Criterios de Rotura

1. Esfuerzos

Analticos

Matriz de Rotacin

2. Criterios de Rotura

Criterio de Morh- Coulomb

Criterio de Hoek y Brown

Criterio de Barton y Choubey

Criterio de Rotura de Bieniwaski

Las fuerzas, que actan en un medio continuo se clasifican en

fuerzas de cuerpo (o de masa) y fuerzas de superficie.

Las primeras estn distribuidas de manera continua en todo el

medio, las segundas solamente sobre ciertas superficies.

El Esfuerzo, se puede definir suponiendo que una fuerza F

acta sobre una superficie S, estando distribuida sobre la

misma de manera continua, de modo que a una pequea rea

parcial S corresponda una pequea parte F de la fuerza

total. La tensin T se define como el valor lmite de la

superficie

EL TENSOR DE ESFUERZOS:

dS

dF

S

FTT

S

n

0lim

T

dS Plano

n

Componente normal y

tangencial del vector

esfuerzo.

= vector normal unitario

xx

xx

yy

yy

zz

zz'

xy

xz'

yx'

yz'

zx'

zz'zy'

zy

yx

yzxy

xz

x

z

y

A

A

B

C

D

O

Fig. II-3

Componentes de la

matriz de esfuerzos

P

F1

F5

F4

F3

F2

x

z

y

Fuerzas que actan sobre un paraleleppedo en equilibrio.

El estado de esfuerzo en

un punto no puede ser

definido como un simple

vector, es una magnitud

tensorial, en cuya

definicin se precisan 9

componentes:

Se considera un medio:

Istropo

Homogneo

Elstico

Equilibrio

xx x x

xx

yy y y

yy

zz

zz z z

xy x x

xz x x

yx y y

yz y y

zx z z

zy z z zy'

zy

yx

yzxy

xzA

A

B B

C

D

C

D

o

Componentes de la matriz de esfuerzos

dx

dz

d

y

y

x

z

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

De estas nueve componentes

solo seis son independientes:

zzyyxx ,,

zyzxyzyxxzxy ,,,,,

Como el estado tensional es

independiente de cualquier

movimiento de rotacin debe

cumplirse:

,xy yx xz zx yz zyy

ESTADO DE ESFUERZO EN UN PLANO:

A

B

yy yx

xy

xx

nn nt

x

y

)cos()(2)2cos(2

1

2

1 senxyyyxxyyxxnn

)2cos()2(2

1 xyxxyynt sen

yyyx

xyxx

AB sen

AB cos

DEMOSTRACIN 1

)2cos(2

1

2

13131 nnCirculo de Mohr de

esfuerzos en dos

dimensiones: )2(2

131 sennt

3 1

2

312

1

312

1

)2cos(2

1

2

13131 nn

)2(2

131 sennt

Balmer, 1952

2 2

1 3 1 3

1 1cos2

2 2nn

2

2

1 3

12

2f sen

2 2

21 3 1 3

1 1

2 2nn f

DEMOSTRACIN 2

Matriz de Rotacin para determinar los esfuerzos:

y

x

x'

y'

Representacin del sistema de coordenados rotado.

T

RR '

Donde:

Matriz de esfuerzo en el plano x y

Matriz de esfuerzo en el plano x y

Matriz de rotacin

= Matriz transpuesta de rotacin.

'

R

T

R

cos

cos

cos

cos

''''

''''

sen

sen

sen

sen

yyyx

xyxx

yyxy

yxxx

cos

cos

cos)90cos(

)90cos(cos

''

''

sen

senR

yyxy

yxxxR

DEMOSTRACIN 3

y

x

x'

y'

cos

cos

cos)90cos(

)90cos(cos

''

''

sen

senR

yyxy

yxxxR

CRITERIOS DE ROTURA:

Son expresiones matemticas que representan modelos que

permiten estimar la resistencia del material en base a los

esfuerzos aplicados y a sus propiedades resistentes y predecir

cuando ocurre la rotura.

Los criterios de rotura o de resistencia constituyen la base de

los mtodos empricos y permiten evaluar la resistencia de los

macizos rocosos a partir de los esfuerzos actuantes y de las

propiedades resistentes del material rocoso.

RESISTENCIA A LA CIZALLA EN UN PLANO:

Se define como el valor del esfuerzo tangencial () que debe actuar en el plano para que se produzca rotura en el.

