Cónicas 1-Prado - Copia

Unidad

Geometría analítica

Contenido de la unidad

6.1 Recta6.2 Circunferencia6.3 Parábola6.4 Elipse6.5 Hipérbola

Introducción a la unidad

6

Es impresionante ver brincar a los jugadores profesionales de basquetbol. A veces parecen flotar en el aire. En larealidad, su cuerpo sigue una trayectoria parabólica. Todo objeto que sea lanzado, si la resistencia del aire es des-preciable, sigue ese tipo de trayectoria. Las parábolas aparecen además en muchas otras situaciones de la vidadiaria, como en las antenas que reciben la señal de televisión por satélite en tu casa y también en los faros de tuautomóvil.

La parábola es una de las curvas cónicas. Tales curvas son la circunferencia, la elipse, la hipérbola y la parábo-la. Se llaman cónicas porque se obtienen al cortar un cono en diferentes posiciones. Es muy importante estudiarlas,ya que aparecen continuamente en las aplicaciones tecnológicas, en campos tan diversos como los negocios, eldeporte, la visión de robots y la astronomía. Fue en el siglo XVII cuando René Descartes, un filósofo y científicofrancés, descubrió como se relacionan estas curvas con las ecuaciones algebraicas. Es decir, Descartes descubrió lageometría analítica que vas a estudiar en esta unidad y que, además, describe con precisión los saltos de tu jugadorfavorito de basquetbol.

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372 Unidad 6: Geometría analítica

Primera situación

El señor Gómez L. tiene una rutina de ejercicio. Cada tercer día se dirige en au-to a la pista que está a dos kilómetros de su casa y camina durante una hora en lí-nea recta a una velocidad constante de 50 metros por minuto.

6.1 Recta

Las matemáticas son el lenguaje conel cual Dios escribió el Universo

Galileo Galilei

Introducciónn

En la práctica, existen situaciones en las cuales la relación entre dos varia-bles establecen un cambio constante. Unas veces, cuando una variable au-menta, la otra también lo hace proporcionalmente. Otras veces, cuando unavariable aumenta, la otra disminuye siempre en la misma proporción. A es-te tipo de dependencia entre dos variables se conoce como relación lineal; yse representa en matemáticas a través de ecuaciones lineales en dos variables,cuya característica principal es que su gráfica en el plano cartesiano es una lí-nea recta.

Te presentamos dos ejemplos para aclarar este tipo de relaciones:

20−2 4 6−1

−2

1

2

3

4

5

−3

x20−2 4 6

−2

2

4

6

x

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3736.1 Recta

Observa cómo en este caso, a medida que aumenta la variable t, la distanciad también aumenta siempre en la misma proporción.

Segunda situación

La empresa “Patito, S. A de C. V.”, produce dos artículos “chunche tipo A” y“chunche tipo B”. Cada artículo A requiere de 3 horas de mano de obra para suelaboración, mientras que cada artículo B necesita de 2 horas de mano de obrapara fabricarse.

Esta semana la empresa dispone de 60 horas para fabricar estos productos.Nota como en este caso, entre más artículos de un tipo se produzcan, menosdel otro tipo se pueden hacer, esto es, entre más aumente una variable, la otradisminuye.

Objetivos

Al terminar la sección, deberás ser capaz de:

• Identificar y determinar la ecuación de una línea recta.• Graficar e interpretar cada parte de una ecuación lineal.• Utilizar ecuaciones lineales para resolver problemas prácticos.

2−222−−44 4

−20

−30

20

30

x

Líneas rectas: ecuación, gráfica, pendiente, interseccionescon los ejes

Las relaciones lineales son las más simples que se pueden dar entre dos variables; se en-cuentran prácticamente en cualquier rama del saber humano. Su principal característicaes que su gráfica es una línea recta y, recíprocamente, la ecuación correspondiente a unalínea recta es una relación lineal.

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Consideremos, por ejemplo, la relación que encontraremos en la segunda situación de laintroducción: 2x + 3y = 60, que representa la relación lineal entre el número de chunchestipos A y B que se pueden producir.

Si se tiene un pedido de 15 chunches tipo A, entonces x = 15; al sustituir en la ecua-ción (2), obtenemos

2(15) + 3y = 60es decir,

30 + 3y = 60

de aquí podemos despejar el valor para y, que en este caso es de y = 10. En otras pala-bras, cuando se producen 15 chunches tipo A, se pueden producir 10 chunches tipo B.Brevemente decimos que la pareja ordenada (15, 10) es una solución de la ecuación li-neal 2x + 3y = 60, o que (15, 10) satisface esta ecuación.

Podemos obtener otras soluciones si damos valores a una variable y despejamos dela ecuación el valor correspondiente para la otra variable. De esta forma, si y = 12, en-tonces al sustituir en la ecuación lineal tenemos:

2x + 3(12) = 602x + 36 = 60

2x = 24

Así, x = 12, lo que significa que cuando se producen 12 chunches tipo B se pueden produ-cir 12 chunches tipo A. De este modo, (12, 12) es otra solución de la ecuación lineal (2).

Si, por un momento, no tomamos en cuenta que en este problema las variables x y ysolamente pueden tomar valores enteros positivos o 0, es posible tabular las solucionespara construir la gráfica de la relación lineal que, como mencionamos, siempre es una lí-nea recta:

Una ecuación lineal en dos variables es una ecuación de la forma::

Ax + By = C

con A, B y C constantes, y A y B no ambas 0.

x y

5 50/3

15 10

20 20/3

36 −4

… …

Si graficas todas las soluciones de la ecuación, incluyendo números fraccionarios y nega-tivos, obtienes la gráfica de la relación. Por ejemplo, para la ecuación (2), su gráfica es,

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3756.1 Recta

Existen dos soluciones importantes: si producimos solamente chunches tipo A, entoncesy = 0 y la solución es (30, 0), pero si producimos chunches tipo B, x = 0, la solución es(0, 20). Estas soluciones son importantes porque en la gráfica representan las intersec-ciones de la recta con el eje x.

En general, para determinar la intersección de una línea recta con el eje x, basta sus-tituir y = 0 en la ecuación y resolver para x.

Análogamente, para determinar la intersección de una línea recta con el eje y, bastasustituir x = 0 en la ecuación y resolver para y.

En las ecuaciones lineales Ax + By = C, a veces es conveniente despejar la variable y,

Esta última expresión se conoce como la forma punto pendiente de la ecuación lineal,que es costumbre escribirla como:

y = mx + b… (3)

con y . El coeficiente m se conoce como la pendiente de la recta, en

tanto que b es la ordenada al origen. A la forma Ax + By = C, se le conoce como la for-ma general de la recta.

La pendiente es una ‘medida’ de la inclinación de la recta. Formalmente, la pendien-te es la tangente del ángulo positivo que forma la recta con el eje x.

bC

B=m

A

B= −

yA

Bx

C

B= − +

10−10 20 30 400

5

−5

10

15

20

25

x

y

θm = tan θ

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Una propiedad importante de la pendiente es que para determinar este coeficiente m enuna recta que no sea vertical, basta tener dos puntos (x1, y1) y (x2, y2) que estén sobre larecta:

……(4)my y

x x= −

−2 1

2 1

No importa qué puntos utilicemos, la pendiente siempre es igual a la razón de la diferen-cia de abscisas entre la diferencia de ordenadas, esto es, mide la proporción entre lo quese eleva a lo que se avanza o recorre horizontalmente:

melevación

avance=

solución

Ejemplos

Ejemplo 1

¿Cuál es el significado geométrico de una pendiente m = 3/2?

