LÓGICA Y CONJUNTOS

Lógica y conjuntos

José David Ojeda M.

Matemáticas - 11º

1. Proposiciones

Matemáticas - 11º

1. Proposiciones

• Las proposiciones son enunciados que se pueden calificar como verdaderos o falsos.

• La opiniones, preguntas, ordenes y exclamaciones no son proposiciones.Ejemplos:

• a) Un año tiene 345 días• b) -3 + 4 = 1 c)

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1. Proposiciones• Proposición simple: Es aquella en la

que no se utilizan términos de enlace. Su valor de verdad es Verdadero o falso, en algunos casos puede ser indeterminado

• Ejemplo: p: Hoy es jueves; q: el 3 es numero primo; r: 7 en un factor del 14;s: Hoy llueve en Medellín (Ind)

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1. Proposiciones• Proposiciones compuestas: Están

formadas por dos o mas proposiciones simples, unidas por elementos de enlace llamados conectores lógicos.

Conectivo lógico Símbolo

y

O

si...entonces…

…si y solo si…

Negación (no)

1. Proposiciones

• Ejemplo: Dadas las proposicionesp: la suma de los dígitos de 15 es 6q: es un numero ir racionesr: 15 es múltiplo de 3s: Escribir la proposiciones compuestas:

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9

9 3

a) b) c

)

d) e )

p q q r p r

q s s

1. Proposiciones• Solución:

: La suma de los dígitos de 15 es 6 y es un numero irracional.

: es un numero irracional o 15 es múltiplo de 3. : Si la suma de los dígitos del 15 es 6, entonces 15

es múltiplo de 3. : es un numero irracional, si y solo si, . :

a) p q9

b) q r 9

c) p r

d) q s 9

9 3e) s 9 3

1. Proposiciones

• Negación de una proposición ( )Permite cambiar el valor de verdad de una proposición. Si la proposición p tiene valor de verdad verdadero, su negación

es falsa, y viceversa.

se lee “no p”

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p

p

1. Proposiciones

• Ejercicio: Negar la proposición y escribir el valor de verdad de la negación:

• a) p : Todos los días son festivos (F) : No todos los días son festivos (V)

• b) q : (V) : (F)

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p

15 3 12 q 15 3 12

1. Proposiciones

• Conjunción: Proposición compuesta por dos o mas proposiciones unidas por el conector lógico “y”, que se simboliza Valor de verdad de la conjunción:

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p qV V V

V F F

F V F

F F F

p q

1. Proposiciones

• Disyunción: Proposición compuesta por dos o mas proposiciones unidas mediante el conectivo “o”, que se simbolizaValor de verdad de la disyunción:

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p qV V V

V F V

F V V

F F F

p q

1. Proposiciones• Ejercicios: Determinar el valor de verdad de

las siguientes proposiciones compuestas:• a) : 20 es múltiplo de 3 y 4 es divisor de

12.La proposición p es falsa y la proposición q es verdadera, por lo tanto es falsa.

• b) : 18 es múltiplo de 6 ó 18 es múltiplo de 5 La proposición r es verdadera y la proposición s es falsa, por tanto es verdadera.

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p q

p q

r s

r s

1. Proposiciones• Condicional: Proposición compuesta

por dos o mas proposiciones unidas mediante el conectivo “si…entonces…”, que se simboliza Valor de verdad del condicional:

p qV V V

V F F

F V V

F F V

p q

1. Proposiciones• Bicondicional: Se presenta cuando

cada proposición implica a la otra. Están relacionadas por el conectivo “si y solo si”, que se simboliza Valor de verdad del condicional:

p qV V V

V F F

F V F

F F V

p q

1. Proposiciones• Ejemplo: Determinar el valor de verdad de

las siguientes proposiciones compuestas:• a) : Si 20 termina en cero, entonces es

múltiplo de 5.La proposición p es verdadera y la proposición q es verdadera, por tantoes verdadera.

• b) : 6 es un factor de 12, si y solo si, 6 x 2 = 12.Ambas proposiciones son verdaderas, por tanto es verdadera

p q

p q

r s

r s

1. Proposiciones• Tablas de verdad: Se usan para

determinar el valor de proposiciones compuestas.