Como primera aproximacin se formula el siguiente

criterio de rotura:

Una roca se rompe por un plano

determinado cuando la

componente del esfuerzo

tangencial () en el mismo iguala o supera su resistencia a

la cizalla.

El estudio

experimental se

realiza mediante

el ensayos de

compresin

simple, corte

directo, y

ensayos

triaxiales.

Compresin simple:

Ensayo de corte:

Se aplican en dicho ensayo una componente normal ()

mediante un peso vertical y una componente tangencial () mediante una fuerza horizontal que acta slo sobre una de

las mitades de la probeta.

Se define entonces la resistencia a la cizalla del material en

funcin de la componente normal que acta en el plano de

rotura predeterminado.

Ensayos triaxiales:

CRITERIOS MS CONOCIDOS:

Istropos: Morh- Coulomb.

Anistropos: Plano nico de Coulomb.

Macizos Rocosos: Hoek y Brown,

Barton y Choubey, Bieniawski

CRITERIO DE ROTURA DE COULOMB (1773):

Establece que el valor del esfuerzo tangencial () que debe alcanzarse en un plano para que se produzca la rotura es:

tanC

C = Cohesin.

tan = coeficiente de rozamiento interno.

(pendiente de la recta )

= ngulo de friccin interna.

Rectas de resistencia

intrnseca del suelo.

(tomado de Baon, L)

C

tanC

L.R.I

Campo

estable

Campo

inestable

C

f =C+nn tan

2f

O A

D

G

F

c.cot 1 + 3

2

1 - 3

2 DEMOSTRACIN 4

1 3a b

1/ 2

1/ 2

1 3

1 12

1 1

N N

sen senC

sen sen

1/2

1 3 2N C N

21 tan 45 21sen

Nsen

1/ 2

1/ 2 1 costan 45

21 1

senN

sen sen

)(tan 2

)tan(

)(tan)tan( 231 2 C

31 1c t

21 3 tan 45 / 2 c

231 tan 45 12c c

Condiciones de borde:

(resistencia a la compresin simple)

(resistencia a la traccin)

3 0 1 c

1 0 3 t

DEMOSTRACIN 5

(0,0)

31 1c t

21tan tan 4521

c

t

sen

sen

t 3

1

c

In 1980 Hoek y Brown propuso una relacin entre el

mximo y el mnimo esfuerzo principal, para evaluar la

resistencia de la matriz rocosa, donde la representacin

grfica de la rotura es una curva parablica.

Es un criterio emprico no lineal, en condiciones de

esfuerzo triaxiales el cual puede ser particularizado por la

condicin de compresin simple (sin confinar) y de

traccin.

CRITERIO DE HOEK Y BROWN, Original (1980)

3 31

c c c

m sadimensional

= esfuerzo principal mayor en la falla.

= esfuerzo principal menor en la falla.

= resistencia a la compresin simple de la roca

intacta.

= constantes que dependen de las propiedades

de la roca.

1

3

c

m,s

2

1 3 3 c cm s

Para una roca intacta, al tomar en cuenta que no existe

confinamiento lateral 3=0, y que adems s=1, resultando

por lo tanto a travs de

1/ 21 1c

s

1 c

NOTA:

Cuando el macizo presenta planos de fracturas, s

3 1 0t Si

2

1t t

c c

m

2

1t

c

t

c

m

Teniendo en cuenta que en la mayora de los casos,

21

1 110

tt c

c

c c

t t

m m

-1

mm

1 .100exp I

14I 2 .i

roca perturbadaRMRm m

roca no perturbada

1 .100exp

6 1,5 .s

s

roca perturbadaRMRs I

I roca no perturbada

Los valores de m y s en funcin de RMR, pueden obtenerse

de acuerdo a Hoek y Brown (1988) mediante la siguiente

expresin cuando la roca ha sido correctamente excavada

mediante equipo mecnico o voladura controlada (sin ser

perturbada), y cuando ha sido perturbada.