2

3

Significa que por cada tres unidades de elevación vertical, se recorren dos unidades horizontalmente ha-cia la derecha o, lo que es equivalente, se recorren dos unidades a la derecha por cada tres hacia arriba.(véase la figura).

Ejemplo 2

¿Cuál es el significado geométrico de una pendiente m = −3/2?

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3776.1 Recta

solución

Una pendiente m = −3/2 significa que por cada tres unidades recorridas hacia arriba, se recorren dosunidades hacia la izquierda, o que por cada tres unidades que se bajan verticalmente, se recorrendos unidades horizontalmente hacia la derecha.

−2

3 ó

2

−3

solución

Primero despejamos y:

−10x + 5y = 205y = 20 + 10x

y = 4 + 2x

Vemos de esta forma que la pendiente es m = 2 = 2/1, lo que quiere decir que para cada avance verti-cal hacia arriba de dos unidades se tiene un avance horizontal hacia la derecha de una unidad

1

2

Observa que debido al significado geométrico de la pendiente, si la pendiente es positiva, la recta se in-clina hacia la derecha, mientras que si la pendiente es negativa la recta se inclina hacia la izquierda.

m > 0m < 0

Ejemplo 3

Determina el significado geométrico de la pendiente de la ecuación lineal −10x + 5y = 20

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¿Qué sucede desde el punto de vista geométrico cuando la pendiente de una recta es 0? La respuesta essimple, si la pendiente es 0, m = 0 = 0/1, por lo que por cada avance horizontal hacia la derecha, no hayavance hacia arriba, es decir, la recta no tiene inclinación, es una recta horizontal.

m = 0

Por cierto, en este caso la forma punto pendiente de la ecuación es y = b. En otras palabras, no apare-ce la variable x para la ecuación de una línea horizontal.

Otro caso importante lo constituyen las líneas rectas verticales. Para éstas, la pendiente no existe yen la ecuación no aparece la variable y. La ecuación es de la forma x = k con k una constante.

El coeficiente b que aparece en la forma punto pendiente (3), representa la intersección de la rectacon el eje y.

Así como para determinar la pendiente de una línea recta bastan dos puntos, también para construirsu gráfica es suficiente trazar dos puntos por los que pase la recta para dibujar la misma.

De la misma forma, la ecuación de una recta se puede obtener a partir de dos puntos por los quepase la recta:

Si (x1, y1) y (x2, y2) son puntos de una recta que no es vertical, entonces su ecua-ción está determinada por:

y − y1 = m(x − x1)… (5). con my y

x x= −

−2 1

2 1

Por cierto, no importa el orden en que consideren los puntos, esto es, también una ecuación de la recta esy − y2 = m(x − x 2). Por ejemplo, para determinar una ecuación de la recta con los puntos (2, 5) y (4, 8).

solución

Ejemplo 4

Determina la forma punto pendiente y la forma general de la ecuación de la recta que pasa por los puntos(2, 5) y (4, 8), luego dibuja la gráfica de la misma.

Comenzamos calculando la pendiente:

m = −−

=8 5

4 2

3

2

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3796.1 Recta

Ahora sustituimos en (5) con (x1, y1) = (2, 5) (a propósito, es indistinto cuál de los dos puntos se elija,si se elige (x1, y1) = (4, 8), ¡el resultado es el mismo!):

Al despejar, obtenemos la forma punto pendiente,

Si multiplicamos por 2 cada lado de esta ecuación y pasamos los términos con variables juntos obtene-mos la forma general:

3x − 2y = −2

Para la gráfica, como mencionamos, basta con dibujar dos puntos. Podemos utilizar los puntos dadosoriginalmente, (2, 5) y (4, 8). Otra forma consiste en trazar su gráfica a partir de las intersecciones conlos ejes coordenados.

y x = + 23

2

y x – 5 = – 33

2

y x – 5 = ( – 2)3

2

0 2−2 4 6

2

4

6

8

10

12

x

Ejemplo 5

Dada la ecuación lineal 2x + 3y = 12, determina la forma punto pendiente, la pendiente, las interseccio-nes con los ejes coordenados, tres puntos por los que pase la recta y dibuja la misma.

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solución

La forma punto pendiente se obtiene despejando y:

2x + 3y = 12

3y = 12 − 2x

Así la pendiente es m = −2/3, y la intersección con el eje es b = 4 o el punto (0, 4). La intersección conel eje x la obtenemos al sustituir y = 0 y despejar para x:

x = 6

Por lo que obtenemos el punto (6, 0). Podemos utilizar estos puntos para obtener la gráfica:

2

3x = 4

0 = 4 –2

3x

y x = 4 –2

3

2−2 4 6 8

1

2

3

6

x

Ya tenemos dos puntos de la recta, (0, 4) y (6, 0). Para determinar otros puntos, damos un valor para xy despejamos para y. Elegimos, por ejemplo, x = 3, entonces y = 4− (2/3) (3) = 4 − 2 = 2, es decir, untercer punto por el que pasa la recta es (3, 2).

Ejemplo 6

Si la pendiente de una recta es m = 1/3 y la recta pasa por el punto (10, 4), determina la ecuación ge-neral de la recta y su gráfica.

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3816.1 Recta

solución

Directamente utilizamos la fórmula (5) con los datos dados:

Como no nos piden la forma punto pendiente, no despejamos y, sino que multiplicamos cada lado dela ecuación por 3:

3y − 12 = x − 10

Ahora escribimos las variables del lado derecho y las constantes del lado izquierdo:

−x + 3y = −10 + 12

Así, la ecuación general de la ecuación es

−x + 3y = 2

Ahora, para trazar su gráfica, tabulamos dos puntos; por ejemplo, las intersecciones con los ejes coor-denados:

y x – 4 = ( – 10)1

3

x y

0 2/3

−2 0

0 2−2−4 4

0.5

−0.5

1

1.5

2

x

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solución

Ejemplo 7

Determina la ecuación y dibuja la gráfica de la recta que pasa por los puntos (−3, 3), (4, 3)

Utilizamos la fórmula (4) para encontrar la pendiente:

Puesto que la pendiente es 0, la recta es horizontal y su ecuación es y = 3 (y = la ordenada de cualquierpunto de la recta). Observa que ésta es a la vez la forma general y forma punto pendiente de la ecua-ción de la recta.

Para dibujar la gráfica, utilizamos los puntos dados:

m = −− −

= =3 3

4 3

0

70

( )

20−2−4 4x

2.5

33

3.5

4

solución

Ejemplo 8

Encuentra la forma punto pendiente y la forma general de la ecuación de la recta que pasa por lospuntos (4, −2) y (4, 3)

Primero que nada, nota que la fórmula (4) para la pendiente no puede aplicarse porque se indeterminaal dividir por 0:

m = − −−

=3 2

4 4

5

0

( )

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3836.1 Recta

Líneas paralelas y líneas perpendiculares

Puesto que la pendiente de una línea recta es una medida de su inclinación, si dos rectastienen la misma pendiente, entonces su inclinación es la misma; por lo tanto, son rectas pa-ralelas. El recíproco también es cierto para rectas no verticales: si dos rectas son parale-las sus pendientes son iguales. Establecemos esto en el siguiente resultado:

La razón de lo anterior es que esta recta es vertical. Pero sabemos que la ecuación de una recta verticales x = k; en este caso, x = 4 (la abscisa de cualquier punto). Esta es la única forma general de la ecua-ción y no hay forma punto pendiente.

