CTARIT-3ºS-IIP

I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS” ARITMÉTICA

3º SECUNDARIA – II PERÍODO 2008

IV. MAGNITUDESPROPORCIONALES

1. MAGNITUDES PROPORCIONALESDos magnitudes son proporcionales, si al variar el valor de una de ellas, el valor de la otra magnitud variará en la misma proporción, ya sea en razón directa o razón inversa.

2. MAGNITUDES DIRECTAMENTEPROPORCIONALES (D.P)

Dos magnitudes serán directamente proporcionales cuando aumenta o disminuye el valor de una de ellas, el valor de la otra magnitud aumenta o disminuye en la misma proporción. Ejemplo :

Magnitudes Valores correspondientesCosto(Soles) 40 80 120 20Peso(Kg) 1 2 3 0.5

Relacionando los valores correspondientes:

Conclusión: Si dos magnitudes son D.P, entonces el cociente de sus valores es constante.Generalizando:

Magnitud A D.P Magnitud B a1 b1

a2 b2

a3 b3

Entonces(Donde K es la constante de proporcionalidad entre las magnitudes A y B )

3. MAGNITUDES INVERSAMENTEPROPORCIONALES (I.P) :

Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando aumenta o

disminuye el valor de una de ellas, el valor de la otra magnitud disminuye o aumenta en la misma proporción. Ejemplo:

Magnitudes Valores correspondientesVelocidad(Km) 40 80 20 10Tiempo(h) 4 2 8 16

del cuadro tenemos que:

V.T= 40.4=80.2=20.8= constante

Conclusión: Si dos magnitudes son I.P entonces el producto de sus valores es constante.Generalizando:

Magnitud A I.P. Magnitud B a1 b1

a2 b2

a3 b3

Entonces:a1.b2 = a2.b2 = a3.b3 = K

4. PROPORCIONALIDAD COMPUESTA :

a) Si una magnitud A es D.P con B y también con C, entonces A será directamente proporcional al producto de (B.C)

b) Si una magnitud A es I.P con otra B y

también con C, entonces A será I.P al producto de (B.C)

PROBLEMAS RESUELTOS

1).- Las magnitudes A2 DP.B; cuando A vale 20 B es 18. ¿Qué valor toma A cuando B vale 72?Resolución:* Como A2 DP. B

* Luego:

2).- Si A es DP. B2 además cuando A = 18; B = 9. Calcular: B cuando A = 8.

Resolución:

* Si: A DP.

* Luego :

3).- Si la magnitud A es inversamente proporcional a la magnitud B y cuando A = 15, B = 24, Halla B cuando A es 120.

Resolución:* Como “A” es IP a “B”, entonces: AB = constante ó

* Luego reemplazamos los valores dados, así:

4).- A es D.P con B2 e I.P a , cuando A=4; B = 8 y C = 16. Halla “A” cuando B = 12 y C = 36.

Solución:

5).- X varía en razón directa a Y e inversa al cuadrado de Z. Cuando X = 10; entonces Y = 4 y Z = 14. Halla “X” cuando Y =16 y Z = 7.

Solución:

PRÀCTICA DIRIGIDA Nº 04

1).- Si “A” es DP. “B2” y cuando “A” es 16; B = 2; calcula “A”, cuando B = 8.

a) 64 b)256 c) 8d) 32 e)512

2).- Se sabe que “A” es D. P. a B2 cuando A = 2; B = 5. ¿Cuál será el valor de “A”

cuando B = 20?

a) 16 b) 32 c) 18d) 75 e) 25

3).- Si “A” es DP. “B2” y cuando “A” es 6; B = 2; calcula “A”, cuando B = 10.

a)164 b)150 c)80d)200 e)512

4).- Si “A” es IP. a “B” y cuando A = 24; B = 8; ¿cuánto valdrá “A”, cuando B = 16?

a) 14 b)12 c) 16 d)54 e)96

5).- Si “A” es DP. a y cuando A = 6; B = 4, ¿cuánto valdrá “A”, cuando B = 9?

a) 6 b)9 c)18 d) 18 e)9/2

6).- Si es IP. a B2 y cuando A = 64;

B = 4; calcula el valor de “B”, cuando A =64.

a) 2 b)8 c) 16 d)13 e)7

7).- Si “A” es DP. “B2” y cuando “A” es 24;

50

Magnitud Valores

A 20

B 18

20

18

A(B.C)=K



B = 4; calcula “A”, cuando B = 6.

a) 12 b)28 c) 36 d)54 e)17

8).- Si “A” es IP. a “B” y cuando A = 48; B = 16; ¿cuánto valdrá “A”, cuando B = 32?

a) 22 b)24 c) 26 d)23 e)27

9).- Si “A” es DP. a y cuando A = 12; B = 16, ¿cuánto valdrá “A”, cuando B = 18?

a)28 b)54 c) 36 d)44 e)64

10).- Si es IP. a B y cuando A = 64; B =

4; calcular el valor de “B”, cuando A = 8.

a) 2 b)8 c) 16 d)13 e)7

11).- Si “A” es DP. a B4 y cuando A = 48; B = 2; calcular “A”, cuando B = 3.

a) 27 b)9 c) 81 d)162 e)243

12).- “P” varía inversamente proporcional a “T”, cuando P = 125, entonces T = 48. Determinar “T”, cuando P = 300.

a) 12 b)20 c) 16d)13 e)17

13).- Si la magnitud A es inversamente proporcional a la magnitud B y cuando

A = 30, B = 48, Halla B cuando A es 240.

a) 1 b)2 c) 6d)3 e)5

14).- Las magnitudes A2 DP.B; cuando A vale 20 B es 18. ¿Qué valor toma A cuando B vale 72?

a) 92 b)68 c) 80d)86 e)88


a) 78 b)98 c) 81d)62 e)96


a) 227 b)229 c) 281d)262 e)288

17).- Si la magnitud A es inversamente proporcional a la magnitud B y cuando

A = 60, B = 96, Halla B cuando A es 480.

a) 14 b)22 c) 12d)13 e)15

18).- Si para arar 24m2 de un terreno se demora 15 horas. ¿Cuántas horas se demorará en arar un terreno de 32m2?

a) 18hr b) 12hr c) 21hrd) 20hr e) 28hr

19).- Con una rapidez del 80% se puede hacer una obra en 36 horas. ¿Cuántas horas se demorará con una rapidez del 90%?

a) 32 hr b) 24 hr c) 20 hrd) 30 hr e) 16 hr

20). A es D.P. con B2 e I.P. a ,cuando A = 4; B =8 y C = 16. Halla A cuando B =12 y

C = 36.

a) 4 b) 8 c) 9 d) 12 e) 6

21). A es D.P. con B e I.P. con C, cuando C es igual a 3/2, A y B son iguales. ¿Cuál es el valor de B cuando A es igual a 1 y C es igual a 12?.

a) 8 b) 6 c) 4 d) 12 e) 9

22). A varía proporcionalmente a B y al cuadrado de C e inversamente proporcional a D. Si cuando

A = 8, B = 5 y C = 4, entonces D es 2. ¿Cuánto valdrá B cuando A = 2D, y D = 4C.

a) 40 b) 80 c) 160d) 120 e) 130

23).- Dos ruedas de 24 y 45 dientes están concatenados, calcular cuántas vueltas habrá dado cada una en un cierto tiempo. Sabiendo que una ha dado 70 vueltas más que la otra?

a) 120 y 50 b) 130 y 60 c) 140 y 70d) 160 y 90 e) 150 y 80

24).- El precio de un ladrillo es proporcional a su peso e I. P. a su volumen. Un ladrillo que pesa 150 gr y que tiene un volumen de 100cm3 cuesta 300. ¿Cuánto costará otro ladrillo de 400cm3 que pesa 1,6kg?

a) 600 b) 800 c) 750d) 560 e) 900

25).- Carmen descubre que los gastos que hace en celebrar su cumpleaños son D.P. al número de invitados e I. P. a las horas que ocupa en preparar la reunión. Si la última vez gastó S/.1200; invitó a 100 personas y ocupó 12 horas. ¿Cuánto ahorrará invitando 20 personas menos y ocupando 4 horas más?

a) S/.320 b) S/.540 c) S/.720d) S/.480 e) S/.490

26).- Si “A” es el triple de rápido que “B” , y si juntos pueden hacer cierto trabajo en 12 días. ¿Cuánto tiempo le tomará a “A” hacerlo sólo?

a) 12 b) 16 c) 18d) 14 e) 15

27).- El precio de una piedra es D. P. al cubo de su peso. Si una piedra de este tipo que vale S/.100, se parte en 2 pedazos, donde uno es los 2/3 del otro. ¿Qué pérdida de valor sufrió dicha piedra?

a) S/.80 b) S/.75 c) S/.72d) S/.76 e) S/.70

28).- El consumo de una persona es D. P. a su sueldo. El resto lo ahorra. El señor Rodríguez gana S/500 y ahorra S/.100, si recibe un aumento, consume S/.1260. ¿de cuánto es el aumento?

a) 1025 b) 1375 c) 1075d) 1085 e) 1072

29).- Se sabe que “A” es D. P. a B2 cuando A = 2; B = 5. ¿Cuál será el valor de “A” cuando B = 20?

a) 16 b) 32 c) 18d) 75 e) 25

30).- Una guarnición tiene víveres para 120 soldados durante 36 días. ¿Cuántos soldados se deben dar de baja para que los alimentos duren 18 días más?

a) 40 b) 20 c) 80d) 25 e) 50

31).- El precio de un diamante varía en forma D. P. al cubo de su peso. Un diamante que cuesta S/.64000 se rompe en dos pedazos de los cuales uno es el triple del otro. ¿Cuál es la pérdida sufrida al romperse el diamante?

a) S/.30000 b) S/.25000 c) S/.32000 d) S/.36000e) S/.35000

32).- Sabiendo que la magnitud “A es I.P. al cuadrado de “B” y a la raíz cuadrada de “C” y D. P. al cubo de “D”, y cuando A = B = D; C = 4. Halla el valor de “C”, cuando A =2D y D = 3B.

a) 27 b) 81 c) 35d) 80 e) 45

CLAVES DE RESPUESTAS1) b 2) b 3) b4) b 5) b 6) c

51



7) d 8) b 9) b10)b 11)e 12)b13)c 14)c 15)e16)e 17)c 18)d19)a 20)e 21)a22)c 23)e 24)b25)d 26)b 27)c28)c 29)b 30)c31)d 32)b

V. REPARTO PROPORCIONAL

1. CLASES:

1.1. REPARTO PROPORCIONAL SIMPLE :Cuando los valores que intervienen corresponden a dos magnitudes directamente proporcionales.Se caracteriza por que “a mayor numero proporcional le corresponde mayor cantidad”.

A = xk

S B = yk C = zk

A + B + C = S(x + y + z) k = S

1.2 REPARTO PROPORCIONAL INVERSO :

Cuando los valores que intervienen corresponden a dos magnitudes inversamente proporcionales.Se caracteriza por que “ a mayor número proporcional le corresponde menor cantidad”.

A =

S B =

C =

A + B + C = S

PROBLEMAS RESUELTOS

1).- Repartir 154 en partes directamente

proporcionales a

Solución:

A

B

C

D

* Luego las partes serán:

A = 40 k a = 80B = 15 k b = 30C = 12 k c = 24D = 10 k d = 20

2) .- Repartir 1250 en 3 partes directamente proporcional a los números 2;3;5 .

Solución:

1250 se reparte en A B; C partes, tales que:

A = 2 kB = 3 kC = 5 k 10 k luego 10k = 1250

Por lo tanto:

A = 2 ( 125 ) = 250B = 3 ( 125 ) = 375C = 5 ( 125 ) = 625

3).- Al repartir una cierta cantidad en partes proporcionales a los jornales de tres operaciones que son 60; 100 y 80 soles, correspondió al segundo 10 soles más que al primero. ¿Cuánto le corresponde al tercero en soles?

