Tema 1. Geometría DiferencialCurvas en el espacio

Análisis Vectorial y Estadístico

Departamento de Matemática AplicadaE.P.S.

Universidad de Málaga

2o semestre. Curso 2011/2012

Contenidos

PreliminaresOperaciones con vectores en R3

Producto escalarProducto Vectorial

Curvas regularesLongitud de una curvaCurvatura y TorsiónEl triedro de Frenet

La geometría diferencial es la disciplina matemática que,mediante el análisis, estudia las propiedades geométricas delos espacios euclideanos y de los subspacios nonecesariamente referenciados por planos, como las superficiescon curvatura (2). Su creación se atribuye a los matemáticosMonge y Riemann.Monge, en su obra Aplicaciones del

análisis a la geometría introdujo losconceptos básicos y fue el primero enemplear de forma sistemática lasecuaciones en derivadas parcialespara el estudio de las superficies.

Producto Escalar y VectorialProducto escalar.

Una base B = {~e1,~e2,~e3} de R3 es ortonormal si cada cadapar vectores distintos son ortogonales y cada vector es unitario.

Respecto de una base ortonormal el producto y la norma de unvector toman la expresión:

I h~v ,~wi= v1w1 +v2w2 +v3w3 = v

t

w

I k~vk= h~v ,~vi1/2 =q

v

21 +v

22 +v

23

Producto Escalar y VectorialOrientación

Bases OrientadasElegida una base diremos que tiene orientación positiva siestá en la clase de la base canónica (determinante positivo) yorientación negativa en caso contrario.

k~xk

k~yk

a+

h = k~yksena

Producto Escalar y VectorialProducto vectorial

DefiniciónEl producto vectorial de dos vectores {~x ,~y} de R3

es el único

vector

~x ^~y que verifica:

1. ~x ^~y es ortogonal a ambos vectores,

2. Si

~x ,~y son independientes, {~x ,~y ,~x ^~y} es una base

orientada positivamente.

3. k~x ^~yk= k~xkk~yk sena.

I ~x ^~y =�~y ^~x (antisimétrica).

I Si~x 6=~0 y ~y 6=~0, entonces

~x ^~y =~0 )~

x ,~y son linealmente dependientes.

Expresión analítica del Producto Vectorial

~x ^~y =

������

i j k

x1 x2 x3y1 y2 y3

������

=

✓����x2 x3y2 y3

���� ,�����x1 x3y1 y3

���� ,����x1 x2y1 y2

����

◆

(1,�2,3)^ (�2,4,�6) =

������

i j k

1 �2 3�2 4 �6

������= (0,0,0)

Curvas

DefiniciónLlamaremos curva parametrizada a una función continua

a : I ! R3

donde I es un intervalo de R. Son funciones de la forma:

a(t) = (a1(t),a2(t),a3(t)),

z

y

x

Ejemplo: hélice circular

a : R! R3

a(t) = (acos t ,asen t ,b t)

Curvas planas.

Una curva es plana si está contenida en un plano.

I a : (0,p)! R2, definida a(t) = (cos t ,sen t)

t

•

I b : (�1,1)! R2, definida b (t) = (t ,+p

1� t

2)

Una curva que no es plana se llama alabeada.

EjemploLa semicircunferencia de radio 1 es una curva plana que se

puede expresar mediante dos parametrizaciones

a : (0,p) �! R2

t �! a(t) = (cost ,sent).

b : (�1,1) �! R2

t �! b (t) = (t ,+p

1� t

2).

Obsérvese que los vectores tangentes en cada punto tienen lamisma dirección (están en la misma recta) pero tienen sentidocontrario. Cuando esto ocurre se dice que ambas curvasrecorren su traza en sentido contrario.

Curvas planas.

Ejercicio¿Podrías dar la ecuación de la cicloide?

•P

•P

x

t

Solución: a(t) = (t �sen t ,1�cos t)

Reglas de Leibnitz

TeoremaSi a,b : I ! R3

son curvas diferenciables, entonces

dha,b idt

(t) = ha 0(t),b (t)i+ ha(t),b 0(t)i

Corolario

dka(t)kdt

=ha(t),a 0(t)i

ka(t)k

TeoremaSi a,b : I ! R3

son curvas diferenciables, entonces

(a ^b )0(t) = a 0(t)^b (t)+a(t)^b 0(t)

Curvas regulares

DefiniciónDada una curva diferenciable a se dice que un punto t es

singular si a 0(t) =~0.

DefiniciónUna curva diferenciable a se dice que es regular si no tiene

puntos singulares, es decir, a 0(t) 6=~0 para cada t 2 I.

a(t) =⇣p

t

2 +1, t3⌘

a(t) = (sen2t ,cos t), t 2 (�p/2,p)

P. singular en t = 0 P. singular en t = 0

Ejercicio: ¿Es regular?La curva plana a : (�•,•)! R2 definida

a(t) = (t2 �1, t3 � t)

Solución: Sí, a pesar de no ser inyectiva.

Camino entre dos puntoses cualquier curva definida sobre un intervalo cerrado [a,b].

