TEMA 4A: CORRECCIONES RADIOMTRICAS

OBJETIVOS DEL TEMA Tras el estudio del tema, el alumno: - Conocer los principales tipos de errores radiomtricos que se pueden producir en las

imgenes de satlite. - Sabr aplicar los principales modelos y mtodos para la reduccin de los efectos

atmosfricos y de los desajustes del sensor que afectan a la calidad de la informacin contenida en la imagen.

- Ser consciente de la importancia de una correccin radiomtrica realizada a tiempo sobre los resultados de anlisis posteriores.

- Podr diferenciar entre imgenes no corregidas y otras que si lo estn. - Habr estudiado algunos ejemplos prcticos y su importancia.

1.-CONCEPTOS PREVIOS. 1.1.- Radiacin electromagntica

La radiacin electromagntica resulta de la oscilacin de campos elctricos y magnticos. La onda de energa generada por estas vibraciones se desplaza por el espacio a la velocidad de la luz. Y no es de extraar... ya que la luz visible es una forma de radiacin electromagntica.

Campo elctrico y magntico que se desplazan a la velocidad de la luz

1.2.- El espectro electromagntico Se denomina espectro electromagntico, al conjunto todas las radiaciones conocidas ordenadas segn su longitud de onda.

Divisin Rango de Porcentaje de energa

proveniente del sol Rayos gamma < 0.03 nm Rayos X 0.03 3.0 nm Rayos ultravioleta (UV) 0.03 0.38 m 7.27 Espectro visible 0.38 0.75 m 43.50 Violeta 0.38 - 0.45 m Azul 0.45 0.495 m Verde 0.495 0.57 m Amarillo 0.57 0.59 m Naranja 0.59 0.62 m Rojo 0.62 0.75 m Infrarrojo prximo (NIR) 0.75 1.3 m 36.80 Infrarrojo medio (MIR) 1.3 8.0 m 12.00 Infrarrojo trmico 8.0 14 m Microondas - radar 0.1 mm 30 cm Ondas de televisin y radio > 30 cm

2.- PREPROCESAMIENTO. Las imgenes digitales se obtienen mediante diversos procesos: de forma directa, como

puede ser una imagen de satlite o procedente de una cmara digital; o indirecta, mediante la digitalizacin de una imagen en soporte papel. De una u otra manera, las imgenes que se obtienen no responden fielmente al original del que proceden. Existen una serie de errores geomtricos y radiomtricos, que es preciso corregir antes de realizar cualquier anlisis, ya sea visual o digital, en lo que se denomina fase de preprocesamiento.

Las correcciones radiomtricas incluyen el conjunto de tratamientos que modifican los ND originales, con objeto de acercarlos a los que habra presentes en la imagen caso de una recepcin ideal.

3.- CORRECCIONES RADIOMETRICAS. La teledeteccin se fundamenta en la recepcin de la energa electromagntica que,

proveniente del sol, es reflejada o absorbida para despus ser emitida por los objetos de la superficie terrestre. Entran en juego en este proceso una serie de elementos que condicionan las caractersticas de los datos captados, como son la energa solar, las particularidades de los elementos de la superficie, los componentes de la atmsfera atravesada por la energa, las cualidades de los sensores y las diferencias en iluminacin debido a la posicin topogrfica de la superficie. La influencia de cada uno de ellos en la imagen resultante es evidente, si bien son los efectos atmosfricos y los posibles desajustes tcnicos en el sensor los que pueden provocar anomalas o errores radiomtricos. Por lo tanto, los datos obtenidos, slo en pocas ocasiones, pueden utilizarse en estado original y debern someterse a un conjunto de tratamientos previos.

Los errores producidos por el desajuste del sensor, o por el paso de la radiacin emitida o reflejada, por la atmsfera, implica que los valores codificados por el sensor no se correspondan con los valores reales de reflectancia. Es decir, existen discrepancias entre los valores digitales de intensidad de la imagen y los que debera presentar. En las imgenes de satlite, y por extensin en las imgenes areas, se puede requerir de una correccin radiomtrica que ajuste esas diferencias, que pueden ser debidas a variables de iluminacin, de absorcin y dispersin atmosfrica, por la ganancia y desfase del sensor, etc. Las correcciones radiomtricas, al igual que las geomtricas, son operaciones que modifican los datos de origen, generando alteraciones en las medias, desviaciones tpicas, varianzas o en los histogramas, por ejemplo. Esto puede provocar cambios en los resultados de los anlisis por lo que estas correcciones se deben aplicar en la fase previa al procesamiento de los datos.

