UNIVERSIDAD DON BOSCO

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BSICAS

ESTADSTICA I

TRABAJO COOPERATIVO N1

Medidas de Tendencia Central y Medidas de Dispersin.

CATEDRTICO:

Lic. Adn Magaa.

PRESENTADO POR:

Sandra Vanessa Escobar Osorio. EO120150

Jorge Adalberto Hernndez Herrera. HH091083

Ftima Elizabeth Muoz Cantizano. MC100464

Marvin Wilfredo Serrano Pineda. SP100694

Carlos Alberto Rivera Navas. RN100510

Mircoles 20 de agosto de 2014

Ciudadela Don Bosco, Soyapango, El Salvador.

INTRODUCCIN

Hay varias formas de dar una visin de conjunto de los datos. Una forma es la descripcin

grfica, tambin descripciones numricas de los datos. Los nmeros como la media o la

mediana dan, de alguna manera, el valor central o medio de los datos, otros nmeros como

la varianza y la desviacin tpica, miden la dispersin o la diseminacin de los datos respecto

a la media. En este documento se explican los tipos de medidas de tendencia central y de

dispersin para distintos grupos de datos.

MEDIDAS DE POSICIN TENDENCIA CENTRAL

MEDIA ARITMTICA

La media aritmtica, comnmente abreviada por: se obtiene al dividir la sumatoria de

un conjunto de datos sobre el nmero total de datos. nicamente aplicable con datos

cuantitativos.

La media para datos no agrupados

La media aritmtica para datos agrupados

Media aritmtica ponderada

Para el grupo de n nmeros 1, 2, 3 ", la media aritmtica es la suma de los valores de los nmeros, divididos entre n".

En una tabla de distribucin de frecuencias de r clases, donde los puntos medio son: 1, 2, 3 "; y las respectivas frecuencias son 1, 2, 3 ; la media aritmtica se obtiene as:

Si hay un grupo de observaciones como: 1, 2, 3 ; y un conjunto de valores 1, 2, 3 ; ligados a: respectivamente, reciben el nombre de factores de ponderacin.

EJEMPLO DE MEDIA ARITMETICA:

1. Cinco obreros trabajaron un domingo por la maana obteniendo los siguientes

pagos en dlares ($): 4, 5, 3, 7 y 6.

Cul es el pago medio?

La media aritmtica es (Pago medio):

x = x

n

4 + 5 + 7 + 3 + 6

5

x =25

5 x = $5 Cinco Dlares.

Luego, el jefe decidi pagarles ms por la jornada en factor de 4.

Calcular la nueva media.

As: 4x4=16, 4x3=12, 4x5=20, 4x7=28, 4x6=24

x = x

n

16 +20+28+12+24

5 x =

100

5 x = $20

= 1+ 2+ 3+ +

=

= 11+ 22 + 33++

1+ 2+ 3++

= ()

= 11+ 22 + 33++

1+ 2+ 3++

= ()

LA MEDIANA

En un grupo de nmeros ordenados de menor a mayor, la mediana es el nmero colocado en el centro del arreglo, entonces, una mitad de del grupo est por encima y la otra por debajo de dicho valor. Si el nmero de observaciones es de nmero par, la mediana es la media de los dos valores que se hallan en el centro del arreglo de nmeros crecientes.

Mediana para grupos de datos no agrupados

Mediana para grupos de datos agrupados

Si hay una sucesin de sucesos X1, X2, X3Xn, la mediana si

calcula:

Debe hallar la clase mediana, que se define como la clase ms baja en que la frecuencia acumulada excede N/2 (siendo N=fi ).

Donde: L = lmite inferior de la clase mediana. N = frecuencia total o fi. fa = frecuencia absoluta acumulada hasta la clase premediana fi = frecuencia absoluta de la clase mediana C = amplitud de la clase mediana.

Si n es par: Si n es impar:

= + 1

2

=

2+

2+1

2

EJEMPLO DE MEDIANA:

2. Los siguientes datos expresan el Rendimiento (en Kilogramos) de plantas de elote

atacadas por el barrenador:

6.78 9.02 8.65 8.65 6.72 5.26 10.34 3.81 6.81 7.49 4.56 7.16 8.61 3.86

HALLE LA MEDIA:

Solucin: Datos ordenados de menor a mayor:

3.81 3.86 4.56 5.26 6.72 6.78 6.81 7.16 7.49 8.61 8.65 8.65 9.02 10.34

n = 14 (# par), buscar los 2 valores al centro del conjunto de nmeros

ordenados.

Valores centrales estn en la 7 y 8 posicin.

Calculando la media:

Me =6.81+7.16

2= 6.985 kg

LA MODA La moda es el valor que aparece con ms frecuencia dentro de un conjunto de datos

o nmeros.

Moda para datos agrupados

La Moda puede deducirse de una distribucin de frecuencia o de un histograma a partir de la frmula.

Mo. = Li + [( 1 / 1+2 ) ] c Donde: Li = lmite inferior de la clase modal (clase de mayor frecuencia absoluta (fa) 1 = diferencia de las frecuencias absolutas de la clase modal y premodal. 2 = diferencia de las frecuencias absolutas de la clase modal y postmodal C = amplitud de la clase modal.