−

−

−

0

1

2

4

5

3.5 44 4.5 5x

Las rectas perpendiculares entre sí poseen también una relación entre sus pendientes,que estableceremos a continuación sin demostración.

Teorema

Las rectas no verticales y = m1x + b1 y y = m2x + b2 son paralelas, si y sólo si m1 = m2

Teorema

Las rectas y = m1x + b1 y y = m2x + b2, m1 ≠ 0 y m2 ≠ 0 son perpendiculares si ysólo si m2 = −1/m1

Dos líneas rectas que nos son paralelas ni perpendiculares reciben el nombre de rectasoblicuas.

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solución

Ejemplos

Ejemplo 1

Determina si las rectas L1: y = 2x − 8 y L2: 4x − 2y = 5 son paralelas, perpendiculares u oblicuas.

Determinamos primero las pendientes. Para la recta L1, directamente vemos que m1 = 2, mientras quepara la pendiente de la recta L2, debemos despejar y:

4x − 2y = 5

2y = 4x − 5

Vemos de esta forma que m2 = 2. Así que las rectas son paralelas.

y x x =4

2

5

42

5

4− = −

−5

5

10

−10

−15

02−2−4 4 6x

Ejemplo 2

Determina la forma punto pendiente de la ecuación de la recta que pasa por el punto (−2, 1) y que es

a) Paralela a la recta 4x − 2y = 12

b) Perpendicular a la recta 4x − 2y = 12

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3856.1 Recta

solución

Al despejar y de 4x − 2y = 12, encontramos que la recta dada tiene pendiente m = 2

a) Como nos piden la recta paralela, m = 2 es también la pendiente de la recta que buscamos. Utiliza-mos ahora la fórmula (5):

y − 1 = 2(x + 2)y = 2x + 5

2−2−4 4

−10

−15

5

10

15

x

b) Buscamos ahora la recta perpendicular; si m es la pendiente de esta recta, entonces m = −1/2 de acuer-do con el teorema anterior. Por lo tanto, la ecuación es:

y x = − 1

2

y x – 1 = ( + 2)− 1

2

2− 4 6 8

5

−5

10

−10

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solución

Ejemplo 3

Determina la ecuación general de la recta que pasa por (6, −7), que es perpendicular a la recta que pasapor los puntos P(2, −3) y Q(−1, −1)

Determinamos primero la pendiente de la recta que pasa por P y Q:

Por lo tanto, la recta perpendicular tiene pendiente . Utilizamos ahora la fórmula (5):

Multiplicamos esta ecuación por 2:

2y + 14 = 3x − 18

De esta forma, la ecuación buscada es −3x + 2y = −32 o 3x − 2y = 32

y x – (–7) = ( – 6)3

2

− =1 3

2m

m = − − −− −

= −1 3

1 2

2

3

( )

12 14

−5

−10

−15

−20

5

Ejemplo 4

Encuentra la ecuación punto pendiente de la recta que es a) paralela, b) perpendicular a la recta y = −2y que pasa por el punto (3, 7).

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3876.1 Recta

solución

La recta dada es horizontal, por lo que su pendiente es m = 0

a) Si queremos la ecuación de la recta paralela, simplemente igualamos y con la ordenada del punto pordonde pasa la recta. Así, su ecuación es: y = 7

20−2−4 4

2

−22

−4

4

6

8

x

b) Como la recta perpendicular a una recta horizontal es vertical, no tiene pendiente y su ecuación, se-gún vimos, es simplemente x igual a la abscisa: x = 3

2−4 −2 4 6 80

2

−−22

−4

4

6

8

x

Ejemplo 5

Determina la ecuación de la bisectriz del segmento que une los puntos A(2, −1), B(−4, −3)

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solución

El segmento tiene punto medio ó M(−1. −2). Por lo que buscamos una ecuación de

la recta que pasa por M y es perpendicular a la recta que pasa por A y B.

La pendiente de la recta que pasa por A y B es , por lo que la pendiente de la recta que buscamos

es −1/m = −3. Finalmente, de acuerdo con la fórmula (5), la ecuación es:

y + 2 = −3(x + 1) ó y = −3x − 5

m =1

3

M 2 4

2

1 3

2

− − −⎛⎝

⎞⎠,

2−2−6 −4 64

−

4

6

−4

−6

−8

x

Este tipo de rectas bisectrices nos serán de utilidad en la sección sobre circunferencia.

Gráfica de sistemas de desigualdades lineales

Consideremos la recta , que consiste de los puntos (x, y), que hacen verdadera

la relación. Esta recta divide al plano cartesiano en tres regiones: la parte de arriba de larecta, la parte de abajo de la recta y la parte sobre la recta, lo que presentamos en la figura:

y x = +11

2

0

2

−2

−4

0−2−4−6 2 4 6

y

x 0

2

−2

−4

0−2−4−6 2 4 6

y

x 0

2

−2

−4

0−2−4−6 2 4 6

y

x

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3896.1 Recta

Como la región encima de la recta tiene ordenada mayor, la región está representada por

la desigualdad De la misma forma, representa la región de

abajo de la línea recta, mientras que representa los puntos sobre la línearecta.

Debido al principio de tricotomía, o bien y < mx + b o bien y = mx + b o bien y > mx + b.Toda recta no vertical divide al plano en tres regiones: la región que está por encima de

la recta dada por y > mx + b, la región que está por debajo de la recta dada por y < mx + by la región que está exactamente sobre la recta dada por y = mx + b.

Si la recta es vertical, las regiones en que queda dividido el plano son: la parte a laderecha de la recta, la parte la izquierda de la recta y la parte sobre la recta.

y x = + 11

2

y x < + 11

2y x > + 1.

1

2

solución

Ejemplos

Ejemplo 1

Dibuja la región dada por: a) y = 2x − 2, b) y < 2x − 2, c) y ≤ 2x − 2, d) y ≠ 2x − 2

a) La región consiste en todos los puntos que están sobre la recta, lo que representamos con la línea:

x y

1 0

2 2

0

2

−2

−4

0−2−4−6 2 4 6

y

x

b) En este caso, como la ordenada y es menor que 2x − 2, la región consiste de los puntos que están pordebajo de la recta y no incluye los puntos de la recta. Esto se representa con la línea recta punteada(para indicar que no se incluye) y sombreando la región.

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0

2

−2

−4

0−2−4−6 2 4 6

y

x

c) Para este caso, recordemos que el símbolo ≤ representa una de dos opciones: y < 2x − 2, o bieny = 2x − 2, pero ambos casos son precisamente los anteriores, así que la región corresponde a launión de los mismos. En otras palabras, la región consta de los puntos en el plano cartesiano queestán por debajo de la recta y también de los puntos de la recta. Representamos esto sombreandola región, igual que en el inciso anterior, pero la recta no es punteada, sino completa para repre-sentar que también se incluye.

0

2

−2

−4

0−2−4−6 2 4 6

y

x

d) y ≠ 2x − 2 representa que o bien y < 2 x − 2, o bien y > 2x − 2, es decir, la región consiste de los pun-tos del plano que están encima de la recta y debajo de la recta, pero no sobre la recta. En este casola representación consiste en sombrear todo el plano y dibujar la recta con una línea punteada pararepresentar que no se incluye.

