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Contextualización de la aritmética de

números complejos en situaciones

simples de geometría y física

Erica Senid Vargas Solano

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias

Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales

Bogotá, Colombia

2017

II Contextualización de la aritmética de números complejos en situaciones simples de

geometría y física

Contextualización de la aritmética de

números complejos en situaciones


Erica Senid Vargas Solano

Trabajo de grado presentado como requisito parcial para optar al título de:

Magister en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales

Director:

Marco Fidel Suárez Herrera (D. Phil. AMRSC)

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias

Maestría en enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales

Bogotá, Colombia

2017

Contenido III

A Dios por ser quien me llena de

sabiduría e inteligencia, me da fortaleza

y me sostiene en los momentos en los

que siento desfallecer.

Muy especialmente a mis padres, mi

hermana y mi esposo por su apoyo

incondicional y por ser esa luz en el

corazón que con su brillo me invita a

continuar cada instante.

IV Contextualización de la aritmética de números complejos en situaciones simples

de geometría y física

Agradecimientos

Quiero agradecer primero a Dios, porque Él es quien orienta cada uno de mis pasos,

llenando de confianza, fuerza y sabiduría mi camino y quien me permitió vivir esta

experiencia tan enriquecedora y significativa.

Agradezco al motor de mi vida “Mi familia”, Floriberto Vargas, Blanca Flor Solano, Paola

Vargas Solano, Juan David González quienes son las personas que me han motivado a

seguir creciendo como persona y como profesional, gracias por su comprensión, ejemplo,

paciencia, apoyo incondicional y por entender mi ausencia en tantos momentos del día a

día…

A mis colegas y grandes amigos Lily Bojacá, Wilson Triana, Angee Solano y Eimmy Zafra

que me acompañaron en la maestría, quienes con sus conocimientos, consejos y

enseñanzas aportaron en la construcción de este trabajo y con quienes he tenido el

placer de crecer en este proceso profesional.

Brindo un sincero agradecimiento al equipo docente de la maestría en enseñanza de las

ciencias exactas y naturales quienes me acompañaron en este proceso pedagógico,

destaco la ayuda y apoyo del profesor Marco Fidel Suarez, gracias por su dedicación,

compromiso y esfuerzo ya que fue muy valioso para lograr esta meta.

Contenido V

Resumen

La matemática se enseña tradicionalmente de un modo que favorece a los estudiantes

capaces de entender los conceptos abstractos, pero ellos son la minoría. La mayoría de

las personas aprenden de una manera más efectiva cuando logran conectar los

conceptos matemáticos abstractos con situaciones de la vida diaria, si encuentran

relevancia y conexión con sus propios intereses y si ellas son capaces de alguna manera

de visualizar los conceptos abstractos. El resultado del test de ideas previas de los

estudiantes mostró que es necesario diseñar nuevas estrategias para la enseñanza de la

aritmética de los números complejos porque después de una introducción inicial en el

grado noveno ellos no entienden las operaciones aritméticas básicas de los números

complejos y su importancia en la teoría de números.

Este trabajo propone una aproximación didáctica a la enseñanza de las operaciones

básicas de los números complejos manteniendo el rigor académico, pero introduciendo

situaciones de la vida diaria, aplicaciones y problemas que pueden ser resueltos usando

los números complejos con el objeto de involucrar al estudiante en su proceso de

aprendizaje. Esta aproximación utiliza principalmente la representación geométrica de los

números complejos, ya que esta es más significativa para los estudiantes que no

aprenden fácilmente a través de conceptos abstractos. El principal objetivo de las

actividades es promover el autoaprendizaje por parte de los estudiantes, ayudarlos a

construir y organizar su propio conocimiento, a considerar nuevas alternativas y a

comunicar efectivamente sus ideas a otras personas. El aprendizaje de los estudiantes

es más profundo si ellos tienen la oportunidad de involucrarse más en su proceso de

aprendizaje a través de proyectos, problemas y actividades que requieran más análisis,

encontrar una solución y ser conscientes de cuál es el problema.

Palabras clave: Número complejos, plano complejo, aprendizaje significativo.

VI Contextualización de la aritmética de números complejos en situaciones simples


Abstract

Mathematics is traditionally taught on a way that favour to the students able to

understand the abstracts concepts, but they are the minority. The most of people

learn of an effective way when they connect the abstracts mathematical concepts

with situations of the daily life and when they are able to visualize the abstracts

concepts. It is more probable that students pay attention and get interest by the

mathematics if they find it relevant and connected with their own interest. The final

result of the test of previous ideas of the students showed that it is necessary to

design new strategies to the teaching of arithmetics of the complex numbers

because after of an initial introduction in ninth grade, they do not understand the

basic arithmetic operations of the complex numbers and their importance in the

number´s theory.

This work propose a didactic approach to the basic teaching of complex numbers

keeping the academic rigor, but introducing daily life situations, applications and

problems that can be solved using the complex numbers with the objective of

involve the student in his learning process. This approach uses the geometric

representation of the complex numbers, since this is more meaningful for students

that do not learn easily through of abstracts concepts. The main objective of the

activities is to promote the students` self- learning, help them to build and organize

their own knowledge, to consider new alternatives and to communicate effectively

their ideas to other people. The learning of the students is deeper if they have the

opportunity of been involve more in their process of learning through projects,

problems and activities that require more analysis to find a solution and to be

conscious of what is the problem.

Key words: Complex numbers, Complex plane, Meaningful learning.

Contenido VII

Contenido

1. Capítulo 1 .................................................................................................................. 7 1.1 Justificación ........................................................................................................ 7 1.2 Objetivos ............................................................................................................ 8

1.2.1 Objetivo general............................................................................................... 8 1.2.2 Objetivos Específicos....................................................................................... 8

2. Capítulo 2 .................................................................................................................. 9 2.1 Marco histórico- epistemológico ......................................................................... 9

2.1.1 Historia y epistemología de los números complejos ......................................... 9 2.1.2 Construcción de la media proporcional .......................................................... 13 2.1.3 Trabajo de Argand (interpretación geométrica) .............................................. 18

2.2 Marco disciplinar .............................................................................................. 21 2.2.1 Organización de los números ........................................................................ 22 2.2.2 El conjunto de los números complejos como cuerpo matemático .................. 23 2.2.3 Teorema fundamental del Álgebra ................................................................. 27 2.2.4 Representaciones de números complejos ..................................................... 28 2.2.5 Relación de movimientos rígidos en el plano complejo con operaciones aritméticas básicas de números complejos .............................................................. 42 2.2.6 Transformaciones en el plano ........................................................................ 45 2.2.7 Semejanza de triángulos ............................................................................... 46 2.2.8 Demostración gráfica de la ley de multiplicación de números complejos ....... 49 2.2.9 Área de un triángulo: ejemplo de cómo usar los números complejos para solucionar algunos problemas en geometría ............................................................ 51 2.2.10 Teorema de Pitágoras ................................................................................... 53 2.2.11 Algunas aplicaciones en otras áreas .............................................................. 55

2.3 Marco pedagógico ............................................................................................ 58

3. CAPITULO 3 ............................................................................................................ 60 3.1 Algunas dificultades en el aprendizaje y la enseñanza de los números complejos 60 3.2 Prueba diagnóstica ........................................................................................... 61

3.2.1 Construcción prueba inicial ............................................................................ 61 3.2.2 Análisis Prueba diagnostica ........................................................................... 62

4. CAPITULO 4 ............................................................................................................ 69 4.1 Descripción de la unidad didáctica ................................................................... 69 4.2 Contenidos de aprendizaje ............................................................................... 71 4.3 Recursos .......................................................................................................... 73

VIII Contextualización de la aritmética de números complejos en situaciones simples


4.4 Metodología ...................................................................................................... 73 4.5 Secuencia de actividades ................................................................................. 73

4.5.1 Actividad 1: ¿Qué es un número complejo? ...................................................73 4.5.2 Actividad 2: Representación forma binómica de un número complejo ............74 4.5.3 Actividad 3: Opuesto, conjugado e inverso de un número complejo ...............75 4.5.4 Actividad 4: Suma y resta de números complejos ..........................................75 4.5.5 Actividad 5: Multiplicación (Rotación) y potencias de números complejos ......76 4.5.6 Actividad 6: Representación polar de un número complejo ............................77 4.5.7 Actividad 7: Aplicaciones de números complejos ...........................................77

4.6 Evaluación ........................................................................................................ 78

5. CAPITULO 5 ............................................................................................................79 5.1 Conclusiones .................................................................................................... 79 5.2 Recomendaciones ............................................................................................ 82

6. ANEXOS...................................................................................................................83 6.1 Anexo 1: Prueba diagnostico ............................................................................ 83 6.2 Anexo 2: Actividad 1 ......................................................................................... 85 6.3 Anexo 3: Actividad 2 ......................................................................................... 87 6.4 Anexo 4: Actividad 3 ......................................................................................... 90 6.5 Anexo 5: Actividad 4 ......................................................................................... 92 6.6 Anexo 6: Actividad 5 ......................................................................................... 94 6.7 Anexo 7: Actividad 6 ......................................................................................... 96 6.8 Anexo 8: Actividad 7 ......................................................................................... 99

7. BIBLIOGRAFÍA ...................................................................................................... 101

Lista de figuras

Figura 1: Fragmento del papiro matemático de Moscú (1850 a.C.) con el texto pasado a

jeroglífico en la parte inferior, tomado de (Swetz, 2013). ................................................ 10

Figura 2: Construcción Media Proporcional .................................................................... 13

Figura 3: Solución al problema de Wallis de construir un triángulo dados dos lados (𝑎 y 𝑏)

y un ángulo (𝛼) cuando 𝑏 > 𝑐. ........................................................................................ 14


y un ángulo () cuando 𝑏𝑐. .......................................................................................... 15

Figura 5: Multiplicación por -1 ......................................................................................... 18

Figura 6: Método de Argand para definir el plano complejo. ........................................... 18

Figura 7: Diagrama de Argand o plano complejo, tomado de (Flickr, 2011) .................... 19

Figura 8: Rotación dada al multiplicar por i, tomado de (Flickr, 2011). ............................ 19

Figura 9: Organización del conjunto de números complejos ........................................... 22

Figura 10: Representación cartesiana de un número complejo ...................................... 30

Figura 11: Números complejos en el plano ..................................................................... 31

Figura 12: Suma de números complejos en el plano complejo ....................................... 31

Figura 13: Multiplicación de un número complejo por un número real ............................ 32

Figura 14: Multiplicación de un número complejo por un número imaginario .................. 32

Figura 15: Multiplicación de dos números complejos ...................................................... 33

Figura 16: Representación polar de un número complejo. .............................................. 34

Figura 17: Número complejo 𝑧 = 3 + 4𝑖 .......................................................................... 35

Figura 18: La suma de números complejos como una traslación en el plano. ................ 42

Figura 19: Reflexión de un conjunto de números complejos en el eje imaginario. .......... 43

Figura 20: Reflexión de un conjunto de números complejos en el eje real. ..................... 43

Figura 21: Inversión de un conjunto de números complejos sobre el origen. .................. 44

Figura 22: Rotación de un conjunto de números complejos sobre el origen. .................. 45

Figura 23: Homotecia de un conjunto de números complejos. ........................................ 45

Figura 24: Homotecia y rotación de un conjunto de números complejos ........................ 46

2 Introducción

Figura 25: Triángulos semejantes ................................................................................... 47

Figura 26: Relación de números complejos con triángulos. ............................................ 48

Figura 27: Multiplicación de números complejos como rotación de triángulos y

homotecias. .................................................................................................................... 48

Figura 28: Multiplicación de 𝑧1 por la parte real de 𝑧2 (parte superior) y multiplicación de

𝑧1 por la parte imaginaria de 𝑧2 (parte inferior) ............................................................... 49

Figura 29: Suma de los dos números complejos de la derecha de la figura 28. .............. 50

Figura 30: Ejemplo de la representación de un triángulo en el plano complejo. .............. 51

Figura 31: Desplazamiento del triángulo de la figura 30 hasta que un vértice del triángulo

coincida con el origen. .................................................................................................... 52

Figura 32: Rotación del triángulo rojo para hacer colineal uno de sus lados con el eje real.

....................................................................................................................................... 53

Figura 33: Multiplicación de un número complejo por su conjugado complejo

representando los números como triángulos rectángulos ............................................... 54

Figura 34: Suma de los números complejos la figura 33. ................................................ 54

Figura 35: Esquema de un pasajero que trata de alcanzar un bus en movimiento. ......... 55

Introducción 3

Lista de Símbolos y abreviaturas

Símbolos con letras latinas

Símbolo Definición

𝑖 Unidad imaginaria

𝑥, 𝑦 Variables

𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑝, 𝑞 Constantes

𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹,𝑀,𝑁, 𝑂 Puntos

𝑟 Módulo del número complejo

N Conjunto de números naturales

Z Conjunto de números enteros

Q Conjunto de números racionales

R Conjunto de números reales

C Conjunto de números complejos

Símbolos con letras griegas

Símbolo Definición

𝛼, 𝛽, 𝛾, 𝜃 Ángulos

𝜋, 𝑒 Números irracionales

𝜃 Argumento de un número complejo

4 Introducción

Subíndices

Subíndice Término

(𝑥0, 𝑦0) Punto en el plano cartesiano

𝑧1, 𝑧2, 𝑧3 Números complejos

𝑟𝛼 , 𝑟𝛽 Representación polar de un número

complejo

𝑥𝑏 Posición del bus

𝑥𝑝 Posición de la persona

𝑥𝑚𝑖𝑛 Distancia mínima

𝑧 Conjugado de un número complejo

Superíndices

Superíndice Término

𝑧𝑛 Potencia de un número complejo

𝑅2 Espacio en dos dimensiones (plano)

𝑥𝑛 Termino algebraico

Abreviaturas

Abreviatura Término

a.C. Antes de Cristo

d.C. Después de Cristo

𝐶𝑜𝑠 Función coseno

𝑆𝑖𝑛 Función Seno

𝑇𝑎𝑛 Función tangente

𝐴𝑟𝑐𝑜𝑇𝑎𝑛 Arco tangente

𝑑𝑧

𝑑𝛼

Derivada de 𝑧 con respecto a 𝛼

Introducción 5

Introducción

El desarrollo del pensamiento numérico en la formación escolar es muy

importante, ya que los números permiten caracterizar, cuantificar y ordenar una

gran diversidad de fenómenos y situaciones de la vida diaria. De este modo se

hace necesario que los estudiantes de secundaria los identifiquen, los manipulen

y los utilicen de acuerdo a los distintos significados que nosotros les conferimos

para racionalizar el mundo que nos rodea. Sin embargo, en la secundaria se ha

dejado de lado un sistema numérico, no menos importante al conjunto de los

números reales, el sistema de los números complejos. A pesar de ser ignorados o

relegados en la enseñanza básica, los números complejos son una herramienta

esencial para entender propiedades fundamentales como la ley de signos, la

función logaritmo, el teorema fundamental del álgebra, la teoría de la relatividad,

la teoría cuántica, el funcionamiento de diferentes equipos eléctricos etc. Además

estos números tienen innumerables aplicaciones en diferentes campos de la

física (cartografía, electricidad, circuitos eléctrico, aerodinámica, electroquímica,

análisis de señales, procesar y filtrar imágenes, entre otras).

Específicamente este trabajo está enfocado en mostrar que si se conocen las

operaciones básicas de los números complejos se pueden introducir más

fácilmente una serie de conceptos básicos de geometría, física y trigonometría

como los movimientos en el plano, teoremas fundamentales como el de Pitágoras

y el de la media proporcional, propiedades de semejanza de triángulos,

identidades trigonométricas y el movimiento uniformemente acelerado.

6 Introducción

En la básica secundaria y media se trabaja la solución de ecuaciones cuadráticas,

pero se enfatiza en las soluciones reales. Las raíces complejas de los polinomios

generalmente son ignoradas por la mayoría de los profesores, que en general no

le dan significado a estas soluciones. En grado noveno se hace una breve

introducción a los números complejos cuando se desarrolla el trabajo con

ecuaciones de segundo grado y es ahí, cuando se define que √−1 = 𝑖. Sin

embargo, no se hace énfasis en el significado y la utilidad que tiene este número.

Posteriormente en grado décimo se trabajan funciones cónicas, coordenadas

cartesianas y polares y geometría analítica, pero estos temas se introducen de

manera tradicional y aislada, omitiendo el hecho que están estrechamente

relacionados entre ellos y con los números complejos.

Por la situación antes descrita, la mayoría de los estudiantes tienen dificultades

relacionadas con el significado, estructura y uso de los números complejos y con

la interpretación analítica y grafica de curvas en el plano. A partir de estos hechos

surge la siguiente pregunta:

¿Qué características debe tener una estrategia didáctica que permita a los

estudiantes de grado décimo usar los números complejos y sus propiedades para

entender conceptos básicos de aritmética, geometría y física clásica?

Una posible solución a esta problemática particular es diseñar una unidad

didáctica que permita analizar situaciones de la vida cotidiana, problemas físicos

y geométricos simples que muestren cómo la aritmética de números complejos

facilita su solución. La idea es mostrar a través de distintas actividades la utilidad

de los números complejos, pero sobre todo trasmitir la idea que entender la

aritmética de los números complejos facilita la comprensión de conceptos tales

como el teorema fundamental del álgebra, las identidades trigonométricas, la

función logaritmo, de teoremas fundamentales de la geometría en el plano y de

algunos fenómenos físicos.

1. Capítulo 1

1.1 Justificación

En el colegio se profundiza en el trabajo de números reales y se dejan de lado el

conjunto de números complejos. Además, se enfatiza en las propiedades de los

números partiendo desde el conjunto de números naturales, pasando por los

enteros, racionales e irracionales. Cabe destacar que en la escuela el trabajo que

se desarrolla con los racionales e irracionales es diferentes al que se hace con los

decimales, por lo que los estudiantes no los relacionan. ¿Pero no son las mismas

propiedades para todos? ¿Será que se ha perdido tiempo repitiendo lo mismo?

¿Qué pasaría si desde primaria se empieza a trabajar con los números complejos

como un conjunto universal? ¿Se presentarían problemas al restar enteros o al

hallar logaritmo de cantidades negativas, o incluso encontrar las soluciones de

ecuaciones de grado dos o superior? ¿Será que no se ha desarrollado ningún

adelanto en la enseñanza de la aritmética de los números desde que le dio

aceptación a los números irracionales, o por qué solo se enfatiza en los reales?

Si pensáramos en la respuesta a estas preguntas nos damos cuenta que los

números complejos tienen una utilidad que con el trascurso de los años se hace

más evidente.

8 Contextualización de la aritmética de números complejos en situaciones simples


1.2 Objetivos

1.2.1 Objetivo general

Diseñar una unidad didáctica que contextualice los números complejos y sus

propiedades en situaciones simples de geometría y física clásica en grado décimo

de bachillerato.

1.2.2 Objetivos Específicos

Identificar conocimientos previos de los estudiantes relacionados con el

uso y la aritmética de los números complejos.

Determinar el marco conceptual, disciplinar y pedagógico que fundamente

la unidad didáctica acorde con los alcances y limitaciones identificados en

la prueba diagnóstico.

Diseñar la unidad didáctica dirigida a los estudiantes de grado décimo.

