CONJUNTOS, LÓGICA E INDUCCIÓN...

Pgina del Colegio de Matemticas de la ENP-UNAM Conjuntos, lgica e induccin matemtica Autor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa

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CONJUNTOS, LGICA E INDUCCIN MATEMTICA

UNIDAD I I.1 CONJUNTOS I.1.1 IDEA INTUITIVA DE CONJUNTO Y SUS FORMAS DE EXPRESIN Un conjunto es una coleccin de elementos especificados que poseen algo comn. Los conjuntos se denotan por letras maysculas. En general, existen tres formas de representar conjuntos: 1. Por extensin. Los elementos de los conjuntos se colocan entre llaves y se forma una lista que se

separa por comas. De esta manera, el conjunto enumera a todos sus elementos sin repeticin. Por

ejemplo: { }conejocanariopezperrogatoA ,,,,= 2. Por comprensin. Los elementos se expresan a travs de una regla que determina su naturaleza.

Tambin se emplean llaves y se utiliza el smbolo | que significa "tal que" a manera de condicin. Por

ejemplo: { }verdecolordefrutassonxxF = 3. Por diagramas de Venn. Son regiones planas cerradas que contienen a los elementos sin la necesidad de

especificarlos. Son muy tiles para visualizar las relaciones y operaciones entre conjuntos. Por ejemplo:

C

B

A

Cuando un elemento pertenece a un conjunto se le denota por . Ejemplos. Escribir por extensin a los siguientes conjuntos:

a) { }NortedelAmricadepasunesxxP = Solucin:

{ }MxicoUnidosEstadosCanadP ,,= b) { }612


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c) { }445


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Subconjunto. Si cada elemento de un conjunto B es tambin un elemento del conjunto A , se dice que B es subconjunto de A . Es decir, es un conjunto contenido en otro conjunto. Se denota como

AB . Por ejemplo: Si { }40,22,13,11,9,7,5,4,2=M , { }9,5,4,2=I y { }22,13,6=N , entonces MI y .MN Como puede deducirse, el conjunto vaco es un subconjunto de todo conjunto: si A es un conjunto cualquiera, entonces A Conjunto universal. Es aquel conjunto que posee a todos los elementos bajo consideracin y se representa

como U . Esto implica que cualquier conjunto es subconjunto del conjunto universal. Por ejemplo: Si { }semanaladedaslossonxxU = y { }vierneslunesW ,= , entonces UW

El conjunto ordenado de los nmeros naturales, { }= ,6,5,4,3,2,1N , es el ejemplo bsico de un conjunto infinito. Contar es el proceso de poner en correspondencia biunvoca (uno a uno) los elementos de un conjunto, con algn subconjunto ordenado de N . Por ejemplo, el siguiente conjunto posee cinco elementos.

{ }

54321

,,,,

= X

La cardinalidad de un conjunto A es el nmero de elementos que posee. Se denota como ( )A . Por definicin, la cardinalidad del conjunto vaco es cero. Ejemplos.

Si { }fuegotierraaguaaireK ,,,= , ( ) 4= K Si { }BeijingAtenasSidneyAtlantaBarcelonaSelJ ,,,,,= , ( ) 6= J I.1.2 OPERACIONES CON CONJUNTOS La unin de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o a .B

Se denota como: .BA U

Formalmente, se define como: { }.BxAxxBA =U Esto significa que a los elementos del conjunto A se le aaden, sin repetir, los del conjunto B . Grficamente:

U

A B

BAU


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Ejemplo. Dados los siguientes conjuntos:

{ }verderosarojonaranjaamarilloazulA ,,,,,= { }grisverderojomoradolilacafazulB ,,,,,,=

Obtener .BA U Solucin:

{ }grismoradolilacafverderosarojonaranjaamarilloazulBA ,,,,,,,,,=U La interseccin de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A

y a .B Se denota como: .BA I

Formalmente, se define como: { }BxyAxxBA =I . Esto significa que x es el conjunto de los elementos comunes de A y B . Grficamente:

U

A B

BA I

Ejemplo. Sean los siguientes conjuntos:

{ }uvamelnnaranjaciruelaperamangoA ,,,,,= { }uvaduraznoperafresasandamelnpiaB ,,,,,,=

Obtener .BA I Solucin:

{ }uvamelnperaBA ,,=I

La cardinalidad del conjunto BAU est dada por ( ) ( ) ( ) ( )BABABA IU += . Ejemplo

Dados los conjuntos anteriores, comprobar que ( ) ( ) ( ) ( )BABABA IU += Solucin.

