conjuntos

ELABORADO POR: LETICIA LOPERA

CARLOS GUEVARA

BEATRIZ EUGENIA TANGARIFE MEJIA

NOCIONES SOBRE CONJUNTOS

Un conjunto es una colección de objetos llamados elementos del conjunto.

Un conjunto puede escribirse por:

* Extensión: haciendo una lista explícita de sus elementos, separados por comas y encerrado entre llaves, o por

* Comprensión: dando la condición o condiciones que cumplen los elementos del conjunto.

Si un conjunto no tiene elementos se llama conjunto vacío y se denota por φ ó { }.

Si un conjunto es vacío o su número de elementos es un número natural , se dice que el conjunto es finito.

Si un conjunto no es finito, se dice que es infinito.

Si A es un conjunto, decimos que a pertenece a A y escribimos a A si a es un elemento de A. En caso contrario decimos que a no pertenece a A y escribimos a ∉ A. Si C y B son conjuntos, decimos que C es subconjunto de B y escribimos C ⊆ B si todo elemento de C es también elemento de B.

C ⊆ B

Propiedades:

Si A, B y C son conjuntos,

a) φ ⊆ A.b) A ⊆ A.c) Si A ⊆ B y B ⊆ C, entonces A ⊆ C.

Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si A ⊆ B y B ⊆ A. Es decir, A = B si y sólo si todo elemento de A está en B y todo elemento de B está en A.

Número de elementos de un conjunto:

Si A es un conjunto, denotaremos con n( A ) el número de elementos de A.

Ejemplo. Si V= {x /xesvocal } , entonces n(V ) = 5.

Si conocemos el número de elementos de ciertos conjuntos dados, es posible encontrar el número de elementos de la unión, intersección y complementos.

Si A∩B=φ ,n( A∪B)=n( A )+n(B)

Si A∩B≠φ , se tiene que n( A∪B)=n( A )+n(B)−n(A∩B )

Si A ∩ B ∩ C ≠ φ, se tiene que n( AUBUC) = n(A) + n(B) + n(C) – n (A ∩ B) – n(A ∩ C) –

n(B ∩ C) +n(A ∩ B ∩ C)

Ejemplo:

En el grupo de deportes del colegio hay 75 estudiantes y en danza hay 35. Halla el número de estudiantes que hacen deporte o danza:

a) Si los entrenamientos se hacen a la misma hora.

b) Si los entrenamientos se hacen en días diferentes y se sabe que 15 estudiantes pertenecen a ambos grupos.

Solución:

a) En este caso no se puede determinar con certeza el número de elementos, pues no sabemos cuántos estudiantes practican ambas cosas. Podemos asegurar que el número máximo es 110 y el mínimo 75.

b) Tenemos que si A=¿¿practica deporte} y B=¿¿ hace danza}, entonces

n( A∪B)=n( A )+n(B)−n(A∩B )

= 75 + 35 - 15

= 95

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

1. Unión

Sean A y B dos conjuntos. Definimos la unión de A y B, denotada AU B, como el conjunto A U B = {x/x A o x B}

A U B

2. Intersección

Sean A y B dos conjuntos. Definimos la intersección de A y B, denotada A ∩ B, como el conjunto A ∩ B = {x/x A y x B}

A ∩ B

Propiedades de la Unión y de la Intersección

Sean A, B y C conjuntos.

A U A = A A ∩ A = AA U φ = A A ∩ φ = φ A ⊆ (A U B); B ⊆ (A U B) (A ∩ B) ⊆ A, (A ∩ B) ⊆ BA U B = B U A A ∩ B = B ∩ AA U (B U C) = (A U B) U C A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ CA U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C) A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)

3. Complemento

Si U es un conjunto universal y A es un subconjunto de U, definimos el complemento de A, denotado A’ como el conjunto,

A’ = {x U / x ∉ A.}

Propiedades del Complemento

Sean A y B conjuntos.

a) (A’)’ = Ab) A U A’ = Uc) A ∩ A’ = φd) (A U B)’ = A’ ∩ B’e) (A ∩ B)’ = (A’ U B’)

Nota: Las dos últimas propiedades son conocidas como las "Leyes de De Morgan".

