Conferencia 2 (Diseño de tuberías simples) Presentación

7/27/2019 Conferencia 2 (Diseo de tuberas simples) Presentacin

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UNIVERSIDAD DE LOS ANDES

Departamento de Ingeniera Civil y Ambiental

CIACUA: Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados

DISEO DE TUBERASSIMPLES


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Tipos de Problemas enHidrulica de Conductos aPresin

Se clasifican de acuerdo con la variable desconocidaenel problema. Las variables que interactan en un

problema de tuberas son:

Variables relacionadas con la Tubera en si: d, l y ks. Variables relacionadas con el Fludo: r, m.

Variables relacionadas con el Esquema del sistema: S km. Variables relacionadas con la energa impulsora del fluido: H, P

Otras variables: g, Q o V


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Tipos de Problemas en Hidrulica de Conductos a

Presina) COMPROBACIN DE DISEO:

La tubera ya existe (material, dimetro, accesorios) y la

potencia motora se conoce (gravedad o bomba).La incgnita es el caudal que pasa por la tubera. Este tipo de

problema es el tpico en el diseo de redes en el cual se

predimensionan los dimetros.

Variables conocidas Incgnita

d, ks, hf, Skm, Q (v)

r, m, g, l.


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b) CLCULO DE LA POTENCIA REQUERIDA:

Se conoce el caudal demandado y se tiene una tubera conocida

(material, dimetro, longitud, accesorios). Se desea calcular lapotencia necesaria (bomba o diferencia de nivel) para mover elcaudal.

Variables conocidas Incgnitad, ks, Skm, QD H (P =hrQgH)

r, m, g, l.

Tipos de Problemas en Hidrulica de Conductos

a Presin


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c) DISEO EN S DE LA TUBERA:

Se conoce el caudal demandado, la potencia disponible y algunas

caractersticas de la tubera (longitud, accesorios). Se desconoceel dimetro necesario. En cuanto al material de la tuberausualmente se tienen slo 2 o 3 alternativas.

Variables conocidas Incgnital, Skm, QD,, H d

r, m, g, (ks).

Tipos de Problemas en Hidrulica de Conductos a

Presin


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Ecuaciones para el Diseo de Tuberas

SimplesUtilizando la ecuacin de Colebrook-White en conjunto con la de

ecuacin Darcy-Weisbach:

g

V

d

Lfhf

2

2

fd

k

f

s

Re

51.2

7.3log2

110

(1.36)

(1.67)


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Si se plantea una ecuacin de energa entre un embalse(bomba) y un punto en la tubera se obtendr lo siguiente:


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Si el punto 2 es la salida:

;

Es claro que para el punto 1, h1

+ z1

= H, dondeHes la altura del nivel de

la superficie del tanque con respecto alDatum

. Luego:

Luego:

mf hhg

pzg

Vzh r

22

2

211

2

02 gpr

mf hhzH 2

02

2

2 gV


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De esta ltima expresin se puede obtener la siguiente ecuacin, la cual

describe las prdidas por friccin en funcin de las otras variables:

Utilizando la ecuacin de Darcy-Weisbach (Ecuacin 1.13), que tambin

predice estas prdidas, se puede despejar el factor de friccin f:

Reemplazando la ecuacin (2.2) en la ecuacin (1.67) (Colebrook-White)

se obtiene:

g

VkzHh

mf

2

2

2

2

2

2

VL

gdhf

f

VL

gdhf

f

2

gdh

VL

f f 2

1

(2.1)

(2.2)


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El nmero de Reynolds en esta ltima ecuacin puede reemplazarse

por:

Por consiguiente, se obtiene la siguiente expresin:

Finalmente, despejando la velocidad se encuentra una ecuacinexplcita para esa variable:

VdRe

(2.3)


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Esta ltima ecuacin es la base para la solucin de los tres tipos de

problemas relacionados con tuberas simples mencionadosanteriormente.

