CONTROL VERTICAL TOPOGRÁFICO

El control vertical topográfico para un proyecto de ingeniería está constituido por un conjunto de BMs formando circuitos o redes de nivelación, partiendo de un BM oficial.Entre cada par consecutivo de BMs se efectúa una nivelación diferencial de precisión. El error de cierre tolerable será: E= 0.008K.

ESPECIFICACIONES TECNICASEquipo a utilizar: a) Nivel de precisión: ±0.2mm/km (1er orden),

±0.5mm/km (2do orden) de recorrido ida y vuelta.b) Mira Invar: de doble escala, de 3m de longitud.• Utilizar el nivel de mira para poner la mira vertical.• Determinar el factor K(una vez) y el error C del nivel

(diario) y corregir la lectura lejana por C&R.• Longitud de visuales será hasta 90m. Las vistas atrás y

vistas adelante aproximadamente igualadas (±10%), tomadas taquimétricamente.

• En cada visual a la mira se toman 3 lecturas: Una con el hilo horizontal principal del retículo y las otras 2 con cada uno de los hilos estadimétricos; tomándose como lectura más probable la media aritmética de las tres (diferencia intervalos ±2u).

• La diferencia entre las lecturas del hilo superior e inferior determina la distancia del instrumento a la mira, multiplicado por K.

• Los puntos de cambio serán sobre objetos físicos muy rígidos y preferiblemente de cabeza redondeada para que la mira no cambie de posición al darle la vuelta para hacer las lecturas correspondientes a las vistas atrás y adelante (usar Base de nivel o sapo).

• Utilizar 2 miras y 2 portamiras: finalidad que las dos lecturas, vista atrás y vista adelante se realicen en el menor intervalo de tiempo posible para disminuir los efectos de cualquier cambio en la refracción atmosférica.

• El nivel debe protegerse de los rayos del sol utilizando una sombrilla, con la finalidad de evitar dilataciones térmicas desiguales.

RECOMENDACIONES

• Cuando se ha empleado un control horizontal formado por poligonales, generalmente se obtiene un control vertical suficiente, corriendo nivelaciones geométricas cerradas sobre los hitos que marcan los vértices de las poligonales. Se tiene así, con adecuada precisión las cotas de todos los puntos de estación, y partiendo de ellos se pueden fijar todos los demás puntos que se necesite.

• Como control vertical adicional puede emplearse la nivelación trigonométrica de precisión para determinar las cotas de los vértices de las triangulaciones.

RED DE NIVELACION

Libreta de campo

CIRCUITO TRAMO N° Dif de Nivel DISTANCIA CORRECCION B-C 1 +3.282m 19km V1 C-D 2 +6.312 45 V2 D-E 5 -8.145 21 V5

I

BCDEB E-B 6 -1.569 27 V6 E-A 7 +5.373 18 V7 D-A 3 -2.676 41 V3

II

DAED D-E 5 -8.145 21 V5 A-B 4 -6.879 24 V4 E-B 6 -1.569 27 V6

III

ABEA E-A 7 +5.373 18 V7

Datos de la libreta de campo y nomenclatura para su compensación por mínimos cuadrados.

FORMULA PARA DETERMINAR EL NUMERO DE ECUACIONES CONDICIONALES INDEPENDIENTES (C):

FORMULA PARA DETERMINAR EL NUMERO DE ECUACIONES CONDICIONALES INDEPENDIENTES (C):

1) C= n-S+1; Siendo: n= número de tramos.

S= número de nodos o vértices.

2) Fórmula general:

C= L-V+q; Siendo: L=Número de tramos o lados.

V=Número total de BMs.

q=Número de BMs que tienen cota.

Si la red tiene mayor número de condiciones, se toman solo las ecuaciones condicionales que tienen mayores errores.

COMPENSACIÓN POR MINIMOS CUADRADOS

ELABORACIÓN DEL CROQUIS DE LA RED

1) Se coloca la flecha a cada tramo de la red, de acuerdo al sentido de la “diferencia de nivel” de sus extremos según la libreta de campo.

2) Se numeran todos los tramos, con números arábigos.

3) En cada tramo de la red se inscribe el valor numérico de la “diferencia de nivel” con su correspondiente signo y además la distancia nivelada entre sus extremos.

4) Se numeran con números romanos todos los circuitos de la red, estableciendo de esta manera el orden para determinar sus respectivas ECUACIONES DE CONDICIÓN.

DETERMINACIÓN DE LA ECUACIÓN DE CONDICION DE CADA CIRCUITO

1) Suponemos un punto que se desplace a lo largo de cada uno de los tramos del circuito en sentido de las agujas del reloj. Si el movimiento en este sentido coincide con el sentido de la flecha del tramo, se coloca un signo positivo (+) delante de la corrección Vi respectiva y la diferencia de nivel se considera con el mismo signo que se indica en el croquis del circuito. Si el desplazamiento del punto en el sentido de las agujas del reloj, es contrario al sentido de la flecha del tramo, se colocará un signo negativo (-) delante de la respectiva corrección Vi y la diferencia de nivel se considerará con signo contrario al que se indica en el croquis del circuito.

