Conferencia – taller solución de ecuaciones y desigualdades

Presenta: Prof. Fredes Rodríguez Galarza

Proyecto: Laboratorios Regionales de Matemáticas

Auspiciado por el Departamento de Educación en alianza con la División de Educación Continua y Estudios Profesionales (DECEP) de la

Universidad de Puerto Rico, Recinto de Carolina. Sufragado por fondos federales

de Título I -A.

1Prof. Fredes Rodríguez

1. Saludos2. Aspectos preliminares

a. Estándares y expectativas que se atenderán en el taller.b. ¿Qué es una ecuación?c. ¿Cómo puede ser la solución de una ecuación lineal?d. ¿Cómo puede ser la solución de una ecuación cuadrática?e. Que significa modelar mediante ecuaciones?f. Método para resolver un modelo de ecuaciones.

3. Modelos matemáticos de ecuaciones mas utilizadosa. Modelos lineales y de variación directab. Modelos lineales y de variación inversa.c. Modelos de ecuaciones cuadráticas.

4. Post-prueba5. Evaluación


A.MO. 7.7.1 Representa situaciones matemáticas y delmundo real que utilicen ecuaciones lineales de la forma

ax + b = c, donde a, b, c son números racionales.

A.RE.7.7.2 Resuelve ecuaciones lineales con coeficientesnuméricos racionales utilizando métodos gráficos ysimbólicos. Con y sin tecnología.

A.PR.7.7.3 Establece conexiones entre las representacionesgraficas, tablas y símbolos a la solución única de unaecuación lineal dada.

3

Recuerde

A.MO. = Algebra, Modelos matemáticos

A. RE. = Algebra. Representación

A. PR. = Algebra, Patrones, relaciones y funciones

Prof. Fredes Rodríguez

4

Escriba lo que significapara usted una ecuación.


5

Una ecuación es la igualdad de dos expresionesalgebraicas.

a) 2𝑥 + 3 = 𝑥 − 4

b) 5𝑥 + 𝑥2 = 6 − 𝑥

La letra en la ecuación se llama variable.

Las ecuaciones pueden ser de primer grado, segundo grado,tercer grado….etc. El grado en las ecuaciones en una variableestá determinado por la variable de mayor potencia.

c) 𝑥4 + 2 = 7 𝑥 − 1

primer grado

segundo grado

grado 4

Ejemplos:


6

Conjunto solución de la ecuación

El conjunto solución de la ecuación es la colección de númerosreales que puede asumir la variable para satisfacer la relaciónde igualdad.

a) 2𝑥 + 3 = 𝑥 − 4

b) 5𝑥 + 𝑥2 = 6 − 𝑥

c) 𝑥4 + 2 = 7 𝑥 − 1

primer grado

segundo grado

grado 4

Cantidad máxima de soluciones 1



Ejemplos:

Por esto es necesario conocer el grado de la ecuación dadoque el determina la cantidad máxima de soluciones que puedetener la misma.

Aun así tenemos casos especiales donde la ecuación puedetener ninguna solución, al cual llamamos conjunto solución nulo(∅) o infinitas soluciones o decimos conjunto solución infinito(∞).


De acuerdo al conjunto solución que tenga la ecuación lasmismas reciben nombre o categoría, veamos…

Categoría de las ecuaciones

Sí su conjunto solución es finito la ecuación es uncondicional.

Sí su conjunto solución es infinito la ecuación es unaidentidad.

Sí su conjunto solución es nulo la ecuación es uninconsistente.

Toda ecuación resuelta, a la luz de su conjunto solución lapodemos categorizar.


¿Cómo reconocer el tipo de ecuación en el procedimiento?

I. Condicionales

Reconocemos este tipo de ecuación cuando logramos despejarcompletamente para la variable.

Ejemplo: Halle el conjunto solución de 𝑥 − 6 = 5 y clasifique la ecuaciónde acuerdo a su conjunto solución

𝑥 − 6 = 5𝑥 = 5 + 6𝑥 = 11

Solución:

conjunto solución finito∴ ecuación condicional

II. Identidad

Reconocemos que este tipo de ecuación cuando se eliminan todas lasvariables y llegamos a algo cierto.

Ejemplo: Halle el conjunto solución de 𝑥 + 2 𝑥 − 1 = 3𝑥 − 2 yclasifique la ecuación de acuerdo a su conjunto solución

𝑥 + 2 𝑥 − 1 = 3𝑥 − 2𝑥 + 2𝑥 − 2 = 3𝑥 − 23𝑥 − 3𝑥 = −2 + 2

0 = 0

Solución:

conjunto solución infinito∴ ecuación identidad


Nota: Recuerde la importancia de trabajar todo proceso de acuerdo a las reglas que correspondan para asegurarnos que la conclusión es la adecuada.

III. Inconsistente

Reconocemos que este tipo de ecuación cuando se eliminantodas las variables y llegamos a algo falso.

Ejemplo: Halle el conjunto solución de 𝑥 + 2 𝑥 − 1 = 3𝑥 + 5 yclasifique la ecuación de acuerdo a su conjuntosolución.

𝑥 + 2 𝑥 − 1 = 3𝑥 + 5𝑥 + 2𝑥 − 2 = 3𝑥 +53𝑥 − 3𝑥 = 5 + 2

0 = 7

Solución:

conjunto solución nulo∴ ecuación inconsistente

¿Cómo reconocer el tipo de ecuación en el procedimiento?

