ETAPA 2

ETAPA 25

ETAPA 2

CONTROL ANALOGICOCURSO

FABIAN BOLIVAR MARINTUTOR

JOSE RAMON VALENCIA QUINTEROCARLOS ROMULO ARANAJOSE EDER BONILLAHERMES FERNANDO MARTINEZ

GRUPO 299005_22

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIASANTIAGO DE CALI, NOVIEMBRE DE 2015

1. INTRODUCCION

Existen muchos procesos y sistemas dinmicos, en la naturaleza y en la industria que necesitan ser analizados y representados mediante modelos matemticos. En este trabajo colaborativo analizaremos un sistema en el que debemos disear un controlador de velocidad para un motor DC, y a partir de su funcin de transferencia analizar la dinmica del sistema en el dominio de la frecuencia.

Lo anterior ser desarrollado a travs de un trabajo por etapas donde cada integrante del grupo har un anlisis del problema y lluvia de ideas, una propuesta metodolgica, un diseo y plan de ejecucin y, por ltimo, se consolidara un producto final dando cumplimiento a la fase de presentacin de resultados.

2. OBJETIVOS

Analizar la dinmica de los sistemas con relacin a su respuesta en frecuencia. Identificar e implementar las simulaciones del controlador diseado. Verificar y argumentar cada uno de los resultados obtenidos.

3. DESCRIPCIN DEL PROBLEMA:Una empresa multinacional reconocida dedicada a la fabricacin de reproductores DVD y Blu-Ray mont un punto de fbrica en Colombia, cumpliendo con los estndares de calidad necesarios en la produccin de dichos electrodomsticos. Sin embargo, desde hace un tiempo se han venido presentando problemas en el funcionamiento de los motores de corriente continua (DC) usados para implementar el mecanismo que hace girar los discos pticos en los reproductores, ya que giran a velocidades diferentes a las establecidas por la empresa para el correcto funcionamiento de los reproductores o cambian constantemente de velocidad.Para corregir este problema, la empresa ha decidido incorporar mdulos controladores en las tarjetas principales de los reproductores. Por tal razn, ha decidido contratar a un grupo de estudiantes de Ingeniera Electrnica de la Universidad Nacional Abierta y a Distancia para que disee un prototipo de controlador que permita mantener el motor DC girando a una velocidad constante para que la lectura del disco ptico sea ptima. Se debe garantizar igualmente un funcionamiento aceptable del controlador ante perturbaciones que se puedan presentar por fallas elctricas o seales parsitas en el sistema.La empresa solicita al grupo de estudiantes que se entregue la funcin de transferencia del controlador, con las respectivas simulaciones que demuestren que dicho controlador cumple con los parmetros del diseo propuesto, adems del proceso de diseo detallado descriptiva y matemticamente.Segn especificaciones tcnicas de los motores, su funcin de transferencia es:

Como requisitos de diseo se necesita que la velocidad del motor una vez implementado el mdulo no difiera en ms del 20% del valor requerido; adems, el motor debe estabilizarse en mximo 2 segundos y debido a que velocidades altas del eje del motor pueden daarlo, se requiere un sobrepaso mximo del 10%. Adems, por las caractersticas del reproductor, se necesita que el sistema en lazo cerrado tenga un coeficiente de amortiguamiento () de 0.6 a una frecuencia (n) de 4 rad/seg. 4. RESUMEN DEL ANALISIS DEL GRUPO

El trabajo que debemos hacer en la etapa 2 consiste en disear un compensador para el lector de DVD en el que se debe hacer un anlisis de la dinmica del sistema en el dominio de la frecuencia. Si analizamos la informacin que nos da el problema tenemos la siguiente funcin de transferencia:

Para el primer punto podemos construir un diagrama de Bode y analizar los resultados con una gran variedad de herramientas computacionales de las que se pueden disponer, sin embargo, haciendo esto no vamos a tener la oportunidad de adquirir habilidades que nos permiten tener la intuicin para saber los efectos que van a tener los nuevos polos y ceros que se vamos aadiendo en el diagrama de Bode. Lo mejor es hacer este diagrama manualmente y paso a paso.

Para el segundo punto, en consenso con el grupo, debemos decidir cul es el controlador ms adecuado para nuestro sistema, por lo que debemos analizar el sistema y escoger entre control proporcional, Proporcional integrador o proporcional integrador derivativo. Habiendo escogido el controlador, se deben realizar todos los clculos respectivos.