DETERMINACIÓN DE LA ECUACIÓN DE CONDICION DE CADA CIRCUITO

2) El término independiente de la ecuación de condición de cada circuito es el error del circuito, el cual se obtiene efectuando la suma algebraica de las diferencias de nivel afectadas del signo que resulte al considerar el desplazamiento del punto en todos los tramos del circuito considerado.

3) Una vez determinadas las ecuaciones condicionales independientes de toda la red, se elaboran los cuadros para obtener en forma simplificada las ecuaciones correlativas y las ecuaciones normales, con las cuales se determinan las correcciones Vi que deberán aplicar a las correspondientes diferencias de nivel para que el error de cierre en cada circuito sea cero y que la diferencia de nivel entre cualquier par de puntos de unión resulte la misma, cualquiera que sea el camino seguido para el cálculo.

EJEMPLO DE UNA RED DE NIVELACION

Se pide:a) Determinar las Ecuaciones Condicionales.b) Determinar las Ecuaciones Correlativas simplificadamente.

SOLUCION:

a) Determinación del número de Ecuaciones Condicionales (C):

• C= n – S+1 C= 7 – 5 +1= 3;

Son 3 Ecuaciones Condicionales Indpdtes, que las obtenemos de cada circuito:

1) Ecuación Condicional del Circuito I:

V1+V2+V5+V6-0.12 = f1 = 0

E1= +3.282+6.312-8.145-1.569 = -0.12

SOLUCION:

2) Ecuación Condicional del Circuito II:

V3-V7-V5+0.096 = f2 = 0

E2= -2.676-(+5.373)-(-8.145) = +0.096

3) Ecuación Condicional del Circuito III:

V4-V6+V7+0.063 = f3 = 0

E3= -6.879-(-1.569)+5.373 = +0.063

CUADRO RESUMEN DE LAS ECUACIONES CONDICIONALES

DETERMINACION DE LAS 3 ECUACIONES NORMALES CORRESPONDIENTES A LAS RESPECTIVAS ECUACIONES

CONDICIONALES

V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 L1= 19 L2= 45 L3= 41 L4= 24 L5= 21 L6= 27 L7= 18

K

1 .a1= +1 a2= +1 a3= 0 a4= 0 a5= +1 a6= +1 a7= 0 - 0.12 = 0

2 .b1= 0 b2= 0 b3= +1 b4= 0 b5= -1 b6= 0 b7= -1 +0.096= 0 3 .c1= 0 c2= 0 c3= 0 c4= +1 c5= 0 c6= -1 c7= +1 +0.063= 0

S S1= +1 S2= +1 S3= +1 S4= +1 S5= 0 S6= 0 S7= 0 ///////////////

1ra

EC. NORMAL: [aa]1 + [ab]2 + [ac]3 + K1 = 0 2

daEC. NORMAL: [ab]1 + [bb]2 + [bc]3 + K2 = 0

3ra

EC. NORMAL: [ac]1 + [bc]2 + [cc]3 + K3 = 0

CALCULO DE LOS COEFICIENTES DE LOS TERMINOS DE LASECUACIONES NORMALES

1 2 3 K S a1a1= 19 a1b1= 0 a1c1= 0 a1S1= +19 a2a2= 45 a2b2= 0 a2c2= 0 a2S2= +45 a5a5= 21 a5b5= -21 a5c5= 0 a5S5= 0 a6a6= 27 a6b6= 0 a6c6= -27 a6S6= 0

[aa] = 112 [ab] = -21 [ac] = -27 K1= -0.12 [aS] =+64 1°EC.NORM

b3b3= +41 b3c3= 0 b3S3= +41 b5b5= +21 b5c5= 0 b5S5= 0 b7b7= +18 b7c7= -18 b7S7= 0 [ab] = -21 [bb] = +80 [bc]= -18 K2=+0.096 [bS] =+41 2°EC.NORM

c4c4= +24 c4S4= +24 c6c6= +27 c6S6= 0 c7c7= +18 c7S7= 0 [ac] = -27 [bc] = -18 [cc] =+69 K3= +0.063 [cS] = +24 3°EC.NORM

ECUACIONES NORMALES

SOLUCION DEL SISTEMA DE EC.NORMALES:

1) 1121 - 212 - 273 - 0.12 = 0 2) -211 + 802 - 183 + 0.096 = 0 3) -271 - 182 + 693 + 0.063 = 0

1 = 0.000587714 2 = -0.00127421 3 = -0.00101547

Estos valores 1, 2, 3 se reemplazan en las EC. CORRELATIVAS para obtener las correcciones V1, V2, V3, V4,..., V8

CUADRO RESUMEN DE LAS ECUACIONES CONDICIONALES V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7

L1= 19 L2= 45 L3= 41 L4= 24 L5= 21 L6= 27 L7= 18 K

1 .a1= +1 a2= +1 a3= 0 a4= 0 a5= +1 a6= +1 a7= 0 - 0.12 = 0

2 .b1= 0 b2= 0 b3= +1 b4= 0 b5= -1 b6= 0 b7= -1 +0.096= 0 3 .c1= 0 c2= 0 c3= 0 c4= +1 c5= 0 c6= -1 c7= +1 +0.063= 0

