Aritmética y teoría de números

LIC. PEDRO ERNESTO SASTOQUE LEAL

ARITMÉTICA Y TEORIA DE NÚMEROS

PEDRO ERNESTO SASTOQUE LEALLic. En Básica con énfasis en

matemáticas


SISTEMAS NÚMERICOS USUALES• SISTEMA NUMÉRICO• SISTEMA DE LOS NÚMEROS NATURALE

S• SISTEMA DE LOS NÚMEROS ENTEROS• SISTEMA DE LOS NÚMEROS RACIONAL

ES• SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES• SUCESIONES• PROGRESIONES ARITMÉTICAS• PROGRESIONES GEOMÉTRICAS


DEFINICIÓN: Se considera que un sistema esta compuesto por un conjunto en el cual se definen por lo menos una operación y una relación. Sea un conjunto no vacío en el cual se han definido dos operaciones binarias tales que cada una de ellas es conmutativa y asociativa y si una de ellas es distributiva con respecto a la otra, entonces, al sistema matemático así formado se le llama sistema numérico.

SISTEMA NÚMERICO


Propiedad conmutativa de la adición: a + b = b + a Propiedad asociativa de la adición: (a + b) + c = a + (b + c) Propiedad asociativa de la multiplicación: (a • b) • c = a • (b • c) Propiedad distributiva de la multiplicación sobre la

adición: a • (b + c) = a • b + a • c

OPERACIONES BINARIAS


Históricamente los números naturales fueron presentados y ordenados en una sucesión, que de manera intuitiva se organizo así: Se parte de un elemento especial el Cero: 0 La sucesión no termina nunca ni se ramifica. No se cierra sobre si misma. No hay números naturales intercalados.Para fundamentar el concepto de número natural el matemático Giussepee Peano propuso 5 axiomas a partir de los cuales se estudian los números naturales.

SISTEMA DE LOS NÚMEROS NATURALES


Axiomas de Peano

1. El 1 es un número natural.1 está en N, el conjunto de los números naturales.2. Todo número natural n tiene un sucesor n* (este axioma es usado para definir posteriormente la suma).3. El 1 no es el sucesor de ningún número natural.4. Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural.5. Si el 1 pertenece a un conjunto K de n. naturales, y dado un elemento cualquiera k, el sucesor k* también pertenece al conjunto K, entonces todos los números naturales pertenecen a ese conjunto K. Este último axioma es el principio de inducción matemática.


En matemáticas, la inducción es un razonamiento que permite demostrar una infinidad de proposiciones, o una proposición que depende de un parámetro que toma una infinidad de valores enteros. En términos simples, la inducción matemática consiste en el siguiente razonamiento: Premisa mayor: El número entero tiene la propiedad . Premisa menor: El hecho de que cualquier número

entero tenga la propiedad implica que también la tiene.

Conclusión: Todos los números enteros a partir de tienen la propiedad .

PRINCIPIO DE INDUCCIÓNMATEMÁTICA


Demuestre que la suma de los primeros n enteros impares

positivos es n2. Sea Sk= 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2k -1) = kn (hipótesis de

inducción) Entonces hay que demostrar que S1 es cierta y que Sk Sk+1 es

cierta. s1= 1 = 12

sk+1 = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2k - 1) + (2k + 1)

Entonces, sk+1 = sk + (2k + 1) = k2+ 2k + 1 = (k + 1)2

Con lo anterior queda demostrado que la suma de los n impares positivos es n2.

Ejemplo Inducción Matemática


Sea un conjunto dado no vacío y una relación

binaria definida entonces se dice que es una relación de orden si cumple las siguientes propiedades:

Reflexividad: Todo elemento de está relacionado consigo mismo. Es decir, .

Antisimetría: Si dos elementos de se relacionan entre sí, entonces ellos son iguales. Es decir,

Transitividad: Si un elemento de está relacionado con otro, y ese otro a su vez se relaciona con un tercero, entonces el primero estará relacionado también con este último.

ORDEN EN LOS NATURALES

http://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_reflexiva

http://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_antisim%C3%A9trica

http://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_transitiva


Los números enteros son un conjunto de números naturales que incluye a los números naturales (1, 2, 3, ...), los negativos de los números naturales (..., −3, −2, −1) y al 0 Z = {..., −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, ...}. La recta numéricaLos números enteros negativos son más pequeños que todos los positivos y que el cero. Para entender como están ordenados se utiliza la recta numérica.

