“Año de la Integración Nacional y el

Reconocimiento deNuestra Diversidad”

Universidad Nacional De Piura

FACULTAD DE AGRONOMÍA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA AGRÍCOLA

TRABAJO ENCARGADO:CIRCULO DE MOHR

CURSO : MECÁNICA VECTORIAL (ESTÁTICA)

DOCENTE : Lic. DOUGLAS ALVARADO PAIVA

ALUMNO : VALDIVIEZO VASQUEZ HILDEBRANDO

PIURA – PERÚ

2012

INTRODUCCIÓN

Fue desarrollado por Christian Otto Mohr (1835-1918), el círculo de Mohr es un método gráfico para determinar el estado tensional en los distintos puntos de un cuerpo. Entre las tensiones que existentes en un cuerpo sometido a un cierto estado de cargas y con unas ciertas restricciones, importan en general las tensiones principales, que son las tensiones que existen sobre ciertos planos del cuerpo, donde las tensiones de corte nulas. Estas tensiones son de importancia para el estudio de la resistencia mecánica de una pieza.

Este método tiene aplicación para estados tensionales en dos y tres dimensiones.

Los círculos de Mohr son un método para representar gráficamente el estado tensional que padece un punto de un sólido en un instante determinado. Aunque actualmente, gracias a los ordenadores, es posible calcular las tensiones con gran precisión sin recurrir a estos métodos, siguen siendo de gran validez puesto que de un solo golpe de vista hacen comprensible la situación tensional del sólido.

[1]

CIRCULO DE MOHR:

La Circunferencia de Mohr (Incorrectamente llamado Círculo de Mohr, ya que no se trabaja con un área sino con el perímetro) es una técnica usada en ingeniería y geofísica para representar gráficamente un tensor simétrico (de 2x2 o de 3x3) y calcular con ella momentos de inercia, deformaciones y tensiones, adaptando los mismos a las características de una circunferencia (radio, centro, etc). También es posible el cálculo del esfuerzo cortante máximo absoluto y la deformación máxima absoluta.

Para entender esta representación repasaremos brevemente algunos conceptos ya estudiados como los de esfuerzo (tensión) y deformación, y su modo de ser expresados.

[2]

a) ESFUERZO O TENSIÓN:

El esfuerzo o tensión se define como una fuerza por unidad de área, con unidades en psi o MPa. En una pieza sujeta a algunas fuerzas, los esfuerzos se distribuyen como una función continuamente variable dentro del continuo del material. Los esfuerzos normales actúan de manera perpendicular (es decir, normal) a la cara del cubo y tienen tendencia ya sea a tirar de él (esfuerzo a tracción), o a empujarlo (esfuerzo a compresión). Los esfuerzos cortantes actúan paralelos a las caras de los cubos, en pares sobre caras opuestas, lo que tiende a distorsionar el cubo a forma romboidal.

El esfuerzo es un tensor de segundo orden y por lo tanto requiere nueve valores componentes para describirlo en tres dimensiones. El tensor de esfuerzos en tres dimensiones se puede expresar como la matriz:

[3]

[σ xx τxy τ xz

τ yx σ yy τ yz

τ zx τ zy σzz]

donde la notación para cada componente de esfuerzos contiene tres elementos, una magnitud (ya sea σ o τ), la dirección de una normal a la superficie de referencia (primer subíndice) y en una dirección de acción (segundo subíndice). Nos serviremos σ de referimos a los esfuerzos normales y τ para los esfuerzos cortantes.

El tensor de esfuerzo para dos dimensiones es:

[σ xx τ xy

τ yx σ yy]

También se puede demostrar que el tensor de esfuerzo es simétrico, lo que significa que:

τ xy=τ yx

τ yz=τ zy

τ zx=τ xz

Con ello se reduce el número de componentes de esfuerzo a calcular.

[4]

Normales de Superficie Componentes de Esfuerzo positivas.