(2.3)


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a) Comprobacin de Diseo enTuberas Simples

En este caso se conocen todas las caractersticas de la tubera:

longitud, dimetro, rugosidad absoluta y los coeficientes deprdidas menores de cada uno de los accesorios. Tambin se

conocen las propiedades del fluido: la densidad y la

viscosidad dinmica. La incgnita es la velocidad y por

consiguiente el caudal que pasa por la tubera. Obviamente se

deben conocer la cabeza disponible o la potencia y la

eficiencia de la bomba.


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Diagrama de flujo 1: Comprobacinde diseo de tuberas simples

INICIO

Leer d, ks, H, Skm, r, m, z2, L,E

Suponer hf= H-z2

Calcular ks/d

Calcular Vi en la ecuacin (2.3)

Calcular hf ien la ecuacin (2.1)

?

hf ihf i-1 E

Q = Vi A

Imprima Q

PARE

NO SI


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Ejemplo

Para el sistema de riego de un cultivo de mango se tiene

disponible una tubera de 6 en PVC (ks=0.0015 mm), la cual

va a operar con una cabeza topogrfica de 35 m. Cul es el

caudal que puede pasar por la tubera, si la longitud requerida

es 1350 m y el coeficiente global de prdidas menores es de7.6? Para el agua se tienen los siguientes valores:

n=1.14x10-6 m2/s r=1000 kg/m3Siguiendo el diagrama de flujo No. 1 se llega a los siguientes

resultados.


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H (m) hf(m) v (m/s) Shm (m) Q (m3/s)

35 35 2.313 2.07 0.0422

35 32.92 2.237 1.938 0.0408

35 33.06 2.242 1.947 0.0409

35 33.05 2.242 1.946 0.0409

35 33.05 2.242 1.946 0.0409

Luego, el caudal que puede pasar por la tubera es de

40.9 L/s.

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b) Clculo de la Potencia Requerida



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En este caso todas las caractersticas de la tubera son conocidas, al

igual que las del fluido. Se conoce un caudal demandado y se preguntapor la potencia requerida, ya sea de origen gravitacional o mecnico.

Para poder resolver el problema de la potencia requerida es necesario

utilizar un mtodo numrico con el fin de poder averiguar el valor del

factor de friccin f de Darcy en la ecuacin no explcita de Colebrook-

White:

Con el fin de resolver la anterior ecuacin existen muchos mtodos

numricos. A continuacin se explican dos de ellos; el primero es muy

sencillo pero requiere muchas iteraciones. El segundo es ms complejo,

pero tiene la ventaja de que converge en dos o tres iteraciones.

fd

k

f

s

Re

51.2

7.3

log21

10(1.67)



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i) Mtodo de Newton o de Aproximaciones Sucesivas

Para que este mtodo pueda ser aplicado la funcin no explcita debe serde la siguiente forma:

x = g(x)El algoritmo se desarrolla de tal manera que el valor arrojado por lafuncin g(x) en la iteracin i se utilice como argumento x en la iteracini+1. En el caso de la ecuacin de Colebrook-White el mtodo converge en8 10 aproximaciones y es muy sensible al valor inicial de fque se

suponga (semilla). En la figura 2.5 se esquematiza el proceso deconvergencia.



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Diagrama de flujo 2a. Clculodel factor de friccin fpor elmtodo de Newton

INICIO

Leer ks/d, Re, semilla de f

f1= semilla de f

i = 1

?

fi-+1y fi

Imprima fi+1

PARE

NO

SI

2

101Re

51.2

7.3log2

fd

kf

si

fi-+1= fi

i=i+1

?Re< 2200

f = 64/Re

PARE

SI

NO



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La tabla 2.1 muestra la rapidez del proceso de convergencia. En elprimer caso (Re= 20000 ) el mtodo convergi en 10 iteraciones con

precisin a la octava cifra decimal y en el segundo caso ( Re= 200000 )convergi en 8 iteraciones con la misma precisin. Los resultados fueronf= 0.02610147 (Re= 20000) y f= 0.0164104 (Re= 200000).

f x g(x) f f x g(x) f

Re = 20 000 Re = 200 000

0.001 31.622777 4.79681741 0.043460391 0.001 31.6227766 6.74548777 0.02197725

0.04346039 4.7968174 6.40266057 0.024393777 0.02197725 6.74548725 7.9040267 0.01600675

