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Criterio de la Derivada

ContenidosArtículos

Criterio de la derivada de mayor orden 1Criterio de la primera derivada 2Criterio de la segunda derivada 3Criterio de la tercera derivada 4Extremos de una función 5Punto de inflexión 6Punto crítico 8Punto de ebullición 9Punto de fusión 10Punto triple 11

ReferenciasFuentes y contribuyentes del artículo 13Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 14

Licencias de artículosLicencia 15

Criterio de la derivada de mayor orden 1

Criterio de la derivada de mayor ordenEn matemáticas, el criterio de la derivada de mayor orden es usado para encontrar máximos, mínimos, y puntosde inflexión en la curva de un polinomio de grado n.

El criterioSea una función derivable en el intervalo y sea en el mismo tal que

1. ;2. existe y no es cero.Entonces,1. si n es par

1. es un punto máximo local.2. es un punto mínimo local.

2. si n es impar es un punto de inflexion.

Véase también• Criterio de la primera derivada• Criterio de la segunda derivada• Criterio de la tercera derivada• Extremos de una función• Punto de inflexión• Punto crítico• Punto estacionario

Criterio de la primera derivada 2

Criterio de la primera derivadaSe llama Criterio de la primera derivada al método o teorema utilizado frecuentemente en el cálculo matemáticopara determinar los mínimos relativos y máximos relativos que pueden existir en una función mediante el uso de laprimera derivada o derivada principal, donde se observa el cambio de signo, en un intervalo abierto señalado quecontiene al punto crítico .

Teorema valor máximo y mínimo"Sea un punto crítico de una función que es continua en un intervalo abierto que contiene a . Si es

derivable en el intervalo, excepto posiblemente en , entonces puede clasificarse como sigue."

1. Si cambia de negativa a positiva en , entonces tiene un mínimo relativo en .2. Si cambia de positiva a negativa en , entonces tiene un máximo relativo en .3. Si es positiva en ambos lados de o negativa en ambos lados de c, entonces no es ni un mínimo niun máximo relativo. El criterio no decide.

Véase también• Criterio de la segunda derivada• Criterio de la tercera derivada• Extremos de una función• Punto de inflexión• Punto crítico• Punto estacionario

Enlaces externos• Criterio de la Primera Derivada. Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo [1]

• Criterio de la Primera Derivada. Uacj.mx [2]

Referencias[1] http:/ / dieumsnh. qfb. umich. mx/ DIFERENCIAL/ criterio_de_la_primera_derivada. htm[2] http:/ / docentes. uacj. mx/ sterraza/ matematicas_en_movimiento/ crideri/ cri_cri. html

Criterio de la segunda derivada 3

Criterio de la segunda derivadaEl Criterio o prueba de la segunda derivada es un teorema o método del cálculo matemático en el que se utiliza lasegunda derivada para efectuar una prueba simple correspondiente a los máximos y mínimos relativos.

Se basa en el hecho de que si la gráfica de una función es cóncava hacia arriba en un intervalo abierto quecontiene a , y debe ser un mínimo relativo de . De manera similar, si la gráfica de unafunción es cóncava hacia abajo en un intervalo abierto que contiene a y debe ser un máximorelativo de .

TeoremaSea una función tal que y la segunda derivada de existe en un intervalo abierto que contiene a

1. Si , entonces tiene un mínimo relativo en .2. Si , entonces tiene un máximo relativo en .Si , entonces el criterio falla. Esto es, quizás tenga un máximo relativo en , un mínimo relativo en

o ninguno de los dos. En tales casos, se puede utilizar el criterio de la primera derivada o el criterio de latercera derivada

Véase también• Criterio de la primera derivada• Criterio de la tercera derivada• Extremos de una función• Punto de inflexión• Punto crítico• Punto estacionario

Enlaces externosCriterio de la Segunda Derivada. Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo [1]

Referencias[1] http:/ / dieumsnh. qfb. umich. mx/ DIFERENCIAL/ criterio_de_la_segunda_derivada. htm

Criterio de la tercera derivada 4

Criterio de la tercera derivadaEl Criterio o prueba de la Tercera Derivada es un método del cálculo matemático en el que se utiliza la terceraderivada para confirmar o comprobar los puntos de inflexión obtenidos a partir de la segunda derivada. Estos puntosde inflexión siempre son catalogados como posibles, ya que para comprobarlos hay que hacer la gráficacorrespondiente. En algunos casos especiales cuando la segunda derivada es 0 en un punto que no es un punto deinflexión, es recomendable aplicar este criterio.Al utilizarlo no es necesario graficar para comprobar la veracidad de los puntos de inflexión.

