CIRCULO DE MOHR PARA ESFUERZO PLANO

El círculo usado para obtener algunas de las ecuaciones básicas relativas a la transformación de un esfuerzo plano lo introdujo el ingeniero alemán Otto Mohr (1835-1918) y se conoce como circulo de Mohr para esfuerzo plano. Como se verá este círculo puede utilizarse como método alternativo de solución para los problemas. Este método se basa en consideraciones geométricas simples y no requiere el uso de ecuaciones especializadas, Aunque diseñado para obtener soluciones graficas, se presta también al uso de una calculadora.

Considere un elemento cuadrado de un material sometido a esfuerzo plano (véase la figura 5.15ª), y sea σ x, σ y y τ xy las componentes del esfuerzo ejercido sobre el elemento. Dibújese un punto X de coordenadas σ x y −τ xy, y un punto Y de coordenadas σ y y +τ xy(véase

la figura 5.15b). Si τ xy es positivo, como se supone en la figura 6.15ª, el punto X está situado debajo del eje σ y el punto Y encima, como se muestra en la figura 5.15b. Si τ xy es negativo, X se situa encima del eje σ y Y debajo. Uniendo X y Y mediante una línea recta se define el punto C de intersección de la línea XY con el eje σ y se dibuja el circulo de centro respectivamente iguales a las cantidades σ med y R definidas por las ecuaciones (5.10), se concluye que el circulo obtenido es el circulo de Mohr para esfuerzo plano. Así las abscisas de los puntos A y B, en donde el círculo interseca al eje σ , representan respectivamente los esfuerzos principales σ max yσ min en el punto considerado.

Se nota también que como tan (XCA )=2 τ xy /(σx−σ y ), el angulo XCA es igual en magnitud a uno

de los angulos 2θp que satisfacen la ecuación (5.12). Así el ángulo θp que define en la figura 5.15ª, la orientación del plano principal correspondiente al punto A en la figura 5.15b puede obtenerse dividiendo por la mitad el ángulo XCA medido en el círculo de Mohr. Obsérvese además que si σ x>σ y y τ xy>0 , como en el caso considerado aquí, la rotación que trae CX a CA es de sentido

contrario a las agujas del reloj. Pero en este caso el ángulo θp obtenido de la ecuación (5.12), el

cual define la dirección de la normal Oa al plano principal, es positivo; así la rotación que trae O xaOa es también de sentido contrario a las agujas del reloj. Se concluye que los sentidos de

rotación en ambas partes de la figura 5.15 son los mismos. Si se requiere una rotación 2θp en sentido contrario a las agujas del reloj para llevar CX a CA en el círculo de Mohr, una rotación en sentido contrario al de las agujas del reloj θp llevara O xaOa en la figura 5.15ª.

Como el circulo de Mohr está definido en forma única, el mismo circulo puede obtenerse considerando las componentes σ x ´ , σ y ´ , y τ x´ y ´ , correspondientes a los ejes x´y y´ de la figura

5.16ª. El punto X´ de las coordenadas σ x ´ y−τ x ´ y´ , y el punto Y´de las coordenadas σ x ´ y +τ x ´ y´ ,

están por tanto localizadas en el círculo de Mohr y el ángulo X´CA de la figura 5.16b debe ser el doble del ángulo xO a se sigue en el angulo XCX´ de la figura 5.16b es el doble xOx ´ de la figura

5.16ª. Así el diámetro x´y´ que defines los esfuerzos normales y cortantes σ x ´ , σ y ´ , y τ x´ y ´ , pueden obtenerse girando el diámetro XY un ángulo igual al doble del ángulo θ formado por los ejes x y x´ de la figura 5.16ª se observa que la rotación que hace coincidir el diámetro XY con el diámetro X´Y´, en la figura 5.16b, tienen igual sentido que la rotación que se supone los ejes xy a los ejes x´ y ‘en la figura 5.16 a.

La propiedad que se acaba de indicar puede usarse para verificar el hecho de que los planos de esfuerzo cortante máximo están a 45° de los planos principales. Ciertamente recuérdese que los puntos D y E del circulo de Mohr corresponden a los planos de esfuerzo cortante máximo, mientras A y B corresponden a los planos principales (véase la figura 5.17b). Puesto que los diámetros AB y DE del circulo de Mohr están a 90° el uno del otro, se sigue que las caras de los elementos correspondientes a 45° la una de la otra (véase la figura 5.17ª).