Por otra parte, la iluminacin oblicua y una topografa irregular generan unos efectos de sombreado e iluminacin que modifican la respuesta debida exclusivamente al tipo de superficie. El efecto topogrfico provoca una variacin de la respuesta radiomtrica de la superficie inclinada frente a la de una horizontal. Esta es funcin de su posicin (pendiente y orientacin) frente a las fuentes de iluminacin y al observador. Otro efecto importante es el ocasionado por el ocultamiento topogrfico, es decir, el sombreado producido por el entorno sobre un punto del terreno para la posicin del sol en el momento de la toma de la imagen. Como hemos comentado los errores radiomtricos que pueden detectarse en una imagen poseen tres naturalezas bien diferenciadas:

a) Errores debidos a interferencias atmosfricas b) Errores debidos a fallos o a desajustes en el sensor. c) Errores debidos a la topografa

3.1.- Errores debidos a interferencias atmosfricas. Correcciones

Efectos atmosfricos que provocan los errores

Los sensores empleados en teledeteccin, bien aerotransportados o bien instalados en satlites se encuentran separados de los objetos que estn estudiando una distancia lo suficientemente grande para que se produzca influencia de la atmsfera sobre la seal que reciben. Los constituyentes atmosfricos causan alteraciones en la radiacin electromagntica, degradando la calidad de las imgenes finales. Tambin las nubes interactan con la radiacin ya que las nubes grandes producen alta reflectancia en el visible y en el IR prximo, una baja temperatura estimada en el IR trmico, aparte de generar zonas invisibles o grandes sombras. Los componentes de la atmsfera no se comportan de manera uniforme para todas las longitudes de onda del espectro electromagntico, de tal manera que en determinadas regiones se produce una absorcin total de la energa y no existe transmisin. Las regiones utilizables en teledeteccin son aquellas que no experimentan esa absorcin, es decir, en las que la transmisividad de la atmsfera es casi total. Estas porciones son las llamadas ventanas espectrales o ventanas de transmisin atmosfrica. La figura 1 indica el porcentaje de transmisividad en cada una de las porciones del espectro:

Figura 1: Ventanas de transmisin atmosfrica.

Los sistemas de teledeteccin estn diseados para trabajar con una o varias de estas ventanas, que como se ve en la figura anterior, se encuentran en todo el visible, en porciones del infrarrojo y en la regin de las microondas. Cuando la radiacin electromagntica viaja a travs de la atmsfera, puede ser dispersada o absorbida por las partculas que la constituyen. La dispersin consiste en la redistribucin de la energa incidente en todas las direcciones, mientras que la absorcin es la conversin de la radiacin en energa interna de las molculas.

Dispersin atmosfrica: Es importante en las regiones del visible e infrarrojo cercano. Este proceso causa la degradacin de la seal que el sensor capta, ya que ste recibe energa que no procede del suelo, sino de la dispersin, lo que produce en la imagen un aspecto brumoso. Este efecto es particularmente importante en la regin del azul por la fuerte dispersin de Rayleigh sobre esas longitudes de onda. La dispersin de Rayleigh es la dispersin de la luz o cualquier otra radiacin electromagntica por partculas mucho menores que la longitud de onda de los fotones dispersados. Ocurre cuando la luz viaja por slidos y lquidos transparentes, pero se ve con mayor frecuencia en los gases. El resultante de esta dispersin es que el observador recibe una cantidad de luz en cierto ngulo con la luz solar, lo que hace ver cielo azul durante el da y amarillo-rojizo en los atardeceres y amaneceres. Adems de ello se puede recibir en el sensor energa de un objeto que est fuera del campo de visin del sensor, pero que por la dispersin es dirigida dentro de ese campo. La dispersin tambin produce un emborronamiento, una prdida de contraste y una degradacin de los contornos de los elementos de la imagen debido a la energa dispersada, con lo que se produce una merma en la resolucin espacial del sensor. Se puede apreciar este efecto en la figura 2, donde la imagen de la izquierda es la original y la derecha est afectada de dispersin atmosfrica.