I Si a(a) = a(b) se dice que es un camino cerrado, encaso contrario se dice que es un camino abierto.

I Algunos caminos están definidos como “curvas a trozos” ytiene sentido, entonces, hablar del vector tangente a 0(t),siempre que t sea del interior de uno de los intervalos quedefine un “trozo”.

Si a es una curva diferenciable definida en un intervalo (abiertoo cerrado), al vector a 0(t) lo llamamos vector tangente en t .

En un intervalo cerrado, la función ka 0k es continua en elintervalo, por tanto, existen (y se alcanzan) el máximo M y elmínimo m de ka 0k en dicho intervalo.

Longitud de una curva

•a(t0)

• a(t1)•a(t2)

•a(t3)

•a(t4)

•a(t5)

Sea a : [a,b] ! R3 unacurva regular.

`(P) =n

Âi=1

ka(ti

)�a(ti�1)k!

Zb

a

ka 0(t)kdt

Por tanto:

Longitud de la curva = L =Z

b

a

ka 0(t)kdt

Calculemos la longitud de una circunferencia

a(t) = (r cos t , r sen t), t 2 [0,2p]

a 0(t) = (�r sen t , r cos t)

L =Z 2p

0

pr

2 sen2t + r

2 cos2t dt = 2pr

Calculemos la longitud del astroideque se paremetriza como a(t) = (x(t),y(t)), con t 2 [0,2p]

x(t) = acos3t

y(t) = asen3t

y

x

a

a

�a

�a

L =Z 2p

0

qx

0(t)2 +y

0(t)2dt

x

23 +y

23 = a

23 Solución: L = 6a

Calculemos la longitud de una héliceparemetrizada como a(t) = (x(t),y(t),z(t)), con t 2 [0,2p]

x(t) = acos t , y(t) = asen t , z(t) = bt

z

y

x

L =R 2p

0

pa

2 sen2t +a

2 cos2t +b

2dt =

=R 2p

0

pa

2 +b

2dt = 2

pa

2 +b

2p

Longitud de una funciónLa gráfica de una función f : R! R en un intervalo [a,b] separametriza a(t) = (t , f (t)) por tanto tiene longitud

Zb

a

q1+ f

0(t)2dt

Longitud de una curva en polaresSi una curva regular plana se expresa mediante su ecuaciónen polares r = r(q) en el intervalo [q0,q1], su longitud es

Z q1

q0

qr2 +(r 0)2

dq

Calculo de la longitud de la catenariaDado un cable que cuelga de dos postes a la misma altura, ydado a el cociente entre la tensión en el vértice de la catenariay el peso total del cable, se tiene la ecuación

y = acoshx

a

�1 1

Puesto que la curva se expresa como la gráfica de una funcióntenemos que

L =Z 1

�1

q1+ f

02dt =

Z 1

�1

r1+sinh2 x

a

dx = 2asinh1a

EjercicioCalcula la longitud de n vueltas de la espiral de Arquímedes

que tiene por ecuaciones polares

r = aq , q 2 [0,2np]

y

x

Solución:

Z 2np

0

pa

2q 2 +a

2dq =

2

4a

⇣arcsenq +q

pq 2 +1

⌘

2

3

52np

0

=

=a arcsen(2np)+2anp

p4n

2 p2 +12

Reparametrización

Definición (Reparametrización)Sea a : I ! R3

y sea j : J ! I, una función derivable con

continuidad, sobreyectiva con j 0(x) 6= 0, 8x 2 J. Entonces g

dada por:

g : J ! R3

x ! g(x) = a[j(x)]

recibe el nombre de reparametrización de a, que también será

un camino regular.

Sea la semicircunferencia parametrizada a : (0,p)! R2 comoa(t) = (cos t ,sen t).

Vamos a reparametrizarla a partir de j : (0,1)! (0,p)

j(t) = pt

Como j(t) = pt tenemos que g : (0,1)! R2

g(t) = a[j(t)] = (cos(pt),sen(pt))

es otra parametrización de la semicircunferencia.

Parametrización por longitud de arco

Sea a : (a,b)! R3 una curva regular y t0 2 (a,b). Vamos areparametrizarla a partir de

s(t) =Z

t

t0

ka 0(x)kdx con s : (a,b)! J = s(a,b)

A la reparametrización

b = a �s

�1

se le llama parametrización por longitud de arco de la curvadesde el punto a(t0) = b (0).

En estas condiciones es sabido que s es derivable en (a,b) ys

0(t) =|| a 0

(t) ||, 8t 2 (a,b).

TeoremaUna curva regular está parametrizada por longitud de arco si y

solo si los vectores tangentes en cada punto son unitarios.

•a(t0)

•b (0)

Curva NO parametrizada Curva parametrizadapor long. de arco por long. de arco

Si una curva regular está parametrizada por longitud de arco,entonces el valor del parámetro nos da la longitud de la curvadesde un punto inicial a(t0).

DemostraciónSea b una reparametrización de a respecto de la longitud de

arco, es decir, b (x) = a[s�1(x)]. Entonces

b 0(x) = a[s�1(x)]

0 (⇤)= a 0

(t) · (s�1)0(x) = a 0

(t) · 1s

0(t)

(⇤)s

�1(x) = t

Tomando módulos se obtiene el resultado.