Para la simulacin, podemos utilizar el programa Matlab o SciLab, construir el controlador diseado por el grupo y probar la seal de salida de acuerdo a una entrada dada.

5. LISTADO DE CONCEPTOS CONOCIDOS

SistemaUna combinacin de elementos que interactan en conjunto para lograr un objetivo

Sistema EstticoUn sistema esttico es aquel cuya salida en un momento determinado slo depende de la entrada en ese momento. Un sistema esttico contiene todos los elementos estticos. Sistema DinmicoUn sistema dinmico es aquel cuya salida actual depende de las entradas pasadas. Cualquier sistema que contiene al menos un elemento dinmico debe ser un sistema dinmico.SealesLas seales son el medio a travs del cual el sistema interacta con su entorno. El sistema tiene sus fronteras definidas de forma precisa; este sistema recibe del entorno unas seales de entrada y entrega a su entorno unas seales de salida.

PerturbacionesSon seales que no pueden ser manipuladas y se pueden dividir en aquellas que se pueden medir directamente y en otras que son solamente observadas a travs de su influencia sobre la salida.

Causalidad IntegralCada vez que la salida de un elemento es la integral de la entrada y la direccin de la relacin causa-efecto no es reversible, se dice que el elemento exhibe una Causalidad Integral.

Elemento EstticoCuando el valor actual de salida de un elemento slo depende del valor actual de su entrada.

Elemento DinmicoSi la salida actual de un elemento depende de las entradas anteriores, se dice que es un elemento dinmico.

Modelamiento de SistemasEs un modelo obtenido a travs de modelo de caja blanca o modelo interno, en los cuales sus parmetros tienen un significado fsico y se trata de descomponer el sistema en subsistemas ms simples.

Identificacin de SistemasEs una aproximacin experimental que utiliza el modelo de caja negra o modelo de entrada salida, en lo nico que interesa es que el sistema muestre una buena relacin entre la entrada y la salida del sistema real.

Estrategia HibridaEs una combinacin de los dos anteriores modelos que emplea el conocimiento que est a la mano acerca de la estructura interna del sistema y las leyes que rigen su comportamiento, y se emplean observaciones para determinar la informacin que haga falta.

Ecuaciones Diferenciales (ED)Es unaecuacinque relaciona de manera no trivial a una funcin desconocida y una o ms derivadas de esta funcin desconocida con respecto a una o ms variables independientes. Las ED se utilizan para describir el comportamiento de sistemas, ya sean mecnicos, trmicos, elctricos, econmicos, biolgicos, etc.

Sistema LTISon sistemas dinmicos formados por componentes de parmetros concentrados lineales e invariantes con el tiempo y que se describen mediante ecuaciones diferenciales lineales. Un sistema eslineal(L) si satisface elprincipio de superposicin, que engloba las propiedades de proporcionalidad o escalado y aditividad. Que sea proporcional significa que cuando la entrada de un sistema es multiplicada por un factor, la salida del sistema tambin ser multiplicada por el mismo factor. Por otro lado, que un sistema sea aditivo significa que si la entrada es el resultado de la suma de dos entradas, la salida ser la resultante de la suma de las salidas que produciran cada una de esas entradas individualmente. Un sistema esinvariantecon el tiempo si su comportamiento y sus caractersticas son fijas. Esto significa que los parmetros del sistema no van cambiando a travs del tiempo y que por lo tanto, una misma entrada nos dar el mismo resultado en cualquier momento (ya sea ahora o despus).

Criterio de Estabilidad de Routh HurwitzzElteorema de RouthHrwitzsirve para analizar la estabilidad de lossistemas dinmicos. Bsicamente, el teorema proporciona un criterio capaz de determinar en cul semiplano (izquierdo o derecho) delplano complejoestn localizadas las races del denominador de la funcin de transferencia de un sistema; y en consecuencia, conocer si dicho sistema es estable o no.

Sistema de ControlEs un conjunto de dispositivos encargados de administrar, ordenar, dirigir o regular el comportamiento de otro sistema, con el fin de reducir las probabilidades de fallo y obtener los resultados deseados. Por lo general, se usan sistemas de control industrial en procesos de produccin industriales para controlar equipos o mquinas.