Dispersin Absorcin

Figura 2: Imagen IRS original y afectada de dispersin atmosfrica.

La luz que proviene del Sol es luz blanca, la cual es una suma de todos los colores. Cuando a sta se le extrae el color azul del cielo, se obtiene una luz de color amarillo-rojiza (efecto prisma). Razn del color amarillo del Sol a nuestros ojos. Si la luz interacta con una partcula grande (por ejemplo, partculas de agua), no se genera la dispersin de Rayleigh ya que el tamao de estas partculas no lo permiten, sin embargo, estas partculas absorben una parte de la luz y reflejan otra. El color de la luz reflejada depende directamente de los compuestos qumicos de la partcula reflejante, este efecto es conocido como la dispersin de Mie.

Los aerosoles generan dispersin en funcin de sus tamaos, formas y componentes. Si el tamao de la partcula es similar o mayor al de la longitud de onda, se genera la llamada dispersin de Mie. En general, esta dispersin genera energa dispersada en un pequeo ngulo con respecto a la direccin de avance terica, y se manifiesta como un deterioro general de las imgenes multiespectrales en el dominio visible.

Absorcin atmosfrica: Afecta a las longitudes de onda ms cortas o largas que las de la luz

visible. Son varias las zonas de absorcin en el espectro. En el ultravioleta, la absorcin la realizan el oxgeno y el hidrgeno moleculares, en su proceso de disociacin y en la formacin de la molcula de ozono (O3). En el espectro visible, hay una absorcin pequea de radiacin electromagntica. La absorcin en el infrarrojo es debida, principalmente, al vapor de agua y el dixido de carbono (CO2), que presentan varias bandas de absorcin desde el IR cercano al IR lejano (desde 0.7 m hasta 15 m). En la regin de las microondas (desde 1mm hasta 1m de ), la atmsfera es prcticamente transparente a la radiacin.

Correcciones atmosfricas.

Una correccin exacta y precisa de los efectos atmosfricos es casi imposible, lo ms que se puede hacer es reducir el efecto atmosfrico, aunque nunca lo eliminaremos completamente. El objetivo del anlisis indica la exigencia de las correcciones radiomtricas. Por ejemplo, si se pretende realizar anlisis multitemporales, las correcciones de los niveles digitales son necesarias, ya que, el efecto producido por la atmsfera ser diferente para cada fecha. Para llegar a corregir o al menos mitigar, el efecto que sobre las imgenes produce la atmsfera, se realizan unas operaciones divididas en tres grupos:

a) Establecimiento de modelos de comportamiento fsico de la radiacin a su paso por la atmsfera. Implican un conocimiento exhaustivo de la atmsfera. Su aplicacin produce imgenes

corregidas de forma rigurosa, pero supone poseer datos referentes a la situacin de la atmsfera en el momento de la toma y a lo largo de toda la trayectoria de la radiacin, ya que las condiciones atmosfricas varan para cada instante y para cada altura. La aplicacin de estos modelos, supone contar con datos que no son fciles de obtener (% partculas en suspensin, humedad) y que encarecen mucho esta parte del proceso, por eso no es un mtodo que sea muy utilizado.

En la figura 3 se ve una combinacin en falso color infrarrojo de una imagen del Amazonas, con un claro efecto de nubes y aerosoles y cmo resultara la imagen al aplicarle un algoritmo de correccin mediante un modelo de comportamiento fsico de la atmsfera.