Las funciones:I a(t) = (cos t ,sen t) con t 2 (0,2p) yI b (u) = (cosu,senu) con u 2 (�p,p)

son parametrizaciones (distintas) de la circunferencia, ambaspor longitud de arco.

¿Podrías dar otras parametrizaciones por longitud de arco?

Parametrización de la hélice por longitud de arco

Sea a(t) = (acost ,asent ,bt). Por tantoa 0(t) = (�asent ,acost ,b). Entonces:

s(t) =Z

t

0|| a 0

(u) || du =Z

t

0

q(�asenu)2 +(acosu)2 +b

2du =

=Z

t

0

pa

2 +b

2du =

Zt

0c du = ct ) s

�1(x) =x

c

siendo c =p

a

2 +b

2.

Luego, como s

�1(x) =x

c

, la hélice circular quedaparametrizada respecto de la longitud de arco en la forma:

b (x) = a(s�1(x)) = (acos(x

c

),asen(x

c

),bx

c

)

Parametrización de la catenaria por longitud de arco

a(t) = (t ,cosh t), t 2 [0,a]

La función longitud de arco en t0 = 0 es

s(t) =Z

t

0

q1+senh2

x dx = senh t =e

t �e

�t

2

de donde s

�1(x) = log⇣p

x

2 +1+x

⌘, luego

b (x) = a(s�1(x)) =⇣

log(p

x

2 +1+x),coshlog(p

x

2 +1+x)⌘

con x 2 (0,senha).

Curvatura y torsión

Supongamos que una curva a admite un número suficiente dederivadas a 0,a 00,a 000, . . . .

Definición (Curvatura)Si a es una curva regular parametrizada por longitud de arco

en el intervalo (a,b), llamamos curvatura de a a la función

k : (a,b)! R definida

k(s) = ka 00(s)k

La regla de Liebnitz aplicada a la propiedad ha 0(s),a 0(s)i= 1nos da que

a 0(s)? a 00(s)

Ejemplo: vectores tangentes y normales

s1

s2

s3

s4s5s6

s k(s)s1 0,91s2 0,51s3 0,00s4 0,21s5 3,46s6 0,64

Si un punto tiene k = 0 se dice que es llano.

DefiniciónDada una curva sin puntos llanos, llamamos radio de

curvatura al inverso de la curvatura:

R(s) =1

k(s)

EjercicioComprueba que la circunferencia de radio r tiene curvatura

k = r

Tenemos los siguientes vectores unitarios

~t(s) = a 0(s) Vector tangente

~n(s) =

a 00(s)

k(s)Vector normal

EjercicioEstos vectores dependen de la orientación de la curva. Calculalos vectores tangentes y normales de una esfera en las dosorientaciones.

DefiniciónDado que cada punto de la curva está contenido en el plano

definido por los vectores unitarios

~t(s) y

~n(s), a este plano lo

llamaremos plano osculador.

DefiniciónLlamaremos vector binormal a

~b(s) =~

t(s)^~n(s)

que es unitario y ortogonal a ambos vectores.

DefiniciónLlamamos torsión a la función que relaciona el vector normal

y la derivada del vector binormal

d

~b

ds

=~b

0(s) =�t(s)~n(s)) t(s) =⌥k~b0(s)k

Una curva es plana si y solo si t(s) = 0.

El triedro de Frenet.

En cada punto de la curva tres planos la caracterizan.Las ecuaciones (diferenciales) de Frenet-Serret definen lacurva que contiene a los vectores.

•

~n

~b

~t

I Plano osculador(~t ,~n)

I Plano rectificante(~t ,~b)

I Plano normal(~n,~b)

Ecuaciones deFrenet-Serret

~t

0= k~n

~n

0 = t~b�k~t~b

0=�t~n

Teorema (Fundamental de la geometría)Dadas dos funciones reales derivables en un intervalo abierto

I, k(s)> 0 y t(s) existe una curva parametrizada regular por

longitud de arco definida en dicho intervalo I que verifica que

su curvatura es k y su torsión es t. Además esta curva es

única salvo movimientos rígidos en el espacio.

CorolarioUna curva plana viene determinada por su curvatura, salvo

traslaciones, rotaciones y simetrías.

El triedro de Frenet en una parametrización arbitraria

Si a : I ! R3 es una curva parametrizada, entonces:

I ~t =

1ka 0k a 0

I k =ka 0 ^a 00kka 0k3

I ~b =

a 0 ^a 00

ka 0 ^a 00k

I ~n =~

b

~̂t =

(a 0 ^a 00)^a 0

k(a 0 ^a 00)^a 0k

I t =ha 0 ^a 00,a 000ika 0 ^a 00k2 =

det(a 0,a 00,a 000)

ka 0 ^a 00k2

Para curvas planas ...

Si a(t) = (x(s),y(s)) (no necesariamente parametrizada porlongitud de arco) tenemos:

k =

����x

0x

00

y

0y

00

����

ka 0k3 =x

0y

00 �x

00y

0

�(x 0)2 +(y 0)2

� 32