Solución:* Sea “X” la cantidad repartida, entonces:

PARTES D.P. A 60 3 3k B 100 5 5k C 80 4 4k

x

* Por dato: 5k – 3k = 10

k = 5

* Piden C = 4k = 4(5) = 20

4) .- Dos personas invirtieron en un negocio S/. 1000 y S/. 2000 respectivamente, obteniendo una ganancia de S/.1500. ¿Cuánto le corresponde a cada una?

Solución:

Persona A = kPersona B = 2k

3kluego 3 k = 1500

k = 500Cada persona recibirá:

Persona A = k= 500

Persona B = 2k = 1000

5).- Divide 261 en tres partes proporcionales a los números 12;27; 48 respectivamente.

Solución:12 k + 27 k + 48 k = 261

87 k = 261k = 3

Por lo tanto los números serán:12 ( 3 ) = 3627 ( 3 ) = 8148 ( 3 ) = 144

6).- Repartir 36 en tres partes inversamente proporcional a los números 6; 3; y 4 ( en éste orden) obteniéndose a; b; y c. Halla : a.b.c

Solución:

a = a = 2k

b = b = 4k

c = c = 3k

9k = 36 k = 4

Por lo tanto :

a = 2(4) = 8 b = 4(4) = 16 c = 3(4) = 12

Finalmente: 8.16.12 = 1536

PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 05

1). Reparte 135 dólares entre 5 personas proporcionalmente a los números 2; 3; 4; 8 y 13 respectivamente, indica ¿ cuánto le toca al último?.

a) 58.5 b) 35 c) 80d) 180 e) 81

2). Reparte 594 en I.P a 2; 3; 6 y 10. Indica la mayor parte.

52

K = 125

77 k = 154 k = 2

PARTES D.P.

D.P.

M.C.M. (3; 4; 5; 6)

+154



a) 270 b) 406 c) 180d) 300 e) 240

3). Reparte 12240 en 3 partes proporcionales a 2/3; 1/5 y 5/6. Indica la menor parte.

a) 2900 b) 1440 c) 1800d) 2160 e) 2880

4). Reparte 50 caramelos en forma proporcional a 162; 243; 405. Halla la parte que no es mayor ni menor.

a) 28 b) 20 c) 15d) 10 e) 22

5). Descompón el número 162 en tres partes que sean D.P a 13; 19 y 22. Halla la parte menor.

a) 36 b) 26 c) 39d) 38 e) 13

6). Reparte 882 I.P a 6; 12; 10.

a) 252;150;480 b) 210;420;172c) 189;378;315 d) 140;142;600e) 420;210;252

7). Reparte 309 I.P a 9; 15; 33. Indica la mayor parte.

a) 165;132;30 b) 165;123;39c) 123;145;55 d) 150;165;12

e) 165;99;45

8). Reparte 56 en partes proporcionales a los números 3; 5; 6. Indica la mayor parte.

a) 22 b) 18 c) 25d) 16 e) 24

9). Reparte 3270 en partes DP a 7; 20; 82. Da como respuesta la mayor parte.

a) 2460 b) 2420 c) 2640d) 3240 e) 840

10). Reparte 400 DP a los números 10; 15; 25. Indica la parte menor.

a) 150 b) 80 c) 106d) 140 e) 102

11). Se reparten S/. 7500 entre 3 personas en forma D.P. a los números 15; 6; 4. ¿Cuánto recibe el mayor?

a) 2400 b) 2500 c) 3200d) 4500 e) 2300

12). Reparte 750 DP a 6; 7; 12. Da la parte intermedia.

a) 210 b) 240 c) 360d) 150 e) 120

13). Reparte 280 D.P a 1/5; 2/3; 3/10. Da como respuesta la parte mayor.

a) 160 b) 100 c) 180d) 140 e) N.A.

14). Juan tiene 8 panes y Pedro 4; deben compartirlos equitativamente con dos amigos. Para recompensarlos éstos entregan 180 soles a Juan y Pedro. ¿Cuánto le tocará a Juan?

a) 120 b) 140 c) 75d) 150 e) 90

15). Reparte 648 en forma D.P a 5 y 7 Indica la mayor parte.

a) 378 b) 102 c) 270d) 300 e) 100

16). Reparte 648 en forma I.P a 5 y 7 Indica la mayor parte.

a) 480 b) 270 c) 164d) 378 e) 382

17).- Reparte 1250 en 3 partes directamente proporcionales a 2; 3; 5 e indicar la suma de cifras del mayor número.

a) 13 b) 10 c) 14

d) 18 e) 9

18).- Reparte 12 240 en 3 partes proporcionales a: 2/3, 1/5 y 5/6. Indicar la menor parte.

a) 1800 b) 1440 c) 2160d) 3600 e) 2880

19).- Reparte 346 500 en forma inversamente proporcional a los números 2, 3, 4 y 5. Dar como respuesta la suma de los 2 menores.

a) 142 500 b) 127 500 c) 154 500d) 121 500 e) 122 500

20).- El premio de un sorteo se reparte en forma inversamente proporcional al número de boletos adquiridos y son respectivamente 2; 3 y 7 ¿Cuánto dinero recibió el que compró más boletos, si en total se repartió S/. 1271?

a) 186 b) 434 c) 651d) 403 e) 372

21).- Reparte s/ 640 en forma D.P. a los números 3; 5; 8. Indicar la parte mayor.

a) 120 b) 200 c) 320d) 360 e) 480

22).- Reparte s/ 1 105 en forma D.P. a los números 7; 4 y 6. Indica la parte menor.

a) s/ 260 b) 65 c) 455d) 390 e) 130

23).- Reparte $ 240 en forma D.P. a los números 11; 3 y 10. Indica la suma de cifras de la parte menor.

a) 5 b) 7 c) 8 d) 3 e) 1

24).- Reparte $ 999 en forma D.P. a los números 17; 13 y 7 indica la suma de cifras de la parte intermedia.

a) 17 b) 9 c) 12 d) 27 e) 21

25).- Reparte $ 350 D.P. a los números 1; 3; 4 y 6 indicar la parte menor.

a) 150 b) 100 c) 75d) 25 e) 125

26).- Reparte 135000 dólares entre 5 personas proporcionalmente a los números 2000, 3000, 4000, 8000 y 13000 respectivamente, Indicar ¿Cuánto le toca al último?

a) 36000 b) 18000 c) 67500 d) 58500 e) 81000

27).- Reparte 5600 en partes proporcionales a los números

; indicar la mayor parte.a) 2600 b) 2400 c) 1800d) 2200 e) 1600

28).- Un abogado repartió una herencia de S/.12000 directamente proporcional a las edades de tres hermanos que son: 32, 26 y 22 años. ¿Cuánto recibió el hermano menor?

a) S/.3300 b) 2400 c) 2700d) 4000 e) 4500

29).- Se reparte 6510 entre tres personas en forma directamente proporcional a los números A; A2; A3. Si el menor recibió 930 ¿Cuánto recibió el mayor?

a) 3720 b) 3680 c) 3740d) 3670 e) 3730

30).- Al repartir “N” inversamente proporcional a los números: 180; 270 y 450 se obtuvo que la diferencia entre la parte mayor y menor fue 153. Halla “N”.

a) 382 b) 527 c) 648d) 718 e) 679

31).- Al repartir “N” inversamente proporcional a los números: 320, 322 y 323 se obtuvo que

53



la mayor parte excedía a la menor en 1170. Halla “N”.

a) 1285 b) 1425 c) 1395d) 1925 e) 1645

CLAVES DE RESPUESTAS1) a 2) a 3) b4) c 5) c 6) e7) e 8) e 9) a10)b 11)d 12)a13)a 14)a 15)a16)d 17)a 18)b19)d 20)a 21)c22)a 23)d 24)b25)d 26)d 27)d28)a 29)a 30)b31)c

VI. REGLA DE TRES

1. CANTIDADES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES (D.P) :

Dos cantidades son D.P si al aumentar o disminuir una de ellas, la otra también aumenta o disminuye en ese mismo orden.

Constante de Proporcionalidad.

2. CANTIDADES INVERSAMENTE PROPORCIONALES (I.P) :

Dos cantidades son IP si al aumentar o disminuir una de ellas, la otra disminuye o aumenta en ese mismo orden. Ejem :

3. DIFINICIÓN DE REGLA DE TRES SIMPLE :

Dadas tres cantidades y una incógnita pertenecientes a dos magnitudes diferentes determinar la incógnita.

a) DIRECTASi las cantidades son D.P. (directamente proporcionales)Ejemplo 1- Si un móvil recorre 120 km en 8 horas.

Determina en cuantas horas recorrerá 30 km.

Solución :

Distancia(km) Tiempo (H)

120 8

30 x

Son magnitudes D.P

Luego : x = = 2 horas

b) INVERSASi las cantidades son I.P. (inversamente proporcionales)

Ejemplo 1 :- Si 209 alumnos tardan 30 días en pintar

su salón de clase ¿Cuanto tiempo tardarían 60 alumnos?

Solución :

Tiempo N° alumnos

30 20

x 60

Son magnitudes I.P.

Luego x = = 10 días

4. DEFINICIÓN DE REGLA DE TRES COMPUESTA :

Dadas varias cantidades y una incógnita perteneciente a diversas magnitudes, determinar la incógnita. Consiste en resolver en forma simultánea dos o más reglas de tres simple:

Método de los signos

DP DP IP D IPA B C D E- - + + +a1 b1 c1 d1 e1

a2 b2 c2 x e2

+ + -

Luego : x =

PROBLEMAS RESUELTOS

1).- Si tres patas ponen tres huevos en tres días, doce patas, ¿En cuántos días podrán poner doce huevos?Solución :

+ - +Patas Huevos Días3 3 312 12 x- + -

x = = 3días

2).- En una competencia de glotones 40 de ellos puede comer 300 panes en 2 días. Si fueran 50 en 3 días. ¿Cuántos panes podrán comer?Solución :

+ - +Panes GlotonesDías3000 40 2x 50 3

+ +

Luego :

x = = 3625 panes

3).- Una cuadrilla de 12 hombres encargados de la conservación de un tramo de la línea férrea Arequipa –Cusco, construyen 4/5 de una alcantarilla en 6 días. Si se quiere concluir la obra en 5 días, ¿cuántos hombres serán necesario aumentar?Solución :

Hombres Obra Tiempo + - + 12 4/5 6 5 5/5 5 + -

x =

Debe aumentarse 18 – 12 = 6 hombres

4).- Si 60 obreros trabajando 8 horas diarias construyen 320 metros de una obra en 20 días. ¿En cuántos días 50 obreros trabajando 6 horas diarias construyen 300 metros de la misma obra?Solución :

Obreros H/DMetros Tiempo D/A + + - + 60 8 320 20 50 6 300 x - - +

X = = 30 días

5).- 10 campesinos siembran un terreno de 50m2 en 15 días, en jornadas de 7 horas. Si las jornadas fueran de 8 horas. ¿Cuántos días demorarán en sembrara otro terreno de 80m2, 15 campesinos doblemente hábiles?

