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AMORTIGUAMIENTO DE COULOMB

Sebastián León S.

Julio 2015.

Universidad De Las Fuerzas Armadas “ESPE”

Departamento De Ciencias De La Energía Y Mecánica

Vibraciones

CONSULTA N. 2 2

AMORTIGUAMIENTO DE COULOMB

Índice

AMORTIGUAMIENTO DE COULOMB 2

ELEMENTOS DE AMORTIGUAMIENTO 2

Amortiguamiento de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Oscilador libre con amortiguamiento de Coulomb 5

Oscilaciones lineales y angulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Frecuencia de las oscilaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Amplitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Cese del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Estudio de casos 13

Ejemplo 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

ejemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

ejemplo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

BIBLIOGRAFÍA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Índice de figuras

1. Ciclo elíptico carga-desplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2. Sistema de resorte y masa con amortiguamiento de Coulomb. . . . . . . . . . . . . . 19

3. Movimiento de la masa con amortiguamiento de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . 20

4. figura del ejemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

ELEMENTOS DE AMORTIGUAMIENTO

El movimiento de las estructuras sometidas a fuerzas variables durante un periodo

de tiempo, dependen en particular, de las propiedades de amortiguamiento, es decir, de

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la disipación de la energía por los materiales constitutivos de la estructura, entre las

ligaduras de sus diferentes elementos, entre ellos y el medio circunvecino. De acuerdo a

los fenómenos físicos, se distinguen tres tipos de amortiguamiento:

• El amortiguamiento de Coulomb, que corresponde a un amortiguamiento de

fricción, con dirección del desplazamiento y de signo opuesto al de la velocidad.

• El amortiguamiento viscoso, por el cual la fuerza de amortiguamiento es

proporcional a la velocidad.

• El amortiguamiento histerético, para el cual la fuerza de amortiguamiento es

proporcional al desplazamiento y de signo opuesto al de la velocidad.

Los dos últimos tipos de amortiguamiento, son los más comúnmente encontrados.

Además, dos coeficientes relacionados con el amortiguamiento que serán utilizados

posteriormente se definen como sigue:

El coeficiente de pérdida, es un coeficiente adimensional característico del efecto

amortiguador, y está dado por la relación de la energía disipada durante un ciclo y la

energía potencial máxima multiplicada por 2π:

η = Energıadisipadaenunciclo

2π(energıapotencialmaxima)

En el caso particular de un ciclo de forma elíptica (figura 1), la expresión del

coeficiente de pérdida, en el espacio f-x, en donde la fuerza exterior aplicada es f, el

desplazamiento a cosθ, la fuerza aplicada ka ∗ cosθ y la fuerza de amortiguamiento

−ha ∗ senθ, el equilibrio de las fuerzas conduce a:

f = ka.cosθ − ha.cosθ (1)

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figura 1 Ciclo elíptico carga-desplazamiento

La energía disipada ocurrida en un ciclo es igual a:

2πˆ

0

[−ha.senθ] .d. [a.cosθ] = πha2 (2)

La energía potencial máxima es:

π/2ˆ

0

[ka.cosθ] .d. [a.cosθ] = ka2

2 (3)

Y el coeficiente de pérdida está dado por:

η = h

k(4)

Por definición, el amortiguamiento reducido es igual a la mitad del coeficiente de

pérdida:

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Amortiguamiento de Coulomb

Este tipo de amortiguamiento se presenta debido a la fricción en las conexiones o

puntos de apoyo. Es constante, independiente de la velocidad o cantidad del

desplazamiento, y usualmente se trata como amortiguamiento viscoso interno, cuando

el nivel de desplazamiento es pequeño, o como amortiguamiento histerético cuando es

alto. La fricción de cuerpo es grande en los muros de mampostería confinados cuando

estos se agrietan y proporcionan una resistencia sísmica muy efectiva. El

amortiguamiento de Coulomb, corresponde a un amortiguamiento de fricción, con

dirección del desplazamiento y de signo opuesto al de la velocidad.

Oscilador libre con amortiguamiento de Coulomb

Consideremos ahora al oscilador sometido a una fuerza disipativa constante,

independiente de la velocidad y de la posición, como es el caso de la fuerza de

rozamiento que surge al deslizar un cuerpo sobre una superficie seca. Es el

amortiguamiento de Coulomb. Tal modelo de fuerza disipativa corresponde a una

función de disipación proporcional a la velocidad (y no a su cuadrado, como en el

amortiguamiento viscoso).