Figura 3: Imagen con efectos atmosfricos (izda.) y corregida de esos efectos (dcha.).

b) Apoyarse en los datos de la propia imagen, obteniendo a partir de los valores de distintas

bandas una estimacin del efecto atmosfrico. Entre los mtodos propuestos para la correccin a partir de los datos de la imagen destaca por su sencillez el ideado por Chavez, que se denomina correccin del histograma por sus valores mnimos. Se asume que las reas cubiertas con materiales de fuerte absortividad (agua, zonas en sombra) deberan presentar una radiancia espectral muy prxima a cero. En la prctica, el histograma de los ND de la imagen siempre presenta un mnimo superior a ese valor, que se atribuye al efecto de la dispersin atmosfrica. As mismo se observa que ese valor es mayor en las bandas de longitudes de onda ms cortas, disminuyendo hacia el infrarrojo cercano y medio. La dispersin Rayleigh, la ms comn, afecta principalmente a las longitudes de onda ms cortas, lo que confirma que ese valor mnimo puede corresponder ms al efecto de la atmsfera que a la radiancia espectral proveniente de la superficie terrestre. En resumen, una sencilla aproximacin a la correccin atmosfrica consiste en restar a los ND de cada banda el valor mnimo de esa banda, situando el origen del histograma en cero:

NDi,j,k = NDi,j,k NDmin,k Ejemplo: Se ha aplicado sobre una imagen multiespectral del sensor ETM+ de Landsat el mtodo de Chvez para la eliminacin de la dispersin mediante la resta a cada pxel y para cada banda el

valor mnimo de cada una de ellas. La tabla siguiente muestra los niveles digitales mnimo y mximo antes y despus de corregir.

.

Antes de corregir Despus de corregir

Banda Mnimo Mximo Mnimo Mximo

Banda 1 44 108 0 64 Banda 2 25 96 0 71

Banda 3 16 130 0 114

Banda 4 17 124 0 107

Banda 5 10 164 0 154 Como se aprecia en la figura 4, los histogramas de las cinco bandas en ambas imgenes son similares, solo que se aprecia un desplazamiento hacia el origen de dicho histograma al restar a cada pxel en cada banda el valor mnimo de ella.

Figura 4.Histogramas de las bandas originales (izquierda) y corregidas atmosfricamente (derecha). Negro: banda 1. Rojo: banda 2. Verde: banda 3. Azul: banda 4. Magenta: banda 5.

La aplicacin de la correccin mencionada sobre la imagen inicial (izda.) en composicin de color verdadero generara una imagen mejorada (dcha.) tal y como muestra la figura siguiente.

Figura 5. Correccin atmosfrica. Imagen inicial (izda.) y modificada (dcha.).

c) El tercer grupo de mtodos de correccin atmosfrica tienen por objeto homogeneizar los ND entre imgenes multitemporales de la misma zona. No corrigen el efecto atmosfrico estrictamente, sino que tratan de evitar las distorsiones que produce la atmsfera al comparar dos imgenes de la misma zona tomadas en instantes distintos. Estos mtodos se basan en situar una serie de pxeles de radiancia constante entre fechas, preferiblemente que recojan reas de baja reflectividad (sombras, aguas claras y profundas) y alta reflectividad (suelos descubiertos, aparcamientos, pistas de aterrizaje). A partir de los ND de esos pxeles de zonas invariantes pueden estimarse unos coeficientes de sesgo y ganancia, para cada banda, que permitan corresponder los ND entre fechas distintas:

NDcorr,k = sk NDck+gk

esto es, el ND corregido en la banda k se estimara a partir de unos coeficientes de sesgo y ganancia para esa banda, que se obtienen a partir de:

sk=(NDcl,r,k - NDos,r,k) / (NDcl,c,k - NDos,c,k) y

gk=NDos,r,k - NDos,c,k (NDcl,r,k NDos,r,k) / (NDcl,c,k - NDos,c,k)

donde NDcl,r,k y NDos,r,k indican el ND medio de los pxeles ms claros y ms oscuros, respectivamente, de la imagen de referencia, y NDcl,c,k y NDos,c,k lo mismo en la imagen a corregir. Este mtodo se comprob muy slido para homogeneizar el efecto atmosfrico entre imgenes para un estudio multitemporal. Caso de que la imagen de referencia se hubiese corregido atmosfricamente, el mtodo tambin sirve para eliminar el aporte atmosfrico en las imgenes de otras fechas, obteniendo coeficientes de correlacin muy adecuados con correcciones atmosfricas de precisin. Otros autores proponen, en ausencia de superficies invariantes entre fechas, utilizar aquellas zonas que cuenten con NDVI ms bajos y ms altos.

d) Conocimiento de la reflectancia de un objeto para su comparacin con los datos recogidos en las imgenes multiespectrales.