0.02439378 6.4026601 6.16125706 0.026342764 0.01600675 7.90402707 7.79772599 0.01644614

0.02634276 6.1612575 6.19353252 0.026068927 0.01644614 7.79772668 7.80695512 0.01640728

0.02606893 6.1935322 6.18914733 0.026105881 0.01640728 7.80695552 7.80614996 0.01641067

0.02610588 6.1891475 6.18974178 0.026100867 0.01641067 7.80614913 7.80622029 0.016410370.02610087 6.1897414 6.18966123 0.026101547 0.01641037 7.80622048 7.80621406 0.0164104

0.02610155 6.1896608 6.18967216 0.026101454 0.0164104 7.80621335 7.80621469 0.01641039

0.02610145 6.1896727 6.18967055 0.026101468 0.01641039 7.80621572 7.80621448 0.0164104

0.02610147 6.1896703 6.18967088 0.026101465 0.0164104 7.80621335 7.80621469 0.01641039



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CALCULO DEL FACTOR f. METODO DE NEWTON.

f

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

f = f Re=20000 Re=200000

Figura 2.5: Esquema del proceso de convergencia del mtodo de Newton para el

clculo def. La tubera tiene una rugosidad absoluta de 0.0001 y los clculos se

hicieron para nmeros de Reynolds de 20000 y 200000.



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ii) Mtodo de Newton-Raphson

Este mtodo es una aceleracin del mtodo anterior por lo cual resulta ser ms

conveniente; por lo general se requieren solo 3 iteraciones. Sin embargo, la

funcin:

x = g(x)

debe cumplir 3 condiciones especiales para que exista convergencia.

La primera condicin es que exista un intervalo I = (a,b) tal que para

todo x perteneciente a I, la funcin g(x) est definida y pertenezca a I, lo

cual significa que g(x) se aplica a s misma.

La segunda condicin es que la funcin de iteracin g(x) sea continuaen I.

La tercera condicin de convergencia es que g(x) sea diferenciable en I

y que la pendiente de g(x) sea siempre menor que 1 y mayor que -1.

La ecuacin de Colebrook-White cumple con las tres.



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INICIO

Leer ks/d, Re, semilla de f

f1= semilla de f

i = 1

2/1

10

Re

51.2

7.3log2)(

fd

kxF s

i

Re

51.2

7.3

Re

51.2

10

2)('

is

ix

d

kLnxF

1)('

)(1

i

iiii

xF

xxFxx

?xi-+1

xi

xi-+1= xi

i=i+1 f = 1/x2i+1

FIN

NOSI

El Diagrama de Flujo No. 2-b: corresponde al mtodo de

Newton-Raphson, algunasveces conocido como elmtodo de Newtonacelerado. Como se dijoanteriormente este mtodotiene la ventaja de unamayor velocidad deconvergencia; sin embargo,

no siempre se justificadebido a que su proceso deprogramacin es mscomplejo.

?Re< 2200

NO

SI

f = 64/Re

FIN

xi = 1/f11/2



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Figura 2.6: se esquematiza el proceso de convergencia de este mtodo. En este

caso se utiliz una tubera con rugosidad relativa (ks/d) de 0.0001 y un nmero

de Reynolds de 20,000. El valor semilla para ffue 0.002. A pesar de que estevalor estaba bastante lejos del valor real (f= 0.0261) el mtodo convergi muy

rpidamente; sus ventajas sobre el mtodo anterior saltan a la vista.

CALCULO DEL FACTOR f. METODO DE

NEWTON-RAPHSON

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06



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INICIO

Leer Q, d, ks, Skm, r, m, h, L

Calcular V = Q/A

Calcular Shm

Calcular Re y ks/d

Calcular f en la ecuacin 1.67utilizando algn mtodo numrico

Calcular H total

Imprima Pot

FIN

Calcular hfen la ecuacin 1.36

QgHPot rh

1

Una vez se pueda calcular el valor del factorde friccin de Darcy f en la ecuacin deColebrook-White el clculo de la potenciarequerida es bastante sencillo. En elDiagrama de Flujo No.3 se esquematizadicho procedimiento de clculo.