Λ (q) = γq (5)

con γ una constante de amortiguamiento, positiva. La fuerza generalizada

disipativa es, por tanto,

Qd = −∂Λ (q)∂q

= −γ (6)

expresando el signo negativo la posición´ de tal fuerza al movimiento del oscilador.

La lagrangiana viene dada, al igual que antes, por

L(q, q) = T − U = 1/2mq2 − 1/2kq2 (7)

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y la ecuación´ del movimiento es:

d

dt

(∂L(q, q)

∂q

)− ∂L(q, q)

∂q= Qd (8)

es decir,

mq + kq = Qd = −γ (9)

Al no figurar ˙ q en (9) al contrario de lo que ocurre en. el sentido del movimiento,

esto es, de la velocidad, no se refleja directamente en la ecuación dinámica, lo que

exige considerar las dos posibilidades independientemente. La figura 2 ilustra esta

circunstancia para el caso de un desplazamiento lineal −designado

figura 2. Sistema de resorte y masa con amortiguamiento de Coulomb.

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por x− positivo, en cuyo caso, si la velocidad es positiva las fuerzas recuperadora y

disipativa se refuerzan, mientras que si la velocidad es negativa ambas fuerzas se

contrarrestan.

Así, si q es positiva, como la fuerza disipativa se opone al movimiento, la ecuación

dinámica es

mq + kq = −γ (10)

o bien

q + ω2oq = − γ

m(11)

q > 0

con

ω2o =

√kmla frecuencia natural del oscilador. es valida siempre que se cumpla que

q es positiva, es decir, para todo el semiciclo en el que q > 0 tanto si q es positiva como

negativa.

La solución de es de la forma

q1 = qh + qp = a1cos(ωot + ϕ1) − γ

k, (12)

q > 0

valida para todo el semiciclo de velocidad positiva.

Para el medio ciclo en el que la velocidad es negativa, la ecuación´ del movimiento

es

q + ω2oq = γ

m(13)

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q < 0

siendo su solución

q2 = a2cos(ωot + ϕ2) + γ

k, (14)

q > 0

figura 3. Movimiento de la masa con amortiguamiento de Coulomb

Los términos ±γkcorresponden al alargamiento que originaria la fuerza de

rozamiento sobre el muelle si actuase estaticamente como fuerza activa. En cualquier

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caso, la acción de tal fuerza constante origina un cambio en la localización de la

posición de equilibrio en la cuantía γk(figura 2)

Para mejor analizar el movimiento, tomemos como condiciones iniciales

q(t = 0) = qo (15)

q(t = 0) = 0 (16)

es decir, se separa al cuerpo de su posición de equilibrio y se le deja libre sin

velocidad inicial. Como el desplazamiento se ha tomado como positivo, el sistema al

moverse hacia su posición de equilibrio lo hace con velocidad negativa q < 0 y la

solución´ a considerar es

q2 = a2cos(ωot + ϕ2) + γ

k

Derivándola respecto del tiempo resulta

q2 = −a2ωosen(ωot + ϕ2) (17)

y utilizando las condiciones iniciales

qo = a2cosϕ2 + γ

k

0 = −a2ωosenϕ2

resulta

ϕ2 = 0

y

a2 = qo − γ

k

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con lo que

q2 =(

qo − γ

k

)cosωot + γ

k(18)

y

q2 = −(

qo − γ

k

)ωosenωot (19)

expresiones validas para el semiciclo que corresponde −si la coordenada es

lineal− al movimiento de derecha a izquierda, y cuya duración es desde el inicio hasta

que la velocidad se anula (q = 0), es decir, t = πωo

El desplazamiento −en este instante

de tiempo− viene dado por, (fig. 3),

q2

(t = π

ωo

)= −

(qo − γ

k

)+ γ

k= −

(qo − 2γ

k

)(20)

Para el siguiente semiciclo, q2 > 0y la solución es

q1 = a1cos(ωot′ + ϕ1) − γ

k

Su derivada respecto del tiempo proporciona

q1 = a1ωosen(ωot′ + ϕ1) (21)

Las condiciones iniciales para este segundo semiciclo son

q(t′ = 0) = q2 (t = π/ωo) = −(

qo − 2γ

k

)

q(t′ = 0) = q2 (t = π/ωo) = 0

y

ϕ1 = 0

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a1 = −(

qo − 3γ

k

)

con lo que

q1 = −(

qo − 3γ

k

)cosωot

′ − γ

k(22)

q1 = −(

qo − 3γ

k

)ωocosωot

′(23)

El segundo medio ciclo finaliza cuando q1 vuelve a ser cero, esto es, en t′ = π/ωo;

en este instante el desplazamiento vale

q1(t

′ = π/ωo

)=(

qo − 3γ

k

)− γ

k=(

qo − 4γ

k

)(24)

iniciándose de nuevo el proceso.