Se basa en el conocimiento de cmo se comporta un objeto, ante la reflectancia que recibe y su comparacin con el valor obtenido para ste en la imagen. El conocimiento de su comportamiento se basa en las tomas realizadas in situ, bien con radimetros de campo, o con sensores aerotransportados, situacin que en la prctica no se da con frecuencia.

e) Establecimiento de relaciones entre los valores de reflectancia de las diferentes bandas

espectrales. Regresin entre bandas.

En este caso tambin se delimitan zonas de agua profunda o zonas cubiertas con nubes, y se obtienen sus valores digitales para cada banda. Se comparan cada uno de estos valores con la banda que se supone menos afectada por la accin de la atmsfera. Si no existiera dispersin atmosfrica la recta de regresin pasara por el origen. Como en realidad no sucede as, el punto por donde corte la recta de regresin al eje, corresponder con el valor de correccin asociado para esa banda. El mtodo implica tambin una aproximacin, ya que como el mtodo de Chvez, supone una relacin lineal entre los valores obtenidos y los valores reales y la transformacin de la intensidad debida a la dispersin atmosfrica no tiene por qu ser lineal.

3.2.- Correcciones de los desajustes en el funcionamiento del sensor.

Existen diversos errores que pueden manifestarse en las imgenes y que son debidos a desajustes en el funcionamiento del sensor. Los tres que se deben tener en consideracin son:

a) Calibracin radiomtrica del sensor. Este trmino hace referencia a la relacin existente entre la radiancia detectada por el sensor y la seal de salida del mismo. Para que los datos aportados por un sensor sean correctos, dicho sensor debe estar correctamente calibrado radiomtricamente. Generalmente se calibran antes de ser lanzados, y se pueden calibrar sus datos con posterioridad mediante el empleo de medidas desde el propio satlite o desde radimetros de campo. stos permiten simular desde cerca de un objeto las condiciones espectrales reales de adquisicin que realiza el sensor en el satlite. De estas medidas adicionales se pueden generar funciones matemticas de calibracin radiomtrica. b) Lneas o pixeles perdidos. Line dropout. Un mal funcionamiento del sensor o de la antena receptora de la imagen puede llevar a que sta aparezca con algunas lneas o pxeles perdidos. En una visualizacin, la imagen presentara una serie de lneas anmalas (negras o blancas), o incluso una serie de pxeles aislados de aspecto muy contrastado con los vecinos (efecto conocido como de sal y pimienta). En ambos casos se trata de informacin irremediablemente perdida. No puede restaurarse lo que nunca se obtuvo, por tanto, los procesos de correccin se dirigen a mejorar artificialmente el aspecto visual de la imagen, facilitando su posterior interpretacin.

Figura 6. Imagen con lnea con pxeles perdidos

La forma ms lgica de estimar los ND de estos pxeles errneos se basa en los ND de los pxeles vecinos. Este criterio de vecindad puede introducirse de distintas formas. La ms sencilla es sustituir el ND de cada lnea o pxel por el de los precedentes:

NDi,j = NDi-1,j

donde NDi,j corresponde al ND del pxel de la lnea i (la defectuosa) y columna j, y NDi-1,j indica el ND del pxel situado en la lnea precedente. Un segundo mtodo de sustitucin promedia los valores de las lneas anterior y posterior a la defectuosa. Esto es:

NDi,j = entero [(NDi-1,j + NDi+1,j) / 2]

Un tercer mtodo de recuperar la informacin perdida utiliza una banda auxiliar altamente correlacionada con la que presenta problemas. A partir de esta banda auxiliar, se estima el valor de los pxeles defectuosos de la forma siguiente:

NDi,j,corr = entero((sc / sa )(NDi,j,a (NDi+1,j,a + NDi-1,j,a) / 2) + (NDi+1,j,c + NDi-1,j,c) / 2)

donde sc y sa son las desviaciones tpicas de la banda a restaurar y la banda auxiliar, respectivamente. c) Correccin del bandeado de la imagen o stripping

En algunas imgenes obtenidas por equipos de barrido secuencial, como el Landsat MSS, se observa un bandeado de la imagen, especialmente perceptible en las zonas de baja radiancia como son las lminas de agua. Este bandeado se debe a un mal calibrado entre los detectores que forman el sensor; es decir, a que alguno de ellos codifique la radiancia que recibe en ND superiores o inferiores al resto, apareciendo en la imagen unas lneas ms oscuras o claras que el resto. Este efecto es peridico ya que cada detector registra 1 de cada p lneas, siendo p el nmero de detectores por banda. En el caso del sensor MSS, se registran simultneamente 6 lneas y en el caso del TM son 16 lneas.