0

2

−2

−4

0−2−4−6 2 4 6

y

x

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3916.1 Recta

solución

Ejemplo 2

Representa la gráfica de 3( – 2) – 2 + x yx

y≥ −2 4

3

Primero simplificamos la ecuación y obtenemos y ≤ (7/9)x −14/9. De esta forma podemos ver que laregión consiste de los puntos del plano que están debajo de la recta incluyendo los puntos de ésta:

0

2

−2

−4

0−2−4−6 2 4 6

y

x

solución

Ejemplo 3

Dibuja la región dada por las desigualdades a) y < 2x + 1, y < 3 − x, b) y ≥ 2x + 1, y < 3 − x

a) La región está dada por dos desigualdades, así que su gráfica corresponde a la intersección de la grá-fica de cada desigualdad. En otras palabras, la región consiste en los puntos en el plano que simul-táneamente están por debajo de la rectas y = 2x + 1 y y = x + 3

0

2

−2

−4

0−2−4−6 2 4 6

y

x

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Distancia de un punto a una recta

En esta sección estableceremos la fórmula para la distancia de un punto P(x0, y0) a unarecta dada L: Ax + By = C.

Para ello, lo primero es advertir que, al hablar de distancia, nos referimos a la menordistancia de P a L. Tal distancia se logra midiendo el segmento de recta que hay entreP y la intersección Q, de la recta perpendicular a L que pasa por P.

b) Nuevamente es la intersección de las regiones dadas por y ≥ 2x + 1 (puntos encima de la recta inclu-yendo ésta) y por y < 3 − x (puntos debajo de la recta sin incluir ésta).

0

2

−2

−4

0−2−4−6 2 4 6

y

x

Q

LP

Por ejemplo, si queremos calcular la distancia del punto P(−2, 1) a la recta L: 3x − 4y = 12,

primero encontraremos la forma punto pendiente de L: . Así, la pendiente de

la recta ortogonal a L que pasa por P es . Determinamos las coordenadasy x = − −4

3

5

3

y x =3

43−

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3936.1 Recta

del punto intersección Q al resolver el sistema La solución es

La distancia del punto a la recta es la distancia de P a Q:

Si repetimos este proceso para la recta Ax + By = C y para el punto P(x0, y0), obtendre-mos la siguiente fórmula:

d =16

252

63

251

22

5

2 2

+⎛⎝

⎞⎠ + − −⎛

⎝⎞⎠ =

y = − 63

25

x =16

25

y x

y x

= −

= − −

⎧

⎨⎪

⎩⎪

3

43

4

3

5

3

dAx By C

A B = 0 0

2 26

+ −

+...( )

solución

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcula la distancia del punto P(2, 3) a la recta L: 3x − 4y = 12

Sustituimos en la fórmula (6):

d =3 2 4 3 12

3 4

18

52 2

( ) ( )− −

+=

solución

Primero determinamos la ecuación de la recta L. En tal caso la ecuación es 6x + 5y = 2, por lo que alaplicar la fórmula (6) tendremos:

D =6 2 5 5 2

6 5

11

612 2

( ) ( )− + −

+=

Ejemplo 2

Calcula la distancia del punto (−2, 5) a la recta L que pasa por los puntos M(2, −2) y N(−3, 4).

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Ejercicios

y problemas

1. Describe con tus palabras qué es la pendiente de una línea recta.

2. Describe qué es la forma punto pendiente de la ecuación de una línea recta.

3. Explica el significado del coeficiente b en la forma punto pendiente de la ecuación de una línea recta.

4. Describe cómo se dibuja una línea recta a partir de su ecuación.

5. Explica por qué no hay forma punto pendiente para la ecuación de una línea recta vertical.

6. Señala cuál es la pendiente de una recta vertical.

7. Determina la forma punto pendiente y la forma general de la recta que:

a) Pasa por los puntos (2, −1), (−2, 1)

b) Tiene pendiente m = 2/5 y pasa por el punto (4, −3)

c) Interseca al eje x en x = 2 y al eje y en y = 4

d) Pasa por el origen y por (−3, −3)

e) Pasa por (−2, 4) y (−8, −9)

f) Pasa por (−3, 1) y por (5, 4)

g) Pasa por (−3, 5) y por (−3, 2)

h) Pasa por (2, 5) y por (−2, 5)

8. Encuentra la forma punto pendiente de la recta que pasa por el punto (2, −3) y es

a) Paralela al eje x

b) Perpendicular al eje x

c) Paralela a 3x − 7y = 21

d) Perpendicular a 3x − 7y = 21

e) Paralela a y = 2 − 3x

f) Perpendicular a y = 2 − 3x

g) Paralela a y = 4

h) Perpendicular a y = 4

i) Paralela a x = −5

j) Perpendicular a x = −5

9. Bosqueja la gráfica de la recta que:

a) Pasa por (3, 2) y (1, −4)

b) Cruza al eje x en 9 y es perpendicular a 3x + 6y = 7

c) y = 3 − 4x

d) y = 4x − 3

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3956.1 Recta

10. Determina si los puntos P y Q dados pertenecen o no la recta dada.

a) P(1, 7), Q(−3, 1), y = 2x + 5

b) P(2, 1), Q(1, 2), y = 2

c) P(2, 1), Q(1, 2), x = 2

d) P(4, −1), Q(2, 2), x + y = 3

e) P(1, −1), Q(0, 3), 3x − 2y = 1

f) P(1, 5), Q(2, 3), x + 2y = 1

11. Determina si las rectas dadas son perpendiculares, paralelas u oblicuas.

a) y = 3x + 4, −3x + 9y = 18

b) 4x − 3y = 2, 3x + 4y = 5

c) 4x − 7y = 0, 2x − 14y = −2

12. Bosqueja la gráfica de la región dada:

a) y > 2x + 5, y < 3x + 1

b) y ≥ 3x − 1, y < 3x + 2

c) y < 2x + 7, y < 3 − x

d) x > 0, y > 0

e) y < x/2 + 1, x ≥ 0, y ≥ 0

13. A Juan le toma 50 minutos podar 40 metros cuadrados de jardín, pero a su primo le toma hacerlo sólo40 minutos. Determina la relación existente entre el número de minutos que puede trabajar cada unopara podar 40 metros cuadrados.

14. La empresa “Productos Patito” produce artículos con un costo de $13 c/u. La empresa tiene costos dia-rios fijos (luz, renta, salarios, etcétera) que ascienden a $300 y planea vender cada artículo producidoa $19 c/u. a) Determina la relación lineal que existe entre la ganancia, I, de la empresa y el número, n,de artículos producidos diarios. b) Grafica esta relación. c) Describe el significado de la pendiente y laordenada al origen.

15. La longitud, L (en centímetros), de un feto de 12 semanas o más de edad, se puede establecer como L= 1.53 E − 6.7 aproximadamente, con E igual a la edad en semanas. Dibuja esta relación y describe elsignificado de la pendiente y de la ordenada al origen. Determina la longitud del feto a las 15 semanas.

16. Una máquina se deprecia linealmente. Si su valor hace cuatro años era de $ 180,000 y ahora vale$100,000.

a) Determina la ecuación que describe el valor V (en miles de pesos) de la máquina en términos deltiempo t (en años).

b) Calcula el valor de la máquina el año pasado.

c) Calcula el valor de la máquina para el próximo año.

