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ISSN 0323-9129 . DICIEMBRE,19S2

'., .. FORMULACION E' IMPLEMENTACION DE MODELOS DE PRO'GRAMACION LINEAL . BAJO CONDICIONES DE RIESGO .

·lNTA •. ~~~ '. ESTACION EXPERIMENTAL AGROPECUAR.IA AAFAELA

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.. FORMULACION E IMPLEMENTACION DE MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL BAJO CONDICIONES

DE RIESGO

Autor (*)

Ing. Agr.Alejandro Galetto

(*) Técrlico de la Estación Experimental Agropecuaria Rafaela del INTA.

INFORME TECNICO No. 50

INTA República Argentina

l'n.stituto Nacional de Tecnologia Agropecuaria EstációnExperimental Agropecuaria Rafaela

Diciembre 1992

. , RESUMEN

Se desarrollan los fundamentos te6ricos y se presenta un ejemplo de aplicaci6n de tres modelos de· programaci6n lineal bajo condiciones riesgosas. Ellos son el modelo MOTAD (Minimization of Total Absolute Deviations), el modelo Target-MOTAD yun modelo con restricciones probabillsticas.

El ejemplo representa la situaci6n de un establecimiento agropecuario de la zona central de Santa Fe, e incluye como actividades potenciales al trigo, soja, sorgo, girasol y la secuencia trigo/soja de segunda, y al tambo y la invernada. La matriz bésica de programaci6n incorpora solamente restricciones de tierra y trabajo.

Los resultados muestran que las soluciones de méximo riesgo incluyen s6lo trigo/soja de segunda y soja, mientras que a medida que se sacrifica ingreso medio para disminuir el riesgo aparecen paulatinamente otras actividades agr1colas y las dos actividades ganageras. Se concluye que el riesgo es .un elemento importante para explicar la integraci6n de ~a~ empres~s mixtas de la regi6n.

SUl1MARY

The theoretical basis and a practical application .of three risk programming models are presented.These are MOTAD (Minimization ofTotal Absolute Deviations), Target-MOTADand a Safety-First type of model.

The practical application resembles the situation of a representati ve farm from the e'entral region of the· Santa Fe province, whose potentialact~vl tie!j include wheat, soybean, grain sorghum, sunflower, the annual sequence wheat/soybean, dairy and steers. The programming tableaux has only two limiting resources, land and labor.

The resul ts show that maximun r isk solutions include only soybean and the sequence of wheat/soybean, while as rlsk -andexpected income- decreases other erops and livestock actlvitles appear in the solutlon. It ls concluded that risk ls an lmportant factor behind the choice of activities in mixed crop-livestock farms in the region. .

5

INTRODuccioN

L~ f~nc16n ~dmini.tra~iva de la empresa comprende tres tareas que son (1) la toma de decisiones, (2) la implementaci6n del plan y' (3) la supervis i6n o control de los resultados obtenidos (Hanf y Schiefer, 1983). De estas tres etapas, es en la toma de

. decisi-ones o. planeamiento donde se ha visto que los administradores -y asesores técnicos- han recurr ido con mayor frecuencia al auxilio de modelos formales, que en general

. pertenecen a dos giandes grupos: (i) modelos de presupuestaci6n y (ii) modelos de programaci6n matem~tic~ y de simulaci6n.

La utilizaci6n de las técnicas de programaci6n matem~tica y d~ simulaci6n ha sido bastante limitado pues requieren de la utilización de computadoras, la~ que s6lo en los Oltimos afios se han difundido masivamente. Es esta situación, precisamente, la que permite, adoptar una nueva perspectiva en relaci6n al potencia'l de adopci6n de este tipo de modelos como herramienta para el planeamiento empresario y que justifica la realizaci6n de trabajos orientados a la difusi6n de los mismos.

En el caso particular de la programaci6nmatem~tica, el modelo que aparece como el m~s promisorio: es el de la programaci6n lineal~ No sólo porque es el m~s conocido (Dent y otros, 1986) sino porque.adem~sen los Oltimos afios se han producido una serie de ~vances metodo16gicos que permiten superar las rigideces del modeló en su versión original (Dorfman y otros, 1958). Pueden cita,rse, por ejemplo, el tratamiento de' funciones no lineales mediante programación lineal separable, los modelos dinámicos multiperi6dicos y, especialmente, la incorporación de distintos

" parad igmas de. comportamiento frente' al riesgo' en la . toma de decisiones.

Enrelaci~n a ~steOlti~o pun~o, es indudable que el modelo de programaci6n lineal bajo riesgo que más se hp difundido es el conocido como MOTAD (Hazel1 i 1971), tanto en ,1 extranjero como ~n n~estro pa1s., (C~lcaterra, 1991; Collia, 19'90). Sin embargo, ~us' fundamentoi t~6ricos son débiles. Como es el céso ;con tridos los~ modelos del' tipo "portfolio", es necesari'p' suponer que la distiibuci6n ~~ los retornos es aproximadamente~ormal o bien que , .. "

' .. "

, La incorporación del riesgo en el modelo d~ program~pi6n . .matemática puede hacerse de tres maneras distintas (Wagner, 1~7S), ~egOn la fuente de variabilidad ~sté en la función obj~tivo,e~ los cgeficientes insumo-producto o en el vector de recursos. Dentro ~e la programaci6nlin'eal en particular, los modelos mAs conocidps

. son los del pr lme,r, tipo, aunque hay algunos que perml ten incorporar ~l "r lesgo exist~nt;e en los coef lcientes insumo-producto (Wicks y . Wise,. 1978)' o el1'e1 vector de recursos (Cocks, ,1968; Rae, 1971).'

.6.

.....

..

el decisor tiene una función de utilidad del tipo cuadrático, cori las limitaciones que ello supone 2. Pero más importante aún, el modelo es criticado por aquellos que cuestionan que las desviaciones p6sitivas en el ingreso (es decir, que el ingreso actual sea mayor que el ingreso esperado) pueda ser consideradas como una fuente de riesgo (Watts y otros, 1984).