Procedimiento1. Calculamos la primera, segunda y tercera derivada de 2. El resultado de la segunda derivada lo igualamos a 0 y obtenemos las raíces o posibles puntos de inflexión.3. Se evalúa la tercera derivada con los valores de las raíces o posibles puntos de inflexión obtenidos en el pasoanterior. Al momento de evaluar, en la raíz donde se anule (o se haga cero) la tercera derivada, allí no habrá un puntode inflexión. Si la tercera derivada no se anula, en esa raíz si habrá un punto de inflexión.4. En la función original calculamos los valores de las ordenadas según se trate de una o de varias.

Véase también• Criterio de la primera derivada• Criterio de la segunda derivada• Extremos de una función• Punto de inflexión• Punto crítico• Punto estacionario

Enlaces externos• Puntos de inflexión (Thalex.cica.es) [1]

• Puntos de inflexión (docentes.uacj.mx) [2]

Referencias[1] http:/ / thales. cica. es/ rd/ Recursos/ rd99/ ed99-0295-01/ punto7/ punto7. html[2] http:/ / docentes. uacj. mx/ sterraza/ matematicas_en_movimiento/ concavidad/ conc_puntos. html

Extremos de una función 5

Extremos de una función

Extremos relativos o localesSea , sea y sea un punto perteneciente a la función.Se dice que es un máximo local de si existe un entorno reducido de centro , en símbolos , dondepara todo elemento de se cumple . Para que esta propiedad posea sentido estricto debecumplirse .Análogamente se dice que el punto es un mínimo local de si existe un entorno reducido de centro , ensímbolos , donde para todo elemento de se cumple .

Extremos absolutosSea , sea y sea un punto perteneciente a la función.Se dice que P es un máximo absoluto de f si, para todo x distinto de pertenenciente al subconjunto A, su imagenes menor o igual que la de . Esto es:

máximo absoluto de .Análogamente, P es un mínimo absoluto de f si, para todo x distinto de pertenenciente al subconjunto A, suimagen es mayor o igual que la de . Esto es:

mínimo absoluto de .

Cálculo de extremos localesDada una función suficientemente derivable , definida en un intervalo abierto de , elprocedimiento para hallar los extremos de esta función es muy sencillo:1. Se halla la primera derivada de 2. Se halla la segunda derivada de 3. Se iguala la primera derivada a 0: 4. Se despeja la variable independiente y se obtienen todos los valores posibles de la misma:

.5. Se halla la imagen de cada sustituyendo la variable independiente en la función.6. Ahora, en la segunda derivada, se sustituye cada :

1. Si , se tiene un máximo en el punto .2. Si , se tiene un mínimo en el punto .3. Si , debemos sustituir en las sucesivas derivadas hasta sea distinto de cero. Cuando se halle

la derivada para la que no sea nulo, hay que ver qué derivada es:1. Si la derivada es par, se trata de un extremo local; un máximo si y un mínimo si

2. Si la derivada no es par, se trata de un punto de inflexión, pero no de un extremo.

Extremos de una función 6

EjemploSea . Hallar sus extremos locales y sus puntos de inflexión.

Dada la función , se tiene que:

• Extremos:

existe un máximo en .existe un mínimo en .

• Puntos de inflexión

.existe un punto de inflexión en .

Véase también• Criterio de la derivada de mayor orden

Punto de inflexión

Gráfico de y = x3 con un punto de inflexiónen el punto (0,0).

Un punto de inflexión es un punto donde los valores de x de una funcióncontinua pasa de un tipo de concavidad a otro. La curva "atraviesa" latangente. Matemáticamente la derivada segunda de la función f en el puntode inflexión es cero, o no existe.