Solución :

Camp. Días Horas Habilid. Área + + + + - 10 15 7 1 50 15 x 8 2 80

54



X = = 7

días


1).- 20 mineros tienen víveres para 15 días. Si desisten trabajar 5 de ellos, ¿Para cuántos días tendrá víveres el resto?

a) 20 b) 25c) 15 d) 18 e) 23

2).- Si 8 obreros hacen una obra en 15 días, 12 obreros harán la obra de igual característica en:

a) 16 b)7 c)20 d) 15 e)10

3).- ¿Cuántos panes darán por S/.38, si por S/.2 dan 18 panes?

a) 242 b) 148 c) 230d) 150 e) 342

4).- Cinco Obreros trabajando 8 horas diarias hacen una obra en 15 días; 10 obreros trabajando 6 horas diarias, ¿En cuántos días harán otra obra de igual característica?

a) 9 b) 6 c) 5 d) 8 e) 10

5).- Un hombre caminando 8 h/d ha empleado 4 días para recorrer 160 km. ¿Cuántas horas diarias debe caminar otro hombre para recorrer 300 km en 10 días?

a) 9 b) 6 c) 5 d) 8 e) 3

6).- Doce hombres trabajando 8 horas diarias pueden hacer un muro en 15 días. ¿En cuántos días harán otro muro igual 15 hombres trabajando 6 horas diarias?

a) 14 b) 15 c)16 d)17 e) 18

7).- Doce hombres tardan 10 días en cavar una zanja de 2 m de profundidad. ¿Cuántos hombres serán necesarios para cavar otra zanja de 3 m de profundidad en 20 días?

a)10 b)11 c)12 d)9 e)8

8).- Viajando con una velocidad de 90 Km/h. Un auto demora 8 horas. ¿A que velocidad debe viajar si desea demorar 6 horas?

a) 160 b) 140c) 130 d) 150 e) 120

9).- Si una obra tiene una dificultad del 60% y se puede realizar en 24 días. ¿En cuántos días se podrá hacer la misma obra si tiene una dificultad de 80%?

a) 16 b) 34c) 33 d) 18 e) 32

10).- Con un rendimiento del 50% se puede hacer una obra en 30 días. ¿Cuál es el rendimiento si se demora 15 días?

a) 60% b) 80%c) 90% d) 100% e) 70%

11).- Si 10 carpinteros hacen 25 mesas. ¿Cuántas mesas harán 4 carpinteros?

a) 20 b) 8c) 13 d) 10 e) 12

12).- Con una habilidad del 70% se puede hacer un trabajo en 27 minutos. ¿Cuánto demorará con una habilidad del 90%?

a) 18 b) 24 c) 12 d) 20 e) 21

13).- 8 conejos tienen alimento para 18 días. Si hay 6 conejos. ¿Cuánto duran los alimentos?

a) 16 b) 24 c) 21 d) 20 e) 12

14).- En una semana, José gasta S/.48 en comprar gasolina, en 42 días gastará:

a) 168 b) 48 c) 336 d) 288 e) 208

15).- Si en dos días 20 niños comen 80 panes, en una semana, ¿Cuántos panes comerán?

a) 160 b) 240c) 320 d) 250 e) 280

16).- Una familia de 5 personas tomó una pensión durante 6 días y pagó S/. 60. ¿Cuánto pagó otra familia de 4 personas

que estuvo alojada en la misma pensión durante dos semanas?

a) 112 b) 120 c) 114 d) 115 e) N.A.

17).- Caminando 6 horas diarias, un hombre ha empleado 4 días para ir de un pueblo a otro distantes entre sí 96 km. Si continuando su viaje debe ir a otro pueblo distante 192 km de este último, ¿cuántos días empleará caminando 8 horas diarias?

a) 6 b) 3 c) 5 d) 8 e) 7

18).- 120 soldados tienen provisiones para 20 días a razón de 3 raciones diarias. ¿Para cuántos días tendrán provisiones si se aumentan 30 soldados y el número de raciones diarias se reduce a 2 por día.

a) 18 b) 20 c) 22 d) 24 e) N.A

19).- Doce hombres trabajando 8 horas diarias construyen 24 m de una pared en 10 días. ¿Cuántos hombres serán necesarios para construir 20 m de pared continuada en 5 días trabajando 10 horas diarias?

a) 16 b) 15 c)14 d) 13 e) N.A20).- Ocho hombres cavan una zanja de 24 m

de largo por 2 de ancho y 2m de profundidad, en 12 días. ¿Cuántos trabajadores con la misma habilidad serán necesarios para cavar otra zanja de 18 m de largo por 3 m de ancho y 4 m de profundidad en 8 días?

a) 18 b) 12 c) 27 d) 30 e) N.A

21).- Tres obreros trabajando 4 horas diarias durante 6 días han hecho 12 metros de una zanja. ¿Cuántos obreros se necesitarán para hacer 16 metros de zanja en 2 días trabajando 6 horas diarias?

a) 9 b) 6 c) 5 d) 3 e) 8

22).- Dos secretarias copian 350 trabajos en una semana. ¿Cuántas secretarias serían necesarias para copiar 600 trabajos en 4 días?

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

23).- 80 obreros trabajando 8h/d construyen 480m2 de una obra en 15 días. ¿Cuántos días se requieren para que 120 obreros trabajando 10h/d hagan 960m2 de la misma obra?

a) 22 b) 30 c) 18 d) 16 e) 20

24).- En 12 días, 8 obreros han hecho los 2/3 de una obra, en ese momento se retiran 6 obreros. ¿Cuántos días demorarán los obreros restantes en terminar la obra?

a) 20 b) 21 c) 22 d) 24 e) 25

25).- Por sembrar un terreno cuadrado de 20 metros de lado, un peón cobra S/300,00. ¿Cuánto cobrará por sembrar otro terreno cuadrado de 12 metros de lado?

a) 108 b) 109 c) 110d) 111 e) 107

26).- 21 obreros se comprometen en hacer una obra en 16 días; pero por una emergencia les comunican antes de empezar que debe estar listo 2 días antes. ¿Cuántos obreros extras deben contratarse?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 627).- La habilidad de dos trabajadores es

como 5 es a 13. Cuando el primero haya realizado 280m3 de cierta obra. ¿Cuánto habrá realizado el otro?

a) b) c)

d) e)

28).- Sabiendo que un buey atado a un poste con una cuerda de 3 metros de largo; tarda 5 días en comer toda la hierba a su alcance. ¿Qué tiempo le alcanzaría la hierba de su alcance si la cuerda tuviera una longitud 2 veces mayor?

a) 10 días b) 45 días c) 15 díasd) 25 días e) 18 días

29).- Una guarnición de 1500 hombres tienen víveres para 88 días. Si se quiere que los víveres duren 12 días más. ¿Cuántos

55



hombres se tendrán que retirar de la guarnición?

a) 180 b) 150 c) 160 d) 70 e) 168

30).- En un taller 45 mecánicos ensamblan 10 autos en 20 días, ¿Cuántos mecánicos más triplemente eficientes se deberán contratar para ensamblar 60 autos en 30 días más?

a) 14 b) 21 c) 16 d) 24 e) 30

CLAVES DE RESPUESTAS1) a 2) e 3) e4) e 5) b 6) c7) d 8) e 9) d10)d 11)d 12)b13)d 14)b 15)e16)a 17)a 18)d19)a 20)c 21)e 22)d 23)d 24)d25)a 26)b 27)d28)b 29)a 30)b

56



V. RADICACIÓN

1. DEFINICIÓN:Tiene por objeto calcular una expresión llamada raíz, conociendo otras llamadas índice y radicando; tal que dicha raíz elevada al índice reproduzca el radicando.Es decir:

2. SIGNOS DE LAS RAÍCES:

a).-

b).-

c).-

3. RADICALES DOBLES :Son expresiones matemáticas de la forma:

; nZ+ ; n 2

TRANSFORMACIÓN DERADICALES DOBLES A RADICALES SIMPLES O SENCILLOS:

=

donde: C =

REGLA PRÁCTICA:

= * a > b

PROBLEMAS RESUELTOS

1).- Efectúa: 4

Solución :

2).- Efectúa:

Solución :

3).- Multiplica:

Solución:

4).- Simplifica:

Solución:

5).- Efectúa:

Solución:

6) Halla la raíz cuadrada de:

Solución :

Rpta : +

7) Reduce:

Solución :

3 + 1 = 4Rpta = 4

8)Transforma a radicales simples:

E =

Solución:

; 60 = 60 x 1

PRÁCTICA DIRIGIDA Nº05

1).- Efectúa:

a) b2 b) 2b2 c) 0

d) 6 e)

2).- Simplifica:

a) 2 b) 3 c) 1d) 6 e) 5

3).- Simplifica:

a) 1/2 b) 2/3 c) 1d) 3/2 e) 5

4).- Efectúa:

a) 2 b) 3 c) 1d) 6 e) 5

5).- Simplifica:

a) 4 b) 3 c) 1d) 6 e) 5

6).- Reduce:

a) 2 b) 3 c) 1d) 6 e) 5

7).- Halla un radical simple de:

M =

a) 4+ b) 4-

c) 2- d) 2+ |e) N.A.

8.- Simplifica:

a) 1 b) 2 c) –1d) -2 e)

9).- Efectúa:

57

Índice

Signo radical

Radicando o cantidad subradical

raíz n Z+



a) 3 b) 0 c) 7 5d) 1 e) 6

10).- Reduce:

-

a) b) -1 c) -d) 1 e) 0

11).- Transforma a radical simple y efectúa:

a) b) c) -d) –3 e) -5

12).- Calcula :

E =

a) 1 b) 2 c) 3d) -2 e) –1

13).- Reduce :

M=

a) 2 b) 4 c) 6d) –3 e) N.A.

14).- Reduce:

a) b) c)

d) e)

15).- Reduce:

a) 2 b) 4 c) 6d) –3 e) 5

16).Resuelve:

a) 32 b) 4 c) 16d) 8 e) 25

17).- Halla el radical simple:

-3

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

18).- Efectúa:

a) 3 b) 0 c) d) 1 e) 6

19).- Reduce:

a) b)

c) d) e) N.A

CLAVES DE RESPUESTAS

1) c 2) b 3) d

4) b 5) a 6) c

7) c 8) d 9) c

10)d 11)c 12)d

13)a 14)c 15)b

16)a 17)a 18)a

19)c

VI. RACIONALIZACIÓN1. DEFINICIÓN :

Es una operación que consiste en transformar una expresión (con

denominador irracional) en otra equivalente parcialmente racional (con denominador racional)

2. FACTOR RACIONALIZANTELlamamos así a aquella expresión irracional tal que, al multiplicar a otra que también es irracional la convierte en una expresión racional.

PROBLEMAS RESUELTOS

1).- Racionaliza :

Solución:

2).- Racionaliza:

Solución:

3).- Racionaliza:

Solución :

4).- Racionaliza:

Solución :

= 2 +3 +

5).- Efectúa:

B =

Solución :

Luego :

B =

B = 3

6).- Racionaliza:

Solución :

=

=

7) Racionaliza:

Solución :

x

58



8) Racionaliza:

Solución :Transformamos a radicales simples.


1).- Indica el denominador luego de

racionalizar:

a) 3 b) 2 c) 1d) 10 e) 6

2).- Racionaliza:

a) 3x b) 25 c) 5d) 95 x e) 9

3).- Racionaliza:

a) 3 b) 2 c) 1

d) 15x e) 6

4).- Racionaliza:

a) 6 b) 2 c) 2

d) 12 e) N.A.

5).- Racionaliza :

a) b)

c) d)

6).- Racionaliza:

a) b) +2 c)

-2

d) 2+ e) N.A.

7).- Racionaliza:

a) b) c) a

d) e) N.A.

8).- Racionaliza:

a) b)

c) d)

e) N.A.

9).- Racionaliza:

a) b) c)

d) e)

10).- Racionaliza e indica el denominador:

a)x –y b) x +y

c) d) xy e) N.A.

11).- Racionaliza:

a) 5- 4 b) 5 +4

c) 4 - 5 d) e) N.A.


a) 3 b) –3 c) -5d) –10 e) N.A.

13).- Racionaliza:

a) b) c)

d) e) N.A.

14).- Racionaliza: +

a) b) 2 c) 2

d) 3 e) 2


a) 78 b) 81 c) 84d) 39 e) N.A.

16).- Racionaliza : -4

a) b) 2 c) 2

d) 3 e) N.A.