Hoek y Brown(1998), han propuesto determinar m y s en

funcin de un nuevo ndice de calidad de la roca, conocido

como ndice de resistencia geolgica GSI (Geological

Strength Index), por considerar que se obtienen valores ms

reales. Al tomar en cuenta este nuevo ndice resulta:

100exp

28i

GSIm m

100exp

9

GSIs

Ucar, (1986), obtuvo la envolvente de cizalla para el criterio

de Hoek y Brown:

12

1 3

8 162

1Re

8 tan

nn c c

i

if c

i

m m sTension Norlmal sen

msen

senmsistencia al corte

Kumar (1998), deriva la envolvente de rotura del criterio de

Hoek-Brown para valores de a 1/2, utilizando el

procedimiento general de la derivacin de la envolvente

desarrollado por Ucar (1986). Dicho investigador determin la

envolvente de una familia de lneas planas, utilizando la

ecuacin del criterio generalizado de Hoek y Brown que a

continuacin se indica:

3 31

a

c c c

m s

0,65 30200

GSIa si GSI

30 1/2GSI a

11 1 cos

2 2

aa

aaf i i

c i

senma

sen

Envolvente de rotura obtenida por Kumar:

11

11 111

2

aann i i

c i

sen senma s

m sen a m

Finalmente, Hoek, Carranza Torres y Corkum (2002),

recomiendan utilizar las siguientes ecuaciones, teniendo en

cuenta el ndice GSI, el factor D que depende del grado de

perturbacin de la roca durante el proceso de excavacin.

/15 20 /3

100exp

28 14

100exp

9 3

1 1

2 6

i

GSI

GSIm m

D

GSIs

D

a e e

CRITERIO DE HOEK Y BROWN, generalizado (2002)

31 3

'' '

a

ci bci

m s

3/2015/6

1

2

1

39

100exp

1428

100exp

eea

D

GSIs

D

GSImm

GSI

ib

mi = para roca intacta.

mb = para roca fracturada.

GSI = Geological Strength Index.

D = Factor que depende del grado de

alteracin a que el macizo ha sido

sometido debido a explosiones y

relajacin de tensiones.

GSI: Nuevo

indice Geological

Strength Index

0 < GSI < 100

Depende de las

condiciones en la

superficie y de la

estructura del

macizo.

D = factor que

depende del

grado de

alteracin a

que el macizo

ha sido

sometido

debido a

explosiones y

relajacin de

tensiones.

ANISOTROPA DE LAS ROCAS:

Materiales anistropos: sus propiedades varan en funcin

de la direccin considerada para su medida.

Rocas material anistropo: resistencia, deformacin,

etc.

Causas: presencia en bandas de distintos minerales,

alternancias, etc. en orientaciones preferenciales. En la roca

matriz, esto es a escala =

ANISOTROPA DE LAS ROCAS:

Criterio ms sencillo para

resistencia de un plano nico de

orientacin : Coulomb:

, , proyecciones del estado

tensional en el plano:

Criterio de Barton y Choubey:

Se trata de un criterio emprico, deducido a partir del anlisis

del comportamiento de las discontinuidades en ensayos de

laboratorio, que permite estimar la resistencia al corte en

discontinuidades rugosas. La resistencia al corte de pico (p), de discontinuidades rugosas sin cohesin viene dada por la

expresin:

' tanp n p

= son la resistencia al corte y el esfuerzo normal efectivo

sobre el plano de discontinuidad.

= ngulo de rozamiento interno de la discontinuidad.

= ngulo de rugosidad.

'p ny

p b i b

i

Influencia del ngulo de rugosidad en la resistencia al corte de las discontinuidades.

10log'n

JCSi JRC

10log

'p r

n

JCSJRC

r

n

np

JCSJRC

'logtan' 10

JCS, resistencia a la compresin simple de la pared de la

discontinuidad, MPa.

Si la pared est alterada, como ocurre en muchos casos, el

valor de JCS puede tomarse a travs de los resultados del

esclermetro o martillo Schmidt empleando la ecuacin:

Siendo el peso unitario en kN/m3, y JCS en MN/m2.

r, Valor del rebote en el esclermetro sobre la pared de la

discontinuidad.

JRC, coeficiente de rugosidad de la discontinuidad, 0 JRC

20.

JRC = 0 (superficie perfectamente suave)

JRC = 20 (superficie muy rugosa)

r, ngulo de rozamiento interno residual de la discontinuidad.