En este trabajo se parte del supuestu que la difusión de las computadoras personales traerá aparejado un renovado interés en la utilización de los modelos de programación como herramientas de planeamiento de empresas agropecuar ias. A partir de dicho supuesto, los objetivos de este trabajo son:

a) presentar dos modelos de decisión alternativos al MOTAD, que pueden ser implementados med iante el algar i tmo de programación lineal, y que en general se caracterizan por medir al riesgo como las desviaciones negativas con referencia a un punto fijo en la distributión de los retornos. Estos modelos son el denominado "Target-MOTAD" (Tauer, 1983; Watts y otros, 1984) y un modelo con restricciones de tipo probabi11stico o .lexicográfico, basado en uno de los criterios de decisión conocidos como "Safety-First" (seguridad ante todO) (Atwood y otros, 1988).

bY explicar con cierto grado de detalle los pasos que conducen a la construcción de las matrices de programación en los modelos de riesgo de corto plazo, en particular la generación de la información básica sobre variabilidad de los retornos (márgenes brutos) .

cl contrastar las soluciones que se obtienen con cada uno de los modelos presentados.

El primer paso para alcanzar los objetivos propuestos consiste en una presentación teórica del los tres modelos~ MOTAD, Target­MOTAD, y lexicográfico. Como el éntasis de la publicación es en la formulación e implementación de los modelos, la discusión de los aspectos teór icos es necesar i amente r estr ing ida. Aque 11 os lectores interesados en profundizar en este aspecto deben hacerlo a través de la bibliografia indicada al final del trabajo. Luego de explicar los procedimientos que conducen a la obtención de la i nformac i ón h istór ica que permi te constr uir estos mode 1 os de

2 El supuesto de una función de utilidad cuadrática es par t icularmente fuerte, pues i mpli ca, en tr e otr as cosas, que el grado de aversión al riesgo -medido por el coeficiente de Arrow­Pratt- crece al aumentar la riqueza del decisor (Barry y Robison, 1987).

7

riesgo, se presentan las matr ices de programación correspondientes a cada uno de los mismos, para una situación de planeamiento de corto plazo en la zona central de la provincia de Santa Fe. En la última sección se discuten las soluciones obtenidas as! cpmo el potencial de aplicación de estos modelos.

MATERIALES Y METODOS

1. Aspectos teóricos de los modelos

1.1. El modelo MOTAD

El modelo MOTAD fue introducido por Hazell (1971) como una alternativa para la obtención de planes eficientes según el criterio de media-variancia (E,V) originado en Markowitz (1952). Este criterio, que ha sido derivado del modelo de utilidad esperada, permite seleccionar planes "eficientes" a partir de la media y la variancia de la distribución de sus retornos. El criterio de eficiencia (E,V) indica que dos planes son eficientes en la medida que uno tenga mayor margen bruto esperado y menor variancia (Anderson y otros, 1977).

En el contexto del Planea~iento de la empresa agropecuaria, el criterio de media variancia ha sido implementado mediante un algoritmo de programación cuadrática, que identifica planes eficientes mediante la minimización de la variancia para cada nivel de ingreso esperado. Precisamente, la propuesta de Hazell se originó en las dificultades que presentaba el algoritmo de programación cuadrática y su objetivo consistió en proponer una aproximación que permitiese su implementación mediante un algoritmo de programación lineal.

I

.. Bajo el supuesto que la distribución ~e los retornos (márgenes ,br1itos) de las aCtividades es completamente espe~ificada por los. d~tos de lamuestra,elprimer paso en la presentación del modelo MOTA~·consist~endefinir a la desviación absoluta (A) como

s n A = (11 s ) El. E (c hj ~g j) • x j I

h=l J=1

3 Se 1,0 suele denomLnar modelo sustitutivo de media-variancia, en el sentido qu~ su. utilización "sustituye" la aplicación directa del. modelo·' de. utilidad esperada. .

8

, . . .

donde Xj es el nivel de la j-ésima actividad, n es el número de actividades, s es el número de observaciones de una muestra aleatoria de márgenes brutos Chj' y gj es el promedio de la muestra (l/s) EC~ de los márgenes brutos de la j-ésima actividad.

A es un estimador insesgado de la desviación abs6luta media (DAM) de la población. El estimador A is utilizado para desarrollar planes "eficientes" (E,A), es decir, aquellos que tienen la minima desviación absoluta media (esperada) para un nivel de ingreso dad0 4• El criterio E,A fue introducido por Hazell en el modelo de programación lineal de la manera siguiente (siguiende la presentación orig'·,::l):

Minimizar s.A = E (Yh- + Yht )

sujeto a E (chj - gj),Xj - Yh- + .. Ax ~ b

E g·.x· = t Xj J~ b

t Yh = O

donde gj es el margen bruto esperado de la jésima actividad y los y's son desviaciones del ingreso esperado de cada actividad. El modelo se resuelve minimizando las desviaciones totales para cada nivel de ingreso esperado (t), que se comporta como una variable paramétrica.

Para simplificar la construcción de la matriz de programación lineal, puede notarse que cuando los gj pertenecen a una muestra de márgenes brutos, la suma de las desviaciones positivas es necesariamente igual a la suma de las desviaciones negativas, por lo que una formulación alternativa y más simple seria la siguiente:

Minimizar sujeto a

E Yh-E (c hj - g j) • x j + y b ~ O

y las otras restr icciones permáneR~er. inal teradas. En este caso el valor numérico de la función obl:ú?fivo será (1/2)sA en lugar de sAo

otras formulaciones del problema son posibles. En una de ellas las desviaciones son ponderadas de acuerdo a la probabiiidad de ocurrencia de cada estado u observación Y entonces el valor de la función objetivo es A. También es posible una presentación del

4 En este caso el estadistico A (desviación media absoluta) reemplazaria a la variancia como indicador de la variabilidad de los retornos.

9

modelo MOTAD donde el ingreso es maximizado sujeto un determinado nivel máximo de desviaciones (Anderson y otros, 1977), que es precisamente la que se utiliza en este trabajo para facilitar las comparaciones con los otros modelos. La formulación algebraica seria entonces (utilizando una notación vectorial levemente diferente a la anterior),

maximizar z = c'x sujeto a Ax ~ b

Yx + Id - 1.t ~ O c'x - t = O r Id ~ k

x ~ O

donde z es el ingreso esperado (margen bruto global, ya que se trata de planeamiento de corto plazo), c es un vector de márgenes brutos unitarios medios, x es un vector de niveles de actividad, A es una matriz de coeficientes insumo-producto, b es un vector de disponibilidad de recursos, y es una matriz de márgenes brutos unitarios de n actividades en s periodos, 1 es una matriz unitaria diagonal, t es el nivel con respecto al cual se miden las desviaciones (ingreso esperado, t=c'x), r es un vector de niveles de probabilidad y k es un tope máximo de desviaciones (ponderadas en este caso). La representación matricial de este modelo puede verse a continuación en el Cuadro 1.