2. Capítulo 2

2.1 Marco histórico- epistemológico

2.1.1 Historia y epistemología de los números complejos

En el trabajo de grado de Vásquez Romero (Vásquez Romero, 2015; Churchill R. V.) se

puede encontrar una reseña histórica y epistemológica de cómo evolucionó nuestra

comprensión de los números complejos. En este capítulo se presenta un análisis

epistemológico de cómo se desarrollaron los números complejos pero se hace énfasis de

cómo se llegó a la interpretación geométrica de las operaciones de los números

complejos y postular el plano complejo.

El origen y descubrimiento de los números complejos en el transcurso de la historia se

divide en tres momentos importantes: el primero es cuando los matemáticos trabajaban

implícitamente con raíces negativas y en sus cálculos se refleja la presencia de estas

raíces sin que ellos las identificaran. Un segundo momento es cuando se acepta de

manera parcial los números complejos pero se les sigue viendo con escepticismo y los

matemáticos se refieren a ellos, por ejemplo, con los siguientes términos “expresiones sin

sentido, sofisticados, incomprensibles, imposibles o imaginarios” (Guerrero, 2015) y el

tercero es cuando se les da total aceptación y se empiezan a utilizar para describir

muchos fenómenos de la física moderna.

La historia de los números complejos inicia posiblemente con los egipcios. El papiro de

Moscú, actualmente en el Museo de Bellas Artes de esta ciudad y datado en la dinastía

XII hacia el año 1890 a.C., es uno de los pocos documentos que se han conservado hasta

la actualidad sobre la matemática egipcia. Este presenta una colección de 25 problemas



resueltos sobre actividades matemáticas cotidianas, pero entre todos ellos se destaca el

problema 14 que muestra el cálculo del volumen de una pirámide truncada (Swetz, 2013).

,

Figura 1: Fragmento del papiro matemático de Moscú (1850 a.C.) con el texto pasado a

jeroglífico en la parte inferior, tomado de (Swetz, 2013).

El problema de hallar el volumen de una pirámide truncada posteriormente fue estudiado

en el siglo I antes de Cristo por Herón de Alejandría. Si se analiza una pirámide truncada

se observa que existen tres valores medibles y observables directamente, pero el valor de

la altura, no lo es, por lo que Herón intento expresar la altura en términos de los datos

medibles, al realizar este procedimiento se dio cuenta que este valor era la raíz cuadrada

de una expresión en términos de los lados conocidos. En su obra Stereometria, propone

un ejercicio particular donde los datos conocidos son 28, 4 y 15 y al encontrar la altura

realiza el siguiente cálculo:

ℎ = √(15)2 − 2(28 − 4

2)2

= √225 − 2(12)2 = √225 − 144 − 144 = √81 − 144

Donde asume que √−63 = √63. Aun es un misterio si Herón fue consiente de este error

de cálculo o no.

Unos años más tarde, Diofanto de Alejandría en el año 275 d.C se encuentra con un

problema similar al de Herón (Nahim, 2007). Él buscaba encontrar los lados de un

triángulo rectángulo de tal manera que el área del triángulo fuera 7 y el perímetro 12, de

manera implícita estableció un sistema de ecuaciones que al resolverlo por sustitución

obtuvo una ecuación cuadrática de la forma:

172𝑥 = 336𝑥2 + 24

Al intentar resolver esta ecuación, se obtiene una raíz negativa.

Seiscientos años después en la India el matemático Mahavira Carya (850 d.C) hace

referencia a los números complejos con la siguiente frase: “Como en la naturaleza de las

cosas un negativo no es un cuadrado, entonces no tiene raíz cuadrada”. Posteriormente

Bhaskara (1150 d. C.) En su libro Lilavati menciona la inexistencia de la raíz de un

número negativo con el siguiente párrafo: “El cuadrado de un número positivo o negativo,

es positivo; la raíz cuadrada de un número positivo tiene dos valores, uno positivo y otro

negativo; no existe raíz cuadrada de un número negativo ya que un número negativo no

es un cuadrado” (Cipriano Antonio, 2013).

En el siglo XVI, en Italia algunos matemáticos importantes de la época, conocidos como

“Los Algebristas”, se interesaron por hallar las raíces exactas de polinomios de grados 2 y

3, entre ellos estaban Niccolo Fontana (Tartaglia), Scipione del Ferro, Girolamo Cardano

y su discípulo Ludovico Ferrari. Tartaglia había realizado un trabajo significativo para

resolver ecuaciones cubicas, el cual compartió con Cardano. Tartaglia le había pedido a

Cardano que sus trabajos quedaran en secreto, pero Cardano decide publicarlos en 1545

en su famosa obra conocida como Ars Magna, la más importante en aritmética apoyado

de su discípulo Ferrari. En esta obra Cardano referenció la existencia de números

complejos y los llamó expresiones “sin sentido” solucionando así ecuaciones cubicas y

cuarticas (Rey Pastor, 2000).

Del Ferro (1465-1526) y Tartaglia (1499-1577) demostraron que una de las raíces reales

del polinomio de la forma:

𝑥3 = 𝑝𝑥 + 𝑞

Se podía encontrar a partir de la fórmula:

𝑥 = √√𝑞2

4−𝑝3

27

2

+𝑞

2

3

− √√𝑞2

4−𝑝3

27

2

−𝑞

2

3



Alrededor de 30 años después de descubrirse esta fórmula, Bombelli (1526-1572)

consideró la solución del polinomio:

𝑥3 = 15𝑥 + 4

Cuya solución de acuerdo a la fórmula de Del Ferro es:

𝑥 = √2 + √−1212

3

+ √2 − √−1212

3

Ya que todo polinomio de grado tres tiene al menos una solución real, Bombelli pensó que

estas raíces se podrían calcular y que las raíces de números negativos se deberían

cancelar para obtener como resultado un número real. En este punto Bombelli tuvo una

idea radical: que las raíces de los números negativos estaban sujetas a la misma

aritmética de los números reales. De este modo encontró que:

(2 + √−12

)3= 2 + √−121

2

(2 − √−12

)3= 2 − √−121

2

De lo cual se deduce que la solución del polinomio es igual a 4. Este hecho se considera

como el nacimiento del análisis matemático. Rafael Bombelli definió las raíces de

números negativos como cantidades “salvajes”, además trabajo la suma y multiplicación

de estos números, como se evidencia en su obra titulada L’Algebra.

Rene Descartes logró encontrar y mostrar la diferencia entre raíces reales e imaginarias

de las ecuaciones y en el año 1673 publicó este resultado en su obra La Geometrie de la

siguiente manera “ni las verdaderas ni las falsas (negativas) raíces son siempre reales; en

ocasiones son imaginarias”. De ahí él propone la notación 𝑎 + 𝑏𝑖 , sin embargo no lo

menciona como números complejos sino como números imaginarios (Sánchez Muñoz,

2011).

Así mismo un siglo más tarde Leonard Euler, retomando la notación de Descartes aclara

que 𝑎 y 𝑏 son números reales e 𝑖 es la unidad imaginaria. Él al realizar un estudio más

minucioso llega a la siguiente conclusión: "Puesto que todos los números concebibles son

mayores que cero, menores que cero, o iguales a cero, está claro que las raíces

cuadradas de números negativos no pueden ser incluidas entre los números posibles

(reales). En consecuencia debemos decir que son números imposibles. Y esta

circunstancia nos lleva al concepto de tales números, que por su naturaleza son

imposibles, y ordinariamente se les llama imaginarios o ideales, porque existen sólo en la

imaginación", esta idea la publico en su obra Vollstandige Auleituna zur Álgebra (Kline,

1972).

Para los matemáticos griegos y para muchos matemáticos posteriores todo era aceptable

si se podía relacionar con elementos geométricos, es por eso que fue complicado aceptar

los enteros negativos, pero después de muchos estudios estos se aceptaron. Así mismo

se buscaba relacionar los números complejos con un objeto geométrico, fue entonces

cuando, en 1673, Jhon Wallis sugirió la primera interpretación geométrica de los números

complejos, relacionándola con la construcción geométrica de media proporcional

establecida en los Elementos de Euclides, con el objetivo de hacer la construcción del

segmento de la raíz cuadrada de cualquier número, incluyendo los negativos. Así Wallis

se dio cuenta que debía incluir un eje perpendicular al eje de los números reales.

2.1.2 Construcción de la media proporcional

Figura 2: Construcción Media Proporcional

Dados los segmentos 𝑎 y 𝑏, se construye la semicircunferencia con diámetro 𝑎 + 𝑏, se

traza la recta perpendicular a 𝑎 + 𝑏 por 𝑃 y se encuentra el punto de intersección entre la

perpendicular y la semicircunferencia 𝑀 y por lo tanto el segmento 𝑀𝑃 = 𝑥 es media

proporcional de 𝑎 y 𝑏.

De ahí se puede establecer la siguiente proporción:

𝑎

𝑥=𝑥

𝑏

𝑎𝑏 = 𝑥2



Donde √𝑎𝑏 = 𝑥, siendo el segmento 𝑥 la raíz cuadrada del producto de 𝑎 y 𝑏. Wallis fue el

primer matemático en identificar los números en la recta real. De este modo supuso que si

𝑝 era el origen de la recta real entonces 𝑏 estaba asociado a un número positivo y “𝑎” a un

número negativo. ¿Pero 𝑥 qué clase de número era? Wallis de alguna manera intuyó que

𝑥, al ser la raíz de un número negativo, debería estar localizado en una recta

perpendicular a la recta real (como aparece en la Figura 2) (J Nahin, 2007).

Wallis además propone el siguiente problema: construir un triángulo dados dos lados (𝑎 y

𝑏) y un ángulo ().

La solución a este problema está dado en la siguiente figura, donde se observa que en

realidad hay dos soluciones que corresponden a los dos cortes que tiene el semicírculo de

radio 𝑏 con la recta 𝐵𝐶.


y un ángulo (𝛼) cuando 𝑏 > 𝑐.

Pero Wallis no especifica que el ángulo debe ser un ángulo entre dos lados del

triángulo. Si suponemos que es el ángulo de elevación del lado “𝑎” con respecto a la

recta real podríamos hacer la siguiente construcción:


y un ángulo () cuando 𝑏𝑐.

Donde los vértices de los nuevos triángulos, 𝐸 y 𝐹, ya no están sobre la recta real. Si el

origen de la recta real es el punto 𝐷, los puntos 𝐸 y 𝐹 estarían fuera de la recta real.

Nuevamente Wallis intuyó que había otros números que estaban fuera de la recta real (en

un plano) y que estaban relacionados con raíces de números negativos.

Después de la aceptación parcial de los números complejos, se desarrolló un trabajo de

cálculo integral por parte de Gottfried Leibniz y Jhoan Bernoulli en el siglo XVIII. Leibniz se

refiere a estos números en la siguiente frase “los números imaginarios son un excelente y

maravilloso refugio del espíritu santo, una especie de anfibio entre ser y no ser” (Kasner,

2007).

Abraham De Moivre fue uno de los primeros en realizar trabajos en geometría analítica y

relacionarla con los números complejos por medio del llamado teorema de De Moivre. El

teorema afirma que para cualquier número complejo se puede calcular una potencia de

grado 𝑛. De este modo si 𝑧 es un número complejo y 𝑛 una potencia obtenemos:

𝑧𝑛 = (𝑟(cos(𝛼) + sin(𝛼) 𝑖))𝑛 = 𝑟𝑛 (cos(𝑛𝛼) + sin(𝑛𝛼)𝑖)

A pesar de todos estos trabajos e investigaciones en el siglo XIX todavía no era

totalmente aceptada la existencia de números complejos y los trabajos que asumían a

√−1 = 𝑖 no eran del todo válidos. Fue entonces cuando Caspar Wessel logro dar una

interpretación geométrica relacionando un número complejo con un vector y ubicándolo

en el plano complejo.



Caspar Wessel trabajó durante muchos años en cartografía tratando de hacer mapas de

Dinamarca, lo que contribuyó a la elaboración del primer mapa exacto del país. Este

trabajo le hizo adentrarse en el álgebra, la trigonometría y la geometría, pero sobre todo lo

llevó a pensar en cómo se podía representar la dirección de forma analítica. Wessel

deseaba encontrar una expresión algebraica simple que le permitiera describir la dirección

y la longitud de un segmento lineal a partir (Wessel, 1999) de la cual se pudieran hacer

los cálculos de distancias y direcciones de forma más sencilla de cómo se hacían

utilizando la trigonometría. Wessel deseaba además encontrar un procedimiento

algebraico que le permitiera describir cualquier rotación de un segmento de línea (Wessel,

1999). Es importante anotar que el trabajo de Wessel es anterior a los trabajos de

Hamilton, Arthur Cayley (1821-1895) y Hermann Gunther Grassmann (1809-1877) que

definen axiomáticamente la noción de vector y espacio vectorial.

En marzo 10 de 1797 Wessel presentó ante la Real Academia Danesa de Ciencias un

ensayo titulado “Sobre la representación analítica de la dirección”, artículo que fue

publicado dos años después en las memorias de la academia. Este artículo fue publicado

por la academia, a pesar del hecho de que Wessel no era miembro de esta academia, ya

que lo encontraron muy interesante. Es muy importante anotar que la representación

geométrica de los números complejos nació de la necesidad de hacer más sencillos los

cálculos asociados con la triangulación (cálculos trigonométricos), y que en este contexto

los números complejos tienen un significado bien claro relacionado con una dirección y

una longitud de un segmento en un plano (lo que ahora nosotros llamamos vectores).

La introducción del plano complejo hecha por Wessel expandió el concepto que se tenía

de número. Antes de Wessel los números estaban confinados a la recta real, pero Wessel

expandió los números al plano. Esta expansión permitió más adelante ver el conjunto de

los números complejos como un cuerpo o campo infinito, que es una estructura algebraica

en la cual las operaciones llamadas adición y multiplicación se pueden realizar y cumplen

las propiedades: asociativa, conmutativa y distributiva de la multiplicación respecto de la

adición, además de la existencia de inverso aditivo, de inverso multiplicativo y de un

elemento neutro para la adición y otro para la multiplicación, los cuales permiten efectuar

las operaciones de sustracción y división (excepto la división por cero). En particular en el

conjunto de los números complejos todas las operaciones aritméticas son cerradas. Por

ejemplo, a todos los números complejos se les puede sacar sus raíces de cualquier orden

y su logaritmo. Recordemos que en el conjunto de los números reales la raíz y el

logaritmo de números negativos no dan como resultado un número real (J Nahin, 2007).

En 1806 se hicieron dos publicaciones donde se redescubrió el plano complejo. En 1806

Jean-Robert Argand escribió y publicó, a título personal y sin colocar su nombre como

autor, en una edición privada un ensayo titulado “Ensayo sobre una forma de representar

las cantidades imaginarias mediante construcciones geométricas” (J Nahin, 2007). Esta

publicación habría pasado desapercibida sino hubiera sido por Adrien-Marie Legendre,

que menciono esta publicación en una correspondencia privada a Francois Francais

(1768–1810), un profesor de matemáticas. Al morir Francois, su hermano menor Jacques

(1775–1833) heredó los papeles de su hermano donde se encontraba dicha carta de

Legendre a su hermano. Estimulado por esta carta Jacques publicó en 1813 un artículo al

respecto en la revista francesa “Annales de Mathématiques”. Al final de esta publicación

Jacques reconoce los agradecimientos a Legendre por la carta a su hermano y le pide al

autor anónimo del panfleto que se haga visible. Argand se entera de esta publicación y de

la petición hecha ahí y escribe una réplica en el siguiente número de la misma revista. El

ensayo propone un método de representación gráfica de los números complejos en el

cual se interpreta la multiplicación de un número complejo dado por i como una rotación

de 90 grados en sentido anti-horario alrededor de un eje de rotación que cruza por el

origen del plano coordenado, llamado actualmente plano complejo. En este ensayo

también se propone por primera vez la idea de “módulo” para indicar la magnitud de los

vectores y los números complejos, así como la típica notación para los vectores con una

flecha horizontal sobre las letras que señalan sus extremos. (Florian, 1999).

La segunda publicación de 1806 donde se redescubren las ideas de Wessel fue hecha

por el francés Adrien-Quentin Buee (1748–1826) quien público un artículo al respecto en

la revista “Philosophical Transactions of the Royal Society of London”. Debido a que el

artículo fue escrito en un lenguaje muy oscuro no tuvo mucha influencia en los

matemáticos contemporáneos (J Nahin, 2007).

Carl Friedrich Gauss (1777–1855) es el que populariza (y posiblemente hasta redescubre

por su propia cuenta) la representación de los números complejos en un plano. Después

de muchos años de reflexión al respecto Gauss publica en 1831 en una memoria de la



Real Sociedad de Gottingen sus ideas con respecto al plano complejo y la aritmética de

los números complejos. En honor a Gauss en Alemania llaman el plano complejo

gaussiano. En Francia lo llaman plano de Argand (J Nahin, 2007).

2.1.3 Trabajo de Argand (interpretación geométrica)

Después de muchos trabajos era conocido que al multiplicar un número por −1 iba a dar

su opuesto, por ejemplo (−1)(1) = −1 , (−1)(2) = −2 y (−1)(−3) = 3, lo que representa

en el plano un giro de 180°, de la siguiente manera:

Figura 5: Multiplicación por -1

Una forma poco usual para comprender porque (−)(−) = (+), lo que se conoce como la

ley de los signos. Argand vio de esta manera que no había un número que al multiplicarse

por sí mismo diera −1 o en otros términos no hay un número que represente la raíz

cuadrada de −1. Pero si ese giro ya no es de 180° sino de 90°, resultaba un nuevo punto

fuera de la recta real. Argand asoció el número √−1 = 𝑖 con un punto a una distancia de

la unidad del punto cero, pero en una dirección perpendicular al eje real (Perero, 1914).

Figura 6: Método de Argand para definir el plano complejo.

Así, Argand definió el plano donde se ubican los números complejos1.

Figura 7: Diagrama de Argand o plano complejo, tomado de (Flickr, 2011)

Además, definió que al multiplicar un número por𝑖 esto significa hacer un giro de 90°, lo

que comúnmente se conoce como potencias de 𝑖.

Figura 8: Rotación dada al multiplicar por i, tomado de (Flickr, 2011).

1 El plano complejo o diagrama de Argand. En un sistema de coordenadas Cartesianas, un punto se puede representar

usando coordenadas (𝑥, 𝑦). Cuando este punto se toma para representar el número complejo (𝑥 + 𝑖𝑦), al plano se le llama plano complejo, o diagrama de Argand. Se llama así en honor del matemático suizo Jean Robert Argand, una de varias personas que inventó esta representación geométrica de los números complejos.



En 1831 Gauss escribió: “Los números complejos han sido vistos por mucho tiempo

desde un punto de vista equivocado y han sido rodeados de un aura de misterio y

oscuridad, lo que se refleja en la terminología utilizada para referirse a ellos que debería

ser cambiada. En lugar de llamar a +1, −1 e 𝑖 como la unidad positiva, negativa e

imaginaria respectivamente, los deberíamos llamar, por ejemplo, unidad directa, inversa y

lateral. De este modo liberaríamos los sustantivos utilizados de sus connotaciones

negativas u oscuras del lenguaje natural” (Nahim, 1998, p. 82).