S S1= +1 S2= +1 S3= +1 S4= +1 S5= 0 S6= 0 S7= 0 ///////////////

V1 = 191 V1 = 19(0.000587714) = +0.011166566 = +0.011”

V2 = 451 V2 = 45(0.000587714) = +0.02644713 = +0.026”

V3 = 412 V3 = 41(-0.00127421) = -0.0522461 = -0.052”

V4 = 243 V4 = 24(-0.00101547) = -0.02437128 = -0.024”

V5 = 211 -212 V5 = 21(0.000587714) - 21(-0.00127421)= +0.03910040 = +0.039”

V6 = 271 -273 V6 = 27(0.000587714) - 27(-0.00101547) = +0.04328596 = +0.043”

V7 = -182+183 V7 = -18(-0.00127421) +18(-0.00101547) = +0.00465732 = +0.005”

ECUACIONES CORRELATIVAS

VERIFICACIÓN DE LAS CORRECCIONES

CIRCUITO I CIRCUITO II CIRCUITO III TRAMO Vi SIGNO VALOR SIGNO VALOR SIGNO VALOR

Valores Vi Corregidos

1 +0.011 + +0.011 V1= +0.011

2 +0.026 + +0.026 V2= +0.026

3 -0.052 + -0.052 V3= -0.052

4 -0.024 + -0.024 V4= -0.024

5 +0.039 + +0.039 - -0.039 V5= +0.039

6 4 +0.043

-

4 -0.043

-

4 -0.043

V6= +0.044

7 0.005 - -0.005 + +0.005 V7= +0.005

De la ecuación del Circuito

=

Ec=

+0.119 -0.120 -0.001

-0.096 +0.096 0.000

-0.062 +0.063 +0.001

DIFERENCIAS DE NIVEL COMPENSADAS

TRAMO DIF. NIVEL

CORRECCIONES DIFERENCIAS NIVEL

COMPENSADAS 1 +3.282 V1= +0.011 +3.293 2 +6.312 V2= +0.026 +6.338

3 -2.676 V3= -0.052 -2.728

4 -6.879 V4= -0.024 -6.903

5 -8.145 V5= +0.039 -8.106

6 -1.569 V6= +0.044 -1.525

7 +5.373 V7= +0.005 +5.378

CROQUIS CON DESNIVELES CORREGIDOS

CALCULO DE COTAS DE LOS BMs

VÉRTICE TRAMO

COTA DIF.ALT.

VÉRTICE TRAMO

COTA DIF.ALT.

VÉRTICE TRAMO

COTA DIF.ALT.

BM A +(4)

100.000 -6.903

D +(5)

102.728 -8.106

B -(6)

93.097 +1.525

B +(1)

93.097 +3.293

E +(7)

94.622 +5.378

E +(7)

94.622 +5.378

C +(2)

96.390 +6.338

BM A

100.000 OK

BM A

100.000 OK

D +(3)

102.728 -2.728

BM A 100.000

a) COMPROBACIÓN b) COMPROBACIÓN

DETERMINACIÓN DE LAS CORRECCIONES Vi POR MEDIO DE LAS DERIVADAS PARCIALES DE LA FUNCIÓN U

F = 1 V12 + 1 V2

2 + 1 V32 + 1 V4

2 + 1 V52 + 1 V6

2 + 1 V72

19 45 41 24 21 27 18

U = F - 21f1 - 22f2 - 23f3 U = 1 V1

2 + 1 V22 + 1 V3

2 + 1 V42 + 1 V5

2 + 1 V62 + 1 V7

2 19 45 41 24 21 27 18

-21(V1 +V2 +V5 +V6 - 0.12) - 22(V3 -V7 -V5 +0.096) -23(V4 - V6 + V7 + 0.063) mínimo

DERIVADAS PARCIALES QUE DETERMINAN LAS CORRECCIONES Vi

U = 2V1 -21 = 0 2V1 = 21 2V1 = 381 V1 = 191 V1 19 19 U = 2V2 -21 = 0 2V2 = 21 2V2 = 401 V2 = 451 V2 45 45 U = 2V3 -22 = 0 2V3 = 22 2V3 = 812 V3 = 412 V3 41 41 U = 2V4 -23 = 0 2V4 = 23 2V4 = 483 V4 = 243 V4 24 24 U = 2V5 -21 +22 = 0 2V5 = 21 - 22 2V5 = 421 - 422 V5 = 211 - 212 V5 21 21 U = 2V6 -21 +23 = 0 2V6 = 21 - 23 2V6 = 541 - 543 V6 = 271 - 273 V6 27 27 U = 2V7 +22 -23 = 0 2V7 = -22 +23 2V7 = -362 + 363 V7 = -182 + 183 V7 18 18

PRACTICA DOMICILIARIA• 1) Determinar las cotas de los vértices de la siguiente red de nivelación. • a) Sin considerar las distancias.• b)Teniendo en cuenta las distancias.

2) En la siguiente red de nivelación, determinar las cotas ortométricas de los demás vértices.