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17. Calcula la distancia del punto P(3,−4) a la recta que

a) Pasa por los puntos A(4, −2) y B(1, 2)

b) Tiene pendiente m = −2/7 y pasa por (1, 1)

c) Es perpendicular a x = 2 y pasa por el origen.

18. Un avión está a 22 kilómetros de la pista en donde aterrizará y vuela a una altura de 3 kilómetros. De-termina la pendiente de su descenso.

19. La suma de los ángulos internos de un triángulo es de 180°. Si es un triángulo rectángulo determina larelación que existe entre los valores en grados de los ángulos no rectos y grafica esta relación. ¿Por quésólo hay gráfica en el primer cuadrante?

20. En cierto curso se realizarán dos exámenes, el primero tiene un peso del 35% y el segundo del 65%.La escala de calificaciones en cada examen es de 1 a 100. Si x y y representan las calificaciones del pri-mero y segundo exámenes, respectivamente, y un alumno quiere obtener una calificación de 70, escri-be la relación lineal que hay entre x y y, luego dibuja esta relación.

21. Determina la ecuación de la recta en cada caso:

a) b) c)

d) e) f)

−2

24

2

2

3

(2, 4)2

5, −2

(2, 3)

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3976.1 Recta

b)

23. Determina las desigualdades que representa el área sombreada en las gráficas.

0

2

−2

−4

0−2−4−6 2 4 6

y

x

0

2

−2

−4

0−2−4−6 2 4 6

y

x

22. Dada la gráfica de la región, determina la desigualdad que la representa:

a)

(−1, −2)

(3, 2)

(6, 1)(

(− −2)

(3, 2)

(6, 1)

(− −2)

(3, 2)

(6, 1)

(−1, −2)

)(3, 2)))(6, 1)

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Problemas para trabajar en equipo


2

3

2

3

2

3

(3, 2)

Con tu equipo de trabajo discute y resuelve las cuestiones que se proponen en las siguientes si-tuaciones:

1. La empresa “Patito, S. A de C. V.”, produce dos artículos “chunche tipo A”. Cada artículoA requiere de tres horas de mano de obra para su elaboración, mientras que cada artículo B ne-cesita de dos horas de mano de obra para fabricarse. a) Determina la relación entre las cantida-des de cada tipo de chunche que puede elaborar la empresa si cuenta esta semana con 60 horaspara mano de obra. b) Grafica la relación que encontraste en el inciso anterior. c) ¿Por qué lagráfica está sólo en el primer cuadrante? d) Encuentra la pendiente de esta recta y di cuál es susignificado.

2. Una avioneta está a cuatro kilómetros del aeropuerto y se encuentra a una altura de 500 me-tros sobre el suelo. Determina la pendiente de su trayectoria para que la avioneta pueda aterri-zar en el aeropuerto.

3. El valor de una máquina se deprecia linealmente. Hoy vale $45,000 y en 10 años valdrá$100, a) Expresa el valor de la máquina como función del número de años. b) Bosqueja la grá-fica. c) Determina su dominio.

4. El señor Gómez L. tiene una rutina de ejercicio. Cada tercer día se dirige en auto a la pistaque está a 2 kilómetros de su casa y camina durante una hora en línea recta a una velocidadconstante de 50 metros sobre minuto. El señor Gómez L. comienza a caminar a las 6:00 horas.Determina la ecuación lineal que describe la distancia a su casa en términos del tiempo t des-de las 6:00 horas y hasta las 7:00 horas.

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3996.1 Recta

1. Indica la opción que contiene una ecuación de la recta que pasa por los puntos P(4, −1) yQ(−2, 5).

a) x + y = 3

b) x + y = 5

c) x − y = 3

d) x − y = 5

2. Halla la opción que contiene la ecuación general de la recta que es perpendicular a 5x − 3y =15, y que pasa por el punto P(9, −2).

a) 3x + 57 = 37

b) −3x + 5y = 17

c) 3x + 5y = 17

d) −3x + 5y = 37

3. Calcula la distancia del punto P(2, 1) a la recta 6x + 8y = −5.

a) 2

b) 2.5

c) 3

d) 3.5

4. Elige cuál de las gráficas representa la región dada por y < 2x + 1, y > 1 − 0.8x.

a)

0

2

−2

−4

0−2−4−6 2 4 6

y

x

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b)

c)

d)

5. Encuentra en la columna B las pendientes de las rectas que aparecen en la columna A.

Columna A Columna B

a) 3x − 6y = 5 i. 4

b) Pasa por P(−3, 1), Q(2, −2) ii. 1/2

c) Perpendicular a 3x + 5y = 4 iii. −3/5

d) Paralela a 4x + 2y = 0 iv. 0

e) Perpendicular a x = 1 v. −2

vi. 3/5

0

2

−2

−4

0−2−4−6 2 4 6

y

x

0

2

−2

−4

0−2−4−6 2 4 6

y

x

0

2

−2

−4

0−2−4−6 2 4 6

y

x

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Respuestas a los

Ejercicios y problemas

4016.1 Recta

7. a) y = −x/2, x + 2y = 0; b) y = 2x/5 − 23/5, 2x − 5y = 23; c) y = −2x + 4, 2x + y = 4; d) y = x, x − y = 0;

e) y = 13x/6 + 25/3, 13x − 6y = 50; f) y = 3x/8 + 17/8, 3x − 8y = −17; g) x = −3, h) y = 5.

8. a) y = −3; b) x = 2; c) y = 3x/7 − 27/7; d) y = −7x/3 − 7/3; e) y = −3x + 3; f) y = −x/3 − 11/3;

g) y = −3; h) x = 2; i) x = 2; j) y = −3.

9. a) b)

c) d)

10. a) P b) Q c) P d) P e) ninguno f) ninguno

11. a) oblicuas b) perpendiculares c) oblicuas

2−2 4 6

5

−5

−15

−10

10

0

x

2 4 6 8 100

−1

1

2

3

4

5

x

2−4 −2 400

−10

20

10

x

2 4−4 −20

−20

−10

10

x

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12. a)

b)

c)

d)

y

x0

20

−20

0−20−40−60 20 40 60

0

20

−20

0−20−40−60 20 40 60

y

x

x0

20

−20

0−20−40−60 20 40 60

y

0

20

−20

0−20−40−60 20 40 60

y

x

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4036.1 Recta

0

20

−20

0−20−40−60 20 40 60

y

x

20 40 60 80

100

200

−200

−300

−100

0

n

e)

13. 4x/5 + y = 40, con x = número de minutos que trabaja Juan, y = números de minutos que traba-ja su primo.

14. a) I = 6n − 300; b)

c) m = ganancia neta por artículo producido y vendido, ordenada al origen = pérdida si no seproduce ningún artículo.

15.

m = cantidad de centímetros que creceel feto por semana, b = no tiene signifi-cado. En 15 semanas, el feto mide 16.25centímetros.

16. a) V = −20t + 180, con t = 0 hace cuatro años; b) 120,000; c) 80,000.

17. a) d = 2; b) d = 13/5; c) d = 4.

18. m = 3/22.

12 13 14 15 16 17 18

12

14

16

18

20

x

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19. α + β = 90∞, con α y β los ángulos del triángulo diferentes a 90°.

