¿EXISTE UN CRITERIO GENERAL DE DIVISIBILIDAD, APLICABLE A CUALQUIER NÙMERO PRIMO?

Grimaldo Oleas L. Noviembre 2014

PRESENTACIÓN Usualmente enunciamos y aplicamos criterios de divisibilidad, sin detenernos en su justificación en la Teoría Elemental de Números. Adicionalmente, en los textos de Teoría de Números, es poca la información contenida acerca del tema. Con apoyo en algunos teoremas básicos, presentamos aquí los criterios de divisibilidad comúnmente usados (por 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11), con su respectiva prueba, e intentamos enunciar y demostrar un criterio de divisibilidad por cualquier número primo, de manera sencilla, e inteligible para estudiantes de educación básica y media.

ELEMENTOS TEÓRICOS Definición:

Si , a b son enteros con 0a , se dice que a divide a b , si existe un entero c , tal que .b a c

Expresiones equivalentes para “ a divide a b ” son:

a es divisor de b

b es múltiplo de a

b es divisible por a

Notación:

a b denota: a divide a b

a ∤b denota: a no divide a b

Teorema 1 (Algoritmo de la división) Para , a b enteros, con 0b , existen enteros únicos , q r , tales que: a q b r , con 0 .r b

Teorema 2 I. Para , , a b c enteros, si a b y , a c entonces ( ) a b c

II. Para , , a b c enteros, si a b , pero a ∤ c , entonces a ∤ ( )b c

III. Para , , a b m enteros, con 0m , a b si y sólo si ma mb

IV. Para , , a b c enteros, si a b y ,b c entonces a c

V. Para , , a b c enteros, si ( )a b c y ( , ) 1mcd a b , entonces a c

Los numerales i., ii., pueden resumirse así:

Para , , a b c enteros, si a b , entonces: ( ) a b c si y sólo si . a c

Los dos teoremas siguientes se prueban fácilmente, usando el Principio de Inducción Matemática.

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Teorema 3 Para todo n entero no negativo, (10 1)n

es divisible por 9.

Teorema 4 Para todo n entero no negativo:

Si n es par, entonces (10 1)nes divisible por 11

Si n es impar, entonces (10 1)nes divisible por 11

CRITERIOS BÁSICOS DE DIVISIBILIDAD En lo que sigue, un número natural N de ( 1)n dígitos (por supuesto, con n natural) tiene la siguiente

forma:

(1)

Teniendo en cuenta el valor posicional de los dígitos en base 10 :

-1 -2 2 1

-1 -2 2 1 010 10 10 + + 10 10 n n n

n n nN a a a a a a (2)

Divisibilidad por 2, 5, 10

En (1) denotemos:

(3)

P se obtiene de N suprimiendo el dígito de las unidades.

Ahora:

010 N P a (4)

Claramente, 10P es múltiplo de 10. Por tanto (Teorema 2), N es divisible por 10sólo si 0a es divisible por

10. Pero, el único dígito divisible por 10 es cero ( 0 ). En consecuencia:

Un número natural es divisible por 10, sii1 su último dígito es cero (0).

Volviendo a la expresión (3), teniendo en cuenta que 10P es múltiplo de cinco (5), N es divisible por 5 sólo

si 0a es divisible por 5. Sabemos que los únicos dígitos divisibles por 5 son: cero (0) y cinco (5). Por

tanto:

Un número natural es divisible por 5, sii su último dígito es cero (0) o cinco (5).

Ahora, dado que 10P es múltiplo de dos (2), N es divisible por 2 sólo si 0a es divisible por 2. Dado que los

únicos dígitos divisibles por 2 son: 0, 2, 4, 6, 8, podemos enunciar:

Un número natural es divisible por 2, sii su último dígito es par. 1 Sii Denota: Si y sólo si

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Divisibilidad por 3, 9

La expresión (2) puede transformarse así:

-1 -2 2 1

-1 -2 2 1 0 1 2(10 1) (10 1) (10 1) + + (10 1) (10 1) ( )n n n

n n n nN a a a a a a a a a

Denotemos:

-1 -2 2 1

-1 -2 2 1(10 1) (10 1) (10 1) + + (10 1) (10 1) n n n

n n nR a a a a a

0 1 2 ( )nS a a a a

Así:

N R S

S es la suma de los dígitos de N (llamada suma transversal de N ).

R es múltiplo de 9 (Teorema 3). Por tanto, N es múltiplo de 9 sólo si S es múltiplo de 9. En consecuencia:

Un número natural es divisible por 9, sii su suma transversal es múltiplo de 9.

Por otra parte, al ser múltiplo de 9, R es también múltiplo de 3. Luego:

Un número natural es divisible por 3, sii su suma transversal es múltiplo de 3. Ilustración:

17985 .

