3.5 Método grafico. Circulo de Mohr -...

UT3 Analisis de esfuerzos en un Punto 3A Metodo Grafico

MC. Daniel Ramirez Villarreal Ingenieria de Materiales. FIME-UANL

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1

Método Grafico. Circulo de Mohr

IngenieriaIngenieria de los Materiales de los Materiales MC. Daniel MC. Daniel RamirezRamirez VillarrealVillarreal

3.5 Método grafico. Circulo de Mohr

Existe una interpretación grafica de las ecuaciones anteriores hecha por el ingeniero alemán Otto Mohr Otto Mohr (1882)(1882) a partir del uso de un círculo, por lo que se ha llamado Circulo de MohrCirculo de Mohr. .

2IngenieriaIngenieria de los Materiales de los Materiales MC. Daniel MC. Daniel RamirezRamirez VillarrealVillarreal

3.5 Método grafico. Circulo de Mohr

Las ecuaciones (3.1) y (3.2) son las ecuaciones paramétricas de una circunferencia. Rearreglando la ecuación 3.1:

3

θτθσσ

τ

θτθσσσσσ

2cos22

22cos22

xy

yx

xy

yxyx

sen

sen

+−

=

−−

++

=


(3.1 y 3.2)


Elevando al cuadrado, sumando y simplificando,

( )22

22

22 xyyxyx τ

σστ

σσσ +�

��

��

� −=+�

��

��

� +− (3.11)

σσxx, , σσyy,, ττxyxy son valores conocidos que definen el son valores conocidos que definen el estado estado plano de esfuerzoplano de esfuerzo,, mientras que mientras que σσσσσσσσ yy ττττττττ son variablesson variables. .




Por lo tanto Por lo tanto ((σσσσσσσσxx ++σσσσσσσσyy)/2)/2 es una constante es una constante CC,, y el y el segundo miembro de la ecuacisegundo miembro de la ecuacióón (3.11) lo consideramos n (3.11) lo consideramos como otra constantecomo otra constante RR. . sustituyendo, la ecuacisustituyendo, la ecuacióón (3.11) se n (3.11) se transforma en: transforma en:

( ) 222 RC =+− τσ (3.12)

Esta ecuaciEsta ecuacióón es ann es anááloga a la de una circunferencia: loga a la de una circunferencia:

(x(x--c)c)22 + y + y 22= R= R22

6

( )

2

22

2

yx

xyyx

C

R

σσ

τσσ

+=

+��

��

� −=


(3.13)(3.13)

Por lo que la circunferencia será de radio y centro:

11��

La figura 3.5 representa el círculo de Mohr para el estado plano de esfuerzos que se ha estudiado.

El centro C esta a una distancia OC del origen que es la media aritmética de los esfuerzos normales, y el radio R es la hipotenusa del triangulo rectángulo CDA.

Se puede comprobar fácilmente que las coordenadas de los puntos E, F, G corresponden a las expresiones deducidas en las ecuaciones (3.5) y (3.6), por lo que el circulo de Mohr representa gráficamente la variación de los esfuerzos dada por las ecuaciones (3.1) y (3.2).



Figura 3.5 Circulo de Mohr estado plano de esfuerzo bidimensionFigura 3.5 Circulo de Mohr estado plano de esfuerzo bidimensional al



��


Dado el estado de esfuerzos biaxial:

σσσσx > σσσσy,

σσσσy

ττττ��σσσσ�

��σx ��τxy )

��σy��τyx )

aa

bb

ττττyx

10

ττττττττ

−−−−−−−−ττττττττ

−−−−−−−− σσσσσσσσ + σ+ σ+ σ+ σ+ σ+ σ+ σ+ σ

XX

YY bb

aaccοοοοοοοο

σ σ σ σ σ σ σ σ minmin

σ σ σ σ σ σ σ σ maxmax

τ τ τ τ τ τ τ τ maxmax

σ σ σ σ σ σ σ σ nn

τ τ τ τ τ τ τ τ minmin


��σx ��τxy )

��σy��τyx )

11111111’’

22222222 11111111

22222222’’

��θθθθθθθθ��

��θθθθθθθθ��

��θθθθθθθθ��’’

��θθθθθθθθ��’’

Problema propuesto (Método Gráfico Circulo de Mohr) :1. Para el estado de esfuerzos biaxial

en el punto, Determinar :

a) Los esfuerzos componentes σσσσx’, ττττxy’ para θ θ θ θ x’ = -30o

b) Los esfuerzos principalesnormales σσσσ1, σσσσ2 .

c) Su dirección y orientación

d) Los esfuerzos principalescortantes ττττ1, ττττ2 y σσσσn

e) Su dirección y orientación


σσσσσσσσxx= 500 = 500 MPaMPa

σσσσσσσσyy = 300 = 300 MPaMPa

ττττττττxyxy= 100 = 100 MPaMPa

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Método Gráfico: Circulo de Mohr

