛

𝐶𝑐=0.85∗ 𝑓 ´ 𝑐∗𝑎∗𝑏

𝐶𝑐=0.85∗280∗34.5∗25=205.28 𝑡𝑜𝑛

𝑐0.003=

690.003+0.0021=40.59𝑐𝑚


𝜀𝑠3=0.0021𝐹𝑠1=𝐴𝑠1∗ 𝑓𝑠1

𝑓𝑠1=4200𝑘𝑔 /𝑐𝑚2𝐹𝑠3=(2∗5.10+2∗2.84)∗4200=66.70 𝑡𝑜𝑛

PnCálculo del Pn:

Cálculo del Mn:

Mn

∴𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜2 (1−98.16 𝑡𝑜𝑛 .𝑚 ,145.25 𝑡𝑜𝑛) = 0.70

= (0.1/0.7)*280*(= 130 ton



C.P



𝜀 𝑠3

(30.2)=0.00338.8

𝜀𝑠3=0.0023>0.0021


𝑓𝑠3=𝐸𝑠∗𝜀𝑠 3 𝑓𝑠3=4200𝑘𝑔/𝑐𝑚2𝐹𝑠3=(2∗5.10+2∗2.84 )∗4200=−66.70 𝑡𝑜𝑛

𝜀 𝑠2

(17.2)=0.00338.8

𝜀𝑠2=0.0013>0.0021


𝑓𝑠2=𝐸𝑠∗𝜀𝑠2 𝑓𝑠2=2∗106∗0.0013=2659.79𝑘𝑔 /𝑐𝑚2𝐹𝑠2=(2∗5.10+2∗2.84 )∗2659.79=−42.24 𝑡𝑜𝑛

𝐶𝑐=0.85∗ 𝑓 ´ 𝑐∗𝑎∗𝑏𝐶𝑐=0.85∗280∗33∗25=196.23 𝑡𝑜𝑛

𝑐=38.8𝑐𝑚“c” por tanteos:

𝜀𝑠2(32.8)

=0.00338.8

𝜀𝑠2=0.00125>0.0021


𝑓𝑠2=𝐸𝑠∗𝜀𝑠2 𝑓𝑠2=4200𝑘𝑔/𝑐𝑚2𝐹𝑠2=(2∗5.10 )∗4200=+42.84 𝑡𝑜𝑛

PnCálculo del Pn:

Cálculo del Mn:

Mn

∴𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 4 (−97.32 𝑡𝑜𝑛 .𝑚 ,130.13 𝑡𝑜𝑛) = 0.70

= (0.1/0.7)*280*(= 130 ton



C.P



𝜀𝑠3(50.7)

=0.00318.3

𝜀𝑠3=0.0083>0.0021


𝑓𝑠3=𝐸𝑠∗𝜀𝑠 3 𝑓𝑠3=4200𝑘𝑔/𝑐𝑚2𝐹𝑠3=(2∗5.10+2∗2.84 )∗4200=−66.70 𝑡𝑜𝑛

𝜀𝑠2(37.7 )

=0.00318.3

𝜀𝑠2=0.0062>0.0021


𝑓𝑠2=𝐸𝑠∗𝜀𝑠2 𝑓𝑠2=4200𝑘𝑔/𝑐𝑚2𝐹𝑠2=(2∗5.10+2∗2.84 )∗ 4200=−66.70 𝑡𝑜𝑛

𝐶𝑐=0.85∗ 𝑓 ´ 𝑐∗𝑎∗𝑏

𝐶𝑐=0.85∗280∗15.56∗25=92.55 𝑡𝑜𝑛

𝑐=18.3𝑐𝑚“c” por tanteo:

𝜀𝑠2(12.3)

= 0.00318.3

𝜀𝑠2=0.0020>0.0021


𝑓𝑠2=𝐸𝑠∗𝜀𝑠2

𝐹𝑠2=(2∗5.10 )∗4200=+41.13 𝑡𝑜𝑛

𝑓𝑠2=2∗106∗0.0020=4032.79𝑘𝑔/𝑐𝑚2

PnCálculo del Pn:

Cálculo del Mn:

Mn

∴𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜5 (−73.82 𝑡𝑜𝑛 .𝑚 ,0 𝑡𝑜𝑛) = 0.90

Punto 4: Cambio en el valor de Punto 5: Flexión Pura

C.P

Punto 6: Tracción Pura Fórmula a usar:

=176.23 ton

∴𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜6 (0 𝑡𝑜𝑛 .𝑚 ,176.23 𝑡𝑜𝑛) ∅=0.90

M

MOMENTOS POSITIVOSPunto Pn Mn Φ PnΦ MnΦ

1 939.75 0 0.7 657.825 02 809.62 47.92 0.7 566.734 33.5443 607.21 102.92 0.7 425.047 72.0444 130.79 64.25 0.7 91.553 44.9755 0 39.33 0.9 0 35.3976 -176.23 0 0.9 -158.607 0

MOMENTOS NEGATIVOSPunto Pn Mn Φ PnΦ MnΦ

1 939.75 0 0.7 657.825 02 522.99 -74.96 0.7 366.093 -52.4723 145.25 -98.16 0.7 101.675 -68.7124 130.13 -97.32 0.7 91.091 -68.1245 0 -73.82 0.9 0 -66.4386 -176.23 0 0.9 -158.607 0


RESISTENCIA MÍNIMA A FLEXIÓN DE LAS COLUMNAS

Estas columnas, generalmente trabajan a flexo compresión.Las columnas deben ser mas resistentes que las vigas que llegan a ellas, para inducir la formación de rótulas plásticas en las vigas y no en las columnas.

Debe cumplirse que:


Diseño para fuerza cortante en columnas

La presencia de compresiones en las columnas mejora la capacidad resistente al corte del concreto porque retarda el agrietamiento diagonal.

Cuando hay solicitaciones de compresión+flexión+corte. La resistencia del concreto, según la NTE-060 es:

Nu = carga axial última de compresión expresada en Kg-f; Ag = area bruta de la sección transversal de la columna.D0S MÉTODOS DE DISEÑO: RESISTENCIA Y CAPACIDAD

METODO DE LA RESISTENCIA

El espaciamiento máximo viene dado por d/2. Adicionalmente es necesario verificar los requerimientos de estribos para el control del pandeo de las barras.(s≤16 db (db = diametro de la barra longitudinal); s≤menor dimensión de la columna; s≤48de (de = diámetro de la barra del estribo))

MÉTODO DE RESISTENCIA


MÉTODO DE RESISTENCIA

En general será mas representativo en el diseño de los estribos, aquel espaciamiento que pueda restringir el pandeo de las barras verticales:S ≤ 16 db; S ≤ menor dimensión de la columna; S ≤ 48 de; S ≤ 0.30 m

En las columnas el diagrama de fuerzas cortantes es constante; sin embargo aún cuando se diseñe con el método de la resistencia, será necesario considerar estribos de confinamiento de acuerdo a la siguiente recomendación práctica: 1 @0.05, [email protected] a partir de cada extremo, donde las uniones pueden ser vigas o zapatas.

22/04/2023MSc. Ing. Civil Natividad Sánchez A.

Nu = Pu


1 @0.05, [email protected] a partir de cada extremo, donde las uniones pueden ser vigas o zapatas.

6.34


METODO DE LA CAPACIDAD

Para poder realizar el diseño por capacidad de una columna frente a fuerzas cortantes, se supone que en los extremos se desarrollan “rótulas plásticas”, con una resistencia probable Mpr = 1.25 Mn. Por equilibrio de la columna, se calcula la fuerza cortante Vpr = 2Mpr/h, donde h = altura de la columna.

1. Es necesario encontrar los valores de ¢ para cada una de las combinaciones, para poder encontrar los valores nominales.

2. Se calcula la cuantía del acero longitudinal3. Para las secciones de columnas se puede encontrar Pn,

dividiendo Pu/¢ (Pu es dato, resulta de cada una de las combinaciones de carga, con las cargas axiales obtenidas del análisis estructural)

4. Con los Pn que corresponden a los mayores momentos ultimos se puede encontrar Mn para cada una de las combinaciones desfavorables, utilizando los ábacos ó el diagrama de interacción de la columna.