Augustus De Morgan en su libro titulado “On The Study and dificulties of mathematics”

(1910) escribió “al principio de la historia de los números complejos estos fueron

considerados como números imposibles, tolerados en ciertas áreas del álgebra muy

limitadas por su utilidad para sacar raíces de polinomios. Pero demostraron ser muy

importantes a partir de su interpretación geométrica, que fue muy útil para unificar el

álgebra y la geometría, y desarrollar nuevas geometrías como las no euclidianas. La

interpretación geométrica de los números complejos es tan poderosa, hermosa e

inesperada que únicamente la palabra milagro sería adecuada para describir este hecho”

(Nahim, 1998, p. 82).

Una pregunta que surge en este punto es: ¿si desde hace más de 200 años se sabe que

los cálculos trigonométricos y las operaciones de simetría se realizan de manera mucho

más sencilla utilizando los números complejos por qué este tipo de cálculos no se

enseñan en los colegios, y en las universidades se ven de manera aislada en cursos

avanzados de variable compleja? Por otro lado, habría que preguntarse ¿por qué la

enseñanza de la matemática durante siglos no ha mostrado lo sencillo que puede ser

entender y trabajar con los números complejos?

Después de darle total aceptación al campo de los números complejos, este se vuelve

una herramienta esencial para la evolución de la matemática, en especial el estudio del

cálculo de variable compleja. Por ejemplo, Agustin-Louis Cauchy, quien trabajo en el

cálculo diferencial e integral complejo, encontró, entre otros hechos, una serie de

teoremas para resolver integrales que al principio parecerían imposibles de resolver.

Bernhard Riemann por su parte trabajo en geometría compleja transformando superficies,

analizando y representando estas transformaciones y Karl Weierstrass se centró en la

parte de aritmética y en la teoría de series de potencias de una función (Morelo Aparicio,

2007).

Más adelante, William Hamilton desarrolló todo el trabajo y descubrimiento de los

cuaterniones, lo que significa extender el trabajo y ampliar la visión de los números

complejos relacionándolos ahora con puntos en el espacio, es decir, en tres dimensiones,

la aparición de esta nueva estructura fue la base para desarrollar el álgebra abstracta

(Sánchez Muñoz, 2011).

2.2 Marco disciplinar

En esta parte se hará una introducción a la aritmética de los números complejos, sus

propiedades (formas algebraica, geométrica y trigonométrica) y sus operaciones básicas.

Esto conlleva a tocar de manera superficial algunos movimientos en el plano como

rotaciones, traslaciones y homotecias. También se dará una breve demostración de los

teoremas de Pitágoras y media proporcional utilizando triángulos semejantes.

Según lo planteado en los Lineamientos y Estándares básicos de competencias en

matemáticas, los números complejos no son un eje central de estudio y en muchas

ocasiones los profesores de matemáticas los pasan por alto, ya que de manera implícita,

están contenidos en la soluciones de ecuaciones cuadráticas y cubicas que se presentan

en grado noveno, pero no hay mayor profundización en las raíces no reales (MEN, 2006).

Por otro lado, la función logaritmo solo se trabaja para números positivos ¿y qué pasa con

logaritmos de números negativos, no existen?

Por otro lado, se enseñan unas operaciones básicas para el conjunto números naturales,

unas operaciones para el conjunto de números enteros, unas para el conjunto de números

racionales y unas para el conjunto de números reales. ¿Acaso las propiedades de cada

una de estas operaciones no son las mismas? Si se empezara a trabajar el conjunto de

números complejos como conjunto universal, se evitarían bastantes inconvenientes, como

por ejemplo explicar la ley de signos o el logaritmo de un número negativo (Chávez,

2014). El conocimiento y la habilidad de manipular los números complejos ayuda en la

comprensión de muchos conceptos de matemáticas que en algunos casos genera

inconvenientes, como el caso de la oración “menos por menos da más”, por ejemplo.



2.2.1 Organización de los números

El concepto de número ha cambiado de forma gradual, influenciada por necesidades

propias de la matemática, se generalizó hasta llegar al concepto de número real, sin

embargo, ahí no se detuvo esta generalización ya que por la necesidad de los

matemáticos de definir la raíz cuadrada de un número negativo se amplió el concepto de

número al concepto de número complejo, en esa dirección se intentó generalizar este

nuevo conjunto incluyendo los cuaterniones2, pero como lo menciona (Pontriaguin, 2003)

los cuaterniones no cumplen con la propiedad de conmutatividad en la multiplicación, por

cuanto, fueron poco significativos, tienen algunas aplicaciones en espacios euclídeos

tridimensionales y tetradimencionales, pero no es nada comparable con la aplicación de

números complejos.

Esto significa que los conjuntos de números reales, enteros, racionales, irracionales… son

subconjuntos de este conjunto como lo podemos apreciar en el siguiente gráfico.

Figura 9: Organización del conjunto de números complejos

2 El sistema de cuaterniones fue propuesto en el año de 1843por Sir William Rowan Hamilton. Los cuaterniones se obtienen al agregar a los números reales no una, sino tres unidades imaginarias. (Pontriaguin, 2003)

Haciendo un breve resumen de la organización y surgimiento de cada conjunto, podemos

decir que los números naturales se dieron como una necesidad de contar los elementos

de un conjunto y en él se definieron unas operaciones básicas como la suma y la resta.

Sin embargo, en la resta de números naturales existían elementos que no pertenecían a

este conjunto, por ejemplo 5 − 7. Entonces es ahí donde empiezan a aparecer nuevos

números, es decir, el conjunto que hoy conocemos como números enteros. De manera

similar es que surgen los números racionales, de la necesidad de darle sentido a una

división no exacta de números enteros. Por otro lado, los números irracionales surgieron

de la necesidad de trabajar con ellos en la geometría euclidiana (como el número 𝜋 y 𝑒),

con series o con sumas infinitas. Esto significa que el conjunto de números se ha ido

ampliando hasta relacionarlos con los puntos de una recta. En otras palabras se hace

corresponder los números con los puntos de una línea recta, lo que definimos como recta

real.

Siguiendo la misma línea evolutiva nos encontramos con el problema de hallar raíces o

logaritmos de números negativos, números que no podemos ubicar en la recta real. Por lo

que definimos el plano complejo, donde uno de los ejes representa la recta real y la

unidad es 1 y el otro representa el eje imaginario donde la unidad imaginaria es 𝑖.

Teniendo como referencia el conjunto en 𝑅2, donde los puntos se representan de la forma

(𝑥0,𝑦0), donde 𝑥0 e 𝑦0 son números reales, podemos definir los puntos en el plano

complejo (𝑥, 𝑖0) donde 𝑥 representa un número real y 𝑖0un número imaginario. Definimos

como el conjunto de números imaginarios puros los puntos que ubicamos sobre el eje

imaginario. A este conjunto de números imaginarios puros unido con el conjunto de

números reales es el que definimos como conjunto de números complejos.

2.2.2 El conjunto de los números complejos como cuerpo

matemático

Dado que el conjunto de números complejos es una extensión de los números reales y los

números reales forman un cuerpo o un campo matemático (Ayres, 2001), podemos

asociar el conjunto de los números con un campo vectorial y una representación matricial,

definimos así el conjunto de números complejos como un cuerpo matemático observando

las siguientes propiedades (Navarrete Molano, 2005):



Para todo, 𝑧1, 𝑧2𝑦𝑧3 ∈ C, con 𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖, 𝑧2 = 𝑐 + 𝑑𝑖 y 𝑧3 = 𝑒 + 𝑓𝑖 , donde 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓

∈ R se cumple que:

La suma es una operación cerrada

𝑧1 + 𝑧2 = (𝑎 + 𝑏𝑖) + (𝑐 + 𝑑𝑖) = (𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑)𝑖, donde 𝑎 + 𝑐 y 𝑏 + 𝑑 es un número real,

así (𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑)𝑖 es un número complejo

La multiplicación es una operación cerrada

𝑧1 ∗ 𝑧2 = (𝑎 + 𝑏𝑖) ∗ (𝑐 + 𝑑𝑖) = 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑𝑖 + 𝑏𝑐𝑖 − 𝑏𝑑 = (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑) + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑖, donde 𝑎𝑐 − 𝑏𝑑

y 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 son números reales, luego (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑) + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑖 es un número complejo

Se cumple la propiedad asociativa de la suma

(𝑧1 +𝑧2) +𝑧3 = 𝑧1 + (𝑧2 +𝑧3)

Sean 𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖 , 𝑧2 = 𝑐 + 𝑑𝑖y 𝑧3 = 𝑒 + 𝑓𝑖

Entonces

(𝑧1 +𝑧2) +𝑧3 = ((𝑎 + 𝑏𝑖) + (𝑐 + 𝑑𝑖)) + (𝑒 + 𝑓𝑖) = (𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑)𝑖 + (𝑒 + 𝑓𝑖) =

((𝑎 + 𝑐) + 𝑒) + ((𝑏 + 𝑑) + 𝑓)𝑖

Utilizando la propiedad asociativa de la suma de números reales, podemos afirmar:

(𝑎 + (𝑐 + 𝑒)) + (𝑏 + (𝑑 + 𝑓))𝑖 = (𝑎 + 𝑏𝑖) + ((𝑐 + 𝑒) + (𝑑 + 𝑓)𝑖)

= (𝑎 + 𝑏𝑖) + ((𝑐 + 𝑑𝑖) + (𝑒 + 𝑓𝑖)) = 𝑧1 + (𝑧2 +𝑧3)

Se cumple la propiedad conmutativa de la suma

𝑧1 +𝑧2 = 𝑧2 +𝑧1

Sean 𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖 y 𝑧2 = 𝑐 + 𝑑𝑖

Entonces 𝑧1 +𝑧2 = (𝑎 + 𝑏𝑖) + (𝑐 + 𝑑𝑖) = (𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑)𝑖

Y utilizando la propiedad conmutativa de los números reales llegamos a

(𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑)𝑖 = (𝑐 + 𝑎) + (𝑑 + 𝑏)𝑖 = (𝑐 + 𝑑𝑖) + (𝑎 + 𝑏𝑖) = 𝑧2 +𝑧1

Existe un elemento neutro de la suma 0

En el conjunto de los números complejos también existe un elemento que al sumarse a un

número no lo afecta y es el elemento 0 = 0 + 0𝑖 , en otras palabras 𝑧 + 0 = 𝑧

𝑧 + 0 = (𝑎 + 𝑏𝑖) + (0 + 0𝑖) = (𝑎 + 0) + (𝑏 + 0)𝑖 = 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑧

Existe un inverso aditivo (−𝑧)

En los números complejos existe un elemento, conocido como opuesto que al operarse

sobre el número original se obtiene el elemento neutro.

Sea 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 y su opuesto será −𝑧 = −(𝑎 + 𝑏𝑖) = −𝑎 − 𝑏𝑖

De tal manera que

𝑧 + (−𝑧) = 0,

Es decir,

𝑎 + 𝑏𝑖 − (𝑎 + 𝑏𝑖) = 𝑎 + 𝑏𝑖 − 𝑎 − 𝑏𝑖 = (𝑎 − 𝑎) + (𝑏 − 𝑏)𝑖 = 0 + 0𝑖 = 0

Se cumple la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma

𝑧1 ∗ (𝑧2 +𝑧3) = 𝑧1 ∗ 𝑧2 + 𝑧1 ∗𝑧3

Para demostrar esta propiedad tomamos ambos lados de la igualdad y observamos que

los dos llegan a una misma expresión, por lo tanto podemos establecer la igualdad:

𝑧1 ∗ (𝑧2 +𝑧3) = (𝑎 + 𝑏𝑖) ∗ [(𝑐 + 𝑑𝑖) + (𝑒 + 𝑓𝑖)]

= (𝑎 + 𝑏𝑖) ∗ [(𝑐 + 𝑒) + (𝑑 + 𝑓)𝑖]

= 𝑎(𝑐 + 𝑒) + 𝑎(𝑑 + 𝑓)𝑖 + 𝑏𝑖(𝑐 + 𝑒) − 𝑏(𝑑 + 𝑓)

= (𝑎𝑐 + 𝑎𝑒) + (𝑎𝑑 + 𝑎𝑓)𝑖 + (𝑏𝑐 + 𝑏𝑒)𝑖 − (𝑏𝑑 + 𝑏𝑓)

= (𝒂𝒄 + 𝒂𝒆 − 𝒃𝒅 − 𝒃𝒇) + (𝒂𝒅 + 𝒂𝒇 + 𝒃𝒄 + 𝒃𝒆)𝒊

𝑧1 ∗ 𝑧2 + 𝑧1 ∗𝑧3 = (𝑎 + 𝑏𝑖) ∗ (𝑐 + 𝑑𝑖) + (𝑎 + 𝑏𝑖) ∗ (𝑒 + 𝑓𝑖)

= (𝑎𝑐 + 𝑎𝑑𝑖 + 𝑏𝑐𝑖 − 𝑏𝑑) + (𝑎𝑒 + 𝑎𝑓𝑖 + 𝑏𝑒𝑖 − 𝑏𝑓)

= 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑𝑖 + 𝑏𝑐𝑖 − 𝑏𝑑 + 𝑎𝑒 + 𝑎𝑓𝑖 + 𝑏𝑒𝑖 − 𝑏𝑓

= (𝒂𝒄 + 𝒂𝒆 − 𝒃𝒅 − 𝒃𝒇) + (𝒂𝒅 + 𝒂𝒇 + 𝒃𝒄 + 𝒃𝒆)𝒊

Se cumple la propiedad asociativa de la multiplicación

(𝑧1 ∗ 𝑧2) ∗ 𝑧3 = 𝑧1 ∗ (𝑧2 ∗𝑧3)

Para demostrar esta propiedad tomamos ambos lados de la igualdad y observamos que

los dos llegan a una misma expresión, por lo tanto podemos establecer la igualdad:

Sean 𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖 , 𝑧2 = 𝑐 + 𝑑𝑖y 𝑧3 = 𝑒 + 𝑓𝑖

Entonces, por un lado

(𝑧1 ∗𝑧2) ∗ 𝑧3 = ((𝑎 + 𝑏𝑖) ∗ (𝑐 + 𝑑𝑖)) ∗ (𝑒 + 𝑓𝑖)

= (𝑎𝑐 + 𝑎𝑑𝑖 + 𝑏𝑐𝑖 − 𝑏𝑑) ∗ (𝑒 + 𝑓𝑖)

= 𝑎𝑐(𝑒 + 𝑓𝑖) + 𝑎𝑑𝑖(𝑒 + 𝑓𝑖) + 𝑏𝑐𝑖(𝑒 + 𝑓𝑖) − 𝑏𝑑(𝑒 + 𝑓𝑖)

=𝑎𝑐𝑒 + 𝑎𝑐𝑓𝑖 + 𝑎𝑑𝑒𝑖 − 𝑎𝑑𝑓 + 𝑏𝑐𝑒𝑖 − 𝑏𝑐𝑓 − 𝑏𝑑𝑒 − 𝑏𝑑𝑓𝑖



= (𝒂𝒄𝒆 − 𝒂𝒅𝒇 − 𝒃𝒄𝒇 − 𝒃𝒅𝒆) + (𝒂𝒄𝒇 + 𝒂𝒅𝒆 + 𝒃𝒄𝒆 − 𝒃𝒅𝒇)𝒊

Y por el otro,

𝑧1 ∗ (𝑧2 ∗ 𝑧3) = (𝑎 + 𝑏𝑖) ∗ ((𝑐 + 𝑑𝑖) ∗ (𝑒 + 𝑓𝑖))

= (𝑎 + 𝑏𝑖) ∗ (𝑐𝑒 + 𝑐𝑓𝑖 + 𝑑𝑒𝑖 − 𝑑𝑓)

= (𝑎 + 𝑏𝑖) ∗ ((𝑐𝑒 − 𝑑𝑓) + (𝑐𝑓 + 𝑑𝑒)𝑖)

= 𝑎(𝑐𝑒 − 𝑑𝑓) + 𝑎(𝑐𝑓 + 𝑑𝑒)𝑖 + 𝑏𝑖(𝑐𝑒 − 𝑑𝑓) − 𝑏(𝑐𝑓 + 𝑑𝑒)

=(𝑎𝑐𝑒 − 𝑎𝑑𝑓) + (𝑎𝑐𝑓 + 𝑎𝑑𝑒)𝑖 + (𝑏𝑐𝑒 − 𝑏𝑑𝑓)𝑖 − (𝑏𝑐𝑓 + 𝑏𝑑𝑒)

= (𝒂𝒄𝒆 − 𝒂𝒅𝒇 − 𝒃𝒄𝒇 − 𝒃𝒅𝒆) + (𝒂𝒄𝒇 + 𝒂𝒅𝒆 + 𝒃𝒄𝒆 − 𝒃𝒅𝒇)𝒊

Se cumple la propiedad conmutativa de la multiplicación

𝑧1 ∗𝑧2 = 𝑧2 ∗ 𝑧1

𝑧1 ∗𝑧2 = (𝑎 + 𝑏𝑖) ∗ (𝑐 + 𝑑𝑖) = 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑𝑖 + 𝑏𝑐𝑖 − 𝑏𝑑

Aplicando propiedad conmutativa de los números reales se obtiene

𝑎𝑐 + 𝑎𝑑𝑖 + 𝑏𝑐𝑖 − 𝑏𝑑 = 𝑐𝑎 + 𝑑𝑎𝑖 + 𝑐𝑏𝑖 − 𝑑𝑏 = (𝑐 + 𝑑𝑖) ∗ (𝑎 + 𝑏𝑖) = 𝑧2 ∗𝑧1

Existe un elemento neutro de la multiplicación, que es 1

El elemento neutro de la multiplicación es 1 y expresado de forma compleja seria 1 + 0𝑖,

ya que (𝑎 + 𝑏𝑖) ∗ (1 + 0𝑖) = 𝑎 + 0𝑖 + 𝑏𝑖 − 0

Existe un inverso Multiplicativo 𝑧−1

En los números complejos existe un elemento, conocido como opuesto que al operarse se

obtiene el elemento neutro 1, es decir 𝑧 ∗ 𝑧−1 = 1, donde 𝑧 ≠ 0 , luego

𝑧−1 =𝑎 − 𝑏𝑖

𝑎2 + 𝑏2, 𝑠𝑖𝑎, 𝑏 ≠ 0

De este modo, se puede ver que:

𝑧 ∗ 𝑧−1 = (𝑎 + 𝑏𝑖) ∗ (𝑎 − 𝑏𝑖

𝑎2 + 𝑏2) =

𝑎2 − (𝑏𝑖)2

𝑎2 + 𝑏2=𝑎2 + 𝑏2

𝑎2 + 𝑏2= 1

2.2.3 Teorema fundamental del álgebra

El teorema fundamental del álgebra afirma que “toda ecuación algebraica de grado n con

coeficientes reales o complejos, 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥𝑛 +𝑎𝑛−1𝑥

𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑥𝑛−2 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0 =

0,tiene al menos una raíz compleja”.

