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Diseño por ubicación de polos

ContenidoContenidoContenidoContenido

Introducción

Métodos para la ubicación de polos Métodos para la ubicación de polos Realimentación de estado

Modificación del lugar de las raíces

IntroducciónIntroducciónIntroducciónIntroducción

Para diseñar un regulador por ubicación de polos, se debe conocer las relaciones entre las principales características de la respuesta en el tiempo del sistemacaracterísticas de la respuesta en el tiempo del sistema de lazo cerrado tales como:

Sobreimpulso Tiempo de subida Tiempo de estabilización Error de estado estacionario

y la ubicación de los polos en el plano complejo.

Los diferentes tipos de Los diferentes tipos de reguladores y compensadoresreguladores y compensadores La diferencia entre un regulador y un

compensador está sobre todo en la función de ese elemento durante el diseño.

Las diferentes funciones incluyen modificar o corregir el comportamiento estático ocorregir el comportamiento estático o dinámico del sistema

Compensadores y reguladoresCompensadores y reguladoresCompensadores y reguladoresCompensadores y reguladores

Un compensador es un elemento seleccionado con el objetivo de corregir el comportamiento dinámico de lazo cerrado.

Un regulador es un elemento cuyo comportamiento de transmisión se hacomportamiento de transmisión se ha seleccionado con miras a influenciar tanto el comportamiento dinámico como elcomportamiento dinámico como el comportamiento estático de lazo cerrado.

Métodos para la ubicación de Métodos para la ubicación de polos de lazo cerradopolos de lazo cerrado Realimentación de la salida Realimentación de estado

C t d did di t t Con estados medidos directamente Con estimador de estados

Modificación del lugar de las raíces Modificación del lugar de las raíces Compensador de adelanto

Bisectriz Bisectriz Ubicación del cero

Arbitraria Cancelación de polo

Compensador de atraso Filtro de muesca Filtro de muesca

Diseño en el lugar de las raícesDiseño en el lugar de las raícesDiseño en el lugar de las raícesDiseño en el lugar de las raíces

Parte de que el sistema puede ser considerado o aproximado a uno de segundo orden

El objetivo es que los polos dominantes de jlazo cerrado del sistema compensado se ubiquen en el área escogida g

Se agrega una combinación de polos, ceros y ganancia para deformar adecuadamente elganancia para deformar adecuadamente el lugar de las raíces y fijar así los polos.

Ubicación de los polos de un sistema Ubicación de los polos de un sistema i d d 2 l li d d 2 l lprototipo de orden 2 y la respuesta temporalprototipo de orden 2 y la respuesta temporal

Se parte de que el sistema posee en lazo cerrado un comportamiento aproximado al de un sistema de segundo orden.

2^ )( nO sGG

La aproximación es buena cuando el sistema

22 2)(1)(

nn

n

O

OR

sssGG

La aproximación es buena cuando el sistema en lazo cerrado posee un par de polos dominantesdominantes

Ubicación de los polos del sistema Ubicación de los polos del sistema de segundo orden en el plano sde segundo orden en el plano s

j

plano sraíz

n21 n

n

n0

)1( 22 s )1( nns

1;1 2 jsraíz

1;1 nn js

Ubicación de los polos de lazo cerrado Ubicación de los polos de lazo cerrado ante variación de ante variación de con con nn cte.cte.

plano sj

La ubicación del par de polos en el

n

plano complejo puede expresarse n = 10

n

también en forma polar como

0n

con

s n1 2,

n

con )cos(

Respuesta al escalón unitario Respuesta al escalón unitario ante variación de ante variación de con con nn cte.cte.

R t t ló 10y(t)

1.6

1.8

= 0.1

= 0 3

Respuesta ante escalón con n = 10

1.2

1.4 = 0.3

= 0 5

0 8

1

= 0.5

Am

plitu

d

0.6

0.8

= 0.7

A

0.2

0.4Al mantener n constante y variar se afecta el sobreimpulso máximo y el tiempo de estabilización

t [s]0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

0

Tiempo (sec)

Ubicación de los polos de lazo cerrado Ubicación de los polos de lazo cerrado ppante variación de ante variación de nn con con constante.constante.

plano sjn=5

n=2

n=1

Los polos se

0Los polos se desplazan a lo largo de la recta dada por el ángulo = arccos()ángulo arccos().