17).- Calcula:

a) 1 b) 2 c) –1d) –2 e) -3

18).- Luego de racionalizar es

igual a:a) b)

c) 1 d) e)

19).- Resuelve:

a) 7 b) 1 c) 4d) 2 e) 3

20).- Resuelve:

a) 1 b) 10 c) 0d) 2 e) 3

21). Resuelve:

a) 7 b) 1 c) 4d) 2 e) –3

59



22).- Resuelve:

a) b) 2

c) /2 d) 2.5 e) 5

CLAVES DE RESPUESTAS1) c 2) d 3) b4) c 5) c 6) c7) a 8) c 9) b10)a 11)c 12)c13)c 14)e 15)d16)b 17)d 18)a19)d 20)b 21)e22)c

VII. NÚMEROS COMPLEJOS

1. UNIDAD IMAGINARIA :

i

Observación:

Pot. Positivas Pot. Negativas

i4k = 1 i –4k = 1i4k+1 = i i-(4k+1) = i1 = ii4k+2 = -1 i-(4k+2) = i2 = -1i4k+3 = -i i-(4k+3) = i3 = –i

2. NÚMERO COMPLEJO :Se llama así a todo par ordenado (a;b) de componentes reales. Se representa por Z mayúscula:

Z = a + bi = (a, b) a, b R

3. COMPLEJO PURO :No tiene parte real.

Z = bi

4. COMPLEJO REAL :No tiene parte imaginaria.

Z = a

5. COMPLEJO NULO :No tiene ni parte real ni parte imaginaria.

Z = O

6. CONJUGADO DE UN COMPLEJO ( ) :

Se cambia de signo la parte imaginaria.Si Z = a + bi = a – bi

7. COMPLEJO OPUESTO :Se cambian ambos signos.

z = a+bi -z = -a -bi

FORMA POLAR TRIGONOMÉTRICADE UN COMPLEJO:

|Z| = módulo = argumento

Luego: a = |Z| Cos b = |Z| Sen Z = a + bi

Z = |Z| (Cos + Seni)

Cálculo de |Z|:

|Z| =

Cálculo de :

OPERACIONES

Sea : Z1 = |Z1| (Cos1 + iSen1) Z2 = |Z2| (Cos 2 + iSen2)

a) Multiplicación:

Z=Z1.Z2=|Z1||Z2|[Cos(1+2)+iSen(1+2)]

b) División:

RESUMEN: i = (1 + i)2 = 2i (1 - i)2 = -2i

i-n =

PROBLEMAS RESUELTOS

1) Escribe en forma polar o trigonométrica el siguiente complejo:

Z = 3 + 4i

Solución :

|Z| =

Tg =

Luego : = 360° - 53° = 307° Z = 3 – 4i

= 5(Cos307° + iSen307°)

2) Representa en su forma cartesiana:Z = 2(Cos120° + iSen120°)

Solución :

Cos120° = -Cos60°= - ½

Sen120° = Sen60°=

Z=2(Cos120°+iSen120°) = 2 (- )

Z = -1 + i

3) Reduce:

Solución:

Recordando potencias naturales de i, tenemos:

W = 2 + i - iW = 2

4) Reduce:

Solución:

Multiplicamos en aspa:

Luego, multiplicamos por su base conjugada:

5) Reduce:Z = (1 + i)4 + (1 - i)4 + (1 + i)8

Solución:

Z =

60

bZ

aR

Im

O

Z =

3

-4



Z = [2i]2 + [-2i]2 + [2i]4

Z = 4i2 + 4i2 + 16i4

Z = 4(-1) + 4(-1) + 16(1)

Z = -4 + -4 + 16

Z = 8

6).- Resuelve las potencias de i:

a) i45 = i4k+1 = i1 = i

b) i147 = i4k+3 = i3 = -i

c) i234562 = i4k+2 = i2 = -1

d) i630016 = i4k = i0 = 1

e) i165430095 = i4k+3 = i3 = -i

f) i254187657 = i4k+1 = i1 = i


Calcula:

1) i45 =

2) i1252 =

3) i4235 =

4) i32052381 =

5) i140325 =

6) =

7) =

8) =

9) =

Simplifica:

1)

a) 6i b) 4i c) 8d) 10 e) N.A.

2)

a) 9i b) 8 c) 7id) 4 e) N.A.

3) 2

a) 36i b) 18i c) 24id) 25i e) N.A.

4)

a) 22i b) 16 c) 14id) 63i e) 74i

Multiplica:

5)

a) 20 b) 9 c) 20id) –20 e) N.A.

6)

a) 15 b) –63 c) 63d) 81 e) N.A.

7)

a) –960 b) 180 c) 560d) 48 e) -48

8)

a) 4 b) –4 c) -8d) 20 e) 5

9)

a) 42i b) –42 c) –42id) 42 e) N.A.

10) Resuelve:

(3-4

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

11) Resuelve:

+

a) 2 b) 2i c) –2id) –2 e) N.A.

12) Resuelve:

a) 13 b) 14 c) 15d) 18 e) 17

13) Resuelve:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

14) Simplifica:

a) 1 b) 2 c) –1d) –2 e) -3

15) Simplifica:

a) 16 b) 2 c) 10d) 8 e) 13

16) Efectúa:

P = (5+3i) (4-2i) (1+i) (6-7i)

a) 120 b) 240 c) 340d) 440 e) N.A.

61




1) a 2) c 3) a

4) a 5) d 6) b

7) a 8) b 9) c

10)c 11)b 12)e

13)b 14)d 15)a

16)c

62



IV. ÁNGULOS VERTICALES

1. CONCEPTO :Son aquellos ángulos representados en el plano vertical.

2. CLASIFICACIÓN :2.1. ÁNGULO DE ELEVACIÓN : Es aquel formado por la línea horizontal y la visual.La visual es una línea imaginaria, que parte del observador hacia el objeto y que está por encima de la línea horizontal.

2.2. ÁNGULO DE DEPRESIÓN :Es aquel ángulo formado por la línea horizontal y la visual.La visual es una línea imaginaria, que parte del observador hacia el objeto y que está por debajo de la línea horizontal.

PROBLEMAS RESUELTOS

1) A 24 m de la base de un edificio se observa la parte más alta de éste con un

ángulo de elevación de 16°. Calcula la altura del edificio.Solución :

En la figura :

Tan16° = 24

7=

24

x x = 7m

2).- Desde lo alto de un edificio de 40m de altura se observa un punto en la tierra con un ángulo de depresión de 53°. ¿A qué distancia de la base del edificio se encuentra el punto?

Solución :

En la figura :

Tan37° = 40x

43

=40x x =30m

3) Un nadador se dirige hacia un faro y lo observa con un ángulo de elevación de 30°; al avanzar 10m , el ángulo de elevación se duplica. Halla la altura del faro.Solución :

En la figura :

10H

= Sen60°10H

= 23

H =5 3 m

4).- Desde las azoteas de dos edificios de 80 y 12m de altura, se observa un punto en el suelo entre ambos edificios con ángulos de depresión de 53° y 37° respectivamente. Calcula la distancia entre ambos edificios.Solución :

X = 76m

5).- Una persona de 2m de estatura observa la base de un poste de luz con un ángulo de depresión de 30° y la parte superior con un ángulo de elevación de 60°. Calcula la altura del poste.Solución :

Se observa : x = 8m


NIVEL I 1).- Un observador se encuentra a 24m de la

base de un poste de 7m de altura. ¿Cuál es el ángulo de elevación respectivo?a) 16° b) 12° c) 14°d) 22° e) N.A.

2).- Una escalera de 6m de longitud es apoyada sobre una pared, formando con éste un ángulo de 30°, calcula la distancia entre los pies de la escalera y la pared.a) 6 b) 4 c) 3 d) 8 e) N.A.

3).- Desde lo alto de un edificio de 100m de altura se observa un auto estacionado bajo un ángulo de depresión de 60°. Calcula la distancia desde el auto hasta el pie del edificio en el punto que está bajo el observador.

a) 3

3100 b) 3

3 c) 3 3

d) 5

3100 e) N.A

4).- La parte superior de un edificio de 48m de altura es observada bajo un ángulo de elevación de 53°. ¿Cuál es la distancia entre el observador y el pie del edificio?a) 36m b) 32m c) 24md) 38m e) N.A.

5).- Desde la parte superior de un morro de 77m de altura se observa un objeto que está ubicado a 264m del pie del morro. ¿Cuál es el ángulo de depresión?a) 14° b) 16° c) 12°d) 10° e) N.A.

6).- A 20 m del pie de un poste la elevación angular para lo alto del mismo es de 37°. ¿Cuál es la altura del poste?a) 12° b) 10° c) 15°d) 14° e) N.A.

7).- Desde un punto A situado a 30m del pie de un edificio, se observa su parte superior con un ángulo de elevación de 30°. Calcula la distancia del punto A hacia la parte superior.a) 3 b) 20 3 c) 3 /2

d) -2 3 e) N.A.

8).- A 20 m de una torre se observa su parte más alta con un ángulo de elevación “” y si nos alejamos 10m el ángulo de elevación es el complemento de “”. Calcula Tg.

63

OBSERVADOR

Áng. de elevación

L. Horizontal

OBJETO

OBSERVADOR

Áng. de depresión

L. Horizontal

OBJETO

Punto53°

40

53°

37°

x

Poste

Observador

x

24

30° 60°

30°

10 H

faro

10

80

53° 37°

37°

12

1660

53°

x

60°

30°

30°2 4

38°

x

poste



a) 2

3 b)

26 c) 2

2

3

d) 3

5 e) N.A.

9).- Desde un punto en el suelo se ubica la parte superior de un ángulo con una elevación angular de 37°. Nos acercamos 5m y la nueva elevación angular es de 45°. Halla la altura del árbol.a) 12° b) 14° c) 15° d) 10° e) 8°

10).- Desde un punto en el suelo se observa la parte más alta de una torre con un ángulo de elevación de 60°. Si se retrocede 40m y se vuelve a observar la parte más alta, el ángulo de elevación es de 30°. Halla la altura de la torre.a) 3 3 b) -3 3 c) 20 3

d) 3 e) N.A.

11).- Una persona colocada a orillas de un río, ve el extremo superior de un árbol plantado sobre la ribera opuesta, bajo un ángulo de elevación de 60°. Si se aleja 40m; el ángulo de elevación es 30°. Halla el ancho del rio.a) 23 b) 22 c) 20d) 18 e) 14

12).- Una persona ubicada en la parte más alta de un poste de alumbrado público ubica dos puntos opuestos a ambos lados del poste con ángulo de depresión de 37° y 53. Si los puntos distan entre si 20m. Halla la suma de las visuales.a) 22 b) 25 c) 20d) 18 e) 32

13).- Calcula la altura de un árbol, si desde dos puntos ubicados a un mismo extremo del árbol, se observa lo alto con ángulos de elevación de 30° y 60°, además se sabe que la distancia entre ellos es de 20 3 m.a) 30 b) 28 c) 24d) 20 e) N.A.

14).- Desde la parte superior de una torre se observan dos piedras en el suelo con

ángulo de depresión de 37° y 53°. Si la altura de la torre es de 12m y las piedras están en línea recta y a un mismo lado de la torre, calcula la distancia entre las piedras.a) 12 b) 8 c) 7d) 6 e) 5

15).- Una antena de radio está colocada en la azotea de un edificio, a 12m de distancia del edificio, sobre el suelo; los ángulos de elevación de la punta de la antena y de la parte superior del edificio son 53° y 37° respectivamente. Halla la longitud de la antena.a) 14 b) 7 3 c) 7d) 10 e) N.A.

16).- Desde el extremo superior de una torre de 24m de altura se observan los puntos “A” y “B” con ángulos de depresión de 37° y 53° respectivamente. Si los puntos “A” y “B” se encuentran alineados con la torre. Calcula la distancia entre dichos puntos.a) 7 3 b) 14 c) 16d) 10 e) N.A.