Cuadro 1. Representación esquemática del modelo MOTAD

Restric Actividades Desviaciones t

F.obj. c1 ....... cn

Tierra Trabajo A

Año 1 1 -1 . Y . . . . .

Año 10 1 -1

TRMBT c1 ....... cn -1

Maxdesv 0.1 ...... 0.1

10

RHS

MAX

~ b

~ O . . . . ~ O

= O

~ k

.. ..

Como se desprende de la observaci6n del Cuadro 1, en este caso el vector r tiene una dimensi6n de (10xl) y cada una de sus entradas es 1/5, donde s es la cantidad de observaciones o afios (10). Esto significa además que el valor k debe ser interpretado como la mitad de la desviaci6n absoluta media (DAM = 1/2.A).

1.2. El modelo Target-MOTAD

Como se explic6 en la primera secci6n, el modelo de media­variancia requiere para su validez te6ricade dos supuestos alternativos; que la funci6n de utilidad subyacente sea cuadrática o bien que la distribuci6n de los retornos sea normal. Sin embargo, y más allá del grado de aceptaci6n que logren estos supuestos, el criterio de media-variancia conduce a asociar riesgo con variabilidad. A prop6sito de ello, el siguiente ejemplo demuestra la frag~lidad de esta asociaci6n:

Per10do Plan A Plan B

1 150 130 2 100 95 3 125 110 4 95 80 5 140 120 6 170 125

Media 130 110 Variancia 708 308

En el ejemplo que se presenta, ambos planes son "eficientes" según el criterio de media-variancia, aunque el plan A resulta claramente dominante por sobre el plan B (él retorno de A en cada uno de los años es superior al de B). Este tipo de cuestionamientos condujeron al desarrollo de criterios alternativos, donde el riesgo de una alternativa fuese evaluado 3 partir de los retornos negatiVos (downside risk) en relaci6n a un nivel de ingreso que puede ser fijo o variable (ver Mao, 1971, para una discusi6n sobre este punto).

El modelo Target-MOTAD fue introducido en la literatura a comienzos de la década de 1980 (Tauer, 1983; Watts y otros, 1984) y a pesar de su nombre tiene importantes diferencias con el modelo MOTAD, pues mientras uno asocia al riesgo con desviaciones

11

alrededor de la media (MQ~AD),el otro lo asocia con desv10s por debajo de un nivel fijo (iarget-MoTAD). Este modelo también puede acomodarse en un formatd de programación lineal, y lo que se busca es

maximizaz z = c'X sujeto a Ax' .~ b

y.x - l.t + 'I.d ~ O r Id ~ k

t = g x,d ~ O

donde el significado de cada variable es similar al del modelo MOTAD y g es un nivel de ingreso (meta) que se desea obtener con cierto grado de seguridad. El modelo Target-MOTAD selecciona una solución óptima (un vector de niveles de cada. actividad j) que maximiza el margen bruto global' sujeto a que las desviaciones ponderadas rld son inferiores a k, que generalmente una variable paramétr ica. La representac i ón ,matr ic ial esquemát ica del m0gelo Target-MOTAD puede observarse en el Cuadro 2. '

Cuadro 2. Representación esqüemática del modelo Target MOTAD

Restric. Actividades t Desviaciones

F.obj. cl . . . . . . . . cn

Tierra Trabajo A

,-Año 1 -1 1 · . . . . · . 1 · .... y · . ... · . . . . · . . . . · . . . . · . . . . Año 10 -1 1

Desvneg 0.1 . . '. . . . . . . . . . 0.1 Target 1

RHS

MAX

:$; b

~ O

· · · · · ·

. · · ~ O

:$; k = g

Es necesario aclarar. que la conexión entre este tipo de modelos con el de utilidad esperada no es tan estrecha como en caso del MOTAD, aunque Hao (1971) lo ha fundamentado a partir de una función de utilidad truncada en el nivel de ingreso meta.

12

..

Además, es posible demostrar que las soluciones al modelo Target MOTAD son eficientes en el sentido de dominancia estocástica de segundo grado, cosa que no es posible con MOTAD (TaUer, 1983).

1.3. Modelos con restricciones probabillsticas

Se adopta este nombre p~ra un. grupo de modelos que en la literatura se denominan "Safety-First" (seguridad ante todo), y que pueden ser denominados además como de tipo lexicográfico. Esto modelos se hacen operativos a través de tres versiones principales que son los criterios de Roy (1942), de Telser (1955) y de Kataoka (1963). En ;el enfoque de Te1ser, por ejemplo, el decisoractOa maximizando el ingreso medio(z = c'x), pero con la restricción de que la probabilidad de que el ingreso de cada afio sea inferior a un nivel de desastre debe ser inferior a un nivel a (por ej~mplo, 20 %). En fórmulas,

maximizar z = c'x sujeto a Pr (c1.x ~ g) ~ a

donde ci'x es el ingreso que se obtiene en cada afto (en términos algebraicos, se trata de la filas de la matriz Y multiplicada por el nivel de cada actividad,representado por el vector x).

El criterio se denomina lexicográfico pues en primer lugar se selecciona el conjunto de planes que cumplen con la restricción probabil1stica, y dentro de este subconjunto se aplica la segunda condición, que es la maximización del ingreso esperado.

Las primeras aplicaciones del principio de "safety-first" en programación lineal utilizaron la desigualdad de Chebyshev (Kennedy y Francisco, 1974). El problema con esta desigualdad, sin embargo, es que genera limites que implican soluciones muy conservadoras y quizás por esta razón el modelo dominante en la déc,ld,;t de '1970 fue el MOTAD. La aplicabilidad de los modelos lexiC'oqr<'\flcos mejoró sustancialmente con la aparición de una desigualdad proba~ilistica presentada por Atwood (1985).