Demostración

Si 𝑎0 = 0 se ve de inmediato que una raíz de 𝑓(𝑥) es 𝑥 = 0 y el teorema queda

demostrado. Consideramos ahora el caso que 𝑎0 ≠ 0, lo hacemos por contradicción,

luego suponemos que 𝑓(𝑥) ≠ 0 para toda 𝑥. Entonces si 𝑥 = 0

1

𝑓(𝑥)=1

𝑎0

Y si 𝑥 ≠ 0

1

𝑓(𝑥)=

1

𝑎𝑛𝑥𝑛 +𝑎𝑛−1𝑥

𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑥𝑛−2 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0

=

1𝑥𝑛

𝑎𝑛 +1𝑥𝑎𝑛−1 +

1𝑥2𝑎𝑛−2 +⋯+

1𝑥𝑛−1

𝑎1 +1𝑥𝑛𝑎0

Por tanto,

lim𝑥→∞

1

𝑓(𝑥)=0

𝑥𝑛= 0

Ya que 𝑎0 ≠ 0

Por lo cual 1

𝑓(𝑥)es acotada para toda 𝑥 y por lo tanto

1

𝑓(𝑥) también es entera. Entonces por

el teorema de Liouville3 1

𝑓(𝑥)𝑦𝑓(𝑥) serian constantes, lo cual sería una contradicción.

3 Teorema de Liouville: Si 𝑓: 𝐶 → 𝐶 es entera y acotada (lo cual significa que existe una constante

M tal que |𝑓(𝑥)| ≤ 𝑀para toda 𝑥), entonces 𝑓 es constante.



2.2.4 Representaciones de números complejos

Número Complejo

Los números complejos son un conjunto de objetos que pueden sumarse y multiplicarse,

siendo la suma y el producto de dos números complejos un número complejo, y satisfacen

las siguientes condiciones.

1. Todo número real es un número complejo, y si 𝑎, 𝑏 son números reales, entonces

su suma y producto como números complejos son iguales a su suma y productos

como números reales.

2. Hay un número complejo denotado por 𝑖 tal que 𝑖2 = −1

3. Todo número complejo puede escribirse únicamente en la forma 𝑎 + 𝑏𝑖, donde 𝑎, 𝑏

son números reales

4. Las leyes ordinarias de la aritmética relativas a la adición y la multiplicación se

satisfacen (Lang, 1993)

Este conjunto de números se puede representar de cinco formas distintas pero

interrelacionadas, dos de ellas de forma algebraica (Binómica y exponencial), otras dos de

forma geométrica o gráfica (Cartesiana y polar o trigonométrica) y finalmente en forma

matricial.

2.2.4.1 Representación Binómica

Número Complejo

Sea 𝑧, un número complejo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, donde 𝑎 y 𝑏 son números reales y 𝑎 es la parte

real, 𝑏 es la parte imaginaria e 𝑖 es la unidad imaginaria.

Suma de números complejos

La suma de números complejos se obtienen sumando partes reales entre sí y partes

imaginarias entre sí.

(𝑎 + 𝑏𝑖) +(𝑐 + 𝑑𝑖) = (𝑎 + 𝑐) +(𝑏 + 𝑑)𝑖

Ejemplo:

(2 + 3𝑖) + (1– 5𝑖) = (2 + 1) +(3– 5)𝑖 = 𝟑– 𝟐𝒊

Resta de números complejos

La resta de números complejos se obtienen restando partes reales entre sí y partes

imaginarias entre sí.

(𝑎 + 𝑏𝑖) −(𝑐 + 𝑑𝑖) = (𝑎 − 𝑐) +(𝑏 − 𝑑)𝑖

Ejemplo:

(2 + 3𝑖)–(1– 5𝑖) = 2 + 3𝑖 − 1 + 5𝑖 = (2 − 1) + (3 + 5)𝑖 = 𝟏 + 𝟖𝒊

Multiplicación de números complejos

El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del

producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que 𝑖2 = −1.

(𝑎 + 𝑏𝑖) · (𝑐 + 𝑑𝑖) = (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑) +(𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑖

Ejemplo: (5 + 2𝑖) · (2 − 3𝑖) = 10 − 15𝑖 + 4𝑖 − 6𝑖2 = 10 − 11𝑖 + 6 = 16 − 11𝑖

Conjugado complejo

A partir de un número complejo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, se define el conjugado de 𝑧 como 𝑧 = 𝑎– 𝑏𝑖

(la parte real es igual y la parte imaginaria es opuesta).

Ejemplo: el conjugado de 4 + 3𝑖 es 4 − 3𝑖 y el conjugado de −1− 𝑖es −1 + 𝑖

Opuesto de un número complejo

Dado un número complejo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, se define opuesto de 𝑧 como −𝑧 = −𝑎– 𝑏𝑖 (la parte

real e imaginaria son opuestas).

Ejemplo: el opuesto de 7 + 3𝑖 es −(7 + 3𝑖) = −7 − 3𝑖

División de números complejos

El cociente de números complejos se hace racionalizando el denominador; no está

definido si 𝑐 + 𝑑𝑖 = 0, lo que implica que 𝑐, 𝑑 ≠ 0. Este cociente se desarrolla,

multiplicando numerador y denominador por el conjugado de éste.

𝑎 + 𝑏𝑖

𝑐 + 𝑑𝑖=𝑎 + 𝑏𝑖

𝑐 + 𝑑𝑖. 1 =

𝑎 + 𝑏𝑖

𝑐 + 𝑑𝑖.𝑐 − 𝑑𝑖

𝑐 − 𝑑𝑖=(𝑎 + 𝑏𝑖)(𝑐 − 𝑑𝑖)

𝑐2 − (𝑑𝑖)2

=(𝑎𝑐 + 𝑏𝑑) + (𝑏𝑐 − 𝑎𝑑)𝑖

𝑐2 + 𝑑2

=𝑎𝑐 + 𝑏𝑑

𝑐2 + 𝑑2+𝑏𝑐 − 𝑎𝑑

𝑐2 + 𝑑2𝑖



Ejemplo:

Dividir 5 + 𝑖 entre 6 − 7𝑖

5 + 1𝑖

6 + 7𝑖=5 + 1𝑖

6 + 7𝑖. 1 =

5 + 1𝑖

6 + 7𝑖.5 − 1𝑖

6 − 7𝑖

=(5 + 1𝑖)(6 − 7𝑖)

62 − (7𝑖)2

=(6 ∗ 5 + 1 ∗ 7) + (1 ∗ 6 − 5 ∗ 7)𝑖

62 + 72=(30 + 7) + (6 − 35)𝑖

36 + 49=37

85−29

85𝑖

1.2.4.2 Representación Cartesiana

“El sistema de los números complejos, denotado por C, es el conjunto junto con las

reglas usuales de la adición de vectores y la multiplicación escalar por un número real”

(Marsden J.)

Así como se hace corresponder los puntos de una recta con el conjunto de números

reales, se puede hacer corresponder los puntos del plano con el conjunto de números

complejos, a lo que se conoce como el plano complejo, cada número o punto se

determina con unas coordenadas (𝑎, 𝑏) donde 𝑎 representa la parte real, el eje horizontal,

y 𝑏 la parte imaginaria, el eje imaginario.

Figura 10: Representación cartesiana de un número complejo

Algunos ejemplos

Figura 11: Números complejos en el plano

Los números complejos en el plano complejo se comportan como vectores y sus

operaciones básicas se corresponden con las operaciones de vectores. La suma de

números complejos en el plano sigue la ley del paralelogramo (Figura 12).

Figura 12: Suma de números complejos en el plano complejo

Resta de números complejos en el plano

La resta de números complejos se comporta similar a la suma, solo que vamos a sumar el

opuesto del vector es decir:

𝑧1 − 𝑧2 = 𝑧1 + (−𝑧2)



Multiplicación por un número real

Figura 13: Multiplicación de un número complejo por un número real

Sea 𝑧1 = 2 + 𝑖 si se multiplica por 3 el resultado es 𝑧2, es decir,

𝑧2 = 3𝑧1

6 + 3𝑖 = 3(2 + 𝑖)

𝑧2 = 6 + 3𝑖

Multiplicación por un número imaginario

Figura 14: Multiplicación de un número complejo por un número imaginario

Multiplicar por un número imaginario es hacer un giro de 90° en sentido anti-horario y

trasladarlo.

Ejemplo:

𝑧2 = 𝑧1 ∗ (𝑖) = (2 + 𝑖)(𝑖) = 2𝑖 + 𝑖2 = −1 + 2𝑖

𝑧3 = 𝑧1 ∗ (−2𝑖) = (2 + 𝑖)(−2𝑖) = −4𝑖 − 2𝑖2 = 2 − 4𝑖

Multiplicación por un número complejo

Cuando multiplicamos un número complejo por un número complejo se utilizan las dos

formas anteriores, primero se multiplica por la parte real, después por la parte imaginaria y

por último se suman esos resultados.

Ejemplo:

(3 + 𝑖)(2 − 𝑖)

Multiplicamos por la parte real 2(3 + 𝑖) = 𝟔 + 𝟐𝒊

Multiplicamos por la parte imaginaria −𝑖(3 + 𝑖) = −3𝑖 − 𝑖2 = −3𝑖 + 1 = 𝟏 − 𝟑𝒊

Sumamos los dos resultados (6 + 2𝑖) + (1 − 3𝑖) = 𝟕 − 𝒊

Figura 15: Multiplicación de dos números complejos



1.2.4.3 Representación Polar y trigonométrica

Un número complejo se representa de forma polar utilizando dos elementos, el módulo y

el argumento, si 𝑧 es un número complejo entonces 𝑧 = 𝑟𝜃, en forma polar y 𝑧 = 𝑟(𝑐𝑜𝑠𝜃 +

𝑠𝑖𝑛𝜃𝑖), en forma trigonométrica, donde 𝑟 es el módulo y 𝜃 es el argumento.

Figura 16: Representación polar de un número complejo.

Módulo de un número complejo

El módulo se define como la longitud del vector relacionado con el número complejo y se

puede hallar empleando el teorema de Pitágoras (ver Fig. 16):

𝑟 = |𝑎 + 𝑏𝑖| = √𝑎2 + 𝑏2

Argumento de un número complejo

El argumento de un número complejo está definido por el ángulo que forma el vector

relacionado con el número y el lado positivo del eje real (ver Fig. 16).

𝑇𝑎𝑛(𝜃) =𝑏

𝑎 y 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (

𝑏

𝑎)

Ejemplo forma polar

Figura 17: Número complejo 𝑧 = 3 + 4𝑖

Dado el número 𝑧 = 3 + 4𝑖 en forma binomica, el módulo es 𝑟 = √32 + 42 = √25 = 5 y el

argumento es 𝑇𝑎𝑛(𝜃) =4

3 , así 𝜃 = 𝐴𝑟𝑐𝑜𝑇𝑎𝑛 (

4

3) ≈ 53,13°, es decir,

𝑧 = 553° = 5(𝑐𝑜𝑠53° + 𝑠𝑖𝑛53°𝑖)

Suma y resta de complejos en forma polar

Dados 𝑧1 = 𝑟𝛼 𝑦𝑧2 = 𝑠𝛽

𝑧1 + 𝑧2 = 𝑟𝛼 +𝑠𝛽 = 𝑟(cos(𝛼) + sin(𝛼) 𝑖) + 𝑠(cos(𝛽) + sin(𝛽) 𝑖)

= 𝑟 ∗ cos(𝛼) + r ∗ sin(𝛼) 𝑖 + s ∗ cos(𝛽) + s ∗ sin(𝛽) 𝑖

= 𝑟 ∗ cos(𝛼) + s ∗ cos(𝛽) + s ∗ sin(𝛽) 𝑖 + r ∗ sin(𝛼) 𝑖

= (𝑟 ∗ cos(𝛼) + s ∗ cos(𝛽))⏟ + (s ∗ sin(𝛽) + r ∗ sin(𝛼))⏟ 𝑖

Ejemplo:

Dados 𝑧1 = 3𝜋6𝑦𝑧2 = 2𝜋

4

𝑧1 + 𝑧2 = 3𝜋6+2𝜋

4= 3(cos (

𝜋

6) + sin (

𝜋

6) 𝑖) + 2 (cos (

𝜋

4) + sin (

𝜋

4) 𝑖)

= 3 ∗√3

2+ 3 ∗

1

2𝑖 + 2 ∗

1

2+ 2 ∗

1

2𝑖

= 3√3

2+ 3

1

2𝑖 + 1 + 𝑖

= (3√3

2+ 1) + (

3

2+ 1) 𝑖

=2+3√3

2+

5

2𝑖

≈ 4,3834,79°



Multiplicación de complejos en forma polar

La multiplicación de dos números complejos es otro número complejo, el cual tiene por

módulo la multiplicación de los módulos iniciales y el argumento es la suma de los

mismos. Esta propiedad se va a demostrar más delante de forma geométrica.

Dados 𝑧1 = 𝑟𝛼 𝑦𝑧2 = 𝑠𝛽

𝑧1 ∗ 𝑧2 = 𝑟𝛼 ∗𝑠𝛽 =𝑟 ∗ 𝑠𝛼+𝛽

Ejemplo:

Sean 𝑧1 = 6𝜋4𝑦𝑧2 = 3 𝜋

12

𝑧1 ∗ 𝑧2 = 6𝜋4∗3 𝜋

12=18𝜋

3

Relación de la representación trigonométrica y polar en la multiplicación de números

complejos

Para dos números complejos arbitrarios en forma polar 𝑟(cos 𝛼 + 𝑖 sin𝛼) y 𝑠(cos𝛽 +

𝑖 sin𝛽) tenemos que:

𝑟(cos𝛼 + 𝑖 sin 𝛼) ∗ 𝑠(cos𝛽 + 𝑖 sin𝛽)

= 𝑟 ∗ 𝑠(cos 𝛼 ∗ cos𝛽 + cos𝛼 ∗ 𝑖 sin 𝛽 + 𝑖 sin𝛼 ∗ cos𝛽 + 𝑖 sin𝛼 ∗ 𝑖 sin 𝛽)

= 𝑟 ∗ 𝑠(cos 𝛼 ∗ cos𝛽 + cos𝛼 ∗ 𝑖 sin𝛽 + 𝑖 sin𝛼 ∗ cos𝛽 − sin𝛼 ∗ sin 𝛽)

= 𝑟 ∗ 𝑠((cos𝛼 ∗ cos𝛽 − sin𝛼 ∗ sin𝛽) + 𝑖(cos 𝛼 ∗ sin𝛽 + sin𝛼 ∗ cos𝛽))

= 𝑟 ∗ 𝑠(cos(𝛼 + 𝛽) + 𝑖 sin(𝛼 + 𝛽))

De este modo, hemos mostrado que al multiplicar dos números complejos sus módulos se

multiplican y sus argumentos se suman.

División de complejos en forma polar

En la división de números complejos en forma polar se dividen los módulos y se restan los

argumentos.

Dados 𝑧1 = 𝑟𝛼 𝑦𝑧2 = 𝑠𝛽 con 𝑧2 ≠ 0

𝑧1𝑧2=𝑟𝛼𝑠𝛽= (

𝑟

𝑠)𝛼−𝛽

Ejemplo:

Sean 𝑧1 = 6𝜋4𝑦𝑧2 = 3 𝜋

12

𝑧1𝑧2=6𝜋4

3 𝜋12

= (6

3)𝜋4−𝜋12

= 2𝜋6

Relación de la representación trigonométrica y polar en la división de números complejos

Para dos números complejos arbitrarios en forma polar 𝑟(cos 𝛼 + 𝑖 sin𝛼) y 𝑠(cos𝛽 +

𝑖 sin𝛽) con 𝑠(cos𝛽 + 𝑖 sin𝛽) ≠ 0, tenemos que la división es:

𝑟(cos 𝛼 + 𝑖 sin𝛼)

𝑠(cos𝛽 + 𝑖 sin𝛽)=𝑟(cos𝛼 + 𝑖 sin𝛼)

𝑠(cos𝛽 + 𝑖 sin𝛽)∗ 1 =

𝑟(cos 𝛼 + 𝑖 sin𝛼)

𝑠(cos 𝛽 + 𝑖 sin𝛽)∗(cos𝛽 − 𝑖 sin𝛽)

(cos𝛽 − 𝑖 sin𝛽)

=𝑟

𝑠

(cos 𝛼 + 𝑖 sin𝛼) ∗ (cos𝛽 − 𝑖 sin𝛽)

(cos𝛽)2 − (𝑖 sin𝛽)2=𝑟

𝑠

(cos𝛼 + 𝑖 sin𝛼) ∗ (cos𝛽 − 𝑖 sin𝛽)

(cos𝛽)2 + (sin𝛽)2

=𝑟

𝑠

(cos 𝛼 + 𝑖 sin𝛼) ∗ (cos𝛽 − 𝑖 sin𝛽)

1=𝑟

𝑠(cos 𝛼 + 𝑖 sin𝛼) ∗ (cos𝛽 − 𝑖 sin𝛽)

=𝑟

𝑠(cos 𝛼 ∗ cos𝛽 − cos𝛼 ∗ 𝑖 sin𝛽 + 𝑖 sin𝛼 ∗ cos𝛽 + sin𝛼 ∗ sin𝛽)

=𝑟

𝑠(cos 𝛼 ∗ cos𝛽 + sin𝛼 ∗ sin𝛽 − cos𝛼 ∗ 𝑖 sin 𝛽 + 𝑖 sin𝛼 ∗ cos𝛽) =

=𝑟

𝑠(cos(𝛼 − 𝛽) + sin(𝛼 − 𝛽)

Luego, hemos mostrado que al dividir dos números complejos se dividen los módulos y se

restan los argumentos.

1.2.4.4 Representación exponencial

Para establecer la representación exponencial de un número complejo es necesario

conocer la ecuación de Euler, la cual establece una relación entre la representación

trigonométrica y la representación exponencial. A continuación hacemos una

demostración de esta identidad.

Dado un número en representación trigonométrica 𝑧 = cos(𝛼) + 𝑠𝑒𝑛(𝛼)𝑖, podemos ver

este número como una función del ángulo y podemos proceder a hallar su primera

derivada,

𝑑𝑧

𝑑𝛼= −sen(𝛼) + 𝑐𝑜𝑠(𝛼)𝑖



Al sustituir −1 = 𝑖2, se tiene

𝑑𝑧

𝑑𝛼= 𝑖2sen(𝛼) + cos(𝛼) 𝑖

Y al factorizar 𝑖, obtenemos

𝑑𝑧

𝑑𝛼= 𝑖(sen(𝛼)𝑖 + cos(𝛼))

De ahí, sustituyendo el número complejo en la derivada, se tiene

𝑑𝑧

𝑑𝛼= 𝑖𝑧

Expresamos esta derivada como una ecuación diferencial de primer grado, con el objetivo

de despejar 𝑧

1

𝑧𝑑𝑧 = 𝑖𝑑𝛼

Ahora, integrando a ambos lados

∫1

𝑧𝑑𝑧 = ∫ 𝑖𝑑𝛼

Obtenemos,

ln(𝑧) = 𝛼𝑖

Despejamos 𝑧, utilizando logaritmo natural

𝑧 = 𝑒𝛼𝑖

Por lo tanto

𝑧 = cos(𝛼) + 𝑠𝑒𝑛(𝛼)𝑖 = 𝑒𝛼𝑖

Así, la representación exponencial de un número complejo está muy relacionado con la

representación polar y trigonométrica, teniendo como referencia la figura 15 obtenemos:

𝑧 = 𝑟𝑒𝛼𝑖

Ejemplo:

𝑟 = 5 Y 𝜃 =53

180𝜋 por lo tanto

𝑧 = 5𝑒53180

𝜋𝑖

Multiplicación de complejos en forma exponencial

Para multiplicar dos números complejos expresados en forma exponencial se multiplican

los módulos y se suman sus argumentos.