Componentes deEsfuerzo negativas.

b) DEFORMACIÓN:

La deformación es también un tensor de segundo orden y se puede expresar para el caso tridimensional de la forma:

[ε xx εxy εxz

ε yx ε yy ε yz

εzx εzy ε zz]

y en caso de dos dimensiones:

[ε xx εxy

ε yx ε yy]

donde ε representa tanto una deformación normal como una deformación producida por el esfuerzo cortante, quedando ambas diferenciadas por sus subíndices. Aquí también por comodidad simplificaremos los subíndices repetidos, para deformaciones perpendiculares o normales a εx, εy y εz, y al tiempo consideraremos dobles subíndices para identificar deformaciones por cortante.

c) ESFUERZOS PRINCIPALES:

Para cualquier combinación particular de esfuerzos aplicados, alrededor de cualquier punto que se analice habrá una distribución continua del campo de esfuerzos. Los esfuerzos normales y cortantes en el punto variarán con la dirección en cualquier sistema de coordenadas que se escoja. Siempre habrá planos sobre los cuales las componentes de esfuerzo cortante sean igual a cero. Los esfuerzos normales que actúan sobre esos planos se conocen como esfuerzos principales. Los planos sobre los cuales estas fuerzas principales actúan se conocen como planos principales. La dirección de las normales de superficie a los planos principales se conocen como ejes principales y los esfuerzos normales que actúan en estas direcciones se conocen como esfuerzos normales principales. Habrá también otro conjunto de ejes mutuamente perpendiculares sobre los cuales los esfuerzos cortantes serán máximos. Los esfuerzos cortantes

[5]

Elemento de esfuerzoEn dos dimensiones.

principales actúan sobre un conjunto o sistema de planos que están a 45º en relación con los planos de los esfuerzos normales principales.

La expresión que relaciona los esfuerzos aplicados con los esfuerzos principales es:

[σ x−σ τ xy τ xz

τ yx σ y−σ τ yz

τ zx τ zy σ z−σ ][nx

ny

nz]=0

donde σ es la magnitud del esfuerzo principal y nx, ny y nz, son los cosenos directores del vector unitario n, que es normal al plano principal:

n . n=1n=nx i+ny j+nz k

Para que haya una solución a la ecuación anterior, el determinante de la matriz de coeficientes debe ser igual a cero. Al expandir este determinante e igualarlo a cero, obtenemos:

σ 3−C2σ2−C1σ−C0=0donde:

C2=σ X +σY +σ Z

C1=τ xy2 +τ yz

2 +τ zx2 −σ x σ y−σ y σ z−σ z σ x

C0=σ x σ y σ z+2 τ xy τ yz τ zx−σ x τ yz2 −σ y τ zx

2 −σz τ xy2

A los coeficientes C0, C1, y C2 se les conoce como invariantes tensoriales, porque tienen los mismos valores, independientemente de la elección inicial de los ejes xyz sobre los cuales se midieron o calcularon los esfuerzos aplicados.

[6]

Esfuerzos normalesprincipales

Esfuerzos cortantes principales

Esfuerzos aplicados

Esfuerzos principales de un elemento de esfuerzo de dos dimensiones

Los esfuerzos cortantes principales se pueden determinar a partir de los valores de los esfuerzos normales principales, utilizando:

τ13=|σ1−σ 3|2

τ 21=|σ2−σ 1|2

τ32=|σ3−σ 2|2

Si los esfuerzos normales principales han sido ordenados como se muestra arriba, entonces τmáx = τ13. Las respectivas direcciones de los planos de los esfuerzos cortantes principales están a 45º de los esfuerzos normales principales, y también son mutuamente ortogonales.

d) ESFUERZO PLANO Y DEFORMACION PLANA

El estado general del esfuerzo y la deformación es tridimensional, pero hay configuraciones geométricas particulares que pueden ser tratadas de manera distinta.

Esfuerzo plano:

El estado de esfuerzos en dos dimensiones, es decir biaxial, también se conoce como esfuerzo plano. El esfuerzo plano requiere que un esfuerzo principal sea igual a cero. Esta situación es común en algunas aplicaciones. Por ejemplo, una placa o un cascarón delgado pueden también tener un estado de esfuerzos plano lejos de sus bordes o de sus puntos de sujeción.

