Circulo de Mohr de tensiones

[Concepto] [11/07/2006 ]

El crculo de Mohr de tensiones es una aplicacin del crculo de Mohr al clculo de las tensiones en planos con distintas orientaciones alrededor de un punto de una pieza sometido a un estado tensional biaxial.

Si se dibuja un elemento diferencial alrededor del punto analizado, con dos planos orientados segn un sistema de ejes plano x-y y el tercero inclinado un ngulo genrico j, estableciendo el equilibrio de fuerzas en las direcciones de s y t en dicho elemento se tiene:

(1)

Dividiendo las dos ecuaciones anteriores por la longitud AB y teniendo en cuenta que OA=ABcos(j), OB=ABsen(j) se llega a:

(2)

expresin que tambin puede escribirse como:

(3)

Derivando la primera ecuacin (3) respecto a j e igualando a cero se obtienen los valores de j (inclinaciones del plano AB) para los que la tensin normal es mxima o mnima:

(4)

Ecuacin que tiene dos soluciones de j. Sustituyendo cada una de las soluciones en la segunda de las ecuaciones (3) se comprueba que la tensin cortante es nula para dichos planos y sustituyendo en la primera de las ecuaciones (3) se obtienen las tensiones normales mxima y mnima (tensiones principales):

(5)

La expresin de las tensiones en cualquier plano con inclinacin j respecto a los planos principales, en funcin de las tensiones principales, se deduce tomando las direcciones x,y orientadas segn los planos principales y sustituyendo en (3):

(6)

El crculo de Mohr de tensiones es un crculo dibujado en el plano s-t en el que cada punto de su circunferencia representa las tensiones normales y cortantes en un plano AB con una inclinacin cualquiera. As los puntos X e Y de la figura corresponden a los planos perpendiculares a los ejes x e y. Como se observa se sitan en puntos opuestos del crculo, a 180. Los puntos de corte de la circunferencia con el eje t =0 corresponden a los planos principales y de la figura se deduce que el valor de s en dichos puntos es el valor de las tensiones principales (s1,s2) obtenido mediante las ecuaciones (5). Estos planos estn igualmente separados un ngulo de 180 en el crculo, indicando que el ngulo entre los planos principales es de 90 en la realidad. En general, dos planos entre los cuales hay un ngulo j en la realidad estn separados un ngulo 2j en el crculo de Mohr. En la figura se observa tambin que el ngulo j entre los planos principales y los planos x,y, obtenido mediante la expresin (4) queda representado por 2j en el crculo de Mohr.

El crculo de Mohr se utiliza como recurso grfico para el anlisis de las tensiones en estados tensionales biaxiales.

Para dibujar correctamente el crculo de Mohr deben tenerse en cuenta los siguientes detalles:

El sentido de giro del ngulo j en el crculo se corresponde con el sentido de giro del plano AB en la realidad.

El signo de las tensiones tangenciales (t) se toma como positivo si giran en sentido de las agujas del reloj alrededor del elemento diferencial y negativo en caso contrario.

El ngulo entre dos radios del crculo equivale al doble del ngulo entre los planos reales correspondientes.Crculo de Mohr

La Circunferencia de Mohr (Incorrectamente llamado Crculo de Mohr, ya que no se trabaja con un rea sino con el permetro) es una tcnica usada en ingeniera y geofsica para representar grficamente un tensor simtrico (de 2x2 o de 3x3) y calcular con ella momentos de inercia, deformaciones y tensiones, adaptando los mismos a las caractersticas de una circunferencia (radio, centro, etc). Tambin es posible el clculo del esfuerzo cortante mximo absoluto y la deformacin mxima absoluta.

Este mtodo fue desarrollado hacia 1882 por el ingeniero civil alemn Christian Otto Mohr (1835-1918).

Contenido [ocultar]

1 Circunferencia de Mohr para esfuerzos

1.1 Caso bidimensional

1.2 Caso tridimensional

2 Circunferencia de Mohr para momentos de inercia

3 Enlaces externos

[editar]Circunferencia de Mohr para esfuerzos

[editar]Caso bidimensional

Circunferencia de Mohr para esfuerzos.