Sistema Control de Lazo AbiertoEn los sistemas de control de lazo abierto la salida se genera dependiendo de la entrada. Es aquel sistema en que solo acta el proceso sobre la seal de entrada y da como resultado una seal de salida independiente a la seal de entrada, pero basada en la primera. Esto significa que no hay retroalimentacin hacia el controlador para que ste pueda ajustar la accin de control. Es decir, la seal de salida no se convierte en seal de entrada para el controlador.

Sistema de Control de Lazo CerradoSon los sistemas en los que la accin de control est en funcin de la seal de salida. Los sistemas de circuito cerrado usan la retroalimentacin desde un resultado final para ajustar la accin de control en consecuencia.

Sistema EstticoUn sistema esttico es aquel cuya salida en un momento determinado slo depende de la entrada en ese momento. Un sistema esttico contiene todos los elementos estticos.

Sistema DinmicoUn sistema dinmico es aquel cuya salida actual depende de las entradas pasadas. Cualquier sistema que contiene al menos un elemento dinmico debe ser un sistema dinmico.

SealesLas seales son el medio a travs del cual el sistema interacta con su entorno. El sistema tiene sus fronteras definidas de forma precisa; este sistema recibe del entorno unas seales de entrada y entrega a su entorno unas seales de salida.

6. LISTADO DE CONCEPTOS DESCONOCIDOS

Diagrama de BodeUndiagrama de Bodees una representacin grfica que sirve para caracterizar la respuesta en frecuenciade un sistema. Normalmente consta de dos grficas separadas, una que corresponde con la magnitudde dicha funcin y otra que corresponde con lafase. Recibe su nombre del cientfico estadounidense que lo desarroll,Hendrik Wade Bode.

Funcin de transferenciaLa funcin de transferencia de un sistema lineal invariante en el tiempo se obtiene realizando la transformada de Laplace de la ecuacin diferencial caracterstica delsistema, con condiciones iniciales nulas.

Entrada Impulso UnitarioUna seal de entrada del tipo escaln permite conocer la respuesta del sistema frente a cambios abruptos en su entrada. As mismo, nos da una idea del tiempo de establecimiento de la seal, es decir, cuanto se tarda el sistema en alcanzar su estado estacionario.

Respuesta ImpulsoLa respuesta impulso de un sistema lineal es la respuesta del sistema a una entrada impulso unitario cuando las condiciones iniciales son cero. Para el caso de sistemas continuos la entrada corresponde a la funcin delta de Dirac. En fsica, la delta de Dirac puede representar ladistribucinde densidad de una masa unidad concentrada en un punto a. Esta funcin constituye una aproximacin muy til para funciones picudas y constituye el mismo tipo de abstraccin matemtica que una carga o masa puntual. En ocasiones se denomina tambinfuncin de impulso. Adems, la delta de Dirac permite definir la derivada generalizada de funciones discontinuas.

Funcin Delta de DiracLadelta de Diracofuncin delta de Diraces unadistribucinofuncin generalizadaintroducida por primera vez por el fsico inglsPaul Diracy, como distribucin, define un funcional en forma de integral sobre un cierto espacio de funciones.

Polos y CerosPor medio de la consecucin de la posicin de los polos y ceros de una funcin de transferencia se puede deducir el comportamiento de un sistema de tiempo continuo. La ventaja de este procedimiento era que el diagrama de polos y ceros se poda interpretar para obtener informacin sobre la respuesta en frecuencia de estado estable, el comportamiento transitorio y la estabilidad del sistema.

Transformada de LaplaceLatransformada de Laplacees un tipo detransformada integralfrecuentemente usada para la resolucin de ecuaciones diferenciales ordinarias. La transformada de Laplace de unafuncinf(t) definida (enecuaciones diferenciales, en anlisis matemtico o enanlisis funcional) para todos losnmeros positivos t 0, es la funcinF(s).

Diagrama de BloquesUn diagrama de bloques de un sistema es una representacin grfica de las funciones realizadas por cada componente y del flujo de las seales. Los elementos de un diagrama de bloques son el bloque, el punto de suma, el punto de bifurcacin y las flechas que indican la direccin del flujo de seales.

Regla de MasonEs un mtodo para la obtencin de la funcin de transferencia de un sistema a partir de su diagrama de bloques.

Estado EstacionarioUn sistema lineal estable alcanza el rgimen o estado estacionario cuando, al ser excitado por una seal de entrada, la respuesta transitoria decae a cero.

