Confiabilidad_funciones y metodos

8/20/2019 Confiabilidad_funciones y metodos

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CURSO DE CONFIABILIDAD P. REYES / DIC. 2006

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CURSO DE CONFIABILIDAD

Elaboró: Dr. Primitivo Reyes Aguilar

Diciembre de 2006


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CONTENIDO

1. Introducción a la confiabilidad

2. Distribuciones de probabilidad

3. Modelos de distribuciones de probabilidad para el tiempode falla

4. Estimación de parámetros del modelo

5. Determinación de la confiabilidad

6. Pruebas de vida aceleradas

7. Confiabilidad de sistemas

8. Mantenabilidad y disponibilidad


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1. Introducción a la confiabilidad

No es suficiente que un producto cumpla las especificaciones y criterios decalidad establecidos sino que además es necesario que tenga un buendesempeño durante su vida útil es decir que sea confiable. Esto cada vez cobra

una importancia mayor dado que cambia la tecnología, los productos son cadavez más complejos, los clientes se tornan cada vez más exigentes y lacompetencia es alta.

Confiabilidad es la probabilidad de que un componente o sistema desempeñesatisfactoriamente la función para la que fue creado durante un periodoestablecido y bajo condiciones de operación establecidos. La confiabilidad escalidad en el tiempo.

Falla de un producto sucede cuando deja de operar, funcionar o no realizasatisfactoriamente la función para la que fue creado. El tiempo de falla es eltiempo que transcurre hasta que el producto deja de funcionar.

Las razones de estudio de la confiabilidad de productos son las siguientes:

1. Determinar el tiempo tp hasta el cual se espera que falle una proporción pdada de los productos en operación. Esto es útil para determinar tiempos degarantía apropiados así como sus costos.

2. Encontrar el tiempo tp al cual se espera que sobreviva una proporción 1-pdada de los productos en operación. Es una estimación de la confiabilidad de

los productos.

3. Determinar la propensión a fallar que tienen el producto en un tiempo dado.Para comparar dos o más diseños o procesos, o lo que se publicita por unproveedor.

4. Dado que un artículo ha sobrevivido un tiempo T0, encontrar la probabilidadde que sobreviva un tiempo un tiempo t adicional. Para planear el reemplazo delos equipos.

5. Los puntos anteriores se pueden hacer de manera comparativa para

diferentes materiales, proveedores o modos de falla.

La información para los estudios de confiabilidad tienen diferentesdenominaciones: datos de tiempos de vida, datos de tiempos de falla, datos detiempo a evento, datos de degradación, etc.

Entre las características que tienen los estudios de confiabilidad se encuentranlos siguientes:

1. Los tiempos de falla son positivos con comportamiento asimétrico y sesgopositivo, por tanto las distribuciones para modelar estos tiempos de falla son la

Weibull, lognormal, exponencial y gamma, la distribución normal casi no seutiliza.


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2. Mientras que en estadística lo que interesa son los parámetros de lapoblación media y desviación estándar, en la confiabilidad lo que interesa sonlas tasas de falla, las probabilidades de falla y los cuantiles. Un cuantil es eltiempo tp hasta el cual se espera que falle una proporción p de artículos.

3. Para tener datos es necesario tener datos a través de pruebas las que enalgunas ocasiones son costosas.

4. A veces el tiempo para observar las fallas es muy largo y es necesario cortarel tiempo de prueba, dando lugar a observaciones censuradas. Normalmentese requiere extrapolar los resultados, por ejemplo al estimar la tasa de falla alas 10,000 horas con pruebas de funcionamiento durante 1,000 horas.

5. Cuando es necesario acortar el tiempo de prueba se pueden hacer pruebasde vida acelerada utilizando condiciones estresantes.

Ejemplo:

Se tomaron n = 1,000 chips probados durante 1,500 horas a una temperaturade 80ºC y se observaron 40 con falla. Al finalizar la prueba 960 chipsfuncionaban adecuadamente.

Entre las preguntas que se pueden contestar se encuentran las siguientes:

¿Cuál es la probabilidad de que fallen los chips antes de las 500 horas?¿Cuál es el riesgo de falla a las 300 horas?¿Cuál es la proporción de chips que fallarán antes de 250 horas?

Datos censurados

Censura


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Se tienen datos censurados cuando no se conocen los tiempos de falla de lasunidades de manera exacta, sino solo los intervalos de tiempo dondeocurrieron o hubieran ocurrido las fallas. Es información parcial sobre lostiempos de falla. Algunas de las fuentes de censura son las siguientes:

Tiempo fijo de terminación de la prueba Tiempos de inspección (límites superiores e inferiores en T) Modos de falla múltiples (también conocidos como riesgos en

competencia, y dando por resultado censura por la derecha),Independiente (simple) y no independiente(difícil).

TIPOS DE CENSURA

Censura por la derecha (tipo I y II): La tipo I es cuando se tienenunidades sin falla limitando el tiempo de observación o censura portiempo. Cuando se limita el tiempo hasta que fallan r unidades, se tiene

censura tipo II para las unidades sobrevivientes (n-r).

Censura por la izquierda: Ocurre cuando al inspeccionar las unidadesdespués de un periodo de tiempo se encuentra que algunas fallaron,

pero no se sabe el momento de su ocurrencia.


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Censura por intervalo cuando se inspecciona en intervalos de tiempo yse observan fallas en cierto intervalo pero no se conoce exactamente enque momento ocurrieron, se censuran los productos sobrevivientes.

Censura múltiple: Cuando en el mismo estudio se tienen diferentes tipos

de censura.

Ejemplo:

A X

B

C

D

Fig. 1 Tipos de censura: A sin censura; B Censura por la izquierda; C Censura por la derecha;D censura por intervalo.

2. Distribuciones de probabilidad

¿ ¿

¿


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Verosimilitud (probabilidad de los datos)

La Verosimilitud proporciona un método general y versátil de estimación, seprefieren las combinaciones de Modelo/Parámetros con Verosimilitud grande.Permite censura, intervalos, y datos truncados.

La forma de la verosimilitud dependerá del: propósito del estudio, modeloasumido, sistema de medición e identificación y parametrización.

La contribución por diferentes tipos de censura es como sigue:

Por ejemplo para la función de distribución:

La verosimilitud en censura por intervalo es:

Si una unidad continua operando en el tiempo T=1.0 pero ha fallado en t= 1.5,Li =F(1.5) - F(1) = 0.231

La verosimilitud de censura por la izquierda es:

Si una falla se detecta en la primera inspección a un tiempo t=0.5,


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Li = F(0.5) = .265

La verosimilitud de censura por la derecha es:

Si una unidad continua operando en la ultima inspección en el tiempo T=2.0,Li =1 - F(2) = 0.0388

Para una tabla de tiempos de vida se tiene:

Los datos son: el número de las fallas (di), censuradas por la derecha (ri), ycensuradas por la izquierda (li) en cada uno de los intervalo (no traslapadas)(ti-1, ti ], i = 1. . . m, m+1, t0 = 0. La verosimilitud (probabilidad de los datos)

para una sola observación, en (t i-1, ti ] es:

Si se supone que la censura es en ti:

Tipo de

censura Característica Numero de

casos

Verosimilitud de

los datos L(i)

Izquierda de

ti

T > ti li [F(ti)]li

Intervalo ti-1 < T < ti di [F(ti)-F(ti-1)]di

Derecha de ti T>ti r i [1-F(ti)]ri

Tipo de

censura Característica Numero de

casos

Verosimilitud de

los datos L(i)

Izquierda de

ti

T > ti li [F(ti)]li

Intervalo ti-1 < T < ti di [F(ti)-F(ti-1)]di

Derecha de ti T>ti r i [1-F(ti)]ri

Tipo de

censura

Tipo de

censura CaracterísticaCaracterística Numero de

casos

Numero de

casos

Verosimilitud de

los datos L(i)Verosimilitud de

los datos L(i)

Izquierda de

ti

Izquierda de

ti

T > tiT > ti lili [F(ti)]li[F(ti)]li

IntervaloIntervalo ti-1 < T < titi-1 < T < ti didi [F(ti)-F(ti-1)]di[F(ti)-F(ti-1)]di

Derecha de tiDerecha de ti T>tiT>ti r ir i [1-F(ti)]ri[1-F(ti)]ri


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Análisis no paramétrico de los tiempos de falla

Para la estimación no paramétrica de F(ti) con base en la teoría binomial paradatos con censura simple de intervalo se tiene:

Con los datos:

n = tamaño de muestraDi = # de fallas en el iesimo intervaloDe la distribución binomial se tiene:

Por ejemplo si en una muestra de n = 100, en el primer intervalo se obtienend1 = 2 fallas, en el segundo periodo se obtienen d2 = 2 fallas y en el periodo

d3 = 2 fallas, entonces:

está definida sólo al final del intervalo

)3(

ˆ

,103)2(

ˆ

,1001)1(

ˆ

F F


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Es el estimador de máxima verosimilitud de F(t).