• Ejemplo: Hallar el valor de verdad de

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V V V F V F F

V F F V F V V

F V F V F V V

F F F V V F V

p q p q p q p q p q p q

p q p q

p q

1. Proposiciones• Ejemplo 2: Hallar el valor de verdad

de la siguiente proposición:

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V V V V V

V F F F V

F V V F V

F F V F V

p q p q p q p q p q p p q p q

1. Proposiciones

• Ejercicios: Elaborar la tabla de valor de verdad para cada una de las siguientes proposiciones:

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a) b)

c

) d )

p q q p p q p q

p p q p q q p

2. Teoría de conjuntos

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Un conjunto es una colección de objetos determinados, a cada objeto del conjunto se le denomina elemento.Dado un objeto y un conjunto, se puede establecer si el elemento pertenece o no al conjunto.Los conjuntos se nombran con letras mayúsculas.

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2. Teoría de conjuntos• Recordemos los conjuntos numéricos

Reales (R)

Racionales (Q)

Irracionales

(I)

Enteros

(Z)

Fraccionarios

PositivosNegativos

Positivos (N)CeroNegativos

PositivosNegativos


• Determinación de conjuntos:• Un conjunto se determina por

extensión cuando se nombra cada uno de los elementos que lo integran.

• Ejemplo: El conjunto de los números naturales pares se determina por extensión así:

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2, 4, 6, 8, 10, 12,......M


• Un conjunto se determina por comprensión cuando se recurre a la propiedad que lo caracteriza y que solo cumplen sus elementos:

• Ejemplo: El conjunto de los números pares se determina por comprensión así:

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/ 2M x N x n


• Ejemplo: Determinar por extensión y por comprensión los siguientes conjuntos.

a) El conjunto de los números primos menores que 35Por Extensión:

Por comprensión:

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2, 3, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31P

/ es un numero primo 1 35P x x x


b) El conjunto de los cuadrados perfectos menores que 100.Por extensión:

Por comprensión:

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0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81S

2/ 0 100, S x Z x n n n Z

2. Teoría de conjuntos• Relación de Pertenencia:

Un elemento pertenece a un conjunto si cumple con las características que definen al conjunto. El símbolo se utiliza para expresar dicha relación.

• Si el elemento a pertenece al conjunto B, se escribe y se lee a pertenece a B.

• Si el elemento t no pertenece al conjunto H se escribe y se lee t no pertenece a H .

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a B

t H

2. Teoría de conjuntosRELACIONES ENTRE CONJUNTOS

• Relación de contenencia: Un conjunto A esta incluido en un conjunto B, si y solo si todo elemento de A es también elemento de B.

• Se simboliza y se lee A esta contenido en B o A es subconjunto de B.

• Si existe por lo menos un elemento de A que no pertenece a B, se dice que A no esta contenido en B y se escribe

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A B

A B


• Ejemplo: Determinar las relaciones de contenencia entre cada par de conjuntos.

ya que todos los naturales divisibles entre 5 cumplen con la condición

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/ : es divisible entre 5

/ : 5

H x x N x

I x x Q x

H I

5x


ya que el conjunto I no contempla ningún numero negativo, mientras que el conjunto J si.

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/ : 5

1/ :

5

I x x Q x

J x x R x

J I


• Relación de Igualdad: Dos conjuntos A y B son iguales si tienen exactamente los mismos elementos

• Simbólicamente:

• Es decir todo elemento de A pertenece a B y todo elemento de B pertenece a A.

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A B A B B A

2. Teoría de conjuntos• Ejemplo: Determinar si los siguientes

conjuntos son iguales.

• K esta compuesto por los enteros positivos menores o iguales a 16, esto es

por tanto

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/ 4

0, 1, 2, 3... 13, 14, 15, 16

K x x Z x

L

0, 1, 2, 3... 13, 14, 15, 16K

K L

2. Teoría de conjuntos• OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS:

Intersección entre conjuntos: La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen simultáneamente a A y B.