Sistema Dinmico BIBOUn sistema dinmico es BIBO estable si cualquier entrada acotada produce una salida acotada. En otras palabras, si ante entradas de valor finito la respuesta (su valor absoluto) no tiende a infinito.

7. METODOLOGIA EMPLEADA PARA LA INVESTIGACION (Por Jos R Valencia Extrado del foro)Es preciso que todos aportemos en la realizacin de todos los puntos, sin embargo, pienso que debemos distribuir cada una de las actividades del trabajo entre todos los integrantes del grupo, y que cada uno se comprometa a dar una solucin correcta y oportuna a la actividad que le corresponde entregar. En ese orden de ideas, a continuacin realizo una lista de las actividades y el respectivo responsable de realizarla:

ActividadResponsable

1. Analizar la respuesta en frecuencia del sistema planteado; elaborar el diagrama de Bode y analizar los resultados. Se deja de libre eleccin que el grupo elabore un anlisis adicional en frecuencia usando otros mtodos como diagramas polares, diagrama de Nyquist, etc.

CARLOS ROMULO ARANAHERMES MARTINEZ

3. De acuerdo al anlisis de la dinmica del sistema y su respuesta en frecuencia, debatir en el grupo qu tipo de controlador ser el ms adecuado para lograr el objetivo planteado y las condiciones requeridas. El grupo deber decidir si usa un P, PI, PID, compensador en atraso, compensador en adelanto, etc.

TODOS

4. Realizar el diseo del controlador seleccionado. Se deben incluir todos los procedimientos intermedios y matemticos.

LUIS CARLOS CASTELLANOSJOSE EDER BONILLA

5. Simular el controlador diseado y verificar los resultados.

Consolidacin del Trabajo.

JOSE RAMON VALENCIA

La idea es que efectuemos nuestros aportes oportunamente antes del 10 de noviembre para que tengamos tiempo para la revisin, realimentacin y aceptacin de los aportes. Recordemos que el aporte ms importante es el que se realiza en la fase de diseo y ejecucin del plan de accin en la cual le damos solucin al problema planteado. Lamentablemente algunos solo realizan aportes a las fases 1 y 2 que no contribuyen mucho a la solucin, con el fin de aparecer en la portada del producto final, y espero que esto cambie ya que todos somos responsables de dar solucin al problema.Mtodo de investigacin El mtodo de investigacin utilizado por el grupo es el siguiente:

Mtodo lgico deductivoComo ya observamos se crearon una serie de palabras tanto conocidas como desconocidas juicios. El papel de la deduccin en la investigacin es doble, primero consiste en encontrar principios desconocidos, a partir de los conocidos. Tambin sirve del tema con el fin de familiarizarse, adaptarse y conocer el significado y tener ms claridad ante los trminos utilizados durante el desarrollo del trabajo colaborativo.Tener en cuenta que a partir de una funcin de transferencia podemos realizar un desarrollo de la actividad del trabajo la cual me pide disear un compensador.

Mtodo de concrecinLo concreto es la sntesis de muchos conceptos y por consiguiente de las partes. Las definiciones abstractas conducen a la reproduccin de los concreto por medio del pensamiento. Lo concreto en el pensamiento es el conocimiento ms profundo y de mayor contenido esencial.Se debe concreta basados en los resultados del sistema y el anlisis de todos las personas del grupo colaborativo o grupo de investigacin el tipo de control a utilizar.

8. DISEO Y EJECUCION DEL PLAN DE ACCION PARA LA SOLUCION DE LAS TAREAS DE LA ETAPA

8.1. Analizar la respuesta en frecuencia del sistema planteado; elaborar el diagrama de Bode y analizar los resultados.

Factorizo ecuacin de segundo grado Entonces

La frecuencia ser de:

Ahora hallamos la ganancia (K) de dos formas:Primera forma

Segunda forma

Hallo los decibeles

Hallo el nmero de dcadas.

Hallo decibeles por dcada.

Hallo los decibeles de ganancia restando.

Para la realizacin del grafico se utiliz el programa scilab.s=poly(0,'s'); // defino el valor de s// gp=10/(s^2+6*s+4);// valor de la funcin de transferencia// sl = syslin('c',gp)bode(sl) // diagram bode//

Se deja de libre eleccin que el grupo elabore un anlisis adicional en frecuencia usando otros mtodos como diagramas polares, diagrama de Nyquist, etc.