La mencionada desigualdad puede ser incorporada fácilmente dentro del modelo Target MOTAD (Atwood y otros, 1988) si se asume que la distribución de los retornos es de naturaleza discreta. Estos autores demostraron que el siguiente sistema maximiza el ingreso esperado de todos aquellos planes que tienen una probab i l idad igual o menor a a (donde <l = l/L) de obtener un ingreso en cada afio que sea inferior al nivel de desastre, que aqulse simboliza como g (criterio de Telser),

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maximizar c'x sujeto a Ax ~ b Yx + Id - l.t ~ O t - L.Q(t) ~ 9 r'd - Q(t) = O

x,d ~ O

En este sistema, Q(t) = r'd es un momento parcial inferior de la distribución de los retornos y t es el nivel de referencia para calcular los desvlos, que a diferencia con el modelo Target MOTAD, es seleccionado endógenamente. La representación matricial esquemética del modelo 1exicogréfico se presenta en el Cuadro 3.

Cuadro 3. Representación esquemética del modelo con restricciones probabillsticas segOn el criterio de Telser.

MAX Actividades t TRQ

F.obj. c1 . . . . . . . cn

Tierra Trabajo A ~

Año 1 -1 1 ~

· . . . . · . 1 · · ... '. y · . 1 · · . . . . · . 1 · · .... · . 1 · Año 10 -1 1 ~

Q(t) 0.1 • ' ••• O • 1 -1 = Restric. 1 -L ~

RHS

b

O

· · · · O

O 9

La demostración de que esta formulación del modelo de programación lineal satisface el criterio lexicogréfico de Telser escapa a los objetivos de este trabajo. El lector interesado puede consultar en Atwood (1985) o en Atwood y otros (1988).

14

..

2. Construcción de la matriz básica de programación

El modelo básico de programación lineal es muy simple, pues se busca resaltar los aspectos relacionados con la int~oducci6n del riesgo en dicho modelo, que representa la operación de una empresa familiar de 150 has en la región central de la provincia de Santa Fe. Se asume que la tierra es de calidad homogénea y que hay 1760 horas de trabajo disponible. No se incluyen restricciones adicionales pues estas predeterminarian el rango de . soluciones eficientes, independientemente del riesgo. Las actividades potenciales de la empresa incluyen la producción de leche y carne y los siguientes cultivos agrlcolas: trigo, trigo/soja de segunda, soja de primera, sorgogranlfero y girasol.

Como ya se ha aclarado, en los modelos que se discuten, el riesgo entra sólo a través de la variabilidad de la funci6n objetivo, que en este caso se trata del margen bruto totali La estimación de los márgenes brutos unitarios se hace a partir de la "interpretación" de la escasa información histórica disponible. Se supone que de los componentes del margen bruto, sólo el precio y el rendimiento son aleatorios, en tanto que los gastos de implantación y protección de cultivos, as1 como otros gastos ganaderos no proporcionales se conocen con certeza.

2.1. Márgenes brutos agr1colas

Ante la falta de informac"ión histór ica zonal sobre la evolución de los márgenes brutos se procedió a recalcular la serie correspondiente. El primer paso consistió en estimar lós rendimientos, y para ello exist1an tres posibilidades en cuanto a la fuente de información:

a) Información estad1stica agregada, en este caso medias departamentales provenientes de estimaciones de la SEAGyP. Se desechó esta alternativa debido a que subestima la varianciadel rendimiento a nivel de empresa (Freund, 1956).

b) Rendimientos de lotes de productores seleccionados, producto del seguimiento efectuado por agentes de extensión, pero también se descartó pues en ningún caso se dispon1a de más de seis años.

e) Rendimientos obtenidos en la Estación Experimental de la red de ensayos comparativos de rendimiento. Esta información fue la que se utilizó finalmente, haciéndose los ajustes correspondientes según el resultado de los seguimientos de lotes.

15

Cuadro 4. Rendimientos agrlcolas (g/ha) en la región central de la provincia de Santa Fe

Trigo Sojal Soja2 Girasol Sorgo

1980/81 18.7 20.1 13.0 19.9 19.8 1981/82 25.2 24.1 19.2 28.5 62.1 1982/83 26.1 30.4 17.0 .25.8 58.0 1983/84 45.2 25 .. 8 20.1 28.2 60.0 1984/85 26.8 14.8 14.8 28.7 63.6 1985/86 29.5 30.9 27.6 27.0 58.1 1986/87 25.0 33.3 26.0 22.6 47.6 1987/88 36.9 31.1 27.9 21. 5 69.5 1988/89 14.0 13.7 11.8 18.3 44.8

·1989/90 15.8 33.9 23.6 .12.1 25.6

Promedio 26.4 25.9 20.2 23.3 50.9 C.V. (%) 33.9 27.3 28.1 22.0 30.9

Fuerite: EEA Rafaela, Red de Ensayos Territoriales

Los precios de ios productos agrlcolas5 fueron obtenidos de las series publicadas por la Bolsa. de Ceieales (varios nümeros) y actualiz~dos al mes de julio de 1991. Como se consideró que la información-·hist6rica de la década de 1980 no reflejaba la situación imperante a comienzos de la década de 1990, todos los precios fueron disminuidos en un 10%. Esto es consistente con la posición expuesta por Ahdersony otros (op. cit.), quienes argum~ntan que la información histórica debe ser apropiadamente pondera~a por el decisor antes de ser utilizada como insumo de los modelos de p1aneamiento.

Para obtener el precio de ·campo se le dedujo al precio darsena un 14 , por gastos de comercialización~ 1.70 $/q en concepto de

.fletes y un 10 % por gastos de cosecha. Tal como se mencionó en un parrafoanterior, los gastos variables no proporcfona1es (implantación y protección) se consideraron fijos (ver Cuadro 5); y se calcularon teniendo en cuenta un nivel tecnológico acorde con los rendimientos postulados y el parque de maquinaria (propia) mas comün en la zona de referencia.

5 Se consideraron sólo los periodos que mejor reflejen las épocas de venta de cada cultivo, que fueron de diciembre a·marzo· para .. el trigo, de enero a abril para el girasol, de febrero a mayo para el sorgo y de abril a julio para la soja.

16

..

