IMD-IS. Lógica. Conjuntos -...

LógicaConjuntos

Álgebras de Boole

IMD-IS. Lógica. Conjuntos

Emmanuel Briand

ETSII. Universidad de Sevilla.

2012

Emmanuel Briand IMD-IS. Lógica. Conjuntos

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Álgebras de Boole

Proposiciones

�2 + 3 = 4�

�Hoy es lunes�

�Si x = 2 entonces x2 = 4�

�Ojalá no llueva hoy !�

�x > 0 y x < 1.�

�Existe una in�nidad de números primos p tal que p + 2es primo.�


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Proposiciones compuestas

Proposición simple / Proposición compuesta.

�Hoy es lunes y llueve�

�Si llueve, no salgo�

�5 ≥ 3 y 5 ≤ 6�


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Conectores lógicos

y

o

no

si . . . entonces . . .

. . . si y solo si . . .

. . .


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Conectores lógicos y tablas de verdad

p q p y q

V V V

V F F

F V F

F F F

p q p o q

V V V

V F V

F V V

F F F

p no p

V F

F V

p q p ⇔ q

V V V

V F F

F V F

F F V


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Hay simbolos para estos conectores lógicos . . .


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Razonamiento por equivalencia

{x +2y = 03x +4y = 1{x +2y = 0

−2y = 1{x +2y = 0

y = −1/2{x −1 = 0

y = −1/2{x = 1y = −1/2


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El conector de implicación

p q p ⇒ q

V V V

V F F

F V V

F F V

�Si hay vida extraterrestre entonces 1 + 1 = 2��Si 1 + 1 = 3 entonces todos los estudiantes excepto unoaprobarán la asignatura�


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Formulas lógicas

Conoceis formulas como:

x2 + y − 1

Las letras x e y son variables que representan números incógnitos.Aquí está una formula lógica:

p ∨ (¬p ∧ q)

Las letras p y q representan proposiciones incógnitas.


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Ejercicios

¾ Cuál es la negación de:

�1234567 es primo y 7654321 es primo�?

�Si Grouchy hubiese llegado a tiempo, Napoleón habría

ganado la batalla de Waterloo� ?

Simpli�car: �p ∨ (¬p ∧ q)�


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Una equivalencias lógicas importantes

Equivalencia = doble implicación

�p ⇔ q� es lógicamente equivalente a �(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)�.

�p implica q� cuando la hipotesis no se cumple, o cuando laconclusión se cumple.

�p ⇒ q� es lógicamente equivalente a (¬p) ∨ q

Una implicación es equivalente a su contrarreciproco

�p ⇒ q� es lógicamente equivalente a �(¬q) ⇒ (¬p)�


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Contrarreciproco y reciproco

La implicación �p ⇒ q� tiene:

como reciproco: �q ⇒ p�.

como contrarreciproco �(¬q) ⇒ (¬p)�.

La implicación: �Si tengo hambre entonces estoy de mal humor.�tiene:

como reciproco: �Si estoy de mal humor entonces tengohambre.�

como contrarreciproco: �Si no estoy de mla humor, entoncesno tengo hambre�.

La implicación es lógicamente equivalente a su contrarrecíproco,NO es lógicamente equivalente a su reciproco.


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Las leyes de la lógica

p ≡ p Ley de la doble negación

p ∨ q ≡ p ∧ q

p ∧ q ≡ p ∨ q

ffLeyes de De Morgan

p ∨ q ≡ q ∨ p

p ∧ q ≡ q ∧ p

ffConmutatividad de ∨ y ∧

(p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r)(p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)

ffAsociatividad de ∨ y ∧

p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

ffDistributividad de cada una de las operacionescon respecto a la otra

p ∨ p ≡ p

p ∧ p ≡ p

ffLeyes de idempotencia

p ∨ f ≡ p

p ∧ v ≡ p

ffv y f son neutros para ∧ y ∨ respectivamente.

p ∨ v ≡ v

p ∧ f ≡ f

ffLeyes de dominación

p ∨ p ≡ v

p ∧ p ≡ f

ffp Leyes de los inversos

p ∨ (p ∧ q) ≡ p

p ∧ (p ∨ q) ≡ p

ffLeyes de absorción


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Y las paréntesis

Sean a, b, c tres enteros.�a es primo y b es primo o c no es primo�¾ Qué signi�ca ?