El incremento en a cada valor de ti es

El nivel de confianza expresa la confianza (no probabilidad) de que un intervaloespecífico contiene la cantidad de interés.

La probabilidad de cobertura es la probabilidad de que el procedimiento darálugar a un intervalo que contiene la cantidad de interés. Un intervalo deconfianza es aproximado si el nivel especificado de la confianza no es igual a laprobabilidad real de la cobertura.

Con datos censurados la mayoría de los intervalos de confianza sonaproximados, para mejorar las aproximaciones se requieren más cálculos.

El intervalo de confianza de F(ti) con base en la distribución binomial es:

Donde y es el cuantil 100(1-/2) de

la distribución F con (1, 2) grados de libertad.

Usando la aproximación normal del intervalo de confianza para F(ti), el intervalo

aproximado del cuantil 100(1-) en % para F(ti) esta dado por:

Es el cuantil 100(1-/2) de la distribución normal estándar.

Es una estimación de la desviación

estándar de

Del ejemplo para un nivel de confianza del 95% se tiene:


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Cuando el número de inspecciones se incrementa, el ancho del intervalo (ti-1,ti) tiende a cero y los tiempos de falla son exactos.

F(t) está definido para todo t en el intervalo (0, tc ] donde tc es el tiempo decensura F(t) es el estimador de mv de F(t). La estimación es una funciónescalonada con un paso del tamaño 1/n en cada tiempo de falla, algunasveces es múltiplo de 1/n porque hay tiempos de falla similares. Cuando no haycensura, el F(t) es el fda empírico bien conocido.

Para la estimación no paramétrica de F(ti) con base en datos por intervalo ycensura múltiple por la derecha se tiene:

n=tamaño de muestradi = numero de fallas en el intervalo i

ni = conjunto bajo riesgo al tiempo t-1ri = numero de observaciones censuradas al tiempo ti

En el límite, si el numero de intervalos aumenta, el ancho del intervalo tiende a0 y obtenemos el estimador Kaplan Maier o producto limite. Las fallas seconcentran en intervalos con ancho de intervalo infinitesimal. El estimador seráconstante sobre todos los intervalos que no tienen fallas. La función cambiacuando existe alguna falla,


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Función de densidad de probabilidad

La función de densidad f(t) es continua si cumple para f(t) >= 0 el área bajo lacurva es igual a 1, en confiabilidad el intervalo es de cero a infinito o sea:

1)( dt t f

Para el caso de la distribución exponencial se tiene que:

0;)( t et f t

Función de distribución acumulada

Esta función se define como la integral de la función de densidad desde cerohasta el tiempo t y representa la probabilidad de fallar antes del tiempo t

(P(t) t), es decir:

t

dx x f t F t T P 0

1)()()(

Para el caso de la distribución exponencial se tiene:

t

t t x x t eedxet F t T P 0

0 0,1)()(

Función de confiabilidad

Es una función decreciente denominada también función de supervivencia es laprobabilidad de sobrevivir hasta el tiempo t, se representa como:

R(t)= 1 – F(t)

Para el caso de la función exponencial es:

t et R )(

f(t) 1 F(t) 1 R(t)

0 tiempo 0 tiempo 0 tiempo


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Fig.2 Función de densidad Función de distribución Función de Acumulada confiabilidad

Función de riesgo / Tasa de riesgo / Tasa instantánea de riesgo

Se define como:

)(

)()(

t R

t f t h

Es el resultado del siguiente límite:

)(lim)(

0

t T T T t P t h

Representa la probabilidad de falla instantánea en el tiempo t + t dado que launidad ya sobrevivió hasta el tiempo t.

Vida útil de un producto

La vida útil de un producto se puede representar por una curva de la bañera,como sigue:

f(t)

tiempoMortalidad Vida útil o fallas EnvejecimientoInfantil o aleatorias o fallas por desgasteFallas tempranas

Fig. 3 La curva de la bañera con el ciclo de vida de un producto

La mortalidad infantil representa las fallas debidas a problemas dediseño o ensamble con tasa de falla decreciente respecto al tiempo.Normalmente se hace un quemado a las unidades durante un tiemporazonable para eliminar este tipo de fallas al usuario del producto.

La zona de fallas aleatorias representa una tasa de falla constanterespecto al tiempo.


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La zona de desgaste o envejecimiento representa la zona de tasa defalla creciente cuando el componente está llegando a su vida útil.

Función de riesgo acumulado

Es la integral hasta el tiempo t de la función de riesgo como sigue:

t

dx xht H 0

1)()(

Por medio de esta función también se puede calcular la confiabilidad comosigue:

)()( t H et R

Vida promedio o tiempo medio entre falla (MTBF)

La vida media es el valor esperado o media de la variable T como sigue:

t

dt t tf t E 0

)()(

La vida media para el caso de la distribución exponencial es:

Por tanto para la distribución exponencial la vida media es la inversa de la tasade riesgo.

Función cuantil

El cuant i l p es el tiempo tp al cual falla una porción de las unidades. Se defineen términos de la distribución acumulada como:

)(1 p F t p

La función F-1(p) es la función inversa de F(t). En el caso exponencial resultade despejar t como sigue:

)1ln(1

))(1ln(1

)(1 pt F p F t p

Ejemplo:

Se someten 20 componentes a una prueba de vida y las horas transcurridashasta la falla fueron las siguientes:


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Unidad Horas1 3.70

2 3.75

3 12.18

4 28.555 29.376 31.61

7 36.78

8 51.14

9 108.71

10 125.2111 125.35

12 131.76

13 158.61

14 172.9615 177.12

16 185.37

17 212.98

18 280.40

19 351.2820 441.79

Si las horas de falla siguen la distribución exponencial, estimar las funciones dedensidad de probabilidad, función de distribución acumulada, función deconfiabilidad y función de riesgo.

Como no hay censura la media concuerda con las media de las observacioneso sea 133.43.

La función de densidad es:

t

et f 43.1331

43.133

1)(

La función de distribución acumulada es la siguiente:

t

et F 43.1331

1)(

La probabilidad de que los componentes fallen antes de las 20 horas es:

F(20) = 0.139

La función de confiabilidad es la siguiente:

t

et R 43.1331

)(


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Y la función de riesgo es:

43.133

1)( t h

3. Modelos (distribuciones de probabilidad) para eltiempo de falla

Los modelos que se utilizan para el tiempo de falla son: Weibull, Valor extremo,exponencial, normal y lognormal. Aquí se mostrarán sus funciones de densidadf(t), distribución acumulada F(t), función de confiabilidad R(t) y función o tasade riesgo h(t). También se incluyen la vida media y la función cuantil de cadadistribución.

Distribución exponencial de un parámetro

Modelo de confiabilidad para tasa de riesgo constante, de componentes demuy larga vida y alta calidad que “no envejecen” durante su vida útil. Se diceque esta distribución tiene falta de memoria ya que no importa el tiempo quehaya transcurrido, su probabilidad de falla es la misma que cuando estabanuevo. Es muy aplicable a componentes electrónicos ya que no exhibendesgaste o mejora en el tiempo (por ejemplo los transistores, los resistores, loscircuitos integrados y los condensadores). No es aplicable a componentes condesgaste como las balatas o baterías cuya tasa de falla se incrementa con el

tiempo.

Sus funciones básicas son:

)(,)(,1)(,)( t het Ret F et f t t t

La función cuantil y la vida media son:

/1)(),1ln()/1( T E pt p

En función de la media se tiene (MTBF = ):

1

exp1

t h

T E

t t f

T


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f(t) 1 F(t) 1 R(t)

0 tiempo 0 tiempo 0 tiempo

Fig.4 Función de densidad Función de distribución Función de Acumulada confiabilidad

.008

Función de riesgo

El efecto de la tasa de falla en la pdf es:


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Distribución exponencial de dos parámetros

Para:

• Donde > 0 es un parámetro de escala y es un parámetro

localización y frontera. Cuando = 0 se tiene la distribución exponencialde un parámetro.

Los cuantiles son:

Tp = - log (1-p)

Los Momentos son.


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Distribución Weibull de dos parámetros

Es una distribución flexible donde su tasa de falla puede ser decreciente,constante o creciente dependiendo de sus parámetros. Normalmente se define

con dos parámetros: el de forma que tiene efecto sobre la forma de la

distribución y el de escala que afecta la escala del tiempo de vida.