SISTEMA DE LOS NUMEROS ENTEROS


El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta de quitarle el signo. El valor absoluto de 0 es simplemente 0. Se representa por dos barras verticales «| |».

Ejemplo. |+5| = 5 , |−2| = 2 , |0| = 0.

El orden de los números enteros se define como:Dados dos números enteros de signos distintos, +a y −b, el negativo es menor que el positivo: −b < +a.Dados dos números enteros con el mismo signo, el menor de los dos números es:

El de menor valor absoluto, si el signo común es «+». El de mayor valor absoluto, si el signo común es «−».

El cero, 0, es menor que todos los positivos y mayor que todos los negativos.

VALOR ABSOLUTO


Para sumar dos números enteros, se determina el signo y el valor absoluto del resultado del siguiente modo:Si ambos sumandos tienen el mismo signo: ese es también el signo del resultado, y su valor absoluto es la suma de los valores absolutos de los sumandos.Si ambos sumandos tienen distinto signo:

El signo del resultado es el signo del sumando con mayor valor absoluto. El valor absoluto del resultado es la diferencia entre el mayor valor absoluto y el

menor valor absoluto, de entre los dos sumandos.Ejemplo. (+21) + (−13) = +8 , (+17) + (+26) = +43 , (−41) + (+19) = −22 , (−33) + (−28) = −61

La suma de números enteros cumple las siguientes propiedades: Propiedad asociativa. Dados tres números enteros a, b y c, las sumas (a + b)

+ c y a + (b + c) son iguales. Propiedad conmutativa. Dados dos números enteros a y b, las

sumas a + b y b + a son iguales. Elemento neutro. Todos los números enteros a quedan inalterados al sumarles

0: a + 0 = a. Elemento opuesto o simétrico. Para cada número entero a, existe otro

entero −a, que sumado al primero resulta en cero: a + (−a) = 0. Propiedad distributiva. Dados tres números enteros a, b y c, el producto a ×

(b + c) y la suma de productos (a × b) + (a × c) son idénticos.

OPERACIONES CON ENTEROS

http://es.wikipedia.org/wiki/Propiedad_asociativa

http://es.wikipedia.org/wiki/Propiedad_conmutativa

http://es.wikipedia.org/wiki/Elemento_neutro

http://es.wikipedia.org/wiki/Elemento_opuesto

http://es.wikipedia.org/wiki/Elemento_opuesto

http://es.wikipedia.org/wiki/Propiedad_distributiva


Resta de Números EnterosLa resta de dos números enteros (minuendo menos sustraendo) se realiza sumando el minuendo más el sustraendo cambiado de signo.Ejemplo. (+10) − (−5) = (+10) + (+5) = +15 , (−7) − (+6) = (−7) + (−6) = −13 , (−4) − (−8) = (−4) + (+8) = +4 , (+2) − (+9) = (+2) + (−9) = −7MultiplicaciónEn la multiplicación de dos números enteros se determinan el valor absoluto y el signo del resultado de la siguiente manera:El valor absoluto es el producto de los valores absolutos de los factores.El signo es «+» si los signos de los factores son iguales, y «−» si son distintos.Regla de los signos (+) × (+)=(+) Más por más igual a más. (+) × (−)=(−) Más por menos igual a menos. (−) × (+)=(−) Menos por más igual a menos. (−) × (−)=(+) Menos por menos igual a más.


Se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros es decir, una fracción común a/b.

Con un numerador a y denominador b distinto de cero. El término «racional» alude a fracción o parte de un todo.Operaciones con RacionalesSuma y Multiplicación

SISTEMA DE LOS NÚMEROS RACIONALES


Relaciones de Orden


Existencia de Neutros e Inversos


ESTRUCTURA DE LOS NUMEROS REALES


Un número real puede ser un numero racional o un número irracional. Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, tal como 3/4, -21/3, 5, 0, 1/2, mientras que los irracionales son todos los demás. Los números racionales también pueden describirse como aquellos cuya representación decimal es eventualmente periódica, mientras que los irracionales tienen una expansión decimal no periódica:

NÚMEROS REALES


PROPIEDADES DE LOS REALES


Una sucesión es un conjunto de números dispuestos uno a continuación de otro.a1, a2, a3 ,..., an

Los números a1, a2 , a3 , ...; se llaman términos de la sucesión.