Dados 𝑧1 = 𝑟𝑒𝛼𝑖 y 𝑧2 = 𝑠𝑒

𝛽𝑖, entonces

𝑧1 ∗ 𝑧2 = 𝑟𝑒𝛼𝑖 ∗ 𝑠𝑒𝛽𝑖 = 𝑟𝑠𝑒(𝛼+𝛽)𝑖

Ejemplo:

Sean 𝑧1 = 2𝑒𝜋

6𝑖 y 𝑧2 = 5𝑒

𝜋

18𝑖

𝑧1 ∗ 𝑧2 = 2𝑒𝜋6𝑖 ∗ 5𝑒

𝜋18𝑖 = 10𝑒

29𝜋𝑖

Es claro que las propiedades de la multiplicación de números complejos se deducen de

forma inmediata una vez aceptada la representación exponencial de los números

complejos.

División de complejos en forma exponencial

Para dividir dos números complejos expresados en forma exponencial se dividen los

módulos y se restan sus argumentos.

Dados 𝑧1 = 𝑟𝑒𝛼𝑖 y 𝑧2 = 𝑠𝑒

𝛽𝑖, entonces

𝑧1𝑧2=𝑟𝑒𝛼𝑖

𝑠𝑒𝛽𝑖= (

𝑟

𝑠) 𝑒(𝛼−𝛽)𝑖

Ejemplo

Sean 𝑧1 = 8𝑒𝜋

12𝑖 y 𝑧2 = 2𝑒

𝜋

18𝑖

𝑧1𝑧2=8𝑒

𝜋12𝑖

2𝑒𝜋18𝑖= (

8

2) 𝑒(

𝜋12−𝜋18)𝑖 = 4𝑒

𝜋36𝑖



1.2.4.5 Representación Matricial

De las representaciones anteriores podemos deducir que los números complejos se

comportan como vectores. Ya que todas las operaciones de los números complejos se

pueden ver como operaciones de simetría (traslaciones, rotaciones, reflexiones, etc.) y los

operadores de simetría son matrices, los números complejos también se pueden

representar como matrices.4

Dado el complejo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, decimos que representa el par ordenado (𝑎, 𝑏) en el plano

de Argand por lo tanto este número también lo podemos asociar con una matriz de orden

2.

𝑧 = |𝑎 𝑏−𝑏 𝑎

|

Es decir, la unidad real la definimos como |1 00 1

| y la unidad imaginaria |0 1−1 0

| por lo

tanto el número complejo es:

𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑎 |1 00 1

| + 𝑏 |0 1−1 0

| = |𝑎 00 𝑎

| + |0 𝑏−𝑏 0

| = |𝑎 𝑏−𝑏 𝑎

|

Ejemplo representación matricial:

𝑧 = −3 + 2𝑖

𝑧 = −3 + 2𝑖 = −3 |1 00 1

| + 2 |0 1−1 0

| = |−3 00 −3

| + |0 2−2 0

| = |−3 2−2 −3

|

Así,

−3 + 2𝑖 = |−3 2−2 −3

|

Esta representación matricial es la única que permite visualizar claramente el número 𝑖 a

partir de números reales únicamente. Multiplique la unidad imaginaria por sí misma y

compruebe que obtiene la unidad real multiplicada por −1.

4 Dado que los números complejos se pueden representar como matrices, estos adoptan algunas de sus propiedades, por ejemplo las operaciones básicas

Suma y resta de complejos en forma matricial

Para la suma de números complejos en forma matricial se suma componente a

componente.

Sean 𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖 = |𝑎 𝑏−𝑏 𝑎

| y 𝑧2 = 𝑐 + 𝑑𝑖 = |𝑐 𝑑−𝑑 𝑐

|

𝑧1 + 𝑧2 = |𝑎 𝑏−𝑏 𝑎

| + |𝑐 𝑑−𝑑 𝑐

| = |𝑎 + 𝑐 𝑏 + 𝑑

−(𝑏 + 𝑑) 𝑎 + 𝑐|

Ejemplo:

Sean 𝑧1 = 3 + 4𝑖 = |3 4−4 3

| y 𝑧2 = −2 + 5𝑖 = |−2 5−5 −2

|

𝑧1 + 𝑧2 = |3 4−4 3

| + |−2 5−5 −2

| = |3 − 2 4 + 5

−(4 + 5) 3 − 2| = |

1 9−9 1

|

|1 9−9 1

| = 1 + 9𝑖

Multiplicación de complejos en forma matricial

La multiplicación de números complejos en forma matricial se multiplica de acuerdo a la

multiplicación de matrices, filas por columnas.

Sean 𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖 = |𝑎 𝑏−𝑏 𝑎

| y 𝑧2 = 𝑐 + 𝑑𝑖 = |𝑐 𝑑−𝑑 𝑐

|

Luego, 𝑧1 ∗ 𝑧2 = |𝑎 𝑏−𝑏 𝑎

| ∗ |𝑐 𝑑−𝑑 𝑐

| = |𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐−𝑏𝑐 − 𝑎𝑑 −𝑏𝑑 + 𝑎𝑐

|

Ejemplo:

Sean 𝑧1 = 1 + 2𝑖 = |1 2−2 1

| y 𝑧2 = 3 + 4𝑖 = |3 4−4 3

|

Luego, 𝑧1 ∗ 𝑧2 = |1 2−2 1

| ∗ |3 4−4 3

| = |1 ∗ 3 − 2 ∗ 4 1 ∗ 4 + 2 ∗ 3−2 ∗ 3 − 1 ∗ 4 −2 ∗ 4 + 1 ∗ 3

|

= |𝟑 − 𝟖 𝟒 + 𝟔−𝟔 − 𝟒 −𝟖+ 𝟑

| = |−𝟓 𝟏𝟎−𝟏𝟎 −𝟓

| = −𝟓 + 𝟏𝟎𝐢



2.2.5 Relación de movimientos rígidos en el plano complejo con

operaciones aritméticas básicas de números complejos

1.2.5.1 Traslación

Al sumar o restar un número complejo a un conjunto dado de números (que pueden hacer

parte de una la figura geométrica o una imagen), este se trasladará. Por ejemplo, dado el

polígono 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸, donde 𝐴 = 2 + 2𝑖, 𝐵 = 2 + 4𝑖, 𝐶 = 5 + 4𝑖, 𝐷 = 4 + 2𝑖𝑦𝐸 = 3 + 3𝑖, si se le

suma 𝑧 = 2 + 𝑖 se obtienen los puntos 𝐴′ = 4 + 3𝑖, 𝐵′ = 4 + 5𝑖, 𝐶′ = 7 + 5𝑖, 𝐷′ = 6 +

3𝑖𝑦𝐸′ = 5 + 4𝑖, que forman el polígono 𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′𝐸′ (Figura 18).

Figura 18: La suma de números complejos como una traslación en el plano.

1.2.5.2 Reflexión

Simetría respecto al eje imaginario

Dado el polígono 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸, donde 𝐴 = 2 + 2𝑖, 𝐵 = 2 + 4𝑖, 𝐶 = 5 + 4𝑖, 𝐷 = 4 + 2𝑖𝑦𝐸 = 3 + 3𝑖

se obtiene su imagen reflejada sobre el eje imaginario al sacar a cada número su

conjugado complejo y después su opuesto (figura 19).

Figura 19: Reflexión de un conjunto de números complejos en el eje imaginario.

Simetría respecto al eje real (Reflexión axial)

La reflexión respecto al eje real se determina obteniendo el conjugado de los números

complejos (Figura 20).

Figura 20: Reflexión de un conjunto de números complejos en el eje real.

Simetría respecto al origen (Reflexión central)

Para determinar la simetría respeto al origen del conjunto de números es necesario

aplicar el opuesto del conjunto (Figura 21).



Figura 21: Inversión de un conjunto de números complejos sobre el origen.

1.2.5.3 Rotación

La rotación de una figura se obtiene multiplicando el conjunto de números complejos por

un número complejo dado de módulo unidad. Esta operación se hace más fácilmente con

la representación polar. Donde el argumento del número complejo que multiplica a todos

los puntos de la figura representa el ángulo de rotación. Por ejemplo, el polígono 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸,

donde 𝐴 = 2 + 2𝑖, 𝐵 = 2 + 4𝑖, 𝐶 = 5 + 4𝑖, 𝐷 = 4 + 2𝑖𝑦𝐸 = 3 + 3𝑖 , se puede rotar 80

grados si se multiplica por 𝑧 = 180° = (𝑐𝑜𝑠80° + 𝑠𝑖𝑛80°𝑖):

𝐴’ = (2 + 2𝑖)180° ≈ −1,6 + 2,3𝑖

𝐵’ = (2 + 4𝑖)180° ≈ −3,6 + 2,7𝑖

𝐶’ = (5 + 4𝑖)180° ≈ −3,1 + 5,6𝑖

𝐷’ = (4 + 2𝑖)180° ≈ −3,1 + 4,3𝑖

𝐸’ = (3 + 3𝑖)180° ≈ −2,4 + 3,5𝑖

Figura 22: Rotación de un conjunto de números complejos sobre el origen.

2.2.6 Transformaciones en el plano

1.2.6.1 Homotecia

Este tipo de transformación conserva los ángulos pero no las distancias entre cualquier

par de puntos, sin embargo todas las distancias se incrementan o disminuyen en la misma

razón 𝑘, que se llama razón de homotecia, así la longitud de la imagen de cualquier

segmento 𝐴𝐵 viene dada por 𝑘𝐴’𝐵’. Por lo que tiene la cualidad de cambiar cualquier

figura en una semejante. (Pérez Medina, 2007)

La siguiente figura muestra dos homotecias del polígono 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸, las dos utilizando el

punto (0,0), una de ellas con constante 𝑘 = 2 y la otra constante 𝑘 =1

2.

Figura 23: Homotecia de un conjunto de números complejos.



1.2.6.2 Simetría, homotecia y rotación

En la siguiente imagen el polígono 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸, tiene una rotación de 180°, homotecia por 3/2

y simetría respecto al eje real (conjugado), es decir:

𝐴’ =3𝐴𝑥1180°

2

= 3(2 + 2𝑖)𝑥1180°

2

=(6 + 6𝑖)𝑥1180°

2

=−6 − 6𝑖

2

= −3 − 3𝑖 = −3 + 3𝑖

Figura 24: Homotecia y rotación de un conjunto de números complejos

2.2.7 Semejanza de triángulos

Definición: llámese polígonos semejantes aquellos cuyos ángulos son iguales

respectivamente y cuyos lados son proporcionales (Luque Luna, 1989)5. En otras palabras

se puede escribir como; sea dada una correspondencia entre dos triángulos, si los

ángulos correspondientes son congruentes y los lados correspondientes son

proporcionales, entonces la correspondencia se llama una semejanza y decimos que los

triángulos son semejantes. (Moise, 1986)

5 En este trabajo, utilizamos el símbolo ~ para denotar polígonos semejantes, ∠𝐴 para denotar

ángulo 𝐴 y 𝑚∠𝐴 para medida del ángulo 𝐴, así mismo, 𝐴𝐵 segmento 𝐴𝐵 y 𝐴𝐵 para medida del segmento 𝐴𝐵

Gráficamente esto quiere decir que:

Figura 25: Triángulos semejantes

Si 𝑚∠𝐴 = 𝑚∠𝐴′, 𝑚∠𝐵 = 𝑚∠𝐵′ y 𝑚∠𝐶 = 𝑚∠𝐶′ y 𝐴𝐵

𝐴′𝐵′=

𝐵𝐶

𝐵′𝐶′=

𝐶𝐴

𝐶′𝐴′ entonces

∆𝐴𝐵𝐶~∆𝐴′𝐵′𝐶′

Se mencionó anteriormente, que en la multiplicación de números complejos en forma

polar se multiplican los módulos y se suman los argumentos, esta operación aritmética

básica la relacionamos en geometría con el trabajo de triángulos semejantes.

En primer lugar consideremos dos números complejos 𝑧1 = 3 + 2𝑖 con módulo 3,6 y

argumento 33,69° y 𝑧2 = 2 + 0𝑖 con módulo 2 y argumento 0°, que al multiplicarlos

generan el número complejo con módulo 7,2 y argumento 33,69°, es decir 𝑧3 = 6 +

4𝑖,representados en el plano complejo de la siguiente manera:



Figura 26: Relación de números complejos con triángulos.

Donde ∆𝑧0𝑧1𝑧2~∆𝑧0𝑧3𝑧4, ya que 4

2=7,2

3,6 siendo 𝑧0 = 0 + 0𝑖 y 𝑧4 = 4 + 0𝑖.

En segundo lugar, consideremos dos números complejos uno de ellos imaginario puro,

sean 𝑧1 = 1 + 𝑖 y 𝑧2 = 0 + 2𝑖 , 𝑧1 con módulo √2 y argumento 45° y 𝑧2 con módulo 2 y

argumento 90°, luego la multiplicación entre ellos dos será el complejo 𝑧3 con módulo 2√2

y argumento 135°, es decir 𝑧3 = −2+ 2𝑖.

Figura 27: Multiplicación de números complejos como rotación de triángulos y homotecias.

En palabras de movimientos en el plano, significa aplicar una rotación de 135° al triángulo

formado por 𝑧1 y al mismo tiempo una homotecia con escalar 2. Estas transformaciones

generan un par de triángulos semejantes, con la siguiente relación de proporcionalidad

2

1=2√2

√2.

2.2.8 Demostración gráfica de la ley de multiplicación de números

complejos

Vamos a representar los números complejos como triángulos rectángulos cuyos lados

corresponden a la componente real e imaginaria, y la hipotenusa corresponde a módulo

del número complejo. El ángulo de elevación de la hipotenusa con respecto a la parte real

es el argumento del número complejo. La siguiente figura representa la multiplicación 𝑧1

por la parte real y la parte imaginaria de 𝑧2por separado.

Figura 28: Multiplicación de 𝑧1 por la parte real de 𝑧2 (parte superior) y multiplicación de 𝑧1

por la parte imaginaria de 𝑧2 (parte inferior)

Como vemos al multiplicar 𝑧1 por la parte real de 𝑧2 se obtiene un triángulo semejante a 𝑧1

amplificado 𝑎 veces. Por otro lado, al multiplicar 𝑧1 por la parte imaginaria de 𝑧2 se

genera un triángulo semejante a 𝑧1 pero rotado 90 y amplificado 𝑏 veces. Ahora si

sumamos los números complejos de la derecha de la figura anterior obtenemos la

siguiente construcción:



Figura 29: Suma de los dos números complejos de la derecha de la figura 28.

Como vemos en la figura anterior, el triángulo de lados verdes de la derecha es semejante

a 𝑧2, por tanto teniendo en cuenta las propiedades de triángulos semejantes la hipotenusa

de este triángulo debe ser igual a r*, lo que demuestra que la multiplicación de dos

números complejos da otro número complejo cuyo módulo es la multiplicación de los

módulos de los números complejos que se están multiplicando. Inspeccionando los

ángulos, teniendo en cuenta las propiedades de los triángulos semejantes, nos damos

cuenta que el argumento de 𝑧1 ∗ 𝑧2 es la suma de los argumentos de 𝑧1 y 𝑧2.

Nosotros pensamos que con demostraciones geométricas como la anterior el estudiante

puede comprender mucho mejor las propiedades de los números complejos ya que

vinculan y conectan saberes de distintas áreas de la matemática (geometría, aritmética y

álgebra), son demostraciones visuales que manejan trasformaciones de objetos en el

espacio y están más relacionadas con objetos de más fácil comprensión para los

estudiantes. La introducción de los números complejos generalmente se hace desde un

punto de vista formal (abstracto) que en general no es efectiva ni significativa para la

mayoría de los estudiantes, como lo muestra el test diagnostico que se analizará más

adelante.

2.2.9 Área de un triángulo: ejemplo de cómo usar los números

complejos para solucionar algunos problemas en geometría

Hallar el área de un triángulo cualquiera, puede llegar a ser un problema complicado si no

se tiene la longitud de la base y la longitud de la altura, una solución particular a este

ejercicio sería utilizar la fórmula de Herón6 en la cual intervienen las longitudes de los

lados, sin embargo, la aritmética de números complejos nos facilita un poco el trabajo, ya

que se puede ubicar el triángulo en el plano complejo y a partir de algunos movimientos

rígidos, desplazarlo y hacer coincidir un vértice del triángulo con el origen y uno de los

lados con el eje real del plano complejo, para así obtener la base y la altura del triángulo.

Veamos el siguiente ejemplo:

Hallar el área de ∆𝑧1𝑧2𝑧3, donde 𝑧1 = 2 + 2𝑖, 𝑧2 = 4 + 6𝑖 y 𝑧3 = 6 + 3𝑖

Figura 30: Ejemplo de la representación de un triángulo en el plano complejo.

Traslademos el triángulo de la Figura 30 de tal manera que uno de los vértices coincida

con el origen del plano complejo restando a todos los vértices el número 𝑧1.

𝑤1 = 𝑧1 − 𝑧1 = (2 + 2𝑖) − (2 + 2𝑖) = 2 + 2𝑖 − 2 − 2𝑖 = 𝟎 + 𝟎𝒊

𝑤2 = 𝑧2 − 𝑧1 = (4 + 6𝑖) − (2 + 2𝑖) = 4 + 6𝑖 − 2 − 2𝑖 = 𝟐 + 𝟒𝒊

𝑤3 = 𝑧3 − 𝑧1 = (6 + 3𝑖) − (2 + 2𝑖) = 6 + 3𝑖 − 2 − 2𝑖 = 𝟒 + 𝒊

6 Formula de Herón: Encontrar el área de un triángulo, conociendo la longitud de sus tres lados

(𝑎, 𝑏, 𝑐) 𝐴𝑟𝑒𝑎 = √𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐) , donde s es el semiperimetro del triangulo 𝑠 =𝑎+𝑏+𝑐

2



Figura 31: Desplazamiento del triángulo de la Figura 30 hasta que un vértice del triángulo

coincida con el origen.

Rotemos el triángulo rojo de la Figura 31 alrededor del origen para que uno de los lados

coincida con el eje real, para ello necesitaremos el módulo de 𝑤3:

𝑟 = |𝑤3| = √42 + 12 = √17 ≈ 4,12

Si se multiplican los vértices del triángulo rojo de la figura 30 por 𝑤3∗

|𝑤3|⁄ obtenemos los

nuevos puntos:

𝑥1 = 𝑤1 = 𝟎 + 𝟎𝒊

𝑥2 = 𝟒, 𝟏𝟐 + 𝟎𝒊

𝑥3 =𝑤2 ∗ 𝑤3

|𝑤3|=(2 + 4𝑖)(4 − 𝑖)

√17=12 + 14𝑖

√17= 𝟐, 𝟗𝟏 + 𝟑, 𝟑𝟗𝒊

Figura 32: Rotación del triángulo rojo para hacer colineal uno de sus lados con el eje real.