La teoría de valores extremos demuestra que la distribución de Weibull sepuede utilizar para modelar el mínimo de una gran cantidad de variablesaleatorias positivas independientes de cierta distribución: tales como falla de unsistema con una gran cantidad de componentes en serie y con los mecanismosde falla aproximadamente independientes en cada componente.

Sus funciones básicas son:

t

et t f

1

)( Distribución de densidad

t

et F 1)( Distribución acumulada

t

et R )( Función de confiabilidad

1

)(

t t h Función de riesgo

La vida media y la función cuantil son las siguientes:

)/11()( T E

/1)1ln( pt p

La función gamma se define como:

0

1)( dt et x t x Generalización del factorial de un número

)1()1()( x x x Para cualquier número

)!1()( nn Para números enteros


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=0.5 =1 =21

TiempoFigura 5. Funciones de densidad Funciones de riesgo

En general cuando el para valores de beta 0


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Esta distribución se aplica a productos con varios componentes de vida similar,donde cuando falla un componente falla el producto.


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Distribución Weibull de tres parámetros

En ocasiones las fallas no empiezan a observarse desde el tiempo cero sino

hasta después de un periodo , es decir hasta después de este tiempo laprobabilidad de falla es mayor a cero. Para esto se introduce en la distribución

un parámetro de localización que recorre el inicio de la distribución a laderecha, quedando las funciones de densidad, de distribución, de confiabilidad

y de riesgo para la distribución de Weibull (, , ) como sigue:

t

et

t f

1

)( Distribución de densidad

t

et F 1)( Distribución acumulada

t

et R )( Función de confiabilidad

1

)(

t t h Función de riesgo

Donde t>=


)/11()( T E

/1)1ln( pt p

En el caso de =1 se tiene la distribución exponencial.


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Ejemplo:

Sea la función de riesgo de Weibull dada por:

5.0)1000/)(1000/5.0()( t t h t se expresa en años

Si se implementa un periodo de quemado (burn-in) de 6 meses (t b=0.5), a quetiempo las unidades sobrevivientes tendrán una confiabilidad de 90%.

De la función de riesgo, el parámetro de forma =0.5 y el parámetro de escalaes =1000.

Sustituyendo estos valores en la función de confiabilidad de Weibull se tiene:

5.0

10009.0)(

t

et R

1.11)90.0ln(1000 2 t

A seis meses la confiabilidad de las unidades sobrevivientes estará dada por laprobabilidad condicional siguiente:


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5.0

5.0

)1000/)5.0(exp

)1000/)5.0((exp

)(

)(90.0)(

t

t R

t t Rt t t C

b

bb

Igualando a 90% y despejando para t se obtiene t = 15 años, es decir elperiodo de quemado eliminaría unidades débiles que fallarían pronto y lasunidades sobrevivientes tienen mayor confiabilidad.

Distribución Valor extremo para mínimos

Se utiliza para describir la vida de productos cuya duraci´´on está determinadapor la vida mínima de sus componentes:

t t

t f expexp

1

)( Función de densidad

t t F expexp1)( Función de distribución

t t R expexp)( Función de confiabilidad

t

t h exp

1

)( Función de riesgo


5772.0)( T E 0.5772 constante de Euler

)1ln(ln pt p

=1 =2 =3

1


La distribución Valor extremo se relaciona con la distribución Weibull donde si

la variable T sigue una distribución Weibull (, ), su logartimao ln(T) sigue una


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distribución valor extremo con parámetros de escala =1/ y parámetro de

localización =ln().

Para:

Donde

Son fdp y fda para una normal estándar es el parámetro de localización y es el parámetro de escala.

Los cuantiles son:

Donde es el cuantil p de una normal estándar.

Los Momentos son:


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Distribución de los valores extremos máximos

Para

Donde:

Son fdp y fda para una distribución

es el parámetro de localización y es el parámetro de escala.

Los cuantiles son:

La media y la varianza son las siguientes:


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Distribución normal

No es muy utilizada en confiabilidad dado su comportamiento simétrico, elcomportamiento del tiempo de vida es asimétrico, sin embargo es un modeloadecuado cuando muchos componentes tienen un efecto aditivo en la falla del

producto. Aquí es el parámetro de localización y es el parámetro deescala.

Sus funciones básicas de densidad, distribución y confiabilidad son lassiguientes:

2

2

1

2

1)(

t

et f Función de densidad

t

dx x f t F

t

)()( Función de distribución

t dx x f t R

t

1)(1)( Función de confiabilidad

La vida media y la función cuantil estan dadas por:

)(T E

)(1 pt p

Donde -1 es la función inversa de la distribución normal estándar acumulada.

=1 =2 =31


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Distribución lognormal

Esta distribución es apropiada cuando los tiempos de falla son el resultado demuchos efectos pequeños que actúan de manera multiplicativa. Esto hace queal sacar el logaritmo de dichos efectos actúen como de manera aditiva sobre el

logaritmo del efecto global o logaritmo del tiempo de falla, se aplica a procesosde degradación por ejemplo de fatiga de metales y de aislantes eléctricos.

La distribución lognormal es un modelo común para los tiempos de la falla, se justifica para una variable aleatoria obtenida como el producto de un númerovariables aleatorias positivas, independientes e idénticamente distribuidas. Sese puede aplicar como modelo de el tiempo de falla causado por un proceso dedegradación con tazas aleatorias que se combinan multiplicativamente.

La distribución lognormal se relaciona con la normal ya que si T sigue unadistribución lognormal, su logaritmo sigue una distribución normal. O si T tiene

una distribución normal, Y=exp(T) sigue una distribución lognormal.

Sus funciones básicas son las siguientes:

2)ln(

2

1

2

11)(

t

et

t f Función de densidad

)ln(

)()( t dx x f t F

t

Función de distribución

)ln(1)(1)(

t dx x f t R

t

Función de confiabilidad

La vida media y la función cuantil estan dadas por:

)2/exp()( 2 T E

)(exp(1

pt p


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Donde el cuantil para la distribución normal es

La media y el cuantil es:


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Distribución logística

Para:

es el parámetro de localización y > 0 es el parámetro de escala

Donde y son fdp y fda para una logistica estandarizada dada por:

Los cuantiles son:

Con

es el p esimo cuantil para una distribución logística estándar.

La media y la varianza son:


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Ejemplos:

Distribución Loglogística

Si entonces

Con:

Donde y son fdp y fda para una logistica estándar . Exp() es el

parámetro de localización y > 0 es el parámetro de escala.

La media para sigma > 1 es:

Y para sigma < ½ es:


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4. Estimación de parámetros del modelo

Los modelos paramétricos complementan a las técnicas no paramétricas. Losmodelos paramétricos se pueden describir con precisión con apenas algunosparámetros, en vez de tener que reportar una curva entera.

Es posible utilizar un modelo paramétrico para extrapolar (en tiempo) a la colainferior a o superior de una distribución. En la práctica a menudo es útilcomparar varios análisis paramétricos y no paramétricos de un conjunto dedatos.

Funciones de los parámetros

Función de distribución acumulativa

El p cuantil es el valor mas pequeño de tp tal que

La función de Riesgo

El tiempo medio de falla, MTTF, de T (también conocida como esperanza deT).

Si esta integral no converge, se dice que la media no existe.

La varianza (o el segundo momento central) de T y la desviación estándar son:

El coeficiente de variación es:


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Distribuciones con parámetros de localización y escala

Para las distribuciones de esta familia su fda se puede expresar como.

Dónde - < µ < >0 es un parámetrode escala.

es la fda de Y cuando µ = 0 y = 1 y no depende de ningún parámetro

desconocido. Como en la distribución de Z = (Y- µ ) / que no depende deningún parámetro desconocido.

Las distribuciones estadísticas de esta clase de distribuciones son lassiguientes: distribuciones exponenciales, normales, Weibull, lognormal,

loglogistica, logísticas, y de valor extremos. Su teoría es relativamente simple.

Resumen de modelos de confiabilidad

En la tabla siguiente se relaciona la distribución de los tiempos de falla T con:1) Las transformaciones idóneas para Tp , y2) Las distribuciones que siguen los residuos.


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Especificación de la distribución de vida y estimación gráfica de susparámetros

Un primer paso en un estudio de confiabilidad es identificar la distribución quemejor modela los tiempos de falla (o vida) de los productos.