4. Diferencia

Sean A y B dos conjuntos. Definimos la diferencia de A y B, denotada A - B, como

A - B = {x/x A y x B}

A – B

Propiedades de la Diferencia

Sean A y B conjuntos.

a) A - B = A ∩ B’b) A - B ≠ B - Ac) A - A = φ;d) A - φ = Ae) U - A = A’

SISTEMAS NUMÈRICOS

Los números naturales son: 1, 2, 3, 4, ……….

Representamos por N al conjunto de todos lo números naturales, es decir, N = {1; 2; 3; 4,……….}

Los números enteros están formados por los números naturales junto con los números negativos y el 0. Denotamos por Z al conjunto de los números enteros: Z = {…….,-3,-2,-1,0,1,2,3,…….}:Algunas veces, se acostumbra escribir Z+ = N.El conjunto de los números racionales se obtiene al forma cocientes de números

enteros. Este conjunto lo denotamos por Q. Luego, r Q si y sólo si r =

, con p, q Z, q ≠ 0.

Existen números que no pueden expresarse en la forma con p, q Z; q ≠ 0. Estos números se denominan irracionales, denotados por I. Es posible probar que números como

; , , e,π pertenecen al conjunto I.

El conjunto de lo números reales se representa por R y consta de la unión de los racionales y los irracionales, es decir, R = Q U I.

Todos los números reales tienen una representación decimal. Si el número es racional, entonces, su decimal correspondiente es periódico. Por ejemplo

1 = 0:5000….= 0,502

1 = 0,3333…. = 3

157 = 0,3171717……. =0,3 495

9 = 1,285714285714…….. = 1, 7

La barra significa que la sucesión de cifras se repite indefinidamente. Si el número es

irracional, la representación decimal no es periódica, por ejemplo =1,41421356237… e = 2:7182818284590452354……

ACTIVIDADES PARA REALIZAR EN CLASE:

1. Utilizar figuras geométricas para formar conjuntos y analizar las operaciones entre ellos.

2. Plantear problemas para ser resueltos en grupos de 3.

2.1 A una fiesta asistieron 77 ejecutivos de los cuales 27 son gimnastas, 55 son hombres y 10 de las mujeres son gimnastas. La cantidad de personas que son hombres y no son gimnastas es. La cantidad de mujeres pero no gimnastas que hay en la fiesta es.

2.2 En una encuesta en un centro educativo sobre la práctica de los deportes que tienen los 100 estudiantes del plantel, se obtuvieron los siguientes resultados: 18 estudiantes practican fútbol, 26 baloncesto, 18 tenis, 9 practican fútbol y tenis;10, fútbol y baloncesto; 8, baloncesto y tenis, La cantidad de estudiantes que practican los tres deportes sabiendo que 59 estudiantes no practican ninguno de los tres deportes es:

2.3 Se llevó a cabo una investigación con 1000 personas, para determinar que medio utilizan para conocer las noticias del día. Se encontró que 400 personas escuchan las noticias en forma regular por TV, 300 personas escuchan las noticias por la Radio y 275 se enteran de las noticias por ambos medios. ¿Cuántas de las personas investigadas se enteran de las noticias solo por la TV? ¿Cuántas de las personas investigadas se enteran de las noticias solo por Radio? ¿Cuántas de las personas investigadas no escuchan ni ven las noticias?

2.4 Se realizó una encuesta a 11 personas, sobre sus preferencias por dos tipos de productos A y B. Obteniéndose lo siguientes resultados: El número de personas que prefirieron uno solo de los productos fueron 7. El número de personas que prefirieron ambos productos fue igual al número de personas que no prefirió ninguno de los dos productos. El número de personas que no prefieren el producto A y prefirieron el producto B fueron 3. Se desea saber: ¿Cuántas personas prefieren el producto A? ¿Cuántas personas prefieren el producto B solamente? ¿Cuántas personas prefieren ambos productos?

2.5 Se le preguntó a un grupo de 10 estudiantes sobre sus preferencias por dos marcas de refrescos Pepsi y Coca Cola. Obteniéndose lo siguientes resultados: El número de estudiantes que prefirieron Pepsi pero no Coca Cola fue de 3. El número de estudiantes que no prefirieron Pepsi fueron 6. Se desea saber: ¿Cuántos de los encuestados prefirieron Pepsi? ¿ Cuántos de los encuestados prefirieron Coca Cola? ¿ Cuántos de los encuestados prefirieron Pepsi o Coca Cola?