DISEÑO POR CAPACIDAD

El mayor momento corresponde a la combinación 2

Mu

Conviene trabajar con la combinación nº 2, ya que obtendremos el mayor momento nominal. El momento nominal para la combinación 2 se encuentra Ingresando al diagrama de interacción con el Pn de la combinación 2


0.78

ɸ

0.79

0.810.83

0.85

11.1

El espaciamiento So no debe exceder de la menor de cualquiera de las siguientes expresiones:1. La tercera parte de la dimensión mínima del elemento 2. 6 veces el diámetro del refuerzo longitudinal3. 10 cm

22/04/2023MSc. Ing. Civil Natividad Sánchez A.

54

¿Cómo se trabaja con los diagramas de interacción?

1) Mediante el uso de los diagramas de interacción, ya elaborados (ábacos), solo si se trata de columnas rectangulares o circulares. Estos se pueden encontrar en diferentes manuales como por ejemplo en el libro del Ing. Harmsen o en el SP-7.

2) En forma manual, con la variación del eje neutro, para cualquier tipo de sección de columna. De esta forma deben encontrarse algunos puntos notables.

ɸ = 0.9 – 0.2Pn/Ptransición

ɸPn = 0.1f´cAg; columnas de estribos ɸ = 0.7

P transición=(0.1/ 0.7) (f´c Ag) ACI, 9.3.2 ; NTE -060 , 9.3.2.2

Entre P transición y P = 0. el valor de ɸ > 0.7 variando hasta 0.9

Ptransición

A continuación con la ayuda de los diagramas de interacción del libro de T. Harmsen se harán varios ejercicios en la pizarra para que el alumno, pueda adquirir destreza en la utilización de estas tablas y entender su significado.Para entrar a la tabla se necesita, estos datos:

Kn = Pn/(f´cbh) Rn = Kne/h)Rn = Pne/((f´cbh)h)= Kne/h

Kn = Pn/(f´cbh) Rn = Kne/h)

CASO : CUANTÍA DE ACERO DEBE CALCULARSE CON 0.8Pocuando e < 0.1 h, no es posible encontrar Ast con los ábacos

DOS FORMAS DE DISEÑAR COLUMNASEl diseño de las columnas se puede hacer de dos formas:

1)Mediante el uso de abacos o diagramas de interacción pre elaborados en diversos manuales para columnas rectangulares o circulares. ¡El alumno ya aprendió a usar estos diagramas. Por tanto está capacitado para ejecutarlo por sí mismo!2) Elaboración manual o con computadora con el uso de la hoja de cálculo EXCEL, a partir de columnas prediseñadas con variaciones del eje neutro, para cualquier tipo de sección de columna. De esta forma deben encontrarse algunos puntos notables. 3)Uso de programas, elaborados para tal fin (ej. SAP)

Ptransición

¿DIAGRAMA DE INTERACCIÓN?Es el lugar geométrico de las combinaciones Pn, Mn o Pu , Mu.¡representa la resistencia nominal o de diseño de una columna prediseñada!

¿Cómo se elabora un diagrama de interacción?

Todo diagrama de interacción parte de un diseño ya determinado en función de la cantidad de acero longitudinal, dimensiones de la sección, f´c, fy.Para su elaboración se encuentran Mn, Pn con variaciones del eje neutro

Diagrama de Interacción• Se construyen variando sucesivamente la ubicación del eje

neutro “c”, para una sección y acero dados.

Forma típica de un diagrama de

interacción para columnas con

estribos .

