Cuadernillo 3 - MT - 2014

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MATEMÁTICA CUADERNILLO 3 1

Este material es propiedad de la Pontificia Universidad Católica de Chile. Prohibida su reproducción total o parcial.

ÁLGEBRA BÁSICA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO

TRIÁNGULOS

Alumno(a): Código curso: Profesor(a): Sede:

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GUÍA N°11

INTRODUCCIÓN AL LENGUAJE ALGEBRAICO: 2ª PARTE

EJEMPLOS DE PROBLEMAS PUBLICADOS POR EL DEMRE Tiempo máximo: 20 minutos

Ejemplo N° 1: Proceso de Admisión 2014. Publicación del 6 de junio de 2013.

( ) ( )2b 1 5 b 2+ − + =

A) 2b 5b 11− +

B) 2b 3b 3− +

C) 2b 5b 3− +

D) 2b 3b 9− −

E) 2b 3b 11− +

Ejemplo N° 2: Proceso de Admisión 2008. Publicación del 17 de mayo de 2007. 2(3w 2) 2(2w 3)(2w 3)− − − + =

A) 2w 12w 14− −

B) 2w 12w 22− +

C) 2w 12w 5− −

D) 2w 12w 13− +

E) 2w 12w 14− +

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Ejemplo N° 3: Proceso de Admisión 2008. Publicación del 17 de mayo de 2007.

Se define ba b a b◊ = + y a # b 2a 4b= − , para a y b números enteros, el valor de (2 5) # ( 2)◊ − es A) 82 B) 66 C) 60 D) 38 E) 22


¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es (son) verdadera(s)? I) 35x x x 5x⋅ − ⋅ − = − II) 2 34x 3x 12x− ⋅ = − III) 2 23y x 7xy 21x y− ⋅ − ⋅ − = − A) Solo II B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III


Si 3,6x 36= y 4,8 100 w⋅ = , entonces x w⋅ es igual a A) 48 B) 480 C) 4.800 D) 48.000 E) ninguno de los valores anteriores.

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Sean p y q dos números reales mayores que 2, tal que p q= . ¿Cuál de las siguientes igualdades es FALSA?

A) p q 2p+ = B) qp q p⋅ = C) p : q 1=

D) p q p q

q p+ +=

E) ( )p q p

0q

−=


Si t 7 8− = , entonces la diferencia entre 2t y 24 , en ese orden, es igual a A) 15− B) 209 C) 22 D) 121 E) 217

Ejemplo N° 8: Proceso de Admisión 2006. Publicación n°21 de octubre de 2005.

El perímetro del triángulo isósceles de la figura es 2s. Si uno de sus lados iguales mide a, entonces la base c mide

A) s a

2−

B) 2s a

2−

C) s a− D) 2s a− E) 2(s a)−

a

c

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Se define la operación a # b = a b⋅ en los números reales. ¿En cuál(es) de las siguientes operaciones el resultado es igual a 8? I) 4 # 2

II) 1

# 16 2

III) 8 # 0

A) Solo en III B) Solo en I y en II C) Solo en I y en III D) Solo en II y en III E) En I, en II y en III


En la expresión 2 0 1x y x z x− −⋅ + = ⋅ , se puede calcular el valor numérico de z, si:

(1) y es el triple de x. (2) x 4=

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

RESPUESTAS CORRECTAS

1. D 3. A 5. C 7. B 9. B 2. B 4. D 6. B 8. E 10. C

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EJERCICIOS PROPUESTOS Tiempo máximo: 40 minutos

1) La expresión “la suma del cubo de a con el cuadrado de b es igual

a la tercera parte del cubo de la diferencia entre a y b” se representa por

A) ( ) ( )32 3 31a b a b

3+ = −

B) 3 2 31a b a b

3+ = −

C) 3

3 2 1a b (a b)

3 + = −

D) 23 3(a b) 3(a b) + = −

E) 3 2 31a b (a b)

3+ = −

2) Si a = –3, ¿cuál es el valor de la expresión a2 + 3a + 3?

A) –21 B) –15 C) –6 D) 3 E) 21

3) ( ) ( )a b a b− − + =

A) 2b− B) 2a 2b− C) 0 D) 2a−

E) ( )2 a b+

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4) Si x = 2, entonces el valor de la expresión ( )2x x 3x – 5 + 1 – 7 es

A) 6

B) 5

C) 3

D) 2

E) 1

5) Si a b 2c+ = , b es el triple de a y a vale 5, ¿cuál es el valor de c?

A) 60

B) 30

C) 15

D) 20

E) 10

6) ( )( )0x x y − − − − =

A) x y−

B) x y− −

C) x y− +

D) 2x y−

E) 2x y− −

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7) ( )2 23y – 5y – 2 1 – y y + =

A) 5y2 + 7y – 2

B) y2 + 3y – 2

C) y2 – 3y – 2

D) 3y2 – y – 2

E) 3y2 – y + 2

8) ( ){ }1 1 1 x x 1 − − − − − − + =

A) –2

B) –1

C) 0

D) 1

E) 2

9) Si el grado de la expresión algebraica n m3x y es 8, entonces la relación correcta entre n y m es

A) 1 n m 8+ + =

B) n m 8+ =

C) nm 8=

D) n

8m

=

E) n m 8− =

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10) Si P 2x –1= y Q 1 – 2x= , entonces P Q ⋅ =

A) 0 B) 4x2 – 1 C) –4x2 – 1 D) –4x2 + 4x – 1 E) 4x2 – 4x + 1 11) Sabiendo que 5p = 3q, con p y q distintos de cero, entonces el valor

de p 2q

q+

es

A) 135

B) 133

C) 115

D) 113

E) 313

12) ¿Cuál de las siguientes alternativas presenta una expresión algebraica

que NO es igual a pq

− ?

A) pq

−

B) 1

pq

− −

C) pq−

D) pq

−− −

E) q p qq p p

− −+ −

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13) Si x es igual al inverso aditivo de y, entonces, ¿cuál de las siguientes alternativas es igual a 0?

A) 2x y−

B) xy

C) x y0 + D) x y−

E) x y+

14) Dado que a b

P2+= y

a bQ

2−= , entonces, el valor de

P Q2+

es igual a

A) a

B) a2

C) a4

D) b

E) b2

15) ¿En cuál(es) de los siguientes casos al multiplicar dos polinomios se

obtiene una expresión con grado 10?

I) Un monomio de grado 5 por un binomio de grado 2. II) Un trinomio de grado 10 por un número real no nulo. III) Un polinomio de grado 3 por un trinomio de grado 7.

A) Solo con I

B) Solo con II

C) Solo con III

D) Solo con I y con II

E) Solo con II y con III

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16) La expresión ( )x 2x 3y 3y 2x − − + − representa siempre un número

positivo si A) x e y tienen el mismo signo. B) x e y tienen distinto signo. C) y es un número positivo. D) x es un número positivo. E) tanto x como y son números positivos.

17) Si se definen las operaciones ba

a bb

∇ = y 1a b a b−◊ = + , con b

distinto de cero, entonces ( )( ) ( )2x 3 6∇ ◊ − =

A) 316x 16

−

B) 34x 16

−

C) 32x 183+

D) 316x 183

+

E) 312x 176

+

18) Se define la operación ⊙ de la siguiente manera a b

a ba b

+=−

⊙ ,

para todos los valores reales de a y b tales que a b≠ . Si 1 2 2 x=⊙ ⊙ , ¿cuál es el valor de x?

A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) 0

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19) Siendo a y b números reales, la expresión ax by+ se puede expresar como un monomio si se sabe que:

(1) a es el triple de b.

(2) y es el doble de x.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

20) Se puede afirmar que 2 2x y x y− = + si:

(1) x e y son enteros consecutivos con x > y.