3. Expresar un número decimal periódico en forma de fracción.0,833333333….0,77777….0,545454….

4. SOLUCIONAR TALLER PROPUESTO

TALLER SOBRE CONJUNTOS

1. En una clase de historia de 50

estudiantes, 35 son estudiosos,

23 pierden y 8 de los que pierden

son estudiosos. Los estudiantes

que no son estudiosos y pierden

son:

a) 31

b) 20

c) 15

d) 27

2. Suponga que un conjunto de 100

pacientes de un hospital, 20

tienen dolores estomacales, 30

tienen gripe y 5 los dos síntomas.

Tienen dolores estomacales o

gripe:

a) 50 pacientes

b) 45 pacientes

c) 35 pacientes

d) 65 pacientes

3. En una clase de 50 estudiantes

hay 20 físicos y 40 matemáticos.

Son simultáneamente físicos y

matemáticos:

a) 10 estudiantes.

b) 90 estudiantes.

c) 70 estudiantes.

d) 30 estudiantes.

4. En una hamburguesería se

ofrecen dos tipos de

hamburguesas: sencilla y

especial. Al final del día, la

contabilidad arrojó los siguientes

datos: 130 prefirieron la sencilla,

170 la especial y 38 ambos tipos

de hamburguesas. Si el servicio

fue ofrecido a 350 personas,

entonces la cantidad de personas

que no tuvieron preferencia por

ninguna es:

a) 88

b) 12

c) 68

d) 78

5. En el colegio el 60% de los

alumnos juega fútbol, el 40 %

juega baloncesto y el 20%

ninguno de ellos. El porcentaje de

los alumnos del colegio que juega

ambos deportes es:

a) 10%

b) 0%

c) 20%

d) 8%

6. En una encuesta realizada en un

colegio de la ciudad a un total de

150 estudiantes, se hallaron los

siguientes datos: 54 estudian

Álgebra, 89 estudian Inglés, 80

estudian Ciencias Naturales, 60

estudian Ciencias Naturales e

Inglés, 10 estudian Álgebra

solamente, 20 estudian Álgebra y

Ciencias, 15 estudian las tres

materias simultáneamente. Los

estudiantes que estudian sólo

Inglés o sólo Ciencias son:

a) 15 estudiantes.

b) 20 estudiantes.

c) 49 estudiantes.

d) 45 estudiantes.

Los numerales del 7 al 9 se

responden de acuerdo con el

siguiente enunciado:

De los 55 estudiantes de un curso, 23

pierden matemáticas, 19 pierden física y

13 pierden química. 13 pierden

matemáticas y física, 7 física y química,

9 matemáticas y química y 4 las tres

materias.

7. Los estudiantes que perdieron

por lo menos una materia son:

a) 55

b) 30

c) 42

d) 50

8. Los estudiantes que no ganan

matemáticas sino física son:

a) 10

b) 17

c) 16

d) 5

9. Los estudiantes que ganan física

pero no química son:

a) 1

b) 4

c) 5

d) 6

Los numerales del 10 al 14 se

responden de acuerdo con el

siguiente enunciado:

Al finalizar el año de estudios se

observó, analizando tres materias M, B

y E, que el 2% reprobó las tres materias,

el 6% reprobó M y B, el 5 % reprobó B y

E, el 10% reprobó M y E, el 19%

reprobó M, el 32% reprobó B y el 16%

reprobó E.

10.El porcentaje de estudiantes que

aprobó las tres materias es:

a) 2%

b) 17%

c) 52%

d) 15%


reprobó B si y sólo si aprobó E

es:

a) 62%

b) 27%

c) 38%

d) 57%


reprobó una materia exactamente

es:

a) 16%

b) 32%

c) 13%

d) 31%


aprobó a lo sumo una materia es:

a) 83%

b) 31%

c) 15%

d) 17%


aprobó mínimo dos materias es:

a) 31%

b) 52%

c) 17%

d) 83%

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