Po = Ast fy + 0.85f´c(Ag-Ast) ; Para el diseño se usa Pu = ɸPoEste es un caso ideal, que raramente se puede alcanzar, ya que siempre habrá un momento flector asociado con la carga axial, por desalineamiento vertical de la columna, desalineamiento del refuerzo vertical , por falta de uniformidad en la compactación del concreto, etc. por tanto:Pn max = 0.8 Po , para el caso de columnas con estribosPu max = ɸ 0.8 Po = ɸ 0.8 (Ast fy + 0.85 f`c (Ag - Ast))

Ptransición

Diagrama de Interacción Algunos Puntos notables de un diagrama de interacción, obtenidos con variaciones del eje neutro

Punto A Punto B

Punto C Punto D

Punto E

CONOCIMIENTOS PREVIOS

CENTROIDE PLASTICO Es el punto donde se aplica la carga axial (sin momento). De tal manera que la sección baja paralelamente sin rotaciones. En las secciones de columnas simétricas, el centroide plástico coincide con el centro geométrico de la sección

ESTE ES EL CASO HIPOTÉTICO DE COMPRESIÓN PURA


CASO DE FLEXOCOMPRESIÓN

CASOS DE EXCÉNTRICIDAD P

EXCÉNTRICIDAD EN «Y»

PEXCÉNTRICIDAD EN «X»

CASO EXCÉNTRICIDAD EN «X»

CASO EXCÉNTRICIDAD EN «Y»

FISURACIÓN INCIPIENTE

FALLA BALANCEADA

4) Modulo de elasticidadEl modulo de elasticidad tiene valores relativamente grandes para materiales muy rígidos. Ejemplo:

Ejemplo

Se quiere construir los diagrama de interacción para excéntricidades en X,Y para la columna de concreto armado de 0.40*0.40m a continuación. Se usara como centro de reducción el centroide de la sección .

Análisis con excentricidad en “y”:

Punto 1: Compresión Pura

𝑃𝑜=0.85∗ 𝑓 ´𝑐∗ ( 𝐴𝑔−𝐴𝑠𝑡 )+ 𝐴𝑠𝑡∗ 𝑓𝑦Fórmula a usar:

𝑃𝑜=0.85∗280∗ (40∗40−40.80 )+40.80∗4200 𝑃𝑜=542 𝑡𝑜𝑛 .

𝑃𝑢𝑚á 𝑥=∅ ∗0.8∗𝑃𝑜

Po, es el punto inicial para el trazo de la curva de interacción; pero la carga axial pura es rara, por eso, para casos reales, la NTE-060 recomienda: Pnmax = 0.8 Po, lo cual determina que el diagrama de interación sea trunco.

La sección está sometida a una

carga de compresión pura. Actuando en el

C. P.

∅=0.70→𝐶𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠𝑐𝑜𝑛𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 .

𝑃 𝑛𝑚 á 𝑥=0.8∗542=433.6 𝑡𝑜𝑛

∴𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜1(0,542)

M𝑃 𝑢𝑚 á 𝑥=0.7∗0.8∗542=303.5 𝑡𝑜𝑛

Punto 2: Fisuración incipiente.

=34 cm (por condición)Cálculo de “c”:

𝜀𝑠 2(34−6)

=0.00334

𝜀𝑠2=0.0025>𝜀 𝑦


fy (Ɛs2 > Ɛy) 𝑓𝑠2=4200𝑘𝑔/𝑐𝑚2

𝐹𝑠2=20.40∗4200𝐹𝑠2=85.68 𝑡𝑜𝑛 .


𝐶𝑐=0.85∗ 𝑓 ´ 𝑐∗𝑎∗𝑏

𝐶𝑐=0.85∗280∗28.90∗ 40=275.13 𝑡𝑜𝑛

𝑃 𝑛=𝐹𝑠 2+𝐶𝑐=85.68+275.13=360.81𝑡𝑜𝑛Cálculo del Pn:

Cálculo del Mn:

M

Con respecto al punto del centroide plástico, que por ser simétrico se encuentra al centro de la sección.

M

= (0.1/0.7)*280*40*40= 64 ton


P

∴𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜2 (27.30,360 .81)

Punto 3: Falla balanceada.