(2) x = y + 1


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GUÍA N°12

PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN

PRODUCTOS NOTABLES Se llama así a cierto tipo de productos entre expresiones algebraicas que tienen alguna regularidad. Los más importantes son: Cuadrados de binomios: suma: 2 2 2(a b) a 2ab b+ = + + diferencia: 2 2 2(a b) a 2ab b− = − + Suma por diferencia: (a b)(a b)+ − = a2 – b2

Productos de binomios con término común: 2(x a)(x b) x (a b)x ab+ + = + + + Cubos de binomios: suma: 3 3 2 2 3(a b) a 3a b 3ab b+ = + + + diferencia: 3 3 2 2 3(a b) a 3a b 3ab b− = − + − Productos que resultan en suma o diferencia de cubos: suma: 2 2 3 3(a b)(a ab b ) a b+ − + = + diferencia: 2 2 3 3(a b)(a ab b ) a b− + + = −

Nota: Cuando nos enfrentamos a expresiones de la forma ( )3a b+ o

( )3a b− , también podemos considerarlas como ( ) ( )2a b a b+ + o

( ) ( )2a b a b− − para obtener los respectivos desarrollos.

FACTORIZACIÓN Factorizar una expresión consiste en escribirla como producto de dos o más expresiones algebraicas.

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Factorizar completamente una expresión consiste en escribirla como el producto más simple de sus factores, es decir, ninguno de sus factores debe ser susceptible de ser factorizado. Tipos de factorización

1º Factor monomio común mx my mz m(x y z)− + = − + 2º Mediante agrupaciones ab a cb c a(b 1) c(b 1) (b 1)(a c)+ + + = + + + = + +

3º Productos notables: Si la expresión a factorizar corresponde al desarrollo de alguno de los productos notables, se factoriza usando la fórmula correspondiente. Ejemplo: 2 21 2x x (1 x)− + = −

4º Casos combinados: Son combinaciones de algunos de los tres primeros casos. Ejemplo: 4 3 2x 2x x 2x− − + = 3x (x 2) x(x 2)− − − = 3(x 2)(x x)− − = 2(x 2) x (x 1)− ⋅ ⋅ −

= x(x 2)(x 1)(x 1)− + − Observación: Existen adicionalmente dos formas de factorizar que es importante que tengamos en cuenta. La primera de ella es la llamada “factorización por signo”, es decir, ( )a b b a− = − − que nos ayudará al

momento de trabajar, sobre todo, con fracciones algebraicas ulteriormente. Otro producto notable es una extensión a la suma por diferencia que viene a justificar la llamada racionalización binómica, esta es:

( ) ( )a b a b a b .+ − = −

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CONCEPTOS ASOCIADOS A FACTORIZACIÓN Expresiones Primas: Una expresión algebraica es prima si ella es divisible solo por 1 y por sí misma. Ejemplo: 23x 2ay− .

Expresiones Compuestas: Una expresión algebraica compuesta es aquélla que no es prima, es decir se puede factorizar usando una o más de las técnicas vistas anteriormente.

Máximo común divisor de un conjunto de expresiones algebraicas, es la expresión algebraica de mayor grado que es divisor de cada una de ellas. Se encuentra multiplicando los factores comunes elevados a su menor exponente.

Mínimo común múltiplo de un conjunto de expresiones algebraicas, es la expresión algebraica de menor grado que es múltiplo de cada una de ellas; se encuentra multiplicando todos los factores elevados a su mayor exponente.

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=

−

+ yx32

yx32

2 2

2 2

2 2

2 2

4A) x y

34

B) x y92

C) x y94

D) x y6

−

−

−

−

E) Ninguna de las expresiones anteriores.


En la figura, ABCD se ha dividido en rectángulos y un cuadrado. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa el área de la región achurada?

A) ( ) ( )x a x a+ +

B) ( )x x a+

C) ( ) ( )x a x a+ −

D) ( ) ( ) ( )2x a x a ax a+ − − +

E) 2x

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Ejemplo N° 3: Proceso de Admisión 2008. Publicación del 12 de julio de 2007.

Si n es un número natural, al desarrollar la expresión n 3 n 2 2(3 3 )− −− resulta:

A) 2(n 3)2 3 −⋅

B) (n 3)2 3 −− ⋅

C) 2(n 3)4 3 −⋅

D) 2(n 3)16 3 −⋅

E) 2(n 3)8 3 −− ⋅

Ejemplo N° 4: Proceso de Admisión 2006. Publicación del 5 de octubre de 2005.

Si a b 10⋅ = y 2 2a b 29+ = , entonces el valor de 2(a b)− es

A) 9 B) 19 C) 29 D) 49 E) No se puede determinar el valor.

Ejemplo N° 5: Proceso de Admisión 2006. Publicación del 16 de noviembre de 2005.

Si 2 2mx mp 1− = y x p m− = , entonces 2(x p)+ =

A) 1

B) 1m

C) 2

1m

D) 3

1m

E) 4

1m

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Si 2x a= y a 2 2= , entonces x es igual a A) 16

B) 8

C) 4

D) 2

E) 4 2


Si P33 xx =+ − , entonces xx 99 −+ es igual a: A) P2 B) P2 + 2 C) P2 – 2 D) P2 – 1 E) 3P


En la figura se muestran dos cuadrados, uno de lado a y otro de lado b. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa el área pintada?

A) a(a – b) B) (a – b)2 C) (a – b) a – b2 D) (a – b)(a + b) E) (a – b)2 – b2

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Se tienen dos números reales positivos, tal que 2 2x y 6xy+ = ,

con x y> , ¿cuál es el valor de la expresión x yx y

+−

?

A) 2 2 B) 2

C) 22

D) 2 E) Ninguno de los anteriores.


Sean a y b números reales, se puede determinar que las

expresiones ( )2a b+ y ( )2a b− representan números reales

iguales, si se sabe que: (1) a 0= (2) ab 0= A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional


1. B 3. C 5. E 7. C 9. B 2. C 4. A 6. B 8. D 10. D

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1) Al desarrollar 2

1 1a b −

, resulta

A) 2 2

1 1a b

−

B) 2 2

1 1a b

+

C) 2 2

2 2 2a ab b

− +

D) 2 2

1 1 1a 2ab b

− +

E) 2 2

1 2 1a ab b

− +

2) Si ( )2m n 10mn− = , entonces ( )2m n+ =

A) 14mn B) 4mn C) 10mn− D) 12mn− E) Falta información para determinarlo.

3) Si ( )2 2 2a b 4x 20xy 25y+ = + + , entonces a b+ , es igual a

A) 2x 5y−

B) 2x 5y+

C) 22x 25y+

D) 20xy

E) ( )7 x y+

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4) Si factorizamos el trinomio 23x 19x 14+ − en un producto de dos factores, se obtiene A) (x + 7)(3x – 2)

B) (3x + 7)(x – 2)

C) (3x + 7)(x – 7)

D) (x + 2)(3x – 7)

E) 3x(x – 7)

5) Uno de los factores de 2x 3x 10+ − es

A) x 5+

B) x 2+

C) x 1+

D) x 5−

E) x 10−

6) 9 9

a 5 5 a4 4

− + =

A) 218a 10

4−

B) 218a 25

8−

C) 281a 25

16−

D) 23a 25

2−

E) 281a 25

4−

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7) ( ) ( ) ( ) ( )2 2m n 2 m n m n m n+ + + − + − =

A) 2m

B) 2n

C) 2 2m n+

D) 24m

E) 24n

8) Al factorizar ac ad bc bd+ + + se obtiene

A) ( ) ( )a d b c+ +

B) ( ) ( )a c b d+ +

C) ( ) ( )a b c d+ +

D) ( )ab c d+

E) ( )cd a b+

9) 2 24x 12xy 9y− + =

I) (2x – 3y)2

II) (2x + 3y)(2x – 3y)

III) (3y – 2x)2

A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III

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10) Si el binomio 2x m− se puede factorizar como una suma por diferencia en los números enteros, entonces, m puede ser A) un número irracional positivo. B) un número irracional negativo. C) un número natural cuadrado perfecto. D) cualquier número entero no nulo. E) un número real negativo.