NIVEL II 1).- Si Pepito observa a su papá con un

ángulo de elevación ; las alturas del hijo y papá son respectivamente : h y H. Calcula la distancia que están separados.a) HCtg+hTg b) (H-h)Ctg c) (H-h)Ctg2 d) (H-h)Ctg3 e) (H+h)Ctg

2).- Desde un punto en tierra se observa lo alto de un poste con un ángulo de elevación

“” y si nos acercamos a una distancia “d”, se observa nuevamente con un ángulo de elevación “2”.Calcula la altura del poste.a) d Tg b) d Tg2 c) d Tg2 d) d Sen2 e) d Csc2

3).- Si a 20m de un poste se observa su parte más alta con un ángulo de elevación de

o37 y luego nos acercamos al poste a una

distancia igual a su altura, el nuevo ángulo de elevación es “”. Halla “Tg”.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

4).- Desde lo alto de un edificio se observa una pulga con un ángulo de depresión de

o30 , si la pulga se encuentra a 7m del pie

del edificio, calcula la altura del edificio.

a) 37 b) 327 c) 3

37

d) 347 e) 5

57

5).- Desde un punto “D”, un observador divisa una estatua con su pedestal de 5m y 4m respectivamente. El ángulo de elevación de la cabeza de la estatua es el doble de la parte superior del pedestal o pie de la estatua. ¿Cuál es el valor de la tangente del mayor ángulo de elevación?

a) 1/2 b) 3/4 c) 2/3 d) 5/6 e) 1/5

6).- Desde la parte superior e inferior del segundo piso de un edificio de cuatro pisos iguales, se observa una piedra en el suelo y a una distancia de 9m de la base del edificio con ángulos de depresión “” y “” respectivamente. Desde la parte más alta del edificio la depresión angular para la piedra es “”. Si se conoce que : Tg - Tg - Tg = 1/4. ¿La altura del edificio es?a) 6m b) 10m c) 9md) 8m e) 4m

7).- Un reflector al ras del suelo ilumina un monumento bajo un ángulo de 30°. Se traslada el reflector a 2m más cerca del monumento y éste se ve bajo un ángulo de 45° . ¿Cuál es la distancia del monumento al segundo lugar de iluminación?

a) 3 m b) 13 c) 12

d) 13 e) 2

8).- Una persona se dirige a un edificio y observa lo alto del mismo con un ángulo de elevación “”, después de caminar 10m observa al mismo punto anterior con ángulo

de elevación “”, si la altura del edificio es de 30m. Calcula: 3Tg.Ctg + Tg

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

9).- Los ángulos de elevación de la cúspide de una torre, vistos desde 2 puntos situados en línea recta con el pie de la torre, son de 45° y 30° respectivamente , si la distancia entre los puntos de observación es de 60m, la altura de la torre, es :

a) 3

60m b)

1360

m

c) 31

60

m d) 60

23 m e) N.A

10).- Desde la parte más alta de un poste se observa en el suelo dos piedras separadas a una distancia de 10m con ángulos de

depresión de o45 y “” ( “” para la piedra

que se halla más cerca del poste). Calcula la tangente de “” si la altura del poste es de 30m, además ambas piedras se hallan a un mismo lado del poste.

a) 1 b) 1,5 c) 2,5 d) 3 e) 4

11).- Desde lo alto de un edificio se observa a un móvil con un ángulo de depresión de 37°, dicho móvil se desplaza con rapidez constante, luego que avanza 28m acercándose al edificio es observado con un ángulo de depresión de 53°, si de esta posición tarda en llegar al edificio 6 segundos. Halla la rapidez del móvil en Km/h.a) 10 b) 10,8 c) 16d) 18 e) 21,6

12).- Un avión vuela horizontalmente a una altura de 2000m con respecto al nivel del mar, desde un punto de observación situado sobre la costa se le observa en un instante determinado bajo un ángulo de elevación “”. Luego de 5 segundos el nuevo ángulo de elevación es “”. Si el

64



avión vuela con rapidez constante, calcula dicha rapidez si se sabe :

Tg = 4/21 y Tg = 2/11

a) 100 m/s b) 200 m/s c) 300 m/s d) 400 m/s e) 500 m/s


NIVEL I 1) a 2) c 3) a 4) a

5) b 6) c 7) b 8) b

9) c 10) c 11) c 12) b

13)a 14)c 15) c 16) b

NIVEL II

1) b 2) d 3) c 4) c

5) b 6) c 7) b 8) c

9) b 10) b 11) e 12) a

V. PLANO COORDENADO

1. CONCEPTO Es aquel sistema conformado por dos rectas perpendiculares entre sí. El punto de corte recibe el nombre de origen de coordenadas. Además el plano queda dividido en cuatro regiones; cada uno de los cuales se denomina cuadrante.

x : Eje de abscisas.y : Eje de ordenadas.

2. UBICACIÓN DE UN PUNTO Un punto queda localizado en el plano; cuando se conocen los valores que le corresponden a la proyección del punto sobre cada uno de los ejes. En el gráfico:

Donde : x1, y1 : componentes de P. El punto es: P(x1; y1) x1 : abscisa y1 : ordenada OP : radio vector

Se cumple: r2 = x12 + y1

2

3. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

En general:

4. PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

En general:

5. PROPIEDAD DEL BARICENTRO

Donde : G Baricentro

En general:

PROBLEMAS RESUELTOS

1).- La distancia entre los puntos (2 ;1) y (5;

4) es K 6 . Calcula “k”.

Solución :

Dato : (2; 1) y (5; 4)Se sabe que la distancia entre los puntos:

d = 22 )14()25(

d = 18

Por dato:k 6 = 18

k = 6

18

k = 3

2).- Dados los puntos:A(2; 5) , B(7; 9) y C(-3; 4)

Halla:

3

584126BC

ABACP

Solución :

Por distancia entre 2 puntos :

AC = 26)45()32 22

AB = 41)95()72 22

BC = 55125)49()37 22

P = 35

55841412626 xxx

P = 3 27

P = 3

3).- Si dos vértices de un triángulo son A(-4; 6) y B(-3; 8). Halla la suma de las coordenadas del tercer vértice sabiendo que las medianas de dicho triángulo se intersectan en el punto P(2; 6).

Solución :

Dato : A(-4; 6) , B(-3; 8) , C(x; y)

P(2; 6) Baricentro

Se sabe:

65

x

y

ICIIC

IIIC IVC

+ + + + + - - - - - ----

++++

x1

y1

P(x1; y1)

Y

Xx1

y1

y1

O

d(A, B) =

X =

y =

X =

y =

A(x1; y1) C(x3 ; y3)

B(x2; y2)

G(x; y)

B(x2; y2)

y

x0

A(x1; y1)

d

B(x2; y2)

A(x1; y1)

M(x; y)

r



3

)3()4( x= 2 x = 13

63

86

y y = 4

4).- De la figura, halla “a” si AB//MN.

Solución :Por el punto medio de un segmento:

32

4a

a + 4 = 6 a = 2

5).- ¿Qué punto está más alejado del origen?a) A(1; 2) b) B(3; -1) c) C(2; 3)d) D(4; 0) e) E(-3; 4)

Solución :

Hallando el radio-vector de cada punto:

rA = 521 22

rB = 10)1(3 22

rC = 1332 22

rD = 1604 22

rE = 254)3( 22

El punto más alejado es “E”


1).- Calcula la distancia entre los puntos:A(-3; 5) y B(4; 9)

a) 50 b) 65 c) 70

d) 77 e) 5

2).- Calcula la distancia entre los puntos:M(-1; -2) y N(-3; 4)

a) 10 b) 2 10 c) 3 10

d) 5 e) 8

3).- Calcula la distancia entre los puntos:P(7; 9) y Q(4; 5)a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 9

4).- Calcula las coordenadas del punto medio del segmento AB .

Si A(-1; 9) y B(9; 21)a) (5; 6) b) (-1; 9) c) (4; 15) d) (15; 4)

5).- Calcula las coordenadas del punto medio del segmento MN .

Si M(8; -10) y N(6; -4)a) (7; 5) b) (7; -7)c) (1; -7) d) (7; -6) e) (-5; 6)

6).- Calcula las coordenadas del punto medio del segmento PQ .

Si P(11; 15) y Q(-3; -5)a) (4; 5) b) (5; 4)c) (3; 5) d) (5; 3) E) (3; 7)

7).- Calcula x en: A (2; 9)

x C(9; 6)

B (-11; 4)

a) 3 b) 5 c) 3 2

d) 5 2 e) 7

8).- Calcula x en: B (7; 16)

13

A (x; 4)

a) 2 b) 5 c) 12d) 15 E) 9

9).- Determinar la longitud de la mediana relativa al lado AB de un triángulo ABC, si A(2; 9); B(8; 1) y C(3; 11)

a) 10 b) 2 10

c) 3 10 d) 4 10 e) 26

10).- Calcula las coordenadas del Baricentro del triángulo ABC, si:

A(-2; 1), B(5; 4) y C(0; -2)a) (1; 1) b) (2; 2)c) (1; 2) d) (2; 1) e) (1; -1)

11).- En el ejemplo anterior. Calcula la distancia desde el vértice A al baricentro del triángulo ABC.

a) 3 b) 3 c) 2

d) 2 e) 5

12).- Calcula la distancia del Baricentro del triángulo ABC al vértice B, si:

A(1; 4), B(11; 5) y C(3; -6)

a) 51 b) 52

c) 53 d) 54 e) 55

13).- La distancia entre los puntos (2; 1) y (5;

4) es K 6 . Calcula: K.

a) 3 b) 2 c) 5

d) 3 e) 5

14).- La distancia entre los puntos (-3; 6) y (7;

1) es 5 K . Calcula K.

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 7

15).- Indica que punto está más alejado del origen de coordenadas:

M(3; 4); N(-5; 2); P(-7; 9)a) M b) N c) P

16).- Calcula el perímetro de un cuadrado ABCD, si A(2; 5) y B(3; -1)

a) 37 b) 4 37

c) 3 37 d) 5 37 e) 6

17).- Calcula el área de un cuadrado ABCD, si la diagonal AC tiene por coordenadas: A(2; 1) y C(5; 4)

a) 18 b) 16 c) 12d) 9 e) 15

18).- Calcula el perímetro de un triángulo equilátero ABC, si: A(-2; 9) y B(3; -3)

a) 36 b) 25 c) 39d) 40 e) 52

19).- En el problema anterior. Calcula el área.

a) 16943 b) 144 3

c) 24 3 d) 12643 e) 9

20).- Si dos vértices de un triángulo son A(-4; 8) y B(-3; 6). Hallar la suma de las coordenadas del tercer vértice, sabiendo que las medianas de dicho triángulo se intersectan en el punto P(2; 7).

a) 19 b) 20 c) 21d) 22 e) 5

66

B(1; 8)

M(4; 6)

C(7; 4)N(5/2; 3)(-2; a)

A

E

C

B

D

-1

23 4

4

3

2

-3

y

x1

A

x + y = 17



CLAVES DE RESPUESTAS 1) b 2) b 3) d 4) c 5) b

6)a 7)b 8)c 9)b 10)a

11)a 12)b 13)a 14)d 15)c

16)a 17) a 18) c 19) a 20) b

VI. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO DE CUALQUIER MAGNITUD

1. ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL

Es un ángulo trigonométrico cuyo vértice es el origen de coordenadas, cuyo lado inicial (L.I.) coincide con el semieje de las abcisas y cuyo lado final (L.F.) nos indica el cuadrante al cual pertenece. También se le denomina ángulo en posición estándar o en posición canónica. Ejemplos:

y : Ángulos en posición normal IIIC y IIC (estándar)

2. ÁNGULOS COTERMINALES Son ángulos en posición normal que tienen el mismo lado final.

K = número entero.

3. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO ESTÁNDAR

Se define razón trigonométrica de un ángulo estándar a la relación o cociente que se establece entre la abscisa (x), ordenada (y) y radio vector (r) de un punto que pertenece al lado final del ángulo.