La construcción del círculo de Mohr para esfuerzo plano se simplifica mucho si se considera separadamente cada cara del elemento usado para definir las componentes del esfuerzo. De la figura 5.15 y 5.16 obsérvese que cuando el esfuerzo cortante ejercido sobre una cara dada tiende a hacer girar el elemento con las agujas del reloj, el punto correspondiente a esa cara está colocado por encima del eje σ en el círculo de Mohr. Cuando el esfuerzo cortante en una cara tiende a hacer girar el elemento contra las agujas del reloj, el punto correspondiente a esa cara está localizado debajo del eje σ (véase la figura 5.18). En cuanto a los esfuerzos normales, se usa la convención usual, es decir, un esfuerzo de tensión se considera positivo y se grafica a la derecha, mientras una compresión es negativa y se grafica hacia la izquierda.

Ejemplo 5.02

Para el estado de esfuerzo plano considerado en el ejemplo 5.01, a) trace el circulo de Mohr, b) determine los esfuerzos principales, c) halle el esfuerzo cortante máximo y el correspondiente esfuerzo normal.

a) Construcción del círculo de Mohr. Se advierte en la figura 5.19ª que el esfuerzo normal ejercido sobre cara orientada hacia el eje x es de tensión (positiva) y que el esfuerzo cortante ejercido sobre esa cara tiende a hacer girar el elemento contra las agujas del reloj. El punto X del circulo de Mohr, por tanto, se dibujara a la derecha del eje vertical y debajo del eje horizontal (véase la figura 5.19b). una inspección similar de las esfuerzos normal y cortante ejercido sobre la cara superior del elemento muestra que el punto y debe dibujarse a la izquierda del eje vertical y encima del eje horizontal. Dibujando la línea XY, se obtiene el centro C del circulo Mohr, su abscisa es:

σ med=σ x+σ y

2=50+(−10)

2=20MPa.

Puesto que los lados del triángulo sombreado son

CE=50−20=30MPa y FX=40MPa

El radio del círculo es

R=CX=√(30)2+(40)2=50MP a

b) Esfuerzos y planos principales. Los esfuerzos principales son σ max=¿OA=OC+CA=20+50=70MPa ¿

σ min=¿OB=OC−BC=20−50=30MPa ¿

Recordando que el ángulo ACX representa 2θp (véase la figura

5.19b), se escribe:

tan2θp=FXCF

=4030

2θp=53.1 °θ p=26.6 °

Como a rotación que lleva CX a CA, en la figura 5.20b, es contra las agujas del reloj, la rotación que lleva Ox hasta el eje Oa, que corresponde a

σ max En la figura 5.20 a, es también contra las agujas del reloj.

c) Esfuerzo cortante máximo. Ya que una rotación adicional de 90° contra las agujas del reloj CA a CD en la figura 5.20b, una rotación adicional de 45° contra el reloj llevara el eje Oa a Od que corresponde al máximo esfuerzo cortante en la figura 5. 20ª. Se observa en la figura 6.20b queτ max=R=50MPa y que el esfuerzo normal correspondiente es σ ´=σ med=20MPa. Como el punto D está por encima del eje σ en la figura 5.20b, los esfuerzos cortantes ejercidos sobre las caras perpendiculares a Od en la figura 5.20 a deben estar dirigidos de manera que tiendan a rotar el elemento en sentido de las agujas del reloj.

El circulo de mohr provee un modo conveniente de verificar los resultados obtenidos antes, para esfuerzos bajo carga axial céntrica (véase la sección 1.8) y bajo carga torsional (véase la sección 3.4). En el primer caso (véase la figura 6.21a), se tiene σ x=P/ A, σ y=0 y T xy=0. Los puntos correspondientes X y Y definen un circulo de radio R=P /2 Aque pasa por el origen de coordenadas (véase la figura 6.21b). Los puntos D y E dan la orientación de los planos de esfuerzo cortante máximo (véase la figura 6.21c) , así como los valores de T max y el correspondiente esfuerzo normal s´.

T max=σ ´=RP2 A

(6.18)

En el caso de torsión (véase la figura 6.22) se tiene σ x=σ y=0 y T xy=T max=T c/ J . Los puntos X e Y están localizados en el eje t y el circulo de mohr tiene un radio R=Tc /J centrado en el origen

(véase la figura 6.22b). Los puntos A y B definen los planos principales (véase la 6.22c) y los esfuerzos principales.

σ max, min= R− ¿+¿= Tc /J− ¿+¿¿ ¿ ¿ ¿ (6.19)

PROBLEMA MODELO 6.2

Para el estado de esfuerzo plano mostrado, determine:

a)los esfuerzos principales y los planos principales

b) las componentes del esfuerzo ejercidas sobre el elemento obtenido rotando el elemento dado 30° contra las agujas del reloj.