Luego la base del triángulo será √17 y la altura 3,39 (que es la parte imaginaria de x3),

por lo tanto el área será 6,98 unidades cuadradas.

2.2.10 Teorema de Pitágoras

Uno de los teoremas más importantes en matemáticas es el teorema de Pitágoras, el cual

afirma que “dado un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual

al cuadrado de la hipotenusa”. Se han trabajado muchas demostraciones, entre ellas

algunas algebraicas y geométricas, sin embargo son tediosas y difíciles de comprender.

El trabajo de números complejos nos permite minimizar cálculos y operaciones. En la

siguiente parte se analiza una demostración sencilla y fácil de entender para un

estudiante que maneja eficazmente los números complejos.

El teorema de Pitágoras se puede demostrar fácilmente multiplicando un número

complejo dado por su conjugado complejo, siguiendo los mismos pasos que se utilizaron

para demostrar la multiplicación de números complejos mediante el uso de triángulos

semejantes. Como lo muestra la siguiente figura, se toma un número complejo y se

multiplica primero por su parte real, después se multiplica por el inverso aditivo de su

parte imaginaria y finalmente se suman las dos componentes anteriores.



Figura 33: Multiplicación de un número complejo por su conjugado complejo

representando los números como triángulos rectángulos

Al sumar los números complejos de la derecha de la figura 33 se obtiene la siguiente

construcción:

Figura 34: Suma de los números complejos la figura 33.

En la figura 34 se ve claramente que el módulo de la multiplicación de un número

complejo por su conjugado complejo es la suma de la parte real al cuadrado más la parte

imaginaria al cuadrado (𝑥2 + 𝑦2), que corresponde a la diagonal del rectángulo. Una forma

de ver el hecho anterior es calcular el área del rectángulo anterior a parir del lado y la

altura o a partir de la diagonal (𝑥2 + 𝑦2) de la siguiente manera:

(𝑟𝑥 ∗ 𝑟𝑦) = 2(𝑥2 + 𝑦2)𝑥𝑦

2

𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2

Ecuación de la cual se despeja el teorema de Pitágoras. La figura anterior también sirve

de paso para demostrar el teorema de la media proporcional ya que en el triángulo

superior se cumple que 𝑥2𝑦2 = (𝑥𝑦)2.

2.2.11 Algunas aplicaciones en otras áreas

Cinemática

La cinemática es la rama de la física que estudia el movimiento de los cuerpos sin tener

en cuenta las fuerzas que actúan sobre ellos (Arrascue Cordoba, 2015, pág. 81).

Consideremos una situación particular: hay un bus parado en un semáforo, arrancando

con un movimiento uniformemente acelerado y una persona corre con velocidad uniforme

intentando alcanzar el bus. Podrían pasar entonces dos casos: el primero que la persona

logre tomar el bus y el segundo que la persona no lo alcance. Para los dos casos se tiene

en cuenta el siguiente análisis.

Figura 35: Esquema de un pasajero que trata de alcanzar un bus en movimiento.

Teniendo como sistema de referencia el gráfico anterior, definimos 𝑥𝑏 = 0 la posición del

bus y 𝑥𝑝 = −𝑑 la posición de la persona al bus en instante 𝑡 = 0. Si el bus arranca y

acelera constantemente a medida que transcurre el tiempo 𝑡 ≥ 0 la nueva posición del

bus será 𝑥𝑏 =1

2𝑎𝑡2 y la nueva posición de la persona será 𝑥𝑝 = −𝑑 + 𝑣𝑡, si la persona

logra alcanzar el bus entonces los dos tendrán la misma posición, es decir, 1

2𝑎𝑡2 = −𝑑 +

𝑣𝑡, en otras palabras, 𝑎𝑡2 − 2𝑣𝑡 + 2𝑑 = 0, donde 𝑡 =𝑣

𝑎±√(

𝑣

𝑎)2 − 2

𝑑

𝑎.



Posibles soluciones

1. Si la persona alcanza el bus significa que la solución de 𝑡 es real, luego (𝑣

𝑎)2 − 2

𝑑

𝑎> 0

2. Si la persona no alcanza el bus significa que la solución de 𝑡 pertenece al conjunto de

los números complejos, luego (𝑣

𝑎)2 − 2

𝑑

𝑎< 0 por tanto quiere decir que el bus se ha ido y

la persona no lo pudo tomar. Sin embargo, en esta solución compleja se puede analizar

en qué tiempo estuvo la persona más cerca del bus, que justamente es la parte real del

número complejo, es decir 𝑡 =𝑣

𝑎.

3. Por otro lado, la parte imaginaria se puede expresar como 𝑡𝑖𝑚𝑖. Resulta que la distancia

de mínima aproximación (𝑥𝑚𝑖𝑛) es justamente:

𝑥𝑚𝑖𝑛 =𝑎𝑡𝑖𝑚2

De acuerdo al resultado anterior podemos decir que la distancia de mínima aproximación

entre el bus y el pasajero, para la situación donde el pasajero no alcanza el bus, es la

distancia que recorrería el bus en un tiempo imaginario que es solución a la ecuación

cuadrática que describe el problema. Esto quiere decir que las soluciones complejas de

este problema tienen un sentido físico claro. La mayoría de físicos piensa erróneamente

que las soluciones complejas (cuyos resultados son números complejos) de sus

problemas no tienen sentido y simplemente las ignoran cuando en realidad toda solución

(real o compleja) tiene algún significado físico.

Al introducir este problema a estudiantes de décimo grado se espera mostrar que los

números complejos son útiles para interpretar algunos problemas de física clásica simples

y que las soluciones complejas de las ecuaciones de grado superior a uno, si tienen

sentido físico.

Cartografía

Uno de los principales actores en la historia de los números complejos fue Caspar

Wessel, quien en su tarea de encontrar la ubicación exacta de Dinamarca, su tierra natal,

por medio de triangulación, dio una representación trigonométrica de los números

complejos, es por eso, la utilidad de los números complejos en aplicaciones de ubicación

en el plano. Un ejemplo de ello podría ser ubicar las coordenadas de un barco en el

océano, sabiendo que está a una distancia de 30 km de la base a 70º nororiente.

Luego para encontrar la coordenada en el eje real será: 𝑎 = 30𝑠𝑖𝑛(70) = 𝟐𝟑, 𝟐𝟏𝟔 y la

ubicación en el eje imaginario es 𝑏 = 30𝑐𝑜𝑠(70) = 𝟏𝟖, 𝟗𝟗, así el número complejo

asociado a la situación será 𝒛 = 𝟐𝟑, 𝟐𝟏𝟔 + 𝟏𝟖, 𝟗𝟗𝒊



2.3 Marco pedagógico

En esencia este trabajo está enfocado en mostrar el conjunto de los números complejos

como un conjunto universal, donde los números reales son un subconjunto de los

complejos y los números “imaginarios” son tan “reales” como los mismos números reales.

Además, si se conocen y se utilizan los números complejos esto facilita la comprensión de

diferentes disciplinas como la geometría, la física y de manera general cualquier otra

ciencia.

Para lograr un buen aprendizaje es necesario que el estudiante logre conectar sus ideas y

preconceptos con los conocimientos nuevos que adquiere, así mismo, que la enseñanza

no se centre en transmitir información sino se alcance la construcción mental del

significado de nuestro objeto de estudio. Para el desarrollo de la unidad se proponen unos

referentes teóricos sobre constructivismo y aprendizaje significativo desde el punto de

vista de Ausubel y Vygotsky.

Uno de los principales exponentes de la línea de aprendizaje significativo es David

Ausubel, quien define aprendizaje como “el proceso por medio del que se relaciona nueva

información con un aspecto ya existente en la estructura cognitiva de un individuo que sea

relevante para el material que desea aprender” (Méndez, 1988). En otras palabras un

estudiante adquiere un aprendizaje significativo si el conocimiento que va aprender le

llama la atención y, además, si él logra relacionar sus saberes previos con los nuevos.

Según Sanjurjo (Sanjurjo, 1994) para que se dé un aprendizaje significativo se deben

analizar dos aspectos, primero el objeto a aprender y segundo el sujeto que aprende. El

objeto a aprender debe ser funcional, integral, potencialmente significativo e internamente

coherente y el sujeto debe caracterizarse por tener una buena estructura cognitiva para

poder relacionar el nuevo contenido, además, tener una actitud favorable y que se

evidencie una gran distancia entre lo que sabe y lo que se desconoce.

La unidad didáctica que se propone para ayudar en el aprendizaje de los números

complejos se basa en conectar el nuevo conocimiento con saberes de otras áreas del

conocimiento y en incentivar el uso de la mayor cantidad de sentidos por parte del

estudiante para hacer de este modo más significativo lo que se pretende aprender.



3. CAPITULO 3

3.1 Algunas dificultades en el aprendizaje y la enseñanza

de los números complejos

El principal problema de las aproximaciones didácticas para introducir los números

complejos en estudiantes de bachillerato es que se hace de manera descontextualizada y

meramente formal (abstracta). La enseñanza de las matemáticas en la educación

secundaria no puede ser como se hace en las universidades con los estudiantes de

matemáticas, ya que los estudiantes en general no han desarrollado sus competencias

lógico-deductivas abstractas. De este modo hay que propiciar el aprendizaje significativo a

través del uso de los números complejos en distintas situaciones y correlacionando sus

propiedades con las propiedades de otros objetos u operaciones matemáticas en otras

áreas como la geometría, el álgebra, la trigonometría, etc.

Cabe resaltar que una de las mayores dificultades a la hora de enseñar los números

complejos en la educación media es que este concepto no se ve explícito en los

lineamientos y estándares y esto hace que no se profundice en este trabajo. Además,

analizando el papel del profesor en el proceso enseñanza-aprendizaje de los números

complejos se pueden enunciar algunas falencias como por ejemplo: los profesores no le

ven ninguna importancia a los números complejos, no utilizan el contexto histórico del

concepto como una herramienta de enseñanza, se centran en la memorización y

repetición de ejercicios sin darle algún significado y consideran que los números

complejos solo se utilizan en estudios más avanzados. Cuando se presenta una raíz

negativa o un logaritmo de número negativo, generalmente los profesores lo evaden con

la expresión “no hay solución”.

Por otro lado, los estudiantes no le ven un significado ni utilidad a los números, en

especial al conjunto de los complejos, como lo referencia Acosta al decir “pero nuestros

estudiantes, al parecer y en contra de toda lógica, deben trabajar cotidianamente con los

números, aun cuando no los conozcan bien” además también enuncia “más del 90% de

los estudiantes que ingresan a la universidad no pueden asociar los números a los

dominios numéricos más restringidos a los cuales pertenecen” (Acosta Fuerte, 2008). Los

estudiantes ven el trabajo con los números complejos como algo rutinario y mecánico, sus

saberes se encuentran aislados y poco relacionados. Un ejemplo, particular, es cuando un

estudiante no relaciona un número racional con un número decimal. En general el

desagrado por parte de los estudiantes hacia los números complejos es notorio y se

muestran predispuestos, ya que simplemente la palabra “complejo” la relacionan con algo

difícil y es poca la abstracción que muestran los estudiantes, en muchos casos les cuesta

trabajo pensar más allá de lo que no ven.

3.2 Prueba diagnóstica

3.2.1 Construcción prueba inicial

La prueba inicial (ver anexo 1) está diseñada para analizar qué acercamiento ha tenido el

estudiante con los números complejos y más que evaluar el conocimiento que tienen

sobre estos se quiere generar en ellos inquietudes que los estimulen a cuestionarse la

noción de número que ellos han trabajado desde primaria y la relación existente entre la

aritmética, la geometría y el álgebra. Ya que la educación actual se ha encargado de

mostrar estas áreas como si estuvieran desconectadas unas de las otras, la idea es que

al finalizar la unidad didáctica el estudiante se lleve una percepción distinta a la tradicional

de las matemáticas.



La prueba inicial contiene diez puntos, de los cuales 6 son ejercicios operativos y de

razonamiento numérico y 4 son preguntas abiertas establecidas de la siguiente manera:

En la primera pregunta lo que se pretende revisar es, si el estudiante identifica el

conjunto de números complejos como conjunto universal y la respectiva

organización.

En los puntos dos y tres se quiere observar la habilidad que tiene el estudiante

para operar números reales, propiedad distributiva, hallar raíces, hacer

simplificaciones y asociar términos semejantes.

En el punto cuatro, se pretende observar la estrategia que utiliza el estudiante para

construir e identificar ángulos. Se analizan dos representaciones de ángulos, ya

que las dos serán utilizadas para identificar el argumento del número complejo en

forma polar.

En el punto 5 se analiza la estrategia que el estudiante utiliza para ubicar puntos

en el plano cartesiano.

El sexto punto, se visualiza si el estudiante logra relacionar una función con su

respectiva grafica para identificar los puntos de corte y así mismo la solución de

las ecuaciones asociadas.

En las preguntas abiertas de la 7 a la 10, se analiza la visión que tiene el

estudiante sobre las matemáticas, los números y los preconceptos que ha

adquirido. La idea es mirar si el estudiante ha tenido algún acercamiento a los

números complejos y ha visto alguna utilidad de los mismos.

3.2.2 Análisis Prueba diagnostica

La prueba diagnóstica fue aplicada al curso 1003 de la jornada mañana del colegio IED

Venecia de la localidad de Tunjuelito, el curso está constituido por 34 estudiantes entre

los 14 y 16 años. Ellos tuvieron aproximadamente 60 minutos para solucionarla.

Pregunta 1

Complete la tabla, marque X si el número pertenece al(los) conjunto(s).

N Z Q I R C

1

4

2, 1

√16

√2

√−9

𝜋

Teniendo en cuenta la primera pregunta, el curso se puede dividir en tres grupos: el

primero conformado por los estudiantes que marcaron toda la columna de los números

reales, ya que de ellos se puede deducir que consideran el conjunto de los números

reales como conjunto universal, el segundo grupo de los estudiantes que marcaron una

equis por columna, con lo que podríamos decir que ellos no identifican la organización de

los números y consideran que los conjuntos son independientes y el tercero con los

estudiantes que dejaron el cuadro en blanco o marcaron las casillas no correspondientes,

de los cuales se puede inferir que no logran caracterizar los números en un conjunto. El

resumen de esta pregunta está representado en el siguiente gráfico.

Gráfico 1: Punto uno prueba inicial

Grupo 147%

Grupo 232%

Grupo 321%



Pregunta 2

Escriba falso (F) o verdadero (V) en las siguientes afirmaciones

a. √−81es un número real ____

b. Si 𝑥2 = 0 entonces 𝑥 = 0 ____

c. Todo número irracional es real ____

d. 5 es un número racional ____

e. (−2)(−𝑥) = −2𝑥 ____

Para hacer el análisis del punto 2, el curso se dividió en dos grupos, los que contestaron

bien y los que contestaron mal.

Gráfico 2: punto número 2 prueba inicial

Se pueden establecer las siguientes conclusiones

Los estudiantes logran identificar que la raíz de -81 no es un número real

Gran parte del curso coincide que existe un número que al elevarlo al cuadrado es

cero y ese número es cero

En su mayoría logran identificar el conjunto de los números irracionales como

subconjunto de los reales

Los estudiantes no identifican el número 5 como número racional

Se puede inferir que los estudiantes utilizan bien la ley de signos

0

20

40

a b c d e

correcto incorrecto

Pregunta 3

Resuelva las siguientes expresiones

a. 𝑥(2 + 𝑦) = ___________________________

b. (𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦) =______________

c. √𝑥2 + 𝑥 = ____________________________

d. √15𝑥2 + 10𝑥2 = ____________________

e. 10𝑥 − 12𝑥 + 4𝑦– 2𝑦 = _________

En el punto 3, teniendo en cuenta las respuestas que presentaron los estudiantes, se

puede concluir que la mayoría de los estudiantes respondieron correctamente a los ítems

a, b, d y e, de lo cual se puede deducir que logran operar números reales y simplificar

expresiones algebraicas. Respecto al ítem c, la mayoría de los estudiantes respondieron

equivocadamente, pero cabe destacar que en muchos casos el error estuvo en calcular la

raíz cuadrada de 𝑥2. El resumen se presenta en el siguiente gráfico.

Gráfico 3: Punto número 3 prueba inicial

Pregunta 4

Construya un ángulo de cada medida.

a. 45°

b. 10°

c. 𝜋

3 Rad

d. 𝜋

6 Rad

Para el análisis del punto 4 de la prueba inicial, se dividió el curso en cuatro categorías: la

primera corresponde a los estudiantes que graficaron bien los ángulos, la segunda a los

0

10

20

30

40

a b c d e

correcto incorrecto



estudiantes que graficaron bien los ángulos representados en grados, la tercera los

estudiantes que graficaron bien los ángulos representados en radianes y la categoría 4

que son los estudiantes que no lograron construir los ángulos o los construyeron mal, el

resumen se presenta en el siguiente gráfico.

Gráfico 4: punto 4 de la prueba inicial

Del anterior grafico se puede concluir que gran parte de los estudiantes construyen los

ángulos, pero se les facilita más la representación en grados que en radianes.

Pregunta 5

Grafique y halle el perímetro del triángulo 𝐴𝐵𝐶, 𝐴(0,0) 𝐵(0,4) y 𝐶(5,0)

Para poder desarrollar el punto 5 era necesario seguir una serie de pasos para lograr dar

la respuesta final, por lo que esta pregunta se analiza teniendo en cuentan la cantidad de

estudiantes en cada paso, de la siguiente manera.

Paso 1: Ubicar los puntos en el plano coordenado e identificar el triángulo solicitado

Paso 2: Hallar la longitud de la hipotenusa, utilizando el teorema de Pitágoras

Paso 3: Determinar la longitud de cada lado del triángulo y sumarlas

Gráfico 5: análisis punto 5 de la prueba inicial

Categoria 1

Categoria 2

Categoria 3

Categoria 4

32

21

5

2

P A S O 1 P A S O 2 P A S O 3 N O R E S O L V I Ó

Del grafico anterior se puede deducir:

La gran mayoría de los estudiantes logran ubicar los puntos en el plano cartesiano

y construir el triángulo.

Algunos estudiantes no saben o no se acuerdan de cómo utilizar el teorema de

Pitágoras.

La noción de perímetro no es clara, ya que muchos de ellos dieron como resultado

la longitud de la hipotenusa y no lo sumaron, no se acordaron o no lo sabían.

Pregunta 6

Grafique las siguientes funciones y encuentre el punto de corte con el eje x

a. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 − 3

b. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 4

Del punto número 6 no se pudo obtener mayor información, ya que los estudiantes no

lograron graficar las funciones aunque pudieron realizar la tabla de valores, pero debido al

tiempo no alcanzaron a ubicarlos en el plano cartesiano.

De las preguntas abiertas se pueden destacar las siguientes respuestas:

¿Cuál cree que es el objeto de estudio de las matemáticas?

La mayoría de los estudiantes presentaron respuestas similares a las siguientes:

Fortalecer el cerebro

Entender el concepto de los números y aplicarlos en la vida real

Desarrollar y resolver enigmas y preguntas

Solucionar problemas y desarrollar la mente

Dar respuesta a las operaciones

Solucionar problemas cotidianos que tengan que ver con números

Es la base para otras materias

¿Qué entiende por el concepto de número?