𝑐0.003=

340.003+0.0021=20𝑐𝑚



𝐶𝑐=0.85∗ 𝑓 ´ 𝑐∗𝑎∗𝑏𝐶𝑐=0.85∗280∗17∗ 40=161.84 𝑡𝑜𝑛

𝑃 𝑏=𝐹𝑠2+𝐶𝑐−𝐹𝑠1=85.68+161.84−85.68=161.84 𝑡𝑜𝑛Cálculo del Pb:

Cálculo del Mb:Mb

Mb

= (0.1/0.7)*280*40*40= 64 ton

𝜀𝑠2(20−6)

=0.00320

𝜀𝑠2=0.0021=𝜀 𝑦

𝐹𝑠2=𝐴𝑠2∗ 𝑓𝑠2𝑓𝑠2=𝐸𝑠∗𝜀𝑠2 𝑓𝑠2=4200𝑘𝑔/𝑐𝑚2

𝐹𝑠2=20.40∗4200=+85.68 𝑡𝑜𝑛

∴𝑃𝑏>𝑃𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠→∅=0.70

𝜀𝑠1=0.0021=𝜀 𝑦

𝐹𝑠1=𝐴𝑠 1∗ 𝑓𝑠1𝑓𝑠1=4200𝑘𝑔 /𝑐𝑚2

𝐹𝑠1=20.40∗4200=−85.68 𝑡𝑜𝑛

Compresión

Tracción

Pb

∴𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜3 (42.60,161.84 )

17

Punto 4: Cambio del valor de “c” por tanteos: 11.40 cm.


𝐶𝑐=0.85∗ 𝑓 ´ 𝑐∗𝑎∗𝑏𝐶𝑐=0.85∗280∗9.69∗ 40=92.25 𝑡𝑜𝑛

PnCálculo del Pn:

Cálculo del Mn:Mn

Mn

=(0.1/0.7)*280*40*40=64 ton𝜀𝑠1

(22.60)= 0.00311.40

𝜀𝑠1=0.0059=2.83𝜀 𝑦

𝐹𝑠1=𝐴𝑠1∗ 𝑓𝑠2Ɛ 𝑠1>Ɛ 𝑦 𝑓𝑠1=4200𝑘𝑔 /𝑐𝑚2

𝐹𝑠1=20.40∗4200=−85.68 𝑡𝑜𝑛

Compresión

Tracción

P

∴𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 4 (33.97,63 .69)

𝜀𝑠2

(11.40−6)=0.00311.40

𝜀𝑠2=0.0014<𝜀 𝑦


𝑓𝑠2=𝐸𝑠∗𝜀𝑠2 𝑓𝑠2=2∗106∗0.0014=2800𝑘𝑔/𝑐𝑚2𝐹𝑠2=20.40∗2800=+57.12𝑡𝑜𝑛

∅=0.70

Punto 5: Punto cercano a la flexión pura.

“c” por tanteos: 7.56 cm.


𝐶𝑐=0.85∗ 𝑓 ´ 𝑐∗𝑎∗𝑏𝐶𝑐=0.85∗280∗6.43∗ 40=61.21𝑡𝑜𝑛

PnCálculo del Pn:

Cálculo del Mn:

Mn

Mb

𝜀𝑠 1(32.44−6)

=0.0037.56

𝜀𝑠1=0.010=5𝜀 𝑦

1𝑓𝑠1=𝐸𝑠∗𝜀𝑠1 𝑓𝑠1=4200𝑘𝑔 /𝑐𝑚2

𝐹𝑠1=20.40∗4200=−85.68 𝑡𝑜𝑛

Compresión

TracciónP

∴𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜5 (25.81,0)

𝜀𝑠2(7.56−6)

=0.0037.56

𝜀𝑠2=0.00062<𝜀 𝑦


𝑓𝑠2=𝐸𝑠∗𝜀𝑠2 𝑓𝑠2=2∗106∗0.00062=1240𝑘𝑔/𝑐𝑚2

𝐹𝑠2=20.40∗1240=+25.30 𝑡𝑜𝑛

∅=0.90

Punto 6: Tracción pura.