Puede a su vez ser estimado mediante la expresin:

10log 0,00088 1,01rocaJCS r

20 20r br

R

R, valor de rebote del esclermetro sobre la matriz rocosa.

r, valor de rebote del esclermetro sobre la pared de la

discontinuidad.

b, ngulo de friccin bsico del material.

Si las paredes de la discontinuidad estn sanas r = b

NOTA:

Los valores de R, r, JCS, Pueden ser estimados en campo, a

travs del martillo de Schmidt

El valor de n se calcula en funcin de la carga litosttica

sobre la discontinuidad (conociendo el peso unitario del

material rocoso, y la presin de agua).

El valor de b, puede estimarse a partir de tablas ampliamente

recogidas en la bibliografa.

El valor del coeficiente de rugosidad, JRC, se estima por

comparacin a partir de perfiles.

Para la estimacin de la resistencia friccional de una

discontinuidad puede realizarse el ensayo de campo Tilt test

Tilt test

Ensayo de corte en discontinuidades rocosas bajo cargas

normales muy bajas. Pasos:

Fragmentos de rocas delimitado por una superficie de

discontinuidad comn.

Los bloques se superponen uno encima del otro, quedando

entre ambos la discontinuidad a estudiar.

Los bloques se colocan sobre una base de apoyo y se van

inclinando hasta que comience a deslizar uno con respecto al

otro.

Se mide el plano de discontinuidad con respecto a la horizontal.

a = arctan (/n)

log

r

n

aJRC

JCSa= ngulo de rozamiento de discontinuidades o el

ngulo de rozamiento bsico de discontinuidades lisas

.

Barton y Choubey (1976) mencionan que en muchos

problemas de Ingeniera de rocas el mximo esfuerzo efectivo

normal varan en el rango de 0,1 a 2 MPa (1 a 20 kg/cm2).

El ngulo de friccin interna instantneo puede calcularse al

tener en cuenta que:

arctan'

pi

n

10

10 210

tan tan log' '

log 2,7182811 tan log

180 '

pi b

n n

bn

JCSJRC

JRC JCSJRC

Roca ngulo de friccin

bsico b (grados)

Andesita 45

Arenisca 30 - 50

Basalto 48 55

Caliza 35 50

Caliza Margosa 30

Cuarcita 40 55

Diabasa 40 50

Diorita 50 55

Doloma 25 35

Esquisto 25 30

Gabro 35

Gneis 30 40

Granito 45 58

Mrmol 35 45

Lutita 40 60

Pizarra 40 55

Yeso 30

Valores tpicos del ngulo de

friccin bsico (b) para roca

sana. Segn Gonzlez de V. et

al (2002).

Perfil tipo para

estimar el

coeficiente de

rugosidad JRC,

criterio de Barton y

Choubey. Tomado

de Gonzlez de V.

et al (2002)

Tabla Resumen de diferentes criterios de rotura en rocas, segn Edelbro:

CRITERIOS EMPRICOS DE ROTURA

131

K

cc

A

En el ao 1974, en el Journal of the South Institute of Mining

and Metallurgy, el profesor Z.T. Bieniawski [1974] publica los

resultados obtenidos a travs de una serie de ensayos

realizados en macizos rocosos, al aplicar el criterio de rotura

propuesto por Murrell [1965], en la cual la relacin entre los

esfuerzos principales viene expresada como sigue:

C

KA 31

1 = esfuerzo principal mayor en la falla

3 = esfuerzo principal menor en la falla

c = resistencia a la compresin simple

de la roca intacta.

A, K= constantes que dependen de las

propiedades y caractersticas del

macizo rocoso.

Criterio de Rotura de Bieniawski:

Tabla , segn Bieniawski

De acuerdo a Ramamurthy, los valores de c y A al tomar en

cuenta en el macizo rocoso la presencia de los planos de

discontinuidad y los diferentes niveles de meteorizacin, se

obtienen en funcin de la bien conocida clasificacin

Geomecnica (Rock Mass Rating RMR), desarrollada por

Bieniawski [1973], mediante las ecuaciones:

Por otro lado, Wang Chuan-zhi et al [19], mencionan los

trabajos de Richart realizados en ensayos triaxiales en

concreto, quien obtuvo inicialmente la relacin:

31 1 4,10c c

Es decir, A = 4,10 y K=1. Esta ecuacin lineal corresponde

al criterio de rotura de Mohr Coulomb

2tan 4,10 37,434 2

A