En el cálculo de varias variables a estos puntos de inflexión se les conocecomo puntos de ensilladura.

Cálculo de los puntos de inflexión en funcionesreales derivables de variable real

En las funciones derivables reales de una variable real, para hallar estospuntos de inflexión, basta con igualar la segunda derivada de la función acero y despejar. Los puntos obtenidos deberán ser sustituidos en laderivada tercera o sucesivas hasta que nos dé un valor diferente de cero. Cuando esto suceda, si la derivada para laque es distinto de cero es impar, se trata de un punto de inflexión; pero, si se trata de derivada par, no lo es. Másconcretamente:

Punto de inflexión 7

Gráfico de y = x3, rotado, con tangente en elpunto de inflexión en el punto (0,0).

1. Se halla la primera derivada de 2. Se halla la segunda derivada de 3. Se halla la tercera derivada de 4. Se iguala la segunda derivada a 0: 5. Se despeja la variable independiente y se obtienen todos los valores posibles de la misma:

.6. Se halla la imagen de cada sustituyendo la variable dependiente en la función.7. Ahora, en la tercera derivada, se sustituye cada :

1. Si , se tiene un punto de inflexión en .2. Si , debemos sustituir en las sucesivas derivadas hasta sea distinto de cero. Cuando se halle

la derivada para la que no sea nulo, hay que ver qué derivada es:1. Si la derivada es impar, se trata de un punto de inflexión.2. Si la derivada es par, no se trata de un punto de inflexión.

La ecuación no tiene puntos de inflexión, porque la derivada segunda es siempre mayor o iguala cero, por tanto no hay cambio de concavidad dado que es no negativa en todo su dominio. Sin embargo en la derivada segunda se anula y la primera derivada no nula en es la derivada cuarta, que es positiva.Obsérvese que tampoco presenta un extremo en .

Véase también• Criterio de la tercera derivada• Criterio de la segunda derivada• Criterio de la primera derivada• Extremos de una función• Punto crítico• Punto de silla• Punto estacionario• Teoría de la bifurcación• Teoría de las catástrofes

Punto crítico 8

Punto crítico

Un típico diagrama de fase. La curva roja muestra la variación de la temperatura desublimación de una sustancia. La curva verde marca la variación del punto decongelación (el tramo de curva verde con puntos muestra el comportamiento

anómalo del agua) y la curva azul, la del punto de ebullición. Se muestra cómo latemperatura de sublimación, la de congelación y la de ebullición varían con lapresión. El punto de unión entre las tres curvas. la roja, la verde y la azul, es el

punto triple. El punto crítico se ve en el extremo derecho de la curva azul.

En las matemáticas un punto crítico es unlugar donde una función tiene el gradienteidéntico a cero, pero en las ciencias físicasun punto crítico es aquel límite para el cualel volumen de un líquido es igual al de unamasa igual de vapor o, dicho de otro modo,en el cual las densidades del líquido y delvapor son iguales. Si se miden lasdensidades del líquido y del vapor enfunción de la temperatura y se representanlos resultados, puede determinarse latemperatura crítica a partir del punto deintersección de ambas curvas. Temperaturay presión por encima de la cual no se puedecondensar un gas.

Condiciones matemáticas delpunto crítico

En el punto crítico se verifica:

siendo la presión , el volumen molar, la temperatura y la temperatura crítica del sistema considerado.

Véase también• Punto de ebullición• Punto de fusión• Punto triple• Teoría de las catástrofes

Punto de ebullición 9

Punto de ebullición

Puntos de fusión en azul y puntos de ebulliciónen rosa de los primeros ocho ácidos carboxilicos

(en °C).

El punto de ebullición es aquella temperatura en la cual la materiacambia de estado líquido a gaseoso, es decir se ebulle. Expresado deotra manera, en un líquido, el punto de ebullición es la temperatura a lacual la presión de vapor del líquido es igual a la presión del medio querodea al líquido.[1] En esas condiciones se puede formar vapor encualquier punto del líquido.