Nota: Recuerde la importancia de trabajar todo proceso de acuerdo a las reglas que correspondan para asegurarnos que la conclusión es la adecuada.

Cualquier ecuación que resolvamos caerá en una de las trescategorías.


Prof. Fredes Rodríguez 10

PrácticaManual de ejercicios página

Práctica

Halle el conjunto solución a las siguientes ecuaciones y clasifique lamisma como condicional, identidad o incondicional.

1) 3𝑥 − 2 = 𝑥 + 2 3) 4𝑥 − 3 = 3𝑥 − (2 − 𝑥)2) 𝑥 − 2 𝑥 − 6 = 12 − 𝑥



Modelando Algebraicamente

USO DE MODELOS VERBALES

Una de las mayores dificultades en las matemáticas hay una diferencia entre una

frase y una oración. Las frases se traducen a expresiones; las oraciones se traducen a

ecuaciones o a desigualdades.

ExpresionesFrases

Ecuaciones o desigualdadesOraciones

13

MODELOS VERBALES

Escribir expresiones algebraicas, ecuaciones, odesigualdades que representen situaciones de la vidareal se le llama modelar.

Las expresiones, las ecuaciones y las desigualdadesson modelos matemáticos.

14

MODELOS VERBALES

El modelar situaciones de la vida real en ecuacionesen una sola variable le llamaremos modelos simples.

Y el modelar situaciones de la vida real en ecuacionesen dos variables le llamaremos modelos en dosvariables.

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Con el fin de modelar más adelante problemas reales con ecuacionesen una variable, nos corresponde recordar palabras o frases comunesque son asociadas con las operaciones básicas. Hagamos un recuento:

Suma (+): más, añadir, incrementar, total, sumar, aumentar, másque, … etcétera.

Resta (-): menos, diferencia, quitar, disminuir, sustraer, menosque, reducir,… etcétera.


Multiplicación ( ∙ ): multiplicar, veces, producto, doble, triple,mitad, …parte de… etcétera.

Resta (-): menos, diferencia, quitar, disminuir, sustraer, menosque, reducir,… etcétera.

Operaciones básicas en una frase

División (/,÷): dividir, entre, cociente, … etcétera.

Potencias (-): elevado, exponente, cuadrado, cubo, … etcétera.

Patrones reconocidos: números enteros consecutivos 𝑛, 𝑛 + 1, 𝑛 + 2,…números enteros pares o impares consecutivos 𝑛, 𝑛 + 2, 𝑛 + 4, …

Operaciones básicas en una frase u oración


Ejemplo: Traduzca algebraicamente

1. El cuadrado de, siete menos el doble de un número

3. Cinco menos que un tercio de la suma de dos números es igual catorce.

2. El cociente de la diferencia de dos números y el opuesto de tres

7 − 2𝑥 2

1

3𝑥 + 𝑦 − 5 = 14

𝑥 − 𝑦

−3

4. El producto de dos números enteros impares consecutivos más una décima es igual a dos más el numeral menor.

𝑥)(𝑥 + 2 +1

10= 𝑥 + 2


Práctica: Traduzca la frase a la expresión algebraica quecorresponda

1. La diferencia de dos cubos de dos números

3. Trece menos que dos quintas partes del cuadrado de la suma de tres números es igual a un tercio del tercer número.

2. La mitad del producto de dos números enteros consecutivos

𝑥3 − 𝑦3

2

5𝑥 + 𝑦 + 𝑧 2 − 13 =

1

3𝑧

𝑥(𝑥 + 1)

2

Operaciones básicas en una frase u oración

Solución de ecuaciones lineales y ecuaciones cuadráticas en una variable

Una ecuación lineal en una variable es de la forma:𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑐 donde 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 ∈ ℜ 𝑦 𝑎 ≠ 0

Todas las ecuaciones de los ejemplos anteriores discutidas yclasificadas eran ecuaciones lineales en una variable.

Una ecuación cuadrática en una variable es de la forma:𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 donde 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 ∈ ℜ 𝑦 𝑎 ≠ 0

Ejemplos:1) 2𝑥2 − 𝑥 = 32) 4𝑥2 = 5𝑥3) 𝑥2 = 1

Hay distintos métodospara resolver ecuacionescuadráticas, depende desu estructura es elmétodo que se puedeutilizar.

El único método que puede aplicarse a cualquier cuadrática es la fórmula cuadrática. Dado 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 se

sustituyen en 𝑥 =−𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎y

simplificamos.

Métodos para resolverecuaciones cuadráticas:

1.factorizaciones2.raíz cuadrada3.completar el cuadrado4.fórmula cuadrática

El discriminante determina la cantidad de

soluciones reales que tiene la ecuación, sí

𝑏2 − 4𝑎𝑐 > 0 → 2 𝑠. 𝑟𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0 → 1 𝑠. 𝑟𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0 → 0 𝑠. 𝑟


Ejemplo: Resolver x2 - 7x + 12 = 0

Métodos más comunes factorización y fórmula cuadrática

Solución: x2 7x + 12 = 0

Método de factorización

x

x

(x 3)(x 4) = 0

factorizando:

Entonces:

3x

4x= 7x

Luego: x – 3 = 0 ó x – 4 = 0

De donde: x = 3 ó x = 4

∴ C.S. = 3; 4

3

4

Ejemplo N°2: Resolver 3x2 = 5x

Resolución:

Escribimos la ecuación de

la forma: 3x2 5x = 0

Factorizamos “x”: x( 3x 5 ) = 0

Luego: x = 0 ó 3x 5 = 0

De donde: x = 0 ó x = 5/3

Por tanto: C.S. = 0; 5/3

OBSERVACIÓN IMPORTANTE: No simplifique una variable

en la ecuación original porque se pierde una solución

Ejemplo N°3: Resolver (3x – 4)(x + 1) = – 2

Resolución:

Debemos expresar la ecuación en la forma: ax2 + bx + c = 0

(3x – 4)(x + 1) = – 2Para ello efectuamos las operaciones de

multiplicación en el primer miembro

Obtenemos: 3x2 + 3x – 4x – 4 = – 2

Reduciendo: 3x2 – x – 2 = 0

Entonces: (3x + 2)(x – 1) = 0

Luego: 3x + 2 = 0 ó x – 1 = 0

De donde: x = – 2/3 ó x = 1 C.S. = –2/3; 1

3x

x

2

– 1

2x

3x= x

Factorizando:

MÉTODOS DE RESOLUCIÓN

POR LA FÓRMULA CUADRÁTICA (de Carnot)

a2

ac4bbx

2

Dada la ecuación: ax2 + bx + c = 0, sus raíces pueden calcularse mediante la fórmula

A la cantidad subradical: b2 – 4ac se le

llama discriminante y se representa por

Es decir: = b2 – 4ac

PROPIEDADES DEL DISCRIMINANTE

1. Si > 0, la ecuación tiene raíces reales y diferentes

Ejemplo: Resolver 2x2 – 3x – 1 = 0

Resolución:

Identificamos los valores

de los coeficientes:

a = 2; b = – 3; c = –1 a2

ac4bbx

2

Reemplazamos en:

)2(2

)1)(2(4)3()3(x

2

Obtenemos:

4

173x

4

173x 21

4

173 ;

4

173.S.C

4

173x

De donde:


2. Si = 0, la ecuación tiene raíces reales e iguales

Ejemplo: Resolver 4x2 – 12x + 9 = 0

Resolución:



a = 4; b = – 12; c = 9 a2

ac4bbx

2

Reemplazamos en:

)4(2

)9)(4(4)12()12(x

2

Obtenemos:

8

012x

8

012x 21

2

3.S.C

8

012x

De donde:


3. Si < 0, la ecuación tiene raíces imaginarias

Ejemplo: Resolver x2 + x + 1 = 0

Resolución:



a = 1; b = 1; c = 1 a2

ac4bbx

2

Reemplazamos en:

)1(2

)1)(1(4)1()1(x

2

Obtenemos:

2

31x

Por tanto: La ecuación no tiene solución en el conjunto de los

números reales ( sus soluciones son imaginarias )

APLICACIONES

Equilibrio de mercado

Cuando el precio de un producto es p dólares por unidad, suponga que

un fabricante suministrará 3p2 – 4p unidades del producto al mercado y

que los consumidores demandarán 24 – p2 unidades. Determine el valor

de p para que el mercado esté en equilibrio (oferta = demanda)

Resolución

Oferta = 3p2 – 4p

Demanda = 24 – p2

3p2 – 4p = 24 – p2

Luego: 4p2 – 4p – 24 = 0

Simplificando: p2 – p – 6 = 0

Factorizando: (p – 3)(p + 2) = 0

Luego: p = 3 ó p = –2

Respuesta: Cuando el precio del producto sea de $3, el mercado

estará en equilibrio (no se toma en cuenta el otro valor pues no podemos

hablar de precio negativo)

APLICACIONES

Negocios

Una compañía determina que si se produce y vende q unidades de un producto,

el ingreso total por las ventas será de 100q. Si el costo variable por unidad es

de $ 2 y el costo fijo de $ 1200, determine los valores de q para los que:

Ingreso total por ventas = costo variable + costo fijo (Esto es, utilidad cero)

Resolución

Datos: q100 totalIngreso

Costo variable = 2q

Costo fijo = 1200

1200q2q100

Elevando al cuadrado:

10000q = 4q2 + 4800q + 1440000

Reduciendo: q2 – 1300q + 360000 = 0

Factorizando: (q – 900)(q – 400) = 0

Luego: q = 900 ó q = 400

Respuesta: Si se producen y venden 400 ó 900 unidades, la utilidad será cero


Solución de ecuaciones cuadráticas por diferentes métodos

1) 𝑥2 − 𝑥 = 12, por factorización 2) 1 = 𝑥2, por raíz cuadrada

3) 2𝑥2 − 𝑥 = 3, completando el cuadrado 4) 3𝑥2 − 2𝑥 =1, fórmula cuadrática

𝑥2 − 𝑥 − 12 = 0𝑥 − 4 𝑥 + 3 = 0

𝑥 − 4 = 0 𝑥 + 3 = 0𝑥 = 4 𝑥 = −3

𝑥2 = 1

𝑥2 = 1𝑥 = 1

𝑥 = −1 𝑥 = 1

𝑥2 −𝑥

2=

3

2

𝑥2 −𝑥

2+

1

16=

3

2+

1

16

𝑥 −1

4

2

=25

16

𝑥 −1

4

2

=25

16

𝑥 −1

4=

5

4

𝑥 −1

4= −

5

4𝑥 −

1

4=

5

4

𝑥 = −1 𝑥 =3

2

𝑥 =− −2 ± −2 2 − 4(3)(−1)

2(3)

𝑥 =2 ± 4 + 12

6

𝑥 =2 ± 16

6

𝑥 =2 − 4

6= −

13

𝑥 =2 + 4

6= 1

𝑥 = −13

𝑥 = 1


MÉTODO PARA RESOLVER UN PROBLEMA USANDO MODELOS

Preguntese lo que necesita saber para resolver elproblema. Escriba un modelo verbal de lo quedebe saber.