Y

P(x,y) r

y o x X: ángulo estándar cualquierax: abscisay: ordenadar: radio vector

)0,( 22 ryxr

4. ÁNGULOS CUADRANTALES Son aquellos ángulos en posición normal, cuyo lado final coincide con cualquiera de los 4 semiejes coordenados. Los ángulos cuadrantales no pertenecen a ningún cuadrante.

Ángulo Cuadrantal = 90°K = k/2

Donde : K = número entero.

5. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS CUADRANTALES

0° 90° 180° 270° 360°

Sen 0 1 0 -1 0

Cos 1 0 -1 0 1

Tan 0 N 0 N 0

Cot N 0 N 0 N

Sec 1 N -1 N 1

Csc N 1 N -1 N

6. SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

I II III IV

Sen + + - -

Cos + - - +

Tan + - + -

Cot + - + -

Sec + - - +

Csc + + - -

PROBLEMAS RESUELTOS

1.- Si el punto P(-1; 3) pertenece al lado final del ángulo en posición normal “”; calcula : K = sen.cos.

Solución:

x = -1y = 3

r = 10

piden:

K = sen.cos =

r

x

r

y

K =

10

1

10

3

K = 10

3 K = -0,3

2.- Si el punto Q(-3; -4) pertenece al lado final del ángulo canónico “”. Calcula: E = sec+tanSolución:Graficando tenemos:

67

- = 360°K = 2K

RT () = R.T. ()

L.I.

L.F.

L.I.

L.F.

90°

0° (360°)180°

270° P(-1;3) 3

-1 x

y

r =



x = -3y = -4

r = 5

nos piden:

E = sec+tan = x

y

x

r

E = 3

4

3

5

3

4

3

5

E = 3

45

E = 3

1

3.- Sabiendo que: sen = 5

3 ; IVC,

calcula : S = sec - tan

Solución:En este tipo de problemas se puede proceder así: Como:

sen = r

y

5

3

Luego:r2 = x2 + y2 x2 = r2 – y2

x2 = 25 – 9 = 16 x = 4x = -4 (no lo toma: IVC)

Graficando; reconocemos el punto del lado final de “”, luego podemos ubicar el punto (4; -3) así:

4.- Sabiendo que:tan = 0,5; IIIC,Calcula:

C = sen.cosSolución:Otra forma de resolver estos problemas, es decir, conocida una R.T. calculamos cualquier otra; es con la ayuda de un triángulo rectángulo, pero teniendo muy en cuenta el cuadrante al cual pertenece el ángulo considerado. Así en el ejercicio:

tan = 0,5 = ..

..tan

AC

OCβ

2

1

10

5

Luego, no olvide que: IIIC:

sen = 5

1 y

cos = 5

2

entonces: C = 5

2

5

2

5

1

C = 0,4

5.- Sabiendo que:

cos = -0,8; IICCalcula:

E = csc + cot

Solución:

Aplicando el caso anterior:


1).- Calcula x en la figura:

(x; 2) y

5

o x

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

2).- Calcula “r” en:

Y

x

r

(-1; -3)

a) 7 b) 10 c) 11

d) 13 e) 14

3).- Calcula “r” en:

y

x

r (7; -24)

a) 21 b) 22 c) 23d) 24 e) 25

4).- Calcula “Y” en la figura:

y

x

5 (-1; y)

a) 1 6 b) 2 6 c) 3 6

d) 4 6 e) 5 6

5).- Calcula Tan en la figura:

68

r =

y

x

-4

-3

Q(-3; -4)

y = -3r = 5

y

-3

4

5

(4; -3)

x

Entonces:S = sec-tan

=

S =

1

2

5

4

53

cos = -0,8 =

cos =

como: IIC:

csc = +

cot =

entonces:E =



(-1; 2) y

x

a) -2 b) 3 c) -3d) 4 e) -5

6).- Calcula Cot en la figura:

y

x

(1; -5)

a) -2 b) 3 c) -3d) 4 e) -5

7).- Calcula Sen en la figura:

(-1; 3) y

x

a) 3/ 10 b) 2/ 5 c) 3/ 5

d) 4/ 10 e) 5/ 5

8).- Calcula Cos en la figura:

y

x

(2; -3)

a) –2/ 13 b) 3/ 13 c) –3/ 13

d) 2/ 13 e) –5/ 13

9).- Calcula Sec en la figura:

(-9; 40) y

x

a) –41/3 b) –41/4 c) –41/5d) 41/6 e) –41/9

10).- Indica el signo de:

E = Tan100° Cos320° Sen220°

a) (+) b) (–) c) (+) y (–)d) (+) ó (–) e) N.A.


Q = Sen170° + Cos320° + Tan220°

a) (+) b) (–) c) (+) y (–)d) (+) ó (–) e) N.A.


P =

155Cot305Sen

350Csc225Sec

a) (+) b) (–) c) (+) y (–)d) (+) ó (–) e) N.A.

13).- Calcula: Sen + Cos en la figura

(-1; 2) y

x

a) 5

5 b) 5

c) -5

5 d) -2 e) N.A.

14).- Si: P(3;4) pertenece al lado final de “”

ángulo en posición normal. Calcula: “Csc”

a) 3

5 b)

4

5 c)

5

3

d) 7

3 e) N.A.

15).- Si: Cos = 2/3 y 270° < < 360°.

Calcula: Cot

a) -2

5 b) -5

2 c) -

5

5

d) 5 e) N.A.

16).- Si: Tan = 3 y III C.

Calcula: Sec + Csc

a) - 10 b) -3

10

c) 3

104 d) -3

103

e) N.A.

17).- Indica en qué cuadrante está “”. Si:

Sen > 0 y Cos < 0

a) I b) II c) IIId) IV e) N.A.

18).- Indica en qué cuadrante está “”.

Si: Tan > 0 y Csc < 0

a) I b) II c) IIId) IV e) N.A.


1) a 2) b 3) e 4) b 5) a

6)e 7)a 8)d 9)e 10)a

11)a 12)a 13)a 14)c 15)b

16)c 17) b 18) c

69



IV. PLANTEO DE ECUACIONES

Uno de los motivos más interesantes en el razonamiento matemático, consiste en el arte de interpretar, traducir o representar una situación (Problema), de un lenguaje literal a un lenguaje matemático (ecuación) con ayuda de símbolo(s), variable(s) y operaciones fundamentales.Las ecuaciones tienen el mismo principio que una balanza de dos platillos. El peso que hay en el platillo izquierdo (primer miembro) debe ser igual al peso del platillo derecho (segundo miembro), de modo que exista un equilibrio (igualdad).

CRITERIOS PARA PLANTEAR UNA ECUACIÓN

1.- Leer y comprender el enunciado.2.- Extraer los datos.3.- Elegir la(s) variable(s) y representarla.4.- Relacionar los datos a través de una

igualdad lógica (ecuación).5.- Resolver la ecuación obteniendo el valor

de la variable o incógnita.Ejemplo:

El quintuple de “a” vale tanto como el séxtuple de b”.

5 x a = 6 x b

El producto del doble y triple de “m” es el quintuple de la mitad de “n”

2m x 3m = 5 x ½ n

Resumen :

Traducir al lenguaje matemático (forma simbólica) cada uno de los siguientes enunciados.

Forma escrita(verbal)

Forma simbólica

La edad de Timo

El número de libros

El dinero de Gladis

El precio de un lápiz

El doble de un númeroEl cuádruplo de tu edadLa mitad de un númeroLos 3/4 de tu dineroEl cuadrado de un número

“a” veces de tu edad

La inversa de un númeroEl triple del recíproco de AMi edad disminuida en 12 años

6x aumentado en 7

Un número disminuido en 5La suma de dos númerosEL producto de dos númerosEl triple de la mitad de un número

Un número es a 4

8 es x como 5 es 7

El 20 por 7 de un número es 3Los 3/5 de un número es 6A es dos veces bA es tres veces más que B

El triple de un número disminuido en 6

A 8 le resto un númeroSe resta un número a 10Se resta de un número 10El doble de un número más otroEl doble de un número restado de otroEl número de manzanas excede al de plátanos en 8Cuatro menos tres veces un número cualquieraEl producto de dos pares consecutivosLa suma de tres números consecutivos

El exceso A sobre B

Un número excede en 7 a otro númeroUn número es mayor en 8, con respecto a otroUn número es menor en 12 con respecto a otroEl cuadrado de la diferencia de dos númerosEl cuadrado de un número, disminuido en 7Un número excede a 18Mi edad dentro de 6 años

Mi edad hace 4 años

OBSERVACIÓN

ENUNCIADO SIGNIFICADOAumentado, agregado suma (+)

De, del, de los producto(.)

es, como, será, tendrá, nos da

igualdad(=)

es a, como, entre cociente

Veces Producto

Mayor, excede aUn número tiene más que otro

Menor, excedidoUn número tiene menos que otro

PROBLEMAS RESUELTOS

1).- El número de naranjas excede en 16 al número de manzanas si además el doble del número de naranjas es igual al triple del número de manzanas. Calcula el número de naranjas y manzanas.

Solución :Manzanas : xNaranjas : x + 16

Doble naranjas = triple manzanas

2(x + 16) = 3x x = 32

Manzanas : x = 32Naranjas : x + 16 = 48

2).- En una fiesta hay tantos hombres como mujeres. Si se retiran 5 hombres y 10 mujeres, éstas serían los 2/3 de los hombres. ¿Cuántos hombres quedan?

Solución :

H = x M = x

Quedan :

H = x – 5M = x – 10

70

Platillo PlatilloIzquierdo derecho x + 2 = 10

Primer Segundo Miembro miembro

LENGUAJE COMÚN

(Enunciado)

Leer Interpretar Simbolizar

Lenguaje matemático (ecuación)Solución de la ecuación

PLANTEAR UNA ECUACIÓN



Luego : x – 10 = (x-5)

x = 20

Luego : H = x – 5 = 15 hombres

3).- Si el cuadrado de la cantidad que tengo, le disminuyo el doble de la misma me quedaría S/.288, ¿Cuánto tengo?

Solución :

Tengo : x x2 – 2x = 288

x(x-2) = 288

Esta igualdad cumple para el valor de :x = 18

Tengo 18

4).- Halla un número, que disminuido en 5/8 de él nos da 240.

Solución :El número es “x”

x - x = 240

= 240

x = 640

El número es 640

5).- El dinero que tiene Paco, aumentado en sus 7/12 es igual a 760. ¿Cuánto tenía Paco?.