11) Al factorizar el trinomio 2x 12x 35+ + se obtiene ( ) ( )x 7 x p+ +

entonces p es igual a A) 0 B) −6 C) −5 D) 7 E) 5 12) ¿Cuál de las siguientes alternativas corresponde a una factorización

INCORRECTA?

A) 2

1 1 1121 11 11

y yy − + = + −

B) ( )24 2 2p 2p 1 p 1+ + = +

C) ( ) ( )3 2x 1 x 1 x x 1+ = + − +

D) ( ) ( )3 2x 1 x 1 x x 1− = − + +

E) ( ) ( )2 2a ac b bc a b a b c+ + − = − + +

13) La factorización completa de la expresión 3x x− está dada por

A) x(x2 – 1) B) x2(x – 1) C) x(1 – x)(1 + x) D) x(x – 1)(x + 1) E) x(1 – x2)

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14) La siguiente figura se compone por un cuadrado y un rectángulo con sus respectivas medidas indicadas en ella. ¿Cuál de las siguientes alternativas representa el área achurada de la figura adjunta?

A) ( ) ( )c a c a− +

B) 2 2c 4a a− + C) ( ) ( )c 2a c 2a− +

D) ( )2c a−

E) ( )2c 4a−

15) Si uno de los factores de 23x 5x 2+ + es ( )3x 2+ , ¿cuál es el otro

factor?

A) ( )x 1−

B) ( )x 1+

C) 3

x2

−

D) ( )3x 1+

E) ( )x 3+

16) Si la suma de los cuadrados de dos números positivos es 15 y el

producto entre ellos es 5., ¿cuánto vale la suma de tales números?

A) 25 B) 5

C) 20 D) 20 E) No se puede determinar.

c4a

a

c

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17) En la figura, ABCD corresponde a un cuadrado de lado ( )a b+ , siendo

a y b números reales positivos y AFGE y GHCI son cuadrados de lados a y b, respectivamente. Entonces el área achurada está representada por la expresión algebraica

I) 2(a b)+

II) 2 2a b+

III) 2(a b) 2ab+ −

A) Solo I

B) Solo I y II

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III

18) Considerando la expresión ( )na b+ , para a,b 0≠ y ambos siempre

distintos. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) Si n 2= , entonces, al desarrollar y reducir la expresión

se obtienen 3 términos.

II) Si n 0= entonces la expresión es igual a a b+ .

III) Si n 3= , entonces, al desarrollar y reducir la expresión de obtienen 4 términos.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y II

D) Solo I y III

E) I, II y III

C

a b

A B

D

F

G

a

b

E H

I

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19) La operación binaria a b

a bb a

⊕ = + está correctamente definida en los

números reales si se sabe que:

(1) a es no nulo.

(2) b es un número natural.


20) Se puede afirmar que la expresión x2 + pxy + 4y2 es un trinomio cuadrado perfecto si se sabe que:

(1) p 4=

(2) p 4= −


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GUÍA N°13

FRACCIONES ALGEBRAICAS Los productos notables y la factorización se ocupan frecuentemente al operar con fracciones algebraicas, que son fracciones en cuyos términos

aparecen expresiones algebraicas. Ejemplo: 2(x 1)x y

−−

.

Observación: al trabajar con fracciones algebraicas hay que tener presente los valores que puede(n) tomar la(s) variable(s). Por ejemplo, en

la fracción 3 x

(x 5)(x 2)+

− +, la variable x no puede tomar los valores 5 y 2−

pues ellos hacen cero el denominador, dejando indefinido el valor de la fracción: “la división por cero no está definida o permitida”. SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Una fracción se considera simplificada cuando el máximo común divisor del numerador y denominador es 1. Para simplificar una fracción algebraica, se factorizan el numerador y el denominador y luego se dividen ambos por su máximo común divisor.

Ejemplo: 2

3a 3a 3a(4a 5b) 4a 5b4a 5ab

= =− −−

, para todo a 0≠ .

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Operamos como con fracciones aritméticas, es decir, si A, B, C y D son expresiones algebraicas entonces:

A C A CB D B D

⋅⋅ =⋅

y A C A D A D

: B D B C B C

⋅= ⋅ =⋅

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Ejemplos:

1) 2

3 2 3 2

ab b ab bb ab a a b

− +⋅ =− −

Antes de efectuar la multiplicación factorizamos de manera de poder simplificar, si es posible, factores comunes en numeradores y denominadores:

= 2 22

b(a b) b(a 1) a 1a (a b) a (b a)b (b a)

− + +⋅ =− −−

2) 3

2

x x:

x 1 x 2x 1+ + + =

3 2x x 2x 1x 1 x

+ +⋅ =+

= 3 2x (x 1)

x 1 x+⋅

+ =

= 2x (x 1)+ ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Si las fracciones tienen el mismo denominador, se suman o restan los numeradores y se conserva el denominador común.

Ejemplo: x 11 x x 1

+− −

= x 1 ( 1)

1 x (x 1)( 1)⋅ −+

− − − =

= x 1

1 x 1 x−+

− − =

= x 11 x

+ −−

=

= 1(1 x)

11 x

− − = −−

Observación: Recuerde que si a b≠ , entonces a b− y b a− son expresiones opuestas, es decir, b a (a b)− = − − . Si las fracciones tienen distinto denominador, se amplifica cada fracción para reducirla a denominador común, igual al mínimo común múltiplo de los denominadores –al igual que en la aritmética– y luego se suman (restan) como fracciones con igual denominador.

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Si a c

P = + b d

, con a, b, c y d distintos de 0, ¿cuál(es) de las

siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) a+c

P = b+d

II) El inverso aditivo de P es ad+cb

bd− .

III) El inverso multiplicativo de P es b d

+a c

.

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) Solo II y III


Si 1 1 1

a , b y c2x 4x 6x

= = = , entonces x – (a + b + c) es

A) 12x 1112

−

B) x12

C) 212x 11

12x−

D) x 1112x−

E) ninguna de las expresiones anteriores.

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p q p q:

p q p q+ − =− +

A) 2

p qp q − +

B) 2

p qp q + −

C) 2 2

2 2

p q

p q

−+

D) 2 2

2 2

p qp q

+−

E) 1 Ejemplo N° 4: Proceso de Admisión 2013. Publicación del 14 de junio de 2012.

Si m y n son números enteros positivos, donde m < n, ¿cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) mayor(es)

que mn

?

I) m n

n−

II) m n

n+

III) m

n 1+

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo II y III

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Ejemplo N° 5: Proceso de admisión 2010.

Publicación del 7 de mayo de 2009.

Para que la expresión

x + y1

x yx + y

1+ x y

−−

−

sea positiva, se debe

cumplir necesariamente que A) xy < 0

B) x < 0

C) xy > 0

D) y < 0

E) x > y

Ejemplo N° 6: Proceso de Admisión 2012.

Publicación del 7 de julio de 2011.

Sea 1

xp q

=−

, con p y q números reales distintos entre sí. El

inverso aditivo de x y el inverso multiplicativo (o recíproco) de x son respectivamente

A) p – q y 1

q p−

B) 1

q p− y q – p

C) 1

q p− y p – q

D) q – p y 1

q p−

E) p – q y 1 1p q

−

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Si m3 – n3 = a y m – n = b, entonces el valor de ab

es

A) m2 + mn + n2

B) m2 – n2

C) m2 – mn + n2

D) m2 + n2

E) m2 + 2mn + n2


Dada la fracción m tm n

+⋅

, con m > 0 y t > 0, ¿cuál(es) de las


I) Si a m y a t se le agrega 1, entonces la fracción

aumenta en 2.

II) Si el numerador de la fracción se duplica y su

denominador se divide por 2, entonces la fracción

queda igual.

III) Si el denominador de la fracción se divide por 3,

entonces la fracción se triplica.


