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EL CIRCULO DE MOHR

Desarrollo hecho por Christian Otto Mohr (1835-1918), el crculo de Mohr es

un mtodo grfico para determinar el estado tensional en los distintos puntos

de un cuerpo. Entre las tensiones existentes en un cuerpo sometido a un cierto

estado de cargas y con unas ciertas restricciones, importan en general las

tensiones principales, que son las tensiones que existen sobre ciertos planos

del cuerpo, donde las tensiones de corte nulas. Estas tensiones son de

importancia para el estudio de la resistencia mecnica de una pieza.

Este mtodo tiene aplicacin para estados tensionales en dos y tresdimensiones.

Las aplicaciones de esta construccin grfica tienen su fundamento en las

leyes de transformacin de ciertas entidades matemticas llamadas tensores, a

la que el crculo de Mohr representa con sencillez y claridad.

Una de sus caractersticas mas importantes es que aunque se trata de una

solucin grfica, su construccin no exige en la mayora de las aplicaciones,medidas a escala; tan solo es necesario recurrir a relaciones trigonometricas

elementales para obtener ecuaciones de inters en la solucin de algunos

problemas propios de la resistencia de materiales y de la mecnica de los

suelos.

El diagrama de Mohr es el mtodo ms comn para representar los resultados

de los ensayos de corte en suelos. El crculo de Mohr representa un ensayo

triaxial y la envolvente de los crculos de Mohr representa el estado de

esfuerzos en el momento de una falla al cortante.En un anlisis en dos

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dimensiones, los esfuerzos en un punto pueden ser representados por un

elemento infinitamente pequeo sometido a los esfuerzos x, y, y xy.

CIRCUNFERENCIA DE MOHR

Es una tcnica usada en ingeniera y geofsica para representar grficamente

un tensor simtrico (de 2x2 o de 3x3) y calcular con ella momentos de inercia,

deformaciones y tensiones, adaptando los mismos a las caractersticas de una

circunferencia (radio, centro, etc). Tambin es posible el clculo del esfuerzo

cortante mximo absoluto y la deformacin mxima absoluta.

Este mtodo fue desarrollado hacia 1882 por el ingeniero civil alemnChristian Otto Mohr (1835-1918).

IMPORTANCIA DEL CIRCULO DE MOHR

La construccin del Crculo de Mohr es de una importancia fundamental

porque aplica cantidades tensoriales (bidimensionales) (por ejemplo, fuerzas

lineales, esfuerzo, deformacin, momento de inercia). Sin embargo un simple

Circulo de Mohr, no representa completamente el. Estado de esfuerzo en un

punto. El estado de esfuerzo es tridimensional; por tanto se requieren tres

crculos de Mohr.

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CIRCULO DE MOHR PARA ESFUERZOS

Caso bidimensional

En dos dimensiones, la Circunferencia de Mohr permite determinar la tensin

mxima y mnima, a partir de dos mediciones de la tensin normal y

tangencial sobre dos ngulos que forman 90:

NOTA: El eje vertical se encuentra invertido, por lo que esfuerzos positivos van haciaabajo y esfuerzos negativos se ubican en la parte superior.

Usando ejes rectangulares, donde el eje horizontal representa la tensin

normal y el eje vertical representa latensin cortante o tangencial para

cada uno de los planos anteriores. Los valores de la circunferencia quedan

representados de la siguiente manera:

http://es.wikipedia.org/wiki/Tensi%C3%B3n_normalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensi%C3%B3n_normalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensi%C3%B3n_cortantehttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Mohrs_circle.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Mohrs_circle.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Mohrs_circle.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensi%C3%B3n_cortantehttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensi%C3%B3n_normalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensi%C3%B3n_normal

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Caso Tridimensional

El caso del estado tensional de un punto P de un slido tridimensional es ms

complicado ya que matemticamente se representa por una matriz de 3x3 para

la que existen 3 valores propios, no necesariamente diferentes.

En el caso general, las tensiones normal () y tangencial (), medidas sobre

cualquier plano que pase por el punto P, representadas en el diagrama (,)

caen siempre dentro de una regin delimitada por 3 circulos. Esto es ms

complejo que el caso bidimensional, donde el estado tensional caa siempre

sobre una nica circunferencia. Cada uno de las 3 circunferencias que

delimitan la regin de posibles pares (,) se conoce con el nombre de

circunferencia de Mohr.