Suma transversal: 1 7 9 8 5 30 .

30es divisible por 3 , más no por 9.

Conclusión: 17985es divisible por 3 , pero no lo es por 9.

17985 3 5995.

Divisibilidad por 6

Teniendo en cuenta que la descomposición en factores primos de 6 es: 6 2 3 :

Un número natural es divisible por 6, sii es divisible por dos (2) y por tres (3). De otro modo: Un número natural es divisible por 6, sii es par y su suma trasversal es múltiplo

de tres (3).

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Divisibilidad por 4

En (1), denotemos:

Ahora:

100 N R S

es el número formado por los dos últimos dígitos de .N

Es claro que es múltiplo de cuatro (4). Por tanto (Teorema 2), N es múltiplo de cuatro, sólo si es

múltiplo de cuatro (4). Puede enunciarse:

Un número natural es divisible por 4, sii el número formado por sus dos últimos dígitos es múltiplo de cuatro (4).

Ilustración:

357684.

84 4 21.

357684es divisible por 4.

357684 4 89421.

Divisibilidad por 8

En (1) denotemos:

Ahora:

1000 N T U

Es claro que es múltiplo de ocho (8). Por tanto (Teorema 2), N es múltiplo de ocho, sólo si es

múltiplo de ocho (8). Criterio:

Un número natural es divisible por 8, sii el número formado por sus tres últimos dígitos es múltiplo de ocho.

Ilustración:

357688.

688 8 86

357688es divisible por 8.

357688 8 44711.

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Divisibilidad por 11

Retomemos las expresiones (1) y (2):

-1 -2 2 1

-1 -2 2 1 010 10 10 + +10 10 n n n

n n nN a a a a a a

Consideremos dos casos en cuanto a la paridad del exponente n en 10 .n

Caso 1: n es par

Caso 2: n es impar

Analicemos el primer caso: n es par.

En N :

Los dígitos 2 2 0, , , , n na a a a ocupan lugares impares. Convengamos en que 0a ocupa el primer

lugar, 2a el que ocupa el tercer lugar, etc., y na el que ocupa el lugar ( 1).n Por ello, los dígitos

1 3 3 1, , , , n na a a a ocupan lugares pares, siendo 1a el que ocupa el segundo lugar, 3a el que ocupa el

cuarto lugar, etc., y 1na el que ocupa el lugar .n

Reorganicemos N así:

-1 -2 2 1

-1 -2 2 1 0 2 1 3 1(10 1) (10 1) (10 1) + + (10 1) (10 1) ( ) ( )n n n

n n n n nN a a a a a a a a a a a

Denotemos:

-1 -2 2 1

-1 -2 2 1(10 1) (10 1) (10 1) + + (10 1) (10 1)n n n

n n nL a a a a a

0 2 1 3 1( ) ( )n nD a a a a a a

Ahora,

N L D

D es la diferencia entre: La suma de los dígitos de N que ocupan los lugares impares y la suma de los

dígitos de N que ocupan los lugares pares.

Claramente (Teorema 4), L es múltiplo de 11. Por tanto, N es múltiplo de 11 sólo si D es múltiplo de 11.

Resultado similar puede obtenerse en el caso 2. Esto permite enunciar:

Un número es divisible por 11, si i la diferencia entre la suma de los dígitos que ocupan los lugares impares y la suma de los dígitos que

ocupan los lugares pares, es un múltiplo de 11. Ilustración:

987316.

Suma de los dígitos de lugar impar: 6 3 8 17

Suma de los dígitos de lugar par: 1 7 9 17

La diferencia entre las dos sumas es cero (múltiplo de 11). Luego, 987316es divisible por 11.

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987316 11 89756.

Divisibilidad por 12

Dado que 12 3 4 , podemos enunciar:

Un número natural es divisible por 12, sii es divisible por tres (3) y por cuatro (4).

Ilustración:

6924. Al aplicar separadamente los criterios de divisibilidad por tres y por cuatro, se concluye que 6924 es

divisible por 12.

6924 12 577.

Divisibilidad por 7

Recordemos la expresiones (1) y (3):

(1)

(3)

P se obtiene al suprimir en N el dígito cifra de las unidades. De este modo:

010 N P a

Sea:

02 S P a

010 10 20 S P a

0 010 (10 ) 21 S P a a

010 21 S N a

010 21 N S a

Claramente, 021 a es múltiplo de siete (7). Además, dado que 10no es múltiplo de siete (7), para que N

sea divisible por siete, se requiere que S lo sea (Teorema 2). Puede entonces enunciarse:

Un número natural es divisible por siete (7), sii al suprimir en el número, el dígito de las unidades, y al resultado restarle dos veces dicho dígito, el número

obtenido es múltiplo de siete. Ilustración:

40173.