. ,

Cuadro 5. Gastos de implantación y prote~c~an de ~os principales cultivos agrlcolas eh.'la zona central de Santa Fe (c/maquinaiia prbpi~) (en $/ha) "

Concepto Trigo Tr/soja Soja1 Girasol Sorgo' "

Labores 68.00 83.00 137.10 72'.00 70.00 Insumas 21.87 32.08 58.75 34.32 21.54 Total 89.87 115.08 195.85 106;32 91.54

Finalmente, en el Cuadro 6 se muestra la serie ~e márgenes brutos calculados pegOn el procedimiento indicado en lDs párrafos precedentes. Cabe enfatizar que estos márgenes tien~n ~l valor de los supuestos que los respaldan, y como tal son especlficos para cada situación de planeamiento, y están determinados principalmente por el equipo de produccibn disponible, la tecnologla utilizada y las expectativas del produÓtor en cuanto a precios y rendimientos.

Cuadro 6. Márgenes brutos agrlcolas para una empresa de la región central de Santa Fe ($/ha)

Trigo Tr/Soja Soja1 Girasol Sorgo

1980/81 60.67 137.55 118.72 105.60 1.12 1981/82 150.35 261.34 345.54 32~.67 228.66 1982/83 122.28 347.37 274.81 245.25 302.32 1983/84 214.79 266.94 406.58 404;53 249.26 1984/85 64.95 75.93 149.98 368,.42 252.89 1985/86 87.40 256.53 313.34 178..78 158.06 1986/87 23.45 424.18 338.76 15~.10 87.37 1987/88 188.69 412.15 555.96 225,38 241.30 1988/89 41. 56 128.37 145.27 195.66 253.88 1989/90 67.38 242.20 210.85 53.14 52.68

Promedio 102.15 255.25 285.98 225.65 182.76 C.V,. (% ) 59.79 43.64 45.13 47.77 53.01

2.2. Márgenes brutos ganaderos

El cálculo de los márgenes brutos ganaderos es relativamente más complejo que el de los márgenes agrlcolas debido a que la variabilidad en 105 rendimientos surge de factores relacionados a la pastura (producción primaria) y al animal (producción secundaria). Además, y especialmente en el caso de la carne, la disponibilidad de información histórica que sirva de base para el planeamiento es mucho más restringida que en el caso agrlcola.

En el caso del tambo, la base de cálculo lo consti tuyó el análisis de los 10 afios de operación de la Unidad de producción Lechera (UPL) de la EEA Rafaela del INTA (Galetto, 199:?). Se trata de un establecimiento modal de 87.5 has de superficií y una dotación media de 68.3 vacas masa, donde además de la producción de leche, se recrian las vaquillonasde reemplazo y la recria alcanza en promedio los 200 kgde peso~ El primer ajuste que se hizo fue en la producción de grasa butirosa, de donde se trató de eliminar la variación tendencial. Con ese objeto, se estimó una regresión lineal cuyos parámetros resultaron Y = 9635 + 351.8 X, donde Y es la producción anual (kg) y X es el afio (de 1 a 10). A continuación se estimó el desvlo de la serie original con respecto a la tendencia como representativo de la variación anual. Finalmente, se sumó el desvio a la media de la serie original, obteniéndose la nueva serie sin tendenci~. ~stos cálculos se pueden observar en el Cuadro 'l.

Cuadro 7. Corrección de la serie de rendimientos de grasa butirosa.

Producción Ajuste Desvios Nueva real lineal serie

1 9763 9986 -223 11346 2 10943 10338 604 12174 3 11750 10690 1059 12629 4 10240 11042 -828 10741 5 10044 11394 -1350 10219 6 11880 11746 133 11704 7 13009 12097 911 12481 8 11813 12449 -636 10933 9 12294 12801 -507 11062

10 13992 13153 838 12408

Media 11570 11570

Nota: los valores represBntan kg de GB por afio

18

· .

Con respecto a la correcci6n de los datos de producci6n de grasa butirosa, cabe acla~ar que se tom6 como base para la proyecci6n el promedio de la serie (11570 kg) pues se consider6 que dicha producci6n es la más probable en el futuro inmediato. Pero de sostenerse, por ejemplo, que la producci6n media a obtener es de 12500 kg, este seria el valor de referencia al cual se le adicionarian los desvios para el cálculo de la serie correg ida. Para una descr ipc i 6n más detallada acerca de las distintas meto40logias disponibles para la correcci6n de datos hist6r icos en eI anáTl;sls de pr'oblemas de riesgo puede consultarse Young (1980).

Para el cálculo de los resultados econ6micos (márgenes brutos), las principales modificaciones consistieron en una disminuci6n del 20 % en el precio de la grasa butirosa (pues se consider6 que las bonificaciones recibidas por la UPL eran superiores a la media) y en un incremento del porcentaje recibido por el tambero mediero, que se supone es el 35 % de los ingresos por venta de leche. Respecto de los gastos operativos no proporcionales, se utiliz6 el promedio del trienio 1988/90, con la excepci6n de la suplementaci6n, cuyos costos fueron adoptados del trabajo original (Galetto, op. cit.).

Para calcular los resultados de la actividad engorde de novillos se siguieron los siguientes pasos:

a) Se estimar~n los requerimientos energéticos de la UPL para producción de leche, crecimiento y reproducción de las distintas categorias que integran su plantel. Esto se realizó par~ cada uno de los años del periodo 1981/90.

b) De los requerimientos energéticos totales se dedujo el aporte de las reservas y concentrados, para obtener asi los requerimientos netos de las pasturas.

c) Se estimó la productividad anual de las pasturas a partir de una concentraci6n energética de 2.5 Mcal de Energia metabolizable (EM) por kg de materia seca.

d) Como esta serie también presentaba una variación tendencial importante, se la corrigió utilizando el mismo procedimien­mencionado para la grasa butirosa.

19

e) A partir de la producción media de la serie (4698 kgde materia ~eca o 11746 Hcal EM) sed~terminó la posibilidad de ~ostener un modelo de engorde d~sde los 150 a 550 kg de peso vivo~n 25 meses (546 gr/dl~) con una ~arga animal de 0.96 cab/ha y una produttividad de 385 kg/ha ..

f) La 'variabilidad anual de la se~ie surgió de valo~ar .la diferencia en productividad de las pasturas considerando la compra de gtanos para s~plementaci6n~

g) Para calcular los resultados económicos se utilizaron precios de remate~-feriadela ciudad deR~fae1a, durante el periodo 1981/90. Los gastos que se'con~lderaron ftieron de producción de pasturas (44.6 $/ha), ·ma~tenimiento de mejoras (9.5 $/ha) y sanidad. (7 $/cab), ademAsde los, gastos de comercialización (8.5 % para la compra y 12.5 % para la venta).