Figura 7. Imagen con defectos en uno de los detectores

Para ajustar digitalmente la seal detectada por cada uno de los detectores, se asume que todos ellos, caso de estar bien calibrados, tenderan a presentar similares histogramas. Basta por tanto, recomponer el histograma de de cada detector, calculando independientemente la frecuencia de los p grupos de lneas.

Figura 8. Ajuste del histograma de las lneas defectuosas

Por ejemplo, en el caso de trabajar sobre una imagen MSS, con 6 detectores por banda, se calculara por un lado el histograma de las lneas 1, 7, 13, 19, 25,, esto es, las recogidas por el

primer detector; por otro lado el correspondiente a las lneas 2, 8, 14, 20, 26 (segundo detector), y as sucesivamente hasta completar los seis detectores. El paso siguiente intenta ajustar estos histogramas a otro que se elija como referencia, que habitualmente es el histograma de toda la imagen. La forma ms sencilla de realizar el ajuste se basa en aplicar unos coeficientes lineales a los histogramas de cada detector, con objeto de igualar sus medias y desviaciones tpicas con las del histograma de referencia. Este proceso parte de calcular la media y desviacin tpica de cada histograma parcial y del histograma de referencia. A partir de estos parmetros se obtienen los parmetros de sesgo y ganancia de la forma siguiente:

bi = sr / si ai=r - bii

donde sr y si son las desviaciones tpicas del histograma de referencia y del detector i, r y i son sus valores medios y ai y bi son los coeficientes de ajuste. A partir de estos coeficientes puede calcularse el valor corregido aplicando la funcin:

NDi,j = ai + biNDi,j En la figura 9 se aprecia el efecto antes de la correccin (izquierda) y cmo queda la imagen tras eliminar el error (derecha).

Figura 9. Correccin del bandeado de la imagen

3.3.- Correccin del efecto topogrfico El efecto topogrfico se define como la variacin en los valores de radiancia de superficies inclinadas comparados con la radiancia de superficies horizontales. Siendo una funcin de la orientacin relativa de las superficies respecto a la fuente de luz y a la posicin del sensor. (Holben y Justice 1981). En las imgenes Landsat de terreno montaoso, este efecto se manifiesta por la impresin visual de relieve. En la cartografa tradicional se ha utilizado habitualmente el sombreado para reforzar la impresin del relieve. En nuestro caso, se pretende realizar la operacin contraria, es decir, eliminar el sombreado, de modo que los valores de radiancia o nivel digital (ND) presentes en la imagen corregida no dependan de la posicin de la superficie frente al sol y el sensor, sino simplemente de la cubierta presente en esa superficie. Esto es especialmente necesario cuando

se pretende realizar una clasificacin de la imagen para la obtencin de cartografa de usos del suelo. Ya que las distintas clases se caracterizan por su diferente nivel digital. Por lo tanto, previamente a la clasificacin, ha de realizarse una correccin topogrfica que disminuya apropiadamente el ND de las zonas ms iluminadas, por tener una disposicin ms favorable a la iluminacin solar, y lo aumente en las zonas de menor iluminacin. Mtodos para reducir el efecto topogrfico Se utilizan dos mtodos para reducir el efecto topogrfico. Un modelo de reflectancia lambertiano y un modelo de reflectancia no-lambertiano. a) Modelo de reflectancia lambertiano Este modelo se basa en asumir que las superficies captadas en la imagen son lambertianas. Una superficie lambertiana es aquella que refleja el flujo luminoso incidente, uniformemente en todas las direcciones. Por lo tanto la radiancia es constante en cualquier ngulo de reflexin.

ngulo de Incidencia

ngulo de Reflexin

REFLECTOR ESPECULAR REFLECTOR LAMBERTIANO

Superficies especulares y lambertianas

La radiancia de la superficie puede obtenerse a partir del coseno del ngulo de incidencia, siendo ste el ngulo entre la normal a la superficie y el vector solar (fig.11).