4017 6 4011

401 2 399

39 18 21

21es múltiplo de 7.Luego, 40173es divisible por 7.

40173 7 5739.

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UN CRITERIO GENERAL DE DIVISIBILIDAD, APLICABLE A NÚMEROS PRIMOS Es natural que nos hagamos la pregunta: ¿Existe un criterio general para determinar si un número natural es divisible por un número primo dado? Intentemos dar respuesta a este interrogante.

Sean: q un número primo dado; N un número natural. ¿Bajo qué condiciones es N divisible por q ?

Sea k q (con k natural), el menor múltiplo de q que difiere en uno (1) con algún múltiplo de 10. Sea

10 c (con c natural) ese múltiplo de 10.

Nótese que 2 y 5 son los únicos números primos para los cuales esto no es posible. Existen dos posibilidades:

i. 10 1k q c

ii. 10 1k q c

Como en el caso estudiado de la divisibilidad por 7:

P es el número resultante de suprimir en N , el dígito de las unidades. Así:

010 N P a

Analicemos cada uno de los dos casos:

i. 10 1k q c

Sea:

0 S P c a

010 10 (10 ) S P c a

0 010 (10 ) (10 1) S P a c a

010 ( ) S N k q a

010 ( ) N S k a q

Es evidente que 0( ) k a q es divisible por .q Luego, N es divisible por ,q sólo si 10 S es divisible por .q

Pero, 10no es divisible por q (¿?). Por tanto, N es divisible por ,q sólo si S es divisible por .q

ii. 10 1k q c

Sea:

0 S P c a

010 10 (10 ) S P c a

0 010 (10 ) (10 1) S P a c a

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010 ( ) S N k q a

010 ( ) N S k a q

Es claro que 0( ) k a q es divisible por .q Luego, N es divisible por ,q sólo si S es divisible por .q

Hemos demostrado así, un criterio general de divisibilidad por cualquier número primo distinto de dos (2), el cual podemos enunciar así:

Teorema 5 (Criterio general de divisibilidad por números primos)

Consideremos: un número primo y un número natural Sea (con natural), el menor múltiplo de que difiere en uno (1) con algún múltiplo de 10. Sea (con natural) ese múltiplo de 10. Denotemos , el número que resulta de suprimir en el dígito de las unidades

Si entonces: es divisible por sii es divisible por

Si entonces: es divisible por sii es divisible por .

Teniendo en cuenta el enunciado anterior, para cada número primo ,q denominemos discriminante de q

para divisibilidad, y denotémoslo ( )ND q , a las expresiones y Nota: Este criterio sólo es aplicable a números primos cuyo dígito de las unidades es: 1, 3, 7 o 9.

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD, PARA ALGUNOS PRIMOS PARTICULARES El resultado anterior permite obtener criterios particulares de divisibilidad para cualquier número primo impar distinto de 5. He aquí algunos:

Divisibilidad por 11

1 11 10 1 1

Estamos en el primer caso. Por tanto,

Un número natural es divisible por 11, sii al suprimir en el número el último dígito, y al resultado restarle dicho dígito, el número obtenido es múltiplo de 11. Nótese que ahora tenemos un segundo criterio de divisibilidad por 11. Ilustración:

987316.

98731 6 98725

9872 5 9867

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986 7 979

97 9 88

88 es múltiplo de 11. Luego, 987316es divisible por 11.

987316 11 89756.

Evidentemente el primer criterio de divisibilidad por 11 es más sencillo de aplicar, a pesar de la complejidad de su demostración. Ahora podemos enunciar criterios de divisibilidad para números primos particulares, apoyados en el Teorema 5, ya demostrado.

Divisibilidad por 13

3 13 10 4 1

Ahora estamos en el segundo caso. Luego,

Un número natural es divisible por 13, sii al suprimir en el número el último dígito, y al resultado sumarle cuatro (4) veces dicho dígito, el número obtenido

es múltiplo de 13. Ilustración:

8996.

899 24 923

92 12 104

10 16 26

Dado que 26 es múltiplo de 13 , se concluye que 8996 es divisible por 13.

8996 13 692.

Divisibilidad por 17

3 17 10 5 + 1. Estamos en el primer caso. Criterio:

Un número natural es divisible por 17, sii al suprimir en el número el último dígito, y al resultado restarle cinco (5) veces dicho dígito, el número obtenido es

múltiplo de 17. Ilustración:

97444.

9744 20 9724

972 20 952

95 10 85

8 25 17

Es evidente que 97444es divisible por 17.

97444 17 5732.