En dos dimensiones,la Circunferencia de Mohr permite determinar la tensin mxima y mnima, a partir de dos mediciones de la tensin normal y tangencial sobre dos ngulos que forman 90:

NOTA: El eje vertical se encuentra invertido, por lo que esfuerzos positivos van hacia abajo y esfuerzos negativos se ubican en la parte superior.

Usando ejes rectangulares, donde el eje horizontal representa la tensin normal y el eje vertical representa la tensin cortante o tangencial para cada uno de los planos anteriores. Los valores de la circunferencia quedan representados de la siguiente manera:

Centro del crculo de Mohr:

Radio de la circunferencia de Mohr:

Las tensiones mxima y mnima vienen dados en trminos de esas magnitudes simplemente por:

Estos valores se pueden obtener tambin calculando los valores propios del tensor tensin que en este caso viene dado por:

[editar]Caso tridimensional

El caso del estado tensional de un punto P de un slido tridimensional es ms complicado ya que matemticamente se representa por una matriz de 3x3 para la que existen 3 valores propios, no necesariamente diferentes.

En el caso general, las tensiones normal () y tangencial (), medidas sobre cualquier plano que pase por el punto P, representadas en el diagrama (,) caen siempre dentro de una regin delimitada por 3 circulos. Esto es ms complejo que el caso bidimensional, donde el estado tensional caa siempre sobre una nica circunferencia. Cada uno de las 3 circunferencias que delimitan la regin de posibles pares (,) se conoce con el nombre de circunferencia de Mohr.

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[editar]Circunferencia de Mohr para momentos de inercia

Para slidos planos o casi-planos, puede aplicarse la misma tcnica de la circunferencia de Mohr que se us para tensiones en dos dimensiones. En muchas ocasiones es necesario calcular el momento de inercia alrededor de un eje que se encuentra inclinado, la circunferencia de Mohr puede ser utilizado para obtener este valor. Tambin es posible obtener los momentos de inercia principales. En este caso las frmulas de clculo del momento de inercia medio y el radio de la circunferencia de Mohr para momentos de inercia son anlogas a las del clculo de esfuerzos:

Centro de la circunferencia:

Radio de la circunferencia:

Crculo de Mohr

LaCircunferencia de Mohr(Incorrectamente llamadoCrculo de Mohr, ya que no se trabaja con un rea sino con el permetro) es una tcnica usada eningenieraygeofsicapararepresentar grficamenteun tensor simtrico (de 2x2 o de 3x3) y calcular con ellamomentos de inercia,deformacionesytensiones, adaptando los mismos a las caractersticas de unacircunferencia(radio, centro, etc). Tambin es posible el clculo delesfuerzo cortantemximo absoluto y la deformacin mxima absoluta.

Este mtodo fue desarrollado hacia1882por elingeniero civilalemnChristian Otto Mohr(1835-1918).

Contenido

[ocultar] 1Circunferencia de Mohr para esfuerzos 1.1Caso bidimensional 1.2Caso tridimensional 2Circunferencia de Mohr para momentos de inercia 3Enlaces externos

[editar]Circunferencia de Mohr para esfuerzos

[editar]Caso bidimensional

Circunferencia de Mohr para esfuerzos.

En dos dimensiones,la Circunferencia de Mohr permite determinar la tensin mxima y mnima, a partir de dos mediciones de la tensin normal y tangencial sobre dos ngulos que forman 90:

NOTA: El eje vertical se encuentra invertido, por lo que esfuerzos positivos van hacia abajo y esfuerzos negativos se ubican en la parte superior.

Usando ejes rectangulares, donde el eje horizontal representa latensin normaly el eje vertical representa latensin cortanteo tangencialpara cada uno de los planos anteriores. Los valores de la circunferencia quedan representados de la siguiente manera:

Centro del crculo de Mohr:

Radio de la circunferencia de Mohr:

Las tensiones mxima y mnima vienen dados en trminos de esas magnitudes simplemente por:

Estos valores se pueden obtener tambin calculando losvalores propiosdeltensor tensinque en este caso viene dado por:

[editar]Caso tridimensional

El caso del estado tensional de un punto P de un slido tridimensional es ms complicado ya que matemticamente se representa por una matriz de 3x3 para la que existen 3 valores propios, no necesariamente diferentes.