Diagrama de flujo 3. Clculo de la potencia en

tuberas simples



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El proceso de diseo es bastante simple porque la ecuacin (2.3) es

explcita para la velocidad. Dicho proceso se esquematiza en el

Diagrama de Flujo No. 4. Sin embargo, para que converja tiene las

siguientes restricciones:

i. El primer dimetro supuesto tiene ser menor que el dimetro que resulte

en el diseo.

ii. La suma de las prdidas menores debe ser inferior al 30% de las

prdidas por friccin:

S hm 0.3 hf

c) Diseo de Tuberas Simples



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INICIO

Leer Qd, ks, Dd, H, z2, E, L

Suponer dipequeo

Calcular v en la ecuacin 2.3

Q = vA


FIN

Suponer hf= Hz2

Q Qd

hf ihf i-1 E

Q Qd

Imprimir di+1

di+1 = di+Dd

Dim. comercialSiguiente dcomercial

Calcular V en laecuacin 2.3 Q = VA

Dim. comercial

di+1 = di+Dd hf= Hz2

Siguiente dcomercial

NO SINO

NO

NO

SI

NO?

?

?

?

?

Esta ltima restriccin en la prctica resulta serirrelevante ya que en la gran mayora de los sistemas detuberas esto se cumple con facilidad. Para disear un

sistema con altas prdidas, menores, como en el caso dela tubera de succin de una bomba, se debe seguir unalgoritmo diferente.

Diagrama de flujo 4: Diseo de tuberas simples

SI

SI

SI



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Ejemplo 1

La tubera de descarga de la planta de tratamiento de aguas residuales delmunicipio de Ubat tiene una longitud de 150 m y por ella debe pasar un

caudal mximo de 120 lts/s. La cabeza mnima de operacin es 2.2 m y en

la tubera se tienen prdidas menores por entrada (km = 0.5), por un codo

(km = 0.8), por uniones (Skm = 10 x 0.1), y por salida (km = 1.0).

Calcular el dimetro comercial en PVC requerido si la temperatura delagua es 14 C. Los datos del problema son:

l = 150 m

ks = 0.00015 m

QD = 0.12 m3/s

H = 2.2 m

Skm = 0.5 + 0.8 + 10x0.1 + 1.0 = 3.30

r (14C) = 999.3 kg/m3

m (14C)= 1.17x10-3 Pa.sn (14C) = 1.17x10-6 m2/s



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Siguiendo la metodologa de Darcy-Weisbach y la segunda ecuacin de

Colebrook-White, se tienen los siguientes resultados:

hf d v Q Q Qd hm

(m) (pulgadas) (m/s) (m3/s) (Si/No) (m)

2.2 4 3.394 0.0275 No -

2.2 6 4.388 0.0800 No -

2.2 8 5.255 1704 Si 6.05

-3.85

El ltimo hf indica que las prdidas menores son superiores a la cabezadisponible. Se "gastan" 6.05 metros de los 2.2 metros disponibles parasobrepasar los accesorios con un caudal de 164.2 L/s. Claramente lametodologa establecida en el Diagrama de Flujo No.4 no sirve para este

diseo.



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c*) Diseo de Tuberas Simplescon altas

prdidas menoresEn el Ejemplo 2 los resultados mostraron que la velocidad obtenida en la

iteracin 1 para el dimetro de 8 pulgadas implicaba unas prdidas menores

superiores a la cabeza disponible lo cual no es posible y hace que el proceso

no converja. Esto significa que de alguna forma hay que limitar la magnitud

de la velocidad que sea producida en cada iteracin.