Linearización de la función de distribución acumulada (fda)

Esto es necesario para determinar la confiabilidad usando papel deprobailidadde Weibull:

Para el caso de la distribución exponencial se tiene:

t

et F

1)(

Se deduce que:

)(1 t F e

t

t t F )(1ln

Es la ecuación de la recta y = ax con y = -ln(1-F(t)) y x = t. La pendiente de la

recta es 1/. Por tanto se pueden graficar los pares ordenados (t(i), -ln(1-

F^(t(i))) con F^(t(i)) = (i-0.5)/n, en papel ordinario o graficar en papelexponencial los pares (t(i), (i-0.5)/n).

Exponencial

t exp1

)(

)( )1log( i

i

t p

Para el caso de Weibull dela función cuantil:

/1)1ln( pt p

Tomado logaritmos naturales de ambos lados y sustituyendo p por F(ft) (es lomismo), se obtiene:

)(1ln(ln1

)ln()ln( t F t

Reacomodando la ecuación queda como:

)ln()ln()(1ln(ln t t F

Ecuación de la foirma y = ax + b, con y = ln (-ln(1-F(t)), a = - ln() y x = ln(t).


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Se puede graficar en papel ordinario (ln(t(i), ln (-ln(1-F(t)), o graficar en papellogarítmico de Weibull (t(i), (i-0.5)/n).

Ejemplo:

Se prueban seis unidades similares en un estudio de confiabilidad, las cualespresentaron fallas como sigue:

Tiempo defalla (Hrs.)

Orden defallas, i

Posición en gráfica(i-0.5)/6

16 1 0.083

34 2 0.25053 3 0.416

75 4 0.583

93 5 0.750

120 6 0.916

Utilizando Minitab con las siguientes instrucciones:

1. Stat > Reliability / Survival > Distribution analysis (Right sensoring) >Parametric distribution analysis

2. Variables t; Assumed distribution Weibull

3. OK

Los resultados son los siguientes:

Distribution Analysis: tVariable: t

Censoring Information Count

Uncensored value 6

Estimation Method: Least Squares (failure time(X) on rank(Y))

Distribution: Weibull

Parameter Estimates

Standard 95.0% Normal CI

Parameter Estimate Error Lower Upper

Shape 1.43966 0.770081 0.504604 4.10744

Scale 76.1096 23.0668 42.0206 137.853

Log-Likelihood = -29.977

Goodness-of-Fit

Anderson-Darling (adjusted) = 1.980

Correlation Coefficient = 0.996

Characteristics of Distribution


Estimate Error Lower Upper

Mean(MTTF) 69.0792 21.6192 37.4070 127.568

Standard Deviation 48.7161 31.6088 13.6579 173.765

Median 59.0032 19.5515 30.8190 112.962

First Quartile(Q1) 32.0329 17.6650 10.8690 94.4070

Third Quartile(Q3) 95.4934 31.2532 50.2794 181.366Interquartile Range(IQR) 63.4604 32.7893 23.0514 174.707


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Table of Percentiles


Percent Percentile Error Lower Upper

1 3.11703 5.40393 0.104239 93.2077

2 5.06250 7.48720 0.278920 91.8864

3 6.73318 8.95519 0.496722 91.2696

4 8.25196 10.1030 0.748881 90.9288

5 9.67027 11.0465 1.03062 90.73616 11.0159 11.8452 1.33886 90.6365

7 12.3060 12.5347 1.67146 90.6017

8 13.5521 13.1381 2.02681 90.6153

9 14.7626 13.6715 2.40367 90.6672

10 15.9435 14.1466 2.80105 90.7505

20 26.8511 16.9820 7.77351 92.7483

30 37.1916 18.1019 14.3268 96.5476

40 47.7313 18.6733 22.1717 102.756

50 59.0032 19.5515 30.8190 112.962

60 71.6255 21.8154 39.4287 130.114

70 86.5837 26.9542 47.0382 159.376

80 105.925 37.2835 53.1361 211.156

90 135.843 59.0936 57.9098 318.656

91 140.131 62.6511 58.3405 336.587

92 144.857 66.6766 58.7677 357.060

93 150.135 71.2939 59.1935 380.792

94 156.128 76.6846 59.6209 408.847

95 163.088 83.1306 60.0537 442.898

96 171.433 91.1043 60.4981 485.788

97 181.936 101.493 60.9642 542.951

98 196.302 116.288 61.4723 626.862

99 219.854 141.853 62.0763 778.651

t

P e r c e n

t

1000.0100.010.01.00.1

99

90

8070605040

30

20

10

5

3

2

1

Table of Statistics

Median 59.0032

IQ R 63.4604

Failure 6

C ensor 0

A D* 1.980

Shape

Correlation 0.996

1.43966

S cale 76.1096

M ean 69.0792

S tD ev 48. 7161

Probability Plot for t

Complete Data - LSXY Estimates

Weibull - 95% CI

La confiabilidad a las 15 horas por medio de la distribución de Weibull es:

> Estimate Estimate survival probabilities for these times (values) 15

Table of Survival Probabilities

95.0% Normal CITime Probability Lower Upper

15 0.908008 0.276139 0.992789


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Por cálculo manual se tiene con Shape 1.43966 y Scale 76.1096:

9080.0)15(

43966.1

1096.76

15

e R

Por tanto el 90.8% de los componentes duran más de 15 horas.

Estimador de Kaplan Meyer

Si se consideran los datos censurados por la derecha, para graficar en papelde probabilidad, se utilizan las posiciones estimadas por Kaplan Meyer (KM) dela función de confiabilidad definido como:

)()(

)2(

)2(

)1(

)1(

)(

1.....11)(in

i f

n

f

n

f

i

xt R

Donde f(j) son las unidades que fallan en el j-ésimo intervalo de tiempo (ti-1, ti)y n(j) son las unidades en riesgo justo antes del tiempo j. Las unidades enreisgo son iguales al total de unidades menos las que han fallado hasta antesde ese tiempo, menos las que fueron censuradas hasta ese tiempo, es decir.

1

0

1

0

)()(

i

j

j

i

j

j j r f nn

Donde rj denota el número de unidades que fueron censuradas en el tiempo tj,y además f(0) = 0 y r(0) = 0.

El estimador de Kaplan Meyer toma en cuenta la censura contando lasunidades en riesgo un instante antes del tiempo j.

Ejemplo:

t(i) Fallas f(j) Posición en gráfica(i-0.5)/6

16 1 0.08334 2 0.250

53 3 0.41675 4 0.583

93 5 0.750120 6 0.916

De aquí siguen las lienalizaciones

Estimación por mínimos cuadrados


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Es un método para estimar los parámetros de las distribuciones de probabilidadque se basa en ajustar un modelo de regresión lineal simple a los datos,graficados en el papel de probabilidad correspondiente.

Las ecuaciones linealizadas para las distribuciones de probabilidad

acumuladas son las siguientes:

Distribución fda, F(t) fda en forma de y = a + bx

Exponencial

t exp1

)(

)( )1log( i

i

t p

Weibull

t exp1 )log()log(1log(log )()( ii t p

Valor extremo

t expexp1

)()( )1log(log

i

i

t p

Normal

t

)()(

1 )( i

i

t p

Lognormal

)log(t

)log()(

)(

)(

1 i

i

t p

En las ecuaciones de la última columna se aprecian la pendiente de la recta yla ordenada al origen.

Por ejemplo para la distribución exponencial, se hace una regresión simpleentre las parejas de coordenadas (t(i), ln(1-P(i)) para i = 1, 2, ……, n.

La pendiente de la recta es un estimador del parámetro 1/.

Por ejemplo para los datos anteriores se tiene:

Tiempo defalla (Hrs.)

Orden defallas, i

Posición en gráficaP(i) = (i-0.5)/6

Ln(1-P(i))

16 1 0.083 -0.08664781

34 2 0.250 -0.2876820753 3 0.416 -0.5378543

75 4 0.583 -0.87466906

93 5 0.750 -1.38629436

120 6 0.916 -2.47693848


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47/85


Página 47

Log(t(i)

l o g

( -

l o g

( 1

- P

( i ) )

5.04.54.03.53.0

1.0

0.5

0.0

-0.5

-1.0

-1.5

-2.0

-2.5

S 0.108555

R-Sq 99.3%

R-Sq(adj) 99.2%

Fitted Line Plotlog(-log(1-P(i)) = - 6.955 + 1.611 Log(t(i)

Y la pendiente b estima a y se obtiene con exp(-a/b).

Por tanto = 1.611 y = 74.978 similar al obtenido arriba.

Máxima verosimilitud

Es un método para estimar los parámetros del modelo que provee losestimadores que maximizan la probabilidad de haber observado los datos bajotal modelo.

Es más recomendado para estimar los parámetros del modelo, consiste enmaximizar la función de verosimilitud.