Asigne variables a las incógnitas del ejercicio .

Use las variables para escribir el modelo algebraico(ecuación o inecuación) basado en su odelo.

Resuelva el model algrebraico que contesta lapregunta original.

MODELOVERBAL

Pregúntese lo que necesita saber para resolver elproblema. Escriba un modelo verbal de lo quedebe saber.

Asigne variables a las incógnitas del ejercicio.

Use las variables para escribir el modelo algebraico(ecuación o desigualdad) basado en su modelo.

Resuelva el modelo algebraico que contesta lapregunta original.

Verifique su respuesta, asegúrese que esrazonable.

MODELOALGEBRAICO

VARIABLES

RESUELVE

VERIFICA

Modelo Algebraico

Usted y tres amigos están almorzando en un restaurantechino que cobra $2 por el plato. Usted pide varios platos. Elcamarero le da una cuenta de $25.20, que incluye el impuestode $1.20. ¿Cuántas platos pidió su grupo?

Lea cuidadosamente el ejercicio.Entienda la situación delproblema antes de comenzar.Por ejemplo, note que elimpuesto está agregado despuésde que el costo total de losplatos se calcula.

OBSERVACIÓN

32

Variables

MODELOVERBAL

Escribe el Modelo Algebraico

Costo porplato •

Numbero de platos = Cuenta Tax–

Costo por plato = 2

Número de platos = p

Cantidad de la cuenta =25.20

Impuestos = 1.20

(dólares)

(dólares)

(dólares)

(platos)

25.20 1.20–2 =p

2p = 24.00

p = 12∴ Su grupo ordenó 12platos de comida con uncosto de $24.00

MODELALGEBRAICO

Estrategia desolución

RESUELVE

VERIFICA𝟐𝒑 = 𝟐𝟓. 𝟐𝟎 − 𝟏. 𝟐𝟎

𝟐 𝟏𝟐 = 𝟐𝟒𝟐𝟒 = 𝟐𝟒 33


Modelos simples Traducir la información, dada en una situación real, a una ecuación yresolverla es uno de los modelos matemáticos más simples. Dada suestructura utilizamos cualquiera de los métodos de solución deecuaciones discutidos.

Ejemplo: Modelo LinealLa suma de las edades de tres amigos es 57 años. Pedro es elmayor y tiene 2 años más que Juan y Carlos, el menor, tiene 4años menos que Pedro. Determine la edad de cada uno.

Pedro: 𝑥Juan: 𝑥 − 2Carlos: 𝑥 −4

Siempre leemosdetalladamente el problemapara determinar la relaciónentre los datos y con ello larepresentación algebraica.

𝑥 + 𝑥 − 2 + 𝑥 − 4 = 573𝑥 − 6 = 573𝑥 = 63𝑥 = 21

Pedro: 21Juan: 21 − 2 = 19Carlos: 21 − 4 = 17

Verificación: 21+19+17=57

Variables

RESUELVE

MODELOVERBAL

VERIFICA

MODELOALGEBRAICO


Modelos simples

Ejemplo: Modelo cuadráticoUn número positivo sumado al cuadrado del número quele precede es igual a 73. ¿Cuál es el número?

Variables: si 𝑥 es tal número el que le precede será 𝑥 − 1.

Ecuación: 𝑥 − 1 2 + 𝑥 = 73𝑥2 − 2𝑥 + 1 + 𝑥 = 73

𝑥2 − 𝑥 − 72 = 0𝑥 − 9 𝑥 + 8 = 0

𝑥 − 9 = 0 𝑥 + 8 = 0𝑥 = 9 𝑥 = −8

como el número dice que es positivo entonces descartamos −8.

∴ tal número es 9

Verificación:

𝑥 − 1 2 + 𝑥 = 739 − 1 2+9 = 738 2 + 9 = 7364 + 9 = 7373 = 73

Variables

MODELOVERBAL

MODELALGEBRAICO

RESUELVE

VERIFICA

Modelos AlgebraicosUn piloto de jet está volando de Los Ángeles, CA a Chicago, IL con unarapidez de 500 millas por hora. Cuando el avión esta a 600 millas deChicago, un controlador de tráfico aéreo le indica que hasta 2 horas nohabrá oportunidad de aterrizar. El piloto sabe que la rapidez del avión debeser de más de 322 millas por hora o el avión puede caer.

a. A que rapidez debe volar el avión para llegar a Chicago en 2 horas?

b. Es razonable para el piloto volardirectamente a Chicago a la velocidad de300 millas por hora o debe tomar otraacción?

37

VARIABLES

MODELOVERBAL

Usando el modelo algebraico

Rapidezdel jet • Tiempo =

Distanciaa viajar

Rapidez del jet = x

Tiempo = 2

Distancia = 600

(millas por hora)

(millas)

(horas)

600=

x = 300

MODELOALGEBRAICO

a. A qué rapidez debe volar el avión para llegar a Chicago en 2 horas?

2 x

Para llegar en 2 horas, el piloto debe volar el jet a 300 millas por hora.

Usted puede usar la fórmula (rapidez)(tiempo) = (distancia) para escribir el modelo verbal.