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Divisibilidad por 19

1 19 10 2 1 . Criterio:

Un número natural es divisible por 19, sii al suprimir en el número el último dígito, y al resultado sumarle dos (2) veces dicho dígito, el número obtenido es

múltiplo de 19. Ilustración:

139308.

13930 16 13946

1394 12 1406

140 12 152

15 4 19

Claramente, 139308es divisible por 19.

139308 19 7332.

Divisibilidad por 23

Un número natural es divisible por 23, sii al suprimir en el número el último dígito, y al resultado sumarle siete (7) veces dicho dígito, el número obtenido es

múltiplo de 23. Ilustración:

108744.

10874 28 10902

1090 14 1104

110 28 138

13 56 69

69 3 23. Luego, 108744es divisible por 23.

108744 23 4728.

Divisibilidad por 29

Un número natural es divisible por 29, sii al suprimir en el número el último

dígito, y al resultado sumarle tres (3) veces dicho dígito, el número obtenido es múltiplo de 29.

Ilustración:

137083.

13708 9 13717

1371 21 1392

Página 11 de 13

139 6 145

14 15 29

Claramente, 137083es divisible por 29.

137083 29 4727.

Divisibilidad por 31

Un número natural es divisible por 31, sii al suprimir en el número el último dígito, y al resultado restarle tres (3) veces dicho dígito, el número obtenido es

múltiplo de 31. Ilustración:

146506.

14650 18 14632

1463 6 1457

145 21 124

12 12 0

146506es divisible por 31

146506 31 4726.

Divisibilidad por 37

Un número natural es divisible por 37, sii al suprimir en el número el último dígito, y al resultado restarle 11 veces dicho dígito, el número obtenido es

múltiplo de 37. Ilustración:

145225.

14522 55 14467

1446 77 1369

136 99 37

145225es divisible por 37.

Divisibilidad por 43

Un número natural es divisible por 43, sii al suprimir en el número el último dígito, y al resultado sumarle 13 veces dicho dígito, el número obtenido es

múltiplo de 43. Ilustración:

151274.

15127 52 15179

1517 117 1634

163 52 215

Página 12 de 13

21 65 86

Claramente, 151274es divisible por 43.

151274 43 3518.

UN RESULTADO INTERESANTE El criterio de divisibilidad por 37 permite deducir que todo número de tres dígitos, todos iguales, es divisible por 37. En efecto, sea

Denotemos:

Por tanto, es divisible por 37. Este resultado puede generalizarse así:

Si un número natural tiene todos sus dígitos iguales y el número de sus dígitos es múltiplo de tres, entonces dicho natural es divisible por 37.

Se deja la prueba al lector.

PREGUNTAS ABIERTAS

Dado cualquier número natural m (no necesariamente primo), ¿existe un criterio de divisibilidad por m, si el dígito de las unidades de m es1? ¿Y si el dígito de las unidades es 3? ¿Y si es 7? ¿Y si es 9?

Dado cualquier número natural m, ¿existe un criterio de divisibilidad por m, si el dígito de las unidades de m es 5 o un número par?

LISTADO DE DISCRIMINANTES PARA DIVISIBILIDAD Con base en el Teorema 5, podemos definir para un número primo ,q un discriminante para divisibilidad,

al que denotaremos , para determinar si un número natural N es divisible por dicho primo. Por el

Teorema, el discriminante tiene una de estas dos formas, según el caso:

He aquí los discriminantes para divisibilidad de los números primos menores que 100 y superiores a 5. Debe entenderse que un número natural es divisible por un número primo si el valor del respectivo discriminante es divisible por

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Primo

q

Discriminante

DN

(q)

Primo

q

Discriminante

DN

(q)

7 47 11 53 13 59 17 61 19 67 23 71 29 73 31 79 37 83 41 89 43 97

REFERENCIAS:

Teoría de números para principiantes (U. Nal., Bogotá) Luis R. Jiménez B. Jorge E. Gordillo A. Gustavo N. Rubiano O.

Un criterio de divisibilidad por cualquier entero terminado en 1: http://docencia.udea.edu.co/SistemasDiscretos/contenido/curiosidad_02.html

Pascal y la teoría de los números: http://www.acta.es/medios/articulos/matematicas/044043.pdf

Divisibilidad: http://es.wikipedia.org/wiki/Divisibilidad

Apuntes de Matemática Discreta (Universidad de Cádiz), en: http://www2.uca.es/matematicas/Docencia/ESI/1711003/Apuntes/Leccion10.pdf

Divisibilidad en Z: http://imerl.fing.edu.uy/matdisc2/divisibilidad_1.pdf

Murray-Lasso, Marco: Sobre la deducción de los criterios de divisibilidad. En: Revista de Ingeniería; UNAM; Vol. 67, No.3.