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Si t 1≠ , entonces la expresión 2t 1

t 1 t 1−

− − es igual a

A) t2 – 1

B) t – 1

C) t

D) 2t 1

2t 2−−

E) t + 1


Para x 3≠ y z 0≠ , el valor numérico de la expresión

( )( )

2 3 3

2

x 3 z 9y

9 z3 x

− + ⋅ ⋅ −

se puede determinar si:

(1) z 3= (2) y 6=



1. B 3. D 5. A 7. A 9. E 2. C 4. B 6. C 8. C 10. B

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1) Si h 0≠ , entonces f f f fh h h h

⋅ + ⋅ =

A) 4fh

B) 2

f2

h

C) 2

f4

h

D) 2f

2h

⋅

E) 2

2) Si w 0≠ y u

1w

≠ − , el inverso multiplicativo de u

1w

+ es

A) w

u w+

B) u

1w

−

C) 1 u

w+−

D) w

1u

+

E) w

1 u+

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3) Si p 0≠ , entonces 1 2

3p3p p

− − =

A) 7− B) 2

C) 23p 1p

−

D) 2p

−

E) 29p 73p

−

4) Al simplificar la fracción 2

2

12x 184x 6

++

, se obtiene

A) 3x x+ B) 23(x 1)+

C) 2

2

2x 34x

+

D) 3 E) 6

5) ¿Cuál(es) de las siguientes fracciones es (son) equivalente(s) a la

fracción xy

, con y ≠ 0?

I) mxmy

, con m ≠ 0.

II) 2mx nx

mxy ny++

, con (mx + n) ≠ 0.

III) mx nymy nx

++

, con m ≠ 0 y n ≠ 0

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo I y III

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6) Si ( )2 2

3 r 1x

r t

−=

− e

( )2 2

3 1 ty

r t

−=

−, con r t≠ ± entonces x y+ es igual a

A) 3

r t+

B) 2 2

3r 2 t

r t

+ −−

C) 3

r t−

D) 6

r t−

E) 0

7) Si m n≠ , entonces 3 3

3m 3n

m n

− =−

A) 2 2

1m n−

B) 2 2

3

m n−

C) 2 2

3

m n+

D) 2 2

3m mn n+ +

E) 2 2

3

m mn n− +

8) Si a 0≠ y a 1≠ − , la expresión 1

11

a 1−

+

es equivalente a

A) a 1+

B) 1

1a

+

C) 1a

D) 1

a 1−

E) a

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9) Si a ≠ b, entonces el valor de 2 a b

a b 2−− =

−

A) ( )2 24 a b

2 a b− −

−

B) ( )2 24 a b

2 a b− +

−

C) ( )2 24 a 2ab b2 a b

− + −−

D) ( )2 a b2 a b

− −−

E) ( )2 a b2 a b

− +−

10) Si x ≠ y, entonces 3 3x y

x y y x+ =

− −

A) x2y2 B) x2 – y2 C) x + y D) x2 + xy + y2 E) x2 + y2 11) ¿Por cuál de las siguientes fracciones se debe multiplicar

2

2

x 25

x 3x 10

−+ −

, cuyo numerador y denominador son distintos de cero,

para que resulte 1?

A) 2

2

x 25

x 3x 10

+− +

B) 1−

C) x 2x 5

++

D) x 2x 5

−−

E) 2

2

x 3x 10

x 25

− −+

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12) Si a 0≠ , b 0≠ y b 1≠ − , entonces 2

2

b b 3a 33ab b 2b 1

+ + = + +

A) 1b

B) 3

b 1+

C) 3

2b 1+

D) 1ab

E) a 1

a(b 1)++

13) Al efectuar la división 2

3 3a 1 a:

2aa− −

se obtiene

A) 0

B) 6a

C) 2

6 6aa−

D) 3

E) 3a

14) La fracción 1

1 1

g

f +g

−

− −, si f y g son distintos de cero, es equivalente a

A) g

B) f

f+g

C) f+gf

D) g

f+g

E) f+gg

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15) Si x es un número real distinto de cero, 1 22x 3x− −+ =

A) 2

2x 3x

+

B) 2 1(2x 3x )−+ C) 35x−

D) 2x 3

x+

E) 2

9x 218x

+

16) Si x 1≠ − , al simplificar la fracción compuesta

1 x1

1 x1 x

11 x

− ++− −+

se obtiene

A) –1

B) 1

1 x−

C) 1x

−

D) 2 x

x−

−

E) 1 x1 x

−+

17) Si un rectángulo de largo m + n unidades y ancho m – n unidades

respectivamente, disminuye su largo en n unidades y aumenta su ancho en n unidades, entonces la variación que experimenta su área en unidades cuadradas, es

A) nula, no experimenta variación.

B) 2n

C) 2n−

D) 2n

E) 22n

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18) Dada la fracción 2x

3x t+, con x 0≠ y 3x t≠ − , ¿cuál(es) de las


I) La fracción es equivalente a 2

3 t+.

II) Si x disminuye a la mitad, entonces la fracción se duplica.

III) Si t 3x= , entonces la fracción vale 13

.

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) Ninguna de ellas es verdadera.

19) Se puede determinar el valor de la fracción xy 3x y 3xy 2y 3x 6

− + −+ − −

si:

(1) x = 1 e y 3≠ (2) y = 4 y x 2≠ −


20) Si a y b son números reales, se puede afirmar que 3a4b

tiene un valor

positivo menor que 1, si se sabe que:

(1) b 3> (2) 0 a 4< <


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GUÍA N°14

ECUACIONES DE PRIMER GRADO Y PROBLEMAS CON ENUNCIADO VERBAL

ECUACIÓN Ecuación es una igualdad que es verdadera solo para algún o algún(os) valor(es) de la(s) variable(s) que aparece(n) en ella. Ejemplos: 3x 4 x y 1− = − + , 2x 2x 4+ = . Ecuación lineal o de primer grado con una incógnita: es aquélla que se puede reducir a la forma ax b 0+ = , siendo a y b números reales y a 0≠ . Raíz o solución de la ecuación: al valor o valores de la variable que hacen que la igualdad sea verdadera se les llama raíces o soluciones de la ecuación. Conjunto solución: es el conjunto cuyos elementos son las raíces o soluciones de la ecuación. Para resolver la ecuación ax b 0+ = , se debe aislar la incógnita, para lo cual se suma el opuesto de b y luego se multiplica por el recíproco de a. Ejemplo: Resolver 5x 3 1− = 5x 3 1+ − = / 3+

5x 4= 1

/5

⋅

4

x5

=

Para estar seguro de que 45

es la solución de la ecuación, se debe

comprobar, reemplazando este valor encontrado en la ecuación original y chequeando que efectivamente la satisface.

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Observación: Una ecuación de primer grado con una incógnita puede tener ninguna, una o infinitas soluciones. Si tiene infinitas soluciones se dice que esta igualdad es una identidad. Ecuaciones literales: Son aquéllas en que además de la incógnita hay otras letras. Ejemplo: Si a b≠ , resolver para x la ecuación ax a bx b+ = + Transponiendo ax bx b a− = − Factorizando x(a b) b a− = −

Dividiendo entre a b− b a

xa b

−=−

Factorizando (a b)

xa b

− −=−

Simplificando x 1= − CODIFICACIÓN Y DECODIFICACIÓN Codificación o Traducción de enunciados verbales a expresiones algebraicas Consiste en escribir un enunciado verbal en forma simbólica. Las cantidades desconocidas se representan por letras del abecedario. Ejemplo: La cuarta parte de un número disminuido en cuatro es igual que el triple de él. Si x representa el número, entonces el enunciado se traduce en

− =x 4

3x4

Decodificación Es el proceso de enunciar verbalmente una expresión algebraica dada.

Ejemplo: La expresión x

44

− se enuncia como:

"la cuarta parte de un número disminuida en cuatro", o bien, "el exceso de la cuarta parte de un número sobre cuatro".