. /.

En el Cuadro 8 se mue~tran los mArgenes brutib~ de. las attividades tambo e invernada, ca1=~lad6s seg6n los procedimientos descriptos en los pArrafos anter ipr,es. ..' ", ~ .

Cuadro 8. MArgenes brutos de tambo e inVerriada($/ha)

Tambo Novillos

1 232.89 103,;, ~O ,

2 152.22 148172 3 228.06 145.07 4 216.56 133.52 5 230.87 95.58 6 358.53 142.04 .. 7 350.39 199.09 8 21:3.58 103.17 9 193.85 184.95

10 214.84 . 106.03

Promedio 239.14 136.59 C.V. (% ) 27.25 25.95

20

..

, .

RESULTADOS

1. MOTAD

De las varias formulaciones posibles del modelo MOTAD se optó por una que permite su comparación más directa con el resto de los modelos, y cuya matriz de programación se presenta en el Cuadro 9.

Para correr el modelo MOTAD utillz'ando esta formulación, es necesario en primer lugar tener una idea del valor de las desviaciones, ya sean ponderadas por la probabilidad de ocurrencia como en este caso (r'd), o de las desviaciones totales, como en, otras formulaciones alternativas. Lo que se sugiere entonces es modificar levemente la última restricción, haciendo r'd ~ O, ,por lo que queda transformada en lo que podrla denominarse una "fila contable", que precisamente nos indica el valor de r'd para la solución que maximiza el ing~eso esperado (z). En ,el modelo del Cuadro 9, r'd = 5190.64, par~:z = $ 42590. Una vez obtenido el valor (máximo) de las desviaciones es posible fijar valores de k sucesivamente más pequeftos y asl identificar la frontera de soluciones efic~entes, en el sentido del modelo sustitutivo de media-variancia.

Según Hazel! (1971), el siguiente estadlstico permite estimar la desviación standard cuando la muestra proviene de poblaciones (aproximadamente) normales,

A [ PLs jO.5 2(s-1)

donde s es el número de observaciones en la muestra (10 en nuestro caso), Pi=3,14 y A es la desviación absoluta media estimada por el modelo MOTAD. En el modelo del Cuadro 9, se tiene que

r'd ::= 0.5 A

pues solamente cuenta las desviaciones negativas. Por r~ tanto, la fórmula

[ jO.5

2.r ' d. Pi.s = desviación estandar 2(s-1)

es utilizada para estimar los puntos en la frontera de soluciones eficientes (Cuadro 10).

-21-

Cuadro 9: 1'1atriz de programación lineal para implement.ar un modelo MOTAD ------------------------------------~-------------------------------MAX Tt-igo Trsojá2 Sojal Sorgo G~rasolTambo Novillo DI 02 03 04 05 D6 07 09 D9 010 t RHS ------------------------_._------------------------------------------------F.obj. 102 286 255 183 226 239 136

TIE:RRA 1 1 1 1 1 1 1 .:$. 180 TRABAJO 4 12 8 4 6 20 1.5 .:$.2400

01 61 119 138 1 106 233 104 1 -1 .k O I 02 150 346 261 229 329 152 149 1 -1 .k O N

N 03 122 275 347 302 245 228 145 1 -1 .k O , 04 215 407 267 249 404 217 134 1 -1 .k O 05 65 150 76 253 368 231 97 1 -1 .k O

·06 87 313 257 158 179 359 142 1 -1 .k O 07 24 339 424 87 151 350 199 1 -1 .k O 08 189 556 412 241 225 213 103 1 -12:. O 09 42 145 128 254 196 194 185 1 -1 .k O 010 67 211 242 53 53 215 106 1 -1 .k O

TRMBT 102 286 255 183 226 239 136 -1 = O Maxdesv 0.1 0.10.10.10.10.10.10.10.10.1 .:$. k ---------------------------------------------------------------------------------

,. ,

.. . Cuadro 10. Soluciones alternativas en el modelo MOTAD

Desvlos,IDesviacIM.brutoITrSoja'l Soja11lGirasol'l Tambo Novill ( r 'd) I stand. I ( $ ): .: r : I

7764 7000 6000 5000 4000 3000

·2000 1000

500

20518 18492 15840 13200 10560

7920 5280 2640 1320

42590 41470 39950 38373 36787 35051 32574 22101 11050

----------- has ------------140.0 10.0 124.3 11.0 111.5 1.3

91. 5 70.4 30.1

6. 4 ~ 3 . 2 I

22.2 28.7

7.1 20.8 31. 7 42.3 45.8 37.8 17.5 8.8

7.6 16.4 26.7 37.3 51.9 67.8. 41. 7 20.8

15.7 52.2 26.1

Se desprende del Cuadro 10 que las primeras disminuciones de la variabilidad (riesgo) implican pequeños sacrificios en el· ingreso esperado, que disminuye aceleradamente cuando se pretende reducir a un mlnimo la variabilidad de los retornos del plan óptimo.

2. Target MOTAD

De acuerdo con 10 presentado en una sección anter lor, la matr iz de programación del modelo Target-MOTAD es la que se observa en el Cuadro 11.

En el modelo Target MOTAD intervienen tres parAmetros fundamentales que se determinan mutuamente: el ingreso esperado E(z), el ingreso "target" o meta 9 y las desviaciones negativas (ponderadas) del ingreso target r 'd. A partir de distintas 90mbinaci6nes de estos tres parAmetrosse construyó el Cuadro 12, donde pari3cadauna de ellas se indica ademAs cual es la combinaci~n 6,ptimáde actividades.

En ref~ción a los resultados que se muestran en el Cuadro 12, su caractér lstica diferenci~ü \con respecto al modelo MOTAD es que los planes que resultan del m6delo Target MOTAD (si bien no son estrictamente comparables) tienen un margen bruto esperado mayor.

