UNIVERSIDAD AUTONOMA DE SANTO DOMINGO

(UASD)

TEMA: CIRCULO DE MOHR, EJES PRINCIPALES y EJERCICIO DE

EJEMPLO

MATERIA: MECANICA RACIONAL I

NOMBRE: RICARDO DE LA CRUZ

MATRICULA: 98-2700

PROFESOR: ING. CHALJUB HERNANDEZ

(civ201uasd@gmail.com)

FECHA: 07-MAYO-2013

SECCION: 08

CIRCULO DE MOHR

Fue desarrollado por Christian Otto Mohr (1835 – 1918), el círculo de Mohr es un método

grafico para determinar el estado tensional en los distintos puntos de un cuerpo. Entre las

tensiones que existen en un cuerpo sometido a un cierto estado de cargas y con unas ciertas

restricciones, importan en general las tensiones principales, que son las tensiones que

existen sobre ciertos planos del cuerpo, donde las tensiones de corte son nulas. Estas

tensiones son de importancia para el estudio de la resistencia mecánica de una pieza. Este

método tiene aplicación para estados tensiónales en dos y tres dimensiones.

También se puede decir que es una técnica usada en ingeniería y geofísica para representar

gráficamente un tensor simétrico de (2 x 2 o 3 x 3) y calcular caracteristicas de una

circunferencia (radio, centro, etc.) también es posible cálculo del esfuerzo cortante máximo

absoluto y la deformación máxima absoluta.

CIRCUNFERENCIA DE MOHR PARA ESFUERZOS

Caso Bidimensional

En dos dimensiones, la circunferencia de Mohr permite determinar la tensión máxima y mínima, a

partir de dos mediciones de la tensión normal y tangencial sobre dos ángulos que forman 90°.

NOTA: El eje vertical se encuentra invertido, por lo que esfuerzos positivos van hacia abajo y esfuerzos negativos se ubican en la parte superior.

Usando ejes rectangulares, donde el eje horizontal representa la tensión normal y el eje vertical

representa la tensión cortante o tangencial para cada uno de los planos anteriores. Los valores

de la circunferencia quedan representados de la siguiente manera:

Centro del círculo de Mohr:

Radio de la circunferencia de Mohr:

Las tensiones máximas y mínimas vienen dados en términos de esas magnitudes simplemente

por:

Estos valores se pueden obtener también calculando los valores propios del tensor tensión que en

este caso viene dado por:

Caso Tridimensional

El caso del estado tensional de un punto P de un sólido tridimensional es más complicado ya que

matemáticamente se representa por una matriz de 3 x 3 para la que existen 3 valores propios, no

necesariamente diferentes.

En el caso general, las tensiones normal (σ) y tangencial (τ), medidas sobre cualquier plano que

pase por el punto P, representadas en el diagrama (σ,τ) caen siempre dentro de una región

delimitada por 3 círculos. Esto es más complejo que el caso bidimensional, donde el estado

tensional caía siempre sobre una única circunferencia. Cada una de las 3 circunferencias que

delimitan la región de posibles pares (σ, τ) se conoce con el nombre de circunferencia de Mohr.

Circunferencia de Mohr para Momentos de Inercia

Para sólidos planos o casi – planos, puede aplicarse la misma técnica de la circunferencia de Mohr

que se uso para tensiones en dos dimensiones. En muchas ocasiones es necesario calcular el

momento de inercia alrededor de un eje que se encuentra inclinado, la circunferencia de Mohr

puede ser utilizada para obtener este valor. También es posible obtener los momentos de inercia

principales. En este cao las formulas de cálculo del momento de inercia medio y el radio de la

circunferencia de Mohr para momentos de inercia son análogas a las del cálculo de esfuerzos:

Centro de la circunferencia:

Radio de la circunferencia:

USO

Uno de los principios básicos de ingeniería, es el concepto de obtener fácilmente, esfuerzos

cortantes y en tensión en elementos de maquinaria, usando el principio del círculo de Mohr.

Se trata de una simple derivación circular, que nos permite a los ingenieros, de una manera

simple y práctica, descubrir puntos de esfuerzos máximos, en los planos principales, y sus

principales esfuerzos, cuando por ejemplo estamos diseñando, una viga o una columna.

Esta herramienta utilizada en la ingeniería sirve para medir la tensión que soporta una

estructura debido a una o varias cargas externas. Se estudiara una sección concreta y a su vez,

dentro de ella algunos o algún punto propio. Se utiliza para representar gráficamente el estado

tensional que padece un punto de un sólido en un instante determinado. Aunque actualmente

debido al procesamiento informático es posible calcular las tensiones con bastante precisión sin

necesidad de utilizar este método.

Ejemplo Ilustrativo:

En cierto punto de un sólido, los esfuerzos principales son σ

En cierto punto de un sólido, los esfuerzosprincipales son . .

Determinar en los planos donde cuyas normales

son de + 30o y + 120º

Con el eje x muestre los resultados en el croquis de un elemento diferencial.

Solución:

En la figura 9-15a se representa el estado de esfuerzos existente, se traza un sistema de ejes

perpendiculares a los que se nombran como se indica en la figura 9-15b

El diámetro del círculo de mohr es AB. Su centro C, punto medio A y B tiene de abscisa

20MPa, el radio de la circunferencia CA = 80-20 = 60 MPa por regla de circulo de mohr la

dirección y el sentido del radio CA representa al eje x, y de acuerdo con las reglas del circulo

de mohr, el punto d representa el estado de esfuerzos en el plano coya normal representa un

Angulo de 300 con el Angulo +300 con el eje x, el punto E de los componentes del

esfuerzo sobre la cara perpendicular a la anterior.

Por reglas del circulo de mohr, las coordenadas del punto D representa los esfuerzos 30o, y de acuerdo con la figura 9-15b sus valores son

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