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PROBLEMAS CON ENUNCIADO VERBAL Pasos necesarios para resolver un problema de enunciado verbal: 1) Comprensión del enunciado: Leer cuidadosamente el problema,

tantas veces como sea necesario, hasta comprenderlo bien. 2) Designación de la(s) incógnita(s): Se realiza poniendo atención a

la pregunta formulada en el problema. 3) Codificación: Se expresan en términos matemáticos las relaciones

enunciadas verbalmente. 4) Plantear y resolver ecuación(es): Se plantea(n) y resuelve(n)

la(s) ecuación(es) que exprese(n) las condiciones del problema. 5) Análisis de las soluciones encontradas: Se chequea que las

soluciones satisfagan el problema original.

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EJEMPLOS DE PROBLEMAS PUBLICADOS POR EL DEMRE

Tiempo máximo: 20 minutos


Publicación del 7 de mayo 2009.

Si 6 – 2x = 14, entonces x – x2 es igual a:

A) –20

B) –10

C) –30

D) 10

E) 30


Publicación del 24 de junio de 2010.

¿Cuál debe ser el valor de x para que la expresión 9 32 x

− sea

igual al inverso aditivo de –3?

A) 26

B) 156

C) –15

D) 118

E) 25

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Un niño escogió un número, le sumó 12 y luego dividió el

resultado por 2, obteniendo su edad. Si su hermano menor

tiene 12 años y la diferencia entre las edades de ambos es 2

años, entonces el número que escogió el niño es

A) 8

B) 10

C) 12

D) 14

E) 16



Si al doble de 108 se le resta m se obtiene n y el triple de n

es 123, ¿cuál es el valor de m?

A) 93

B) 67

C) 1752

D) 175−

E) 175

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Si a + 15 = b, entonces se puede afirmar que A) la suma de a y b es 15.

B) a es mayor que b.

C) a es 15 veces b.

D) a es menor que b.

E) la diferencia entre a y b, en ese orden, es 15.



La nota final en la asignatura de física, se obtiene de la suma

del 75% del promedio de las notas de las pruebas parciales

con el 25% de la nota del examen. Si Daniela obtuvo un 2,0

en el examen y su promedio de las notas de las pruebas

parciales es 5,0, ¿cuál de las siguientes expresiones permite

calcular cuál fue la nota final de Daniela en física?

A) 0,25 2,0 0,75 5,0⋅ + ⋅

B) 0,75 2,0 0,25 5,0⋅ + ⋅

C) 1,25 2,0 1,75 5,0⋅ + ⋅

D) 1,25 5,0 1,75 2,0⋅ + ⋅

E) 25 2,0 75 5,0⋅ + ⋅

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La señora Marta compró 3 kilogramos de azúcar y 2 kilogramos de harina y pagó $ s. Si el kilogramo de azúcar vale $ p, ¿cuánto cuesta el kilogramo de harina? A) $ ( )s 3p−

B) $ s 3p

2−

C) $ s 3p

2+

D) $ s p

2−

E) $ ( )s 3p+

Ejemplo N° 8: Proceso de Admisión 2004. Publicación del 19 de marzo de 2003.

En una prueba de 60 preguntas, Jaime omite 4 de ellas. Si

la tercera parte de las preguntas que contestó correctamente

es igual al número de las que contestó incorrectamente, ¿en

cuántas preguntas se equivocó Jaime?

A) En 14

B) En 15

C) En 24

D) En 42

E) En 19

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El volumen de una pirámide de base cuadrada se calcula con la

fórmula 21V p h

3= , donde p es la medida del lado de la base y h

es la altura de la pirámide. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Si cada lado de la base aumenta al doble y la altura de la pirámide disminuye a la mitad, entonces el volumen de esta nueva pirámide sería igual al volumen de la pirámide original.

II) Si cada lado de la base aumenta al cuádruple y la altura de la pirámide permanece constante, entonces el volumen de esta nueva pirámide aumentaría al doble del volumen de la pirámide original.

III) Si cada lado de la base aumenta al doble, no variando el volumen de la pirámide, entonces la altura de esta nueva pirámide habría disminuido a la cuarta parte de la altura de la pirámide original.


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María tiene el triple de fichas de Bernarda, y Bernarda tiene la

tercera parte de las fichas de Carlos. Se puede determinar el

número de fichas que tiene Carlos si:

(1) Los tres tienen el total 280 fichas.

(2) María y Carlos tienen la misma cantidad de fichas.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional


1. A 3. E 5. D 7. B 9. C 2. A 4. E 6. A 8. A 10. A

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1) La diferencia entre el quíntuple del sucesor de a y el antecesor del

cuadrado del doble de b, corresponde a la expresión A) 5(a + 1) – [(2b)2 – 1]

B) 5(a + 1) – [2(b – 1)]2

C) 5(a + 1) – (2b – 1)2

D) 5(a + 1) – 2(b2 – 1)

E) 5(a + 1) – 2b2 – 1 2) La suma entre el triple de un número x con el triple del sucesor del

mismo número, se puede escribir como

A) ( )x 1

3x3

++

B) ( )3x 3x 1+ +

C) ( )3x 3 x 1+ −

D) ( )( )3 x 3 x 1+ +

E) ( )3x 3 x 1+ +

3) Si al doble de mi edad actual le resto el triple de mi edad hace 6

años, el resultado es mi edad actual. Si designamos por x a mi edad actual, ¿con cuál de las ecuaciones siguientes se determina ella?

A) 3(x – 6) – 2x = x B) (3x – 6) – 2x = x C) 2x – 3(x – 6) = x D) 2x – 3x – 6 = x E) 2x – 3x + 6 = x

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4) La expresión 4p q2+ se puede escribir verbalmente como

I) La semisuma entre el cuádruple de p y q. II) La suma entre el doble de p y el doble de q. III) La suma entre la mitad de p y el doble de q.

A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III 5) El enunciado: "a la tercera parte del antecesor de un número natural

n se le suma el sucesor del mismo número dado y se obtiene el exceso del doble del mismo número original sobre 2", se expresa matemáticamente por

A) − + + = −n n1 1 2n 2

3 3

B) − + + = −n 1 n

1 2n 23 3

C) − + + = −n 1 n

1 2 2n3 3

D) − + + = −n 1

n 1 2 2n3

E) − + + = −n 1

n 1 2n 23

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6) Sea n un número real positivo. Si el producto entre su antecesor y su sucesor es igual a 3, ¿cuál es la mitad de n?

A) 32

B) 2 C) 1 D) 2

E) 22

7) En una granja hay 5 pavos más que gallinas y 3 corderos más que

pavos. Si en total hay 49 animales, ¿cuántos corderos hay en la granja?

A) 8 B) 10 C) 12 D) 17 E) 20 8) La fuerza de gravitación f entre dos planetas cuyas masas son m y

M, a una distancia d entre ellos, está dada por

2

mMf k

d=

donde k es una constante. Al despejar m, se obtiene

A) 2fd

mkM

=

B) 2

k f Mm

d⋅ ⋅=

C) 2

f kMm

d⋅=

D) f

m dkM

= ⋅

E) 2kd

mf M

=⋅

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9) Si 6x

7≠ y x 0≠ , al resolver − −=

−10 7x 5x 46 7x 5x

, se obtiene x =

A) 56 B) 35 C) 11 D) 7 E) 3

10) Al estirar un resorte, su longitud L está dada por 3

L F 84

= + ,

donde F es la fuerza aplicada. ¿Qué fuerza se requiere para producir una longitud de 10?

A) 83

B) 163

C) 323

D) 312

E) 24

11) Si la solución de la ecuación x a4 3

= es x=1, entonces el valor de la

constante a es

A) 112

B) 14

C) 12

D) 34

E) 43

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12) Dado que la ecuación para la incógnita x, ax b c+ = , tiene infinitas soluciones, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera?

A) a, b y c deben tener el mismo signo.

B) b y c deben tener el mismo signo.

C) b debe ser igual a c y a puede ser cualquier número real.

