CIRCULO DE MOHR

CENTRO DE ACTUALIZACION PROFESIONAL PARA INGENIEROS

Z

X XX

ZZ

Tzx

Tzx

Tzx

TxzTxz

Txz0

A

Bc

T Resultantes de

esfuerzos sobre ab

a) b)

ESTADO DE ESFUERZOS EN UNA MASA DE SUELOCÍRCULO DE MOHR

El circulo de Morh, es un circulo que en un punto cualquiera en este representa los esfuerzos normales y tangenciales actuantes en un plano de la muestra.Se plantea el clásico problema resuelto por Morh, encontrar en el plano coordenado (σσσσn , ττττn), el lugar geométrico de los puntos que represente esfuerzos actuantes en el punto P.

θσ

B

A

C

1

3

T

Dirección de 1

Dir

ecció

n d

e 3

(a)

2

2

1

1

3

3

-

+

2

A ( Coordenados , )T

T

Circulo de Mohr

(b)

REPRESENTACIÓN DE ESFUERZOS

MEDIANTE EL CÍRCULO DE MOHR

a) estado de esfuerzos en un punto.

b) Diagrama de Mohr para el estado de esfuerzos en un punto.

Representación de los esfuerzos mediante el círculo de Mohr.

θσσθθσστ

θσσσσθσθσσ

θ

θ

22

cos)(

2cos22

cos

3131

313123

21

sensen

sen

−=−=

−++=+=

El esfuerzo tangencial máximo en un punto,ττττmax essiempre igual a (σσσσ1-σσσσ3)/2; es decir, el esfuerzo tangencialmáximo equivale al radio del círculo de Mohr. Este esfuerzotangencial máximo se produce en planos que forman± 45°con la dirección del esfuerzo principal mayor.

Ejemplo

Se pide calcular los esfuerzos sobre el plano B-B.

300

4kg/cm2

4kg/cm2

2kg/cm2

2kg/cm2

B

B

1. Se representa los puntos (4,0) y (2,0).2. Se dibuja el círculo, utilizando estos puntos para definir el diámetro.3. Se traza la líneaAA’ por el punto (2,0), paralela al plano sobre el cual

actúa el esfuerzo (2,0).4. La intersección deA’A’ con el círculo Mohr en el punto (4,0) es el polo.5. Se traza la líneaB’B’ por Op, paralela aBB.6. Se leen las coordenadas del punto X dondeB’B ’ corta al círculo de

Mohr.

1

0

-11 2 3 4

C´

A´A´

X

B´

B´

Op

C´

A’

432

Op

B’

B’

Respuesta

2.5 kg/cm2

2 kg/cm2

4 kg/cm2

0.87

Sobre BBσσσσ = 2.5 kg/cm2

ττττ = -0.87 kg/cm2

Otra solución. Los pasos 1 y 2 igual que antes.3. Traza´por el punto (4.0) la línea C’C’ paralela al plano sobre el que actúa el esfuerzo (4.0). C’C’ es vertical.4. C’C’ corta al círculo de Mohr solamente en (4.0) de forma que este punto es el polo Op. Los pasos 5 y 6 análogos al caso anterior.

Solución por medio de las ecuaciones

2

2

23

21

/866.0602402

24

/5.260cos3240cos2

242

24

120/2/4

cmkgsensen

cmkg

cmkgcmkg

−=°−=°−=

=°−=°−++=

°===

θ

θ

τ

σ

θσσ

(preguntas para el alumno. ¿Por qué es θθθθ =120°°°°? ¿El resultado habria sido diferente si θθθθ = 300°°°°?)

DIAGRAMAS p-q

En muchos problemas conviene representar, sobre undiagrama único, muchos estados de esfuerzos para unadeterminada muestra del suelo. En otros problemas serepresenta en un diagrama de este tipo el estado deesfuerzos de muchas muestras diferentes. En tales casosresulta muy pesado trazar los círculos de Mohr, eincluso mas difícil ver lo que se ha representado en eldiagrama después de dibujar todos los círculos .

Otro método para dibujar el estado de esfuerzos puedeser adoptar un punto representativo de los esfuerzoscuyas coordenadas son

231 σσ +=p

231 σσ −±=q

+ si σσσσ1 forma un ángulo igual o menor de ± 45° con la vertical

- si σσσσ1 forma un ángulo menor de ± 45° con la horizontal

En la mayoría de los casos en los que se utiliza larepresentación puntual, los esfuerzos principales actúansobre planos verticales y horizontales. En este caso, laecuación se reduce a

2,

2hh qp

σσσσ υυ −=+=

Este método equivale a representar un punto único deun circulo de Mohr: el punto mas alto si q es positivo oel mas bajo siq es negativo. Numéricamente,q equivalea la mitad del esfuerzo desviador.

Conociendo los valores dep y q para un cierto estado deesfuerzos, se posee toda la información necesaria paradibujar el círculo de Mohr correspondiente. Sinembargo, el empleo de un diagramap-q no exime deutilizar el círculo de Mohr para determinar la magnitudde los esfuerzos principales a partir de un determinadoestado de esfuerzos.