Respuesta al escalón unitario ante Respuesta al escalón unitario ante

Respuesta ante escalón con = 0.5variación de variación de nn con con constanteconstante

1.2 n = 5 n = 2

n = 1

0 8

1

0.6

0.8

Am

plitu

d

0.4

0.2 Al mantener constante y variar n se afecta únicamente la escala del tiempo

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

Tiempo (sec)

Ubicación de los polos de lazo Ubicación de los polos de lazo cerrado ante variación de cerrado ante variación de y y nn

plano sj

n=3

n=2 n 2

n=1

Los polos se desplazan

0

n

n

a lo largo de la recta paralela al eje imaginario dada por el valor constante - n.

Respuesta al escalón unitario Respuesta al escalón unitario

R t t ló 0 5

ante variación de ante variación de y y nn

1.4

1.6n = 3, = 0.167

Respuesta ante escalón con n = 0.5

1.2

1.4n = 2, = 0.25

n = 1, = 0.5

0.8

1

Am

plitu

d

0 4

0.6

A

n

t 4%2

0.2

0.4

n

t 3%5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

Tiempo (sec)

Encontrar las regiones para la Encontrar las regiones para la ubicación del par de polos dominantesubicación del par de polos dominantes

Convertir las especificaciones del dominio del tiempo en especificaciones de frecuencia natural y amortiguamiento relativo.

Graficar las especificaciones de frecuencia natural y amortiguamiento relativonatural y amortiguamiento relativo.

Seleccionar la región donde se cumplen lasSeleccionar la región donde se cumplen las especificaciones del dominio del tiempo.

FórmulasFórmulasFórmulasFórmulas

Amortiguamiento

2ln

M

relativo y sobreimpulso

21 eM 2ln1

M

; Tiempo de t bili ióst

4%2 st

3%5

; estabilizaciónn

s %2n

s %5

8.1 8.05.2 ; Tiempo de subida

nrt

8.1

nrt

8.05.2

Regiones para la ubicación deseada del par Regiones para la ubicación deseada del par de polos dominantes de la función de lazode polos dominantes de la función de lazode polos dominantes de la función de lazo de polos dominantes de la función de lazo cerradocerrado

plano sj

mín M máx

mín (t máx )

n máx.mín., M máx.

máx. n mín., (tr máx.)

0

Ubicar los polos dominantes en la región Ubicar los polos dominantes en la región deseadadeseada

S l i bi ió l l Seleccionar una ubicación para los polos dominantes en la región deseadaC l l l d bi l Calcular el compensador para ubicar los polos en el lugar escogido usando un método adecuadoadecuado.

Comprobar que efectivamente existe un par de polos dominantes y que la influencia dede polos dominantes y que la influencia de los polos restantes es despreciable.

Iterar; escogiendo de ser necesario otro Iterar; escogiendo, de ser necesario, otro método u otro tipo de compensador

Ejemplo: Encuentre la zonaEjemplo: Encuentre la zona ΓΓEjemplo: Encuentre la zona Ejemplo: Encuentre la zona ΓΓ

Se desea encontrar la zona en la cual los polos de un sistema deben encontrarse para que la respuesta ante un escalón tenga las características siguientes

Un sobreimpulso MP entre el 5 % y el 10%p P y

Un tiempo de estabilización del 2%, tS2% < 2 sp , S2%

Ejemplo 2: SoluciónEjemplo 2: SoluciónEjemplo 2: SoluciónEjemplo 2: Solución

C l l l ti i tCalculamos que el amortiguamiento relativo debe satisfacer 0.59 ≤ ≤ 0.69

Calculamos que el producto ωn > 2Calculamos que el producto ωn 2

E l t 2 5 / j 3Escogemos el punto s1 = -2.5 +/- j 3

Ejemplo 2: Selección del punto sEjemplo 2: Selección del punto sEjemplo 2: Selección del punto sEjemplo 2: Selección del punto s11

Con los parámetros encontrados seleccionamos la zona , y el ella el punto s1 = -2.5 +/- j 3

ResumenResumenResumenResumen

El método del lugar de las raíces parte de que el sistema es o puede ser aproximado a uno de segundo orden y puede existir interacciones entresegundo orden y puede existir interacciones entre compensadores

El método de realimentación de estados es directo El método de realimentación de estados es directo, sirve para sistemas de orden n; pero, requiere que los estados puedan ser controlables y medibles u observables.

Ambos procedimientos deben tomar en cuenta que el modelo es inexacto y que las especificaciones no pueden ser tampoco exactas y recurrir a la iteración

ReferenciasReferenciasReferenciasReferencias

Ogata, Katsuhiko. „Ingeniería de Control Moderna“, Pearson, Prentice Hall, 2003, 4ª Ed., Madrid.

Dorf, Richard, Bishop Robert. „Sistemas de control moderno“, 10ª Ed., Prentice Hall,control moderno , 10 Ed., Prentice Hall, 2005, España.