D) a debe ser 0 y b c= − .

E) a debe ser 0 y b c= .

13) Al resolver la ecuación literal ( ) ( )a x b a b x a b− − = − − , con a b≠ , se

llega a que la solución para x es

A) a + b

B) −a b

C) ab

D) a

E) b

14) Si x 2≠ ± , la solución de la ecuación

2

1 1x 2 x 2 1

1x 4

−− + =

−

es

A) ℝ B) ∅ C) { }2, 2− −ℝ

D) { }2, 2−

E) { }4

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15) Siendo a y b números reales con a ≠ 0, b ≠ 0 y a ≠ b, el

conjunto solución de la ecuación + =− −

x x aa b a b a

es

A) {0}

B) {1}

C)

2ab

D) −

+

2 3

2

a b a

ab b

E) ∅

16) Si con x litros de jugo de naranja se pueden llenar A botellas de

igual capacidad, y con y litros de jugo de pera se pueden llenar B

botellas todas idénticas, entonces el total de litros que hay en una

botella de jugo de naranja más una botella de jugo de pera es

A) x yA B

+⋅

B) xy

A B+

C) x yA B

++

D) x yA B

+

E) Ax By+

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17) Si a y b son números reales, se tiene la ecuación para x:

ax b bx a+ = + . Con respecto a ella es correcto afirmar que

I) si a ≠ b, entonces la ecuación tiene por única solución x 1= .

II) si a = b, entonces la ecuación es una identidad que se

verifica para todo x. III) si x = 1, entonces la ecuación es una identidad que se

cumple para todo a y b. De las afirmaciones anteriores, ¿cuál(es) es (son) verdadera(s)? A) Solo I y II

B) Solo I y III

C) Solo II y III

D) I, II y III

E) Ninguna de ellas.

18) Un estanque se llena en 3 horas cuando un grifo está abierto, pero un

orificio en el fondo de él lo vacía en 4 horas. Si el estanque está sin

agua, ¿cuántas horas debería estar abierto el grifo, de tal manera que

el estanque alcance su capacidad máxima de agua?

A) 7 horas

B) 3,5 horas

C) 12 horas

D) 48 horas

E) 52,5 horas

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19) Siendo x e y distintos de cero, se puede afirmar que es x igual a y, si se sabe que:

(1) = 0x2

y

(2) + =2x 2y

04


20) Siendo a, b y c números reales distintos de cero, se puede determinar el

valor de la incógnita en la ecuación ab c= si:

(1) Se conocen los valores de a y c.

(2) b es la incógnita.


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A

C

B

GUÍA N°15

ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS Antes de comenzar con nuestra primera guía de geometría, es importante que tengamos en cuenta que ninguna de las figuras está a escala, por lo tanto es un error asumir datos o informaciones que no son aportados explícitamente en enunciado o en la figura misma. ÁNGULOS Ángulo es la región del plano comprendida entre dos rayos (llamados lados) de origen común (llamado vértice). En la figura, el ángulo está formado por la unión de los rayos BA

�� y BC��

, cuyo origen común es el punto B, que es el vértice del ángulo. Anotamos: ABC o bien CBA, o simplemente: B Sistemas de medida de ángulos Las medidas de los ángulos dependen, en general, de cuántas divisiones se haga a una circunferencia (que es el giro completo) en arcos iguales; se considera la medida del ángulo en relación al giro de un rayo en torno a un punto, que es el vértice del ángulo y centro de dicha circunferencia. Este giro se mide desde la posición inicial del rayo hasta la posición final. Un giro completo es aquél en que la posición inicial y final del rayo coinciden. El sistema fundamental para la medición de ángulos es el sistema sexagesimal, en el cual la unidad es el grado sexagesimal (º), que es la medida que se le asigna a un ángulo, equivalente a la 360ava parte de una circunferencia completa.

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A

B

O α

B

O C

A O

B

Un giro completo mide, entonces, 360 grados sexagesimales: 360°. Existen submúltiplos del grado, que son el minuto (') y el segundo (''). Las equivalencias entre ellos son: 1º = 60' 1' = 60'' 1º= 3.600”

Notación: Se acostumbra usar letras griegas para la nominación de ángulos: α(alfa), β(beta), γ (gamma), δ (delta),.., etc. CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS Según su medida, un ángulo se puede clasificar como: Ángulo Agudo: Su medida es menor que 90°. 0º < AOB = α < 90° Ángulo Recto: Su medida es 90°, es decir, mide la cuarta parte del ángulo completo. Se dice que sus lados son "perpendiculares" ( ⊥ ). BOC = 90° Ángulo Obtuso: Su medida es mayor que 90° y menor que 180°. 90° < AOB < 180° Ángulo Extendido: Su medida es 180°. BAC = 180°

B A C

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B

D

C

A

α β

RELACIÓN ENTRE ÁNGULOS EN UN MISMO PLANO Ángulos Adyacentes: Dos ángulos son adyacentes si y solo si, tienen en común el vértice y un lado, y sus interiores no se intersectan. BAC es adyacente a CAD. Ángulos Complementarios: Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es 90°. Complemento de un ángulo es la medida del ángulo que le

falta para completar 14

de un giro completo, es decir, es lo

que le falta para completar 90°. Complemento de α = 90° –α Ángulos Suplementarios: Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es 180°. El suplemento de un ángulo es la medida del

ángulo que le falta para completar 12

giro, es decir, es lo que le falta para

completar 180°. Suplemento de α = 180° –α Así entonces, en un mismo plano podemos tener: – Ángulos adyacentes complementarios:

α + β = 90° – Ángulos adyacentes suplementarios:

α + β = 180°

α

β

α β

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Ángulos opuestos por el vértice: Son aquellos ángulos tales que los lados de uno están formados por las prolongaciones de los lados del otro. O en otras palabras, se forman al intersectarse dos rectas.

Los ángulos opuestos por el vértice son de igual medida. Así, en la figura anterior: α = β y γ = δ Ángulos formados por una transversal que corta a dos rectas paralelas: Si L1 // L2 a) Los ángulos correspondientes son de igual medida: 1 = 5, 2 = 6, 3 = 7 y 4 = 8 b) Los ángulos alternos internos entre paralelas son de igual medida: 2 = 8 y 3 = 5 c) Los ángulos alternos externos a las paralelas son de igual medida: 1 = 7 y 4 = 6 (Los recíprocos de las propiedades anteriores, también se cumplen).

α γ

δ β

L3

L1

L2 7 6 5

4 3 2

1

8

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A c

b a

B

C

α

γ

β 'α 'β

'γ

OTROS CONCEPTOS ASOCIADOS Rectas paralelas Dos rectas, 1L y 2L son paralelas ( 1 2L // L ) si y solamente si ellas están en un mismo plano Π (rectas coplanares) y su intersección es vacía ( )1 2L L∩ ≡ ∅ .

Puntos colineales Diremos que tres puntos del plano A, B y C son colineales si y solamente si el ángulo formado por ellos tres es extendido o bien, que pertenecen a una misma recta. Suponiendo que se tienen tres puntos no colineales, diremos que un triángulo es la unión continua de tres puntos no colineales. TRIÁNGULOS Un triángulo ABC es la unión de tres rectas que se cortan de dos en dos. Los puntos de intersección se denominan vértices del triángulo y los segmentos son los lados del triángulo. Se determinan tres ángulos interiores cuyos lados son los tres lados del triángulo tomados de dos en dos. El triángulo corresponde al polígono de menor cantidad de lados que se puede formar. Su nombre deriva del griego (“tri” = tres – ángulo) en tanto la palabra polígono la entendemos como “poli”: muchos y “gono”: ángulo Notación A, B y C: vértices. BC a= , CA = b y AB = c : lados. CAB = α, ABC = β , BCA = γ : ángulos interiores . α’, β ’ y γ ’: ángulos exteriores, que son suplemento del ángulo interior respectivo.