20. 0.35x + 0.65y = 70

21. a) y = −2x/3 + 2; b) y = −2x + 4; c) y = x + 2; d) y = −4x/5 + 2; e) y = 3x/2; f) y = 4

22. a) y ≤ −6x/7 + 6; b) y ≥ −x /2 + 2

23. a) y ≥ x/3 + 3, y ≤ x − 1; b) y ≤ x/3 + 3, y ≥ x −1; c) y ≤ x/3 + 3, y ≤ x − 1; d) y ≥ x/3 + 3, y ≥ x − 1;e) y ≥ −2x/2 + 2; f) y < −2x/2 + 2; g) y ≤ −2x/2 + 2, x ≥ 0, y ≥ 0; h) x ≤ 3

50 100 150 200

20

40

60

80

100

x

y

0

Respuestas a losejercicios de autoevaluación

1. a2. c3. b4. d5. (a, ii), (b, vi), (c, iii), (d, v) (e, iv)

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4056.2 Circunferencia

6.2 Circunferencia

No entiendes realmente algo amenos que seas capaz de explicárselo

a tu abuela.

Albert Einstein

Introducciónn

2−4 −2 40

−2

−4

2

4

¿Cuántos puntos tiene una circunferencia?

Una circunferencia es la curva cuyos puntos están a la misma distancia de unpunto fijo que llamaremos centro de la circunferencia. A la distancia de cualquierpunto de la circunferencia al centro se le llama el radio de la circunferencia.

De acuerdo con la definición, una circunferencia es una curva que está for-mada por una infinidad de puntos, cada uno a un radio de distancia del centro.

Seguramente has visto artículos que utilizamos en la vida diaria con forma decírculo o de una circunferencia.

¿Cuál es la diferencia entre círculo y circunferencia?La región encerrada por una circunferencia recibe el nombre de círculo. Esta

región tiene la propiedad de que entre las figuras de igual perímetro, es la quetiene mayor área.

A pesar de que son conceptos distintos, algunos autores acostumbran llamarcírculo a la circunferencia; en general, el contexto en que se usa aclara si se tratadel borde del círculo (circunferencia) o si se trata del interior de la circunferen-cia (círculo).

Las circunferencia es la segunda curva cónica que estudiaremos; la primeracurva cónica fue la recta.

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Ecuaciones de la circunferencia

Dado que la circunferencia consiste de puntos equidistantes del centro de la misma,podemos construir fácilmente su ecuación.

Sea C(h, k) el centro de una circunferencia de radio R, entonces si P(x, y) es un puntode la circunferencia, la distancia de C a P es R, es decir,

Si elevamos al cuadrado cada lado de la ecuación, obtendremos lo que se conoce comola forma centro-radio o forma estándar de la ecuación de la circunferencia:

… (1)

Así, por ejemplo, (x − 2)2 + (y − 3)2 = 8, es la ecuación de la circunferencia con centroen C(2, 3) y de radio 8. Podemos desarrollar los paréntesis en la ecuación anterior;obtendremos:

ó

x y x y2 2 4 6 5 0+ − − + =

x x y y2 24 4 6 9 8− + + − + =

x h y k R−( ) + −( ) =2 2 2

x h y k R−( ) + −( ) =2 2

Objetivos

Al terminar esta sección, serás capaz de:

• Reconocer la ecuación de una circunferencia y podrás graficarla.• Determinar la ecuación de una circunferencia de acuerdo a distintos tipos

de datos.

RP(x, y)C(k, k)

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Esta última ecuación es conocida como la forma general de la ecuación de la circun-ferencia.

Si procedemos de la misma forma, para la forma (1), encontraremos la forma gene-ral (2) de la ecuación de la circunferencia con C = −2h, D = −2k, y F = h2 + k2 − R2

… (2)

En los ejemplos desarrollaremos algunos casos para pasar de una a otra forma de laecuación. También veremos cómo encontrar la ecuación de una circunferencia a partir dealgunos datos conocidos, como son:

a) Centro y radio.

b) Tres puntos sobre la circunferencia.

c) Dos rectas tangentes a la circunferencia, con sus puntos de tangencia.

d) Una recta tangente con su punto de tangencia, otro punto sobre la circunferencia.

e) Una recta tangente, el punto de tangencia y el radio, etcétera.

x y Dx Ey F2 2 0+ + + + =

solución

Ejemplos

Ejemplo 1

Determina la ecuación, centro, radio y la ecuación general de la circunferencia que tiene centro enC(4, −7) y radio 5.

De acuerdo con (1), la ecuación centro radio es:

ó

Para obtener la ecuación general, simplemente desarrollamos el paréntesis y simplificamos:

De esta forma obtenemos:

Ejemplo 2

Determina el centro y el radio de la circunferencia definida por x2 + y2 −10x + 2y + 17 = 0

x y x y2 2 8 14 40 0+ − + + =

x y x y2 2 8 14 16 49 25+ − + + + =

x y−( ) + +( ) =4 7 252 2x y−( ) + − −( ) =4 7 52 2 2( )

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solución

solución


Para cambiar de la forma general a la forma centro radio, basta completar el cuadrado para x y para y.

Para x sumamos 25 a cada lado de la ecuación y para y sumamos 1 a cada lado:

Esta ecuación nos indica que el centro es C(5, −1) y el radio es 3.

Ejemplo 3

Bastan tres puntos para determinar la ecuación de una circunferencia.Determina la ecuación en su forma general de la circunferencia que pasa por los puntos A(2,−1),

B(−4, −3) y C(0, 3).

Tenemos dos métodos de solución. El primero radica en observar que cada uno de los puntos satis-face la ecuación (2), por lo que al sustituir las coordenadas de A, B y C obtenemos respectivamentelas ecuaciones

ó5 2 0

25 4 3 0

9 3 0

+ − + =− − + =

+ + =

⎧⎨⎪

⎩⎪

D E F

D E F

E F

2 1 2 1 0

4 3 4 3 0

0 3 0 3 0

2 2

2 2

2 2

( ) + −( ) + ( ) + −( ) + =−( ) + −( ) + −( ) + −( ) + =

( ) + ( ) + ( ) + ( ) + =

⎧

⎨⎪

⎩⎪

D E F

D E F

D E F

( ) ( )x y− + + =5 1 92 2

( ) ( )x y− + + + =5 1 17 262 2

( ) ( )x x y y2 210 25 2 1 17 25 1− + + + + + = +

( ) ( )x x y y2 210 2 17 0− + + + =

x y x y2 2 10 2 17 0+ − + + =

2 4 6 80

−4

−3

−2

−1

1

2

x

y

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Al resolver este sistema de ecuaciones lineales 3 × 3, obtenemos y , por lo

que la ecuación en su forma general es:

El segundo método de solución consiste en recordar que la intersección de dos mediatrices de dos cuerdasno paralelas se intersecan en el centro de la circunferencia. De esta forma, el centro corresponde a laintersección de las rectas bisectrices de los segmentos de recta AB

––y BC

––, en tanto que el radio lo calcu-

lamos como la distancia del centro a uno de los puntos A o B o C.La bisectriz del segmento AB

––la calculamos anteriormente: en el ejemplo 5 el punto 2 corres-

pondiente a rectas paralelas y perpendiculares de la sección 6.1. La ecuación que encontramos ahí fuey = −3x − 5.