La mayoría de los estudiantes se refieren al número como una cantidad, un valor, un

objeto para hacer operaciones, describen la creación del universo, o como una expresión

que representa una cantidad.

¿Cómo cree usted que la geometría, la aritmética y el álgebra están relacionadas?

Para esta pregunta se obtuvieron respuestas como: todas tienen y trabajan con números,

resuelven problemas, son la base de otras materias.

¿Identifica usted un número complejo? ¿Conoce alguna aplicación?



Para esta pregunta se obtuvieron respuestas como: son números imaginarios, no existen,

cuando hacemos una operación y no sale resultado. Pero ninguno de ellos menciono

alguna aplicación de los números complejos.

4. CAPITULO 4

4.1 Descripción de la unidad didáctica

La siguiente unidad didáctica está diseñada para estudiantes de décimo grado, con el fin

de profundizar en los números complejos, ya que en este grado según los estándares de

matemáticas propuestos por el MEN (MEN, 2006), los estudiantes tienen la capacidad de

operar con números reales, además, la idea es generar en ellos un espíritu investigativo y

crítico que les permita cuestionarse, así como se preguntaron los matemáticos a lo largo

de la historia, sobre operaciones que no se podían resolver y esto obligaba a ampliar el

conjunto numérico. Por ejemplo, la raíz de un número real no siempre es real. Al analizar

este hecho tendrán curiosidad en conocer esa nueva extensión de los números reales y

así lograr identificar un número imaginario y el respectivo conjunto de los complejos. Por

otro lado, los estudiantes deben apropiarse del hecho que el concepto de “número” no

siempre está asociada a una cantidad o valor.

La idea central de esta propuesta no es introducir los números complejos de manera

axiomática, lineal y simbólica como se suele hacer sino de manera intuitiva haciendo

énfasis en la estimulación de los sentidos, principalmente la visión. Teniendo en cuenta

que según Arcavani (Arcavani, 2003) la visualización de los conceptos matemáticos a

través de la geometría y su uso en diferentes contextos son herramientas muy útiles en la

enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, la estructura de esta propuesta sigue

estos pasos:



1. Crear en el estudiante la necesidad de ampliar el universo de los números con el objeto

de dar respuestas satisfactorias (útiles y significativas para ellos) a preguntas como:

¿Por qué (−1) ∗ (−1) = 1?

¿A qué es igual la raíz cuadrada de números negativos?

¿Qué significado tienen las raíces de números negativos en situaciones reales?

¿A qué es igual el logaritmo de números negativos?

¿Cómo puede representar matemáticamente una dirección en el plano?

¿Cómo puede expresar matemáticamente un movimiento de simetría o rotación o

traslación en el plano?

2. Introducir la representación de los números complejos en el plano y relacionar las

operaciones aritméticas de los números complejos con los movimientos en el plano. La

idea central es mostrar que el aprendizaje es más efectivo en la medida que se utilice la

mayor cantidad de sentidos para explorar o aprender el objeto de estudio, que en este

caso son los números complejos. El objetivo es potenciar la parte visual y la manipulación

de objetos en el proceso de aprendizaje de números complejos. Se ha demostrado que

una descripción únicamente axiomática para introducir los números complejos a

estudiantes de bachillerato en la mayoría de los casos es poco efectiva (Grosholz, 2013).

3. Finalmente, se discutirán algunas aplicaciones específicas de los números complejos

en geometría y física, por ejemplo, las demostraciones del teorema de Pitágoras, el

teorema de la media proporcional, el cálculo de áreas y perímetros de polígonos y el

análisis de problemas cinemáticos sencillos.

Para el buen desarrollo de la unidad didáctica el estudiante debe tener algunos

conocimientos previos en aritmética (desarrollo de operaciones básicas con números

reales), en geometría (nociones de longitud, perímetro, área, polígonos y semejanza de

triángulos) y en álgebra (identificar términos semejantes y despeje de ecuaciones).

Además, debe saber manejar el programa Geogebra (ubicar puntos, construir segmentos,

polígonos y rectas paralelas) el cual es uno de los recursos más importantes en el

desarrollo de la unidad didáctica.

4.2 Contenidos de aprendizaje

Números complejos

Representación Binómica

𝑎 + 𝑏𝑖

Parte

Real

𝑎

Números reales

Números Racionales

Números

enteros

Números

Naturales

Números Irracionales

Parte

Imaginaria

𝑏

unidad imaginaria −1 = 𝑖

Representación Geométrica

Opuesto (reflexión central)

Conjugado

(reflexion respecto al

eje x)

suma y resta (traslación)

Multiplicacion y potencia

(rotacion)

Representación Polar

𝑧 = 𝑟𝜃

Módulo (𝑟) y

argumento (𝜃)

Representación

Trigonométrica

𝑧 = 𝑟(𝐶𝑜𝑠 𝜃 + 𝑖𝑆𝑒𝑛(𝜃))

Representación Exponencial

𝑧 = 𝑒𝛼𝑖

Teorema de De

Moivre

Representación Matricial

𝑧 =𝑎 𝑏−𝑏 𝑎

Aplicaciones

Geometría

Teorema

de Pitágoras,

Triángulos

semejantes,

Movimientos

en el plano

Física

Cinemática,

Electricidad,

Ondas (frente de onda),

Aerodinámica

4.3 Recursos

Para el buen desarrollo de la unidad didáctica se debe disponer de las actividades

propuestas (anexos), hojas para tomar apuntes, regla, calculadora, un computador con el

programa Geogebra y acceso a internet.

4.4 Metodología

La idea principal es fomentar la participación del estudiante en el proceso de aprendizaje

para tratar de que él mismo se cuestione sobre la necesidad usar los números complejos,

sobre el concepto de número y él pueda descubrir las propiedades de los números

complejos a través de la resolución de algunas preguntas y talleres.

Después de que se ha estimulado el interés de los estudiantes y ellos han elaborado sus

nociones preliminares con respectos a las propiedades de los números complejos se

hace una explicación más detallada por parte del maestro y una discusión general para

tratar de aclarar malentendidos y dudas en general.

4.5 Secuencia de actividades

4.5.1 Actividad 1: ¿Qué es un número complejo?

Objetivo: Mostrar la limitación de los números reales y la necesidad de utilizar los

números complejos en distintas áreas del conocimiento científico.

Introducción: En esta actividad el docente puede realizar un repaso de cómo se

despejan ecuaciones, operaciones de orden superior como: potenciación, logaritmación y

radicación.

Desarrollo: Esta sesión (ver anexo 2 ) está estructurada en 6 puntos importantes, en

primer lugar motivar al estudiante y generar inquietudes que les permitan cuestionarse

sobre temas actuales y que en el trascurso de las actividades los irán relacionando con

los conocimientos nuevos; en segundo lugar utilizar sus preconceptos y habilidades en la

solución de ecuaciones; en tercer lugar, utilizar herramientas tecnológicas que les

permitan corroborar sus resultados y poder relacionar las soluciones de las ecuaciones

74 Contextualización de la aritmética de números complejos en situaciones


con sus respectivas funciones: en cuarto lugar, construir una estructura sólida de

conocimiento en cuanto a la organización de números: en quinto lugar relacionar la

solución compleja con la no intersección y por ultimo incitar a la curiosidad de aprender

números complejos, por medio de una serie de preguntas.

Conclusión: El docente puede finalizar la actividad mencionando la diferencia de un

número complejo y uno real y asociar la solución de la ecuación con un número

complejo. Además, puede mencionar el conjunto de números complejos como conjunto

universal y que la calculadora es una herramienta que ayuda a facilitar los cálculos, pero

no siempre tiene la respuesta correcta, debido a sus limitaciones como el trabajo

únicamente con números reales.

Con respecto a las preguntas abiertas no se espera dar una respuesta completamente

satisfactoria en este punto sino incentivar la curiosidad del estudiante por aprender cómo

los números complejos dan respuesta a esas preguntas.

4.5.2 Actividad 2: Representación forma binómica de un número

complejo

Objetivos

1. Introducir la representación de los números complejos en el plano.

2. Construir el eje imaginario según la teoría de Argand y ubicar el número complejo

en el plano.

Introducción: Explicación del plano complejos, mencionando la relación del eje 𝑥 con los

reales y el eje 𝑦 con los números imaginarios. Tener en cuenta que un número complejo

se asocia con un punto en el plano.

Desarrollo: la actividad 2 (ver anexo 3) está compuesta por dos partes, en la primera

parte el estudiante se llevara una idea de la importancia de los números complejos,

algunas de sus representaciones y en especial del origen del eje imaginario; en la

segunda parte, él identificara las partes del número complejo y su representación gráfica.

Conclusión: Justificar desde la historia de las matemáticas la construcción del eje

imaginario y asociar así la representación binómica de un número complejo con punto en

el plano complejo, identificando la parte real y la parte imaginaria.

Anexos 75

4.5.3 Actividad 3: Opuesto, conjugado e inverso de un número

complejo

Objetivo: Definir y diferenciar conceptos de conjugado y opuesto y relacionarlos con

operaciones de simetría en el plano.

Introducción: el profesor puede hacer un breve resumen de simetría axial, simetría

central y reflexión.

Desarrollo: La actividad (ver anexo 4) está constituida por 4 puntos, el primero es

clasificar unos puntos por color, ya que cada color posee una propiedad (conjugado u

opuesto), a partir de la relación que encuentre el estudiante, él mismo puede deducir las

definiciones de opuesto y conjugado y relacionar estas dos nociones con los movimientos

en el plano de simetrías. Para que sea más evidente la relación de simetría en el punto

cuatro se da un polígono y se pide construir su simétrico axial y central.

Conclusión: Se debe generalizar la definición de opuesto y conjugado de un número

complejo y así mismo asociar los movimientos en el plano a cada uno. Al final el profesor

debe hacer una puesta en común de las ideas de los estudiantes, aclarar dudas y

profundizar en los conceptos.

4.5.4 Actividad 4: Suma y resta de números complejos

Objetivo: sumar y restar números complejos utilizando la “ley del paralelogramo” y el

concepto de opuesto. Al final de esta actividad el estudiante debe asociar la suma de

números complejos con traslaciones en el espacio.

Introducción: al iniciar esta actividad (ver anexo 5) el profesor puede mencionar la

relación existente entre un número complejo y un vector, además recordar conceptos

vistos en el video y mostrar como la resta es la suma del opuesto, ayudado de ejemplos

sencillos con números reales. También puede hacer una breve introducción al programa

Geogebra si es necesario.

Desarrollo: En esta actividad se proponen dos procedimientos básicos en el trabajo con

números complejos, por un lado la suma que se trabaja de la misma manera como se

suman vectores (se propone un cuadro como guía), por otro lado la resta de números

complejos que básicamente es ubicar el opuesto complejo y sumarlo. A estos dos



procedimientos se les asocia el movimiento de traslación, es por eso que en último punto

se relaciona un polígono. Cabe mencionar que para facilitar el trabajo se utiliza el

programa Geogebra

Conclusión: Concluyendo esta actividad el estudiante tendrá la habilidad de sumar y

restar números complejos, de igual forma relacionará estas operaciones aritméticas con

movimientos en el plano, en este caso la traslación.

4.5.5 Actividad 5: Multiplicación (Rotación) y potencias de

números complejos

Objetivo: Multiplicar dos números complejos y relacionarlos con los movimientos de

rotación y traslación.

Introducción: La introducción de esta actividad puede estar centrada en las operaciones

básicas de números reales.

Desarrollo: La actividad (ver anexo 6) está dividida en tres partes importantes: la primera

la multiplicación de un número complejo por un número real, asociándolos a una

traslación y triángulos semejantes; la segunda la multiplicación de un número complejo

por un imaginario, lo que conlleva a una rotación de 90° y así mismo las potencias de 𝑖; y

la tercera parte multiplicar dos números complejos, haciendo uso de triángulos

semejantes y la suma de complejos, ahí mismo se deducirá teoremas básicos como el de

Pitágoras y la media proporcional.

Conclusión: De la primera parte el estudiante deducirá la multiplicación como una

homotecia y la relacionara con triángulos semejantes, de la segunda él observará la

homotecia y la rotación, si la parte imaginaria es negativa rota en sentido a las manecillas

del reloj y si es positiva rota en sentido contrario, en la tercera parte el estudiante dará

cuenta de la relación que existe entre las dos primeras partes, con ésta última.

Finalmente, se espera que el estudiante vea cómo la aritmética de números complejos es

una herramienta útil para demostrar teoremas fundamentales de la geometría en el

plano, como el teorema de Pitágoras.

Anexos 77

4.5.6 Actividad 6: Representación polar de un número complejo

Introducción: Para el desarrollo de esta actividad el estudiante debe tener

conocimientos en la utilidad del teorema de Pitágoras y aplicación de las razones

trigonométricas en triángulos rectángulos.

Objetivo: Representar un número complejo en forma polar y utilizarlos para la ubicación

de puntos en el plano.

Desarrollo: En esta actividad el estudiante relacionara sus preconceptos relacionados

con teorema de Pitágoras para hallar e identificar el módulo de un número complejo, de

la misma manera recordará y utilizará las razones trigonométricas para encontrar

ángulos. De esta forma, él logrará establecer una relación entre la forma binómica y polar

y viceversa.

Conclusión: Al finalizar esta actividad los estudiantes representaran un número complejo

en sus diferentes formas binómica, polar, trigonométrica y exponencial, además,

establecerán una relación entre ellas.

4.5.7 Actividad 7: Aplicaciones de números complejos

Objetivo: Utilizar la aritmética de los números complejos en situaciones simples de

geometría y física.

Introducción: Para la introducción de esta última actividad se propone hacer resumen de

las actividades anteriormente trabajadas.

Desarrollo: En esta actividad (ver anexo 8) se proponen cuatro aplicaciones, la primera

enfocada hacia la física y la relación de algunos movimientos, la segunda relacionada

con la concurrencia de circunferencias, la tercera encontrar el área de un triángulo dados

los puntos y por último, la cuarta donde se relacionan los métodos para localizar un punto

en el plano, uno con las coordenadas y otro con una longitud y un ángulo (forma polar).

Conclusión: En esta última actividad el estudiante identificara algunas aplicaciones de

los números complejos en otras áreas distinta a las matemáticas y dará cuenta de los

nuevos conocimientos adquiridos.



4.6 Evaluación

Esta unidad didáctica se evaluara de manera continua, teniendo en cuenta la

participación de los estudiantes, el trabajo en grupo, discusiones en clase, la

construcción de un diario de campo y exposiciones donde se evidencie la propiedad que

tiene el estudiante al hablar de los números complejos. Se da la oportunidad que los

estudiantes muestren sus inquietudes y esto les permita pensar matemáticamente.

Anexos 79

5. CAPITULO 5

5.1 Conclusiones

Del trabajo desarrollado se pueden establecer varias conclusiones, clasificadas desde

diferentes puntos de vista, las características de la estrategia didáctica, desde el

concepto mismo de número complejo, desde el punto de vista del profesor y del

estudiante.

Desde la unidad didáctica

Inicialmente se había planteado la pregunta ¿Qué características debe tener una

estrategia didáctica que permita a los estudiantes de grado decimo usar los números

complejos y sus propiedades para entender conceptos básicos de aritmética, geometría y

física clásica? De la cual podemos mencionar las siguientes características:

La contextualización del contenido debe ser evidente para el estudiante. Él debe

identificar la pertinencia de aprender el concepto, su significado y utilidad. Es

falso que los números complejos no sean útiles para entender problemas simples

o de la vida diaria, como generalmente se dice. En la unidad didáctica propuesta

se muestran varias aplicaciones de los números complejos para entender

teoremas de la aritmética como la ley de signos, teoremas geométricos como el

de Pitágoras o la media proporcional y problemas simples de cinemática. De este

modo es nuestra hipótesis que si un estudiante logra identificar y utilizar la

aritmética de números complejos la comprensión de otras áreas de la



matemática se le facilita, y si él logra relacionar sus conocimientos previos con

los nuevos adquiere un aprendizaje significativo.

La organización secuencial en la enseñanza es primordial a la hora de enseñar,

es por eso que esta unidad didáctica está organizada secuencialmente y

profundizando en temáticas que el estudiante ya ha trabajado, como es el caso

de las operaciones básicas de números complejos y los movimientos en el plano.

Llamar la atención del estudiante en áreas como la física o las matemáticas

requiere de mucho trabajo, en la unidad didáctica se busca tener su atención

partiendo de las inquietudes mismas que pueda tener el estudiante sobre

algunos fenómenos físicos o simplemente el funcionamiento de diferentes

objetos, es el caso del funcionamiento de un GPS, un microondas o la teoría de

la relatividad, entre otras.

Desde el concepto

El conjunto de números complejos contiene los conjuntos que se trabajan en la

etapa escolar; es un conjunto cerrado, lo que nos ayuda a observar que si este

conjunto cumple ciertas propiedades, sus subconjuntos también las deben

cumplir. Si pensamos particularmente en la propiedad conmutativa de los

números complejos es evidente que es la misma en los números reales, en los

enteros e incluso en los naturales. Así, el estudiante no ve estos conjuntos como

conjuntos disyuntos.

La comprensión de los números complejos puede ser una herramienta útil para la

comprensión en las demás áreas del conocimiento.

Tener diferentes representaciones del mismo concepto ayuda en su

comprensión.

La aproximación a la enseñanza de los números complejos no debe hacerse en

el mismo orden histórico en que se desarrollaron las ideas ya que se entraría

induciendo en el estudiante todos los prejuicios que tuvieron los matemáticos a lo

largo de la historia y que impidieron y siguen impidiendo que los números

complejos se enseñen de una manera simple, pero académicamente rigurosa. La

enseñanza de los números complejos se debe basar en la matemática y

conocimientos del siglo XXI.

Anexos 81

Desde el profesor

La aplicación de esta unidad didáctica muestra la relación que existe entre

aritmética, álgebra, geometría y física, que en muchos casos no es evidente para

los maestros.

Muchos profesores no identifican la importancia de enseñar los números

complejos y trasmiten esta idea a sus estudiantes, por esta razón, el conjunto de

números complejos es considerado como un conjunto ajeno a los números reales

y sin aplicaciones en la vida diaria o en la ciencia.

Nuestro mundo está en constante cambio, es tarea de todo profesor de ciencias

básicas entenderlo y analizarlo, para ello el trabajo con números complejos es

necesario e indispensable.

Desde el estudiante

El interés y la motivación del estudiante por aprender los números complejos es

necesaria para obtener un aprendizaje significativo.

El estudiante debe desarrollar su pensamiento abstracto y ser consciente que

existen muchas ayudas tecnológicas, pero estas tienen sus limitaciones y no

todos los elementos en matemáticas pueden llegar a ser visibles.



5.2 Recomendaciones

Teniendo en cuenta la característica multidisciplinar de los números complejos, los

profesores de matemáticas pueden considerar la idea de aplicar la unidad didáctica

apoyados en los profesores de las áreas de física y química, así los estudiantes

consideran las aplicaciones más significativas.

Se puede ahondar en cómo llamar la atención de los estudiantes mediante el uso de los

números complejos para explicar otras situaciones simples relacionadas con la física o

tratar de explicar el funcionamiento de equipos tecnológicos como el microondas o los

GPS.

Aunque el trabajo con números complejos no es complicado, si es necesario tener unas

bases sólidas en operaciones básicas, por lo que se recomienda abrir espacios

extracurriculares para ayudar a profundizar el contenido de las distintas actividades.