En el caso general, las tensiones normal () y tangencial (), medidas sobre cualquier plano que pase por el punto P, representadas en el diagrama (,) caen siempre dentro de una regin delimitada por 3 circulos. Esto es ms complejo que el caso bidimensional, donde el estado tensional caa siempre sobre una nica circunferencia. Cada uno de las 3 circunferencias que delimitan la regin de posibles pares (,) se conoce con el nombre de circunferencia de Mohr.

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[editar]Circunferencia de Mohr para momentos de inercia

Para slidos planos o casi-planos, puede aplicarse la misma tcnica de la circunferencia de Mohr que se us para tensiones en dos dimensiones. En muchas ocasiones es necesario calcular elmomento de inerciaalrededor de un eje que se encuentra inclinado, la circunferencia de Mohr puede ser utilizado para obtener este valor. Tambin es posible obtener los momentos de inercia principales. En este caso las frmulas de clculo del momento de inercia medio y el radio de la circunferencia de Mohr para momentos de inercia son anlogas a las del clculo de esfuerzos:

Centro de la circunferencia:

Radio de la circunferencia:

INTRODUCCIONEl desarrollo de este trabajo est basado en temas de inters para el estudio de la resistencia de materiales, tomando como base los esfuerzos y las deformaciones para su anlisis, estos son bsicos para el entendimiento de los temas a tratar.

En esta investigacin trataremos los siguientes temas: La transformacin de esfuerzos y deformaciones en el estado plano, esfuerzos que ocurren en recipientes de presin de pared delgada, el uso del crculo de Mohr para la solucin de problemas que implican transformacin de esfuerzo plano, esfuerzos principales, esfuerzos cortantes mximos, entre otros aspectos.

En las transformaciones de deformacin plana veremos las deformaciones en planos, ya sea xy, yz, xz. Existen deformaciones tridimensionales, pero el estudio de las mismas requiere conocimientos ms profundos de la materia, que al nivel estudiado no ha sido analizado. En este tema vemos como existen deformaciones que no ocurren en los planos ya conocidos, y en tal caso es necesario llevarlos(a travs de frmulas) a un plano conocido, para su fcil manejo.

Como tema de finalizacin, Las Rosetas de Deformacin, que pretendemos, con un breve desarrollo, explicar su anlisis, y que tan beneficioso puede ser para la prctica en la vida diaria.

TRANSFORMACIN DEL ESFUERZO PLANODesde el punto de vista del material, las caractersticas propias determinan si es ms resistente a las cargas normales o a las cargas cortantes, de aqu nace la importancia de transformar un estado de tensiones general en otro particular que puede ser ms desfavorable para un material.

Se considera un trozo plano y un cambio de ejes coordenados rotando el sistema original en un ngulo .

El estado de esfuerzos cambia a otro equivalente x' y' x'y' que deben calcularse en base a los esfuerzos originales. Tomando un trozo de elemento plano se tiene que :

Para poder hacer suma de fuerzas y equilibrar este elemento, es necesario multiplicar cada esfuerzo por el rea en la que se aplican para obtener las fuerzas involucradas. Considerando que los esfuerzos incgnitos se aplican en una rea `da'. Se tiene que este trozo de cua tiene un rea basal `da cos ' y un rea lateral `da sen '

Suma de fuerzas en la direccin x' :

x' da = x da cos cos + y da sen sen + xy da cos sen + xy sen cos

x' = x sen2 + y cos2 + 2 xy cos sen

x' = ( x + y )/2 + ( x - y )/2 (cos 2) + xy (sen 2)

Suma de fuerzas en la direccin y' :

x'y' da = y da cos sen - xy da sen sen + xy cos cos - x da sen cos

x'y' = y cos sen - xy sen2 + xy cos2- x sen cos

x'y' = xy (cos 2) - ( x - y )/2 (sen 2)

Con estas expresiones es posible calcular cualquier estado de esfuerzo equivalente a partir de un estado inicial. La siguiente aplicacin permite calcular estos valores automticamente. Compruebe los resultados que se obtienen.