La temperatura de una sustancia o cuerpo depende de la energíacinética media de las moléculas. A temperaturas inferiores al punto deebullición, sólo una pequeña fracción de las moléculas en la superficietiene energía suficiente para romper la tensión superficial y escapar.Este incremento de energía constituye un intercambio de calor que dalugar al aumento de la entropía del sistema (tendencia al desorden de las partículas que lo componen).

El punto de ebullición depende de la masa molecular de la sustancia y del tipo de las fuerzas intermoleculares de estasustancia. Para ello se debe determinar si la sustancia es covalente polar, covalente no polar, y determinar el tipo deenlaces (dipolo permanente - dipolo inducido o puentes de hidrógeno)

Cálculo del punto de ebulliciónEl punto de ebullición normal puede ser calculado mediante la fórmula de Clausius-Clapeyron:

donde:

=Punto de ebullición normal en Kelvin

= Constante ideal del gas, 8,314 J · K-1 · mol-1

= Presión del vapor a una temperatura dada, en atmósferas (atm)

= Calor de vaporización del líquido, J/mol

= La temperatura dada en Kelvin

= logaritmo en base e

Referencias[1] Química. Problemas y ejercicios de aplicación para Química Autor: Mohina, Davel Editorial: Eudeba Edición: 1º-2010 ISBN :

978-950-23-1702-1 pagina 27

Véase también• Punto de fusión• Elevación del punto de ebullición• Punto crítico• Propiedades físicas de los cuerpos

Punto de fusión 10

Punto de fusión

Puntos de fusión (en azul) y puntos de ebullición (en rosado) de losocho primeros ácidos carboxilicos (°C).

El punto de fusión es la temperatura a la cual lamateria pasa de estado sólido a estado líquido, es decir,se funde.

Al efecto de fundir un metal se le llama fusión (nopodemos confundirlo con el punto de fusión). Tambiénse suele denominar fusión al efecto de licuar o derretiruna sustancia sólida, congelada o pastosa, en líquida.

En la mayoría de las sustancias, el punto de fusión y decongelación, son iguales. Pero esto no siempre es así:por ejemplo, el Agar-agar se funde a 85 °C y sesolidifica a partir de los 31 °C a 40 °C; este proceso seconoce como histéresis.

Aplicación

A diferencia del punto de ebullición, el punto de fusión es relativamente insensible a la presión y, por tanto, puedenser utilizados para caracterizar compuestos orgánicos y para comprobar la pureza.

El punto de fusión de una sustancia pura es siempre más alto y tiene una gama más pequeña que el punto de fusiónde una sustancia impura. Cuanto más impuro sea, más bajo es el punto de fusión y más amplia es la gama.Eventualmente, se alcanza un punto de fusión mínimo. El cociente de la mezcla que da lugar al punto de fusiónposible más bajo se conoce como el punto eutéctico. perteneciente a cada átomo de temperatura de la sustancia a lacual se someta a la fusión.

Véase también• Punto de ebullición• Punto de congelación• Punto triple• Punto crítico• Propiedades físicas de los cuerpos

Punto triple 11

Punto triple

Un típico diagrama de fase. La línea verde marca el punto de congelación, la azul,el punto de ebullición y la roja el punto de sublimación. Se muestra como estosvarían con la presión. El punto de unión entre las líneas verde, azul y roja es elpunto triple. La línea con puntos muestra el comportamiento anómalo del agua.

El punto triple es aquel en el cual coexistenen equilibrio el estado sólido, el estadolíquido y el estado gaseoso de una sustancia.Se define con una temperatura y una presiónde vapor.

El punto triple del agua, por ejemplo, está a273,16 K (0,01 °C) y a una presión de611,73 Pa ITS90. Esta temperatura, debido aque es un valor constante, sirve para calibrarlas escalas Kelvin y Celsius de lostermómetros de mayor precisión.