38

Modelos Algebraicos

No es razonable para el pilotovolar a 300 millas por hora,porque el avión se puedeestrellar. El piloto debe tomarotra acción, como por ejemplovolar en círculo para gastartiempo y poder mantenersesobre la velocidad mínima.

Es razonable para el piloto volar directamente aChicago a la velocidad de 300 millas por hora o debetomar otra acción?

b.

39


Verificación: 13 + 7𝑛 = 5513 + 7(6) = 5513 + 42 = 55

55 = 55

Modelo Simple lineal

Modelos algebraicos

Una reproductora portátil cuesta $55, con impuesto incluido.Tú ya tienes $13 y puedes ahorrar $7 por semana. ¿Cuántassemanas necesitas para comprarla? Clasifique como elmodelo utilizado lineal o cuadrático.

Solución:

Variables: 𝑛 = ⋕ semanasAhorros: 13 + 7𝑛Ecuación: 13 + 7𝑛 = 55Proceso: 7𝑛 = 55 − 13

7𝑛 = 42𝑛 = 6

Variables

MODELOVERBAL

MODELALGEBRAICO

RESUELVE

VERIFICA


El ancho de un piso rectangular es 3 pies menos que su largo.Si el área del piso es 108 pies cuadrados, determina lasdimensiones del piso.

Modelo Simple cuadrático

Modelos algebraicos

Verificación: 𝑤 ∙ 𝑙 = 108(9)(12) = 108108 = 108

Solución:

Variables: 𝑤 = 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 𝑦 𝑙 = 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜Datos: 𝑤 = 𝑙 − 3Diagrama: ver fígura Fórmula de área: 𝑤 ∙ 𝑙 = 108Proceso: (𝑙 − 3) ∙ 𝑙 = 108

𝑙2 − 3𝑙 − 108 = 0𝑙 − 12 𝑙 + 9 = 0

𝑙 − 12 = 0 𝑙 + 9 = 0𝑙 = 12 𝑙 = −9

𝑙

𝑤 = 𝑙 − 3

como el largo tiene que ser un número positivo entonces descartamos −9.

𝑤 = 9

𝑙 = 12

Variables

MODELOVERBAL

MODELALGEBRAICO

RESUELVE

VERIFICA


Modelos en dos variables


Modelo cuadrático

10 𝑝𝑖𝑒𝑠

Dos regiones circulares son tangentes una con otra (ver fígura). Ladistancia entre los centros es de 10pies.

a) Encuentre el radio de cada círculo si sus áreas combinadas son de 52𝜋pies cuadrados.

b) Suponga que la distancia entre los centros permanece igual pero quelos radios son ahora iguales. ¿Aumentaría o disminuiría el áreacombinada?

Fórmula de área del círculo: 𝒜 = 𝜋𝓇2

notación: 𝓇: 𝑢𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜𝑠10 − 𝓇: 𝑒𝑙 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜

𝒜𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝜋𝓇 2 + 𝜋 10 − 𝓇 2

𝜋𝓇 2 + 𝜋 10 − 𝓇 2 = 52𝜋𝓇 2 + 10 − 𝓇 2 = 52𝓇 2 + 100 − 20𝓇 + 𝓇2 = 522𝓇2 − 20𝓇 + 48 = 0

𝓇2 − 10𝓇 + 24 = 0(𝓇 − 6)(𝓇 − 4) = 0𝓇 = 6 ó 𝓇 = 4

∴ 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑎𝑙 á𝑟𝑒𝑎 𝑢𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜𝑠𝑑𝑒𝑏𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 4 𝑦 𝑒𝑙 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 6

𝒜𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2 5 2𝜋 = 50𝜋

𝒜𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2 5 2𝜋 = 50𝜋


Modelo cuadrático (continuación)

10 𝑝𝑖𝑒𝑠

b) Suponga que la distancia entre los centros permanece igual pero quelos radios son ahora iguales. ¿Aumentaría o disminuiría el áreacombinada?

𝜋𝓇 2 + 𝜋 10 − 𝓇 2 = 𝒜𝜋𝓇2 + 𝜋 𝓇2 − 20𝓇 + 100 = 𝒜

𝜋𝓇2 + 𝜋𝓇2 − 20𝜋𝓇 + 100𝜋 = 𝒜

2𝜋𝓇2 − 20𝜋𝓇 = 𝒜 − 100𝜋

𝓇2 − 10𝓇 +10

2

2

=𝒜 − 100𝜋

2𝜋+

−5

2

2

𝓇 − 5 2 = 𝑘,

∴ 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 á𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑠𝑢

𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 𝑒𝑛 5,𝒜 = 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜∴ 𝑠𝑢 á𝑟𝑒𝑎 𝑚í𝑛𝑚𝑎 𝑜𝑐𝑢𝑟𝑟𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜

𝑙𝑜𝑠 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜𝑠 𝑠𝑜𝑛 5.

𝒜𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2 5 2𝜋 = 50𝜋

𝒜𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2 5 2𝜋 = 50𝜋

𝐸𝑙 á𝑟𝑒𝑎 𝑒𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟á𝑡𝑖𝑐𝑎, 𝑣𝑒𝑎𝑚𝑜𝑠…


Modelo lineal en dos variables

La ecuación lineal en dos variables es de la forma:𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎, 𝑦 𝑐 ∈ ℛ 𝑦 𝑎 ≠ 0 ó 𝑏 ≠ 0

El exponente máximo de sus variables es uno, 1.