Calculamos ahora la ecuación de la bisectriz del segmento BC––

.La pendiente de este segmento es:

por lo que la pendiente de la bisectriz es −2/3 (por ser perpendicular al segmento AC––

).El punto medio del segmento tiene coordenadas:

Al utilizar la fórmula punto pendiente, obtenemos:

Calculamos la intersección de las bisectrices al igualar sus ecuaciones:

de donde obtenemos , que corresponden precisamente a las coordenadas del centro de

la circunferencia.El radio es entonces la distancia del centro al punto A:

Por lo que la forma punto centro de la ecuación de la circunferencia es:

R = +⎛⎝

⎞⎠ + − +⎛

⎝⎞⎠ =2

11

71

2

7

650

49

2 2

x y= − = −11

7

2

7,

− − −3 5 = +x x2

3

4

3

y x y x= – ( + 2) ó = – +2

3

2

3

4

3

0 4

2

3 3

2

− −⎛⎝

⎞⎠, = (–2, 0)

m =3 3

0 4

3

2

− −− −

=( )

( )

x y x y2 2 22

7

4

7

75

70+ + + − =

F = − 75

7D E= =22

7

4

7,

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solución


Ejemplo 4

Encuentra la ecuación de la circunferencia, de radio 3, que es tangente en el punto P(2, 3) a la recta

L:

Como conocemos el radio, bastará determinar las coordenadas del centro C(h, k).Puesto que la recta L es tangente a la circunferencia, el centro de la circunferencia se encuentra sobre

la recta que es perpendicular a L y que pasa por el punto de tangencia P, que llamaremos S. La recta Stiene pendiente m = −2, por lo que su ecuación es:

y − 3 = −2(x − 2)S: y = 7 − 2x

Buscamos, de esta forma, las coordenadas del punto C(h, k), de tal forma que cumpla dos condiciones:a) que esté sobre la recta perpendicular, S, y b) que su distancia a la recta tangente, L, sea igual al radio.Cada condición nos da lugar a una ecuación:

k = 7 − 2h (a)

(b)

(para la ecuación (b), recuerda que la forma general de L es −x + 2y = 4). Sustituimos la ecuación (a) en la (b) y despejamos el valor de h:

− + −( ) −

− + ( )=

h h2 7 2 4

1 23

2 2( )

− + −

− + ( )=h k2 4

1 23

2 2( )

y x= +1

22

x y+⎛⎝

⎞⎠ + +⎛

⎝⎞⎠ =11

7

2

7

650

49

2 2

1−1−2−3−4−5 21

−1

−2

−3

−4

3

2

0

x

y

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Elevamos cada lado de la ecuación al cuadrado para quitar el valor absoluto:

(10 − 5h)2 = 45

Al resolver esta ecuación cuadrática, obtenemos dos valores para h:

y

Al sustituir cada valor de h en la ecuación (a), obtenemos dos valores para k:

y

De esta forma, obtenemos dos soluciones:

y

Por lo tanto, existen dos circunferencias tangentes a L en el punto P de radio 3:

y

Es fácil darnos cuenta en la gráfica que efectivamente existen dos soluciones.

x y− +⎛⎝

⎞⎠ + − −⎛

⎝⎞⎠ =2

3

55 3

6

55 9

2 2

x y− −⎛⎝

⎞⎠ + − +⎛

⎝⎞⎠ =2

3

55 3

6

55 9

2 2

C2 23

55 5 3+

6

5−⎛

⎝⎞⎠,C1 2

3

55 3

6

55 + −⎛

⎝⎞⎠,

k = +36

55k = −3

6

55

h = −23

55h = +2

3

55

10 5 3 5− =h

10 5

53

−=

h

−2

2

4

6

8

−2−4 2 4 6 80x

y

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Circunferencias, circunferencias degeneradasy circunferencias complejas

Establecimos en la parte anterior que la ecuación general de una circunferencia es laecuación (2):

Nos preguntamos si todas las ecuaciones de la forma (2) corresponden a una circunfe-rencia. La respuesta es no, depende de los valores de D, E y F. Para ver esto, completa-mos los cuadrados para tratar de recuperar la forma centro radio de la circunferencia:

(3)

Si el número D2 + E2 − 4F > 0, entonces tenemos una circunferencia de radio

Si el número D2 + E2 − 4F < 0, entonces no hay circunferencia, puesto que la cantidaddel lado izquierdo en (3) es positiva, mientras que la expresión del lado derecho es ne-gativa. Llamaremos a este caso, circunferencia compleja o circunferencia imaginaria.

Si la cantidad D2 + E2 − 4F = 0, entonces la ecuación (3) corresponde a un solo punto:

Este caso es conocido como la circunferencia degenerada.C − −⎛⎝

⎞⎠

D E

2 2,

D E F2 2 4+ −

xD

yE D E F+⎛

⎝⎞⎠ + +⎛

⎝⎞⎠ = + −

2 2

4

4

2 2 2 2

x DxD

y EyE D E

F22

22 2 2

2 2 2 2+ + ⎛

⎝⎞⎠ + + + ⎛

⎝⎞⎠ = ⎛

⎝⎞⎠ + ⎛

⎝⎞⎠ −

x y Dx Ey F2 2+ + + = −

x y Dx Ey F2 2 0+ + + + =

solución

Ejemplos

Ejemplo 1

Determina si la ecuación x2 + y2 + 2x − 3y + 5 = 0 corresponde a una circunferencia, una circunferen-cia degenerada o una circunferencia imaginaria.

En este caso, D = 2, E = −3 y F = 5, por lo que D2 + E2 − 4F = (2)2 + (−3)2 − 4(5) = −7. Esto significaque la ecuación corresponde a una circunferencia imaginaria.

Ejemplo 2

Determina si la ecuación corresponde a una circunferencia, una circunfe-

rencia degenerada o una circunferencia imaginaria.

x y x y2 2 4 321

40+ − + + =

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solución

solución


Tenemos, . Así, D2 + E2 − 4F = 4. Esto nos indica que la ecuación correspon-

de a una circunferencia de radio 2. Su ecuación centro radio se obtiene de completar los cuadrados (o dela fórmula (3)):

Ejemplo 3

Determina si la ecuación corresponde a una circunferencia, una circunferen-

cia degenerada o una circunferencia imaginaria.

Como D = 1, E = − 8 y F = 65/4, entonces D2 + E2 −4F = 0, por lo que este caso corresponde a una cir-

cunferencia degenerada, es decir, un solo punto, C −⎛⎝

⎞⎠

1

24,

x y x y2 2 865

40+ + − + =

x y−( ) + +⎛⎝

⎞⎠ =2

3

242

2

D 4, E = 3 y = − =F21

4

1 2 3 40

−1

−2

−3

x

y

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Ejercicios

y problemas


1. Describe con tus palabras qué es un círculo y qué es una circunferencia.

2. Describe qué significa que una recta sea tangente a una circunferencia.

3. Escribe cuál(es) es(son) la(s) diferencias entre la ecuación general y la ecuación centro radio de unacircunferencia.

4. Describe con tus palabras, cómo se pasa de la forma general a la forma centro radio de una circunfe-rencia.

5. Determina la ecuación, en su forma general, de la circunferencia con el centro y el radio dados.

a) C(2, −1), R = 3

b) C(1/2, −3), R = 1/2

c) C(−3, 2), R = 1

d) C(1/2, 1/2), R = 4

e) C(0, 2), R = 4

f) C(3, 0), R = 3

6. Determina la ecuación centro radio de la circunferencia dada.

a) x2 + y2 − 4x + 2y + 20 = 0

b) x2 + y2 + x − 2y + 1 = 0

c) x2 + y2 + 2x − y + 5 = 4

d) x2 + y2 + 4x − 6y − 2 = 0

e) 2x2 + 2y2 − 8x + 4y + 2 = 0

f) −x2 − y2 − 4x − 6y + 3 = 0

7. Clasifica la circunferencia en real, degenerada o compleja.

a) −x2 − y2 − 4x + 6y + 1 = 0

b) 4x2 + 4y2 − 4x + 8y + 4 = 0

c) x2 + y2 + x − 2y + 1 = 0

d) x2 + y2 + 4x − 6y + 13 = 0

e) x2 + y2 + 6x − 4y + 14 = 0

8. Determina la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos P, Q, R dados.

a) P(0, 0), Q(1, −1) y R(2, 3)

b) P(1, 1), Q(2, 2) y R(−2, 1)

c) P(1, 0), Q(0, 1) y R(1, 1)

d) P(0, −2), Q(−2, −1) y R(0, 0)