1. Identificar el estado de esfuerzos σx = + 500MPa (T)σy = - 300MPa (c)τxy = - 100MPaτyx = 100MPa

2. Hacer escala 50 MPa: 1cm.

3. Pasar los puntos a(500, -100) y b(-300, 100) a centímetros; (10,-2)y (-6, 2).

4 Trazar los ejes σ vs. τ en el papel milimétrico

5. Marcar los puntos a y b y unirlos con una línea.

6. Indicar el eje X de Ca y el y de Cb

7. Marcar el origen O y el centro C12


aa

bb

XX

YYCC

ooσσσσσσσσ

ττττττττ



ττττττττxyxy= 100 = 100 MPaMPaab

−−−−−−−− σσσσσσσσ

−−−−−−−− ττττττττ



8. Con radio R = Ca = Cb trazar el circulo con centro en C. identificar los ejes principales.

9. Obtener el estado de los esfuerzos principales y sus magnitudes:midiendo en el papel milimétrico cada punto indicado en la figura a partir del origen:

σ Max =(#cm)escala=518MPa(+) σ Min = #cm x (escala) =τ Max = #cm x (escala) =τ Min = #cm x (escala) =

σn = #cm x (escala) =


aa

bb

XX

YY

CCoo σσσσσσσσ2211

22’’

11’’

((σσσσσσσσ��,0),0)

((σ σ σ σ σ σ σ σ n, n, ττττττττ�� ))

((σσσσσσσσ n ,n ,ττττττττ��,),)


ττττττττ

σσσσσσσσmaxmaxσσσσσσσσminmin

ττττττττmaxmax

σσσσσσσσ nn,,

−−−−−−−−ττττττττminmin


−−−−−−−−σσσσσσσσ

10. Obtención de la dirección de los esfuerzos principales normales y cortantes

Los ángulos en el circulo son el doble del valor real.

2θ Max = + θ 1 =+ #o

2θMin = - θ 2 = - #o

2θ ’Max = + θ 1’ = + #o

2θ ’Min = - θ 2’ = - #o

Ver figura


aa

bb

XX

YY

CCoo σσσσσσσσ((σσσσσσσσ��,0),0)

((ττττττττ��, , σ σ σ σ σ σ σ σ nn))

((ττττττττ�� σ σ σ σ σ σ σ σ nn))


22 11

22’’

11’’

ττττττττ

22θθθθθθθθ 1122θθθθθθθθ 22 22θθθθθθθθ 22’’

22θθθθθθθθ 11’’

−−−−−−−−σσσσσσσσ


11. Obtención de las orientación de los esfuerzos principales normales y cortantes.

Con los ángulos anteriores se inicia la orientación con los esfuerzos principales normales, representando un sistema de ejes cartesiano X-Y , luego a partir del eje X se representa la dirección: θ1 considerando su signo y aplicando la convención; positivos en contra del reloj y negativos a favor con respecto al eje X……. ver orientación del probl. Método analítico





12. Obtención de las componentes de esfuerzos σx’, τxy’ para θx’=−30ο y sus correspondientes componentes a 90o ; σy’, τyx’ .

Se marca en el circulo a partir del eje X el ángulo 2θ trazándose el nuevo eje X’ desde el centro del circulo C y la intersección será el punto cuyas coordenadas son: σx’, τxy’ luego a 90 o de este eje se encuentra el eje Y’ en cuya intersección con el circulo representa el punto con coordenadas σy’, τyx’ .





θ θ θ θ θ θ θ θ = = -- 3030



17

ττττττττ


−−−−−−−− σσσσσσσσ + σ+ σ+ σ+ σ+ σ+ σ+ σ+ σ

xx

yy bb

aaccοοοοοοοο

σ σ σ σ σ σ σ σ xx’’

τ τ τ τ τ τ τ τ yxyx’’

σ σ σ σ σ σ σ σ yy’’

τ τ τ τ τ τ τ τ xyxy’’


Calculo de: Calculo de: σσσσσσσσxx’’ ,, ττττττττxyxy’’ para para θθθθθθθθ= = --3030oo yy σσσσσσσσyy’’ y y τ τ τ τ τ τ τ τ xyxy’’ para para

θθθθθθθθ’’ = = --30 + 90 = 6030 + 90 = 60oo

σσσσy

ττττ��

σσσσ�

��σσσσx �� ττττxy )

��σσσσy ��ττττyx )

22222222 11111111

��θ=θ=θ=θ=θ=θ=θ=θ=−−−−−−−−6060606060606060οοοοοοοο

aabb

��θθθθθθθθ’’=120=120=120=120=120=120=120=120οοοοοοοο

xx’’aa’’

yy’’b’

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