CIRCUNFERENCIA DE MOHR PARA MOMENTOS DE INERCIA

Para slidos planos o casi-planos, puede aplicarse la misma tcnica de la

circunferencia de Mohr que se us para tensiones en dos dimensiones. En

muchas ocasiones es necesario calcular elmomento de inercia alrededor de un

eje que se encuentra inclinado, la circunferencia de Mohr puede ser utilizado

para obtener este valor. Tambin es posible obtener los momentos de inercia

http://es.wikipedia.org/wiki/Momento_de_inerciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Momento_de_inercia

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principales. En este caso las frmulas de clculo del momento de inercia

medio y el radio de la circunferencia de Mohr para momentos de inercia son

anlogas a las del clculo de esfuerzos:

Centro de la circunferencia:

Radio de la circunferencia:

COMO SE CONSTRUYE EL CIRCULO DE MOHR?

Se toman unos ejes coordenados de forma que en el eje de abcisas situamos

las tensiones normales y en el de las ordenadas las tensiones cortantes. A

continuacin se traza la circunferencia como se puede ver en la figura.

Figura 2.- Construccin del circulo de Mohr (Tomada de libro de Carlos Ramiro Vallecilla)

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Los puntos representativos de las tensiones que actan en 2 caras

perpendiculares definen un dimetro del circulo de morh.

Las tensiones cortantes que actan en dos secciones perpendiculares son

iguales y de sentido contrario.

Para dibujar correctamente el crculo de Mohr deben tenerse en cuenta los

siguientes detalles:

o El sentido de giro del ngulo j en el crculo se corresponde con el

sentido de giro del plano AB en la realidad.

o

El signo de las tensiones tangenciales (t) se toma como positivo sigiran en sentido de las agujas del reloj alrededor del elemento

diferencial y negativo en caso contrario.

o

El ngulo entre dos radios del crculo equivale al doble del

ngulo entre los planos reales correspondientes.

EL SIGNO DEL ANGULO EN EL CIRCULO DE MOHR

Regla General: Cuando los ngulos se miden con vrtice en el centro del

crculo de Mohr el sentido del giro del elemento es igual al sentido del giro en

el crculo de Mohr, el que a su vez duplica el valor del ngulo rotado: Es decir

EJEMPLO:

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Determine los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante mximo con el

circulo de Mohr. Las series de datos siguientes dan los esfuerzos en el

elemento sometido a esfuerzo inicial realice las operaciones siguientes:

1.

Dibuje el circulo de Mohr completo con los puntos crticos

identificados incluidos

2. En el crculo de Mohr, indique la lnea que presenta el eje x en el

elemento sometido a esfuerzo inicial.

3.

En el crculo de Mohr, indique los ngulos a partir de la lnea que

representa el eje x hacia el eje

4. Dibuje el centro sometido a esfuerzo inicia y el elemento sometido a

esfuerzos cortante y mximo orientados adecuadamente con respecto al

elemento sometido a esfuerzo inicial.

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CONCLUSIONES

El crculo de Mohr es una tcnica usada en ingeniera para el clculo de los

momentos de inercia, esfuerzos y en algunos casos deformaciones. Es un

mtodo simple que opta las mismas caractersticas de un crculo (radio, centro,

entre otros).

Tan solo es necesario aplicar las formulas trigonomtricas para obtener

ecuaciones que nos interesan para la resolucin de problemas de resistencia de

materiales.

El circulo de Mohr es la una herramienta en ingeniera civil que no ha perdido

importancia atravez de los aos ni ha dejado de funcionar incluso con los

nuevos inventos.

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REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

BECARRY, F., 2007 Circulo de Mohr. Libro en Lnea. Disponible en:

http://ibiguridp3.wordpress.com/res/mohr/

VALLECILLA, C., 2010 Circulo de Mohr Fundamentos y aplicaciones

ANTICO,F., 2010 Circulo de Mohr. Libro en Lnea. Disponible en:

http://www.aero.ing.unlp.edu.ar/catedras/archivos/Circulo%20de%20Mohr.pdf

http://ibiguridp3.wordpress.com/res/mohr/http://ibiguridp3.wordpress.com/res/mohr/http://ibiguridp3.wordpress.com/res/mohr/

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RESISTENCIA DE MATERIALES

NOMBRE:

Ushia Pacha Jessica Aracely

TEMA:

Ensayo CIRCULO DE MOHR

AULA:

C-403

INSTRUCTOR:

Dr. Juan Carlos Vielma