=23=

Cuadro 11: Matriz de programación lineal para implementar un modelo Target MOTAD --------------_:..-_----------------------- .... --_._,------~-------------------------------------------MAX Trigo Trsoja25oja1 Sorgo GirasolTambo NovillD f 01 02 03 04 05 06 07 08 09 010 RH5

F.obj. 102 285 255 183 226 239 136

TIERRA 1 1 1 1 1 1 1 :5. lElO TRABAJO 4 12 8 4 6 20 1.5 :5. 2400

01 61 119 138 1 106 233 104 -1 1 ~ O I 02 150 346 261 229 329 1 <:"~J

;:Jo::.. 149 -1 1 ~ O N 03 122 275 347 302 245 228 145 -1 1 ~ O ,¡:.. I 04 215 4D7 267 249 404 217 134 -1 1 ~ O

05 65 150 76 253 368 231 97 -1 1 ~ O 06 87 313 257 158 179 359 142 --1 1 ~ O 07 24 3:39 424 87 151 350 199 -1 1 ~ O 08 189 556 412 241 225 213 ioa -1 1 ~ O 09 42 145 128 254 196 194 185 -1 1 ~ O 010 67 211 242 53 53 215 106 -1 1 z.. O

Oesvneg 0.10.10.10.10.10.10.10.10.10. l:s. k Target 1 = 9 ------------------------_._------------------------------------------------------------------

. . "

• >

Cuadro 12. Resultados del modelo Target MOTAD

Target Desvios M.bruto TrSoja I Soja1 IGirasoll Tambo ( $ ) (r'd) ( $ ) --------- has ---------

35000 7000 42590 140.0 10.0 5000 42590 140.0 10.0 3000 35163 32.5 21.0 45.5 51. 5 1000 --- So ución no. factib e

30000 7000 42590 140.0 10.0 5000 42590 140.0 10.0 3000 42590 140.0 10.0 1000 34945 59.2 33.8 57.7

25000 7000 42590 140.0 10.0 5000 42590 140.0 10.0 3000 42590 140.0 10.0 1000 41899 138.5 8.2 3.2

3. Modelos con restricciones probabillsticas

El modelo lexicográfico que se presenta a continuación introduce la restricción probabilistica mediante una desigualdad desarrollada por Atwood (1985), y aunque su justificación escapa a los objetivos de este trabajo, basta comentar que la restricción

t - L*Q(t) ~ 9

garantiza que Pr(cl < g) S l/L*, donde g es un nivel de ingreso que el decisor quiere lograr con cierta seguridad, cl es el ingreso corr es pond i ente al año i, Q (t ) son las desv iac iones negativas ponderadas (r'd) con respecto a un nivel t, que ha diferencia con el modelo Target MOTAD, es establecido endógenamente. La matriz de programación correspondiente a este modelo se presenta en el Cuadro 13 y en el Cuadro 14 se observan los resultados de la implementación del modelo con restricciones probabi11sticas según el criterio de Telser, para tres distintos niveles de ingreso mlnimo o meta (g) y distintos niveles de probabilidad.

;-25-

I N O' I

Cuadro 13: t1atriz de programaclon 1 ineal para itnplementar un modelo con restricciones probabilísticas según el criterio de Telser

._----------------------------------.-----------------------------~----------------------------~---~1f1X Trigo Trsoja2Sojal Sorgo GirasolTambo Novillo t Dl 0203 04 05 06 07 08 09 OlOTRO RHS ------------------------------------------------------~------------------------------------------F.obj. 102 286 255 183 226 239 136

TIERRA 1 . 1 1 1 1 1 1 oS. 180 TRABAJO 4 12 8 4 6 20 1.5 oS. 2400

01 61 119 138 1 106 233 104 -1 1 L O 02 150 346 261 229 ·329· 152 149 -1 1 L O 03 122 275 347 302 245 228 145 -1 1 ~ O 04 215 407 267 249 404 217 134 -1 1 L O 05 65 150 76 253 368 231 97 -1 1 L O 06 87 313 257 158 179 359 142 -1 1 L O 07 24 339 424 87 151 350 .199 -1 1 L O 08 189 556 412 241 225 213 103 -1 1 L O 09 42 145 128 254 196 194 ·185 -1 1 L O 010 67 211 242 53 53 215 .... ·106 -1 1 L O

O(t) 0.10.10.10~10~10.10.10.10.10.1 -1 = O Restricci6n 1 -L* L g --~-~--------------------------------------------------~----------------------~----------~-------

,., ..

, . t •

Cuadro 14. Resultados del modelo con restricciones probabillsticas según el criterio de Telser.

g Pr(Z<g) M.bruto Trsoja l Soja1 IGiraslSorgolTambo ( $ ) ( $ ) --------- has ---------

35000 50 % solubión nb factible I I J

30000 50' % 34599 25.2 20.7 1 49.41 ' 1 54.7 33 % Solución no factlble

25000 50 % 42590 140.0 10.0 33 % 38490 78.0 19.4 23.9 28.6 25 % 36554 32.6 44.8 27.6 45.0 20 % 35272 64.9 28.9 56.3 10 % 35254 63.9 28.7 1.0 56.4

Los resultados que se muestran en el Cuadro 14 indican como a medida que desciende el ingreso mlnimo admitido (g) o asciende el nivel nivel de probabilidad esperado, se producen planes óptimos muy cercanos al que se obtiene con el modelo determinlstico de programación lineal.

DISCUSION y CONCLUSIONES

Tal como se indicó en la primera sección, el principal objetivo de este trabajo consistió en la presentación de dos modelos de programación lineal bajo condiciones de riesgo que incorporan un paradigma de comportamiento diferente al del modelo MOTAD. Se argumentó que la variancia no es en si misma un buen indicador del riesgo de un plan o actividad, sino que existen evidencias que sugieren que los productores están mas preocupados por minimizar la probabilidad de obtener ingresos inferiores a cierto nivel minimo.

Se demostró que la formulación de estos modelos alternativos no difiere mucho del modelo MOTAD, ejemplificándose a partir de una situación representativa de la región central de la provincia de Santa Fe.

En el desarrollo de la información probabillstica basica que se utilizó para construir la matriz de programación lineal (series de precios y rendimientos), se puso énfasis en la naturaleza subjetiva del proceso, pues si bien se partió de información histórica "objetiva", esta fue convenientemente ponderada para adecuarla a 10 que parecen ser las condiciones más

-27-

probables en el corto plazo.