Contando los elementos de los conjuntos se tiene que: ( ) 10=BAU , ( ) 6=A y ( ) 7=B { }verderojoazulBA ,,=I ( ) 3= BAI

Aplicando la expresin: ( ) 10376 =+=BAU , lo cual coincide con el primer resultado.


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Cuando dos conjuntos A y B no tienen elementos en comn, su interseccin es el vaco. En este caso se dice que los conjuntos A y B son ajenos o disjuntos, es decir : .=BA I Ejemplo. Estos conjuntos son ajenos:

{ }AfricaOceanaAmricaEuropaAsiaA ,,,,= { }NeptunoSaturnoMarteVenusMercurioB ,,,,=

ya que .=BA I Si B es un subconjunto de ,A se define como el complemento de B en A al conjunto de

elementos que pertenecen a A pero no a .B Se representa como 'B o tambin como cB .

Formalmente, se define como: { }.BxyAxx'B = Esto significa que las x son los elementos que estn fuera del conjunto B . Grficamente:

A

B

B


{ }ManzanilloVallartaPuertoVeracruzMazatlnCancnIxtapaHuatulcoPazLaCozumelA ,,,,,,,,={ }ManzanilloCancnPazLaCozumelB ,,,=

Obtener '.B Solucin. Dado que AB , entonces { }VallartaPuertoVeracruzMazatlnIxtapaHuatulcoB ,,,,'= De acuerdo a las definiciones de complemento, de unin y de interseccin, se advierte que:

( ) AA ='' U=' ='U

UAA ='U ='AA I

La diferencia de los conjuntos BA (en ese orden) es el conjunto de los elementos que slo

pertenecen a .A


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{ } ,,,,,,,,=A { } ,,,,,,=B

Obtener BA y .AB Solucin:

{ } ,,,,= BA { } ,,= AB

Formalmente, se define como: { }.BxyAxxBA = Esto significa que la diferencia de dos conjuntos slo contempla a los elementos del primer conjunto y que no pertenecen al segundo. Grficamente:

U

A B

A - B

Del diagrama anterior se deducen las siguientes expresiones:

a) = AA b) AA = c) ''' ABBABA == I d) ,= BA si y slo si BA e) ,ABBA = si y slo si BA = f) ,ABA = si y slo si =BA I g) ABA h) Los conjuntos ,BA BA I y AB son mutuamente ajenos, es decir, la interseccin de dos de estos conjuntos es el vaco.


{ }27,24,21,18,15,12,9,6,3=U , { }27,21,18,12,6,3=A , { }27,24,21,12,9,3=B , { }24,12,3=C , { }27,21,18,12,6,3=D , { }18,15,6=E

Se cumple que: Solucin: a) = AA , ya que poseen los mismos elementos. b) AA = , el vaco al no tener elementos al restarlo del primer conjunto representa al mismo conjunto.


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c) { }24,15,9'=A { }18,15,6'=B

{ }18,6= BA { }18,6'=BAI

{ }18,6'' =AB d) Como BC , se tiene que:

= BC e) Como DA = , se tiene que:

== ADDA f) Como =EB I se tiene:

BEB = g) { } ABA = 18,6 h) { }27,21,12,3=BAI

{ }24,9= AB { } ABA = 18,6

( ) ( ) = BABA II ( ) ( ) = ABBA I ( ) ( ) = ABBA II Ejemplo. Sean los siguientes conjuntos:

{ }151 +== n,Nn,nxxU { }613


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g) { }16,15,14,12,11,10,9,8,6,5,4,3,2' =LJ U h) { }13,7'=LJ I i) { }15,11,9,5,3,2'' =JLI j) { }13,7'' =JL k) ( ) { }15,11,9,5,3,2'=LJ U l) ( ) { }15,14,13,12,11,9,8,7,6,5,3,2'=LJ I I.1.3 PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS Las propiedades ms notables que rigen las operaciones con conjuntos son: 1. Propiedades de identidad:

AA =U UUA =U =IA AUA =I

2. Propiedades de idempotencia:

AAA =U AAA =I

3. Propiedades asociativas:

( ) ( )CBACBA UUUU = ( ) ( )CBACBA IIII = 4. Propiedades conmutativas:

ABBA UU = ABBA II =

5. Propiedades distributivas:

( ) ( ) ( )CABACBA UIUIU = ( ) ( ) ( )CABACBA IUIUI =

I.1.4 LEYES DE DE MORGAN Las Leyes de De Morgan permiten simplificar la unin e interseccin de complementos: 1. El complemento de la unin de dos conjuntos es la interseccin de sus complementos:

( ) ''' BABA IU = Utilizando diagramas se tiene:


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En el diagrama de la izquierda, BAU viene dada por la regin en blanco y ( )'BAU est representado por el rea sombreada verticalmente. Por su parte en el diagrama de la derecha, 'A es la regin sombreada horizontalmente, 'B es el rea sombreada verticalmente, por lo que '' BAI est representado por la superficie cuadriculada:

( )'BAU

BA

'' BAI

BA=

U U

2. El complemento de la interseccin de dos conjuntos es la unin de sus complementos:

( ) ''' BABA UI = Utilizando diagramas se tiene:

En el diagrama de la izquierda, BAI est dada por la regin sombreada horizontalmente y ( )'BAI est representado por el rea sombreada verticalmente. Por su parte, en el diagrama de la derecha, 'A es la regin sombreada horizontalmente, 'B es el rea sombreada verticalmente, por lo que '' BAU est representado por aquella superficie que no es blanca:

( )'BAI

BA

'' BAU

BA=

UU


{ }= *,,$,,,,,#&,,,, U


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{ }*$,,,,, = >A { }= *,,,#,,B

Comprobar las leyes de De Morgan: Solucin:

{ }= *,$,,,,#,,,>UBA { }*,,=BAI

{ }= ,,,#&,,'


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En general, las proposiciones pueden ser: Simples si slo tienen un sujeto, un verbo y un complemento. En caso contrario, son proposiciones

Compuestas. Cerradas si tienen determinado el sujeto. Abiertas si no lo tienen determinado. Afirmativas o Negativas. Segn lo afirmen o nieguen. Verdaderas o Falsas segn correspondan o no a la realidad. Ejemplos. h: "Ana come pizza y bebe refresco", es una proposicin compuesta, cerrada y afirmativa. j: "Ella no nada muy rpido", es una proposicin simple, abierta y negativa. k: Cuernavaca no est al norte del D.F. y no hace fro", es una proposicin compuesta, cerrada, negativa y verdadera. l: 1037 =+ es una proposicin simple, cerrada, afirmativa y verdadera. m: 22 xx es una proposicin simple, abierta y negativa. n: 6=+ ba es una proposicin compuesta, abierta y afirmativa. I.2.2 CONECTIVOS LGICOS EN PROPOSICIONES COMPUESTAS Existen conectivos u operadores lgicos que permiten formar proposiciones compuestas, es decir, formadas por varias proposiciones. Los operadores o conectores bsicos son: Conjuncin (operador and) Se utiliza para conectar dos proposiciones que se deben cumplir para que se pueda obtener un resultado verdadero. Se le conoce como multiplicacin lgica y su smbolo es (and). Ejemplo. Sea el siguiente enunciado: "Voy al cine cuando hay una buena pelcula y cuando tengo dinero " Sean: p: Voy al cine. q: Hay una buena pelcula. r: Tengo dinero. De tal manera que la representacin del enunciado anterior usando simbologa lgica es como sigue: p = qr Su tabla de verdad es como sigue:

q r pr 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0

Donde. 1 = verdadero 0 = falso En la tabla anterior el valor de q=1 significa que hay una buena pelcula, r=1 significa que tengo dinero y p=qr=1 significa que voy ir al cine. Se puede notar que con cualquiera de las dos proposiciones que valga cero implica que no asisto al cine.