)(cos iLnL = (1)

donde: L = radiancia Ln = radiancia normalizada i = ngulo de incidencia El modelo lambertiano supone que la luz reflejada es directamente proporcional al flujo incidente.

Relacin entre el ngulo de incidencia y la superficie detectada

Sin embargo, segn los estudios de varios autores existen muy pocas superficies que se comporten segn el modelo lambertiano y slo con unos determinados ngulos de incidencia. Adems de ello el modelo lambertiano produce una correccin de los datos por exceso.

b) Modelo de reflectancia no lambertiano En este modelo, la radiancia que recibe el sensor depende no slo de la orientacin de la superficie frente al sol (ngulo i), sino tambin de la posicin de sta frente al sensor (ngulo e, llamado de excitancia, formado por la normal a la superficie y el vector dirigido hacia el sensor), de la longitud de onda () de la radiacin, adems de un coeficiente K, cuyo valor est comprendido entre cero y la unidad.

1)()( )(cos)(cos)(),( = KK eiLneL (2) donde L = radiancia i = ngulo de incidencia e = ngulo de excitancia Ln = radiancia cuando i = e = 0 K = constante de Minnaert. El valor de la constante K de Minnaert da una medida de la desviacin del comportamiento de una superficie respecto a una superficie lambertiana y est relacionado con la rugosidad de la superficie. Una superficie es lambertiana en el caso particular en el que K=1, y se comprueba que la ecuacin (2) se convierte en la ecuacin (1) cuando K es igual a 1. Valores bajos de K corresponden a superficies rugosas que se comportan como reflectores difusos asimtricos. Cuando la constante k tiene valores distintos de 1, implica que las superficies tienen un comportamiento combinado de reflexin especular y difusa. Linealizando la ecuacin (2), se obtiene:

KK eiLneL )(cos)(coscos = )coslog(cos)log()coslog( eiKLneL +=

asignando: y = log(L cose) x = log(cosi cose) b = log (Ln) obtenemos la forma lineal: y = Kx + b

Por lo tanto, el valor de la constante K se obtiene de los datos y es equivalente a la pendiente de la recta de regresin resultante de trazar en unos ejes cartesianos el valor log(L cose) en el eje de ordenadas y log(cosi cose) en el eje de abscisas. En caso de haber realizado la correccin atmosfrica, se puede admitir que el valor de radiancia (L) recibido por el sensor desde una superficie es slo debida a la reflexin que sta produce de la radiacin solar. Por lo tanto, se pueden utilizar los valores de Nivel Digital (ND) de la imagen en lugar de los valores de radiancia observados (L).

Desarrollo geomtrico a) Obtencin de las coordenadas del vector normal a la superficie

La direccin del vector normal a la superficie ( N ) puede calcularse como el producto vectorial de dos vectores contenidos en el plano tangente a la superficie en ese punto. Estos dos vectores son (1,0,p) y (0,1,q), donde p y q son respectivamente las pendientes en direccin Oeste-Este y Sur-Norte. Un Modelo Digital de elevaciones puede expresarse como una funcin z = f(x,y) donde z es la variable considerada (altitud) del punto de coordenadas (x,y). Los valores de p y q se obtienen a partir del MDE con las siguientes expresiones:

[ ][ ] yyxfyxfyyxfyxq

xyxfyxfxyxfyxp

+==+==

2/)1,()1,(/),(),(

2/),1(),1(/),(),(

donde x e y representan la distancia entre los datos del MDE. El vector normal a la superficie queda, tras realizar el producto vectorial, con las coordenadas:(-p,-q,1) El clculo de las pendientes se puede hacer de forma sencilla por medio de filtros de 3x3:

Filtro para el clculo de p

Filtro para el clculo de q

0 0 0 0 1/(2y) 0

-1/(2x) 0 1/(2x) 0 0 0

0 0 0 0 -1/(2y) 0

Aplicando cada uno de los dos filtros, se obtienen dos imgenes. Una de los valores de las pendientes en la direccin del eje X y otra en la direccin del eje Y.