En relación a las soluciones obtenidas con estos modelos, lo primero que hay que destacar es que la introducción del riesgo en el modelo de programación produce soluciones diversificadas similares a las que se encuentran a campo. L~ naturaleza de estas soluciones es bastante diferente, especialmente si se comparan el modelo MOTAD y el Target MOTAD, pues este ó1timo se caracteriza pOr planes óptimos que tienen en general un margen bruto esperado bastante más alto. De cualquier manera, los resultados de estos modelos no serian estrictamente comparables, como tampoco lo son con el modelo de restricciones probabilisticas. La elección de uno de ello~ (en detrimento de los otros) como modelo para el planeamient~de la empresa agropecu,~ia, d~biese estar sujeta a consideraciones teóricas acerca del compoitamiento del decisor ante el riesgo.

Finalmente, hay que notar que los tres modelos presentados comparten una serie de deficiencias que limitan el alcance de los resultados que puedan obtenerse. En primer lugar, sólo cohsideran la variabilidad existente en la función objetivo (precios y rendimientos), sin tener en cuenta la que existe en los coeficient~s técnicD~ (insumo-prOducto) o en los recursos de la empresa. Además, los tres son modelo estático.s, que no tienen en cuenta la estrecha asociación existente entre el riesgo y el tiempo.

BIBLIOGRAFIA

Anderson, J.R., J.L. Dillon and J.B. Hardaker. 1977. Agricultural Decision Analysis. Ames: Iowa state University Press

Atwood, J.A. 1985. Demonstration of the use of lower partia1 momentsto improve safety-first probabi1ity limito American Journal of Agricultural Economics 67:787-93

Atwood, J.A., M.J. Watts, G.A. He1rriers, -an'd l..J. He1d. 1988. Incorporating safety-first cons~raints in linear programming production mode1s. Western Journal of Agricultural Economics 13(1) :29-36.

Barry, P. y L. Robison. 1987. The competitive firm's response to risk. New York: MacMi11an Publishing Co.

Bolsa de Cereales. Anuario Estadistico. Varios números.

Calcaterra, C. 1991. Labranzas conservacionistas en trigo, maiz

-28-

. '

. . '.

y soja de segunda: un análisis econ6mico bajo condiciones de riesgo. INTA. Proyecto de Agricultura Conservacionista. Arti­culo Técnico Serie Economía Agraria No. 5 .

Cocks, K.D. 1968. Discrete stochastic programming. Management Science 15 (1): 72-9

Collia, J.A. 1990. Aplicaci6n del modelo MOTAD a la planificaci6n de un establecimiento agropecuario. Revista Argentina de Economía Agraz'la~ Vol~ 6, pp. 321

Dent, J.B., S.R. Harrisony K.B. Woodford.1986. Farm planning with linear programming: Concept and practice. Sydney: Butterworths, 209 pág.

Dorfman, R., P.~. Samuelson y R.M. Solow. 1958. Linear programming'and economlc analysis. New York: McGraw-Hill, 525 pág.

Freund, R.J. 1956. Thc introduction of rlsk into a programming mod~l. Econometrica 24:253-264

Galetto, A.J. 1992. Análisis econ6mico de un sistema real de producci6n lechera y resultados de propuestas alternativas en su organizaci6n empresarial. INTA. EEA Rafaela. Informe Técnico No. 47. 25 pág.

Hanf, e.H. y G.W. Schiefer. 1983. Planning and decision in agri-

business: PrincipIes and experiences. Amsterdan: EIsevier Scientific Publishing eo., 368 pág.

Hazell, P.B.R. 1971. A linear programming alternative to quadratic and semivariance programming for farm planning under uncertainty. American Journal of AgriculturalEconomics 53:53-62

Kataoka, S. 1963. A stochastic programming modelo Econometrica 31:181-196

Keller, O. y N. Ferrero. 1983. Tecnologia disponible para el cultivo del sorgo granlfero. rNTA. BEA Rafaela. Publicación Miscelánea No. 22, .22 pág.

Kennedy, J.O.S. and E.F. Francisco. 1974. On the formulation of of risk constraints foz linear programming. Journal of Agricultural Economics 25:129-45

Hao, J.T. 1970. Models of capital budgeting, E-V vs. E-S. Journal . of Financial and Quantitative Analysis 4:657-75

-29- _

Markowitz, H~ 1952.Portfolio selection. Journal oi Finance 7: 77-91.

Nocetti, J.A~ Y A.R. Cascardo. 19~8. Algunas consid~r~ciones sobre la experiencia.argentina en materia de estudios de pla­neamiento de empresas ganaderas.· En:,· Anál isis e.con6mico y cambio tecn616gico en ganaderla. Editado por Sim6~ Santos y R .. vázquez Platero. Buenos Aires: lNTA-I lCA, pp. 6-21

Rae, A.N. 1971. Anempirical a~plicatiori andevaluationof discrete stó.chastic programming in farm management. Am·er ican Journal of Agricultural Economics 53 (4):. 625..,.38

Roy, A.D. 1952. Safety-first ~nd holding of assets. Econometrica 20: 431-43.9

Tauer, L. 1983. Target MOTAD. Américan Journal of Agricultural Economics.65:606-10

Telse~, L.G. 1955. Safety fitst and hedging. Review of Economic Studies 23:1-16

Young, D. 1980. Evaluating procedures for computing objective risk from hi~torical time series. Depart. Agric. Econ., Washington state Univ., mimeo.

wag~er, H.M. 1~75. PrincipIes Q·f operations research (2nd ed.). Englewood Cliffs, N.J.: Prentice Hall, 630 pág.

Watts, M.J,L.J.Held and G.A.Helmers. 1984.Acomparison of Target MOTAD to MOTAD. Canadian Journal of Agricultural Economics 32 175-186

Wicks, J.A. Y J.W. Wise.1978. An alternative solution to linear programming problems with stochastic input-output . coefficients. Australian Journal of Agricultural Economics ( 22) 1: 22 - 4 O

-30-

. '

Impreso en: INTA - Estación Experimental Agropecuaria Rafaela Casilla de Correo N° 22 - 2300 - RAFAELA (sta. Fe) 250 ejemplares --------------- Diciembre de 1992

'. E.E.A.

RAfAELA

. ,.