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Problemas para trabajar en equipo


9. Encuentra la ecuación de la circunferencia, de radio 4, que es tangente en el punto P(1, −1) a la rectaL: y = x − 2

10. Determina la ecuación en forma estándar de la circunferencia que toca tangencialmente a los ejes coor-denados en los puntos A(2, 0) y B(0, 2)

11. Determina la ecuación en forma estándar de la circunferencia que toca tangencialmente a los ejes coor-denados en los puntos A(−2, 0) y B(0, −2)

12. Determina la ecuación en forma estándar de la circunferencia que toca tangencialmente a los ejes coor-denados en los puntos A(−2, 0) y B(0, 2)

13. Determina la ecuación en forma estándar de la circunferencia que toca tangencialmente a los ejes coor-denados en los puntos A(2, 0) y B(0, −2)

14. Halla la ecuación de la circunferencia con centro en C(2, 2) y que es tangente al eje x

15. Halla la ecuación de la circunferencia con centro en C(−1, 3) y que es tangente a la recta 4x − 3y = 5

16. Encuentra la ecuación de la circunferencia con centro en C(4, −2) y que pasa por el punto P(0, −1)

17. Encuentra la ecuación de la circunferencia con centro en C(−1, 2) y que pasa por el punto P(2, −3)

18. Encuentra la ecuación de la circunferencia con centro en C(2, 0) y que pasa por el punto P(1, 4)

19. Halla la ecuación de la circunferencia con centro en C(2, 1) y que es tangente a la recta 3x + 4y = 0

20. Halla la ecuación de la circunferencia con centro en C(2, −2) y que es tangente a la recta x + 3y = −1

Con tu equipo de trabajo discutan y resuelvan las cuestiones que se proponen en las siguientessituaciones:

1. Encuentren un método para determinar las rectas tangentes a una circunferencia desde unpunto P. Por ejemplo, determina las rectas tangentes a la circunferencia (x − 3)3 + (y − 2)2 = 1que pasan por el punto (5, 6).

2. Determinen cómo encontrar la ecuación de una circunferencia que sea tangente a los ejescoordenados en el primer cuadrante, dado el radio R.

3. Determinen la ecuación de la recta tangente a la circunferencia con centro en C(0, 3) yradio 2, que tiene pendiente 2.

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1. Indica la opción que contiene la ecuación de la circunferencia con centro en C(2, −3) yradio 4.

a) x2 + 4x + y2 − 6y + 9 = 0

b) x2 − 6x + y2 + 4y − 9 = 0

c) x2 − 4x + y2 + 6y − 3 = 0

d) x2 + 6x + y2 − 4y + 3 = 0

2. Halla la opción que contiene la ecuación centro-radio de la circunferencia

a)

b)

c)

d)

3. Halla la ecuación de la circunferencia de radio 2 que es tangente en el punto P(1, −1) a larecta L: 4x + 3y – 1 = 0

a)

b)

c)

d)

4. Clasifica la circunferencia como real, degenerada o compleja 2x2 + 2y2 − 8x + 12y + 26 = 0

a) real

b) degenerada

c) compleja

x y+⎛⎝

⎞⎠ + −⎛

⎝⎞⎠ =19

17

23

174

2 2

x y+⎛⎝

⎞⎠ + −⎛

⎝⎞⎠ =65

17

19

174

2 2

x y−⎛⎝

⎞⎠ + −⎛

⎝⎞⎠ =23

17

19

174

2 2

x y−⎛⎝

⎞⎠ + −⎛

⎝⎞⎠ =19

17

65

174

2 2

x y−( ) + −⎛⎝

⎞⎠ =3

1

293

2

x y+⎛⎝

⎞⎠ + +( ) =3

21

9

4

32

x y−( ) + −⎛⎝

⎞⎠ =3

1

2

9

43

2

x y−⎛⎝

⎞⎠ + −( ) =3

21 9

32

x x y y2 261

40− + − + =

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5. Encuentra en la columna B las clasificaciones de las ecuaciones que aparecen en la columnaA.

Columna A Columna B

a)

b)

c)

d) x y y2 2 63

40+ − − =

x x y y2 2645

40− + − + =

x x y y2 2 417

40− + + + =

x x y y2 24

3

47

360− + − + = i. Circunferencia de radio 4

ii. Circunferencia compleja

iii. Un punto: C(1/2, −2)

iv. Circunferencia de radio 2

v. Un punto P(−2 ,1/2 )

Respuestas a los

Ejercicios y problemas

5. a) (x − 2)2 + (y + 1)2 = 9; b) (x − 1/2)2 + (y + 3)2 = 1/4; c) (x + 3)2 + (y − 2)2 = 1; d) (x − 1/2)2

+ (y − 1/2)2 = 16; e) x2 + (y − 2)2 = 16; f) (x − 3)2 + y2 = 9

6. a) (x − 2)2 + (y + 1)2 = 25; b) (x + 1/2)2 + (y − 1)2 = 1/4; c) (x + 1)2 + (y − 1/2)2 = 1/4;d) (x + 2)2 + (y − 3)2 = 15; e) (x − 2)2 + (y + 1)2 = 4; f) (x + 2)2 + (y + 3)2 = 16

7. a) real b) real; c) imaginaria d) degenerada e) imaginaria

8. a) 5x2 + 5y2 − 19x − 9y = 0; b) x2 + y2 + x − 7y + 4 = 0; c) x2 + y2 − x − y = 0; d) x2 + y2 +x − 7y + 4 = 0;

9. y

10. (x − 2)2 + (y − 2)2 = 4

11. (x + 2)2 + (y + 2)2 = 4

12. (x + 2)2 + (y − 2)2 = 4

13. (x − 2)2 + (y + 2)2 = 4

14. (x − 2)2 + (y − 2)2 = 4

15. (x – 3)2 + (y + 1)2 = 4

16. (x – 4)2 + (y + 2)2 = 17

x y− +( ) + + −( ) =1 8 1 8 42 2

x y− −( ) + + +( ) =1 8 1 8 42 2

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17. (x – 2)2 + (y + 1)2 = 4

18. (x – 2)2 + y2 = 17

19. (x – 2)2 + (y − 1)2 = 4

20. (x – 2)2 + (y + 2)2 = 9/10

Respuestas a losejercicios de autoevaluación

1. c2. d3. a4. b5. (a, iv), (b, iii), (c, ii), (d, i)

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