Continuidad Y Derivada
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Continuidad de una función de dos variables ) , ( ) , ( 0 0 ) , ( ) , ( lim 0 0 y x f y x f y x y x Una función f de dos variables es continua en un punto (x 0 , y 0 ) de una región abierta R si f (x 0 , y 0 ) es igual al limite de f (x , y) cuando (x , y) tiene a (x 0 , y 0 ). Esto es si : Se dice que f es continua en la región R si es continua en todos los puntos de R .
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Continuidad de una función de dos variables
),(),( 00),(),(
lim00
yxfyxfyxyx
Una función f de dos variables es continua en un punto (x0 , y0) de una región abierta R si f (x0 , y0) es igual al limite de f (x , y) cuando (x , y) tiene a (x0 , y0). Esto es si :
Se dice que f es continua en la región R si es continua en todos los puntos de R .
Ejercicio: Determina la continuidad de las siguientes funciones en el origen.
22
23),(
yx
yxyxf
a)
)ln(),( 22 yxyxf
2
22
22
),(
yx
yxyxfb)
c)
Propiedades de las funciones continuas de dos variables
Si k es un número real y f, g son funciones continuas en un punto (x0 , y0), las funciones siguientes son continuas en (x0 , y0).
1. Múltiplo escalar:
2. Suma y diferencia:
fk
gf
3. Producto: gf
4. Cociente: gf si 0),( 00 yxg
Continuidad de las funciones compuestas
Si h es continua en (x0 , y0), y g es continua en h(x0 , y0), la función compuesta (gºh)(x , y)=g(h(x, y)) es continua en (x0 , y0).
),(),( 00),(),(
lim00
yxhgyxhgyxyx
Continuidad de una función de dos variables en una región R
Puesto que las funciones racionales son continuas en todos los puntos de su dominio, f es continua en todos los puntos del plano xy excepto en la recta y=-x.
yx
yxyxf
),(a)
224
2),(
yxyxf
b)
Derivada parciales de una función de dos variables
¿Cómo afecta a la función un cambio en una de sus variables independientes?
¿Cómo hallar el ritmo de cambio de una función f con respecto a una de sus variables independientes?
El procedimiento se llama derivación parcial y el resultado se llama derivada parcial
Derivada parciales de una función de dos variables
Si z=f(x, y), las primeras derivadas parciales de f con respecto a x e y son las funciones fx y fy definidas:
x
yxfyxxfyxf
xx
),(),(lim),(
0
y
yxfyyxfyxf
yy
),(),(lim),(
0
y= constante
x= constante
Notación para las derivadas parciales
Dada , sus derivadas parciales se denotan por:
),( yxfz yx ff ,
x
f
x
zzyxfyxf
x xx
),(),(
El valor de las primeras derivadas parciales en el punto (a, b) se denota por:
),(),(),(),(
bafy
zbaf
x
zy
ba
xba
y
f
y
zzyxfyxf
y yy
),(),(
2234),( yyxxyxf
yexyxg 22),(
Ejercicio: Determina las derivadas parciales de las siguientes funciones.
yx
yxyxh
ln),(
Derivadas parciales de orden superior
Derivar dos veces con respecto a x
Derivar dos veces con respecto a y
Derivar dos veces, primero respecto a x y luego a y
Derivar dos veces, primero respecto a y y luego a x
x
z x
z
zx zy
zxx zxy zyxzyy
x
z y
x
z
y
z
y
z x
y
z y
Derivadas parciales de orden superior
Dada , sus derivadas parciales de segundo orden se denotan por:
),( yxfz
xxxx zfx
f
x
f
x
2
2
yyyy zfy
f
y
f
y
2
2
xyxy zfxy
f
x
f
y
2
yxyx zfyx
f
y
f
x
2
Derivar dos veces con respecto a x
Derivar dos veces con respecto a y
Derivar dos veces, primero respecto a x y luego a y
Derivar dos veces, primero respecto a y y luego a x
Igualdad de las derivadas parciales cruzadas o mixtas
Sea f una función de x e y con fxy y fyx continuas en una región abierta R, entonces para todo (x, y) en R
),(),( yxfyxf yxxy
Interpretación geométrica de la derivada parcial
y=b ),(/),,( yxfzzyx
byyxfzzyxC ),(/),,(
),(,, bafba
Interpretación geométrica de la derivada parcial
x
y
a
f(a, b)
f(a+dx, b)
a+dx
by
x
bafbxafm
),(),(
sec
x
bafbxafm
xtag
),(),(lim
0
tagx mbaf ),(
es la pendiente de la recta tangente a la curva , intersección de la superficie con el plano , en el punto
),( baf xby
),(,, bafba
C
En forma análoga es la pendiente de la recta tangente a la curva , intersección de la superficie con el plano , en el punto
C
),( baf y
ax ),(,, bafba
Interpretación geométrica de la derivada parcial
En lenguaje coloquial más simplificado, los valores de
y en el punto dan la pendiente de la superficie en las direcciones x e y.
xz
yz ),(,, bafba
Halla la pendiente de la superficie dada por en el punto en las direcciones e .
229),( yxyxf )7,1,1( x y
Interpretación geométrica de la derivada parcial
Ejemplo:
Interpretación geométrica de la derivada parcial