Fórmula a usar:=171.36 ton

∴𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜6 (0,171.36 ) ∅=0.90

M Pn Mn542 0

360.81 27.3161.84 42.663.69 33.97

0 25.81-

171.36 0Pn Mn

379.4 0252.5

7 19.11113.2

9 29.8244.58 23.78

0 23.23-

154.22 0

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

600

379.4

252.567

113.288

44.5830

-154.224

303.52

542

360.81

161.84

63.69

0

-171.36

Análisis con excentricidad en “x”:

M

M

Análisis con excentricidad en “x”:

COMPRESIÓN TRACCIÓN

COMPRESIÓN

TRACCIÓN

0.06

0.06

0.09

0.090.10

C

T

M

0.06

0.06

0.09

0.09

0.10

As1= 2*5.1=10.2 cm2

As2= 2*5.1=10.2 cm2

As3= 2*5.1=10.2 cm2

As4= 2*5.1=10.2 cm2

f´c=280 kg/cm2fy=4200 kg/cm2

Ast = 40.8 cm2

Es=2*106 kg/cm2

34 cm

25 cm

15 cm

6 cm

Punto 1: Compresión Pura

𝑷𝒐=𝟎 .𝟖𝟓∗ 𝒇 ´𝒄∗ (𝑨𝒈−𝑨𝒔𝒕 )+𝑨𝒔𝒕 ∗ 𝒇𝒚Fórmula a usar:

𝑃𝑜=0.85∗280∗ (40∗40−40.80 )+40.80∗4200𝑃𝑜=542 𝑡𝑜𝑛 .

𝑃𝑢𝑚á 𝑥=∅ ∗0.8∗𝑃𝑜

Ojo: La carga axial máxima permitida por la norma es:

La sección está sometida a una

carga de compresión pura. Actuando en el

C. P. 𝑃 𝑛𝑚 á 𝑥=0.8∗542=433.6 𝑡𝑜𝑛

∴𝑷𝒖𝒏𝒕𝒐𝟏(𝟎 ,𝟓𝟒𝟐)

M𝑃 𝑢𝑚 á 𝑥=0.7∗0.8∗542=303.5 𝑡𝑜𝑛

Punto 2: El eje neutro coincide con el As 1

“c”: 34 cm

= 0.003*9/34= 0.00079 ˂

𝐹𝑠2= 𝑓𝑠2∗10.2=16.2 ton𝑓𝑠2=𝜀𝑠2∗2∗106=1588𝑘𝑔 /𝑐𝑚2

acm

Cálculo de “a”:

= 0.003*19/34= 0.00168 ˂

𝐹𝑠3= 𝑓𝑠3∗10.2=34.2ton𝑓𝑠3=𝜀𝑠3∗2∗106=3353𝑘𝑔/𝑐𝑚2

= 0.003*28/34= 0.00247 ˃

𝐹𝑠 4= 𝑓𝑠 4∗10.2=42.8 ton𝑓𝑠4=4200𝑘𝑔 /𝑐𝑚2

𝐶𝑐=0.85∗ 𝑓 ´ 𝑐 ∗𝑏∗𝑎

𝜀𝑠4𝜀𝑠3𝜀𝑠2

a=0.289m

c=0.34m

123

4

𝑃𝑛=𝐹𝑠2+𝐹𝑠 3+𝐹𝑠 4+𝐶𝑐=16.8+33.6+42.8+275=368.2 𝑡𝑜𝑛Cálculo del Pn:

Cálculo del Mn:

MCon respecto al punto del centroide plástico, que coincide con el centro geométrico.

M

= (0.1/0.7)*280*40*40= 64 ton

∴𝑷𝒏>𝑷𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔→∅=𝟎 .𝟕𝟎

∴𝑷𝒖𝒏𝒕𝒐𝟐(𝟐𝟐 .𝟐 ,𝟑𝟔𝟖 .𝟐)

𝜀𝑠4𝜀𝑠3𝜀𝑠2

a=0.289m

c=0.34m

123

40.2m

Fs4

Fs3Fs2

Cc


“c”: 25 cm

=0.003*34/25 – 0.003= .00108 ˂ 𝑓𝑠1=𝜀 𝑠1∗2∗106=2160𝑘𝑔 /𝑐𝑚2

acm


= 0.003*10/25= 0.0012 ˂ 𝑓𝑠3=𝜀𝑠3∗2∗106=2400𝑘𝑔/𝑐𝑚2

= 0.003*19/25= 0.00228 ˃

(compresión)

𝑓𝑠4=4200𝑘𝑔 /𝑐𝑚2

𝐶𝑐=0.85∗ 𝑓 ´ 𝑐 ∗𝑏∗𝑎

𝜀𝑠4𝜀𝑠3

𝜀𝑠1

ac=0.25m

123

4

𝑃𝑛=𝐹𝑠1+𝐹𝑠3+𝐹𝑠 4+𝐶𝑐=−22+24.5+42.8+202=247.3𝑡𝑜𝑛Cálculo del Pn:

Cálculo del Mn:

MCon respecto al punto del centroide plástico, que coincide con el centro geométrico.