b) Obtencin de las coordenadas del vector solar

Las coordenadas del vector solar ( S ) se obtienen a partir de los datos de elevacin sobre el horizonte y acimut solar en el momento de la adquisicin de la imagen (fig.12). Siendo las coordenadas del vector solar (ps,qs,1), los valores de ps y qs se calculan a partir de las coordenadas esfricas: ps = sen s / tan Es qs = cos s / tan Es

Norte

Znit

Normal

N

S

O

S N

S N

i

g

e

Figura 12. Esquema de ngulos y vectores

c) Coordenadas del vector del sensor

En el caso de los sensores nadirales las coordenadas del vector del sensor (O ) son (0,0,1)

d) Obtencin de los ngulos Una vez conocidas las coordenadas de los tres vectores entre los cuales queremos calcular los ngulos, estos ngulos se obtienen a partir del producto escalar de cada par de vectores:

- ngulo i formado por el vector solar ( S ) y la normal a la superficie ( N ):

2222 11

1coscos

ss

sszzyyxx

qpqp

qqpp

SN

SNSNSNiiSNSN

++++

+=

++== (3)

Utilizando la formulacin expuesta, el clculo del coseno del ngulo de incidencia se limita a calcular las componentes x e y del vector normal a la superficie (pendientes en las direcciones de los ejes de coordenadas), en cada punto del MDE, y posteriormente se aplica la frmula correspondiente, ya que las componentes del vector solar se consideran constantes para toda la imagen. Aplicando (3) se obtiene una imagen de cos i. Los valores negativos de cos i indican ngulos mayores de 90 entre el vector solar y la normal a la superficie, es decir, superficies que no estn iluminadas por el sol (en sombra).

- ngulo e formado por el vector del sensor (O ) y la normal a la superficie (N ):

221

1coscos

qpNO

NONONOeeNONO

zzyyxx

++=

++==

- ngulo g formado por el vector del sensor (O ) y el vector solar ( S ):

221

1coscos

ss

zzyyxx

qpSO

SOSOSOggSOSO

++=

++==

Aplicacin de la metodologa expuesta Independientemente del modelo de reflectancia supuesto, Lambertiano (K=1) o de Minnaert (0K1), la correccin de la radiancia de una superficie inclinada (LI) a la radiancia de la correspondiente superficie horizontal proyectada (LH) puede expresarse:

1)(cos)(cos

)(cos

==KK

I

K

H

I

H

ei

i

L

L

(4)

que con la notacin utilizada en (3) puede expresarse:

( )( )1

222222

22

1

1

11

1

1

1

++

++++

++=

KK

ss

ss

K

ss

qpqpqp

qqpp

qp

ya que para una superficie horizontal p=q=0 y cos e = 1. El valor de en cada pxel, puede ser menor que 1, que correspondera a superficies orientadas preferentemente hacia el sol (iI < iH), igual a 1, que correspondera a superficies horizontales (iI = iH), o mayor que 1, que pertenecera a superficies con una orientacin opuesta a la direccin del vector solar (iI > iH). Una vez calculada la imagen con valores de para todos los pxeles de la imagen, la correccin topogrfica de la radiancia observada por el sensor en cada una de las bandas de la imagen a corregir, se obtiene multiplicando el nivel digital en cada pxel de la imagen por su valor de correspondiente:

NDcorregido = NDobservado De esta forma, el Nivel Digital corregido para cada pxel, en cada banda de la imagen, se consigue disminuyendo el Nivel Digital observado en las superficies ms iluminadas, o aumentndolo en las zonas menos iluminadas, proporcionalmente al efecto topogrfico estimado a partir del MDE. Con ello, se pretende que los diferentes valores de ND en la imagen resultante, no se deban a la topografa, sino al hecho de tratarse de cubiertas distintas. Esta metodologa se aplica para todos aquellos pxeles que estn iluminados por el sol, es decir, aquellos pxeles en los que el coseno del ngulo de incidencia no es negativo. Los valores negativos del coseno del ngulo de incidencia corresponden a valores del ngulo de incidencia mayores a 90 y por lo tanto a superficies con orientaciones opuestas al sol.

Figura 13. Correccin del efecto topogrfico. Imagen original (izquierda) y corregida (derecha)