Punto triple del agua

La única combinación de presión ytemperatura a la que el agua, hielo y vaporde agua pueden coexistir en un equilibrioestable se produce exactamente a unatemperatura de 273,1598 K (0,0098 °C) y auna presión parcial de vapor de agua de 611,73 pascales (6,1173 milibares, 0,0060373057 atm). En ese momento, esposible cambiar el estado de toda la sustancia a hielo, agua o vapor arbitrariamente haciendo pequeños cambios en lapresión y la temperatura. Se debe tener en cuenta que incluso si la presión total de un sistema está muy por encimade 611,73 pascales (es decir, un sistema con una presión atmosférica normal), si la presión parcial del vapor de aguaes 611,73 pascales, entonces el sistema puede encontrarse aún en el punto triple del agua . Estrictamente hablando,las superficies que separan las distintas fases también debe ser perfectamente planas, para evitar los efectos de lastensiones de superficie.

El agua tiene un inusual y complejo diagrama de fase (aunque esto no afecta a las consideraciones generalesexpuestas sobre el punto triple). A altas temperaturas, incrementando la presión, primero se obtiene agua líquida y, acontinuación, agua sólida. Por encima de 109 Pa aproximadamente se obtiene una forma cristalina de hielo que esmás denso que el agua líquida. A temperaturas más bajas en virtud de la compresión, el estado líquido deja deaparecer, y el agua pasa directamente de sólido a gas.A presiones constantes por encima del punto triple, calentar hielo hace que se pase de sólido a líquido y de éste agas, o vapor. A presiones por debajo del punto triple, como las encontradas en el espacio exterior, donde la presiónes cercana a cero, el agua líquida no puede existir. En un proceso conocido como sublimación, el hielo salta la faselíquida y se convierte directamente en vapor cuando se calienta.La presión del punto triple del agua fue utilizada durante la misión Mariner 9 a Marte como un punto de referenciapara definir "el nivel del mar". Misiones más recientes hacen uso de altimetría láser y gravimetría en lugar de lapresión atmosférica para medir la elevación en Marte.

Punto triple 12

Tabla de puntos triplesEn esta tabla se incluyen los puntos triples de algunas sustancias comunes. Estos datos están basados en losproporcionados por la National Bureau of Standards (ahora NIST) de los EE.UU de América.[1]

Sustancia T (K) P (kPa)

Acetileno 192,4 120

Amoníaco 195,40 6,076

Argón 83,81 68,9

Grafito 3900 10100

Dióxido de carbono 216,55 517

Monóxido de carbono 68,10 15,37

Deuterio 18,63 17,1

Etano 89,89 8 × 10−4

Etileno 104,0 0,12

Helio-4 2,19 5,1

Hidrógeno 13,84 7,04

Cloruro de hidrógeno 158,96 13,9

Mercurio 234,2 1,65 × 10−7

Metano 90,68 11,7

Neón 24,57 43,2

Óxido nítrico 109,50 21,92

Nitrógeno 63,18 12,6

Óxido nitroso 182,34 87,85

Oxígeno 54,36 0,152

Paladio 1825 3,5 × 10−3

Platino 2045 2,0 × 10−4

Dióxido de azufre 197,69 1,67

Titanio 1941 5,3 × 10−3

Hexafluoruro de uranio 337,17 151,7

Agua 273,16 0,61

Xenón 161,3 81,5

Zinc 692,65 0,065

Referencias[1] Yunus A. Cengel, Robert H. Turner. Fundamentals of thermal-fluid sciences. McGraw-Hill, 2004, p. 78. ISBN 0-07-297675-6

Fuentes y contribuyentes del artículo 13

Fuentes y contribuyentes del artículoCriterio de la derivada de mayor orden  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=38013425  Contribuyentes: GermanX, Veon, 5 ediciones anónimas

Criterio de la primera derivada  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=38013484  Contribuyentes: Caritdf, GermanX, 6 ediciones anónimas

Criterio de la segunda derivada  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=38013512  Contribuyentes: Antocero, Caskete, Diegusjaimes, GermanX, 9 ediciones anónimas

Criterio de la tercera derivada  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=38013546  Contribuyentes: Bedwyr, GermanX, Javialacarga, 10 ediciones anónimas

Extremos de una función  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=40343407  Contribuyentes: Grt, Jeanne, Manuel Trujillo Berges, Tano4595, Tuncket, 20 ediciones anónimas