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Disyuncin (operador or) Con este operador se obtiene un resultado verdadero cuando alguna de las proposiciones es verdadera. Se conoce como suma lgica y su smbolo es (or). Ejemplo. Sea el siguiente enunciado: Para ir a Toluca puedo tomar la carretera federal o tomar la autopista de cuota Sean: p: Ir a Toluca. q: Tomar la carretera federal. r: Tomar la autopista de cuota.

q r pr 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0

En la tabla anterior el valor de q=1 significa tomar la carretera federal, r=1 significa tomar la autopista de cuota y p=qr=1 significa ir a Toluca. Se puede notar que con cualquiera de las dos proposiciones que valga uno implica que llego a Toluca. Negacin (operador not) Su funcin es negar la proposicin. Esto significa que s alguna proposicin es verdadera y se le aplica el operador not se obtendr su negacin (falso) y viceversa. Este operador se indica por medio del smbolo . Ejemplo. Sea el siguiente enunciado: El len es el rey de la selva Sean: p: El len es el rey de la selva. p: El len no es el rey de la selva. Su tabla de verdad es como sigue:

p p 1 0 0 1

En la tabla anterior el valor de p=1 significa que el len es el rey de la selva, y p=0 significa que el len no lo es1. Ejemplo. Sean las proposiciones: p: Ya es tarde. q: Tengo que dormirme. r: Me levantar temprano. El enunciado: "Ya es tarde y tengo que dormirme o no me levantar temprano. Se puede representar simblicamente de la siguiente manera: pqr

1 Adems de los operadores bsicos (And, Or y Not) existe el operador Xor, cuyo funcionamiento es semejante al operador Or con la diferencia de que su resultado es verdadero solamente si una de las proposiciones es cierta, y cuando ambas son verdad, el resultado es falso. Por otro lado, con ayuda de los operadores bsicos se pueden formar los operadores compuestos Nand (combinacin de los operadores Not y And), Nor (combina operadores Not y Or) y Xnor (resultado de Xor y Not).


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I.2.3 PROPOSICIONES CONDICIONALES Una implicacin o proposicin condicional, es aquella que est formada por dos proposiciones simples (o compuesta) p y q. Se indica de la siguiente manera:

pq (se lee "si p entonces q") Ejemplo. Un profesionista dice "Si ahorro me podr comprar una casa en tres aos ". Una declaracin como esta se conoce como condicional. Sean: p: Ahorro. q: Podr comprar una casa en tres aos . De tal manera que el enunciado se puede expresar como: pq Su tabla de verdad es de la siguiente manera:

p q pq 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1

La interpretacin de los resultados de la tabla es la siguiente: Analizando si el profesionista minti con la afirmacin del enunciado anterior: Cuando p=1 significa que ahorr y q=1 que se compr la casa en tres aos, por lo tanto pq =1 (el profesionista dijo la verdad). Cuando p=1 y q=0 significa que pq =0, el profesionista minti, ya que ahorr y no se compr la casa. Cuando p=0 y q=1 significa que aunque no ahorr se compr la casa (ya tena los recursos), as que no minti, de tal forma que pq =1. Cuando p=0 y q=0 se interpreta que aunque no ahorr tampoco se compr la casa, por lo tanto pq =1 ya que tampoco minti. I.2.4 PROPOSICIN BICONDICIONAL Sean p y q dos proposiciones. Una doble implicacin o proposicin es bicondicional cuando p es verdadera si y solo si q es tambin verdadera. O bien p es falsa si y slo si q tambin lo es. Se indica de la siguiente manera:

pq (se lee "p si y slo si q") Ejemplo. Sea el siguiente enunciado: "Una persona puede votar, si y slo si, tiene credencial de elector" Donde: p: Una persona puede votar. q: Tiene credencial de elector. Su tabla de verdad es.

p q pq 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1

La interpretacin de los resultados de la tabla es la siguiente: Cuando p=1 significa que una persona puede votar y q=1 que tiene credencial, al ser esto cierto, pq =1. Cuando p=1 y q=0 significa que pq =0, una persona puede no votar, ya que no posee la credencial. Cuando p=0 y q=1 significa que una persona no puede votar aunque tenga credencial (por ejemplo los


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residentes en el extranjero), esto es que pq =0. Cuando p=0 y q=0 se interpreta como que ni puede votar ni tiene credencial, por lo tanto es cierto pq =1. Ejemplo. Representar simblicamente el enunciado: "Si no pago la luz, entonces me cortarn la corriente elctrica. Y Si pago la luz, entonces me quedar sin dinero o pedir prestado. Y Si me quedo sin dinero y pido prestado, entonces no podr pagar la deuda, si y slo si soy desorganizado" Solucin p: Pago la luz. q: Me cortarn la corriente elctrica. r: Me quedar sin dinero. s: Pedir prestado. t: Pagar la deuda. w: Soy desorganizado.