Construcción del círculo de Mohr.

Se nota que en una cara perpendicular al eje x, el esfuerzo normal es de tensión y el esfuerzo cortante tiende a rotar el elemento con las agujas del reloj; se elabora la grafica de X en un punto 100 unidades a la derecha del eje vertical y 48 unidades sobre el eje horizontal. En forma similar,

se examinan las componentes del esfuerzo en la cara superior y hacemos la grafica del punto Y(60.- 48). Uniendo los puntos X y Y mediante una recta, se define el centro C del circulo de mohr. La abcisa de C, que representa σ med, y el radio R del circulo pueden medirse directamente o calcularse como sigue:

σ med=oc=12

(σ x+σ y )=12

(100+60)= 80MPa

R=√¿¿

a) Planos principales y esfuerzos principales.

Rotamos el diámetro XY en el sentido de las agujas del reloj 2θp hasta que coincida con el diámetro AB. Se tiene

tan2θp=XFCF

=4820

=2.4

2θp=67.4 °

θp=33.7 °

Los esfuerzos principales estan representados por las abscisas de los puntos A y B:

σ max=OA=OC+CA=80+52

σ max=+132MPa

σ min=OB=Oc−BC=80−52

σ min=+28MPa

Como la rotación que trae XY hasta AB es en el sentido de las agujas del reloj, la rotación que trae Ox al eje Oa, que corresponde a σ max ,es también en el mismo sentido. Se obtiene la orientación mostrada para los planos principales.

b) Componentes del esfuerzo en el elemento rotado 30°. Los puntos X´e Y´que corresponden en el elemento rotado, se obtienen girando XY en el sentido contrario al de las agujas del reloj, un ángulo 2θ=60°. Se tiene:

Ф=180°-60°-67.4° Ф=52.6°

σ x ´=OK=OC−KC=80−52cos52.6 °

σ x ´=+48.4 MPa

σ y ´=OL=OC+CL=80+52cos52.6 ° σ y ´=+111.6MPa

T x ´ y ´=KX ´=52 sen52.6 ° T x ´ y ´=41.3MPa

Como X´esta localizada encima del eje horizontal, el esfuerzo cortante en la cara normal a OX´ tiende a rotar el elemento en el sentido de las agujas del reloj.

PROBLEMA MODELO 6.3

Un estado de esfuerzo plano consta de un esfuerzo de tensión σ 0=8k si ejercido sobre las superficies verticales y de esfuerzos cortantes desconocidos. Halle: a) la magnitud del esfuerzo cortante T 0 para el cual el mayor esfuerzo normal es 10ksi, b) el correspondiente esfuerzo cortante máximo.

Se supondrá que los esfuerzos cortantes actúan en los sentidos mostrados. En consecuencias, el esfuerzo cortante T 0 en una cara normal al eje x tiende a rotar el elemento en el sentido de las

agujas del reloj y se traza el punto X de coordenadas 8ksi y T 0 por encima del eje horizontal.

Considerado una cara horizontal del elemento, se observa que σ y=0 y que T 0 tiende a rotar el

elemento en sentido contrario al de las agujas del reloj, se traza el punto Y a una distancia T 0 por debajo de 0.

Se observa que la abscisa del centro C del circulo de mohr es:

σ med=12(σ x+σ y )=

12

(8+0 )=4 ksi

El radio R del circulo se halla observado que el máximo esfuerzo norma, σ max=10 ksi esta representado por la abscisa del punto A y escribiendo

σ max=σmed+R

10ksi=4ksi+R

R=6ksi

a) Esfuerzo cortante T 0. Considerando el triangulo rectángulo CFX, se halla

cos2θp=CFCX

=CFR

=4ksi6ksi

2θp=48.2°θp=24.1°

T 0=FX=Rsen2θp=(6 ksi ) sen48.2 °T 0=4.47ksi

b) Esfuerzo cortante máximo. Las coordenadas del punto D, del circulo de mohr, representa el esfuerzo cortante máximo y el esfuerzo normal correspondiente.

T max=R6 ksi

T max=6ksi2θs=90 °−2θp=90°−48.2 °=41.8°

θx=20.9 °El esfuerzo cortante máximo se ejerce sobre un elemento orientado como se muestra en la figura a. también se muestra el elemento sobre el cual se ejercen los esfuerzo principales.

Nota: Si se invirtiera nuestra hipótesis original sobre el sentido de T 0 obtendríamos el mismo círculo y las mismas respuestas, pero la orientación del elemento seria como la que ilustra la figura b.