�a es primo y (b es primo o c no es primo)��(a es primo y b es primo) o c no es primo�


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Ejemplos de conjuntos

{(1, 2), (3, 2), (1, 1)} un conjunto de pares de números{x , y , z} un conjunto de variables{exp, cos} un conjunto de funciones

{{1}, {1, 2}, {2, 5}} un conjunto de conjuntos{1, exp, {1}, {1, 2}} un conjunto de varios tipos de objetos.

½ El orden no cuenta !


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De�nir un conjunto por medio de una propiedadcaractéristica

�Sea B el conjunto de todos los números enteros pares n

que cumplen n ≥ 2 y n < 9�

B = {n | n es un entero par y n ≥ 2 y n < 9}

B = {2, 4, 6, 8}


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Subconjuntos. El conjunto vacío

Los subconjuntos de {1, 2} son: ∅, {1}, {2} y {1, 2}.


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Unión, intersección, Diferencia

x ∈ A ∪ B ssi (x ∈ A o x ∈ B)

x ∈ A ∩ B ssi (x ∈ A y x ∈ B)

x ∈ A \ B ssi (x ∈ A y x 6∈ B)

x ∈ A ssi (x 6∈ A)


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Conectores lógicos y conjuntos

Union ↔ �o�: x ∈ A ∪ B ssi (x ∈ A o x ∈ B)

Intersection ↔ �y�: x ∈ A ∩ B ssi (x ∈ A y x ∈ B)

Compleentario ↔ negación: x ∈ A ssi (x 6∈ A)

Incluido en ↔ implica: A ⊂ B ssi (x ∈ A implica x ∈ B)

Iguales ↔ equivalentes: A = B ssi (x ∈ A es equivalente ax ∈ B)


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Las leyes de la teoría de conjuntos

A = A Ley del doble complemento

A ∪ B = A ∩ B

A ∩ B = A ∪ B

ffLeyes de De Morgan

A ∪ B = B ∪ A

A ∩ B = B ∩ A

ffConmutatividad de ∪ y ∩

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

ffAsociatividad de ∪ y ∩

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

ffDistributividad de cada una de las opera-ciones con respecto a la otra

A ∪ A = A

A ∩ A = A

ffA es idempotente para ambas operaciones

A ∪ ∅ = A

A ∩ X = A

ffX y ∅ son neutros para ∩ y ∪respectivamente.

A ∪ X = A

A ∩ ∅ = ∅

ffX y ∅ son absorbentes para ∪ y ∩respectivamente.

A ∪ A = X

A ∩ A = ∅

ffA es inversa de A para ∪ y ∩

A ∪ (A ∩ B) = A

A ∩ (A ∪ B) = A

ffLeyes de absorción


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Conjuntos y diagramas

A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )

Intuición: diagrama

Demostración formal: ver apuntes.


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Un ejemplo de demsotración:A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )

Idea 1:

x ∈ A ∩ (B ∪ C ) ⇔ (x ∈ A) ∧ (x ∈ (B ∪ C ))

⇔ . . .

Idea 2: para demostrar que dos listas de nombres tienenexactamente el mismo contenido (pero a lo mejor no en el mismoorden),

comprobo que cada nombre en la primera lista aparece en lasegunday luego que cada nombre en la segunda lista aparece en laprimera.

Esta idea se aplica a conjuntos (incluso in�nitos):X = Y ⇔ X ⊂ Y y Y ⊂ X


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Leyes de lógica, leyes de conjuntos


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Cualquier conjunto equipado con tres operaciones +, ×, ′ y con doselementos distinguidos 0 y 1, que satisface las 10 propiedades delcuadro. (Pero basta comprobar cinco de ellas)

Conjunto operaciones elementos especiales

Los subconjutos deun conjunto X

∪, ∩, complementario ∅ y X

{V ,F} ∨, ∧, ¬ F y V

{0, 1} +, ×, ′ 0 y 1

Álgebra de Boole de la lógica =álgebra de conmutación (mu-

tatis mutandis)


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