Punto de inflexión  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=41586045  Contribuyentes: .José, Airunp, Alfredobi, Amontero, Davidfierro, Diegusjaimes, Dodo, Erik Mora, Gaianauta,GermanX, Greek, Ingenioso Hidalgo, Isha, Jeanne, Matdrodes, Maurete, Netito777, Oscar León, Sargentgarcia89, Tano4595, 17 ediciones anónimas

Punto crítico  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=40242320  Contribuyentes: .José, Aadrover, Emijrp, GermanX, Ialad, Juan Marquez, Khesus99, Siquisai, Tano4595, Wikicarlos,Xuankar, 32 ediciones anónimas

Punto de ebullición  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=41507421  Contribuyentes: 4lex, Alvaro qc, Amanuense, Angel GN, Antur, AstroNomo, Avex trax, BetoCG, BlackBeast,Chicoquark, Damifb, Deshgloshe, Diegusjaimes, Dreitmen, Eduardosalg, Emijrp, Equi, Er Komandante, Error de inicio de sesión, EwARo, Furado, GermanX, Gonis, HUB, Hernandezricopablo,Humberto, Ialad, Internete, Interwiki, Isha, J'88, JaviMad, Javierito92, Jorge c2010, Kojie, Kokoo, LMLM, Lucien leGrey, Magister Mathematicae, Manwë, Matdrodes, Maveric149, Mel 23,Moriel, Muro de Aguas, Nacho haller, Netito777, Neverynnubugs, Ninovolador, Nioger, Ooscarr, Ortisa, PhJ, PoLuX124, Poco a poco, Retama, Roberpl, Sergiportero, Snow white dntwry,Tano4595, Tirithel, Wastingmytime, Wikisilki, Wolverine26, Xuankar, 236 ediciones anónimas

Punto de fusión  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=41601159  Contribuyentes: Aibdescalzo, Airunp, Anderander, Andre Engels, Andreasmperu, Avex trax, Ayleen, Camilaramirez baez, Cobalttempest, Ctrl Z, Darolu, Dem, Dianai, Diegusjaimes, Dodo, Dreitmen, Edmenb, Emijrp, Equi, Er Komandante, Fabiodominguez, Fmariluis, Foundling, Furti, GermanX,Grancibertruan, Gustronico, HUB, Icvav, Internete, Interwiki, Isha, JMCC1, JaviMad, JerryFriedman, Jorge c2010, Manwë, Matdrodes, Maveric149, Moriel, Netito777, Ortisa, PhJ, PoLuX124,Poromiami, R2D2!, Roberpl, S3b4s, Santiperez, Tano4595, Tirithel, Troodon, Xenoforme, Xuankar, Xvazquez, Yeza, ZrzlKing, 148 ediciones anónimas

Punto triple  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=41243995  Contribuyentes: AdeVega, Af3, Alex28, Ascánder, BludgerPan, Cárdenas, Dodo, Drivera90, Echani, Emijrp, Ener6,FAR, GermanX, GomoX, Gonis, Joseaperez, Khesus99, Llull, Loqu, Lsg, Mar del Sur, Matdrodes, Moriel, Mpeinadopa, Numbo3, Raulgotor, Taichi, Tano4595, Vitamine, Xatufan, Xenoforme,Xuankar, Youssefsan, conversion script, 32 ediciones anónimas

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 14

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentesArchivo:x cubed plot.gif  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:X_cubed_plot.gif  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: Darapti, EugeneZelenko, Juiced lemon,Qualc1, StuRat, W!B:Archivo:X cubed rotated plot.gif  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:X_cubed_rotated_plot.gif  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: Darapti, EugeneZelenko,Kilom691, StuRatArchivo:Phase-diag es.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Phase-diag_es.svg  Licencia: GNU Free Documentation License  Contribuyentes: No author info onoriginal file Phase-diag.svg; Translation by khesus99Archivo:Carboxylic.Acids.Melting.&.Boiling.Points.jpg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Carboxylic.Acids.Melting.&.Boiling.Points.jpg  Licencia: Public Domain Contribuyentes: Bender235, Kurgus, Rhadamante

Licencia 15

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