(pq)[p(rs)][(rs)t]w El nmero de lneas de la tabla de verdad depende del nmero de variables de la expresin y se puede calcular por medio de la siguiente formula.

No de lneas = n2 donde n es el nmero de variables distintas. Ejemplo. Dada la siguiente proposicin: [(pq)(qr)](rq). elaborar su tabla de verdad. Solucin.

p q r q pq (qr) (pq) (qr) rq [(pq)(qr)](rq) 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1

I.2.5 TAUTOLOGA, EQUIVALENCIA Y CONTRADICCIN Tautologa es aquella proposicin (compuesta) que es cierta para todos los valores de verdad de sus variables. Un ejemplo tpico es la proposicin contrapositiva cuya tabla de verdad se indica a continuacin.

p q p q pq qp (pq)(qp) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1


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Ntese que en las tautologas para todos los valores de verdad el resultado de la proposicin es siempre uno. Las tautologas son muy importantes en Lgica Matemtica ya que se consideran leyes en las cuales se puede apoyar para realizar demostraciones. Se dice que dos proposiciones son lgicamente equivalentes, o simplemente equivalentes. Si coinciden sus resultados para los mismo valores de verdad. Se indican como pq. En el ejemplo anterior, se puede observar que las columnas de (pq) y (qp) son iguales para los mismos valores de verdad, por lo tanto se puede establecer que (pq) (qp) Contradiccin es aquella proposicin que siempre es falsa para todos los valores de verdad, una de las mas usadas y mas sencilla es pp . Como lo muestra su correspondiente tabla de verdad.

p p pp 0 1 0 1 0 0

Ejemplo. Si se tiene p: El coche es verde, la proposicin pp equivale a decir que "El coche es verde y el coche no es verde". Por lo tanto se esta contradiciendo, es decir, es una falacia. I.2.6 LEYES NOTABLES EN LGICA Las leyes de lgica ms notables son las que se enlistan a continuacin: 1.- Ley de doble negacin p''p 2.- Leyes de idempotencia (pp) p (pp) p 3.- Leyes asociativas [(pq)r] [p(qr)] [(pq)r] [p(qr)] 4.- Leyes conmutativas (pq) (qp) (pq) (qp) (pq) (qp) 5.- Leyes distributivas [p(qr)] [(pq)(pr)] [p(qr)] [(pq)(pr)] 6.- Leyes de De Morgan (pq)' (p'q') (pq)' (p'q')


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1.2.7 MTODOS DE DEMOSTRACIN Todo enunciado puede ser planteado en trminos de teoremas. Un teorema por lo general es resultado de un planteamiento de un problema, que normalmente presenta el siguiente formato:

(p1p2pn) q Como se establece p1, p2, p3, pn son hiptesis (o premisas) derivadas del mismo problema y que se consideran vlidas. Pero adems debern conectarse con el operador And (), lo cual implica que p1 es cierta y () p2 es verdad y ()...... y pn tambin es cierta entonces () la conclusin (q) es cierta. Para realizar la demostracin formal del teorema se deber partir de las hiptesis, y despus obtener una serie de pasos que tambin deben ser vlidos, ya que son producto de reglas de inferencia. Sin embargo no solamente las hiptesis y reglas de inferencia pueden aparecer en una demostracin formal, sino tambin tautologas conocidas. En el teorema anterior cada uno de los pasos p1, p2, p3, pn son escalones que debern alcanzarse hasta llegar a la solucin. Lo mismo ocurre con todo tipo de problemas que se nos presentan en la vida, antes de llegar a la solucin debemos alcanzar ciertas metas (p1, p2, p3, pn) hasta llegar al objetivo o conclusin (q). Pero una vez que se logra el objetivo se deben plantear nuevos objetivos que permitan la superacin. Los mtodos de demostracin ms conocidos son los siguientes: Demostracin por el mtodo directo El mtodo de demostracin directa parte de la proposicin p, que se supone verdadera, y deducir de ella una nueva proposicin q que se pueda ver que es verdadera como resultado de que p lo es. Es importante resaltar que las proposiciones deducidas de p no deben ser hechas de cualquier modo, deben estar enfocadas hacia la ltima proposicin obtenida. El camino que se debe seguir para llevar a cabo una demostracin formal usando el mtodo directo significa que si se sabe que p1 es verdadera, p2 es verdadera,..., y pn tambin es verdadera, entonces se sabe que q es verdadera. Prcticamente todos los teoremas matemticos estn compuestos por implicaciones del tipo:

(p1p2pn) q donde las pi son llamadas hiptesis o premisas, y q es llamada conclusin. "Demostrar el teorema", es demostrar que la implicacin es una tautologa. Ntese que no se trata de demostrar que q (la conclusin) es verdadera, sino solamente que q es verdadera si todas las pi son verdaderas. El mtodo de demostracin indirecta El mtodo de demostracin indirecta consiste en proceder al revs. Se fija la atencin primeramente en q, es decir en la afirmacin a la que se quiere llegar. Ubicada la premisa p, se va tratando de buscar situaciones intermedias p1, p2, p3, pn de las que q se podra deducir. Se identifica si alguna de estas podra estar relacionada con la situacin p, se podra deducir de ella. Cuando se encuentra, se verifica que el camino inverso que se ha encontrado, ahora de p a q, es correcto. Mtodo de demostracin por reduccin al absurdo En el mtodo de demostracin de reduccin al absurdo, se debe empezar suponiendo que p es verdadera, al igual que se haca en el mtodo de demostracin directa. Ahora, sin embargo, para llegar a la conclusin buscada, a saber, que q es verdadera se puede proceder haciendo una pregunta muy


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simple: Por qu no puede q ser falsa?. Despus de todo, si q tiene que ser verdadera, debe haber alguna razn por la que no pueda ser falsa. El objetivo del mtodo de demostracin por reduccin al absurdo es, precisamente, descubrir esa razn. La idea es suponer que p es verdadera y q falsa y ver que no puede ocurrir esto. En la prctica la demostracin por reduccin al absurdo inicia considerando como hiptesis q y finaliza cuando el proceso de demostracin obtiene dos proposiciones que se contradicen una a la otra. Ejemplo. Demostrar por reduccin al absurdo que la raz cuadrada de un nmero natural es natural o irracional. Solucin. Sean los nmeros naturales A y B primos entre s con 1B

Suponiendo un nmero racional de la forma B

An =

Si se eleva al cuadrado: 2

2

B

An =

Resulta un absurdo puesto que el miembro izquierdo es natural y el miembro derecho es racional e irreducible. Por lo tanto la raz cuadrada de un nmero natural no es racional. La demostracin por contraposicin El mtodo de la demostracin por contraposicin, tiene la ventaja de que se va a dirigir hacia una contradiccin concreta. En la demostracin por contraposicin, al igual que la demostracin por reduccin al absurdo, se supone que tanto p como q son verdaderas. En el mtodo por contraposicin, sin embargo, no se parte de p y q, sino que se empieza a trabajar solamente con q y el objetivo es llegar a que p es falsa, con lo que ya se ha llegado a una contradiccin qu mejor contradiccin? cmo puede ser p a la vez verdadera y falsa? I.3 INDUCCIN MATEMTICA Dentro de las Matemticas existen proposiciones tanto generales como particulares. Ejemplos de proposiciones generales, son las siguientes: p: Todos los nios de Mxico tienen derecho a la educacin. q: En todo paralelogramo las diagonales se cortan en el punto medio de ambas. r: Todos los nmeros que terminan en cero son divisibles por 5. Algunas de las proposiciones particulares que se pueden deducir de stas son respectivamente: s: Beto tiene derecho a la educacin. t: Las diagonales del paralelogramo ABCD se cortan en el punto medio de ambas. u: 140 es divisible por 5. El paso de las proposiciones generales a las particulares se denomina deduccin. Ejemplos: p: Todos los nios en Mxico tienen derecho a la educacin. v: Beto es nio mexicano. s: Beto tiene derecho a la educacin.