Ejemplos:1) 3𝑥 + 𝑦 − 1 = 52) 𝑥 + 𝑦 = 9


La ecuación lineal en dos puede ser reescrita de la forma 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏donde m denota la inclinación de la línea recta en el plano cartesiano(expresa como cambia la variable dependiente y en la medidaaumentamos el valor de la variable independiente x) y b es elintercepto de la gráfica de la línea recta en el eje de y.

Para calcular la m partiendo de dos 𝑥1, 𝑦1 𝑦 𝑥2, 𝑦2 puntos contenidosen la línea recta sustituimos en 𝑚 =

𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1y luego se sustituyen los

datos en la fórmula 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 𝑥 − 𝑥1 .

Ejemplo: Halle la ecuación de la línea recta que pasa por los puntos 2,−3 𝑦 4, −6 .

Interpretación de la m: por cada 2 unidades aumentadas en lavariable independiente x, la variable dependiente y disminuye3 unidades.

𝑚 =−6 − −3

4 − 2=

−3

2

Ecuación de la línea: 𝑦 − −3 = −3

2𝑥 − 2

𝑦 + 3 = −3

2𝑥 + 3

∴ 𝑦 = −3

2𝑥 es la ecuación de la línea recta


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Costos de transporteLa compañía de mudanzas Colinas cobra $70 por transportar una máquina15 millas y $100 por transportarla 25 millas. Determine la relación entrela tarifa total y la distancia recorrida , suponiendo que es lineal. Cuál esla tarifa mínima por transportar esta máquina? Cuál es la cuota por cadamilla que la máquina es transportada?

Solución:

15,70 𝑦 25,100 son los pares ordenados dados

𝑚 =100 − 70

25 − 15= 3

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 𝑥 − 𝑥1𝑦 − 70 = 3 𝑥 − 15

𝑦 = 3𝑥 + 25

∴ la tarifa mínima es de $25 y la cuota por milla adicional es de $3



Práctica

48

Trabajar los ejercicios de la página 11-12


Torre inclinada de PisaCuando fue construida, la torre inclinada de Pisa, en Italia, tenía 180pies de alto. Desde entonces, uno de los lados de la base se hahundido, causando que la parte superior de la torre se incline 16 piesdel centro (véase la fígura). Calcule la pendiente de ese lado de latorre.

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Solución: Destacar los detalles de la situaciónpermite organizar los datos y determinar laestrategia a seguir

16 pies180 pies

16,180

0, 0

Los puntos 0, 0 𝑦 16,180 están contenidosen ese lado de la torre y están contenidosen la inclinación de la torre,

𝑚 =∆𝑦

∆𝑥=

180 − 0

16 − 0=

45

4= 11.25

∴ 𝑙𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑐𝑙𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑒 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑇𝑜𝑟𝑟𝑒 𝑒𝑠 11.25

Interpretación de la pendiente: por cada pie dedesplazamiento horizontal, 11.25’ de la parte superior de latorre se inclinaban con respecto a su centro.



La gráfica de la ecuación cuadrática es una parábola, la orientación de sus extremos esta determinada por el término principal 𝑎𝑥2 veamos,

y

x

y

x

𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, parábola

a) Sí 𝑎 > 0b) Sí 𝑎 < 0

Características:

Dominio: −∞,∞Alcance: 𝑘,∞)Vértice o Punto mínimo: ℎ, 𝑘Interceptos(máxima cantidad en x, 2;

en y 0, 𝑦 ) Eje de simetría: 𝑥 = ℎ

h

k

h

k

Características:

Dominio: −∞,∞Alcance:(−∞, 𝑘Vértice o Punto máximo: ℎ, 𝑘Interceptos(máxima cantidad en x, 2;

en y 0, 𝑦 ) Eje de simetría: 𝑥 = ℎ

Modelo cuadrático en dos variables


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La ecuación cuadrática es mayormente utilizada para modelarproblemas de optimización. Problemas donde se busca el valor máximo omínimo. El vértice ℎ, 𝑘 de la parábola representa el punto máximo omínimo que alcanza la función, este siempre será k y h quien loprovoca.

Siempre hay una forma más conveniente para reescribir una funciónpara poder obtener datos de su gráfica más fácilmente. En la funcióncuadrática se completa el cuadrado, de ser necesario, para reescribirlade la forma 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 − ℎ 2 + 𝑘 o en sustitución del método, podemos

utilizar las fórmulas ℎ = −𝑏

2𝑎𝑦 𝑘 =

4𝑎𝑐−𝑏2

4𝑎= 𝑓(ℎ).

Ejemplo: Reescribir 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4𝑥 −5 y trace su gráfica

𝑓 𝑥 = (𝑥2−4𝑥 + 4) − 4 − 5

𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2 2 − 9 ∴ 𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 2, −9 𝑦

Abre hacia arriba, 𝐼𝑥: −1,0 𝑦 5,0 , 𝐼𝑦 : 0,−5

Punto mínimo

Nota: El vértice, ℎ, 𝑘 es el par ordenado que recogeambas traslaciones, la del eje de x y eje de y, delvértice original 0,0 .