Solución :

Paco tiene “x”

x + x = 760

Luego : = 760

x = 480

Paco tenía : S/480


1).- Cuál es el número cuyo cuádruple excede en 3 al triple de 7.a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 4

2).- Halla un número cuyo doble excede en 20 a su suma con 8.a) 28 b) 26 c) 30d) 24 e) 20

3).- Cuál es el número que excede a 24 tanto como es excedido por 56a) 32 b) 36 c) 40d) 42 e) 38

4).- Me falta para tener 26 soles el doble de lo que me falta para tener 20 soles. Cuánto tengo.a) 16 b) 14 c) 15d) 18 e) 12

5).- El exceso de 6 veces un número sobre 50 equivale al exceso de 50 sobre 4 veces el número. Calcula dicho número.

a)10 b)12 c) 8 d) 13 e) 9

6).- ¿Cuál es el número que multiplicado por 2 es 4 unidades menos que tres veces 6?a) 6 b) 7 c) 5 d) 4 e) 3

7).- Faltan para las 3pm la mitad del tiempo transcurrido. ¿Qué hora es?a) 8am b) 10am c) 11amd) 7am e) 9am

8).- Gasté los 2/3 de lo que no gasté y aún me quedan S/.20 mas de lo que gasté. ¿Cuánto tenía?a) S/.100 b) S/.120 c) S/.80

d) S/.90 e) S/.1109).- 300 empleados deben cobrar S/. 25 200,

pero como algunos de ellos se retiran; el resto tiene que cobrar S/.140; cada uno ¿Cuántos se retiraron?a) 90 b) 100 c) 110d) 120 e) 130

10).- Una sandia pesa 4Kg más media sandia; ¿cuánto pesa sandia y media?a) 6Kg b)8Kg c) 10Kgd) 9Kg e) 12Kg

11).- Un padre reparte su fortuna entre sus hijos dándole S/.480 a cada uno; debido a que 2 de ellos renunciaron a su parte; a cada uno de los restantes le tocó S/.720. ¿Cuántos hijos eran inicialmente? a) 8 b) 7 c) 5 d) 6 e) 4

12).- Dos amigos A y B están jugando a los naipes, acuerdan que el que pierda dará al otro S/.2. Si después de 13 juegos consecutivos A ha ganado S/10. ¿Cuántos juegos ha ganado B?a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

13).- La cabeza de un pescado mide 20cm, la cola mide tanto como la cabeza más medio cuerpo y el cuerpo mide tanto como la cabeza y la cola juntas. ¿Cuál es la longitud del pescado?a) 150cm b) 120cm c) 130cmd) 140cm e) 160cm

14).- Una cantidad de S/.580 se pagan con billetes de S/.100 y S/.20. Cuántos se han dado de S/.100 si los billetes de S/.20 son 5 más que los de S/.100a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

15).- Los animales que tiene Pepita son todos perritos menos 5; todos gatitos menos 7 y todos loritos menos 4. ¿Cuántos gatitos tiene?a) 1 b) 3 c) 4 d) 2 e) 5

16).- Halla un número cuyo cuádruple excede en 270 a su suma con 90.a) 100 b) 120 c) 140

d) 80 e) 9017).- La suma de dos números es 74 y su

cociente 9, dando de residuo 4. ¿Cuál es el número menor?a) 2 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

18).- La suma de dos números es 611, su cociente es 32 y el residuo de su división el mayor posible. Halla los números.a) 590;12 b) 593; 15c) 590; 18 d) 593; 18 e) N.A.

19).- Ana tiene 2 veces más de lo que tiene Berta, si Ana le da S/. 18 a Berta entonces tendrían la misma cantidad ¿Cuánto tienen entre las dos?a) 72 b) 48 c) 36d) 54 e) N.A.

20).- El exceso de 8 veces un número sobre 800 equivale al exceso de 880 sobre cuatro veces el número. Halla el número.a) 120 b) 140 c) 160d) 130 e) 100

21).- Me falta para tener 486 soles el doble de lo que me falta para tener 384 soles. ¿Cuánto tengo?.a) 180 b) 230 c) 282d) 292 e) N.A.

22).- El producto de tres números positivos y consecutivos es igual 80 veces el intermedio. Halla el intermedio.a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

23).- Si ganara S/. 880 tendría 9 veces lo que me quedaría si perdiera S/.40 ¿Cuánto tengo?a) 155 b) 180 c) 140d) 600 e) 880

24).- En un aula los alumnos están agrupados en un número de bancas de 6 alumnos cada una, si se les coloca en bancas de 4 alumnos se necesitarán 3 bancas más. ¿Cuántos alumnos hay presentes?a) 36 b) 48 c) 52d) 20 e) N.A.

71



25).- Un número es tal, que multiplicado por 2, por 3 y por 4 da tres números cuyo producto es 81 000. Halla el número.a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16

26).- A un número positivo lo dividimos entre 2, luego al resultado se le eleva al cuadrado; al nuevo resto se le divide entre 4 y a dicho resultado le extraemos la raíz cuadrada obteniendo finalmente 5. Hallar el número.a) 20 b) 19 c) 18 d) 17 e) N.A.

27).- Entre los cerdos y gallinas que tengo cuento 86 cabezas y 246 patas. ¿Cuántos cerdos tengo?a) 37 b) 49 c) 45 d) 35 e) N.A.

28).- La diferencia de los cuadrados de dos números impares consecutivos es 424. Halla el mayor.a) 21 b) 82 c) 107 d) 106 e) N.A.

29).- El cuádruple de la tercera parte de un número aumentado en su novena parte es igual a 13. Halla el triple de dicho número.a) 21 b) 24 c) 27 d) 30 e) 33

30).- El quíntuplo, de un número aumentado en 2, más el triple, de dicho número disminuido en 2, es igual al quíntuplo del número aumentado en 11. ¿Cuál es el número?a) 17 b) 24 c) 42d) 56 e) 44

CLAVES DE RESPUESTA1) b 2) a 3) c4) b 5) a 6) b7) b 8) a 9) d 10) e 11) d 12) b13) e 14) b 15) a16) b 17) e 18) d19) a 20) b 21) c22) e 23) a 24) a25) d 26) a 27) a

28) c 29) c 30) a

V. MÉTODOS OPERATIVOS

1.- MÉTODO DEL CANGREJO (Operaciones Inversas)

Debido a que conocemos el resultado y cada una de las operaciones realizadas para llegar a dicho resultado, entonces para poder encontrar la incógnita pedida se empiezan desde el final (dato), es decir, a partir del último resultado y regresamos hasta el inicio del problema, haciendo las operaciones inversas correspondientes.

2.-MÉTODO DE LA CONJUNTAEste método consiste en ordenar las cantidades dadas en dos columnas de tal forma que el producto de las cantidades de la primera columna sea equivalente al producto de la segunda columna. Las cantidades no se deben repetir en una misma columna.

PROBLEMAS RESUELTOS

1).- A la cantidad de soles que tengo le añado 5, al resultado multiplico por 3 y le aumento 4, al número así obtenido le saco la raíz cuadrada y al resultado le sumo 3 para finalmente, dividirlo entre 2 y obtener 5 soles. Entonces inicialmente tenía :Solución :

Operaciones Directas Operaciones Inversas

Inicial

2).- Patty, Lucia y Cinthia se ponen a jugar con la condición de que la que pierda duplique el dinero de las demás; si cada una pierde una apuesta y al final terminan con S/48, S/.56 y S/.28. ¿Cuánto tenían inicialmente?

Patty Lucía Cinthia TotalPierdeduplica .2 .2

Queda.2

PierdeDuplica .2

.2 .2pierdeduplica

48 56 28 132

Solución :Empezando por el dato final tenemos :Inicialmente tenían : 72, 40 y 20 soles respectivamente.

3).- En la “Feria de la Molina” por 3 patos dan 2 pollos, por 4 pollos dan 3 gallinas, por 12

gallinas dan 8 pavos y 5 pavos cuestan S/.150. ¿Cuánto tengo que gastar para adquirir 5 patos?Solución :

Columna 1 Columna 23 patos < > 2 pollos4 pollos < > 3 gallinas12 gallinas < > 8 pavos5 pavos < > 150 soles“x” soles < > 5 patos

3 . 4. 12 . 5 . x <>2 . 3 . 8 . 150 . 5

Simplificando y encontrando la variable se tiene :

x = 50 soles

4).- En la casa de cambio “Miguelito”, 8 soles equivalen a 5 cruzeiros, 10 cruzeiros equivalen a 3 pesos, 6 pesos equivalen a 4 dólares. ¿Cuántos soles equivalen a 2 dólares?Solución :

Columna 1 Columna 28 soles <> 5 cruzeiros10 cruzeiros<> 3 pesos6 pesos <> 4 dólares2 dólares <> “x” soles

8 . 10 . 6 . 2 <> 5 . 3 . 4 . x

Simplificando el valor de x es :

x = 16

5).- En una librería se observa que: 4 lapiceros equivalen a 10 reglas, 9 reglas equivalen 3 crayolas del mismo modo que 6 crayolas es a 6 cuadernos, por S/.160 dan

72

Incógnita 10

15-5+5

45

3x 3

49

-4+ 4

7 ( )2

10

-3+ 3

5

x 22

Dato final

Resultado



4 cuadernos. ¿Cuántos lapiceros da por 150 soles?

Solución :

4 lapiceros < > 10 reglas9 reglas < > 8 crayolas8 crayolas < > 6 cuadernos4 cuadernos < > 160

4 x 9 x 8 x 4 lap < > 10 x 3 x 6 x 10 lap < > 25

Luego con 150 dan : 150 25

6 lapiceros


MÉTODO DEL CANGREJO (Operaciones Inversas)1).- Un número disminuye en 42, el resultado

se divide entre 6, al cociente obtenido se le multiplica por 20, luego se triplica el producto obtenido y se divide entre 5, hallándose 600 de cociente. El número es :

a) 622 b) 516 c) 464d) 326 e) 342

2).- Con la edad de Carlos se hacen las siguientes operaciones; primero se multiplica por 5, al producto se le suma 60, a dicha suma se le divide entre 10, al cociente se le extrae la raíz cuadrada para finalmente restarle 4. Si luego de realizar las operaciones indicadas se obtiene 2, ¿cuál es la edad de Carlos?

a) 6 b) 60 c) 80d) 300 e) 150

3).- Un número se aumenta en 40; el resultado se divide entre 4, el cociente obtenido se aumenta en 5, al resultado se

le extrae la raíz cuadrada, al resultado se multiplica por 15 y luego al producto obtenido se le divide entre 25 resultando 3. Halla el número.

a) 32 b) 42 c) 40d) 81 e) 50

4).- Cada vez que Jorge se encuentra con Rosa, éste le duplica el dinero a ella. En agradecimiento Rosa le da un sol. Si en un día se han encontrado 2 veces, luego de las cuales Rosa tiene 25 soles, ¿cuánto tenía inicialmente ella?

a) S/.7 b) 21 c) 5d) 12 e) 24

5).- Cuando un campesino saca agua de un pozo, extrae la mitad del contenido y 5 litros más. Si después de 3 extracciones quedan aún 10 litros en el pozo, ¿cuántos litros habían inicialmente?

a) 180 lt b) 150 lt c) 120 ltd) 140 lt e) 110 lt

6).- Pablo y Tania se ponen a jugar casino, primero pierde Pablo S/.30, luego pierde Tania y tiene que duplicarse el dinero a Pablo, quedando de esta manera Pablo con 80 soles y Tania con 40 soles. ¿Cuánto tenía Pablo inicialmente?

a) S/.50 b) S/.65 c) S/.110d) S/.80 e) S/.70

7).- Se tiene 2 depósitos de vino , “A” y “B” . De “A” pasan a “B” 20 litros; luego de “B” pasan a “A” la mitad de los litros que tiene “B”. Si quedan “A” y “B” con 115 y 35 litros respectivamente, ¿Cuántos litros tenía “A y B” inicialmente?a) 200 y 50 b) 250 y 50c) 100 y 50 d) 270 y 40 e) N.A.

8).- Verónica e Inés juegan a los dados. Pierde primero verónica y duplica el dinero a Inés; luego pierde Inés y da 13 soles a Verónica y por último vuelve a perder

Verónica, duplicándole el dinero a Inés. Si ahora Verónica tiene S/.12 e Inés S/.46, ¿cuánto ganó o perdió Verónica?

a) Ganó S/.28 b) Perdió S/.28c) Ganó S/.26 d) Perdió S/.26e) Ganó S/.12

9).- Ricardo, Coco, Polo y Toño, deciden jugar, teniendo en cuenta las siguientes reglas.

El primero en perder deberá aumentar $10 a cada uno de los demás.

El segundo en perder deberá duplicar el dinero de los demás.

El tercero deberá aumentar $20 a cada uno de los demás.

El cuarto deberá triplicar el dinero de los otros 3.

Se sabe que perdieron en el orden antes mencionado y al finalizar la cuarta partida cada uno quedo con $240. ¿Quién gano más?

a) Ricardo b) Cococ) Polo d) Toñoe) Ricardo y Polo

10).- Cuatro jugadores : A, B, C y D convienen en que en cada partido el que pierde duplicará el dinero de los otros tres. Así por coincidencia cada uno pierde una partida en el orden en que han sido nombrados y después de perder D, cada uno se queda con 32 soles. ¿Cuánto tenía cada uno de ellos al comenzar el juego?