M

= (0.1/0.7)*280*40*40= 64 ton

∴𝑷𝒏>𝑷𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔→∅=𝟎 .𝟕𝟎∴𝑷𝒖𝒏𝒕𝒐𝟑(𝟐𝟗 .𝟐 ,𝟐𝟒𝟕 .𝟑)

𝜀𝑠4𝜀𝑠3

𝜀𝑠1

ac=0.25m

1

23

40.2m

Fs4

Fs3

Fs1

Cc


“c”: 15 cm

=0.003*34/15 – 0.003= .0038 ˃ 𝑓𝑠1=4200𝑘𝑔 /𝑐𝑚2

acm


= 0.003*25/15= 0.002 ˂ 𝑓𝑠2=𝜀𝑠2∗2∗106=4000𝑘𝑔/𝑐𝑚2

= 0.003*9/15= 0.0018 ˂

(compresión)

𝑓𝑠4=𝜀𝑠 4∗2∗10 6=3600𝑘𝑔/𝑐𝑚2

𝐶𝑐=0.85∗ 𝑓 ´ 𝑐 ∗𝑏∗𝑎

𝜀𝑠4

𝜀𝑠2𝜀𝑠1

ac= 0.15m

123

4

𝑃𝑛=𝐹𝑠1+𝐹𝑠2+𝐹𝑠4+𝐶𝑐=−42.8−40.8+36.7+121.4=74.8 𝑡𝑜𝑛Cálculo del Pn:

Cálculo del Mn:

M

Con respecto al punto del centroide plástico, que coincide con el centro geométrico.

M= (0.1/0.7)*280*40*40= 64 ton

∴𝑷𝒏>𝑷𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔→∅=𝟎 .𝟕𝟎∴𝑷𝒖𝒏𝒕𝒐𝟒(𝟐𝟗 .𝟕 ,𝟕𝟒 .𝟖)

0.2m

Fs4

Fs2Fs1

Cc𝜀𝑠4

𝜀𝑠2𝜀𝑠1

ac= 0.15m

1

2

3

4

Punto 5: Falla balanceada.

cb


acm


17

ac= 0.2m

123

4

0.003

0.0021

𝜀𝑠4

𝜀𝑠2𝜀𝑠1

𝜀𝑠3

= 𝐹𝑠1= 𝑓𝑠1∗10.2=−42.8 ton( tracció n)


= 0.0021*5/14= 0.00075 ˂ 𝑓𝑠2=𝜀𝑠2∗2∗106=1500𝑘𝑔 /𝑐𝑚2

= 0.0021*5/14= 0.00075˂

(compresión)

𝑓𝑠3=𝜀𝑠3∗2∗106=1500𝑘𝑔/𝑐𝑚2

𝐶𝑐=0.85∗ 𝑓 ´ 𝑐 ∗𝑏∗𝑎

= 𝐹𝑠 4=42.8 ton(compresi ó n)


𝑃𝑛=𝐹𝑠1+𝐹𝑠2+𝐹𝑠3+𝐹𝑠 4+𝐶𝑐=−42.8−15.3+15.3+42.8+161.8=161.8 𝑡𝑜𝑛Cálculo del Pn:

Cálculo del Mn:

M


M

= (0.1/0.7)*280*40*40= 64 ton

∴𝑷𝒏>𝑷𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔→∅=𝟎 .𝟕𝟎∴𝑷𝒖𝒏𝒕𝒐𝟓(𝟑𝟐 .𝟏 ,𝟏𝟔𝟏 .𝟖)