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• Simbólicamente

Si el conjunto es vacio, se dice que A y B, son conjuntos disyuntos:de lo contrario se dice que son conjuntos intersecantes:

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/ A B x x A x B

A B

A BA B

A B

2. Teoría de conjuntos• Ejemplos: Dados…

Hallar y representar en un diagrama de Venn.

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A B ) b) c d ) )B C C D Ca A

2

/ , 4 5

/ , 6

/ , 10

/ , 4 0

A x x Z x

B x x Z x

C x x Z x

D x x Z x

2. Teoría de conjuntosB) Aa

-4 -3

-2 -1 0

1 23 4

5

6

A B 1, 2, 3, 4

b) B C

1 2 3

4 5 6

-1

-2 -3

B C

C D C D

c) C D

A BB C

-1

-2 -3

C -1

-2 -3

C

-4

0

12

3

4

d) A CA

A C C


• Unión entre conjuntos: La unión entre los conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos de A o a B o a ambos.

Simbólicamente,

/ A B x x A x B

2. Teoría de conjuntos• Ejemplo: Dados los conjuntos

Hallar y representarlo en un diagrama de Venn.

/ 3 1 15

/ 12 5 36

A x x es multiplo de x

B x x es multiplo de x

A B

2. Teoría de conjuntos• Solución: Determinando A y B por

extensión se tiene que.

• Entonces:

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3, 6, 9, 12, 24, 36A B

3 6

9

24

36

12

A B

3, 6, 9, 12 12, 24, 36A B


• Cardinal de un conjunto: Es la cantidad de elementos que posee, el cardenal del conjunto A se simboliza n(A).

• Para el ejemplo anterior:

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4; 3;n A n B

6; 1n A B n A B En general:

n An A n A BB n B


• Unión de conjuntos a partir de la relación existente entre ellos:

• La parte sombreada corresponde a la unión.

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2. Teoría de conjuntos• Propiedades de la unión y la

intersección1.Conmutativa:

2.Asociativa:

3.Distributiva:

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A B B A A B B A

A B C A B C A B C A B C

A B C A B A C

A B C A B A C

4. Absorción

A B A A

B A B B


• Diferencia entre conjuntos: La diferencia entre los conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B.

• Simbólicamente:

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/ A B x x A x B A B B A


• Ejemplo: Sean

Hallar: y y representar cada operación en un diagrama de Venn.

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/ , en numero par 15

/ , 2 6

R x x N x x

S x x Z x

R S S R


• Solución:

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R S

8 10

12 14

24 6

-2 -1 1 0

3 5

8 10

12 14

24 6

-2 -1 1 0

3 5

S R

8, 10 , 12, 14R S

R S R S

2, 1, 0, 1, 3, 5S R

2. Teoría de conjuntos• Conjunto Universal: Formado por todos los

elementos del tema en referencia, se representa gráficamente mediante un rectángulo y simbólicamente mediante U.

• Complemento de un conjunto: El complemento de un conjunto con respecto al conjunto universal U es el conjunto formado por los elementos que no pertenecen a A. El complemento de A se simboliza A’ o Ac y se lee A complemento.Simbólicamente

' / A U A x x U x A

2. Teoría de conjuntos• Ejemplo: Dados

Hallar A’ y representarlo en un diagrama de Venn.

• Solución:

Luego:

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U / 1 20

/ es divisor de 18

x x N x

A x x

U 1, 2, 3,..., 19, 20 1, 2, 3, 6, 9, 18A

' 4, 5, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 20A


• Gráficamente:

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1 2

3 6 9

18

4 57 8 10

11 12 13

1415 16

1719 20

A

U

2. Teoría de conjuntos• Ejercicio: Dados los siguientes

conjuntos

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U / , 3 20

/ , 3

/ , 1 8

/ , 4

x x Z x

A x x Z x

B x x Z x x

C x x Z x

2. Teoría de conjuntos• Escribir los elementos

correspondientes a cada expresión:

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' ' '

' ' '

' ' ' '

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

13. 14. 15. ' '

A B B C B C

C A A B B A

A B B C

A C C A A B

B C A B B C

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