Rpta: .............................................

11).- Tres jugadores A, B y C acuerdan jugar Poker con la condición de que el que pierda en cada partida duplicará el dinero de los otros dos. Ellos pierden cada uno una partida en el orden indicado por sus nombres después de lo cual cada uno tiene

600 soles. ¿Cuánto tenía cada uno al comienzo?

Rpta: .............................................

12).- Cuál es el número que multiplicado por 5, añadiéndole 6 a este producto y dividiendo esta suma entre 2 se obtiene 23.

a) 8 b) 10 c) 12d) 11 e) 15

13).- Cuál es el número que sumado con 12 multiplicando esta suma por 11, dividiendo el producto que resulta entre 44 y restando 31 de este cociente, se obtiene 1474.

a) 162 b) 364 c) 172d) 6008 e) 5003

14).- Tenía cierta cantidad de dinero, pagué una deuda de $86, entonces recibí una cantidad igual a la que me quedaba y después presté $20 a un amigo. Si ahora tengo $232. ¿Cuánto tenía al principio?

a) 123 b) 212 c) 150d) 126 e) 142

15).- Un numero es multiplicado por tres,

luego se le resta 8, a este resultado se le divide por dos para luego al resultado sumarle 8. ¿Cuál es el numero inicial, si se obtuvo 49?

a) 23 b) 30 c) 50d) 26 e) 42

MÉTODO DE LA CONJUNTA

16).- El trabajo de cuántos hombres equivaldrá al trabajo de 8 niñas, si el trabajo de 4 niñas equivale al de 3 niños, el de una mujer al de 2 niños y el de 3 mujeres al de un hombre.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6

73



17).- ¿Qué suma necesitará un gobierno para pagar a 4 generales si el sueldo de 6 coroneles equivale al de 10 comandantes, el de 5 comandantes al de 12 tenientes, el de 2 generales al de 4 coroneles; el de 6 tenientes al de 9 sargentos y si 4 sargentos ganan S/.2400 al mes?

a) S/.14000 b) S/.24400c) S/.32600 d) S/.48000e) S/.28800

18).- en una feria venden 8 plátanos al mismo precio que 6 duraznos, 4 duraznos lo mismo que 10 nísperos. Una docena de nísperos al mismo precio que 2 piñas, si 10 piñas cuestan S/.320, ¿cuánto pagaré por 2 plátanos, 3 duraznos y una piña?

a) S/.90 b) S/.91 c) S/.92d) S/.93 e) S/.94

19).- Hace algunos años, por 5 melocotones daban 8 melones, por 9 melones daban 4 manzanas; por 3 naranjas daban 2 manzanas y por 6 plátanos daban 10 naranjas. ¿Cuántos plátanos darán por 50 melocotones?

a) 24 b) 18 c) 16d) 28 e) 32

20).- Si 2 fichas negras equivalen a 5 fichas amarillas 9 grises equivalen a 3 amarillas, 7 marrones equivalen a 8 grises, 10 fichas doradas, a 6 marrones, 14 doradas a 16 rojas, además 20 fichas rojas equivalen a 9 fichas blancas, 15 fichas azules equivalen a 3 negras y 3 fichas blancas a 2 verdes. ¿A cuántas fichas verdes equivalen 24 fichas azules?

a) 15 b) 20 c) 16d) 12 e) 18

21).- En un pueblo africano por 5 espejos dan 3 lanzas; por 4 lanzas dan 14 cuchillos, por 9 cuchillos dan 2 escudos, por 36 diamantes dan 32 escudos, 15 boomerangs por 1 diamante, 7 topacios por 8 esmeraldas, 10 espejos por 40 esmeraldas y 16 topacios por “x2” boomerangs. Halla: “x”

a) 5 b) 4 c) 7d) 3 e) 6

22).- En un estante entran 8 tomos de álgebra y 18 tomos de geometría ó 10 tomos de álgebra y 15 tomos de geometría. Contesta lo siguiente:

a) ¿Cuántos tomos de álgebra pueden entrar en total?

b) ¿Cuántos tomos de geometría pueden entrar en total?Dé como respuesta la suma de ambos resultados.

a) 50 b) 45 c) 55d) 40 e) 35

23).- En un consorcio automotriz el precio de “a” autos Ford equivale al precio de “b2” autos Hyundai, el precio de “bc” autos Hyundai equivalía al precio de “(ac)2” autos Toyota, el de “c3d2” autos Toyota al de “(b2d)2” autos VW, el de “(ab)3” autos VW al de “d4” autos BMW. ¿Cuántos autos Ford equivalen al precio de “(bd2)2” autos BMW?

a) a2c b) ac2 c) a2c2

d) bc2 e) a2d

24).- En un bazar se observa que le precio de 4 pantalones equivalen al precio de 10 camisas; 5 camisas cuestan tanto como 7 chompas. ¿Cuántas chompas se pueden comprar con 2 pantalones?

a) 5 b) 8 c) 10d) 9 e) 7

25).- Dos libros de matemática equivalen a 5 cuadernos. ¿Cuántos libros de matemática equivalen a 10 libros de historia, sabiendo que 7 cuadernos equivalen a 2 libros de historia?

a) 12 b) 14 c) 11d) 13 e) 15

26).- Con 9 reglas se obtiene 5 lapiceros, con 4 lápices se obtiene 3 lapiceros. ¿Cuántas reglas se obtiene con 20 lápices?

a) 17 b) 27 c) 12d) 16 e) 15

27).- Con 2 motos obtenemos 15 bicicletas, con 7 patines obtenemos 16 pelotas, con 49 patines obtenemos 5 bicicletas; con 6 motos, ¿Cuántas pelotas se obtendrán?

a) 715 b) 1008 c) 942d) 810 e) 1012


1) e 2) b 3) c 4) a 5) b

6) e 7) c 8) b 9) e 10) -

11) - 12) a 13) d 14) b 15) b

16)d 17)e 18)c 19)e 20)e

21)e 22)a 23)c 24)e 25)b

26)b 27)b

VI.OPERADORES MATEMÁTICOS

1.- CONCEPTO:

Son símbolos arbitrarios con los cuales se van a realizar operaciones matemáticas, sujetas a una estructura o una ley de formación.

2.- TIPOS:

OPERADORES CONVENCIONALES

OPERACIÓN

+ Adición- Sustracciónx Multiplicación División Radicación

OPERADORES NO CONVENCIONALES

OPERACIÓN

# Grilla* Asterisco Triángulo Tetha Nabla

Para realizar los ejercicios de este tipo se debe tener presente lo siguiente:

Todas las operaciones están definidas dentro del campo de los números Reales.

Cada ejercicio consta de tres partes bien establecidas:

Ley de Formación. Datos Auxiliares. La Incógnita.

PROBLEMAS RESUELTOS

1).- Si: a b = 2a+ 5bHalla: 3 7

Solución:3 7 = 2(3)+ 5(7)

3 7 = 6+ 35

3 7 = 41

2).- Si: m n = mn - nm + 2Halla: 4 2

74



Solución:

4 2 = 42 - 24 + 24 2 = 16 - 16 + 24 2 = 2

3).- Si a b= ( a2 + b2 )(a-b); Halla : 3 1

Solución:

3 1= ( 32 + 12 )(3-1)3 1= ( 9 + 1 )(2)3 1= (10 )(2)

3 1= 20

4).- Sea (x) la operación definida en A=(a;b;c) mediante la tabla.

Halla el valor de M= a2 x b x c3

x a b c

a a b c

b b c a

c c a b

Solución:M = a2 x b x c3

M = a x a x b x c x c x cM = a x b x c x c x c M = b x c x c x cM = a x c x cM = c x cM = b

5).- Dadas las condiciones:

F(a;b) = 2a + b y Q(a;b) = 3a – b

Halla el resultado de : FF(1;3);Q(2;-3)

Solución:F(1;3) = 2(1) + 3 = 5

Q(2;-3) = 3(2) – (-3) = 6+3 = 9

Luego:

F(5;9) = 2(5) + 9 = 19.


1).- Si a # b = 7a - 13b;Calcula:

( 4 # 2 ) # ( 2 # 1)

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

2).- Si = 3x – 1

Halla:

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

3).- Si: m % n = m n

m

Calcula: 3 % (1%3) +2

a) 15/3 b) 12/5 c) 13/3d) 11/5 e) 13/5

4).- Si: a # b = a2+ 2b

Halla:6 3

2 518

#

##

a) 25 b) 30 c) 36 d) 45 e) 39

5).- Se define: x y x y 1

24 1

Halla:M ( ) ( )30 2 8 1

a) 28 b) 26 c) 40 d) 38 e) 41

6).- Se define:

Halla: P =

a) x12y35 b) x10y20 c)x20y10 d) x25y12

e) x25y35

7).- Dadas las operaciones :

A* B = ;

Halla: 10 * 11

a) 1 b) 1/2 c) 13 d) 0 e) 11

8).- Si: m n = m (n+1); a b = a2+b

Halla: 4 5

4 2 1

( )

a) 0 b) 22/17 c) 22/37d) 1 e) 4

9).- Si:a = 4a - 5

x = x - 10

Halla:

14

a) 1 b) -1 c) 6d) 4 e) 2

10).- Si:

a # b = a + b; si a y b son pares

a # b = a.b; si a ó b no es par

Halla: (3 # 2) # 6

a) 12 b) 10 c) 13d) 11 e) 14

11).- Si: a b = 2a; si 0 < b < 20 y

a b = b+1; en otros casos

Entonces: (5 21) 3 es igual a:

a) 44 b) 4 c) 14 d) 22 e) 11

12).- Si se cumple las leyes de formación en orden de prioridad :

a (a+1) = 3aa (a - 1) = 2aa b = 2a+3b

Simplifica:( ) ( )

( )

5 6 6 5

4 3 2

a) 10 b) 13 c) 11 d) 12 e) 1

13).- Si: a # b = a2- b2

8 # x = 39

Halla: “x”

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 3

14).- Si: a * b = 2a + 2b + ab

Halla “X” en :

[x * ( 2 * 1 )] + ( 1 * 2 ) = 14

a) 1 b) -1 c) 2 d) -2 e) 3

15).- Si se sabe: x y x y3 3 2

Calcula: 2 3

a) 593 b) 81 c) 13 d) 512 e) 17

16).- Se define : a b = x.a + b4 5 = 33

Halla: A = 3 9

a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 25

17).- Si: = a# - b

Halla el valor de “x” en:

75

x

4 2- 2

a b * #



+ =

a) 7 b) 5 c) 1 d) 2 e) 3

18).-Si:x = x3+1

Halla:

a) 1 b) 23 c) 2 d) 4 e) 5

19).- Si:x = x2 + x

Halla “x” en:

x2 - 1 = 156

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6 20).- Se define en R+

= a ( a – 3 )

Halla “n” si:

= 10

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 21).- Sabiendo que:

a * b = a – b a @ b = a/b +1

Calcula el valor de “X” en la siguiente expresión

(4 * 5) @ x = 5/6

a) 1 b) 5 c) 3 d) 6 e) –6

22).- Calcula el valor de “n” en:

(n % 6) = (n * 9)

Si :a % b =

a * b = a + b2 –5

a) 48 b) 72 c)146d) 121 e) 191

23).- Sabiendo que:

= xm + 5y

= 39

Calcula:

a) 48 b) 72 c)67d) 121 e) 91

CLAVES DE RESPUESTAS:

1) a 2) b 3) c 4) d

5) d 6) d 7) a 8) d

9) a 10) a 11) a 12) c

13) b 14) b 15) a 16) c

17) a 18) c 19) b 20) c

21) d 22) c 23) c

76

a

4 1 6 5

3 y 1 x

5 1 y x

4 3

7 5

x y

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