ESFUERZOS PRINCIPALESSiempre es importante obtener los valores mximos de los esfuerzos tanto los normales como los de corte para compararlos con los valores admisibles del material que se est evaluando.

El esfuerzo normal mximo se deduce derivando x' con respecto al ngulo :

dx' /d = 0 = - ( x - y ) (sen 2) + 2 xy (cos 2)

tan 2 = 2 xy / ( x - y )

La solucin de esta ecuacin son dos ngulos que valen : y + 90

Al evaluar usando estos valores para el ngulo se obtienen los esfuerzos normales mximo ( 1) y mnimo (2). Es importante destacar que si se iguala x'y' = 0 se obtiene la misma expresin que la derivada, esto implica que cuando el elemento se rota para encontrar los esfuerzos principales (1 y 2) se produce que el esfuerzo cortante vale cero.

En definitiva :

1 , 2 = ( x + y ) / 2 + / -El esfuerzo cortante mximo se obtiene de forma similar, derivando la expresin correspondiente con respecto al ngulo .

dtx'y' / d = 0 = -2 xy (sen 2) - ( x - y ) (cos 2)

tan 2 = - ( x - y ) / 2 xy

Esta expresin nos entrega el ngulo para el cual se producen los esfuerzos cortantes mximos, queda en definitiva :

1 y 2 = + / -

ESFUERZOS CORTANTES MXIMOSEl esfuerzo cortante mximo difiere del esfuerzo cortante mnimo solo en signo, como muestran las formulas explicadas el tema Esfuerzo s Principales. Adems, puesto que las dos races de la ecuacin tan 2 = - ( x - y ) / 2 xy

sitan el plano a 90, este resultado significa tambin que son iguales los valores numricos de los esfuerzos cortantes en planos mutuamente perpendiculares.

En esta deduccin, la diferencia de signo de los dos esfuerzos cortantes surgen de la convencin para localizar los planos en que actan estos esfuerzos. Desde el punto de vista fsico dichos signos carecen de significado, por esta razn al mayor esfuerzo cortante, independientemente de su signo, se llamaesfuerzo cortante mximo.El sentido definido del esfuerzo cortante siempre se puede determinar por la sustitucin directa de la raz particular de en la ecuacin

x'y' = xy (cos 2) - ( x - y )/2 (sen 2)

un esfuerzo cortante positivo indica que este acta en el sentido supuesto y viceversa. La determinacin del esfuerzo cortante mximo es de mayor importancia para materiales de baja resistencia al corte.

A diferencia de los esfuerzos principales cuyos planos no ocurren esfuerzos cortantes, los esfuerzos cortantes mximos actan en planos que usualmente no estn libres de esfuerzos normales. La situacin de de la ecuacin

tan 2 = - ( x - y ) / 2 xy

en la

x' = ( x + y )/2 + ( x - y )/2 (cos 2) + xy (sen 2)

muestra que los esfuerzos normales que actan en los planos de los esfuerzos cortantes mximos son

* =( x + y )/2

por consiguiente, el esfuerzo normal acta simultneamente con el esfuerzo cortante mximo a menos que se anule x + y.

Si x y y de la ecuacin 1 y 2 = + / - son esfuerzos principales, xy es cero y la ecuacin se simplifica en

max =( x - y )/2

CIRCULO DE MOHR PARA ESFUERZO.Las ecuaciones desarrolladas en los puntos anteriores pueden rescribirse para formar una ecuacin de circunferencia :

Se tiene que :

x' = ( x + y )/2 + (( x - y )/2 (cos 2)) + xy (sen 2)

x'y' = xy (cos 2) - (( x - y )/2 ) (sen 2)

La primera ecuacin se acomoda de la siguiente forma :

x' - ( x + y )/2 = (( x - y )/2 (cos 2)) + xy (sen 2)

Elevando al cuadrado se tiene :

(x' - (x + y)/2)2 =(x - y)2/4 (cos 2)2 + (x - y) (cos 2) xy (sen 2) + xy2 (sen 2)2

Elevando al cuadrado la segunda ecuacin se tiene :

x'y'2 = xy2 (cos 2)2 - xy (cos 2) (x - y) (sen 2) + (x - y)2/4 (sen 2)2

Sumando ambas expresiones :