EJEMPLO DE MODA:

Las notas obtenidas por 15 estudiantes de estadstica 1 son las siguientes:

7 ,7, 9, 10, 10, 10, 10, 5, 7, 8, 8, 9, 8, , 4, 6

Halle la moda del grupo de calificaciones:

El conjunto de datos tiene de moda el valor:

10 porque se repite 4 veces ms que cualquier otro valor.

MEDIA GEOMTRICA

Es la raz de ndice de la frecuencia total cuyo radicando es el producto de las

potencias de cada valor de la variable elevado a sus respectivas frecuencias

absolutas, se denota por suele utilizarse cuando los valores de la variable siguen

una progresin geomtrica.

Se calcula mediante la siguiente frmula = (1 2 )

EJEMPLO DE MEDIA GEOMTRICA:

Ejemplo de una media geomtrica de los nmeros: 1, 2, 3, 4, 5.

N = 5, el nmero total de valores.

Calculando 1/N.

1/N = 0.2

Despus, encontrar la media geomtrica con la frmula. ((1)(2)(3)(4)(5))0.2 =

(120)0.2

La media geomtrica= 2.60517

MEDIA ARMNICA

Se denota por , se define como el reciproco de la suma de los valores inversos

de la variable estadstica divididos entre el nmero total de datos.

Se Calcula con la siguiente formula:

EJEMPLO DE MEDIA ARMNICA:

Encontrar la media armnica del conjunto de datos: 1,2, 3, 4, 5.

Nmero total de valores:

N = 5

Media armnica mediante la frmula:

N/(1/a1+1/a2+1/a3+1/a4+.......+1/aN)

= 5/(1/1+1/2+1/3+1/4+1/5)

= 5/(1+0.5+0.33+0.25+0.2)

= 5/2.28

La media armnica= 2.19

MEDIDAS DE VARIABILIDAD O DE DISPERSIN

VARIANZA

La varianza cuyo smbolo es 2

La varianza ayuda a calcular el promedio de la desviacin al cuadrado a partir de la

media X.

Su frmula es:

2 =( )

2

Propiedades de la varianza:

1. La varianza es siempre una cantidad no negativa: V(X) 0, cualquiera que sea la

distribucin ( )2

> 0.

2. La varianza de una constante es cero : V(K)=0

3. La varianza del producto de una constante por una variable es igual al producto del

cuadrado de la constante por la varianza de la variable: V(KX)=2 ()

4. La varianza de la suma o resta de una variable y una constante es igual a la varianza de la

variable: ( ) = ()

DESVIACIN ESTANDAR

La desviacin tpica o estndar, designada por , es la ms importante de las

medidas de dispersin. Puede definirse como la raz cuadrada de la media

aritmtica del cuadro de las desviaciones de cada valor de la variable con respecto

a la media.

Frmula:

= (X-)

2

EJEMPLO DE DESVIACIN ESTNDAR Y VARIANZA

3. Considere que los siguientes datos corresponden al sueldo de una poblacin:

$350, $400, $500, $700 y $1000

Calcular la desviacin estndar y la Varianza:

1 Calcular la media aritmtica.

2 Se aplica la respectiva frmula para calcular la varianza

3 Se calcula la desviacin estndar.

COEFICIENTE DE VARIACIN

Siempre que sus medias sean positivas, el coeficiente de variacin permite

comparar las dispersiones de dos distribuciones distintas se calcula para cada una

de ellas, y los valores que se obtienen se comparan entre s. La mayor dispersin

ser del valor que tenga el coeficiente de variacin mayor.

Es la relacin entre la desviacin tpica de una muestra y su media.

Su frmula para expresarlo en porcentajes es la siguiente:

EJEMPLO DE COEFICIENTE DE VARIACIN

En el mercado hay 15 sacos de papas y 20 de zanahorias. El peso medio de los

sacos de papas es 58.2 kg y el de los sacos de zanahorias es de 52.4 kg.

Las desviaciones tpicas de los dos grupos son, respectivamente, 3.1 kg y 5.1 kg.

El peso de 1 saco de papas es de 70 kg y el de 1 saco de zanahorias es 65 kg.

Cul de ellos puede, dentro del grupo de sacos de papas de su tipo considerarse

ms pesado?

SOLUCIN:

: 1 = 70 58.2

3.1= 3.81

: 2 = 65 52.4

5.1= 2.47

El saco de papas individual es ms grueso respecto de su grupo que el individual

de zanahorias respecto al suyo.

. . =

100

BIBLIOGRAFA

Estadstica descriptiva e inferencial

Autor: Antonio Vargas Sabadas. - 1996 Universidad de Castilla, Espaa.

Introduccin a la teora de probabilidades e inferencia estadstica.

Autor: Harold J. Larson. - Editorial Limusa, 1978.

Introduccin a la Estadstica Descriptiva.

Autor: Carlota Rey Graa, Mara Ramil Daz. - Netbiblo, 2007.

SITIOS WEB:

Estadstica Descriptiva VITUTOR.

http://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/a_17.html

Coeficiente de Variacin UMA.

http://www.bioestadistica.uma.es/libro/node23.htm