Diagrama de Nyquist de clf;s=%s/(2*%pi); // defino el valor de s// s1 = -s// defino el valor de s1// gp=10/(s^2+6*s+4);// valor de la funcin de transferencia// gp1=10/(s1^2+6*s1+4);//valor de la funcin de transferencia s1// gs=syslin('c',gp);gs1=syslin('c',gp1);nyquist(gs);nyquist(gs1);mtlb_axis([-0.4 2.8 -2 2]);xtitle('Digrama de nyquist (10/(s^2+6*s+4)')

8.3 . De acuerdo al anlisis de la dinmica del sistema y su respuesta en frecuencia, debatir en el grupo qu tipo de controlador ser el ms adecuado para lograr el objetivo planteado y las condiciones requeridas. El grupo deber decidir si usa un P, PI, PID, compensador en atraso, compensador en adelanto, etc.

8.4. Realizar el diseo del controlador seleccionado. Como ya habamos calculado y K=Kp entonces.

Control proporcional P con la funcin de transferencia dada

Control proporcional derivativo PD con la funcin de transferencia dada.

Control proporcional integral PI con la funcin de transferencia dada.

Control proporcional integral derivativo PID con la funcin de transferencia dada.

De acuerdo a los valores obtenidos, se construye la siguiente tabla:ParmetroControlador PID

Kp18.84

Ti1.57

Td0.40

8.5. Simular el controlador diseado y verificar los resultados.

Utilizamos el software MATLAB para realizar la simulacin del compensador del motor de DC para las unidades de DVD de la compaa. Para ello creamos el diagrama de bloques en lazo cerrado en el que se encuentra el controlador PID realizando la compensacin al motor DC representado por su funcin de transferencia. En la imagen se muestra como se parametriza la funcin de transferencia para crear el bloque.

En la siguiente figura, habiendo creado el bloque del Controlador, hacemos click sobre l y seleccionamos la opcin Controller PID para luego introducir los parmetros que calculamos de Kp, Ti y Td.

Por ltimo, simulamos nuestro diagrama obteniendo la siguiente salida en el osciloscopio.

Podemos observar que la compensacin del controlador no es muy satisfactoria por lo que existe mucha variacin antes de estabilizarse. Posiblemente los clculos tericos no son los ms acertados por lo que debemos hacer algunos ajustes.

Mtodo de Diseo Utilizado Ziegler Nichols por respuesta escaln:

>> s=tf('s') Transfer function:s >> num=10

num =

10

>> den=[1,6,4]

den =

1 6 4

>> gs=tf(num,den) Transfer function: 10-------------s^2 + 6 s + 4 >> t=0:0.01:7;>> y=step(gs,t);>> dy=diff(y)/0.01;>> [m,p]=max(dy);>> d2y=diff(y)/0.01;>> yi=y(p)

yi =

0.4374

>> ti=t(p)

ti =

0.4300

>> L=ti-yi/m

L =

0.1118

>> T=[y(end)]-yi/m+ti-L

T = 2.4861plot(t,y,'b',[0 L L +T t(end)],[0 0 y (end),y(end)],'k')

T=0.3318L=0.0812

Seal sin sintonizar

Seal Sintonizada

El controlador PID se obtiene ptimos resultados para este problema, tiene un tiempo de subida eficiente.

Por otro lado, tambin se realiza unos ajustes de sintona con los siguientes valores:

Se logra obtener la siguiente respuesta del sistema:

Podemos observar que esta respuesta es optima, ya que se alcanza el valor deseado rpidamente sin variaciones.

CONCLUSIONES

MATLAB y SCILAB son herramientas poderosas para comprobar si los clculos obtenidos son correctos, y obtener las representaciones graficas que nos permitan visualizar el comportamiento del sistema. El trabajo colaborativo por fases es una buena metodologa en el sentido que nos permite realizar una mejor planeacin de las actividades para no incurrir en los afanes de realizar aportes a ltima hora.Se alcanza a exponer temas de diseo de controladores con los mtodos aprendidos, se aplican las formulas planteadas y se visualizan los diagramas.

BIBLIOGRAFIA

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Itfigueres. 2014. Respuesta funcin de segundo orden a un escaln unitario Simulacin Matlab Transfer function. [En lnea]. Espaa. Marzo 30 de 2014. Formato video. Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?v=gVKgW5zh_iE