L1

L2

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Teorema Fundamental "En todo triángulo, la suma de las medidas de los ángulos interiores es 180°".

α + β + γ = 180°

Teorema: La medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los ángulos interiores no adyacentes. α'= β + γ β ' = α + γ γ ' = α + β Teorema: La suma de las medidas de los ángulos exteriores de un triángulo es 360°.

α'+ β ' + γ ' = 360° CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS Los triángulos los podemos clasificar según las medidas de sus lados y de sus ángulos: a) Según la medida de sus ángulos Acutángulo: es aquél que tiene sus tres ángulos interiores agudos. A B

C

Rectángulo: es aquél que tiene un ángulo recto. Los otros dos ángulos interiores son agudos y complementarios. Los lados que forman el ángulo recto se llaman "catetos" y al lado opuesto al ángulo recto, "hipotenusa", que es el lado más largo de este triángulo.

A

B

C

a

b

c

∆ ABC rectángulo en C a y b : catetos c : hipotenusa

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Obtusángulo: es aquél que tiene un ángulo interior obtuso.

90 < α < 180º A B

C

α

b) Según la medida de sus lados Equilátero: tiene sus tres lados congruentes, por lo tanto, sus tres ángulos interiores también los son, y como la suma de sus medidas es 180º, cada uno mide 60°.

A B

C

60°

60°60°

Isósceles: es aquél que tiene dos lados congruentes, llamados "lados", y al tercero se llama "base". Se puede demostrar que los ángulos opuestos a los "lados" son también congruentes. A estos ángulos se les llama "ángulos basales".

A B

C

Escaleno: es aquél cuyos tres lados tienen distinta medida, y por ende, sus ángulos también.

A B

C

ELEMENTOS DEL TRIÁNGULO Elementos Primarios del triángulo son sus lados y ángulos. Elementos secundarios Son las Transversales de Gravedad, Alturas, Bisectrices, Simetrales y Medianas. Puntos Notables Son los puntos que resultan de la intersección de un mismo tipo de rectas notables, ellos son: el Centro de Gravedad (Baricentro), el Ortocentro, el Incentro y el Circuncentro.

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A B

C

DE

F

G

a b

ct

t t

A B

C

D

EF

H

a b

ch

h h

ELEMENTOS SECUNDARIOS DEL TRIÁNGULO Transversal de Gravedad Es la recta que une un vértice, con el punto medio del lado opuesto. Se anotan: ta, tb, tc. El subíndice indica el vértice, por el cual pasa. Las transversales de gravedad se intersectan en un mismo punto llamado Baricentro o Centro de Gravedad. Propiedad: El Baricentro divide a cada transversal de gravedad en dos segmentos que están en la razón 2 : 1. El segmento que va desde el vértice al Baricentro mide el doble que el segmento que va del Baricentro al lado.

AG BG CG 2GD GE GF 1

= = =

Propiedad: Si el centro de gravedad de un triángulo ABC se une con los tres vértices, entonces el triángulo ABC queda dividido en tres triángulos equivalentes (de igual área). Propiedad: Al trazar las tres transversales de gravedad de un triángulo cualquiera, éste queda dividido en seis triángulos equivalentes.

Altura Es la perpendicular bajada desde un vértice al lado opuesto. Se anotan: ha, hb, hc; donde el subíndice indica el vértice por el cual pasa. Las tres alturas se intersectan en un mismo punto llamado Ortocentro.

{ }a b c

a b c

AE BC; BF AC; CD ABAE h ; BF h ; CD h

h h h H

H : ortocentro

⊥ ⊥ ⊥= = =

∩ ∩ ∈

Propiedad: Las alturas de un triángulo son inversamente proporcionales a los lados: a b ca h = b h = c h = k⋅ ⋅ ⋅

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A B

C

H

h

hh

a

bc

A

B

C

= abch

ha= b

hc

H =

Observaciones: 1) En un triángulo obtusángulo el Ortocentro

queda en el exterior del triángulo. También podemos decir que si el Ortocentro está en el exterior del triángulo, entonces el triángulo es obtusángulo.

2) En un triángulo rectángulo, el Ortocentro

coincide con el vértice del ángulo recto, puesto que los catetos se confunden con las alturas. También podemos decir que si el Ortocentro se ubica en uno de los vértices del triángulo, entonces es un triángulo rectángulo.

3) De la misma forma, agregaremos que si el Ortocentro está ubicado en

el interior del triángulo, éste es un triángulo acutángulo. Bisectriz Es el segmento que pasa por un vértice y divide al ángulo en dos ángulos congruentes. Se anotan: bα, bβ, bγ; donde el subíndice indica el ángulo que dimidia. Las tres bisectrices se intersecan en un mismo punto llamado Incentro, el cual corresponde al centro de la circunferencia inscrita en el triángulo, es decir, el Incentro equidista de los lados del triángulo. El radio de esta circunferencia se designa por la letra griega "ρ" (rho).

{ }AF b ; BG b ; CE b

b b b I

I IncentroP, Q, R : Puntos de Tangencia

α β γ

α β γ

= = =

∩ ∩ ∈

=

A B

C

E

F

P

RG I

Q

ρ

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AB

C

D

E

F

SSb a

Sc

Or

Observaciones: 1) En general, los puntos de tangencia de los lados con la circunferencia

inscrita al triángulo no coinciden con los pies de las bisectrices. 2) Las bisectrices de los ángulos exteriores de un triángulo determinan

tres puntos que equidistan de los lados del triángulo. Dichos puntos son los "Excentros" o centros de las circunferencias exinscritas.

Propiedad: las bisectrices dividen al lado opuesto en la razón de las

medidas de los lados que forman el ángulo: CA CBAE BE

= ; BA BCAG CG

= ;

AB ACBF CF

=

Simetral Es la recta perpendicular a un lado del triángulo, en su punto medio. Las simetrales se designan por: Sa, Sb, Sc, donde el subíndice indica el lado al cual es perpendicular. El punto de intersección de las simetrales se denomina Circuncentro y corresponde al centro de la Circunferencia Circunscrita al triángulo, es decir, el Circuncentro es un punto que equidista de los tres vértices del triángulo. Su radio se designa por "r".

{ }a b c

a b c

OD = S ; OF = S ; OE = S

S S S = O

O: Circuncentro

∩ ∩

Observación: En general, las simetrales no pasan por los vértices del triángulo. Si una simetral pasa por uno de los vértices del triángulo, éste es isósceles, y si pasan las tres simetrales por los tres vértices el triángulo es equilátero, aunque en ese caso basta que dos de ellas lo hagan, ya que la tercera también pasará por transitividad.

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A B

C

P R

Q

A B

C

M

_2

_2

γ γ

Mediana Es el segmento de recta que une los puntos medios de dos lados del triángulo. P, Q, R: Puntos Medios de los lados PQ, QR , RP : Medianas Propiedad: La mediana es paralela al tercer lado: R P / /AB ; QR / / AC ; PQ / / BC Propiedad: La mediana mide la mitad del lado del cual es paralela: AB 2 PR ; B C 2 PQ ; AC 2 QR = ⋅ = ⋅ = ⋅ Propiedad: Cuando se dibujan las tres medianas de un triángulo, se forman cuatro triángulos congruentes y semejantes al triángulo original. Nota: En general, las cuatro primeras rectas notables no coinciden, excepto en los triángulos equiláteros e isósceles. Sea ABC un triángulo isósceles de base AB , entonces la bisectriz, la simetral, la altura y la

transversal de gravedad relativas a la base AB coinciden. Para los otros lados, esto no acontece. A la inversa, basta que dos de estos elementos secundarios coincidan en un triángulo para que éste sea isósceles. Si el triángulo es equilátero, cada lado puede ser tomado como base de un triángulo isósceles, luego, coinciden las rectas notables de cada lado (excepto medianas), con lo cual, los puntos notables se confunden en un solo punto. Los puntos H (ortocentro), I (incentro) y G (centro de gravedad) son siempre colineales. Tal recta se conoce como “Recta de Euler”.