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Se observa que la proposicin s ha sido deducida de la proposicin p mediante la proposicin v. Ahora bien, la forma lgica de razonamiento que parte de proposiciones particulares y llega a las generales se denomina induccin. La induccin puede llevar a conclusiones verdaderas o, a conclusiones falsas. Ejemplos. 1) p: 140 es divisible por 5. q: Todos los nmeros que terminan en cero son divisibles por 5. De la proposicin particular p se ha obtenido la proposicin q, que es verdadera. 2) u: 140 es divisible por 5. w: Todos los nmeros de tres dgitos son divisibles por 5. De la proposicin particular u se ha obtenido la proposicin w que es falsa. La pregunta que surge ahora es: cmo debe de emplearse la induccin en las Matemticas para llegar siempre a conclusiones verdaderas? Los ejemplos considerados permiten concluir fcilmente que una proposicin puede ser vlida en una serie de casos particulares y no serlo en general. Ahora surge otra pregunta. Se tiene una proposicin vlida en varios casos particulares y es imposible analizar todos los casos. Cundo se puede afirmar que esta proposicin es vlida en general? La respuesta se logra aplicando un razonamiento especial conocido como mtodo de induccin matemtica: Toda demostracin que se basa en el principio de induccin matemtica se denomina demostracin por induccin. Esto consta de verificar que se cumplan las siguientes condiciones: La proposicin es vlida para 1=n La proposicin es vlida para 1+= kn si lo es para kn = , donde k es un nmero arbitrario Si estas condiciones se cumplen se puede afirmar que la proposicin es vlida para todo nmero natural. Para todo fin prctico, el proceso de demostracin de una identidad enunciada para todos los nmeros naturales consta de tres pasos: 1. Verificar el cumplimiento de la identidad para 1=n 2. Establecer la identidad para kn = 3. Demostrar, mediante procesos algebraicos, que tambin es vlida para 1+= kn . Ejemplos. Aplicando el principio de induccin matemtica, demostrar las siguiente identidades:

1) ( )

2

14321

+=+++++ nnn

Solucin: Se verifica la validez para 1=n :

( )1

2

2

2

1111 ==+=

Se establece para kn = :


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( ) ( )1_2

14321

+=+++++ kkk

Ahora, para 1+= kn se tiene: ( ) ( )[ ] ( )( ) ( )2_

2

21

2

11114321

++=+++=++++++ kkkkk

sumando 1+k en ambos miembros de la expresin ( )1 : ( ) ( ) ( )1

2

114321 +++=+++++++ kkkkk

expresando convenientemente: ( ) ( )

2

12

2

114321

+++=+++++++ kkkkk

factorizando ( )

2

1+k:

( ) ( )[ ] ( )( ) ( )3_2

21

2

11114321

++=+++=++++++ kkkkk

como ( ) ( )32 = queda demostrada la validez para 1+= kn .

2) ( ) 2127531 n-n =+++++ Solucin: Se verifica la validez para 1=n :

211 = Se establece para kn = :

( ) ( )1_127531 2k-k =+++++ Ahora, para 1+= kn se tiene:

( )[ ] ( ) ( )211127531 2 _kk +=++++++ sumando ( )[ ]112 +k en ambos miembros de la expresin ( )1 :

( ) ( )[ ] ( )[ ]112112127531 2 ++=+++++++ kkkk ( ) ( )[ ] 122112127531 2 ++=+++++++ kkkk ( ) ( )[ ] 12112127531 2 ++=+++++++ kkkk

factorizando el trinomio:

( ) ( )[ ] ( ) ( )31112127531 2 _kkk +=+++++++ como ( ) ( )32 = queda demostrada la validez para 1+= kn .