(x' - ( x + y )/2)2 + x'y'2 = xy2 + (( x - y )2/2)2

Los esfuerzos originales son datos, y por lo tanto constantes del problema, se tiene entonces :

xy2 + (( x - y )2/2)2 = b2

( x + y )/2 = a

Rescribiendo queda :

(x' - a)2 + x'y'2 = b2

Si los ejes son :

x = x'

y = x'y'

Tenemos :

( x - a )2 + y2 = b2

Que representa a una circunferencia con centro en x = a ; y = 0 con un radio

r = b. Esta circunferencia se denomina Crculo de Mohr (Otto Mohr 1895) que en definitiva tiene las siguientes caractersticas :

Centro en : x = ( x + y )/2 ; y = 0

Radio de : r2 = xy2 + (( x - y )2/2)2

La figura siguiente muestra el crculo de Mohr creado a partir de un problema :

ESFUERZOS EN RECIPIENTES DE PRESION DE PARED DELGADALos recipientes de pared delgada constituyen una aplicacin importante del anlisis de esfuerzo plano. Como sus paredes oponen poca resistencia a la flexin, puede suponerse que las fuerzas internas ejercidas sobre una parte de la pared son tangentes a la superficie del recipiente. El anlisis de esfuerzos en recipientes de pared delgada se limitar a los dos tipos que se encuentran con mayor frecuencia:recipientes cilndricos y esfricos.

Considerando recipiente cilndrico de radio interiorry espesor de paredt, que contiene un fluido a presin Se van a determinar los esfuerzos ejercidos sobre un pequeo elemento de pared con lados respectivamente paralelos y perpendiculares al eje del cilindro. Debido a la simetra axial del recipiente y de su contenido, no se ejercen esfuerzos cortantes sobre el elemento.

Los esfuerzos 1 y 2 mostrados en la figura son por tanto esfuerzos principales. El esfuerzo 1 se conoce comoesfuerzo de costillay se presenta en los aros de los barriles de madera. El esfuerzo 2 es elesfuerzo longitudinal.Para determinar los esfuerzos de costilla se retira una porcin del recipiente y su contenido limitado por el planoxyy por dos planos paralelos al planoyzcon una distancia X de separacin entre ellos. Se aclara que p es la presinmanomtricadel fluido.

La resultante de las fuerzas internas es igual al producto de y del rea transversal 2tx. Con la ecuacin de sumatoria de fuerza en z se concluye que para el esfuerzo de costilla:

Con el propsito de determinar el esfuerzo longitudinal 2, haremos un corte perpendicular al eje x y se considerar el cuerpo libre que consta de la parte del recipiente y de su contenido a la izquierda de la seccin. Tomando en cuenta las frmulas del rea y longitud del cilindro y la sumatoria de fuerzas en z, finalmente se concluira que: 2 = pr / 2t

El esfuerzo en la costilla es el doble del esfuerzo longitudinal. Luego se dibuja el Crculo de Mohr y se llega a que:

max(en el plano)= 2= pr / 4t

Este esfuerzo corresponde a los puntosDyEy se ejerce sobre un elemento obtenido mediante la rotacin de 45 del elemento original de dicha figura,dentro del planotangente a la superficie del recipiente. EL esfuerzo cortante mximo en la pared del recipiente es mayor.Es igual al radio del crculo de dimetro OAy correspondea una rotacinde45alrededor de un eje longitudinal yfuera del plano del esfuerzo.

Considerando ahora un recipiente esfrico, de radio interiorry espesor de pared t,que contiene un fluido bajo presin manomtrica p. Haciendo un corte por el centro del recipiente determinamos el valor del esfuerzo.