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A B

C

ab

cα β

γ

DESIGUALDADES EN EL TRIÁNGULO En todo triángulo, se cumple que: i) A mayor ángulo se opone mayor lado y viceversa. ii) La suma de las medidas de las longitudes de dos lados cualesquiera

es mayor que la medida de la longitud del tercer lado. iii) La diferencia positiva entre las medidas de las longitudes de dos

lados cualesquiera es menor que la medida de la longitud del tercer lado.

Así, en el triángulo ABC de la siguiente figura: i) γ >α>β ⇔ c > a > b ii) a + b > c ;

b + c > a ; a + c > b

iii) |a – b|< c ; |c – a|< b ; |c – b|< a

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A

α

α2

x

96°

D B

C

α

EJEMPLOS DE PROBLEMAS PUBLICADOS POR EL DEMRE

Tiempo máximo: 8 minutos Ejemplo N° 1: Proceso de Admisión 2004.

Ensayo Nacional.

En la figura adjunta, si ABC y BDF son triángulos equiláteros y BFEC es un rombo, entonces ¿cuál(es) de las expresiones siguientes es (son) verdadera(s)?

I) =∢ ∢ x z II) +∢ ∢ ∢ x y = EBD III) + −∢ ∢ ∢ x y z = 60°

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y II

E) I, II y III


Publicación del 1 de junio de 2006

¿Cuánto mide el ∢ x en el ∆ ABC de la figura adjunta? A) 32°

B) 39°

C) 45°

D) 52°

E) No se puede determinar, faltan datos.

F C

E

DB A

x

z

y

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Ejemplo N° 3: Proceso de Admisión 2005. Publicación del 9 de junio de 2004

En la figura adjunta, se puede determinar la medida de AB si: (1) AC BC 6 cm= = y AB BC<

(2) AB : AC 2 : 3= A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional


Publicación del 7 de mayo de 2009

En la figura, se puede determinar la medida de δ, si se sabe que: (1) El ∆ ABC es isósceles de base AB y α = 40º.

(2) El ∆ BCD es equilátero. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

RESPUESTAS CORRECTAS 1. D 2. D 3. C 4. C

C

A B

α δ A

C

D

B

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1) En la figura adjunta, AB��

y CD��

se intersectan en O y OE AB⊥��

. ¿Cuál es el valor de β − α ?

A) 20°

B) 70°

C) 90°

D) 100°

E) 140°

2) En la figura adjunta 1 2//ℓ ℓ ; ¿cuál es el valor de α?

A) 100°

B) 110°

C) 130°

D) 140°

E) 150°

3) En la figura: α = β = γ y AD = BD. ¿Cuál(es) de las afirmaciones

siguientes es (son) siempre verdadera(s)? I) AD // BE

II) DB // DE III) A, B y C son puntos que están

en una misma recta (colineales). A) Solo I B) Solo III C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III

50°

80°

.

. .

.

.

A B

D

E

O

C

20° β

α

A C B

E D

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4) En la figura adjunta, el triángulo ABC es rectángulo isósceles de base

AB . El ángulo ACD mide 30º y CD = CE. Entonces el ángulo x, mide

A) 20º

B) 15º

C) 12,5º

D) 10º

E) 7,5º

5) Si en la figura siguiente se tiene que 1 2//ℓ ℓ , entonces el valor de

α + β + γ + δ es igual a

A) 60°

B) 90°

C) 180°

D) 270°

E) 360°

D A

C

B

E x

δγ

βα ℓ1

ℓ2

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6) En la siguiente figura el triángulo ABC es isósceles de base AB y el ángulo BAC mide 40°. Si AD // EC , entonces el ángulo ECA mide

A) 20°

B) 40°

C) 80°

D) 100°

E) 120°

7) En la figura adjunta, AB AC= , BD BE= y CF CE= . Si el ángulo

BAC mide 40º, entonces el ángulo FED mide

A) 40º

B) 50º

C) 60º

D) 70º

E) 90º

8) En el triángulo ABC de la figura, con los datos indicados en ella, sabiendo que BE es bisectriz del ángulo ABC, entonces =x

A) 75°

B) 105°

C) 70°

D) 110°

E) 35°

A B

C

E

D

F

°40

F

E

D

C

BA

x

°70

°40

A B

C

E

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9) Si en la figura siguiente se tiene que 1 2//ℓ ℓ , 60α = ° y las rectas AC��

y

BC��

son bisectrices, entonces, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdaderas?

I) El ángulo ABC mide la tercera parte de un ángulo extendido. II) El triángulo ABC es tiene dos ángulos interiores de igual

medida. III) El triángulo ABC es rectángulo.

A) Solo I

B) Solo I y II

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) Ninguna de las afirmaciones es verdadera.

10) Si en la figura adjunta, 1 2//ℓ ℓ , 4α = β y γ = 80°. ¿Cuál(es) de las

siguientes igualdades es (son) verdadera(s)?

I) y = 20° II) x = γ = α III) y = β

A) Solo I

B) Solo I y II

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III

y x

α

A

B

C

ℓ1

ℓ2

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11) En la figura, AB BD= y B es el punto medio de AC . La medida del ángulo x es

A) 45°

B) 60°

C) 90°

D) 100°

E) 120°

12) En la figura adjunta 1 2//ℓ ℓ ; 35α = ° , 45β = ° , entonces la medida del

ángulo x es A) 80°

B) 90°

C) 100°

D) 135°

E) No se puede determinar.

13) En el triángulo ABC de la figura, AD y CF son alturas. ¿Cuál es la

medida del ángulo DAC? A) 20°

B) 70°

C) 30°

D) 110°

E) 40°

x

B C

D

αA

x

β

A B

C

D

F

H

70°

40°

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14) Los rayos OA y OB forman con el rayo OX dos ángulos, α y β, respectivamente. Si el rayo OC es bisectriz del ángulo AOB, entonces la medida del ángulo XOC es

A) 180°

B) 2α + β

C) β − α

D) 2

β − α

E) 2

α + β

15) En el triángulo ABC de la figura, recto en C, se traza la bisectriz BD del

ángulo CBA, y desde el pie D de la bisectriz se traza la perpendicular DE a la hipotenusa AB como lo indica la figura. Si el ángulo BAC mide 20°, ¿cuál es la medida del ángulo EDC?

A) 15°

B) 20°

C) 35°

D) 55°

E) 110°

O X

A

C

B

A

B

C D

E

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16) En la figura , el ángulo x mide el 75% de la medida del ángulo ACB, AC BC AD= = . Luego, el ángulo ACB mide

A) 90°

B) 85°

C) 80°

D) 75°

E) Faltan datos.

17) En la figura, se tiene un cuadrado ABCD en el cual se han construido

dos triángulos equiláteros EAB y CBF. ¿Cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) El triángulo DFC es isósceles de base DF .

II) El triángulo DEA es rectángulo en E.

III) El triángulo EBF es rectángulo en B.

A) Solo I

B) Solo I y II

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III

D

C

B A

y x

A B

CDE

F

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18) En la figura el triángulo ABC es rectángulo en C. L y M son los puntos medios de los lados AB y BC, respectivamente. Si AB 60 cm= , el segmento CG mide

A) 10 cm

B) 12 cm

C) 15 cm

D) 20 cm

E) 24 cm

19) Dadas las rectas 1 2//ℓ ℓ , intersectadas con 3 4yℓ ℓ , como en la figura .

Se puede afirmar que α = β si se sabe que:

(1) 3 4//ℓ ℓ

(2) Los ángulos DBA y BAC son suplementarios.


20) Se puede afirmar que un triángulo ABC es rectángulo si se sabe que:

(1) El ortocentro del triángulo coincide con uno de los vértices.

(2) Dos de sus ángulos interiores son complementarios.

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

C

A B

G

L

M

1ℓ2ℓ

3ℓ

4ℓA B

C D

α

β

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Cuadernillo 3 - MT - 2014

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