Oscilaciones lineales y angulares

Si la coordenada propia es lineal la fuerza disipativa constante corresponde a la

fuerza de rozamiento

γ = µN

siendo µ el coeficiente de rozamiento y N la fuerza normal a las superficies en el

punto de contacto.

Si la coordenada propia es angular la fuerza generalizada disipativa corresponde

al momento de fricción´ −constante− Mr

γ = Mr

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Frecuencia de las oscilaciones

La frecuencia de las oscilaciones es la natural del oscilador, ωo, a diferencia de lo

que ocurre con el amortiguamiento viscoso. El amortiguamiento de Coulomb, pues, no

modifica la frecuencia de vibracion del sistema.

Amplitud

Como la amplitud se reduce en cada ciclo en 4γ/k, siendo el tiempo transcurrido el

periodo 2π/ωo, los máximos de las oscilaciones están limitados por la recta de pendiente

tgϕ = 4γ/k

2π/ωo

= 2γωo

πk

y su simétrica respecto del eje de tiempos (figura 3).

Cese del movimiento

El movimiento cesa cuando, en algún estado de velocidad nula, la fuerza

recuperadora es igual o menor que la de fricción,

q ≤ γ/k

Por tanto, el numero de semiciclos, n, que transcurren hasta que cesa el

movimiento viene determinado por la relación

(qo − 2n

γ

k

)≤ γ/k

de donde

n ≥ qo − γ/k

2γ/k

Al contrario, pues, de lo que según el modelo utilizado ocurre en el

amortiguamiento viscoso, en el amortiguamiento de Coulomb el movimiento cesa

después de transcurrido un tiempo finito.

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Estudio de casos

Ejemplo 1.

Un pequeño edificio consiste en cuatro marcos de acero, cada uno con un

dispositivo friccional, soportando una losa de hormigón armado como se muestra en la

figura a) y b). La fuerza normal a través de cada uno de los pad friccionales ha sido

ajustada para ser igual al 2.5% del peso de la losa (figura b) y c)). Un registro del

movimiento del edificio en vibración libre a través del eje x se muestra en la figura d).

Determine el coeficiente de roce efectivo.

figura 4. figura del ejemplo 1

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Solución:

Se supone que el peso de los marcos es despreciable al comprarlo con el peso de

la losa y que los mecanismos de disipación de energía distintos a los friccionales

también son despreciables. Esto último es razonable, debido a que la amplitud del

movimiento decae en forma lineal como se ve en la figura d).

La fricción a los largo de cada barra es µ(0,025W ), siendo W el peso de la losa, y

su componente en la dirección lateral (horizontal), como se muestra en la figura a) y b),

es µ(0,025W ) cosα. La fuerza total de fricción en la dirección lateral debida a las cuatro

barras es:

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ejemplo 2

Calcular el tiempo que tarda en pararse una partícula por efecto del rozamiento de

Coulomb si su velocidad inicial es 0 V , y la distancia recorrida.

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ejemplo 3

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BIBLIOGRAFÍA

Rao, S. S. (1990): Mechanical Vibrations, Addison Wesley, Nueva York.

Thomson,W. T. (1982): Teoría de vibraciones, Prentice-Hall, México.

Víctor M Rodríguez F. (2001): IDENTIFICACIÓN DEL AMORTIGUAMIENTO

HISTERÉTICO EFECTIVO DE ALGUNOS MODELOS CÍCLICOS EN VARIABLES

GENERALIZADAS. Trabajo: TI/UEN-12/091

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Figura 1. Ciclo elíptico carga-desplazamiento

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Figura 2. Sistema de resorte y masa con amortiguamiento de Coulomb.

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Figura 3. Movimiento de la masa con amortiguamiento de Coulomb

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Figura 4. figura del ejemplo 1