Con los datos se desea estimar el valor del parámetro . Los datos son unevento E en el espacio muestral del modelo y la probabilidad de E será función

de los valores desconocidos de los parámetros del modelo, P(E;). El

estimador de máxima verosimilitud (emv) de es el valor de que maximiza

P(E;), y se denota por ^. La función de verisimilitud L() se define como laprobabilidad conjunta de los datos:

);()( E cP L c es una constante que no depende de .

Para el caso de una variable aleatoria discreta como P(T=ti) la da la función deprobabilidad P(T=ti), la función de verosimilitud estará dada por:

),();(),( ii t f t T P t L Por ejemplo para el caso de la distribución binomial se tiene:


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Página 48

xn x p p x

n p x f x p L

)1();();(

Donde x es el número de éxitos observados, p es la probailidad. Por lo quedado x, L(p) toma distintos valores en función de p. El valor de p que maximiceL(p) es el (evm).

Para el caso de una variable continua, si se tienen n observaciones nocensuradas e independientes: t1, t2, t3,…., tn, la informac ión que paortan esos

datos sobre lo proporciona la función de verosimilitud dada por:

n

iit f cdatos L

1

; )();(

Los estimadores de máxima verosimilitud son los valores de los parámetrosque maximizan la función L(), que maximizan la probabilidad de ahaberobservado esos datos bajo el modelo propuesto.

Para el caso de una observación censurada por la derecha, el artículo no habíafallado al tiempo t, o sea T > t, por lo tanto la verosimilitud de este evento esproporcional a la probabilidad del mismo, es decir:

);();();( t Rt T P t T L Función de confiabilidad

Para el caso de una observación censurada por la izquierda, lo que se sabe esque T < t, por tanto la verosimilitud de este evento es proporcional a laprobabilidad del mismo;

);();();( t F t T P t T L Función de distribución acumulada

Para el caso de censura por intervalo, o por resolución baja del instrumento, se

sabe que el evento ocurrió entre: ii t T t 1 y su verosimilitud está dada por:

ti

t

iiii t F t F dt t f t t t P L1

11 )()();()()(

Si se tienen cuatro datos: uno completo ti, uno censurado por la derecha tder,otro por la izquierda tizq y el último por intervalo (tbajo, talto), la función deverosimilitud para el modelo es:

);();();();();();( bajoaltoizqder i t F t F xt xF t xC t f datos L

En general la maximización de esta función para obtener los estimadores demáxima verosimilitud para algunos de los modelos se hace por cálculodiferencial (derivando e igualando a cero). Para el caso exponencial con

parámetro , considerando n tiempos de falla exactos,


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i

i t

n

n

i

t

eedatos L

1

1

11);(

Maximizar esta función equivale a maximizar su logaritmo dado por:

n

i

it ndatos L1

1)ln();(ln

Derivando respecto a e igualando a cero se tiene:

01))(ln(

12

n

i

it n

d

Ld

Despejando para obtener el estimados de máxima verosimilitud se tiene:

n

i

it 1

Varios tipos de falla

Las unidades de prueba de un estudio de confiabilidad pueden fallar dediversas maneras, no solo del tipo de falla que más interesa en un momentodado. Si los modos de falla son independientes, cada uno debe analizarse porseparado, para lo cual las otras unidades que fallaron debido a otros modos defalla se toman como censuradas. Si Ri(t) es la función de confiabilidad para el

modo de falla i, entonces la confiabilidad global del producto al tiempo tconsiuderando los k modos de falla del producto es:

)(.......)()()( 21 t xR xt xRt Rt R k g

O sea que para sobrevivir al tiempo t se debe sobrevivir a todos los modos defalla.

Ejemplo : Vida de conexiones con do s modos d e fal la

Los datos de la tabal siguiente son esfuerzos de ruptura de 20 conexiones dealambre, con un extremo soldado sobre un semiconductor y el otro al posteTerminal. Cada falla consiste en la ruptura del alambre (modo de falla 1 = A) ode una soldadura (modo de falla 2 = S). En este caso el esfuerzo hace lasveces de tiempo de falla:

Esfuerzo Modo defalla

550 S

750 A

950 S

950 A


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Página 50

1150 A

1150 S

1150 S

1150 A

1150 A1250 S

1250 S

1350 A

1450 S

1450 S

1450 A

1550 S

1550 A

1550 A1850 A

2050 S

Interesa estudiar la distribución del esfuerzo de las conexiones, considerandoque se requiere que menos del 1% debe tener un esfuerzo menor a 500 mg. Osea que al menos el 99% de las conexiones resista un esfuerzo de mayor a500 mg. Se desea estimar el esfuerzo que resultaría de eliminar uno de losmodos de falla.

Primero se hace un análisis sin distinguir los modos de falla, identificando ladistribución que ajuste a los datos:

Con Minitab:

1. Stat > Reliability / Survival > Distribution analysis (right censoring) >Distribution ID Plot

2. En Variables Esfuerzo Use all distributions (Weibull, Lognormal, Exponential,Normal)

3. Options > Estimation Maximum likelihood

4. OK


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Página 51

Esfuerzo

P e r c e n

t

20001000500

90

50

10

1

Esfuerzo

P e r c e n

t

20001000

99

90

50

10

1

Esfuerzo

P e

r c e n

t

10000100010010

90

50

10

1

Esfuerzo

P e

r c e n

t

200015001000500

99

90

50

10

1

A nderson-Darling (adj)

Weibull

1.011

Lognormal

1.123

Exponential

5.561

Normal

0.970

Probability Plot for EsfuerzoML Estimates-Complete Data

Weibull Lognormal

Exponential Normal

3. Options > Estimation Least squares

Esfuerzo

P e r c e n

t

20001000500

90

50

10

1

Esfuerzo

P e r c e n

t

20001000

99

90

50

10

1

Esfuerzo

P e r c e n

t

10000100010010

90

50

10

1

Esfuerzo

P e r c e n

t

200015001000500

99

90

50

10

1

C orrelation Coefficient

Weibull

0.981

Lognormal

0.958

Exponential

*

Normal

0.981

Probability Plot for EsfuerzoLSXY Estimates-Complete Data

Weibull Lognormal

Exponential Normal

Se puede observar que la distribución normal y la de Weibull dan un ajusteparecido y los datos parecen provenir de una misma población donde las fallasse presentan por la “liga más débil” que favorece al modelo Weibull donde .

Determinado los parámetros de la distribución Weibull por medio de Minitab:


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1. Stat > Reliability / Survival > Distribution analysis (right censoring) >Distribution Overview Plot

2. En Variables Esfuerzo Parametric analysis - distribution Weibull


4. OK

Esfuerzo

P D F

200015001000500

0.0012

0.0008

0.0004

0.0000

Esfuerzo

P e r c e

n t

20001000500

90

50

10

1

Esfuerzo

P e r c e n

t

200015001000500

100

50

0

Esfuerzo

R a

t e

200015001000500

0.0075

0.0050

0.0025

0.0000

Table of S tatistics

Median 1291.59

IQ R 503.809

Failure 20

C ensor 0

A D* 0.998

Shape

Correlation 0.981

3.96368

S cale 1416.71

M ean 1283.45

S tDev 363.046

Probability D ensity Function

Surv iv al F unction Hazard Function

Distribution Overview Plot for EsfuerzoLSXY Estimates-Complete Data

Weibull

Se obtiene una distribución Weibull con parámetro de forma o aspecto Beta =3.96368 y parámetro de escala Etha = 1416.71.