Trayectoria de un proyectilLa trayectoria de un proyectil disparado desde el suelo es una parábolaabierta hacia abajo. Si la altura máxima alcanzada por el proyectil es de120 metros y su alcance horizontal es de 1000 metros entonces…

b) Determine la función que describe su traslación.

a) A qué distancia de la base del disparo alcanzó su altura máxima.

c) ¿Cuál es la distancia horizontal del punto de disparo al puntodonde el proyectil alcanza por primera vez una altura de 80metros? Buscamos el punto 𝑥, 80

Nota: Recuerde la función cuadrática puede reescribirsede la forma 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 − ℎ 2 + 𝑘, donde ℎ, 𝑘 es su vértice.

∴ 𝑦 = −3

6250𝑥 − 500 2 + 120

52

𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 ℎ, 𝑘 = 500,120 y contiene los puntos 0,0 𝑦 1000,0

Como su alcance es 1000 metros y ella es simétrica entonces alcanza su máximo en la mitad de su trayectoria 500 metros

y

x1000

120

80

x

80 = −3

6250𝑥 − 500 2 + 120 𝑦 𝑎𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠

𝑥 ≅ 500 ± 289∴ 𝑎𝑙𝑐𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑝𝑜𝑟 1𝑒𝑟𝑎 𝑣𝑒𝑧 80 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 ≅ 500 − 289 ≅ 211𝑚



Práctica

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Trabajar los ejercicios de la página 7-8


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Altura máxima de una cajaUna puerta en forma de arco parabólico, ver fígura, tiene 3 metrosde altura en el centro y 2 metros de ancho en la base. Una cajarectangular de 1.5 metros de ancho tiene que ser deslizada a travésde la puerta. ¿Cuál es la máxima altura que puede tener la caja?

El vértice de la parábola es 1, 3 , contiene los puntos 0,0 𝑦 2,0 abre hacia abajo ∴ 𝑓 𝑥 = −3 𝑥 − 1 2+3

Solución:

Como la caja tiene una base de 1.5m y quedadebajo del arco o vértice de la parábolaentonces los extremos de su base distan 0.25mde la base de la puerta, si queremos saber laaltura en este punto lo sustituimos en 𝑓 𝑥 .

∴ 𝑓 0.25 = −3 0.25 − 1 2 + 3

𝑓 0.25 ≅ 1.31𝑚

∴ 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑗𝑎 𝑛𝑜 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑑𝑒𝑟 𝑢𝑛𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒 1.31𝑚

1.5m

2m

3m

y



Capacidad de desagüeDe una plancha de aluminio de 6 pies de largo por 16 pulgadasde ancho, se desea construir un desagüe doblando hacia arribados lados perpendiculares a la base del desagüe, ver fígura. Si xpulgadas son dobladas hacia arriba, busque el valor de x quemaximiza la capacidad del desagüe.

Solución: En la fígura se muestran las dimensiones

𝐴 = 𝑥 16 − 2𝑥 = 16𝑥 − 2𝑥2

ℎ = −𝑏

2𝑎= −

16

2 −2= 4

∴ 𝑥 = 4 𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠, 𝑑𝑒𝑏𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑟 𝑑𝑜𝑏𝑙𝑎𝑑𝑎𝑠 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎 𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑙𝑎𝑑𝑜,así las dimensiones que maximizan su capacidad son8 𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 𝑝𝑜𝑟 4 𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑡𝑜.

x

72 pulg.

Nota: Hay que hacer conversión de unidades 55




Problemas adicionales


El producto de dos números enteros pares consecutivos es 10más 7 veces el mayor de los dos enteros. Encuentre losenteros.

Resuelva con el modelo adecuado


Dos personas se encuentran a las 8:45 a.m., la primera camina a1.5 m/s hacia el oeste y la segunda camina hacia el este a 0.5m/s, ¿a qué hora la distancia entre ellos es de 360m?



Resuelva con el modelo adecuadoÁreaLa suma de las áreas de la base en que está montada la foto y el áreade la foto es 58 pulgadas cuadradas. Halle las dimensiones de la fotosi sabemos que el largo de la base es 3 pulgadas más que su ancho yla franja que bordea la foto tiene ancho uniforme de 1 pulgada.

Solución:La suma de las áreas es 58 → 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 + 𝐴𝑓𝑜𝑡𝑜 = 58

𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝑤 𝑤 + 3

𝐴𝑓𝑜𝑡𝑜 = 𝑙𝑏𝑎𝑠𝑒 − 2 𝑤𝑏𝑎𝑠𝑒 − 2= 𝑤 + 3 − 2 𝑤 − 2 = 𝑤 + 1 𝑤 − 2

𝐴𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑤 + 1 𝑤 − 2 + 𝑤 𝑤 + 3𝑤 + 1 𝑤 − 2 + 𝑤 𝑤 + 3 = 58𝑤2 − 𝑤 − 2 + 𝑤2 + 3𝑤 = 58

2𝑤2 + 2𝑤 = 60𝑤2 + 𝑤 = 30

𝑤2 + 𝑤 − 30 = 0𝑤 + 6 𝑤 − 5 = 0

1’’

1’’

𝑙 = 𝑤 + 3

𝑤

𝑤−2

𝑤 + 1

5−2=

3′′

5 + 1 = 6′′

𝑤 = −6 ó 𝑤 = 5, descartamos el valor negativo, así 𝑤 = 5′′

Primer tren transcontinentalEn 1862 el Congreso de los EE.UU otorgó los derechos de construcción a doscompañías ferroviarias para construir las vías que unen Nebraska con California.Las vías totales hacen cerca de 1590 millas de longitud. La compañía A empezóla construcción en dirección este (a una razón de 8.75 millas de vías por mes)desde Sacramento, California en 1863. Veinticuatro meses después la compañíaB empezó a construir la vía hacia el oeste (a una razón de 20 millas de vías pormes), desde Nebraska. ¿Cuándo se terminaron las vías? ¿Cuántas millas de víasconstruyó cada compañía?