El subíndice indica el lugar que el término ocupa en la sucesión.El término general es an es un criterio que nos permite determinar cualquier término de la sucesión.

Determinación de una sucesión:Por el término generalan= 2n-1

Por una ley de recurrenciaLos términos se obtienen operando con los anteriores.

SUCESIONES


Dadas las sucesiones an y bn:

an= a1, a2, a3, ..., an

bn= b1, b2, b3, ..., bn

Suma con sucesiones: (an) + (bn) = (an + bn)

(an) + (bn) = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3, ..., an + bn) Propiedades 1 Asociativa: (an + bn) + cn = an + (bn + c n)

2 Conmutativa: an + bn = bn + a n

3 Elemento neutro (0) = (0, 0, 0, ..) an + 0 = an

4 Sucesión opuesta (-an) = (-a1, -a2, -a3, ..., -an)

an + (-an) = 0

OPERACIONES CON SUCESIONES


Diferencia con sucesiones: (an) - (bn) = (an - bn)

(an) - (bn) = (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3, ..., an - bn)

Producto con sucesiones: (an) · (bn) = (an · bn)

(an) · (bn) = (a1 · b1, a2 · b2, a3 · b3, ..., an · bn)

Propiedades1 Asociativa: (an · bn) · c n = an · (bn · c n)

2 Conmutativa: an · bn = bn · a n

3 Elemento neutro (1) = (1, 1, 1, ..) an · 1 = an

4 Distributiva respecto a la suma an · (bn + c n) = an · bn + an · c n


Es el número al cual se van aproximando los

términos de una sucesión Sucesiones convergentesSon las que tienen límite. Sucesiones divergentesSon las sucesiones que no tienen límite finito.Tipos de sucesiones

Límite de una sucesión


Sucesiones estrictamente crecientesSe dice que una sucesión es estrictamente creciente si cada término es mayor o igual que el anterior. an+1 > an

Sucesiones crecientesSe dice que una sucesión es creciente si cada término es mayor o igual que el anterior.an+1 ≥ an

Sucesiones estrictamente decrecientesSe dice que una sucesión es estrictamente decreciente si cada término de la sucesión es menor que el anterior. an+1 < an

Sucesiones decrecientesSe dice que una sucesión es decreciente si cada término de la sucesión es menor o igual que el anterior. an+1 ≤ an

Sucesiones constantesSe dice que una sucesión es constante si todos su términos son iguales, an= k.

an = an+1


Sucesiones acotadas inferiormenteUna sucesión está acotada inferiormente si todos sus términos son mayores o iguales que un cierto número K, que llamaremos COTA INFERIOR de la sucesión. an ≥ k A la mayor de las cotas inferiores se le llama EXTREMO

INFERIOR O ÍNFIMO . Si el ínfimo de una sucesión es uno de sus términos se le

llama MÍNIMO. Toda sucesión acotada inferiormente es creciente.Sucesiones acotadas superiormente Una sucesión está acotada superiormente si todos sus

términos son menores o iguales que un cierto número K', que llamaremos COTA SUPERIOR de la sucesión.

an ≤ k'

A la menor de las cotas superiores se le llama EXTREMO SUPERIOR O SUPREMO.Si el supremo de una sucesión es uno de sus términos se llama MÁXIMO.Toda sucesión acotada superiormente es monótona decreciente.


Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa por d.Término general de una progresión aritmética1 Si conocemos el 1er término. an = a1 + (n - 1) · d

2 Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión. an = ak + (n - k) · d

Progresiones aritméticas


Una progresión geométrica está constituida por una secuencia de elementos en la que cada uno de ellos se obtiene multiplicando el anterior por una constante denominada razón o factor de la progresión. Se suele reservar el término progresión cuando la secuencia tiene una cantidad finita de términos mientras que se usa sucesión cuando hay una cantidad infinita de términos, si bien, esta distinción no es estricta.

Progresión geométrica

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