17

ac= 0.2m

1

23

4

0.003

0.0021

𝜀𝑠3𝜀𝑠4

𝜀𝑠2𝜀𝑠1

0.2m

Fs4

Fs2Fs1

CcFs3

Punto 6: Cambio del valor de “c” por tanteos: 14.40 cm.

acm




= 0.003*15/14.4-0.003= 0.000125 ˂ 𝑓𝑠3=𝜀𝑠3∗2∗106=250𝑘𝑔/𝑐𝑚2

= 0.003*8.4/14.4= 0.00175˂

(compresión)

𝑓𝑠4=𝜀𝑠 4∗2∗10 6=3500𝑘𝑔/𝑐𝑚2

𝐶𝑐=0.85∗ 𝑓 ´ 𝑐 ∗𝑏∗𝑎

= 𝐹𝑠2=−42.8 ton(tracci ón)

𝑓𝑠2=4200𝑘𝑔/𝑐𝑚2

ac= 0.14.4m

123

4 𝜀𝑠4

𝜀𝑠2𝜀𝑠1

𝜀𝑠3

𝑃𝑛=𝐹𝑠1+𝐹𝑠2+𝐹𝑠3+𝐹𝑠 4+𝐶𝑐=−42.8∗2−2.55+35.7+116.5=64.1 𝑡𝑜𝑛Cálculo del Pn:

Cálculo del Mn:

M


M= (0.1/0.7)*280*40*40= 64 ton

∴𝑷𝒏>𝑷𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔→∅=𝟎 .𝟕𝟎∴𝑷𝒖𝒏𝒕𝒐𝟔(𝟐𝟗 .𝟐 ,𝟔𝟒 .𝟏)

0.2m

Fs4

Fs2Fs1

Ccac= 0.14.4m

1

2

3

4 𝜀𝑠4

𝜀𝑠2𝜀𝑠1

𝜀𝑠3 Fs3

Punto 7: Punto cercano a la flexión pura.

“c” por tanteos: 10.5 cm.

acm

Cálculo de “a”:Cálculo de “a”:



= 0.003*15/10.5-0.003= 0.000129 ˂ 𝑓𝑠3=𝜀𝑠3∗2∗106

= 0.003*4.5/10.5= 0.00129˂

(compresión)

𝑓𝑠4=𝜀𝑠 4∗2∗10 6

𝐶𝑐=0.85∗ 𝑓 ´ 𝑐 ∗𝑏∗𝑎

= 𝐹𝑠2=−42.8 ton(tracci ón)

𝑓𝑠2=4200𝑘𝑔/𝑐𝑚2

ac= 0.105m

123

4 𝜀𝑠4

𝜀𝑠2𝜀𝑠1

𝜀𝑠3

𝑃𝑛=𝐹𝑠1+𝐹𝑠2+𝐹𝑠3+𝐹𝑠 4+𝐶𝑐=−42.8∗2−26.2+26.2+85=−0.6=0 𝑡𝑜𝑛Cálculo del Pn:

Cálculo del Mn:

M


M

∴∅=𝟎 .𝟗𝟎∴𝑷𝒖𝒏𝒕𝒐𝟕(𝟐𝟑 .𝟕 ,𝟎)

0.2m

Fs4

Fs2Fs1

Cc

Fs3

ac= 0.105m

1

23

4 𝜀𝑠4

𝜀𝑠2𝜀𝑠1

𝜀𝑠3

Punto 8: Tracción pura.

Fórmula a usar:

=171.36 ton ∴𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜6 (171.36 ,0) ∅=0.90

M Mn Pn0 542

22,15 367,629,2 247,332,12 161,829,71 74,829,2 64,0523,7 0

0 -171

ØM ØP0 379,4

15,505 257,3220,44 173,11

22,484 113,2620,797 52,3620,44 44,83521,33 0

0 -153,9

0 5 10 15 20 25 30 35

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

600

𝟎 .𝟖𝑷𝒐𝟎 .𝟖∅ 𝑷𝒐

Punto 6: Tracción pura

Diagrama de iteraccion:

Concreto Armado Semana 15 (22!06!15) Revnasa

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Transcript of Concreto Armado Semana 15 (22!06!15) Revnasa