Deformación Plana:

Hay deformaciones principales asociadas con los esfuerzos principales. Si una de las deformaciones principales (digamos ε3) es igual a cero, y las deformaciones restantes son independientes de la dimensión a lo largo de su eje principal, éste se conocerá como deformación plana. Esta situación ocurre en geometrías particulares. Por ejemplo, si una barra larga, sólida, prismática está cargada únicamente en la dirección transversal, aquellas regiones dentro de ella que estén lejos de cualquier restricción en sus extremos tendrán en esencia una deformación igual a cero en la dirección a lo largo del eje de la barra, y se tratará de una deformación plana. (Sin embargo, el esfuerzo no es igual a cero en la dirección de deformación igual a cero.) Un dique hidráulico largo puede considerarse con una situación de deformación plana, en regiones muy

[7]

lejos de sus extremos o de su base, donde está sujeto a estructuras vecinas.

CIRCULO DE MOHR PARA ESFUERZOS

1. CASO BIDIMENSIONAL:

En dos dimensiones, la Circunferencia de Mohr permite determinar la tensión máxima y mínima, a partir de dos mediciones de la tensión normal y tangencial sobre dos ángulos que forman 90º:

NOTA: El eje vertical se encuentra invertido, por lo que esfuerzos positivos van hacia abajo y esfuerzos negativos se ubican en la parte superior.

Usando ejes rectangulares, donde el eje horizontal representa la tensión

normal y el eje vertical representa la tensión cortante o tangencial para cada uno de los planos anteriores. Los valores de la circunferencia quedan representados de la siguiente manera:

Centro del Circulo de Mohr:

C=(σ med ,0 )=( σ x+σ y

2,0)

Radio de la circunferencia de Mohr:

r=√( σ x−σ y

2 )2

+τ xy2

Las tensiones máxima y mínima vienen dados en términos de esas magnitudes simplemente por:

[8]

Estos valores se pueden obtener también calculando los valores propios del tensor tensión que en este caso viene dado por:

T∨¿x , y=[σ x ττ σ y

]¿

2. CASO TRIDIMENSIONAL:

El caso del estado tensional de un punto P de un sólido tridimensional es más complicado ya que matemáticamente se representa por una matriz de 3x3 para la que existen 3 valores propios, no necesariamente diferentes.

T∨¿x , y , z=[ σ x τ xy τ xz

τ yx σ y τ yz

τxz τ yz σ z]¿

En el caso general, las tensiones normal (σ) y tangencial (τ), medidas sobre cualquier plano que pase por el punto P, representadas en el diagrama (σ,τ)

[9]

caen siempre dentro de una región delimitada por 3 circulos. Esto es más complejo que el caso bidimensional, donde el estado tensional caía siempre sobre una única circunferencia. Cada uno de las 3 circunferencias que delimitan la región de posibles pares (σ,τ) se conoce con el nombre de circunferencia de Mohr.

CIRCULO DE MOHR PARA MOMENTOS DE INERCIA:

Para sólidos planos o casi-planos, puede aplicarse la misma técnica de la circunferencia de Mohr que se usó para tensiones en dos dimensiones. En muchas ocasiones es necesario calcular el momento de inercia alrededor de un eje que se encuentra inclinado, la circunferencia de Mohr puede ser utilizado para obtener este valor. También es posible obtener los momentos de inercia principales. En este caso las fórmulas de cálculo del momento de inercia medio y el radio de la circunferencia de Mohr para momentos de inercia son análogas a las del cálculo de esfuerzos:

Centro de la circunferencia:

Radio de la circunferencia:

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

http://www.frbb.utn.edu.ar/carreras/materias/elementosdemaquinas/apendice- 03.pdf

http://www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r49641.PDF

[10]

http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%ADrculo_de_Mohr

http://www.campus.fi.unju.edu.ar/courses/SSJ0000120042A0008/document/ DOCUMENTOS_DE_TERCEROS/TEORIA/TENSIONES_COMBINADAS/02_AMD_32_35_Mohr_1.pdf?cidReq=SSJ0000120042A0008

http://www.ing.unlp.edu.ar/aeron/catedras/archivos/Circulo%20de%20Mohr.pdf

http://lim.ii.udc.es/docencia/din-sismec/circulos.pdf

[11]