5. Determinación de la confiabilidad

Haciendo un análisis de confiabilidad considerando los dos tipos de falla setiene:

Instrucciones de Minitab:;

1. Stat > Reliability / Survival > Distribution analysis (right censoring) >Parametric Distribution Analysis

2. En Variables Esfuerzo Assumed distribution - Weibull



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4. OK

Los resultados se muestran a continuación:

Esfuerzo

P e r c e n

t

2 0 0 0

1 5 0 0

1 0 0 0 9 0

0 8 0 0

7 0 0

6 0 0

5 0 0

4 0 0

3 0 0

99

90

8070605040

30

20

10

5

3

2

1


Median 1291.59

IQ R 503.809

Failure 20

C ensor 0

A D* 0.998

Shape

Correlation 0.981

3.96368

S cale 1416.71

M ean 1283.45

S tDev 363.046

Probability Plot for Esfuerzo


Weibull - 95% CI

Estimado la confiabilidad para 500 mg. Se tiene:

3ª. Estimate > Estimate survival probailities for these times 500 OK

Distribution Analysis: Esfuerzo

Variable: Esfuerzo


Uncensored value 20



Parameter Estimates



Shape 3.96368 0.708783 2.79182 5.62743

Scale 1416.71 84.2759 1260.80 1591.91


Goodness-of-Fit




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Mean(MTTF) 1283.45 80.9684 1134.17 1452.37


Median 1291.59 85.3243 1134.73 1470.13First Quartile(Q1) 1034.60 95.8025 862.880 1240.48

Third Quartile(Q3) 1538.40 87.8896 1375.44 1720.68

Interquartile Range(IQR) 503.809 77.9169 372.069 682.196




1 443.865 102.702 282.032 698.558

2 529.362 106.405 356.990 784.963

3 587.135 107.635 409.915 840.973

4 632.155 107.983 452.296 883.535

5 669.641 107.910 488.287 918.353

6 702.091 107.604 519.920 948.091

7 730.908 107.159 548.361 974.223

8 756.969 106.628 574.349 997.655

9 780.860 106.042 598.382 1018.98

10 802.995 105.420 620.818 1038.63

20 970.366 98.8486 794.742 1184.80

30 1092.26 93.0318 924.324 1290.70

40 1195.86 88.4357 1034.51 1382.39

50 1291.59 85.3243 1134.73 1470.13

60 1385.81 84.1349 1230.34 1560.92

70 1484.64 85.6630 1325.89 1662.40

80 1597.44 91.5272 1427.75 1787.29

90 1748.50 106.332 1552.03 1969.84

91 1768.35 108.820 1567.43 1995.03

92 1789.78 111.634 1583.83 2022.5293 1813.20 114.856 1601.50 2052.88

94 1839.16 118.600 1620.80 2086.94

95 1868.53 123.044 1642.28 2125.94

96 1902.70 128.478 1666.84 2171.94

97 1944.24 135.440 1696.11 2228.68

98 1998.66 145.109 1733.56 2304.30

99 2082.63 161.124 1789.61 2423.63


95.0% Normal CI

Time Probability Lower Upper

500 0.984016 0.920465 0.996872

Y el porcentaje de falla será 100 – 98.40 = 1.6% que es mayor al objetivo del1%, por lo que se tratará de eliminar uno de los modos de falla.

Obteniendo el análisis separado por modo de falla se tiene:

Instrucciones de Minitab:;

1. Stat > Reliability / Survival > Distribution analysis (right censoring) >Parametric Distribution Analysis


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2. En Variables Esfuerzo By Variable Modo de falla Assumed distribution -Weibull


4. OK

Los resultados son:

Distribution Analysis: Esfuerzo by Modo de falla

Variable: Esfuerzo

Modo de falla = A


Uncensored value 10



Parameter Estimates



Shape 4.27142 1.20349 2.45892 7.41995

Scale 1414.58 110.427 1213.90 1648.45


Goodness-of-Fit






Mean(MTTF) 1287.02 107.337 1092.94 1515.57


Median 1298.27 112.923 1094.78 1539.58

First Quartile(Q1) 1056.70 133.092 825.550 1352.58

Third Quartile(Q3) 1527.00 115.966 1315.82 1772.08





1 481.849 159.303 252.056 921.140

2 567.416 162.268 323.949 993.862

3 624.664 162.391 375.287 1039.75

4 668.990 161.599 416.684 1074.07

5 705.726 160.416 452.015 1101.84

6 737.405 159.046 483.188 1125.37

7 765.450 157.585 511.303 1145.92

8 790.745 156.082 537.058 1164.26

9 813.878 154.565 560.927 1180.90

10 835.265 153.050 583.249 1196.17

20 995.688 139.088 757.214 1309.27

30 1111.24 127.738 887.082 1392.05

40 1208.74 118.942 996.715 1465.86


56/85


Página 56

50 1298.27 112.923 1094.78 1539.58

60 1385.93 110.342 1185.69 1619.98

70 1477.41 112.463 1272.65 1715.13

80 1581.30 121.743 1359.82 1838.86

90 1719.60 144.914 1457.79 2028.43

91 1737.71 148.743 1469.32 2055.12

92 1757.25 153.056 1481.47 2084.36

93 1778.57 157.969 1494.41 2116.7794 1802.19 163.649 1508.37 2153.25

95 1828.88 170.351 1523.70 2195.18

96 1859.90 178.497 1540.98 2244.81

97 1897.55 188.861 1561.25 2306.28

98 1946.79 203.138 1586.72 2388.56

99 2022.57 226.538 1623.92 2519.08



Modo A95.0% Normal CI

Time Probability Lower Upper500 0.988299 0.841829 0.999196

Distribution Analysis: Esfuerzo by Modo de falla

Variable: Esfuerzo

Modo de falla = S


Uncensored value 10



Parameter Estimates



Shape 3.32722 0.953840 1.89697 5.83582

Scale 1425.91 142.915 1171.60 1735.43


Goodness-of-Fit






Mean(MTTF) 1279.60 133.140 1043.53 1569.06


Median 1277.18 141.540 1027.83 1587.03

First Quartile(Q1) 980.548 157.439 715.811 1343.20

Third Quartile(Q3) 1573.00 155.189 1296.43 1908.56




57/85


Página 57



1 357.805 152.934 154.819 826.932

2 441.349 162.918 214.078 909.895

3 499.313 167.355 258.866 963.098

4 545.250 169.647 296.317 1003.31

5 583.983 170.836 329.150 1036.11

6 617.849 171.372 358.745 1064.097 648.177 171.486 385.917 1088.66

8 675.802 171.314 411.190 1110.70

9 701.288 170.939 434.927 1130.78

10 725.033 170.416 457.390 1149.29

20 908.468 162.047 640.438 1288.67

30 1045.99 153.087 785.145 1393.50

40 1165.24 145.843 911.751 1489.20

50 1277.18 141.540 1027.83 1587.03

60 1388.94 141.628 1137.33 1696.20

70 1507.73 148.293 1243.38 1828.28

80 1645.16 165.486 1350.79 2003.69

90 1832.13 203.940 1473.02 2278.80

91 1856.94 210.156 1487.52 2318.09

92 1883.78 217.141 1502.85 2361.28

93 1913.18 225.082 1519.19 2409.34

94 1945.86 234.251 1536.88 2463.67

95 1982.93 245.065 1556.35 2526.41

96 2026.21 258.210 1578.38 2601.10

97 2079.02 274.954 1604.30 2694.21

98 2148.52 298.080 1636.99 2819.90

99 2256.48 336.193 1685.05 3021.71


Modo S

95.0% Normal CI

Time Probability Lower Upper

500 0.969865 0.762180 0.996558


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Esfuerzo

P e r c e n

t

1000100

99

90

8070605040

30

20

10

5

3

2

1


10 0

3.32722 1425.91 0.962 10 0

Shape Scale Corr F C

4.27142 1414.58 0.986

Modo

defalla

A

S

Probability Plot for Esfuerzo


Weibull - 95% CI

Combinado los dos se tiene:

Rg = RA x RS =0.988299 x 0.969865 = 0.95851661

En este caso se observa que para tener menos de 1% de falla en 500 mg. Es

necesario eliminar los dos modos de falla, uno no es suficiente.


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6. Pruebas de vida acelerada

Los fabricantes desean tener resultados de confiabilidad para sus productos,más rápidamente, que bajo condiciones de funcionamiento normal. Para locual, se trata de acelerar las fallas sometiendo los productos a niveles altos de

esfuerzo, para después, extrapolar la confiabilidad a condiciones normales deoperación.

Se tienen los tipos de Pruebas de vida aceleradas cualitativas y cuantitativas:

Pruebas Cualitativas

Las pruebas de vida aceleradas cualitativas (tales como las pruebas de tortura)se utilizan sobre todo para revelar los modos de falla probables para elproducto con objeto de mejorar su diseño. Una prueba acelerada que sólo daInformación de Falla (ó Modos de Falla), comúnmente se llama “Prueba deTortura”, “Prueba de Elefante”, “Prueba Cualitativa”, etc.

Sobre-esforzar a los productos para obtener fallas más “rápido” es la formamás antigua de Pruebas de Confiabilidad. Normalmente no se obtieneinformación sobre la distribución de la vida (Confiabilidad). Los tipos deesfuerzo son en: Temperatura, Voltaje, Humedad, Vibración o, cualquier otroesfuerzo que afecte directamente la vida del producto.

Las pruebas de Tortura se realizan sobre muestras de tamaño pequeño y losproductos se someten a un ambiente agresivo (niveles severos de esfuerzo)

Si el producto sobrevive, pasó la prueba. Muchas veces los datos de laspruebas de tortura no pueden ser extrapolados a las condiciones de uso

Como beneficios de las pruebas de tortura se aumenta la Confiabilidad por larevelación de modos probables de falla, aunque quedan en el aire diversoscuestionamientos como son: ¿Cuál es la Confiabilidad del Producto?, ¿semantendrán los mismos Modos de Falla durante la vida del producto bajo usonormal?