3) ( ) 233333

2

14321

+=+++++ nnn


( )11

2

2

2

1111 2

223 ==

=

+=



20

( ) ( )1_2

14321

233333

+=+++++ kkk

Ahora, para 1+= kn se tiene:

( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( )2_2

21

2

11114321

2233333

++=

+++=++++++ kkkkk

sumando ( )31+k en ambos miembros de la expresin ( )1 :

( ) ( ) ( )32

333333 12

114321 ++

+=+++++++ kkkkk

expresando convenientemente:

( ) ( )[ ] ( )4

14

4

114321

32333333 +++=+++++++ kkkkk

( ) ( ) ( )4

14114321

322333333 +++=+++++++ kkkkk

factorizando ( )

4

1 2+k:

( ) ( ) ( )[ ]4

14114321

22333333 +++=+++++++ kkkkk

( ) ( ) [ ]4

44114321

22333333 +++=+++++++ kkkkk

( ) ( ) ( )4

2114321

22333333 ++=+++++++ kkkk

expresando en trminos de cuadrados:

( ) ( )( ) ( )3_2

2114321

233333

++=++++++ kkk


4) ( )( )

6

1214321 22222

++=+++++ nnnn


( ) ( )( ) ( )( )1

6

6

6

321

6

11211112 ===++=

Se establece para kn = : ( )( ) ( )1_

6

1214321 22222

++=+++++ kkkk


( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )( )( ) ( )2_6

3221

6

11211114321 22222

+++=+++++=++++++ kkkkkkk

sumando ( )21+k en ambos miembros de la expresin ( )1 :


21

( ) ( )( ) ( )2222222 16

12114321 ++++=+++++++ kkkkkk

expresando convenientemente:

( ) ( )( ) ( )6

1612114321

2222222 ++++=+++++++ kkkkkk

factorizando ( )1+k : ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

6

1612114321 222222

++++=+++++++ kkkkkk

( ) ( )[ ]6

662114321

2222222 ++++=+++++++ kkkkkk

( ) ( )[ ]6

672114321

2222222 +++=+++++++ kkkkk


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )3222

3242

2

12272

2

62722672

222 ++=++=++=++=++ kkkkkkkkkk

por lo tanto:

( ) ( )( )( ) ( )3_6

322114321 22222

+++=++++++ kkkk


5) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 111

54

1

43

1

32

1

21

1

+=

++++++

n

n

nn


( ) 21

11

1

21

1 =+

=


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1_111

54

1

43

1

32

1

21

1

+=

++++++

k

k

kk


( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2_21

11

1

21

1

54

1

43

1

32

1

21

1

++=

+++=

+++++++

k

k

k

k

kk

sumando ( )( )211

++ kk en ambos miembros de la expresin ( )1 :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )211

121

1

1

1

54

1

43

1

32

1

21

1

+++

+=

+++

++++++

kkk

k

kkkk

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( )( )2112

21

1

1

1

54

1

43

1

32

1

21

1

++++=

+++

++++++

kk

kk

kkkk

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )2112

21

1

1

1

54

1

43

1

32

1

21

1 2

++++=

+++

++++++

kk

kk

kkkk



22

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( )( )211

21

1

1

1

54

1

43

1

32

1

21

1 2

+++=

+++

++++++

kk

k

kkkk

reduciendo:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )321

21

1

54

1

43

1

32

1

21

1_

k

k

kk ++=

+++++++


6) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )3

141212654321

-nnnnn

+=++++


( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 23

6

3

321

3

11411121 ===+=


( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1_3

141212654321

-kkkkk

+=++++


( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]3

11411112112654321

++++=++++++ kkkkk

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )( )( ) ( )2_3

342112112654321

+++=++++++ kkkkk

sumando ( )[ ] ( )12112 ++ kk en ambos miembros de la expresin ( )1 : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( )[ ] ( )12112

3

14112112212654321 ++++=+++++++ kkkkkk-kkk

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( )( )3

121614112112212654321

++++=+++++++ kkkkkk-kkk

factorizando 1+k :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]3

12614112112212654321

+++=+++++++ kkkkk-kkk

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]3

6124112112212654321

2 +++=+++++++ kkkkk-kkk

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]3

6114112112212654321

2 +++=+++++++ kkkkkkk


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )3424

3484

4

244114

4

6411446114

222 ++=++=++=++=++ kkkkkkkkkk

por lo tanto:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )( )( ) ( )33

342112112654321 _

kkkkk

+++=++++++


CONJUNTOS, LÓGICA E INDUCCIÓN...

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