As concluye que, para un recipiente

1 = 2 = pr / 2t

Ya que los esfuerzos principales 1 y 2son iguales, el circulo de Mohr para la transformacin de esfuerzos, dentro del plano tangente a la superficie del recipiente, se reduce a un punto. El esfuerzo normal en el plano es constante y que el esfuerzo mximo en el plano es cero. Podemos concluir

max= 1 = pr / 4t

TRANSFORMACION DE DEFORMACION PLANAEn este tema se ha de analizar las transformaciones de ladeformacincuando los ejes coordenados giran. Este anlisis se limitar a estados dedeformacin plana,es decir, a situaciones en donde las deformaciones del material tienen lugar dentro de planos paralelos y son las mismas en cada uno de estos planos. Si se escoge el eje z (ver figura I) perpendicular a los planos en los cuales la deformacin tiene lugar, tenemosEz='Yzx='Yzy= 0, las nicas componentes de deformacin que restan sonEx, Eyy'Yxy.Tal situacin ocurre en una placa sometida a cargas uniformemente distribuidas a lo largo de sus bordes y que este impedida para expandirse o contraerse lateralmente mediante soportes fijos, rgidos y lisos(ver figura I). Tambin se encontraran en una barra de longitud infinita sometida, en sus lados, a cargas uniformemente distribuidas ya que, por razones de simetra, los elementos situados en un plano transversal nopueden salirse de el. Este modelo idealizado muestra que en el caso real de una barra larga sometida a cargas transversales uniformemente distribuidas(ver figura II), existe un estado de esfuerzo plano en cualquier seccin transversal que no este localizada demasiado cerca de uno de los extremos de la barra.

figura I figura II

figura IIISupngase que existe un estado de esfuerzo plano en el punto Q(z= 'Yzx ='Yz= 0), definido por las Componentes de deformacin Ez, Eyy'Yxyasociadas Con los ejesxyy. Esto significa que un elemento cuadrado de centro Q, con lados de longitud"srespectivamente paralelos a los ejesxyy,se transforma en un paralelogramo con lados de longitud"s(1 +Ex)y"s(1 +Ey),formando ngulos de "/2-'Yxyy f +'Yxyentre si(vea figura II)).Como resultado de las deformaciones de los otros elementos localizados en el planoxy,el elemento considerado tambin puede experimentar un movimiento de cuerpo rgido, pero tal movimiento es insignificante en lo referente a la determinacin de las deformaciones en el punto Q y no se tendr en cuenta en este anlisis.

El propsito es determinar en trminos de Ex,Ey, 'Yxyy 0 las Componentes de deformacin Ex,Ey.y'Yx'y'asociadas con el marco de referenciax'y ' obtenido mediante la rotacin de los ejesxyy un ngulo . Como se muestra en la figura IV, estas nuevas componentes de la deformacin definen el paralelogramo en que se transforma un cuadrado con lados respectivamente paralelos a los ejesx'y y'.

FIGURAS COMPLEMENTARIAS

figuras: IV, Va, Vb, VI.(resp)Primero se derivar una expresin para la deformacin normal E ()a lo largo de una lneaABque forma un ngulo arbitrario con eleje x.Para hacerlo considere el tringulo rectngulo ABC conABcomo hipotenusa(vea figura Va)y el tringulo oblicuoA'B'C',en el cual se transforma el tringuloABC (vea la figura Vb), se tiene

(A'b')^2= (A'C') ^2 + (C'B') ^2 -(A'C')(C'B')cos("/2 + Yxy)("s) ^2 { 1+ E()}= ("x) ^2( 1+Ex) ^2 + ("y) ^2(1 Ey) ^2-2("x)(1+Ex)( "y)(1+Ey) cos("/2 + Yxy) (a)pero de la figura Va,"x=( "s) cos()"y=( "s) sen()(b)y, comoYxy es muy pequeoCos(/2 + Yxy)= -senYxy" -Yxy(c)Sustituyendo de las ecuaciones (b) y (c) en la ecuacin (a),

se escribe

E()= Ex cos^2 + Ey sen^2 + Yxy sen cos (d)La ecuacin (d) permite hallar la deformacin normalE() en cualquier direccinAB,en funcin de las componentes de deformacinEx,Ey, 'Yxy,y del ngulo que formaABcon el ejex.Observe que, para(= 0), la ecuacin (d) produceE()=Ex,y que, para (= 90, da E(90) =Ey.El propsito principal de esta seccin es expresar las componentes de la deformacin asociadas con el marco de referenciax'y'de la figura IV en trminos del ngulo y de las componentesEx,EyyYxy,asociadas con los ejesxyyse nota que la deformacin normalEx'a lo largo del ejex'esta dada por la ecuacin (d). Se escribe esta ecuacin en la forma alternativa