Pruebas Cuantitativas

Las pruebas de vida aceleradas cuantitativas (QALT) se diseñan paracuantificar la vida útil del producto.

La Prueba de Vida acelerada, a diferencia de la Prueba de Tortura, estádiseñada para proveer Información de la Confiabilidad del producto,componente o sistema, como dato básico se tiene el Tiempo de Falla, puedeestar en cualquier medida cuantitativa, tal como: horas, días, ciclos,actuaciones, etc.

Los modelos de tiempos de vida de escala acelerada (TAEF) se definen como:

1)(,0)();()()( 00 x FA x FA x FA xT xT


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Cuando FA(x)>1, el modelo acelera el tiempo, esto es T(x) >T(x0); en casocontrario, el modelo desacelera el tiempo.

En la grafica de T(x0) vs T(x): El modelo TAEF se representa por líneas rectas a través del origen. El modelo TAEF acelerado se representa por lineas rectas por abajo de

la diagonal. El modelo TAEF desacelerado se representa por líneas rectas por arriba

de la diagonal.

Para un modelo TFAE T(x) = T(x0)/FA(x), (Ψ(x) > 0), donde:

Si la cdf base está en x0 F(t; x0) entonces AF(x0) = 1

Tiempo escalado: F(t; x) = F [AF(x) t; x0]. Entonces las cdfs F(t; x) y F(t;x0) no se cruzan.

Cuantiles proporcionales: tp(x) = tp(x0)/AF(x). Entonces tomandoLogaritmos se tiene log[tp(x0)] − log[tp(x)] = log[AF(x)]. Esto muestra quecualquier grafica en escala log-tiempo tp(x0) y tp(x) son equidistantes.

En particular, en una grafica de probabilidad en escala log-tiempo F(t, x)

es una translación de F(t, x0) a lo largo del eje log(t).


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Grafica de Probabilidad Weibull de dos miembros de una familia TFAE demodelos con distribución Lognormal

Note que para modelos con una sola variable de la familia log-localización –escala:

Por tanto pertenecen a la familia de modelos de tiempos de vida de escala

acelerada y,

)exp()0(

)(1 x

t

xt

p

p

)exp()( 1 x x FA


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Modelos de vida acelerada

Se han desarrollado modelos que relacionan el nivel de esfuerzo y la funciónde densidad de los tiempos de falla como sigue:

Modelos de aceleración

Los modelos de aceleración se derivan a menudo de modelos físicos ocinéticos relacionados al modelo de falla, por ejemplo:

Arrhenius Eyring Regla de Potencia Inversa para Voltaje Modelo exponencial de Voltaje Modelos de Dos: Temperatura / Voltaje Modelo de Electromigración Modelos de tres esfuerzos (Temperatura, Voltaje y Humedad) Modelo Coffin-Manson de Crecimiento de Fracturas Mecánicas

Ley de la potencia inversa

L = medida cuantificable de vida, tal como la media, la mediana cuantiles, etc.,S = nivel de estrés o esfuerzoK = parámetros del modelo por determinar (K debe ser > 0), y,n = es otro parámetro del modelo.

Para el caso de la distribución de Weibull, se tiene:


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Una vez que se estiman los parámetros b, K y n, se pueden hacerpredicciones de vida útil para diferentes valores de t y S.

El modelo de Arrhenius se muestra a continuación:

R = velocidad de reacción, A = constante desconocida,EA = energía de activación (eV),K = constante de Boltzman, yT = temperatura absoluta (Kelvin).

El modelo de Eyring es como sigue:

L = medida cuantificable de vida, tal como la media, la mediana, cuantiles, etc.,V = nivel de estrés (temperatura medida en grados kelvin) A = uno de los parámetros del modelo, y,

B = otro parámetro del modelo

nS K

t

nn

e

S K

t

S K

S t f

1

1

11),(

nS K

t

nn

n

t

e

S K

t

S K

S t f

S K S L

et

t f

1

1

1

11),(

1

)(

)(


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Los modelos de regresión lineales y log lineales vistos anteriormente puedenser útiles para modelar diversos efectos de estrés. Para distribuciones de lafamilia log-localización escala (weibull, exponencial, lognormal):

Con media:

Y modelo de regresión:

Sus residuos se definen como:

Para distribuciones de la familia localización-escala (Normal, Logística, valoresextremos):

Con media:

Y Tp:

Sus residuos se definen como:

)ln(

),,;(),;()( 10t

t F t F t T P

x x 10)(

)()()(ln1

p x xt p

t t F t F t T P ),,;(),;()( 10

x x 10)(

)()( 1 p xt p


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Como resumen de los modelos se tiene:

Los modelos más utilizados son los siguientes:

El modelo de Arrhenius,

El modelo de Eyring y

El modelo de la ley de la potencia inversa


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7. Confiabilidad de sistemas

Cuando se estudia la confiabilidad de un sistema compuesto por componentes,la falla de alguno de ellos hace que todo el sistema deje de funcionar, en estecaso el se dice que los componentes están en serie. En caso de que la falla de

un componente particular no afecte al funcionamiento total del sistema dadoque otros componentes continúan funcionando, se dice que están conectadosen paralelo.

Sistemas Complejos

El estudio de sistemas complejos implica la subdivisión de un producto en suscomponentes individuales. Al modelar un sistema complejo es crucialespecificar el nivel del detalle del modelo. La operación del sistema se expresaen función de la operación de los componentes. La función de estructuradescribe el lazo entre el estado del sistema y el estado de los n componentesque forman el sistema.

El Estado del Sistema

El sistema se asume como una colección de “n” componentes. También seasume que hay dos estados posibles para los componentes del sistema:“funcionando” o “falla”. El estado del componente i, denotado por Xi, es:

para i = 1...,n.

Los estados de los n componentes se pueden escribir como el vector X=(X1...,Xn). Hay n componentes, cada uno de los cuales puede tomar 2 valores,entonces, hay 2n posibles estados del sistema.

Función de Estructura de un sistema

La función de estructura asocia los estados del sistema { X } al conjunto { 0.1 },

rindiendo el estado del sistema.

El estado del sistema es:

La forma de la función de estructura depende del diseño del sistema. Lasestructuras más comunes que vemos son sistemas en series y sistemas enparalelo.

Considere un sistema con k componentes y sea la variable xi (i=1, 2, 3,…., k)que toma el valor 1 si el i-ésimo componente funciona y el valor 0 si no

funcionacomponenteelsi 1,

falladohacomponenteelsi ,0

i

X

X.estadoenestacuandofuncionasistemaelsi 1,

X,estadoenestacuandofallasistemaelsi ,0)(

X


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funciona. En cierto momento el estado del sistema está determinado por elvector X = (x1, x2, x3,…., xk) de ceros y unos. La función de estructura delsistema está definida en este espacio de vectores y toma valores:

0

,1

)( x 1 si el sistema funciona; 0 si no funciona

La función de estructura de un sistema serie es:

k

i

i x x1

)(

La función de estructura de un sistema paralelo es:

)1(1)(

1

k

i

i x x

Cada vector X donde el sistema funciona se denomina trayectoria y cada vectorX donde el sistema no funciona se denomina corte. En total se tienen 2K

posibles estados sumando los cortes y las trayectorias. En el sistema serie solohay una trayectoria con un vector de unos X=(1,1,1…,1) y 2K-1 cortes y en elsistema paralelo solo hay un corte cuando X=(0,0,0,…,0) y 2K-1 trayectorias.

El número de componentes que funcionan en un estado se denominan tamañode X, con valores desde 1 hasta k. La trayectoria mínima es un vector X contodos los componentes funcionando.

Revisar la importancia estructural:

¿Qué importancia tienen los componentes en la estructura?¿Si el componente i falla, dejará de operar el sistema?¿Cuántos estados posibles hay del sistema?¿En cuantos estados el componente i es funcional?¿En que estados al fallar el componente i el sistema fallará?

Por ejemplo para el componente 1:

Ahora considere que el componente 1 falla.El sistema fallara para los vectores (1,1,1), (1,0,1) y (1,1,0), (1,0,0).

12

31

2

3

12

31

2

3

(1, 1, 1)

1 1 0

(1, 0, 1)

1 0 0

12

31

2

3

12

31

2

3

(1, 1, 1)

1 1 0

(1, 0, 1)

1 0 0


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Entonces el componente 1 tiene una importancia estructural de 4/4.