Solución:La compañía A durante los primeros 24 meses (2 años) a razón de 8.75mi pormes construyeron un total de 210 mi. La compañía B construye 20 mi por mes(m) y simultáneamente, la A a su razón de trabajo. Esto provoca la ecuación:

20𝑚 + 8.75𝑚 + 24 8.75 = 1590

28.75𝑚 + 210 = 1590

28.75𝑚 = 1380

𝑚 = 48 (4 𝑎ñ𝑜𝑠)

∴ La construcción totalde las vías duro 6 años apartir del 1863 así quefueron terminadas en el1869.

La compañía A construyó∶ 72 8.75 = 630 𝑚𝑖La compañía B construyó: 48 20 = 960 𝑚𝑖




Cuando un sube y baja está balanceado, el peso de cada personavaría en forma inversa con la distancia desde el centro de apoyo. Siuna persona que pesa 90 lb se sienta en uno de los extremos de unsube y baja de 12 pies. ¿Cuán lejos del punto de apoyo deberá estaruna persona de 120 lb para que se establezca un balance?



Distancia recorridaUna camioneta comienza un viaje a una velocidad promedio de 45 millaspor hora. Tres horas después, un automóvil empieza el mismo viaje a unavelocidad de 60 millas por hora (ver fígura)

a) Encuentre las distancias 𝑑1 𝑦 𝑑2 que cada vehículo ha recorrido cuando elautomóvil viajó un tiempo de 𝑡 horas.Dado 𝑣1 = 45 𝑚𝑝ℎ 𝑦 𝑣2 = 60 𝑚𝑝ℎ y sustituyendo en la fórmula 𝑑 = 𝑣𝑡obtenemos…

𝑑1= 45 𝑡 + 3 y 𝑑2 = 60𝑡

b) Use el resultado anterior para determinar la relación entre la distancia queha viajado el automóvil y el que ha recorrido la camioneta.

𝑑2 = 60𝑡

𝑡 =𝑑260

𝑑1 = 45 𝑡 + 3

𝑑1 = 45𝑑2

60+ 3

𝑑1 =34𝑑2 + 135

Debemos reescribir una ecuación en términos de la otra:

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PitágorasHalle tres números enteros consecutivos que satisfagan el Teoremade Pitágoras.Solución: El patrón algebraico que siguen los números enteros

consecutivos es 𝑥, 𝑥 + 1, 𝑥 + 2, 𝑥 + 3,…

Si los tres números son 𝑥, 𝑥 + 1, 𝑥 + 2, el lado mayor 𝑥 + 2 tiene querepresentar lo que en un triángulo rectangular es la hipotenusa, losotros los catetos, así…

𝑥

𝑥 + 1

𝑥 + 2 2 = 𝑥2 + 𝑥 + 1 2

𝑥2 + 4𝑥 + 4 = 𝑥2 + 𝑥2 + 2𝑥 + 1

−𝑥2 + 2𝑥 + 3 = 0

𝑥2 − 2𝑥 − 3 = 0

𝑥 − 3 𝑥 + 1 = 0

∴ 𝑥 = 3 ó 𝑥 = −1 son los posibles valores para el lado menor𝑥 = −1 se descarta por ser negativo, por lo tanto 𝑥 = 3

Al sustituir x tenemos que los otros lados del triángulo son 4 y 5. Concluimos que los tres números enteros consecutivos que satisfacen el Teorema de Pitágoras son: 3, 4 y 5.





Proyecto de construcciónEn un proyecto de construcción hay un carpintero dedicado a los techosinclinados de madera, los cuales miden 30 pies de largo en su base. La parteinclinada de cada techo se eleva 4 pulgadas por cada pie horizontal. Su tareaconsiste en colocar soportes verticales cada 16 pulgadas, lo cual lo obliga asubir la escalera, medir 16 pulgadas horizontalmente y medir la altura verticalen ese punto. Luego baja la escalera, corta el soporte y sube para colocarlo ensu lugar. El proceso se repite por cada soporte. Cómo puede determinar laslongitudes de los soportes de antemano y evitar subir y bajar.

𝑚 =4

12=

1

3& 0,0 → 𝑦 =

1

3𝑥

Solución:

Podemos determinar una ecuación lineal (para el techo) en función de xpulgadas horizontales (en múltiplos de 16)

x 16’’ 32’’ 48’’ 64’’ 80’’ …

y 163 ′′ 32

3 ′′16’’ 64

3 ′′ 803’’ …

12′′

4′′

16′′

soporte

0,0

𝑦 =1

3𝑥

Nota: cuidado con las unidades de medida.

360’’



Un estudiante de ingeniería consigue un trabajo de verano comoayudante de ingeniero. El cobra $12 por hora si trabaja menos de 40horas semanales y tiempo y medio si trabaja 40 horas o más. Sisuponemos que 𝑆 denota su ingreso total durante una semana en quetrabajo t horas…

b) Dibuje la gráfica de la función ingreso 𝑆

a) Halle la ecuación definida por intervalos 𝑆.

𝑆 = 12𝑡 𝑡 < 4018𝑡 𝑡 ≥ 40

Solución:

20 40 60

480

720

t

S


Post-prueba


Fin

Conferencia – taller solución de ecuaciones y desigualdades

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