Ex'=(Ex + Ey)/2 + (Ex - Ey)/2 cos2 +Yxy/2 sen2(e)Remplazando por + 90, se obtiene la deformacin normal a lo largo del ejey'.Como cos(2 + 180) = cos2 y sen(2+ 180) = -sen2Ex'=(Ex + Ey)/2 - (Ex - Ey)/2 cos2 -Yxy/2 sen2(f)Sumando miembro a miembro las ecuaciones (e) y (f)

Ex'+ Ey'= Ex + Ey(g)Puesto que Ez =Ez'= 0, se verifica, en el caso de la deformacin plana, que la suma de las deformaciones normales asociadas con un elemento cbico de material es independiente de la orientacin del elemento.

Remplazando ahora por + 45 en la ecuacin (e), se obtieneuna expresin para la deformacin normal a lo largo de la bisectrizOB'del ngulo formado por los ejesx'yy'.Como cos(2+ 90) = -sen 2 y sen(2+ 90) = cos2,se tiene

E( )B' =Ex'=(Ex + Ey)/2 - (Ex - Ey)/2 sen2 +Yxy/2 cos2(h)Escribiendo la educacin (d) con respecto a los ejes x' y y',se expresa ;a deformacin cortante Yx'y' en funcin de las deformaciones normales medidas a lo largo de los ejes x' y y', y de la bisectriz OB':

Yx'y'= 2E( )B' -( Ex' +Ey')(i)Sustituyendo de las ecuaciones ( g) y (h) en la (i)

Yx'y'= -(Ex - Ey)sen2 + Yxy cos2(j)Escribiendo las ecuaciones (e), (f) y (j) son las que definen la transformacin de deformacin plana bajo una rotacin de ejes en el plano de deformacin. Dividiendo la ecuacin (j) por 2, se escribe esta ecuacin en la forma alternativa

Yx'y'/2= - (Ex - Ey)/2 sen2 + Yxy/2 cos2

MEDIDAS DE DEFORMACION. ROSETA DE DEFORMACIONHaciendo dos marcasAyBa travs de una lnea dibujada en la direccin deseada, y midiendo la longitud del segmentoABantes y despus de aplicar la carga se puede determinar la deformacin normal en cualquier direccin en la superficie de un elemento estructural o componente de mquina.

SiLes la longitud no deformada deABy su alargamiento, la deformacin normal a lo largo deABes:

Eab= / L

Ahora bien, existe un mtodo mas conveniente y exacto para la medida de deformaciones, basado en los deformmetros elctricos. Para medir la deformacin de un material dado en la direccinAB,el medidor se pega a la superficie del material con las vueltas de alambre paralelos aAB.Cuando el material se alarga, el alambre aumenta en longitud y disminuye en dimetro, haciendo que la resistencia elctrica del medidor aumente. Midiendo la corriente que pasa a travs de un medidor bien calibrado, la deformacinEARpuede determinarse precisa y continuamente a medida que la carga aumenta.

Debe advertirse que las componentes Ex y Ey Yxyen un punto dado pueden obtenerse de la medida de deformacin normal hecha alo largo detres lneasdibujadas por ese punto. Designando respectivamente por 1, 2 y 3 el ngulo que cada una de las lneas forma con el ejex, remplazando en la ecuacin anterior, se tienen las tres ecuaciones :

E1= Excos^21 + Eysen^21 + Yxy sen1 cos 1

E2= Excos^22 + Eysen^22 + Yxy sen2 cos 2

E3= Excos^23 + Eysen^23 + Yxy sen3 cos 3

La colocacin de los deformmetros utilizados para medir las tres deformaciones normales El, E2 y E3 se conoce como Roseta de Deformacin.La roseta usada para medir deformaciones normales a lo largo de los ejesxyyy su bisector se conoce como roseta de 45. Otra roseta muy utilizada es la de 60.