El proceso que permite tener en cuenta sistemas con prdidas menores altas

fue desarrollado por Saldarriaga y Ferrer (1989) y modificado por Camacho

(1990). Consiste en definir una "velocidad" de prdida la cual, en esencia, es

la velocidad que hara que la sumatoria de las prdidas menores fuera igual ala cabeza disponible: Shm = H

gV

khmm 2

2



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U S OS S



Si en alguna iteracin la vies mayor que la vp, sto quiere decir que lavelocidad vi implica unas prdidas menores mayores a la cabezadisponible, lo cual es fsicamente imposible. Si esto sucede, se debe limitarla cabeza disponible para ser perdida por friccin, dentro delprocedimiento de diseo.

El procedimiento se esquematiza en el Diagrama de Flujo No.5 el cual esms general que el Diagrama de Flujo No.4 ya que tambin sirve para el

caso de tuberas con prdidas menores bajas. Una vez se ha calculado laprimera velocidad de prdida, en las dems iteraciones esta velocidad secalcula de acuerdo con la siguiente ecuacin:

mp

k

H

g

V

2

2

mp

k

gH

V

22

mp k

gH

V

2

m

f

p k

hHgV

)(2

(2.5)

(2.6)



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Ejemplo 2 (Continuacin)

La velocidad de prdida inicial se calcula como:

H = 2.2 Skm = 4.3

Luego:

Con ayuda del Diagrama de Flujo No. 5 se obtienen los siguientes

resultados para el diseo de la tubera de descarga de la planta de

tratamiento del municipio de Ubat, cuando su longitud se reduce a 17

metros en total.

m

pk

gHV

2

smVp /3.4

2.281.92 Vp = 3.168 m/s



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INICIO

Leer Qd, ks, Dd, H, z2, E, Ev,L, Dh

Suponer dipequeo

Calcular Vi en la ecuacin 2.3

Q = vA


FIN

Suponer hf= Hz2

Imprimir di+1

di+1 = di+DdSiguiente dcomercial

Calcular v en laecuacin 2.3

Q = vA

Dim. comercial

di+1 = di+Dd hf= Hz2

Siguiente dcomercial

NO SI

NO

NO

NO

SI

NOhf ihf i-1 E?

Q Qd?

?

Dim. comercial?

Q Qd?

Calcular Vp en la ecuacin 2.5

Vi < Vp? Procedimiento prdidas

menores altas

NOA

Diagrama de flujo 5: Diseo de tuberas simples conaltas prdidas menores

SI

SI

SI

SI



34/36



Calcular vien la ecuacin 2.3

Q = vA

FIN

Asignar a hfun valor pequeo

Imprimir d

di+1= di+Dd

Siguiente d

comercial

NO SI

NO

Q Qd

?

Dim. comercial?

vi< vp?

Calcular vpen la ecuacin 2.6

|vi- vp| < Ev?

NO

A

hf i= hf i -1-Dh

Suponer dipequeo

hf i= hf i -1+Dh

SI

NO

SI

SI



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hf d V Q Q Qd hm Vp

(m)(pulgadas)

(m/s) (m3/s) (Si/No) (m) (m/s)

2.2 4 3.394 .0275 No 3.168

2.2 6 4.388 .0800 No 3.168

2.2 8 5.255 .1704 Si 6.05 3.168

0.5 8 2.477 .0803 No 1.344 2.785

0.5 10 2.85 .1444 Si 1.78 2.785

0.48 8 2.426 .0787 No 1.289 2.8014

0.48 10 2.791 .1414 Si 1.707 2.8014

0.49 8 2.451 .0795 No 1.317 2.7933

0.49 10 2.82 .1429 Si 1.744 2.7933

0.483 8 2.434 .0789 No 1.297 2.799

0.483 10 2.799 .1419 Si 1.718 2.799



36/36



En la ltima iteracin se tiene lo siguiente:

vi vp

2.799 m/s 2.799 m/s

d = 10 pulgadas

hf = 0.483 metros

hm = 1.718 metros

La ltima igualdad significa que de los 2.2 metros de cabezadisponible, 0.483 metros se estn gastando por friccin y 1.718 m segastan en las prdidas menores. Es claro que en este caso esas

prdidas menores son ms importantes que las de friccin.

H = hf + h

m

H = 0.483 m + 1.718 m

H = 2.201 m 2.20 m

Conferencia 2 (Diseño de tuberías simples) Presentación

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