Con respecto a la estructura, diseño y aplicación de la unidad didáctica se recomienda

seguir secuencialmente las actividades, tener en cuenta y socializar con los estudiantes

los objetivos y conclusiones establecidos en cada actividad, imprimir las hojas a color y

contar con los recursos necesarios para el desarrollo de las sesiones.

Anexos 83

6. ANEXOS

6.1 Anexo 1: Prueba diagnostico

PRUEBA INICIAL: NÚMEROS COMPLEJOS

NOMBRE: ___________________________________ CURSO: ___________________

1. Complete la tabla, marque X si el número pertenece al(los) conjunto(s).

N Z Q I R C

1

4

2, 1

√16

√2

√−9

𝜋

2. Escriba falso (F) o verdadero (V) en las siguientes afirmaciones

f. √−81es un número real ____

g. Si 𝑥2 = 0 entonces 𝑥 = 0 ____

h. Todo número irracional es real ____

i. 5 es un número racional ____

j. (−2)(−𝑥) = −2𝑥 ____

3. Resuelva las siguientes expresiones

e. 𝑥(2 + 𝑦) = _________________________

f. (𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦) =______________

g. √𝑥2 + 𝑥 = ____________________

h. √15𝑥2 + 10𝑥2 = __________________

e. 10𝑥 − 12𝑥 + 4𝑦– 2𝑦 = _________



4. Construya los siguientes ángulo

e. 45°

f. 10°

g. 𝜋

3 Rad

h. 𝜋

6 Rad

5. Grafique y halle el perímetro del triángulo 𝐴𝐵𝐶, 𝐴(0,0), 𝐵(0,4) y 𝐶(5,0)

6. Grafique las siguientes funciones y encuentre el punto de corte con el eje x

c. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 − 3

d. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 4

7. ¿Cuál cree que es el objeto de estudio de las matemáticas? ____________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

8. ¿Qué entiende por el concepto de número? _________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

9. ¿Cómo cree usted que la geometría, la aritmética y el álgebra están relacionadas?__

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

10. ¿Identifica usted un número complejo? ¿Conoce alguna aplicación de estos

números? ____________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

Anexos 85

6.2 Anexo 2: Actividad 1

Nombre: ____________________________ Curso: ____________ Fecha: ___________

I. Consultar que es la teoría de la relatividad, un agujero negro, como funciona un

microondas, un GPS y como se manipulan y filtran imágenes por computador.

II. Con lápiz y papel, despeje la variable de las siguientes ecuaciones y escriba la

solución en frente de cada una. En caso de no encontrarla, escriba “No se

puede”.

Ecuación Solución Ecuación Solución

𝑥 + 5 = 10 𝑥2 = 5

5𝑥 = 21 𝑥3 = −8

√1 + 2 = 𝑥 √2𝑥 = 2

𝑥 + 3 = −2 −2𝑥 = 7

𝑥2 = −1 𝑥 − 11 = 7

2𝑥 = −12 1

2𝑥 =

3

4

𝑥 = 𝑙𝑜𝑔(−9) 3𝑥 = −27

8 − 𝑥 = 1 3𝑥 = 27

𝑥2 = −81 𝑥2 − 4 = 0

8 − 11 = 𝑥 (2𝑥 − 2)2 = −1

III. Con calculadora y después introduciendo la operación en la barra de búsqueda

de google, verifique las soluciones obtenidas. ¿Qué sucede en los casos en los

que escribió que no era posible? ¿Qué resultado arroja la calculadora y qué

resultado da el navegador google?

IV. Clasifique las soluciones de las ecuaciones en el siguiente gráfico.



V. Con ayuda de un graficador represente la función asociada a cada ecuación y

analice los puntos de corte de la gráfica con el eje 𝑥. Compare la solución de las

ecuaciones con los puntos de corte ¿Qué relación existe al observar las gráficas y

las soluciones?

VI. Responda las siguientes preguntas:

¿Por qué (−1) ∗ (−1) = 1?

¿A qué es igual la raíz cuadrada de números negativos?

¿Qué significado tienen las raíces de números negativos en situaciones reales?

¿A qué es igual el logaritmo de números negativos?

¿Cómo puede representar matemáticamente una dirección en el espacio?

¿Cómo puede describir matemáticamente una operación de simetría en el plano (una

rotación o una traslación de una figura plana)?

Anexos 87



I. Observar el video (https://www.youtube.com/watch?v=zmB0v41LYNM) y analiza

cómo se generó en la historia el eje imaginario

II. Complete la tabla, identificando en cada caso el número complejo, la parte real, la

parte imaginaria, coordenada y la ubicación en el plano.

N.

Complejo

Parte

Real

Parte

Imaginaria Punto Ubicación

Ejemplo:

5 + 2𝑖

5 2 (5,2)

3 5

https://www.youtube.com/watch?v=zmB0v41LYNM



(4,0)

𝑖

Anexos 89

-2 -1

(2,-2)

√2 + √2𝑖





I. Teniendo en cuenta la siguiente imagen, clasifique por color los números

complejos, utilice la notación de punto.

Negro Verde Azul

Anexos 91

II. Relacione un punto de cada color, teniendo en cuenta las coordenadas y escriba

los números complejos en forma binómica.

Negro Verde Azul

III. Si los puntos negros son puntos dados, se puede decir que los puntos verdes se

conocen como conjugados y los puntos azules se llaman opuestos.

Define con tus palabras: opuesto y conjugado de un número complejo.

Escribe dos ejemplos y grafícalos

OPUESTO: _____________________________________________________________

_______________________________________________________________________

CONJUGADO: __________________________________________________________

_______________________________________________________________________

IV. Dado el siguiente polígono.

a. Ubique el número complejo conjugado asociado a cada vértice y grafica

el nuevo polígono

b. Responde ¿Siguen siendo iguales los polígonos? ¿Qué movimiento en el plano

se puede relacionar con el conjugado de un complejo?

c. Realiza los dos puntos anteriores utilizando el opuesto de un número complejo.





I. Sumar los números complejos, utilizando el programa Geogebra y completa el

siguiente cuadro:

+ 15 + 2𝑖 −5− 9𝑖 −12 + 3𝑖 7 − 7𝑖 5

2 + 3𝑖

−𝑖

−4+ 2𝑖

10 − 3𝑖

II. Teniendo en cuenta los resultados hallados en el punto anterior, ¿Qué estrategia

puedes establecer para sumar números complejos sin utilizar Geogebra?

Anexos 93

III. Teniendo en cuenta la estrategia anterior para sumar dos números complejos y

sabiendo que la resta es el número complejo sumado con el opuesto (Ej.: 10 −

6 = 10 + (−6) = 4) realice las siguientes restas.

− 𝑖 −5+ 2𝑖 4 + 𝑖 6 − 2𝑖 1 + 𝑖

2 + 2𝑖

−5− 3𝑖

1 + 3𝑖

3

IV. Compruebe los resultados con el programa Geogebra.

V. De acuerdo a los resultados ¿Cómo debe ser la regla para restar dos números

complejos?

VI. Dado el siguiente polígono, realice las siguientes acciones y responda

a. A todos los vértices del polígono súmele un número real (el mismo para todos)

b. A todos los vértices del polígono réstele un número imaginario (el mismo para

todos)

c. A todos los vértices del polígono súmele un número complejo (el mismo para

todos)

d. ¿Qué ocurre en las situaciones descritas? ¿Cambia el polígono? ¿Qué

movimiento en el plano se puede asociar a la suma y resta de números

complejos?





Parte 1

I. Ubica un número complejo en el plano y multiplícalo por un número real ¿Qué

ocurre con el punto?

II. Construye los triángulos rectángulos asociados al número complejo inicial y el

número complejo resultante ¿qué relación encuentras en los dos triángulos?

Ejemplo −2(3 + 𝑖) = −6 − 2𝑖

III. Construye un polígono en el plano y determina el número complejo asociado a

cada uno de sus vértices. Multiplícalos por un número real.

¿Qué ocurre con el nuevo polígono?

Anexos 95

Parte 2

I. Ubica un número complejo en el plano y multiplícalo por 𝑖 varias veces ¿Qué

ocurre con el punto? ¿Cuántos puntos encuentras?

II. Construye un polígono y asocia cada vértice con un número complejo, multiplica

los vértices por 𝑖 ¿Qué ocurre con el polígono? ¿Cuál movimiento en el plano le

puedes asociar?

III. ¿Qué crees que pasa si multiplicas un número complejo por un imaginario?

Comprueba tu respuesta con un gráfico.

Parte 3

.

I. En una hoja cuadriculada construye un triángulo, asociales a cada vértice un

número complejo, teniendo en cuenta el plano complejo y recórtalo.

II. Multiplica los vértices por un número real, recorta el nuevo triangulo ¿Qué sucede

con los dos triángulos?

III. Multiplica los vértices por un número imaginario, recorta el nuevo triangulo ¿Qué

sucede con los tres triángulos?

IV. Teniendo los casos anteriores ¿Qué ocurrirá si multiplicamos un número complejo

por otro complejo?

Sugerencia: analiza el procedimiento que utilizas para multiplicar dos números naturales

de dos dígitos o más. Recuerda que para sumar dos números complejos, utilizamos “ley

del paralelogramo”.

V. Escoge un número complejo y multiplícalo por su conjugado ¿identificas el

teorema de Pitágoras?





I. Utilizando Geogebra ubica el eje real, el eje imaginario, un número complejo y el

vector asociado a este.

II. Encuentra la longitud del vector utilizando teorema de Pitágoras y la amplitud del

ángulo utilizando razones trigonométricas

III. Comprueba tus resultados utilizando las herramientas de Geogebra distancia y

medida de ángulo.

IV. Completa la siguiente tabla y realiza un gráfico.

Número

Complejo Grafica

Longitud

(Módulo)

Ángulo

(Argumento)

Forma

Polar

Ejemplo

−5 + 𝑖

5,1 169,9° 5,1169,9°

2 + 5𝑖

Anexos 97

−3+ 2𝑖

−6 − 𝑖

5 + 3𝑖

9 − 4𝑖

V. Analice como puede pasar de forma polar a forma binómica, utilizando la

representación gráfica y establezca una relación entre las dos.

Sugerencia: utilice razones trigonométricas.

VI. Pase los siguientes números complejos en forma polar a forma binómica.



Representación

Polar

1030° 3270° 4195°

Representación

Binómica

VII. Complete la siguiente tabla

Representación

Binómica

𝑎 + 𝑏𝑖

Representación

cartesiana

(𝑎, 𝑏)

Representación

polar

𝑟𝜃

Representación

Trigonométrica

𝑟(𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑖)

Representación

exponencial

𝑟𝑒𝜃𝑖

2 + 3𝑖

(−2,−5)

530°

4(𝑐𝑜𝑠60° + 𝑠𝑒𝑛60°𝑖)

10𝑒45°𝑖

Anexos 99



Analice y resuelva las siguientes situaciones

I. Considere que una persona se encuentra a 10 m del paradero del SITP, el bus

está parado recogiendo pasajeros, el bus arranca con una aceleración de 2𝑚/𝑠2

y la persona lo persigue a una velocidad constante de 3𝑚/𝑠.

a. ¿La persona logra tomar el bus?

b. Si lo alcanza, ¿a qué distancia lo alcanza?

c. Si no lo alcanza, ¿en qué momento estuvo más cerca? ¿Qué tendrá que

pasar para poderlo alcanzar?

d. Realiza una gráfica de la función de los dos movimientos

Ayuda: el movimiento acelerado del bus está dado por 𝑋𝑏𝑢𝑠 =1

2𝑎𝑡2 y el movimiento de la

persona es 𝑋𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎 = −𝑑 + 𝑣𝑡 donde, 𝑎 es la aceleración, 𝑣 es la velocidad constante

de la persona, 𝑑es la distancia de la persona al bus y 𝑡 es el tiempo.

II. Se ubica un satélite en el punto 0 + 2𝑖 y refleja una señal a 1 milla de radio, un

segundo satélite se ubica en el punto 3 + 2𝑖 y refleja una señal a 2 millas de radio.

a. ¿Las dos señales se cruza? ¿en qué punto se cruzan?

b. Si se moviera el segundo satélite al punto 3 + 3𝑖 ¿se cruzan las señales?

c. ¿Cuál es la distancia mínima entre las dos señales?

Ayuda: la ecuación del área cubierta por el primer satélite es 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑦 + 3 = 0, la

ecuación del segundo satélite es 𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 − 4𝑦 + 9 = 0 y la ecuación del segundo

satélite movido es 𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 − 6𝑦 + 14 = 0

III. Encuentra el área del terreno triangular determinado por 𝐴(2,2) 𝐵(4,6) y 𝐶(6,3)

Ayuda: ubica el triángulo en el plano complejo, asocia a cada vértice un número complejo

y utiliza rotaciones y traslaciones para determinar la base y la altura del triángulo.



IV. Un cartógrafo ubica 5 lugares importantes en una ciudad, estableciendo algunas

pistas. Determina el número complejo asociado y haz un bosquejo de la ciudad.

Lugar Pista Ubicación

Aeropuerto Partiendo de la plaza

central, 2𝑘𝑚 al este y

8𝑘𝑚 al sur

Estadio Partiendo de la plaza

central, 13𝑘𝑚 al norte y

6𝑘𝑚 al oeste

Universidad 45° al noreste a 3𝑘𝑚 de

la plaza central

Centro Comercial 40° al sureste a 2𝑘𝑚 de

la plaza central

Biblioteca 13° al sureste a 7𝑘𝑚 de

la plaza central

Ayuda

Anexos 101

7. BIBLIOGRAFÍA

Acosta Fuerte, I. G. (2008). Didáctica de las matemáticas: como enseñar para obtener un

aprendizaje significativo? Cali: Universidad de Pacífico.

Alfonso, H. (1969). Los números complejos y el espacio vectorial. Boletín de

Matemáticas, Universidad Pedagógica Nacional, pág. Fasiculos I y II.

Arcavani, A. (2003). The role of visual representations in the learning of mathematics.

Obtenido de Educational Studies in Mathematics.

Arrascue Cordoba, L. (2015). Física Mecánica: NIvelación para estudiantes universitarios.

Lima, Perú: Ediciones de la U.

Ayres, F. J. (2001). Álgebra Moderna. (J. M. Castaño, Trad.) México: McGRAW-HILL.

Chávez, E. (2014). Teaching complex numbers in high school. Obtenido de Tesis de

Mestría: http://etd.lsu.edu/docs/available/etd-07142014-

131317/unrestricted/Chavez_thesis.pdf

Churchill R. V., B. J. (s.f.). Complex variables and applications. McGraw-Hill.

Cipriano Antonio, Z. S. (2013). El análisis complejo y su historia. Madrid, España: Liber

Factory.

Davila Rascon, G. (2003). El desarrollo del álgebra moderna. Parte III: El surgimiento del

álgebra abstracta. Apuntes de historia de las matemáticas.

Flickr. (2011). Antena22. Obtenido de Capturas de TV digital:

https://www.flickr.com/photos/59527016@N04/albums/72157626219386487

Florian, C. (1999). A history of mathematics (quinta ed.). New York, USA: AMS Chelsea

Publishig.

Gómez, T. P. (2005). LA ENSEÑANZA Y EL APRENDIZAJE DE LOS NÚMEROS

COMPLEJOS: UN ESTUDIO EN EL NIVEL UNIVERSITARIO. Investigación en

educación matemática. Noveno simposio de la Sociedad Española de

Investigación en Educación Matemática SEIEM: Universidad de Cordoba.



Grosholz, E. R. (January de 2013). Teaching the Complex Numbers: What History and

Philosophy of Mathematics Sugges. Journal of Humanistic Mathematics, 3(1).

Guerrero, D. (2015). www.pirhua.udep.edu.pe. Obtenido de Repositorio Universidad de

Piura :

http://pirhua.udep.edu.pe/bitstream/handle/123456789/2215/Cap.%2020%20I.pdf

?sequence=1

Kasner, E. y. (2007). Matemáticas e imaginación. México: Libraria S.A.

Kline, M. (1972). El pensamiento matemático de la antiguedad a nuestros días, II. Madrid:

Alianza Editorial.

Lang, S. (1993). Complex Analysis. New York: Springer verlag.

Luque Luna, A. (1989). Elementos de geometría euclidiana. México: Noriega.

Luque, C. M. (2006). Estructuras análogas a los números reales . Bogotá, Colombia :

Universidad Pedagógica Nacional .

Marsden J., H. M. (s.f.). Basic complex analysis . New York.

Mazur, B. (2003). Números Imaginados (en especial la raiz cuadrada de -15). México:

Consejo Nacional para la cultura y las artes.

MEN. (2006). Estándares básicos de competencias en matemáticas. Estándares básicos

de competencias, en lenguaje, matemáticas, ciencias y ciudadanas, 45-95.

MEN, M. d. (s.f.). Obtenido de Lineamientos de matemáticas :

http://www.mineducacion.gov.co/cvn/1665/articles-89869_archivo_pdf9.pdf

Méndez, Z. (1988). Aprendizaje y cognición . Editorial Universidad Estatal a Distancia .

Moise, E. &. (1986). Geometría Moderna. U.S.A.: Addison-Wesley, Iberoamericana, S.A.

Morelo Aparicio, M. y. (2007). Análisis matemático para ingeniería. Madrid: Pearson

Educación.

Nahim, P. J. (2007). An Imaginary Thale. The Story of [ the squareroot of minus one.

Princeton, New Jersey: Princeton University Press, Princeton and Oxford.

Navarrete Molano, S. (2005). Elementos de variable compleja. Trabajo de grado.

Fundación Universitaria Konrad Lorenz, Bogota.

Perero, M. (1914). Historia e historias de matemáticas. México: Grupo Editorial

Iberoamérica S. A. .

Pérez Medina, C. R. (2007). Transformaciones lineales afines y fractales . Bogotá,

Colombia : Universidad Pedagogica Nacional.

Pontriaguin, L. S. (2003). Generalizaciones de los números. Moscú: RRSS.

Anexos 103

Rey Pastor, J. y. (2000). Historia de la matemática. Del renacimiento a la actualidad (Vol.

Volumen 2). Barcelona: Gedisa, S.A.

Sánchez Muñoz, J. M. (2011). Historia de las matemáticas y el descubrimiento de los

cuaterniones. G.I.E. Pensamiento Matemático(1).

Sanjurjo, L. (1994). Aprendizaje significativo y enseñanza en los niveles medio y superior.

Homo-sapiens.

Steward, I. (2002). Que son las matemáticas?. Conceptos y metódos fundamentales.

México: Empresa certificada, fondo de cultura económica.

Swetz, F. J. (2013). Expediciones matemáticas, la aventura de los problemas

matemáticos a través de la historia. . Pensilvania: la esfera de los libros .

Vásquez Romero, E. F. (2015). Enseñanza-Aprendizaje de las identidades

trigonométricas en grado décimo a través del trabajo con números complejos.

Enseñanza-Aprendizaje de las identidades trigonométricas en grado décimo a

través del trabajo con números complejos. Bogotá, Colombia.

Wessel, C. (1999). On the Analytical Representation of Direction. (B. y. Banner, Ed.)

Copenhagen: Regla academia scientiarum danica.

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