Una fuerza horizontal de magnitud P= 150 lb. se aplica al extremo D de la palanca ABD. Sabiendo que la porcin AB de la palanca tiene un dimetro de 1.2 pulg., halle: a). los esfuerzos normal y cortante en un elemento situado en el punto H, con lados paralelos a los ejes x, y y, b). los planos principales y los esfuerzos principales en el punto H.P= 150 lb. T= (150 lb)(18 pulg)= 2.7 kips. Pulg

Mx= (150 lb)(10 pulg)= 1.5 kips. Pulg.

x= 0 y= Mc/I= (1.5 kips.pulg)(0.6 pulg) / (0.6 pulg)4 =8.84 ksi

xy= Tc/J= (2.7 kips.pulg)(0.6 pulg) / (0.6 pulg)4 =

7.96 ksi.Tan 2p= 2xy / x - y= 2(7.96) / 0-8.84 = -1.80

2p= -61 y 180 - 61 = 119

p= -30.5 y 59.5

mx, mn = x + y / 2 + [ (x - y / 2)2 + 2 xy ]

-

0 + 8.84 / 2 +[ ( 0 - 8.84 / 2)2 + (7.96)2 ] = +4.42 + 9.10

-

mx. = +13.52 ksi ymn. = -4.68 ksi2.- Determine los esfuerzos principales de la flecha de acero. La Flecha tiene un dimetro de 3 pulg. Las poleas pesan 250 lb. Cada una, y las tensiones en las bandas son opuestas. Las chumaceras de las extremos permiten rotacin suficiente de modo que los apoyos extremos pueden considerarse como articulados. Desprecie el peso de la flecha.= Mc/Is = Tc/J= Mc/I = (1425 x 12) (1.5)/ (/64) (3) = 6690 lb/pulgs = Tc/J = (500 x 16) (1.5)/ (/32) (3) = 1510 lb/pulg = ( x + y ) / 2 + / -= -6690 + 0 +/ - " (-6690 + 0) + 1510 lb/pulg -3345 - 3760 = -7015lb/pulg3.- Ahora determine el esfuerzo cortante mximo de la flecha. == " (-3315 - 0) + 1510 =3670 lb/pulg

CONCLUSIONEn esta presentacin hemos analizado temas como son Esfuerzos en Tuberas y Envases Esfricos de Pared Delgada; como transformar la deformacin plana a otros ejes, el concepto de Roseta de Deformacin, los ngulos principales y cortantes mximos, el crculo de Mohr, etc.

Como conclusin en tuberas y envases esfricos tenemos que las fuerzas internas ejercidas se pueden suponer tangentes a la superficie del recipiente. Existen a su vez, esfuerzos de costillas y esfuerzos longitudinales que son iguales.

En el desarrollo de la transformaciones planas a travs de formulas trigonomtricas, se pudo rotar las deformaciones a un plano ya conocido para su fcil estudio. Para rotarlo debemos saber el ngulo q forma el eje que produce la deformacin con un eje conocido.

Finalmente, las Roseta de deformacin es una tcnica para determinar la deformacin en un elemento sometido a un esfuerzo especfico.

Existe un mtodo mas conveniente y exacto para la medida de deformaciones, basado en los deformmetros elctricos. Para medir la deformacin de un material dado en la direccin AB, el medidor se pega a la superficie del material con las vueltas de alambre paralelos a AB. Cuando el material se alarga, el alambre aumenta en longitud y disminuyeen dimetro.

BIBLIOGRAFIA Beer, Ferdinand y Russell Johnston.Mecnica de Materiales.Mc Grw Hill, 1999.

Popov, Egor.Mecnica de Materiales.Editora Limusa, Mxico.

Robert W. Fitzgerald.Reasistencia de Materiales.Fondos Educativos Internacionales, S.A., Mxico, 1970

ndicePaginaIntroduccin ....................................................... 2Transformacin del esfuerzo plano.....................3Esfuerzos Principales..........................................5Esfuerzos Cortantes Mximos............................6Circulo de Mohr para Esfuerzo...........................7Esfuerzos en Recipientes de Presin dePared Delgada.......................................................8Transformacin de Deformacin Plana..............13Figuras Complementarias...................................15Medidas de Deformacin. Rosetade Deformacin....................................................18Problemas Resueltos............................................21Conclusin ............................................................23Bibliografa...........................................................246