Si falla el componente 2:El sistema operara en el estado (1,1,1) y fallará en los estados (0,1,1) y (0,1,0)y (1,0,1).

Entonces la importancia estructural del componente 2 es 1/4.

Por simetría, la importancia estructural del componente 3 es 1/4.

12

31

2

3

12

31

2

3

(1, 1, 1)

(1, 1, 0)

(0, 1, 1)

(0, 1, 0)

12

31

2

3

12

31

2

3

(1, 1, 1)

(1, 1, 0)

(0, 1, 1)

(0, 1, 0)


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Sistemas en Serie

Un sistema en serie tiene k componentes. Suponiendo que trabajan en modoindependiente, la confiabilidad del sistema es la probabilidad de que todos loscomponentes funcionen.

Entonces (X) = 1 si todas los valores Xi toman el valor 1 y (X) = 0 de otramanera. Por tanto:

Regla de producto de probabilidades

Los diagramas de bloque son usados para visualizar sistemas decomponentes. El diagrama de bloque que corresponde a un sistema de laserie es:

El diagrama de bloque representa el lazo lógico de la operación de loscomponentes y el sistema. No representa su disposición física. La idea es quesi se puede trazar un camino de izquierda a derecha a través del sistema, elsistema funciona.

Ejemplo:

Un producto electrónico tiene 40 componentes en serie. La confiabilidad decada uno es de 0.999, por tanto la confiabilidad de producto completo es de:

961.0)999.0( 40 Rs

Si el producto se rediseñara para tener solo 20 componentes, la confiabilidad

sería de Rs = 0.98.

Figura 7. Sistema con componentes en serie

Sistemas en paralelo

En este sistema, si tiene k componentes, basta con que uno funcione para que

siga en operación. Se requiere que todos los componentes fallen para que falleel sistema, o sea:

A B C Z

n.1,...,itoda para1Xsi 1,

0,Xs.t.isi ,0)(

i

i

X

.

},X,...,min{)(

1

n1

n

i

i X

X X

1 2 3 n1 2 3 n


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)1(......)1()1(1)(1 21 k R x x R x R fallentodos P Rs

El diagrama de bloque para una estructura en paralela es

Entre más componentes redundantes haya, la confiabilidad del sistema esmayor, esto también está presente en los seres vivos, como por ejemplo en losriñones.Ejemplo:

Considere 4 componentes A, B, C y D de un producto conectados en paralelo,con confiabilidades de 0.93, 0.88, 0.88 y 0.92 respectivamente, la confiabilidad

total es:

9999664.00000336.01)92.01)(95.01)(88.01)(93.01(1 Rs

Fig. 8 Sistema con 4 componentes en paralelo

Sistemas con componentes en serie o en paralelo (K de n)

A

B

C

D

.1Xs.t.isi 1,

n,1,...,itodo para0X si ,0)(

i

i

X

.)1(1

},X,...,max{)(

1

n1

n

i

i X

X X

12

3

n

12

3

n


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Los sistemas pueden tener componentes en serie y en paralelo, en algunoscasos es importante identificar cuales componentes son clave para incrementarla confiabilidad del sistema.

Un sistema k de n funciona si cualesquier k de los n componentes del sistema

funcionan. Los sistemas en serie y en paralelo son casos especiales delsistema k en n. Un sistema en serie es un sistema k de k. Un sistema enparalelo es un sistema 1 de n.

Por ejemplo:En los puentes algunos de los cables de la suspensión pueden fallar, y elpuente no cae. En las bicicletas algunos de los rayos pueden fallar.

La función de estructura es:

Un ejemplo de diagrama de bloques para un sistema 2 de 3 donde con dos de3 componentes que operen, el sistema continuará operando, es el siguiente:

Ejemplo:

Para el caso de un avión continua volando si funcionan 2 de 4 motores.

Su diagrma de bloques es el siguiente:

Su función de estructura es la siguiente:

.kXif 1,

k,Xif ,0)(

n

1i

i

n

1i

i

X

1

21

2

33

1

21

2

33

).1)(1)(1(1)( 313221 X X X X X X X

1

2

3

4

1

2

3

4

)).1(1))(1(1()( 4321 X X X X X


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Ejemplo:

Se tienen los siguientes 7 componentes conectados en serie y en papralelo,sus confiabilidades son: RA=0.96; RB=0.92; RC=0.94; RD=0.89; RE=0.95;RF=0.88; RG=0.90.

Figura 9. Sistema con 7 componentes en serie y en paralelo

Rs = Rab x Rc x Rd x Refg

Rab = 1-(1-0.96)(1-0.92) = 0.9968

Refg= 1-(1-0.95)(1-0.88)(1-0.90) = 0.9836

Rs = 0.9968 x 0.94 x 0.89 x 0.9836 = 0.82

Método de trayectoria para calcular la confiabilidad de un sistema

Para calcular las confiabilidades de sistemas simples se aplican las fórmulas deestructuras serie o paralelo. Para sistemas más complejos, es necesarioconocer las reglas siguientes:

Regla 1. Sean dos sistemas, uno con función de estructura 1(x)= 0(x) A(x) yotro con función de estructura 2(x)= 0(x) B(x). Si se conectan en serie, la

función de estructura resultante es: (x)= 0(x) A(x) B(x) puesto que 02(x)=

0(x).

Regla 2. Si los mismos sistemas anteriores se conectan en paralelo, la función

de estructura resultante es: (x)= 0(x)[(1- A(x)) (1- B(x)) ].

Se siguen los pasos siguientes:

1. Encontrar todas las trayectorias mínimas posibles.

A

B

C DG

FE


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2. Dado que para que el sistema funcione es necesario que funcione al menosuna de las trayectorias mínimas, se aplica la definición de sistema paralelo adichas trayectorias.

3. Se simplifica la expresión resultante aplicando las reglas 1 y 2.

4. Se sustituyen las xi (i=1, 2, 3,…., k) por las confiabilidades de las kcomponentes y se resuelve.

Ejemplo:

Para el sistema de la figura 9, las trayectorias mínimas son: ACDEF, ACDG,BCDEF y BCDG.

Aplicando la función de estructura en paralelo se tiene:

s(x) = 1 – (1-ACDEF) (1-ACDG)(1-BCDEF)(1-BCDG) =

= BCD(EF + G + EFG) + ACD(EF – BEF + G –BG – EFG + BEFG) = 0.82


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Estructuras de puente

Su diagrama de bloques es el siguiente:

El sistema funcionara si alguno de los siguientes conjuntos funciona: {1,3,5}{1,4} {2,3,4} {2,5}. Estos conjuntos son denominados conjuntos de rutamínima, dando un diagrama equivalente a:

Redundancia

La redundancia a nivel componente es siempre proporciona una mayor

confiabilidad que a nivel sistema. Sea (X) la función de estructura para unsistema coherente de n componentes. Para cualquier vector de estados X y Y

1

2

3

5

41

2

3

5

4

1

2

3 541

3 4

2 5

1

2

3 541

3 4

2 5

)).(1))((1(1

))1)(1(1),...,1)(1(1( 11

Y X

Y X Y X nn

1

1

n

n………………………

Sistema X

Sistema Y

)).(1))((1(1

))1)(1(1),...,1)(1(1( 11

Y X

Y X Y X nn

1

1

n

n………………………

Sistema X

Sistema Y


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Uso de Minitab

Se capturan dos columnas, una para los tiempos de falla observados y otrapara indicar cuales tiempos son falla y cuales son censuras por la derecha. Sepuede escoger 1 para censuras y 0 para falla.

Cuando se tienen fallas por intervalos se construyen tres columnas, en dos deellas se señala el inicio y el final de cada intervalo de tiempo y en la tercera lafrecuencia de las fallas observadas en cada intervalo.

Para los análisis se usa el menú Stat > Relibility / Survival, en la primera opciónse identifica la distribución de manera gráfica, en la segunda se hace unaexploaración más detallada (paramétrica o no paramétrica) de la distribuciónseleccionada, en la tercera opción se hace el análisis paramétrico detallado yen la cuarta el análisis no paramétrico. En el primer bloque se consideracensura por la derecha y en el segundo bloque se analiza lo mismo con otras

opciones de censura.


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8. Mantenabilidad y disponibilidad

Los sistemas reparables reciben Acciones de mantenimiento cuando fallan.Estas acciones se deben ahora tomar en la consideración al determinar elcomportamiento del sistema. La edad de los componentes del sistema ya no

es uniforme ni el tiempo de operación del sistema es continuo.

Mantenimiento

El Mantenimiento se define como cualquier acción que restaure unidadesfalladas a una condición operacional, o conserve

Confiabilidad_funciones y metodos

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